О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения
Досліджено задачу поздовжніх коливань конструкцій несучих опор, в яких на верхньому кінці встановлено обладнання. Розв’язано задачу поздовжнього удару при їх посадці на фундамент із заданою швидкістю та раптове прикладення ваги такої конструкції. Досліджено власні частоти коливань і загальні напруже...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116643 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 123-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116643 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1166432017-05-12T03:02:30Z О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. Досліджено задачу поздовжніх коливань конструкцій несучих опор, в яких на верхньому кінці встановлено обладнання. Розв’язано задачу поздовжнього удару при їх посадці на фундамент із заданою швидкістю та раптове прикладення ваги такої конструкції. Досліджено власні частоти коливань і загальні напруження такої механічної системи. Показано при яких параметрах системи можна застосовувати наближені теорії розрахунку. A problem of longitudinal vibrations of conical rods of solid and hollow cross-section is considered. This problem models the constructions of backup abutments. Basing on analysis of effect of the rod parameters on the value of master frequency, the recommendations are given for the approximate methods of analysis. An analysis of the stress-strain state arising under impact on the rod shows that location of the dangerous cross-section depends in each particular case on values of the rod parameters. 2015 Article О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 123-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116643 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено задачу поздовжніх коливань конструкцій несучих опор, в яких на верхньому кінці встановлено обладнання. Розв’язано задачу поздовжнього удару при їх посадці на фундамент із заданою швидкістю та раптове прикладення ваги такої конструкції. Досліджено власні частоти коливань і загальні напруження такої механічної системи. Показано при яких параметрах системи можна застосовувати наближені теорії розрахунку. |
| format |
Article |
| author |
Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. |
| spellingShingle |
Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения Прикладная механика |
| author_facet |
Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. |
| author_sort |
Улитин, Г.М. |
| title |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| title_short |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| title_full |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| title_fullStr |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| title_full_unstemmed |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| title_sort |
о продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116643 |
| citation_txt |
О продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 123-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT ulitingm oprodolʹnyhkolebaniâhuprugihsteržnejperemennogosečeniâ AT carenkosn oprodolʹnyhkolebaniâhuprugihsteržnejperemennogosečeniâ |
| first_indexed |
2025-07-08T10:45:51Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:45:51Z |
| _version_ |
1837075321667452928 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 1 123
Г .М .У л и т и н , С .Н .Ц а р е н к о
О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет»,
ул. Артема, 58, 83001, Донецк, Украина, e-mail: tzarenko@rambler.ru
Abstract. A problem of longitudinal vibrations of conical rods of solid and hol-
low cross-section is considered. This problem models the constructions of backup
abutments. Basing on analysis of effect of the rod parameters on the value of master
frequency, the recommendations are given for the approximate methods of analysis.
An analysis of the stress-strain state arising under impact on the rod shows that loca-
tion of the dangerous cross-section depends in each particular case on values of the
rod parameters.
Key words: conical rod, longitudinal vibrations, longitudinal impact, stress-strain state.
Введение.
Стержни переменного сечения имеют разнообразное применение, как элементы
сложных сооружений, так и отдельно взятые конструкции. Примером таких кон-
струкций являются многогранные гнутые стойки, которые за последнее время по-
лучили широкое применение в различных отраслях промышленности: городском
хозяйстве (осветительные опоры), энергетике (опоры ЛЭП, стойки ветрогенерато-
ров), теле-радио связи (антенные опоры) и т.д. Стальные многогранные стойки
представляют собой конические трубы коробчатого многогранного сечения, высо-
та стоек достигает 80 м, толщина до 20 мм, диаметр в основании находится в преде-
лах 250 – 3000 мм, а в вершине – 200 – 500 мм.
При установке на фундамент стоек переменного поперечного сечения, несущих
на верхнем конце оборудование, возникает явление продольного удара, которое при-
водит к значительному возрастанию динамических нагрузок. Для исследования рабо-
ты различного рода конструкций и оборудования широко используется модель упру-
гого стержня, так например, в статьях [7, 8, 13] для бурильной колоны используется
математическая модель упругого гибкого стержня, а в работе [12] напряженно-
деформированное состояние при продольно-поперечном изгибе в металлоконструк-
циях башенного типа рассмотрено с использованием модели стержня переменной
жесткости. В задачах динамики упругих систем исследование строится на основе
классической теории упругости, аналитическое решение в этом случае позволяет про-
вести анализ влияния различных факторов на динамический процесс или дать обос-
нование упрощенным и приближенным методам расчета. Так, в работах [6, 9] данный
подход используется применительно к вопросам исследования колебаний струн и
оболочек. В статье [5] рассмотрен обзор различных методов решения задач колебаний
балок и пластин, и в частности, указано на актуальность нахождения точных реше-
ний. Аналитическое решение волнового уравнения может быть получено с использо-
ванием методов Даламбера или Фурье. Применение метода Даламбера ограничивает-
ся условием однородности структуры стержня [3] и поэтому на практике его исполь-
зуют для относительно простых схем. Так, в работе [2], с использованием данного
124
метода, исследуется устойчивость при продольном ударе стержневой системы, со-
стоящей из стержня постоянного и ступенчато-переменного сечения. Напряженное
состояние стержня при ударе об упругий ограничитель исследовалось в статье [15],
аналогичная задача рассмотрена в работе [10] с использованием аналитического и
численного решений. Сравнение результатов, полученных аналитическим и чис-
ленным методами, в задаче удара массы об упругую балку с различными условия-
ми закрепления приведены в работе [17], а в статье [16] показано, что численные
результаты расчета удара сферической массы о неоднородный стержень хорошо
согласуются с экспериментальными данными. Продольные колебания однородно-
го усеченного конуса рассмотрены в работе [14], а сравнение теоретических и
экспериментальных результатов исследования удара конического стержня о жест-
кий ограничитель представлено в статье [4].
В настоящей работе, в отличие от рассмотренных, исследована задача продольно-
го удара упругого стержня переменного сечения, несущего на верхнем конце массу.
Для решения задачи используется метод Фурье.
§1. Постановка задачи и основные соотношения.
В качестве математической модели рассматриваемого объекта примем упру-
гий стержень переменного сечения длиною l (высота стойки) с массой M (масса
оборудования) на верхнем конце (рис. 1).
Для изучения продольных колебаний ( , )u x t такой
системы, если выбрать систему координат на верхнем
конце стержня, следует решить граничную задачу
2
2
( ) ( ) ( , );
u u
E F x F x p x t
x x t
(1.1)
, 0u l t ; (1.2)
0, (0) 0, 0xMu t EF u t (1.3)
при начальных условиях вида
( , 0) 0;u x 0( , 0) ( ),u x v e x (1.4)
где E – модуль упругости; ( )F x – площадь поперечного
сечения конструкции; – плотность материала; ( , )p x t –
интенсивность внешней нагрузки; 0v – скорость опуска-
ния конструкции; ( )e x – единичная функция.
В зависимости от типа конструкции 2( ) ( )F x ax b – для сплошного сечения и
( ) ( )F x ax b d – для полого, где коэффициенты a и b определяются геометрией се-
чения, а d – толщина стенки полого сечения.
Вначале рассмотрим случай свободных колебаний и для уравнения (1.1) выпол-
ним замену ( )z ax b al . Тогда для первого типа конструкций оно примет вид
2 2
2 2
2 2
2
u u u
z z z
zz t
, (1.5)
а для второго –
2 2
2 2
u u u
z z
zz t
2 .l E (1.6)
Рис. 1
125
Из первого начального условия (1.4) следует
1
1
( , ) ( )sin ,n n n
n
u z t A Z z t
, (1.7)
где 1( , )u z t – перемещения, вызванные сообщением системе скорости 0v ; nA – произ-
вольные постоянные; ( )nZ z – собственные функции соответствующих граничных
задач; n – частота собственных колебаний.
Дифференциальный оператор уравнения (1.1) является самосопряженным и,
следовательно, функции ( )nZ z – ортогональны с весом ( ) ( )z F z на промежут-
ке 1 2[ ; ],z z где 1z k ; 2 1z k , k b al [13].
Для определения собственных функций задач (1.5) и (1.6) получаем, соответ-
ственно, уравнения
22 0;n n n nzZ Z zZ (1.8)
2 0,n n n nzZ Z zZ (1.9)
где n n – собственные значения.
Общие решения уравнений (1.8) и (1.9) имеют, соответственно, вид
1 2 1 0 2 0
sin cos
; ( ) .n n
n n n n
z z
Z z C C Z z C J z C Y z
z z
(1.10)
§2. Продольные колебания полого конического стержня.
Рассмотрим вариант уравнений (1.6) – случай полой конструкции как наиболее
распространенной в технических задачах.
Если удовлетворить граничным условиям (1.2) и (1.3), то с учетом решения (1.10)
получим уравнение для определения собственных значений
0 2 0 1 0 2 0 1
1
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2n n n n nY z J z J z Y z
k
1 1 0 2 1 1 0 2 0,n n n nY z J z J z Y z (2.1)
где 2(0,5 )M d al bl – безразмерная масса.
Выражение для собственных функций представим в виде
0 0( ) ( ) ( );n n n nZ z J z Y z
0 2
0 2
,n
n
n
J z
Y z
(2.2)
которые ортогональны с весом 1
2
( ) ( )
2
k
z z z z
k
, где ( )z – дельта функ-
ция Дирака.
Оценим влияние безразмерных параметров k и на значения первого соб-
ственного числа частотного уравнения (2.1) 1 (первой собственной частоты
1 1 ).
126
Рис. 2
На графике рис. 2 показана зависимость 1 от величины параметра относи-
тельного поперечного размера k при отсутствии сосредоточенной массы ( 0 );
1 – стержень переменного сечения; 2 – стержень постоянного сечения ( 1 1,571 ),
из графика следует, что при значении 4k , что соответствует соотношению раз-
меров нижнего и верхнего оснований менее, чем 1,25 :1 , значение первой собст-
венной частоты отличается от частоты, полученной для модели стержня постоян-
ного сечения не более, чем на 5%.
Рис. 3
На графике рис. 3 представлена зависимость 1 от коэффициента при 4k
(1 – для весомого стержня; 2 – для невесомого стержня). Из графиков следует, что при
3 первая собственная частота практически полностью определяется наличием
сосредоточенной массы на свободном конце стержня и может быть определена из
решения для одномассовой системы.
Таким образом, если конструкция имеет параметры: 4k и 3 , то в качестве
расчетной модели можно принимать невесомый стержень постоянного сечения с од-
ной сосредоточенной массой.
§3. Динамические нагрузки при продольном ударе.
Вычисление непосредственно квадрата нормы собственных функций довольно за-
труднительно, поэтому перейдем к пределу при m n в выражении от произведения
собственных функций с различными индексами, в результате чего получаем
22
1 1
2
2
zz
n n
n n n
n n nz z
Z Zz
zZ z dz Z Z
. (3.1)
Тогда из соотношения (3.1) квадрат нормы собственных функций с учетом веса
определяется по формуле
127
2
1
2
2 22
1 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )
2
z
n n n n n n n
z
z
J z Y z J z Y z
20 1 0 1
2
( ) ( ) .
2 n n n
k
J z Y z
k
(3.2)
Если удовлетворить второму начальному условию (1.4), то в выражении (1.7) ко-
эффициенты nA примут вид
2
1
0
1 1 0 1 0 12
2
( ) ( ) ( ) ( ) .
2
z
n n n n n n n
nn n z
v z k
A J z Y z J z Y z
k
(3.3)
Решение (1.7) при значениях коэффициентов (3.3) определяет упругие перемеще-
ния конструкции (при условии ( , ) 0).p x t
Необходимо учесть решение на внезапное приложение веса конструкции, т.е. при
( , )p z t dal gz . Для этого требуется получить решение 2 ( , )u z t неоднородного урав-
нения
2 2 2zu u zu z , (3.4)
где 2l g E , с однородными начальными условиями 2 2( , 0) 0; ( , 0) 0.u z u z
Решение уравнения (3.4) представим в виде ряда по собственным функциям
2
1
( , ) ( ) ( ).n n
n
u z t w t Z z
(3.5)
Если выражение (3.5) подставить в уравнение (3.4) и применить метод Фурье с
учетом, что собственные функции ортогональны с весом, то для определения коэф-
фициентов ( )nw t получим уравнение
2
3/2
0
.n n
n n n
A
w w
v
(3.6)
Решение уравнения (3.6) имеет вид
0
( ) 1 cos .n
n n
n
A
w t t
v
Тогда уравнение перемещений сечений стержня определяется зависимостью
1 2( , ) ( , ) ( , ).u z t u z t u z t (3.7)
Введя обозначения: c E – скорость волны продольных колебаний стержня;
0
1 2
(1 )
2(1 )
k
gl
k
– напряжения от статической нагрузки в основании стержня;
2
1
1 1 0 1 0 1
2
( ) ( ) ( ) ( )
2
z
n n n n n n n
n z
z k
B J z Y z J z Y z
k
, получаем, соответст-
венно, зависимости для определения напряжений от скорости волны и от внезапного
приложения нагрузки:
0
1 1 12
1
( , ) ( ) ( ) sin ;n
n n n n
n n
v B
z t E J z Y z t
c
(3.8)
128
2 0 1 12
1
2(1 )
( , ) ( ) ( ) (cos 1) .
(1 2 )(1 )
n
n n n n
n n n
Bk
z t J z Y z t
k
(3.9)
Представленный график безразмерных напряжений 1 1 0( ) ( )E c v в основа-
нии колонны от безразмерного времени 4 *c l t , которые возникают от внезапного
приложения скорости, для случая 0, 1,k (рис. 4) имеет существенное отличие от
зависимости, полученной для стержней постоянного сечения [11], и характеризуется
наличием экстремума в момент, когда напряжения меняют знак. На рис. 5 представ-
лен график изменения безразмерных напряжений 1 по длине стержня для случая
0, 1.k Из его анализа следует, что в отличие от стержней постоянной жесткости,
опасное сечение находится не в основании, а его положение определяется геометри-
ческими параметрами конструкции и наличием сосредоточенной массы на конце.
Рис. 4
Рис. 5
Для случая внезапного приложения нагрузки, при отсутствии сосредоточенной
массы, опасное сечение, как и для стержня постоянной жесткости, будет в основании
опоры; при этом динамический коэффициент в зависимости от параметров конструк-
ции будет принимать значения 1,83; ... ; 2.
Заключение.
Получено решение задачи о продольных колебаниях конических стержней сплош-
ного и полого сечений, моделирующих конструкции несущих опор. На основании
анализа влияния параметров конструкции на значение главной частоты колебаний,
даны рекомендации об использовании приближенных методов расчета. Выполненные
расчеты напряженно-деформированного состояния, возникающего при ударе конст-
рукции, показывают, что положение опасного сечения для каждого конкретного слу-
чая определяется в зависимости от значений параметров опоры.
129
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено задачу поздовжніх коливань конструкцій несучих опор, в яких на
верхньому кінці встановлено обладнання. Розв’язано задачу поздовжнього удару при їх посадці на
фундамент із заданою швидкістю та раптове прикладення ваги такої конструкції. Досліджено власні
частоти коливань і загальні напруження такої механічної системи. Показано при яких параметрах
системи можна застосовувати наближені теорії розрахунку.
1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции – М.: Наука, 1974. – 432 с.
2. Bityurin A.A. Calculation of the critical velocity of a stepwise rod system under a longitudinal im-
pact // J. of Appl. Mech. and Techn. Physics. – 2011. – 52, N 4. – P. 530 – 535.
3. Doyle J.F. Longitudinal Waves in Rods // Wave Propagation in Structures – 1989. – P. 58 – 87.
4. Eberhard P., Hu B., Schiehlen W. Longitudinal Wave Propagation in Conical Rods Subject to Impacts //
Multifield Problems. – 2000. – P. 246 – 253.
5. Elishakoff I. Vibrations of Beams and Plates: Review of First Closed-Form Solutions in the Past 250
Years. In: “Mechanical Vibration: Where Do We Stand?” – Vienna:Springer, 2007. – 488. – P. 389 – 453.
6. Gulgazaryan G.R., Gulgazaryan R.G., Khachanyan A.A., Vibrations of an Orthotropic Cylindrical Panel
with Various Boundary Conditions // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 40 – 61.
7. Gulyaev V.I., Lugovoi P.Z., Borshch E.I. Self-excited Vibrations of a Drillstring Bit // Int. Appl. Mech.
– 2013. – 49, N 3. – P. 114 – 124.
8. Gulyaev V.I., Lugovoi P.Z., Andrusenko A.N., Numerical Modeling of the Elastic Bending of a Drillstring
in a Curved Superdeep Borehole // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4, – P. 412 – 420.
9. Legeza V.P., Legeza D.V. Vibration of a String with Moving End // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1.
– P. 87 – 91.
10. Schwarz C., Fischer F.D., Werner E., et al., Impact of an elastic rod on a deformable barrier: analytical
and numerical investigations on models of a valve and a rod-shaped stamping tool // Archive of Appl.
Mech. – 2009. – 80, N 1. – P. 3 – 24.
11. Shevchenko F.L., Ulitin G.M., Pettik U.V., Rusanova O.A. Calculation of dynamic strength of elastic
deformed systems // Proc. of Donetsk Nation. Techn. Univ. – 2010. – N 1. – P. 55 – 62.
12. Tsarenko S.N., Ulitin G.M. Investigation of strained deformed state of variable stiffness rod // Springer-
Plus. – 2014. – 3. – P. 367.
13. Ulitin G.M., The Longitudinal Vibrations of an Elastic Rod Simulating a Drilling Rig // Int. Appl. Mech.
– 2000. – 36, N 10. – P. 1380 – 1384.
14. Vodička V. Longitudinal vibrations of a conical bar // Applied Scientific Research, Section A. – 1963.
– 11, N 1. – P. 13 – 16.
15. Werner E.A., Fischer F.D. The stress state in a moving rod suddenly elastically fixed at its trailing end
// Acta Mech. – 1995. – 111. P. 171 – 179.
16. Werner S., Hu B., Eberhard P. Longitudinal Waves in Elastic Rods with Discontinuous Cross Sections
// Contact Mechanics. Solid Mechanics and Its Applications. – 2002. – 103. – P. 117 – 124.
17. Xing, Y.F., Qiao, Y.S., Zhu, D.C., et al., Elastic impact on finite Timoshenko beam // Acta Mech. Sinica.
– 2002. – 18. – P. 252 – 263.
Поступила 13.09.2012 Утверждена в печать 30.09.2014
|