Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах
В модели эффективных масс и симметричных прямоугольных потенциальных барьеров для электрона в плоской трехбарьерной структуре развита теория эволюции и коллапса пар резонансов из-за изменения мощности (толщины) внутреннего барьера. Аналитический и численный расчеты спектральных параметров (резонансн...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2009
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117259 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах / Н.В. Ткач, Ю.А. Сети // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 710-720. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-117259 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1172592017-05-22T03:03:12Z Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах Ткач, Н.В. Сети, Ю.А. Электронные свойства проводящих систем В модели эффективных масс и симметричных прямоугольных потенциальных барьеров для электрона в плоской трехбарьерной структуре развита теория эволюции и коллапса пар резонансов из-за изменения мощности (толщины) внутреннего барьера. Аналитический и численный расчеты спектральных параметров (резонансных энергий и ширин) выполняются методом коэффициента прозрачности и функции распределения вероятности с использованием трансфер-матрицы и S-матрицы рассеяния. Показано, что в симметричной трехбарьерной структуре коллапс резонансных энергий и ширин всех квазистационарных состояний происходит практически при одинаковых значениях толщин внутренних барьеров, несколько превышающих суммарную толщину внешних. Установлено, что по отношению к модели прямоугольных барьеров δ-модель завышает значения резонансных энергий на десятки процентов, а резонансные ширины почти в два раза. У моделі ефективних мас і симетричних прямокутних потенційних бар’єрів для електрона в плоскій трибар’єрній структурі розвинено теорію еволюції та колапсу пар резонансів через зміну потужності (товщини) внутрішнього бар’єра. Аналітичний та чисельний розрахунки спектральних параметрів (резонансних енергій та ширин) виконуються методом коефіцієнта прозорості та функції розподілу ймовірності з використанням трансфер-матриці та S-матриці розсіювання. Показано, що в симетричній трибар’єрній структурі колапс резонансних енергій та ширин всіх квазістаціонарних станів відбувається практично при однакових значеннях товщин внутрішніх бар’єрів, що трохи перевищують сумарну товщину зовнішніх. Встановлено, що по відношенню до моделі прямокутних бар’єрів δ-модель завищує значення резонансних енергій на десятки відсотків, а резонансні ширини майже у два рази. A theory of evolution and collapse of resonance pairs due to variations in inner barrier strength (thickness) is developed by using the model of effective masses and symmetric rectangular potential barriers for an electron in the plane three-barrier structure. The analytical and numerical calculations of spectral parameters (resonance energy and width) are performed with the use of transparent coefficient and probability distribution function within the transfer matrix and scattering S-matrix. It is shown that the collapse of resonance energies and widths of all quasi-stationary states in the symmetric three-barrier structure happens almost at the same values of inner barrier width, which are somewhat larger than the sum of outer thicknesses. It is found that the δ-model as compared to the rectangular barrier one, gives much higher values of resonance energies (by the order of percents) and resonance widths (almost twice). 2009 Article Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах / Н.В. Ткач, Ю.А. Сети // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 710-720. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.21.Fg, 73.90.+f http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117259 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем |
| spellingShingle |
Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем Ткач, Н.В. Сети, Ю.А. Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах Физика низких температур |
| description |
В модели эффективных масс и симметричных прямоугольных потенциальных барьеров для электрона в плоской трехбарьерной структуре развита теория эволюции и коллапса пар резонансов из-за изменения мощности (толщины) внутреннего барьера. Аналитический и численный расчеты спектральных параметров (резонансных энергий и ширин) выполняются методом коэффициента прозрачности и функции распределения вероятности с использованием трансфер-матрицы и S-матрицы рассеяния. Показано, что в симметричной трехбарьерной структуре коллапс резонансных энергий и ширин всех квазистационарных состояний происходит практически при одинаковых значениях толщин внутренних барьеров, несколько превышающих суммарную толщину внешних. Установлено, что по отношению к модели прямоугольных барьеров δ-модель завышает значения резонансных энергий на десятки процентов, а резонансные ширины почти в два раза. |
| format |
Article |
| author |
Ткач, Н.В. Сети, Ю.А. |
| author_facet |
Ткач, Н.В. Сети, Ю.А. |
| author_sort |
Ткач, Н.В. |
| title |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| title_short |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| title_full |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| title_fullStr |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| title_full_unstemmed |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| title_sort |
эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Электронные свойства проводящих систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117259 |
| citation_txt |
Эволюция и коллапс квазистационарных состояний электрона в плоских симметричных трехбарьерных резонансно-туннельных структурах / Н.В. Ткач, Ю.А. Сети // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 710-720. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT tkačnv évolûciâikollapskvazistacionarnyhsostoânijélektronavploskihsimmetričnyhtrehbarʹernyhrezonansnotunnelʹnyhstrukturah AT setiûa évolûciâikollapskvazistacionarnyhsostoânijélektronavploskihsimmetričnyhtrehbarʹernyhrezonansnotunnelʹnyhstrukturah |
| first_indexed |
2025-07-08T11:58:27Z |
| last_indexed |
2025-07-08T11:58:27Z |
| _version_ |
1837079890286870528 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7, ñ. 710–720
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé
ýëåêòðîíà â ïëîñêèõ ñèììåòðè÷íûõ òðåõáàðüåðíûõ
ðåçîíàíñíî-òóííåëüíûõ ñòðóêòóðàõ
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
×åðíîâèöêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Þ. Ôåäüêîâè÷à
óë. Êîöþáèíñêîãî, 2, ã. ×åðíîâöû, 58012, Óêðàèíà
E-mail: ktf@chnu.edu.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 11 ìàðòà 2009 ã.
 ìîäåëè ýôôåêòèâíûõ ìàññ è ñèììåòðè÷íûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ äëÿ ýëåê-
òðîíà â ïëîñêîé òðåõáàðüåðíîé ñòðóêòóðå ðàçâèòà òåîðèÿ ýâîëþöèè è êîëëàïñà ïàð ðåçîíàíñîâ èç-çà
èçìåíåíèÿ ìîùíîñòè (òîëùèíû) âíóòðåííåãî áàðüåðà. Àíàëèòè÷åñêèé è ÷èñëåííûé ðàñ÷åòû ñïåê-
òðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ (ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé è øèðèí) âûïîëíÿþòñÿ ìåòîäîì êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷-
íîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì òðàíñôåð-ìàòðèöû è S-ìàòðèöû ðàñ-
ñåÿíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñèììåòðè÷íîé òðåõáàðüåðíîé ñòðóêòóðå êîëëàïñ ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé è
øèðèí âñåõ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ïðîèñõîäèò ïðàêòè÷åñêè ïðè îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿõ òîë-
ùèí âíóòðåííèõ áàðüåðîâ, íåñêîëüêî ïðåâûøàþùèõ ñóììàðíóþ òîëùèíó âíåøíèõ. Óñòàíîâëåíî, ÷òî
ïî îòíîøåíèþ ê ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ �-ìîäåëü çàâûøàåò çíà÷åíèÿ ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé
íà äåñÿòêè ïðîöåíòîâ, à ðåçîíàíñíûå øèðèíû ïî÷òè â äâà ðàçà.
Ó ìîäåë³ åôåêòèâíèõ ìàñ ³ ñèìåòðè÷íèõ ïðÿìîêóòíèõ ïîòåíö³éíèõ áàð’ºð³â äëÿ åëåêòðîíà â ïëîñê³é
òðèáàð’ºðí³é ñòðóêòóð³ ðîçâèíåíî òåîð³þ åâîëþö³¿ òà êîëàïñó ïàð ðåçîíàíñ³â ÷åðåç çì³íó ïîòóæíîñò³
(òîâùèíè) âíóòð³øíüîãî áàð’ºðà. Àíàë³òè÷íèé òà ÷èñåëüíèé ðîçðàõóíêè ñïåêòðàëüíèõ ïàðàìåòð³â (ðå-
çîíàíñíèõ åíåðã³é òà øèðèí) âèêîíóþòüñÿ ìåòîäîì êîåô³ö³ºíòà ïðîçîðîñò³ òà ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó
éìîâ³ðíîñò³ ç âèêîðèñòàííÿì òðàíñôåð-ìàòðèö³ òà S-ìàòðèö³ ðîçñ³þâàííÿ. Ïîêàçàíî, ùî â ñèìåòðè÷í³é
òðèáàð’ºðí³é ñòðóêòóð³ êîëàïñ ðåçîíàíñíèõ åíåðã³é òà øèðèí âñ³õ êâàç³ñòàö³îíàðíèõ ñòàí³â â³äáó-
âàºòüñÿ ïðàêòè÷íî ïðè îäíàêîâèõ çíà÷åííÿõ òîâùèí âíóòð³øí³õ áàð’ºð³â, ùî òðîõè ïåðåâèùóþòü ñó-
ìàðíó òîâùèíó çîâí³øí³õ. Âñòàíîâëåíî, ùî ïî â³äíîøåííþ äî ìîäåë³ ïðÿìîêóòíèõ áàð’ºð³â �-ìîäåëü
çàâèùóº çíà÷åííÿ ðåçîíàíñíèõ åíåðã³é íà äåñÿòêè â³äñîòê³â, à ðåçîíàíñí³ øèðèíè ìàéæå ó äâà ðàçè.
PACS: 73.21.Fg Êâàíòîâûå ÿìû;
73.90.+f Äðóãèå òåìû â ýëåêòðîííîé ñòðóêòóðå è ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïîâåðõíîñòåé,
ïîâåðõíîñòåé ðàçäåëà, òîíêèõ ïëåíîê è íèçêîðàçìåðíûõ ñòðóêòóð.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîëëàïñ, ðåçîíàíñíî-òóííåëüíàÿ ñòðóêòóðà, ýëåêòðîí.
1. Ââåäåíèå
Îòêðûòûå íàíîñèñòåìû, êàê ðåçîíàíñíî-òóííåëüíûå
ñòðóêòóðû (ÐÒÑ) ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé è ôîðì (êâàíòî-
âûå ïëåíêè, ïðîâîëîêè è òî÷êè), èçó÷àþòñÿ î÷åíü àêòèâ-
íî [1–6]. Èíòåðåñ ê íèì óñèëèëñÿ ïîñëå òîãî, êàê â ðàáî-
òàõ Ôåèñòà è Êàïàññî ñ êîëëåãàìè [7,8] âïåðâûå áûëè
ïðîäåìîíñòðèðîâàíû êâàíòîâûå êîãåðåíòíûå ëàçåðû,
ðàáîòàþùèå íà äâóõ- è òðåõáàðüåðíûõ ÐÒÑ â òåðàãåðöå-
âîì äèàïàçîíå ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ. Óíèêàëüíûå
ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êâàíòîâûõ êàñêàäíûõ ëàçå-
ðîâ (ìàëûå òîêè âîçáóæäåíèÿ, áîëüøèå ìîùíîñòè,
ñòàáèëüíûå àêòóàëüíûå ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ) ñòèìóëèðî-
âàëè ýêñïåðèìåíòàëüíûå [9–13] è òåîðåòè÷åñêèå [4–18]
èññëåäîâàíèÿ ìíîãîñëîéíûõ ÐÒÑ.
Íåñìîòðÿ íà äîâîëüíî äëèòåëüíûé ïåðèîä ðàçâè-
òèÿ, òåîðèÿ êâàíòîâûõ êàñêàäíûõ ëàçåðîâ åùå äàëåêà
îò õîðîøåãî êîëè÷åñòâåííîãî ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåí-
òîì. Ïðè÷èíà íå òîëüêî â òîì, ÷òî â èñõîäíîé òåîðåòè-
÷åñêîé ìîäåëè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëîæíûå âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ äðóãèìè êâàçè÷àñòèöàìè è
ïîëÿìè, íî è â òîì, ÷òî â îòêðûòûõ íàíîñèñòåìàõ
© Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè, 2009
ýëåêòðîíû íàõîäÿòñÿ â êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíè-
ÿõ (ÊÑÑ), òåîðèÿ êîòîðûõ â íèçêîðàçìåðíûõ ñèñòåìàõ
ïðîäîëæàåò ðàçâèâàòüñÿ [19–23].
 îòëè÷èå îò òåîðèè ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö íà äîñòàòî÷-
íî ìîùíûõ ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðàõ òðåõìåðíûõ ñèñ-
òåì, ãäå ñïåêòðàëüíûå ïàðàìåòðû — ðåçîíàíñíûå
ýíåðãèè (ÐÝ) è øèðèíû (ÐØ) — õîðîøî îïðåäåëÿþòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî êîìïëåêñíûìè ïîëþñàìè S-ìàòðèöû,
â íàíî-ÐÒÑ ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû äëÿ êâàçè÷àñòèö
íå âñåãäà ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûìè è òîã-
äà âîçíèêàåò âîïðîñ: «Êàê àäåêâàòíî îïðåäåëèòü ñïåê-
òðàëüíûå ïàðàìåòðû ÊÑÑ, ïîñêîëüêó âåëè÷èíû
ìíèìûõ ÷àñòåé ïîëþñîâ S-ìàòðèöû ñòàíîâÿòñÿ ñðàâ-
íèìûìè ñ äåéñòâèòåëüíûìè, èç-çà ÷åãî îíè íåïîñðå-
äñòâåííî óæå íå îïðåäåëÿþò ÐÝ è ÐØ?»
Íà ïðèìåðå ÊÑÑ ýëåêòðîíà â îòêðûòîé ñôåðè÷åñ-
êîé êâàíòîâîé òî÷êå â ðàáîòå [24] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
â ñèñòåìå ñî ñëàáûìè ïîòåíöèàëüíûìè áàðüåðàìè
êîìïëåêñíûå ïîëþñà S-ìàòðèöû íåêîððåêòíî îïðåäå-
ëÿþò ÐÝ è ÐØ, òîãäà êàê ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âå-
ðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîíà âíóòðè êâàíòîâîé
òî÷êè àäåêâàòíî îïðåäåëÿåò ýòè ïàðàìåòðû íåçàâèñè-
ìî îò ìîùíîñòè ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà.
 ïðîöåññå ðàçâèòèÿ òåîðèè êâàíòîâûõ êàñêàäíûõ
ëàçåðîâ ïîÿâèëèñü çàäà÷è îïòèìèçàöèè èõ ôèçè÷åñ-
êèõ ïàðàìåòðîâ ïóòåì èçìåíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàç-
ìåðîâ ýëåìåíòîâ ÐÒÑ. Îêàçàëîñü, ÷òî èìåííî óâåëè-
÷åíèå ìîùíîñòè âíóòðåííåãî áàðüåðà òðåõáàðüåðíîé
ñèñòåìû (ÒÁÑ) âûçûâàåò òàêóþ ýâîëþöèÿ ÊÑÑ, ïðè
êîòîðîé ïàðû ñîñåäíèõ ðåçîíàíñîâ ñáëèæàþòñÿ ìåæ-
äó ñîáîé è êîëëàïñèðóþò.  ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàþò
èçâåñòíûå çàòðóäíåíèÿ â îïðåäåëåíèè ñïåêòðàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ ÊÑÑ.
×òîáû èçáåæàòü ãðîìîçäêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ âû-
êëàäîê, â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå òåîðåòè÷åñêèõ
ðàáîò èññëåäîâàíèÿ ÊÑÑ ýëåêòðîíîâ âûïîëíÿþòñÿ â
ìîäåëè �-îáðàçíûõ ïîòåíöèàëîâ ÐÒÑ, òàê êàê ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî ýòà ìîäåëü ñóùåñòâåííî íå âëèÿåò íà
òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ. Òàê íåäàâíî àâòîðàìè ðàáîòû
[22] â �-áàðüåðíîé ìîäåëè ìåòîäîì êîýôôèöèåíòà
ïðîçðà÷íîñòè D èçó÷àëñÿ êîëëàïñ ÐÝ ïàðû áëèçêèõ
ðåçîíàíñîâ â ÒÁÑ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ÐÝ, îïðåäåëÿå-
ìûå íåïîñðåäñòâåííî ïîëþñàìè S-ìàòðèöû ðàññåÿ-
íèÿ, íå îïèñûâàþò êîëëàïñ, à âûðàæåíèå äëÿ êîýôôè-
öèåíòà ïðîçðà÷íîñòè â ñàìîé òî÷êå êîëëàïñà èìååò
ñóùåñòâåííî íå áðåéò-âèãíåðîâñêèé âèä.
Ïîñêîëüêó íàíîïðèáîðû (ëàçåðû, ñåíñîðû è ò.ï.)
÷ðåçâû÷àéíî ÷óâñòâèòåëüíû ê ñïåêòðàëüíûì ïàðà-
ìåòðàì, à îñîáåííî ê ÐØ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â
ÐÒÑ, òî ÿñíî, ÷òî ýâîëþöèþ è êîëëàïñ ñïåêòðàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ íåîáõîäèìî äåòàëüíî èçó÷èòü â áîëåå ðåà-
ëèñòè÷åñêîé ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ ïîòåíöèàëüíûõ
áàðüåðîâ. Êðîìå òîãî ÷òî ýòà ìîäåëü íå ñîäåðæèò ìà-
òåìàòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé �-àïïðîêñèìàöèè, â îòëè-
÷èå îò �-áàðüåðíîé ìîäåëè, îíà ó÷èòûâàåò ñóùåñòâåí-
íóþ ðàçíèöó ýôôåêòèâíûõ ìàññ â ðàçíûõ ýëåìåíòàõ
íàíîñèñòåìû.
 ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå èññëåäîâàíû ýâîëþöèÿ è
êîëëàïñ ÐÝ è ÐØ ÊÑÑ ýëåêòðîíîâ â ÒÁÑ íå òîëüêî ìå-
òîäîì êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè D, íî è ìåòîäîì
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ
ýëåêòðîíà â ñèñòåìå W.
Ïîêàçàíî, ïðè êàêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ
ÒÁÑ êîìïëåêñíûå ïîëþñà S-ìàòðèöû è îáå ôóíêöèè
(D, W) ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâî îïðåäåëÿþò âåëè÷èíû
ÐÝ è ÐØ. Âûÿñíåíî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ è ïî÷åìó
ñïåêòðàëüíûå ïàðàìåòðû ðåçîíàíñîâ, îïðåäåëÿåìûå
ôóíêöèÿìè D è W, ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé, à íåïîñ-
ðåäñòâåííî êîìïëåêñíûå ïîëþñà S-ìàòðèöû âîîáùå íå
îïðåäåëÿþò ýòè ïàðàìåòðû. Ïîêàçàíî, ÷òî, ïîäîáíî
ôîðìóëå Áðåéòà–Âèãíåðà, äëÿ êàæäîé ïàðû ðåçîíàí-
ñîâ ñóùåñòâóåò ïðèáëèæåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè W En
s( ), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò èõ ñïåêòðàëü-
íûå ïàðàìåòðû ÷åðåç ïîëþñà S-ìàòðèöû ïðè ëþáûõ
ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ íàíîñèñòåìû.
2. S-ìàòðèöà, êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ è
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè
Ðàññìîòðåíà ïëîñêàÿ îòêðûòàÿ ÒÁÑ ñ ãåîìåòðè÷åñ-
êèìè ïàðàìåòðàìè, ïðèâåäåííûìè íà ðèñ. 1. Ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî âåëè÷èíû ïîñòîÿííûõ ðåøåòîê (a a0 1, ) ñîñòàâ-
ëÿþùèõ ñëîåâ íàíîñèñòåìû ðàçëè÷àþòñÿ ìàëî, äëÿ
ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé è øèðèí ÊÑÑ
ýëåêòðîíà â òàêîé ÐÒÑ áóäåì èñïîëüçîâàòü ìîäåëü ýô-
ôåêòèâíûõ ìàññ è ïðÿìîóãîëüíûõ ïîòåíöèàëîâ.
 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì ïîñðå-
äèíå íàíîñèñòåìû (ðèñ. 1) ýôôåêòèâíàÿ ìàññà è ïî-
òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà èìåþò âèä
m z
m
m
( )
,
,
�
�
�
�
0
1
U z
U z / z z z
/ z z z z
( )
, ,
, , .
�
� � � � � �
� � � � � � �
�
�
�
0 0 1
0 1
0 2
0 2
(1)
Ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ýëåêòðîíà â ÐÒÑ
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 711
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2
2
22
1 1
z m z z m z x y
U
( ) ( )
( )z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �( , , ) ( , , )x y z E x y z (2)
íàéäåíî â âèäå
� � � �( , , ) ( ) ( , ) ( ) exp( ( )),
|| ||x y z z x y
L
z i x yk x y� �
1
k n n
(3)
çäåñü k || — êâàçèèìïóëüñ ýëåêòðîíà, L — äëèíà îñíîâ-
íîé îáëàñòè â ïëîñêîñòè X0Y.
Äëÿ ôóíêöèè �( )z , ñ ó÷åòîì (2) è (3), ïîëó÷åíî
óðàâíåíèå
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1d
dz m z
d
dz
U z z E zk
( )
( ) ( ) ( )
||
� � , (4)
ãäå âåëè÷èíà
U z U z
k
m z
k||
( ) ( )
( )
||
�
�
�
2 2
2
� �
�
� � � � � � �
� �
�
�
2 2
0 1
2 2
0
2 1
2
2 0
0
k
m
/ z z z z
k
m
U z
||
||
, | | , ,
, | |
� �� � � �
�
�
�
/ z z z2 0 1,
(5)
èãðàåò ðîëü ýôôåêòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, çà-
âèñÿùåé îò k
||
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â S-ìàòðè÷íîì
âàðèàíòå, îïðåäåëÿþùåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ W,
è â âàðèàíòå, îïðåäåëÿþùåì êîýôôèöèåíò D, îòëè÷à-
åòñÿ òîëüêî âî âíåøíåé îáëàñòè ñèñòåìû (3), çàïèøåì
åå â òàêîì êîìïàêòíîì âèäå:
� S
D
k
z�
�
�
�
�
� �
�( )
�
�
� � �
�
�
� � ��
�
�
0 0 0
1 1 1
0 2( ) , | | ,
( )
z A B z /
z A B
z z
ik z
e e
e
� �
e
e e
�
� � � �
� � � �
�
� � �
ik z
z z
/ z z
z A B z z z
, | | ,
( ) , | |
�
2
0
2 2 2 0
� �
1
3
3
3 3
,
( )
( ),
�
S
D
ik z ik z
ik z
z
B S
A F
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
� �
�
e e
e e
ik z
z z
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
,
| | ,
1
(6)
ãäå
k
m E
k� � �
2 1
2
2
�
|| ,
� � �
�
�
� �
2 2
0
2 0
2 0 0
2
1 0
1
2 0
1
2m
U E k
m U m m
m
k
m
m
k
� �
( ) .|| ||
(7)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè âîëíîâûõ
ôóíêöèé è ïîòîêîâ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè íà ãðàíè-
öàõ ñëîåâ ñòðóêòóðû
� �i i i iz z( ) ( );� � �
1
1 1
0 1 2
1
1
m
d z
dz m
d z
dz
i
i
i
z z i
i
z zi i
� �( ) ( )
( , , )
�� �
�
��
� � � �
(8)
âìåñòå ñ óñëîâèåì íîðìèðîâêè (ïðè ôèêñèðîâàííîì
çíà÷åíèè k ||)
� �k k
z z dz k k�
��
�
� �� �� � � �* ( ) ( ) ( )� (9)
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû
A B Fi i
� � �, , 3 (i = 0, �1� �2� �3) è S-ìàòðèöó ðàññåÿíèÿ
÷åðåç òðàíñôåð-ìàòðèöó ñèñòåìû [25].
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ÒÁÑ òðàíñôåð-ìàòðèöà Ò
ïðåäñòàâëåíà ïðîèçâåäåíèåì
T
t t
t t
T T T T T T�
�
�
��
�
�
�� � � � �
�
11 12
21 22
01 12 23 1 01 12 2( ) 3 , (10)
ãäå
T
t t
t t
ii
ii ii
ii ii�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 11
1
12
1
21
1
22
1
( , , )i � 0 12 . (11)
Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ
T ii
�
1-ìàòðèö èìåþò âèä
712 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ è ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñõåìû ÒÁÑ.
t k t k t k� � � � � �� � � �11
01
12
01
21
01( , ) ( ( , )) ( , )*� � �
� � � �
�
�
��
�
�
��� �
�( ( , ))* /t k i
m k
m
22
01 0
1
1
2
1 2�
�
�e �
, (12)
t k t k t k� � � � � �� � � �11
12
12
12
21
12( , ) ( ( , )) ( , )*� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
� �( ( , ))*t k i
m
m k
ik b
22
12 1
0
1
2
1�
�
e , (13)
t k t k t k� � � � � �� � � �11
23
12
23
21
23( , ) ( ( , )) ( , )*� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
( ( , ))*t k i
m k
m
22
23 0
1
1
2
1 1�
�
�
e
. (14)
Ñîãëàñíî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ
[26], äëÿ êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè D ïîëó÷àåì âû-
ðàæåíèå
� � � � � �D k A A t( )�
� � �� �3
2
3
2
21
2
, (15)
ñîäåðæàùåå ëèøü îäèí ýëåìåíò T-ìàòðèöû, òîãäà êàê
äëÿ îïðåäåëåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âèäà S-ìàòðèöû èç
óñëîâèé (8) ïîëó÷àåòñÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, èìåþ-
ùåå äâà ðåøåíèÿ
S k
iZ k
iZ k
ik z( , )
( , )
( , )
( )
( )
( )
1 2 2
1 2
1 2
1
1
1
�
� �
�
�
�
�e , (16)
ñîäåðæàùèå äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè
Z k
t t t
ik z
( , )( )
Re( ) Im( ) Im
1 2
12 21 11
2
1
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
� �e
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
� �t t t t t
ik z
12
2
21 11
2
12 12
21Im( ) Im Re( )e � �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �Im t
ik z
11
2
2
1e
, (17)
êîòîðûå, ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), îïðåäåëÿþòñÿ âñåìè
÷åòûðüìÿ ýëåìåíòàìè òðàíñôåð-ìàòðèöû, çàâèñÿùè-
ìè, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, îò k� â ñèëó îäíîçíà÷íîé ñâÿçè
� è k� .
Èñõîäÿ èç ïðèíöèïîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè [26,27],
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà âíå ñèñòåìû ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè:
�3
� � ��
� �( ) ( )z B S
ik z ik z
e e , (18)
ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîýôôèöèåíòàìè B � è S-ìàòðè-
öåé ðàññåÿíèÿ
B B B� � ��
3
1
3
2( ) ( )
, S
B S B S
B
�
� �
�
3
1 1
3
2 2( ) ( ) ( ) ( )
.
(19)
Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû â âîëíîâûõ ôóíê-
öèÿõ (6) îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû èçâåñòíûìè ýëåìåí-
òàìè òðàíñôåð-ìàòðèöû (10).
Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî (7), E
k
m
E
k
m
�
�� � �
� �2 2
1
2 2
12 2
||
, òî
ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè k ||, îñóùåñòâèâ àíàëè-
òè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå S-ìàòðèöû â êîìïëåêñíóþ
ïëîñêîñòü êâàçèèìïóëüñîâ k k ik� � �� � � �� èëè ýíåðãèé
E E iE� � �� � � �� , äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÐÝ è ÐØ ÊÑÑ ýëåê-
òðîíà ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ
Re( ( ))S E�
� �1 0, Im( ( ))S E�
� �1 0 . (20)
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (6) ïîçâîëÿåò, ïðè çàäàííîì çíà-
÷åíèè k ||, âûïîëíèòü òî÷íûé àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè íà-
õîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â ÒÁÑ â çàâèñèìîñòè îò k� (èëè
æå îò ýíåðãèè)
� �W k
d
z dzk
d
d
( ) ( )
/
/
�
�
� �
��
1 2
2
2
�
1
1
1 1
1 2�d
dZ k /dk Z k /k
Z k
dZ( ( ) ) ( ( ) )
( ( ))
(( ) ( )
( )
(
� � � �
�
�
2 2
2 21
) ( )
( )
( ) ) ( ( ) )
( ( ))
k /dk Z k /k
Z k
� � � �
�
�
!
"
"
#
$
%
%
, ( )d z� 2 1 .
(21)
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ äîâîëüíî
ãðîìîçäêèõ àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé â ðåàëèñòè÷åñ-
êîé ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ ïîòåíöèàëîâ â áîëüøèí-
ñòâå òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîò [14–19] ýòè áàðüåðû àï-
ïðîêñèìèðóþòñÿ �-îáðàçíûìè òîé æå ìîùíîñòè.
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 713
 �-áàðüåðíîé ìîäåëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ýëåêòðîíà â ñèììåòðè÷íîé ÒÁÑ óïðîùàåòñÿ
U z U z z z z z( ) [ ( ) ( ( ) ( ))]�
�
0 1 0 0
� � � , (22)
âñëåäñòâèå ÷åãî óïðîùàåòñÿ è óðàâíåíèå äëÿ âîëíî-
âîé ôóíêöèè ��( )z
d
dz
k
m U
z z z z z
2
2
2 1 0
2 1 0 0
2
�
�
!
"
"
#
$
%�
�
( ( ) ( ( ) ( ))
� � �
%
�
� ���( )z 0, (23)
è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (& '
0)
� �
� �
� �
�
��
��
� � � �2 0 1 0
2 1
0
� �
� �
& &( ( )) ( ( ));
( ) (
z z
d z
dz
d
z z
z
dz
m U
z
d z
z z
)
( )
( ) ( );
( )
��
�
�
� �
� �
0
2 1 0
2 0
1 1
1
�
�
� �
�
�
� �
�
& &
dz
d z
dz
m U
z z��
�
� �
�
�
�
&
�
&
��
�1 1 0
2
2
0
( )
( )
�
. (24)
Çàìåòèì, ÷òî óæå èç óðàâíåíèé íåïðåðûâíîñòè äëÿ
ïîòîêîâ âåðîÿòíîñòåé íà ãðàíèöàõ ÐÒÑ âèäíî, ÷òî â
�-áàðüåðíîé ìîäåëè ïîëíîñòüþ òåðÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ î
ðàçíîñòè ýôôåêòèâíûõ ìàññ ýëåêòðîíà â ÿìàõ è áàðüå-
ðàõ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îêàçûâàåòñÿ ãëàâíîé ïðè÷èíîé
çíà÷èòåëüíîãî çàâûøåíèÿ âåëè÷èí ÐÝ è ÐØ.
Äàëüíåéøèé ðàñ÷åò ôóíêöèé S, D è W â �-áàðüåð-
íîé ìîäåëè âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê è â ìîäåëè ïðÿìî-
óãîëüíûõ ïîòåíöèàëîâ.
3. Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ
ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ñèììåòðè÷íûõ
òðåõáàðüåðíûõ ñèñòåìàõ
Ýâîëþöèþ ÊÑÑ è èõ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ
(ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé è øèðèí) â çàâèñèìîñòè îò ãåî-
ìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàíîñèñòåìû áóäåì èçó÷àòü
íà ïðèìåðå ÒÁÑ In Ga As In Al As0,53 0,47 0,52 0,48/ ñ ôèçè-
÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè: m me0 0 089� , , m me1 0 046� , ,
a0 = 5,867 �, a1 = 5,868 �, U 0 516� ìýÂ. Âûáîð íàíî-
ñèñòåìû îáóñëîâëåí òåì, ÷òî îíà èíòåíñèâíî èññëåäó-
åòñÿ òåîðåòè÷åñêè [14–18] è ýêñïåðèìåíòàëüíî
[10–13], à åå ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè. Äàëåå áóäåì èçó÷àòü
ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ, ïîëàãàÿ, ÷òî ïîòîê ïåðïåíäè-
êóëÿðåí ïëîñêîñòè ÐÒÑ, ò. å. k || � 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
k k� � , E E� � .
Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê àíàëèçó ýâîëþöèè ÊÑÑ, çà-
ìåòèì, ÷òî, êðîìå îïðåäåëåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàã-
ðàôå êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè D(E) è ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè W(E) ïî âñåìó èíòåðâàëó
ýíåðãèé, áûë âûïîëíåí òàêæå ðàñ÷åò ôóíêöèé ðàñïðåäå-
ëåíèÿ âåðîÿòíîñòè W En
s( ) n-ïàðû ðåçîíàíñîâ, îïðåäå-
ëåííûõ íîðìèðîâàííîé ñóììîé äâóõ ôóíêöèé Ëîðåíöà
W En
s( ) �
�
�
�
( n
n
s
n
s
n
s
no
s
no
s
no
s
/
E E /
/
E E
)
)
)
)
�
� �
2
2
2
2 2 2( ) ( ) ( ) ( /2 2)
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(25)
ãäå ðåçîíàíñíûå ýíåðãèè (En
s
� — íèæíÿÿ, Eno
s — âåðõ-
íÿÿ) è øèðèíû ()n
s
� — íèæíÿÿ, )no
s — âåðõíÿÿ) îïðå-
äåëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è ìíèìûìè ÷àñòÿìè n-ïà-
ðû êîìïëåêñíûõ ïîëþñîâ S-ìàòðèöû ðàññåÿíèÿ, à
êîýôôèöèåíòû ( n íàõîäÿòñÿ èç åñòåñòâåííîãî óñëî-
âèÿ íîðìèðîâêè, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â ñëåäóþùåì. Ñî-
ãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ W(k),
èíòåãðàë îò íåå ïî êâàçèèìïóëüñó â èíòåðâàëå ìåæäó
äâóìÿ ìèíèìóìàìè, ñîäåðæàùåì N-ïèêîâ, äîëæåí
ðàâíÿòüñÿ ÷èñëó ÊÑÑ (N) â ýòîì èíòåðâàëå. Ñëåäîâà-
òåëüíî, è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ W En
s( ) n-ïàðû ðåçî-
íàíñîâ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó æå òðåáîâàíèþ
W E E K dKn
s
K
K
n
n
( )
min
max
� �� 0
2 2,
ãäå
E
md
0
2
22
�
�
, K
E E
En
n o
s
n
s
min
�
�1
02
� ,
K
E E
E
n
n
s
no
s
max �
1
02
� , K
1
0
min
� .
Îòêóäà
714 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
( n
n
s
n
s
n
s
no
s
no
s
/
E K E /
/
E K E
�
�
�
2
2
2
2
0
2 2 2
0
2
)
)
)�
� �( ) ( ) ( ) 2 2
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
"
#
$
%
%
%
�
�
( )
min
max
)no
s
K
K
/
dK
n
n
. (26)
Äàëåå áóäåò âèäíî, ÷òî äëÿ n-ïàðû ÊÑÑ â äâóõúÿì-
íîé ÐÒÑ ôóíêöèÿ W En
s( ) ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè
W(E) èãðàåò òó æå ðîëü, ÷òî è ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ
ôîðìóëîé Áðåéòà–Âèãíåðà, ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè
D(E) â îäíîÿìíîé ÐÒÑ.
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ôóíêöèé
W(E), W En
s( ) è D(E), âûïîëíåííûå â ìîäåëè ïðÿìî-
óãîëüíûõ áàðüåðîâ (ñïëîøíûå ëèíèè) è �-îáðàçíûõ
áàðüåðîâ (øòðèõîâûå ëèíèè). Ðàñ÷åò ñäåëàí íà ïðè-
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 715
50 100 150
0
1
2
3
4
5
2o
2�
1o1�
E, ìýÂ
= 0
= 2
a0
a0
50 100 150
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 2o1o
50 100 1500
1
2
3
4
5
2o
1o
50 100 150
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2o1o
50 100 150
0
1
2
3
4
5
2o
1o
50 100 150
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
50 100 1500
1
2
3
4
5
2
1
50 100 150
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2
1
W
,
W
,
W
S
�
1� 2� = 0
a0
E, ìýÂ
D
,
D
�
= 2
a0
1� 2�
2�
1�
D
,
D
�
E, ìýÂ E, ìýÂ
E, ìýÂ E, ìýÂ
2�
1� 1 , 2o� 2 , 2o� = 4
a0= 4
a0
D
,
D
�
W
,
W
,
W
S
�
W
,
W
,
W
S
�
W
,
W
,
W
S
�
= 6
a0
E, ìýÂ E, ìýÂ
= 6
a0
D
,
D
�
Ðèñ. 2. Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ ïåðâûõ äâóõ ïàð ÊÑÑ ýëåêòðîíà ïðè èçìåíåíèè òîëùèíû âíóòðåííåãî áàðüåðà
â ìîäåëè
ïðÿìîóãîëüíûõ (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è �-îáðàçíûõ (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ) ïîòåíöèàëîâ ñèììåòðè÷íîé ÒÁÑ.
ìåðå ñèñòåìû ñ îäèíàêîâûìè øèðèíàìè îáåèõ ÿì
( )b a� 25 0 è òîëùèíàìè âíåøíèõ áàðüåðîâ (
1 02� a ).
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè W(E) è W En
s( ) âî âñåé îáëàñ-
òè èçìåíåíèÿ ýíåðãèè è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ
ÐÒÑ íàñòîëüêî õîðîøî ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé, ÷òî
íà ðèñ. 2, 3 íå âèäíî ðàçíèöû ìåæäó íèìè. Âñå òðè
ôóíêöèè (W(E), W En
s( ) è D(E)) õàðàêòåðíû òåì, ÷òî
èìåþò ÷åòêî âûðàæåííûå ïèêè, ñîîòâåòñòâóþùèå
êâàçèñòàöèîíàðíûì ñîñòîÿíèÿì, êîòîðûå ïîïàðíî
(èç-çà äâóõúÿìíîñòè ñèñòåìû) ýâîëþöèîíèðóþò ñ èç-
ìåíåíèåì òîëùèíû âíóòðåííåãî áàðüåðà
. Ýâîëþöèÿ
ôóíêöèé â îáåèõ ìîäåëÿõ ïîòåíöèàëîâ êà÷åñòâåííî
îäèíàêîâà, íî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðÿìîóãîëüíîé â ìîäå-
ëè �-îáðàçíîãî ïîòåíöèàëà ñîîòâåòñòâóþùèå ïèêè
ñìåùåíû â îáëàñòü áîëüøèõ ýíåðãèé òåì áîëüøå, ÷åì
âûøå îíè ðàñïîëîæåíû â øêàëå ýíåðãèé. Ñîãëàñíî
ïðèíÿòîé òåðìèíîëîãèè [2,3,14–19], ïèêè íà êðèâûõ
D(E) íàçûâàþò ðåçîíàíñíûìè èëè ïðîñòî ðåçîíàíñà-
ìè. Èì îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò ðåçîíàíñíûå ïèêè
ôóíêöèé W(E) è W En
s( ).
Ñ óâåëè÷åíèåì òîëùèíû âíóòðåííåãî áàðüåðà
îò
íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè ïðè ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðàõ
ÿì (b) è òîëùèí âíåøíèõ áàðüåðîâ (
1) ÐÒÑ ïîñòå-
ïåííî ïðåâðàùàåòñÿ èç ïðîçðà÷íîé îäíîÿìíîé (ðàç-
ìåðîì 2b) â äâå íåïðîçðà÷íûå (ðàçìåðàìè b), ðàçäå-
ëåííûå íåïðîíèöàåìûì áàðüåðîì (
' �). Ïðè ýòîì
ïðîèñõîäèò ñëîæíàÿ ýâîëþöèÿ ðåçîíàíñîâ íà êðèâûõ
W(E), W En
s( ) è D(E). ×òîáû åå èññëåäîâàòü, öåëåñîîá-
ðàçíî ââåñòè èíäåêñ n �1 2 3, , , ..., íóìåðóþùèé ïîñëå-
äîâàòåëüíî ïàðû ðåçîíàíñíûõ êîìëåêñîâ íà êðèâûõ.
Ïîêà òîëùèíà âíóòðåííåãî áàðüåðà
òàêîâà, ÷òî îáà
ïèêà (íèæíèé � è âåðõíèé î) â n-ïàðå ðàçäåëåíû, ýòè
èíäåêñû ôèãóðèðóþò ðÿäîì ñ èíäåêñîì ïàðû (n�, no;
ðèñ. 2 ïðè
� 0 2 40 0 0a a a; ; ). Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ
, êîãäà îáà ðåçîíàíñà èç n-ïàðû óæå ñëèëèñü â îäèí
(ðèñ. 2 ïðè
� 6 0a ) — ôèãóðèðóåò òîëüêî èíäåêñ n,
íóìåðóþùèé ñêîëëàïñèðîâàâøóþ ïàðó.
Íà ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì
îáà ïèêà â
êàæäîé ïàðå íà êðèâûõ D E W E W Es( ), ( ), ( ) ñáëèæàþò-
ñÿ ìåæäó ñîáîé, ïîñòåïåííî îáðàçóÿ äâîéíîé ðåçî-
íàíñíûé êîìïëåêñ ñëîæíîé ôîðìû.
Õàðàêòåð çàâèñèìîñòè âñåõ ðåçîíàíñíûõ êîìïëåê-
ñîâ îò
îäèíàêîâ, ïîýòîìó íà ãðàôèêàõ ôóíêöèé
D E W E W Es( ), ( ), ( ) (ðèñ. 3) äåòàëüíî ïîêàçàíà ýâîëþ-
öèÿ ëèøü ïåðâîãî èç íèõ. Ïîñêîëüêó â ìàñøòàáå ðè-
ñóíêà ðàçíèöà ìåæäó ôóíêöèÿìè W E( ) è W Es( )
ïðàêòè÷åñêè íå âèäíà, òî äëÿ ïðèìåðà òàì ïðèâåäåíà
çàâèñèìîñòü îò ýíåðãèè îáîèõ ñëàãàåìûõ ôóíêöèè
W Es( ) (øòðèõîâûå ëèíèè) ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ òîëùè-
íû
� 4 60 0a a; . Íà ðèñóíêå õîðîøî âèäíû ãëàâíûå
÷åðòû îáðàçîâàíèÿ è ðàçâèòèÿ äâîéíûõ ðåçîíàíñíûõ
êîìïëåêñîâ ñ óâåëè÷åíèåì òîëùèíû áàðüåðà
. Ïðè
716 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
Ðèñ. 3. Äåòàëüíàÿ êàðòèíà ýâîëþöèè è êîëëàïñà ïåðâîé ïàðû ýëåêòðîííûõ ðåçîíàíñîâ â ÒÁÑ.
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ òîëùèíû
* 0–2a0 îáà ïèêà (1 1�, o)
ôóíêöèé D E( ) è W E( ) èìåþò ôîðìó êðèâûõ ëîðåíöå-
âîãî òèïà. Â ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ êàæäîãî èç äâóõ ïèêîâ
êîìïëåêñà íà êðèâîé D E( ) ââîäÿòñÿ äâà ñïåêòðàëüíûõ
ïàðàìåòðà, êîòîðûå îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþò ÊÑÑ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïèêàì: ðåçîíàíñíûå ýíåðãèè
(E D
1� , E o
D
1 ), îïðåäåëÿåìûå ïîëîæåíèÿìè èõ ìàêñèìó-
ìîâ â øêàëå ýíåðãèé (òî÷íåå òî÷åê êàñàíèÿ ëèíèè êà-
ñàòåëüíîé ê ýòîé æå ïàðå ïèêîâ); ðåçîíàíñíûå øèðè-
íû ()1�
D , )1o
D ) — èíòåðâàëû ýíåðãèé ìåæäó òî÷êàìè,
âîçíèêàþùèìè íà êàæäîì èç ïèêîâ ïðè ïåðåñå÷åíèè
èõ ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäè-
íû âûñîò ïèêîâ.
Ñ äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì òîëùèíû (
* 2–4,8 à0)
îáà ïèêà ôóíêöèè D E( ), ñáëèæàÿñü âñå áîëüøå, ïåðå-
êðûâàþòñÿ, îáðàçóÿ äâóãîðáóþ êðèâóþ ñëîæíîé ôîð-
ìû. Ïðè êðèòè÷åñêîé òîëùèíå áàðüåðà
k
D a+ 4 8 0,
ïðîèñõîäèò êîëëàïñ: âåëè÷èíû ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé
ïåðâîé ïàðû ñîâïàäàþò (E ED
o
D
1 1� � ), îáðàçóåòñÿ îäèí
ïèê íå ëîðåíöåâîé ôîðìû ñ îäíèì ìàêñèìóìîì ôóíê-
öèè D E E ED D
o
D( )1 1 1 1� � �� . Äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå
òîëùèíû (
, k
D ) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âåëè÷èíà
max D ïîñòåïåííî óìåíüøàåòñÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå
ýòîìó ìàêñèìóìó çíà÷åíèå ðåçîíàíñíîé ýíåðãèè E D
1
ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ â øêàëå ýíåðãèé, à ðåçîíàíñ-
íàÿ øèðèíà )1
D , õàðàêòåðèçóþùàÿ ðàçìåð ïèêà êîì-
ïëåêñà, îñóùåñòâëÿåò ýâîëþöèþ, êîòîðàÿ áóäåò äå-
òàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíà äàëåå.
Íà ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ïðè èçìåíåíèè òîëùèíû áàðü-
åðà â èíòåðâàëå 0 � �
k
D , â îòëè÷èå îò ôóíêöèè D,
îáà ïèêà êîòîðîé èìåþò ðàâíûå çíà÷åíèÿ ìàêñèìóìîâ
(max maxD D o1 1 1� � � ), ïèêè ôóíêöèè W èìåþò ðàç-
íûå çíà÷åíèÿ ìàêñèìóìîâ (maxW W o1 1� , max ).  ñâÿ-
çè ñ ýòèì äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðàëü-
íûõ ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîíà ÷åðåç ôóíêöèþ W â
èíòåðâàëå 0 � �
k
w (
k
w — òî÷êà êîëëàïñà ïî W) íå-
îáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äâå òî÷êè êàñàíèÿ êàñàòåëü-
íîé ïðÿìîé ê îáîèì ïèêàì êîìïëåêñà, îïðåäåëÿåìûå
ôóíêöèåé W . ßñíî, ÷òî, êðîìå ìàëîé îêðåñòíîñòè
k
w ,
îáå òî÷êè êàñàíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè èì òî÷êàìè ìàêñèìóìîâW . Íî íà÷èíàÿ ñî
çíà÷åíèÿ
, ïðè êîòîðîì ìàêñèìóì âåðõíåãî ïèêà
(max )W o1 èñ÷åçàåò èç-çà åãî ïîãëîùåíèÿ ïðàâûì êðû-
ëîì íèæíåãî ïèêà, ïðàâàÿ òî÷êà êàñàòåëüíîé êW îñòà-
åòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííîé âïëîòü äî êðèòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ
k
w , ïðè êîòîðîì îáå òî÷êè êàñàíèÿ ñõîäÿòñÿ
â îäíó — ïðîèñõîäèò êîëëàïñ ïî ñïåêòðàëüíûì ïàðà-
ìåòðàì W (ðèñ. 3).
Òàêèì îáðàçîì, ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ n-ïàðû äâîéíîãî ðåçîíàíñíîãî êîìïëåêñà
ïî ôóíêöèè W âïîëíå îïðåäåëåí. Ïîëîæåíèÿ ïàðû êà-
ñàòåëüíûõ òî÷åê â øêàëå ýíåðãèé îïðåäåëÿþò çíà÷å-
íèÿ ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé íèæíåãî En
W
� è âåðõíåãî Eno
W
ñîñòîÿíèÿ n-ïàðû äî êîëëàïñà. Ïî ïîëîæåíèþ â øêàëå
ýíåðãèé n-ìàêñèìóìà W ìîæíî íàéòè ðåçîíàíñíóþ
ýíåðãèþ (En
W ) ïîñëå êîëëàïñà (
k - ). Èíòåðâàë
ýíåðãèè ìåæäó En
W è ïîëîæåíèåì â øêàëå ýíåðãèé ëå-
âîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèè W En ( ) ñ ïðÿìîé, ïà-
ðàëëåëüíîé îñè àáñöèññ, ïðîõîäÿùåé îò íåå íà ðàññòî-
ÿíèè ïîëîâèíû maxWn� , îïðåäåëÿåò ðåçîíàíñíóþ
ïîëóøèðèíó )n
W /� 2 íèæíåãî ÊÑÑ, à èíòåðâàë ýíåðãèé
ìåæäó Eno
W è ïîëîæåíèåì â øêàëå ýíåðãèé ïðàâîé òî÷-
êè ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèè W En ( ) ñ òàêîé æå ïðÿìîé íà
ðàññòîÿíèè ïîëîâèíû maxWno — ðåçîíàíñíóþ ïîëó-
øèðèíó ()no
W /2) âåðõíåãî ÊÑÑ n-ïàðû äî êîëëàïñà.
Ïîñëå êîëëàïñà (
+ k ) ðåçîíàíñíàÿ øèðèíà ()n
W )
n-êîìïëåêñà, êàê è äîëæíî áûòü, àâòîìàòè÷åñêè ñî-
âïàäàåò ñ óäâîåííîé ïîëóøèðèíîé íèæíåãî ÊÑÑ.
Îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì ðåçîíàíñíûå ýíåð-
ãèè è øèðèíû ïîçâîëèëè âûïîëíèòü ðàñ÷åò ýòèõ ïàðà-
ìåòðîâ â îáåèõ ìîäåëÿõ ïîòåíöèàëîâ (ïðÿìîóãîëüíûõ
è �-îáðàçíûõ) è èçó÷èòü èõ ýâîëþöèþ ïðè èçìåíåíèè
òîëùèí áàðüåðîâ ÒÁÑ.
Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ÐÝ è ÐØ
ïåðâûõ äâóõ ïàð ðåçîíàíñîâ ïðè äâóõ ðàçíûõ òîëùè-
íàõ âíåøíèõ áàðüåðîâ (
1 0 01 2� a a; ), ðàññ÷èòàííûå â
ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ è, äëÿ ñðàâíåíèÿ, â
ìîäåëè �-îáðàçíûõ ïîòåíöèàëîâ ïðè îäíîé òîëùèíå
âíåøíèõ áàðüåðîâ (
1 01� a ) ïðè b a� 25 0. Òàì æå ïðè-
âåäåíû ÐÝ (En
s ) è ÐØ ()n
s), íàéäåííûå èç êîìïëåêñíûõ
ïîëþñîâ S-ìàòðèöû. Íà ðèñ. 4 õîðîøî âèäíû êàê
ñâîéñòâà ýâîëþöèè ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòî-
ðûå ÷àñòè÷íî óæå óïîìèíàëèñü íàìè ðàíüøå, òàê è
äðóãèå, áîëåå òîíêèå îñîáåííîñòè. Ïðåæäå ÷åì èõ
ïðîàíàëèçèðîâàòü, çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 4
ýâîëþöèÿ ÐÝ (E E En
D
no
D
n
D
� , , ) â �-áàðüåðíîé ìîäåëè òî÷-
íî ñîîòâåòñòâóåò ðåçóëüòàòàì, âïåðâûå ïîëó÷åííûì â
ðàáîòå [22] â òàêîé æå ìîäåëè. Ñðàâíèòü æå ðåçóëüòà-
òû ýâîëþöèè ÐØ íåâîçìîæíî, òàê êàê â öèòèðóåìîé
ðàáîòå ýòîò ïàðàìåòð íå îïðåäåëÿëñÿ.
Íà ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî �-áàðüåðíàÿ ìîäåëü êà÷åñòâåííî
âåðíî îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ
ÐÒÑ, íî ïî îòíîøåíèþ ê áîëåå ðåàëèñòè÷íîé ìîäåëè
ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ îíà çàâûøàåò çíà÷åíèÿ ÐÝ äî
20%, à ÐØ — â äâà ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó ôè-
çè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ÒÁÑ (íàïðèìåð, îáîáùåííàÿ
ïðîâîäèìîñòü) î÷åíü ÷óâñòâèòåëüíû ê ñïåêòðàëüíûì
ïàðàìåòðàì [14–18], òî ÿñíî, ÷òî �-áàðüåðíàÿ ìîäåëü íå
ìîæåò áûòü íàäåæíîé îñíîâîé òåîðèè, ïðåòåíäóþùåé
íà ÷èñëîâîå ñðàâíåíèå ñ ýêñïåðèìåíòîì.
Âîçâðàùàÿñü ê àíàëèçó çàâèñèìîñòè ñïåêòðàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ îò òîëùèíû
â ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ
ïîòåíöèàëîâ, çàìåòèì, ÷òî ýâîëþöèÿ ðåçîíàíñíûõ
ýíåðãèé è øèðèí, îïðåäåëÿåìûõ ôóíêöèÿìè D è W , íå
òîëüêî êà÷åñòâåííî ïîäîáíà, íî è âåëè÷èíû ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ áëèçêè ìåæäó
ñîáîé. Îäíàêî, ïîñêîëüêó
nk
D
nk
W- , òî êàðòèíà êîë-
ëàïñà ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ W íåñêîëüêî ñìåùå-
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 717
íà â îáëàñòü áîëüøèõ çíà÷åíèé
ïî îòíîøåíèþ ê êàð-
òèíå êîëëàïñà òåõ æå ïàðàìåòðîâ D.
Ñ óâåëè÷åíèåì
îò íóëÿ äî
nk
D ñîîòâåòñòâóþùèå
âåëè÷èíû En
D
� è En
w
� ; Eno
D è Eno
w ; )n
D
� è )n
w
� ; )no
D è )no
w ñíà-
÷àëà áëèçêè ìåæäó ñîáîþ, à çàòåì ðàçíèöà ìåæäó
íèìè óâåëè÷èâàåòñÿ, äîñòèãàÿ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷å-
íèÿ ïðè
nk
D (ñì. ðèñ. 4). Âåëè÷èíû ÐÝ n-ïàðû â îáåèõ
ìîäåëÿõ ïîòåíöèàëîâ è â îáîèõ ìåòîäàõ ðàñ÷åòà (D è
W) âñåãäà íàõîäÿòñÿ ìåæäó íèæíèìè è âåðõíèìè çíà-
÷åíèÿìè ÐÝ òîé æå ïàðû, îïðåäåëÿåìûõ äåéñòâèòåëü-
íûìè ïîëþñàìè S-ìàòðèöû. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ÐØ
ïðè
-
k
â ìîäåëÿõ ïîòåíöèàëà è â ìåòîäàõ ðàñ÷åòà
ñíà÷àëà íåñêîëüêî ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå èì
S-ìàòðè÷íûå ÐØ.  îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé òîëùèíû
âíóòðåííåãî áàðüåðà )n
w
� , )no
w è )n
D
� , )no
D ïðåâûøàþò )n
s
� ,
)no
s . Åñëè æå òîëùèíà
çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò êðèòè-
÷åñêóþ (
,,
k
), òî )n
s
� , )no
s àñèìïòîòè÷åñêè ñîâïàäà-
þò ñ )n
w , à ) )n
D
n
w- . Íà ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò
ïðÿìîóãîëüíîé, â �-áàðüåðíîé ìîäåëè ñ óâåëè÷åíèåì
òîëùèíû
ðåçîíàíñíûå ýíåðãèè En
D è En
w ïîñëå êîë-
ëàïñà ñòðåìÿòñÿ ê Eno
s , ðåçîíàíñíàÿ øèðèíà )n
w ê )no
s ,
à âåëè÷èíà )n
D óìåíüøàåòñÿ.
Ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå ýâîëþöèè è êîëëàïñà ñïåê-
òðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ôóíêöèÿìè D E( )
è W E( ), ïîíÿòíû êàê ñ ìàòåìàòè÷åñêèõ, òàê è ñ ôèçè-
÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìàòåìàòè÷åñêè ôóíêöèÿ D E( )
îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îäíèì ýëåìåíòîì òðàíñôåð-ìàò-
ðèöû T , òîãäà êàê ôóíêöèÿ W E( ) — âñåìè ýëåìåíòàìè
ýòîé ìàòðèöû. Ïîýòîìó ïðè òàêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïà-
ðàìåòðàõ ÐÒÑ (íàïðèìåð, ïðè
-- k ), êîãäà âñå ýëå-
ìåíòû T -ìàòðèöû, êðîìå âõîäÿùåãî â D, ìàëû —
ñïåêòðàëüíûå ïàðàìåòðû D E( ) è W E( ) áëèçêè. Â îá-
ùåì ñëó÷àå âñå ýëåìåíòû T-ìàòðèöû ñîðàçìåðíû, ïîý-
òîìó ôóíêöèè D E( ) è W E( ) ðàçëè÷íû, à çíà÷èò, è èõ
ñïåêòðàëüíûå ïàðàìåòðû ìîãóò èìåòü äîñòàòî÷íî ðàç-
ëè÷íûå âåëè÷èíû.
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿñíî, ÷òî ðåçîíàíñíûå
ýíåðãèè è øèðèíû ÊÑÑ ýëåêòðîíà â îòêðûòîé ÐÒÑ,
ïîäîáíî ñïåêòðó ýíåðãèé â çàêðûòîé íàíîñèñòåìå,
äîëæíû ôîðìèðîâàòüñÿ òîëüêî åå âíóòðåííèìè ôèçè-
718 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
120
E
W
E
D
E
S
2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4
20
25
2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
120
4 5 6 7
24
25
2 4 6 8 100
10
20
30
40
50
)
W
)
D
)
S
4 6 8 10
0
10
20
30
2 4 6 8 100
2
4
6
8
, a0
= 1a
1 0
E
,
ì
ýÂ
E
,�
ì
ýÂ
E
,
ì
ýÂ
E
,
ì
ýÂ
, a0
, a0
E
,
ì
ýÂ
, a0
, a0
2
, a0
, a0
, a0
)
,
ì
ýÂ
)
� ,
ì
ýÂ
)
,
ì
ýÂ
= 2a
1 0= 1a
1 0
= 1a
1 0 = 2a
1 0= 1a
1 0
Ðèñ. 4. Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ïåðâûõ äâóõ ïàð ÊÑÑ ýëåêòðîíà â ÒÁÑ.
÷åñêèìè è ãåîìåòðè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè. Ýòîìó òðå-
áîâàíèþ óäîâëåòâîðÿþò ñïåêòðàëüíûå ïàðàìåòðû
ôóíêöèèW E( ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ
êâàçè÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ÐÒÑ, òàê êàê ýòà âåëè÷èíà çà-
âèñèò òîëüêî îò âíóòðåííèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû â
îòëè÷èå, íàïðèìåð, îò ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ . èëè êîýô-
ôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ D, êîòîðûå êðîìå âíóòðåííèõ
õàðàêòåðèñòèê çàâèñÿò è îò õàðàêòåðà ôèçè÷åñêîãî âîç-
äåéñòâèÿ íà ÐÒÑ.  ÷àñòíîñòè, êîýôôèöèåíò D E( ) çàâè-
ñèò îò ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè âíåøíåãî ïîòîêà êâàçè-
÷àñòèö, ïðîíèêàþùèõ ñêâîçü ñèñòåìó. Ðàçíèöà
ýâîëþöèè ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ äâîéíîãî ðåçî-
íàíñíîãî êîìïëåêñà äî è ïîñëå êîëëàïñà îáúÿñíÿåòñÿ
[19,22] ôàçîâûì ïåðåõîäîì âòîðîãî ðîäà, ïî ïàðàìåòðó
àñèììåòðèè, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò îòíîñèòåëüíóþ
ðàçíèöó èíòåãðàëüíîé âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ òóí-
íåëèðóþùåãî ýëåêòðîíà â ïåðâîé è âòîðîé ÿìàõ.
Íàêîíåö îòìåòèì ñëåäóþùåå. Âûâîä àâòîðîâ ðàáî-
òû [22] î òîì, ÷òî «êîëëàïñ ðåçîíàíñîâ íå ìîæåò áûòü
îïèñàí íà ÿçûêå ïîëþñîâ ìàòðèöû ðàññåÿíèÿ» íåñîì-
íåííî ñïðàâåäëèâ â òîì ñìûñëå, ÷òî äåéñòâèòåëüíûå è
ìíèìûå ïîëþñà S-ìàòðèöû íåïîñðåäñòâåííî íå ñî-
âïàäàþò ñ ÐÝ è ÐØ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
ÐÒÑ. Îäíàêî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî íàéäåííàÿ â ðàáîòå
ïðèáëèæåííàÿ ôóíêöèÿ W s ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿò-
íîñòè ïðåáûâàíèÿ ýëåêòðîíà â ÐÒÑ, îïðåäåëåííàÿ íîð-
ìèðîâàííîé ñóììîé äâóõ ôóíêöèé Ëîðåíöà ñ ÐÝ è ÐØ,
ðàâíûìè äåéñòâèòåëüíûì è ìíèìûì âåëè÷èíàì êîì-
ïëåêñíûõ ïîëþñîâ S-ìàòðèöû, õîðîøî îïèñûâàåò ýâî-
ëþöèþ è êîëëàïñ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ïàð ðåçî-
íàíñîâ ïðè ëþáûõ òîëùèíàõ
, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â
ýòîì (ðàñøèðåííîì) ñìûñëå ÿçûê ïîëþñîâ S-ìàòðèöû
ìîæåò áûòü ïðèìåíèì êàê äëÿ èññëåäîâàíèÿ äâîéíûõ
êîìïëåêñîâ, òàê, ïî-âèäèìîìó, è äëÿ êîìïëåêñîâ áîëü-
øåé ìóëüòèïëåòíîñòè â ìíîãîñëîéíûõ ÐÒÑ.
Çàêëþ÷åíèå
Íà îñíîâå äâóõ ìîäåëåé (ïðÿìîóãîëüíûõ è �-îáðàç-
íûõ ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ) ñèììåòðè÷íîé ÒÁÑ ñ
èñïîëüçîâàíèåì òðàíñôåð-ìàòðèöû è ìàòðèöû ðàññå-
ÿíèÿ ïðåäëîæåíà òåîðèÿ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ
(ðåçîíàíñíûõ ýíåðãèé è øèðèí) ýëåêòðîíîâ, îïðåäå-
ëÿåìûõ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè W E( ) è
êîýôôèöèåíòîì ïðîçðà÷íîñòè D E( ).
Íà ïðèìåðå ÒÁÑ In Ga As In Al As0,53 0,47 0,52 0,48/ ïîêà-
çàíî, ÷òî â îáåèõ ìîäåëÿõ ñ óâåëè÷åíèåì òîëùèíû
âíóòðåííåãî áàðüåðà
ïðîèñõîäèò êà÷åñòâåííî îäè-
íàêîâàÿ ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ ÐÝ (En
D
� , En
w
� ; Eno
D , Eno
w ) è
ÐØ ()n
D
� , )n
w
� ; )no
D , )no
w ) n-ïàð ÊÑÑ. Êðèòè÷åñêèå òîë-
ùèíû âíóòðåííèõ áàðüåðîâ, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò
êîëëàïñ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ
ôóíêöèÿìè D E( ) è W E( ), õîòÿ è áëèçêè ìåæäó ñîáîé,
íî âñåãäà
nk
w
nk
D+ . Êîëëàïñ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåò-
ðîâ â ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ ïðîèñõîäèò
ïðè êðèòè÷åñêèõ òîëùèíàõ
nk , íåçíà÷èòåëüíî ïðå-
âûøàþùèõ ñóììàðíóþ òîëùèíó âíåøíèõ áàðüåðîâ, à
â ìîäåëè �-áàðüåðîâ âåëè÷èíà
nk ìîæåò çíà÷èòåëüíî
ïðåâûøàòü ñóììàðíóþ òîëùèíó âíåøíèõ áàðüåðîâ
(òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå èõ òîëùèíà).
Ïîñêîëüêó ïî îòíîøåíèþ ê áîëåå àäåêâàòíîé ìîäå-
ëè ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ, �-ìîäåëü çàâûøàåò çíà-
÷åíèå ÐÝ íà äåñÿòêè ïðîöåíòîâ, à ÐØ — ïî÷òè â äâà
ðàçà, òî îíà íå ìîæåò ñëóæèòü äîñòàòî÷íîé áàçîé äëÿ
êîëè÷åñòâåííîé òåîðèè ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, ÷óâ-
ñòâèòåëüíûõ ê âåëè÷èíàì ÐÝ è ÐØ. Ýòî îáñòîÿ-
òåëüñòâî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, íàïðèìåð, â òåîðèè
ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ êâàíòîâûõ êîãåðåí-
òíûõ ëàçåðîâ ïðè îöåíêå ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ, ïîðî-
ãîâûõ òîêîâ è äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Ïîêàçàíî, ÷òî íàéäåííàÿ ïðèáëèæåííàÿ ôóíêöèÿ
W Es( ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïðåáûâàíèÿ ýëåê-
òðîíà â ÐÒÑ, îïðåäåëåííàÿ íîðìèðîâàííîé ñóììîé
äâóõ ëîðåíöåâûõ ôóíêöèé ñ ÐÝ è ÐØ, êîòîðûå ðàâíû
äåéñòâèòåëüíûì è ìíèìûì âåëè÷èíàì êîìïëåêñíûõ ïî-
ëþñîâ S-ìàòðèöû, õîðîøî îïèñûâàåò ýâîëþöèþ è êîë-
ëàïñ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîíà âî âñåõ èíòåð-
âàëàõ èçìåíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ÒÁÑ.
Ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
äëÿ ýëåêòðîíà â èññëåäîâàííîé ìîäåëè ÐÒÑ ïîçâîëÿåò
ðàññ÷èòàòü èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó — äèíàìè÷åñêóþ
ïðîâîäèìîñòü ñèñòåìû, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîë-
íèòü â ñëåäóþùåé ðàáîòå.
1. I.V. Tokatly, A.G. Tsibizov, and A.A. Gorbatsevich,
Phys. Rev. B65, 165328 (2002).
2. Â.Ô. Åëåñèí, Þ.Â. Êîïàåâ, ÆÝÒÔ 123, 1308 (2003).
3. Å.È. Ãîëàíò, À.Á. Ïàøêîâñêèé, ÔÒÏ 36, 330 (2002).
4. M. Tkach, V. Holovatsky, and O. Voitsekhivska, Physica
Å11, 17 (2001).
5. Í. Òêà÷, À. Ìàõàíåö, Ã. Çåãðÿ, ÔÒÏ 36, 543 (2002).
6. Í. Òêà÷, À. Ìàõàíåö, ÔÒÒ 47, 550 (2005).
7. J. Faist, F. Capasso, D.L. Sivco, C. Sirtori, A.L. Hutchin-
son, and A.Y. Cho, Science 264, 553 (1994).
8. J. Faist, F. Capasso, and C. Sirtori, Appl. Phys. Lett. 66,
538 (1995).
9. C. Gmachl, F. Capasso, E.E. Narimanov, J.U. Nockel,.
A.D. Stone, J. Faist, D.L. Sivco, and A.Y. Cho, Science
280, 1556 (1998).
10. S. Blaser, M. Rochat, and M. Beck, J. Faist, Phys. Rev.
Lett. B61, 8369 (2000).
11. C. Gmachl, F. Capasso, D.L. Sivco, and A.Y. Cho, Rep.
Prog. Phys. 64, 1533 (2001).
12. A. Orihashi, B. Suzuki, and C. Asada, Appl. Phys. Lett.
87, 233501 (2005).
13. S. Haas, T. Stroucken, M. Hübner, J. Kuhl, B. Grote, A.
Knorr, F. Jahnke, S. W. Koch, R. Hey, and K. Ploog,
Phys. Rev. B57, 14860 (1998).
14. Â.Ô. Åëåñèí, ÆÝÒÔ 127, 131 (2005).
15. Â.Ô. Åëåñèí, È.Þ. Êàòååâ, ÔÒÏ 39, 1106 (2005).
16. Â.Ô. Åëåñèí, È.Þ. Êàòååâ, ÔÒÏ 42, 586 (2008).
17. À.Á. Ïàøêîâñêèé, Ïèñüìà ÆÝÒÔ 82, 228 (2005).
Ýâîëþöèÿ è êîëëàïñ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 719
18. Ý.À. Ãåëüâè÷, Å.È. Ãîëàíò, À.Á. Ïàøêîâñêèé, Ïèñüìà
ÆÒÔ 32, 13 (2006).
19. Wim Vanroose, Phys. Rev. A64, 062708 (2001).
20. Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè, Ã.Ã. Çåãðÿ, Ïèñüìà ÆÒÔ 33, 70
(2007).
21. Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè, ÔÒÏ 43, 357 (2009).
22. À.À. Ãîðáàöåâè÷, Ì.Í. Æóðàâëåâ, Â.Â. Êàïàåâ, ÆÝÒÔ
134, 338 (2008).
23. Â.Ô. Åëåñèí, È.Þ. Êàòååâ, Ì.À. Ðåìíåâ, ÔÒÏ 43, 269
(2009).
24. Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè, ÔÒÒ 51, 979 (2009).
25. G.H. Davies, The Physics of Low-Dimensional Semicon-
ductor, Cambridge University Press, Cambridge (1998).
26. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íå-
ðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ) Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà (2002).
27. À.È. Áàçü, ß.Á. Çåëüäîâè÷, À.Ì. Ïåðåëîìîâ, Ðàññåÿ-
íèå, ðåàêöèè è ðàñïàäû â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòî-
âîé ìåõàíèêå, Íàóêà, Ìîñêâà (1971).
Evolution and collapse of electron
quasi-stationary states in plane symmetric
three-barrier resonance-tunnel structures
N.V. Tkach and Ju.A. Seti
A theory of evolution and collapse of resonance
pairs due to variations in inner barrier strength
(thickness) is developed by using the model of ef-
fective masses and symmetric rectangular potential
barriers for an electron in the plane three-barrier
structure. The analytical and numerical calcula-
tions of spectral parameters (resonance energy and
width) are performed with the use of transparent
coefficient and probability distribution function
within the transfer matrix and scattering S-matrix.
It is shown that the collapse of resonance energies
and widths of all quasi-stationary states in the sym-
metric three-barrier structure happens almost at the
same values of inner barrier width, which are
somewhat larger than the sum of outer thicknesses.
It is found that the �-model as compared to the rect-
angular barrier one, gives much higher values of
resonance energies (by the order of percents) and
resonance widths (almost twice).
PACS: 73.21.Fg Quantum wells;
73.90.+f Other topics in electronic struc-
ture and electrical properties of surfaces,
interfaces, thin films, and lowdimensional
structures.
Keywords: collapse, resonance-tunnel structure,
electron.
720 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
Í.Â. Òêà÷, Þ.À. Ñåòè
|