Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы
Розглянуто генератор з інерційною нелінійністю. Біфуркаційна картина ілюструється на простих прикладах із застосуванням методу порівняння та функцій Ляпунова.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116655 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы / А.А. Мартынюк, Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 122-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116655 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1166552017-05-12T03:02:43Z Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы Мартынюк, А.А. Никитина, Н.В. Розглянуто генератор з інерційною нелінійністю. Біфуркаційна картина ілюструється на простих прикладах із застосуванням методу порівняння та функцій Ляпунова. The system generator with inertial nonlinearity is considered. The bifurcation picture is illustrated by the simple examples with using the comparison method and Lyapunov functions. 2015 Article Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы / А.А. Мартынюк, Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 122-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116655 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто генератор з інерційною нелінійністю. Біфуркаційна картина ілюструється на простих прикладах із застосуванням методу порівняння та функцій Ляпунова. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Никитина, Н.В. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Никитина, Н.В. Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы Прикладная механика |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Никитина, Н.В. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| title_short |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| title_full |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| title_fullStr |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| title_sort |
бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116655 |
| citation_txt |
Бифуркации и мультистабильность колебаний трехмерной системы / А.А. Мартынюк, Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 122-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa bifurkaciiimulʹtistabilʹnostʹkolebanijtrehmernojsistemy AT nikitinanv bifurkaciiimulʹtistabilʹnostʹkolebanijtrehmernojsistemy |
| first_indexed |
2025-07-08T10:47:01Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:47:01Z |
| _version_ |
1837075397677678592 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 2
122 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 2
А .А .Ма р ты ню к , Н . В .Ни к и т и н а
БИФУРКАЦИИ И МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ КОЛЕБАНИЙ
ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057 Киев Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract The system generator with inertial nonlinearity is considered. The bifurcation
picture is illustrated by the simple examples with using the comparison method and
Lyapunov functions.
Key words: bifurcation, nonlinear monotone systems, chaos, multistable system.
Введение.
Теории бифуркаций и качественного анализа берут свое начало в работах А. Пу-
анкаре А.М. Ляпунова, А.А. Андронова. Элементы теории бифуркаций содержатся в
ряде современных работ [1, 4 – 7, 9 – 13]. Подход применения в качественном анализе
уравнений в вариациях, в которых коэффициенты зависят от частного решения, со-
держится в [4]. Работа в целом посвящена также классификации физических объек-
тов, порождающих многомерные аттракторы. Рассматриваемая задача содержит
мультистабильность. В радиофизике мультистабильность указывает на сосущество-
вание в фазовом пространстве нескольких аттракторов, обусловленных определенны-
ми начальными условиями [2].
§ 1. Постановка задачи.
В работе [1] приводится обобщенное уравнение генератора, блок-схема которого
состоит из селективного элемента (например, колебательного контура) и усилителя
1 2 3( , , ) ( , , ) 0; ( , , ).x F x z F x z z F x z
Здесь x – переменная, совершающая колебания; – совокупность параметров; iF –
в общем нелинейные функции. Переменная ( )z t связана с переменной ( )x t посредст-
вом дифференциального оператора первого порядка, т.е. связь отклика ( )z t на пере-
менную ( )x t инерционна.
Рассмотрим генератор с квадратичной инерционной нелинейностью в виде без-
размерной системы, приведенной в [1],
2; ; ( ),
dx dy dz
mx xz y x b z x
dt dt dt
(1)
где ,m b – положительные постоянные коэффициенты. Колебательный контур опи-
сывается уравнением
( ) ( 1) 0,x m z x z x (2)
инерционный преобразователь представлен оператором 2( ).z b z x
Генератор с экспоненциальной инерционной нелинейностью в виде безразмерной
системы приведен в [2],
; ; ( 1).xdx dy dz
mx xz y x b z e
dt dt dt
(3)
123
Здесь имеет место колебательный контур (2). Инерционный преобразователь пред-
ставлен оператором ( 1).xz b z e
Хорошо изучены аттракторы, которые связаны с механизмом орбитальной потери
устойчивости в системе с двумя особыми точками. В известной задаче Лоренца пере-
ход неустойчивых траекторий от одного седло-фокуса к другому создает очевидный
механизм орбитальной потери устойчивости, который порождает странный аттрактор.
Качественное исследование задачи Лоренца изложено в монографии [11]. В консерва-
тивной системе бистабильный осциллятор – периодическое воздействие возникает
аналогичный механизм, который включает две особые точки [4]. В системе Рикитаки
также имеет место два узлоцентра [10].
Пусть ( )x x t – периодическое решение n -мерной автономной системы
( ),
dx
F x
dt
(4)
где ( ) nx t R – вектор состояния системы в момент t R , F : nU R – гладкая
функция, определенная на некотором подмножестве nU R . Введем в рассмотрение
малое отклонение в окрестности решений ( 1,2, , )ix i n : ix ( ) ( )i ix t x t
( = 1,2, , )i n . Рассмотрим ix в качестве новых координат. Система в координатах ix
(линейная) примет следующий вид: / ( ) , ,nd x dt A x x x R где =( ) = / | ,x xA x F x
называeтся системой в вариациях [4]. При помощи анализа корней характеристического
уравнения матрицы ( )A x можно построить разделяющую кривую (сепаратрису), кото-
рая разделяет разные по качеству области фазового сечения, а также получить оценки
параметров орбитально устойчивой системы.
В аналитически заданных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
/ ( )dx dt A t x введем характеристические показатели нетривиальных решений
1= lim [ ln || ( ) ||] ( = 1,2, , ),tj jt x t j n
где ( )jx t j -е фундаментальное решение
системы, || 0 | | норма. Числа j называются обобщенными характеристическими
показателями произвольной системы. Для системы в вариациях, описывающей эво-
люцию возмущений x вблизи частного решения ( )x t нелинейной системы, сово-
купность j называют характеристическими показателями Ляпунова (ХПЛ) частного
решения ( )x t (или фазовой траектории).
Задача описания "механизма возникновения" сложных движений в системе с од-
ной особой точкой предполагает решение следующих вопросов.
1. Построить сепаратрисы, которые разделяют поле координатной плоскости, свя-
занной с бифуркационным процессом.
2. Установить неустойчивость траекторий генератора.
3. Доказать существование области, во внутрь которой втягиваются траектории
генератора [11].
4. Описать явление мультистабильности в терминах полученных качественных
результатов.
Существование области, в которую втягиваются неустойчивые траектории [11],
указывает на то, что один знак сигнатуры спектра ХПЛ – минус (–). Так как рассмат-
ривается колебательный процесс трехмерной диссипативной системы, то сигнатура
спектра ХПЛ имеет два таких знака ( 0, –), т.е. характеристические показатели имеют
следующий вид: 2 0 , 3 < 0. Орбитально устойчивой траектории свойственно
неравенство 1 2 3 0 , орбитально неустойчивой – неравенство
1 2 3 > 0 .
124
Если доказано существование области, во внутрь которой втягивается траектория,
то при наличии одной особой точки этого достаточно, чтобы утверждать об сущест-
вовании аттрактора. Неустойчивость траектории по Ляпунову в данном случае может
быть тождественна орбитальной неустойчивости и порождает один из знаков сигна-
туры спектра (ХПЛ) в виде плюса (+).
Приведем ещё один подход для установления существования аттрактора в
трехмерной системе.
Предположение 1. Система (4) неустойчива в окрестности нуля. Cистема (4)
(n=3) имеет одну особую точку. Особая точка седлофокус имеет характеристиче-
ские показатели 1 2 3> 0, > 0, < 0Re Re с отрицательной седловой величи-
ной 1 2 3= < 0.Re Re
Предположение 2. На одной координатной плоскости и плоскостях, параллельных
этой плоскости, система (4) относительно особой точки имеет круговую траекто-
рию, которой соответствуют колебания осциллятора с затуханием. На двух других
плоскостях и плоскостях, параллельных этим двум, траектория не уходит на .
Утверждение. Пусть для дифференциальной системы (4) выполняются условия Пред-
положений 1, 2. Тогда в окрестности особой точки (седлофокус) образуется аттрактор.
Доказательство. Согласно Предположению 1 круговая траектория системы (4)
относительно особой точки вида седлофокус – неустойчива. Согласно Предполо-
жению 2 существование круговой траектории с затуханием на одной из коорди-
натных плоскостей указывает на диссипативный характер движения. Предполо-
жение 2 указывает на то, что траектория не уходит на бесконечность, но остается
в некоторой окрестности особой точки вида седлофокус. Таким образом, в систе-
ме (4) существует притягивающая траектория, которая не уходит на , но может
быть орбитально неустойчивой.
§ 2. Бифуркационная картина на фазовых плоскостях.
Каждая из систем (1), (3) имеет одну особую точку (0,0,0)O . Введем малые от-
клонения , ,x y z в системах (1), (3) от частных решений ( ), ( ), ( )x t y t z t и соста-
вим уравнения в вариациях для систем (1), (3)
= ( ) ; ; ( 2 )
d x d y d z
m z x y x z x b z x x
dt dt dt
; (5)
( ) ; ; ( ).xd x d y d z
m z x y x z x b z e x
dt dt dt
(6)
Характеристическое уравнение системы (5) имеет вид
3 2 2( ) ( ( ) 2 1) 0,b z m b z m bx b (7)
системы (6) –
3 2 ( ) ( ( ) 1) 0.xb z m b z m be x b (8)
Корни, соответствующие особой точке (0, 0, 0)O , систем (7), (8) находятся из
уравнения 3 2 ( ) ( 1) 0b m bm b либо 2( )( 1) 0b m и равны
2
1,2 3/ 2 ( / 2) 1, .m m b Для значений параметров
0 < < 2; 0,2m b (9)
корни 1 2, – комплексные. Покажем, что на оси z существуют точки, которым соот-
ветствует разделение уравнений (7), (8) на два. В точке ( 0, 0, )A x y z m b уравне-
ния (7), (8) имеют вид 2( )( 1) = 0.b b Значения характеристических показателей
в точке A – 2
1,2 3/ 2 ( / 2) 1 , .b b b В точке ( 0, 0, )C x y z m урав-
125
нения (7), (8) имеют вид 2( )( 1) = 0b и значения характеристических показате-
лей в этой точке 1,2 3, .i b В характеристические уравнения (7),(8) не входит
частное решение ( )y t , что указывает на то, что бифуркационный процесс не связан с
частным решением ( )y t .
Таким образом, в точке C происходит смена знака действительной части двух
комплексно-сопряженных корней. Это облегчает численное построение сепаратрис-
ной кривой на плоскости xz . На плоскости xz с помощью характеристического урав-
нения (8) построим кривые, которые разделяют плоскость на области с определенным
характером точек.
а б
Рис. 1
На рис. 1, a приведена cепаратриса, которая разделяет плоскость бифурка-
ций xz генератора с экспоненциальной нелинейностью. Точки, лежащие ниже
сепаратрисы, соответствуют положительным значениям действительной части
комплексных корней. Корни на сепаратрисе такие: 1,2 0Re , 3 < 0 . Пунктиром
на рис.1, б обозначены разделяющие кривые, на которых комплексные корни
становятся действительными. На верхней ветви – 1,2 3< 0, < 0 (здесь и далее
значения параметров ( , ) (1; 0,2)m b ). Увеличение модуля действительных кор-
ней идет в точках кривых слева направо, например, в следующих точках харак-
теристические показатели такие: ( 3, 2,9621)x z 1,2 0,9761 ;
3 0,2099; ( 0, 3)x z 1,2 1; 3 0,2; ( 3, 8,4107)x z 1,2 3,7984;
3 0,0139 . На нижней ветви – 1,2 3> 0, < 0 . Увеличение модуля действи-
тельных корней идет в точках кривых слева направо, например, в следующих
точках характеристические показатели такие: ( 3, 0,9747)x z 1,2= 0,9895 ;
3 0,2042; ( 0, 1)x z 1,2= 1; 3 0,2; ( 3, 6,04115)x z 1,2 3,4293;
3 0,0170 . Поле на плоскости x z – несимметрично. Это порождает несим-
метричную область, во внутрь которой могут втягиваться траектории при об-
разовании аттрактора.
§3. Доказательство существования области, во внутрь которой втягиваются
траектории генератора с квадратичной нелинейностью.
Введем переменную z Km , где K положительное число. Запишем
уравнения (1) так:
2( ) ; ; ( ) .
dx dy d
mx x Km y x b Km bx
dt dt dt
(10)
126
Введем функцию
2 2 22V bx by (11)
и определим полную производную функции (11) в силу системы (10)
2 2( 1) ( ).
dV
bm K x b Km
dt
(12)
В производную (12) не входят слагаемые с переменной y . Покажем, что траектория
системы (10) притягивается во внутрь эллипса, определяемого уравнением 0dV dt .
На основе уравнения (12) имеем
2 2
2 2( 1) = 0
2 2
Km Km
bm K x b Km b
(здесь отняли и прибавили постоянную величину), и далее –
2 2
2( 1) = .
2 2
Km Km
m K x
(13)
Уравнение эллипса имеет вид
22
2
2
= 1
2
x Km
B
A
= ; =
22 ( 1)
Km Km
A B
m K
с центром в точке = 0, = / 2.x Km Область, находящаяся внутри эллипса (13), втя-
гивает траекторию системы (10). Эта область порождает аттрактор. Доказать сущест-
вование регулярного аттрактора можно с помощью принципа симметрии.
§4. Теорема о симметрии.
Принцип симметрии в трехмерных системах состоит в нахождении координатной
плоскости, на которую пространственная интегральная кривая проецируется в замк-
нутую симметричную кривую. На двух других координатных плоскостях процесс
должен быть устойчив и может сопровождаться симметрией.
Перенесем начало координат в точку C . Введем новую систему координат. Оси Cx ,
Cy , Cz будут параллельны осям Ox , Oy , Oz ; система уравнений (1) запишется так:
2; ; ( ).
dx dy dz
xz y x b z m x
dt dt dt
Представим систему трех дифференциальных нелинейных уравнений в сле-
дующем виде:
/ ; / ; / ( ( )),dx dt xz y dy dt x dz dt b z m f x (14)
где ,m b – положительные параметры.
Будем предполагать, что функция ( )f x определена, непрерывна и удовлетворяет ус-
ловию единственности решений в каждой точке .x Предположим, что замкнутая траек-
тория лежит на поверхности и имеет определенный вид симметрии. Можно получить
плоскость, на которую траектория проецируется в замкнутую кривую. Замкнутая траек-
тория имеет определенные проекции на две другие плоскости. Последние две проекции
на координатные плоскости могут иметь симметрию, но не обязательно замыкание. Еще
одно предположение касается неустойчивости системы (14) в окрестности нуля. Посколь-
ку двумерные проекции доступны прогнозированию геометрической симметрии и устой-
чивости, то все приведенное выше можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема. Рассмотрим систему (14) при следующих предположениях.
1) Система (14) имеет неустойчивое решение в окрестности нуля.
2) Движение на плоскости xz системы (14) определяется системой
/ = ; / = ( ( )),dx dt xz dz dt b z m f x (15)
127
которая содержит два устойчивых симметричных положения равновесия. Тогда в
трехмерной системе (15) существует замкнутая интегральная кривая.
Доказательство. Движение на плоскости xy уравнений (14) определяется системой
/ ; / ,dx dt y dy dt x (16)
которая имеет симметричную замкнутую траекторию: особая точка центр, траектория
на плоскости имеет симметрию относительно осей , .x y Движение на плоскость yz
уравнений (14) определяется системой
/ 0; / .dy dt dz dt bz m (17)
Особая точка системы (17) имеет показатели характеристического уравнения
1 = 0, 2 = b . Пусть начальные условия системы (14) возбуждают образование
замкнутой симметричной траектории системы (16). Тогда возмущается система (15),
образовываются траектории, стремящейся к особым точкам с координатами 0( ,0)x .
Колебания системы (15) приобретает вид установившегося процесса, который харак-
теризуется интегральной кривой с симметрией в пространстве .x y z При этом проек-
ция системы (17) на плоскость y z этому установившемуся процессу не противодей-
ствует. Теорема доказана.
Рассмотрим движение траектории системы (14) на плоскости ,xz которая опреде-
ляется системой уравнений
2/ ; / ( ).dx dt xz dz dt b z m x (18)
Находим особые точки системы (18). Примем 0.z Система (18) имеет две осо-
бые точки, координаты которых , 0.x m z Особые точки 1 2( ,0), ( ,0)C m C m
имеют характеристические показатели 1,2 / 2(1 1 8 / )b m b . Возникновение
замкнутой траектории в системе (14) связано с начальным возмущением по перемен-
ной ,x которое вызывает возмущение переменной .y Так как все предполагаемые
условия теоремы удовлетворяются, то можно утверждать о существовании замкнутой
кривой в системе (14).
Применим метод сравнения для доказательства неустойчивости системы (1). Вве-
дем функции 2 2 2 2
1 2 3/ 2, / 2, / 2 / 2.V x V y V x z Производные функций
( 1, 2, 3)jV j в силу системы (1) допускают оценки
2 2 2 2 2 2 41 / 2 / 2 / 2 / 2,
dV
mx x z xy mx y x z x
dt
2 22 / 2 / 2,
dV
xy x y
dt
2 2 2 2 2 2 2 2 43 ( / 2) / 2 / 2 (1 )( ) / 2 (1 ) / 2.
dV
bx z mx x z xy bz m b x y b x z b x
dt
Здесь производные двух переменных заменены на сумму
2 4 2 2 2 2 4 2/ 2 / 2, / 2 / 2, / 2 / 2.bx z bx bz xy x y x z x z
Запишем систему сравнения
21
1 2 3 1= 2 2 ,
d
m
dt
2
1 2=
d
dt
; (19)
23
1 2 3 1= (2 ) (1 ) 2(1 ) .
d
m b b b
dt
128
При выполнении условия < 1b система сравнения (19) показывает, что траекто-
рия уходит от нуля. Зададим следующие значения параметров: ( , ) = (1; 0,2)m b .
Предлагаемая теорема о симметрии носит геометрический характер. Рассматрива-
ется механизм образования периодической трехмерной кривой с симметрией. При
анализе движений на координатных плоскостях основная составляющая – нахожде-
ние плоскости, на которой образуется симметричная по двум осям замкнутая кривая
(плоскость xy ). Две остальные координатные плоскости стабилизируют качествен-
ную картину и симметрию в случае устойчивости особых точек систем (15), (17).
На рис. 2,a изображено сечение предельного цикла генератора и граница области,
во внутрь которой втягивается цикл ( = 2,5; = 1,53; = 1,25K A B ) при значениях пара-
метров ( , ) = (1;0,2)m b . Начальное возмущение 0 = 2,5x . На рис. 2, б приведено на-
глядное изображение траектории предельного цикла.
а в
Рис.2
§5. Доказательство неустойчивости траектории генератора с экспонен-
циальной нелинейностью.
Установим неустойчивость траектории системы (3) с помощью метода сравнения.
Прежде напомним некоторые положения и теорему, согласно которой устанавливает-
ся данное качество. Метод сравнения включает составление уравнений сравнения
(уравнений вида Важевского), которые обладают свойством квазимонотонности. В
работах [3, 8] приведены основные источники и результаты устойчивости теории ус-
тойчивости монотонных систем.
Рассмотрим систему
1= ( , ..., ), = 1, ...,, ,j
j k
d
q j k
dt
(20)
при следующих предположениях.
1. Система (20) является системой Важевского, т.е. компоненты вектор-функции
( )q являются квазимонотонно возрастающими функциями. Для квазимонотонного
возрастания функции ( )q необходимо и достаточно выполнения условий
/ 0j iq при .j i
2. Правая часть системы (20) непрерывна и решение задачи Коши для любого
0
kR локально единственно.
Теорема о неустойчивости системы Важевского в конусе K (см. [3, 8]).
Если для системы Важевского выполняются предположения 1, 2 и существует
129
последовательность m K , 0,m при m такая, что для каждого m
выполняются неравенства
( ) 0, = 1,..., ,j mq j k (21)
причем, хотя бы для одного j неравенство (21) строгое и найдется окрестность
нуля V такая, что на множестве
m
K V векторное поле не равно нулю, тогда
нулевое решение системы (20) – неустойчиво в конусе.
Введем функции 2 2 2/ 2, / 2, / 2x y z Производные этих функций в силу системы
(3) допускают оценки
2 2 2 2 2 4= < ( 1/ 2) / 2 / 2 / 2
dx
x mx x z xy m x y z x
dt
;
2 2= / 2 / 2
dy
y xy x y
dt
; (22)
2 2 2 2= < ( 1) / 2 / 2( ) / 2.x xdz
z bz be z bz b z b e b
dt
В системе (22) произведения двух переменных 2 , , xx z xy e z заменены на сумму
квадратов, например, 2 4 2/ 2 / 2.x z x z Также представлены 2 2< ( ) / 2 /x xe z e z
2 2/2, < / 2 / 2.bz b z
Запишем систему
21
1 2 3 12( 1/ 2) 2
d
m
dt
; 2
1 2
d
dt
; (23)
2 2 23 1
3= ( 1) / 2( ) / 2.
d
b b e b
dt
Если в системе (23) справа – функции, которые удовлетворяют условиям теоремы
о неустойчивости, то система (3) – неустойчива.
§6. Доказательство существования области, во внутрь которой втягиваются
траектории генератора с экспоненциальной нелинейностью.
Введем переменную = ( )z Km b , где K положительное число. Представим
нелинейность в виде степенного ряда до квадратичного члена включительно
2= 1 / 2xe x x и запишем уравнения (3) так:
2= ( ) ; = ; = ( ) / 2.
dx dy d
mx x Km b y x b Km b bx bx
dt dt dt
(24)
Введем функцию
2 2
2
2 2
bx by
V
и определим полную производную функции V в силу системы (24)
2 2( ( 1) ) 2 2 ( ) 2 .
dV
b m K b x b b Km b bx
dt
(25)
В производную (25) не входят слагаемые с переменной y .
В равенстве (25) производные двух переменных 2x заменим на сумму квадра-
тов, так как 2x ≤ 2 2 ,x тогда производная функции допускает оценку
130
2 2( ( 1) 1 ) 2 ( ).
dV
b m K b x b b Km b
dt
(26)
Здесь правая часть неравенства (26) – непрерывная при x ≥0, ≥0 такая, что
уравнение сравнения
2 2( ( 1) 1 ) 2 ( )
d
b m K b x b b Km b
dt
(27)
имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию 0 0= ( , )x
для каждой точки из области определения.
Нетрудно показать, что траектории лежат внутри эллипса, определяемого уравне-
нием / = 0d dt . На основе уравнения (27) имеем
2 2( ( 1) 1 ) 2 ( ) = 0;m K b x Km b
2 2 2( ( 1) 1 ) ( ( )) = ( ) .m K b x Km b Km b
Уравнение эллипса имеет вид
2 2
2 2
( ( ))
1
x Km b
A B
;
( ( 1) 1 )
Km b
A B Km b
m K b
(28)
с центром в точке 0, ( )x Km b . Область, находящаяся внутри эллипса (28),
удерживает внутри себя траектории системы (3). Для этой области < 0d dt . Полу-
ченная область является приближенной в силу представления нелинейного члена сте-
пенным рядом. Система (3) описывает колебательный процесс в окрестности нуля и,
функция expx ограничена ( < < )x . Поэтому неустойчивая по Ляпунову траек-
тория не уходит на при начальном возмущении по x . Таким образом, доказано
существование области, в которую втягивается траектория системы (3). Эта область
определяет существование аттрактора.
а в
Рис. 3
Существование регулярного аттрактора в системе (3) не определяется теоре-
мой симметрии. Регулярный аттрактор может образовываться, если бифуркаци-
онный процесс порождает симметрию сепаратрис (рис.1, a , б). Можно полагать,
что слабая несимметрия в окрестности нуля еще позволяет траектории замк-
нуться. Параметр m в уравнении (2) определяет величину отрицательной дисси-
пации. Уменьшая величину параметра m в системе (3), можно получить замы-
131
кание траектории. При увеличении параметра отрицательной диссипации систе-
ма становится орбитально неустойчивой. Пусть при km m устанавливается ус-
тойчивый процесс и, как показывает эксперимент, существует замкнутая траек-
тория в системе (3). На рис. 3, a приведена траектория для значений параметров
( , ) = (0,7; 0,2).m b С увеличением параметра m изображающая точка замедляет
движение и траетория имеет кратное увеличение периода. Замедление движения
связано с бифуркационной картиной на плоскости xz (рис.1). На рис. 3, б при-
ведена граница приближенной области для параметров ( , ) = (0,92;0,2)m b и про-
екция аттрактора на плоскость xz. Таким образом, путь к странному аттрактору
идет через кратное увеличение периода.
О мультистабильности. Физическое явление мультистабильности связано
с несимметрией поля относительно оси z и состоит в следующем. Несиммет-
ричная функция, входящая в инерционный преобразователь, порождает несим-
метричное поле (рис. 1, a , б), которое формирует несимметричную притягиваю-
щую область. В одном случае рождаются предельные циклы (при сравнительно
слабой отрицательной диссипации). В другом случае – предельный цикл и
странный аттрактор (при сильной отрицательной диссипации). Приведем табли-
цу, из которой видно, что знаки и величины начальных возмущений ( 0x ) влияют
на характер аттрактора ( ( , ) = (1;0,2)m b ).
0x Установившийся режим движения
0,1 Странный аттрактор
–0,1 Предельный цикл
0,5 Предельный цикл
–0,5 Странный аттрактор
±1 Предельный цикл
±1,5 Предельный цикл
2,5 Странный аттрактор
–2,5 Предельный цикл
На рис. 4, a , б приведены предельный цикл и странный аттрактор, соот-
ветствующие данным таблицы. Здесь траектории регулярного и странного
аттракторов изображены на фоне сепаратрис, которые разделяют поле плос-
кости xz (рис. 1).
Таким образом, для > km m могут быть предельный цикл (рис. 4, a ) и странный
аттрактор (рис. 4, б), порожденный орбитальной неустойчивостью.
а б
Рис.4
132
В заключение отметим, что качественный анализ бифуркаций для трехмерных
систем может также описывать механизм возникновения сложных движений.
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто генератор з інерційною нелінійністю. Біфуркаційна картина
ілюструється на простих прикладах із застосуванням методу порівняння та функцій Ляпунова.
1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990. – 312 с.
2. Коблянский С.А., Шабунин А.В., Астахов В.В. Вынужденная синхронизация периодичне-
ских колебаний в системе с фазовой мультистабильностью // Нелинейная динамика.
– 2010. – 6, N 2. – С. 277 – 289.
3. Мартынюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского //
Дифференциальные уравнения. – 1980. – 16, N 8. – С. 1392 – 1407.
4. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий.
– К.: Феникс, 2012.– 235 с.
5. Anishchenko V.S., Astakhov S.V., Vadivasova T.E. Diagnostics of the Degree of Noise Influence
on a Nonlinear System Using relative Metric Entropy // Regular and Chaotic Dynamics.
– 2010, – 15, № 2 – 3. – Р. 263 – 276.
6. Krys’ko V.A., Yakovleva T.V., Dobriyan V.V., Papkova I.V. Chaotic Synchronization of Vibration of the
Multilayer Mechanical Systems // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 410 – 420.
7. Leonov G.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. – St. Peterburg: University Press,
2008. – 160 p.
8. Martynyuk A.A. Asymptotic Stability Criterion for Nonlinear Monotonic Systems and Its Applications
(Review) // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 5. – P. 475 – 534.
9. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcation Processes Periodically Perturbed Systems // Int. Appl. Mech.
– 2013. – 49, N 1. – P. 103 – 113.
10. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On Stability and Bifurcations in a Model of Earth Magnetic
// Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 510 – 520.
11. Neimark, Yu.I., Landa, P.S. Stochastic and Chaotic Oscillations. – Dordrecht: Kluwer, 1992. – 424 p.
12. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dy-
namics. Part I. – World Scientific, 1998. – 416 с.
13.Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dy-
namics. Part II. –World Scientific, 2001. – 592 p.
Поступила 21.11.2012 Утверждена в печать 30.09.2014
|