Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике

Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике

При описании транспорта электронов по проводнику в диффузионном режиме важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния λ, которая определяет коэффициент прохождения T. Для более глубокого понимания того, как средняя скорость электронов и среднее время рассеяния определяют величину λ,...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2016
Автор: Кругляк, Ю.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2016
Назва видання:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117590
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2016. — Т. 14, № 1. — С. 27-45. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-117590
record_format dspace
spelling irk-123456789-1175902017-05-26T03:02:54Z Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике Кругляк, Ю.А. При описании транспорта электронов по проводнику в диффузионном режиме важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния λ, которая определяет коэффициент прохождения T. Для более глубокого понимания того, как средняя скорость электронов и среднее время рассеяния определяют величину λ, качественно рассматривается рассеяние носителей тока и тепла в транспортной модели Ландауэра—Датты—Лундстрома (ЛДЛ) по ходу изменения времён рассеяния в процессе столкновений. На примере 1D-проводника выводится базовое соотношение между коэффициентом прохождения T и средней длиной свободного пробега λ. Устанавливается связь между λ и временем импульсной релаксации τm для проводников разной размерности. Даётся оценка усреднённого значения длины свободного пробега из экспериментальных измерений через коэффициент диффузии и устанавливается связь длины свободного пробега с подвижностью. В качестве примера анализируются экспериментальные данные для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях в рамках транспортной теории ЛДЛ с привлечением моделей различной достоверности. При описі транспорту електронів по провіднику в дифузійному режимі важливу роль відіграє середня довжина вільного зворотнього розсіяння λ, яка визначає коефіцієнт проходження T. Для більш глибокого розуміння того, як середня швидкість електронів і середній час розсіяння визначають величину λ, якісно розглядається розсіяння носіїв струму та тепла у транспортному моделю Ландауера—Датти—Лундстрома (ЛДЛ) по ходу зміни часів розсіяння в процесі зіткнень. На прикладі 1D-провідника виводиться базове співвідношення між коефіцієнтом проходження і середньою довжиною вільного пробігу λ. Встановлюється зв'язок між λ і часом τm імпульсної релаксації для провідників різної вимірности. Дається оцінка усередненого значення довжини вільного пробігу з експериментальних мірянь через коефіцієнт дифузії і встановлюється зв'язок довжини вільного пробігу з рухливістю. В якості прикладу аналізуються експериментальні дані для польового транзистора Si MOSFET в різних наближеннях у рамках транспортної теорії ЛДЛ із залученням моделів різної вірогідности. When describing the transport of electrons through a conductor in the diffusion regime, an important role is played by the average mean free path λ, which determines the transmission coefficient T. For a deeper understanding of how the average electron velocity and average scattering time, which determine the magnitude of λ, both the scattering of current carriers and the heat transport are qualitatively described within the Landauer—Datta—Lundstrom (LDL) model in the course of change of scattering times in the process of collisions. The basic relationship between the transmission coefficient and the average mean free path is proved for 1D resistor as the simplest example. A connection is established between λ and the time τm of momentum relaxation for conductors of different dimensions. There is given an estimation of the averaged values for the mean free path λ from experimental measurements using the diffusion coefficient, and the connection between the mean free path and mobility is established. As an example, the experimental data for Si MOSFET at different approximations along the LDL theory of transport involving models of different accuracy are analysed. 2016 Article Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2016. — Т. 14, № 1. — С. 27-45. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1816-5230 PACS: 72.10.-d, 72.20.Dp, 72.20.Fr, 73.23.-b, 73.63.-b, 85.35.-p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117590 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description При описании транспорта электронов по проводнику в диффузионном режиме важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния λ, которая определяет коэффициент прохождения T. Для более глубокого понимания того, как средняя скорость электронов и среднее время рассеяния определяют величину λ, качественно рассматривается рассеяние носителей тока и тепла в транспортной модели Ландауэра—Датты—Лундстрома (ЛДЛ) по ходу изменения времён рассеяния в процессе столкновений. На примере 1D-проводника выводится базовое соотношение между коэффициентом прохождения T и средней длиной свободного пробега λ. Устанавливается связь между λ и временем импульсной релаксации τm для проводников разной размерности. Даётся оценка усреднённого значения длины свободного пробега из экспериментальных измерений через коэффициент диффузии и устанавливается связь длины свободного пробега с подвижностью. В качестве примера анализируются экспериментальные данные для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях в рамках транспортной теории ЛДЛ с привлечением моделей различной достоверности.
format Article
author Кругляк, Ю.А.
spellingShingle Кругляк, Ю.А.
Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet Кругляк, Ю.А.
author_sort Кругляк, Ю.А.
title Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
title_short Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
title_full Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
title_fullStr Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
title_full_unstemmed Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
title_sort учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117590
citation_txt Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2016. — Т. 14, № 1. — С. 27-45. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv AT kruglâkûa učëtrasseâniâvobobŝënnojmodelitransportaélektronovvmikroinanoélektronike
first_indexed 2025-07-08T12:30:20Z
last_indexed 2025-07-08T12:30:20Z
_version_ 1837081897711173632
fulltext 27 PACS numbers: 72.10.-d, 72.20.Dp, 72.20.Fr, 73.23.-b, 73.63.-b, 85.35.-p Учёт рассеяния в обобщённой модели транспорта электронов в микро- и наноэлектронике Ю. А. Кругляк Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, 65016 Одесса, Украина При описании транспорта электронов по проводнику в диффузионном режиме важную роль играет средняя длина свободного обратного рассея- ния λ, которая определяет коэффициент прохождения T. Для более глу- бокого понимания того, как средняя скорость электронов и среднее время рассеяния определяют величину λ, качественно рассматривается рассея- ние носителей тока и тепла в транспортной модели Ландауэра—Датты— Лундстрома (ЛДЛ) по ходу изменения времён рассеяния в процессе столкновений. На примере 1D-проводника выводится базовое соотноше- ние между коэффициентом прохождения T и средней длиной свободного пробега λ. Устанавливается связь между λ и временем импульсной релак- сации τm для проводников разной размерности. Даётся оценка усреднён- ного значения длины свободного пробега из экспериментальных измере- ний через коэффициент диффузии и устанавливается связь длины свобод- ного пробега с подвижностью. В качестве примера анализируются экспе- риментальные данные для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях в рамках транспортной теории ЛДЛ с привлечением моде- лей различной достоверности. В ходе анализа ищется ответ на два вопро- са: 1) сколько мод проводимости обеспечивают ток? и 2) насколько изме- ренное сопротивление близко к баллистическому пределу? Ответить на сформулированные вопросы можно с разной степенью достоверности. Для упрощения вычислений поначалу пользуемся простой моделью при T = 0 К, что, конечно, недостаточно удовлетворительно, особенно для ком- натной температуры. Далее, предположим максвелл-больцмановскую статистику для носителей тока (невырожденные проводники); выкладки в этом случае не вызывают затруднений, однако, выше порогового напряжения допущение невырожденности также неудовлетворительно. Наконец, откажемся от каких-либо допущений и добросовестно просчи- таем интегралы Ферми—Дирака и для λ получим значение 15 нм, ко- торое является наилучшим из возможных оценок для рассматриваемого резистора длиной 60 нм. Длина этого резистора не может считаться слишком большой по сравнению с длиной свободного пробега, так что фи- Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii 2016, т. 14, № 1, сс. 27—45 © 2016 ІМФ (Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України) Надруковано в Україні. Фотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 28 Ю. А. КРУГЛЯК зически корректно считать, что этот резистор работает в квазибаллисти- ческом режиме. При описі транспорту електронів по провіднику в дифузійному режимі важливу роль відіграє середня довжина вільного зворотнього розсіяння λ, яка визначає коефіцієнт проходження T. Для більш глибокого розуміння того, як середня швидкість електронів і середній час розсіяння визнача- ють величину λ, якісно розглядається розсіяння носіїв струму та тепла у транспортному моделю Ландауера—Датти—Лундстрома (ЛДЛ) по ходу зміни часів розсіяння в процесі зіткнень. На прикладі 1D-провідника ви- водиться базове співвідношення між коефіцієнтом проходження і серед- ньою довжиною вільного пробігу λ. Встановлюється зв'язок між λ і часом τm імпульсної релаксації для провідників різної вимірности. Дається оці- нка усередненого значення довжини вільного пробігу з експерименталь- них мірянь через коефіцієнт дифузії і встановлюється зв'язок довжини вільного пробігу з рухливістю. В якості прикладу аналізуються експери- ментальні дані для польового транзистора Si MOSFET в різних наближен- нях у рамках транспортної теорії ЛДЛ із залученням моделів різної віро- гідности. В ході аналізи шукається відповідь на два питання: 1) скільки мод провідности забезпечують струм? і 2) наскільки виміряний опір бли- зький до балістичної границі? Відповісти на сформульовані запитання можна з різним ступенем вірогідности. Для спрощення обчислень спочат- ку користуємося простим модельом при T = 0 К, що, звичайно, є недостат- ньо задовільним, особливо для кімнатної температури. Далі, припустимо Максвелл—Больцманнову статистику для носіїв струму (невироджені провідники); розрахунки в цьому випадку не викликають труднощів, од- нак, вище порогової напруги припущення невироджености також є неза- довільним. Нарешті, відмовимося від будь-яких припущень і сумлінно прорахуємо інтеґрали Фермі—Дірака і для λ одержимо значення у 15 нм, яке є найкращим з можливих оцінок для розглянутого резистора за- вдовжки у 60 нм. Довжина цього резистора не може вважатися надто ве- ликою порівняно з довжиною вільного пробігу, так що фізично коректно вважати, що цей резистор працює в квазибалістичному режимі. When describing the transport of electrons through a conductor in the diffu- sion regime, an important role is played by the average mean free path λ, which determines the transmission coefficient T. For a deeper understanding of how the average electron velocity and average scattering time, which de- termine the magnitude of λ, both the scattering of current carriers and the heat transport are qualitatively described within the Landauer—Datta— Lundstrom (LDL) model in the course of change of scattering times in the process of collisions. The basic relationship between the transmission coeffi- cient and the average mean free path is proved for 1D resistor as the simplest example. A connection is established between λ and the time τm of momentum relaxation for conductors of different dimensions. There is given an estima- tion of the averaged values for the mean free path λ from experimental meas- urements using the diffusion coefficient, and the connection between the mean free path and mobility is established. As an example, the experimental data for Si MOSFET at different approximations along the LDL theory of transport involving models of different accuracy are analysed. The analysis УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 29 sought to answer two questions: 1) how many modes provide a current con- duction? and 2) how the measured resistance is close to the ballistic limit? Answers to these questions are given with different degrees of reliability. To simplify the calculations, the simplest model at T = 0 K was initially used that is certainly not sufficiently satisfactory, especially for the room tempera- ture. Further, we assume the Maxwell—Boltzmann statistics for the charge carriers (non-degenerate conductors); the calculations in this case do not cause difficulties, however, the assumption of non-degeneracy is also inade- quate above the voltage threshold. Finally, abandon any assumptions and simply calculate the Fermi—Dirac integrals to get the value of λ equal to 15 nm, which is the best possible estimation for a given resistor length of 60 nm. The length of this resistor cannot be considered too large compared to the mean free path, so it is physically correct to assume that this resistor oper- ates in a quasi-ballistic regime. Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, рассеяние электронов, коэффициент прохождения, длина свободного пробега, Si MOSFET. Ключові слова: нанофізика, наноелектроніка, розсіяння електронів, ко- ефіцієнт проходження, довжина вільного пробігу, Si MOSFET. Key words: nanophysics, nanoelectronics, electron scattering, transmission coefficient, the mean free path, Si MOSFET. (Получено 22 декабря 2015 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ При описании транспорта электронов в диффузионном режиме модели ЛДЛ [1—4] важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния (mean-free-pass for backscattering) λ, которая определяет коэффициент прохождения ( ) ( ) ( ) E T E E L λ = λ + , (1) где L – длина проводника. Откуда берётся это выражение? Обычно под λ подразумевается среднее расстояние между дву- мя актами рассеяния. В подходе Ландауэра [5, 6] величина λ имеет специальное значение: это длина, на которой коэффициент прохождения (1) уменьшается вдвое. Мы позже увидим, что средняя длина свободного рассеяния назад пропорциональна средней длине свободного пробега, Λ, ( ) ( ) ( ) ( )E E v E Eλ ∝ Λ = τ , (2) где средняя скорость определяется зонной структурой резистора, 30 а средне цессов р время о среднюю водимос время ра 2. КАЧЕ Пусть а водник в сы одина Через столкнов пульсы ниться, лок на р нить эле достаточ тронов. импульс рующий Рис. 1. К мент вре ются в среднем первонач ( ) m t E≈ τ время t ≈ ее время р рассеяния. определяют ю длину св ти или по ассеяния τ ЕСТВЕННО нсамбль э в момент в аковы и од время t вение. В з электроно а их энер рис. 1). Е ектроны н чно для за По истеч сы электро й механизм Качественна мени 0t = проводник одно столк чального а ( )E≥ τ , а э ( ) E m E≈ τ > τ Ю. рассеяния Хотелось т величин вободного п движности ( )Eτ . О О ФИЗИ электронов времени t днонаправ ( )t E≈ τ эл зависимост ов (направл ргия увели сли рассея а небольш ануления чении ещё онов ранд м рассеяни ая визуализ электроны в одном кновение че ансамбля энергия при ( ) ( )E E≥ τ [2 . А. КРУГЛЯ определя бы глубж ну λ. Обсу пробега оп и? Начнём ИКЕ РАССЕ в с энерги = 0 (рис. 1 влены. лектроны ти от физи ления стр ичится ил яние аниз шой угол, т суммарног ё некоторо омизирую ия упруги зация разли ы с одинако направлени ерез время электроно инимает св 2, 7].1 ЯК ется такж же понять к удим такж пределить м с того, ка ЕЯНИЯ ией Е впры 1). Первон испытают ики процес елок на р и уменьш отропно и то одного а го импуль ого времен тся. Если ий, то пер ичных врем овыми имп ии. Электр ( )t E≈ τ . С в зануляе воё равнове же и физик как эти ск же, каким из измере ак контрол ыскиваетс начальные т в средн ссов рассея ис. 1) мог шится (дли и стремитс акта рассе ьса ансамб ни ( m t E≈ τ , однако, воначальн мён рассеян ульсами вп роны испыт Суммарный ется чере сное значен кой про- корость и образом ений про- лируется ся в про- импуль- нем одно яния им- гут изме- ины стре- ся откло- еяния не- бля элек- ) ( )E E≥ τ домини- ная энер- ния. В мо- прыскива- тывают в й импульс ез время ние через УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 31 гия ансамбля электронов не примет ещё своего равновесного зна- чения. По прошествии ещё некоторого времени ( ) ( ), ( )E mt E E E≈ τ τ τ первоначальный избыток энергии занулит- ся, и энергия примет своё равновесное значение. Рисунок 1 наглядно иллюстрирует три характеристических времени рассея- ния: 1) среднее время между двумя последовательными актами рассеяния ( )Eτ ; 2) время релаксации импульса ( )m Eτ ; 3) время релаксации энергии ( )E Eτ . В общем случае ( ) ( )m E Eτ ≥ τ и ( ) ( ), ( )E mE E Eτ τ τ . Поскольку мы рассматриваем транспорт зарядов и тепла, то наибольший интерес для нас представляет время импульсной ре- лаксации, а также то, каким образом это время зависит от физи- ки рассеяния. Фундаментальным понятием в теории рассеяния является мат- рица рассеяния ( )S ′→p p , переводящая систему частиц из пер- воначального состояния p в некое конечное состояние ′p . Скорость рассеяния, иначе вероятность рассеяния за единицу времени, есть просто единица, делённая на среднее время между соседними столкновениями, и получается путём суммирования по всем возможным конечным состояниям, а именно: ( ) 1 ( ) S ′ ′= → τ ∑ p p p p . (3) В предположении, что электроны впрыскиваются в проводник с начальным импульсом, направленным вдоль оси z, для скоро- сти импульсной релаксации, по аналогии с (3), имеем [7]: 1 ( ) ( ) z pm z p S p′ Δ ′= → τ ∑ p p p . (4) Анизотропное рассеяние стремится отклонить электроны на не- большие углы, в результате чего время импульсной релаксации растёт, а соответствующая скорость падает. Аналогичным обра- зом записывается скорость релаксации энергии через время соот- ветствующей релаксации. Время импульсной релаксации можно рассчитать из скорости перехода. Техника вычислений скорости перехода подробно из- ложена в [7]. Здесь мы обрисуем лишь её основные моменты. Рассмотрим акт рассеяния подробнее (рис. 2). Пусть электрон с импульсом k=p и описываемый волновой функцией ( ) i ψ r оказался в области действия потенциала рассея- ния ( , ) S U tr , который может быть как статическим (рассеяние на заряженных примесях), так и динамическим (рассеяние на фоно- нах). В результате акта рассеяния первоначальный импульс электрона становится иным ′p , изменяется и его волновая функ- 32 ция на ни) (S p p в коне В перв где матр Выраже Ферми—Д ственна рассеяни лаксиру ной част излучени В люб ния, зат время (3 сной рел назад. Некот кодейств акустиче просто р энергии. ния буде упругом фонона 1/ ( )Eτ ∝ тёт с эн Рис. 2. П зультате ( ) f ψ r . Нуж )′→ p пер ечное ′p . вом поряд S ричный эле ние (5) из Дирака [8 за сохране ия (наприм ет ( 0EΔ = тотой ω (к ию или по бом случае тем воспол 3) или (4). лаксации в торые прос вующие δ- еских и о равновероя . В таких ет пропорц м рассеянии 1/ ( )Eτ (D E∝ − ω ергией (n- Переход эл акта рассея Ю. жно рассч рехода элек ке теории ( )S ′→ =p p емент пере 2 ,p p H ′ = вестно в к 8, 9]. Фиг ение энерг мер, на за 0 ). Для пе колебания оглощению е сначала льзоваться Позже буд вычислить стые поте -потенциал оптических ятно откл случаях м циональна и 1/ ( )Eτ ∝ ) (D E∝ + )ω . Поскол -проводник ектрона из яния на пот . А. КРУГЛЯ читать веро ктрона из возмущен 2 , 2 p p H ′ π δ ехода * ( ) f S U +∞ −∞ ψ∫ r квантовой гурирующ гии. В случ аряженны ериодическ решётки) ю фонона. нужно за я (5) и да дет показа ь среднюю нциалы р лы, а такж х фононах лоняют но можно ож а плотност ( )D E∝ , пр )ω , а льку обычн ки), можн з начальног тенциале U ЯК оятность ( первонач ний (E E′δ − − Δ ( ) ( ) i dψr r r теории ка ая в (5а) чае статич х примеся кого потен EΔ = ± ω , адаться по алее вычис ано, как и длину сво рассеяния, же потенци х в неполя сители то жидать, чт ти конечны ри рассеян с эм но плотнос но ожидать го состояни ( , ) S U tr .2 за единиц ального со )EΔ , . ак золотое δ-функци ческого пот ях) энерги нциала с х что соотв тенциалом слить хар з времени ободного ра например иалы рассе ярных мат ока с сохр о скорость ых состоян нии с погло миссией сть состоя ь уменьше ия в конеч цу време- остояния (5а) (5б) правило ия ответ- тенциала ия не ре- характер- ветствует м рассея- рактерное импуль- ассеяния р, корот- еяния на териалах ранением ь рассея- ний. При ощением фонона яний рас- ения вре- чное в ре- УЧЁТ РА мени рас Ситуа нах в п создают рассеяни Высок флуктуи энергети ряженны сителей 1/ ( )Eτ Для н записать в которо рассеяни проводн сеяния н Наша рассеяни эффицие пробега и времен влияют длину с рим, как эффицие Рис. 3. Ф женными АССЕЯНИЯ В ссеяния с ация с расс олярных с флуктуац ию электро коэнергети ирующему ическими э ых примес время рас будет пада некоторых ь в виде ст ом показат ия. Так, д иках с па на ионизир задача в ие влияет ент прохо будет про ни рассеян на время вободного к связаны ент прохож Флуктуирую и зарядами. В ОБОБЩЁН ростом эне сеянием на средах ин ции у дна з онов и фон ические э потенциа электронам сях (и пол ссеяния (τ ать. механизм тепенного з (Eτ тель степен для рассея араболичес рованных этом обзо на средню ождения. опорционал ния. Мы ст рассеяни пробега и ы друг с др ждения. ющий поте .3 ННОЙ МОДЕЛ ергии носи а заряжен ная. Случа зоны пров нонов (рис электроны алу рассея ми, так чт лярных фо ( )E будет мов рассеян закона 0) E E kT −⎛ = τ ⎜ ⎝ ни разный яния на а ской диспе примесях оре – луч юю длину Мы ожид льна произ тали лучш ия. Прежд и время р ругом дли енциал, со ЛИ ТРАНСПО ителей ток нных прим айно распо водимости с. 3). менее ния по ср то в случа нонах) с р расти, а с ния время s c E T ⎞ ⎟ ⎠ , й для разли акустическ ерсией s = 3 / 2s = + чше понят свободног даем, что зведению ше понимат е чем увя рассеяния, на свободн оздаваемый ОРТА ЭЛЕКТ ка или тепл месях или оложенные ( ) c E r , что чувствите равнению е рассеяни ростом эне скорость ра я рассеяни ичных мех ких фонон 1/ 2= − , а [7]. ть, каким о пробега длина св скорости н ть, какие язать межд сначала ного пробе случайно ТРОНОВ 33 ла. на фоно- е заряды о ведёт к ельны к с низко- ия на за- ергии но- ассеяния ия можно (6) ханизмов нах в 3D для рас- образом и на ко- вободного носителя факторы ду собой рассмот- ега и ко- располо- 34 3. КОЭФ СВОБОД Связь э транспор тронного (рис. 4). Рассм ме. Лев Доля э (I x L+ = такт (ра ствии пр что прав электрон (1I R= − сто как ходимо о Опред га 1/λ к тельного но, исхо длиной backscat диффузи ка в рез проводн доля в жительн складыв Прене Рис. 4. К длиной с ФФИЦИЕН ДНОГО ПР этих двух рта проще о транспор мотрим одн ый конта электронов ) (L T I x+= = ассеяние н роцессов р вый конта ны. Ре ) (0)R I T+ = прямые, т описать их делим обра как вероят о потока э одя из этог свободно ttering) ил ионном пр зультате ра ике форми результате ный поток вается из д ебрегая пр К выводу св вободного п Ю. НТ ПРОХО РОБЕГА х важней е всего п рта по 1D- нородный кт впрыск в Т вой 0)= . Оста назад) с т рекомбинац акт идеаль езультирую (0)T I+ . Так так и обра х простран атное значе тность (на электронов го определ го обратн ли проще с оводнике ассеяния н ируется от е рассеяни к. В резул двух велич ( )dI x dx + оцессами р вязи между пробега на п . А. КРУГЛЯ ОЖДЕНИЯ йших хар проиллюстр -проводни 1D-провод кивает эл йдёт в п авшаяся д током (I x− ции T R+ ьный, погл ющий к или ина атные пото нственное р ение средн единицу в в отрица ления, вели ного расс средней дл некоторая назад обра трицательн ия назад о льтате гра чин: ) ( )I x+ = − λ рекомбина у коэффици примере од ЯК Я И СРЕДН рактеристи рировать ку в дифф дник в диф ектроны с правый к оля вернё 0)x R I= = 1= . Пред лощает все ток, о аче, в пров оки электр распределе ней длины длины) об ательный ичину λ и сеяния (m линой своб я доля пол ащается в ный поток обращаетс диент пол ( )I x− + λ . ации, резул иентом прох днородного НЯЯ ДЛИН к диффуз на приме фузионном ффузионно с током I контакт с ётся в лев ( 0)I x+ = . дполагается е входящи чевидно, воднике им ронов, и н ение. ы свободног бращения и наоборо называют mean-free-p бодного пр ожительно отрицател к, и его не я, усилив ложительн льтирующ хождения и 1D-проводн НА зионного ере элек- м режиме ом режи- ( 0)I x+ = . с током вый кон- В отсут- я также, ие в него будет меют ме- нам необ- го пробе- положи- т. Имен- т средней pass for робега. В ого пото- льный. В екоторая вая поло- ного тока (7) щий ток и средней ника.4 УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 35 ( ) ( )I I x I x+ −= − (8) является постоянной величиной, так что градиент тока ( )dI x I dx + = − λ (9) является константой. Другими словами, ток спадает линейно вдоль проводника: ( ) (0) I I x I x+ += − λ . (10) Воспользуемся полученным уравнением для вычисления тока, входящего в правый контакт: ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) ( ) I L L I L I L I I L I L I I L+ + + + − + +⎡ ⎤= − = − − = −⎣ ⎦λ λ λ , (11) где мы воспользовались уравнением баланса (8) и тем, что пра- вый контакт идеальный ( ( ) 0I L− = ). Из последнего равенства находим ( ) (0) (0)I L I T I L + + +λ = = λ + , (12) Если провести аналогичные рассуждения для впрыскивания электронов правым контактом, то получим аналогичное уравне- ние для электронов, входящих в левый контакт, а именно: (0) ( )I T I L− −′= . Для однородного проводника T T′ = . Проводник под напряжением не является однородным, но нас интересует режим линейного отклика, так что вполне приемлемо положить T T′ ≈ . Окончательно, в предположении независимости друг от друга мод проводимости получаем искомое уравнение (1), связывающее коэффициент прохождения со средней длиной свободного пробе- га: ( ) ( ) ( ) E T E E L λ = λ + . Вывод этого уравнения сделан в рамках простой модели, что никак не мешает успешному и широкому использованию его на практике. Важным моментом в проведённых рассуждениях явля- ется интерпретация 1/ λ как вероятности (на единицу длины) обращения потока частиц в обратном направлении в результате рассеяния. Именно поэтому саму длину λ, как уже упоминалось, часто называют средней длиной свободного рассеяния назад. 36 Ю. А. КРУГЛЯК 4. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ВРЕМЯ РАССЕЯНИЯ Установим связь между λ и временем рассеяния τm. Пусть электрон совершает акт рассеяния в изотропном 1D-проводнике. У него есть две возможности: рассеяться вперёд и рассеяться назад. Только рассеяние назад существенно для определения средней длины сво- бодного пробега. Отсюда следует, что средняя длина рассеяния назад равна удвоенному значению средней длины рассеяния: 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) D m E E v E Eλ = Λ = τ . (13а) Для проводника произвольной размерности средняя длина рас- сеяния назад даётся выражением [10] 2 ( ) 2 | | x m x v E v τ λ = , где усреднение для 2D- и 3D-проводников ведётся по углам. Для изотропных проводников 2 ( ) ( ) ( ) 2D m E v E E π λ = τ , (13б) 3 4 ( ) ( ) ( ) 3D m E v E Eλ = τ . (13в) Аналогичный (6) степенной закон часто используется для средней длины рассеяния: 0( ) r CE E E kT −⎛ ⎞ λ = λ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (14) Для параболической зонной структуры 1/2( )v E E∝ , так что 1 / 2r s= + , где s – показатель степени в степенном законе (6) для времени рассеяния. Для акустических фононов 0r = , а для рассеяния на ионизированных примесях 2r = . 5. ОЦЕНКА УСРЕДНЁННОГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Для 2D-проводника в диффузионном режиме [11] 2 2 1diff D S D W W G L L = = σ ρ , (15) УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 37 где поверхностная проводимость 2 0 2 2 ( ) ( ) S D fq M E E dE h E ∂⎛ ⎞ σ = λ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (16) или иначе 2 2 2 S D q M h σ = λ , (17) где ( )2 2 1/2( ) 2D D F M M kT − π = ℑ η (18) выражается через интеграл Ферми—Дирака с ( ) /F F CE E kTη = − , а усреднённое значение длины свободного пробега [11] 0 2 0 2 ( ) ( ) ( ) D D f E M E dE ME f M M E dE E ∂⎛ ⎞ λ −⎜ ⎟ λ∂⎝ ⎠λ = = ∂⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∫ ∫ . (19) Измерив экспериментально поверхностную проводимость (17), мы хотим вычислить λ из (17), а именно: ( )2 2 1 2 / S D Mq h σ λ = . (20) Для вычисления 2DM согласно (18) нужно знать F η или ина- че положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимо- сти. Измерения одной проводимости недостаточно, нужно ещё измерить поверхностную плотность электронов [11] ( ) ( ) * 0 2 02S v F D F m kT n g N= ℑ η = ℑ η π , (21) откуда вычислить F η , далее 2D M по (18) и, наконец, λ по (20). Для невырожденных проводников ситуация упрощается, по- скольку в этом случае интегралы Ферми—Дирака сводятся к экс- понентам и усреднённое значение длины свободного пробега можно сразу записать в явном виде через измеряемые поверх- ностные проводимость и плотность ( )2 / S T S kT q qv n ⎛ ⎞σ λ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (22а) 38 Ю. А. КРУГЛЯК где T v есть однонаправленная термическая скорость электронов [11] *2 / T v kT m= π . (22б) Но часто измеряются коэффициент диффузии и подвижность; так что нам нужно увязать λ с этими измеряемыми величинами. 6. ОЦЕНКА ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ИЗ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ Вернёмся к 1D-проводнику на рис. 4. Предположим, что речь идёт о транспорте электронов в диффузионном режиме и вычис- лим ток. На левом конце ( 0x = ) число электронов, движущихся в направлении +х, есть (0) (0) / x n I v+ + += , где x v+ есть средняя скорость в направлении +х. В режиме квазиравновесного транс- порта x x v v− +≈ , так что (0) (0) / x n I v− − += . Суммарная плот- ность электронов ( ) ( )1 (0) 2 (0) (0) x x R I T I n v v + + + + + − = = . (23) На правом конце проводника ( ) ( ) / x n L I L v+ + += , а ( ) 0n L− = , по- скольку электроны не впрыскиваются с правого контакта. Сум- марная плотность электронов на правом контакте ( ) (0) ( ) x x I L T I n L v v + + + + = = , (24) и она меньше, чем на левом контакте: ( ) (0) (0) ( ) 2 1 x I n n L T v + + − = − . (25) Воспользуемся выражением для суммарного тока (0)I T I+= и найдём его, опираясь на уравнение (25). В результате получим (0) ( ) ( ) 2 1 2 x xv vT L n n L dn x I T L dx + + λ−⎡ ⎤ = = −⎢ ⎥− ⎣ ⎦ . (26) Поскольку коэффициент диффузии в нашем случае [11] 2 x v D + λ = , (27) УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 39 то в итоге мы получаем хорошо известный закон диффузии Фика dn I D dx = − . (28) Этот результат может показаться удивительным, так как принято считать, что диффузионный закон Фика выполняется на расстоя- ниях, намного превышающих среднюю длину свободного пробега. Однако подобное допущение не делалось при выводе уравнения (28). В этой связи ещё Шокли [12] заметил, что закон Фика не ограничен большими расстояниями, он применим и для описания баллистического и квазибаллистического транспорта; нужно лишь аккуратно учитывать граничные условия. Поскольку при выводе использовался 1D-проводник, то ток в (28) соответствует одной моде с энергией Е. При наличии многих каналов проводи- мости полный ток получается интегрированием по всем модам, а полученный таким образом коэффициент диффузии будет соот- ветствовать усреднённой по энергии длине свободного пробега. Простая ситуация имеет место в невырожденных проводниках со средней длиной свободного пробега λ0, не зависящей от энер- гии. В этом случае коэффициент диффузии зависит от термиче- ской скорости (22б) 0 2 T v D λ = , (29) что открывает простую возможность оценить длину свободного пробега из коэффициента диффузии. 7. СВЯЗЬ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА С ПОДВИЖНОСТЬЮ И поныне часто измеряют подвижность, зная которую можно оценить среднюю длину свободного пробега. Удельная поверх- ностная проводимость (16) может быть записана [11] как S S qnσ = µ , (30) уравнивая которую с (16), для подвижности получаем: 0 2 2 ( ) ( ) D S fq M E E dE h E n ∂⎛ ⎞ λ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠µ ≡ ∫ , (31) и возьмём эту формулу, известную также как формула Кубо— Гринвуда, в качестве определения подвижности. Уравнение (31), используя (20) и (30), можно переписать в виде 40 Ю. А. КРУГЛЯК 2 1 2 D S q M n h µ = λ . (32) Отсюда можно вычислить λ , задавшись измеренными значе- ниями подвижности и поверхностной плотности электронов, как и прежде для вычисления F η и далее 2DM по (18), а именно: ( ) ( ) 0 1/2 2 F T F kT qv − ℑ ηµ λ = ℑ η . (33) Для невырожденных проводников последняя дробь равна едини- це, так что λ легко вычисляется: 2 T kT qv µ λ = , (34) откуда для подвижности в невырожденных проводниках 1 2 / T v kT q λ µ = , (35) где первый сомножитель можно определить как коэффициент диффузии 2 T v D λ = , (36) откуда получается известное выражение Эйнштейна для невыро- жденных проводников D kT q = µ . (37) 8. УСРЕДНЁННАЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ДЛЯ СТЕПЕННОГО ЗАКОНА РАССЕЯНИЯ Из определения λ по (19) с использованием степенного закона рассеяния (14) имеем: 0 2 0 0 2 ( ) ( ) r C D D E E f M E dE kT E f M E dE E − ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠λ = λ ∂⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∫ ∫ , (38) что сводится к интегралам Ферми—Дирака, а именно: УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 41 ( ) ( ) 1/2 0 1/2 ( 3 / 2) (3 / 2) r F F r −ℑ ηΓ + λ = λ Γ ℑ η . (39) Для невырожденных проводников последний множитель равен единице. 9. ПОДВИЖНОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННОМ ЗНАЧЕНИИ ВРЕМЕНИ РАССЕЯНИЯ Воспользуемся предыдущим результатом и найдём мобильность для невырожденного проводника, характеризуемого постоянным значением времени рассеяния τ0. Из (35) с подстановкой (39) имеем: 0 1 ( 3 / 2) 2 / (3 / 2) T v r kT q λ Γ + µ = Γ . (40) Для 2D-проводника из (13б) 1/2 0 0* 2 ( ) ( ) 2 2 c E EkT E v E kTm ⎛ ⎞ −π π ⎛ ⎞ λ = τ = τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ , (41) откуда следует, что показатель степени в законе рассеяния 1/ 2r = и 0 0* 2 2 kT m ⎛ ⎞π λ = τ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (42) а после подстановки в (40) получаем ожидаемый результат: 0 * q m τ µ = . (43) 10. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ Si MOSFET В качестве примера проведём анализ экспериментальных данных для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях в рамках транспортной модели ЛДЛ [2]. Вольт-амперная характе- ристика (ВАХ) Si MOSFET с длиной канала проводимости 60 нм приведена на рис. 5. Для интересующего нас линейного участка ВАХ измеренные значения при комнатной температуре: 126,7 10 S n ≈ ⋅ см−2, 215R ≈ Ом⋅µм, 260µ ≈ см2/В⋅с. (44) 42 Зададим чивают баллисти Снача рождени В нашем до 2 v g = нас вопр щения в T = 0 К [ тельным предпол лей тока также н жения д Наконец просчита Пойдё возможн числа мо изученн числа м весьма н Балли 2 90ball DR ≈ сопротив бодного тщатель Рис. 5. В м себе два ток? 2) Н ическому п ала вспомн ие миниму м образце 2 с *m m= росы можн вычислени [11], что, к м, особенн ожить мак а (невырож не вызовут допущение ц, отказать ать интегр ём самым ность почу од (2D FM E ых транзи мод, обесп небольшое истический 0 Ом⋅µм, вления (44 пробега ьный ана Вольт-ампер Ю. вопроса: Насколько пределу? ним, что умов эллип квантовы 0,19tm m= но с разно ий можно в конечно, м но для ком ксвелл-бол жденные п т затруднен е невырож ься от как ралы Ферм простым п увствовать ) 150F ≈ µ исторов [13 печивающи число мод й предел что приме 4). Теперь из формул ализ пред рная характ . А. КРУГЛЯ 1) Скольк измеренн у кристал псоидально ые огранич 0m [15, 16] ой степень воспользов может быт мнатной т льцмановск проводник ний, одна жденности ких-либо ми—Дирака путём, что ь числа. В µм−1. Для н 3] /W L = их ток, п д. находим ерно в дв ь можем п улы (35) в дполагает теристика S ЯК ко мод про ное сопрот ллического ой формы чения сни . Ответить ью достове ваться про ть недостат температур кую стати ки), выкла ко, выше также неу допущени а. о, по крайн В модели наименьше 2 , а с учё олучаем M из выраж а раза ме получить о в [11]: (Eλ использо Si MOSFET оводимости тивление б о Si долин равно ше имают выр ь на интер рности. Д остой моде точно удов ры. Далее истику для адки в этом пороговог удовлетвор й и добро ней мере, T = 0 К п его по разм том 60L = ( )2D FM E ≈ жения (8) ньше изм оценку дли ) 40FE ≈ нм ование м при VG = 1,2 и обеспе- близко к нное вы- ести [14]. рождение ресующие Для упро- елью при влетвори- е, можно я носите- м случае го напря- рительно. осовестно даст нам плотность мерам из 0 нм для 18≈ . Это ) в [11]: меренного ины сво- м. Более максвелл- 2 В [13].5 УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 43 больцмановской модели, а ещё точнее – вычисление интегралов Ферми—Дирака с учётом заселённости подзон. Однако, так или иначе, уже ясно, что современные Si MOSFET работают в квази- баллистическом режиме, а не в баллистическом или чисто диф- фузионном режиме. Далее обратимся к оценке баллистической подвижности нашего образца Si MOSFET. Измеренная подвижность (44) относится к до- статочно протяжённому проводнику и традиционно является диф- фузионной. Чтобы оценить баллистическую подвижность опять об- ратимся к простейшей модели T = 0 К, в рамках которой уравнение (52) работы [11] можно переписать следующим образом 2 2 2 /ball D v s q L g n h µ = π . (45) Подставляя все известные величины, находим µ ≈ 1200 см2/В⋅с, что в несколько раз превышает диффузионную подвижность. Кажущаяся подвижность, согласно уравнению (47) из [11], будет несколько меньше подвижности нашего образца за счёт балли- стической подвижности. К приведённым оценкам нельзя отно- ситься слишком строго из-за явной недостаточности модели T = 0 К. Подвижность (44) была измерена при комнатной температуре. Уточним модель T = 0 К, перейдя к максвелл-больцмановской для невырожденных проводников. Из соотношения Эйнштейна (37) найдём коэффициент диффузии 6,7 kT D q = µ = см/с2. (46) Теперь можно вычислить усреднённую длину свободного про- бега λ по (36). Для этого нужно оценить термическую ско- рость T v (22б), что в свою очередь требует знания эффективной массы. Для электронов в инверсионном слое (100)Si, когда засе- лена только лишь одна подзона зоны проводимости, * 00,19tm m m= = [16], откуда 71,2 10 T v = ⋅ см/с и далее 11 MB λ ≈ нм. (47) Ещё более точный результат можно получить, перейдя к стати- стике Ферми—Дирака. Из (33) следует ( ) ( ) 0 1/2 F MB F− ℑ η λ = λ ℑ η . (48) Значение F η находим через известную измеренную поверхност- 44 Ю. А. КРУГЛЯК ную плотность ( ) ( ) * 2 0 02S D F v F m kT n N g ⎛ ⎞ = ℑ η = ℑ η⎜ ⎟ π⎝ ⎠ . (49) Для электронов в первой подзоне инверсионного слоя (100)Si 2 v g = , так что 11 2 4,1 10 D N = ⋅ см−2. Интеграл Ферми—Дирака вы- числяется аналитически ( ) ( )0 ln 1 F F eηℑ η = + , (50) так что ( )2/ln 1 1,42S Dn N F eη = − = . (51) Окончательно, 0 1/2 (1,42) 11 15 (1,42)FD − ℑ λ = × ≈ ℑ нм, (52) что и является наилучшей из возможных оценок для рассматри- ваемого резистора длиной 60 нм. Длина этого резистора не может считаться слишком большой по сравнению с длиной свободного пробега, так что физически корректно считать, что этот резистор работает в квазибаллистическом режиме. Подведём итоги. Основное внимание в этом обзоре уделено по- нятию длины свободного пробега λ как длины рассеяния назад и её связи с коэффициентом прохождения. Установлена связь меж- ду λ и временем импульсной релаксации для проводников разной размерности. Показано как вычислить усреднённое значение λ из экспериментальных измерений: через коэффициент диффузии или через подвижность. В качестве примера анализируются экс- периментальные данные для Si MOSFET с привлечением моделей различной достоверности. В основу настоящего обзора положены лекции Марка Лунд- строма ‘Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applica- tions’ [1] и Суприе Датты ‘Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts’ [2], прочитанных в 2011—2015 годах в рамках инициативы Purdue University/nanoHUB-U [www.nanohub.org/u]. Благодарю Н. Е. Кругляк за помощь в работе по изготовлению рисунков. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА—REFERENCES 1. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport УЧЁТ РАССЕЯНИЯ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ 45 (Hackensack—New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. 2. M. Lundstrom, Jeong Changwook, Near-Equilibrium Transport: Fundamen- tals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. 3. Yu. O. Kruglyak, Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii, 11, No. 3: 519 (2013) (in Russian); Erratum: ibidem, 12, No. 2: 415 (2014); Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, вип. 3: 519 (2013); Erratum: ibidem, 12, вип.. 2: 415 (2014). 4. Yu. O. Kruglyak, Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii, 13, No. 3: 549 (2015) (in Russian); Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 13, вип. 3: 549 (2015). 5. R. Landauer, IBM J. Res. Dev., 1, No. 3: 223 (1957). 6. R. Landauer, Philos. Mag., 21: 863 (1970). 7. M. Lundstrom, Fundamentals of Carrier Transport (Cambridge: Cambridge Univ. Press: 2000). 8. P. A. M. Dirac, Proc. Royal Soc., 114A, No. 767: 243 (1927). 9. E. Fermi, Nuclear Physics (New York: University of Chicago Press: 1950). 10. C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 107: 023707 (2010). 11. Yu. O. Kruglyak, Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii, 11, No. 4: 655 (2013) (in Russian); Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, вип. 4: 655 (2013). 12. W. Shockley, Phys. Rev., 125: 1570 (1962). 13. C. Jeong, D. A. Antoniadis, and M. S. Lundstrom, IEEE Trans. Electron Dev., 56, No. 11: 2762 (2009). 14. R. F. Pierret, Semiconductor Device Fundamentals (Reading: Addison— Wesley: 1996). 15. M. Lundstrom, ECE 612: Nanoscale Transistors. Lecture 4. Polysilicon Gates/QM Effects, 2008; www.nanohub.org/resourses/5364. 16. Yuan Taur and Tak Ning, Fundamentals of Modern VLSI Devices (Cam- bridge: Cambridge University Press: 2009). Odessa State Environmental University, Lvivska Str. 15, 65016 Odessa, Ukraine 1 Fig. 1. Qualitative visualization illustrating the characteristic times for electron scattering. An ensemble of electrons with momentum directed along one axis is injected at 0t = . Elec- trons have, on average, experienced one collision at ( )t E≈ τ . The momentum of the initial ensemble has been relaxed to zero at ( ) ( )mt E E≈ τ ≥ τ , and the energy has relaxed to its equi- librium value at ( ) ( ) ( )E mt E E E≈ τ > τ ≥ τ [2, 7]. 2 Fig. 2. Transition of electron from the initial state to the final state as a result of scatter- ing at potential ( , )SU tr . 3 Fig. 3. Fluctuating potential generated by randomly distributed charges. 4 Fig. 4. For drawing a conclusion on relation between transmission coefficient and mean- free-path for backscattering illustrated for a regular 1D conductor. 5 Fig. 5. Measured D DSI V− characteristic of an n-channel silicon MOSFET at VG = 1.2 V [13].

Схожі ресурси