Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами
Исследованы условия образования и основные характеристики локальных колебаний (ЛК), обусловленных наличием легких примесей Al, Mg и Mn в объеме и на плотноупакованной поверхности [111] ГЦК кристаллической решетки серебра. Проанализировано влияние на изучаемые величины шероховатости поверхности. П...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116816 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами / И.А. Господарев, А.В. Котляр, Е.В. Манжелий, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 2. — С. 197–207. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116816 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1168162017-05-17T03:03:39Z Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами Господарев, И.А. Котляр, А.В. Манжелий, Е.В. Феодосьев, С.Б. Динамика кристаллической решетки Исследованы условия образования и основные характеристики локальных колебаний (ЛК), обусловленных наличием легких примесей Al, Mg и Mn в объеме и на плотноупакованной поверхности [111] ГЦК кристаллической решетки серебра. Проанализировано влияние на изучаемые величины шероховатости поверхности. Получены аналитические аппроксимации для частоты и интенсивности ЛК на примесном атоме и ближайшем окружении, описывающие эти величины с высокой точностью. Предложенные аналитические аппроксимации дают реальную возможность определения параметров дефектной структуры и межатомных взаимодействий по экспериментально определяемым характеристикам локальных колебаний. Досліджено умови утворення та основні характеристики локальних коливань (ЛК), що обумовлені наявністю легких домішків Al, Mg та Mn в об’ємі й на щільноупакованій поверхні [111] ГЦК кристал ічної гратки срібла. Проаналізовано вплив шорсткості поверхні на величини, що вивчаються. Отримано аналітичні апроксимації для частоти та iнтенсивностi ЛК на домішковому атомі та найближчому оточенні, які описують ці величини з високою точністю. Запропоновані аналiтичнi апроксимац ії надають реальну можливість визначення параметрів дефектної структури й міжатомних взаємодій по експериментально визначаємим характеристикам локальних коливань. The conditions of initiation and the basic characteristics of local vibrations (LVs) are investigated for the silver crystal lattice with light Al, Mg and Mn impurities. The case where the impurities are located in the bull or on the closely packed [111] surface of the FCC crystal lattice is considered. The influence of surface roughness on the quantities under consideration is analyzed. Analytical approximations for frequency and intensity of LVs on an impurity atom and its nearest neighbors are obtained. These characteristics of LVs are described by the approximations with high accuracy. It is shown that the analytical approximations proposed allow one to deduce the parameters of defect structure and interatomic interactions from the characteristics of LVs determined in experiments. 2008 Article Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами / И.А. Господарев, А.В. Котляр, Е.В. Манжелий, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 2. — С. 197–207. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.–e;63.20.Mt;63.20.Pw http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116816 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Господарев, И.А. Котляр, А.В. Манжелий, Е.В. Феодосьев, С.Б. Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами Физика низких температур |
| description |
Исследованы условия образования и основные характеристики локальных колебаний (ЛК), обусловленных
наличием легких примесей Al, Mg и Mn в объеме и на плотноупакованной поверхности
[111] ГЦК кристаллической решетки серебра. Проанализировано влияние на изучаемые величины шероховатости
поверхности. Получены аналитические аппроксимации для частоты и интенсивности ЛК
на примесном атоме и ближайшем окружении, описывающие эти величины с высокой точностью.
Предложенные аналитические аппроксимации дают реальную возможность определения параметров
дефектной структуры и межатомных взаимодействий по экспериментально определяемым характеристикам
локальных колебаний. |
| format |
Article |
| author |
Господарев, И.А. Котляр, А.В. Манжелий, Е.В. Феодосьев, С.Б. |
| author_facet |
Господарев, И.А. Котляр, А.В. Манжелий, Е.В. Феодосьев, С.Б. |
| author_sort |
Господарев, И.А. |
| title |
Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| title_short |
Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| title_full |
Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| title_fullStr |
Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| title_full_unstemmed |
Локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| title_sort |
локальные колебания в реальных кристаллах с комбинированными дефектами |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116816 |
| citation_txt |
Локальные колебания в реальных кристаллах с
комбинированными дефектами / И.А. Господарев, А.В. Котляр, Е.В. Манжелий, С.Б. Феодосьев
// Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 2. — С. 197–207. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT gospodarevia lokalʹnyekolebaniâvrealʹnyhkristallahskombinirovannymidefektami AT kotlârav lokalʹnyekolebaniâvrealʹnyhkristallahskombinirovannymidefektami AT manželijev lokalʹnyekolebaniâvrealʹnyhkristallahskombinirovannymidefektami AT feodosʹevsb lokalʹnyekolebaniâvrealʹnyhkristallahskombinirovannymidefektami |
| first_indexed |
2025-07-08T11:05:15Z |
| last_indexed |
2025-07-08T11:05:15Z |
| _version_ |
1837076543014174720 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2, ñ. 197–207
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ
êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: gospodarev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 12 íîÿáðÿ 2007 ã.
Èññëåäîâàíû óñëîâèÿ îáðàçîâàíèÿ è îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé (ËÊ), îáó-
ñëîâëåííûõ íàëè÷èåì ëåãêèõ ïðèìåñåé Al, Mg è Mn â îáúåìå è íà ïëîòíîóïàêîâàííîé ïîâåðõíîñòè
[ ]111 ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñåðåáðà. Ïðîàíàëèçèðîâàíî âëèÿíèå íà èçó÷àåìûå âåëè÷èíû øå-
ðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè äëÿ ÷àñòîòû è èíòåíñèâíîñòè ËÊ
íà ïðèìåñíîì àòîìå è áëèæàéøåì îêðóæåíèè, îïèñûâàþùèå ýòè âåëè÷èíû ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
Ïðåäëîæåííûå àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè äàþò ðåàëüíóþ âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ
äåôåêòíîé ñòðóêòóðû è ìåæàòîìíûõ âçàèìîäåéñòâèé ïî ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëÿåìûì õàðàêòå-
ðèñòèêàì ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé.
Äîñë³äæåíî óìîâè óòâîðåííÿ òà îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíèõ êîëèâàíü (ËÊ), ùî îáóìîâëåí³
íàÿâí³ñòþ ëåãêèõ äîì³øê³â Al, Mg òà Mn â îá’ºì³ é íà ù³ëüíîóïàêîâàí³é ïîâåðõí³ [ ]111 ÃÖÊ êðèñ-
òàë³÷íî¿ ãðàòêè ñð³áëà. Ïðîàíàë³çîâàíî âïëèâ øîðñòêîñò³ ïîâåðõí³ íà âåëè÷èíè, ùî âèâ÷àþòüñÿ.
Îòðèìàíî àíàë³òè÷í³ àïðîêñèìàö³¿ äëÿ ÷àñòîòè òà iíòåíñèâíîñòi ËÊ íà äîì³øêîâîìó àòîì³ òà íàé-
áëèæ÷îìó îòî÷åíí³, ÿê³ îïèñóþòü ö³ âåëè÷èíè ç âèñîêîþ òî÷í³ñòþ. Çàïðîïîíîâàí³ àíàëiòè÷íi àïðîê-
ñèìàö³¿ íàäàþòü ðåàëüíó ìîæëèâ³ñòü âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â äåôåêòíî¿ ñòðóêòóðè é ì³æàòîìíèõ
âçàºìîä³é ïî åêñïåðèìåíòàëüíî âèçíà÷àºìèì õàðàêòåðèñòèêàì ëîêàëüíèõ êîëèâàíü.
PACS: 63.20–e Ôîíîíû â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ;
63.20.Mt Âçàèìîäåéñòâèå ôîíîíîâ ñ äåôåêòàìè;
63.20.Pw Ëîêàëèçîâàííûå ìîäû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôîíîí, ëîêàëüíîå êîëåáàíèå, ôóíêöèÿ Ãðèíà, ÿêîáèåâà ìàòðèöà.
Ââåäåíèå
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
äèñêðåòíûå êîëåáàòåëüíûå óðîâíè çà ïðåäåëàìè ïîëî-
ñû êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà êðèñòàëëà ñ ëåãêèìè
èëè ñèëüíî ñâÿçàííûìè ïðèìåñíûìè àòîìàìè, èçâåñ-
òíû óæå áîëåå øåñòèäåñÿòè ëåò [1–3]. Àìïëèòóäû òà-
êèõ êîëåáàíèé áûñòðî óáûâàþò ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò
äåôåêòà. Íà ðàññòîÿíèÿõ îò ïðèìåñíîãî àòîìà, ñóùåñò-
âåííî ïðåâûøàþùèõ õàðàêòåðíûé ðàäèóñ ìåæàòîì-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ðåøåòêå, ýòî óáûâàíèå ìîæíî
ñ÷èòàòü ýêñïîíåíöèàëüíûì. Çà ïðîøåäøèå ãîäû ËÊ èç-
ó÷àëè êàê òåîðåòè÷åñêè, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíî (ñì.,
íàïðèìåð, [1–15]). Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ýòîé îá-
ëàñòè èññëåäîâàíèé, èçëîæåíû â ìîíîãðàôèÿõ ïî äèíà-
ìèêå êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè [16–20] è äð.
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ õîðîøî îïðåäåëÿþòñÿ, êàê ðå-
çîíàíñíûå óðîâíè, îïòè÷åñêèìè ìåòîäàìè, ìåòîäîì
ìèêðîêîíòàêòíîé ñïåêòðîñêîïèè, à òàêæå â ýêñïåðèìåí-
òàõ ïî ðàññåÿíèþ íåéòðîíîâ, ÿäåð ãåëèÿ è äð. Îäíàêî
îíè ïðàêòè÷åñêè íå èñïîëüçóþòñÿ êàê èñòî÷íèê èíôîð-
ìàöèè î äåôåêòíîé ñòðóêòóðå è ñèëîâûõ âçàèìîäåé-
ñòâèÿõ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ, õîòÿ òàêàÿ èíôîðìàöèÿ
ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç àíàëèçà îñíîâíûõ õàðàêòåðèñ-
òèê ËÊ. Îäíîé èç îñíîâíûõ ïðè÷èí ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òðóä-
íîñòü ýôôåêòèâíîãî ñîïîñòàâëåíèÿ òåîðèè ñ ýêñïå-
ðèìåíòîì. Ðàñ÷åò ÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé, à òàêæå
èññëåäîâàíèå óñëîâèé îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðà çàòóõà-
íèÿ ËÊ âáëèçè äåôåêòà òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè ñâÿ-
çàíû ñ áîëüøèìè âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïîý-
òîìó òàêèå ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ëèáî äëÿ ïðåäåëüíî
óïðîùåííûõ ìîäåëåé, êîòîðûå òîëüêî êà÷åñòâåííî îïè-
© È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, 2008
ñûâàþò ËÊ â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ, ëèáî íà îñíîâå ÷èñ-
ëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå êîëè÷åñò-
âåííîå ñðàâíåíèå ñ ýêñïåðèìåíòîì âîçìîæíî, íî àíàëèç
õàðàêòåðèñòèê ËÊ ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î
ìåæàòîìíîì âçàèìîäåéñòâèè è äåôåêòíîé ñòðóêòóðå ðå-
øåòêè ÿâëÿåòñÿ êðàéíå çàòðóäíåííûì.
Ïðîãðåññ â îïèñàíèè ËÊ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè
ñâÿçàí ñ ðàçâèòèåì ìåòîäà ÿêîáèåâûõ ìàòðèö (èëè
� -ìàòðèö) [21–23] (ñì. òàêæå [24]). Ñ åãî ïîìîùüþ
áûëà ïîêàçàíà áûñòðàÿ ñõîäèìîñòü ëîêàëüíûõ ÷àñòîò
â áàçèñå, ïðèíÿòîì â äàííîì ìåòîäå, è ïðåäëîæåí ïðî-
ñòîé ÷èñëåííûé àëãîðèòì èõ âû÷èñëåíèÿ [25]. Ìåòîä
ÿêîáèåâûõ ìàòðèö îòêðûë âîçìîæíîñòè äëÿ ðàñ÷åòîâ
õàðàêòåðèñòèê ËÊ, îáóñëîâëåííûõ êîìáèíèðîâàííû-
ìè äåôåêòàìè.  [26] âïåðâûå áûë ïðîâåäåí ÷èñëåí-
íûé àíàëèç âëèÿíèÿ ïîâåðõíîñòè íà ËÊ, îáóñëîâ-
ëåííûõ òî÷å÷íûì äåôåêòîì. Îäíàêî äëÿ ïîëó÷åíèÿ
èíôîðìàöèè î ïàðàìåòðàõ äåôåêòà è îñíîâíîé ðåøåò-
êè èç ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðÿåìûõ õàðàêòåðèñòèê
ËÊ êðàéíå æåëàòåëüíî èìåòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæå-
íèÿ, ñâÿçûâàþùèå äàííûå õàðàêòåðèñòèêè ñ èñêîìû-
ìè ïàðàìåòðàìè. Òàêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòîò, ëåæà-
ùèõ âíå ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà, áûëè ïîëó÷åíû â
[27]. Àíàëèòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ [27] îñíîâàíà íà
áûñòðîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèé Ãðèíà â áàçèñå, ïðèíÿ-
òîì â ìåòîäå ÿêîáèåâûõ ìàòðèö, äëÿ ÷àñòîò, ëåæàùèõ
çà ïðåäåëàìè êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ËÊ,
îáóñëîâëåííûõ íàëè÷èåì êîìáèíèðîâàííîãî äåôåêòà
«ïðèìåñü + ïîâåðõíîñòü îáðàçöà», à òàêæå èçó÷åíèþ
âëèÿíèÿ øåðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè íà ýòè õàðàêòå-
ðèñòèêè. Ðàñ÷åòû âûïîëíåíû íà îñíîâå àíàëèòè÷åñ-
êîãî ïîäõîäà [27]. Ïîêàçàíî, ÷òî èçìåðåíèÿ õàðàêòå-
ðèñòèê ËÊ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ
èíôîðìàöèè î ñèëîâûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ â êðèñòàë-
ëàõ ñ ïðèìåñüþ.
Àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå õàðàêòåðèñòèê
ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé
Àíàëèòè÷åñêèé ïîäõîä [27], ïðèìåíÿåìûé íàìè
äëÿ îïèñàíèÿ ÷àñòîò è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ËÊ, èñ-
ïîëüçóåò áàçèñ, ïðèíÿòûé â ìåòîäå � -ìàòðèö [21–24].
Äàííûé áàçèñ {
�
hn n} �
�
0 ïîëó÷àåòñÿ îðòîíîðìàëèçàöèåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{ � } , � , � , , � , ,� � � �
n
n
nh h h h h
� � � �
�
�
�0 0 0 0
2
0 0�
� � (1)
ãäå � �( , ) � ( , ( ) ( )� �� � � � �r r r r r r� � / m m — îïåðàòîð, îïè-
ñûâàþùèé êîëåáàíèÿ ðåøåòêè, � ( ,� �r r� — ìàòðèöà ñèëî-
âûõ ïîñòîÿííûõ [16–20], îïèñûâàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèå
àòîìîâ â ïîëîæåíèÿõ r è �r , m( )r è m( )�r — ìàññû ýòèõ
àòîìîâ. Óðàâíåíèå êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê ( � � ) ,� �� �� 2 0
�
ãäå � — ñîá-
ñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé, �� — åäèíè÷íûé îïåðàòîð.
Îïåðàòîð �� äåéñòâóåò â 3N -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñìå-
ùåíèé àòîìîâ ðåøåòêè H (N — ÷èñëî àòîìîâ â ñèñòåìå).
Âåêòîðû ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, íàïðèìåð, ñîáñòâåííûé
âåêòîð
�
H èëè áàçèñíûå âåêòîðû
�
h Hn
(áóäåì îá-
îçíà÷àòü ñòðåëî÷êîé íàä ñèìâîëîì â îòëè÷èå îò îáû÷-
íûõ òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå òðàäèöèîííî áóäåì
âûäåëÿòü æèðíûì øðèôòîì).
Áûñòðàÿ ñõîäèìîñòü â áàçèñå { }
�
hn n�
�
0 ôóíêöèè Ãðè-
íà äëÿ êàêîãî-ëèáî ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà ñâèäåòåëüñ-
òâóåò î ëîêàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåáàíèé.
Áàçèñ { }
�
hn n�
�
0 îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ïîðîæäàþùåãî
âåêòîðà
�
h0 è âûäåëÿåò èç ïðîñòðàíñòâà ñìåùåíèé H íåêî-
òîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî H
h( )
�
0 , èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëü-
íî îïåðàòîðà ��, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé,
íàòÿíóòîé íà áàçèñ { }
�
hn n�
�
0. Åñëè ïîðîæäàþùèå âåêòîðû
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóï-
ïû ñèììåòðèè ñèñòåìû, òî ïîðîæäåííûå èìè ïîäïðîñ-
òðàíñòâà áóäóò îðòîãîíàëüíûìè è â êàæäîì èç íèõ ìîæåò
âîçíèêíóòü òîëüêî îäíî ËÊ. Îïåðàòîð, èíäóöèðóåìûé
îïåðàòîðîì �� â êàæäîì èç òàêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, â áàçè-
ñå { }
�
hn n�
�
0 çàïèñûâàåòñÿ â ôîðìå òðåõäèàãîíàëüíîé
� -ìàòðèöû �� �� �mn an mn� � bn m n m n( ), ,� �� ��1 1 , îá-
ëàäàþùåé ïðîñòûì ñïåêòðîì. Íåâûðîæäåííîñòü ñïåêòðà
îïåðàòîðîâ, èíäóöèðîâàííûõ îïåðàòîðîì �� â êàæäîì èç
ïîäïðîñòðàíñòâ H
h( )
�
0 , ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äëÿ ëîêàëü-
íûõ ôóíêöèé Ãðèíà (ËÔÃ) ñèñòåìû �( )�2 äîñòàòî÷íî
ïðîñòûå àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè. Äðóãèìè ñëî-
âàìè, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû �00
2( )� îïåðàòîðà �( )� �2 �
� � �( � �)�2 1
� � ìîãóò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíû àíàëèòè-
÷åñêîé ôóíêöèåé [23,24] (ñì. òàêæå [27]). Åñëè ïîëîñà
êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà îäíîñâÿçíà — � �
[ ; ]0 m ,
äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ an è bn ñïðàâåäëèâû ïðåäåëü-
íûå ñîîòíîøåíèÿ:
lim lim
n
n
n
n
ma b
�
�
� �2
2
2�
, (2)
÷òî, â ÷àñòíîñòè, îáåñïå÷èâàåò íàëè÷èå êîðíåâûõ îñî-
áåííîñòåé íà êðàÿõ êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ó
ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé. Àíàëèòè÷åñêàÿ àïïðîêñè-
ìàöèÿ íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó ñïåêòðàëüíîé ïëîò-
íîñòè � � � �( ) Im ( )2 1 2� �
� ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòî
ïðèìåíÿåìîå â ïðèáëèæåííûõ ðàñ÷åòàõ òàê íàçûâàå-
ìîå «ðåãóëÿðíîå» èëè «ýëëèïòè÷åñêîå» ðàñïðåäåëå-
íèå êâàäðàòîâ ÷àñòîò (ñì., íàïðèìåð, [19]), ìîäóëèðî-
âàííîå íåêîòîðûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè 2n.
Àíàëèòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ âåùåñòâåííîé è ìíè-
ìîé ÷àñòåé ôóíêöèè Ãðèíà íå ìîæåò áûòü òî÷íîé â ïîëî-
ñå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, ãäå íè åå âåùåñòâåííàÿ, íè åå
ìíèìàÿ ÷àñòè àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ.
Îäíàêî çà ïðåäåëàìè ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà ËÔÃ —
àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ c ðîñòîì n
î÷åíü áûñòðî. Àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè äëÿ n �1
( ( )( )� 1
2� ) è áîëüøèõ n ( ( )( )� n��1
2� ), êàê áûëî ïîêàçàíî
â [27], ñîâïàäàþò ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.  ñëåäóþùåì
198 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
ðàçäåëå äàííîé ðàáîòû ýòî áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà
ïðèìåðå ËÔÃ àòîìîâ ñåðåáðà, íàõîäÿùèõñÿ êàê â îáúåìå,
òàê è íà ïîâåðõíîñòè îáðàçöà. Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ ËÔÃ
� ( )( )1
2� ìîæíî âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíî îïèñàòü õà-
ðàêòåðèñòèêè ËÊ. Èõ ÷àñòîòû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâ-
íåíèÿ Ëèôøèöà [1–4,6], êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëå-
íî â âèäå
� � �( ) ( ) ( , � ); .( )� � � � �2
1
2 2� � �� m
(3)
Ôóíêöèÿ �( , � )�2 � îïèñûâàåò âëèÿíèå äåôåêòà è çà-
âèñèò îò õàðàêòåðèçóþùèõ åãî ïàðàìåòðîâ îïåðàòîðà
âîçìóùåíèÿ ��.  ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ðåãóëÿðíîãî
âîçìóùåíèÿ [1–4,6] äëÿ ýòîé ôóíêöèè âñåãäà ìîæíî
ïîëó÷èòü òî÷íîå âûðàæåíèå. Òàê äëÿ èçîòîïè÷åñêîé
ïðèìåñè çàìåùåíèÿ
� �( , � ) ( , )� � �
� �
2 2
2
1
� � � � ,
(4)
ãäå � � �( ~ )m m /m — äåôåêò ìàññû ïðèìåñè, ~m — ìàññà
ïðèìåñè, m — ìàññà àòîìà îñíîâíîé ðåøåòêè. Çàìå-
òèì, ÷òî äëÿ ïåðâûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ � -ìàòðè-
öû a0 è b0, à ñëåäîâàòåëüíî, è äëÿ ôóíêöèè � ( )( )1 �
ïðàêòè÷åñêè âñåãäà íåñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñ-
êèå âûðàæåíèÿ.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ êîíñòðóêòèâíîé àëüòåðíàòèâîé
ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà ìîæåò áûòü íåïîñðåä-
ñòâåííîå íàõîæäåíèå ïîëþñîâ ËÔÃ âîçìóùåííîé ñèñ-
òåìû
~
( ) ( , [ � � � ] )� � �� �2
0
2
0
1
0� � � �� �
h h� ñ èñïîëüçîâàíè-
åì � -ìàòðèöû âîçìóùåííîãî îïåðàòîðà � � �� �� �0 �.
Ýòîò ñïîñîá ïðèãîäåí òàêæå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëîêàëü-
íûõ êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííûõ íåâûðîæäåííûì îïåðà-
òîðîì âîçìóùåíèÿ. Åñëè òàêîå âîçìóùåíèå íå ìåíÿåò
øèðèíó ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà è, ñîîòâåòñòâåííî,
ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé � -ìàòðèöû, òî îíî ìîæåò ñ÷è-
òàòüñÿ «àñèìïòîòè÷åñêè âûðîæäåííûì».
Ïîëþñû ôóíêöèè Ãðèíà �d
2 îïðåäåëÿþò äèñêðåò-
íûå ÷àñòîòû, â ÷àñòíîñòè ëîêàëüíûå ÷àñòîòû �l , a
âû÷åòû â ýòèõ ïîëþñàõ � �� �0 00
2( )
( )
d
d
� �res' � — èí-
òåíñèâíîñòè, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò âåëè÷èíó àìï-
ëèòóäû êîëåáàíèé íà äèñêðåòíûõ ÷àñòîòàõ â ïîäïðîñ-
òðàíñòâå îïðåäåëåííîì âåêòîðîì
�
h0. Òåìïåðàòóðíàÿ
çàâèñèìîñòü ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ñìåùåíèÿ ïðèìåñ-
íîãî àòîìà �~ ( )u Ti
2 èìååò âèä
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� ��~ ( ) ~
( )
( )
u T
m
z
z
z
kT
dzi
l
l
m
2
0
0
2 2
2
� �� �
�
�
cth cth
��l
kT2
�
�
�
�
�
�
�
!
!
!
"
#
$
$
$
.
(5)
 [27] ïîêàçàíî, ÷òî êâàäðàò ÷àñòîòû ëîêàëüíîãî êî-
ëåáàíèÿ ðàâåí:
� % &
�
& %
& % &
% &
&l
m2
2 2
4 1
2
1
( , )
( )
—
( )
�
�
� � �
�
�
'
(
)
*)
+
,
)
-)
, (6)
ãäå ïàðàìåòðû %è & õàðàêòåðèçóþò îòêëîíåíèå ìàòðè÷-
íûõ ýëåìåíòîâ a0 è b0 îò ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé (2):
a bm m
0
2
0
2
2
1
4 1
1� � �
�
� ��
�
%
�
&
% &( ); ; , [ , ). (7)
Ëîêàëüíîå êîëåáàíèå ñóùåñòâóåò ïðè
&
%
. �
� ��
'
(
)
*)
3
4
1
;
[ , );
&
% % &
&
&
� �
. � �
�
�
'
(
))
*
)
)
/
3
4
1 2
3 4
;
( ) .
(8)
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ (8) è ËÊ ñóùåñòâóåò, òî åãî èíòåí-
ñèâíîñòü èìååò âèä
�
% & &
% &
&
& &
% &
&
0
2
2
1 2
1
2
1
�
� � � �
�
�
� �
�
�
( )
( )
( )
. (9)
Ïîäñòàíîâêà (6) â óðàâíåíèå Ëèôøèöà (3) ïîêàçûâàåò,
÷òî � % &l ( , ) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé (8).
Îïðåäåëèâ ôóíêöèè % �( ) è & �( ) äëÿ êîíêðåòíûõ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóð ñ ðàçëè÷íûìè äåôåêòíûìè
êîíôèãóðàöèÿìè è ïîäñòàâèâ èõ â (6),(8) è (9), ìîæíî
ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòè óñëîâèé îáðàçîâàíèÿ è äèíà-
ìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé îò ïà-
ðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ äåôåêò èëè êîíôèãóðà-
öèþ äåôåêòîâ.
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå ïðèìåñüþ
çàìåùåíèÿ, íàõîäÿùåéñÿ â îáúåìå è âáëèçè
àòîìíî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
Ïðè îïèñàíèè ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ÃÖÊ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ, òà-
êèõ êàê Ag, Cu, Al, è îòâåðäåâøèõ èíåðòíûõ ãàçîâ Ar,
Kr, Xe, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì âçàèìî-
äåéñòâèÿ áëèæàéøèõ ñîñåäåé [19,28]. Ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ìàòðèöû ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ èìåþò âèä [29]:
� ik
a a
r r, ; ;� �
!
"
#$
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2 2
0
0
0
0 0
0 1
1 0
2
. (10)
Äëÿ îñòàëüíûõ áëèæàéøèõ ñîñåäåé, êîîðäèíàòû êîòî-
ðûõ çàäàþòñÿ âåêòîðîì � 3 0, ìàòðèöû ñèëîâûõ ïî-
ñòîÿííûõ � ik ( , )r r �� ïîëó÷àþòñÿ èç (10) ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé ñèììåòðèè òî÷å÷íîé ãðóïïû Oh . Èç óñëîâèÿ
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2 199
òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ìàòðè-
öà ñàìîäåéñòâèÿ èìååò âèä
� �ik ik ik( , ) ( , ) ( ) .r r r r� � � � �4
�
� 8 40 2 � (11)
Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî îáðàçöà èäåàëüíîãî êðèñòàë-
ëà ËÔÃ îáúåìíûõ àòîìîâ îäèíàêîâû äëÿ âñåõ íàïðàâëå-
íèé ñìåùåíèÿ è ñîâïàäàþò ñ ïîëíîé ôóíêöèåé Ãðèíà
� �( )
( ) ( )( ) lim ( ) ( , � )n
N
i
n
i
n
i
n
N
N h h�2 1
1
3
0
1
3�
�
�
� �
�
4 4
� �
.
Êàê âèäíî íà ðèñ. 1, âåùåñòâåííûå ÷àñòè ôóíêöèè
Ãðèíà � �( ) ( )( ) ( )n n� � �� 2 2 è ñîîòâåòñòâóþùèå ñïåê-
òðàëüíûå ïëîòíîñòè 5 � � �( ) Im ( )� �1
� ÃÖÊ êðèñòàë-
ëè÷åñêîé ðåøåòêè ñåðåáðà äëÿ n �1 è n � 76 çàìåòíî îò-
ëè÷àþòñÿ ïðè� �
[ , ]0 m . Íî ïðè� �� m, çà èñêëþ÷åíèåì
î÷åíü óçêîé îáëàñòè âáëèçè ãðàíèö ïîëîñû íåïðå-
ðûâíîãî ñïåêòðà, êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå âåùåñò-
âåííîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãðèíà, ïðàêòè÷åñêè ñëèâàþòñÿ.
Ñèëîâûå ïîñòîÿííûå Ag áûëè îïðåäåëåíû â [30]:0 �
�1 3432, ,2 � �0 2994, è 1 �1 5162, (10 5 äèí/ñì).
Íà ýòîì æå ðèñóíêå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ãðàôè÷åñ-
êîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà (3) äëÿ ñëó÷àåâ
ëåãêèõ èçîëèðîâàííûõ ïðèìåñåé çàìåùåíèÿ Al, Mg è
Mn â ñåðåáðå. Òàêèå ïðèìåñè ñ âåñüìà âûñîêîé òî÷-
íîñòüþ ìîæíî ñ÷èòàòü èçîòîïè÷åñêèìè. Ïàðàìåòðîì,
õàðàêòåðèçóþùèì «îòêëîíåíèå îò èçîòîïè÷íîñòè»,
ìîæåò ñëóæèòü îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà ïðè-
ìåñüþ çàìåùåíèÿ, ðàâíîå –0,09 äëÿ Al, 0,07 äëÿ Mg è
0,001 äëÿ Mn â Ag [19]. Êðèâûå 3–5 íà ýòîì ðèñóíêå
ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèè �( , ) ( )� � ��� �2 / . Äëÿ Al
� � �0 7499, (êðèâàÿ 3), äëÿ Mg � � �0 7747, (êðèâàÿ 4) è
äëÿ Mn � � �0 4907, (êðèâàÿ 5). Âåëè÷èíû ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ëîêàëüíûõ ÷àñòîò �, ïðè êîòîðûõ ýòè êðèâûå
ïåðåñåêàþò êðèâûå � ( )( )76 � è � ( )( )1 � , ñîâïàäàþò ñ òî÷-
íîñòüþ äî âåëè÷èí ~ �10 4 .  ïðèíÿòîì íàìè «èçîòîïè÷åñ-
êîì ïðèáëèæåíèè» óêàçàííûå âûøå ïðèìåñè â Ag ïî-
ðîæäàþò ËÊ ñ ÷àñòîòàìè: Al — � ��
l
7 7518, ÒÃö; Mg —
� ��
l
8 1172, ÒÃö; Mn — � ��
l
5 8986, ÒÃö (çäåñü � ��
� � 6�/ ).
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îòêëîíåíèÿ îò èçîòîïè÷íîñòè
ïðèìåñè â îñíîâíîé ðåøåòêå ìîæíî óòî÷íèòü êîí-
ñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèìåñè è ðåøåòêè, èñïîëü-
çóÿ ÷àñòîòû è èíòåíñèâíîñòè ËÊ, âûðàæåííûå ñ ïî-
ìîùüþ (6) è (9), â êîòîðûõ ïîëîæèòü
% � 0 2 1
� 1 �
0 2
& � 0 2 1
( , ~,
~
, ~)
~( )
~ ~ ;
( , ~,
~
, ~)
(
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
4 ~ ~)
~
( ~ ~ ~
) [ ( ~ ~)
~
]
[ ( ~ ~
0 1 2 0 1 2 � 0 1 2
0 1
� � � � � � �
�
2 2
2 2
4 4 3 2
4 2 )
~
]
,
�
'
(
)
)
*
)
) 2 2
(12)
ãäå ñèëîâûå êîíñòàíòû ñ òèëüäàìè îïèñûâàþò âçàè-
ìîäåéñòâèå ïðèìåñè ñ àòîìàìè îñíîâíîé ðåøåòêè.
Ïîäñòàíîâêà (12) â (6) è (9) ïðèâîäèò ê âåñüìà ãðî-
ìîçäêèì âûðàæåíèÿì, êîòîðûå çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ.
Ðàññìîòðèì â ÃÖÊ êðèñòàëëå ñåðåáðà ïîâåðõíîñòü
[111], êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ñ ïëîòíîé óïàêîâ-
êîé.  ýòîì ñëó÷àå èçìåíåíèåì ñèëîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó ñàìèìè ïîâåðõíîñòíûìè àòîìàìè ìîæíî ïðåíåá-
ðå÷ü. Íàïðÿæåííîñòü êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, êîòîðàÿ
ïðè âçàèìîäåéñòâèè áëèæàéøèõ ñîñåäåé ìîæåò áûòü
îõàðàêòåðèçîâàíà âåëè÷èíàìè îòíîøåíèé 70 1� 1� / è 2 1/ ,
äëÿ Ag íåâåëèêà, ÷òî îáóñëîâèëî âûáîð ýòîãî êðèñòàëëà
äëÿ íàøèõ èññëåäîâàíèé. Ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ ìîæ-
íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðåëàêñàöèÿ íàïðÿæåííîñòè ïðîèñ-
õîäèò íà ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðå ïîâåðõíîñòíûõ
àòîìîâ, è ñ÷èòàòü âçàèìîäåéñòâèå ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ
(S) ñ àòîìàìè ïîäïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ (US) öåíòðàëüíûì
�
8 8
8
ik
S S S US i
US
k
US
US
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( , )
| |
r r � � 9� 0 0 2
,
à èçìåíåíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó îñòàëüíûìè àòî-
ìàìè ïðåíåáðå÷ü.
Ëîêàëüíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè è âåùåñòâåííûå
÷àñòè ËÔà ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ äëÿ ñìåùåíèé âäîëü è
200 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
6 8
–0,5
0,5
1,0
MgAlMn
5
2'
2
1
5,
R
e
G
2 4
'1
3, 4
2,2'
Ðèñ. 1. Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè (êðèâûå 1 è �1 ), âåùåñòâåí-
íûå ÷àñòè ôóíêöèé Ãðèíà ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñå-
ðåáðà (êðèâûå 2 è �2 ). Ñïëîøíûå êðèâûå 1 è 2 ñîîòâåòñòâóþò
n � 76, à øòðèõîâûå ëèíèè �1 è �2 — n �1. Ïîêàçàíî ãðàôè÷åñ-
êîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà äëÿ ËÊ, îáóñëîâëåííîãî
ëåãêèìè èçîòîïè÷åñêèìè ïðèìåñÿìè: ôóíêöèÿ �( , )�� äëÿ Al
(êðèâàÿ 3), äëÿ Mg (êðèâàÿ 4) è äëÿ Mn (êðèâàÿ 5).
íîðìàëüíî ê ïîâåðõíîñòè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2, ãäå èñ-
ïîëüçîâàíû òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òî è íà ðèñ. 1. Çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà 0 0
51 0 10� 9, è 18 10 5, 9 äèí/cì, ÷òî ïðèáëè-
çèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì äàííîãî
ïàðàìåòðà. Ñäåëàííîå âûøå ïðèáëèæåíèå î ïîëíîé ðåëàê-
ñàöèè íàïðÿæåíèé íà ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðå
ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â ðàññìîò-
ðåííîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé 0 0. Âáëèçè ÷àñòîò ËÊ, îá-
óñëîâëåííûõ ïðèìåñÿìè Al è Mg, âåùåñòâåííûå ÷àñòè
� ( )( )n � ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ñîâïàäàþò äëÿ n �1è n � 76,
è òàê æå, êàê è äëÿ àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ â îáúåìå êðèñòàë-
ëà, óñëîâèÿ îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòèêè ËÊ ìîãóò áûòü
îïèñàíû â ðàìêàõ àïïðîêñèìàöèè (6), (8) è (9). Äëÿ áîëåå
òÿæåëîé ïðèìåñè ìàðãàíöà ÷àñòîòà ËÊ, îáóñëîâëåííîãî
êîëåáàíèÿìè ïðèìåñíîãî àòîìà âäîëü ïîâåðõíîñòè ïðè
0 0
510� äèí/ñì áëèçêà ê �m. Çíà÷åíèÿ �l , ðàññ÷èòàííûå
ïî (6) è ñ ïîìîùüþ � -ìàòðèöû ðàíãà n � 76, îòëè÷àþòñÿ
íà âåëè÷èíó ~ %1 .
Îòêëîíåíèÿ % è & ïåðâûõ ýëåìåíòîâ � -ìàòðèö îò
ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé (2) èìåþò ñëåäóþùèé âèä: äëÿ
ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî àòîìà âäîëü íîðìàëè ê ïî-
âåðõíîñòè
% � 0
1 0 � 0 1 2
0 0 1 2
& � 0
01
( , )
[ ( ) ]
( )
;
( , )
0
0
0
0
4 2 2
2
16
�
� � � �
� � �
�
� � � � � � �
� � �
'
(
4 8 2
2 2 4
2
0
2 2
2 2
0
2
2 0 1 2 0 � 0 1 2
0 1 2 0
( ) [ ( ) ]
[ ( ) ]
;
)
)
*
)
)
(13)
äëÿ ñìåùåíèÿ ýòîãî àòîìà âäîëü ïîâåðõíîñòè
% � 0
1 0 � 0 1 2
0 2 1 0
& � 0
02
( , )
[ ( ) ]
;
( , )
(
0
0
0
0
2 2 2
4 2 2
4
�
� � � �
� � �
�
� � � � � � �
� � � � �
01 21 2 0 � 0 1 2
0 1 0 2 1 0
) [ ( ) ]
[( ) ]
2
0
2 2
2 2 2 2
0
2
2 2
2
;
'
(
)
)
*
)
)
(14)
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2 201
6 8
–0,5
0,5
1,0
1,5
2,0 Mn Al
52,2'2'
2
1'
1
Mg
4 6 8
–0,5
0,5
1,0
5
4
3
'
2
1'
1
2 4 6 8
–3
–2
–1
1
10
5
3,4
2,2'
2'
2
1'
1
2 4 6
–1,5
–1,0
–0,5
0,5
1,0
3,0
5
1'
2
2'
2'2,
8
1
5 n
n
,
R
e
G
5 l
l
,
R
e
G
0 90
5
= 1,0 10 äèí/ñì
2'
2
a á
â ã
0
0
0
0
2 4
0 90
5
= 1,8 10 äèí/ñì
3, 4
2, 2'
3, 4
Ðèñ. 2. Âåùåñòâåííûå ÷àñòè ëîêàëüíûõ ôóíêöèé Ãðèíà ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ è ñîîòâåòñòâóþùèå ñïåêòðàëüíûå ïëîò-
íîñòè 5 � � �( ) Im ( )� �1
� äëÿ ñìåùåíèé âäîëü è íîðìàëüíî ê ïîâåðõíîñòè [ ]111 Ag. Îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è íà ðèñ. 1.
äëÿ ñìåùåíèÿ ïîäïîâåðõíîñòíîãî àòîìà âäîëü íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè
% � 0
0 2 1 0 � 0 1 2
0 2 1 0
& �
( , )
[ ( ) ]
;
( ,
0
0
0
2 6 4 2 2
6 3 2 4
�
� � � � � � �
� � �
0
02 01 21 0 2 1 0 � 0 1 2
0
0
2 2 2
0
2 24 6 2 4 2
2
)
( ) ( ) [ ( ) ]
(
�
� � � � � � � � �
� 1 0 2 1 0)
;
2 2 2 2
0
24 3 4 8� � � �
'
(
)
)
*
)
)
(15)
è äëÿ åãî ñìåùåíèÿ âäîëü ïîâåðõíîñòè
% � 0
0 2 1 0 � 0 1 2
0 2 1 0
& � 0
( , )
[ ( ) ]
;
( , )
0
0
0
0
2 3 2 2
6 3
�
� � � � � � �
� � �
�
� � � � � � � � �
�
2 2 3 2 2 2
2
2 2 2
0
2 2( ) ( ) [ ( ) ]
( )
02 01 21 0 2 1 0 � 0 1 2
0 1 2 2 2 2 2
0
25 3 2� � � � � �
'
(
)
)
*
)
) ( ) ( )
.
0 1 0 1 2 0
(16)
Ïîäñòàíîâêà ýòèõ âûðàæåíèé â (8) ïîçâîëÿåò îïðåäå-
ëèòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äåôåêòà0 0 è �, ïðè êîòîðûõ
ËÊ ñóùåñòâóþò. Òî÷êè ( ; )0 �0 , â êîòîðûõ ËÊ ñóùåñò-
âóþò, ëåæàò âûøå ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ, ïðèâå-
äåííûõ íà ðèñ. 3. Íà ðèñóíêå òàêæå íàíåñåíû âåð-
òèêàëüíûå ïðÿìûå, ïîêàçûâàþùèå çíà÷åíèÿ äåôåêòà
ìàññû àëþìèíèÿ, ìàãíèÿ è ìàðãàíöà, à òàêæå çíà÷å-
íèå �* ,� �0 2771— ïîðîãîâîãî äåôåêòà ìàññû äëÿ îá-
ðàçîâàíèÿ ËÊ â îáúåìå Ag. Ãîðèçîíòàëüíûå ïðÿìûå
ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ 0 è 1
äëÿ ñåðåáðà, à òàêæå ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåò-
ðà 0 0.
Ïðèìåñè Al è Mg â Ag, ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü êàê
èçîòîïè÷åñêèå (ñì. ðèñ. 3), ìîãóò ïðèâîäèòü ê âîçíèê-
íîâåíèþ ËÊ âî âñåõ ÷åòûðåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ
(ñìåùåíèÿ ïðèìåñíîãî àòîìà, íàõîäÿùåãîñÿ â ïîâåðõ-
íîñòíîì è ïîäïîâåðõíîñòíîì ñëîÿõ â íàïðàâëåíèÿõ
âäîëü ïîâåðõíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé). Òîëüêî
äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè, íàõîäÿùåéñÿ íà ïîâåðõíîñòè
â íîðìàëüíîì ê ýòîé ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíèè, ïîðî-
ãîâîå çíà÷åíèå 0 0
* íåñêîëüêî ïðåâûøàåò 10 5 äèí/ñì.
Ïðèìåñü Mn ïðèìåðíî âäâîå òÿæåëåå Al è Mg. Åñëè
òàêàÿ ïðèìåñü íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè, òî â èí-
òåðâàëå çíà÷åíèé 0 0 îò 1 0 10 5, 9 äî 1 8 10 5, 9 äèí/ñì îíà
ôîðìèðóåò ËÊ òîëüêî çà ñ÷åò ñìåùåíèé âäîëü ïîâåðõ-
íîñòè.
Äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ íà ðèñ. 4 ïðèâåäå-
íû çàâèñèìîñòè ÷àñòîò ËÊ � �� �
l m/ ( � ��m 5 5367, ÒÃö
[30]) îò ïàðàìåòðà 0 0, èõ èíòåíñèâíîñòåé íà ïðèìåñ-
íîì àòîìå �0 è íà åãî ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðå
�1 äëÿ ïðèìåñåé, äåôåêòû ìàññû êîòîðûõ ñîîòâåòñòâó-
þò Al, Mg è Mn. Íà ýòîì ðèñóíêå ëèíèÿìè ïðåäñòàâëå-
íû ðàñ÷åòû ïî ôîðìóëàì (6) è (9), êóäà ïîäñòàâëåíû
çíà÷åíèÿ (13)–(16). Ñèìâîëû ñîîòâåòñòâóþò ðàñ÷åòàì
ïîëþñîâ ôóíêöèé
~
( , , )( )� 76 0� 0 � è âû÷åòîâ â ýòèõ ïî-
ëþñàõ. Õîðîøåå ñîâïàäåíèå äàííûõ îáîèõ ðàñ÷åòîâ
óêàçûâàåò íà ðåàëüíóþ âîçìîæíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ
ïàðàìåòðîâ ðåøåòêè è äåôåêòà ïî äàííûì ýêñïåðèìåí-
òàëüíîãî èçìåðåíèÿ ÷àñòîò è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ËÊ.
Âëèÿíèå øåðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè íà
õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé
Åñëè ïîâåðõíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ àòîìíî-ãëàäêîé è íà
íåé èìåþòñÿ íåêîòîðûå øåðîõîâàòîñòè, òî ÷àñòîòíûé
ñïåêòð ïðèìåñè, íàõîäÿùåéñÿ âáëèçè êàêîé-ëèáî íå-
ðîâíîñòè, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ñïåêòðà ïðèìåñè, ðàñ-
ïîëîæåííîé íà àòîìíî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè èëè â
îáúåìå êðèñòàëëà. Òàêèå îòëè÷èÿ ìîãóò áûòü ñóùåñò-
âåííûìè. Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíÿòñÿ êàê óñëîâèÿ îá-
ðàçîâàíèÿ, òàê è õàðàêòåðèñòèêè ËÊ.
 ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ìîäå-
ëè èçìåíåíèå ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ àòîìà, íàõîäÿùåãîñÿ
íà êðàþ íåêîòîðîãî «êðàòåðà» íà ïîâåðõíîñòè êðè-
ñòàëëà, ìîæåò áûòü îïèñàíî òî÷íî òàê æå, êàê è èçìåíå-
202 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
–1 0
0
1
2
3
MnMg
2
1
Al
1,8
0
0
5
,
1
0
ä
è
í
/ñ
ì
1
2
Ðèñ. 3. Îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé äëÿ
ðàçëè÷íûõ ñìåùåíèé ïðèìåñè, ëåæàùåé íà ïîâåðõíîñòè è
â ïîäïîâåðõíîñòíîì ñëîå. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ 00 è äå-
ôåêòà ìàññû �, ïðè êîòîðûõ îáðàçóþòñÿ ëîêàëüíûå êîëåáà-
íèÿ, ðàñïîëîæåíû âûøå ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ. Êðèâûå
1 è �1 ñîîòâåòñòâóþò ïîâåðõíîñòíûì, à êðèâûå 2 è �2 —
ïîäïîâåðõíîñòíûì àòîìàì; 1 è 2 — ñìåùåíèå ïðèìåñè
íîðìàëüíî ê ïîâåðõíîñòè, �1 è �2 — âäîëü ïîâåðõíîñòè.
íèå ñèëîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè îáðàçîâàíèè ïîâåðõ-
íîñòè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè ó êàêîãî-íèáóäü àòîìà ñ
ðàäèóñ-âåêòîðîì r îòñóòñòâóþò áëèæàéøèå ñîñåäè ñ ðà-
äèóñ-âåêòîðàìè r ��
( )p , òî âçàèìîäåéñòâèå ñ àòîìàìè,
íàõîäÿùèìèñÿ â òî÷êàõ r ��
( )p , ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì
� 8 8 8ik
p
i
p
k
p
/( )( ) ( ) ( )
r � �� 0 0
2, à âçàèìîäåéñòâèå ñ
îñòàëüíûìè àòîìàìè (10) íå ìåíÿåòñÿ.
Âîçìîæíîñòü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ îïèñàòü óñëî-
âèÿ îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòèêè ËÊ ñ ïîìîùüþ àï-
ïðîêñèìàöèîííûõ ôîðìóë (6), (8) è (9) îçíà÷àåò, ÷òî
äàííûå âåëè÷èíû ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿ-
þòñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ìîìåíòàìè ñïåêòðàëüíîé ïëîò-
íîñòè [27]. Òàê êàê âëèÿíèå íà äâà ïåðâûõ ìîìåíòà
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè, ïîðîæäåííîé ñìåùåíèåì
èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè, îêàçûâàþò òîëüêî àòîìû, íå-
ïîñðåäñòâåííî ñ íåé âçàèìîäåéñòâóþùèå [21], òî ñó-
ùåñòâåííîå îòëè÷èå â ïîâåäåíèè õàðàêòåðèñòèê ËÊ
îò ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ñëåäóåò
îæèäàòü òîëüêî äëÿ ïðèìåñåé, ðàñïîëîæåííûõ íà
êðàþ êàêîãî-ëèáî «êðàòåðà» íà ïîâåðõíîñòè. Ïðè÷åì
ðàçìåð ýòîãî «êðàòåðà» íå âëèÿåò íà äâà ïåðâûõ ìî-
ìåíòà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè, è íàì äîñòàòî÷íî ðàñ-
ñìîòðåòü òîëüêî ñëåäóþùèå êîíôèãóðàöèè:
— ó íàõîäÿùåéñÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðèìåñè îòñóò-
ñòâóåò îäèí èç ëåæàùèõ íà ïîâåðõíîñòè áëèæàéøèõ
ñîñåäåé;
— ïðèìåñü ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå «êðàòåðà», ò.å.
îòñóòñòâóþò äâà ëåæàùèõ íà ïîâåðõíîñòè áëèæàéøèõ
ñîñåäà ïðèìåñè, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ
áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè äðóã äðóãà;
— ïðèìåñü ðàñïîëîæåíà íà âåðøèíå «êðàòåðà» è ó
íåå íåò òðåõ èëè ÷åòûðåõ, ëåæàùèõ íà ïîâåðõíîñòè
áëèæàéøèõ ñîñåäåé.
Äëÿ ïåðâîé êîíôèãóðàöèè ïðè ñìåùåíèè ïðèìåñè
â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè (n) âåëè÷èíû %
è & ðàâíû
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2 203
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,0 1,5 2,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
à á
â
ã
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü ÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé ËÊ îò ïàðàìåòðà 00 äëÿ Al (ñïëîøíûå êðèâûå), Mn (øòðèõîâûå), Mg
(øòðèõ-ïóíêòèðíûå). Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ ïîðîæäåíû ñìåùåíèÿìè ïîâåðõíîñòíîãî àòîìà âäîëü ïîâåðõíîñòè [111] (à) è
íîðìàëüíî ê ïîâåðõíîñòè (á). Àíàëîãè÷íûå ñìåùåíèÿ ïîäïîâåðõíîñòíîãî àòîìà (â) è (ã) ñîîòâåòñòâåííî. Ñèìâîëû — õà-
ðàêòåðèñòèêè, âû÷èñëåííûå ïî � -ìàòðèöå ðàíãà n � 76: Al (�), Mg (�), Mn (�); àíàëèòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (ñïëîø-
íûå ëèíèè).
% � 0
0 2 � 1 � 0
0 0 2 1
&
( , )
( )( ) ( )
( )
;
(
0
0
0
2 1 3 2 5 3 6
2 2 3 2
�
� � � � �
� � �
� 0
0 0 02 2 01 21 1 0 2 1
, )
— (
0
2
0
2 2 24 72 52 11 136 20 4 9 2 2
�
� � � � � � � � )
[ — ( )]
;
2
2
0
2 2 24 8 18 5 4 8 4 4
�
0 0 2 21 1 0 2 1� � � � �
'
(
)
)
*
)
)
(17)
äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè â ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè âàêàíñèè (l)
% � 0
0 � 2� 1 � 0
0 0 2
& � 0
( , )
( ) ( )
;
( , )
0
0
0
0
2 1 2 2 4 1 3
2 3 2
�
� � � � �
� �
�
( ) ( ) ( )
( )
;
2 2 1 2 3
2 3
2 2
0
2 2 2
2
0
2 2 2
0 2 1 � 0 0 2 1
0 0 2 1
� � � � � � �
� � �
'
(
)
)
*
)
)
(18)
äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè â ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê íàïðàâëåíèþ íà âàêàíñèþ (�)
% � 0
0 0 2 1 0 2 1 �
0 0 2 1
& �
( , )
( ) ( )
;
(
0
0
0
2 3 4 6 2 2
10 3 2 8
�
� � � � � �
� � �
, )
( )
0
0 0 02 2 01 21 1 0 2 1
0
2
0
2 2 2 22 18 52 5 40 20 2 9 2 2
�
� � � � � � � � � � �
0 0 02 2 1 0 2 12 19 9 8 7 8 2 192
0
2 2 2[ ( ) ]
.
� � � � � �
'
(
)
)
*
)
)
(19)
Çàâèñèìîñòè îò 0 0 ÷àñòîòû ËÊ, à òàêæå èíòåíñèâíîñòåé íà ñàìîé ïðèìåñè è åå áëèæàéøèõ ñîñåäÿõ, ðàññ÷è-
òàííûå ïî ôîðìóëàì (6) è (9) äëÿ èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè àëþìèíèÿ, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5,a. Êàê âèäíî, â ýòîì
ñëó÷àå îäíà èçîòîïè÷åñêàÿ ïðèìåñü ïîðîæäàåò òðè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèÿ, óñëîâèÿ îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòèêè
êîòîðûõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ.
Åñëè ïðèìåñü ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå «êðàòåðà» íà ïîâåðõíîñòè, òî äëÿ ñìåùåíèÿ âäîëü ýòîãî ðåáðà (l)
% � 0
0 2 1 0 2 1 � 0
0 1 0
& � 0
0 2 1
( , )
( )
;
( , )
(
0
0
0
0
2 2
2 2
�
� � � � � �
� �
�
� � ) ( ) [( ( ) ]
[ ( ) ]
;
2
0
2 2
0
2 2
1 2 2
2 2
� � � �
� �
'
(
)
)
*
)
)
� 0 0 1
0 0 1
(20)
äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè (n)
% � 0
0 2 1 � 1 0
0 2 1 0
& � 0
( , )
( )( )
;
( , )
0
0
0
0
2 2 2 3 4 6
2 2 6
�
� � � � �
� � �
�
16 72 52 5 112 20 16 9 2 2
2
2
0
2 2 2 20 0 02 2 01 21 1 0 2 1 �� � � � � � � �— ( )
[10 36 7 8 10 4 2 52
0
2 2 20 0 2 21 1 0 2 1� � � � �
'
(
)
)
*
)
) — ( )]
; (21)
äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè â ïëîñêîñòè ñëîÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ðåáðó (�)
% � 0
0 2 1 0 2 1 � � 0
0 2 1 0
& � 0
( , )
( )
;
( , )
0
0
0
0
5 7 3 2 2 6
2 6
�
� � � � �
� � �
�
22 52 11 100 20 22 9 2 2 72
2
2 2 2 2
0
20 02 2 01 21 1 0 2 1 � 0� � � � � � � � �( )
[ ( ) ]
.
7 10 2 4 7 8 7 362 2 2
0
20 2 0 2 1 21 1 0� � � � � �
'
(
)
)
*
)
)
(22)
Ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ËÊ äëÿ
ïðèìåñè Al ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5,á. Äëÿ ñëó÷àÿ l ïî-
ðîã îáðàçîâàíèÿ ËÊ ñóùåñòâåííî íèæå, à ëîêàëüíûå
÷àñòîòû è ñòåïåíü ëîêàëèçàöèè êîëåáàíèé çíà÷èòåëüíî
âûøå, ÷åì äëÿ ñëó÷àåâ n è �. Êðèâûå äëÿ n è � ïðàêòè-
÷åñêè ñëèâàþòñÿ. Âìåñòå ñ òåì ëîêàëüíûå ÷àñòîòû â
íàïðàâëåíèè l çàìåòíî ìåíüøå, ÷åì äëÿ àíàëîãè÷íûõ
êîëåáàíèé â ïðåäûäóùåé êîíôèãóðàöèè. Ýòî äàåò âñå
îñíîâàíèÿ ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ËÊ, îáóñëîâëåííûå ëåã-
êîé ïðèìåñüþ íà øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè, ìîãóò
áûòü äîñòîâåðíî èäåíòèôèöèðîâàíû, ÷òî äåëàåò âîç-
ìîæíûì îïðåäåëåíèå äåôåêòíîé ñòðóêòóðû è ñèëîâûõ
âçàèìîäåéñòâèé èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
204 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
Äëÿ ïðèìåñè, ðàñïîëîæåííîé íà âåðøèíå «êðàòåðà»,
âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. Åñëè îáðàçóþùèå ýòó âåðøèíó
ðåáðà ïåðåñåêàþòñÿ ïîä òóïûì óãëîì (íà ïîâåðõíîñòè
îòñóòñòâóþò òðè áëèæàéøèõ ðàñïîëîæåííûõ ðÿäîì ñî-
ñåäà), äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé ñìåùåíèÿ ïðèìåñè ïàðà-
ìåòðû %è & ñîâïàäàþò:
% � 0
0 2 1 � 0
0
& � 0
0 2 1
( , )
( )( )
;
( , )
( ) (
0
0
0
0
2
2 2 1 2
2
2 2 1
�
� � � �
�
� � � �
'
(
)
)
*
)
)
� 0
0
)
.
8
8
0
2
0
2
(23)
 ýòîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé ñîâïàäàþò è âñå
õàðàêòåðèñòèêè ËÊ (ñì. êðèâûå 1 íà ðèñ. 5,â).
Âî âòîðîì ñëó÷àå âåðøèíà îáðàçîâàíà ðåáðàìè, ïå-
ðåñåêàþùèìèñÿ ïîä îñòðûì óãëîì, ò.å. ó ðàñïîëîæåí-
íîé íà ïîâåðõíîñòè ïðèìåñè îòñóòñòâóþò ÷åòûðå áëè-
æàéøèõ ñîñåäíèõ ïîâåðõíîñòíûõ àòîìà. Ïðè ýòîì
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ % è & äëÿ ñìåùåíèé ïðèìåñè
âäîëü íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè è âäîëü áèññåêòðèñû
óãëà ìåæäó ðåáðàìè îñòàþòñÿ òàêèìè æå, êàê â ïðåäû-
äóùåì ñëó÷àå. À äëÿ ñìåùåíèÿ ïðèìåñè â íàïðàâëå-
íèè �, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ýòèì äâóì íàïðàâëåíèÿì,
ïàðàìåòðû %è & ðàâíû:
% � 0
0 2 1 � 0
0
& � 0
0 2 1 �
( , )
( )( )
;
( , )
( ) (
0
0
0
0
2
2 2 1
2 2 1
�
� � � �
�
� � � )
.
�
'
(
)
)
*
)
)
4
4
0
2
0
2
0
0
(24)
Êîëåáàíèÿ â äàííîì íàïðàâëåíèè èìåþò î÷åíü íèçêèå
÷àñòîòû, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîò [31,32].
Õàðàêòåðèñòèêè òàêèõ ËÊ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5,â
êðèâûìè 2. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå îáðàçîâàíèå
ËÊ çàòðóäíåíî.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ñìåùåíèé ïðèìåñè
âäîëü íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ñ óìåíüøåíèåì ÷èñëà
áëèæàéøèõ ñîñåäíèõ ñ ïðèìåñüþ ïîâåðõíîñòíûõ àòî-
ìîâ ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ 0 0
* ñíèæàþòñÿ, à ÷àñòîòû è
ñòåïåíü ëîêàëèçàöèè ËÊ âîçðàñòàþò (ðèñ. 4,â è ðèñ.
5). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñèëîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 2,
îïðåäåëÿþùàÿ ïðè äàííîì ñìåùåíèè âîçâðàùàþùóþ
ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà àòîì ñî ñòîðîíû îñòàëüíûõ
ðàñïîëîæåííûõ íà ïîâåðõíîñòè àòîìîâ, ó ñåðåáðà îò-
ðèöàòåëüíà.
Çàêëþ÷åíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ â
[27] ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ àïïðîêñè-
ìàöèé äëÿ îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ËÊ ñ óñïåõîì ìî-
æåò áûòü èñïîëüçîâàíà è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷àñòîò è
èíòåíñèâíîñòåé ËÊ, îáóñëîâëåííûõ ñëîæíûìè äå-
ôåêòàìè, â ÷àñòíîñòè ïðèìåñÿìè, ðàñïîëîæåííûìè
âáëèçè êàê àòîìíî-ãëàäêîé, òàê è øåðîõîâàòîé ïîâåð-
õíîñòè. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè
ïîçâîëÿþò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî èçâëåêàòü èíôîðìà-
öèþ î ïàðàìåòðàõ êðèñòàëëà-ìàòðèöû è åãî äåôåêò-
íîé ñòðóêòóðå èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ î ÷àñòî-
òàõ è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ËÊ. Àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå àïïðîêñèìà-
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2 205
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,4
0,8
1,0
1,2
1,4 l
n
n
l
l
n
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,4
0,8
1,0
1,2
1,4
2
2
1
1
1
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
0,4
0,8
1,0
1,2
1,4
n
n
l
l
l
n
:
:
à
á
â
,
Ðèñ. 5. Õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ïðèìåñè, ðàñ-
ïîëîæåííîé íà øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè.
öèè äëÿ ËÊ, îáóñëîâëåííûõ ïðèìåñÿìè âáëèçè äðóãèõ
ãðàíèö îáðàçöà, íàïðèìåð ïîâåðõíîñòåé ðàçëè÷íîé
îðèåíòàöèè, âñåâîçìîæíûõ ðåáåð è âåðøèí, ÿâëÿþ-
ùèõñÿ èõ ïåðåñå÷åíèÿìè, à òàêæå, êîãäà ËÊ ïîðîæäà-
þòñÿ ïðèìåñÿìè, íàõîäÿùèìèñÿ ðÿäîì ñ âàêàíñèÿìè,
êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå ðàñòâîðîâ âîäîðîäà è
äåéòåðèÿ â ïàëëàäèè [33].
Ñäåëàííîå â ýòîé ðàáîòå ïðåäïîëîæåíèå î ïîëíîé
ðåëàêñàöèè íàïðÿæåíèé íà ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé
ñôåðå ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âïîëíå
îáîñíîâàííûì äëÿ ðàññìîòðåííîé íàìè ïîâåðõíîñòè
[ ]111 ñåðåáðà. Ýòî ñâÿçàíî ñ íåáîëüøîé íàïðÿæåííî-
ñòüþ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Òà æå ìîäåëü ïîâåðõ-
íîñòè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà, õîòÿ è ñ íåñêîëüêî
ìåíüøåé òî÷íîñòüþ, â ñëó÷àå ìåäè è çîëîòà.
Äëÿ áîëåå íàïðÿæåííûõ ðåøåòîê, íàïðèìåð àëþìè-
íèÿ, à òàêæå äëÿ ïëîñêîñòåé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïëîò-
íîóïàêîâàííûìè, ðåëàêñàöèÿ ìîæåò áûòü áîëåå ñëîæ-
íîé è çàòðàãèâàòü áîëüøåå ÷èñëî êîîðäèíàöèîííûõ
ñôåð. Ê àíàëîãè÷íîé ïðîáëåìå ìîæåò ïðèâåñòè è ðàñ-
ñìîòðåíèå «ñóùåñòâåííî íåèçîòîïè÷åñêèõ» ïðèìåñåé,
ñèëîâîå âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ ñ àòîìàìè îñíîâíîé
ðåøåòêè çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò âçàèìîäåéñòâèÿ â
ðåøåòêå. Îäíàêî è â ýòèõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî ïðèìåíåíèå
ïðåäëîæåííîé àíàëèòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ ïîëó-
÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ËÊ, ÷àñòîòû êîòîðûõ äîñòàòî÷íî
õîðîøî îòùåïèëèñü îò âåðõíåé ãðàíèöû ñïåêòðà îñíîâ-
íîé ðåøåòêè. Áîëüøîå ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåò-
ðîâ è ÷ðåçâû÷àéíàÿ ãðîìîçäêîñòü ïîëó÷àåìûõ äëÿ
òàêèõ ñèñòåì âûðàæåíèé äåëàþò âîçìîæíûì ðàñ÷åò õà-
ðàêòåðèñòèê ËÊ è âîññòàíîâëåíèå ïî íèì ïàðàìåòðîâ,
õàðàêòåðèçóþùèõ äåôåêòíóþ ñòðóêòóðó, òîëüêî èñïîëü-
çóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå. Ïî-
ýòîìó îäíîé èç öåëåé ñòàòüè àâòîðû ñ÷èòàþò ïðèâëå-
÷åíèå âíèìàíèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðîâ ê èçìåðåíèþ
îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ËÊ êàê âàæíîãî èñòî÷íèêà èí-
ôîðìàöèè î ìåæàòîìíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ â ðåàëüíûõ
êðèñòàëëàõ è ðåëàêñàöèè ñèëîâûõ âçàèìîäåéñòâèé íà
ãðàíèöå îáðàçöà.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà 23/07-Í
ÍÀÍ Óêðàèíû.
1. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 12, 156 (1942).
2. È.Ì. Ëèôøèö, ÄÀÍ ÑÑÑÐ 48, 83 (1945).
3. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 17, 1076 (1948).
4. I.M. Lifshitz, Nuovo Cimento Suppl. 3, 716 (1956).
5. I.M. Lifshitz and A.M. Kosevich, Rep. Prog. Theor. Phys.
29, 217 (1966).
6. È.Ì. Ëèôøèö, ÓÌÍ 7, 171 (1952).
7. Ì.À. Èâàíîâ, Þ.Â. Ñêðèïíèê, ÔÒÒ 34, 641 (1992).
8. Ë.À. Ôàëüêîâñêèé, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 71, 225 (2000).
9. Ë.À. Ôàëüêîâñêèé, ÆÝÒÔ 117, 735 (2000).
10. È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Ãðèøàåâ, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôå-
îäîñüåâ, ÔÒÒ 42, 2153 (2000).
11. A.M. Kosevich, S.B. Feodosyev, I.A. Gospodarev, V.I.
Grishaev, O.V. Kotlyar, E.V. Manzhelii, E.S. Syrkin, Fiz.
Nizk. Temp. 33, 735 740 (2006).
12. À.Ì. Êîñåâè÷, È.À. Ãîñïîäàðåâ, Â.È. Ãðèøàåâ, À.Â.
Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ,
ÆÝÒÔ 132, 11 (2007).
13. A. Maradudin, Solid State Phys. 18, 273 (1966); ibid. 19,
1 (1966); [À. Ìàðàäóäèí, Äåôåêòû è êîëåáàòåëüíûé
ñïåêòð êðèñòàëëîâ, Ìèð, Ìîñêâà (1968)].
14. Þ.Ã. Íàéäþê, Í.À. ×åðíîïëåêîâ, Þ.Ë. Øèòèêîâ, Î.È.
Øêëÿðåâñêèé, È.Ê. ßíñîí, ÆÝÒÔ 83, 1177 (1982).
15. Þ.Ã. Íàéäþê, È.Ê. ßíñîí, À.À. Ëûñûõ, Þ.Ë. Øèòè-
êîâ, ÔÒÒ 26, 2734 (1984).
16. A.M. Kossevich, The Crystal Lattice (Phonons, Solitons,
Dislocations), WILEY-VCH Verlag Berlin GmBH, Berlin
(1999).
17. À.À. Ìàðàäóäèí, Å.Â. Ìîíòðîë, Ã.Í. Âåéñ, Äèíàìè-
÷åñêàÿ òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â ãàðìîíè-
÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, Ìèð, Ìîñêâà (1965).
18. A.A. Maradudin, E.W. Montroll, G.N. Weiss, and I.P.
Ipatova, Lattice Dynamics and Models of Interatomic
Forces, Springer Series in Solid State Sciences 34,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1982).
19. G. Leibfried and N. Breuer, Point Defects in Metals I,
Springer-Verlag, Berlin (1978).
20. H. B�ttger, Principies of the Theory of Lattice Dynamics,
Academic-Verlag, Berlin (1983).
21. Â.È. Ïåðåñàäà, äèñc. ä-ðà ôèç.-ìàò. íàóê, ÔÒÈÍÒ ÀÍ
ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1972).
22. Â.È. Ïåðåñàäà, â ñá.: Ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòî-
ÿíèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1968), ò. 2, c. 172..
23. Â.È. Ïåðåñàäà, Â.Í. Àôàíàñüåâ, Â.Ñ. Áîðîâèêîâ, ÔÍÒ
1, 461 (1975).
24. R. Haydock, in: Solid State Phys. H. Ehrenreich et al.
(eds.), Academic Press, New York (1980), v. 35, p. 129.
25. Â.Í. Àôàíàñüåâ, â ñá.: Ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1970), ò. 10, ñ. 10.
26. Â.È. Ïåðåñàäà, Å.Ñ. Ñûðêèí, â ñá.: Ôèçèêà êîíäåíñè-
ðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ
(1971), ò. 14, ñ. 47.
27. À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, ÔÍÒ 32, 343 (2006).
28. À.Ô. Ïðèõîòüêî, Â.Ã. Ìàíæåëèé, È.ß. Ôóãîëü, Þ.Á.
Ãàéäèäåé, È.Í. Êðóïñêèé, Â.Ì. Ëîêòåâ, Å.Â. Ñàâ÷åí-
êî, Â.À. Ñëþñàðåâ, Ì.À. Ñòðæåìå÷íûé, Þ.À. Ôðåé-
ìàí, Ë.È. Øàíñêèé, Êðèîêðèñòàëëû, Íàóêîâà äóìêà,
Êèåâ (1983).
29. G. Leibfried, Gittertheorie der Mechanischen und
Thermishen Eigenschaften der Kristalle, Springer-Verlag,
Berlin, G�ttingen, Heidelberg (1955).
30. S.B. Feodosyev, I.A. Gospodarev, V.O. Kruglov, and
E.V. Manzhelii, J. Low Temp. Phys. 139, 651 (2005).
31. A.M. Kosevich, A. Mayer, S.B. Feodosyev, I.A. Gos-
podarev, V.I. Grishaev, and E.S. Syrkin, Superlattices
and Microsructures 27, 7 (2000).
32. Ý.Ò. Âåðõîâöåâà, È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Ãðèøàåâ, Ñ.È.
Êîâàëåíêî, Ä.Ä. Ñîëíûøêèí, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåî-
äîñüåâ, ÔÍÒ 29, 519 (2003).
206 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2
È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Êîòëÿð, Å.Â. Ìàíæåëèé, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
33. S.B. Feodosyev, I.A. Gospodarev, V.I. Grishaev, A.M.
Kosevich, O.V. Kotlyar, E.S. Syrkin, J. Low Temp. Phys.
139, 665 (2005).
Local vibrations in real crystals
with combined defects
I.A. Gospodarev, O.V. Kotlyar, E.V. Manzhelii,
and S.B. Feodosyev
The conditions of initiation and the basic charac-
teristics of local vibrations (LVs) are investigated for
the silver crystal lattice with light Al, Mg and Mn im-
purities. The case where the impurities are located in
the bull or on the closely packed [ ]111 surface of the
FCC crystal lattice is considered. The influence of
surface roughness on the quantities under consider-
ation is analyzed. Analytical approximations for fre-
quency and intensity of LVs on an impurity atom and
its nearest neighbors are obtained. These characteris-
tics of LVs are described by the approximations with
high accuracy. It is shown that the analytical
approximations proposed allow one to deduce the
parameters of defect structure and interatomic inter-
actions from the characteristics of LVs determined in
experiments.
PACS: 63.20.–e Phonons in crystal lattices;
63.20.Mt Phonon-defect interactions;
63.20.Pw Localized modes.
Keywords: fonon, local vibrations, Green function,
Yacoby matrix.
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ ñ êîìáèíèðîâàííûìè äåôåêòàìè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 2 207
|