Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1
Построена квазиклассическая теория спиновой динамики для ферромагнетика со спином S=1 при учете изотропного обменного взаимодействия. Для такого ферромагнетика в основном состоянии квантовое среднее значение спина на узле m принимает свое максимальное значение, но в динамике существенно проявляют...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116860 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 / Б.А. Иванов, Р.С. Химин // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 3. — С. 236–247. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116860 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1168602017-05-17T03:03:02Z Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 Иванов, Б.А. Химин, Р.С. Низкотемпеpатуpный магнетизм Построена квазиклассическая теория спиновой динамики для ферромагнетика со спином S=1 при учете изотропного обменного взаимодействия. Для такого ферромагнетика в основном состоянии квантовое среднее значение спина на узле m принимает свое максимальное значение, но в динамике существенно проявляются эффекты квантового сокращения спина. Однако для таких ферромагнетиков существует особый класс спиновых колебаний, в которых m сохраняет свое направление, но существенно изменяется по длине. Такие возбуждения отсутствуют для обычных гейзенберговских ферромагнетиков, описание которых базируется на уравнении Ландау–Лифшица или на обычном спиновом гамильтониане Гейзенберга. Аналитически в континуальном приближении и численно получены спиновые возбуждения с конечной энергией, или солитоны, которые можно рассматривать как связанные состояния большого числа магнонов N. Найдена зависимость энергии солитона E(P,N) с заданным числом связанных магнонов от его импульса P. Континуальное приближение дает хорошее описание солитонов в той области параметров, в которой намагниченность в солитоне существенно отличается для соседних узлов решетки, и эффекты дискретности должны быть значительны. Побудовано квазикласичну теорію спінової динаміки для феромагнетику зі спіном S=1з урахуванням ізотропної обмінної взаємодії. Для такого феромагнетику в основному стані квантове середнє значення спіну на вузлі m приймає своє максимальне значення, але в динаміці значно проявляються ефекти квантового скорочення спіну. Проте для таких феромагнетиків існує особливий клас спінових коливань, у яких m зберігає свій напрямок, але суттєво змінюється по довжині. Такі збудження відсутні для звичайних гейзенбергівських феромагнетиків, опис яких базується на рівнянні Ландау– Ліфшица або на звичайному спіновому гамільтоніані Гейзенберга. Аналітично в континуальному наближенні та чисельно отримано спінові збудження з cкінченною енергією, або солітони, які можна розглядати як зв’язані стани великої кількості магнонів N. Знайдено залежність енергії солітону E(P,N) із заданим числом зв’язаних магнонів від його імпульсу P. Континуальне наближення дає гарний опис солітонів у тій області параметрів, де намагніченість у солітоні істотно відрізняється для сусідніх вузлів гратки, і ефекти дискретності повинні бути значні. A quasi-classical theory of spin dynamics for a S=1 ferromagnet is developed with taking into account the isotropic exchange interaction. For such a ferromagnet in the ground state, the quantum mean value of the spin in site m takes its maximum, but the dynamics shows significant effects of quantum shrinkage of the spin. For such ferromagnets, however, there exists a special class of spin vibrations where m retains its direction but varies essentially in length. Such excitations do not occur in normal Heisenberg ferromagnets, the description of which is based on the Landau–Lifshitz equation, or in normal Heisenberg spin Hamiltonians. Spin excitations of a finite energy or solitons considered as bound states of a great number of magnons N are derived analytically in the continuous approximation and obtained numerically. The pulse dependence of energy E(P,N) for a soliton with a given number of bound magnons is found out P. The continuous approximation offers an appropriate treadment of solitons in the parameters range where magnetization in the soliton differs essentially from those in neighboring lattice sites and the effects of discreteness are significant. 2008 Article Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 / Б.А. Иванов, Р.С. Химин // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 3. — С. 236–247. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.Yv;75.10.Hk;75.10.Jm http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116860 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| spellingShingle |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Иванов, Б.А. Химин, Р.С. Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 Физика низких температур |
| description |
Построена квазиклассическая теория спиновой динамики для ферромагнетика со спином S=1 при
учете изотропного обменного взаимодействия. Для такого ферромагнетика в основном состоянии
квантовое среднее значение спина на узле m принимает свое максимальное значение, но в динамике
существенно проявляются эффекты квантового сокращения спина. Однако для таких ферромагнетиков
существует особый класс спиновых колебаний, в которых m сохраняет свое направление, но существенно
изменяется по длине. Такие возбуждения отсутствуют для обычных гейзенберговских
ферромагнетиков, описание которых базируется на уравнении Ландау–Лифшица или на обычном спиновом
гамильтониане Гейзенберга. Аналитически в континуальном приближении и численно получены
спиновые возбуждения с конечной энергией, или солитоны, которые можно рассматривать как связанные
состояния большого числа магнонов N. Найдена зависимость энергии солитона E(P,N) с
заданным числом связанных магнонов от его импульса P. Континуальное приближение дает хорошее
описание солитонов в той области параметров, в которой намагниченность в солитоне существенно
отличается для соседних узлов решетки, и эффекты дискретности должны быть значительны. |
| format |
Article |
| author |
Иванов, Б.А. Химин, Р.С. |
| author_facet |
Иванов, Б.А. Химин, Р.С. |
| author_sort |
Иванов, Б.А. |
| title |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 |
| title_short |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 |
| title_full |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 |
| title_fullStr |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 |
| title_full_unstemmed |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 |
| title_sort |
динамические солитоны в ферромагнетике со спином s=1 |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116860 |
| citation_txt |
Динамические солитоны в ферромагнетике со спином S=1 / Б.А. Иванов, Р.С. Химин
// Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 3. — С. 236–247. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT ivanovba dinamičeskiesolitonyvferromagnetikesospinoms1 AT himinrs dinamičeskiesolitonyvferromagnetikesospinoms1 |
| first_indexed |
2025-07-08T11:13:13Z |
| last_indexed |
2025-07-08T11:13:13Z |
| _version_ |
1837077050965360640 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3, ñ. 236–247
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå
ñî ñïèíîì S � 1
Á.À. Èâàíîâ1,2, Ð.Ñ. Õèìèí2,1
1
Èíñòèòóò ìàãíåòèçìà ÍÀÍ Óêðàèíû, ïð. Âåðíàäñêîãî, 36Á, ã. Êèåâ, 03142, Óêðàèíà
E-mail: bivanov@i.com.ua
2
Íàöèîíàëüíûé Óíèâåðñèòåò èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî, ïð. Ãëóøêîâà, 2, ã. Êèåâ, 03127, Óêðàèíà
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 18 îêòÿáðÿ 2007 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 31 îêòÿáðÿ 2007 ã.
Ïîñòðîåíà êâàçèêëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñïèíîâîé äèíàìèêè äëÿ ôåððîìàãíåòèêà ñî ñïèíîì S �1ïðè
ó÷åòå èçîòðîïíîãî îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Äëÿ òàêîãî ôåððîìàãíåòèêà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè
êâàíòîâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñïèíà íà óçëå m ïðèíèìàåò ñâîå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå, íî â äèíàìèêå
ñóùåñòâåííî ïðîÿâëÿþòñÿ ýôôåêòû êâàíòîâîãî ñîêðàùåíèÿ ñïèíà. Îäíàêî äëÿ òàêèõ ôåððîìàãíåòè-
êîâ ñóùåñòâóåò îñîáûé êëàññ ñïèíîâûõ êîëåáàíèé, â êîòîðûõ m ñîõðàíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå, íî ñó-
ùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ ïî äëèíå. Òàêèå âîçáóæäåíèÿ îòñóòñòâóþò äëÿ îáû÷íûõ ãåéçåíáåðãîâñêèõ
ôåððîìàãíåòèêîâ, îïèñàíèå êîòîðûõ áàçèðóåòñÿ íà óðàâíåíèè Ëàíäàó–Ëèôøèöà èëè íà îáû÷íîì ñïè-
íîâîì ãàìèëüòîíèàíå Ãåéçåíáåðãà. Àíàëèòè÷åñêè â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè è ÷èñëåííî ïîëó÷å-
íû ñïèíîâûå âîçáóæäåíèÿ ñ êîíå÷íîé ýíåðãèåé, èëè ñîëèòîíû, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñâÿ-
çàííûå ñîñòîÿíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ìàãíîíîâ N. Íàéäåíà çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà E P N( , ) ñ
çàäàííûì ÷èñëîì ñâÿçàííûõ ìàãíîíîâ îò åãî èìïóëüñà P. Êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå äàåò õîðîøåå
îïèñàíèå ñîëèòîíîâ â òîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ, â êîòîðîé íàìàãíè÷åííîñòü â ñîëèòîíå ñóùåñòâåííî
îòëè÷àåòñÿ äëÿ ñîñåäíèõ óçëîâ ðåøåòêè, è ýôôåêòû äèñêðåòíîñòè äîëæíû áûòü çíà÷èòåëüíû.
Ïîáóäîâàíî êâàçèêëàñè÷íó òåîð³þ ñï³íîâî¿ äèíàì³êè äëÿ ôåðîìàãíåòèêó ç³ ñï³íîì S �1 ç óðàõó-
âàííÿì ³çîòðîïíî¿ îáì³ííî¿ âçàºìî䳿. Äëÿ òàêîãî ôåðîìàãíåòèêó â îñíîâíîìó ñòàí³ êâàíòîâå ñåðåäíº
çíà÷åííÿ ñï³íó íà âóçë³ m ïðèéìຠñâîº ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ, àëå â äèíàì³ö³ çíà÷íî ïðîÿâëÿþòüñÿ
åôåêòè êâàíòîâîãî ñêîðî÷åííÿ ñï³íó. Ïðîòå äëÿ òàêèõ ôåðîìàãíåòèê³â ³ñíóº îñîáëèâèé êëàñ ñï³íîâèõ
êîëèâàíü, ó ÿêèõ m çáåð³ãຠñâ³é íàïðÿìîê, àëå ñóòòºâî çì³íþºòüñÿ ïî äîâæèí³. Òàê³ çáóäæåííÿ
â³äñóòí³ äëÿ çâè÷àéíèõ ãåéçåíáåðã³âñüêèõ ôåðîìàãíåòèê³â, îïèñ ÿêèõ áàçóºòüñÿ íà ð³âíÿíí³ Ëàí-
äàó–˳ôøèöà àáî íà çâè÷àéíîìó ñï³íîâîìó ãàì³ëüòîí³àí³ Ãåéçåíáåðãà. Àíàë³òè÷íî â êîíòèíóàëüíîìó
íàáëèæåíí³ òà ÷èñåëüíî îòðèìàíî ñï³íîâ³ çáóäæåííÿ ç cê³í÷åííîþ åíåð㳺þ, àáî ñîë³òîíè, ÿê³ ìîæíà
ðîçãëÿäàòè ÿê çâ’ÿçàí³ ñòàíè âåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ ìàãíîí³â N. Çíàéäåíî çàëåæí³ñòü åíåð㳿 ñîë³òîíó
E P N( , ) ³ç çàäàíèì ÷èñëîì çâ’ÿçàíèõ ìàãíîí³â â³ä éîãî ³ìïóëüñó P. Êîíòèíóàëüíå íàáëèæåííÿ äຠãàð-
íèé îïèñ ñîë³òîí³â ó ò³é îáëàñò³ ïàðàìåòð³â, äå íàìàãí³÷åí³ñòü ó ñîë³òîí³ ³ñòîòíî â³äð³çíÿºòüñÿ äëÿ
ñóñ³äí³õ âóçë³â ãðàòêè, ³ åôåêòè äèñêðåòíîñò³ ïîâèíí³ áóòè çíà÷í³.
PACS: 05.45.Yv Ñîëèòîíû;
75.10.Hk Êëàññè÷åñêèå ñïèíîâûå ìîäåëè;
75.10.Jm Êâàíòîâûå ñïèíîâûå ìîäåëè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïèíîâûå êîëåáàíèÿ, èçîòðîïíîå îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå, ôåððîìàãíåòèê,
ñîëèòîí.
1. Ââåäåíèå
Ëîêàëèçîâàííûå íåëèíåéíûå âîçìóùåíèÿ ñ êîíå÷-
íîé ýíåðãèåé, èëè ñîëèòîíû, èãðàþò ñóùåñòâåííóþ
ðîëü ïðè àíàëèçå íèçêîðàçìåðíûõ ìàãíåòèêîâ. Äîñòà-
òî÷íî ïîëíîå îïèñàíèå ìàãíèòíûõ ñîëèòîíîâ áûëî
äàíî äëÿ ãåéçåíáåðãîâñêèõ íèçêîðàçìåðíûõ ìàãíåòè-
êîâ, ñîñòîÿíèå êîòîðûõ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (ïðè
T � 0) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàíäàó–Ëèôøèöà
äëÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà M/|M|, îïèñûâàþùåãî íà-
ïðàâëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè M. Êëàññè÷åñêèå ñâîé-
© Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí, 2008
ñòâà è êâàçèêëàññè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñîëèòîíîâ äëÿ
òàêèõ ôåððîìàãíåòèêîâ ìîæíî îïèñàòü íà îñíîâå
îáùåé êîíöåïöèè, ñîãëàñíî êîòîðîé ñîëèòîí ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå áîëüøîãî ÷èñëà
( )N �� 1 ìàãíîíîâ. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ñîëèòîíà ñ çàäàí-
íûì N è èìïóëüñîì P ìåíüøå, ÷åì ýíåðãèÿ N ìàãíî-
íîâ ñ ñóììàðíûì èìïóëüñîì P. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå
ïðèìåíèìî êàê â îäíîìåðíîì ñëó÷àå (1D), òàê è äëÿ
äâóõ- è òðåõìåðíûõ ñîëèòîíîâ, â òîì ÷èñëå äëÿ ñîëè-
òîíîâ ñ òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì (ñì. îáçîðíûå ðàáî-
òû [1,2]). Ïîäîáíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçðàáàòûâàþòñÿ
è äëÿ ìíîãèõ ïîëåâûõ òåîðèé è ìîäåëåé ôèçèêè êîí-
äåíñèðîâàííûõ ñðåä [3].
Äëÿ îäíîìåðíûõ ìàãíåòèêîâ ðàçâèòàÿ êîíöåïöèÿ ïîä-
òâåðæäàåòñÿ ñðàâíåíèåì äàííûõ êâàçèêëàññè÷åñêîãî
àíàëèçà ñîëèòîíîâ ñ òî÷íûìè êâàíòîâûìè ðåçóëüòàòàìè.
Çàìåòèì, ÷òî ôåððîìàãíèòíîå ñîñòîÿíèå ñïèíîâîé öå-
ïî÷êè íå ðàçðóøàåòñÿ êâàíòîâûìè ôëóêòóàöèÿìè, êàê
ýòî èìååò ìåñòî äëÿ àíòèôåððîìàãíåòèêîâ [4]. Ñâîéñòâà
êâàíòîâûõ ñîëèòîíîâ èçó÷åíû äëÿ ðÿäà òî÷íî ðåøàåìûõ
êâàíòîâûõ çàäà÷ î âîçáóæäåíèÿõ â êâàíòîâûõ öåïî÷êàõ
ñî ñïèíîì S /�1 2. Âïåðâûå òàêàÿ çàäà÷à áûëà ðåøåíà
Áåòå äëÿ öåïî÷êè ñ èçîòðîïíûì îáìåííûì âçàèìîäåéñò-
âèåì [5], çàòåì îíà áûëà îáîáùåíà äëÿ áîëåå ñëîæíîé
XYZ-ìîäåëè ñ àíèçîòðîïíûì âçàèìîäåéñòâèåì [2]. Èíò-
ðèãóþùèì îáñòîÿòåëüñòâîì ÿâèëîñü òî, ÷òî êâàçèêëàñ-
ñè÷åñêèé àíàëèç â òî÷íîñòè âîñïðîèçâåë êâàíòîâûé
îòâåò, âêëþ÷àÿ íàëè÷èå ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè
ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî èìïóëüñà. Ïåðèîäè÷åñêèé çàêîí
äèñïåðñèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò â äèñêðåò-
íîé êâàíòîâîé ìîäåëè, íî åãî ïðîèñõîæäåíèå äëÿ êîí-
òèíóàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ëàíäàó–Ëèôøèöà íå ÿñíî. Äëÿ
ñîëèòîíîâ òèïà äîìåííûõ ñòåíîê âîçìîæíà òîïîëîãè÷åñ-
êàÿ àðãóìåíòàöèÿ òàêîãî ïîâåäåíèÿ [6], íî äëÿ äèíàìè-
÷åñêèõ ñîëèòîíîâ îíà íå ïðèìåíèìà.
Âòîðîé âîïðîñ, êàñàþùèéñÿ ïðèìåíèìîñòè ñîëè-
òîííûõ ñîñòîÿíèé ê îïèñàíèþ ðåàëüíûõ ñïèíîâûõ öå-
ïî÷åê, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðèáëèæåíèå óðàâíåíèÿ
Ëàíäàó–Ëèôøèöà ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ìîäóëü âåêòîðà
íàìàãíè÷åííîñòè M îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Îòìåòèì,
÷òî â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå Ëàíäàó è Ëèôøèöà óðàâíå-
íèå âûïèñàíî èìåííî äëÿ íîðìèðîâàííîé íàìàãíè÷åí-
íîñòè M/|M| [7]. Ýòî óñëîâèå åñòåñòâåííî ïîëó÷àåòñÿ
äëÿ ìàãíåòèêîâ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ãàìèëüòîíèà-
íîì Ãåéçåíáåðãà, âêëþ÷àþùèì òîëüêî áèëèíåéíîå âçà-
èìîäåéñòâèå ñïèíîâ âèäà JS S1 2. Îíî ñâÿçàíî ñ òåì
ôàêòîì, ÷òî äëÿ òàêîé ìîäåëè âîçìîæíî çàìêíóòîå
îïèñàíèå ñïèíîâîé äèíàìèêè â òåðìèíàõ òîëüêî ñðåä-
íåãî çíà÷åíèÿ ñïèíà íà îñíîâå ñïèíîâûõ êîãåðåíòíûõ
ñîñòîÿíèÿõ, ò.å. ñîñòîÿíèÿõ ãðóïïû SO(3) ~ SU(2), êî-
òîðûå ïàðàìåòðèçóþòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì [8,9]. Íî
åùå Ìîðèÿ îòìå÷àë [10], ÷òî âûõîä çà ðàìêè ýòîé ìîäå-
ëè (íàïðèìåð, ó÷åò îäíîèîííîé àíèçîòðîïèè) äàæå ïðè
íóëåâîé òåìïåðàòóðå ìîæåò ïðèâîäèòü ê èçìåíåíèþ
ìîäóëÿ âåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè.  ñëó÷àå ïðîñòåé-
øèõ ÷èñòî èçîòðîïíûõ ìîäåëåé äëÿ ñïèíà S /� 1 2
îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå íå îãðàíè÷èâàåòñÿ áèëèíåé-
íûì ãåéçåíáåðãîâñêèì ñëàãàåìûì [1,3].  ÷àñòíîñòè,
äëÿ èçîòðîïíîãî ìàãíåòèêà ñî ñïèíîì S �1 è ó÷åòîì
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè ìîæíî
èñõîäèòü èç ãàìèëüòîíèàíà
� [ ( ) ]
,
H JS S K S Si j i j
i j
� � �
� �
� 2 , (1)
â êîòîðîì J è K îïðåäåëÿþò áèëèíåéíîå è áèêâàäðà-
òè÷åñêîå ïî ñïèíàì îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå, � �i j,
îáîçíà÷àåò ïàðó áëèæàéøèõ óçëîâ â ðåøåòêå.
Äëÿ äàííîé ìîäåëè õàðàêòåð îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ
áîëåå ñëîæíûé, ÷åì â îáû÷íîì ìàãíåòèêå, è îïðåäå-
ëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ïàðàìåòðîâ J è K . Êðîìå ôåððî-
ìàãíèòíîé ôàçû, êîòîðàÿ óñòîé÷èâà ïðè J K J� �, 0, è
àíòèôåððîìàãíèòíîé ôàçû, óñòîé÷èâîé â ïðèáëèæå-
íèè ñðåäíåãî ïîëÿ ïðè J K J , 0, â äàííîé ìîäåëè
âîçìîæíû äâå òàê íàçûâàåìûå íåìàòè÷åñêèå ôàçû,
(êîëëèíåàðíàÿ è îðòîãîíàëüíàÿ [11,12]), â êîòîðûõ
ñðåäíèé ñïèí � �S ðàâåí íóëþ äàæå ïðè íóëåâîé òåìïå-
ðàòóðå. Îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ íåìàòè÷åñêèõ ôàç
ðàçäåëÿþò îáëàñòè ñòàáèëüíîñòè ôåððîìàãíèòíîé è
àíòèôåððîìàãíèòíîé ôàç.
Äèíàìèêà ñïèíîâ â ôåððîìàãíèòíîé ôàçå ìîäåëè
(1) êà÷åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò äèíàìèêè, õàðàêòåðíîé
äëÿ ãåéçåíáåðãîâñêèõ ìàãíåòèêîâ. Äëÿ ýòîé ìîäåëè
ïðè ëþáûõ ñîîòíîøåíèÿõ ïàðàìåòðîâ J è K âîçìîæíî
äèíàìè÷åñêîå ñîêðàùåíèå ñïèíà, ÷òî â ïðèíöèïå íå-
âîçìîæíî äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàíäàó–Ëèôøèöà. Ýòà ìî-
äåëü àêòèâíî èññëåäóåòñÿ â ïîñëåäíåå âðåìÿ äëÿ îïè-
ñàíèÿ êàê òðåõìåðíûõ [13,14], òàê è íèçêîðàçìåðíûõ
ìàãíåòèêîâ [15,16]. Îíà èíòåðåñíà íå òîëüêî äëÿ
ôèçèêè ìàãíåòèêîâ, íî è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè
èññëåäîâàíèè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ áîçå-ýéíøòåéíîâ-
ñêèõ êîíäåíñàòîâ íåéòðàëüíûõ àòîìîâ ñ íåíóëåâûì
ñïèíîì [17]. Ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ J/K (íà-
ïðèìåð, ïðè J K� îêîëî òî÷êè ïåðåõîäà ìåæäó ôåððî-
ìàãíèòíîé è íåìàòè÷åñêîé ôàçàìè) ìîäåëü (1) èìååò
ñèììåòðèþ SU(3), áîëåå âûñîêóþ, ÷åì SO(3).  ðàáî-
òå [18] ïîêàçàíî, ÷òî â ýòîé òî÷êå ìîäåëü (1) òî÷íî èí-
òåãðèðóåìà è äëÿ íåå ñóùåñòâóþò ìíîãîñîëèòîííûå
ðåøåíèÿ.
Äëÿ àíèçîòðîïíûõ ìîäåëåé ôåððîìàãíåòèêîâ, òàê-
æå äîïóñêàþùèõ êâàíòîâîå ñîêðàùåíèå ñïèíà, èññëå-
äîâàíû ïðîñòåéøèå ñîëèòîííûå ñîñòîÿíèÿ, íåïîä-
âèæíûå äîìåííûå ñòåíêè è âèõðè [19] è äâèæóùèåñÿ
äîìåííûå ñòåíêè [20]. Îäíàêî äëÿ èçîòðîïíîé ìîäåëè
(1) áûëè èçó÷åíû 1D ñîëèòîíû [21] è 2D òîïîëîãè÷åñ-
êèå ñîëèòîíû [15,22] â ôàçå êîëëèíåàðíîãî íåìàòèêà,
à òàêæå ñîëèòîíû îêîëî SU(3)-ñèììåòðè÷íîé òî÷êè
J K� [23], íî ñïèíîâàÿ äèíàìèêà îñòàëüíûõ ôàç, äàæå
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 237
ïðîñòåéøåé ôåððîìàãíèòíîé, èçó÷åíà ñëàáî è òðåáó-
åò äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäîâàíà äèíàìèêà íåëè-
íåéíûõ êîëåáàíèé íàìàãíè÷åííîñòè è îäíîìåðíûõ
ñîëèòîíîâ â ôåððîìàãíèòíîé ôàçå ìîäåëè (1). Àíàëèç
ïðîâåäåí â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè íà îñíî-
âå ñèñòåìû äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ ïîëíîãî íà-
áîðà ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ñïèíà
S �1 íà óçëå, ñ ïîëíûì ó÷åòîì ýôôåêòîâ êâàíòîâîãî
ñîêðàùåíèÿ ñïèíà. Óðàâíåíèÿ ñïèíîâîé äèíàìèêè èñ-
ñëåäîâàíû êàê íà îñíîâå êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæå-
íèÿ, òàê è ÷èñëåííî, äëÿ äèñêðåòíîé âåðñèè ìîäåëè.
Ïîëó÷åíû ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñïåöèôè÷åñêèå
«ïðîäîëüíûå» ñîëèòîíû, äëÿ êîòîðûõ íàïðàâëåíèå
âåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì, íî
èçìåíÿåòñÿ ìîäóëü âåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè. Çàâèñè-
ìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî èìïóëüñà ïåðèîäè÷åñ-
êàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷íî èíòåãðèðóåìîé
òî÷êè J K� . Äàííàÿ ïåðèîäè÷íîñòü íå ÿâëÿåòñÿ, â îò-
ëè÷èå îò äîìåííûõ ñòåíîê â ôåððîìàãíåòèêàõ èëè ëè-
áîâñêèõ ñîñòîÿíèé â ñïèíîâîì íåìàòèêå [21], óíè-
âåðñàëüíûì ñâîéñòâîì ìîäåëè è ðàçðóøàåòñÿ äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ J/K .
2. Ìîäåëü è ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ
ôåððîìàãíåòèêà
Êàê èçâåñòíî, äëÿ ïîëíîãî îïèñàíèÿ ñèñòåìû ñî
ñïèíîì S /� 1 2 èñïîëüçîâàíèå îáû÷íûõ ñïèíîâûõ êî-
ãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèé (êîãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèé ãðóïïû
SO(3) ~ SU(2), ñì.[9] ) íåäîñòàòî÷íî, è íóæíî èñõî-
äèòü èç êîãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèé ãðóïïû SU(2S �1)
[14]. Äëÿ ñïèíà S �1èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ êîãå-
ðåíòíûõ ñîñòîÿíèé ãðóïïû SU(3) äàåò âîçìîæíîñòü
ïîñëåäîâàòåëüíî ó÷åñòü áèêâàäðàòè÷íûé îáìåí è
îïèñàòü òàêîå ñâîéñòâî ìàãíåòèêà, êàê êâàíòîâîå ñî-
êðàùåíèå ñïèíà íà óçëå. Ýòè ñîñòîÿíèÿ óäîáíî ïàðà-
ìåòðèçîâàòü äâóìÿ âåùåñòâåííûìè òðåõìåðíûìè âåê-
òîðàìè u è v [15,23].
| ( ) |
, ,
u, v� � � �
�
� u ivj j
j x y z
j
, (2)
ãäå u è v âåùåñòâåííûå âåêòîðû. Ñîñòîÿíèÿ |
j � îïðå-
äåëÿþò äåêàðòîâû ñîñòîÿíèÿ äëÿ S �1 è âûðàæàþòñÿ
÷åðåç îáû÷íûå ñîñòîÿíèÿ | , |� � �1 0 ñ ïðîåêöèåé ñïèíà
S z � �1 0, ôîðìóëàìè | |
z � � �0 , 2 1 1| (| | ,
x � � � � � � �
2 1 1| (| | )
y i� � � � � � � . Â ñèëó óñëîâèé íîðìèðîâêè è
ïðîèçâîëüíîñòè ôàçû âîëíîâîé ôóíêöèè âåêòîðû u è
v ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
u v u v
2 2 1 0� � � �, . (3)
Íåïðèâîäèìûå ñïèíîâûå ñðåäíèå, êîòîðûå äëÿ S �1
âêëþ÷àþò ñðåäíåå çíà÷åíèå ñïèíà � � �S m è áèëèíåé-
íûå ïî êîìïîíåíòàì ñïèíà êâàäðóïîëüíûå ñðåäíèå,
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
m u v� � � � � � �2 2[ , ], S S S S / u u v vi k k i ik i k i k
. (4)
Äëÿ ôåððîìàãíèòíîãî îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòå-
ìû âåëè÷èíà � �m �1, ïðè òîì, ÷òî ñîñòîÿíèå âûðîæäå-
íî ïî íàïðàâëåíèþ m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îñíîâíîì
ñîñòîÿíèè | | | |u v� �1 2/ , è ïîâîðîò ýòèõ âåêòîðîâ âîê-
ðóã íàïðàâëåíèÿ m íå ìåíÿåò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.
Îäíàêî äëÿ ëþáîãî � �m 1 ñîñòîÿíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ
íàïðàâëåíèåì u è v â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
m, ôèçè÷åñêè ðàçëè÷èìû çà ñ÷åò ïðèñóòñòâèÿ êâàäðó-
ïîëüíûõ ñïèíîâûõ ñðåäíèõ âèäà � � �S Sx y
2 2 è � �S Sx y .
Êàê ïîêàçàíî íèæå, óãîë ïîâîðîòà u è v âîêðóã âåêòî-
ðà ñðåäíåãî ñïèíà m èãðàåò ðîëü îáîáùåííîé êîîðäè-
íàòû, ñîïðÿæåííîé äëèíå m.
Êâàçèêëàññè÷åñêîå îïèñàíèå êâàíòîâîé ìîäåëè (1)
íà îñíîâå êîãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèé (2) áàçèðóåòñÿ íà äè-
íàìè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ äëÿ ïåðåìåííûõ u è v. Äèíàìè-
êà ýòèõ ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ ëàãðàíæèàíîì ñèñòå-
ìû, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå [15]:
� � � � � � ��2� v u u v}i
i
i / t W( ) { , , (5)
ãäå W { ,u v} — ýíåðãèÿ ñèñòåìû, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ
êâàíòîâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì ãàìèëüòîíèàíà ñèñòå-
ìû (1), âû÷èñëåííûì íà ñîñòîÿíèÿõ (2). Êîíêðåòíûé
âèä ýòîé ýíåðãèè äëÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè ìàãíåòèêà
ïðèâåäåí â ðàáîòå [15]. Íà îñíîâå ëèíåàðèçîâàííîé
âåðñèè ëàãðàíæèàíà (5) ëåãêî ïîëó÷èòü ñïåêòð ÷àñòîò
ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé (ìàãíîíîâ), êîòîðûé ñîñòîèò
èç äâóõ âåòâåé. Îäíà èç íèõ íå ñîäåðæèò ïàðàìåòðà
áèêâàäðàòè÷íîãî îáìåíà è ïîõîæà íà òó, ÷òî ïîëó÷àåò-
ñÿ äëÿ îáû÷íîãî ãåéçåíáåðãîâñêîãî ôåððîìàãíåòèêà,
��1 1 2( ) ( ( ))k k� �Jz C . (6)
Çäåñü è äàëåå îáîçíà÷åíî C /z zi( ) ( ) ,k
ka
a
� �1 e —
÷èñëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé, a — íàáîð âåêòîðîâ, ñîå-
äèíÿþùèõ äàííûé óçåë ðåøåòêè ñ ñîñåäíèìè. Äëÿ îä-
íîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷àåì ��1 2 1 2� �J ka( cos( )), ãäå
a — ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè.
Âòîðàÿ âåòâü ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé îòâå÷àåò
êîëåáàíèÿì âåêòîðîâ u, v â îäíîé ïëîñêîñòè ñ íàðóøå-
íèåì óñëîâèÿ |u| = |v|, ïðè ýòîì íàìàãíè÷åííîñòü
ìåíÿåòñÿ ïî äëèíå. Ñîîòâåòñòâóþùèå êâàçè÷àñòèöû
ìîæíî íàçâàòü ïðîäîëüíûìè ìàãíîíàìè. ×òîáû ïîëó-
÷èòü èõ ñïåêòð, óäîáíî ïåðåéòè ê íîâûì óãëîâûì ïå-
ðåìåííûì � è �,
u e e� �cos cos sin�� � �� �x y
v e e� � �sin ( sin cos )� � �x y , (7)
238 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3
Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí
ãäå e x è e y — îðòû â ïëîñêîñòè xy, êîòîðàÿ âûáðàíà
ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ñïèíà â îñíîâíîì ñî-
ñòîÿíèè. Òàêàÿ çàïèñü àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàåò óñëî-
âèÿ (2), â ÷àñòíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü âåêòîðîâ u è
v. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (7) èìååò ðåøåíèå
òèïà íåëèíåéíîé ïëîñêîé âîëíû ñëåäóþùåãî âèäà:
� � � �� � � �0 const, .kx t , (8)
ãäå ÷àñòîòà ñâÿçàíà ñ âîëíîâûì âåêòîðîì ñîîòíîøå-
íèåì
�� �NL zJ zK/ C( ) sin [ ( ) ( ( ))]k k� � �2 2 1 20 , (9)
â êîòîðîå àìïëèòóäà âîëíû sin 2 0� âõîäèò ïðîñòûì
ìóëüòèïëèêàòèâíûì îáðàçîì. Â ëèíåéíîì ïðåäåëå,
êîãäà � � �� �0 4/ , åìó îòâå÷àåò ñïåêòð ÷àñòîò
��� �k k� � �zJ zK/ C( ) ( ( ))2 1 2 (10)
èëè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå
�� �( ( cos )k � � �2 1 2J K ak . (11)
Èç ýòîé çàâèñèìîñòè âèäíî, ÷òî ôåððîìàãíèòíîå
ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâî òîëüêî ïðè J K� è J � 0, âíå ýòîé
îáëàñòè ýíåðãèÿ ìàãíîíîâ ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè K � 0, ò.å. äëÿ îáû÷íîãî
ãåéçåíáåðãîâñêîãî ìàãíåòèêà, äèñïåðñèÿ ñïåêòðà (10)
èñ÷åçàåò. Ýòîò ðåçóëüòàò ÿñåí, ïîñêîëüêó ïðèðîäà óêà-
çàííûõ êîëåáàíèé ñâÿçàíà ñ èçìåíåíèåì íàìàãíè÷åí-
íîñòè ïî äëèíå, è ýòè êîëåáàíèÿ îòñóòñòâóþò äëÿ
óðàâíåíèÿ Ëàíäàó–Ëèôøèöà.
Ñïåêòðû êâàçè÷àñòèö äëÿ ìîäåëè (1) â ëèíåéíîì
ïðèáëèæåíèè ïîëó÷åíû Ïàïàíèêîëàó ìåòîäîì 1/n-ðàç-
ëîæåíèÿ [11]. Îäíàêî äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ íàøèõ ðåçóëü-
òàòîâ ñ äàííûìè ðàáîòû [11] ñëåäóåò îòìåòèòü îäíî
âåñüìà íåòðèâèàëüíîå îáñòîÿòåëüñòâî. Äåëî â òîì, ÷òî
âåêòîðû u è v ÿâëÿþòñÿ ïî ñóùåñòâó âåêòîðàìè-äèðåê-
òîðàìè. Íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû, íàïðèìåð êâàäðó-
ïîëüíûå ñðåäíèå � � �S S S Sx y y x è � � �S Sx y
2 2 , îòëè÷íûå
îò íóëÿ äëÿ ïëàíàðíîãî ðåøåíèÿ (7), áèëèíåéíû ïî
ýòèì ïåðåìåííûì. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå óãëîâîé ïåðå-
ìåííîé, îïðåäåëÿþùåé èõ ïîâîðîò â ïëîñêîñòè, íàäî
âûáðàòü âåëè÷èíó 2�. Èíûìè ñëîâàìè, íàáëþäàåìûå
âåëè÷èíû îñöèëëèðóþò ñ óäâîåííîé ÷àñòîòîé ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ êîëåáàíèÿìè u è v. Ñëåäîâàòåëüíî, «èñòèí-
íàÿ» ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ ñïèíîâûõ ñðåäíèõ â äâà ðàçà
áîëüøå ÷àñòîòû, îïðåäåëÿþùåé îñöèëëÿöèè u è v. Òî
æå îòíîñèòñÿ è ê âîëíîâîìó âåêòîðó k. Ïîêà ìû èññëå-
äóåì êëàññè÷åñêèå êîëåáàíèÿ èëè èçó÷àåì ñîëèòîíû,
âû÷èñëÿÿ èõ ýíåðãèþ, ÷èñëî ìàãíîíîâ èëè èìïóëüñ,
ýòî ðàçëè÷èå ÷àñòîò íå èãðàåò ðîëè. Îäíàêî ïðè ïåðå-
õîäå îò êëàññè÷åñêîé âîëíû ê êâàçè÷àñòèöàì ïî ñòàí-
äàðòíûì ïðàâèëàì �� �( ) ( )k p� , ãäå p k� � , òàêîå
ðàçëè÷èå ñóùåñòâåííî ïðîÿâëÿåòñÿ. Êîãäà �D è k D
îïèñûâàþò êîëåáàíèÿ âåêòîðà-äèðåêòîðà u èëè v òàêî-
ãî òèïà, êàê ïðåäñòàâëåíû â ôîðìóëå (8), ïðàâèëüíûì
ñîîòíîøåíèåì áóäåò � �( ) ( )p kD D� 2� è p k D� 2� .
Åñëè äåéñòâîâàòü ïî ýòîìó ïðàâèëó, òî íàøè ðåçóëüòà-
òû äëÿ ÷àñòîò ìàãíîíîâ ïåðåõîäÿò â òå, ÷òî ïîëó÷åíû â
ðàáîòå [11].
Óêàçàííàÿ çàêîíîìåðíîñòü íîñèò îáùèé õàðàêòåð, è
äîëæíà ïðîÿâëÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ ïîëåâûõ ìîäåëåé, äè-
íàìèêà êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè äëÿ âåêòî-
ðà-äèðåêòîðà. Íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, ýòà çàêîíîìåð-
íîñòü íå îáñóæäàëàñü ðàíåå. Â ðàáîòå [15] ïðîâåäåíî
ñîïîñòàâëåíèå ÷àñòîò êîëåáàíèé âåêòîðîâ u è v è ýíåð-
ãèé ìàãíîíîâ, íî òîëüêî â îáëàñòè ëèíåéíîãî çàêîíà
äèñïåðñèè, � � ck è � � cp, ïîýòîìó ýòà çàêîíîìåðíîñòü
íå ïðîÿâèëàñü. Â ðàáîòå [21] íàìè ïðîâåäåíî ñðàâíå-
íèå ýíåðãèè ìàãíîíîâ �( )p (íàéäåííûõ ïî ñòàíäàðòíî-
ìó ïðàâèëó, � �� � ) è ýíåðãèè ñîëèòîíîâ òèïà âîëí ïî-
âîðîòà (ëèáîâñêèõ ñîñòîÿíèé) E P( ). Ôóíêöèè �( )p è
E P( ) äîëæíû áûòü áëèçêè òîëüêî â îáëàñòè ìàëûõ
ýíåðãèé è èìïóëüñîâ, ãäå îáå çàâèñèìîñòè ëèíåéíûå.
Îäíàêî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé èìïóëüñà ìàãíîíà èëè
êâàäðàòè÷íîãî çàêîíà äèñïåðñèè, êàê äëÿ ôåððîìàãíå-
òèêà â íàøåé ìîäåëè, ó÷åò óêàçàííîé âûøå çàêîíîìåð-
íîñòè íåîáõîäèì.
3. Îäíîìåðíûå ñîëèòîíû
Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûå âîçáóæäåíèÿ â ìîäåëè
(1), à èìåííî, ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ìàãíîíîâ òèïà
(10), êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü «ïðîäîëüíûìè»' ñîëèòî-
íàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äèñêðåòíûå ïåðåìåííûå
u i t( ) è v i t( ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåïðåðûâíûå
ôóíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè. Îãðàíè÷èìñÿ îäíî-
ìåðíûì ñëó÷àåì, u u� ( , )x t è v v� ( , )x t . Ëàãðàíæèàí
äëÿ ýòèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� � � �
�
�
��
�
�
�
�
��
dx
a t
w2�v
u
u v{ }, , (12)
ãäå a — ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè, w{ , }u v — ïëîòíîñòü ýíåð-
ãèè ñèñòåìû.  ìàêðîñêîïè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè w çàâè-
ñèò îò âåêòîðîâ u, v è èõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîä-
íûõ.  îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìà íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé
äëÿ u è v ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (3) ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è åå àíàëèç äîñòàòî÷íî ñëîæåí.
Îäíàêî äëÿ êîíòèíóàëüíîé ìîäåëè (12) è åå äèñêðåòíîãî
àíàëîãà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòíîå ïëà-
íàðíîå ðåøåíèå, â êîòîðîì âåêòîðû u è v ðàçâîðà÷èâà-
þòñÿ â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, à íàìàãíè÷åííîñòü m ìå-
íÿåòñÿ òîëüêî ïî äëèíå (ñì. [21,22]). Ñòðóêòóðà ýòîãî
ðåøåíèÿ òàêàÿ æå, êàê áûëà çàïèñàíà âûøå ïðè îïèñà-
íèè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïëîñêèõ âîëí (7). Â òàêîì
ðåøåíèè âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè m íàïðàâëåí âäîëü
îñè z è ðàâåí ïî âåëè÷èíå sin 2�. Äëÿ óäîáñòâà ñðàâíå-
íèÿ ñ ñîëèòîíàìè â íåãåéçåíáåðãîâñêîì ôåððîìàãíå-
òèêå âìåñòî ââåäåííûõ âûøå óãëîâûõ ïåðåìåííûõ (7)
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïåðåìåííóþ � � �� �2 2/ .  òåðìè-
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 239
íàõ ïåðåìåííûõ � �, ëàãðàíæèàí çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
� L dx/a( ), ãäå ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà
L / t w� � � � ��(cos ) ( ) { , }� � � �1 , (13)
è ïëîòíîñòü ýíåðãèè w{ , }� � èìååò âèä
w J K Ka / x{ , } ( ) sin sin� � � �� � �� � � � � �2 2 2 2
� � � � �( )[ ( ) sin ]( )a / K J K / x2 2 24 2 � � . (14)
Çäåñü è äàëåå ðàññìàòðèâàåì òîëüêî îäíîìåðíûå ðå-
øåíèÿ. Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà L{ , }� � íå
çàâèñèò ÿâíî îò ïåðåìåííîé �, à òîëüêî îò åå ïðîèçâîä-
íûõ � ��/ x è � ��/ t, ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ, â êîòîðûõ âåê-
òîðû u è v ïðåöåññèðóþò â ïëîñêîñòè xy ñ ïîñòîÿííîé
÷àñòîòîé � â íåêîòîðîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþV . Ìû îãðàíè÷èìñÿ àíàëèçîì
òàêèõ äâóõïàðàìåòðè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ, êîòîðûå ôîð-
ìàëüíî ïîõîæè íà ïðåöåññèîííûå ñîëèòîíû â ãåéçåí-
áåðãîâñêèõ ôåððîìàãíåòèêàõ [1,2]. Áóäåì èñõîäèòü èç
ðåøåíèÿ âèäà
� � � � � � � �� � � � � � � !( ), ( ) ,t / t V , (15)
ãäå � �x Vt, øòðèõîì îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî . Â
êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âûáåðåì, ÷òî âäàëè îò
ñîëèòîíà ìàãíåòèê íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè,
÷òî îòâå÷àåò � "� , ! #� , ïðè � �# .
Çàïèñàâ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà � � �L/ �' const, ñ ó÷åòîì
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ìîæíî íàéòè
! � ��
�
�V
K /4 22cos ( )
. (16)
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà èìååò åùå îäèí èíòåãðàë
äâèæåíèÿ, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � !
�
� !
� !
�
� !
� ��
�
�
�
L L
L const . (17)
Èñïîëüçóÿ ýòîò èíòåãðàë, ìîæíî çàïèñàòü îáûêíîâåí-
íîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè � ( ):
a
K J K
2
2 2
4
2( ) [ ( ) sin ]! � � �� �
� � � �( ) sin sinJ K
V
K
2 2
2 2
22
2 4 2
� �
� �
�
�
tg .
(18)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ëåãêî âûïèñàòü â êâàäðàòó-
ðàõ, íî ïðåäñòàâèòü â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ ÿâíóþ
çàâèñèìîñòü � � � ( ) íå óäàåòñÿ. Îäíàêî ìîæíî îïè-
ñàòü îáùèå ñâîéñòâà ñîëèòîíîâ.  ÷àñòíîñòè, ëåãêî
óêàçàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ âäàëè îò
ñîëèòîíà, ïðè � �#,
� � �$ � � �exp[ (| | ) ]/x V / c /0
2 2
01 4 , (19)
ãäå ââåäåíû õàðàêòåðíûå âåëè÷èíû
x a
K
J K
J K c a K J K0 0 2 2�
�
� � � �, ( ), ( )� �� . (20)
Âåëè÷èíà x 0 èãðàåò ðîëü õàðàêòåðíîãî ìàñøòàáà íå-
îäíîðîäíîñòè è èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ìàãíèòíàÿ
äëèíà â àíèçîòðîïíîì ãåéçåíáåðãîâñêîì ôåððîìàãíå-
òèêå [1,2]. Âåëè÷èíû�0 èV cc � 2 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ìèíèìàëüíóþ ÷àñòîòó è ôàçîâóþ ñêîðîñòü ìàãíîíîâ
ëèíåéíîé òåîðèè ñîîòâåòñòâåííî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ íà ïëîñêîñòè �V
íàõîäèòñÿ âíóòðè ïàðàáîëû
1 4 02 2
0� � �V / c /� � , (21)
ïðè ïðèáëèæåíèè ê êîòîðîé îáëàñòü ëîêàëèçàöèè ñî-
ëèòîíà %x x V / c /~ ( ) /� � �
0
2 2
0
1 21 4 � � âîçðàñòàåò. Íà
ãðàíè÷íîé ëèíèè (21) ñêîðîñòü ñîëèòîíà äîñòèãàåò
ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî ïðè äàííîé ÷àñòîòå çíà÷åíèÿ
V a/ K J K Km( ) ( ) ( )� �� � �2 4 2� � .
Äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ âåëè÷èí èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ
â ñîëèòîíå, à èìåííî, åãî ýíåðãèè E, èìïóëüñà P è ÷èñ-
ëà ñâÿçàííûõ ìàãíîíîâ N , ñ èñïîëüçîâàíèåì (18) ìîæ-
íî çàïèñàòü ïðîñòûå âûðàæåíèÿ â âèäå îïðåäåëåííûõ
èíòåãðàëîâ. Ýíåðãèÿ ñîëèòîíà ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâ-
êîé (18) â (14):
E
K
J K
J K
J K /K
�
�
� �&
'(
)
*+
� �
�
2
4
2 2
1 22
0
0
( ) cos sin
[( ) ]s�
�
�
�
�
in
cos ( cos / )
�
� � � �
�
/
/ V / c /
d
2
4 2 2 42 2 2 2
0� �
, (22)
ãäå
�
� �
0
2 2 2 2 2 4 2 2
2
4 2
�
� � �&
'
(
(
)
*
+
+
arccos
� �
�
c V K a K a c
c
îïðåäåëÿåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óãëîâîé ïåðåìåííîé � â ñîëèòîíå. Âáëèçè ïàðàáîëû (21) àìïëèòóäà ñîëèòîíà óáûâàåò,
� � �0 0
2 2
0
1 21 4~ ( ) /� �x V / c / . Ïðèâåäåì òàêæå ôîðìóëû äëÿ îñòàëüíûõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ, âàæíûõ äëÿ êâàíòîâàíèÿ
ñîëèòîíà:
240 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3
Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí
èìïóëüñà
P
V
ac
/
/
J K /K /
/
�
� �
�
�
� sin
cos
[( ) ]sin
cos
�
�
�
�
�
2
2
1 2 2
4 2
2
0
2
0
V / c / /
d
2 2 2
02 4( cos )� � �
�
�
,
(23)
è ÷èñëà ìàãíîíîâ
N
K
J K
J K /K
/ V / c
�
�
� �
�
�2
2
1 2 2
4 20
2 2 2
0
sin
[( ) ]sin /
cos ( c
� �
�
�
os )2
02 4� � �
�
/ /
d
�
. (24)
Âñå òðè èíòåãðàëà â îáùåì ñëó÷àå âûðàæàþòñÿ òîëüêî
÷åðåç ñëîæíûå êîìáèíàöèè ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé,
ïîýòîìó óäîáíåå íàéòè èõ ÷èñëåííî è ïðîàíàëèçèðî-
âàòü êà÷åñòâåííî (ñì. íèæå). Èñêëþ÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ
îáëàñòü îêîëî ãðàíè÷íîé ëèíèè (21), à òàêæå äðóãîé
ïðåäåëüíûé ñëó÷àé V � 0 è �� 0. Âòîðîé ñëó÷àé âà-
æåí äëÿ èíòåðïðåòàöèè ñîëèòîííûõ ðåøåíèé. Ïðè
ýòîì çíà÷åíèå ÷èñëà ñâÿçàííûõ ìàãíîíîâ ëîãàðèôìè-
÷åñêè ðàñõîäèòñÿ, à ýíåðãèÿ ñîëèòîíà ïðèíèìàåò êî-
íå÷íîå çíà÷åíèå E0. Ôèçè÷åñêîå îáúÿñíåíèå ýòîãî ïî-
âåäåíèÿ òàêîå æå, êàê è äëÿ ïðåöåññèîííûõ ñîëèòîíîâ
â àíèçîòðîïíîì ôåððîìàãíåòèêå: â ýòîì ïðåäåëå ñîëè-
òîí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ äî-
ìåííûõ ñòåíîê, ðàçíåñåííûõ íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå
%x aN~ äðóã îò äðóãà. Îáëàñòü ìåæäó ñòåíêàìè âíî-
ñèò âêëàä â N , íî íå â E; ïðåäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîëèòîíà
E0 îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñòåíêàìè è ðàâíà óäâîåííîé
ýíåðãèè ñòåíêè, êîòîðóþ ëåãêî âû÷èñëèòü. Äëÿ
ñðàâíåíèÿ ñ äàííûìè äðóãèõ àâòîðîâ ðåçóëüòàòàìè
÷èñëåííîãî àíàëèçà äèñêðåòíîé ìîäåëè, ïðåäåëüíóþ
ýíåðãèþ ñîëèòîíà óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå E0 �
� � 0 1N , ãäå � �0 02 4� � �� ( )J K — ââåäåííàÿ âûøå
ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ (ýíåðãèÿ àêòèâàöèè) äëÿ ïðî-
äîëüíûõ ìàãíîíîâ, N 1 — õàðàêòåðíîå ÷èñëî ìàãíîíîâ
â ñîëèòîíå,
N
K
J K
J K/
J K
J K
J K/
1
1
2
1
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
arcsin . (25)
Çíà÷åíèå N 1 âåëèêî ïðè J K� è ïðèíèìàåò êîíå÷íîå
çíà÷åíèå â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ïðè K/J � 0.
Ïðè ðàñ÷åòå èíòåãðàëîâ â (22)–(24) ñóùåñòâåííîå
óïðîùåíèå âîçíèêàåò ïðè J K� . Òîãäà èíòåãðàëû
ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ V è � âû÷èñëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñ-
êè. Ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê òåì,
êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ ïðè àíàëèçå ïðåöåññèîííûõ ñî-
ëèòîíîâ â îäíîîñíûõ ãåéçåíáåðãîâñêèõ ôåððîìàãíå-
òèêàõ (ñì. îáçîðíûå ðàáîòû [1,2]).
 îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó
( )J K /J� çàâèñèìîñòè êâàçèêëàññè÷åñêèõ õàðàêòåðèñ-
òèê ñîëèòîíà E, N è P îò ïàðàìåòðîâ ðåøåíèÿ � è V
ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Äëÿ
ýíåðãèè ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòîå âûðàæåíèå:
E J J K / V / c� � � �2 1 40
2 2( ) � � . (26)
Èç (26) ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ ñîëèòîíà ñòðåìèòñÿ ê íó-
ëþ ïðè ïðèáëèæåíèè ê ãðàíèöå îáëàñòè ñóùåñòâî-
âàíèÿ ñîëèòîíîâ (21). Äëÿ ÷èñëà ìàãíîíîâ N ïðè
J K J� ïîëó÷àåòñÿ
N
Ka
c
V / c /
V /c /
�
� �
�
&
'
(
(
)
*
+
+
2 2 1 42 2
0
2 2 2
0
2�
arcsinh
� �
� �
. (27)
 ñèëó ýòîãî âûðàæåíèÿ íà ïëîñêîñòè �V ëèíèè ïî-
ñòîÿííîãî ÷èñëà ìàãíîíîâ N V N( , )� � �0 const èìåþò
âèä çàìêíóòûõ âûïóêëûõ êðèâûõ, îõâàòûâàþùèõ íà-
÷àëî êîîðäèíàò. Áîëüøåìó N 0 îòâå÷àåò ìåíüøàÿ ïëî-
ùàäü ïîä êðèâîé. Äëÿ çàâèñèìîñòè èìïóëüñà ñîëèòî-
íà îòV è�ïðè ìàëûõ ( )J K /J� ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå
P
a
V /c /
V /c /
�
�
�
�
arccos
2 2
0
2 2 2
0
2
2
2
� �
� �
, (28)
èç êîòîðîãî ñëåäóåò íåàíàëèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ôóíê-
öèè P V( , )� âáëèçè òî÷êèV � 0 è� � 0. Ýòî ñâîéñòâî îñî-
áåííî ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ äëÿ íóëåâîé ñêîðîñòè ñîëèòîíà:
â ýòîì ñëó÷àå èìïóëüñ ðàâåí íóëþ ïðè �� 0, à ïðè
V � 0 0, � çíà÷åíèå èìïóëüñà ìàêñèìàëüíî è ðàâíî
P /a0 � �� . Íà ïëîñêîñòè�V ëèíèè ïîñòîÿííîãî èìïóëü-
ñà P V P( , )� � const 0 âûõîäÿò èç íà÷àëà êîîðäèíàò è ëå-
æàò ìåæäó ïðåäåëüíûìè êðèâûìè P � 0, ïàðàáîëà (21),
è P P� 0, êîòîðîé îòâå÷àåò îòðåçîê îñè ÷àñòîò ïðè � 0.
Íàêîíåö, ïðè J K J� ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÿâíóþ çàâè-
ñèìîñòü E P N( , ) â ïðîñòîì âèäå:
E N
N
N
P/ P
N/N
� �
&
'
(
(
)
*
+
+
��
�
0 1
1
2
0
1
2 2
2
th
sin ( )
( )sh
, (29)
â ýòîì ïðèáëèæåíèè ñëåäóåò ïðèíÿòü, ÷òî N 1 �
� �2 J/ J K( ) è õ à ð à ê ò å ð í à ÿ ä ë è í à x 0 � ( )a/2 ,
, �J/ J K( ), ò.å. N x /a1 04� . Ñòðóêòóðà ýòîé ôîðìóëû
è ñâÿçü ïàðàìåòðîâ N 1 è x /a0 çäåñü òàêèå æå, êàê è äëÿ
ôåððîìàãíåòèêà ñ àíèçîòðîïèåé òèïà ëåãêàÿ îñü (ñì.
[1,2]). Ôîðìóëà (29) îïðåäåëÿåò ïåðèîäè÷åñêóþ çàâè-
ñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî èìïóëüñà P. Èíòå-
ðåñíî îòìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà ïåðèîäà 2 0P , êîòîðàÿ
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 241
îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîñòîÿííîé ðåøåòêè a, â íàøåì
ñëó÷àå â äâà ðàçà ìåíüøå, ÷åì â ëåãêîîñíîì ôåððîìàã-
íåòèêå ( ),P /a0 2anis � �� ïðè òîì æå çíà÷åíèè ñïèíà
S �1. Ýòî ñîâïàäàåò ñ òåì, ÷òî îòìå÷åíî ðàíåå äëÿ
ñîëèòîíîâ â íåìàòè÷åñêîé ôàçå ìîäåëè (1) [21].
Îáñóäèì âîïðîñ î ïåðèîäè÷íîñòè çàêîíà äèñïåðñèè
ñîëèòîíîâ ïîäðîáíåå. Ôàêòè÷åñêè, äëÿ ñîëèòîíîâ (â îò-
ëè÷èå îò äîìåííûõ ñòåíîê [28] èëè âîëí ïîâîðîòà [21])
çíà÷åíèå P îãðàíè÷åíî, è, ñêîðåå, ñëåäóåò ãîâîðèòü î
ïðèñóòñòâèè òî÷åê îêîí÷àíèÿ ñïåêòðà ïðè P P� 0 è
P P� � 0. Îäíàêî óêàçàííûå âûøå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîé-
ñòâà êðèâûõ P V( , )� � const è N V( , )� � const (â òîì ÷èñ-
ëå âûïóêëîñòü ïîñëåäíåé) è íàëè÷èå ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ èìïóëüñà P P� 0, îäèíàêîâîãî äëÿ âñåõ N , ïðè-
âîäèò ê òîìó, ÷òî çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò èìïóëüñà ïðè
âñåõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ N îïèñûâàåòñÿ ìîíî-
òîííî ðàñòóùåé ôóíêöèåé ñî çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé
� � �E P N / P( , ) 0 ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà
P P� � 0. Óêàçàííîå âûøå ïîâåäåíèå õàðàêòåðíî òàêæå è
äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì 2 0P ,
ïðè ðàññìîòðåíèè òîëüêî îäíîãî ïåðèîäà ýòîé ôóíêöèè.
Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ � � �E P N / P( , ) 0 ïðè P P� � 0 âîçìîæíî
àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå çàâèñèìîñòè E P N( , ) íà
ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ P, ÷òî ôîðìàëüíî äàåò ïåðèîäè÷-
íîñòü. Òàêàÿ òðàêòîâêà ïåðèîäè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè
ñîëèòîíà, äàííàÿ â ðàáîòàõ [1,2], îêàçàëàñü î÷åíü ïðîäóê-
òèâíîé ïðè ñðàâíåíèè ñ òî÷íûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ äèñ-
êðåòíûõ êâàíòîâûõ ìîäåëåé, äëÿ êîòîðûõ ïåðèîäè÷íîñòü
äèêòóåòñÿ òåîðåìîé Áëîõà. Äàëåå áóäåì ãîâîðèòü î ïåðè-
îäè÷íîñòè çàêîíà äèñïåðñèè èìåííî â óêàçàííîì âûøå
ñìûñëå. Êàê óâèäèì íèæå, óêàçàííàÿ âûøå ãåîìåòðè÷åñ-
êàÿ ñòðóêòóðà ëèíèé P � const è N � const ñîõðàíÿåòñÿ â
íåêîòîðîé êîíå÷íîé îêðåñòíîñòè èçáðàííîé (SU(3)-ñèì-
ìåòðè÷íîé) òî÷êè J K� , õîòÿ ïðè íåìàëûõ ( )J K /J� àíà-
ëèòè÷åñêèå ôîðìóëû (27) è (28) êîíå÷íî æå íåïðèìåíè-
ìû. Òîãäà ñíîâà ïîÿâëÿåòñÿ òàêàÿ çàâèñèìîñòü E P N( , ) îò
P, êîòîðàÿ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïåðèîäè÷åñêàÿ, ñì.
ðèñ. 1. Âíå ýòîé îêðåñòíîñòè ãåîìåòðèÿ ëèíèé P � const è
N � const óñëîæíÿåòñÿ, è ïåðèîäè÷íîñòü ââåñòè íåëüçÿ. Â
íàøåé çàäà÷å âáëèçè èíòåãðèðóåìîé òî÷êè àíàëîãèÿ
ìåæäó ëåãêîîñíûì ôåððîìàãíåòèêîì è ôåððîìàãíåòè-
êîì ñ áèêâàäðàòè÷íûì îáìåíîì äîñòàòî÷íî ïîëíàÿ.
4. ×èñëåííûé àíàëèç ñîëèòîííûõ ðåøåíèé
â êîíòèíóàëüíîé è äèñêðåòíîé ìîäåëÿõ
Ïåðåéäåì ê àíàëèçó ñîëèòîíîâ ïðè íåìàëûõ çíà÷å-
íèÿõ J K J K� ~ ~ . Íà÷íåì ñ îáñóæäåíèÿ ãåîìåòðèè ëè-
íèé P V( , )� � const è N V( , )� � const íà ïëîñêîñòèV�. Êàê
îòìå÷àëîñü âûøå, ïðè J K J� ~ èíòåãðàëû (22)–(24)
ìîæíî çàïèñàòü òîëüêî â ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ, è
óäîáíåå èññëåäîâàòü èõ ÷èñëåííî.
Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ïîâåäåíèå îêîëî îñîáîé
ëèíèè (21), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ãðàíèöó ñóùåñòâîâà-
íèÿ ñîëèòîíîâ íà ïëîñêîñòèV� . Ýòà ëèíèÿ õàðàêòåðíà
òåì, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè ê íåé çíà÷åíèÿ ýíåðãèè,
èìïóëüñà è ÷èñëà ìàãíîíîâ â ñîëèòîíå îáðàùàþòñÿ â
íóëü. Â åñòåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ V/Vc è � �/ 0 íà
ïëîñêîñòè V� ôîðìà ýòîé ëèíèè íå çàâèñèò îò çíà÷å-
íèÿ ïàðàìåòðà K/J è îïðåäåëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì âû-
ðàæåíèåì (21), òàêèì æå, êàê è äëÿ ãåéçåíáåðãîâñêîãî
ëåãêîîñíîãî ôåððîìàãíåòèêà [1,2]. Íèæå íà ðèñ. 2 è 3
ýòà ëèíèÿ îïðåäåëÿåò ñàìóþ âåðõíþþ êðèâóþ, åé îò-
âå÷àåò P � 0 è N � 0 ñîîòâåòñòâåííî. Îáëàñòü ñóùå-
ñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ ëåæèò íèæå ýòîé êðèâîé è îòìå-
÷åíà ñåðûì ôîíîì.
Íàìè ïðîâåäåí àíàëèç õàðàêòåðíûõ êðèâûõ N �
�const è P � const äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà K/J â
îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ. Èñïîëüçîâàíû êàê
çíà÷åíèÿ, áëèçêèå ê èíòåãðèðóåìîé òî÷êå, òèïà
K/J � 0 9, , òàê è äàëåêèå, òàêèå êàê K/J � 0 1, , à òàêæå
ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ. Àíàëèç ïðîâåäåí ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì: ïðè äàííîì çíà÷åíèè K/J çíà÷åíèÿ
ýíåðãèè, èìïóëüñà è ÷èñëà ìàãíîíîâ íàõîäèëèñü ÷èñ-
ëåííî äëÿ ñåòêè çíà÷åíèéV è� . Çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû âû-
áèðàëè îò �5 0� äî �0 ñ ðàçðåøåíèåì ( )1 30 0/ � , è äëÿ
êàæäîãî çíà÷åíèÿ �âûáèðàëè 50 ýêâèäèñòàíòíûõ çíà-
÷åíèé V îò 0 äî Vm( )� . Òàêèì îáðàçîì, îáùåå êîëè-
÷åñòâî òî÷åê ñåòêè V è � äîñòèãàëî 9 òûñÿ÷. Òàêàÿ
ïëîòíîñòü òî÷åê îêàçàëàñü âïîëíå äîñòàòî÷íîé äëÿ
òîãî, ÷òîáû èç ýòîé áàçû äàííûõ âîññòàíîâèòü ëèíèè
P V( , )� � const è N V( , )� � const, à òàêæå çàâèñèìîñòè
çíåðãèè E îò P ïðè çàäàííîì N � const è îò N ïðè çà-
äàííîì P � const.
Êðàòêî îáñóäèì îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñîëèòî-
íîâ, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ýòîãî àíàëèçà. Ïðåæäå
âñåãî, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî îñíîâíûå ñâîéñòâà ëèíèé
P V( , )� � const è N V( , )� � const íà ïëîñêîñòè �V , ñó-
ùåñòâóþùèå ïðè K J J� è îáñóæäàâøèåñÿ âûøå,
âêëþ÷àÿ âûïóêëîñòü êðèâûõ N V( , )� � const, îñòàþòñÿ
íåèçìåííûìè â äîñòàòî÷íî øèðîêîé îêðåñòíîñòè òî÷-
êè K J� , ïðèìåðíî ïðè 0 71, J K K Jc- . Â ýòîé æå
îáëàñòè çíà÷åíèÿ èìïóëüñà íå ïðåâûøàþò âåëè÷èíó
P0. (Çàìåòèì, ÷òî ýòî êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå K /Jc áëèç-
242 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3
Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí
E/J
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
P/P
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
N = 5
N = 4
N = 3
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî èìïóëüñà äëÿ
çíà÷åíèÿ K J� 0 9, äëÿ ðàçëè÷íûõ N.
êî ê1 2/ , íî çíà÷åíèå K J/c � 2 íå áûëî íàìè ïîäòâåð-
æäåíî àíàëèòè÷åñêè.) Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â
ýòîé îáëàñòè ñîõðàíÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ (â óêàçàííîì
âûøå ñìûñëå) çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî
èìïóëüñà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè N ñ òåì æå óíèâåðñàëü-
íûì ïåðèîäîì P0 (ñì. ðèñ. 1).
Ïðè K K Jc � 0 71, õàðàêòåð çàâèñèìîñòåé èìïóëü-
ñà P è ÷èñëà ìàãíîíîâ N îò�èV ìåíÿåòñÿ. Ïðåæäå âñå-
ãî, äëÿ ñîëèòîíîâ ïîÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ èìïóëüñà,
á�ëüøèå, ÷åì âåëè÷èíà P0. Ïðè ýòîì ïî-ïðåæíåìó çíà-
÷åíèþ P0 îòâå÷àåò ïîëóîñü V � 0, � 0. Äëÿ òîé ÷àñòè
çàêîíà äèñïåðñèè, êîòîðàÿ âîçíèêàåò â îêðåñòíîñòè
ýòîé ïîëóîñè, êàê è ðàíüøå, ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå
� � �E P N / P( , ) 0 ïðè P P� � 0. Îäíàêî ïðè K K c çíà÷å-
íèå P P� 0 ðåàëèçóåòñÿ è íà äðóãèõ êðèâûõ, êîòîðûå ñî-
åäèíÿþòñÿ ñ óêàçàííîé ïîëóîñüþ â íåêîòîðîé òî÷êå
(ñì. ðèñ. 2). Ïðè ïðèáëèæåíèè K ê K c ýòà òî÷êà ñìåùà-
åòñÿ â îáëàñòü áîëüøèõ çíà÷åíèé | |� , è ïðè K K c� îíà
èñ÷åçàåò. Ñ óâåëè÷åíèåì P êðèâûå, îòâå÷àþùèå çíà÷å-
íÿì P P� 0, ñìåùàþòñÿ â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ� (ñì.
ðèñ. 2). Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èìïóëüñà ïðè K , ñó-
ùåñòâåííî ìåíüøèõ K c , ìîæåò äîñòèãàòü âåñüìà áîëü-
øèõ çíà÷åíèé, äëÿ K � 0 05, áûëè ïîëó÷åíû âåëè÷èíû
äî P/P0 4~ .
Ïðè K < K c ñóùåñòâåííûå èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò è
ñ êðèâûìè N V( , )� � const. Åñëè ïðè K K c� ýòè êðèâûå
âûïóêëûå, ò.å. çàâèñèìîñòü�îòV íà ëþáîé òàêîé êðè-
âîé îäíîçíà÷íàÿ, òî ïðè K K c îäíîìó çíà÷åíèþ ÷àñ-
òîòû ìîãóò îòâå÷àòü íåñêîëüêî çíà÷åíèé ñêîðîñòè (ñì.
ðèñ. 3.)
Ïîÿâëåíèå óêàçàííûõ îñîáåííîñòåé â êîðíå èçìå-
íÿåò õàðàêòåð çàêîíà äèñïåðñèè ñîëèòîíà ïðè K K c
ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì K K Jc (ñðàâíèòå ðèñ. 4
è ðèñ. 1). Ïðåæäå âñåãî, çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò
èìïóëüñà ñòàíîâèòñÿ íåîäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé è ñî-
äåðæèò äâå âåòâè (ðèñ. 4.) Ýòè âåòâè ñëèâàþòñÿ â òî÷-
êå ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà P P� max, êî-
òîðîå â äàííîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì P0. Âåðõíåé âåòâè
îòâå÷àþò ëèøü çíà÷åíèÿ èìïóëüñà îò | |P P� 0 äî
| | maxP P� , â òî âðåìÿ êàê äëÿ íèæíåé âåòâè, áîëåå
âûãîäíîé ýíåðãåòè÷åñêè, äîïóñòèìû âñå çíà÷åíèÿ
0 . .| | maxP P . Ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ èìïóëüñà
P Pmax � 0 â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå
� � /E P N / P( , ) 0 (ñì. ðèñ. 4), è çàêîí äèñïåðñèè äëÿ
êàæäîé èç âåòâåé íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
ïåðèîäè÷åñêîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.
Íàëè÷èå íåîäíîçíà÷íîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò
èìïóëüñà ñòàâèò âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñîëèòîíîâ.
Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [24], äëÿ óñòîé÷èâîñòè äâóõïà-
ðàìåòðè÷åñêîãî ñîëèòîíà â êîíòèíóàëüíîé ìîäåëè
äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå
óñëîâèÿ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
N
V
P P
V
N
0 .
Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñîëèòîíîâ íà îñíîâå ýòîãî ñî-
îòíîøåíèÿ ïîêàçàë, ÷òî ñîëèòîíû, îòâå÷àþùèå âåðõ-
íåé âåòâè çàâèñèìîñòè E E P N� ( , ) íà ðèñ. 4, íåñòà-
áèëüíû.  ÷àñòíîñòè, òî÷êè ñ � � /E P N / P( , ) 0 ïðè
P P� � 0, ïðèñóòñòâèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè ñîëèòî-
íîâ, íàõîäÿòñÿ íà íåóñòîé÷èâîé âåòâè çàêîíà äèñïåð-
ñèè. Ýòîò ôàêò åùå ðàç äåìîíñòðèðóåò òî, ÷òî òî÷êó
P P� max ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òîëüêî êàê òî÷êó
îêîí÷àíèÿ ñïåêòðà ñîëèòîíîâ.
Ïðè èññëåäîâàíèè îáëàñòè K J K J~ ~� , â êîòîðîé
ñâîéñòâà ñîëèòîíîâ íàèáîëåå èíòåðåñíû, âîçíèêàåò
åùå îäíà ïðîáëåìà, ñâÿçàííàÿ ñ òåì, ÷òî ïðè íåìàëûõ
J K/J� õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñîëèòîíà 1 0/| | ~!� %x x ìî-
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 243
–4 –3 –2 –1 0
4
3
2
1
0,10
0,33
0,50
0,66
V/c
1
Ðèñ. 2. Êðèâûå P V( , )� � const äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé K/J ,
ìåíüøèõ êðèòè÷åñêîãî, K K Jc � 0 71, , êîãäà çàêîí äèñïåð-
ñèè ñîëèòîíà íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì (ñì. òåêñò). Íà
ñïëîøíûõ ëèíèÿõ, à òàêæå íà îòðåçêå îñè ÷àñòîò ïðè � 0
âåëè÷èíà èìïóëüñà P P� 0 . Îêîëî ýòèõ êðèâûõ öèôðàìè
ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ K/J . Ïóíêòèðíûìè
ëèíèÿìè äëÿ ìàãíåòèêà ñ K J/ ,� 0 1 îòìå÷åíû êðèâûå ñî
çíà÷åíèÿìè èìïóëüñà, á�ëüøèìè, ÷åì P0, à èìåííî:
P/P /0 3 2� è P P� 2 0.
–4 –3 –2 –1 0 1
0,90
0,66 0,50 0,25
V/c
4
3
2
1
Ðèñ. 3. Êðèâûå N V N( , )� � �0 const äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷å-
íèé K/J è N0. Êðèâûå, îáîçíà÷åííûå ñïëîøíûìè ëèíèÿ-
ìè, îïèñûâàþò ñëó÷àé N0 2� äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé K/J
(ïðèâåäåíû öèôðàìè îêîëî ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé).
Ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè ïðîâåäåíû êðèâûå ñî çíà÷åíèÿìè
N0 1� è N0 1 5� , äëÿ ìàãíåòèêà ñ K/J � 0 1, .
æåò ñòàòü ñðàâíèìûì ñ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè a. Êîíòè-
íóàëüíîå ïðèáëèæåíèå, ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðèìåíèìî
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà %x a�� . Äëÿ ïðåöåññèîí-
íûõ ñîëèòîíîâ â ãåéçåíáåðãîâñêèõ ìàãíåòèêàõ ñî ñëà-
áîé àíèçîòðîïèåé õàðàêòåðíûé ðàçìåð, òàê íàçûâàå-
ìàÿ ìàãíèòíàÿ äëèíà l0, ñîñòàâëÿåò äåñÿòêè è ñîòíè
ïîñòîÿííûõ ðåøåòêè è ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ìåæ-
óçåëüíîå ðàññòîÿíèå a. Äëÿ íàøåé ìîäåëè òàêóþ æå
ðîëü èãðàåò ïàðàìåòð x / K/ J K a0 1 2� �( ) ( ) , êîòîðûé
âåëèê òîëüêî â ïðåäåëå J K� . Êîíòèíóàëüíîå ïðè-
áëèæåíèå ïðèìåíèìî âáëèçè ãðàíè÷íîé ëèíèè (21),
ãäå àìïëèòóäà ñîëèòîíîâ ìàëà, îáëàñòü ëîêàëèçàöèè
ñîëèòîíà ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì x 0, à P è N ñòðåìÿòñÿ ê
íóëþ. Îäíàêî ïðè óäàëåíèè îò ýòîé ëèíèè îáëàñòü ëî-
êàëèçàöèè ñîëèòîíà ïîðÿäêà x 0, è äëÿ ïðèìåíèìîñòè
êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ íóæíî âûïîëíåíèå
óñëîâèÿ x a0 �� .  ìàãíåòèêå ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1) òà-
êîå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ âåñüìà æåñòêèì. Äàæå äëÿ äîñ-
òàòî÷íî ìàëîãî J K K� � 0 1, âåëè÷èíà x a0 1 5� , è ëèøü
íåçíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ïîñòîÿííóþ ðåøåòêè a. Â
îáëàñòè ïàðàìåòðîâ K J K J~ ~� òèïè÷íîé ÿâëÿåòñÿ
ñèòóàöèÿ ñ x a0 ~ è äàæå x a0 . Ïîýòîìó â ñëó÷àå
K J K J~ ~� çàâåäîìî íå ÿñíî, íàñêîëüêî àäåêâàòíî
êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå è ïîëåçíî ëè èññëåäî-
âàòü ðîëü ýôôåêòîâ äèñêðåòíîñòè.
Îáñóäèì êðàòêî äèñêðåòíóþ âåðñèþ óðàâíåíèé äëÿ
ïåðåìåííûõ � i è � i , çàäàííûõ äëÿ êàæäîãî óçëà ñïèíî-
âîé öåïî÷êè. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì íåïîäâèæíîãî
ñîëèòîíà, äëÿ êîòîðîãî � �i t� è ïåðåìåííûå� i íå çàâè-
ñÿò îò âðåìåíè. Äëÿ àíàëèçà ñîëèòîíîâ âîñïîëüçóåìñÿ
âàðèàöèîííîé ïðîöåäóðîé, ïðåäëîæåííîé è ÷èñëåííî
ðåàëèçîâàííîé â ðàáîòå [25]. Áóäåì èñêàòü óñëîâíûé
ìèíèìóì ãàìèëüòîíèàíà, ôàêòè÷åñêè, êëàññè÷åñêîé
ýíåðãèè W i( )� , ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåìåííûì � i íà i-ì
óçëå, ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî ìàãíîíîâ N
i
i� � �( cos )1 �
ôèêñèðîâàíî. Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ äèñêðåòíàÿ
ýíåðãèÿ W i( )� ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
W J K / K/i
i
i i i i( ) [( ) cos cos ( ) sin sin ].� � � � �� � � �� � �2 21 1
(30)
Ìû îãðàíè÷èëèñü àíàëèçîì öåïî÷êè, ñîäåðæàùåé
50 ñïèíîâ, òàê êàê èíòåðåñóþùèå íàñ ñîñòîÿíèÿ ñèëü-
íî ëîêàëèçîâàíû è âëèÿíèå ãðàíèö íà íèõ ïðåíåáðåæè-
ìî ìàëî. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ïðè ìàëûõ çíà÷åíè-
ÿõ ( )J K /K� ïîâåäåíèå çàâèñèìîñòåé E N( ) è �( )N
ïðîñòî ïîâòîðÿåò êðèâûå, ïîëó÷åííûå â êîíòèíóàëü-
íîì ïðèáëèæåíèè, è ìû èõ íå ïðèâîäèì. Èíòåðåñíî,
÷òî çàâèñèìîñòü E N( ) ïðàêòè÷åñêè ñëåäóåò íàéäåííûì
âûøå çàêîíîìåðíîñòÿì äàæå ïðè óìåðåííûõ çíà÷åíè-
ÿõ âåëè÷èíû K/J òàêèõ, êàê K/J � 0 8, , êîòîðîìó îòâå÷à-
åò âåëè÷èíà x a0 � (ñì. ðèñ. 5). Òàêæå âàæíî, ÷òî äàæå
ïðè òàêîì, ïî ñóòè ìàëîì, çíà÷åíèè x /a0 íå âîçíèêàþò
êîëëèíåàðíûå ñòðóêòóðû, êîòîðûå õàðàêòåðíû äëÿ
ñèëüíûõ ýôôåêòîâ äèñêðåòíîñòè (ñì. ðèñ. 6).
Ïðè K/J � 0 5, , äëÿ êîòîðîãî çíà÷åíèå x a0 0 5� , ìîæ-
íî ñ÷èòàòü óæå âåñüìà ìàëûì, îò÷åòëèâî âèäåí ýôôåêò
ïîíèæåíèÿ âåëè÷èíû ïðåäåëüíîé ýíåðãèè ñîëèòîíà ïðè
áîëüøèõ N . Ôàêòè÷åñêè ýòèì è îãðàíè÷èâàþòñÿ ðàçëè-
÷èÿ â ïîâåäåíèè êîíòèíóàëüíîé è äèñêðåòíîé ìîäåëåé.
Ïî-ïðåæíåìó íåò êîëëèíåàðíûõ ñîñòîÿíèé, à òàêæå íå-
ìîíîòîííûõ çàâèñèìîñòåé E îò ÷èñëà ìàãíîíîâ N , êîòî-
ðûå âîçíèêàþò â äèñêðåòíîé ìîäåëè àíèçîòðîïíîãî
ôåððîìàãíåòèêà [25] óæå ïðè íå î÷åíü ìàëûõ çíà÷åíèÿõ
x a0 � . ×òîáû îáúÿñíèòü ýòî ÿâëåíèå, çàìåòèì, ÷òî ýíåð-
ãèÿ (30) òðèâèàëüíûì ïåðåîáîçíà÷åíèåì ïåðåìåííûõ
ñâîäèòñÿ ê ñïåöèôè÷åñêîé äèñêðåòíîé ìîäåëè ôåððî-
ìàãíåòèêà ñ ÷èñòî îáìåííîé àíèçîòðîïèåé, äëÿ êîòîðîé
244 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3
Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí
0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
N = 1,0
N = 1,5
N = 2,0
10
8
6
4
2
E/J
P/P0
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà îò åãî èìïóëüñà äëÿ
çíà÷åíèÿ K/J � 0 1, äëÿ ðàçëè÷íûõ N. Ñîîòâåòñòâóþùèå
çíà÷åíèÿ N óêàçàíû âîçëå ëèíèé. Ïóíêòèðîì îáîçíà÷åíû
íåñòàáèëüíûå âåòêè çàâèñèìîñòåé. Âåðòèêàëüíàÿ øòðèõî-
âàÿ ëèíèÿ ïîêàçûâàåò çíà÷åíèå P P� 0, îòâå÷àþùåå òî÷êå
îêîí÷àíèÿ ñïåêòðà, êîòîðàÿ çäåñü íàõîäèòñÿ â îáëàñòè íå-
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ.
0 2 4 6 8 10 12 14
N
1,5
1,0
0,5
E/J
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà E (â åäèíèöàõ J) îò
÷èñëà ìàãíîíîâ N ïðè P � 0 äëÿ ñëó÷àÿ K J� 0 8, . Ðåçóëüòàòû
êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèâåäåíû ñïëîøíîé ëèíè-
åé, ñèìâîëû — ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî àíàëèçà äèñêðåòíîé
ìîäåëè.
Ãî÷åâûì [26] áûëî ïîñòðîåíî òî÷íîå ðåøåíèå, îïðåäå-
ëÿþùåå ñòðóêòóðó äîìåííîé ñòåíêè. Ðåøåíèå Ãî÷åâà â
ïðèìåíåíèè ê îïèñûâàåìîé ìîäåëè (30) èìååò âèä
cos th
( )
,
( ( ) )
� i
D
D
a i i
x
x
a
J K /K
�
�&
'
(
)
*
+ �
� �
0
0
0
2 1ln
,
(31)
öåëîå ÷èñëî i îïðåäåëÿåò íîìåð óçëà, i 0 — ïðîèçâîëüíîå
(íå îáÿçàòåëüíî öåëîå) ÷èñëî. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðåøåíèå
(31) ïðèìåíèìî äëÿ ëþáîãî ñîîòíîøåíèÿ J è K , òàêèõ,
÷òî 0 . K J . Âåëè÷èíà x D0 èìååò ñìûñë øèðèíû äî-
ìåííîé ñòåíêè â äèñêðåòíîé ìîäåëè, è ïðè ìàëûõ ai 0
ýòîò õàðàêòåðíûé ðàçìåð ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà-
÷åíèÿ, â òîì ÷èñëå ïðè K J çíà÷åíèå x D0 ~
~ ln( )a/ J/K a .
Ýíåðãèÿ äîìåííîé ñòåíêè â äèñêðåòíîé ìîäåëè
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé E J J KDW � �2 ( ) è íå çàâè-
ñèò îò i 0. Èíûìè ñëîâàìè, ýòà ìîäåëü õàðàêòåðèçóåòñÿ
ïîëíûì îòñóòñòâèåì ðåøåòî÷íîãî ïèííèíãà, ò.å. äî-
ìåííàÿ ñòåíêà ìîæåò áûòü ðàñïîëîæåíà ïðîèçâîëü-
íûì îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ðåøåòêè, è åå ýíåðãèÿ íå
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ ñòåíêè. Ïîíÿòíî, ÷òî òàêèå
ñâîéñòâà, êàê è ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòîãî òî÷íîãî ðå-
øåíèÿ è îòñóòñòâèå ïèííèíãà, íå ìîãóò áûòü îáùèìè,
èõ íàëè÷èå, âåðîÿòíî, ñâÿçàíî ñ êàêîé-òî ñêðûòîé
ñèììåòðèåé çàäà÷è. Ïèííèíã âîçíèêàåò, íàïðèìåð,
ïðè ó÷åòå â ýíåðãèè ñëàãàåìûõ âèäà sin 2 � i [27,28].
Îòñóòñòâèå ïèííèíãà ïîçâîëÿåò íàäåÿòüñÿ, ÷òî êîí-
òèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî óñïåø-
íûì äëÿ îïèñàíèÿ ñîëèòîíà, ïîñêîëüêó ïðè ìàëûõ N
îíî ïðèìåíèìî ïðè ëþáûõ ñîîòíîøåíèÿõ K è J , à ïðè
áîëüøèõ ýôôåêòû äèñêðåòíîñòè ñâîäÿòñÿ ê ïåðåíîðìè-
ðîâêå îäíîãî ïàðàìåòðà, ïðåäåëüíîé ýíåðãèè ñîëèòîíà.
Ïðåäñòàâèì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè íåïîäâèæíîãî ñîëè-
òîíà îò N â âèäå òîé æå ïðîñòîé ôóíêöèè, ÷òî è äëÿ
ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ K J� ïðè P � 0, ñì. ôîðìóëó (29),
E N N N/ND ( ) [ ]� � 0 1 1th , (32)
íî èñïîëüçóåì äëÿ N 1 âìåñòî êîíòèíóàëüíîãî îòâåòà (26)
çíà÷åíèå N N E / J/ J KD
DW1 1 02� � � �� ( ), ñîãëàñîâàí-
íîå ñ òî÷íîé äèñêðåòíîé ôîðìóëîé äëÿ ïðåäåëüíîé ýíåð-
ãèè ñîëèòîíà, ðàâíîé óäâîåííîé ýíåðãèè ñòåíêè.
Çàâèñèìîñòü (32) èçîáðàæåíà íà ðèñ. 7 è 8 øòðè-
õîâîé ëèíèåé. Âèäíî, ÷òî îíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ
äàííûìè ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ñîëèòîíîâ â äèñ-
êðåòíîé ìîäåëè äàæå äëÿ ïðåäåëüíî ìàëîãî çíà÷åíèÿ
K/J � 0 2, , äëÿ êîòîðîãî x a0 0 25� , . Äëÿ òàêîãî õîðîøåãî
ñîãëàñèÿ âàæíî, ÷òî çäåñü ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóþò çíà-
êîïåðåìåííûå îòêëîíåíèÿ ýíåðãèè îò ðåçóëüòàòà êîíòè-
íóàëüíîé ìîäåëè, êîòîðûå íàáëþäàþòñÿ äëÿ äèñêðåò-
íûõ ñîëèòîíîâ â ìàãíåòèêàõ ñ ñèëüíûìè ýôôåêòàìè
ðåøåòî÷íîãî ïèííèíãà [25]. Õîðîøåå ñîãëàñèå íàïðÿ-
ìóþ ñâÿçàíî ñ óíèêàëüíûì ñâîéñòâîì ðåøåíèÿ Ãî÷åâà, à
èìåííî, îòñóòñòâèåì ýôôåêòîâ ðåøåòî÷íîãî ïèííèíãà.
Èòàê, íàø àíàëèç ïîêàçàë, ÷òî äàæå â ñëó÷àå x a0 . è íå-
ìàëûõ N , êîãäà õàðàêòåðíûé ðàçìåð íåîäíîðîäíîñòè â
ñîëèòîíå ïîðÿäêà x 0 è ñóùåñòâåííî ìåíüøå a, ðåçóëüòà-
òû êîíòèíóàëüíîãî îïèñàíèÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî îïè-
ñûâàþò õàðàêòåð çàâèñèìîñòè E N( ) äëÿ ñîëèòîíà.
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 245
à
á
â
Ðèñ. 6. Ñïèíîâàÿ ñòðóêòóðà ñîëèòîíà äëÿ ñèñòåìû ñ
K/J � 0 8, ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ N: 3 (à), 8 (á), 14 (â). Äëÿ íà-
ãëÿäíîñòè èçîáðàæåíà òîëüêî ÷àñòü ôðàãìåíòà, âûáðàííîãî
äëÿ ÷èñëåííîãî ñ÷åòà. Ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå äëÿ êàæäîãî óçëà
ïðåäñòàâëåíî â âèäå òðåõìåðíîãî âåêòîðà z, ïðîåêöèÿ êîòî-
ðîãî (cos�), íàïðàâëåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ðèñóíêó, îïðå-
äåëÿåò ñðåäíèé ñïèí, à ïëàíàðíûå êîìïîíåíòû (sin cos� �2 è
sin sin� �2 ) — êâàäðóïîëüíûå ñðåäíèå. Âûáîð � ïðîèçâîëåí,
íà ñàìîì äåëå ïëàíàðíàÿ êîìïîíåíòà èçîáðàæàþùåãî âåêòî-
ðà âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé 2�.. Çíà÷åíèÿ �, îòëè÷àþùèåñÿ îò 0
è 180�ìåíåå ÷åì íà
� � 10� è ñîîòâåòñòâóþùèå ïî÷òè ìàê-
ñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ñïèíà â íàïðàâëåíèè ââåðõ è âíèç,
óêàçàíû ñîîòâåòñòâåííî ñâåòëûìè è òåìíûìè êðóæêàìè.
Çíà÷åíèÿ
� �. .i 90� ïðåäñòàâëåíû ñâåòëûìè ñòðåëêàìè, à
90 180� � . ��
�i — òåìíûìè ñòðåëêàìè. ßâíî âèäåí ïåðå-
õîä îò ñëàáî ëîêàëèçîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè N � 3 ê ëîêàëè-
çîâàííîìó ñîñòîÿíèþ ïðè N � 8, à çàòåì ê ñîñòîÿíèþ, ñîäåð-
æàùåìó äâå ðàçíåñåííûå äîìåííûå ñòåíêè.
3
2
1
0
2 4 6 8 10
E/J
N
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà E (â åäèíèöàõ J) îò
÷èñëà ìàãíîíîâ N ïðè P � 0 äëÿ ñëó÷àÿ K J� 0 5, . Øòðèõî-
âàÿ ëèíèÿ ïðîâåäåíà ïî «óòî÷íåííîé» ôîðìóëå (32) ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ýíåðãèè äîìåííîé ñòåíêè â äèñêðåòíîé ìî-
äåëè Ãî÷åâà.
Ñëàáîñòü ýôôåêòîâ ïèííèíãà ñîñòîèò â òîì, ÷òî äà-
æå ïðè K/J � 0 2, è ïðè áîëüøèõ N ÷èñòî êîëëèíåàðíûå
ñîñòîÿíèÿ, õàðàêòåðíûå äëÿ ñèñòåì ñ ñèëüíûì ïèí-
íèíãîì, íå âîçíèêàþò. Êà÷åñòâåííî íîâûé ýôôåêò
äèñêðåòíîñòè ñîñòîèò â ïîÿâëåíèè íåñèììåòðè÷íûõ
ñîñòîÿíèé, ñì. ðèñ. 9. Íî ýòà àñèììåòðèÿ íå ïðîÿâëÿ-
åòñÿ â çàâèñèìîñòè E N( ), ðàçëè÷èå ýíåðãèé ïðèâåäåí-
íûõ íà ýòîì ðèñóíêå ñîñòîÿíèé ïîðÿäêà 5 10 7� � J , ÷òî
áëèçêî ê ïðåäåëàì òî÷íîñòè íàøåé âû÷èñëèòåëüíîé
ïðîãðàììû è íàìíîãî ìåíüøå õàðàêòåðíûõ ýíåðãèé
âîçáóæäåíèé.
5. Çàêëþ÷åíèå
 íåãåéçåíáåðãîâñêèõ ôåððîìàãíåòèêàõ ñî ñïè-
íîì S �1 è áèêâàäðàòè÷íûì îáìåíîì ñ ó÷åòîì êâàí-
òîâîãî ñîêðàùåíèÿ ñïèíà íà óçëå ñóùåñòâóþò ñïåöè-
ôè÷åñêèå ìàãíèòíûå ñîëèòîíû, â öåíòðå êîòîðûõ
ñðåäíåå çíà÷åíèå ñïèíà ìåíüøå íîìèíàëüíîãî, è
ïðèñóòñòâóþò êîëåáàíèÿ êâàäðóïîëüíûõ ïåðåìåí-
íûõ � � �S S S Sx y y x è � � �S Sx y
2 2 . Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðà ( )J K /J� , ò.å. âáëèçè SU(3)-ñèììåòðè÷íîé
òî÷êè, â êîòîðîé ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ òî÷íî èíòåãðèðóå-
ìîé, òàêèå ñîëèòîíû èìåþò ìíîãî îáùåãî ñ ñîëèòîí-
íûìè âîçáóæäåíèÿìè â ëåãêîîñíîì ôåððîìàãíåòèêå.
 ÷àñòíîñòè, çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíîâ ìîäåëè
(1) îò èìïóëüñà èìååò òàêæå ïåðèîäè÷åñêèé õàðàê-
òåð, îäíàêî ñ äðóãèì ïåðèîäîì P0. Ïðèíèìàÿ âî âíè-
ìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ïðè J K� ñîîòâåòñòâóþùàÿ
êâàíòîâàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé, ìîæíî
íàäåÿòüñÿ íà ñîâïàäåíèè ïðèâåäåííûõ âûøå ðåçóëü-
òàòîâ êâàçèêëàññè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ è òî÷íîãî
êâàíòîâîãî ðåçóëüòàòà äëÿ çàâèñèìîñòè E P( ) ïðè
J K� . Îäíàêî òî÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàêîíà äèñïåð-
ñèè ñïèíîâûõ êîìïëåêñîâ â êâàíòîâîé ìîäåëè íàì íå
èçâåñòíû, è ýòîò âîïðîñ îñòàåòñÿ îòêðûòûì.
Ïðè óäàëåíèè îò èíòåãðèðóåìîé SU(3)-ñèììåòðè÷-
íîé òî÷êè ñõîäñòâî çàêîíîâ äèñïåðñèè ñîëèòîíîâ â
óêàçàííûõ ìîäåëÿõ óìåíüøàåòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ïðè
K K Jc � 0 71, ýíåðãèÿ ïåðåñòàåò áûòü ïåðèîäè÷åñ-
êîé ôóíêöèåé îò èìïóëüñà. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ K/J åñòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èìïóëüñà
P Pmax � 0, êîòîðîå âîçðàñòàåò ïðè óìåíüøåíèè K/J è
ìîæåò çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàòü P0. Çàâèñèìîñòü E P( )
òîãäà èìååò äâå âåòâè, è òîëüêî íèæíÿÿ âåòâü ÿâëÿåòñÿ
óñòîé÷èâîé â îáëàñòè ñîåãî ñóùåñòâîâàíèÿ � .Pmax
. .P Pmax. Âåðõíåé âåòâè, îïðåäåëåíîé íà èíòåðâàëå
P P P0 . .| | max, ñîîòâåòñòâóþò íåñòàáèëüíûå ñîñòîÿíèÿ.
×èñëåííûé àíàëèç äèñêðåòíîé ðåøåòî÷íîé ìîäåëè
ïîêàçàë õîðîøóþ ïðèìåíèìîñòü ìàêðîñêîïè÷åñêîãî
ïîäõîäà äëÿ îïèñàíèÿ îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê íåïîä-
âèæíûõ ñîëèòîíîâ, íàïðèìåð çàâèñèìîñòè E N( ), äàæå
ïðè òîì, ÷òî õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñîëèòîíà ìîæåò áûòü
ñðàâíèì ñ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè. Åäèíñòâåííûé êà÷åñò-
âåííî íîâûé ýôôåêò äèñêðåòíîñòè ñîñòîèò â ïîíèæå-
íèè ñèììåòðèè ñîëèòîíà, íî ïðè ýòîì âëèÿíèå íà ýíåð-
ãèþ ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Êàê ìû âûÿñíèëè, ïðè÷èíà
òàêîãî ïîâåäåíèÿ â òîì, ÷òî çàäà÷à î ñîëèòîíàõ â ìàãíå-
òèêàõ ñ íåìàëûìè ýôôåêòàìè êâàíòîâîãî ñîêðàùåíèÿ
ñïèíà ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì êâàçèêëàññè÷åñêîì àíà-
ëèçå ñâîäèòñÿ ê êëàññè÷åñêîé äèñêðåòíîé ðåøåòî÷íîé
ìîäåëè Ãî÷åâà. Ýòà ìîäåëü îáëàäàåò óíèêàëüíûìè
ñâîéñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, ïîëíûì îòñóòñòâèåì ýôôåê-
òîâ ðåøåòî÷íîãî ïèííèíãà äîìåííîé ñòåíêè. Ïðåä-
ñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàòü äâèæóùèåñÿ ñîëèòîíû â
ôåððîìàãíåòèêå ñ ó÷åòîì êâàíòîâîãî ñîêðàùåíèÿ ñïè-
íà. Ðàíåå òàêîé àíàëèç ïðîâîäèëñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ
ìîäåëåé ãåéçåíáåðãîâñêèõ ôåððîìàãíåòèêîâ [27,28].
Îäíàêî èññëåäîâàíèå äâèæåíèÿ ñîëèòîíà â äàííîé
äèñêðåòíîé ìîäåëè äîñòàòî÷íî ñëîæíîå, è îáñóæäåíèå
âîïðîñà î ïîñòóïàòåëüíîé äèíàìèêå ñîëèòîíîâ âûõî-
äèò çà ðàìêè ýòîé ðàáîòû.
246 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3
Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí
E/J
N
0
2 4 6 8 10 12 14
4
3
2
1
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîëèòîíà E (â åäèíèöàõ J) îò
÷èñëà ìàãíîíîâ N ïðè P � 0 äëÿ ñëó÷àÿ K J� 0 2, .
à
á
â
ã
Ðèñ. 9. Çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîé ïåðåìåííîé � i â ñîëèòîíå äëÿ
ñèñòåìû ñ K/J � 0 2, ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ N: 2 (à), 8 (á);
ñîëèòîíû c îäèíàêîâîé ýíåðãèåé è ðàçíîé ñèììåòðèåé c
N �12 (â) è (ã). Îáùàÿ òåíäåíöèÿ ê ëîêàëèçàöèè ñ ðîñòîì N
â ýòîì ñëó÷àå ãîðàçäî ñèëüíåå, ÷åì ïðè K/J � 0 8, . Îáîçíà÷å-
íèÿ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé â âèäå ñòðåëîê çäåñü òå æå, ÷òî íà
ðèñ. 6.
Ìû áëàãîäàðíû À.Ê. Êîëåæóêó çà ïîëåçíûå îáñóæ-
äåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû. Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåð-
æàíà ãðàíòîì INTAS-05-1000008-8112 è ñîâìåñòíûì
ãðàíòîì Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
è Ãîñóäàðñòâåííîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëå-
äîâàíèé Ô25.2/081.
1. À.Ì. Êîñåâè÷, Á.À. Èâàíîâ, À.Ñ. Êîâàëåâ, Íåëèíåéíûå
âîëíû íàìàãíè÷åííîñòè. Äèíàìè÷åñêèå è òîïîëîãè-
÷åñêèå ñîëèòîíû, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1983).
2. A.M. Kosevich, B.A.Ivanov and A.S. Kovalev, Phys. Rep.
194, 117 (1990).
3. N. Manton and P. Sutcliffe, Topological Solitons, Cam-
bridge University Press (2004).
4. Ian Affleck, J. Phys.: Condens. Matter 1, 3047 (1989); I. Af-
fleck, in: Fields, Strings and Critical Phenomena, E. Br�zin
and J. Zinn-Justin (eds.), North-Holland, Amsterdam (1990),
p. 567.
5. H.J. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931).
6. Å.Ã. Ãàëêèíà, Á.À. Èâàíîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 71, 372
(2000).
7. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Sov. Phys. 8, 153 (1935);
Ë.Ä. Ëàíäàó, Ñîáð. òð., Íàóêà, Ìîñêâà (1969), ò. 1, ñ.
128.
8. E. Fradkin, Field Theories of Condensed Matter Systems
in Frontiers in Physics, Addison Wesley (1991), v. 82.
9. À.Ì. Ïåðåëîìîâ, ÓÔÍ 123, 23 (1977); A. Perelomov,
Generalized Coherent States and Their Applications Sp-
ringer–Verlag, Berlin (1986).
10. T. Moria, Phys. Rev. 117, 635 (1960).
11. N. Papanicolaou, Nucl. Phys. B305, 367 (1988).
12. G. F�th and J. S�lyom, Phys. Rev. B51, 3620 (1995).
13. Ý.Ë. Íàãàåâ, Ìàãíåòèêè ñî ñëîæíûìè îáìåííûìè âçà-
èìîäåéñòâèÿìè, Íàóêà, Ìîñêâà (1988).
14. Â.Ì. Ëîêòåâ, Â.Ñ. Îñòðîâñêèé, ÔÍÒ 20, 983 (1994).
15. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. B68, 052401
(2003).
16. K. Buchta, G. F�th, �. Legeza, and J. S�lyom, Phys. Rev.
B72, 054433 (2005).
17. Zhou Fei, Quantum Spin Nematic States in Bose-Einstein
Condensates, Electronic preprint ArXiv:cond-mat/0108473
(2002).
18. À.Å. Áîðîâèê, Â.Þ. Ïîïêîâ, ÆÝÒÔ 98, 316 (1990).
19. Â.Ñ. Îñòðîâñêèé, ÆÝÒÔ 91, 1690 (1986).
20. Á.À. Èâàíîâ, À.Í Êè÷èæèåâ, Þ.Í. Ìèöàé, ÆÝÒÔ 102,
618 (1992).
21. Á.À. Èâàíîâ, Ð.Ñ. Õèìèí, ÆÝÒÔ 104, 307 (2007).
22. Á.À. Èâàíîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 84, 90 (2006).
23. N.A. Mikushina and A.S. Moskvin, Phys. Lett A302, 8
(2002).
24. À.À. Æìóäñêèé, Á.À. Èâàíîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 65, 899
(1997).
25. B.A. Ivanov, A.Yu. Merkulov, V.A. Stephanovich, and
C.E. Zaspel, Phys. Rev. B74, 224422 (2006).
26. È.Ã. Ãî÷åâ, ÆÝÒÔ 85, 199 (1983).
27. B.A. Ivanov and H.J. Mikeska, Phys. Rev. B70, 174409
(2004).
28. Å.Ã. Ãàëêèíà, Á.À. Èâàíîâ, ÔÍÒ 33, 601 (2007).
Dynamic solitons in a S �1ferromagnet
B.A. Ivanov and R.S. Khimin
A quasi-classical theory of spin dynamics for a
S �1 ferromagnet is developed with taking into ac-
count the isotropic exchange interaction. For such a
ferromagnet in the ground state, the quantum mean
value of the spin in site m takes its maximum, but
the dynamics shows significant effects of quantum
shrinkage of the spin. For such ferromagnets, how-
ever, there exists a special class of spin vibrations
where m retains its direction but varies essentially
in length. Such excitations do not occur in normal
Heisenberg ferromagnets, the description of which
is based on the Landau–Lifshitz equation, or in nor-
mal Heisenberg spin Hamiltonians. Spin excitations
of a finite energy or solitons considered as bound
states of a great number of magnons N are derived
analytically in the continuous approximation and
obtained numerically. The pulse dependence of en-
ergy E P N( , ) for a soliton with a given number of
bound magnons is found out P. The continuous
approximation offers an appropriate treadment of
solitons in the parameters range where magnetiza-
tion in the soliton differs essentially from those in
neighboring lattice sites and the effects of discrete-
ness are significant.
PACS: 05.45.Yv Solitons;
75.10.Hk Classical spin models;
75.10.Jm Quantized spin models.
Keywords: spin vibrations, isotropic exchange in-
teraction, ferromagnet, soliton.
Äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû â ôåððîìàãíåòèêå ñî ñïèíîì S = 1
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 3 247
|