Двухатомная модель квантового кристалла
В рамках двухатомной модели рассмотрены ангармонические нулевые колебания кристалла. Показано, что амплитуда таких колебаний не может превосходить предельного значения, составляющего некоторую часть межатомного расстояния. Сжатие кристалла уменьшает амплитуду нулевых колебаний, а растяжение увели...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116922 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Двухатомная модель квантового кристалла / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 459–469. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116922 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1169222017-05-19T03:03:18Z Двухатомная модель квантового кристалла Полуэктов, Ю.М. Твердый гелий В рамках двухатомной модели рассмотрены ангармонические нулевые колебания кристалла. Показано, что амплитуда таких колебаний не может превосходить предельного значения, составляющего некоторую часть межатомного расстояния. Сжатие кристалла уменьшает амплитуду нулевых колебаний, а растяжение увеличивает ее. Найдена зависимость температуры плавления кристалла от параметра де Бура, которая качественно близка к наблюдаемой зависимости. Показано, что в классическом пределе для температуры плавления справедлива формула Линдемана. Существует критическое значение параметра де Бура, при котором температура плавления обращается в нуль. При значениях параметра де Бура, меньших критического, но близких к нему, плавление носит существенно квантовый характер. У рамках двохатомної моделі розглянуто ангармонічні нульові коливання кристала. Показано, що амплітуда таких коливань не може перевершувати граничного значення, що складає деяку частину міжатомної відстані. Стиск кристала зменшує амплітуду нульових коливань, а розтягання збільшує її. Знайдено залежність температури плавлення кристала від параметра де Бура, яка якісно близька до залежності, що спостерігається. Показано, що в класичному наближенні для температури плавлення справедлива формула Ліндемана. Існує критичне значення параметра де Бура, при якому температура плавлення стає рівною нулю. При значеннях параметра де Бура, менших критичного, але близьких до нього, плавлення носить істотно квантовий характер. The anharmonic zero oscillations of a crystal are considered within the framework of the diatomic model. It is shown that the amplitude of such oscillations cannot be in excess of the limiting value which is a part of the interatomic distance. The compression of a crystal decreases the amplitude of zero oscillations, while the tension increases it. It is found that the melting point of a crystal is dependent is the De Boer parameter. This dependence is qualitatively close to the observed one. It is shown that the Lindemann formula for the melting point is correct in the classic limit. There is a critical value of the De Boer parameter at which the melting point vanishes. For the De Boer parameters lower than the critical parameter, but close to it, the melting is mostly of quantum nature. 2008 Article Двухатомная модель квантового кристалла / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 459–469. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.Ry;64.70.D–;67.80.–s http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116922 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Твердый гелий Твердый гелий |
| spellingShingle |
Твердый гелий Твердый гелий Полуэктов, Ю.М. Двухатомная модель квантового кристалла Физика низких температур |
| description |
В рамках двухатомной модели рассмотрены ангармонические нулевые колебания кристалла. Показано,
что амплитуда таких колебаний не может превосходить предельного значения, составляющего
некоторую часть межатомного расстояния. Сжатие кристалла уменьшает амплитуду нулевых колебаний,
а растяжение увеличивает ее. Найдена зависимость температуры плавления кристалла от параметра
де Бура, которая качественно близка к наблюдаемой зависимости. Показано, что в классическом
пределе для температуры плавления справедлива формула Линдемана. Существует критическое
значение параметра де Бура, при котором температура плавления обращается в нуль. При значениях
параметра де Бура, меньших критического, но близких к нему, плавление носит существенно
квантовый характер. |
| format |
Article |
| author |
Полуэктов, Ю.М. |
| author_facet |
Полуэктов, Ю.М. |
| author_sort |
Полуэктов, Ю.М. |
| title |
Двухатомная модель квантового кристалла |
| title_short |
Двухатомная модель квантового кристалла |
| title_full |
Двухатомная модель квантового кристалла |
| title_fullStr |
Двухатомная модель квантового кристалла |
| title_full_unstemmed |
Двухатомная модель квантового кристалла |
| title_sort |
двухатомная модель квантового кристалла |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Твердый гелий |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116922 |
| citation_txt |
Двухатомная модель квантового кристалла / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 459–469. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT poluéktovûm dvuhatomnaâmodelʹkvantovogokristalla |
| first_indexed |
2025-07-08T11:19:23Z |
| last_indexed |
2025-07-08T11:19:23Z |
| _version_ |
1837077432770756608 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5, ñ. 459–469
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
Íàöèîíàëüíûé íàó÷íûé öåíòð «Õàðüêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò»
óë. Àêàäåìè÷åñêàÿ, 1, ã. Õàðüêîâ, 61108, Óêðàèíà
E-mail: yuripoluektov@kipt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 27 íîÿáðÿ 2007 ã.
 ðàìêàõ äâóõàòîìíîé ìîäåëè ðàññìîòðåíû àíãàðìîíè÷åñêèå íóëåâûå êîëåáàíèÿ êðèñòàëëà. Ïî-
êàçàíî, ÷òî àìïëèòóäà òàêèõ êîëåáàíèé íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ, ñîñòàâëÿþùåãî
íåêîòîðóþ ÷àñòü ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ. Ñæàòèå êðèñòàëëà óìåíüøàåò àìïëèòóäó íóëåâûõ êîëåáà-
íèé, à ðàñòÿæåíèå óâåëè÷èâàåò åå. Íàéäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëà îò ïà-
ðàìåòðà äå Áóðà, êîòîðàÿ êà÷åñòâåííî áëèçêà ê íàáëþäàåìîé çàâèñèìîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî â êëàññè÷åñ-
êîì ïðåäåëå äëÿ òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ëèíäåìàíà. Ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêîå
çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áóðà, ïðè êîòîðîì òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ïðè çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðà äå Áóðà, ìåíüøèõ êðèòè÷åñêîãî, íî áëèçêèõ ê íåìó, ïëàâëåíèå íîñèò ñóùåñòâåííî
êâàíòîâûé õàðàêòåð.
Ó ðàìêàõ äâîõàòîìíî¿ ìîäåë³ ðîçãëÿíóòî àíãàðìîí³÷í³ íóëüîâ³ êîëèâàííÿ êðèñòàëà. Ïîêàçàíî, ùî
àìïë³òóäà òàêèõ êîëèâàíü íå ìîæå ïåðåâåðøóâàòè ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ, ùî ñêëàäຠäåÿêó ÷àñòèíó
ì³æàòîìíî¿ â³äñòàí³. Ñòèñê êðèñòàëà çìåíøóº àìïë³òóäó íóëüîâèõ êîëèâàíü, à ðîçòÿãàííÿ çá³ëüøóº ¿¿.
Çíàéäåíî çàëåæí³ñòü òåìïåðàòóðè ïëàâëåííÿ êðèñòàëà â³ä ïàðàìåòðà äå Áóðà, ÿêà ÿê³ñíî áëèçüêà äî
çàëåæíîñò³, ùî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ. Ïîêàçàíî, ùî â êëàñè÷íîìó íàáëèæåíí³ äëÿ òåìïåðàòóðè ïëàâëåííÿ
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ˳íäåìàíà. ²ñíóº êðèòè÷íå çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà äå Áóðà, ïðè ÿêîìó òåìïåðàòóðà
ïëàâëåííÿ ñòຠð³âíîþ íóëþ. Ïðè çíà÷åííÿõ ïàðàìåòðà äå Áóðà, ìåíøèõ êðèòè÷íîãî, àëå áëèçüêèõ äî
íüîãî, ïëàâëåííÿ íîñèòü ³ñòîòíî êâàíòîâèé õàðàêòåð.
PACS: 63.20.Ry Àíãàðìîíè÷åñêèå ðåøåòî÷íûå ìîäû;
64.70.D– Ïåðåõîäû òâåðäîå òåëî–æèäêîñòü;
67.80.–s Êâàíòîâûå êðèñòàëëû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êâàíòîâûé êðèñòàëë, ïàðàìåòð äå Áóðà, íóëåâûå àíãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ,
êðèòåðèé Ëèíäåìàíà, òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ.
1. Ââåäåíèå
Íà âîçìîæíîñòü ïðîÿâëåíèÿ â íåêîòîðûõ êðèñòàë-
ëàõ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ýôôåêòîâ, îáóñëîâëåí-
íûõ àíãàðìîíè÷åñêèìè íóëåâûìè êîëåáàíèÿìè,
îáðàòèë âíèìàíèå äå Áóð [1]. Ôàçîâûå äèàãðàììû
êâàíòîâûõ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì òåîðåòè÷åñêè èçó-
÷àëè Íîñàíîâ ñ ñîòðóäíèêàìè [2,3]. Ðàáîòû ïî ìèê-
ðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè êâàíòîâûõ êðèñòàëëîâ è ññûë-
êè íà áîëåå ðàííèå ðàáîòû ïðèâåäåíû â ñáîðíèêå [4],
à îáçîð ñîâðåìåííîãî ñîñòîÿíèÿ ôèçèêè êâàíòîâûõ
êðèñòàëëîâ ñîäåðæèòñÿ â [5]. Íîâûå êà÷åñòâåííûå ýô-
ôåêòû â êâàíòîâûõ êðèñòàëëàõ, òàêèå êàê êâàíòîâàÿ
äèôôóçèÿ è âîçìîæíîñòü â íèõ ñâåðõòåêó÷åñòè, áûëè
ïðåäñêàçàíû Àíäðååâûì è Ëèôøèöåì [6]. Â ïîñëåä-
íåå âðåìÿ èíòåðåñ ê êâàíòîâûì êðèñòàëëàì âûðîñ â
ñâÿçè ñ ïîÿâëåíèåì ýêñïåðèìåíòîâ, ðåçóëüòàòû êîòî-
ðûõ èíòåðïðåòèðîâàëèñü êàê ïðîÿâëåíèå ñâåðõòåêó-
÷åñòè â êðèñòàëëàõ [7–11].
Ñîãëàñíî [6], â êâàíòîâûõ êðèñòàëëàõ èìååòñÿ
ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ âàêàíñèé,
êîòîðûå èç-çà íàëè÷èÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ìîãóò ñó-
ùåñòâîâàòü ïðè íóëå òåìïåðàòóðû. Â êðèñòàëëå, ñî-
äåðæàùåì íóëåâûå âàêàíñèè, âîçìîæíû äâà âèäà äâè-
æåíèÿ, îäèí èç êîòîðûõ õàðàêòåðåí äëÿ òâåðäîãî òåëà
äðóãîé — äëÿ æèäêîñòè. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå óðàâ-
íåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó òàêîãî óíèêàëüíîãî
îáúåêòà, ïîëó÷åíû â ðàáîòå [6].  ìèêðîñêîïè÷åñêîì
ïîäõîäå ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ âûâåäåíû â
[12,13]. Õîòÿ äî ñèõ ïîð íóëåâûå âàêàíñèè ýêñïåðè-
ìåíòàëüíî îáíàðóæåíû íå áûëè [14,15], âîïðîñ î
© Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ, 2008
ñóùåñòâîâàíèè ñîñòîÿíèé ìíîãî÷àñòè÷íûõ áîçå-ñèñ-
òåì, â êîòîðûõ áûëè áû íàðóøåíû îäíîâðåìåííî êàê
òðàíñëÿöèîííàÿ, òàê è ôàçîâàÿ ñèììåòðèÿ, îñòàåòñÿ
âåñüìà àêòóàëüíûì [13,16]. Ïðîäîëæàåò áûòü àêòóàëü-
íîé è ïðîáëåìà ïåðåõîäà æèäêîñòü–òâåðäîå òåëî, êàê â
êëàññè÷åñêîì, òàê è â êâàíòîâîì ñëó÷àå, â ÷àñòíîñòè
äëÿ ãåëèÿ, êîòîðûé îñòàåòñÿ æèäêèì âïëîòü äî ñàìûõ
íèçêèõ òåìïåðàòóð è êðèñòàëëèçóåòñÿ òîëüêî ïîä äàâ-
ëåíèåì. Òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå ïëàâëåíèÿ ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñëîæíóþ ïðîáëåìó. Îáû÷íî îãðàíè÷èâàþòñÿ ïðî-
ñòåéøèìè ñîîáðàæåíèÿìè, òàêèìè êàê èñïîëüçîâàíèå
êðèòåðèÿ Ëèíäåìàíà [17,18], ñîãëàñíî êîòîðîìó ïëàâëå-
íèå êðèñòàëëà íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷-
íàÿ àìïëèòóäà îòíîñèòåëüíûõ êîëåáàíèé âîçðàñòàåò äî
êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû, ñîñòàâëÿþùåé îïðåäåëåííóþ
÷àñòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè.
Äëÿ îïèñàíèÿ ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëà íåäîñòàòî÷íî
÷àñòî èñïîëüçóåìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òâåðäîãî òåëà
â âèäå íàáîðà íåçàâèñèìûõ ëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ,
ïîñêîëüêó îáÿçàòåëüíî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü àíãàðìî-
íè÷åñêèå ýôôåêòû. Ïðè÷åì íåîáõîäèìî ðåøàòü ñó-
ùåñòâåííî íåëèíåéíóþ çàäà÷ó, à íå ðàññìàòðèâàòü
àíãàðìîíè÷åñêèå ýôôåêòû êàê ìàëóþ ïîïðàâêó ê ãàð-
ìîíè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ.  ïðîñòåéøåì ïîäõîäå,
êîòîðûé èñïîëüçîâàí â äàííîé ðàáîòå, äîñòàòî÷íî èñ-
ñëåäîâàòü íåëèíåéíóþ äèíàìèêó äâóõ âçàèìîäåéñòâó-
þùèõ àòîìîâ. Ðàññìîòðåííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ êâàíòî-
âûì îáîáùåíèåì äâóõàòîìíîé ìîäåëè òâåðäîãî òåëà,
ïðåäëîæåííîé Ôðåíêåëåì [19]. Ïðè àíàëèçå ãàìèëü-
òîíèàíà ýòîé ìîäåëè, èìåþùåãî âèä ãàìèëüòîíèàíà
àñèììåòðè÷íîãî íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, èñïîëüçî-
âàí íîâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé,
ïðåäëîæåííûé ðàíåå àâòîðîì [20]. Ýòîò ìåòîä, îñíî-
âàííûé íà àíàëîãèè ñ ìåòîäîì ñàìîñîãëàñîâàííîãî
ïîëÿ [21], ïîçâîëÿåò ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ó÷åñòü íå-
ëèíåéíûå ýôôåêòû óæå â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè. Èç
äâóõàòîìíîé ìîäåëè ñëåäóåò, ÷òî êàê äëÿ âûñîêèõ
òåìïåðàòóð, òàê è â êâàíòîâîì ñëó÷àå àìïëèòóäà êîëå-
áàíèé àòîìîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè íå ìîæåò
ïðåâîñõîäèòü íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå.  ÷àñ-
òíîñòè, ïîêàçàíî, ÷òî â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ìàêñè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñâÿçàíî ñ
òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ ôîðìóëîé, êîòîðàÿ èç êà÷åñ-
òâåííûõ ñîîáðàæåíèé áûëà ïîëó÷åíà Ëèíäåìàíîì.
Ïîêàçàíî, ÷òî àìïëèòóäà íóëåâûõ êîëåáàíèé çàâèñèò
îò äàâëåíèÿ: ïîâûøåíèå äàâëåíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíü-
øåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé àòîìîâ, à ðàñòÿæåíèå
êðèñòàëëà — ê åå óâåëè÷åíèþ. Ïîëó÷åíà çàâèñèìîñòü
òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ îò ïàðàìåòðà äå Áóðà, êîòîðàÿ
êà÷åñòâåííî áëèçêà ê çàâèñèìîñòè, íàáëþäàåìîé
ýêñïåðèìåíòàëüíî. Èç âèäà ýòîé çàâèñèìîñòè ñëåäóåò,
÷òî èìååòñÿ êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áóðà,
ïðè êîòîðîì òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ îáðàùàåòñÿ â
íóëü. Ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äå Áóðà, ìåíüøèõ
êðèòè÷åñêîãî, íî áëèçêèõ ê íåìó, ïëàâëåíèå íîñèò
ñóùåñòâåííî êâàíòîâûé õàðàêòåð.
2. Îïèñàíèå ìîäåëè
Òâåðäîå òåëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿ-
íèå î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö, ñâîåîáðàçíóþ
ãèãàíòñêóþ ìîëåêóëó. Ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ [19], ïðî-
ñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà òàêèõ ÷àñòèö òîëüêî äâå. Ðàçó-
ìååòñÿ, ðàññìàòðèâàÿ äâóõàòîìíóþ ìîëåêóëó êàê ìî-
äåëü òâåðäîãî òåëà, ìû òåì ñàìûì íå ó÷èòûâàåì
ìíîãî÷àñòè÷íóþ ïðèðîäó ðåàëüíûõ òâåðäûõ òåë. Òåì
íå ìåíåå ìíîãèå ñóùåñòâåííûå îñîáåííîñòè òàêîé
êðàéíå óïðîùåííîé ìîäåëè äîëæíû îñòàòüñÿ ñïðàâåä-
ëèâûìè è äëÿ ñèñòåìû ìíîãèõ ÷àñòèö. Ðàññìîòðèì îä-
íîìåðíóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü äâå îäèíàêîâûå ÷àñòèöû
ìàññîé m0, íàõîäÿùèåñÿ â òî÷êàõ x1 è x 2, âçàèìîäåé-
ñòâóþò ïîñðåäñòâîì ïîòåíöèàëà U x( ), ãäå x x x� �2 1.
×òîáû ñìîäåëèðîâàòü âíåøíåå âîçäåéñòâèå íà òâåðäîå
òåëî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà àòîìû ìîãóò äåéñòâîâàòü
îäèíàêîâûå ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñèëû F è
�F. Ïðè F � 0 ýòè ñèëû ðàñòÿãèâàþò ñèñòåìó, ïðè F � 0
ñæèìàþò. Äàííàÿ çàäà÷à äâóõ òåë ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å î
äâèæåíèè îäíîãî òåëà ñ ïðèâåäåííîé ìàññîé m m /� 0 2
â ïîëå ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà
U x U x Fxeff ( ) ( )� � . (1)
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïîòåíöèàë U x( ) íà ìàëûõ ðàññòîÿ-
íèÿõ èìååò õàðàêòåð îòòàëêèâàíèÿ, à íà áîëüøèõ
ðàññòîÿíèÿõ — ïðèòÿæåíèÿ.  íåêîòîðîé òî÷êå x 0 îí
äîñòèãàåò ìèíèìóìà. Ïðè ñæàòèè ýôôåêòèâíûé ïî-
òåíöèàë âñåãäà èìååò ìèíèìóì â òî÷êå, îïðåäåëÿåìîé
óñëîâèåì ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé ýôôåêòèâíîãî
ïîòåíöèàëà � �U xeff ( )* 0. Ïðè ðàñòÿãèâàþùåé ñèëå ýô-
ôåêòèâíûé ïîòåíöèàë èìååò ìèíèìóì òîëüêî òîãäà,
êîãäà ñèëà ìåíüøå íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷å-
íèÿ: F Fm� . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî àëãåáðàè÷åñêîå
óðàâíåíèå
U x F� �( )* , (2)
îïðåäåëÿþùåå ðàññòîÿíèå x* , íà êîòîðîì ýôôåêòèâ-
íûé ïîòåíöèàë ïðè íàëè÷èè ñèëû äîñòèãàåò ìèíèìó-
ìà, íå èìååò ðåøåíèÿ ïðè F Fm� . Â äàëüíåéøåì âåçäå
â êà÷åñòâå ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåì èñïîëü-
çîâàòü ïîòåíöèàë Ëåííàðäà-Äæîíñà
U x /x /xU( ) [( ) ( ) ]� �4 12 6� � � . (3)
 îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë
ñîâïàäàåò ñ ïîòåíöèàëîì (3), êîòîðûé äîñòèãàåò ìè-
íèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ U x U( )0 � �� íà ðàññòîÿíèè
x 0
1 62� / �. Â ïðèñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë ìèíèìóì ýô-
ôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ ïîòåíöèàëà (3), ñîãëàñíî
(2), îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
z z F� �� �7 13 ~
, (4)
460 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
ãäå ââåäåíû áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû: z x /x� * 0 — îò-
íîøåíèå ðàâíîâåñíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè
ïðè íàëè÷èè âíåøíåé ñèëû ê ðàâíîâåñíîìó ðàññòîÿ-
íèþ â îòñóòñòâèå ñèëû è
~ /F F/ U� 2 121 6� � . Î÷åâèäíî,
ïðè
~
F � 0 ïàðàìåòð z �1. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4) óäîá-
íî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè (ðèñ. 1). Êîðíè óðàâíåíèÿ
(4) îïðåäåëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé
~
F ñ
êðèâîé �( )z z z� �� �7 13. Êàê âèäèì, ïðè
~ ~
F Fm� �
� ( )( ) ,/42 169 7 13 0 2241 6/ / óðàâíåíèå (4) íå èìååò ðå-
øåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
~
Fm — ýòî òà ñèëà, êîòîðóþ
íàäî ïðåâûñèòü, ÷òîáû ðàçîðâàòü ñâÿçàííîå ñîñòîÿ-
íèå äâóõ àòîìîâ, à z /m � ( ) ,/13 7 1111 6 — ýòî ìàêñè-
ìàëüíîå ðàññòîÿíèå â åäèíèöàõ x 0, íà êîòîðîå ìîæíî
óäàëèòü ñâÿçàííûå àòîìû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë
áåç ó÷åòà êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ.
Ïðè 0 � �
~ ~
F Fm óðàâíåíèå (4) èìååò äâà êîðíÿ:
ìåíüøèé z1 è áîëüøèé z 2. Èç ýòèõ äâóõ êîðíåé ñëåäó-
åò âûáðàòü ìåíüøèé, òàê êàê ïðè
~
F
0 èìåííî ýòîò
êîðåíü ñòðåìèòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó ðàññòîÿíèþ z �1 â
îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë è, ñëåäîâàòåëüíî, îòâå÷àåò
ìèíèìóìó ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Áîëüøèé êî-
ðåíü îïðåäåëÿåò ìàêñèìóì ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà.
Ïðè
~
F � 0 óðàâíåíèå (4) âñåãäà èìååò îäèí êîðåíü
z � 1, ò.å. ïðîèñõîäèò ñæàòèå «òâåðäîãî òåëà» ïîä äåé-
ñòâèåì âíåøíåé ñèëû. Ðàññìîòðåíû óñëîâèÿ ðàâíîâå-
ñèÿ äâóõàòîìíîé ñèñòåìû áåç ó÷åòà åå êâàíòîâîé äè-
íàìèêè. Ó÷åò êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ, êàê óâèäèì,
çíà÷èòåëüíî óìåíüøàåò åå ïðî÷íîñòü. Ïîýòîìó êðèòè-
÷åñêàÿ ñèëà, êîòîðóþ ñëåäóåò ïðèëîæèòü, ÷òîáû ðà-
çîðâàòü ñâÿçü äâóõ ÷àñòèö, îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî
ìåíüøå ïîëó÷åííîé âûøå ñèëû
~
Fm.
Ïóñòü � � �x x* — ðàçíîñòü ìåæäó ôàêòè÷åñêèì
ðàññòîÿíèåì ìåæäó àòîìàìè x è ðàâíîâåñíûì ðàññòî-
ÿíèåì x* , îïðåäåëÿåìûì óðàâíåíèåì (2). Ðàçëîæèì
ýôôåêòèâíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ (1) â ðÿä ïî �,
óäåðæàâ ÷ëåíû äî òðåòüåãî ïîðÿäêà:
U U x F x U x U xeff ( ) ( ) ( ) ( )* * * *� � � � � �� � ���
1
2
1
6
2 3.
(5)
Ëèíåéíîå ñëàãàåìîå âûïàäàåò èç ðàçëîæåíèÿ (5) â ñè-
ëó óñëîâèÿ (2). Ñ ó÷åòîì (5), ãàìèëüòîíèàí ðàññìàòðè-
âàåìîé ìîäåëè èìååò âèä ãàìèëüòîíèàíà àñèììåòðè÷-
íîãî àíãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà
H
p
m
m
� � �
2 2 2
3
2 2
�
�� , (6)
ãäå p i d/d� � � � — îïåðàòîð èìïóëüñà, m m /� 0 2 — ïðè-
âåäåííàÿ ìàññà. Â (6) îïóùåíà ïîñòîÿííàÿU x F x( )* *� ,
îò êîòîðîé îòñ÷èòûâàåòñÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû. Êâàäðàò
÷àñòîòû è ïîñòîÿííàÿ �, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñòåïåíü àí-
ãàðìîíè÷íîñòè, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
�2
6
�
� �
�
� � �U x
m
U x( )
,
( )* * .
(7)
Äëÿ ïîòåíöèàëà Ëåííàðäà-Äæîíñà (3) ýòè ïàðàìåòðû
ñ ó÷åòîì (4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
2
0
2
14
613
6
1
7
13
� ��
�
�
�
�
�
z
z , � �� � ��
�
�
�
�
�0 15
613
9
1
4
13z
z , (8)
ã ä å
� �0
2 1 3 272 2� U / m/ — ê â à ä ð à ò ÷ à ñ ò î ò û ,
� � �0
3252 3� U / — âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà àíãàðìî-
íè÷íîñòè â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë.
Åñëè êàêàÿ-ëèáî âåëè÷èíà (êàê, íàïðèìåð,
2 è � â
(8)) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïàðàìåòðà �( )z , òî ñîâìåñòíî
ñ (4) ýòè äâå çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðè÷åñêè îïðåäåëÿ-
þò çàâèñèìîñòü äàííîé âåëè÷èíû îò âíåøíåé ñèëû
�(
~
)F . Äëÿ
2 è � òàêèå çàâèñèìîñòè ïðåäñòàâëåíû íà
ðèñ. 2. Êàê âèäèì, ïðè ïîëîæèòåëüíîì
~
F (ðàñòÿæåíèè)
êâàäðàò ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì
ñèëû è ïðè ìàêñèìàëüíîì åå çíà÷åíèè
~
Fm îáðàùàåòñÿ
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 461
Fm0 < F <
1
z
FmF =
FmF >
F < 0
zm
Ðèñ. 1. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4).
1
mF
F
–1
�
�0
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ÷àñòîòû
2 è êîýôôèöèåíòà
àíãàðìîíè÷íîñòè � îò âíåøíåé ñèëû.
â íóëü. Ïðè îòðèöàòåëüíîé ñèëå (ñæàòèè) êâàäðàò ÷àñ-
òîòû ðàñòåò ñ ðîñòîì àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñèëû. Êî-
ýôôèöèåíò àíãàðìîíè÷íîñòè, îñòàâàÿñü âñåãäà îòðè-
öàòåëüíûì, óìåíüøàåòñÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñ
óâåëè÷åíèåì ñèëû.
Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (5), ìû ôàêòè÷åñêè àïïðîê-
ñèìèðîâàëè ïîòåíöèàë (3) áîëåå ïðîñòûì ïîòåíöèà-
ëîì, òåì ñàìûì óïðîñòèëè çàäà÷ó, êà÷åñòâåííî íå èç-
ìåíèâ êàðòèíó. Äåéñòâèòåëüíî, ïîòåíöèàë (5), êàê è
òî÷íûé ïîòåíöèàë (3), èìååò íåïðåðûâíûé ñïåêòð è
ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó, êîòîðàÿ ìîæåò ñîäåðæàòü äèñ-
êðåòíûå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè. Ýòè ïîòåíöèàëû
ðàçëè÷àþòñÿ ïðè áîëüøèõ x. Åñëè ïîòåíöèàë Ëåí-
íàðäà-Äæîíñà ïðè x
� ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî ïîòåí-
öèàë (5) óõîäèò â ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü. Ïîñêîëüêó
íàñ èíòåðåñóþò ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö, òî ðàç-
ëè÷èå â ïîâåäåíèè ýòèõ ïîòåíöèàëîâ íà áîëüøèõ
ðàññòîÿíèÿõ íåñóùåñòâåííî. Ñëåäóåò îòìåòèòü åùå
îäíî îáñòîÿòåëüñòâî. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýíåðãåòè÷åñêèé
ñïåêòð â ñëó÷àå àñèììåòðè÷íîãî îñöèëëÿòîðà ÿâëÿåò-
ñÿ íåïðåðûâíûì â ñèëó âîçìîæíîñòè òóííåëèðîâàíèÿ
÷àñòèöû ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. Îäíàêî èç-çà
ìàëîé âåðîÿòíîñòè òàêîãî òóííåëèðîâàíèÿ, êîòîðîå
ïðèâåäåò ëèøü ê ìàëîìó óøèðåíèþ ýíåðãåòè÷åñêîãî
óðîâíÿ, ÷àñòèöà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïîòåíöèàëüíîé
ÿìå ôàêòè÷åñêè òîëüêî ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ
ýíåðãèè. Ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè áóäåì ïðåíåáðåãàòü
òóííåëèðîâàíèåì ñêâîçü áàðüåð è ñ÷èòàòü ýíåðãåòè-
÷åñêèé ñïåêòð â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå äèñêðåòíûì.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ó÷åò â ðàçëîæåíèè (5) ÷ëåíîâ,
ïðîïîðöèîíàëüíûõ � 4 , íå óëó÷øèò, êàê ìîæåò ïîêà-
çàòüñÿ, ïðåäëàãàåìóþ ìîäåëü. Íàîáîðîò, â ýòîì ñëó-
÷àå ñèòóàöèÿ êà÷åñòâåííî èçìåíèòñÿ. Ïîñêîëüêó ïî-
òåíöèàë áóäåò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü ïðè �
�,
òî ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð îêàæåòñÿ âåçäå äèñêðåòíûì.
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ êà÷åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò òîé, êîòîðàÿ
èìååò ìåñòî äëÿ ïîòåíöèàëà Ëåííàðäà-Äæîíñà.
3. Àñèììåòðè÷íûé àíãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð
Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äâóõàòîìíîé ìîäåëè
òâåðäîãî òåëà (6) èìååò âèä ãàìèëüòîíèàíà àñèììåò-
ðè÷íîãî àíãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ñòàíäàðò-
íûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ýòîé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîé
çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè òåîðèè âîçìóùå-
íèé, îñíîâàííîé íà âûáîðå â êà÷åñòâå ãëàâíîãî
ïðèáëèæåíèÿ ìîäåëè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.
Îäíàêî òàêîé ïîäõîä îêàçûâàåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå íå-
óäîâëåòâîðèòåëüíûì è íå ïîçâîëÿåò êîððåêòíî èññëå-
äîâàòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó. Ýòî î÷åâèäíî óæå èç òî-
ãî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà
èìååò êîíå÷íóþ ãëóáèíó è ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî
ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé ëèáî íå ñîäåðæèò èõ âîâñå.
Âûáîð â êà÷åñòâå ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ãàðìîíè÷åñ-
êîãî îñöèëëÿòîðà, èìåþùåãî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî óðîâ-
íåé, íå ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è ôîð-
ìàëüíî ïîçâîëÿåò èñêàòü ïîïðàâêè ê ëþáîìó ýíåðãå-
òè÷åñêîìó óðîâíþ. Âîçìîæåí, îäíàêî, äðóãîé âûáîð
ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ó÷åñòü
áîëåå ïîëíî îñíîâíûå ÷åðòû ãàìèëüòîíèàíà (6), à
èìåííî íåëèíåéíûå ýôôåêòû è íàëè÷èå êîíå÷íîãî
÷èñëà êâàçèäèñêðåòíûõ óðîâíåé.
Äëÿ äàëüíåéøåãî îêàçûâàåòñÿ áîëåå óäîáíûì çàïè-
ñàòü ãàìèëüòîíèàí (6) â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäå-
íèÿ a� è óíè÷òîæåíèÿ a, ÷åðåç êîòîðûå îïåðàòîðû êî-
îðäèíàòû è èìïóëüñà âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
�
� � � �� �� �
2 2m
a a p i
m
a a( ), ( ). (9)
Îïåðàòîðû a a� , äåéñòâóþò â ïðîñòðàíñòâå, áàçèñíûå
âåêòîðû êîòîðîãî îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèÿìè
a n n n� � � �1 1 , a n n n� �1 (10)
è ïîä÷èíåíû áîçå-óñëîâèÿì êîììóòàöèè: [ , ]a a� �
� �� �aa a a �1. Âåêòîðû ñîñòîÿíèé n ÿâëÿþòñÿ ñîá-
ñòâåííûìè âåêòîðàìè ãàìèëüòîíèàíà ãàðìîíè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà
H a a /0 1 2� ��
�
( ), (11)
èìåþùåãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè
E n /n � ��
( )1 2 , (12)
ãäå n � 0 1 2, , , �. Ñðåäè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ n ãà-
ìèëüòîíèàíà H 0 ñóùåñòâóåò âåêòîð ñ n � 0, íàçûâàå-
ìûé âàêóóìíûì, îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì a 0 0� . Ýòî-
ìó âåêòîðó îòâå÷àåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ýíåðãèè
îñöèëëÿòîðà E /0 2� �
.
 òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ
ãàìèëüòîíèàí àñèììåòðè÷íîãî îñöèëëÿòîðà (6)
ïðèíèìàåò âèä
H a a a a� � � ��
��
�
��
� �
�
�
1
2
3~( ) . (13)
Êâàäðàò îòðèöàòåëüíîé áåçðàçìåðíîé ïîñòîÿííîé ~�,
õàðàêòåðèçóþùåé âåëè÷èíó íåëèíåéíîñòè, ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
~
/
�
�
2
2
3 5
5 6
8
49 2
384
� �
��
m
�. (14)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì ïàðàìåòðà
�. Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (8), (9) íåòðóäíî óáåäèòü-
ñÿ, ÷òî â îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû ïàðàìåòð � ñîâïà-
äàåò ñ ïàðàìåòðîì, ââåäåííûì äå Áóðîì [1]:
�B
U am
�
�
� �
. (15)
462 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
Ïðè íàëè÷èè âíåøíåé ñèëû ïàðàìåòð � çàâèñèò îò F
(èëè îò äàâëåíèÿ), ïîýòîìó áóäåì íàçûâàòü åãî çàâèñÿ-
ùèì îò äàâëåíèÿ ïàðàìåòðîì äå Áóðà. Èç (8), (9), (14)
ñëåäóåò, ÷òî åãî çàâèñèìîñòü îò z èìååò âèä
� �( )
/
z
z
z
B�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
4
9
6
13
1
4
13
1
7
13
6
2
6
5 2
. (16)
Ôîðìóëà (16) ñîâìåñòíî ñ (4) ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàåò çà-
âèñèìîñòü � îò ñèëû. Ïîñêîëüêó ïàðàìåòð � îïðåäåëÿåò
ñòåïåíü àíãàðìîíè÷íîñòè êðèñòàëëà, à ñëåäîâàòåëüíî,
ñòåïåíü åãî «êâàíòîâîñòè», òî ïðè ñæàòèè ( )z � 1 êðèñ-
òàëë ñòàíîâèòñÿ «ìåíåå êâàíòîâûì», à ïðè ðàñòÿæåíèè
( )z � 1 — «áîëåå êâàíòîâûì». Ïðè ñæàòèè ïàðàìåòð �
óìåíüøàåòñÿ è â ïðåäåëå z
0 ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîé
âåëè÷èíå, ðàâíîé ( )( ) ,4 9 6 13 0 302/ / B B� � . Ïðè ðàñ-
òÿæåíèè ïàðàìåòð � ðåçêî âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ ê
áåñêîíå÷íîñòè ïðè z z m
(ðèñ. 3). Ïðè ìàëûõ äåôîð-
ìàöèÿõ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ëèíåéíûì ïî � �z 1
ïðèáëèæåíèåì. Òîãäà âíåøíÿÿ ñèëà ñ äåôîðìàöèåé
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
~ /F /� 3 21 6 , à çàâèñèìîñòü (16)
ïðèìåò âèä
� �� ��
�
�
�
�
�B 1
73
6
. (17)
Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå áîëüøàÿ âåëè÷èíà ÷èñ-
ëåííîãî êîýôôèöèåíòà 73 6 12 17/ , ïåðåä ìàëîé âåëè-
÷èíîé â ïîñëåäíåé ôîðìóëå. Ïðèìåíèìîñòü ôîðìó-
ëû (17) îãðàíè÷åíà óñëîâèåì �� 6 73 0 082/ , . Òàêèì
îáðàçîì, äàæå ñëàáàÿ äåôîðìàöèÿ ïðèâîäèò ê ñóùåñ-
òâåííîìó èçìåíåíèþ ïàðàìåòðà äå Áóðà, à ñëåäîâàòåëü-
íî, èçìåíåíèþ ñòåïåíè àíãàðìîíè÷íîñòè. Ïåðåéäåì ê
ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèàíîì
(13). Ðàçîáüåì ýòîò ãàìèëüòîíèàí íà îñíîâíóþ ÷àñòü è
âîçìóùåíèå èíûì ñïîñîáîì, ÿâëÿþùèìñÿ àíàëîãîì
ïîäõîäà, èñïîëüçóåìîãî ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè ñàìî-
ñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ [22,23]:
H H HS C� � . (18)
Íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí âûáåðåì â âèäå, ñî-
äåðæàùåì ÷ëåíû íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî îïåðà-
òîðàì a a� , :
H a à A a a
B
a a CS � � � � � � ��
��
�
��
� � �
�
1
2 2
2( ) ( ) ,
(19)
ãäå A B C, , — âåùåñòâåííûå ïàðàìåòðû. Òîãäà ãàìèëü-
òîíèàí âîçìóùåíèÿ ïðèìåò âèä
H a a A a a
B
a a CC � � � � � � ��
��
�
��
� � �
�
�~( ) ( ) ( )3 2
2
.
(20)
Ïîñêîëüêó ïðè òàêîì ðàçáèåíèè ïîëíûé ãàìèëüòîíè-
àí (13) íå èçìåíèëñÿ, òî ïàðàìåòðû A B C, , ìîãóò, âî-
îáùå ãîâîðÿ, ñ÷èòàòüñÿ ïðîèçâîëüíûìè. Ýòî ïîçâîëÿ-
åò ïîäîáðàòü èõ òàê, ÷òîáû ãàìèëüòîíèàí ãëàâíîãî
ïðèáëèæåíèÿ H S áûë â íåêîòîðîì ñìûñëå ìàêñèìàëü-
íî áëèçîê ê ïîëíîìó ãàìèëüòîíèàíó (13).
Ïðè òåìïåðàòóðàõ áëèçêèõ ê íóëþ ñèñòåìà íàõî-
äèòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè. Íå
ôèêñèðóÿ ïîêà ïàðàìåòðû A B C, , , ðåøèì ñòàöèîíàð-
íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ãàìèëüòîíèàíà
íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ:
! !H ES 0 00) )( )� , (21)
ãäå !0) — âåêòîð îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (âàêóóìà), E ( )0
— ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Óðàâíåíèå (21) ìî-
æåò áûòü ðåøåíî ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì
óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ H S
ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ãàìèëüòîíèàíà ãàðìîíè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà (11). Âíà÷àëå óñòðàíèì â H S ëèíåéíûå
ïî a a� , ÷ëåíû, èñïîëüçóÿ óíèòàðíûé îïåðàòîð
V a a1 � ��exp ( )" , (22)
ãäå " — âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Îïåðàòîð (22) îñóùå-
ñ ò â ë ÿ å ò ñ ä â è ã î ï å ð à ò î ð î â a a� , í à ÷ è ñ ë î ":
V aV a1 1
� � �". Ñ ïîìîùüþ (22) óðàâíåíèå (21) ïðèâî-
äèòñÿ ê âèäó ! !� �� �H V E VS I1
0
10 0) )
( )
, ãäå � � �H V H VS S1 1.
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 463
0
0,3
1
1,0
z
zm
a
0,3
Fm
0
1,0
F
á
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðà äå Áóðà îò: ïàðàìåòðà z, õà-
ðàêòåðèçóþùåãî äëèíó êðèñòàëëà (à); âíåøíåé ñèëû (á).
 ãàìèëüòîíèàíå H S� ëèíåéíûå ïî a a� , ÷ëåíû áóäóò
îòñóòñòâîâàòü, åñëè ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
( )1 2 0� � �B A" . (23)
 �H S îñòàíóòñÿ òîëüêî êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû âèäà
a a a a� �, ,2 2. ×òîáû �H S ïðèâåñòè ê âèäó (11), ñëåäóåò
óñòðàíèòü ôàçîâî-íåèíâàðèàíòíûå êâàäðàòè÷íûå ÷ëå-
íû a a�2 2, . Ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óíèòàðíî-
ãî îïåðàòîðà
V a a2
2 21
2
� ��exp ( )# , (24)
ê î ò î ð û é « ï å ð å ï ó ò û â à å ò » î ï å ð à ò î ð û a a� , :
V aV u a va2 2
� �� � , ãäå u � ch#, v � sh#. Èíà÷å ãîâîðÿ,
îïåðàòîð (24) ðåàëèçóåò êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâà-
íèå Áîãîëþáîâà. Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ (22), (24)
óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (21) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâà-
íî ê âèäó
! !�� �� � � �H V V E V VS I2 1
0
2 10 0) )
( )
, (25)
ãäå �� � � �H V V H V VS S2 1 1 2. Ïàðàìåòðû u è v ïîäáèðàþòñÿ
òàê, ÷òîáû èç H S� � âûïàëè ÷ëåíû ñ a a�2 2, . Ýòî òðåáî-
âàíèå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì:
Bu B v
B u Bv
� � � �
� � � �
( ) ,
( ) ,
1 0
1 0
�
�
(26)
ãäå � — ïîëîæèòåëüíûé âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð,
îïðåäåëÿåìûé èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû îä-
íîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (26):
� � �1 2B. (27)
Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ u v2 2 1� � íàõîäèì
u
B
v
B
uv
B2 21
2
1
1
1
2
1
1
2
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
� �
� � �
, , . (28)
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ãàìèëüòîíèàíó âèäà
�� � ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�H a a CS �
� � "
1
2
2 2 , (29)
êîòîðûé, î÷åâèäíî, èìååò ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñî-
âïàäàþùèå ñ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ãàìèëüòîíèà-
íà ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà (11). Òàêèì îáðàçîì,
èç (25) ïîëó÷àåì, ÷òî !V V2 1 0 0� � �) èëè
!0 01 2) �V V , (30)
ãäå 0 — âåêòîð îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà
ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà (11). Èç (25) ñëåäóåò, ÷òî
ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé
ãàìèëüòîíèàíîì (19), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
E C( )0 2 21
2
� � ��
��
�
��
�
� � " . (31)
Êàê âèäíî, ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû ñ ãà-
ìèëüòîíèàíîì (19) îòëè÷àåòñÿ îò ýíåðãèè íóëåâûõ êî-
ëåáàíèé ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.
Äî ñèõ ïîð ïàðàìåòðû A B C, , , âõîäÿùèå â ãàìèëü-
òîíèàíû îñíîâíîãî ïðèáëèæåíèÿ (19) è âîçìóùåíèÿ
(20), îñòàâàëèñü íåîïðåäåëåííûìè. Îïðåäåëèì ýòè
ïàðàìåòðû. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì âûðàæåíèå
J H H S� �[( | )]0 0 2, (32)
ãäå ñðåäíåå ïî ñîñòîÿíèþ !0) îò ðàçíîñòè òî÷íîãî è
àïïðîêñèìèðóþùåãî ãàìèëüòîíèàíîâ èìååò âèä
( | | ) ( | | )0 0 0 0H H HS C� � �
� � � � � � �� � �~( |( ) | ) ( |( )| ) ( |( ) | ) .� 0 0 0 0
2
0 03 2a a A a a
B
a a C
(33)
Ñðåäíèå â (33) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû " è �, òàê
÷òî ïîëó÷àåì
( | | ) ~0 0
6
8 2
2
1
43 2H A
B
CC � ��
��
�
��
� � ��
�
�
�
�
� ��
�
" " "
�
" .
(34)
Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà (32) õàðàêòåðèçóåò îòëè÷èå òî÷-
íîãî ãàìèëüòîíèàíà îò àïïðîêñèìèðóþùåãî, ïîòðåáó-
åì, ÷òîáû ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè A B C, , è " �, áûëà
òàêîâà, ÷òîáû J ïðèíèìàëà ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå.
Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåì âûïîëíåíèå óñëîâèé
$
$
�
$
$
�
$
$
�
J J J
C" �
0.
(35)
Ïîñëåäíåå óñëîâèå â (35) ýêâèâàëåíòíî òðåáîâàíèþ
ðàâåíñòâà ñðåäíèõ îò òî÷íîãî è àïïðîêñèìèðóþùåãî
ãàìèëüòîíèàíîâ:
( | | ) ( | | )0 0 0 0H H S� . (36)
Äðóãèå óñëîâèÿ (35) ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèÿì
~ ,
~ .
�
�
" "
�"
3
12 2 0
12
2��
��
�
��
� � �
� �
B A
B
(37)
Ê ýòèì óðàâíåíèÿì ñëåäóåò ïðèñîåäèíèòü óðàâíåíèÿ
(23) è (27).  èòîãå, ñ ó÷åòîì (14), ïîëó÷àåì óðàâíå-
íèå, îïðåäåëÿþùåå ïàðàìåòð � êàê ôóíêöèþ ïàðàìåò-
ðà äå Áóðà:
� �5 0� � �b � , (38)
ãäå ÷èñëåííûé êîýôôèöèåíò b /� � 147 4 2 32 741 6/ , .
Ïàðàìåòðû ", A, B è C ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç � è
~� (èëè �):
464 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
"
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�2 2 2 21
24
1
24
1
2~ ,
( )
~ , ,A B
C � �
� �( ) ( )
~
� �
�
2 2 2
2
1 2 1
864
. (39)
Ïàðàìåòð " îïðåäåëÿåò ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû
â ñîñòîÿíèè !0) :
� �
"� �( | | )0 0
2�
m
. (40)
Êâàäðàò ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ êîîðäèíà-
òû â ñîñòîÿíèè !0) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
� �
�
2 2
2
� �( )
�
m
. (41)
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä
ñìåùåííîé ãàóññîâîé ôóíêöèè
( | ) exp ( )
/
�
�
%
�
� �0
2
1 4
2�
�
�
��
�
�
�� � ��
��
�
��
m m
� �
. (42)
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿ-
òîðà � � 0, ò.å. ýôôåêò ðàñøèðåíèÿ êðèñòàëëà çà ñ÷åò
íóëåâûõ êîëåáàíèé â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè íå
ìîæåò áûòü îïèñàí.
4. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êðèñòàëëà
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (38), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì
â äàííîé òåîðèè, óäîáíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè
(ðèñ. 4). Åãî êîðíè îïðåäåëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ
êðèâîé y1
5� �� � è ïðÿìîé y b2 � �. Êðèâàÿ y1( )� äîñ-
òèãàåò ìàêñèìóìà y /m1
5 44 5 0 535� �/ , ïðè �*
/� �1 51 4/
� 0 669, . Èç ðèñ. 5 âèäíî, ÷òî èìååòñÿ êðèòè÷åñêîå çíà-
÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áóðà
�*
/ / ,� � � 16 2 735 5 0 0161 6 1 4/ , (43)
òàêîå, ÷òî ïðè � �� * ðåøåíèå îòñóòñòâóåò. Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî ïðè óêàçàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äå Áóðà
äèñêðåòíûé óðîâåíü â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå îòñóòñòâóåò
è, ñëåäîâàòåëüíî, íåâîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ñâÿçàí-
íîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè
íàìè òðàêòóåòñÿ êàê êðèñòàëëè÷åñêîå. Ïîñêîëüêó â
ýòîì ñîñòîÿíèè ÷àñòèöû äåëîêàëèçîâàíû, òî åñòåñ-
òâåííî ðàññìàòðèâàòü òàêîå ñîñòîÿíèå êàê æèäêîå èëè
ãàçîîáðàçíîå (â äàííîé ìîäåëè îíè íå ðàçëè÷èìû).
Ïðè � �� * èìååòñÿ îäèí êîðåíü óðàâíåíèÿ (38)
�*
/�1 51 4/ , ò.å. ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì îáðàçîâàíèå
ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ (êðèñòàëëà). Ñëåäîâàòåëüíî,
ôèçè÷åñêèé ñìûñë êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà
äå Áóðà (43) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè äàííîì åãî çíà÷å-
íèè êðèñòàëëèçàöèÿ (ïëàâëåíèå) ïðîèñõîäèò óæå ïðè
íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Ïðè � �� * óðàâíåíèå (38) èìå-
åò äâà ïîëîæèòåëüíûõ êîðíÿ: �� è ��. Èç äâóõ ïîëîæè-
òåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (38) ñëåäóåò âûáðàòü áîëü-
øèé �� (êîòîðûé áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî �) ,
ïîñêîëüêó èìåííî äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ î÷åâèäíîå
òðåáîâàíèå: �
0 ïðè �
1. Òàêèì îáðàçîì, êðèñòàëë
ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ äå Áóðà
0 � �� �* . Ïðè ýòîì ïàðàìåòð � ìåíÿåòñÿ îò åäèíèöû
äî �*
/�1 51 4/ .
Èç ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò
õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áóðà �* , êîòîðîå
ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû, ìåæ-
àòîìíîå âçàèìîäåéñòâèå â êîòîðûõ ìîæåò áûòü îïèñà-
íî ïîòåíöèàëàìè òèïà (3), íà äâå ãðóïïû. Ê ïåðâîé
ãðóïïå îòíîñÿòñÿ âåùåñòâà, ó êîòîðûõ ïàðàìåòð äå
Áóðà ìåíüøå �* , ñëåäîâàòåëüíî, âåùåñòâà ýòîé ãðóï-
ïû íàõîäÿòñÿ â êðèñòàëëè÷åñêîì ñîñòîÿíèè ïðè íóëå-
âîì äàâëåíèè è íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Â ýòó ãðóïïó
âõîäèò ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ êîíäåí-
ñèðîâàííûõ ñðåä. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ âåùåñò-
âà, ïàðàìåòð äå Áóðà êîòîðûõ áîëüøå êðèòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ �* . Òàêèå ñðåäû íå êðèñòàëëèçóþòñÿ (îñòà-
þòñÿ êâàíòîâûìè æèäêîñòÿìè) â îòñóòñòâèå äàâëåíèÿ
äî ñàìûõ íèçêèõ òåìïåðàòóð. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâå-
ñòíû âñåãî äâà òàêèõ âåùåñòâà — èçîòîïû ãåëèÿ 3Íå è
4Íå. Ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ íàäåÿòüñÿ, ÷òî ÷èñëåííîå çíà-
÷åíèå êðèòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà äå Áóðà �* , 0 016, ïî-
ëó÷åííîå âûøå â ðàìêàõ ïðîñòîé ìîäåëè, áëèçêî ê ðå-
àëüíîé âåëè÷èíå. Ýòî ñëåäóåò óæå èç òîãî, ÷òî,
íàïðèìåð, àòîì 4Íå â òâåðäîé ÃÏÓ ôàçå, â êîòîðóþ
êðèñòàëëèçóåòñÿ ãåëèé ïðè T � 0 Ê è Ð � 25 àòì, îêðó-
æåí 12 áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè, òàê ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ
ÿìà, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ àòîì, ãîðàçäî ãëóáæå, ÷åì òà,
êîòîðàÿ èìååò ìåñòî â ìîäåëè ñ äâóìÿ àòîìàìè. Íèæå
áóäåò äàíà îöåíêà êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà
äå Áóðà äëÿ ðåàëüíûõ ñðåä.
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êðèñòàëëà
0 � �� �( ) *z è ôîðìóëó (4), ìîæíî ïîñòðîèòü ôàçî-
âóþ äèàãðàììó â êîîðäèíàòàõ
~
F B�� (ðèñ. 5). Êðèâàÿ
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 465
4/5
5/4
11/5
1/4
Ðèñ. 4. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (38).
íà ðèñ. 5 ðàçäåëÿåò îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîñòè
(L) è òâåðäîãî òåëà (S). Ïðè 0 � �� �B * êðèñòàëë ñó-
ùåñòâóåò íå òîëüêî ïðè íóëåâîé ñèëå èëè ïîä äàâëåíè-
åì, íî äàæå åñëè êðèñòàëë ðàñòÿíóò íåêîòîðîé ñèëîé,
ìåíüøåé Fm. Ïðè � � �* � �B m êðèñòàëë ìîæåò
ñóùåñòâîâàòü, òîëüêî åñëè îí íàõîäèòñÿ ïîä äàâëåíè-
åì, ïðè÷åì äàâëåíèå äîëæíî áûòü òåì áîëüøå,
÷åì áîëüøå âåëè÷èíà ïàðàìåòðà äå Áóðà �B . Ñóùå-
ñòâóåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áóðà
� � �m / /� 9 4 13 6 3 3( ) ,* * , òàêîå, ÷òî åñëè ïàðàìåòð
äå Áóðà �B ñðåäû ïðåâîñõîäèò ýòî çíà÷åíèå, òî îíà íå
ìîæåò êðèñòàëëèçîâàòüñÿ íè ïðè êàêèõ äàâëåíèÿõ. Òà-
êóþ ãèïîòåòè÷åñêóþ êîíäåíñèðîâàííóþ ñðåäó ìîæíî
áûëî áû íàçâàòü àáñîëþòíîé êâàíòîâîé æèäêîñòüþ.
Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ïî ïîâîäó îïðåäåëå-
íèÿ ïàðàìåòðà äå Áóðà. Âñòðå÷àþòñÿ óòâåðæäåíèÿ,
÷òî êâàíòîâûå êðèñòàëëû — ýòî êðèñòàëëû, ïàðàìåòð
äå Áóðà êîòîðûõ ïîðÿäêà åäèíèöû. Ýòî óòâåðæäåíèå
íå ñîâñåì òî÷íî ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî ñàìî îïðåäåëå-
íèå ïàðàìåòðà äå Áóðà íåîäíîçíà÷íî.  îðèãèíàëüíîé
ðàáîòå äå Áóðà [1] ââåäåííûé èì ïàðàìåòð ñîäåðæàë
ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà h (íå ïåðå÷åðêíóòóþ).  áîëåå ïî-
çäíèõ ðàáîòàõ ïàðàìåòð äå Áóðà ÷àùå âñåãî îïðåäåëÿ-
åòñÿ ÷åðåç � (ôîðìóëà (15)). Î÷åâèäíî, ÷òî âîçìîæíû
îáà îïðåäåëåíèÿ, õîòÿ îíè îòëè÷àþòñÿ íà 2%.  áîëåå
îáùåì âèäå ïàðàìåòð äå Áóðà ìîæíî îïðåäåëèòü
ñîîòíîøåíèåì
�B
U a
C
m
�
�
� �
, (44)
ãäå C — ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ
ïîñòîÿííàÿ. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà ïàðàìåòðà �B
çàâèñèò îò âûáîðà ïîñòîÿííîé C â (44). Ñóùåñòâåííîé
ÿâëÿåòñÿ íå àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà �B , êîòîðàÿ ìîæåò
áûòü ðàçëè÷íîé â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïîñòîÿííîé
â (44), à îòíîøåíèå ýòèõ âåëè÷èí äëÿ ðàçëè÷íûõ âå-
ùåñòâ.  äàííîé ðàáîòå, êàê îòìå÷àëîñü, èñïîëüçóåòñÿ
îïðåäåëåíèå (15). Ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò õàðàêòåð-
íîå, èìåþùåå ÿñíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà äå Áóðà �* (43), òî ìîæíî îïðåäåëèòü íîð-
ìèðîâàííûé ïàðàìåòð äå Áóðà ñîîòíîøåíèåì
~
*
�
�
�B
B� , (45)
êîòîðûé íå çàâèñèò îò âûáîðà C â (44). Àíàëîãè÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ è íîðìèðîâàííûé ïàðàìåòð äå Áóðà, çà-
âèñÿùèé îò äàâëåíèÿ:
~
/� � �� * . Âåëè÷èíà íîðìèðî-
âàííîãî ïàðàìåòðà äå Áóðà îïðåäåëÿåò ñòåïåíü «êâàí-
òîâîñòè» âåùåñòâà. Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì
âûøå, âåùåñòâà ñ
~
�B � 1 — ýòî êðèñòàëëû ïðè íóëå-
âîé òåìïåðàòóðå è íóëåâîì äàâëåíèè, à âåùåñòâà ñ
~
�B � 1 â òàêèõ óñëîâèÿõ ÿâëÿþòñÿ êâàíòîâûìè æèä-
êîñòÿìè. Ó áîëüøèíñòâà âåùåñòâ
~
�B �� 1, è ýôôåêòû,
îáóñëîâëåííûå íóëåâûìè êîëåáàíèÿìè, â íèõ ìàëû.
Òàêèå êðèñòàëëû ìîæíî ñ÷èòàòü «êëàññè÷åñêèìè».
Åñëè æå
~
�B & 1, òî êâàíòîâûå ýôôåêòû èãðàþò ñóùå-
ñòâåííóþ ðîëü, è òàêèå êðèñòàëëû ñëåäóåò ñ÷èòàòü
«êâàíòîâûìè».
5. Àìïëèòóäà íóëåâûõ êîëåáàíèé è ðàñøèðåíèå
êðèñòàëëà
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, â êëàññè÷åñêîì ïîäõîäå áåç
ó÷åòà êâàíòîâîé äèíàìèêè äëèíà «êðèñòàëëà» îïðåäå-
ëÿåòñÿ âåëè÷èíîé x z*
/� 21 6� , ãäå z çàâèñèò îò âåëè÷è-
íû âíåøíåé ñèëû ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (4). Ïðè âíåøíåé
ñèëå, ðàâíîé íóëþ, z �1. Åñëè êðèñòàëë ñæàò (
~
F � 0), òî
0 1� �z . Åñëè æå êðèñòàëë ðàñòÿíóò (0 � �
~ ~
F Fm), òî
1� �z z m, ãäå
~
( )( ) /F / /m � 42 169 7 13 1 6, z /m � ( ) /13 7 1 6.
Ïðè z z m� êðèñòàëë ñóùåñòâîâàòü íå ìîæåò. Ïðè ó÷åòå
êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ äëèíà êðèñòàëëà, íàõîäÿùåãîñÿ â
îñíîâíîì ñîñòîÿíèè, ðàâíà l x x� � �( | | ) ( | | )*0 0 0 0� è
áîëüøå äëèíû, êîòîðàÿ áûëà áû â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.
Îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå êðèñòàëëà çà ñ÷åò íåëèíåé-
íîñòè êâàíòîâûõ êîëåáàíèé ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü
âåëè÷èíîé M /x� ( | | ) *0 0� . Òàêèì îáðàçîì, â îñíîâíîì
ñîñòîÿíèè äëèíà êðèñòàëëà â åäèíèöàõ x* îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
~
*l l/x M� � �1 .  êà÷åñòâå õàðàêòåðèñ-
òèêè àìïëèòóäû êâàíòîâûõ êîëåáàíèé èñïîëüçóåì âåëè-
÷èíó D x� �( | | ) ( | | ) *0 0 0 02 2� � , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò
ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå â åäèíèöàõ x* . Ïðè
ôèêñèðîâàííîé âíåøíåé ñèëå, à ñëåäîâàòåëüíî, è ôèê-
ñèðîâàííîì z èìååì
M M z�
�
�0
25 1 5
4
1( )
( )
( )� , (46)
D D z� �0
45
2
1( ) � , (47)
ãäå
466 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
0
Fm
F
L
S
Ðèñ. 5. Ôàçîâàÿ äèàãðàììà â êîîðäèíàòàõ
~
F B�� ; S — îá-
ëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ êðèñòàëëà, L — îáëàñòü ñóùåñòâîâà-
íèÿ æèäêîñòè.
M z D z
z z /
z /
0 0
5 2 6
6
1
2
5 1
5 5
70
1 7 13
1 4 13
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
/
� � �
� �
�
.
(48)
Âåëè÷èíû M z0( ) è D z0( ) ðàâíû ìàêñèìàëüíî âîçìîæ-
íûì çíà÷åíèÿì âåëè÷èí M è D. Ñîîòíîøåíèÿ (46) è
(47) ñîâìåñòíî ñ (38) îïðåäåëÿþò çàâèñèìîñòü îòíîñè-
òåëüíîãî óäëèíåíèÿ êðèñòàëëà è âåëè÷èíû àìïëèòóäû
íóëåâûõ êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðà äå Áóðà (ðèñ. 6). Êàê
âèäíî, îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå M è îòíîñèòåëüíàÿ
àìïëèòóäà íóëåâûõ êîëåáàíèé D âîçðàñòàþò ñ óâåëè÷å-
íèåì íîðìèðîâàííîãî ïàðàìåòðà äå Áóðà îò íóëÿ äî
åäèíèöû. Ïðè
~
� �� 1ïàðàìåòð M ëèíåéíî ðàñòåò ñ
~
�, à
D '
~
�. Âáëèçè
~
� �1 èìååì M M z� ' �0 1( )
~
� è
àíàëîãè÷íî D D z� ' �0 1( )
~
�. Êàê îòìå÷àëîñü, åñëè
~
� � 1, òî êðèñòàëë íå ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó ïðè
~
� �1îí
ïëàâèòñÿ óæå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Òàêèì îáðàçîì,
â ñîãëàñèè ñ ãèïîòåçîé Ëèíäåìàíà, àìïëèòóäà êîëåáà-
íèé ÷àñòèö â êðèñòàëëå íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü íåêîòî-
ðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ôîðìóëà (48) ñîâìåñòíî
ñ (4) îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
âåëè÷èí M è D îò âåëè÷èíû âíåøíåé ñèëû.  îòñóò-
ñòâèå âíåøíåé ñèëû ( )z �1 ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ âå-
ëè÷èí M è D ðàâíû M 0 1 0 026( ) , è D0 1 0 043( ) , .
6. Äâóõàòîìíûé êðèñòàëë ïðè êîíå÷íûõ
òåìïåðàòóðàõ
Ðàññìîòðèì äâóõàòîìíûé êðèñòàëë ïðè êîíå÷íûõ
òåìïåðàòóðàõ. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êðèñòàëë íà-
õîäèòñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ñ òåðìîñòà-
òîì ñ òåìïåðàòóðîé T . Ýòîé æå òåìïåðàòóðîé, åñòåñò-
âåííî, õàðàêòåðèçóåòñÿ è êðèñòàëë. Òàêèì îáðàçîì, ïîä
òåìïåðàòóðîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ìàëîãî ÷èñëà
÷àñòèö, ïîíèìàåì òåìïåðàòóðó òåðìîñòàòà, â ðàâíîâå-
ñèè ñ êîòîðûì íàõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà.
Óñðåäíåíèå ïðè êîíå÷íûõ òåìïåðàòóðàõ îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ ñ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ( )0 � �exp[ ( )]* H S , ãäå
) �1/Ò , à * — íîðìèðîâî÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ, èìåþùàÿ
ñìûñë ñâîáîäíîé ýíåðãèè êðèñòàëëà. Ïðè êîíå÷íûõ
òåìïåðàòóðàõ ïàðàìåòðû ãàìèëüòîíèàíà îñíîâíîãî
ïðèáëèæåíèÿ (19) A B C, , íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé (32),
(35), ïðè÷åì â (32) óñðåäíåíèå ïî îñíîâíîìó ñîñòîÿ-
íèþ ñëåäóåò çàìåíèòü óñðåäíåíèåì ñ ìàòðèöåé ïëîò-
íîñòè (0. Â ðåçóëüòàòå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îñòàþòñÿ
ñïðàâåäëèâûìè ôîðìóëû (39), îäíàêî ïàðàìåòð �,
âìåñòî óðàâíåíèÿ (38), îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
� �
)
�
( )
~
( )
~
/ /
1
4
5
2 1
4
5
4
5 4 5 4
� � � � �
�
�
�
�
�� �f cth
2
�
, (49)
ãäå f /� �1 1( )e)
�� . Êàê è â ñëó÷àå íóëåâîé òåìïåðàòó-
ðû, óäîáíî èññëåäîâàòü ýòî óðàâíåíèå ãðàôè÷åñêè.
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (49) � �
)
�
( )
~
/
� �
�
�
�
�
�
4
55 4
� cth
2
�
èìååò âèä, áëèçêèé ê ãèïåðáîëå, êîòîðàÿ â çàâèñèìîñ-
òè îò çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû +
� T/� ñäâèãàåòñÿ ïî îñè
îðäèíàò. Ïðè áîëüøèõ + óðàâíåíèå (49) íå èìååò
ðåøåíèÿ, ò.å. êðèñòàëë íå ñóùåñòâóåò. Òàêîå ñîñòîÿíèå
åñòåñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê æèäêîå. Ñ óìåíüøå-
íèåì + ïðè íåêîòîðîì +m ïîÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ (49). Êàê âèäíî íà ðèñ. 7, +m è ñîîòâåòñòâóþùåå
åìó çíà÷åíèå �m ìîãóò áûòü íàéäåíû èç óñëîâèÿ ðà-
âåíñòâà ïðîèçâîäíûõ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé óðàâíå-
íèÿ (49). Ïîÿâëåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (49) ïðè ïî-
íèæåíèè òåìïåðàòóðû åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê
êðèñòàëëèçàöèþ ñèñòåìû, à ïàðàìåòð +m — êàê òåìïå-
ðàòóðó (â åäèíèöàõ �
) ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëà. Òàêèì
îáðàçîì, òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëà â äâóõ-
àòîìíîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé àëãåáðàè÷åñ-
êèõ óðàâíåíèé:
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 467
D/D0
0
0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 1,0
0 2,
0 4,
0 6,
0 8,
1,0
M/M0
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîãî óäëèíåíèÿ êðèñòàëëà
M/M 0 è îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé D/D0 îò íîð-
ìèðîâàííîãî ïàðàìåòðà äå Áóðà; M 0 — ìàêñèìàëüíîå îò-
íîñèòåëüíîå óäëèíåíèå, D0 — ìàêñèìàëüíîå ñðåäíå-
êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå.
1
� � � � )
�( ) = 4 5 cth( h /2)
–5/4,
Ðèñ. 7. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (49).
� �
�
+
�
+
m m
m
m
m
( )
~
,
~
/
/
1
4
5 2
1 5
2
5
4
5 4
4
5 4
� �
�
�
��
�
�
��
� � �
�
�
cth
m
m
m
sh� �
�
��
�
�
��
2
2
�
+
.
(50)
Êàê âèäèì, òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ +m îïðåäåëÿåòñÿ
åäèíñòâåííûì áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì, õàðàêòåðè-
çóþùèì êðèñòàëë, — íîðìèðîâàííûì ïàðàìåòðîì äå
Áóðà
~
�. Ïðè + +� m óðàâíåíèå (49) èìååò äâà êîðíÿ, èç
êîòîðûõ ñëåäóåò, êàê è â ñëó÷àå T � 0, âûáðàòü áîëü-
øèé êîðåíü.
6.1. Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå.
Êðèòåðèé Ëèíäåìàíà
 ñëó÷àå âûñîêèõ òåìïåðàòóð, êîãäà âûïîëíåíî
óñëîâèå +m �� 1, ñèñòåìà óðàâíåíèé (50) èìååò ðåøå-
íèå �m /�1 31 4/ è
+m �
�
5
4 3
5 4
3 2
/
/ ~
�
. (51)
Êàê âèäèì, óñëîâèå +m �� 1 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
~
� �� 1, êîòîðîå îïðåäåëÿåò êëàññè÷åñêèå êðèñòàëëû.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà âûïàäàåò
èç ñîîòíîøåíèÿ (51), òàê ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî èìååì
äåëî ñ êëàññè÷åñêèì ïðåäåëîì.
Êàê èçâåñòíî [18], ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ëèíäåìàíà,
ïëàâëåíèå òâåðäîãî òåëà íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà ñðåä-
íåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå àòîìà èç åãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ñîñòàâèò íåêîòîðóþ äîëþ x m ñðåäíåãî ðà-
äèóñà ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè rs . Èç ýòîãî äîïóùåíèÿ
ñëåäóåò ôîðìóëà
T M
x rm
m s-
-
�
9 2
2 2
�
, (52)
ãäå-— òåìïåðàòóðà Äåáàÿ, M — ìàññà àòîìà. Ôîðìó-
ëà Ëèíäåìàíà (52) íåïëîõî ñîãëàñóåòñÿ ñ íàáëþäàå-
ìûìè äàííûìè, íî ñ÷èòàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî îáîñíî-
âàííîé òåîðåòè÷åñêè [19]. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
ïîëó÷åííàÿ âûøå ôîðìóëà (51) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà â âèäå, àíàëîãè÷íîì ôîðìóëå Ëèíäåìàíà:
T m D
xm a
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�9
9
2 3
2
2*
* .
(53)
Çäåñü D x* *� �� �2 2 , ãäå óñðåäíåíèå îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ ñ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ïðè òåìïåðàòóðå ïëàâëå-
íèÿ. Èç ñðàâíåíèÿ ôîðìóë (52) è (53) ñëåäóåò, ÷òî åñëè
ïðèíÿòü â êà÷åñòâå rs âåëè÷èíó x* , à â êà÷åñòâå ÷àñòî-
òû Äåáàÿ ÷àñòîòó
, òî â íàøåé ìîäåëè ïàðàìåòð Ëèí-
äåìàíà x / Dm � ( ) /
*9 2 3 1 2 . Âåëè÷èíà D* çàâèñèò îò
âíåøíåé ñèëû. Ïðè íóëåâîé ñèëå D /* ,� � 2 21 6 0 04.
Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ðàññìîòðåííîé ìîäåëè â
êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ïîëó÷åíà ôîðìóëà äëÿ òåìïåðà-
òóðû ïëàâëåíèÿ (53), êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé
Ëèíäåìàíà (52), à òàêæå âûðàæåíèå äëÿ ïàðàìåòðà
Ëèíäåìàíà.
6.2. Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ â êâàíòîâîì ïðåäåëå
Óñëîâèå íèçêèõ òåìïåðàòóð ïëàâëåíèÿ +m �� 1 âû-
ïîëíåíî, åñëè íîðìèðîâàííûé ïàðàìåòð Ëèíäåìàíà
áëèçîê ê åäèíèöå (
~
� & 1). Â ýòîì ïðåäåëå èç ñèñòåìû
óðàâíåíèé (50) ñëåäóåò ôîðìóëà äëÿ òåìïåðàòóðû
ïëàâëåíèÿ
+m � �
��
1
5
1
2
11 4 1/ ln (
~
)�
. (54)
Ïðè ñòðåìëåíèè
~
� ê åäèíèöå òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ
ðåçêî ïîíèæàåòñÿ, îáðàùàÿñü ïðè
~
� �1 â íóëü. Â ôîð-
ìóëó (54) âõîäèò ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, òàê ÷òî ïëàâëå-
íèå ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà äå Áóðà
íîñèò ñóùåñòâåííî êâàíòîâûé õàðàêòåð.
6.3. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ îò
ïàðàìåòðà äå Áóðà
Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ îò íîðìèðî-
âàííîãî ïàðàìåòðà äå Áóðà, îïðåäåëÿåìàÿ ñèñòåìîé àë-
ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (50), ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 8.
Çäåñü æå ïîêàçàíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü îò-
468 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5
Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ
1
a
á3
2
0,1
Xe
Kr
Ar
Ne
3
He
4
He
H2
D2
0,2 0,3 0,4 0,5
1
� �/ *
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ îò ïàðàìåòðà
äå Áóðà: òåîðåòè÷åñêàÿ (ôîðìóëà (50)) (à); è ýêñïåðèìåí-
òàëüíàÿ (á).
íîøåíèÿ òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ê òåìïåðàòóðå Äåáàÿ
îò âåëè÷èíû ïàðàìåòðà äå Áóðà. Ïðîâîäÿ ñ ïîìîùüþ
ñòàíäàðòíîé ïðîãðàììû êðèâóþ ÷åðåç ýêñïåðèìåí-
òàëüíûå òî÷êè, íàõîäèì, ÷òî ïàðàìåòð äå Áóðà äëÿ ðå-
àëüíûõ ñèñòåì èìååò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå �* , 0 33.
7. Çàêëþ÷åíèå
Èç êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî àíàëèçà äâóõàòîìíîé
ìîäåëè òâåðäîãî òåëà ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå çà-
êëþ÷åíèÿ, êîòîðûå, ïî-âèäèìîìó, îñòàþòñÿ êà÷åñ-
òâåííî ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ ðåàëüíûõ êðèñòàëëîâ.
Ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå
Áóðà �* (â äâóõàòîìíîé ìîäåëè �* , 0 016, äëÿ ðåàëü-
íûõ ñðåä �* , 0 33). Êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû ñ
� �� * (3He è 4He) îñòàþòñÿ æèäêèìè ïðè íóëåâîé
òåìïåðàòóðå è íóëåâîì äàâëåíèè. Ñðåäû ñ � �� * íà-
õîäÿòñÿ ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå è íóëåâîì äàâëåíèè
â êðèñòàëëè÷åñêîì ñîñòîÿíèè. Òåìïåðàòóðà ïëàâëå-
íèÿ (òî÷íåå, îòíîøåíèå òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ê
òåìïåðàòóðå Äåáàÿ) óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåò-
ðà äå Áóðà è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè � �� * .
Êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â êâàíòîâîì ñëó÷àÿõ
îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì êðèòåðèé Ëèíäåìàíà: àì-
ïëèòóäà êîëåáàíèé àòîìîâ â êðèñòàëëàõ íå ìîæåò ïðå-
âûøàòü íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ, ñîñòàâëÿþ-
ùåãî îòíîñèòåëüíî ìàëóþ äîëþ ìåæàòîìíîãî
ðàññòîÿíèÿ (â äâóõàòîìíîé ìîäåëè 4%, â ðåàëüíûõ
îáúåêòàõ < 20–25%).
Ñòåïåíü «êâàíòîâîñòè» êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä ñó-
ùåñòâåííî çàâèñèò îò äàâëåíèÿ. Ïðè óâåëè÷åíèè äàâ-
ëåíèÿ ñðåäà ñòàíîâèòñÿ ìåíåå «êâàíòîâîé» (óìåíüøà-
åòñÿ àìïëèòóäà íóëåâûõ êîëåáàíèé è ïàðàìåòð äå
Áóðà). Êâàíòîâàÿ æèäêîñòü êðèñòàëëèçóåòñÿ, êîãäà àì-
ïëèòóäà íóëåâûõ êîëåáàíèé ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå êðèòè-
÷åñêîãî çíà÷åíèÿ.
Ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äå Áó-
ðà �m (â äâóõàòîìíîé ìîäåëè (� �m 3 3, * ), ïðè êîòî-
ðîì åùå âîçìîæíà êðèñòàëëèçàöèÿ êâàíòîâîé æèäêîñ-
òè. Ïðè � �� m êâàíòîâàÿ æèäêîñòü íå ìîæåò áûòü
ïåðåâåäåíà â êðèñòàëëè÷åñêîå ñîñòîÿíèå íè ïðè êà-
êîì äàâëåíèè.
Ðàñòÿæåíèå êðèñòàëëà óñèëèâàåò àíãàðìîíèçì íó-
ëåâûõ êîëåáàíèé è óâåëè÷èâàåò ïàðàìåòð äå Áóðà è,
ñëåäîâàòåëüíî, äåëàåò êðèñòàëë «áîëåå êâàíòîâûì».
Ðàñòÿãèâàÿ êðèñòàëëû Í2, D2, Ne è äð., ìîæíî ñäåëàòü
èõ ñóùåñòâåííî «áîëåå êâàíòîâûìè» îáúåêòàìè.
1. J. De Boer, Physica 14, 139 (1948).
2. L.H. Nosanow, J. Low Temp. Phys. 26, 613 (1977).
3. Êâàíòîâûå æèäêîñòè è êðèñòàëëû, Ñá. ñòàòåé, À.Ñ.
Áîðîâèê-Ðîìàíîâ (ðåä.), Ìèð, Ìîñêâà (1979).
4. Êâàíòîâûå êðèñòàëëû, Ñá. ñòàòåé, Ñ.Â. Âîíñîâñêèé
(ðåä.), Ìèð, Ìîñêâà (1975).
5. N. Prokof’ev, ArXiv:cond-mat/0612499 v.1 (2006).
6. À.Ô. Àíäðååâ, È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 56, 2057 (1969).
7. E. Kim and M.H.W. Chan, Nature 427, 225 (2004);
Science 305, 1941 (2004); Phys. Rev. Lett. 97, 115302
(2006).
8. A.C. Clark and M.H.W. Chan, J. Low Temp. Phys. 138,
853 (2005).
9. A.S.C. Rittner and J.D. Reppy, Phys. Rev. Lett. 97, 165301
(2006).
10. A. Penzev, Y. Yasuta, and M. Kubota, J. Low Temp.
Phys. 148, 677 (2007).
11. M. Kondo, S. Takada, Y. Shibayama, and K. Shirahata, J.
Low Temp. Phys. 148, 695 (2007).
12. Í.Ì. Ëàâðèíåíêî, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, Òåîð. è ìàòåì.
ôèç. 66, 314 (1986).
13. Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, Ñòàòèñòè-
÷åñêàÿ ìåõàíèêà êâàíòîâûõ æèäêîñòåé è êðèñòàëëîâ,
Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà (2006).
14. B.A. Fraass, P.R. Granfors, and R.O. Simmons, Phys.
Rev. B39, 124 (1989).
15. M.W. Meisel, Physica B178, 121 (1992).
16. À.Ñ. Ïåëåòìèíñêèé, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, Þ.Â. Ñëþñà-
ðåíêî, Òåîð. è ìàòåì. ôèç. 125, 152 (2000).
17. Äæ. Çàéìàí, Ïðèíöèïû òåîðèè òâåðäîãî òåëà, Ìèð,
Ìîñêâà (1966).
18. Äæ. Ðåéñëåíä, Ôèçèêà ôîíîíîâ, Ìèð, Ìîñêâà (1975).
19. ß.È. Ôðåíêåëü, Êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ æèäêîñòåé,
Íàóêà, Ëåíèíãðàä (1975).
20. Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ, Èçâ. âóçîâ., Ôèçèêà 47, 74 (2004).
21. Þ.Ì. Ïîëóýêòîâ, ÔÍÒ 28, 604 (2002).
The b³atomic model of a quantum crystal
Yu.Ì. Poluektov
The anharmonic zero oscillations of a crystal
are considered within the framework of the di-
atomic model. It is shown that the amplitude of
such oscillations cannot be in excess of the limiting
value which is a part of the interatomic distance.
The compression of a crystal decreases the ampli-
tude of zero oscillations, while the tension in-
creases it. It is found that the melting point of a
crystal is dependent is the De Boer parameter. This
dependence is qualitatively close to the observed
one. It is shown that the Lindemann formula for the
melting point is correct in the classic limit. There is
a critical value of the De Boer parameter at which
the melting point vanishes. For the De Boer param-
eters lower than the critical parameter, but close to
it, the melting is mostly of quantum nature.
PACS: 63.20.Ry Anharmonic lattice modes;
64.70.D- Solid–liquid transitions;
67.80.–s Quantum solids.
Keywords: quantum crystal, De Boer parameter,
zero anharmonic oscillations, Lindemann criterion,
melting point.
Äâóõàòîìíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êðèñòàëëà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 469
|