Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении
Експериментально апробовано метод визначення параметрів ядер спадковості нелінійно в'язкопружних матеріалів за умови чистого кручення. Вибрана нелінійна модель в'язкопружності типу Работнова. Параметри ядер спадковості визначено за результатами апроксимації дискретних значень ядер, які зна...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116653 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении / В.П. Голуб, В.С. Рагулина, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 88-101. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116653 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1166532017-05-12T03:02:47Z Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении Голуб, В.П. Рагулина, В.С. Фернати, П.В. Експериментально апробовано метод визначення параметрів ядер спадковості нелінійно в'язкопружних матеріалів за умови чистого кручення. Вибрана нелінійна модель в'язкопружності типу Работнова. Параметри ядер спадковості визначено за результатами апроксимації дискретних значень ядер, які знайдено за умови подібності. За малих часів в області сингулярності дискретні значення враховано за допомогою вагових функцій. Розглянуто ядро Абеля, комбінацію степеневої та експоненціальної функцій, а також дробово-експоненційну функцію. A method of determination of the heredity kernels parameters for nonlinear viscoelastic materials is experimentally approved in conditions of pure torsion. The nonlinear model of viscoelasticity is chosen as the Rabotnov type model. The heredity kernels parameters are determined using the approximation of discrete values of kernels found by condition of similarity. For small time values in the area of singularity, the discrete values are evaluated using the weight functions. As a heredity kernel, the Abel kernel, the combination of power and exponential functions as well as the fractional-exponential functions are chosen. 2015 Article Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении / В.П. Голуб, В.С. Рагулина, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 88-101. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116653 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Експериментально апробовано метод визначення параметрів ядер спадковості нелінійно в'язкопружних матеріалів за умови чистого кручення. Вибрана нелінійна модель в'язкопружності типу Работнова. Параметри ядер спадковості визначено за результатами апроксимації дискретних значень ядер, які знайдено за умови подібності. За малих часів в області сингулярності дискретні значення враховано за допомогою вагових функцій. Розглянуто ядро Абеля, комбінацію степеневої та експоненціальної функцій, а також дробово-експоненційну функцію. |
| format |
Article |
| author |
Голуб, В.П. Рагулина, В.С. Фернати, П.В. |
| spellingShingle |
Голуб, В.П. Рагулина, В.С. Фернати, П.В. Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении Прикладная механика |
| author_facet |
Голуб, В.П. Рагулина, В.С. Фернати, П.В. |
| author_sort |
Голуб, В.П. |
| title |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| title_short |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| title_full |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| title_fullStr |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| title_full_unstemmed |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| title_sort |
определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116653 |
| citation_txt |
Определение параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих изотропных материалов при кручении / В.П. Голуб, В.С. Рагулина, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 88-101. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT golubvp opredelenieparametrovâdernasledstvennostinelinejnovâzkouprugihizotropnyhmaterialovprikručenii AT ragulinavs opredelenieparametrovâdernasledstvennostinelinejnovâzkouprugihizotropnyhmaterialovprikručenii AT fernatipv opredelenieparametrovâdernasledstvennostinelinejnovâzkouprugihizotropnyhmaterialovprikručenii |
| first_indexed |
2025-07-08T10:46:49Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:46:49Z |
| _version_ |
1837075383230398464 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 2
88 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 2
В .П . Г о л у б , В .С . Р а г у л и н а , П .В .Ф е р н а т и
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЯДЕР НАСЛЕДСТВЕННОСТИ
НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ КРУЧЕНИИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина; сreep@inmech.kiev.ua
Abstract. A method of determination of the heredity kernels parameters for nonlinear
viscoelastic materials is experimentally approved in conditions of pure torsion. The nonlin-
ear model of viscoelasticity is chosen as the Rabotnov type model. The heredity kernels
parameters are determined using the approximation of discrete values of kernels found by
condition of similarity. For small time values in the area of singularity, the discrete values
are evaluated using the weight functions. As a heredity kernel, the Abel kernel, the combina-
tion of power and exponential functions as well as the fractional-exponential functions are
chosen.
Key words: experiment, nonlinear viscoelasticity, isotropic materials, pure torsion, he-
redity kernels parameters, similarity function, discrete values of kernels, weight function.
Введение.
Параметры ядер наследственности линейных и нелинейных вязкоупругих мате-
риалов определяются, как правило, путем обработки экспериментальных данных на
ползучесть образцов материала при растяжении постоянными напряжениями [6 – 8,
16]. В некоторых случаях в качестве базовых при определении параметров ядер на-
следственности используются данные испытаний на ползучесть при кручении под
действием постоянных касательных напряжений [1, 3].
Основные трудности, возникающие при определении параметров ядер наследст-
венности при кручении, связаны, как и при растяжении, с выбором наиболее адекват-
ного варианта нелинейной модели вязкоупругости и с недостаточной точностью из-
мерений в области малых длительностей испытаний, когда проявляются динамиче-
ские эффекты [6, 7, 12].
В работе [2] предложен метод, позволяющий на основе нелинейной модели вяз-
коупругости типа модели Работнова обосновывать структуру ядер ползучести и опре-
делять параметры ядер по набору дискретных значений ядер. В области сингулярно-
сти при малых длительностях испытаний дискретные значения ядер ползучести учи-
тываются с помощью весовых функций. В работах [4, 10, 11] метод апробирован экс-
периментально на задачах расчета деформаций ползучести и релаксации напряжений
нелинейно-вязкоупругих материалов при растяжении.
В настоящей работе метод определения параметров ядер наследственности, изло-
женный в [2], апробируется экспериментально на задачах расчета деформаций ползу-
чести и релаксации напряжений изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при
кручении.
89
§1. Постановка задачи. Объект исследования.
Рассматривается ползучесть и релаксация нелинейно-вязкоупругих материалов
при чистом кручении. Определяющие уравнения модели, задающей зависимость ме-
жду напряжениями деформациями и временем записываются в виде
0
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
s s
t
s s
t t K t d
t t R t d
(1.1)
где первое уравнение задает процесс ползучести, а второе – процесс релаксации.
Здесь ( )t , ( ) – полная сдвиговая деформация, включающая упругую компоненту
e и деформацию ползучести c в моменты времени t и ; ( )t , ( ) – действую-
щее напряжение в моменты времени t и ; 0 ( ) – функция, задающая диаграмму
мгновенного деформирования; ( )sK – ядро сдвиговой ползучести; ( )sR – ядро сдви-
говой релаксации; s – реологический параметр; t – время наблюдения; – время,
предшествующее моменту наблюдения.
Задача заключается в выборе функций, задающих ядра наследственности, и опре-
деления параметров ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов при
чистом кручении. Решение строится на основе нелинейной модели вязкоупругости с
независящей от времени нелинейностью типа модели Работнова [9, 15].
Между ядрами ползучести ( )sK и релаксации ( )sR существует интегральная
связь
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
s s s s sR t K t K t R d , (1.2)
которая позволяет по значениям параметров ядер ползучести рассчитывать релакса-
цию напряжений и наоборот.
Задача определения параметров ядер сдвиговой наследственности в (1.1) сводит-
ся, таким образом, к определению параметров ядер сдвиговой ползучести ( )sK , ко-
торые определяются из условия минимизации функционала [2]
*
2 2
1
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
n n
s s j s j s s s s j s s s
j j n
F q p t K t K t q K t K t q
, (1.3)
где весовая функция ( )jp t задается соотношением
* *
1
( ) ,
( ) ( , )
1
( ) ( , )
j m
s j s s s
s s s s
p t
K t K t q
K t K t q
(1.4)
причем ( ) 0jp t , когда ( , )s sK t q , и ( ) 1jp t , когда ( ) ( , )s j s s sK t K t q . Здесь
sq – параметры ядра ползучести 1,s k ; n – число дискретных значений ядер пол-
зучести в интервале {0, }jt ; *n – число дискретных значений ядер ползучести в облас-
ти *{0, }t ; m – порядок моментов разностей ( m = 2, 3, 4, 5,…).
В качестве ядер сдвиговой наследственности в (1.3) рассматриваются ядро Абеля
и его резольвента
90
(1 )
0
( ) ( )1 1
( ) ; ( )
(1 )(1 )(1 )( ) ( )
n n
s
s s
n
t
K t R t
nt t
, (1.5)
степенная функция и соответствующая резольвента
1
1
1
( ) ( ) ( )1 1
( ) ; ( )
( )( )
nn n
s
s s
n
t
K t R t
t nt
, (1.6)
комбинация степенной и экспоненциальной функций и соответствующая резольвента
1 1
( ) 1 ( )
1
( 1) ( ) ( )1 1
( ) ; ( )
( )( )
nn n
s
s st t
n
t
K t R t
ne t e
, (1.7)
а также дробно-экспоненциальная функция и её резольвента
(1 )(1 )
0 0
( ) ( )1 ( ) ( ) 1
( ) ; ( )
(1 )(1 ) (1 )(1 )( ) ( )
n nn n
s
s s
n n
tt
K t R t
n nt t
, (1.8)
где, как видно, параметры ядер ползучести и релаксации совпадают.
Дискретные значения ( )s jK t ядер сдвиговой ползучести ( , )s sK t q в (1.3) опреде-
ляются по результатам обработки экспериментальных данных, исходя из условия по-
добия изохронных диаграмм ползучести и диаграммы мгновенного деформирования.
В качестве исходных экспериментальных данных используются заимствованные из лите-
ратуры данные, полученные на сплошных цилиндрических и тонкостенных трубчатых
образцах из Polystyrene, Nylon 10001, полиэтилена высокой плотности ПЭВП и поликар-
боната марки «Дифлон». Экспериментальные данные заимствованы из [1, 3, 13, 14].
Решение поставленной задачи включает обоснование нелинейности вязкоупругих
свойств выбранных материалов и выбранной нелинейной модели вязкоупругости,
дискретизацию ядер ползучести и выбор функций, задающей ядра ползучести, опре-
деление параметров ядер ползучести и экспериментальную апробацию на примере
расчета деформаций сдвиговой ползучести и релаксации.
§2. Обоснование нелинейности вязкоупругих свойств материалов и вида мо-
дели нелинейности.
Под нелинейностью вязкоупругих свойств материалов понимается нелинейность
упругих свойств и нелинейность процесса ползучести. Области нелинейно-упругого и
нелинейно-вязкоупругого деформирования, а также вид модели нелинейности опре-
деляются по результатам обработки экспериментальных данных на «мгновенное»
деформирование и на ползучесть по методике, изложенной в [10].
2.1. Определение области нелинейно-упругого деформирования. Принимается, что
материал ведет себя как нелинейно-упругий при напряжениях , меньших некоторой
критической величины . Величина соответствует точке на диаграмме мгновен-
ного сдвига (рис. 1, а), для которой касательный модуль сдвига * *( )G удовлетворяет
соотношению [10]
* * 0
1
( )
2 ln 2
G G , (2.1)
и определяется из уравнения
2 3
* 0 0, 1, 2, 3,( ) j j j ja a a a . (2.2)
Здесь 0G – начальный модуль сдвига; ,k ja – коэффициенты кубической сплайн- ап-
проксимации ( 1,3k ) диаграммы мгновенного сдвига 0 ( ) .
91
Рис. 1
На рис. 1, б линиями нанесена аппроксимация сглаживающими кубическими
сплайнами диаграмм мгновенного сдвига для Polystyrene (1), Nylon 10001 (2), поли-
этилена ПЭВП (3) и поликарбоната «Дифлон» (4). Звездочками отмечены комбинации
напряжений и деформаций, соответствующих величинам и .
В табл. 1 приведены для исследованных материалов значения начального модуля
сдвига 0G , касательного модуля сдвига * *( )G , значения коэффициентов ,k ja для j = 3,
а также значения величин и , рассчитанных согласно (2.1) и (2,2).
Таблица 1
0,3a , МПа 1,3a ,
МПа
2,3a , МПа 3,3a ,
МПа Материал 0G ,
МПа
*G ,
МПа
0,3b 1,3b 2,3b 3,3b .
,
МПа
312404,70 -43916,90 2430,21 -9,36
Polystyrene,
25оС
1324,0 955,0
-4,4·10-7 1,11·10-4 -3,99·10-3 5,84·10-2
0,020 24,3
5203,14 -1812,28 331,26 1,26
Nylon 10001,
25оС
344,2 248,3
-7,5·10-6 6,13·10-4 -7,93·10-4 6,22·10-2
0,032 10,0
-39,01 3,88 313,04 4,56
Полиэтилен
ПЭВП, 20оС
1002,4 723,1
0,00 2,02·10-3 4,13·10-4 1,78·10-5
0,005 4,0
209546,00 -35016,00 2108,87 -18,26
Поликарбо-
нат
«Дифлон»,
80оС
666,2 480,6
2,7·10-5 -1,60·103 3,25·10-2 -2,06·10-1
0,022 14,5
2.2. Обоснование нелинейности процесса ползучести. Нелинейность процесса
ползучести вязкоупругих материалов обосновывается исходя из нарушения условия
однородности деформирования [3, 5, 10].
Считается, что материал является нелинейно-вязкоупругим, если функция ползу-
чести ( )J t
1 2
1 2
1 2
( , )( , ) ( , )
( ) ( ) ... ( ) m
m
m
tt t
J t J t J t
(2.3)
не инвариантна по отношению к уровню напряжений 1,m m k , а расчетное значе-
ние квантиля статистики ,kt
92
, ,
1
1
( ) ( ) , 1,
( ) ( )
m
k k j j k
kj j j j
n n
t J t J t t j
S t m S t
, (2.4)
меньше его критического табличного значения ,kt
. Здесь ( )k jJ t – значение функции
ползучести в момент времени jt при напряжении k ; ( )jJ t выборочное среднее зна-
чение функции ползучести; ( )J jS t – средне квадратичное отклонение величины
( )jJ t ; n – объем выборки (число функций ползучести); – максимальная погреш-
ность между значениями ( )k jJ t и ( )jJ t .
Величина погрешности в даль-
нейших расчетах задается равной ±5%, а
вероятность p попадания эксперимен-
тальных функций ползучести ( )k jJ t в
интервал, ограниченный величиной =
= ±5%, по отношению к величине ( )jJ t ,
должна быть не меньше 90%.
На рис. 2, а в качестве примера, при-
ведены построенные согласно (2.3) экс-
периментальные значения функций пол-
зучести ( )k jJ t для полиэтилена ПЭВП
при напряжениях = 8,1 (○); 11,5 ( );17,3
(●) Мпа, а на рис. 2, б рассчитанные со-
гласно (2.4) теоретические значения
квантиля статистики ,kt . Эксперимен-
тальные данные нанесены точками, вы-
борочное среднее значение функции
ползучести ( )jJ t – тонкими сплошными
линиями, границы интервала, задаваемо-
го величиной , и расчетные значения
квантиля статистики ,kt – тонкими штриховыми линиями, а табличные значения
квантиля статистики ,kt
– жирными сплошными линиями.
Из данных, приведенных на рис. 2, видно, что в интервал шириной 2 ( )jJ t попа-
дает весьма ограниченное (не более 3%) число функций ползучести ( )k jJ t , а расчетные
значения квантиля статистики ,kt оказываются существенно меньше их критические
значения ,kt
независимо от длительности испытания. Эти данные свидетельствуют о
том, что условия нелинейности (2.3) и (2.4) выполняются и полиэтилен ПЭВП является
нелинейно-вязкоупругим практически при всех уровнях напряжений. Аналогичные
оценки получены и для других рассмотренных материалов.
2.3. Единая изохронная диаграмма деформирования. Определяющие уравнения
нелинейной модели вязкоупругости (1.1) отражают условие подобия изохронных диа-
грамм ползучести и диаграммы мгновенного сдвига и соответственно существование
единой изохронной диаграммы. Это позволяет нелинейность модели задавать нели-
нейностью диаграммы мгновенного сдвига независимо от времени.
Существование единой изохронной диаграммы деформирования может быть
обосновано выполнением с заданной точностью процедуры приведения изохронных
диаграмм ползучести ( ),t i jt t к диаграмме мгновенного деформирования
Рис. 2
93
0 (0),0 . Приведенные дискретные значения ( ),0t i t функций ( ),t i jt t оп-
ределяются по соотношению
( ),0 1 ( ) ( ), 1, , 1,t i j t i jt G t t t i q j , (2.5)
где коэффициент пропорциональности
0
1
2
1
(0),0 ( ),
1 ( )
( ),
q
i t i j
i
j q
t i j
i
t t
G t
t t
осредняет значения функций подобия 1 ( )jG t , полученных для каждой j -й изо-
хронной диаграммы ползучести. Изохронные диаграммы ползучести ( )t строятся по
экспериментальным кривым ползучести « c t », полученным для нескольких уров-
ней постоянных касательных напряжений .
Принято, что единая изохронная диаграмма деформирования обоснована с по-
грешностью , если приведенные изохронные диаграммы ползучести не выходят за
пределы интервала, ограниченного величиной по отношению к диаграмме мгно-
венного деформирования. С достаточной для практических расчетов точностью вели-
чина может быть принята равной + 5%.
Экспериментальное обоснование единой изохронной диаграммы деформирования
для выбранных вязкоупругих материалов при чистом кручении представлено на рис. 3
для Polystyrene (а) при = 25оС и значениях jt = 5 (○), 80 ( ), 190 ( ), 300 (●) часов и
для полиэтилена ПЭВП (б) при = 20о С и значениях jt = 300 (○), 600 ( ), 900 ( ),
1000 (●). Диаграмма мгновенного сдвига 0 ( ) показана сплошной линией, изохрон-
ные диаграммы ползучести ( ),t i jt t – штрихпунктирными линиями, дискретные
значения, приведенных согласно (2.5) изохронных диаграмм ползучести ( ),0t i t ,
нанесены точками, а штриховыми линиями нанесены границы интервала, задаваемого
величиной =+5%, по отношению к диаграмме 0 ( ) .
Рис. 3
В целом, как видно, гипотеза единой изохронной диаграммы деформирования для
рассмотренных материалов подтверждается. Практически все значения приведенных
изохронных диаграмм ползучести (точки) не выходят за пределы 5%-ного интервала
относительно диаграммы сдвига 0 ( ) . Аналогичные результаты получены для Nylon
10001 и поликарбоната «Дифлон».
94
§3. Определение параметров ядер наследственности.
Параметры ядер ползучести и релаксации в (1.1) определяются, как уже отмеча-
лось, исходя из условия подобия изохронных диаграмм ползучести и диаграммы
мгновенного сдвига. Методика определения параметров ядер включают построение
осредненной функции подобия, расчет дискретных значений ядер ползучести по
функции подобия и определение параметров ядер по результатам аппроксимации
дискретных значений ядер соответствующим аналитическим выражением.
3.1. Построение осредненной функции подобия. Осредненная функция подобия
1 ( )jG t в (2.5) строится по результатам аппроксимации дискретных значений
функции подобия 1 ( )jG t . Дискретные значения 1 ( )jG t осредненной функции
подобия 1 ( )jG t , рассчитанные согласно (2.5), нанесены на рис. 4, а точками для
полиэтилена ПЭВП (○) и для поликарбоната «Дифлон» (●), а на рис. 4, б – для Poly-
styrene (○) и для Nylon 10001 (●).
Рис. 4
Тонкими сплошными линиями показана аппроксимация дискретных значений ос-
редненной функции подобия 1 ( )jG t кубическим сглаживающим сплайном вида
(2.2). В этом случае для функции 1 ( )jG t получаем соотношение
2 31 ( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j j jG t A B t t C t t D t t , (3.1)
коэффициенты которого
1 1
12 ; ;
6 2 6
j j j j ji
j j j j j
j j
G G k k kh
B k k C D
h h
определяются по результатам аппроксимации численных значений функции подобия
(здесь 1j jG G и 1 11j jG G – табличные значения функции подобия в точках
jt , 1jt ; jk , 1jk – коэффициенты сплайна; 1j j jh t t ).
3.2. Дискретизация ядер ползучести. Ядро сдвиговой ползучести ( )sK t в не-
линейной теории вязкоупругости (1.1) пропорционально скорости ползучести и про-
порционально скорости изменения функции подобия [2]. При постоянном напряже-
нии для ( )sK t справедливо соотношение
( )1 ( )
( )s
s
G t d t
K t
dt
(3.2)
и, соответственно, соотношение –
95
1 ( )1
( )s
s
d G t
K t
dt
, (3.3)
где все обозначения совпадают с принятыми выше.
Подставляя (3.1) в (3.3), получаем уравнение
2( ) 2 ( ) 3 ( )s s j j j j j jK t B C t t D t t , (3.4)
которое позволяет рассчитывать дискретные значения ( )jK t ядра ползучести ( )K t
для нескольких моментов времени jt .
Дискретные значения ( )sK t , пропорциональных ядрам сдвиговой ползучести
( )sK t , нанесены на рис. 5, а точками для Polystyrene (○) и Nylon 10001 (●). Звездоч-
ками отмечены моменты времени t , соответствующие точкам перегиба на кривых
зависимостей « s sK t ».
Рис. 5
В области малых длительностей испытаний jt t дискретные значения ядер
ползучести, как видно, не удовлетворяют условию ( )s jK t при 0jt , что может
быть связано с погрешностью измерений. Фактическая скорость ползучести при ма-
лых t всегда, по-видимому, будет больше той, которая может быть измерена приме-
няемыми регистрирующими приборами.
3.3. Определение параметров ядер ползучести. Весовые функции. Параметры ядер
наследственности в (1.1) определяются по результатам аппроксимации дискретных зна-
чений ядер ползучести выбранным аналитическим выражением ядра из (1.5) – (1.8),
исходя из минимизации функционала (1.3).
При реализации процедуры аппроксимации дискретные значения ядер ползуче-
сти, полученные на начальном отрезке времени *{0, }t вследствие динамических эф-
фектов с погрешностью, учитываются в (1.3) с использованием весовых функций. В
этом случае параметр s и параметры ядра ползучести sq в (1.3) определяются в два
этапа. На первом этапе определяются начальные значения 0 и 0sq искомых парамет-
ров, т.е. значения без учета дискретных значений ядер ( )jK t из области *{0, }t . На
втором этапе, используя значения 0 и 0sq , из (1.4), варьируя моменты разностей m ,
определяем первичный набор весовых функций ( )jp t . Окончательные значения весо-
вых функций ( )jp t устанавливаем исходя из суммарной квадратичной ошибки
2
0 0
1
( ) ( ) ( , )
j
n
s j s s
j
p t K t K t q
, (3.5)
которая соответствует квадратичной ошибке первой суммы в (1.3) и фактически явля-
ется общей ошибкой функционала.
96
Сумму в (3.5) вычисляем для разных значений весовых функций ( )jp t , получен-
ных согласно (1.4), и она является убывающей при возрастании величины m . В ре-
зультате определяем значения ( )jp t , соответствующие минимальной ошибке min , и
используются далее в функционале (1.3) для определения окончательных значений
параметров s и sq .
Аппроксимация дискретных значений ядер ползучести с использованием весовых
функций показана на рис. 5, а сплошными линиями, а без использования весовых
функций – штриховыми линиями, для Polystyrene (линии 1) и для Nylon 10001 (линии 2).
Различие, как видно, может составлять 100% и более и с уменьшением времени t
возрастает неограниченно.
Значения параметра s и параметров и ядер ползучести, задаваемых функ-
циями (1.5), (1.7), (1.8) и рассчитанных исходя из минимизации функционала (1.3) с
учетом (1.4), приведены для исследованных материалов в табл. 2.
Результаты аппроксимации дискретных значений ядер ползучести ( )s jK t Polysty-
rene аналитическими выражениями ядер ( )sK t в форме (1.5), (1.7), (1.8) с использова-
нием параметров ядер, приведенных в табл. 2, представлены на рис. 5, б линиями.
Аппроксимация ядром (1.5) показана тонкими сплошными линиями, ядром (1.7) –
штриховыми линиями и ядром (1.8) – штрихпунктирными линиями.
Таблица 2
, час-(1+α) , час-(1+α)
Материал t , час
(1.5) (1.7) (1.8) (1.7) (1.8) (1.5) (1.7) (1.8)
Polystyrene, 25
oC
5,0 0,646 0,329 0,318 0,001 0,037 0,056 0,025 0,020
Nylon 10001,
25 oC
10,0 0,851 0,229 0,316 0,008 0,058 0,128 0,151 0,017
Полиэтилен,
20, оС
0,1 0,762 0,242 0,739 0,020 0,083 0,577 0,154 0,612
Поликарбонат,
80, оС
0,1 0,970 0,274 0,318 0,228 0,811 0,056 0,113 0,364
Из данных, представленных на рис. 5, б, видно, что все выбранные ядра аппрок-
симируют дискретные значения ядер с достаточной степенью точности: максимальная
средне квадратичная ошибка, рассчитанная по соотношению (3.5), получена для ядра
Абеля (1.5) и для комбинации степенной экспоненциальной функции (1.7) и составля-
ет 0,011. Ошибка для дробно-экспоненциального ядра (1.8) составляет 0,0044.
Аналогичные оценки получены для других материалов. В этой связи эксперимен-
тальная апробация предлагаемого метода определения параметров ядер наследствен-
ности нелинейно-вязкоупругих материалов при кручении осуществляется на основе
ядра наследственности (1.8).
§4. Расчет деформаций ползучести и релаксации напряжений.
Параметры дробно-экспоненциального ядра наследственности (1.8), определен-
ные по изложенной в разделе 3 методике, апробируются экспериментально на задачах
расчета деформаций сдвиговой ползучести при постоянных напряжениях, деформа-
ций обратной ползучести при постоянных напряжениях, деформаций обратной ползу-
чести при полной разгрузке, а также релаксации напряжений.
4.1. Ползучесть при постоянных напряжениях. Напряжение ( )t , действующее в
произвольный момент времени t , при нагружении постоянным напряжением k зада-
ем соотношением
( ) ( ) 1,kt h t k m , (4.1)
где ( )h t – единичная функция Хевисайда ( ( ) 0h t при 0t и ( ) 1h t при 0t ).
97
Разрешая первое уравнение в (1.1) относительно ( )t , для деформации ползуче-
сти ( )t , подставляя ядро ползучести (1.8), получаем уравнение
(1 )(1 )
0 1,
0
( )
( ) ( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
j k s
n
t
t b b h t
n
2
(1 )(1 )
2,
0
( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
j k s
n
t
b h t
n
(4.2)
3
(1 )(1 )
3,
0
( )
( ) 1 ,
1 (1 )(1 )
n n
j k s
n
t
b h t
n
где 0 1, 2,, ,j jb b b и 3, jb – коэффициенты функции 1
0 ( ) , т.е. функции
1 2 3
0 0 0 1, 2, 3,( ) ( ) j j jb b b b , (4.3)
являющейся обращением функции 0 ( ) . Схематически функция 1
0 ( ) показана на
рис. 1 (штриховая линия) в координатах « ». Значения коэффициентов ,k jb для
3j приведены для исследованных материалов в табл. 1.
Рис. 6
Результаты расчетов, выполненных по уравнению (4.2) с использованием коэф-
фициентов ,k jb и параметров ядер ползучести , и s , приведенных в табл. 1 и 2,
нанесены на рис. 6 штриховыми линиями для сплошных цилиндрических образцов из
Polystyrene (a) при напряжених k = 10,17 (○), 16,20 ( ), 17,44 ( ), 22,82 ( ), 23,10
( ), 25,65 (●) МПа и для тонкостенных трубчатых элементов из полиэтилена ПЭВП
(б) при напряжениях k =2,07 (○), 3,52 ( ), 4,90 (●) МПа. Точками нанесены экспери-
ментальные данные, заимствованные из [13] и [1], соответственно.
4.2. Обратная ползучесть при полной разгрузке. Условие нагружения при реали-
зации режима полной разгрузки записываем в виде
( ) ( ) ( )k k kt h t h t t , (4.4)
где k – напряжение, приложенное в момент времени 0 ; kt – момент полной раз-
грузки; ( )h – единичная функция Хевисайда.
Разрешая первое уравнение в (1.1) относительно ( )t , для величины деформации
ползучести с учетом (1.8), (2.1) и (4.4) получаем уравнение
98
(1 )(1 )
1
0
0 1,
(1 )(1 )
1
1 1
0
( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
( )
( ) ( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
s
n
j
n n
s
n
t
h t
n
t b b
t t
h t t
n
2
(1 )(1 )
1
0
2,
(1 )(1 )
1
1 1
0
( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
( ) ( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
s
n
j
n n
s
n
t
h t
n
b
t t
h t t
n
(4.5)
3
(1 )(1 )
1
0
3,
(1 )(1 )
1
1 1
0
( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
( ) ( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
s
n
j
n n
s
n
t
h t
n
b
t t
h t t
n
.
Результаты расчетов деформаций
прямой и обратной ползучести, выпол-
ненных по уравнению (4.5), нанесены на
рис. 7 штриховыми линиями для тонко-
стенных трубчатых элементов из поли-
этилена ПЭВП. Режим нагружения
включал нагружение начальным напря-
жением 1 = 3,88 МПа и полную раз-
грузку в момент времени = 2,5 часа.
Расчеты выполнены с использова-
нием коэффициентов ,k jb и параметров
ядер ползучести , , s , приведен-
ных в табл. 1 и 2. Значения параметров , и s определялись только по результа-
там испытаний на прямую ползучесть при постоянных напряжениях. Эксперимен-
тальные данные заимствованы из [1].
4.3. Релаксация напряжений. В режиме релаксации напряжений начальное значе-
ние деформации
2 3
0 1, 2, 3,(0)k j k j k j kb b b b (4.6)
удерживается постоянным.
Зависимость напряжения k от времени t , исходя из второго соотношения в (1.1)
записываем с учетом (1.8) и (4.1) в виде
(1 )(1 )
2 3
0 1, 2, 3,
0
( )
( ) ( ) (0) (0) (0) 1
1 (1 )(1 )
n n
s
k j k j k j k s
n
t
t h t a a a a
n
,(4.7)
где значения начальной деформации (0)k рассчитываются по формуле (4.6), а функ-
ция 0 ( ) задается соотношением (2.2) при условии, что – величина переменная.
Результаты расчетов релаксации напряжений, выполненных по уравнению (4.7),
нанесены на рис. 8 штриховыми линиями для тонкостенных трубчатых элементов и
Рис. 7
99
полиэтилена ПЭВП при начальных на-
пряжениях 1 = 4,56 (○); 7,15 ( ), 9,53
(●) МПа. Точками нанесены экспери-
ментальные данные, заимствованные из
[6]. В процессе испытаний фиксирова-
лись начальные значения деформаций
1 = 0,87; 1,73% и 2,60%, соответственно.
Расчеты выполнены с использова-
нием значений коэффициентов ,k ja ,
приведенных в табл. 1. Значения пара-
метров = 0,35; = 6,09 час-(1+α) и
s = 5,07 час-(1+α) ядра релаксации рассчитывались по результатам обработки экспери-
ментальных данных на ползучесть, приведенных в [1].
§5. Анализ результатов.
Эффективность предложенного метода определения параметров ядер сдвиговой
наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов и достоверность получаемых
значений параметров ядер оцениваются в работе по результатам согласования расчет-
ных и экспериментальных данных на ползучесть и на релаксацию. Эксперименталь-
ная апробация метода осуществлена на примере расчета деформаций ползучести при
постоянных напряжений, деформаций обратной ползучести при полной разгрузке и
релаксации напряжений.
В целом, как это видно из данных, представленных на рис. 6 – 8, результаты рас-
четов, выполненных с использованием найденных по предложенному методу пара-
метров ядер наследственности, удовлетворительно согласуются с экспериментальны-
ми данными. Характерно, что, как и в случае одноосного растяжения [10], учет экспе-
риментальных данных в области малых времен с помощью весовых функций повы-
шает точность расчетов. Лучшее согласование расчетных и экспериментальных дан-
ных получено в случае использования в качестве ядер наследственности дробно-
экспоненциальной функции Работнова. В расчетах, как в режиме прямой, так и обрат-
ной ползучести, использовано одно и то же ядро ползучести и одни и те же значения
параметров ядра.
При чистом кручении деформации сдвиговой ползучести и релаксации могут быть
рассчитаны также с использованием параметров ядер ползучести, найденных в опытах
на одноосное растяжение. Решение строится на основе гипотезы единой диаграммы
деформирования, инвариантной по отношению к виду напряженного состояния.
Зависимость между инвариантами, задающая единую диаграмму деформирования
для несжимаемых материалов, записываем в виде
0
( ) ( ) ( ) ;
t
i i i i i it t K t d
0
( ) ( ) ( ) ,
t
i i i i i i it t R t d
(4.8)
где ( )i , ( )i – вторые инварианты девиаторов деформаций и напряжений, так что в
главных осях
2 2 2
1 2 2 3 3 1
3
;
2i 2 2 2
1 2 2 3 3 1
2
;
2i
( )i i – функция, задающая нелинейность вязкоупругих скалярных свойств; ( )iK t ,
( )iR t – ядра ползучести и релаксации, задающие нелинейные вязкоупругие скалярные
свойства; i – реологический параметр.
Рис. 8
100
Для расчета деформаций сдвиговой ползучести 21( )t при чистом кручении и по-
стоянных значениях напряжений 21 из первого соотношения (4.8) с учетом (1.8) по-
лучаем уравнение
(1 )(1 )3
21 21 11
0 0
3 ( )
( ) 3 ( ) 1
2 1 (1 )(1 )
i
n n
ij
i n
t
t b h t
n
, (4.9)
где принято
21 21
1 3
;
23
i i ; 11 11( ) ( )i it t ; 11 i ;
ijb – значения коэффициентов в сплайн-аппроксимации обращения функции
11 11( ) , задающей нелинейность вязкоупругих свойств при одноосном растяже-
нии; ( )h t – единичная функция Хевисайда.
Результаты расчетов (штриховые линии), выполненные по уравнению (4.9), со-
поставлены на рис. 9 с теми же экспериментальными данными (точки) для Polystyrene
(а) и полиэтилена ПЭВП (б), которые приведены на рис. 6. В расчетах использованы
значения параметров , , 11 и значения коэффициентов ijb , полученных по ре-
зультатам обработки экспериментальных данных на ползучесть при одноосном рас-
тяжении и приведенных в [10]. В расчетах принято, что 212 .
Рис. 9
Результаты расчетов, как видно, за исключением кривой ползучести полиэтилена
ПЭВП при 21k = 490 МПа, практически повторяют результаты, приведенные на
рис. 6 и полученные с использованием данных испытаний на кручение.
Заключение.
Метод определения параметров ядер наследственности в нелинейной модели вяз-
коупругости типа модели Работнова, учитывающий данные измерений в области ма-
лых времен с помощью весовых функций, апробирован экспериментально на задачах
расчета деформаций сдвиговой ползучести при постоянных напряжениях и при пол-
ной разгрузке, а также релаксации напряжений. В качестве ядер наследственности
использованы ядро Абеля, комбинация степенной и экспоненциальной функций, а
также дробно-экспоненциальная функция.
Параметры ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов опреде-
ляются по результатам испытаний на чистое кручение при постоянных напряжениях и
характеристикам диаграммы мгновенного кручения. В качестве ядра наследственно-
сти наиболее обоснованным представляется использование дробно-экспоненциальной
функции. Задача расчета деформаций сдвиговой ползучести при чистом кручении
может быть решена также с использованием параметров ядер ползучести, определен-
ных по результатам испытаний на одноосное растяжение.
101
Р Е ЗЮМ Е . Експериментально апробовано метод визначення параметрів ядер спадковості не-
лінійно в'язкопружних матеріалів за умови чистого кручення. Вибрана нелінійна модель в'язкопруж-
ності типу Работнова. Параметри ядер спадковості визначено за результатами апроксимації дискрет-
них значень ядер, які знайдено за умови подібності. За малих часів в області сингулярності дискретні
значення враховано за допомогою вагових функцій. Розглянуто ядро Абеля, комбінацію степеневої
та експоненціальної функцій, а також дробово-експоненційну функцію.
1. Вилкс У.К., Крегерс А.Ф. Простое нагружение нелинейно-ползучего полимерного материала
// Механика полимеров. – 1967. – № 2. – С. 236 – 242.
2. Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Рагулина В.С. Метод определения параметров ядер наследственности
нелинейно-вязкоупругих материалов с использованием весовых функций // Теорет. и прикл. ме-
ханика. – 2009. – Вып. 46. – С. 70 – 80.
3. Малмейстер А.К., Янсон Ю.О. Неизотермическое деформирование физически нелинейного мате-
риала (поликарбоната) при сложном напряженном состоянии // Механика композитных мате-
риалов. – 1979. – № 6. – С. 971 – 976.
4. Павлюк Я.В., Рагулина В.С., Фернати П.В. Прямая и обратная ползучесть нелинейно-
вязкоупругопластических материалов при одноосном нагружении. – Вестник НТУ Украины
«КПИ». – 2013. – № 3. – С. 30 – 37.
5. Шепери Р.А. Вязкоупругое поведение композиционных материалов // Композиционные материа-
лы. Т. 2. Механика композиционных материалов / Пер. с англ. под ред. А.А.Ильюшина и
Б.Е.Победри. – М. Мир, 1978. – С.102 – 195.
6. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. An Introduction. – New York: Academic Press Inc., 1971. –
338 p.
7. Findley W.N., Lai J.S., Onaran K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. – Amsterdam:
North-Holland Publishing Company, 1976. – 367 p
8. Ferry J.D. Viscoelastic properties of polymers. 2nd ed. – New York: Willey and Sons, 1981. – 633 p.
9. Golub V.P. Theory of creep and long-term strength of isotropic hardening media / In: Creep in Structures.
– Berlin: Springer-Verlag. – 1991. – P. 77 – 82.
10. Golub V.P., Kobzar’ Yu.V., Ragulina V.S. Determining the Parameters of the Hereditary Kernels of
Nonlinear Viscoelastic Materials in Tension // Int. Appl. Mech – 2013. – 49, N 1. – P. 102 – 113
11. Golub V.P., Pavluk Ya.V., Fernati P.V. Determining the Parameters of Fractional Exponential Heredi-
tary Kernels for Nonlinear Viscoelastic Materials // Int. Appl. Mech. –2013. – 49, N 2. – P. 220 – 231.
12. Kaminsky A.A. Mechanics of the Delayed Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory and Ex-
periment (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 485 – 548.
13. Marin J., Cuff G. Creep-time relations for polystyrene under tension, bending, and torsion // Proc.
ASTM. – 1949. – 49. – Р. 1158 – 1180.
14. Marin J., Webber A.C., Weissmann G.F. Creep-time relations for nylon in tension, compression, bend-
ing, and torsion // Proc. ASTM. – 1954. – 54. – P. 1313 – 1343.
15. Rabotnov Y.N. Creep problems in structural members. – Amsterdam: North-Holland Publishing Com-
pany, 1969. – 822 p.
16. Ward I.M. Mechanical properties of solid polymers. – New York: Wiley and Sons (Interscience),
1971. – 345 p.
Поступила 11.03.2013 Утверждена в печать 30.09.2014
|