Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор)
Обсуждается ретроспектива формирования понятия устойчивости инверсионных по отношению к силе тяжести жидких пленок. В исходном рэлеевском сценарии развития неустойчивости отсутствует понятие критического состояния, достижение которого ведет к трансформации антипленки из плоской (устойчивой) в гофрир...
Gespeichert in:
Datum: | 2012 |
---|---|
Hauptverfasser: | , , , , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2012
|
Schriftenreihe: | Физика низких температур |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117906 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) / Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 11. — С. 1257-1268. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-117906 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1179062017-05-28T03:03:23Z Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) Колмаков, Г. Коно, К. Левченко, А. Лейдерер, П. Шикин, В. К 75-летию Л.П. Межова-Деглина Обсуждается ретроспектива формирования понятия устойчивости инверсионных по отношению к силе тяжести жидких пленок. В исходном рэлеевском сценарии развития неустойчивости отсутствует понятие критического состояния, достижение которого ведет к трансформации антипленки из плоской (устойчивой) в гофрированную модификацию при малом изменении ее толщины. Общее понимание происходящего в критической точке и возможность говорить о полномасштабном явлении неустойчивости, включая ее определение и разные сценарии реконструкции антипленок, сложилось лишь в последнее время. Изложена последовательная картина развития капельной неустойчивости на разных ее этапах: от порога возникновения до появления стационарной гофрировки (реконструкция формы поверхности). Расчетная часть работы сопровождается специально выполненными экспериментами, подтверждающими основные выводы теории. Обговорюється ретроспектива формування поняття стійкості інверсійних по відношенню до сили тяжіння рідких плівок. У початковому релеєвсьскому сценарії розвитку нестійкості відсутнє поняття критичного стану, досягнення якого веде до трансформації антиплівки з плоскої (стійкою) в гофровану модифікацію при малій зміні її товщини. Загальне розуміння того, що відбувається в критичній точці, і можливість говорити про повномасштабне явище нестійкості, включаючи її визначення і різні сценарії реконструкції антиплівок, склалося лише останнім часом. Викладено послідовну картину розвитку краплинної нестійкості на різних її етапах: від порогу виникнення до появи стаціонарного гофрування (реконструкція форми поверхні). Розрахункова частина роботи супроводжується спеціально виконаними експериментами, що підтверджують головні висновки теорії. The paper traces retrospectively the development of the concept of stability of liquid films formed on downward facing surfaces (inversed gravity films). The original scenario of the instability development proposed by Rayleigh does not contain the concept of critical state after reaching which the flat stable inversed gravity film transforms into a corrugated modification whas the film thickness is slightly increased. Both the general understanding of the events occurred at the critical point and the possibility of discussing the full scale instability including its definition and various scenarios of inversed gravity films reconstructions have been developed only recently. The aim of this study is to outline a consistent picture of droplet instability at its different stages starting from the threshold point and up to the formation of a stationary corrugation (surface shape reconstruction). The calculational part of the paper is complemented with a series of specially performed experiments which confirm the main predictions of the theory. 2012 Article Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) / Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 11. — С. 1257-1268. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 47.10.ad, 47.20.Ma http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117906 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
К 75-летию Л.П. Межова-Деглина К 75-летию Л.П. Межова-Деглина |
spellingShingle |
К 75-летию Л.П. Межова-Деглина К 75-летию Л.П. Межова-Деглина Колмаков, Г. Коно, К. Левченко, А. Лейдерер, П. Шикин, В. Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) Физика низких температур |
description |
Обсуждается ретроспектива формирования понятия устойчивости инверсионных по отношению к силе тяжести жидких пленок. В исходном рэлеевском сценарии развития неустойчивости отсутствует понятие критического состояния, достижение которого ведет к трансформации антипленки из плоской (устойчивой) в гофрированную модификацию при малом изменении ее толщины. Общее понимание
происходящего в критической точке и возможность говорить о полномасштабном явлении неустойчивости, включая ее определение и разные сценарии реконструкции антипленок, сложилось лишь в последнее
время. Изложена последовательная картина развития капельной неустойчивости на разных ее этапах: от
порога возникновения до появления стационарной гофрировки (реконструкция формы поверхности).
Расчетная часть работы сопровождается специально выполненными экспериментами, подтверждающими
основные выводы теории. |
format |
Article |
author |
Колмаков, Г. Коно, К. Левченко, А. Лейдерер, П. Шикин, В. |
author_facet |
Колмаков, Г. Коно, К. Левченко, А. Лейдерер, П. Шикин, В. |
author_sort |
Колмаков, Г. |
title |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) |
title_short |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) |
title_full |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) |
title_fullStr |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) |
title_full_unstemmed |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) |
title_sort |
устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (обзор) |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
2012 |
topic_facet |
К 75-летию Л.П. Межова-Деглина |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117906 |
citation_txt |
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок (Обзор) / Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 11. — С. 1257-1268. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT kolmakovg ustojčivostʹirekonstrukciâinversionnyhplenokobzor AT konok ustojčivostʹirekonstrukciâinversionnyhplenokobzor AT levčenkoa ustojčivostʹirekonstrukciâinversionnyhplenokobzor AT lejdererp ustojčivostʹirekonstrukciâinversionnyhplenokobzor AT šikinv ustojčivostʹirekonstrukciâinversionnyhplenokobzor |
first_indexed |
2025-07-08T12:59:58Z |
last_indexed |
2025-07-08T12:59:58Z |
_version_ |
1837083764508852224 |
fulltext |
© Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин, 2012
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11, c. 1257–1268
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
(Обзор)
Г. Колмаков1, К. Коно2, А. Левченко3, П. Лейдерер4, В. Шикин3
1New York City College of Technology, Brooklyn, New York 11201, USA
2RIKEN, Hirosawa 2-1, Wako 351-0198, Japan
3Институт физики твердого тела РАН, г. Черноголовка, Московская обл., 142432, Россия
E-mail: shikin@issp.ac.ru
shikinv@yandex.ru
4Universitet Konstanz, Postfach 675, D-78457
Статья поступила в редакцию 13 июня 2012 г.
Обсуждается ретроспектива формирования понятия устойчивости инверсионных по отношению к си-
ле тяжести жидких пленок. В исходном рэлеевском сценарии развития неустойчивости отсутствует по-
нятие критического состояния, достижение которого ведет к трансформации антипленки из плоской (ус-
тойчивой) в гофрированную модификацию при малом изменении ее толщины. Общее понимание
происходящего в критической точке и возможность говорить о полномасштабном явлении неустойчиво-
сти, включая ее определение и разные сценарии реконструкции антипленок, сложилось лишь в последнее
время. Изложена последовательная картина развития капельной неустойчивости на разных ее этапах: от
порога возникновения до появления стационарной гофрировки (реконструкция формы поверхности).
Расчетная часть работы сопровождается специально выполненными экспериментами, подтверждающими
основные выводы теории.
Обговорюється ретроспектива формування поняття стійкості інверсійних по відношенню до сили тя-
жіння рідких плівок. У початковому релеєвсьскому сценарії розвитку нестійкості відсутнє поняття кри-
тичного стану, досягнення якого веде до трансформації антиплівки з плоскої (стійкою) в гофровану мо-
дифікацію при малій зміні її товщини. Загальне розуміння того, що відбувається в критичній точці,
і можливість говорити про повномасштабне явище нестійкості, включаючи її визначення і різні сценарії
реконструкції антиплівок, склалося лише останнім часом. Викладено послідовну картину розвитку крап-
линної нестійкості на різних її етапах: від порогу виникнення до появи стаціонарного гофрування (рекон-
струкція форми поверхні). Розрахункова частина роботи супроводжується спеціально виконаними експе-
риментами, що підтверджують головні висновки теорії.
PACS: 47.10.ad Уравнения Навье–Стокса;
47.20.Ma Межфазная неустойчивость (например, Рэлея–Тейлора).
Ключевые слова: межфазная неустойчивость, закон дисперсии, поверхностное натяжение, реконструкция
поверхности.
Содержание
1. Введение ........................................................................................................................................... 1258
2. Приготовление пленок и возможности наблюдения ..................................................................... 1258
2.1. Манипуляции со сверхтекучей пленкой................................................................................. 1259
2.2. Нормальные антипленки ......................................................................................................... 1260
3. Тонкая пленка в инверсионных условиях ...................................................................................... 1260
3.1. Особенности инверсионной задачи ........................................................................................ 1260
3.2. Неустойчивость инверсионной пленки .................................................................................. 1260
3.3. Реконструкция антипленки бесконечных размеров .............................................................. 1261
3.4. Реконструкция ограниченной нейтральной антипленки ...................................................... 1263
3.5. Реконструкция заряженной инверсионной пленки ............................................................... 1265
4. Заключение ....................................................................................................................................... 1267
Литература ............................................................................................................................................ 1268
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1258 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
1. Введение
Одной из простых, но весьма показательных явля-
ется капельная неустойчивость жидкой пленки в усло-
виях антигравитации. Это явление упоминается еще в
работах Рэлея [1]. Более предметно эффект обозначен
Тэйлором [2] (неустойчивость Рэлея–Тэйлора). Речь
идет о поведении границы двух жидких сред с разны-
ми плотностями 1ρ , 2ρ при наличии силы гравитации.
Если плотность 1ρ нижней части жидкости превосхо-
дит плотность 2ρ верхней составляющей, то граница
устойчива и остается плоской неограниченное время.
Формально ее устойчивости отвечает положительная
определенность квадрата частоты 2 ( ) > 0qω в законе
дисперсии малых колебаний формы границы
3
2
1 2
1 2
( ) = , > .
( )
qq gq σ
ω + ρ ρ
ρ −ρ
(1)
Здесь q — волновое число колебаний, g — ускорение
силы тяжести, σ — поверхностное натяжение на гра-
нице двух фаз.
Если теперь инвертировать направление силы тяже-
сти (или поменять местами плотности 1ρ , 2ρ ), стаби-
лизирующее действие гравитации пропадает. Возника-
ет низкочастотная область волновых чисел ( < cq q ),
для которой ( 2 ( ) < 0qω )
3
2 2
1 2
1 2
( ) = , = ( ) /
( ) c
qq gq q gσ
ω − + ρ −ρ σ
ρ −ρ
. (2)
Комбинация cq носит название капиллярного вол-
нового числа для данной границы между двумя жидко-
стями. Формула (2) предсказывает развитие неустой-
чивости на внезапно инвертированной поверхности
жидкости, в первую очередь на длинах порядка капил-
лярной. Неявно предполагается также, что процесс
развивается в ламинарных условиях.
Наблюдения за развитием неустойчивости Рэлея–
Тэйлора в 90-е годы, когда она впервые была обнару-
жена, были организованы следующим образом (см., на-
пример, [3,4]). На достаточно большую и по возмож-
ности плоскую твердую поверхность наносится капля
вязкого (силиконового) масла. Эта капля растекается
под действием силы тяжести в максимально тонкую
пленку (время растекания зависит от различных усло-
вий, не играющих заметной роли в последующем про-
цессе развития неустойчивости и может достигать не-
скольких суток). Убедившись в остановке процесса
расплывания, можно приступать к следующей стадии
эксперимента. С этой целью пластина быстро пере-
ворачивается так, чтобы пленка масла из «лежачего»
попадала в «висячее» по отношению к силе тяжести
положение. Конечная вязкость масла нужна для воз-
можности реализовать быстрый (по сравнению с ха-
рактерными временами развития неустойчивости) пе-
реворот пластины.
Как и ожидалось, исходно плоская неустойчивая
поверхность масла начинает деформироваться, при-
нимая гофрированный вид с характерными разме-
рами отдельных капель, имеющими масштаб капил-
лярной длины. На возникающую квазистационарную
реконструированную форму границы конечная вяз-
кость жидкости влиять не должна (подтверждается экс-
периментально). Типичная картина реконструирован-
ной границы висящей пленки представлена на рис. 1.
В изложенном сценарии развития неустойчивости
отсутствует исходное критическое состояние, дости-
жение которого ведет к трансформации антипленки из
плоской (устойчивой) в гофрированную модификацию
при малом изменении ее толщины. Общее понимание
происходящего в критической точке и возможность
говорить о полномасштабном явлении неустойчивости,
включая ее определение и разные сценарии реконст-
рукции антипленок, сложилось лишь в последнее вре-
мя. Целью работы является изложение последователь-
ной картины развития капельной неустойчивости на
разных ее этапах: от порога возникновения до появле-
ния стационарной гофрировки (реконструкция формы
поверхности).
2. Приготовление пленок и возможности
наблюдения
Критическим параметром задачи о капельной неус-
тойчивости оказывается толщина d антипленки, начиная
с ее вандерваальсовых значений. Интересующая нас
потеря устойчивости возникает в результате конкурен-
ции сил Ван-дер-Ваальса (ВдВ), стабилизирующих од-
нородность толщины пленки, и антигравитации, стре-
мящейся эту однородность нарушить. Под антипленкой
мы подразумеваем (уточняя уже использованный выше
термин) висящую под твердой подложкой пленку при
воздействии на нее силы тяжести, нормальной поверх-
ности пленки (при этом угол θ между направлением
силы тяжести и плоскостью пленки равен /2).π В об-
щем случае произвольных θ конкуренция сил ВдВ и
гравитации не носит критического характера.
Рис. 1. Система капель [3]. Видимая периодичность не носит
обязательного характера. Рождение одновременно большого
числа капель — следствие условий наблюдения, отвечающих
поздней стадии реконструкции.
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11 1259
2.1. Манипуляции со сверхтекучей пленкой
Несколько слов о возможностях приготовления сверх-
текучих пленок нужной толщины d (как нормальных,
так и инверсионных) с использованием комбинации
сил: Ван-дер-Ваальс + гравитация.
Если для простоты ограничиться запаздывающим
вариантом сил ВдВ, речь идет о связи
4
ret / = ( )f d g d hρ + . (3)
Здесь retf — константа Ван-дер-Ваальса с учетом за-
паздывания, высота h определена на рис. 2.
Пока > 0,h толщина нейтральной пленки гелия
лишь слегка превышает его уровень в резервуаре
4
ret / ( ) .d h f gh+ ρ (4)
Вся подложка погружена в жидкость.
Если же < 0h , определение (3) стремится к извест-
ной асимптотике
4
ret / ( ), =| | .m md f gh h hρ (5)
В этом пределе вертикальные стенки подложки
поднимаются над уровнем массивного гелия, оставаясь
покрытыми пленкой гелия, соединяющей ее горизон-
тальную часть с резервуаром. Отметим, что определе-
ние (3) достаточно просто решает фиктивную пробле-
му расходимости 1/4 ,md h−∝ 0.mh → Реально в этом
пределе толщина пленки остается конечной
5
0 ret= / .d f gρ (6)
Специальные измерения зависимости ( )d h с ис-
пользованием схемы измерений (рис. 3) подтверждают
отсутствие расходимости в ее поведении при 0mh →
(cм. рис. 4).
С ростом высоты пьедестала происходит смена ре-
жима в поведении сил ВдВ. Они перестают быть за-
паздывающими:
4 3
ret / /f d f d→ . (7)
Соответственно, равновесная толщина пленки следует
из требования
3/ = ,mf d ghρ (8)
заменяющего (5).
Элегантная (пока гипотетическая, предложенная
К. Коно) версия развития событий с инверсионной
пленкой изображена на рис. 5. В стакан с плоским
дном наливается определенное количество гелия, ко-
Рис. 2. Получение гелиевой пленки варьированием расстояния
h между поверхностью массивной жидкости и пьедесталом,
на котором расположена пленка. Величина h положительна,
пока уровень жидкости выше плоскости пьедестала, меняя
знак в обратном случае.
Рис. 4. Отсутствие расходимости в зависимости ( )d h , полу-
ченное в эксперименте [5], сплошная линия — закон 1/4.h−
Обозначение «(–) h» имеет тот же смысл, что и на рис. 2.
0,01 0,1
(–) , смh
100
90
80
d H
e-
fil
m
, н
м
Рис. 5. Два варианта наблюдения за поведением пленки на
дне стакана со сверхтекучей жидкостью. В левой части пол-
ное количество жидкости аккуратно дозировано. Правый
вариант не предполагает такой дозировки. При этом система
демонстрирует режим релаксационных колебаний, в котором
капля периодически достигает критических размеров и сры-
вается вниз.
Рис. 3. Схема измерения ( )d h с использованием интерферо-
метрии. Схема получения пленки та же, что и на рис. 2. G —
охранные кольца; S — источник электронов; P, R — поляри-
заторы, A — анализатор; LI — измерительная аппаратура.
Заряженная
пленка
Лазер
P R
LIS
G
+U
A
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1260 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
торый сразу же начинает сочиться по стенкам, перева-
ливая через края стакана. Далее возможны два сцена-
рия. В одном из них в стакане размещен дозированный
объем жидкости так, чтобы при ее распространении
на всю поверхность стакана толщина пленки на его дне
не достигала критического значения. Такая дозировка
позволяет, в принципе, проходить все стадии, близкие
к критическим и закритическим, почти в равновесных
условиях. Параметры капли можно фиксировать в рав-
новесных условиях.
Второй вариант менее прецизионен, но проще в реа-
лизации. В стакан помещается произвольное количест-
во гелия. Начинается процесс его стекания по стенкам
на дно. Этот цикл заканчивается отрывом критически
тяжелой капли гелия. Поступление гелия на дно стака-
на не прекращается. Начинается новый цикл с рожде-
нием очередной капли и т.п.
2.2. Нормальные антипленки
Для нормальных криогенных жидкостей использо-
ванный выше автоматический подъем пленки на про-
извольную высоту становится проблематичным (нет
сверхтекучести), и создание инверсионной пленки за-
данных параметров требует неких альтернативных
решений. Практически удобной оказывается методика
с использованием в ячейке фиксированного количества
данного криогенного газа и конденсацией его в нуж-
ном месте, манипулируя локальным перегревом (пере-
охлаждением) соответствующих управляющих элек-
тродов. Схема ячейки из [6] представлена на рис. 6.
Количественные детали профилей висящих капель
из [6] доступны прямому наблюдению (подробнее см.
ниже). Оригинальность такой информации (на фоне
данных рис. 1) обусловлена не столько самим фактом
обнаружения капли, а ее более сложной конструкцией:
ожидается и доказано появление лишь одной капли,
несмотря на ярко выраженное неравенство 1cq R и
зависимость «устройства» капли не только от «массив-
ного» параметра cq из (2). Здесь R — радиус верхней,
охлаждаемой пластины (см. рис. 6).
Важен и прикладной аспект задачи. Для большин-
ства жидких пленок, за исключением сверхтекучих,
информация относительно констант ВдВ очень огра-
ничена в связи с отсутствием подходящих явлений,
чувствительных к дисперсионным силам. Измерение
параметров гравитационных капель в инверсионных
условиях позволяет значительно расширить экспери-
ментальные возможности для определения параметров
сил ВдВ в нормальных пленках.
3. Тонкая пленка в инверсионных условиях
3.1. Особенности инверсионной задачи
Чисто гравитационное поведение антипленки аб-
солютно неустойчиво [7]. Учет сил ВдВ ведет к появ-
лению конечного интервала толщин, в пределах кото-
рого возможно механическое равновесие однородной
пленки. С ростом ее толщины в окрестности критиче-
ского значения *h теряется механическая устойчивость
пленки, что отражается, в частности, на свойствах за-
кона дисперсии малых колебаний формы поверхности
пленки. При этом по аналогии с другими известными
случаями (заряженная пленка жидкости [8], устойчи-
вость пленок в задаче о смачивании [9]) неустойчи-
вость инверсионной пленки имеет место в первую оче-
редь на малых волновых числах.
Детали развития неустойчивости и возможности
стационарной реконструкции тонкой антипленки каче-
ственно не совпадают с происходящим в массивном
пределе. Если для массивной заряженной жидкости
периодическая реконструкция обусловлена в первую
очередь появлением неустойчивости на конечных вол-
новых числах в окрестности так называемой капилляр-
ной длины [10,11], то для тонкой пленки подобные
наводящие соображения отсутствуют. В известной и
близкой по духу работе [12], посвященной изучению
свойств жидких капель на поверхности твердого тела,
наклоненного под произвольным углом к горизонту,
отмечена, в частности, ситуация, когда капля висит на
твердом потолке (сила тяжести отрывает жидкость от
подложки). Однако постановка задачи [12] (как и ре-
зультаты [1–4]) исключает предельный переход к зада-
че об однородной пленке жидкости, так как здесь от-
сутствуют силы ВдВ.
3.2. Неустойчивость инверсионной пленки
Рассмотрим тонкую пленку жидкости толщиной h,
сконденсированную на твердом потолке и имеющую
исходную плоскую форму. Равновесные механические
свойства пленки определяются двумя факторами: при-
тяжением к потолку ВдВ происхождения, способном
удерживать пленку на твердой подложке в плоском
состоянии, и гравитацией, ответственной за возмож-
ную неустойчивость пленки.
Рис. 6. Схема появления висящей капли на переохлажденном
«потолке» ячейки. 1 — камера охлаждения, 2 — медная, ох-
лаждаемая по отношению к объему пластина, 3 — капля
водорода, 4 — жидкий водород в металлическом стакане [6].
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11 1261
В обычной геометрии (пленка на твердой подложке)
потенциал, удерживающий плоский слой жидкости
вблизи подложки, формируется давлением ВдВ и гра-
витацией
= ( ).wP gh P hρ − (9)
Здесь ρ — объемная плотность жидкости, wP — дав-
ление ВдВ:
1
3( ) = 1w
w
fP
d
−ζ⎛ ⎞ζ +⎜ ⎟
ζ ⎝ ⎠
. (10)
Выражение (10) для сил Ван-дер-Ваальса записано для
общего случая пленки переменной толщины ( , ).x yζ
Эта интерполяционная формула, учитывающая эффек-
ты запаздывания, была предложена в [13,14]. Она со-
держит константу взаимодействия ВдВ f и характер-
ную толщину .wd Измерение констант f и wd является
сложной экспериментальной задачей. В случае со
сверхтекучим гелием они определяются из анализа
распространения третьего звука [14]. Для водорода
значения f и wd неизвестны.
Потенциал (9) монотонно возрастает (производная
/P h∂ ∂ положительна), и потому пленка, лежащая на
твердой подложке, абсолютно устойчива.
Для инверсионной пленки комбинация
= ( )wP gh P h−ρ − (11)
становится немонотонной, проходя через максимум в
точке h*:
| *
/ = 0.hP h∂ ∂ (12)
Решение уравнения (12) существует при любых
значениях f и wd , ибо ( ) / < 0wP h h∂ ∂ . Неустойчи-
вость инверсионной пленки в точке *h была впервые
отмечена авторами работы [15].
Для того чтобы оценить критическую толщину плен-
ки *h , имеет смысл рассмотреть два предельных случая:
wh d и wh d . В первом случае можно пренебречь
эффектами запаздывания, а во втором они будут играть
определяющую роль. Тогда для wP получим:
3( ) = / при w wP f dζ ζ ζ (13)
и
4( ) = / при ,w w wP fd dζ ζ ζ (14)
а для *h в случае ( , ) = = constx y hζ
1/5
* *= (4 / ) , ,w wh fd g h dρ (15)
1/4
* *= (3 / ) , .wh f g h dρ (16)
В условиях *>h h силы ВдВ недостаточны для
удержания плоской пленки на потолке, и в задаче воз-
никает неустойчивость. Однако, если пленка с *>h h
перестает быть плоской,
( ) = ( ),x h xζ + ξ
/2
/2
( ) =
L
L
x dx Lh
+
−
ζ∫ (17)
(L — размеры пленки в горизонтальном направлении),
то можно ожидать сохранения механического равнове-
сия в неком интервале значений параметра δ , характе-
ризующего степень надкритичности
* *= ( ) / .h h hδ − (18)
Подобная ситуация возможна в результате появления в
балансе сил лапласовского давления, способного ста-
билизировать форму пленки ( )xζ и в условиях *>h h ,
где под h будем понимать в дальнейшем среднюю по
поверхности толщину пленки из (17). Схема реконст-
рукции приведена на рис. 7.
Следует отметить, что в общем случае конечной
температуры 0T ≠ все жидкопленочные образования
на потолке неустойчивы. Тем не менее в условиях
0T T , где 0T — температура кипения данной жид-
кости, можно говорить о метастабильном механиче-
ском равновесии, когда на потолке присутствует слой
жидкости с > 0.δ Аналогичные соображения исполь-
зуются и в [12] при постановке задачи о свойствах ка-
пель на наклонной подложке.
3.3. Реконструкция антипленки бесконечных размеров
Задача о построении решения, описывающего фор-
му поверхности инверсионной пленки при > 0,δ рас-
смотрена в [16,17]. В этих условиях необходимо поми-
мо силы тяжести и сил Ван-дер-Ваальса учесть силы
поверхностного натяжения. Давление на свободной
поверхности жидкости определяется при этом выраже-
нием
2 3/2= .
[1 ( ) ]
wP g PαΔζ
− −ρ ζ −
+ ∇ζ
(19)
Функция ζ , описывающая равновесную форму по-
верхности, является решением уравнения = const,P
P из (19). Новая система уравнений, описывающая
равновесную форму поверхности, включает условие
постоянства давления:
2 3/2 = 0
[1 ( ) ]
wg P pαΔζ
+ρ ζ + +
+ ∇ζ
(20)
и условие сохранения полного объема жидкости в слое V:
2 ( ) =d r r Vζ∫ . (21)
Рис. 7. Схема реконструкции исходно однородной пленки,
висящей на жестком потолке.
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1262 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
Заметим, что требование постоянства объема жела-
тельно выполнять со специальной аккуратностью. Интег-
рирование по объему пленки должно захватывать один из
периодов возникающей периодической структуры.
Короткодействующий характер сил ВдВ приводит к
тому, что значения *h , рассчитанные по формулам (15)
и (16) с параметрами f и wd , взятыми из [14], имеют
один порядок величины
4
* 10 смh −∼ , (22)
что во много раз превосходит 610wd −∼ см. Это оз-
начает, что при малых значениях δ в (19) можно вос-
пользоваться формулой (14) для wP . С другой стороны,
ниже будет показано, что количественные характери-
стики реконструкции висящей пленки при > 0δ , рас-
считанные с применением (14) и (13), отличаются сла-
бо. Поэтому в дальнейшем, обсуждая картину развития
неустойчивости с увеличением δ качественно, мы счи-
таем оправданным использование формулы (13).
Уравнение (20) может быть получено, исходя из ва-
риационного принципа минимума энергии слоя жид-
кости при дополнительном условии (21). Энергия рас-
сматриваемой системы с учетом сил гравитации,
поверхностного натяжения и ВдВ в форме (14) есть
2 2 2
3
1= 1 ( ) .
2 3
wfd
d g
⎡ ⎤
α + ∇ζ − ρ ζ +⎢ ⎥
ζ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫E (23)
В равновесии эта энергия имеет экстремальное значе-
ние, что выражается требованием
2 ( ) = 0.p d r⎡ ⎤δ − ζ⎣ ⎦∫E (24)
При этом условие нормировки (21) учитывается в
уравнении (24) с помощью метода неопределенных
множителей Лагранжа. Роль неопределенного множи-
теля Лагранжа играет в данном случае константа p.
Для получения основных количественных характе-
ристик явления реконструкции можно ограничиться
рассмотрением одномерной задачи. Кроме того, будем
искать точное решения (20) с wP в виде (13). В этом
случае уравнение (20) имеет первый интеграл:
2
12 1/2 2
1 =
2[1 ( )] 2'
fg p Cα
− + ρ ζ − + ζ
+ ζ ζ
. (25)
Условие нормировки выглядит как
( ) = .dx x Sζ∫ (26)
Здесь 1C и p — произвольные константы, S — пло-
щадь среза пленки в плоскости ( , )x z . Полагая угол на-
клона поверхности к горизонтальной плоскости малым,
| | 1,'ζ (27)
что с хорошей точностью выполняется при 3
*< 10h h и
соответствует реальным экспериментальным условиям
[17,18], можно упростить уравнение (20):
3 = 0.'' fg pαζ +ρ ζ + +
ζ
(28)
Первый интеграл (28) примет вид
21 ( ) = ,
2
' U Cζ + ζ (29)
где
4 3 2
1( ) = ( 2 ) / 2 и = 1 / .U g p f C Cζ ρ ζ + ζ − αζ + α (30)
Уравнение (28) при *>h h имеет нелинейные пе-
риодические решения для неограниченной по оси x
пленки. Если обозначить через = izζ , = 1,..., 4,i
4 3 2 1< < <z z z z корни полинома
4 3 22 2 ,g p C fρ ζ + ζ − α ζ − (31)
то такое нелинейное решение в диапазоне значений
2 1< <z zζ , отвечающее новому, реконструированно-
му состоянию поверхности, можно записать в инте-
гральной форме:
0
2
= .
2[ ( )]z
d x x
C U
ζ ζ
−
− ζ∫ (32)
Произвольный параметр 0x появляется здесь вслед-
ствие инвариантности исходного уравнения (20) по
отношению к сдвигу вдоль оси x.
Уравнения, аналогичные (25)–(32), легко выводятся
и для wP в виде (14).
Интеграл в левой части (32) можно выразить через
эллиптические интегралы первого и третьего рода
( , )F rμ и ( , , )n rΠ μ . При этом период нелинейной ста-
ционарной волны поверхностной деформации также
выражается через эти функции:
1 3 2 4
4=
( )( )
aT
z z z z
×
− −
1 2
2 3 3
1 3
( ) , , ( , ) .
2 2
z z
z z r z F r
z z
⎡ ⎤−π π⎛ ⎞× − Π +⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(33)
Располагая решением (31)–(33) одномерной задачи
о реконструкции в общем виде, заметим далее, что
корни iz полинома (31) зависят от двух произвольных
констант p и C. Условие нормировки (26) дает возмож-
ность исключить один из параметров, например пара-
метр p. Таким образом, форма реконструированной
поверхности инверсионной пленки определяется одно-
параметрическим семейством периодических функций.
Период поверхностной структуры зависит от парамет-
ра C. Возникающая неоднозначность может быть пре-
одолена, если ввести в задачу дополнительные (напри-
мер, граничные) условия. Одним из таких условий
могло бы стать предположение о формировании оди-
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11 1263
ночной стационарной волны деформации (солитона),
когда .T →∞ Однако условие нормировки запрещает
существование такого решения, поскольку в этом слу-
чае интеграл ( ( ) )dx x hζ −∫ расходится. Другая воз-
можность выбора — количественный анализ энергии
системы. Численный расчет показывает, что в семей-
стве решений (32) энергетически предпочтительным
оказывается решение с наибольшим периодом. Смысл
этому требованию можно придать, потребовав, чтобы в
точках перегиба c 2 2/ = 0d dxζ искомого периодиче-
ского решения выполнялось требование (12).
В условиях 1δ общее выражении (33) для пе-
риода гофрировки T демонстрирует зависимость
1 / ( ) / , 1T P h h∝ ∂ ∂ δ , (34)
где ( )P h взято из (11), *h — из (12) δ — из (18). Если
же 0δ → , как и ожидалось, период T (34) расходится.
Среди качественных результатов этой общей части
работы обращает на себя внимание заметное различие
между периодом T (34), отвечающим появлению гоф-
рировки вдоль теряющей устойчивость тонкой пленки
жидкости, и капиллярной длиной 1/2= ( / ) ,a gα ρ воз-
никающей на поздних стадиях ее реконструкции
(см. комментарии к (2) и рис. 1).
3.4. Реконструкция ограниченной нейтральной
антипленки
1. При наличии экспериментальных ограничений на
размеры ячеек имеют смысл расчеты для слоя жидко-
сти, ограниченного в горизонтальном направлении
вертикальными стенками, расположенными на конеч-
ном расстоянии L друг от друга
/ 2 / 2L x L− ≤ ≤ . (35)
Эффективный угол смачивания стенок жидкостью
есть θ. Условие = 0θ ,что эквивалентно
/2| = 0,'
L±ζ (36)
позволяет осуществить гладкий переход от *<h h к
*>h h , так как в противном случае ( 0θ ≠ ) при *<h h
поверхность жидкости не была бы плоской вблизи вер-
тикальных стенок. Теперь, в новой геометрии (35),
(36), произвольный параметр C в семействе ( )xζ ре-
шений системы (32), (26) может принимать лишь счет-
ное множество значений. Задача состоит в том, чтобы
выбрать из этого множества такое значение параметра,
которое соответствовало бы форме поверхности с наи-
меньшей энергией.
Значение параметра C , при котором выполняется
граничное условие (36), может быть найдено из требо-
вания
/ = ,L T N
где N — натуральное число. Величина N совпадает с
числом максимумов периодической функции ( )xζ в
интервале / 2 < < / 2L x L− (начало отсчета помещено
в центр ячейки), т.е. реконструированная поверхность
представляет собой систему N «капель», соединенных
между собой. Для такой системы удобно ввести сред-
нюю толщину слоя
/2
1
/2
= ( ).
L
L
h L dx x−
−
ζ∫
Численный анализ условий устойчивости инверси-
онного слоя при средних значениях уровня надкритич-
ности < 10δ , *= / 1,h hδ − показал, что устойчивым
является решение с = 1.N Оказалось, что энергия ре-
конструированной пленки с = 1N имеет наибольшее
отрицательное по сравнению с другими N значение.
Результаты вычислений для *= 1,78h h , = 13,3L a при-
ведены на рис. 8 из [17]. Кривая 1 отвечает профилю
поверхности с = 1N , а кривая 2 — с = 2.N Коорди-
наты x и y нормированы на капиллярную длину a и
критическую толщину пленки *h соответственно. Энер-
гия пленки с одним максимумом, выраженная в еди-
ницах 1/2 2
0 = ( ) /4,E g hαρ оказалась равной 1 0= 3,80 ,E E−
а энергия системы с двумя максимумами —
1 0= 2,86 .E E−
Кроме того, было проверено, что вторая вариация
энергии жидкого слоя с одним минимумом
/2
(2)
/2
ˆ= ( ) ( ),
L
L
E dx x x
−
δ δζ Λδζ∫
где
2
2 4
3ˆ =
2 2 ( )
g f
x x
α ∂ ρ
Λ − − +
∂ ζ
— линейный дифференциальный оператор, положи-
тельно определена для значений < 13L a и *< 10h h .
Это означает, что малые возмущения реконструиро-
ванной пленки с = 1N привели бы к увеличению
энергии системы, и это говорит о ее устойчивости.
2. В предельном случае *> 10h h система из N ка-
пель имеет очень тонкие перемычки, объем жидкости в
Рис. 8. Варианты профилей поверхности пленки на подложке
с фиксированной длиной / .L a± N = 1 (1); N = 2 (2).
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1264 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
которых пренебрежимо мал. Это позволяет использо-
вать для описания формы каждой капли решение
Френкеля [12]:
0( ) = (1 cos / ),
2
A
x x aζ + (37)
где
0 = /A S aπ (38)
— вертикальный размер капли, =S hL — двумерный
«объем» капли. Энергия капли (37):
2
1 3( ) = .
2
E S S
a
α
−
π
(39)
Полную энергию жидкости можно оценить как сум-
му энергий отдельных капель. Если полный объем жид-
кости распределен на N капель, энергия системы есть
2
1 3= ( / ) = ,
2
SE NE S N
Na
α
−
π
что означает увеличение энергии с ростом числа ка-
пель. Следовательно, и в макроскопическом пределе
*> 10h h существование одиночной капли более вы-
годно энергетически.
Покажем, что с ростом надкритичности толщина
пленки на границах ячейки падает. Для этого найдем
универсальную связь между minζ и maxζ при задан-
ном размере одиночной капли L. Так как
( / 2) = (0),' 'Lζ ζ из (29) получаем
min max( ) = ( ),U Uζ ζ (40)
где U из (30). Предположим теперь, что степень над-
критичности достаточно велика, так что основная мас-
са жидкости сосредоточена в капле, а края капли мож-
но считать плоскими. Тогда в уравнении (28) можно
пренебречь величиной ''αζ в точке min( / 2) = ,Lζ ζ
откуда получаем
min 3
min
= .fp g−ρ ζ −
ζ
Далее, подставляя значение p в (40), получаем связь
между minζ и maxζ :
min max
min max min2 2 3
max min min
( )
( ) 2 = 0.
f fg g
⎛ ⎞ζ + ζ
ρ ζ +ζ + − ρ ζ +⎜ ⎟⎜ ⎟ζ ζ ζ⎝ ⎠
(41)
Считая min maxζ ζ и max / ,hL aζ π получаем из
(41) интерполяционную формулу
1/3
min * ,ah
L
− π
ζ δ∼ (42)
где *h взята из (16).
Аналогичная формула с учетом запаздывания имеет
вид
1/4
min * ,ah
L
− π
ζ δ∼ (43)
*h взята из (15). Интерполяционные выражения (42) и
(43) указывают на уменьшение толщины краев пленки
с ростом надкритичности.
Итак, при переходе через нулевой уровень надкри-
тичности на плоском пьедестале, толщина которого
определяется в основном силами Ван-дер-Ваальса, по-
степенно формируется одиночная капля, высота кото-
рой растет, а поперечный размер стремится к 2 aπ с
ростом надкритичности. В пределе 1δ эта капля хо-
рошо описывается формулой, полученной Френкелем.
Изменение формы капли с ростом надкритичности
демонстрирует рис. 9, взятый из [17]. Средняя толщина
пленки для кривых 1, 2 и 3 равна соответственно
*= 2h h , *= 5h h , *= 7h h . Видно, что характерный го-
ризонтальный размер капли составляет несколько ка-
пиллярных длин и слабо зависит от уровня надкритич-
ности. Толщина жидкого слоя вблизи стенок меньше
*h , и она уменьшается с ростом h . В случае *h h
большая часть объема жидкости концентрируется в
капле.
На рис. 10 [17] показана зависимость вертикального
размера капли = (0) ( / 2)A Lζ − ζ от параметра надкри-
тичности δ (18) при = 9L a . Чтобы сравнить резуль-
Рис. 9. Изменение формы капли с ростом надкритичности
при различных средних толщинах пленки h: *2h (1); *5h (2);
*7h (3).
Рис. 10. Вертикальный размер капли в зависимости от над-
критичности.
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11 1265
таты [17] с макроскопической моделью [12], высота
капли A нормирована на высоту 0A капли Френкеля
из (38). При высоком уровне надкритичности ( 1)δ
высота капли A близка к высоте капли Френкеля того
же объема. При *h h∼ вертикальный размер капли A
значительно отличается от 0A .
3. Завершая обсуждение проблемы устойчивости
нейтральной тонкой пленки в инверсионных условиях,
полезно обозначить границы применимости получен-
ных теоретических результатов. Предположение (27),
позволившее существенно упростить задачу, означает,
что характерные масштабы в горизонтальном и верти-
кальном направлениях должны значительно различать-
ся. Горизонтальный размер капли имеет порядок ка-
пиллярной длины, для жидкого водорода 0, 2a ≈ см.
Характерная толщина пленки может быть оценена че-
рез критическую толщину *,h что для пленки жидкого
водорода на диэлектрической подложке составляет
4
* 10h −≈ см. Нарушение условия (27) эквивалентно
/ 1A a ∼ или 2 /h a L∼ с учетом (38). Из этих оценок
ясно, что предложенное описание поведения пленки
должно быть верным при
2 3
*< / 10a Lhδ ∼ (44)
или 2< 10h − см для 10L a∼ .
Условие (27) можно рассматривать как грубый кри-
терий устойчивости системы. Действительно, как от-
мечено в п. 3 данной главы, классический солитон в
неограниченной геометрии в задаче о реконструкции
не может существовать из-за расходимости интеграла
( ( ) ).dx x hζ −∫ С другой стороны, в задаче с конечным
размером роль «крыльев» ограниченного солитона
выглядит несущественной (см. комментарии к рис. 9).
Поэтому имеется характерный размер *L , разделяю-
щий эти предельные случаи. Этот размер соответству-
ет моменту отрыва капли, когда на кривой ( )xζ появ-
ляются точки с 'ζ → ∞ . Условие (44), эквивалентное
1,'ζ ∼ означает ослабление сил лапласовского давле-
ния, которые вместе с силами ВдВ обеспечивают ста-
бильность системы. В этом смысле неравенство (44)
накладывает ограничения сверху на масштаб L при
заданном уровне надкритичности. Ясно, что точное
решение уравнения (20) без условий (27) дало бы ме-
нее жесткие ограничения на L.
Со стороны малых толщин нас ограничивает невоз-
можность считать жидкую среду непрерывной, что со-
ответствует 7> 10h − см. Таким образом, полученные
результаты можно использовать в макроскопически ши-
роком диапазоне толщин пленок 7 210 см < < 10 см.h− −
3.5. Реконструкция заряженной инверсионной пленки
Полученные результаты о поведении нейтральной
инверсионной пленки позволяют сформулировать при-
годную для сравнения с экспериментом задачу о рав-
новесной форме заряженной капли в условиях ан-
тигравитации. Геометрия рассматриваемой системы
(см. рис. 7) соответствует экспериментам [18], когда
капля водорода конденсируется на верхней горизон-
тальной пластине круглого конденсатора и поверхно-
стный заряд полностью экранирует электрическое поле
в объеме жидкости. Поверхность пленки сканируется
тонким лазерным пучком, позволяющим изучать ее то-
пографию. В результате была определена зависимость
высоты и радиуса капли от приложенного напряжения,
а также вычислено критическое напряжение, при кото-
ром жидкая поверхность теряет устойчивость. Харак-
терная толщина водородного слоя в рассмотренной
ситуации значительно превышает критическую толщи-
ну *h , связанную с силами Ван-дер-Ваальса. Как пока-
зано выше, в этих условиях толщина слоя жидкости на
крыльях капли мала и интегральный вклад тонких кра-
ев капли в общий объем жидкости можно не учиты-
вать. Поэтому взаимодействие жидкости с твердой
подложкой должно быть учтено только на краях капли
в виде граничного условия = 0'ζ , за пределами капли
= 0.ζ Приведенные выше результаты анализа поведе-
ния реконструированной нейтральной инверсионной
пленки позволяют утверждать, что при *>h h вся
жидкость соберется в одну каплю, поскольку только
такая структура сохраняет устойчивость в условиях
надкритичности. Сингулярный для сил ВдВ предел
0ζ → на крыльях капли Френкеля в действительности
порождает некий жидкий пьедестал, толщина которого
падает с ростом массы капли, а интегральный вклад в
общую массу жидкой пленки несущественен, если L
ограничено.
Основные параметры задачи следующие. Форма ка-
пли описывается аксиально-симметричной функцией
= (| |),z rζ d — расстояние между пластинами конден-
сатора, U — приложенное напряжение. Для эффек-
тивного радиуса капли R выполняется соотношение
/ 1.d R Для дальнейших вычислений существенно
также, что высота капли A мала по сравнению с d.
При этом угол наклона поверхности жидкости к плос-
кости пластины конденсатора становится величи-
ной второго порядка малости по отношению к d/R:
| | / ( / ) ( / )R d d R∇ζ ζ ζ ×∼ ∼ . Электрический потенци-
ал ϕ внутри конденсатора является решением уравне-
ния Лапласа с граничными условиями:
= ( ) == 0, | = 0, | = .z r z d UζΔϕ ϕ ϕ (45)
При условии d Rζ потенциал 0= E zψ ϕ+ ,
где 0 = / ,E U d− можно разложить в ряд по малым ζ и
после несложных вычислений получить энергию элек-
трического поля в конденсаторе, выраженную через
функцию ζ :
2
2 2 2 3 3
el = ( / / ).
8
U d d d
d
ζ + ζ
π ∫ rE (46)
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1266 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
Полная энергия системы, вычисленная с той же
точностью по ζ и ∇ζ , есть
2 2 2 21= ( )
2 2
d g dα
∇ζ − ρ ζ −∫ ∫r rE
2 2 3
2
2 3 .
8
U d
d d d
⎛ ⎞ζ ζ
− +⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
∫ r (47)
Устойчивая равновесная форма капли должна соот-
ветствовать минимуму энергии (47) при выполнении
условия сохранения полного объема жидкости. Зави-
симость ( )rζ можно искать в виде
( ) = ( ), = .rr Af x x
R
ζ (48)
Подстановка пробной функции (48) в (47) дает за-
висимость энергии системы от вариационных парамет-
ров A и R:
2 2
2 2 2 3 2
0 2 33 4
1= ,
2 2 8 8
U Uc A g c A R c A R
d d
⎛ ⎞α
− ρ + −⎜ ⎟⎜ ⎟π π⎝ ⎠
E (49)
2
0
0
= 2 ( ),'c dxxf x
∞
π∫
0
= 2 ( ),n
nc dxxf x
∞
π∫ > 0n . (50)
Условие сохранение объема капли V можно выра-
зить через вариационные параметры:
2
1 = .c AR V (51)
Равновесная форма капли определяется теперь из
следующих вариационных уравнений:
= 0,
A
∂
∂
E = 0,
R
∂
∂
E (52)
где 2= pAR−E E , p — множитель Лагранжа. Реше-
ние уравнений (52) дает зависимость высоты капли от
внешнего напряжения:
122
2
1 3 4= ,
4 4
k U VUA k V g
d d
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
+ ρ α −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π π⎝ ⎠⎝ ⎠
(53)
1 2 0 1= / 2k c c c , 2 3 0 1= /k c c c .
Для оценки по величине констант, входящих в (53),
можно задать функцию ( )f x как линейную комбина-
цию функций Бесселя, удовлетворяющую граничным
условиям на краях капли:
0 0 1( ) = ( ( ) ( )),f x q J x J− β 10 < < ,x β
( ) = 0,f x 1> .x β (54)
Здесь 1 3,83β ≈ — минимальное значение аргумента
функции Бесселя первого порядка, при котором функ-
ция обращается в нуль; 1
0 1= (1 ( )) 0,71q J −− β ≈ —
нормировочный множитель. Тогда константы, вошед-
шие в выражения (50) и (53), принимают значения
1 = 0,0754,k 2 = 0,106,k 1 = 18,5.c
Как следует из (53), высота капли A бесконечно
возрастает, когда внешнее напряжение достигает зна-
чения
1/24
2
2
4= .c
dU
k V
⎛ ⎞πα
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(55)
При 2> cU U уравнения (52) не имеют решения (от-
сутствует минимум энергии капли), капля теряет ус-
тойчивость: поверхность разряжается, и заряды с за-
хваченными каплями жидкости уходят на нижнюю
пластину конденсатора.
Зависимость (53) может быть использована также и
для описания эволюции формы капли, осажденной на
нижней пластине конденсатора. Для этого достаточно
заменить в выражении (53) знак гравитационной по-
стоянной на противоположный и принять во внимание,
что при 3
1< = 4cU U gdπρ минимум эффективной
энергии E достигается при = 0:A
= 0A при 3
1< = 4 ,cU U gdπρ
122
2
1 3 4=
4 4
k U VUA k V g
d d
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
−ρ α −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π π⎝ ⎠⎝ ⎠
при 1.cU U>
(56)
Как видно из (55), критическое напряжение 2cU не
зависит от гравитационной постоянной, поэтому в
принятом малоугловом приближении оно одинаково
для подвешенной и лежащей на пластине капель.
Напомним, что технически простая возможность
сравнения двух решений (53) и (56) в области 1> cU U
осуществляется при достаточно большой толщине
пленки в обоих рассматриваемых случаях. Качествен-
ная разница между каплями (53) и (56) состоит в том,
что при любом U амплитуда висящей капли хорошо
определена, а ее края находятся в зоне влияния сил
Ван-дер-Ваальса, которые обеспечивают нулевые гра-
ничные условия. Для капли (56) вопрос о граничных
условиях при малых A остается открытым.
Полученные результаты могут быть использованы
для интерпретации экспериментов [18]. В этих экспе-
риментах капля жидкого водорода конденсировалась
на верхней охлажденной пластине конденсатора. Такая
методика позволяет варьировать толщину жидкого
слоя в широких пределах, изменяя температуру под-
ложки и объем газа, введенного в экспериментальную
ячейку. В работе [18] изучалась эволюция формы ви-
сящей заряженной капли с изменением ее объема и
напряжения в конденсаторе.
Рисунок 11 дает общие представления о характере
реконструкции инверсионной пленки жидкости. Диа-
метр потолка ячейки L специально выбран достаточно
большим по сравнению с капиллярной длиной a
Устойчивость и реконструкция инверсионных пленок
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11 1267
( ),L a≥ чтобы сохранилась возможность зарождения
нескольких капель. Тем не менее реальный результат
всегда оформляется в виде одной капли.
На рис. 12 из [17] показано изменение профиля по-
верхности жидкости с ростом напряжения U. Объем
капли = 60V мм3. Расстояние между пластинами кон-
денсатора d равно 3 мм. Сплошные линии — вариа-
ционная функция (54). Несмотря на приближенность
вариационного описания, его соответствие экспери-
ментальным данным вполне убедительно.
Рисунок 13 демонстрирует зависимость высоты ка-
пли A от напряжения U. Точки соответствуют резуль-
татам эксперимента, кривая представляет теоретиче-
скую зависимость (53). Наконец на рис. 14 изображена
зависимость вертикального размера капли от ее объема
при = 0U и = 360U В. Кружки и квадраты соответ-
ствуют эксперименту, а кривые — расчету по формуле
(53). Теория и эксперимент находятся в хорошем соот-
ветствии.
4. Заключение
Подведем некоторые итоги. В развитие идей [1–4]
намечена и прослежена в деталях общая цепочка собы-
тий для инверсионой неустойчивости пленки жидко-
сти. Критической здесь оказывается область толщин,
где конкурируют силы Ван-дер-Ваальса и антиграви-
тация (формулы (7), (8)). Параметр надкритичности δ
(18), нарастая с нуля, трансформирует период T от его
почти бесконечного значения к окончательному мас-
штабу 1/2= ( / ) .T a gα ρ∼ Дальнейший рост δ ведет к
нарушению формы отдельных капель с их отрывом от
твердой подложки. Процесс разрушения капель проте-
кает по разному для одномерной и цилиндрической
геометрии капель и отвечает «смене декораций» (вве-
дение в нелинейную динамику капель). Полезно отме-
тить, что обсуждаемая картина развития неустойчиво-
сти характерна не только для антипленок. В таком же
режиме теряют устойчивость заряженные пленки жид-
кости [8], нарастает устойчивость пленок в задаче о
смачивании [9] и т.п. Антипленка хороша (на фоне дру-
гих примеров) доступностью наблюдений ее реконст-
рукции на последних, близких ко второму критическому
порогу стадиях. В условиях с участием внешнего поля
этот процесс содержится в определениях (55), (56).
С экспериментальной точки зрения прогресс в освое-
нии задачи об антипленке на фоне результатов [1–4] и
рис. 1 заключается в том, что появились четкие сведе-
ния о псевдоначальной стадии реконструкции, когда
характерная длина λ ее развития уже не бесконеч-
ность, но еще и не массивная капиллярная длина:
1 <cq− ≤ λ ∞ , где cq — из (2). Прохождение самой
критической точки с использованием хотя бы возмож-
ностей рис. 5 остается пока желаемым проектом.
Один из соавторов (В.Ш.) благодарен РФФИ за час-
тичную поддержку в рамках Гранта 12-02-00229-а.
Рис. 11. Фотография висящей заряженной пленки.
Рис. 13. Зависимость высоты капли от напряжения.
Рис. 14. Зависимость вертикального размера капли A от ее
объема V.
Рис. 12. Изменение профиля поверхности жидкости с ростом
напряжения. Точки отвечают экспериментальным данным,
сплошные линии — расчет согласно (48)–(54).
r, мм
ζ(
),
мм
r
–8 –10 –6 –4 –2 0 2 4 6 8
0
0,5
1,0
1,5
2,0
U = 0
U = 350 В
U = 560 В
Г. Колмаков, К. Коно, А. Левченко, П. Лейдерер, В. Шикин
1268 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 11
1. Lord Rayleigh, Philos. Mag. 34, 145 (1892).
2. G. Taylor, Proc. Roy. Soc. 201, 192 (1950).
3. M. Fermigier, L. Limat, J. Wesfreid, P. Boudinet, and C. Quil-
liet, J. Fluid Mech. 236, 349 (1992).
4. P. de Genne, F. Brochard-Wyart, and D. Quere, Gouttes,
Bulles, Perles et Ondes, Belin (2002).
5. J. Klier, F. Schletterer, P. Leiderer, and V. Shikin, Fiz. Nizk.
Temp. 29, 957 (2003) [Low Temp. Phys. 29, 716 (2003)].
6. A.A. Levchenko, E. Teske, G.V. Kolmakov, P. Leiderer, L.P.
Mezhov-Deglin, and V.B. Shikin, JETP Lett. 65, 572 (1997).
7. Н. Иногамов, А. Демьянов, Э. Сон, Гидродинамика пере-
мешивания, Изд-во МФТИ (1999).
8. Д.М. Черникова, ФНТ 2, 1374 (1976) [Sov. J. Low Temp.
Phys. 2, 699 (1976)].
9. V.S. Mitlin, J. Colloid Interface Sci. 156, 491 (1993).
10. Л. Горьков, Д. Черникова, ДАН СССР 228, 829 (1976).
11. В.И. Мельников, С.В. Мешков, Письма ЖЭТФ 33, 222
(1981).
12. Ya.I. Frenkel, Z. Eksp. Teor. Phys. 18, 659 (1948); Ya.B.
Aron and Ya.I. Frenkel, Z. Eksp. Teor. Phys. 19, 807 (1949).
13. E. Sabisky and E. Anderson, Phys. Rev. A7, 720 (1973).
14. S. Putterman, Superfluid Hydrodynamics, North Holland
Publish Company, New York (1974).
15. V.B. Shikin and E.V. Lebedeva, J. Low Temp. Phys. 119,
469 (2000).
16. G.V. Kolmakov, E.V. Lebedeva, A.A. Levchenko, L.P.
Mezhov-Deglin, and V.B. Shikin, J. Low Temp. Phys. 126,
385 (2002).
17. G.V. Kolmakov, E.V. Lebedeva, A.A. Levchenko, L.P. Me-
zhov-Deglin, A.B. Trusov, and V.B. Shikin, Fiz. Nizk. Temp.
30, 79 (2004) [Low. Temp. Phys. 30, 58 (2004)].
18. A.A. Левченко, Г.В. Колмаков, Л.П. Межов-Деглин, М.Г.
Михайлов, A.Б. Трусов, ФНТ 25, 333 (1999) [Low Temp.
Phys. 25, 242 (1999)].
Stability and reconstruction of inversed gravity films
(Review Article)
G. Kolmakov, K. Kono, A. Levchenko, P. Leiderer,
and V. Shikin
The paper traces retrospectively the development of
the concept of stability of liquid films formed on
downward facing surfaces (inversed gravity films).
The original scenario of the instability development
proposed by Rayleigh does not contain the concept of
critical state after reaching which the flat stable in-
versed gravity film transforms into a corrugated mod-
ification whas the film thickness is slightly increased.
Both the general understanding of the events occurred
at the critical point and the possibility of discussing
the full scale instability including its definition and
various scenarios of inversed gravity films reconstruc-
tions have been developed only recently. The aim of
this study is to outline a consistent picture of droplet
instability at its different stages starting from the thre-
shold point and up to the formation of a stationary cor-
rugation (surface shape reconstruction). The calcula-
tional part of the paper is complemented with a series
of specially performed experiments which confirm the
main predictions of the theory.
PACS: 47.10.ad Navier–Stokes equations;
47.20.Ma Interfacial instabilities (e.g., Ray-
leigh–Taylor).
Keywords: interfacial instability, dispersion law, sur-
face tension, surface reconstruction.
|