Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах

Исследована динамика двухпараметрических упругих солитонов почти сдвиговой поляризации, локализованных в тонкой упругой пластине ангармонического материала. Выведены одномерные нелинейные интегро-дифференциальные уравнения для сдвиговых смещений и предложен вариант асимптотической процедуры, позволи...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Ковалев, А.С., Соколова, Е.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2010
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Динамика кристаллической решетки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117020
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 429-435. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117020
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1170202017-05-20T03:03:08Z Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Динамика кристаллической решетки Исследована динамика двухпараметрических упругих солитонов почти сдвиговой поляризации, локализованных в тонкой упругой пластине ангармонического материала. Выведены одномерные нелинейные интегро-дифференциальные уравнения для сдвиговых смещений и предложен вариант асимптотической процедуры, позволивший найти приближенные аналитические решения для таких солитонов. Досліджено динаміку двопараметричних пружних солітонів майже зсувної поляризації, локалізованих в тонкій пружній пластині ангармонічного матеріалу. Виведено одновимірне нелінійне інтегродиференційне рівняння для зсувних зміщень і запропоновано варіант асимптотичної процедури, що дозволяє знайти наближені аналітичні розв’язки для таких солітонів. The dynamics of two-parameter elastic solitons with nearly shear polarization is investigated for a thin elastic plate of anharmonic material. One-dimensional integro-differential equations were derived for the purely shear displacements and a new version of asymptotical procedure is proposed to derive these equations. Approximate solutions for the envelope solitons were obtained and analyzed. 2010 Article Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 429-435. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 68.35.–p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117020 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки
spellingShingle	Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах Физика низких температур
description	Исследована динамика двухпараметрических упругих солитонов почти сдвиговой поляризации, локализованных в тонкой упругой пластине ангармонического материала. Выведены одномерные нелинейные интегро-дифференциальные уравнения для сдвиговых смещений и предложен вариант асимптотической процедуры, позволивший найти приближенные аналитические решения для таких солитонов.
format	Article
author	Ковалев, А.С. Соколова, Е.С.
author_facet	Ковалев, А.С. Соколова, Е.С.
author_sort	Ковалев, А.С.
title	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
title_short	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
title_full	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
title_fullStr	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
title_full_unstemmed	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
title_sort	двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Динамика кристаллической решетки
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117020
citation_txt	Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 429-435. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kovalevas dvuhparametričeskiedinamičeskiesolitonyvtonkihuprugihplastinah AT sokolovaes dvuhparametričeskiedinamičeskiesolitonyvtonkihuprugihplastinah
first_indexed	2025-07-08T11:30:19Z
last_indexed	2025-07-08T11:30:19Z
_version_	1837078121285681152
fulltext	© А.С. Ковалев, Е.С. Соколова, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4, c. 429–435 Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах А.С. Ковалев, Е.С. Соколова Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103,Украина E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua esokolova@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 17 ноября 2009 г. Исследована динамика двухпараметрических упругих солитонов почти сдвиговой поляризации, лока- лизованных в тонкой упругой пластине ангармонического материала. Выведены одномерные нелиней- ные интегро-дифференциальные уравнения для сдвиговых смещений и предложен вариант асимптотиче- ской процедуры, позволивший найти приближенные аналитические решения для таких солитонов. Досліджено динаміку двопараметричних пружних солітонів майже зсувної поляризації, локалізованих в тонкій пружній пластині ангармонічного матеріалу. Виведено одновимірне нелінійне інтегро- диференційне рівняння для зсувних зміщень і запропоновано варіант асимптотичної процедури, що дозволяє знайти наближені аналітичні розв’язки для таких солітонів. PACS: 68.35.–p Поверхности твердых тел и интерфейсы твердое тело– твердое тело: структура и энергетика. Ключевые слова: упругая пластина, нелинейная среда, сдвиговая волна, солитон огибающей. Введение Проблема нелинейных упругих волн в системах с ограниченной геометрией (солитоны в тонких стерж- нях, нелинейные поверхностные волны и солитоны у идеальной поверхности и поверхности с тонким пле- ночным покрытием, нелинейные волны и солитоны в тонких пластинах) в последнее время интенсивно ис- следуется как экспериментально, так и теоретически [1–13]. Первоначально изучались преимущественно нестационарные нелинейные эффекты у поверхности нелинейных упругих сред, где за счет концентрации энергии в поверхностной волне нелинейные свойства проявлялись достаточно эффективно. Вопрос о воз- можности существования стационарных нелинейных волн в системах с ограниченной геометрией оставался открытым. Позже в рамках общей теории нелинейных волн стало ясно, что для существования стационарных нелинейных волн (как пространственно периодиче- ских, так и уединенных) необходимо наличие доста- точно сильной пространственной дисперсии волн [14]. Обычно теория упругости не учитывает собственную дисперсию упругих волн, связанную с дискретностью кристаллической решетки, из-за ее малости в длинно- волновом пределе [15]. Учет пространственной огра- ниченности системы приводит к существенному уве- личению дисперсии упругих волн. В этом случае, кро- ме естественного пространственного масштаба — межатомного расстояния, появляется дополнительный геометрический пространственный параметр — тол- щина стержня или пластины, толщины пленочного покрытия поверхности, которые могут быть сущест- венно больше межатомного расстояния. При этом дис- персия становится существенной не только вблизи верхней границы спектра линейных волн, но и при волновых векторах порядка величины 1/ h , где h — характерный размер системы (например, толщина пла- стины). Так, в случае упругих волн в пластине волны Рэлея–Лэмба сагиттальной поляризации и высшие вет- ви сдвиговых поверхностных волн (при их пространст- венном квантовании) имеют сильную дисперсию [2]. Действительно, для такой геометрии в работе [6] экс- периментально обнаружены солитоны (нелинейные локализованные состояния) стационарного профиля. Теоретически распространение нелинейных волн в упругой пластине изучалось в [6,10,12]. Авторы [6] рассмотрели чисто сдвиговые волны в упругой пла- стине и показали, что учет неоднородности волны по толщине пластины (в высших модах) приводит к воз- можности существования солитонов. В [10] учтено влияние сагиттальных компонент на периодические А.С. Ковалев, Е.С. Соколова 430 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 сдвиговые нелинейные волны в такой же пластине и указано на сильное взаимодействие разных компонент смещений. В [12] проведено исследование нелинейной динамики упругих сдвиговых волн в пластине при уче- те их взаимодействия с малоамплитудными сагитталь- ными компонентами смещений. Показано, что в такой системе существуют сдвиговые солитоны стационар- ного профиля. В зависимости от пространственного размера, скорости и упругих модулей системы они могут принимать вид стандартных солитонных реше- ний модифицированного уравнения Буссинеска или экзотических солитонов типа пиконов и компактонов. Кроме того, в [12] было указано, что существует узкая область значений длин волн, где нелинейная периоди- ческая сдвиговая волна становится модуляционно не- устойчивой. Развитие этой неустойчивости может при- вести (см. [14]) к образованию двухпараметрических динамических солитонов (ниже — солитонов огибаю- щей (envelope solitons)), представляющих связанные состояния элементарных возбуждений системы (в на- шем случае — фононов). В случае нелинейного упругого полупространства, покрытого пленкой другого ангармонического мате- риала, экспериментально наблюдались как однопара- метрические динамические солитоны стационарного профиля, так и двухпараметрические солитоны оги- бающей [5]. В нелинейных пластинах экспериментально обна- ружены лишь солитоны стационарного профиля [6]. Поэтому возникает вопрос о теоретическом исследова- нии возможности существования в таких нелинейных упругих пластинах также и солитонов огибающей. Обычно в одномерных системах этот вопрос легко ис- следуется в рамках стандартных уравнений нелиней- ной динамики и тех или иных асимптотических мето- дов [13,14]. В многомерном случае проблема вывода адекватных уравнений нелинейной динамики стано- вится достаточно сложной, а асимптотическая проце- дура нахождения солитонных решений становится не- тривиальной и сложной даже в основном (резонанс- ном) приближении. Поэтому в данной работе рассмот- рена достаточно простая модель, в которой нелиней- ные волны имеют преимущественно сдвиговую поля- ризацию, а нелинейность возникает за счет взаимодей- ствия сдвиговых смещений с малоамплитудными сме- щениями в сагиттальной плоскости. При этом для ос- новной сдвиговой компоненты смещений удалось вы- вести одномерное интегро-дифференциальное эволю- ционное уравнение, получить солитонные решения этого уравнения для солитонов огибающей и исследо- вать их свойства. 1. Модель и вывод основного динамического уравнения Для исследования нелинейной динамики сдвиговых волн в упругой пластине в работе [12] была сформули- рована следующая модель (см. рис. 1). Неограниченная в направлениях X и Y упругая пластина конечной тол- щины 2h занимает объем .h z h− ≤ ≤ Волна однород- на вдоль оси Y и распространяется вдоль оси X, а ( ) ( , , ),yu u x z t= ( ) ( , , ),xv u x z t= ( ) ( , , )zw u x z t= — соот- ветственно сдвиговое смещение ( )( )yu и смещения в сагиттальной плоскости ( , ).X Z В предложенной нами модели предполагается, что распространяющаяся не- линейная волна имеет в основном сдвиговую поляри- зацию, т.е. ,u v w>> , и перемещается со скоростями, близкими к скорости линейных сдвиговых волн. В ра- боте [7] рассмотрены чисто сдвиговые солитоны ста- ционарного профиля в пластинах при условии сильной зависимости сдвиговых смещений u от координаты Z. Однако экспериментально возбудить такую волну сложно. Обычно возбуждается чисто сдвиговая волна, однородная по толщине пленки. При этом она обладает слабой дисперсией (собственной дисперсией из-за дис- кретности решетки). С другой стороны, волны Рэлея– Лэмба со смещениями в сагиттальной плоскости обла- дают сильной дисперсией. Поэтому мы учитываем взаимодействие смещений основной сдвиговой поля- ризации со слабыми смещениями в сагиттальной плос- кости. Это взаимодействие привносит дополнительную (к слабой собственной) дисперсию в основную сдвиго- вую волну. В главном приближении сдвиговые смеще- ния не зависят от z: (0) (1)( , ) ( ) ( , ),u x z u x u x z= + (1) (0) .u u<< При учете малой собственной дисперсии только для основной сдвиговой компоненты и учете зависимости от z только в квадратичных слагаемых, входящих в выражение для полной энергии системы, в работе [8] получена система динамических уравнений Рис. 1. Геометрия задачи и смещения в локализованной не- линейной упругой волне. Z X Y u(x – ct,z) 2h w(x – ct,z) v(x – ct,z) L Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 431 для пластины ангармонического кристалла кубической симметрии 2 44 ( ) ( )tt xx zz xxxx zzzzu c u u Aa u uρ − + − + = 112121 132123[( ) ( ) ] [( ) ( )x x x z z z z z x z x xs u v u w s u v u w= + + + + 332121( ) ( ) ] [( )x z z x x z x z xu v u w s u w+ + + + 3 21212121 , 1( ) ] ( ) 6z x z x xu v s u+ + (1) 11 44 12( )tt xx zz xz xzv c v c v w c wρ − − + − = 2 112121 132123 332121 , 1( ) ( ) 2x xx x z z z xs u u s u u s u= + + (2) 11 44 12( )tt zz xx xz xzw c w c w v c vρ − − + − = 2 112121 132123 332121 1( ) ( ) 2z zz x z x x zs u u s u u s u= + + (3) и соответствующие им граничные условия на свобод- ных границах пластины z h= ± (здесь и далее нижние индексы t, x, z означают дифференцирование по соот- ветствующей переменной): 2 44 112121 33212z zzz z z z xc u Aa u s u w s u v+ + + + 132123 ( ) 0,x z xs u v w+ + = (4) 44 132123( ) 0,z x x zc v w s u u+ + = (5) 2 2 11 12 112121 332121 1 1 0, 2 2z x z xc w c v s u s u+ + + = (6) где ijc и iklmnss — линейные и нелинейные упругие модули кристалла в обозначениях [11], 44 /12A c=∼ . Проинтегрировав уравнение (1) по толщине пласти- ны и воспользовавшись граничным условием (4), легко получить одномерное уравнение для сдвиговых сме- щений (0)u в основном приближении: (0)(0) 2 (0) (0)3 2 1 ( )xx tt xxxx x x t u u Aa u r u c − + + + (0) 1[ ( )] 0, 2 h x x z x h u dz v w h − + α +β =∫ (7) где 112121 44 s c α = , 332121 44 s c β = , 21212121 446 s r c = , 44 t c c = ρ , 44 ~/ .A A с= В это уравнение, кроме собственной дис- персии (третье слагаемое), связанной с дискретностью материала, входит дополнительная так называемая «нелинейная дисперсия» (последнее слагаемое), обу- словленная взаимодействием сдвиговой компоненты волны с малоамплитудными сагиттальными компонен- тами смещений. Это уравнение является основным для дальнейшего исследования сдвиговых солитонов оги- бающей. Для нахождения замкнутого уравнение для (0)u не- обходимо выразить функции v и w через (0)u , вос- пользовавшись уравнениями (2), (3) и граничными ус- ловиями (5), (6). Уравнения (2), (3) — линейные дву- мерные уравнения для v и w с правыми частями, за- висящими от квадратов основных сдвиговых смеще- ний. Эти уравнения легко решаются с помощью пре- образования Фурье (система этих уравнений без пра- вых частей дает решение задачи о распространении волн Рэлея–Лэмба, в частности, их спектр): 0 sin ( ) ( , , ),v dk d kx t V k z ∞ ∞ −∞ = ω −ω ω∫ ∫ 0 cos ( ) ( , , ),w dk d kx t W k z ∞ ∞ −∞ = ω −ω ω∫ ∫ 2 2 (0)2 2 (0)2 0 ( , ) cos( ) ( , ). 8 8x k Ku dk d u k kx t u x t ∞ ∞ −∞ −∞ = − ω ω −ω +∫ ∫ (8) В последней из приведенных формул учтено следую- щее обстоятельство. Огибающая рассматриваемых в данной статье солитонов выделяет локализованную область несущей волны с фазой Kx tΘ = −Ω (см. ниже (15)), и для выполнения граничных условий в правой части (3) необходимо выделить соответствующую производную по «быстрой» координате. После подстановки преобразований (8), решение уравнений (2), (3) для фурье-компонент сагиттальных смещений V и W принимает вид 2 1 1 2 2 0ch ch / [4( 1 )],V V z V z ku= γ + γ + α κ − + ε (9) 1 1 2 2ch ch ,W W z W z= γ + γ (10) где введены обозначения 2 2 2 1,2 ( 4 [1 (1 ) / )] / 2k p pγ = ± − ε − − ε κ , 21 (1 1/ ) /p = κ − + ε + κ − ν κ , 2 2 21 / tk cε = −ω , 21 44/ 1c cν = + , 11 44/c cκ = . Воспользовавшись выражениями (8)–(10), можно пе- реписать уравнение (7) в виде замкнутого уравнения для основной составляющей сдвиговых смещений (0)u (напомним, что 2 0u — фурье-компонента (0)2u ): А.С. Ковалев, Е.С. Соколова 432 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 (0)(0) 2 (0) (0)3 (0) 2 2 (0)2 02 1 1( ) cos( ) ( , ) ( , ) 0. 2 16( 1)xx tt xxxx x x x t x u u Aa u r u u dk d kx t N k u k K u hc ∞ ∞ −∞ −∞ ⎧ ⎫⎡ ⎤αβ⎪ ⎪⎢ ⎥− + + + ω −ω ω ω − =⎨ ⎬ ν −⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∫ ∫ (11) Ядро интегрального оператора при этом выглядит следующим образом: 2 22 2 2 1 2 1 2 ( )[ ( 1 ) ( 1)]1( , ) , 2 1 4( 1 ) k hkN k G ε γ − γ β κ − + ε −α ν −ν − α⎛ ⎞ω = − β−α −⎜ ⎟κ κ − + ε γ γ κ − + ε⎝ ⎠ (12) где 2 22 1 1 2 2 1 (1 )1 ( )( 1) 1 . th( ) i i i ii G h k − = ⎡ ⎤− ε γ ν − ε = γ γ − κ − + ε − −⎢ ⎥ γ γ κ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ _______________________________________________ В случае изотропного «материала Пуассона», для которого 3κ = , 2ν = и, следовательно, 1 kγ = ε , 2 kγ = μ , (2 ) / 3μ = + ε , выражение (12) значительно упрощается: 2 2 (1 )( , ) 2 6 h FN k k ⎛ ⎞− ε α ω = +⎜ ⎟⎜ ⎟ℜ μ⎝ ⎠ , (13) где 2 3 F ⎛ ⎞α = β−⎜ ⎟μ⎝ ⎠ , 24 (1 ) th( ) th( ) kh kh kh kh ε + ε ℜ = − ε μ μ . (14) Система (11)–(14) является основной для решения за- дач о распространении почти сдвиговых нелинейных волн и солитонов в упругих ангармонических пластинах. 2. Асимптотическая процедура для нахождения малоамплитудных солитонов огибающей Уравнения (7), (11) не интегрируются точно, и их решения для солитонов огибающей возможно найти лишь приближенно, используя тот или иной метод теории возмущения. Обычно малоамплитудные реше- ния для солитонов огибающей в неинтегрируемых од- номерных системах достаточно легко находятся с по- мощью различных асимптотических процедур (см. [13,14], а также [16], где асимптотический метод рас- пространен на системы со звуковым законом диспер- сии). В настоящей работе предлагается вариант асим- птотической процедуры, в соответствии с которым решение для солитона огибающей ищется в виде ряда Фурье по периодической фазе (пространственно пе- риодическая волна в системе отсчета, движущейся со скоростью огибающей солитона) с пространственно локализованными коэффициентами ряда Фурье этого разложения. В основном приближении (так называе- мом «резонансном приближении») решение имеет вид ( , ) ( ) cos( ) ( )sin( ),u u x t F x сt Kx t x сt Kx t= = − −Ω +Φ − −Ω (15) который зависит от фазы «несущей волны» Kx tΘ = −Ω и фазы «огибающего» профиля локализо- ванного солитона .x сtΨ = − Функции F и Φ раскла- дываются в степенные ряды по малому параметру, ха- рактеризующему отклонение частоты «несущей волны» солитона огибающей Ω от частоты линейной волны. Введем этот малый параметр следующим образом: ( )22 2 2/ 1tKc Aa Kε = Ω − + . (16) (Напомним, что закон дисперсии линейных чисто сдвиговых волн в бесконечной среде в нашей модели имеет вид 2 2 2 2 2 4 ,t tc K Aa c KΩ = − что следует из пер- вых трех слагаемых уравнения (7).) При этом частота и групповая скорость малоамплитудной несущей волны в нелинейном случае определяются следующими вы- ражениями: 2 2 2 2 2( ) 1 [1 / 2(1 )],tK c K Aa K Aa KΩ ≈ − + ε − (17) 2 2 2 2 2 2 2 3/22 2 1 2 1 2 2(1 )1 t Aa K Aa Kс c K Aa KAa K ⎡ ⎤∂Ω − − = ≈ − ε⎢ ⎥ ∂ −⎢ ⎥−⎣ ⎦ . (18) В решении (15) возникает следующая иерархия ма- лости различных слагаемых и пространственных мас- штабов: 2~ , ~F ε Φ ε и / ~x∂ ∂ ε . Воспользовавшись представлением (15), можно пе- реписать фурье-образ 2 xu в виде 2 2 2 2 0 8 1( , ) ( ) cos( ), 8 4 8x k Ku k dx dt F F kx t +∞ +∞ −∞ −∞ ω = − − −ω π ∫ ∫ 2 cos 2 sin 2xu M N Q= + Θ+ Θ , (19) где ( )2 2 22xM F K KF K F= + Φ − Φ+ , 2 2 21 ( ) 2 , 2 x xN F K KF K F⎡ ⎤= + Φ + Φ −⎣ ⎦ 2 ( )xQ K FF KF= − + Φ . Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 433 Перейдя в движущуюся систему координат и сделав замену переменной интегрирования x p сt= − , вос- пользуемся формулой cos 2 ( )d t x ∞ −∞ ω ω = πδ∫ и произ- ведем интегрирование по времени t . В результате по- лучаем { } 2 2 0 2 1 2 1 ( , ) cos ( ) 8 2 1 cos(2 ( 1) ) (2 (2 ( 1) )) 2 sin(2 ( 1) ) (2 (2 ( 1) )) , i i i i i i ku k d p M kp сk P K k p с K k Q K k p с K k +∞ −∞ = = π ω = δ ω− + ⎡ ⎤+ + − δ Ω+ω− + − +⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ + − δ Ω+ω− + −⎣ ⎦ ∫ ∑ ∑ (20) где 2 .P N= При этом последнее, интегральное, сла- гаемое в уравнении (11) (после интегрирования по )ω принимает вид [ ]1/ 2 { ( ) cos ( )sin }x x xI h F K KF I= + Φ Θ+ Φ − Θ , (21) где 1cos { cos ( / 2 ) 2 I dk d p kp N M k P Q +∞ +∞ −∞ −∞ π = Ψ + + ×∫ ∫ 2 3[ cos( 2 ) cos( 2 )]}N k N k× Ψ − Θ + Ψ + Θ (22) и введены следующие обозначения, соответствующие замене аргументов в формуле (13) для ( , )N k ω : 1 ( , )N N k kс= , 2 ( 2 , 2 )N N k K kс= − − Ω , 3 ( 2 , 2 )N N k K kс= + + Ω . Рассмотрим вклад различных слагаемых в .I В пер- вом слагаемом (~ 1N ) параметр 21 ( / )tс cε = − не зави- сит от переменной интегрирования (в основном при- ближении он совпадает с введенным выше параметром 2 2 21 / tk cε = −ω ). В этом случае / th( ) ~ 1kh khε ε и 2 2 2 1 2 ( ) [ 2 / th ( 2)] 2 hN h O kh kh β = − α + ε − . (23) Знаменатель ядра (23) обращается в нуль при кри- тическом значении * ~ ~ 1/k k K h= . Этот полюс соот- ветствует первой симметричной волне Рэлея–Лэмба с фазовой скоростью, равной скорости солитона .tс c≈ Таким образом, движущийся в пластине солитон оги- бающей, представляющий собой локализованную сдвиговую волну, должен испускать волны Рэлея– Лэмба, и его стационарное движение, строго говоря, невозможно. Излучаемые волны имеют следующий вид: 2 2 * 0 , ~ sin( ( )) ( , ) / 8tv w k x c k u k k∗− ω . Ситуация упрощается в случае слаболокализован- ных солитонов с пространственным размером оги- бающей F : ,L h>> когда фурье-преобразование квадрата огибающей солитона 2 2 0 ( , ) / 8u k kω экспо- ненциально локализуется в интервале 1 / .k L k< << В пределе стандартного солитона модифицированного уравнения Буссинеска имеем 2 2 0 ( , ) / 8 ~u k kω ~ / sh( / ),k kσ ε где ~ 1.σ В этом случае энергия, из- лучаемая в волну Рэлея–Лэмба, имеет порядок величи- ны * ~ exp( / ).E L h− Таким образом, излучаемая мало- амплитудным солитоном огибающей энергия мала, и для слаболокализованных солитонов можно пренеб- речь эффектом излучения. Рассмотрим слагаемое с 2.N В этом случае 2 2 1 /1 2 1 / 2t t с с Kс c c k K ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −Ω⎛ ⎞ε = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (24) Как видно, величина ε является малой (так как 2 21 ( / ) ~tс c− ε и 21 / ( )Kс O−Ω = ε ) в области значе- ний k меньших или порядка волнового числа несущей волны .K Таким образом, как и в случае первого сла- гаемого 1,N происходит излучение волн Рэлея–Лэмба при ~ ~ 1/ .k K h Величина ε стремится к бесконечно- сти при 2 .k K= В этом пределе ядро интегрального оператора принимает вполне определенное конечное значение 2~ / 2.hβ Для слагаемого с 3N анализ, проведенный для 2,N справедлив при замене знаков при K и .Ω Нас интересуют солитонные решения, пространст- венный размер которых L достаточно велик. Это оз- начает, что достаточно велик размер огибающей ( )F x по координате х. Следовательно, фурье-преоб- разование его квадрата локализовано в малой области значений ,k размер которой ~ 1 / .L Таким образом, можно ограничиться рассмотрением подынтегрального выражения в (18) только вблизи значения 0,k = где оно будет давать максимальный вклад, и пренебречь эффектом излучения волн Рэлея–Лэмба. В соответствии с этим представим функции ( )iN k в следующем виде: 2 1 1 2 ,N a a k= + 2 2 3 4 5 ,N a a k a k= + + 2 3 3 4 5 .N a a k a k= − + При этом 2 2 2 1 / 2 2 ( ),a h h O= −β − α + ε (25) 2 3 2 2 2 2 ( ), 12 t h ca O c β = − + ε (26) 2 2 2 3 2 ( ),ha h O S β = − α + ε (27) 2 2 5 2 2 1 21 1 th ( 2 )th ( 2 ) h Kha h KhS Kh ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞β ⎪= − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ 2 2 21 2 0 2 1 ( ), c U O SK ⎫⎪− + + ε⎬ ε ⎪⎭ (28) А.С. Ковалев, Е.С. Соколова 434 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 где 2 1 02 2 2(1 2 / )2 22 , th( 2 )th ( 2 ) ch K hU h K KKhKh − ε = − + − 2 2 4, th( 2 ) KhS Kh ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 0 1 2 1 ~ , t t с с c c Kс ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Ω⎛ ⎞ε = − + − ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 0 1 / ~ 2t с Kсc c ⎛ ⎞ −Ω = ε⎜ ⎟ ε⎝ ⎠ . Значение коэффициента 4a не приведено, так как по- сле суммирования 1N и 2N соответствующее слагае- мое ~ k равно нулю. После такой подстановки и интегрирования с ис- пользованием формул [ ]cos cos ( ) ( ) ,d x X x X x X ∞ −∞ ω ω ω = π δ − + δ +∫ [ ]sin sin ( ) ( ) ,d x X x X x X ∞ −∞ ω ω ω = π δ − −δ +∫ параметр I принимает вид 2 2 2 1 2 3 52 2( ) ( )I a a M a a x x ⎧ ∂ ∂⎪= π − + − ×⎨ ∂ ∂⎪⎩ ( cos 2 sin 2 ) .P Q ⎫⎪× Θ + Θ ⎬ ⎪⎭ (29) 3. Анализ решений для солитонов огибающей Подставив разложение (15) в уравнение (11) и ис- пользуя выведенное соотношение (29), получаем 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 4 3 4 2 2 2 2 2 2 1 3 5 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 3 3 2 { (1 6 ) (2 4 ) 3( ) [ 4 2 1( ( 4 ))]}cos { (1 6 ) 2 2(2 4 ) ( ) ( 4 ) [ 3 2 ( t t t t t t с сF Aa K K Aa K c c KF K Aa K F rK hc сa a a K Aa K c сF K Aa K K Aa K c c F Aa K F F rK K a h ΨΨ Ψ 2 ΨΨ Ψ ΨΨΨ Ψ 2Ω− − +Φ − − + Ω + − + + + − − π × × + + Θ+ Φ − − − Ω Ω − − − +Φ − + + + + − + − − −π 2 2 4 1 3 5 4 2 2 1 3 5 1 3( 5 ))] [ 2 4 1( ( 4 ))]}sin 0. 2 2 a a K F rK K a a a K h + + + Φ − − −π + + Θ = (30) Используя соотношения (16)–(18), оставляем в уравнении только основные члены 3~ ε и 4~ ε и при- равниваем нулю коэффициенты при sinΘ и cos .Θ Таким образом, для функций ,F Φ получаем следую- щую замкнутую систему нелинейных уравнений: 2 2 3* 0A F K F RFΨΨ + ε + = , (31) 2 2* 4A Aa KFΨΨ ΨΨΨΦ + ε Φ − + 2 5 2 254 0, K aR F F RF K h Ψ ⎛ ⎞π + − + Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (32) где 2 2 2 2* 2 2 2 3 , 1 K AaA K Aa K Aa − = − (33) 4 4 2 2 1 3 5 3 1[ ( ( 4 ))]. 4 2 2 KR rK a a a K h = − − π + + (34) Слагаемые в уравнении (31) имеют порядок вели- чины 3,ε в уравнении (32) — 4 .ε В коэффициент R входит зависимость от толщины пластины. Однако учет пространственной ограниченности системы в данной задаче не приводит к появлению принципиаль- но новых нелинейных слагаемых, в отличие от случая солитонов стационарного профиля, рассмотренного в работе [8]. Уравнение (31) представляет собой стационарную редукцию модифицированного уравнения Буссинеска с хорошо известным солитонным решением: * 2 ch( / ) KF R K A ε = εΨ . (35) Необходимо отметить, что уравнение (31) допуска- ет солитонные решения только при условии * 0,A < 0.R < В случае нелинейных волн стационарного профиля / / 0,dF d d dΨ = Φ Ψ = 0 const 1F u= = << и закон дис- персии линейных волн выглядит следующим образом: 2 2 2 2 4 2 2 0t tK c Aa K c RuΩ = + − . (36) При этом, согласно критерию Лайтхилла 2 2 2 0 / 0, K u ∂ Ω ∂Ω < ∂ ∂ такая нелинейная волна становится модуляционно не- устойчивой в области ( ) 0R K < [8]. Развитие этой не- устойчивости, как видно, приводит к образованию со- литонов огибающей. Таким образом, соотношение ( ) 0R K < задает уз- кую область значений ,K где возможно существова- ние солитонов огибающей. Параметр несущей волны K лежит вблизи точки пересечения законов дисперсии Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 435 сдвиговых волн и волн Рэлея–Лэмба в линейном при- ближении. При этом * k K k< < θ , где ~ 1/k h и 22[1 1/ 4 (3 / 2(2 ) ],r F θ = ς + −αβ−α + ε 2 2( ) 4(2 ) F α = β− + ε , 1 ( )Oς = + ε . Данный промежуток соответствует ранее определен- ной области неустойчивости нелинейной волны ста- ционарного профиля [12]. Малые добавки к солитонному профилю могут быть найдены из уравнения (32). С учетом (31) оно может быть переписано в виде 2 2 2 ** (4 / )A Aa K A FΨΨ ΨΦ + ε Φ + ε + 2 2 0,R F F RFΨ′+ + Φ = (37) где 2 2 2* 512 / 4 / /R Aa KR A R K K a h′ = + − π . С точностью до малого параметра 2ε решение уравнения (37) может быть представлено в виде 2 2 2 * sh ( / ) 2 ch ( / ) R K AK RA R K A ′ ε Ψ Φ =ε ε Ψ . (38) Окончательно решение для солитона огибающей выглядит следующим образом: * 2 cos ch( / ) u K R x A ε = Θ+ ε 2 2 2 * sh( / ) sin . 2 ch ( / ) R AK RA R A ′ εΨ +ε Θ εΨ (39) Найденное решение для солитона огибающей явля- ется, как и следовало ожидать, двухпараметрическим. Первый параметр — малый параметр ,ε характери- зующий амплитуду и отклонение частоты от частоты линейной сдвиговой волны. Второй параметр — вол- новое число .K В основном приближении поведение огибающей определяется функцией ~ .F ε Учет малых добавок по 2ε (т.е. функции Φ ) приводит к изменению стандарт- ной солитонной формы решения. Заключение В работе показано, что в тонкой упругой пластине могут существовать сдвиговые солитоны огибающей. Сформулирована модель для изучения почти сдвиго- вых солитонов огибающей в такой системе. Выведено одномерное интегро-дифференциальное уравнение для основной компоненты сдвиговой деформации. Пред- ложен вариант асимптотический процедуры для нахо- ждения солитонов огибающей (в меру малого парамет- ра ε). Найдены приближенные малоамплитудные ре- шения для солитонов огибающей и указаны параметры системы и параметры несущей волны, при которых такие солитоны могут существовать. Авторы выражают признательность проф. А.П. Майеру за постоянное внимание к работе и обсужде- ние результатов. Работа выполнена при частичной финансовой под- держке Deutsche Forschungsgemeinschaft (грант MA 1074/9-1). 1. Л.К. Зарембо, В.А. Красильников, УФН 102, 549 (1970). 2. J.D. Ashenbach, Wave Propagation in Elastic Solids, North- Holland Publishing Company, Amsterdam, London (1973). 3. V. Narayanamurti, C.M. Varma, Phys. Rev. Lett. 25, 1105 (1970). 4. В.И. Наянов, Письма в ЖЭТФ 44, 314 (1986). 5. A.M. Lomonosov, P. Hess, and A.P. Mayer, Phys. Rev. Lett. 88, 076104 (2002). 6. А.М. Самсонов, Математическое моделирование. Нелинейные волны в сплошных средах, Санкт-Петербург, Изд-во Политехнического университета (2005). 7. Yu.S. Kivshar and E.S. Syrkin, Phys. Lett. A153, 2 (1991). 8. А.С. Ковалев, Е.С. Сыркин, ЖЭТФ 100, 522 (1992). 9. G.A. Maugin and H. Hadonaj, Phys. Rev. B44, 1266 (1991). 10. A.P. Mayer, D.F. Parker, and A.A. Maradudin, Phys. Lett. A164, 171 (1991). 11. A.P. Mayer, Phys. Rep. 256, 237 (1995) 12. А.С. Ковалев, А.П. Майер, Е.С. Соколова, К. Экль, ФНТ 28, 1092 (2002) [Low Temp. Phys. 28, 780 (2002)]. 13. A.S. Kovalev, A.P. Mayer, C. Eckl, and G.A. Maugin, Phys. Rev. E66, 036615 (2002). 14. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, Введение в нелинейную физическую механику, Киев, Наукова думка (1989). 15. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости, Наука, Москва (1965). 16. А.С. Ковалев, Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук, Харьков (1990). Two-parameter dynamical solitons in thin elastic plates A.S. Kovalev and E.S. Sokolova The dynamics of two-parameter elastic solitons with nearly shear polarization is investigated for a thin elastic plate of anharmonic material. One-dimensional integro-differential equations were derived for the purely shear displacements and a new version of asymptotical procedure is proposed to derive these eq- uations. Approximate solutions for the envelope soli- tons were obtained and analyzed. PACS: 68.35.–p Solid surfaces and solid–solid inter- faces: structure and energetics. Keywords: elastic plate, nonlinear medium, shear wave, envelop soliton.

Двухпараметрические динамические солитоны в тонких упругих пластинах

Репозитарії

Схожі ресурси