Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле

Рассмотрены одночастичные возбуждения в квазиодномерной ферромагнитной спиновой цепочке, помещенной в неоднородное магнитное поле с большим градиентом. В магнитном поле с постоянным градиентом происходит динамическая локализация спиновой волны, образуется система локальных уровней с эквидистантным с...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Ганн, В.В., Косевич, Ю.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2010
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117460
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле / В.В. Ганн, Ю.А. Косевич // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 909–915. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117460
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1174602017-05-24T03:02:49Z Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле Ганн, В.В. Косевич, Ю.А. К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Рассмотрены одночастичные возбуждения в квазиодномерной ферромагнитной спиновой цепочке, помещенной в неоднородное магнитное поле с большим градиентом. В магнитном поле с постоянным градиентом происходит динамическая локализация спиновой волны, образуется система локальных уровней с эквидистантным спектром энергий, имеющим вид «лестницы» Ванье–Зеемана. Это явление аналогично блоховским осцилляциям электрона в слабом электрическом поле. В полубесконечной цепочке спектр спиновых возбуждений ограничен снизу; с ростом энергии наблюдается постепенный переход от спиновых волн в неоднородном магнитном поле к состояниям типа блоховских осцилляций. Рассмотрена бесконечная цепочка спинов, находящихся в магнитном поле, постоянном при x < 0 и линейно возрастающем в области x > 0. В этих условиях над зоной спиновых волн возникает система локальных уровней типа Ванье–Зеемана, спектр которых при больших значениях энергии становится эквидистантным. Обсуждаются возможности экспериментального наблюдения блоховских осцилляций спиновых волн. Розглянуто одночасткові збудження у квазіодновимірному феромагнітному спіновому ланцюжку, який поміщено у неоднорідне магнітне поле з великим градієнтом. У магнітному полі з постійним градієнтом відбувається динамічна локалізація спінової хвилі, утворюється система локальних рівнів з еквідистантним спектром енергій, що мають вид «сходинки» Ваньє–Зєємана. Це явище аналогічне блохівським осциляціям електрона в слабкому електричному полі. У напівнескінченному ланцюжку спектр спінових порушень обмежен знизу; з ростом енергії спостерігається поступовий перехід від спінових хвиль у неоднорідному магнітному полі до станів типу блохівських осциляцій. Розглянуто нескінченний ланцюжок спінів, що перебувають у магнітному полі, постійному при x < 0, та в полі, яке лінійно зростає в області x > 0. У цих умовах над зоною спінових хвиль виникає система локальних рівнів типу Ваньє–Зєємана, спектр яких при більших значеннях енергії стає еквідистантним. Обговорюються можливості експериментального спостереження блохівських осциляцій спінових хвиль. Single-particle excitations in a quasi-one dimensional ferromagnet spin chain placed in a nonuniform magnetic field with a large gradient are considered. In a magnetic field with a constant gradient there occurs a dynamic localization of spin waves and an equidistant energy level spectrum like the Wannie–Zeeman «ladder» is formed. A similar phenomenon is known for an electron in a periodic potential and a weak electric field. In a semi-infinite chain the spin excitation spectrum is bounded from below; a gradual evolution from spin waves in a nonuniform magnetic field to Wannie–Zeeman states occurs with increasing energy. An infinite chain in nonuniform magnetic field is considered when a constant magnetic field is applied in the x < 0 region and a linearly increasing one is applied in the x > 0 region. In this case a set of localized Wannie–Zeeman-like states appears above the spin wave zone, whose spectrum becomes equidistant at the high energies. Possibilities of experimental observation of Bloch oscillations in spin systems are discussed. 2010 Article Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле / В.В. Ганн, Ю.А. Косевич // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 909–915. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10. Pq, 75.30. Ds, 75.40. Gb http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117460 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
spellingShingle	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Ганн, В.В. Косевич, Ю.А. Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле Физика низких температур
description	Рассмотрены одночастичные возбуждения в квазиодномерной ферромагнитной спиновой цепочке, помещенной в неоднородное магнитное поле с большим градиентом. В магнитном поле с постоянным градиентом происходит динамическая локализация спиновой волны, образуется система локальных уровней с эквидистантным спектром энергий, имеющим вид «лестницы» Ванье–Зеемана. Это явление аналогично блоховским осцилляциям электрона в слабом электрическом поле. В полубесконечной цепочке спектр спиновых возбуждений ограничен снизу; с ростом энергии наблюдается постепенный переход от спиновых волн в неоднородном магнитном поле к состояниям типа блоховских осцилляций. Рассмотрена бесконечная цепочка спинов, находящихся в магнитном поле, постоянном при x < 0 и линейно возрастающем в области x > 0. В этих условиях над зоной спиновых волн возникает система локальных уровней типа Ванье–Зеемана, спектр которых при больших значениях энергии становится эквидистантным. Обсуждаются возможности экспериментального наблюдения блоховских осцилляций спиновых волн.
format	Article
author	Ганн, В.В. Косевич, Ю.А.
author_facet	Ганн, В.В. Косевич, Ю.А.
author_sort	Ганн, В.В.
title	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
title_short	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
title_full	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
title_fullStr	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
title_full_unstemmed	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
title_sort	блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2010
topic_facet	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117460
citation_txt	Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле / В.В. Ганн, Ю.А. Косевич // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 909–915. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT gannvv blohovskieoscillâciispinovyhvolnvneodnorodnommagnitnompole AT kosevičûa blohovskieoscillâciispinovyhvolnvneodnorodnommagnitnompole
first_indexed	2025-07-08T12:18:08Z
last_indexed	2025-07-08T12:18:08Z
_version_	1837081127858208768
fulltext	© В.В. Ганн, Ю.А. Косевич, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9, c. 909–915 Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле В.В. Ганн Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» ул. Академическая, 1, г. Харьков, 64108, Украина E-mail: gann@kipt.kharkov.ua Ю.А. Косевич Институт химической физики им. Н.Н. Семенова РАН, ул. Косыгина, 4, г. Москва, 119991, Россия E-mail: yukosevich@gmail.com Cтатья поступила в редакцию 17 марта 2010 г. Рассмотрены одночастичные возбуждения в квазиодномерной ферромагнитной спиновой цепочке, помещенной в неоднородное магнитное поле с большим градиентом. В магнитном поле с постоянным градиентом происходит динамическая локализация спиновой волны, образуется система локальных уровней с эквидистантным спектром энергий, имеющим вид «лестницы» Ванье–Зеемана. Это явление аналогично блоховским осцилляциям электрона в слабом электрическом поле. В полубесконечной це- почке спектр спиновых возбуждений ограничен снизу; с ростом энергии наблюдается постепенный пере- ход от спиновых волн в неоднородном магнитном поле к состояниям типа блоховских осцилляций. Рас- смотрена бесконечная цепочка спинов, находящихся в магнитном поле, постоянном при x < 0 и линейно возрастающем в области x > 0. В этих условиях над зоной спиновых волн возникает система локальных уровней типа Ванье–Зеемана, спектр которых при больших значениях энергии становится эквидистант- ным. Обсуждаются возможности экспериментального наблюдения блоховских осцилляций спиновых волн. Розглянуто одночасткові збудження у квазіодновимірному феромагнітному спіновому ланцюжку, який поміщено у неоднорідне магнітне поле з великим градієнтом. У магнітному полі з постійним градієнтом відбувається динамічна локалізація спінової хвилі, утворюється система локальних рівнів з еквідистантним спектром енергій, що мають вид «сходинки» Ваньє–Зєємана. Це явище аналогічне блохівським осциляціям електрона в слабкому електричному полі. У напівнескінченному ланцюжку спектр спінових порушень обмежен знизу; з ростом енергії спостерігається поступовий перехід від спінових хвиль у неоднорідному магнітному полі до станів типу блохівських осциляцій. Розглянуто нескінченний ланцюжок спінів, що перебувають у магнітному полі, постійному при x < 0, та в полі, яке лінійно зростає в області x > 0. У цих умовах над зоною спінових хвиль виникає система локальних рівнів типу Ваньє–Зєємана, спектр яких при більших значеннях енергії стає еквідистантним. Обговорю- ються можливості експериментального спостереження блохівських осциляцій спінових хвиль. PACS: 75.10. Pq Модели спиновых цепочек; 75.30. Ds Спиновые волны; 75.40. Gb Динамические свойства. Ключевые слова: спиновые волны, спиновые цепочки, низкоразмерные магнетики, блоховские осцилля- ции. Как известно, энергетический спектр электрона, на- ходящегося в периодическом поле, имеет зонный ха- рактер. Если такую систему поместить в однородное электрическое поле, то электрон начнет ускоряться, его кинетическая энергия будет возрастать до тех пор, пока его импульс не достигнет границы зоны Брил- люэна. Отразившись от нее, электрон будет двигаться против поля пока он не затормозится в электрическом В.В. Ганн, Ю.А. Косевич 910 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 поле и не поменяет направление своего импульса. Та- кие колебания электрона известны под названием бло- ховских осцилляций [1,2]. Брэгговские отражения мо- гут вызывать блоховские осцилляции волн любой при- роды (электронных, оптических, акустических), рас- пространяющихся в решетке, находящейся в слабом однородном поле [3,4]. Аналогичное явление может существовать и в магнитных системах, помещенных в неоднородное магнитное поле [5]. В работах [6–8] бы- ли исследованы «квазиблоховские» осцилляции маг- нитного солитона между двумя точками поворота, воз- никающими при наличии неоднородного магнитного поля. В настоящей работе рассмотрены одночастичные блоховские осцилляции спиновых волн в ферромаг- нитной цепочке спинов, помещенных в неоднородное магнитное поле, постоянное при x < 0 и линейно воз- растающее в области x > 0 с достаточно большим гра- диентом, обеспечивающим динамическую локализа- цию спиновой волны. В этих условиях над зоной спи- новых волн возникает система локальных уровней, спектр которых при больших значениях энергии ста- новится эквидистантным и образует «лестницу» Ва- нье–Зеемана. От спиновых волн к блоховским осцилляциям Спектр спиновых волн в тонкой ферромагнитной пленке 0 < x < d был впервые получен Киттелем [9,10] на основе решения уравнения Ландау–Лифшица для намагниченности M: [ ]0g t ∂ = × −αΔ ∂ M M H M , (1) где g — гиромагнитное отношение, α — постоянная неоднородного обмена с условиями закрепления спи- нов на границах: 0(0) ( )d= =M M M (условие Киттеля). (2) Используя граничные условия (2), получаем спектр частот киттелевских мод: 2 0 0n ngM d π⎛ ⎞ω = ω + α⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (3) где 0 0gHω = — частота однородного ферромаг- нитного резонанса в поле H0 и n = 1, 2, 3… Если использовать граничные условия Радо [11] (0) / ( ) / 0x d x∂ ∂ = ∂ ∂ =M M , то спектр частот колеба- ний намагниченности будет иметь тот же вид (3), где n = 0, 1, 2, 3… Спиновые волны в ферромагнетике, помещенном в неоднородное магнитное поле с постоянным градиен- том η , были впервые рассмотрены Шлеманном [12]. Уравнение (1) для малого отклонения m намагни- ченности М от насыщения М0 имеет вид 2 0 02 ( ) 0dgM g x x dx ⎛ ⎞ α +ω−ω − η ψ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (4) где ω — частота спиновой волны, а ( ) ( )x m x+ψ = = ( ) ( )x ym x im x= + — право-циркулярная компонента отклонения намагниченности m Решение уравнения (4) выражается через функцию Эйри ( )Φ ξ : ( ) ( )xψ = Φ ξ , где ( )3 0 0 0 0 ( ), ( )x x x g M η ξ = − = ω−ω η α , (5) Если ферромагнетик занимает полупространство 0,x ≥ то к уравнению (4) следует добавить граничное условие. Мы возьмем на свободной границе условие Радо: 0 0 x d dx = ψ = . (6) В такой системе будут существовать стоячие спиновые волны с дискретным спектром частот: 23 0 0 0( / ) ( )n ngM M a′ω = ω + α η − , (7) где 0na′ < — нули производной функции Эйри. За- висимость частоты от номера n представлена на рис. 1 в безразмерной форме. При больших значениях n выражение (7) имеет про- стую асимптотику: 2/323 3 1 0 0 0 2 4( / ) ( )n gM M nπ⎡ ⎤ω = ω + α η +⎣ ⎦ . (8) Зависимость ψ(x) схематически представлена на рис. 2. Волновой вектор спиновой волны k(x) при- нимает максимальное значение max (0)k k= = 0 0( ) / ( )n gM= ω −ω α при x = 0, причем величина kmax увеличивается с ростом n пропорционально 3 1/ 4n + . При значении 3 0~ / ( )n M aα η вблизи границы x = 0 Рис. 1. Зависимость 23 0 0 0( ) / ( / )n gM Mω −ω α η от номе- ра n в соответствии с уравнением (7). 0 5 10 15 10 20 n – a n� Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 911 нарушается условие справедливости макроскопичес- кого приближения длинных волн ak << 1, где a — по- стоянная решетки. При значениях 3 0 / ( )n M a> α η «отражение» спиновых волн происходит уже не при x = 0, а при ak(x) ~ 1. В этой области энергий идет пол- ная перестройка спектра спиновых волн, которая свя- зана с брэгговскими отражениями в решетке. Спиновые возбуждения в полубесконечной цепочке Рассмотрим одномерную полубесконечную ферро- магнитную цепочку атомов со спином s = ½, помещен- ную в неоднородное магнитное поле. Гамильтониан гейзенберговской модели такой системы имеет вид 1 0 1 0 02 1 ( ) z n n n n n H h I H x ∞ + = ⎡ ⎤= − + + η μ σ⎣ ⎦∑ σ σ , (9) где I — энергия обменного взаимодействия, η — гра- диент магнитного поля, xn = an — координата узла с номером n, a — постоянная решетки, μ0 — магнетон Бора, , ,x y z n n nσ σ σ — матрицы Паули. Константу h0 выберем таким образом, чтобы энер- гия основного состояния ферромагнетика равнялась нулю. Рассмотрим спектр одномагнонных возбужде- ний в системе с гамильтонианом (1). Волновая функ- ция такого возбуждения имеет вид ( ) \|m m C m ∞ ν ν =−∞ Ψ = >∑ , (10) где \| m > = m −σ \| 0 > — базисная функция состояния цепочки с одним перевернутым спином в узле m, ( ) / 2x y n n ni−σ = σ − σ — циркулярная проекция матриц Паули, \| 0 > — волновая функция основного состояния системы, в котором все спины направлены в одну сто- рону. Стационарные состояния такой системы находятся из уравнения Ĥ Eν ν νΨ = Ψ , (11) где ν — квантовый номер состояния. Подставляя (10) в (9), получим стационарное урав- нение Шредингера для спиновой волны в поле с посто- янным градиентом в следующем виде: ( ) ( )( ) 1 14 m m m m e C C C A ν ννν − + − = + при 1 < m , (12) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 4 e C C C A ν ν νν− = + , (13) где 02 / ( )A I a= ημ и 0 0 0( 2 2 ) / (2 ).e E I H aν ν= − − μ ημ ( 14) Уравнение (13) можно рассматривать в качестве граничного условия (типа Радо) к уравнению (12). Па- раметр А характеризует размер области пространст- венной локализации волновой функции стационарного состояния, а величина eν определяет энергию состоя- ния с номером ν. На рис. 3 представлен спектр энергий стационарных состояний с ν = 1, 2, … 30, полученный путем чис- ленного решения уравнений (12) и (13) на узлах с но- мерами m < 80 для значения параметра А = 60. На рис. 4–6 представлены волновые функции для цепочки спинов с А = 60. Волновые функции с номе- рами ν < 6 относятся к области длинных спиновых волн с ak << 1 — они описываются также формулами (5) и имеют вид, аналогичный показанному на рис. 2. Функции с номерами ν = 6, 9 и 12 относятся к длинно- волновой области с ak < 1 (см. рис. 4), а функции с но- мерами ν = 19…31 — к переходной области от спино- вых волн к блоховским осцилляциям (см. рис. 5). На рис. 6 изображена волновая функция с номером ν = 39, которая уже имеет законченный вид функции состоя- ния Ванье–Зеемана, ограниченной с обеих сторон. Блоховские спиновые осцилляции в бесконечной цепочке Рассмотрим более подробно область больших зна- Рис. 2. Характерный вид решения (5) уравнения (4). –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0 x x0 Рис. 3. Спектр спиновых колебаний для А = 60. � A = 60 Îáëàñòü ñïèíîâûõ âîëí Ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü Îáëàñòü ñîñòîÿíèé Âàíüå– Çååìàíà 0 4 8 12 16 20 24 28 30 20 10 0 –10 –20 –30 В.В. Ганн, Ю.А. Косевич 912 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 чений ν. Наиболее удобной моделью для рассмотрения этого случая является бесконечная ферромагнитная це- почка атомов со спином 1/2 в магнитном поле с посто- янным градиентом, описываемая гамильтонианом 1 0 1 02 ( ) z n n n n n H h J H x ∞ + =−∞ ⎡ ⎤= − + μ σ⎣ ⎦∑ σ σ , (15) где 0( ) .n nH x H x= +η Стационарное уравнение Шредингера имеет вид, аналогичный (12), это уравнение имеет решения, огра- ниченные на ± ∞ лишь при целых (положительных и отрицательных) значениях eν = ν: ( ) ( )( ) 1 14 m m m m C C C A ν νν − + − ν = + при – ∞ < m < + ∞. (16) Решение уравнения (16) выражается через функцию Бесселя Jm(z): ( ) ( / 2).m mC J Aν −ν= (17) При наличии двух точек поворота спиновой волны энергия Eν стационарного состояния может прини- мать лишь дискретный спектр значений: 0 0 02 2 2E H I aν = μ + + ημ ν , (18) причем, все уровни располагаются с постоянным ша- гом: 02E aΔ = Ω = ημ (19) и образуют характерную «лестницу Ванье–Зеемана». Волновые функции ( ) mC ν , принадлежащие различ- ным собственным значениям ν, отличаются лишь сдви- гом на величину aν по оси х: ( ) (0) ,m mC Cν −ν= при этом функции (0) mC обладают свойством симметрии (0) mC− = (0)( 1) .m mC= − На рис. 7 показана волновая функция ( ) mC ν для A = = 30 и ν = 3. Динамика системы с гамильтонианом (15) описы- вается уравнением Шредингера: ˆ .i H t ∂Ψ = Ψ ∂ (20) Решение уравнения (20) может быть представлено в Рис. 4. Волновые функции спиновых волн с номерами ν = 6, 9 и 12 для А = 60. 0 10 20 30 40 50 60 70 –0,8 –0,4 0 0,4 0,8 i C i � = 12 � = 9 � = 6 Рис. 5. Волновые функции состояний с номерами ν = 19, 22, 25, 28 и 31 в переходной области для А = 60. 0 10 20 30 40 50 70 –0,8 –0,4 0 0,4 0,8 i 60 C i Рис. 6. Волновая функция состояния с ν = 39 в области со- стояний Ванье–Зеемана для А=60. 0 10 20 30 40 60 70 80 –0,8 –0,4 0 0,4 0,8 i 50 v = 39 C i –30 –20 –10 0 10 20 30 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 m A=30 C m Рис. 7. Волновая функция состояния Ванье–Зеемана ( ) mC ν для A = 30 и ν = 3. Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 913 виде ( ) ( / 2) e \|iE t m m t B J A mν ∞ ν − ν −ν =−∞ ν=−∞ Ψ = >∑ ∑ , (21) где Bν — произвольные постоянные. Составим для системы с A = 30 простейший вол- новой пакет, представляющий суперпозицию двух ста- ционарных состояний Ванье–Зеемана с соседними квантовыми номерами ν = 0 и ν = 1 и одинаковыми амплитудами: 0 11( ) [ (15)e (15)e ] / 2iE t iE t m m mC t J J− − −= + . (22) Для такого волнового пакета вероятность нахождения перевернутого спина в узле m выражается формулой 2 2 2 1\| ( ) \| [ (15) (15)] / 2m m mC t J J −= + + 1(15) (15)cos ( )m mJ J Et−+ Δ . (23) Видно (23), что в такой системе возникают блоховские осцилляции с частотой 02 /B aΩ = ημ . На рис. 8 изображены распределения вероятностей 2\| ( ) \|mC t нахождения перевернутого спина в узлах m для моментов времени t = 0, t = T / 4 и t = T / 2. В дан- ном примере спиновая волна в неоднородном магнит- ном поле с постоянным градиентом совершает блохов- ские осцилляции между двумя точками поворота с пе- риодом 0/ (2 )T h a= ημ и амплитудой осцилляций A, которые не зависят от энергии. Блоховские спиновые осцилляции в неоднородном магнитном поле Рассмотрим распространение спиновых волн в не- однородном магнитном поле в ферромагнетике, опи- сываемом гамильтонианом (15), в котором магнитное поле однородно 0( )H x H= в области 0nx ≤ и воз- растает 0( )H x H x= +η с постоянным градиентом η при 0.nx > Стационарное уравнение Шредингера для спиновой волны в таком поле принимает вид 1 14 0m m mC C C A − + ν + + = при m ≤ 0, (24) 1 14 0m m m m C C C A − + ν − + + = при m > 0, (25) где 02 / ( )A I a= ημ и ν = 0 0 0( 2 2 ) / (2 ).E H I a− μ − ημ Уравнение (24) имеет решение ( ) sin( )mC akm≤ = +ϕ , (26) где φ — постоянная интегрирования, а k удовлетворяет дисперсионному уравнению для спиновых волн 0 02 2 [1 cos( )]E H I ak= μ + − . (27) Решение уравнения (25), ограниченное на +∞ , име- ет вид ( ) ( / 2)m mC D J A> −ν= , (28) где Jn(x) — функция Бесселя порядка n, а D — по- стоянная интегрирования. Сшивая решения (26) и (28) при m = 0, получим: 1 sin( )tg ( / 2) / ( / 2) cos( ) ak J A J A ak−ν −ν ϕ = − , cos( ) / 2A akν = − , sin ( / 2) D J A−ν ϕ = . (29) Рис. 8. Распределение вероятностей нахождения перевернуто- го спина в узлах m для момента времени t: 0 (а), T/4 (б), T/2 (в). –0,4 0 0,4 0,8 1,2 A=30 t = 0 \|C \| m 2 à t = T/4 \|C \| m 2 A=30 –0,4 0 0,4 0,8 1,2 á –30 –20 –10 0 10 20 30 m t = T/2A=30 –0,4 0 0,4 0,8 1,2 â \|C \| m 2 В.В. Ганн, Ю.А. Косевич 914 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Выражения (26)–(29) справедливы при 0 E≤ ≤ 0 02 4 ,H I≤ μ + что соответствует 2 / 1Aν ≤ . На рис. 9 представлены волновые функции Cn нескольких ха- рактерных состояний спинволновой зоны для системы с А = 40. При E > 0 02 4H Iμ + имеем следующее решение уравнения (24), ограниченное на – ∞ : ( ) exp[( ) ]mC B i a m≤ = π+ λ , (30) где B — постоянная интегрирования, а λ удовлетворяет уравнению 0 02 2 [1 ch( )]E H I a= μ + + λ . (31) Решение уравнения (25), ограниченное на +∞ , вы- берем в виде ( ) ( / 2)m mC J A> −ν= , (32) Сшивая решения (30) и (32) при m = 0, получим: ( / 2)B J A−ν= , (33) 1exp( ) ( / 2) 0B a J A−ν+ − λ = . (34) Система уравнений (33) и (34) совместно с (26) и (28) определяет энергетический спектр одночастичных спиновых возбуждений, расположенных выше зоны спиновых волн при 2 / 1:Aν > 2 12 / (2 / ) 1 ( /2) ( /2) 0.A A J A J A−ν −ν ⎡ ⎤ν + ν − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ (35) На рис. 10 изображен спектр локализованных со- стояний выше зоны спиновых волн для значений А = 6, 10, 20 и 40. Спектры перенумерованы i = 1, 2, 3 … в по- рядке возрастания энергии Ei. Пунктиром представлен эквидистантный спектр блоховских состояний в беско- нечной цепочке с постоянным градиентом магнитного поля. На рис. 10 видно, что начиная с номера t = 3, спектр становится эквидистантным (при всех значениях А), что соответствует «лестнице Ванье–Зеемана». На рис. 11 представлены волновые функции mC ло- кализованных состояний системы с А = 40. Из данных на рис. 11 следует, что наличие спинволновой зоны практически не сказывается на волновых функциях с i 4,i > а волновые функции ( )i mC с различными номе- рами i > 4 отличаются лишь сдвигом по оси х. Таким образом, при больших энергиях возбуждения локализованные состояние выше зоны спиновых волн ведут себя аналогично состояниям Ванье–Зеемана в системе с постоянным градиентом магнитного поля. Выводы В ферромагнитной цепочке спинов, помещенной в неоднородное магнитное поле с постоянным градиен- том, происходит динамическая локализация спиновых волн; возникает набор локальных уровней с эквиди- стантным спектром, которые образуют «лестницу Ва- нье–Зеемана». В случае неоднородного магнитного поля нерегулярной формы над зоной спиновых волн Рис. 9. Волновые функции Cn состояний спинволновой зоны с А = 40 для значений ak = π/8, π/4, π/2 и 3π/4. –30 –20 –10 0 10 20 30 40 A= 40 n Ñ n ak = 3 /4� ak = /2� ak = /4� ak = /8� Рис. 10. Спектр локализованных состояний цепочки спинов для значений А = 6, 10, 20 и 40. 0 2 4 6 8 10 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 A = 6 A = 10 A = 20 A = 40 i Рис. 11. Волновые функции локализованных состояний сис- темы с А = 40 в области n > 0. i = 14A = 40 12 10 8 6 4 2 1 C n 0 10 20 30 40 50 n 60 Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 915 также может возникать система локальных уровней. В ферромагнетиках, помещенных в неоднородное магнитное поле, возможно существование блоховских осцилляций спиновых волн, которые могут наблю- даться экспериментально в тонких ферромагнитных пленках или в квазиодномерных структурах на часто- тах выше верхней границы зоны обычных спиновых волн. 1. F. Bloch, Z. Phys. 52, 555 (1928). 2. C. Zener, Proc. R. Soc. A145, 523 (1934). 3. Yu.A. Kosevich, Phys. Rev. B63, 205313 (2001). 4. H. Sanchis-Alepuz, Yu.A. Kosevich, and J. Sanchez-Dehesa, Phys. Rev. Lett. 98, 134301 (2007). 5. A.M. Kosevich, Physica, D119, 134 (1998). 6. В.В. Ганн, А.И. Жуков, В.П. Воронов, Научные ведо- мости БГУ, №1, 198 (1998). 7. А.М. Косевич, В.В. Ганн, А.И. Жуков, В.П. Воронов, ЖЭТФ 114, 735 (1998). 8. А.М. Косевич, ФНТ 27, 699 (2001) [Low Temp. Phys. 27, 513 (2001)]. 9. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский. Спиновые волны, Наука, Москва (1967). 10. C. Kittel, Phys. Rev. 110, 1295 (1958). 11. G. Rado, Phys. Rev. 97, 1558 (1955). 12. E. Schlomann, J. Appl. Phys, 35, 2382 (1964). 13. J. Kyriakidis and D. Loss, Phys. Rev. B58, 5568 (1998). Bloch oscillations of spin waves in nonuniform magnetic field V.V. Gann and Yu.A. Kosevich Single-particle excitations in a quasi-one dimen- sional ferromagnet spin chain placed in a nonuniform magnetic field with a large gradient are considered. In a magnetic field with a constant gradient there occurs a dynamic localization of spin waves and an equidis- tant energy level spectrum like the Wannie–Zeeman «ladder» is formed. A similar phenomenon is known for an electron in a periodic potential and a weak elec- tric field. In a semi-infinite chain the spin excitation spectrum is bounded from below; a gradual evolution from spin waves in a nonuniform magnetic field to Wannie–Zeeman states occurs with increasing energy. An infinite chain in nonuniform magnetic field is con- sidered when a constant magnetic field is applied in the x < 0 region and a linearly increasing one is ap- plied in the x > 0 region. In this case a set of localized Wannie–Zeeman-like states appears above the spin wave zone, whose spectrum becomes equidistant at the high energies. Possibilities of experimental obser- vation of Bloch oscillations in spin systems are dis- cussed. PACS: 75.10.Pq Spin chain models; 75.30.Ds Spin waves; 75.40.Gb Dynamical properties. Keywords: spin waves, spin chains, low dimension magnetic, Bloch oscillations.

Блоховские осцилляции спиновых волн в неоднородном магнитном поле

Institution

Ähnliche Einträge