Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели

Показано, что для анизотропной сигма-модели с анизотропией типа легкая плоскость имеет место аномальное поведение затухания квазичастиц (магнонов). Для безактивационных элементарных возбуждений с линейным законом дисперсии при малых волновых векторах затухание пропорционально четвертой степени част...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Бутрим, В.И., Иванов, Б.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2012
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117967
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели / В.И. Бутрим, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 12. — С. 1410–1421. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117967
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1179672017-05-28T03:04:22Z Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Бутрим, В.И. Иванов, Б.А. Низкотемпеpатуpный магнетизм Показано, что для анизотропной сигма-модели с анизотропией типа легкая плоскость имеет место аномальное поведение затухания квазичастиц (магнонов). Для безактивационных элементарных возбуждений с линейным законом дисперсии при малых волновых векторах затухание пропорционально четвертой степени частоты (а не квадрату, как для стандартных голдстоуновских квазичастиц, например для чисто изотропной сигма-модели), что можно назвать «сверхголдстоуновским» поведением затухания. Затухание второй ветви квазичастиц, обладающих конечной активацией, при малых волновых векторах имеет, как обычно, конечное значение, но также содержит особенность, так как при низких температурах зависит от температуры степенным образом и не содержит экспоненциально малого температурного множителя. Показано, що для анізотропної сігма-моделі з анізотропією типу легка площина має місце аномальна поведінка загасання квазічастинок (магнонів). Для безактиваційних елементарних збуджень з лінійним законом дисперсії при малих хвильових векторах загасання пропорційно четвертій степені частоти (а ні квадрату, як для стандартних голдстоунівських квазічастинок, наприклад для чисто ізотропної сігма-моделі), що може бути названо «понадголдстоунівською» поведінкою загасання. Загасання другої гілки квазічастинок, які мають скінчену активацію, при малих хвильових векторах має, як звичайно, скінчене значення, але також має особливість, оскільки при малих температурах залежить від температури степінним чином і не містить експоненціально малого температурного множника. It is shown that for the anisotropic sigma-model with an easy-plane anisotropy an abnormal behavior of damping of quasi-particles (magnons) take/place. For gapless elementary excitations with linear dispersion law at small wave vectors, the damping decrement is proportional of the forth power of frequency (not quadratic over frequency, as for standard goldstone quasiparticles, for example, for purely isotropic sigmamodel), that can noted as a “supergoldstone” behavior of damping. As usually, the damping decrement for the second branch of quasi-particles, having finite activation, has finite value at small wave vectors. But this damping decrement has peculiarities too, namely, at low temperatures it has a power dependence on the temperature, and not contains the standard exponentially small temperature multiplier. 2012 Article Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели / В.И. Бутрим, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 12. — С. 1410–1421. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10.Jm, 75.10.Hk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117967 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Бутрим, В.И. Иванов, Б.А. Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Физика низких температур
description	Показано, что для анизотропной сигма-модели с анизотропией типа легкая плоскость имеет место аномальное поведение затухания квазичастиц (магнонов). Для безактивационных элементарных возбуждений с линейным законом дисперсии при малых волновых векторах затухание пропорционально четвертой степени частоты (а не квадрату, как для стандартных голдстоуновских квазичастиц, например для чисто изотропной сигма-модели), что можно назвать «сверхголдстоуновским» поведением затухания. Затухание второй ветви квазичастиц, обладающих конечной активацией, при малых волновых векторах имеет, как обычно, конечное значение, но также содержит особенность, так как при низких температурах зависит от температуры степенным образом и не содержит экспоненциально малого температурного множителя.
format	Article
author	Бутрим, В.И. Иванов, Б.А.
author_facet	Бутрим, В.И. Иванов, Б.А.
author_sort	Бутрим, В.И.
title	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
title_short	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
title_full	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
title_fullStr	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
title_full_unstemmed	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
title_sort	особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117967
citation_txt	Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели / В.И. Бутрим, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 12. — С. 1410–1421. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT butrimvi osobennostirelaksaciimagnonovvlegkoploskostnomantiferromagnetikevramkahsigmamodeli AT ivanovba osobennostirelaksaciimagnonovvlegkoploskostnomantiferromagnetikevramkahsigmamodeli
first_indexed	2025-07-08T13:05:18Z
last_indexed	2025-07-08T13:05:18Z
_version_	1837084096382107648
fulltext	© В.И. Бутрим, Б.А. Иванов, 2012 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12, c. 1410–1421 Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели В.И. Бутрим Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, г. Симферополь, 95007, Украина E-mail: butrimv@mail.ru Б.А. Иванов Институт магнетизма НАН Украины, ул. Вернадского, 366, г. Киев, 03142, Украина E-mail: bivanov@i.com.ua Статья поступила в редакцию 17 апреля 2012 г. Показано, что для анизотропной сигма-модели с анизотропией типа легкая плоскость имеет место ано- мальное поведение затухания квазичастиц (магнонов). Для безактивационных элементарных возбуждений с линейным законом дисперсии при малых волновых векторах затухание пропорционально четвертой степе- ни частоты (а не квадрату, как для стандартных голдстоуновских квазичастиц, например для чисто изо- тропной сигма-модели), что можно назвать «сверхголдстоуновским» поведением затухания. Затухание вто- рой ветви квазичастиц, обладающих конечной активацией, при малых волновых векторах имеет, как обычно, конечное значение, но также содержит особенность, так как при низких температурах зависит от температуры степенным образом и не содержит экспоненциально малого температурного множителя. Показано, що для анізотропної сігма-моделі з анізотропією типу легка площина має місце аномальна поведінка загасання квазічастинок (магнонів). Для безактиваційних елементарних збуджень з лінійним за- коном дисперсії при малих хвильових векторах загасання пропорційно четвертій степені частоти (а ні квад- рату, як для стандартних голдстоунівських квазічастинок, наприклад для чисто ізотропної сігма-моделі), що може бути названо «понадголдстоунівською» поведінкою загасання. Загасання другої гілки квазічастинок, які мають скінчену активацію, при малих хвильових векторах має, як звичайно, скінчене значення, але та- кож має особливість, оскільки при малих температурах залежить від температури степінним чином і не містить експоненціально малого температурного множника. PACS: 75.10.Jm Квантовые спиновые модели; 75.10.Hk Классические спиновые модели. Ключевые слова: анизотропная сигма-модель, релаксация магнонов, голдстоуновские квазичастицы, ан- тиферромагнетик, спиновый нематик. 1. Введение Основой явления магнитного упорядочения являет- ся обменное взаимодействие спинов (локализованных атомных спинов или спинов коллективизированных электронов), и для теоретического описания статиче- ских и динамических свойств различных магнетиков (ферромагнетиков и антиферромагнетиков, ферритов) может использоваться микроскопические подход, ос- нованный на соответствующем спиновом гамильтони- ане (см. оригинальные работы [1,2] и обзоры [3,4]). Однако большая часть известных результатов в физике ферромагнетиков получена в рамках феноменологиче- ского подхода, основанного на использовании уравне- ния Ландау–Лифшица [5,6]. Оказалось, что это уравне- ние, эффективно используемое уже почти восемьдесят лет, обладает свойством универсальности, оно приме- нимо как для магнетиков с локализованными спинами, так и для проводящих ферромагнетиков, в которых ва- жен учет спинов коллективизированных электронов. Не менее важно, что это уравнение применимо и для опи- Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1411 сания низкочастотной динамики суммарного магнит- ного момента ферримагнетиков, материалов с несколь- кими неэквивалентными подрешетками [7]. Впослед- ствии выяснилось, что оно применимо и для описания низкочастотной динамики аморфных ферромагнетиков с неполным насыщением спинов [8]. В первых работах по описанию динамики антиферромагнетиков также была использована система уравнений Ландау–Лиф- шица, записанных для намагниченностей отдельных подрешеток [5,9–11]. Поскольку в этом подходе ис- пользуются два сложных нелинейных уравнения, он оказался достаточно громоздким. Существенный прогресс в описании динамических свойств антиферромагнетиков был достигнут на базе использования сигма-модели для единичного (норми- рованного) вектора антиферромагнетизма / \| \|,=l L L где 1 2 ,= −L M M 1,M 2M — векторы намагниченно- стей подрешеток. Уравнения сигма-модели могут быть получены из системы уравнений Ландау–Лифшица для намагниченностей подрешеток [12,13] или непосред- ственно с использованием магнитной симметрии ан- тиферромагнетика [8]. Возможность симметрийного обоснования (фактически, столь же общего, как для уравнения Ландау–Лифшица для намагниченности фер- ромагнетика) демонстрирует универсальность сигма- модели [8]. Относительная простота анализа сигма- модели, обладающей (в отсутствие внешнего магнитно- го поля) формальной лоренц-инвариантностью, позво- лила провести полный анализ экспериментальных дан- ных по нелинейной динамике доменных стенок, описать широкий класс магнитных солитонов [14–16] и иссле- довать эффекты макроскопического квантового тунне- лирования [11,16,17–19]. Далее выяснилось, что область применимости сигма-модели еще шире и включает дру- гие примеры систем, для которых нет спонтанной на- магниченности, в частности спиновых нематиков [20]. Поэтому исследование различных свойств сигма-моде- ли представляет интерес для физики магнетиков. В последние годы интерес к анализу динамических свойств антиферромагнетиков существенно вырос. Причина этого состоит, прежде всего, в развитии но- вой экспериментальной техники, дающей возможность нетеплового возбуждения спиновых колебаний (в том числе нелинейных колебаний) для прозрачных анти- ферромагнетиков под действием субпикосекундных лазерных импульсов [21]. Такое возбуждение реализо- вано как для антиферромагнетиков со слабым ферро- магнетизмом [22], так и для материалов типа оксида никеля, в которых взаимодействие Дзялошинского отсутствует [23]. Возможно возбуждение как низко- частотных, так и высокочастотных колебаний в диапа- зоне терагерц, при этом надежно измеряются не только частоты, но и диссипативные характеристики спино- вых колебаний [23]. Для антиферромагнетиков со сла- бым ферромагнетизмом на основе сигма-модели был обоснован инерционный механизм динамической пе- реориентации спинов, который характеризуется ре- кордно малым временем переключения [24]. С точки зрения приложений интересно, что характерные часто- ты антиферромагнетиков попадают в терагерцовый диапазон и можно реализовать «сверхбыструю» (по сравнению с ферромагнетиками) спиновую динамику и создать магнитные твердотельные СВЧ приборы тера- герцового диапазона. Все это делает анализ спиновой динамики и релаксации антиферромагнетиков на осно- ве сигма-модели актуальным для фундаментальной физики магнетиков и важной для приложений. Настоящая работа посвящена исследованию затуха- ния элементарных возбуждений для анизотропной сиг- ма-модели с магнитной анизотропией типа «легкая плоскость». Для антиферромагнетиков, описываемых такой моделью, существует низкочастотная ветвь маг- нонов, которая хорошо исследована различными мето- дами. Затухание магнонов для этой системы изучалось теоретически на основе представления Голдстейна– Примакова [25], примененного к различным подрешет- кам, что эквивалентно использованию системы двух уравнений Ландау–Лифшица для намагниченностей подрешеток. Расчеты в рамках этой схемы достаточно громоздки, и их обобщение для учета реальной маг- нитной симметрии магнетика затруднительно. Сигма- модель допускает простое введение операторов рож- дения и уничтожения квазичастиц (для краткости бу- дем далее называть их магнонами) и позволяет провес- ти анализ релаксации как линейных, так и нелинейных спиновых возбуждений. Релаксация магнонов в изо- тропной сигма-модели исследована в работе [26], в которой также проведено сравнение результата с полу- ченными ранее данными для гейзенберговского анти- ферромагнетика. Для изотропного случая характерно существование двух вырожденных по поляризации ветвей спектра магнонов с безактивационным законом дисперсии ,k ckω = c — фазовая скорость магнона, \| \|,k = k k — волновой вектор магнона. Показано, что в этом случае затухание обусловлено процессами рас- сеяния только с участием магнонов разных поляриза- ций, и при малых k декремент затухания ведет себя стандартным голдстоуновским образом, 2 .k kγ ∝ ω Анизотропная сигма-модель с двухосной анизотро- пией использовалась авторами [27] для описания ром- бического антиферромагнетика типа ортоферрита. Для этой модели характерно наличие двух активационных ветвей спектра магнонов и, естественно, конечное зна- чение затухания, constkγ → при 0.k → Результаты, полученные в рамках сигма-модели, идентичны тем, что известны для более громоздкого анализа динамики намагниченностей подрешеток. Однако, насколько нам известно, релаксация магнонов для сигма-модели с чисто одноосной симметрией и анизотропией типа «легкая плоскость» осталась неизученной. В этой мо- В.И. Бутрим, Б.А. Иванов 1412 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 дели существуют две ветви магнонов: активационная ветвь с активацией 0ε и безактивационная ветвь, на- личие которой обусловлено вырождением системы по азимутальному углу единичного вектора .ϕ Случай антиферромагнетиков с анизотропией типа «легкая плоскость» интересен для описания многих практиче- ски важных материалов типа бората железа. Возмож- ность существования анизотропных спиновых немати- ков отмечалась в работе [28], для их описания применима анизотропная сигма-модель [29]. Кроме то- го, интересен и чисто теоретический вопрос о сравнении динамики сигма-модели с полным (относительно произ- вольных поворотов) и частичным (относительно только поворотов вокруг избранной оси) спонтанным наруше- нием симметрии. Цель настоящей работы — исследование затухания магнонов в сигма-модели с одноосной анизотропией типа «легкая плоскость». Показано, что наличие двух ветвей спектра с различным характером закона дис- персии приводит к интересным особенностям затуха- ния магнонов, которые отсутствуют в исследованных ранее чисто изотропных и двухосных антиферромагне- тиках. В отличие от изотропного случая, декремент за- тухания магнонов нижней ветви kγ при 0k → убывает быстрее, чем 2 .kω Такое поведение уместно назвать «сверхголдстоуновским» поведением затухания безак- тивационных (голдстоуновских) квазичастиц. В отличие от двухосного антиферромагнетика, затухание магнонов верхней ветви с конечной активацией 0ε при низких температурах 0T << ε не содержит экспоненциальной малости типа 0exp ( / )T−ε и зависит от температуры степенным образом. Поскольку лазерное возбуждение часто проводится при низких температурах, а значение щели 0ε в антиферромагнетиках существенно выше, чем в стандартных ферромагнетиках, и достигает еди- ниц или даже десятков кельвин, этот результат важен для описания упомянутых выше экспериментов по воз- буждению магнонов в диапазоне терагерц. 2. Сигма-модель и гамильтониан взаимодействия магнонов Лагранжиан сигма-модели { }L n для единичного вектора n можно записать в следующем универсаль- ном виде [30]: ( ) 2 2 2 2 { }, 2 { } , 2 2 z AL d W tc A KW d n ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎧ ⎫∇ +⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∫ ∫ nr n n = r n (1) где { }W n — статическая энергия системы. Лагранжи- ан содержит три независимых параметра. Мы выбрали систему параметров, удобную для описания антифер- ромагнетиков: A — константа неоднородного обмена, c — характерная скорость элементарных возбуждений — магнонов и K — константа анизотропии. Будем полагать 0,K > при этом в основном состоянии 0,zn = что соответствует основному состоянию типа «легкая плоскость» и наличию спонтанного нарушения симметрии по направлению вектора n в легкой плос- кости .xy Единичный вектор n удобно записать в уг- ловых переменных, в качестве которых можно взять полярный θ и азимутальный ϕ углы, cos ,zn = θ sin exp( ).x yn in i+ = θ ϕ В угловых переменных ла- гранжиан приобретает вид 2 2 2 2 sin 2 AL d t tc ⎧ ⎡ ⎤∂θ ∂ϕ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ + θ ⎥ −⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ ∫ r ( ) ( )2 22 2sin cos . 2 2 A K ⎫⎪⎡ ⎤− ∇θ + θ ∇ϕ − θ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎭ (2) Для построения неравновесной термодинамики сис- темы удобно перейти к описанию в канонических пе- ременных и записать функцию Гамильтона ( ) 2 22 2 2 22 2 2 sin p cp c AH d A A ϕθ ⎡ ⎢= + ∇θ + + ⎢ θ⎣ ∫ r ( )22 2sin cos . 2 2 A K ⎤ + θ ∇ϕ + θ⎥ ⎥⎦ (3) Здесь 2( / ) / ,p A c tθ = ∂θ ∂ 2 2( / )sin /p A c tϕ = θ∂ϕ ∂ — обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам θ и ϕ соответственно. Рассмотрим малые колебания системы около равно- весного состояния 0 /2,θ = θ = π 0 ,ϕ = ϕ значение 0ϕ не определено, что соответствует вырождению основ- ного состояния по азимутальному углу. Для этого представим θ и ϕ в виде 0 ( , )tθ = θ + ϑ r и 0 ( , ).tϕ = ϕ + φ r Далее разложим функцию Гамильтона в ряд по степеням канонических переменных. Это раз- ложение содержит только четные степени ϑ , φ , pθ , pϕ и имеет вид , 2 42 4H H H H Hϕ θ ϕθ θ= + + + . (4) Два первых слагаемых описывают линейные коле- бания вектора ,n поляризованные в легкой плоскости и в направлении, перпендикулярном легкой плоскости, что отвечает колебаниям только угла ϕ или только угла ,θ ( ) 2 2 2 2 2 2 p c AH d A ϕϕ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + ∇φ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ r , ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 p c A KH d A θ θ⎡ ⎤ = + ∇ϑ + ϑ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ r . (5) Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1413 Эти колебания соответствуют магнонам разных вет- вей, безактивационных и активационных соответственно. Два последних слагаемых в (4) описывают взаимо- действие магнонов (нелинейную динамику) и имеют вид 4 4 6 KH dθ = − ϑ∫ r , ( ) 2 2 22 4 2 2 p c AH d A ϕθϕ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ϑ − ∇φ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ r . (6) Отметим отсутствие процессов рассеяния безакти- вационных магнонов друг на друге, а также трехмаг- нонных процессов. Трехмагнонные процессы могут появиться только при наличии плоскостной анизотро- пии и (или) магнитного поля в плоскости магнетика [24]. Для диагонализации 2Hϕ и 2H θ можно перейти к состояниям с данным квазиимпульсом ,k 1( ) e ,i V ϑ = ϑ∑ kr k k r 1( ) e ,i V φ = φ∑ kr k k r 1( ) e ,i V = ∑ kr k k p r p для которых получается стандартная квадратичная функция Гамильтона невзаимодействующих осцилля- торов 2 2 2 , ,2 2 c K AkH p p A θ θ θ − − ⎡ ⎤+ = + ϑ ϑ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ k k k k k , 2 2 , ,2 2 2 c AkH p p A ϕ ϕ ϕ − − ⎡ ⎤ = + φ φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ k k k k k . (7) Переход к квантовому гамильтониану осуществим, заменяя ϑ , φ и ,p pθ ϕ соответствующими операто- рами с обычными коммутационными соотношениями , ˆˆ , ,p iθ −⎡ ⎤ = −ϑ⎣ ⎦k k , ˆˆ , .p iϕ −⎡ ⎤ = −φ⎣ ⎦k k Для стационар- ных колебаний ( )ˆ ˆ, exp /p i tϕφ ∝ ε⎡ ⎤⎣ ⎦k ,k k , а ( )ˆ ˆ, exp /p i E tθϑ ∝ ⎡ ⎤⎣ ⎦k ,k k , εk и Ek — энергии магно- нов, отвечающих колебаниям переменных ϕ и θ со- ответственно. Далее выразим динамические переменные ˆ ˆ, pϕφk ,k и ˆ ˆ, pθϑk ,k через бозевские операторы: † ,a akk и † , :A Akk †ˆ ( ), 2 k a a−φ = + αk kk † , 2 ˆ ( ), 2 k A p i a a c ϕ − ε = − α k k kk (8) †ˆ ( ), 2 k A A−ϑ = + βk kk † , 2 ˆ ( ). 2 k AE p i A A c θ −= − β k k kk (9) Здесь при любых значениях параметров αk и βk обеспечиваются бозевские коммутационные соотно- шения для операторов †ak , ak и †Ak , Ak , †, 1a a⎡ ⎤ =⎣ ⎦k k , †, 1A A⎡ ⎤ =⎣ ⎦k k . При выборе 2/A cα = εk k и 2/AE cβ =k k гамильтониан приобретает стандарт- ный диагональный вид и описывает две ветви спектра, † † 2 ( ).H a a E A A= ε +∑ k k k kk k k (10) Операторы † ,ak ak являются операторами рожде- ния и уничтожения поляризованных в легкой плоско- сти -магноновϕ с линейным законов дисперсии, ,ckε =k .k = k Операторы † ,Ak Ak — операторы рождения и уничтожения магнонов, поляризованных перпендикулярно легкой плоскости (θ-магнонов) с за- коном дисперсии 2 2 2 2 0E c k= ε +k , 0 /c K Aε = . (11) В нелинейной части гамильтониана первое слагае- мое описывает взаимодействие четырех θ-поляризо- ванных магнонов друг с другом 4 ˆ ˆ ˆ ˆ( , 6 KH V θ = − Δ + + + ϑ ϑ ϑ ϑ∑ 1 2 3 4 1,2,3,4 1 2 3 4) (12) а второе — взаимодействие магнонов разных поляри- заций ( )4 1H V θϕ = Δ + + + ×∑ 1,2,3,4 1 2 3 4 2 , , 3 4 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ . 2 2 c Ap p A ϕ ϕ ⎛ ⎞ × ϑ ϑ + φ φ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 4 3 4k k (13) Здесь подразумевается симметризация всех выраже- ний по перестановкам индексов 1, 2, 3, 4 и для сокраще- ния записи использованы обозначения типа 1.=1 k Из структуры выражений (12) и (13) следует, что гамильтониан взаимодействия содержит процессы с участием четырех активационных θ-магнонов и про- цессы с участием двух активационных θ-магнонов и двух безактивационных ϕ-магнонов. Подчеркнем, что структура гамильтониана такая же, как и для изотроп- ной сигма-модели, различие состоит только в поведе- нии энергий магнона и амплитуд взаимодействия при малых импульсах. Принципиально важно, что процес- сы с участием четырех безактивационных (голдсто- уновских) ϕ-магнонов отсутствуют. Такие процессы могут появиться или при выходе за рамки сигма- модели (они присутствуют в расчете на основе полного спинового гамильтониана антиферромагнетика [25] или спинового нематика [31]), или при обобщении мо- В.И. Бутрим, Б.А. Иванов 1414 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 дели, например при наличии плоскостной анизотропии и (или) магнитного поля в плоскости магнетика. В ча- стности, такие процессы присутствуют в двухосном антиферромагнетике [27]. Как мы убедимся ниже, все возможные процессы важны для полного анализа релаксации. В низшем (втором) порядке теории возмущения по 4H вклад в затухание дают только процессы рассеяния безактива- ционного магнона на активационном. Процессы распа- да магнона на три и процессы превращения двух акти- вационных магнонов в два безактивационных (и наоборот) запрещены законами сохранения энергии и импульса. Однако при расчете затухания в следующих порядках теории возмущений все эти процессы суще- ственны для построения эффективных вершин, необ- ходимость учета которых будет аргументирована ни- же. В результате, в гамильтониане взаимодействия надо учесть следующие слагаемые: 4 1 1 2 3 4 , , , † † † † † † 1 2 † † † † 3 4 1 { ( ) ( ) ( )[( ( ) ( ) ( ) )] ( ) ( )( )} э.c., H a a A A N A A A A a a A A a A A a a a A A a a A A = Δ + Φ +∑ + Δ + − Φ + + Φ +Φ + + Δ − − − Φ − + 1 2 3 4 3 41 2 3 4 3 41 2 1 2 4 2 31 2 3 1 1 2 + 3 + 4 1234 1 2 3 – 4 1234 1234 1234 1 2 3 4 1234 (14) где амплитуды процессов определяются следующим образом 0 0 0( ) ( ) ( ),Φ = Φ ϕ ϕ1234 12 34 1 0( ) ( ) ( ),Φ = −ϕ ϕ1234 12 34 2 0( ) 2 ( ) ( ),Φ = ϕ ϕ1234 14 23 3 0( ) 2 ( ) ( ).Φ = ϕ ϕ1234 12 34 (15) Для упрощения записи введены обозначения 0 0 1 2 12( ) (1 ),x k kϕ = Φ − κ12 0 0 3 4 ( ) , E E ε ϕ =34 0 0 ,c Ax K = = ε (16) где / ,ij i j i jk kκ = k k 0x — стандартный параметр раз- мерности длины, и введена характерная величина 2 2 0 0/8 ,c AvΦ = имеющая размерность энергии. Эта величина, помимо параметров, входящих в лагранжи- ан, содержит объем элементарной ячейки 0 / ,v V N= где V — объем образца. Для антиферромагнетиков параметры, входящие в лагранжиан сигма-модели, вы- ражаются через микроскопические константы спино- вого гамильтониана следующим образом: ,c JSa∼ 2 / ,A JS a∼ 1/3 0 ,a v= где J — обменный интеграл, S — значение атомного спина. При этом можно предста- вить 0Φ только через параметры спектра магнонов, 0 /c aΦ = σ или 0 0 0( / ) ,x aΦ = σ ε где 0 0 / ~x a JSε и 2/8c Aaσ = порядка 1/ .S Для нематического состоя- ния негейзенберговского магнетика величина 2 1 2( )/2 ,J J Jσ = − где 1J и 2J — константы обмен- ного взаимодействия, гейзенберговского и биквадра- тичного по операторам спина соответственно [20]. По- скольку нематическая фаза стабильна при 1 20 ,J J≤ ≤ в широкой области значений обменных интегралов 2 1 20 ~ ,J J J≤ − как и в случае антиферромагнетика со спином ~ 1S , величина ~ 1.σ Из этих оценок следует, что для реальных магнетиков величина 0Φ может быть не малой, 0 ~ .JΦ С другой стороны, в часто исполь- зуемом в теории магнетиков приближении 1S >> вели- чина σ является формальным малым параметром, оп- ределяющим малость взаимодействия магнонов. Такой параметр часто используется в теории ферромагнетиков и антиферромагнетиков, например для обоснования представления Голдстейна–Примакова или квантового вывода сигма-модели. Для изотропной модели 0 0,ε = обе ветви спектра безактивационные, E ckε = =k k и амплитуды 2Φ и 3Φ — однородные функции нулевого порядка по импульсам ( )1 4 2 0 14 2 3 2 1 k k k k Φ = Φ − κ , ( )1 2 3 0 12 3 4 1 , k k k k Φ = −Φ − κ (17) Для анизотропной модели амплитуды с участием двух активационных и двух безактивационных магнонов являются однородными функциями первого порядка по импульсам безактивационных магнонов. В рамках стандартной теории затухания магнонов расчеты обычно проводятся в основном порядке тео- рии возмущений. В этом приближении магнонный декремент ( , )k Tγ определяется как мнимая часть мас- сового оператора для одночастичной двухвременной функции Грина для свободных магнонов [32]. Для магнонов нижней ветви имеем †ˆ( , ) ( ) ( ) ,a k kG k t t T a t a t′ ′− = − (18) где T̂ — оператор хронологического произведения, †( ), ( )k ka t a t′ — операторы в гейзенберговском представ- лении, усреднение проводится с гамильтонианом 4H . 3. Затухание безактивационных магнонов Простой анализ показывает, что в основном порядке теории возмущений процессы распада магнонов за- прещены законами сохранения энергии и импульса. В соответствии с общим видом гамильтониана (14), зату- хание безактивационных магнонов в этом приближении определяется только процессами их рассеяния на акти- вационных магнонах, амплитуда этого процесса 2 .Φ Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1415 Выражение для декремента ( , )k Tγ может быть представлено в виде: 6 ( , ) ( ) 2 2 ak T π ⎛ ⎞γ = η ×⎜ ⎟π⎝ ⎠ k 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) +E E d p d q + −δ ε + − − ε × Φ η η η −∫ ∫ k p q k p q p q k p q . (19) Здесь T — температура в энергетических едини- цах, интегрирование ведется в пределах первой зоны Бриллюэна и для сокращения формул обозначено ( ) sh ( /2 ),Tη = εkk ( ) sh ( /2 ).E Tη = kk Для малых импульсов входящего магнона 0ck << ε легко показать, что p q k− ∼ при любых p и .q В связи с этим введем вектор = −Δ p q , \| \| .kΔ = Δ ∼ (20) Тогда ( )/ ( ),p q pE E c E c− ≈ =pΔ νΔ где обозначе- но 2 2 0 0/ 1 ,x x p= +ν p и уравнение массовой поверх- ности в этих переменных принимает вид – ( ) 0k − + =k Δ νΔ . (21) Удобно представить уравнение массовой поверхно- сти через компоненты вектора 1 1 2 2 3 3= Δ + Δ + ΔΔ e e e в системе координат, в которой ось 3e направлена вдоль ,p а вектор k лежит в плоскости 1 3, .e e В этой систе- ме массовая поверхность представляет собой эллипсо- ид вращения с полуосями 1 2 3,A A A= ≠ зависящими от k и :p 2 2 1 2 0 0 31A A k x p x pk= = + − , 2 2 3 1 01A A x p= + . (22) Центр эллипсоида задается вектором 0 1 03( , 0, ),k= − ΔΔ 2 03 3( )/(1 ).k kΔ = ν − − ν При низких температурах 0( )T << ε , когда импульсы тепловых активационных магнонов малы, 0 1,x p << эллипсоид превращается в сферу радиуса k . При высоких темпе- ратурах 0( )T >> ε , когда существенны тепловые маг- ноны с немалыми импульсами, 0 1,x p >> величина 3 1 0/ 1A A x p >>∼ и эллипсоид становится вытянутым вдоль оси 3.e Однако важно, что при любых значениях 0x p размер всех осей эллипсоида мал в меру малости импульса входящего магнона .k Это свойство прин- ципиально отличает задачу о релаксации безактиваци- онных магнонов в изотропной модели и при наличии сколь угодно слабой анизотропии. Именно оно приво- дит к отмеченной выше аномалии, сверхголдстоунов- скому поведению. Обсудим этот вопрос ниже. В терминах векторов p и Δ амплитуда процесса пропорциональна первой степени ,k 0 2 0 2 2 0 ( ) 2 1 kx kx p − Φ = Φ + k +Δ k k +Δ k +Δ (23) и формулу для декремента можно привести к виду 2 3 3 40 0 5 2 2 2 0 ( , ) ( ) , 16 (1 )sh ( /2 )p x d p k T ak I x p E T Δ σ ε γ = π +∫ (24) где обозначено 5 2 2 3 0 8 (1 ) 1 . 3 I x p kpΔ ⎛ ⎞π = + −ν⎜ ⎟ ⎝ ⎠ kp (25) Уже в этой формуле выделяется множитель 4k и видна отмеченная выше аномалия зависимости декре- мента затухания от импульса магнона. Для дальнейше- го расчета ( , )k Tγ удобно использовать сферическую систему координат для вектора ,p в которой полярная ось параллельна вектору .k После интегрирования по углам выражение для декремента приводится к виду 2 3 2 40 0 5 2 2 2 0 ( , ) ( ) ( ) 16 (1 )sh ( /2 )p x p dp k T ak I p x p E T σ ε γ = π +∫ , (26) где 2 2 2 2 2 4 4 0 0 0 32( ) (1 )(3 16 16 ). 9 I p x p x p x p= π + + + (27) Этот интеграл легко найти численно при любых значе- ниях температуры, но мы ограничимся анализом асимп- тотик при высоких и низких температурах, считая при этом, что энергия магнона является самой малой вели- чиной, 0max( , ).ck T<< ε При низких температурах 0( )T << ε число активационных магнонов экспонен- циально мало и декремент затухания содержит экспо- ненциально малый температурный множитель, 1/2 2 4 05/2 0 4 2( , ) ( ) exp ( / ). 3 Tk T ak T T ⎛ ⎞ γ = σ −ε⎜ ⎟επ ⎝ ⎠ (28) В наиболее интересном случае высоких температур 0( )T >> ε температурная зависимость декремента степенная, 611 3 2 4 0 2( , ) ( ) . 189 Tk T ak T ⎛ ⎞π γ = σ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ (29) Важно отметить, что в обоих случаях декремент затухания имеет неаналитическую зависимость от энергии активации 0 ,ε точнее, от параметра 0 / .Tε При высоких температурах это проявляется в появлении высокой степени большого параметра 0/ .T ε В.И. Бутрим, Б.А. Иванов 1416 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 Таким образом, затухание безактивационных магно- нов, обусловленное их взаимодействием с активацион- ными магнонами, пропорционально четвертой степени импульса магнона. Здесь явно проявляется сверхголд- стоуновское поведение затухания, отсутствующее для всех известных нам систем с непрерывным вырождени- ем основного состояния. Вместо стандартной зависимо- сти 2 ,k kγ ∝ ε характерной для вклада процессов рассея- ния голдстоуновских магнонов [32], тут получается значительно меньшая величина затухания 4 k kγ ∝ ε или 2 2 .k kkγ ∝ ε Величина 2/ ,k kγ ε которая в стандартных голдстоуновских системах конечна, в нашем случае стремится к нулю при 0k → как 2 2/ .k k kγ ε ∝ Понятно также, что при низких температурах присутствует до- полнительно и экспоненциальная малость по темпе- ратуре, характерная для процессов с участием актива- ционных магнонов. Заметим, что для стандартных голдстоуновских систем, допускающих процессы рассея- ния безактивационных квазичастиц друг на друге, такой малости нет. Таким образом, затухание безактивацион- ных магнонов для сигма-модели существенно подавлено. Такое сверхголдстоуновское поведение затухания объясняется только уменьшением фазового объема процесса по сравнению с объемом фазового простран- ства для рассеяния четырех голдстоуновских квазича- стиц в стандартных моделях. Обсудим этот важный вопрос особо на примере изотропной сигма-модели, наиболее близкой к нашему случаю. Лагранжиан изо- тропной сигма-модели получается из нашего, если в нем положить 0.K = Естественно, в этом случае 0 0ε = и обе магнонные моды безактивационные. Как и в нашем случае, в изотропной сигма-модели отсутст- вуют процессы рассеяния магнонов (безактивацион- ных) одной ветви друг на друге и затухание определя- ется рассеянием магнонов различных ветвей. Однако для изотропной сигма-модели все магноны, участвую- щие в процессе, имеют линейный закон дисперсии, .ckε =k Известно, что линейный закон дисперсии является критическим в том смысле, что он разделяет спектры, для которых законы сохранения энергии и импульса допускают или не допускают процессы рас- пада, т.е. существует или нет решение уравнения ( ) (\| \|) ( )p qε = ε − + εp q (для этого рассуждения не важ- но, отлична ли от нуля амплитуда соответствующего процесса). Для линейного закона такие процессы до- пустимы в вырожденном случае, когда все импульсы p и q параллельны, если же присутствует активация, то ,ckε >k и процессы распада запрещены. Это мож- но пояснить более формально, рассмотрев фазовый объем ΔΩ для соответствующего процесса, ( )3 3 +d p d q E E −ΔΩ ≡ δ ε + − − ε∫ ∫ k p q k p q . При 0k = и 0ε =k для линейного закона дисперсии, ,E cpε = =p p при 0k = аргумент дельта-функции содержит множитель ( ),pq −pq равный нулю при па- раллельных p и ,q и интеграл для 0k=ΔΩ для случая 0 0ε = не равен нулю. При конечном 0ε при 0k = аргумент дельта-функции приводится к виду 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0( )( ) .c c c⎡ ⎤ε + ε + − − ε⎢ ⎥⎣ ⎦ p q pq Посколь- ку эта функция не имеет корней ни при каких конеч- ных ,p q≠ фазовый объем при 0k = равен нулю. Фактически это есть отражение того факта, что эллип- соид, определяющий массовую поверхность процесса (см. формулу (22)), при 0k = вырождается в точку. Расчет фазового объема дает 2kΔΩ ∝ при 0,k → что и объясняет появление дополнительного множителя 2k в затухании (см. (28), (29)). Важно отметить, что процессы рассеяния безактива- ционных магнонов друг на друге могут возникнуть и в случае гамильтониана (14) при учете следующих поряд- ков теории возмущений. Вопрос о возможности рассея- ния безактивационных магнонов имеет принципиальную важность, и будет рассмотрен в следующем разделе. 4. Эффективное затухание безактивационных магнонов Характерной особенностью анизотропной сигма- модели является отсутствие процессов с участием че- тырех безактивационных (голдстоуновских) магнонов. Затухание безактивационных магнонов происходит только в результате их взаимодействия с активацион- ными магнонами. Это процессы рассеяния безактива- ционных магнонов на активационных. Однако это не единственный механизм влияния активационной моды на затухание безактивационных магнонов. Из вершин 1Φ , 2 ,Φ 3Φ можно построить эффек- тивную вершину рассеяния четырех голдстоуновских магнонов Γ (только такие процессы разрешены зако- нами сохранения энергии и импульса). Вклад этих процессов можно описать гамильтонианом вида † † eff , , , 1 ( ) ( \| ) э.c.H a a a a N = Δ + − − Γ +∑ 3 41 2 1 2 3 4 1 2 3 4 12 34 , (30) где эффективная амплитуда процессов рассеяния ( \| ),Γ 12 34 ( \| ) ( \| ) ( \| ),Γ = Γ = Γ12 34 12 43 21 34 строится из пар одинаковых вершин 1,Φ 2 ,Φ 3.Φ Во втором порядке по амплитудам 1,Φ 2 ,Φ 3Φ величина ( \| )Γ 12 34 представляется в виде суммы графиков, изо- браженных на рис. 1. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид [ ]0( \| ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )A TΓ = ϕ ϕ + ϕ ϕ +12 34 12 34 13 24 [ ]4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .B T+ ϕ ϕ +ϕ ϕ12 34 13 24 (31) Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1417 Здесь первое слагаемое соответствует лестничным графикам и 0 ( )A T дает значение петли, у которой внут- ренние линии Грина активационных магнонов имеют одинаковое направление (графики 1,2,5 на рис 1.), 2 0 0 [1 ( ) ( )]1( ) , ( ) n E n E A T N E E E E + + ε = + − ε − ε∑ 1+2-p p 1+2-p p 1 2 p 1+2-pp (32) а ( )B T — вклад петли, у которой внутренние линии Грина активационных магнонов направлены в разные стороны (графики 3,4 на рис. 1), 2 0[ ( ) ( )]1( ) , ( ) n E n E B T N E E E E − − − − ε = ε − ε + −∑ p+1 3 p 1 3 p p+1 3 p p+1 3p (33) где ( )n Ep — бозевская функция распределения акти- вационных магнонов. При переходе от суммирования к интегрированию в этих формулах интегралы берутся в смысле главного значения. При малых импульсах без- активационных магнонов величины 0 ( )A T и ( )B T не зависят от импульсов, их температурная зависимость определяется выражениями 2 0 0 3 1 2 ( ) ( ) , 2 n E A T N E +ε = ∑ p p p 2 0 2 ( )1 1( ) . n E B T N T E ∂ + Δε = − ∂Δ∑ p p p (34) При 0T << ε числа заполнения ( )n Ep экспоненци- ально малы и основной вклад в суммы дают большие импульсы. При этом 0 ( )A T не зависит от температуры 2 0 0 2 0 0 1 ln 4 xaA C x a ⎛ ⎞ ⎡ ⎤σ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟Φ ⎝ ⎠π ⎣ ⎦⎝ ⎠ , 0T << ε , (35) 2(1/ 3) ln 48 1 1.05,C = π − ≈ а ( )B T содержит экспоненциально малый температур- ный множитель 2 03/2 0 0 0 1( ) exp ( / ), (2 ) a TB T T x ⎛ ⎞σ = −ε⎜ ⎟Φ επ ⎝ ⎠ 0.T << ε (36) Следовательно, при низких температурах основной вклад в амплитуду дает первое слагаемое в (31), и на массовой поверхности амплитуда имеет вид 2 3/2 0 1 1 0 2 3 4 ( \| ) x k k k k Γ = σ Φ ×12 34 , 2 2 2 2 2 2 2 12 3 13 4 14(1 ) (1 ) (1 ) ,k k k⎡ ⎤× − κ + − κ + − κ⎣ ⎦ 0 ,T << ε (37) где 1 0 0Aσ = Φ содержит малый параметр 0/ .a x При 0T >> ε зависимость 0A и B от температуры степенная 2 0 0 0 0 1( ) ( ) , 8 a TA T B T x ⎛ ⎞σ = = ⎜ ⎟π Φ ε⎝ ⎠ 0.T >> ε (38) В этом случае оба типа графиков дают одинаковый вклад в амплитуду, которая определяется формулой 2 3/2 0 1 2 0 2 3 4 ( \| ) ( ) x k T k k k Γ = σ Φ ×12 34 2 2 2 2 2 2 2 12 3 13 4 145 (1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) .k k k⎡ ⎤× − κ + − κ + − κ⎣ ⎦ (39) Здесь возникает малый множитель 2 0 0 ( ) ( ) 1. 8 a aTT B T x c ⎛ ⎞σ σ = Φ = <<⎜ ⎟π ⎝ ⎠ Рис. 1. Графическое представление выражения для эффективной вершины рассеяния. Сплошные линии — безактивационные магноны, штриховые линии — активационные магноны, кружки с цифрами 1, 2, 3 обозначают соответствующие амплитуды 1Φ , 2Φ , 3Φ . В.И. Бутрим, Б.А. Иванов 1418 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 Отметим, что амплитуда взаимодействия четырех активационных магнонов не имеет специфической ма- лости (кроме формального малого параметра 1/ )S по отношению к исходными амплитудами 1Φ , 2Φ , 3Φ . Поэтому, строго говоря, ее нужно учитывать точно при расчете эффективной вершины (кроме процессов † †A A AA необходимо учитывать также и процессы †A AAA и † † † †,A A A A которые не выписаны в гамиль- тониане (14)). Однако анализ показал, что каждое «включение» амплитуды Φ влечет за собой множи- тель 0 0( ) ,A T Φ который мал в меру малости отноше- ния 0/ .a x В силу этого достаточно ограничиться теми процессами, что представлены на рис. 1. Принципи- ально важно, что построенная амплитуда, в отличие от стандартной амплитуды в моделях, где изначально присутствуют процессы рассеяния голдстоуновских магнонов (например, антиферромагнетика [25] или спинового нематика [31]), содержит внешний импульс в степени 3/2. В результате это опять приведет к ано- мально малому затуханию. Декремент затухания безактивационных магнонов за счет их рассеяния друг на друге можно представить в стандартном виде 6 ( , ) 8 ( ) 2 ak T ⎛ ⎞γ = π η ×⎜ ⎟π⎝ ⎠ k 23 3 ( ) ( ). ( ) ( ) ( – ) d p d q Γ × δ ε + ε − ε − ε η η η∫ ∫ k p q k+p-q k,p \| q,k + p – q p q k + p q (40) Вычисление этого интеграла может быть проведено в предельных случаях больших и малых волновых век- торов магнонов, ck T<< или .ck T>> Поскольку эффективная амплитуда процесса зависит от темпера- туры, асимптотическая форма функции ( , ),k Tγ опи- сывающей затухание, зависит от соотношения между T и активацией магнонов верхней ветви 0 .ε В резуль- тате для наиболее интересного случая предельно ма- лых волновых векторов, 0max( , ),ck T<< ε получается та же зависимость 4( , ) ,k T kγ ∝ что и для вклада про- цессов взаимодействия магнонов разных ветвей 4 2 4 4 13 64( , ) ( ) ln , 75 aT Tk T F ak T C c ck ⎛ ⎞ ⎛ ⎞γ = σ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π (41) где множитель 2F ( ( ))F F T= обусловлен темпера- турной зависимостью эффективной амплитуды, 0 0 0 0 ln( / ) , , ( ) (5 /2 ), , x a C T F T T T + << ε⎧ = ⎨ π ε >> ε⎩ (42) 1C — численная константа, 1 0ln 2 1/5 ,C C= + + где 0 —C значение интеграла 4 0 4 2 0 30 ln(sh ) 1,655. sh x xC dx x ∞ = π ∫ Сравнивая эти результаты с найденным выше зату- ханием за счет рассеяния безактивационных магнонов на активационных, легко видеть, что при низких тем- пературах наиболее важен вклад (41), не содержащий экспоненциальной малости по температуре. При высо- ких температурах оба вклада пропорциональны 7 ,T однако основную роль играют процессы рассеяния безактивационных магнонов на активационных (см. (29)), вклад которых содержит большой параметр 4 0( / ) ,T ε а не малый параметр 4 4( / ) ~ ( / ) ,aT c T J как в формуле (41). В случае промежуточных значений волнового век- тора ck T>> также имеет место степенная зависи- мость декремента затухания как от температуры, так и от волнового вектора 5 4 2 364( , ) ( )( ) , 5 aTk T F T ak T c ⎛ ⎞γ = σ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ .ck T>> (43) Отметим, что и в этом случае появляется более высо- кая степень волнового вектора магнона. Можно отме- тить эвристическую закономерность, состоящую в том, что в (41) и (43) суммарная степень малых параметров ak и /aT c одинакова и равна 8. 5. Затухание активационных магнонов Для расчета затухания активационных магнонов ( , )k Tγ необходимо вычислить мнимую часть массово- го оператора их функции Грина, †( , ) ( ) ( ) .A k kG k t t T A t A t ∧ ′ ′− = − (44) Затухание активационных магнонов определяется двумя слагаемыми: 1 2( ) ( ) ( ).T T Tγ = γ + γ (45) Слагаемое 1( )Tγ обусловлено процессами рассеяния активационных магнонов на безактивационных, описы- ваемых амплитудой 2 .Φ Слагаемое 2 ( )Tγ обусловлено процессами рассеяния активационных магнонов друг на друге, которые определяются амплитудой .Φ Рассчитаем вклад в затухание активационных маг- нонов, обусловленный процессами их взаимодействия с безактивационными. Этот декремент определяется формулой (19), в которой нужно провести формальную замену E ε для энергий всех магнонов, участвую- щих в процессе 6 1( ) ( ) 2 aT ⎛ ⎞γ = π η ×⎜ ⎟π⎝ ⎠ k 3 3 2 2 ( ) . ( ) ( ) ( ) E E d p d q δ + ε − ε − × Φ η η η∫ ∫ k p q k+p–q p q k + p – q (46) Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1419 Для малых импульсов входящего магнона, 0 ,ck << ε значение декремента конечное, и мы ограничимся расчетом при нулевом .k При 0k = амплитуда 2Φ на массовой поверхности принимает вид 0 2 0 2 . 1 ( ) p q x p q pq Φ − Φ = + − (47) Интеграл (46) может быть вычислен для случаев низких и высоких температур. Опуская детали расчета, приведем лишь ответы в предельных случаях. При 0T << ε энергии тепловых безактивационных магнонов малы по сравнению с энергией активации 0 , .p qε >> ε ε Это в свою очередь означает, что импульсы безактивационных магнонов также малы, 0 1,x p << 0 1.x q << Далее получаем 4 68 3 2 1 0 0 0 2( ) = , . 189 a TT T T x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π γ σ << ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (48) Отметим степенную зависимость 1( )Tγ от температуры при низких температурах, т.е. отсутствие экспоненциальной малости, которая характерна для затухания активационных магнонов друг на друге при 0.T << ε Для предельного случая высоких температур 0( )T >> ε основную роль играют большие импульсы магнонов нижней ветви, 0 01, 1,x p x q>> >> и для затухания получается 4 2 2 1 0 0 0 0 2 8( ) = ln , . 3 a T TT T T x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ σ >> ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (49) Можно отметить, что в затухании активационных магнонов на безактивационных малый параметр 0/a x в (48), (49) играет ту же роль, что и ak в затухании безактивационых магонов (см. (28) и (29)). Декремент затухания, обусловленный рассеянием активационных магнонов друг на друге, определяется интегралом 6 2 ( , ) = ( ) 2 2 ak T π⎛ ⎞⎛ ⎞γ η ×⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠⎝ ⎠ k –3 3 2 , ( ) ( ) ( – ) ( )E E E E d p d q× Φ η η η δ + − − ∫ ∫ k p q k+p q p q k + p q (50) где амплитуда ( )Φ k,p,q определена формулой (15). Приведем значения этого интеграла для предельных случаев низких и высоких температур: 42 2 0 0 2 3 000 exp ( / ) ( ) = 32/3, .4 T TT aT Tx −ε << ε⎛ ⎞ ⎧σ γ ⎨⎜ ⎟ >> επ ε ⎩⎝ ⎠ (51) Эти результаты качественно совпадают с данными расчета затухания магнонов для сигма-модели с двух- осной анизотропией [27], для которой обе ветви имеют конечную активацию. Сравнивая вклады различных процессов в декре- мент затухания активационных магнонов, можно заме- тить, что характерные величины 1( )Tγ и 2 ( )Tγ содер- жат одинаковые степени множителей σ и 0/ ,a x , но имеют существенно различную температурную зави- симость. Очевидно, что при низких температурах вклад в затухание активационных магнонов за счет их рассеяния друг на друге пренебрежимо мал из-за нали- чия экспоненциально малого температурного множи- теля 0exp ( / ).T−ε Менее тривиальным является срав- нение вкладов при высоких температурах. При 0T >> ε для легкоплоскостной сигма-модели получа- ется, что величины 1( )Tγ и 2 ( )Tγ зависят от темпера- туры степенным образом. Однако если для двухосной модели стандартной является зависимость 1,2 0 2( ) / ,T Tγ ∝ ε то в нашем случае 1( )Tγ содержит более высокую степень большого параметра 0/ .T ε Этот факт обусловлен тем, что фазовый объем процес- сов с участием безактивационных магнонов больше, чем для активационных. Таким образом, для чисто од- ноосной сигма-модели затухание активационных маг- нонов при всех температурах определяется их рассея- нием на безактивационных магнонах, декремент затухания 1( )Tγ ≈ γ и имеет степенную зависимость от температуры при любых температурах. 6. Обсуждение результатов и заключение Полезно сравнить полученные результаты с теми, что известны для изотропной или двухосной сигма- модели, а также обсудить вопрос о применимости полу- ченных результатов для описания реальных магнитных систем, антиферромагнетиков или спиновых нематиков. Отметим, что вклад рассеяния активационных магнонов друг на друге в их затухание качественно совпадает с тем, что имеет место для затухания магнонов в сигма- модели с двухосной анизотропией, для которой обе ветви имеют конечную активацию. Однако оказывает- ся, что для чисто одноосной сигма-модели указанный выше вклад мал, и при всех значениях температуры затухание активационных магнонов определяется их рассеянием на безактивационных магнонах, в силу чего декремент имеет степенную зависимость от тем- пературы при любых температурах (см. (48) или (49)). Этот факт обусловлен тем, что фазовый объем процес- сов с участием безактивационных магнонов больше, чем для активационных. Поскольку лазерное возбуж- дение часто проводится при низких температурах, а значение щели 0ε в антиферромагнетиках существен- но выше, чем в стандартных ферромагнетиках и дости- гает единиц или даже десятков кельвин, этот результат важен для описания упомянутых выше экспериментов по возбуждению магнонов в диапазоне терагерц. В.И. Бутрим, Б.А. Иванов 1420 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 Наибольшие различия легкоплоскостного и изо- тропного случаев возникают для безактивационных магнонов. В чисто легкоплоскостной сигма-модели при 0 0ε ≠ и 0k → зависимость затухания магнонов от их частоты сверхголдстоуновская, т.е. 4( , ) .k T kγ ∝ Этот результат универсальный, он имеет место как для вклада процессов рассеяния безактивационных магно- нов на активационных магнонах, найденного в низшем порядке теории возмущений, так и для вклада сле- дующих порядков теории возмущений, что эквива- лентно появлению рассеяния безактивационных маг- нонов друг на друге. Важно, что эта зависимость не может быть получена предельным переходом из выра- жения, найденного для изотропной версии сигма- модели при 0 0ε = и малом k [31], 2 2 2 isotr 4( , ) ( ) ln , 3 aT Tk T T ak C c ck ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞γ = σ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ,ck T<< (52) где C — численный коэффициент. Фактически вели- чины isotr ( , )k Tγ и ( , )k Tγ различаются множителем типа 2 0( ) / ,nak ε где показатель степени n зависит от температуры. Таким образом, формулы для анизо- тропной модели (28) и (29) не допускают перехода к изотропному результату (52), поскольку они содержат неаналитическую зависимость от 0 .ε Таким образом, в случае чисто одноосной симмет- рии и анизотропии типа «легкая плоскость» возникает редкая ситуация, когда поведение антиферромагнетика и системы, описывающейся канонической формой сигма-модели (1), существенно отличаются. Для анти- ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плос- кость» при полном анализе динамики подрешеток при- сутствуют процессы рассеяния безактивационных магнонов, их вклад в затухание отличен от нуля и име- ет стандартный вид 2 k kγ ∝ ε [25]. Такие слагаемые можно получить и при переходе от намагниченностей подрешеток к лагранжиану только для вектора ,n но при этом надо учитывать следующие степени естест- венного малого параметра, отношения энергии анизо- тропии к обменной энергии. При последовательной записи таких слагаемых структура получающегося лагранжиана для вектора n усложняется по сравнению с (1) [19]. Подобное обобщение модели возникает, в частности, при учете в энергии антиферромагнетика, наряду со стандартным 2( ) ,A d∇∫ n r слагаемых типа 2( ) ,A d′ ∇∫ m r 1 2.= +m M M В лагранжиане, описы- вающем динамику вектора ,n это дает вклад типа 2( [ , / ]) ,A t′ ∇ ∂ ∂n n который содержит следующую (чет- вертую) степень производных. При стандартном выво- де сигма-модели такие слагаемые в силу их малости опускаются, но в нашем случае они являются источни- ком существенных процессов рассеяния безактиваци- онных магнонов. Подчеркнем, что для антиферромагнетиков стан- дартное поведение 2( )k kC Tγ = ε получается только при выходе за рамки канонической версии сигма-модели (1). Поэтому можно ожидать, что величина ( )C T будет различной, например при описании антиферромагне- тиков или спиновых нематиков. Более того, в случае антиферромагнетиков для анализа таких слагаемых нужно учитывать детали обменного взаимодействия спинов, например их различие для атомов из разных подрешеток и внутри подрешеток, которые определя- ют коэффициенты A и .A′ В результате универсаль- ность сигма-модели теряется, и анализ таких слагае- мых выходит за рамки нашей работы, посвященной анализу канонической формы сигма-модели. Мы благодарны В.Г. Барьяхтару за полезные обсу- ждения работы. 1. F. Bloch, Zs. Phys. 61, 206 (1930). 2. H. Bethe, Zs. Phys. 71, 205 (1931). 3. А.М. Косевич, Б.А Иванов, А.С. Ковалев, Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны, Наукова думка, Киев (1983). 4. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov and A.S. Kovalev, Phys. Rep. 194, 117 (1990). 5. L.D. Landau and E.M. Lifschitz, Phys. Zs. Sow. 8, 135 (1934); Л.Д. Ландау, Собр. тр., Наука, Москва (1969), т. 1, с. 128. 6. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский, Спи- новые волны, Наука, Москва (1967). 7. А.Г. Гуревич, Магнитный резонанс в ферритах и анти- ферромагнетиках, Наука, Москва (1973). 8. А.Ф. Андреев, В. И. Марченко, УФН 130, 29 (1980). 9. Е.А. Туров, А.В. Колчанов, В.В. Меньшенин, И.Ф. Мир- саев, В.В. Николаев, Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков, Физматлит, Москва (2001). 10. H.J. Mikeska and M. Steiner, Adv. Phys. 40, 191 (1991). 11. Б.А. Иванов, ФНТ 31, 841 (2005)[Low Temp. Phys. 31, 635 (2005)]. 12. И.В. Барьяхтар, Б.А. Иванов, ФНТ 5, 759 (1979) [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 361 (1979)]. 13. H-J. Mikeska, J. Phys. C 13, 2913 (1980). 14. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, М.В. Четкин, УФН 146, 417 (1985). 15. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. Lett. 74, 1859 (1995). 16. V.G. Bar’yakhtar, M.V. Chetkin, B.A. Ivanov, and S.N. Gadetskii, Springer Tracts in Modern Physics, Springer- Verlag (1994). 17. Б.А. Иванов, В.Е. Киреев, ЖЭТФ 121, 320 (2002). 18. B.A. Ivanov and V.E. Kireev, Phys. Rev. B 70, 214430 (2004). 19. Б.А. Иванов, В.Е. Киреев, ЖЭТФ 134, 525 (2008). 20. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. B 68, 052401 (2003). Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 12 1421 21. A. Kirilyuk, A.V. Kimel, and Th. Rasing, Rev. Mod. Phys. 82, 2731 (2010). 22. A.V. Kimel, B.A. Ivanov, R.V. Pisarev, P.A. Usachev, A. Kirilyuk, and Th. Rasing, Nature Phys. 5, 727 (2009). 23. T. Satoh, S.-J. Cho, R. Iida, T. Shimura, K. Kuroda, H. Ueda, Y. Ueda, B.A. Ivanov, F. Nori, and M. Fiebig, Phys. Rev. Lett. 105, 077402 (2010). 24. A.V. Kimel, A. Kirilyuk, P.A. Usachev, R.V. Pisarev, A.M. Balbashov, and Th. Rasing, Nature (London) 435, 655 (2005). 25. В.Г. Барьяхтар, В.Л. Соболев, А.Г. Квирикадзе, ЖЭТФ 65, 790 (1973). 26. S. Tyc and B.I. Halperin, Phys. Rev. B 42, 2096 (1990). 27. B.A. Ivanov and A.L. Sukstanskii, J. Magn. Magn. Mater. 117, 102 (1992). 28. А.Ф. Андреев, И.A. Грищук, ЖЭТФ 87, 467 (1984). 29. В.И. Бутрим, А.С. Кузнецов, Уч. Зап. ТНУ 22, 74 (2009). 30. S. Chakravarty, B.I. Halperin, and D.R. Nelson, Phys.Rev. B 39, 2433 (1989). 31. В.И. Бутрим, Б.A. Иванов, A.С. Кузнецов, Р.С. Химин, ФНТ 34, 1266 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 997 (2008)]. 32. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функции Грина в теории магнетизма, Наукова думка, Киев (1984). Specific features of relaxation of magnons in an easy-plane antiferromagnet in the framework of sigma-model V.I. Butrim and B.A. Ivanov It is shown that for the anisotropic sigma-model with an easy-plane anisotropy an abnormal behavior of damping of quasi-particles (magnons) take/place. For gapless elementary excitations with linear dispersion law at small wave vectors, the damping decrement is proportional of the forth power of frequency (not qua- dratic over frequency, as for standard goldstone quasi- particles, for example, for purely isotropic sigma- model), that can noted as a “supergoldstone” behavior of damping. As usually, the damping decrement for the second branch of quasi-particles, having finite ac- tivation, has finite value at small wave vectors. But this damping decrement has peculiarities too, namely, at low temperatures it has a power dependence on the temperature, and not contains the standard exponen- tially small temperature multiplier. PACS: 75.10.Jm Quantized spin models; 75.10.Hk Classical spin models. Keywords: anisotropic sigma-model, relaxation of magnons, goldstone quasiparticles, antiferromagnet, spin nematic.

Особенности релаксации магнонов в легкоплоскостном антиферромагнетике в рамках сигма-модели

Репозитарії

Схожі ресурси