К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах

В "приближении хаотических фаз" получены уравнения, описывающие поведение плазменных колебаний, которые могут возникнуть как на поверхности, так и внутри металлических сферических наночастиц. Найдены частоты всех собственных плазменных колебаний, возникающих на поверхности и в объеме части...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Яцак, Л., Красный, Ю.П., Чепок, А.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2009
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Электронные свойства проводящих систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117139
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах / Л. Яцак, Ю.П. Красный, А.О. Чепок // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 5. — С. 491-502. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117139
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1171392017-05-21T03:02:36Z К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах Яцак, Л. Красный, Ю.П. Чепок, А.О. Электронные свойства проводящих систем В "приближении хаотических фаз" получены уравнения, описывающие поведение плазменных колебаний, которые могут возникнуть как на поверхности, так и внутри металлических сферических наночастиц. Найдены частоты всех собственных плазменных колебаний, возникающих на поверхности и в объеме частицы. Показано, что объемные плазменные колебания могут вызвать вынужденные колебания на поверхности наночастицы. Определено, какое влияние оказывают плазменные колебания на оптические свойства диэлектрической среды, в которой находятся металлические наночастицы. В «наближенні хаотичних фаз» отримано рівняння, що описують поводження плазмових коливань, які можуть виникнути як на поверхні, так і усередині металевих сферичних наночастинок. Знайдено частоти всіх власних плазмових коливань, що виникають на поверхні та в об’ємі частинки. Показано, що об’ємні плазмові коливання можуть викликати змушені коливання на поверхні наночастинки. Визначено, який вплив роблять плазмові коливання на оптичні властивості діелектричного середовища, у якому перебувають металеві наночастинки. The random phase approach is used to derive equations describing the behavior of plasmon oscillations that arise both within metal spherical nanoparticles and on their surfaces. The proper frequencies of all originated plasmon oscillations at the surface and in the bulk are defined. It is demonstrated that the volume plasmon oscillations within metal nanospheres can induce forced plasmon oscillations at thesurface nane particles. It is found that the plasmon oscillations exert the influence on the optical properties of the dielectrical medium containing the metal nanospheres. 2009 Article К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах / Л. Яцак, Ю.П. Красный, А.О. Чепок // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 5. — С. 491-502. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 78.67.Bf, 73.20.Mf, 71.10.Ca, 77.22.Ch http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117139 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем
spellingShingle	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем Яцак, Л. Красный, Ю.П. Чепок, А.О. К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах Физика низких температур
description	В "приближении хаотических фаз" получены уравнения, описывающие поведение плазменных колебаний, которые могут возникнуть как на поверхности, так и внутри металлических сферических наночастиц. Найдены частоты всех собственных плазменных колебаний, возникающих на поверхности и в объеме частицы. Показано, что объемные плазменные колебания могут вызвать вынужденные колебания на поверхности наночастицы. Определено, какое влияние оказывают плазменные колебания на оптические свойства диэлектрической среды, в которой находятся металлические наночастицы.
format	Article
author	Яцак, Л. Красный, Ю.П. Чепок, А.О.
author_facet	Яцак, Л. Красный, Ю.П. Чепок, А.О.
author_sort	Яцак, Л.
title	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
title_short	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
title_full	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
title_fullStr	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
title_full_unstemmed	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
title_sort	к теории плазменных колебаний в металлических наночастицах
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Электронные свойства проводящих систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117139
citation_txt	К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах / Л. Яцак, Ю.П. Красный, А.О. Чепок // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 5. — С. 491-502. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT âcakl kteoriiplazmennyhkolebanijvmetalličeskihnanočasticah AT krasnyjûp kteoriiplazmennyhkolebanijvmetalličeskihnanočasticah AT čepokao kteoriiplazmennyhkolebanijvmetalličeskihnanočasticah
first_indexed	2025-07-08T11:42:47Z
last_indexed	2025-07-08T11:42:47Z
_version_	1837078904383209472
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5, ñ. 491–502 Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ë. ßöàê1, Þ.Ï. Êðàñíûé1,2, À.Î. ×åïîê2 1 Èíñòèòóò Ôèçèêè, Âðîöëàâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, íàá. Âûñïÿíñêîãî, 27, Âðîöëàâ, 50-370, Ïîëüøà. 2 Ìåæäóíàðîäíûé ãóìàíèòàðíûé óíèâåðñèòåò, Ôîíòàíñêàÿ äîðîãà, 33, ã. Îäåññà, Óêðàèíà E-mail: ch_a_o@mail.ru Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22 ñåíòÿáðÿ 2008 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 12 ÿíâàðÿ 2009 ã. Â «ïðèáëèæåíèè õàîòè÷åñêèõ ôàç» ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ïëàçìåííûõ êî- ëåáàíèé, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü êàê íà ïîâåðõíîñòè, òàê è âíóòðè ìåòàëëè÷åñêèõ ñôåðè÷åñêèõ íà- íî÷àñòèö. Íàéäåíû ÷àñòîòû âñåõ ñîáñòâåííûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ íà ïîâåðõíîñòè è â îáúåìå ÷àñòèöû. Ïîêàçàíî, ÷òî îáúåìíûå ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ ìîãóò âûçâàòü âûíóæäåííûå êî- ëåáàíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàíî÷àñòèöû. Îïðåäåëåíî, êàêîå âëèÿíèå îêàçûâàþò ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ íà îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû, â êîòîðîé íàõîäÿòñÿ ìåòàëëè÷åñêèå íàíî÷àñòèöû. Â «íàáëèæåíí³ õàîòè÷íèõ ôàç» îòðèìàíî ð³âíÿííÿ, ùî îïèñóþòü ïîâîäæåííÿ ïëàçìîâèõ êîëèâàíü, ÿê³ ìîæóòü âèíèêíóòè ÿê íà ïîâåðõí³, òàê ³ óñåðåäèí³ ìåòàëåâèõ ñôåðè÷íèõ íàíî÷àñòèíîê. Çíàéäåíî ÷àñòîòè âñ³õ âëàñíèõ ïëàçìîâèõ êîëèâàíü, ùî âèíèêàþòü íà ïîâåðõí³ òà â îá’ºì³ ÷àñòèíêè. Ïîêàçàíî, ùî îá’ºìí³ ïëàçìîâ³ êîëèâàííÿ ìîæóòü âèêëèêàòè çìóøåí³ êîëèâàííÿ íà ïîâåðõí³ íàíî÷àñòèíêè. Âèç- íà÷åíî, ÿêèé âïëèâ ðîáëÿòü ïëàçìîâ³ êîëèâàííÿ íà îïòè÷í³ âëàñòèâîñò³ ä³åëåêòðè÷íîãî ñåðåäîâèùà, ó ÿêîìó ïåðåáóâàþòü ìåòàëåâ³ íàíî÷àñòèíêè. PACS: 78.67.Bf Íàíîêðèñòàëëû è íàíî÷àñòèöû; 73.20.Mf Êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ; 71.10.Ca Ýëåêòðîííûé ãàç, ôåðìè-ãàç; 77.22.Ch Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïëàçìîíû, ìåòàëëè÷åñêèå íàíî÷àñòèöû, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü. 1. Ââåäåíèå Èçó÷åíèå îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàëûõ ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö, êðîìå ÷èñòî íàó÷íîãî èíòåðåñà, èìååò áîëüøîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå. Íàïðèìåð, ìåòàëëè÷åñêèå ÷àñòè- öû, íàõîäÿùèåñÿ â ïîëóïðîâîäíèêå, ñóùåñòâåííî âëèÿ- þò íà ïîãëîùåíèå ñâåòà â ýòîì ïîëóïðîâîäíèêå, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ âîçíèêàþùåãî â íåì ôîòîòîêà [1,2]. Íàíîñÿ íà òâåðäóþ ïîâåðõíîñòü êðàñêó, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ìåòàëëè÷åñêèå ÷àñòèöû, ìîæíî ñóùåñòâåííî ìåíÿòü ïîãëîùåíèå è îòðàæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíå ÷àñòîò. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìàëûõ ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö èññëåäóþòñÿ ñðàâíèòåëüíî äàâíî è ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äîñòàòî÷íî ïîëíî îò- ðàæåíû â ðàáîòàõ [3–7]. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö â îñíîâíîì îïðåäåëÿ- þòñÿ êîëëåêòèâíûìè êîëåáàíèÿìè ïëîòíîñòè ãàçà ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, êîòîðûå âîçíèêàþò âñëåä- ñòâèå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæ- äó ñîáîé è ñ èîííîé ïîäñèñòåìîé. Ýòè êîëåáàíèÿ íà- çûâàþòñÿ ïëàçìåííûìè êîëåáàíèÿìè. Òåîðèÿ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìàññèâíûõ ìåòàëëè÷åñêèõ îáðàçöàõ ïîñòðîåíà Áîìîì è Ïàéíñîì è ðàçâèòà â ðÿäå ïîñëåäóþùèõ ðàáîò [8]. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñäåëàíà ïîïûòêà, èñïîëüçóÿ «ïðèáëèæåíèå õàîòè÷åñêèõ ôàç», îáîáùèòü ðåçóëüòà- òû, ïîëó÷åííûå Áîìîì è Ïàéíñîì, íà ñëó÷àé ìåòàëëè- ÷åñêèõ ÷àñòèö ñôåðè÷åñêîé ôîðìû. 2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì a íàõîäèòñÿ â âàêóóìå, à ìåòàëë, èç êîòîðîãî ñäåëàí ýòîò © Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê, 2009 øàð, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Ñîãëàñíî ñîâðåìåííûì ïðåä- ñòàâëåíèÿì, ïðîñòîé ìåòàëë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòå- ìó, ñîñòîÿùóþ èç ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ èîíîâ è ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè; ýëåêòðîí-èîííîå âçàèìîäåé- ñòâèå â òàêèõ ìåòàëëàõ îïèñûâàåòñÿ ñëàáûì ëîêàëüíûì ïñåâäîïîòåíöèàëîì [9,10]. Ê ïðîñòûì ìåòàëëàì ñ äîñ- òàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòüþ ìîæíî îòíåñòè ùåëî÷íûå, ïîëèâàëåíòíûå è áëàãîðîäíûå ìåòàëëû. Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ ïðîñòûõ ìå- òàëëîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìîäåëüþ, â êîòîðîé ïå- ðèîäè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûé çàðÿä èîíîâ çàìåíåí ðàâ- íîìåðíî ðàçìàçàííûì ïî âñåìó îáúåìó ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà ïîëîæèòåëüíûì êîìïåíñèðóþùèì çàðÿäîì. Â òà- êîé ìîäåëè âàëåíòíûå ýëåêòðîíû âåäóò ñåáÿ ïî÷òè êàê ñâîáîäíûå, ò.å. ïåðèîäè÷åñêèé ïîòåíöèàë ìîæíî ðàñ- ñìàòðèâàòü êàê ìàëîå âîçìóùåíèå. Â ïðåäåëàõ ðàññìàò- ðèâàåìîé ìîäåëè ãàìèëüòîíèàí âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ ïðîñòûõ ìåòàëëîâ �H e èìååò âèä: �H m We i i Ne � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 � . (1) Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîð êèíå- òè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîííîãî ãàçà, à âåëè÷èíà W ÿâ- ëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåê- òðîíîâ ìåæäó ñîáîé è ñ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûì ôîíîì. Åñëè â âûðàæåíèè äëÿW ïåðåéòè ê ôóðüå-ïðåä- ñòàâëåíèþ, òî ýòà âåëè÷èíà ïðèíèìàåò âèä: � � � � W e e n d r E j jj j j j e jj Ne � � � � �� 1 2 2 2 3 1 r r r r r, ( ) ( ) � � �e f k d k 2 2 2 3 4� ( )k , (2) ãäå f N n ne e e( ) [� ( ) �( ) ] [~ ( )( � ( ) �( )) ~ (k k k k k k k� � � � � � � � 2 )] � � [~ ( ) ~ ( ) ~ ( )]n n ne e ek k k . (3) Â âûðàæåíèÿõ (1)–(3) âåëè÷èíû r j è m ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàäèóñ-âåêòîðû è ìàññû ýëåêòðîíîâ ïðîâîäè- ìîñòè ñîîòâåòñòâåííî, à âåëè÷èíà N n Ve e� ðàâíà ÷èñëó ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, íàõîäÿùèõñÿ â ìå- òàëëè÷åñêîì øàðå îáúåìîì V . Êðîìå òîãî, â ôîðìó- ëàõ (2) è (3) ó÷òåíî, ÷òî: n n a r n i d ke e e( ) ( ) ( ) ~ ( ) exp( )r k kr� � � �� 1 2 3 3 ; �( ) ( ) ( ) �( ) exp( )� � � �r r r k kr� � � � �j j Ne i d k 1 3 31 2 ; 1 4 2 3 2 3 r i k d k� �� ( ) exp( )kr ; �( )a r� � 1 0 ; ð ( ); ; ð ( ). ï è ï è r a r a � � � � � Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (3) îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé, âòîðîå — âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ñ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûì ôîíîì, à ïî- ñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëåêòðîñòàòè- ÷åñêóþ ýíåðãèþ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî ôîíà. Ò à ê ê à ê lim �( ) k k � � 0 � N e , lim ~ ( ) k k � � 0 n Ne e , ò î lim ( ) k k � � 0 0f , ò.å. â (2) èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Ïðè ïåðåõîäå ê îáúåìíîìó êðèñòàëëó (ò.å. ïðè a � � è ïåðåõîäå ê ïåðèîäè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëî- âèÿì) âåëè÷èíà ~ ( )n Ne ek k� � 0 è � � W e V f k e V N k k e � � � � 2 22 2 2 2 0 � � � �( ) � ( ) �( )k k k k � , ò.å. äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèW îáúåìíîãî êðèñòàë- ëà ïîëó÷àåì èçâåñòíîå âûðàæåíèå (ñì. [8]). Çíàÿ ãàìèëüòîíèàí �H e , èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà i / t He e e� ( ) �� ìîæíî íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ �e t( ), îïèñûâàþùóþ ïîâåäåíèå ýëåêòðîííîãî ãàçà. Òîãäà ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü �( , )r t ýëåêòðîíîâ â òî÷êå r è â ìîìåíò âðåìåíè t áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåì � �( , ) ( ) ( )r r rt te j j N e e � � � � � 1 . ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè �( , )r t , ïåðâî- íà÷àëüíî ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ åå ôóðüå-îáðàçà: ~ ( , ) ( , ) exp( )� �k r krt t i d r� �� 3 � �� ! "� �e et t( ) �( ) ( )� k , (4) ãäå � ( ) exp( )� k kr� � � i j j Ne 1 . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà �( )� k ìîæíî íàé- òè ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ ñîîòíîøåíèé: d dt i H He e 2 2 2 1�( ) ��( ) ( ) {[�( ); � ]; � } � � � k k k� � � � � � � � # $ % % & ' ( (� exp( ) ( )i m k m i k m j j j j kr k k � � � 2 2 2 2 2 4 24 � � 1 Ne � �� 4 8 2 3 2 3� � � e m q n d qe�( ) ( )~ ( )k q kq q � � ��4 8 2 3 2 3� � � � e m q d q�( ) ( ) �( )k q kq q . (5) Ââåäåì îïåðàòîð ôëóêòóàöèè ïëîòíîñòè ýëåêòðîí- íîãî ãàçà: �� ( ) � ( ) ~ ( )k k k� � ne . (6) Óðàâíåíèå äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäñòàâèâ (6) â (5): 492 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê ��( ) exp( ) ( )k kr k k� � � � i m k m i k m j j j � � � 2 2 2 2 2 2 2 4 24 � � # $ % % & ' ( ( � � j Ne 1 � � � ��4 8 2 3 2 3� � �� e m n q d qe ~ ( ) ( ) � ( )k q k q q 4 8 2 3 2 3� � �� e m q d q� ( ) ( ) � ( )k q k q q� � � . Ïðîèçâåäåì êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå óñðåäíåíèå ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé äàííîãî ðàâåíñòâà è ó÷òåì, ÷òî � �� ~( , ) �( ) ~( , ) ~ ( )k k k kt t ne e e� ! " � �� ; � �� ! " 2 2t t e e�� ~( , ) ��( )k k� � . Òîãäà � � � � � � � � 2 2 1 2 2 2 2 2 t t i m k e j j N j e ��~( , ) exp( ) ( )k kr k� � � � m i k m j e2 4 24 k � # $ % % & ' ( ( �� !� �4 8 2 3 2 3 2 � � �� e m n q t d q q e e ~ ( ) ( ) ~( , ) ( ) k q k q k k q � � �� ( ) �( )k q� � " � � � ) �) * + ) ,) q d qe� 3 . (7) Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ìîæíî çíà÷èòåëüíî óïðîñ- òèòü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ��( , )r t ìåä- ëåííî ìåíÿåòñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà ìåæàòîìíîãî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â (7) ñëåäóåò ó÷å ñòü , ÷òî : ( )k /kTF 2 2 1�� , ãä å k m / m v /TF F F 2 2 2 2 22� �- � � (-F — ýíåðãèÿ Ôåðìè, à vF — ñêîðîñòü ýëåêòðîíîâ íà ïîâåðõ- íîñòè Ôåðìè). Òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7) áóäåò ïîðÿäêà � 2 2 2 2 2 2k m k t k v tTF F�� ~( , ) ~( , )k k� � ; âòîðîå ñëàãàåìîå — ïîðÿäêà � 2 3 2 2 2k m k t k k k v tTF TF F�� ~( , ) ~( , )k k� ; à òðåòüå — ïîðÿäêà � 2 2 2 2 2 2 2 4 4 k m t k k k v t TF F�� ~( , ) ~( , )k k� . Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå ïðåä- ñòàâëÿþò ñîáîé ìàëóþ ïîïðàâêó ê ïåðâîìó, è èõ â ïåð- âîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7) ïîðÿäêà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé ��~ ( , )k t , Ïîëàãàÿ, ÷òî ôëóêòóàöèè ïëîòíîñòè ��( , )r t ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ne (ò.å. ��( , )r t /ne �� 1), îïðåäåëÿåì, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå áóäåò ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäïîñëåäíèì ñëàãàåìûì ïðàâîé ÷àñòè (7), è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè èì òàêæå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Äàííîå ïðèáëèæåíèå âïåðâûå áûëî ïðåäëîæåíî Áîìîì è Ïàéíñîì äëÿ îáúåìíîãî ìåòàëëà è ïîëó÷èëî íàçâàíèå «ïðèáëèæå- íèå õàîòè÷åñêèõ ôàç» (RPA) [8]. Èñõîäÿ èç ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè ïåðâîå ñëàãàå- ìîå ïðàâîé ÷àñòè (7) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå: � �e j j N j ei m e exp( ) ( )� � . � kr k 1 2 2 2� � . � � 2 3 2 2 1 2 2 2 k m i m e j j N j e e � �exp( )kr � � . Ñ ó÷åòîì âûøåñêàçàííîãî, óðàâíåíèå (7) çíà÷è- òåëüíî óïðîùàåòñÿ. Â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè ïåðåé- äåì ê r-ïðåäñòàâëåíèþ. Äëÿ ýòîãî åãî ëåâóþ è ïðàâóþ ñòîðîíû óìíîæèì íà ( ) exp( )2 3� � ikr è ïðîèíòåãðèðó- åì ïî k: � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 1 2 2 2 3 2t t m m e j j N j e �� ( , ) ( )r r r� � � � # $ % % & ' ( ( �e � � � � # $ % % & ' ( (� / � � ��p a r d r t 2 3 1 1 1 4 � �( ) ( , ) r r r . (8) Ñîãëàñíî ïðèáëèæåíèþ Òîìàñà–Ôåðìè, ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîííîãî ãàçà ðàâíà (ñì. [5]): � �e j j j N e m e � �( ) ( )r r� � � � � � � � � � . � � 2 2 1 2 2 2 3 5 3 � / / ( , )3 2 5 3 2 � m t� r � � � 3 5 3 2 2 2 3 2 5 3( ) [ ( ) ( , )]/ /� � �� m n a r te r = Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 493 � � # $ % & ' ( 3 5 3 2 1 5 3 2 2 3 2 5 3( ) ( ) ( , )/� � �� m n a r t n e e r . Îãðàíè÷èâøèñü â äàííîì âûðàæåíèè ïåðâûìè äâó- ìÿ ñëàãàåìûìè (ïðèáëèæåíèå RPA) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî �� - - ( ) ( ) lim ( )a r r a r r a r� � � � � � � � r r 0 , ãäå �( )a r� – �-ôóíêöèÿ Äèðàêà, óðàâíåíèå (8) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: � � � � # $% & '( � � 2 2 2 22 3t t m t t a rF p�� - �� / �� ( , ) ( , ) ( , ) (r r r� ) ( , )� # $% & '( � � � � 0 2 3 3 5m n t r F e F� - - �� r r � � 0 � � � � � �� - - �� / � ��( ) ( , ) (}a r m r t r d rF p2 3 4 2 3 1 1 r r r r r � � r1, ) ( )t a r # $ % % & ' ( ( � �� - , (9) çäåñü - � 0, à/ �p ee n /m� ( )4 2 — ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà ýëåêòðîííîãî ãàçà. Èç óðàâíåíèÿ (9) âèäíî, ÷òî åãî ðåøåíèå äîëæíî èìåòü âèä: �� ( , ) ( , ), ð ( ) ; ( , ), ð ( ) , r r r t t r a t r a � � � � � � 1 2 ï è ï è à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèþ (9) ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé: � � � 2 2 1 2 2 1 2 1 3t t v t tF p�� / ��( , ) ( , ) ( , )r r r� ïðè r a� ; (10) � � � � � # $% & '( 2 2 2 2 2 3 3 5t t m n t r aF e F�� - - �� -( , ) ( , ) (r r r � � � � � * + , �r � � � � � � � �� 2 3 4 2 2 3 1 1 1 1 - �� / � � ��F p m r t r d r a r r r r r r r� �( , ) ( ) (1 2, ) ( ) ( , ) ( )t r a t a r � � � ) �) * + ) ,) �� -2 2r ïðè r a� è - � 0 . (11) Óðàâíåíèå (10) îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè íàíî÷àñòèöû, à óðàâíåíèå (11) — ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ, âûøåäøèõ èç ÷àñòèöû è íàõîäÿùèõñÿ íà åãî âíåøíåé ïîâåðõíîñòè. Îïðåäå- ëèâ èç ýòèõ óðàâíåíèé ��( , )r t , ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëè÷åñêîé ñôåðå: � � �� ( , ) ( ) ( , ) ( , ), ð ( ) ; ( r r r r t n a r t n t r a e e� � � �1 2 ï è , ), ð ( ) .t r aï è � � � � (12) Ïîëàãàåì, ÷òî ïðè t � 0 ýëåêòðîííûé ãàç íàõîäèëñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Â ìîìåíò t � 0 ïðîèçîøëî ìãíîâåííîå, �-îáðàçíîå âîçìóùåíèå ñèñòåìû, íàïðè- ìåð, âîçíèê è ìãíîâåííî èñ÷åç èçáûòî÷íûé çàðÿä èëè âîçíèêëî è ìãíîâåííî èñ÷åçëî âíåøíåå ýëåêòðè÷åñ- êîå ïîëå [8]. Â ðåçóëüòàòå òàêîãî âîçìóùåíèÿ ýëåêò- ðîííàÿ ïëàçìà âûõîäèò èç ðàâíîâåñèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, â íåé îêîëî ðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîíîâ âîçíèêàþò êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðè- ÷åñêîãî çàðÿäà, ò.å. âîçíèêàþò ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ. Ïîýòîìó ê óðàâíåíèÿì (10) è (11) ñëåäóåò äîáàâèòü ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: 1) ôóíêöèÿ ��( , )r t íå äîëæíà çàâèñåòü îò âðåìåíè ïðè t 3 0 è äîëæíà áûòü ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé; 2) ôóíêöèÿ ��( , )r t � � ïðè t � � . Èñõîäÿ èç äàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ðåøåíèå óðàâíåíèé (10) è (11) ñëåäóåò èñêàòü â âèäå � ��1 1( , ) ( ) ( , )r rt n f r F te� ïðè r a� ; �� 4 � -2 2( , ) ( , ) ( ) ( ).r t t r a n f re� �� 5 ïðè r a� è -�� 0 (13) Ôóíêöèè F t( , )r è 4( , )5 t óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì: �F t t ( , )r 3 � 0 0; �4( , )5 t t3 � 0 0 . (14) Ôóíêöèè f r1( ) è f r2( ) ÿâëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåò- ðè÷íûìè, à âåëè÷èíà5 � ( , )� 6 îïðåäåëÿåò íàïðàâëÿþ- ùèå óãëû âåêòîðà r. Ê äàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì íåîáõîäèìî òàêæå äîáàâèòü ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: 494 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê �f r r1 0 ( ) � � � ; � �� 1 1 2 � � �f r f r r a r a ( ) ( ) , �F t r ( , )r � � � 0 , (15) �F t r a ( , )r � � 0 (16) è óñëîâèå ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè ñèñòåìû: �( , )r t d r� �3 �Ne . Òîãäà ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (10) è (11) ïðè t � 0 áóäåò èìåòü âèä (ñì. Ïðèëîæåíèå): f k a k r k r k a r TF TF TF TF 1 1 2 1 2 ( ) exp( ) exp( ( )) r � � � � � , ïðè r a� ; � �f k a k a k aTF TF TF2 1 2 1 2( ) exp( )r � � � � # $% & '( 0 0 � �exp( ( ))k r a k r TF TF ïðè r a� ; (17) F t A j k r Y tlm l nl nm l l l lm nl( , ) ( ) ( ) sin( )r � � � �� 11 5 / , (18) 4 /( , ) ( ) sin( )5 5t B a Y tlm lm l m l l l � �� 2 0 1 + � 0 � � �� A l l l lm p p nlnm l l l ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 11 / / / 0 �Y n r dr a j k r tlm e l l a l nl nl( ) ( ) sin( )5 1 2 1 2 0 1 / . (19) Çäåñü j Il n( ) ( )/7 � 8 7 7� 1 2 — ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ; Ylm( )5 — ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ; kTF � � �6 32 2 2� - /n e / /ve F p F — îáðàòíûé ðàäèóñ Òîìà- ñ à – Ô å ðì è ; X nl — êî ð í è ôó í ê ö è è j l ( )7 ; /nl � � / p nl TFX / k a1 2 2 2( ) — ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ïëàç- ìåííûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ âíóòðè ìåòàëëè÷åñêî- ãî øàðà; / /0 2 1l p l l� / ( ) — ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà; k X /anl nl� . Ïðîèçâîëüíûå ïî- ñòîÿííûå Alm è Blm îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé ïîñòàâ- ëåííîé çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, íåðàâíîâåñíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîí- íîãî ãàçà, ñîãëàñíî (12), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå � � �( , ) ( ) ( , )r rt r t� 0 1 , (20) ãäå �0 1 2 1 ( ) ( ( )) ð ( ), ( ) ð ( ); r n f r r a n f r r a e e � � � � � � ï è ï è � 4 � - -1( , ) ( , ) ð ( ); ( , ) ( ) ð ( ); r r t n F t r a t a r r a e� � �� ï è ï è5 �� 0, �0( )r ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëè÷åñêîì øàðå. Ãðàôèêè äàííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.1 äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû k aTF . Ýòè ãðàôèêè êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþò- ñÿ ñ ãðàôèêàìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì. [5]). Ôóíêöèÿ �1( , )r t îïèñûâàåò êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî ãàçà. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ F t( , )r îïèñûâàåò ñîáñòâåííûå ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùèå âíóòðè øàðà (îáúåìíûå ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ). Ôóíê- öèÿ4( , )5 t îïèñûâàåò ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ íà ïîâåðõ- íîñòè øàðà (ïîâåðõíîñòíûå ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè (19) äëÿ 4( , )5 t îïèñû- âàåò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ, à âòîðîå ñëàãàåìîå — âû- íóæäåííûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùèå íà ïîâåðõíîñòè øàðà ïîä äåéñòâèåì îáúåìíûõ ïëàçìîíîâ. ×àñòîòû ñîá- ñòâåííûõ ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé îïðå- äåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì / /0 2 1l p l/ l� ( ), ÷òî ñîãëàñó- åòñÿ ñ âûðàæåíèÿìè, ðàíåå ïîëó÷åííûìè â ðàáîòàõ [5,11]. Ïðè l �1èìååì äåëî ñ äèïîëüíûìè ïëàçìåííûìè êîëåáàíèÿìè. ×àñòîòà ýòèõ êîëåáàíèé ñîâïàäàåò ñ ÷àñ- òîòîé Mie:/ /01 3� p / . Åñëè ìåòàëëè÷åñêàÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â äèýëåêòðè- ÷åñêîé ñðåäå ñ ïðîíèöàåìîñòüþ - 0 1� , òî åå õàðàêòåð- íîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé îò äè- ýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû. Äå- éñòâèòåëüíî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ôîíà ñ ýëåêòðîíàìè, íàõîäÿùèìèñÿ âíóòðè øàðà, â - 0 ðàç áîëüøå, ÷åì òà æå ýíåðãèÿ äëÿ ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíå øàðà, òî óðàâíåíèå (11) ñëåäóåò îáîáùèòü è îíî ïðèíèìàåò âèä: Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 495 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8Í î ð ì è ð î â àí í î å ð àâ í î â å ñí î å ð àñ ï ð åä åë åí è å ýë åê òð î í î â , î òí . åä . U = 5 U = 20 U = 40 Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü �0( )k a /nTF e ðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëå- íèÿ ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëè÷åñêîé ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöå, íîð- ìèðîâàííîãî íà êîíöåíòðàöèþ íîñèòåëåé, îò «áåçðàçìåðíî- ãî ðàäèóñà» k rTF äëÿ ðàçíûõ âåëè÷èí k a UTF � , ãäå a — ðàäèóñ íàíî÷àñòèöû. � � � � # $% & '( � 2 2 2 2 2 3 3 5t t m n t r aF e F�� - - �� -( , ) ( , ) (r r r � r � � � * + , � � � � � � � ) �) � � �� 2 3 4 2 2 3 1 1 1 - �� / � � �F p m r t r d r a r r r r r r � �( , ) ( ) � � - �� -1 1 1 0 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )r rt r a t a r � � # $ % & ' ( * + ) ,) � . (21 ) Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìîíîâ èìååò âèä / / -0 0 2 1l p / /l l� ( )( ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç òåîðèè Mie (ñì. [7]), ðàññìàòðè- âàþùåé ñå÷åíèÿ ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ ïëîñêîé ýëåê- òðîìàãíèòíîé âîëíû ñôåðè÷åñêèìè ìåòàëëè÷åñêèìè ÷àñòèöàìè, ñëåäóåò, ÷òî ïèêè ïîãëîùåíèÿ ñâåòà îá- óñëîâëèâàþòñÿ âîçáóæäåíèåì ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìîí- íûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè / / -0 01 1l p / /l l� ( )( ). Íàêîíåö, åñëè Re( )- a 1 (- a— äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíè- öàåìîñòü ìåòàëëè÷åñêîé ÷àñòèöû), òî ýòî óðàâíåíèå îáîáùàåòñÿ è ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä (ñì. [7]):/0l � � / - -p a/ /l l( ) ( )0 1 , âåëè÷èíà - a ïîäáèðàåòñÿ èç ñðàâíåíèÿ òåîðèè ñ ýêñïåðèìåíòîì. 3. Âëèÿíèå ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö íà îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû Ðàññìîòðèì, êàêîå âëèÿíèå îêàçûâàþò íà îïòè÷åñ- êèå ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû ìåòàëëè÷åñêèå ñôåðè÷åñêèå ÷àñòèöû, íàõîäÿùèåñÿ â íåé. Ïðåäïîëî- æèì, ÷òî N s ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö ðàäèóñîì a ñëó- ÷àéíûì îáðàçîì ðàçìåùåíû â îáúåìå V , êîòîðûé çàïîëíåí äèýëåêòðèêîì ñ ïðîíèöàåìîñòüþ, ñîâïàäàþ- ùåé ñ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿí- íîé - 0 1� . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòèöû íå âçàèìîäåé- ñòâóþò ìåæäó ñîáîé, à ìåòàëë, íàõîäÿùèéñÿ â íèõ, ÿâ- ëÿåòñÿ ïðîñòûì. Òîãäà ýëåêòðîííûé ãàìèëüòîíèàí âñåõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â äèýëåêòðèêå, ìîæåò áûòü ïðåä- ñòàâëåí â âèäå: � � ( )H Hs e l l Ns � � r 1 , ãäå rl – ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà l-ãî ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà, à � ( )H e lr ÿâëÿåòñÿ ãà- ìèëüòîíèàíîì ýëåêòðîíîâ l-ãî øàðà. Ñëåäîâàòåëüíî, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ïîâåäåíèå ýëåêòðî- ííîé ïîäñèñòåìû âñåõ ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö, äîëæíà èìåòü âèä:� �s e l l NS � � 9 ( ) 1 , ãäå�e l( ) — âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ l-ãî øàðà è óäîâ- ëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ i t He l e l e l � � � � � � ( ) ( ) ( )� . Ïëîò- íîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà N s ìåòàëëè÷åñêèõ ñôåðè÷åñ- êèõ ÷àñòèö â òî÷êå r è â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì �s t( , )r � � � � �( , )r rl l N t s 1 , ãäå �( , )r r� l t — âêëàä â ïëîòíîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà Ns ìåòàëëè÷åñ- êèõ ÷àñòèö îò ÷àñòèöû, öåíòð êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òî÷- êå rl : �( , )r r� �l t � � � � � �e l l j j N e l e ( ) ( )( )� r r r 1 . Îòñþäà ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè �s t( , )r áóäåò ðàâåí: ~ ( , ) ( ) ( , ) exp( )� / � � /s sdt d r t i i tk r kr� � �� 1 2 4 3 � � � ~( , ) exp( )� /k kri l l Ns 1 , ãäå ~( , )� /k , ñîãëàñíî (38), (36) è (37), èìååò âèä ~( , ) ~ ( ) ( ) ~ ( , )� / � � / � /k k k� 0 1 . Çäåñü ~ ( ) ( ) ( ) exp( )� � �0 3 0 31 2 k kr� �� r i d r ; ~ ( , ) ( ) ( ) exp( )� / � 1 3 1 1 1 1 2 k ka� � � �� B Y i dlm lm m l l l 5 5 � � � � / / � / /( ) ( )0 0 2 l l i � � � ) �)� � 1 2 1 2 13 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )� / / / A n l l l r lm e p p nln l dr a j k r Y i d l a l nl lm m l l l 1 0 1 1 1 1 � � � � � �� ( ) ( ) exp( )5 5ka : � � �n r dr d i j k r Ye a l nl lm nl 1 2 1 0 1 1 1 15 5exp( ) ( ) ( ) ( ) kr � / / � �� / /( )nl i2 . 496 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê È ç ó ð à â í å í è ÿ í å ï ð å ð û â í î ñ ò è � �div j rs t( , ) � � �t ts� ( , )r , ãäå j rs t( , ) — ïëîòíîñòü òîêà ýëåêòðîíîâ âñåõ íàíî÷àñòèö, ñëåäóåò: k j k k� �~ ( , ) ~ ( , )s s/ /� / , (22) ãäå ~ ( , )j ks / — ôóðüå-îáðàç ïëîòíîñòè òîêà ~ ( , )j rs t . Òàê êàê/� /( ) ; 0, òî ðàâåíñòâî (22) ìîæåò áûòü ïåðåïèñà- íî â âèäå k j k k kr ~ ( , ) ~ ( , ) exp( )s l l N i s / /� /� � � 1 1 . (23) Â äàëüíåéøåì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé k a �� 1. Åñëè â ñîîòíîøåíèè (23) îãðàíè÷èòüñÿ ëèíåé- íûìè ïî k ÷ëåíàìè, òî ëåâóþ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò çàìåíèòü âûðàæåíèåì k j k k j� . �~ ( , ) ~ ( , )s s/ /0 . Â ïðàâîé ÷àñòè (23) ïîëàãàåì, ÷òî exp( )� . �i ikr kr1 11 è exp( )� . �i ika ka1 . Òàê êàê Y dlm( )5 51 1 0� �� ïðè l < 0, òî â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè â (23) ñëåäóåò ïî- ëîæèòü, ÷òî exp( )� . � i Nl s l Ns kr 1 . Ïðè ïîëó÷åíèè âûðà- æåíèÿ äëÿ �( , )r t ìû ïîëàãàëè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ìãíîâåííîå âîçìóùåíèå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàïðÿæåííîñòü âîçìóùàþùåãî ñèñòåìó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äîëæíà èìåòü ñëåäóþùóþ çàâè- ñèìîñòü îò t [12]: E E( ) ( )t t� 2 0� � . Ôóðüå-îáðàç ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâåí E E( )/ � 0. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâÿçüþ ìåæäó ïîòîêîì ýëåêòðîíîâ è âûñîêî÷àñòîòíîé ïðîâîäèìîñòüþ ñèñòåìû. Ýòà ñâÿçü ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä (ñì. [12]): � �e ss ~ ( , ) ( )j E0 0/ 4 / . Òîãäà ïðàâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (23) ìîæåò áûòü ïåðå- ïèñàíà â âèäå ek j k E� � � �~ ( , )0 0/ 4 . (24) Åñëè âåêòîð E0 íàïðàâèòü âäîëü îñè z, òî íàïðàâëå- íèå âåêòîðà k áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ óãëàìè � è 6 � 0. Ïóñòü íàïðàâëåíèå âåêòîðîâ r1 è a îïðåäåëÿåòñÿ óãëà- ìè 51 1 1� ( , )� 6 è � � � �51 1 1( , )� 6 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà k E� �0 0kE cos� è k r� � �1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 4 3 2 kr Y Y Y � � � cos ( ) sin ( ( ) ( )), , ,5 5 5 # $ % & ' ( , k a� � � � � �ka Y Y Y 4 3 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 � � � cos ( ) sin ( ( ) ( ), , ,5 5 5 ) . # $ % & ' ( (25) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ñîîòíîøåíèå (23) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè cos� è sin�, ïî- ëó÷àåì: A A B B1 1 1 1 1 1 1 1 0, , , , � � � � ; A E10 0� = ; B n a Ee10 3 0�> . (26) Íàêîíåö, åñëè ó÷åñòü, ÷òî k X /an n1 1� è /n1 2 � � /p n TFX / a k2 1 2 2 21( ( )), òî ðàâåíñòâî (24) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå: � � � �4 / / � � > � / / � / /( ) [ ( ) ( )� � � e N n a s e 16 4 33 4 01 01 � 0 � � = 3 2 3 1 2 1 4 2 2 1 2 1 X X k a X n n TF nn ( ) 0 � � � X dXj X X n 3 1 0 01 01 1 ( )( ( ) ( ))]� / / � / / . (27) Ñêàëÿðíàÿ ïðîäîëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàå- ìîñòü ñðåäû - / - / - /( ) ( ) ( )� � ��i ñâÿçàíà ñ ýëåêòðîïðî- âîäíîñòüþ 4 /( ) ñîîòíîøåíèÿìè [12]: � � �� - / - � - / ( ) ( ) 0 1 x dx x ; �� - / � / 4 /( ) ( ) 4 . (28) Ïîäñòàâëÿÿ (27) â (28), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå: � � � �� - / � � � > � / / � / /( ) ( ) ( ){ 4 16 4 3 4 3 01 01 e N n as e � � � �= � / 3 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 0 1 X X k a X X dXj Xn n TF nn X n ( ) ( )( ( / � / /01 01) ( ))}� , (29) � � � � � - / - � � > / / / ( ) 0 4 3 01 01 2 2 4 8 4 3 e N n a P s e Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 497 � � � � 4 16 4 3 3 2 3 4 3 1 2 1 4 2 2 1 2 1 2e N n a X X k a X X dX s e n n TF nn� � = ( ) j X P X n n 1 0 01 1 2 2 1 ( )� � / / / . (30) Ïàðàìåòðû = è >, âõîäÿùèå â äàííûå âûðàæåíèÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûì «ïðàâèëîì ñóìì» [12]: /- / �4 / / �� ( ) ( ) 0 0 2 2 4 2 d n e m , (31) ãäå n — ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè ìåòàëëè÷åñ- êèõ íàíîñôåð, íàõîäÿùèõñÿ â åäèíèöå îáúåìà ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ñðåäû. Åñëè â îáúåìå V íàõîäèòñÿ N síàíî÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò N e ýëåêò- ðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, òî ïîëíîå ÷èñëî ýòèõ ýëåêòðî- íîâ â îáúåìå Vðàâíî N N N N v ns e s e� � 0 , ãäå v0 — îáúåì îäíîé ñôåðû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî n N/V� � � �( )N v /V n C ns e e0 0 , ãäå C N v /Vs0 0� — äîëÿ îáúåìà, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà ìåòàëëè÷åñêèå ñôåðû. Â ýòîì ñëó- ÷àå ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (31) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ- ëåíà â âèäå � /C /p0 2 2. Âòîðîå óðàâíåíèå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü èñêîìûå ïàðàìåòðû> è =, ìîæíî çàïèñàòü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàì èçâåñòíà äèýëåêòðè÷åñ- êàÿ ïðîíèöàåìîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäû ïðè / � 0, ò.å. èçâåñòíà -( )0 . Ïîñêîëüêó �� - ( )0 0, òî: - - 4 / / /( ) ( ) .0 80 2 0 � � � � P d (32) Ïîäñòàâèâ â (31) è (32) âûðàæåíèå (27) äëÿ 4 /( ), íàõîäèì óðàâíåíèÿ äëÿ > è =, è ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíå- íèé èìåþò âèä: = / / ? ? - - - � � � �� C C p0 2 01 1 2 0 0 0 1 0 3�( ) ( ) ; > / / ? ? ? - - - ?� � � � � � �� C C p0 2 01 1 2 1 0 0 0 2 0 3�( ) ( ) , (33) ãäå � � � � � � � 4 16 4 3 3 2 3 4 3 1 1 2 1 4 2 2 1 2 1 e N n a X X k a X X s e n n TF nn � � ? ( ) 3 1 1 01 0 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 3 dX j X X X k a X n X n n TF nn n ( ) ( ) / / ? � � � � � � � ) ) ) ) ) � ) ) ) ) ) X dX j X n X n 3 1 01 1 0 1 ( ) . / / Âûðàæåíèÿ (29) è (30) ìîæíî çíà÷èòåëüíî óïðîñ- òèòü, åñëè ââåñòè âåëè÷èíó f C p ( ) ( ) / � /- / / � ��2 0 2 . (34) Âåëè÷èíà f d( )/ / íàçûâàåòñÿ ñèëîé îñöèëëÿòîðîâ â èíòåðâàëå ÷àñòîò d/ [12]. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèÿìè (29) äëÿ - /� �( ) è (33) äëÿ > è =, òî ñîîòíîøåíèå (34) ìîæíî ïåðåïè- ñàòü â âèäå � �f f n n n n ( ) ( ) ( )/ � / / � / /� � � � 1 1 0 , (35) ãäå f C 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 3 � � � � � � �� ? ? - - - ? ? ( ) ; f C X X k a n n n TF � � � �� 1 1 0 3 3 2 31 2 0 0 0 1 2 1 4 2 2? ? - - - ( ) ( X n1 2 ) 0 0 � / / n X X dX j X n 1 01 3 1 0 1 ( ) . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî f d f n n ( )/ / 0 0 1 � � � � � � . Âåëè÷èíà f 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèëó îñöèëëÿòîðà ïîâåðõíîñò- íûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé /01, à âåëè÷è- íû f n( )n < 1 — ñèëû îñöèëëÿòîðîâ ïëàçìåííûõ êîëå- áàíèé ñ ÷àñòîòàìè /n1. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (28) è (35), âåëè÷èíû �- /( ) è ��- /( ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå - / - / / / � � �� ( ) 0 0 2 1 2 2 0 C f p n nn , (36) �� - / � / / � / / � / /( ) ( ( ) ( )) 2 0 2 1 1 1 0 C f p n n n n n . (37) Ñîîòíîøåíèå (36) îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü - /� ( ) îò ÷àñòîòû ïàäàþùåãî ñâåòà, ò.å. îïðåäåëÿåò çàêîí äèñ- ïåðñèè ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñðåäó (äèýëåêòðèê ñ - 0 1� , â êîòîðîì ïîìåùåíû ìåòàëëè÷åñêèå øàðû). Âû- ðàæåíèå (37) äëÿ ��- /( ) îïðåäåëÿåò ïîãëîùåíèå ýëåê- òðîìàãíèòíûõ âîëí, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòó æå ñðåäó. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòû ïîãëîùàåìûõ âîëí ñîâïàäàþò ñ ÷àñòîòàìè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, 498 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê âîçíèêàþùèõ â ñôåðè÷åñêîé íàíî÷àñòèöå. Íàêîíåö, èç ñîîòíîøåíèé (36) è (37) ïðè = � 0 ñëåäóåò, ÷òî - / - / - /( ) ( ) ( )� � �� i � � � � # $ % & ' ( � � - / / / / = / / =0 0 2 10 1 12 1 1 C f i i p n nn n n . (38) Åñëè â ãàìèëüòîíèàíå �H (ñì. (1)) ó÷åñòü âçàèìîäåé- ñòâèå ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðå- øåòêîé, òî ýòî ïðèâîäèò ê çàòóõàíèþ ïëàçìåííûõ êîëå- áàíèé. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî âðåìÿ æèçíè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé/n1 ðàâíî @ n , ó÷åò ýòîãî âðåìåíè æèçíè â âûðàæåíèè (38) ìîæíî îñóùåñòâèòü ôîðìàëü- íîé çàìåíîé âåëè÷èíû = íà ( )1 0/ n@ � [13, 14]: - / - / - /( ) ( ) ( )� � �� i � � � � � � � # $ % % % % & ' ( ( ( - / / / / @ / / @ 0 0 2 1 1 1 2 1 1 C f i i p n n n n n n ( � � n 0 , (39) ãäå � � � �/ / @n n n1 1 1. Òîãäà âåëè÷èíû �- /( ) è ��- /( ) áó- äóò èìåòü âèä: � � � � � � � � � � � - / - / / / / / / @ / ( ) ( ) 0 0 2 10 1 1 2 2 2 1 C f p n nn n n n n1 1 2 2 1 � � # $ % % % % & ' ( ( ( ( / / / @ ( )n n ; �� - / / / @ / / @ / / ( ) ( ) ( C f p n n nn n n n 0 2 10 1 2 2 1 2 1 1 1 ) 2 2 1 � # $ % % % % & ' ( ( ( (@ n . Â äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âðåìÿ æèçíè âñåõ îáúåìíûõ ïëàçìîíîâ îäèíàêîâî è ðàâíî @1, âðåìÿ æèçíè ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìîíîâ òàêæå ðàâíî @ 0. Òîãäà, ÷òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå (39), íåîáõîäèìî îáîáùèòü óðàâ- íåíèÿ (10) è (21), à èìåííî ïðè r a� âìåñòî (10) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå: � � � � � � � 2 2 1 1 1 2 2 1 22 3t t t t v tF p�� @ �� / �( , ) ( , ) ( , )r r r� �1( , ).r t Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä: ��1 1( , ) ( ( ) ( , ))r rt n f r F te� , ãäå f r1( ) ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì (17), à F t( , )r ðàâíî F t A j k r Y tlm l nl lm nm l l l nl( , ) ( ) ( ) sin(r � � � � �� 5 11 / ) exp � � � �� t @1 , ãäå � � �/ / @ nl nl 2 1 2 1 . Ïðè r a� è - � 0 âìåñòî óðàâíåíèÿ (21) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå � � � � � � 2 2 2 0 2 2 2 2 3 3 5t t t t m n tF e F�� @ �� - - ��( , ) ( , ) ( ,r r r� ) ( # $% & '( � � � � * + , � r r a r� - � � � � � � �� 2 3 4 2 2 3 1 1 1 1 1 - �� / � � ��F p m r t r d r a r r r r r r r( , ) ( ) ( ,� t r a t a r) ( ) ( , ) ( ) �# $ % & ' ( � � ) �) * + ) ,) � � - �� -1 0 2 2r . Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä �� 4 � -2 2( , ) ( , ) ( ) ( )r t t a r n f re� � � 5 , ãäå f r2( ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæå- íèåì (17), à 4( , )5 t îïðåäåëÿåòñÿ òàê: 4 / @ ( , ) ( ) sin( ) exp5 5t B a Y t tlm lm l m l l � � � � � �� 2 0 0l� � 1 � �� A l l l Ylm p p nl lm nm l l l ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 / / / 5 1 1 2 1 2 0 1 1 � � � � � � ��n r dr a j k r t t e l l a l nl nl( ) sin( ) exp/ @ � � �� , Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 499 ãäå � � �/ / @ 0 0 2 0 2 1 l l . Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé äîñòà- òî÷íî âåëèêà (ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîíâîëüò), òî èõ âçàèìîäåéñòâèåì ñ ôîíîíàìè è äåôåêòàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ýíåðãèÿ ìåæçîííûõ ïåðåõîäîâ òàêæå âå- ëèêà — ïîðÿäêà ýíåðãèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé. Ïîýòîìó çàòóõàíèå îáúåìíûõ ïëàçìîíîâ â ñëó÷àå ìà- ëåíüêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ñôåð, òàê æå, êàê è äëÿ áåñêî- íå÷íîãî êðèñòàëëà, â îñíîâíîì áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ìåæçîííûìè ïåðåõîäàìè [8]. Âðåìÿ ðåëàêñàöèè @ 0 ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìîíîâ òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåõîäàìè ìåæäó ýíåðãåòè÷åñêè- ìè óðîâíÿìè ïîâåðõíîñòíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ (óðîâíÿìè Òàììà). Îäíàêî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âçàè- ìîäåéñòâèå ïîâåðõíîñòíûõ ïëàçìîíîâ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ìîæåò äàâàòü áîëüøîé âêëàä â èõ çàòóõàíèå. Çàêëþ÷åíèå Â «ïðèáëèæåíèè õàîòè÷åñêèõ ôàç» ïîëó÷åíû óðàâ- íåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ïëàçìåííûõ êîëåáà- íèé âíóòðè è íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö ñôåðè÷åñêîé ôîðìû. Â äàëüíåéøåì ýòè óðàâíåíèÿ áûëè îáîáùåíû íà ñëó÷àé íàëè÷èÿ çàòóõàíèÿ ïëàç- ìåííûõ êîëåáàíèé. Íàéäåíû ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíå- íèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ñîáñòâåííûå ïëàçìåííûå êîëåáà- íèÿ, âîçíèêàþùèå êàê âíóòðè, òàê è íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà, èìåþò ìóëüòèïîëüíûé õàðàê- òåð. Íàéäåíû èõ ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùèå âíóòðè ìå- òàëëè÷åñêîãî øàðà, ìîãóò âûçâàòü íà åãî ïîâåðõíîñòè âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Íàêîíåö, áûëî ïîêàçàíî, êà- êîå âëèÿíèå îêàçûâàþò ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ íà îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû, â êîòî- ðóþ ïîìåùåíû ìåòàëëè÷åñêèå ÷àñòèöû, ÷üè ðàçìåðû ìåíüøå äëèíû âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ìèíèñòåðñòâà íàóêè Ðåñïóáëèêè Ïîëüøà (Ïðîåêò N202-260734). Ïðèëîæåíèå Ïåðâîíà÷àëüíî íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10), ò.å. ðàññìîòðèì ñëó÷àé r a� . Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå ��1 1( , ) [ ( ) ( , )]r rt n f r F te� . (Ï.1) Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå âûðàæåíèå â (10), íàõîäèì óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé f r1( ) è F t( , )r : � 2 1 2 1 0f r k f rTF( ) ( )� � ; (Ï.2) � � � � 2 2 2 2 2 3 F t t v F t F tF p ( , ) ( , ) ( , ) r r r� / . (Ï.3) Ñîãëàñíî ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ �f r r1 0 ( ) � � �, ðåøå- íèå óðàâíåíèÿ (Ï.2) èìååò âèä: f r k r k r k r k a TF TF TF TF 1( ) (exp( ) exp( ) exp( ) � � �? � , (Ï.4) ãäå ? – ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òàê êàê �F t t ( , )r � � 0 0, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (Ï.3) èùåì â âèäå F t F t( , ) ( ) sin( )r r� / / , ïðè÷åì ôóíêöèÿ F/( )r óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ � 2 2 0F k F/ /( ) ( )r r � , ãäå k v p F 2 2 2 2 3 � �( )/ / (Ï.5) Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî �F r/( )r � � � 0 , ðàâíî (ñì. [14]) F A j kr Yl lm/( ) ( ) ( )r � � 5 , ãä å : A — ï ð î è ç â î ë ü í à ÿ ï î ñ ò î ÿ í í à ÿ ; j l ( )7 � � � 8 7 72 1 2I n / ( ) — ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ; I n ( )7 — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ I ðîäà. Òàê êàê �F t r a ( , )r � � 0, òî ñëåäóåò ïîòðåáîâàòü, ÷òî- áû j kal ( ) � 0. Åñëè îáîçíà÷èòü êîðíè ôóíêöèè Áåññå- ëÿ j kal ( ) ÷åðåç X nl (n �1 2 3, , , ... îçíà÷àåò íîìåð êîðíÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ åãî âåëè÷èíû), òî ïîëó÷èì äèñ- êðåòíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû k: k X a nl nl� . Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå çíà÷åíèÿ äëÿ k nl â (Ï.5), íàõî- äèì ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé ýëåêòðîííîãî ãàçà âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîé íàíîñôåðû: / /nl p nl TF X k a 2 2 2 2 2 1� � � � � � � � � . Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (Ï.3), óäîâëåò- âîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (14) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (15) è (16), èìååò âèä: F t A j k r Y tlm l nl lm nm l l l nl( , ) ( ) ( ) sin( )r � � � �� 5 10 / . (Ï.6) Èç óñëîâèÿ ýëåêòðîíåéòðàëüíî ñòè ñèñòåìû � � 8 A( , )r t d r a nl� �3 34 ñëåäóåò, ÷òî �� 1 3 0 2 0( , ) ( , )r rt d r t a a � � � � . (Ï.7) Åñëè âìåñòî ��1( , )r t ïîäñòàâèòü âûðàæåíèå (Ï.1) è ó÷åñòü (ñì. (13)), ÷òî 500 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê �� 4 � - -2 2 0( , ) ( , ) ( ) ( );r t t a r n f re� � � ��5 , (Ï.8) òî ëåãêî óâèäåòü, ÷òî (Ï.7) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì ðàâåíñòâàì: F t d r a ( , )r 3 0 0� � ; f r r dr f r r dr a a 1 2 0 2 2( ) ( )� �� ; 4( , )5 5t d �� 0 . (Ï.9) Åñëè â ïåðâîì èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëîæèòü, ÷òî f r k r k r aTF TF2( ) [ exp( ( ))]� �> 8 , è ê íåìó äîáàâèòü óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòè ýëåêò- ðîííîãî ãàçà íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëè÷åñêîé ñôåðû: 1 1 2 �f a f a( ) ( ), òî ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ, èç êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ? è> (ñì. (34)). Åñëè âî âòîðîé èíòåãðàë èç (Ï.9) ïîäñòàâèòü âûðà- æåíèå (Ï.6) äëÿ F t( , )r è ó÷åñòü, ÷òî Y dlm( )5 5� � � 4 0�� l om, ãäå � ll� — ñèìâîë Êðîíåêåðà, òî ýòî ðà- âåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïðè A00 0; . Òàêèì îáðàçîì, íå- ðàâíîâåñíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîé íàíîñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì: � �� 1 1( , ) ( ) ( , )r t a r n r te� � � � � � � � � n a r k a k r k r k a r Ae TF TF TF TF �( ) exp( ) exp( ( )) 1 1 2 1 2 lm l ml lm nl nm l l l j k r Y t( ) ( ) sin( )5 / � � �� # $ % % & ' ( (11 . Íàéäåì òåïåðü óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè 4( , )5 t . Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèè (11) âìåñòî ôóíêöèé ��1( , )r t è ��2( , )r t ïîäñòàâèì èõ âûðàæåíèÿ èç (Ï.1) è (Ï.8) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî �6 6( ) ( )r r r r� � � r . Çàòåì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî óðàâ- íåíèÿ óìíîæàåì íà r 2è èíòåãðèðóåì ïî r â ïðåäåëàõ îò 0 äî�, à çàòåì ïàðàìåòðû - è �- óñòðåìèì ê 0, ïîëàãàÿ - -� �. Òîãäà � � � � � � � � � a a r ar a a r P l l l l 1 22 1 2 1 1 1 0cos (cos ) = = la r P l l l l � � � 1 1 1 0 (cos )= , ãäå = – óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è r1, è � � � � � � � a a r ar l r a P l l l l 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0cos ( ) (cos ) = = . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ â (Ï.1), íàõîäèì, ÷òî � � � � �� 2 2 0 2 1 1 1 t t Y d t Yl lm m l l l lm4 / 4( , ) ( ) ( , )5 5 5 5 * ( )51 � � �� / p e lm nm l l l lm l l n A l l Y r dr a 2 11 1 2 11 2 1 ( )5 2 0 1 a l nl nlj k r t� ( ) sin( )/ , (Ï.10) ãäå / /0 2 2 2 1l p l/ l� ( ). Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå: 4( , ) ( ) ( )5 5t q t Ylm lm m l l l � �� 1 . Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå âûðàæåíèå â (Ï.10) è ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: q tlm( ) � � ïðè t � �, è qlm( )0 0� , íàõîäèì: q t00 0( ) ; ; q t B a t A n l l l lm lm l lm e p p nl ( ) sin( ) ( ) ( ) � � � 2 0 2 2 1 2 1 / / / /n� � 0 1 0 � r dr a j k r t l l l nl a nl 1 2 1 2 1 0 ( ) sin( )/ . Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ4( , )5 t èìååò âèä: Ê òåîðèè ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèöàõ Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 501 4 /( , ) ( ) sin( )5 5t B a Y tlm lm l m l l l � � �� 2 0 1 � � 0 � � �� A n l l l lm e p p nlnm l l l ( ) ( ) 1 2 1 2 2 11 / / / .0 �Y r dr a j k r tlm l l l nl a nl( ) ( ) sin( )5 1 2 1 2 1 0 / . 1. D.M. Schaadt, B. Feng, and E.T. Yu, Appl. Phys. Lett. 86, 063106 (2005). 2. S. Pillai, K.B. Catchpole, T. Trupke, G. Zhang, J, Zhao, and M.A. Green, Appl. Phys. Let. 88, 161102 (2006). 3. S.A. Maier and H.A. Atwater, J. Appl. Phys. 98, 011101 (2005). 4. C. Burda, X. Chen, R. Narayanan, and M.A. El-Sayed, Chem. Rev. 105, 1025 (2005). 5. M. Brack, Rev. Mod. Phys. 65, 677 (1993). 6, N.I. Grigorchuk and P.M. Tomchuk, Ukr. J. Phys. 51, 921 (2006). 7. Þ.È. Ïåòðîâ, Ôèçèêà ìàëûõ ÷àñòèö, Íàóêà, Ìîñêâà (1984). 8. Ä. Ïàéíñ, Ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ â òâåðäûõ òå- ëàõ, Ìèð, Ìîñêâà (1965). 9. W.A. Harrison, Pseudopotentials in the Theory of Metals, Benjamin, New York (1966). 10. N.P. Kovalenko, Y.P. Krasny, and U. Krey, Physics of Amorphous Metals, Wiley-VCH, Berlin (2001). 11. M. Brack, Phys. Rev. B39, 3533 (1989). 12. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîø- íûõ ñðåä, Íàóêà, Ìîñêâà (1982). 13. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Íà- óêà, Ìîñêâà (1989). 14. À.Ñ. Äàâûäîâ, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Ôèçìàòãèç, Ìîñ- êâà (1963). On plasmon oscillations in metal nanoparticles L. Jacak, Y.P. Krasny, and A.O. Chepok The random phase approach is used to derive equations describing the behavior of plasmon oscil- lations that arise both within metal spherical na- noparticles and on their surfaces. The proper fre- quencies of all originated plasmon oscillations at the surface and in the bulk are defined. It is demon- strated that the volume plasmon oscillations within metal nanospheres can induce forced plasmon os- cillations at thesurface nane particles. It is found that the plasmon oscillations exert the influence on the optical properties of the dielectrical medium containing the metal nanospheres. PACS: 78.67.Bf Nanocrystals and nanoparticles; 73.20.Mf Collective excitations (includ- ing excitons, polarons, plasmons and other charge-density excitations); 71.10.Ca Electron gas, Fermi gas; 77.22.Ch Permittivity (dielectric func- tion). Keywords: plasmons, metal nanoparticles, dielec- tric function. 502 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 5 Ë. ßöàê, Þ.Ï. Êðàñíûé, À.Î. ×åïîê << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveEPSInfo true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown /Description << /FRA <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> /ENU (Use these settings to create PDF documents with higher image resolution for improved printing quality. The PDF documents can be opened with Acrobat and Reader 5.0 and later.) /JPN <FEFF3053306e8a2d5b9a306f30019ad889e350cf5ea6753b50cf3092542b308000200050004400460020658766f830924f5c62103059308b3068304d306b4f7f75283057307e30593002537052376642306e753b8cea3092670059279650306b4fdd306430533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103057305f00200050004400460020658766f8306f0020004100630072006f0062006100740020304a30883073002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d30678868793a3067304d307e30593002> /DEU <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> /PTB <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> /DAN <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> /NLD <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> /ESP <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> /SUO <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> /ITA <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> /NOR <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> /SVE <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> >> >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

К теории плазменных колебаний в металлических наночастицах

Institution

Ähnliche Einträge