Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена

В двухслойных графеновых n–p системах электронно-дырочные пары с пространственно разделенными компонентами при низких температурах переходят в сверхтекучее состояние. В работе представлен микроскопический вывод динамического уравнения для волновой функции конденсата электронно-дырочных пар в сильном...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Безуглый, А.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2010
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116967
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена / А.И. Безуглый // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 38 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116967
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1169672017-05-19T03:03:10Z Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена Безуглый, А.И. Низкоразмерные и неупорядоченные системы В двухслойных графеновых n–p системах электронно-дырочные пары с пространственно разделенными компонентами при низких температурах переходят в сверхтекучее состояние. В работе представлен микроскопический вывод динамического уравнения для волновой функции конденсата электронно-дырочных пар в сильном перпендикулярном магнитном поле в случае малой плотности пар. На основании спектра элементарных возбуждений конденсата вычислена температура перехода в сверхтекучее состояние в широком интервале межслоевых расстояний и магнитных полей. У двошарових графенових n–p системах електронно-діркові пари із просторово розділеними компонентами при низьких температурах переходять у надплинний стан. У роботі представлено мікроскопічний висновок динамічного рівняння для хвильової функції конденсату електронно-діркових пар в сильному перпендикулярному магнітному полі у випадку малої щільності пар. На підставі спектра елементарних порушень конденсату обчислено температуру переходу в надплинний стан у широкому інтервалі міжшарових відстаней і магнітних полів. In two-layer graphene systems the electron–hole pairs with spatially separated components make a transition to a superfluid state at low temperatures. A microscopic derivation of the dynamic equation for condensate wave function of electron–hole pairs is presented. On the basis of the spectrum of elementary excitations the superfluid transition temperature is calculated for a wide range of interlayer distances and magnetic fields. 2010 Article Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена / А.И. Безуглый // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.21.–b, 71.35.Ji, 73.43.–f http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116967 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы
spellingShingle	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Безуглый, А.И. Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена Физика низких температур
description	В двухслойных графеновых n–p системах электронно-дырочные пары с пространственно разделенными компонентами при низких температурах переходят в сверхтекучее состояние. В работе представлен микроскопический вывод динамического уравнения для волновой функции конденсата электронно-дырочных пар в сильном перпендикулярном магнитном поле в случае малой плотности пар. На основании спектра элементарных возбуждений конденсата вычислена температура перехода в сверхтекучее состояние в широком интервале межслоевых расстояний и магнитных полей.
format	Article
author	Безуглый, А.И.
author_facet	Безуглый, А.И.
author_sort	Безуглый, А.И.
title	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
title_short	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
title_full	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
title_fullStr	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
title_full_unstemmed	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
title_sort	динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116967
citation_txt	Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена / А.И. Безуглый // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 38 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT bezuglyjai dinamičeskoeuravneniedlâkondensataélektronnodyročnyhparvsistemeizdvuhsloevgrafena
first_indexed	2025-07-08T11:23:40Z
last_indexed	2025-07-08T11:23:40Z
_version_	1837077701787123712
fulltext	© А.И. Безуглый, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3, c. 299–306 Динамическое уравнение для конденсата электронно- дырочных пар в системе из двух слоев графена А.И. Безуглый Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина E-mail: bezugly@ic.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 20 августа 2009 г. В двухслойных графеновых n–p системах электронно-дырочные пары с пространственно разделен- ными компонентами при низких температурах переходят в сверхтекучее состояние. В работе пред- ставлен микроскопический вывод динамического уравнения для волновой функции конденсата элект- ронно-дырочных пар в сильном перпендикулярном магнитном поле в случае малой плотности пар. На основании спектра элементарных возбуждений конденсата вычислена температура перехода в сверх- текучее состояние в широком интервале межслоевых расстояний и магнитных полей. У двошарових графенових n–p системах електронно-діркові пари із просторово розділеними компо- нентами при низьких температурах переходять у надплинний стан. У роботі представлено мікроско- пічний висновок динамічного рівняння для хвильової функції конденсату електронно-діркових пар в сильному перпендикулярному магнітному полі у випадку малої щільності пар. На підставі спектра елементарних порушень конденсату обчислено температуру переходу в надплинний стан у широкому інтервалі міжшарових відстаней і магнітних полів. PACS: 73.21.–b Электронные состояния и коллективные возбуждения в многослойных структурах, квантовые ямы, мезоскопические и наномасштабные системы; 71.35.Ji Экситоны в магнитном поле; магнитоэкситоны; 73.43.–f Квантовые эффекты Холла. Ключевые слова: графен, двухслойные системы, электронно-дырочные пары, сверхтекучесть. 1. Введение В двухслойных n p− системах, представляющих собой два тонких близко расположенных слоя с элек- тронной ( n ) и дырочной ( p ) проводимостью, элек- трон из n-слоя и дырка из p-слоя могут образовывать связанное состояние — электронно-дырочную ( e h− ) пару с пространственно разделенными компонентами [1,2]. Сверхтекучесть таких пар (экситонная сверхте- кучесть в двухслойных системах) должна проявлять себя в виде недиссипативного протекания по слоям равных по величине и противоположных по направле- нию электрических токов. Эксперименты по поиску экситонной сверхтекуче- сти до сих пор в основном проводились на гетеро- структурах GaAs/AlGaAs с двумя квантовыми ямами [3]. Путем допирования в квантовых ямах формирова- лись либо электронные ( n n− система), либо дыроч- ные слои ( p – p система) [4,5]. В перпендикулярном магнитном поле H при суммарном факторе заполне- ния уровней Ландау = 1Tν ( 1 2=Tν ν ν+ ) как n n− , так и p p− системы эквивалентны n p− системе. Причина в том, что в обеих системах при = 1Tν число носителей на нулевом уровне Ландау в первом слое (считаем 1 2<ν ν ) равно числу свободных состояний на нулевом уровне Ландау во втором слое; спаривание этих состояний, очевидно, есть электронно-дырочное спаривание. В экспериментах на n n− и p p− систе- мах было обнаружено резкое падение продольного сопротивления xxρ и холловского сопротивления xyρ в том случае, когда по слоям протекали равные по ве- личине и противоположно направленные электриче- ские токи и 1Tν → [6–8]. Явление наблюдалось при довольно низких температурах T 0,1 К и малых межслоевых расстояниях < 1,9 Hd l (магнитная длина = /Hl c eHh ). Результаты экспериментов [6–8] мож- но объяснить переходом e h− пар с пространственно разделенными компонентами в сверхтекучее состоя- А.И. Безуглый 300 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 ние, поскольку в таком состоянии должно уменьшать- ся не только xxρ , но и xyρ (последнее — из-за элек- трической нейтральности e h− пар). То обстоятель- ство, что при конечных температурах сопротивления xxρ и xyρ не обращаются в точный нуль, по-видимо- му, связано с движением свободных вихрей и неспа- ренных носителей соответственно [7,9]. Последние достижения в технологии позволили создать двухслойную систему из двух слоев графена атомной толщины [10]. С помощью затворов в каждом из графеновых слоев можно установить необходимую концентрацию и тип носителей и таким образом по- лучить двухслойную n p− систему. Важным преиму- ществом графеновых n p− систем по сравнению с двухъямными гетероструктурами является возмож- ность существенно сблизить слои и тем самым зна- чительно увеличить критическую температуру пере- хода в сверхтекучее состояние cT . Действительно, в двухъямной гетероструктуре межслоевое расстояние, равное расстоянию между серединами квантовых ям, не может быть меньше полусуммы ширин этих ям, что составляет величину порядка 10 нм, тогда как в графе- новых системах расстояние между слоями может быть порядка 1 нм [10]. Экситонная сверхтекучесть в двухслойной системе на основе графена рассматривалась в ряде теоретиче- ских работ [11–20]. Оказалось, что в отсутствие маг- нитного поля электронно-дырочное притяжение силь- но экранируется и, как следствие, критические темпе- ратуры чрезвычайно низки: cT ∼ 1 мК [15,19]. В силь- ном перпендикулярном магнитном поле температура cT должна быть намного выше, так как дискретность спектра носителей значительно ослабляет эффекты экранирования. В настоящей работе рассмотрена гра- феновая n p− система в перпендикулярном магнит- ном поле при малой плотности e h− пар ( 1 1ν ). Мы не накладываем ограничений на величину межслоево- го расстояния d, что позволяет рассмотреть область < Hd l , где критическая температура достигает мак- симальных значений. Заметим, что среди цитирован- ных публикаций в [16,17] рассматривался случай ма- лой плотности e h− пар и больших расстояний между слоями Hd l , а в работе [20] проанализирован слу- чай промежуточной плотности ( 1 2 1ν ν∼ ∼ ) и произ- вольных d. Рассмотренная нами область параметров весьма ин- тересна с теоретической точки зрения, так как при ма- лой плотности e h− пары ведут себя как слабо неиде- альный газ бозонов [21,22], который описывается ди- намическим уравнением, аналогичным уравнению Гросса–Питаевского [23–25]. (Об уравнении Гросса– Питаевского см. обзор [26].) В настоящей работе дан микроскопический вывод динамического уравнения для волновой функции конденсата e h− пар в двух- слойной графеновой системе (разд. 2) и найден спектр элементарных возбуждений конденсата (разд. 3). На основании этого спектра вычислена температура пере- хода в сверхтекучее состояние в широком интервале межслоевых расстояний и магнитных полей. Относи- тельно самого динамического уравнения заметим, что оно позволяет рассматривать не только однородные, но и пространственно неоднородные задачи, такие, например, как вихревые состояния конденсата e h− пар и динамика конденсата в экситонных ловушках. 2. Вывод динамического уравнения Низкоэнергетический спектр электронов в графене вблизи K-точек является линейным и изотропным: ( ) = \| \|FE v±k kh c 610Fv ≈ м/с [27]. Это означает, что в элементарной ячейке k-пространства графен имеет две долины конической формы для электронов и ана- логичные две долины для дырок. Будем рассматривать e h− спаривание в двухслойной графеновой n p− сис- теме на основе модели с одной электронной долиной в n-слое и одной дырочной долиной в p-слое, так как наиболее низкую энергию имеет когерентное состоя- ние e h− пар, в котором носители каждого слоя засе- ляют только одну долину [20]. При этом мы полагаем, что спины всех носителей поляризованы магнитным полем и пренебрегаем межслоевым туннелированием. Интересно, что в том случае, когда двухслойная систе- ма служит передающей линией между источником тока и нагрузкой, учет туннелирования приводит к дополнительному механизму диссипации энергии, свя- занному с движением джозефсоновских вихрей [28,29]. В приближении самосогласованного поля динами- ческое уравнение для конденсата экситонов в объем- ном полупроводнике было получено в работе Л.В. Келдыша [23]. В работах [24,25] этот формализм был распространен на случай e h− пар в двухслойных сис- темах, помещенных в сильное перпендикулярное маг- нитное поле. Следуя [23–25], когерентное состояние e h− пар в системе из двух слоев графена представим вектором \| = \| 0Dφφ〉 〉 , где \| 0〉 является вакуумным состоянием системы, а унитарный оператор =D eφ A . Антиэрмитовый оператор A запишем в виде 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ˆ[ ( ) ( , , )( ( )) h.c.] = [ ( ) ( , , ) ( ) h.c.] ,T e h e hd d t d d t α αβ βψ ψ ψ ψ + + + + Φ − = = Φ − ∫ ∫ r r r r r r r r r r r rA (1) где eαψ + ( hαψ + ) — полевые операторы рождения элект- ронов (дырок), 1r и 2r — векторы, лежащие в плоскости слоев. Греческими буквами обозначен индекс псевдо- спина, который представляет состояния на А и В подре- шетках графена и принимает значения a и b соответ- ственно. По повторяющимся индексам псевдоспина под- разумевается суммирование. Во второй строке равенства (1) использована удобная спинорная форма записи по- левых операторов: ( ) ( ) ( )( ) = ( ( ), ( ))e h e h a e h bψ ψ ψ+ + +r r r ; ин- Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 301 декс Т означает операцию транспонирования спинора. Входящая в (1) 2×2-матрица 1 2ˆ ( , , )tΦ r r описывает спа- ривание электронов и дырок с учетом их принадлежности подрешеткам. Введенное выше вакуумное состояние \| 0〉 определяется равенствами ( ) \| 0 = ( ) \| 0 = 0e hα αψ ψ〉 〉r r . Наша задача состоит в том, чтобы получить уравне- ние для матрицы 1 2ˆ ( , , )tΦ r r исходя из уравнения Шредингера ( \| / ) = \|i tφ φ∂ 〉 ∂ 〉h H . Последнее более удобно записать в виде ( ) \| 0 = 0.i D D D D tφ φ φ φ + +∂ − 〉 ∂ h H (2) Гамильтониан kin int= +H H H представляет собой сумму кинетической энергии носителей и энергии их взаимодействия. Для кинетической энергии электронов и дырок имеем выражение kin ˆ= ( ) ( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( ) . F e e e T F h h h ed i c ed i c ψ ψ ψ ψ + + + + ∂⎛ ⎞+ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∂⎛ ⎞+ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∫ ∫ r r A r r r r r A r r r h h σ σ H v v (3) Здесь ( )e hA — векторный потенциал в электронном (дырочном) слое, а ˆ ˆˆ = ( , )x yσ σσ — вектор, компонен- тами которого являются матрицы Паули. (Считается, что двухслойная система параллельна плоскости xy , а магнитное поле направлено по оси z.) Гамильтониан взаимодействия включает в себя отталкивание носите- лей в каждом слое и межслоевое электронно-дырочное притяжение: int = ee hh eh+ +H H H H . В спинорной за- писи int , = , 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 k k kl l l k l e h d d Vψ ψ ψ ψ+ +′ ′ ′ ′−∑∫ r r r r r r r rH (4) где энергии взаимодействия носителей 2( ) = ( ) = / ( )ee hhV V e rεr r и 2 2 2( ) = ( ) = / ( )eh heV V e r dε− +r r . Чтобы записать intH в приближении самосогласо- ванного поля, каждую четверку полевых операторов нужно заменить суммой произведений пары операто- ров на среднее от другой пары операторов. Сумма бе- рется по всем возможным парам средних, а сами сред- ние должны быть вычислены в состоянии \|φ〉 , которое учитывает электронно-дырочное спаривание. Для при- мера найдем одно из средних: \| ( ) ( ) \| = 0 \| ( ) ( ) \| 0 .e h e hα β α βφ ψ ψ φ ψ ψ′ ′〈 〉 〈 〉r r r r% % (5) Для унитарно преобразованных полевых операторов прямое вычисление дает ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( )] , e e e h D D d C S α φ α φ αβ β αβ β ψ ψ ψ ψ + + = = ′ ′ ′ ′ ′= +∫ r r r r r r r r r % (6) ( ) ( ) [ ( ) ( , ) ( ') ( , )] , h h h e D D d C S α φ α φ β βα β βα ψ ψ ψ ψ + + = = ′ ′ ′ ′= −∫ r r r r r r r r r % % (7) где коэффициенты преобразования есть 2×2-матрицы: 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) , 2 C Iδ + ′′ ′= − − ΦΦ rrr r r r 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) = ( ) ( ) , 2 C Iδ + ′′ ′− − Φ Φ rrr r r r% 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) = ( , ) ( ) . 6 S + ′′ ′Φ − ΦΦ Φ rrr r r r Здесь Î — единичная матрица и введено обозначение свертки по координатам произведения двух матриц ˆ ˆˆ ˆ( ) = ( , ) ( ) .f g d f g′ ′′ ′′ ′′ ′∫rr r r r r r Для свертки трех матриц имеем ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) = (( ) ) = ( ( ))f gh f g h f gh . Поскольку нас интересует случай низкой плотности e h− пар, выражения для коэффициентов преобразо- вания полевых операторов записаны с точностью до кубических по Φ слагаемых. Подстановка (6) и (7) в (5) дает \| ( ) ( ) \| = ( , ) ( ) .e h d C Sα β αγ γβφ ψ ψ φ′ ′′ ′′ ′′ ′〈 〉 ∫r r r r r r r Остальные средние вычисляются аналогичным обра- зом. В результате вычислений получаем, что внутри- слоевое электрон-электронное взаимодействие в при- ближении самосогласованного поля описывается га- мильтонианом 1 2 1 1 2 1 2 2ˆ ˆ( )[ ( , ) ( , )] ( ) .sc ee e ee ee ed d vψ ϕ ψ+= +∫ r r r r r r r rH (8) Здесь первое слагаемое описывает чисто кулоновское, а второе — обменное взаимодействие. Кулоновский вклад запишем в форме, применимой и для последую- щих выражений: 1 2 1 2 1 ˆˆ ( , ) = ( ) ( ) ( ) ,kl kl lI d V nϕ δ ′ ′− −∫r r r r r r r r причем плотность электронов ˆ ˆ( = Sp [ ( , ) ( , )] .en d S S+′ ′ ′∫r) r r r r r Для вклада обменного взаимодействия получаем 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆˆ ( , ) = ( ) ( , ) ( , ) .ee eeV d S S+− ∫r r r r r r r r rv А.И. Безуглый 302 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 Выражение для гамильтониана дырочно-дырочного взаимодействия имеет аналогичную структуру: 1 2 1 1 2 1 2 2ˆ ˆ= ( )[ ( , ) ( , )] ( ) ,sc hh h hh hh hd d ψ ϕ ψ+ +∫ r r r r r r r rH v (9) где 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆˆ ( , ) = ( ) ( , ) ( , )hh hhV d S S+− ∫r r r r r r r r rv . Входящая в ˆhhϕ плотность дырок ˆ ˆ( ) = Sp [ ( , ) ( , )] .hn d S S+′ ′ ′∫r r r r r r Для гамильтониана межслоевого взаимодействия электронов и дырок приближение самосогласованного поля дает выражение ____________________________________________________ 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ= [ ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]sc eh e eh e h he hd d ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ+ ++ +∫ r r r r r r r r r rH 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ[ ( ) ( , )( ( )) ( ( )) ( , ) ( )] ,T T e eh h h eh ed d ψ ψ ψ ψ+ + ++ +∫ r r r r r r r r r rv v (10) где ˆheϕ и ˆehϕ определены выше, а 1 2 1 2 1 2 ˆˆ( , ) = ( ) ( , ) ( , ) .ˆeh ehV d S C− ∫r r r r r r r r r%v Переходя к выводу динамического уравнения для 1 2ˆ ( , , )tΦ r r , заметим, что в уравнение Шредингера (2) входит унитарно преобразованный гамильтониан, который в приближении самосогласованного поля имеет вид kin= sc sc sc ee hh eh+ + +% % % % %H H H H H . Слагаемые в правой части этого выражения совпадают с (3), (8), (9) и (10), где опе- раторы kαψ ( kαψ + ) заменены на kαψ% ( kαψ +% ). Воспользуемся тем, что в (2) оператор %H действует на вектор ваку- умного состояния \| 0〉 . Это означает, что если %H выразить через исходные полевые операторы kαψ ( kαψ + ), то ненулевой вклад дадут только слагаемые, содержащие произведение e hα βψ ψ+ + . Объединив эти слагаемые с анало- гичными слагаемыми из ( / )D D tφ φ + ∂ ∂ , приходим к равенству 1 2 1 1 2 2 ˆ( ) ( , , )( ( )) \| 0 = 0T e hd d Q tψ ψ+ + 〉∫ r r r r r r . Это ра- венство выполняется, если 1 2 ˆ ( , , ) = 0Q tr r . В явном виде имеем нелинейное интегро-дифференциальное уравнение 1 2 2 1 2 ,1 2 ˆ ( , , ) ˆ ˆˆ= ( , ) ( ) ( , ) ˆˆ ˆ( ) ( , ) ( , ) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( [ ] [ ] ) . F e F h ee eh ee hh he hh eh eh t ei d C S t i c ed S C i c C S S C C C S S CSϕ ϕ ϕ ϕ μ + + ∂Φ ∂⎛ ⎞′ ′ ′ ′+ +⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞′ ′ ′ ′+ − +⎜ ⎟⎢ ⎥′∂⎝ ⎠⎣ ⎦ + + + + + + + − − ∫ ∫ r r r r r r r A r r r r r A r r r r r r h h h % % % σ σ v v v v v v (11) Мы выделили быстрые осцилляции /ˆ ( ) e i tt μ−Φ h∼ , связанные с химическим потенциалом μ [23]. После этого зависимость Φ̂ от времени является медленной, что позволяет опустить Φ̂& в кубических по Φ̂ слагаемых. В рассматриваемом случае малой плотности e h− пар уравнение (11) может быть решено методами теории возмущений. Считая Φ̂ малой величиной, разложим по Φ̂ слагаемые в правой части уравнения (11). В линейном приближении, которое описывает случай невзаимодействующих пар, получаем 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 2 ˆ ( , , ) ˆˆ= ( ) ( , , ) ˆ ˆ ˆˆ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) . F e F h eh t ei t t i c e t V t t i c μ ⎛ ⎞∂Φ ∂ + Φ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ + − Φ + − Φ − Φ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ r r A r r r r A r r r r r r r r r r h h h v v σ σ (12) Обозначим ( , )tΨ R медленно меняющуюся в пространстве и времени волновую функцию конденсата e h− пар. Чтобы получить уравнение для ( , )tΨ R , необходимо усреднить (12) по быстрой пространственной переменной 1 2= −r r r , которая описывает внутренние степени свободы e h− пары. В калибровке Ландау ( ) = (0, ,0)xHA r приближенное решение уравнения (12) ищем в виде 2/ (0)ˆ ˆ( , , ) = e ( ) ( , ).iXy lH n nt t− + − Φ Φ − Ψr R r Rρ (13) Здесь X и y — соответствующие декартовы координаты векторов R и r , а дифференциальный оператор 2= Hil H ∂⎡ ⎤− ×⎢ ⎥∂⎣ ⎦ H R ρ . Матрица (0)ˆ ( )n n+ − Φ r — решение стационарного уравнения Шредингера для невзаимодейст- вующих электрона и дырки: Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 303 (0) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( , ) ( ) ( , ) = ( , ) .F e F h n n e e E i c i c + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ + Φ + − Φ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A r r r A r r r r r r r h h σ σv v (14) Решение уравнения (14) характеризуется двумя целочисленными индексами n+ и n− , означающими, что электрон находится на n+ уровне Ландау, а дырка — на n− уровне. Энергия такого состояния (0) = [sign ( ) \| \| sign ( ) \| \|]cn nE n n n nω + + − −+ − −h , где циклотронная частота = 2 /c F Hlω hv [30]. Ниже мы рассмотрим два случая: = = 0n n+ − и = 1n+ , = 0n− . Для этих случаев (0) 000 1 0ˆ ( ) = ( ) 0 0 rφ ⎛ ⎞ Φ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ r и (0) 010 1 2ˆ ( ) = ( ) 2 0 0 ix y rφ ⎛ ⎞− − Φ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ r , где 2 0 2 1( ) = exp 2 4H H rr l l φ π ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Чтобы получить уравнение для ( , )tΨ R , подставим (13) в уравнение (12). Далее умножим полученное равенст- во слева на 2/(0)ˆ ( ) eiXy lH n n + + − Φ −r ρ и, взяв след от произведения матриц, проинтегрируем обе части равенства по r . Вычисление интеграла (0) (0)ˆ ˆSp [ ( ) ( ) ( )] ( , )ehn n n nd V t+ + − + − Φ − Φ − Ψ∫ r r r r Rρ ρ проводится путем разложения матриц (0)ˆ ( )n n+ − Φ −r ρ в ряд по степеням оператора ρ . Из-за медленности простран- ственных изменений функции ( , )tΨ R в разложении можно ограничиться квадратичными членами. В рассматри- ваемом интеграле слагаемые нулевого порядка по ρ дают энергию связи e h− пары, ( )b n nE + − , слагаемые первого порядка не вносят вклада, а квадратичные слагаемые дают оператор кинетической энергии e h− пары. Положив химический потенциал (0)μ равным энергии основного состояния e h− пары, (0) ( )(0) = b n n n nE Eμ + − + − + , получаем динамическое уравнение для волновой функции конденсата невзаимодействующих пар: 2 2 2 ( , ) = ( , ) , 2 n n ti t t M + − ∂Ψ ∂ − Ψ ∂ ∂ R R R h h (15) где n nM + − — эффективная масса пары. Для случая = = 0n n+ − вычисления дают 12 2 2 00 2 2 2 2 2 2= 1 exp erfc , 22 HHH H H d d d dM lle l l l ε π π −⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤⎛ ⎞ ⎢ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎣ h (16) а в случае = 1n+ , = 0n− приходим к выражению 12 2 4 2 3 10 2 2 4 2 3 8 2 2 2= 1 exp erfc . 22 HHH H H H H d d d d d dM lle l l l l l ε π π − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥− − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ h (17) Теперь следует учесть взаимодействие e h− пар. Для этого в разложении правой части уравнения (11) нужно удержать кубические по Φ̂ члены. Учет взаимодействия дает три типа вкладов: вклад, соответствующий прибли- жению Хартри, вклад обменного внутрислоевого и вклад обменного межслоевого взаимодействий. Первый из них имеет вид (0) (0) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 (0) (0) 2 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆSp [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 4ˆ ˆSp [ ( ) ( )] ( , ) \| ( , ) \| ( , ) \| ( , ) \| , eh een n n n n n n n d d d d V V S e dt t t tπ ε + + − + − + + − + − ′ ′ ′ ′Φ − Φ − − + − × ′ ′ ′ ′× Φ − Φ − Ψ Ψ = Ψ Ψ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r R R R R (18) А.И. Безуглый 304 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 где S — площадь слоя. Обменное внутрислоевое взаимодействие дает интеграл (0)[( ) ( )]2 1 1 21 2 1 2 2 1 1 2 (0) (0) (0) (0) (0) 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 (0) (0 1 2 1 2 1 ˆe Sp [ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ( ) ( ) z een n n n n n n n n n n n hh n n n n d d d d V S V ′ ′ +− × − + − + + + − + − + − + − + − + + − + − ′ ′ ′− Φ − − × ′ ′ ′ ′ ′× Φ − Φ − Φ − +Φ − Φ − × ′ ′ ′× − Φ − Φ ∫ r r r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ) 2 2 2( )] ( , ) \| ( , ) \| .t t′ − Ψ Ψr r R R (19) Наконец, для обменного межслоевого взаимодействия носителей имеем выражение (0) (0) (0)[( ) ( )]2 1 1 21 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 (1 / ) e Sp [ ( ) ( ) ( ) ( )z ehn n n n n nS d d d d V′ ′ + +− × − + − + − + − ′ ′ ′ ′ ′ ′− ℜ Φ − Φ − Φ − − ×∫ r r r rr r r r r r r r r r r r (0) 2 2 2ˆ ( )] ( , ) \| ( , ) \| .n n t t + − ′× Φ − Ψ Ψr r R R (20) _______________________________________________ В отличие от хартриевского вклада, вклады обмен- ного взаимодействия зависят от значений n+ и n− . Также нужно иметь в виду, что взаимодействие e h− пар приводит к сдвигу химического потенциала (1) n nμ + − . Можно показать, что (1) n nμ + − определяется интегралами (18)–(20), где 2\| \|Ψ заменена на среднюю плотность пар pn . Таким образом, мы приходим к следующему нелинейному динамическому уравнению для волновой функции e h− пар: 2 2 2 2 ( , ) ( , )= 2 [ \| ( , ) \| ] ( , ) , n n n n p t ti t M g n t t + − + − ∂Ψ ∂ Ψ − − ∂ ∂ − − Ψ Ψ R R R R R h h (21) где константа взаимодействия e h− пар связана с по- правкой к химическому потенциалу соотношением (1)= /n n pn ng nμ+ − + − . В случае = = 0n n+ − вычисление интегралов (18)–(20) дает 2 3/2 00 2 3/2 2 = 4 (2 ) (2 ) exp erfc , 22 H H HH eg d l d dl ll π π ε π ⎡ ⎢ − + ⎢⎣ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦ (22) что совпадает с результатом, полученным для двухъям- ных гетероструктур [24,25]. Для = 1n+ , = 0n− имеем 2 10 2 2 2 2 = 4 3 2 23 exp erfc . 2 22 H H HHH H eg d l d d d dl lll l ππ π ε ππ π ⎧⎪ − +⎨ ⎪⎩ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢ ⎥+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎭ (23) Заметим, что уравнение (21) аналогично уравнению Гросса–Питаевского для волновой функции конденса- та сверхтекучей жидкости [26]. 3. Температура перехода в сверхтекучее состояние Из коэффициентов уравнения (21) можно составить параметр = / 2n n n n n n pM g nξ + − + − + −h , аналогичный длине когерентности в сверхпроводниках. Для согла- сованности макроскопического подхода необходимо, чтобы длина n nξ + − не была много меньше среднего расстояния между парами 1/2 pn− . Можно показать, что такое условие выполняется, если Hd l . Заметим, что эксперименты на двухъямных структурах со своей стороны подтверждают существование когерентного состояние e h− пар, когда / <Hd l 1,9 [6,8,31–33]. В однородной системе коллективные колебания конденсата описываются решениями вида ( , ) =tΨ R ( ) * ( )e ei t i t pn A Bω ω− − −= + +kR kR , где коэффициенты A и B считаются малыми по сравнению с pn . Под- становка этого выражения в (21) дает систему линей- ных уравнений для A и B , из которой следует, что 2 2 2 ( ) = 2 . 2 2n n n n p n n n n k kk g n M M ω + − + − + − + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ h (24) Полученная формула представляет собой известный закон дисперсии слабо возбужденных состояний почти идеального бозе-газа. При малых импульсах k (и 0d ≠ ) закон дисперсии является звуковым: =n n n ns kω + − + − , где скорость звука = / .n n n n p n ns g n M+ − + − + − Спектр (24) удовлетворяет критерию сверхтекучести Ландау, и, таким образом, при скоростях < n nv s + − конденсат e h− пар в двухслойном графене обладает сверхтекучестью. Уменьшение межслоевого расстоя- ния d приводит к уменьшению n ns + − . Если формаль- но положить = 0d , величина = 0n ng + − , и спектр (24) становится квадратичным по k . Последнее, как из- вестно, означает отсутствие сверхтекучести. Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 305 При понижении температуры двумерная система нейтральных бозонов переходит в сверхтекучее со- стояние, когда возникновение свободных вихрей ста- новится энергетически невыгодным [34,35]. Критиче- ская температура перехода определяется равенством 2 = ( ) , 2c s cT n T M πh (25) где sn — плотность сверхтекучей компоненты, а M — масса бозонов. Зависимость сверхтекучей плотности от температуры можно получить стандартным способом, вычислив температурную зависимость нормальной компоненты [36]. В области низких температур, когда в сверхтекучей жидкости в основном возбуждаются фононы, для нормальной компоненты получаем 3 2 4 3 (3)( ) = . 2 n Tn T Ms ζ πh (26) Здесь s — скорость звука, (3) =ζ 1,202. Температур- ная зависимость плотности сверхтекучей компоненты определяется равенством ( ) = ( )s p nn T n n T− , подста- новка которого в (25) дает кубическое уравнение для cT . Мы отмечали выше, что разреженный газ e h− пар в двухслойном графене ведет себя как слабо неидеаль- ный газ бозонов, поэтому к нему применимы формулы (25), (26). Как следствие, для критической температу- ры графеновой n p− системы получаем выражение ( ) 1/31/33 2 6 2 2 4 2 4 1/3 6 2 2 4 2 4 2 = 1 1 3 (3) 3 (3) 2 1 1 . 27 3 (3) n n n n n n c p n n n n n n g M g T n M M g π ζ ζ π ζ π + − + − + − + − + − + − ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎤⎛ ⎞ ⎥⎜ ⎟+ − + ⎥⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥⎦ h h h Зависимость критической температуры cT от маг- нитного поля H и межслоевого расстояния d пред- ставлена на рис. 1. Легко увидеть, что наиболее высо- кие температуры cT достигаются при межслоевых рас- стояниях d ≈ 2–3 нм, которые существенно меньше межслоевых расстояний в двухъямных гетерострукту- рах. В этой области критическая температура состав- ляет несколько градусов и при фиксированном факторе заполнения увеличивается с ростом магнитного поля. В реальных графеновых системах критические темпе- ратуры могут быть ниже вследствие рассеяния e h− пар на заряженных дефектах [37,38]. На рис. 1 видно, что в наиболее важной области вы- соких cT выполняется условие < Hd l и, таким обра- зом, эта область корректно описывается в рамках раз- витого подхода. Сравнение случаев = = 0n n+ − и = 1n+ , = 0n− показывает, что более высокие темпе- ратуры cT достигаются в первом случае (из-за более сильного взаимодействия e h− пар, 00 10>g g ). 4. Заключение Полученное в разд. 2 динамическое уравнение для волновой функции конденсата e h− пар в двухслойной графеновой n p− системе, помещенной в сильное перпендикулярное магнитное поле, имеет тот же вид, что и уравнение для e h− пар в двухъямной гетеро- структуре. Вследствие этого на графеновые n p− систе- мы могут быть перенесены результаты, установленные Рис. 1. Значения температуры перехода в сверхтекучее со- стояние cT (в градусах Кельвина) на плоскости H d− для случаев = = 0n n+ − (а) и = 1n+ и = 0n− (б). Вычисления критической температуры cT проведены при фиксированном факторе заполнения 1 =ν 0,1 и диэлектрической проницаемо- сти =ε 4,5. Область применимости развитого подхода нахо- дится левее и ниже штриховой линии, заданной равенством = Hd l . 0,300,30 0,700,70 1,11,1 1,31,3 1,41,4 1,61,6 55 1010 1515 2020 22 44 66 88 1010 dd ,, í ì í ì dd ,, í ì í ì HH TT,, ëë áá 1,01,0 1,41,4 1,91,9 2,32,3 2,82,8 3,33,3 3,73,7 4,24,2 55 1010 1515 2020 22 44 66 88 1010 HH TT,, ëë àà 0,900,90 1,41,4 А.И. Безуглый 306 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 3 ранее для n n− и p p− систем [24,25]. В частности, в графеновых n p− системах должны существовать квантованные вихри, несущие электрический заряд. Кроме того, вариации межслоевого расстояния (как и неоднородность перпендикулярного слоям электриче- ского поля) могут приводить к возникновению экси- тонных ловушек, которые способны накапливать e h− пары. Рост плотности пар pn в экситонных ловушках, согласно (27), увеличивает температуру перехода cT , что облегчает экспериментальное наблюдение сверх- текучего состояния в двухслойном графене. Автор выражает благодарность С.И. Шевченко за интерес к работе и многочисленные обсуждения, автор также благодарен Д.В. Филю за обсуждение работы. 1. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон, ЖЭТФ 71, 738 (1976). 2. С.И. Шевченко, ФНТ 2, 505 (1976) [Sov. J. Low Temp. Phys. 2, 251 (1976)]. 3. J.P. Eisenstein and A.H. MacDonald, Nature 432, 691 (2004). 4. J.P. Eisenstein, in: Perspectives in Quantum Hall Effects, S. Das Sarma and A. Pinczuk (eds.), Wiley, New York (1997). 5. E. Tutuc and M. Shayegan, Solid State Commun. 144, 405 (2007). 6. M. Kellogg, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. Lett. 93, 036801 (2004). 7. E. Tutuc, M. Shayegan, and D.A. Huse, Phys. Rev. Lett. 93, 036802 (2004). 8. R.D. Wiersma, J.G.S. Lok, S. Kraus, W. Dietsche, K. von Klitzing, D. Schuh, M. Bichler, H.-P. Tranitz, and W. Wegscheider, Phys. Rev. Lett. 93, 266805 (2004). 9. D.A. Huse, Phys. Rev. B72, 064514 (2005). 10. H. Schmidt, T. Luedtke, P. Barthold, E. McCann, V.I. Falko, and R.J. Haug, Appl. Phys. Lett. 93, 172108 (2008). 11. H. Min, R. Bistritzer, J.-J. Su, and A.H. MacDonald, Phys. Rev. B78, 121401 (2008). 12. C.-H. Zhang and Y.N. Joglekar, Phys. Rev. B77, 233405 (2008). 13. N.B. Kopnin and E.B. Sonin, Phys. Rev. Lett. 100, 246808 (2008). 14. Ю.Е. Лозовик, А.А. Соколик, Письма в ЖЭТФ 87, 61 (2008). 15. M.Yu. Kharitonov and K.B. Efetov, Phys. Rev. B78, 241401 (2008). 16. O.L. Berman, Yu.E. Lozovik, and G. Gumbs, Phys. Rev. B77, 155433 (2008). 17. Ю.Е. Лозовик, С.П. Меркулова, А.А. Соколик, УФН 178, 757 (2008). 18. Z.G. Koinov, Phys. Rev. B79, 073709 (2009). 19. M.Yu. Kharitonov and K.B. Efetov, arXiv:0903.4445 (2009). 20. D.V. Fil and L.Yu. Kravchenko, arXiv:0906.2661 (2009). 21. Л.В. Келдыш, А.Н. Козлов, ЖЭТФ 54, 978 (1968). 22. Kun Yang, Phys. Rev. Lett. 87, 056802 (2001). 23. Л.В. Келдыш, в сб.: Проблемы теоретической физики, Наука, Москва (1972), c. 433. 24. A.I. Bezuglyj and S.I. Shevchenko, Phys. Rev. B75, 075322 (2007). 25. А.И. Безуглый, С.И. Шевченко, ФНТ 35, 479 (2009) [Low Temp. Phys. 35, 373 (2009)]. 26. F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 79, 463 (1999). 27. A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M. Peres, K.S. Novoselov, and A.K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009). 28. D.V. Fil and S.I. Shevchenko, J. Phys.: Condens. Matter 21, 215701 (2009). 29. J.-J. Su and A.H. MacDonald, Nature Physics 4, 799 (2008). 30. A. Iyengar, Jianhui Wang, H.A. Fertig, and L. Brey, Phys. Rev. B75, 125430 (2007). 31. I.B. Spielman, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. Lett. 84, 5808 (2000). 32. I.B. Spielman, M. Kellogg, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. B70, 081303(R) (2004). 33. A.R. Champagne, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. Lett. 100, 096801 (2008). 34. В.Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971). 35. J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, J. Phys. C6, 1181 (1973). 36. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физи- ка. Теория конденсированного состояния, Наука, Москва (1978). 37. А.И. Безуглый, С.И. Шевченко, ФНТ 3, 428 (1977) [Sov. J. Low Temp. Phys. 3, 204 (1977)]. 38. R. Bistritzer and A.H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 101, 256406 (2008). Dynamic equation for condensate of electron–hole pairs in a two-layer graphene system A.I. Bezuglyj In two-layer graphene systems the electron–hole pairs with spatially separated components make a tran- sition to a superfluid state at low temperatures. A mi- croscopic derivation of the dynamic equation for con- densate wave function of electron–hole pairs is pre- sented. On the basis of the spectrum of elementary ex- citations the superfluid transition temperature is calcu- lated for a wide range of interlayer distances and mag- netic fields. PACS: 73.21.–b Electron states and collective excita- tions in multilayers, quantum wells, mesosco- pic, and nanoscale systems; 71.35.Ji Excitons in magnetic field; mag- netoexcitons; 73.43.–f Quantum Hole effects. Keywords: graphene, two-layer systems, electron–hole pairs, superfluidity.

Динамическое уравнение для конденсата электронно-дырочных пар в системе из двух слоев графена

Репозитарії

Схожі ресурси