Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки

Получено нелинейное интегро-дифференциальное динамическое уравнение для электронной температуры Te в случае нестационарного нагрева металлической пленки при низких температурах. Это уравнение описывает процесс передачи тепла от электронов к фононам и обмен фононами между пленкой и подложкой. Деталь...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Безуглый, А.И., Шкловский, В.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2013
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Электронные свойства проводящих систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118274
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 4. — С. 459–468. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-118274
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1182742017-05-30T03:06:08Z Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. Электронные свойства проводящих систем Получено нелинейное интегро-дифференциальное динамическое уравнение для электронной температуры Te в случае нестационарного нагрева металлической пленки при низких температурах. Это уравнение описывает процесс передачи тепла от электронов к фононам и обмен фононами между пленкой и подложкой. Детально рассмотрен нагрев пленки осциллирующим тепловым источником малой мощности. В рамках линейного отклика установлена связь частотной дисперсии амплитуды Te с характерным временем электрон-фононных столкновений (τe) и со средним временем ухода фононов из пленки (τes). В следующем (квадратичном) порядке теории возмущений найдена постоянная добавка к Te и показано, что ее частотная зависимость также содержит информацию о временах τe и τes. Результаты обобщены на грязные металлические пленки. Обсуждаются различные возможности экспериментального определения времен τe и τes. Отримано нелінійне інтегро-диференційне динамічне рівняння для електронної температури Te у разі нестаціонарного нагріву металевої плівки при низьких температурах. Це рівняння описує процес передачі тепла від електронів до фононів та обмін фононами між плівкою й підкладкою. Детально розглянуто нагрів плівки осцилюючим тепловим джерелом малої потужності. У рамках лінійного відгуку встановлено зв'язок частотної дисперсії амплітуди Te з характерним часом электрон-фононних зіткнень (τe) та з середнім часом виходу фононів з плівки (τes). У наступному (квадратичному) порядку теорії збурень знайдена постійна добавка до Te і показано, що її частотна залежність також містить інформацію про часи τe і τes. Результати узагальнено на забруднені металеві плівки. Обговорюються різні можливості експериментального визначення часів τe і τes. We obtained a nonlinear integro-differential dynamic equation for electron temperature Te in the case of transient heating of metal films at low temperatures. The equation describes the process of heat transfer from electron to phonons and the exchange of phonons between the film and the substrate. The heating of the film by an oscillating thermal source of low-power is considered in detail. In the framework of linear response, a relation of frequency dispersion of Te amplitude with characteristic time of electron–phonon collisions (τе) and an average time of phonon departure from the film (τеs) is derived. In the following (quadratic) order of the perturbation theory, a stationary correction to Te was found and it is shown that its frequency dependence also contains information about the times τе and τеs. The results were extended to dirty metal films. We discuss various possibilities of experimentation of the times τе and τеs. 2013 Article Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 4. — С. 459–468. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.kd, 72.15.Lh http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118274 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем
spellingShingle	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Физика низких температур
description	Получено нелинейное интегро-дифференциальное динамическое уравнение для электронной температуры Te в случае нестационарного нагрева металлической пленки при низких температурах. Это уравнение описывает процесс передачи тепла от электронов к фононам и обмен фононами между пленкой и подложкой. Детально рассмотрен нагрев пленки осциллирующим тепловым источником малой мощности. В рамках линейного отклика установлена связь частотной дисперсии амплитуды Te с характерным временем электрон-фононных столкновений (τe) и со средним временем ухода фононов из пленки (τes). В следующем (квадратичном) порядке теории возмущений найдена постоянная добавка к Te и показано, что ее частотная зависимость также содержит информацию о временах τe и τes. Результаты обобщены на грязные металлические пленки. Обсуждаются различные возможности экспериментального определения времен τe и τes.
format	Article
author	Безуглый, А.И. Шкловский, В.А.
author_facet	Безуглый, А.И. Шкловский, В.А.
author_sort	Безуглый, А.И.
title	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
title_short	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
title_full	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
title_fullStr	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
title_full_unstemmed	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
title_sort	динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Электронные свойства проводящих систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118274
citation_txt	Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 4. — С. 459–468. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT bezuglyjai dinamikaélektronnojtemperaturyivremenarelaksaciiélektronfononnojsistemymetalličeskojplenki AT šklovskijva dinamikaélektronnojtemperaturyivremenarelaksaciiélektronfononnojsistemymetalličeskojplenki
first_indexed	2025-07-08T13:48:53Z
last_indexed	2025-07-08T13:48:53Z
_version_	1837086839411834880
fulltext	© А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, 2013 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4, c. 459–468 Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки А.И. Безуглый1, В.А. Шкловский1,2 1Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина 2Харьковский национальный университет, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: bezuglyj@kipt.kharkov.ua shklovskij@kipt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 20 августа 2012 г. Получено нелинейное интегро-дифференциальное динамическое уравнение для электронной темпера- туры Te в случае нестационарного нагрева металлической пленки при низких температурах. Это уравне- ние описывает процесс передачи тепла от электронов к фононам и обмен фононами между пленкой и подложкой. Детально рассмотрен нагрев пленки осциллирующим тепловым источником малой мощно- сти. В рамках линейного отклика установлена связь частотной дисперсии амплитуды Te с характерным временем электрон-фононных столкновений (τe) и со средним временем ухода фононов из пленки (τes). В следующем (квадратичном) порядке теории возмущений найдена постоянная добавка к Te и показано, что ее частотная зависимость также содержит информацию о временах τe и τes. Результаты обобщены на грязные металлические пленки. Обсуждаются различные возможности экспериментального определения времен τe и τes. Отримано нелінійне інтегро-диференційне динамічне рівняння для електронної температури Te у разі нестаціонарного нагріву металевої плівки при низьких температурах. Це рівняння описує процес передачі тепла від електронів до фононів та обмін фононами між плівкою й підкладкою. Детально роз- глянуто нагрів плівки осцилюючим тепловим джерелом малої потужності. У рамках лінійного відгуку встановлено зв'язок частотної дисперсії амплітуди Te з характерним часом электрон-фононних зіткнень (τe) та з середнім часом виходу фононів з плівки (τes). У наступному (квадратичному) порядку теорії збу- рень знайдена постійна добавка до Te і показано, що її частотна залежність також містить інформацію про часи τe і τes. Результати узагальнено на забруднені металеві плівки. Обговорюються різні можливості експериментального визначення часів τe і τes. PACS: 63.20.kd Фонон-электронные взаимодействия; 72.15.Lh Времена релаксации и средние длины свободного пробега. Ключевые слова: металлические пленки, нестационарный нагрев, электрон-фононная кинетика, низкие температуры. 1. Введение Энергетическую релаксацию электронов в металли- ческих пленках, нагретых лазерным импульсом, обычно описывают в терминах двухтемпературной модели, ко- торая введена в пионерской работе Каганова, Лифшица и Танатарова [1]. В этой модели предполагается, что в пленке и электроны, и фононы термализованы, причем температура электронов eT больше температуры фоно- нов .pT Динамика этих температур определяется элек- тронной и фононной теплоемкостями и удельной мощ- ностью ,epP передаваемой от электронов к фононам. Для фононов с дебаевским спектром и электронов с квадратичным законом дисперсии в работе [1] была най- дена мощность epP при произвольных значениях eT и .pT В предельных случаях высоких и низких температур А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 460 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 (по сравнению с дебаевской температурой )DΘ общее выражение для epP сводится к ( )ep e pP G T T= − и 5 5= ( )ep e pP T TΣ − соответственно. Параметры G и ,Σ характеризующие силу электрон-фононного взаимодей- ствия при высоких и низких температурах, пропорцио- нальны квадрату деформационного потенциала и не за- висят от eT и .pT В работе [2] результаты [1] обобщены на случай произвольного электронного спектра и произ- вольной частотной зависимости функции Элиашберга 2 ( ).Fα ω Аналогичное обобщение позволило Аллену [3] показать, что параметр G пропорционален константе электрон-фононной связи ,λ причем коэффициент про- порциональности не содержит свободных параметров. На основании полученных Алленом соотношений были найдены значения λ для большого числа нормальных металлов и сверхпроводников, включая ВТСП [4–9]. Вместе с тем, в экспериментах по облучению пленок лазерными импульсами малой мощности [10–13] обна- ружилось, что при умеренных температурах 100eT К двухтемпературная модель дает качественно неверную температурную зависимость времени электрон-фонон- ной энергетической релаксации ( ),e eTτ поскольку при таких температурах нарушается важное условие приме- нимости двухтемпературной модели — быстрая терма- лизация электронной подсистемы. Условие быстрой термализации состоит в том, что время электрон-элект- ронных столкновений должно быть много меньше ха- рактерного времени релаксации электронной темпера- туры: .ee eτ τ Оценки показали, что для обычных металлов это неравенство выполняется при высоких температурах 310eT К (типичных для экспериментов [4–9]). Заметим, что в этой области температур нетер- мический характер фононной функции распределения не является существенным из-за большой теплоемкости фононного газа [12]. Таким образом, двухтемпературная модель адекватно описывает динамику электрон-фонон- ной системы при высоких температурах 3( 10 К)eT и теряет свою применимость при 100 К.eT В настоящей работе мы обращаем внимание на то, что в области кельвиновых и субкельвиновых темпера- тур (важной, например, для астрофизических исследова- ний [14–16]), также выполняется неравенство ee eτ τ . Значит, при анализе низкотемпературной энергетиче- ской релаксации пленок можно считать, что электроны термализованы и описываются зависящей от времени температурой ( ).eT t При этом следует иметь в виду, что в области низких температур фононная теплоемкость сравнима с электронной и, поскольку фононы не терма- лизованы, необходимо из кинетического уравнения на- ходить точный вид их функции распределения. Ниже, в рамках подхода, основанного на зависящей от времени электронной температуре и кинетическом уравнении для фононов, рассмотрим линейный и нели- нейный отклики электронной температуры на осцилли- рующий нагрев металлической пленки. Особенности откликов будут связаны с временами энергетической релаксации электрон-фононной системы. При этом учет обмена фононами между пленкой и подложкой позво- лит включить в микроскопическую теорию эффекты теплоотвода. Заметим, что аналогичный подход был использован в работе [17], где подробно рассмотрена кинетика остывания электронов в металлической пленке после мгновенного их нагрева. 2. Модель и основные соотношения Для вычисления отклика электрон-фононной системы металлической пленки на осциллирующий тепловой ис- точник воспользуемся простой микроскопической моде- лью. Будем считать, что закон дисперсии электронов квадратичен и изотропен, 2= /2p p mε ( m — эффек- тивная масса), а фононы имеют одну акустическую ветвь с продольной поляризацией. Поскольку рассматриваемая область температур существенно меньше дебаевской температуры, закон дисперсии фононов можно считать линейным: = ,sqωq где s — скорость продольного зву- ка, q — модуль волнового вектора фонона. Для элек- трон-фононного взаимодействия используем приближе- ние потенциала деформации, а теплоотвод в подложку будем описывать в терминах акустических импедансов сред (модель акустического рассогласования) [18,19]. Удобство нашего подхода заключается в том, что он дает аналитическое описание всех процессов, связанных с релаксацией энергии нагретых электронов в системе «металлическая пленка — диэлектрическая подложка». Заметим, что включение в модель поперечных фононов привело бы, в частности, к необходимости учитывать конверсию продольных и поперечных мод колебаний на границе между пленкой и подложкой, что потребовало бы уже численных методов [18,20]. Как отмечалось во введении, в низкотемпературной области электрон-электронные столкновения домини- руют над электрон-фононными и электронная функция распределения является фермиевской. При этом вслед- ствие высокой теплопроводности электронного газа температура eT не зависит от перпендикулярной к пленке координаты z и является только функцией вре- мени. Фононная функция распределения ( , )qN z t на- ходится из кинетического уравнения = ( ),z pe N N s I N t z ∂ ∂ + ∂ ∂ q q q (1) где zs — проекция скорости фонона на ось z, peI — интеграл фонон-электронных столкновений (стандарт- ный вид peI см., например, в [21]). В области низких температур для чистых пленок eeτ меньше, чем ,eτ если ( 2< / 1Кe D FT TΘ ∼ ( FT — фермиевская тем- пература). В грязных пленках условие <ee eτ τ выполняется при 10 КeT (см. разд. 5). Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 461 В случае фермиевской функции распределения элек- тронов интеграл фонон-электронных столкновений су- щественно упрощается и принимает следующий вид: ( ) = { [ ( )] ( , )} .pe q eI N n T t N z tν −q q (2) Здесь 1( ) = [exp ( / ) 1]q qn T T −ω − — бозевская функция распределения ( = 1).Bk В приближении потенциала деформации частота фонон-электронных столкновений дается формулой 2 2 3= , 2 q m s μ ν ω π ρ (3) где μ — константа потенциала деформации, имеющая порядок энергии Ферми ;Fε ρ — плотность пленки. Заметим, что формула (3) относится к случаю чистой пленки. В грязных пленках зависимость ν от qω мож- но аппроксимировать степенной функцией с показате- лем степени, зависящим от типа дефектов (подроб- ности см. в разд. 5). К уравнению (1) следует прибавить граничные ус- ловия (см. рис. 1). Если = ( , , > 0)x y zq q qq — волно- вой вектор фонона, налетающего на границу = ,z d то, предполагая зеркальное отражение фононов, имеем ( , ) = ( , ),N d t N d t′q q (4) где = ( , , )x y zq q q′ −q — волновой вектор зеркально от- раженного фонона. Когда фонон с волновым вектором ′q налетает из пленки на границу с подложкой, он с вероятностью α проходит в подложку и с вероятностью = 1β − α отражается от границы, переходя в состояние с волновым вектором q. Кроме того, в состояние с вол- новым вектором q приходят фононы из подложки. Та- ким образом, при = 0z выполняется условие (0, ) = ( ) (0, ),q BN t n T N t′α +βq q (5) где BT — температура подложки. Условие (5) предпо- лагает, что вылетевшие из пленки фононы не возвра- щаются назад. Такая картина характерна для монокри- сталлических подложек с высокой теплопроводностью и достаточно узких пленок. В модели акустического рассогласования [18,19] вероятность α зависит от угла падения фонона и аку- стических импедансов пленки и подложки: 1 2 1 2 2 1 4 cos cos ( ) = . ( cos cos ) ZZ Z Z ′ θ θ α θ ′θ + θ (6) Здесь = ( )Z s Z s′ ′ ′ρ = ρ — акустический импеданс пленки (подложки); углы падения и преломления связа- ны соотношением 1 2sin = sin .s s′ θ θ Решение кинетического уравнения (1) с граничны- ми условиями (4) и (5) может быть найдено с помощью преобразования Фурье по времени. Не останавливаясь на довольно громоздких выкладках (см. подробности вычислений в [17]), приведем результат: 1( , ) = [1 (0)] exp [ / ] ( )z q BN z t x z s n T−α −β − ν +q [ 1 /2 ][ ( )] exp[ ( )] , t z d q edt n T t t t τ+ − −∞ ′ ′ ′+ ν −ν − β∫ (7) 1( , ) = [1 (0)] exp [ (2 ) / \| \|] ( )z q BN z t x d z s n T− ′ α −β − − ν +q [ /2 ][ ( )] exp [ ( )] . t z d q edt n T t t t τ+ −∞ ′ ′ ′+ ν −ν − β∫ (8) В этих выражениях (0) = exp ( 2 / \| \|)zx d s− ν и =τ \| \| ( )/2 .zs t t d′= − Как и ранее, считается, что вектор q имеет положительную z-компоненту, а вектор ′q — отрицательную. Квадратные скобки в показателе сте- пени β обозначают целую часть числа. Уравнение для электронной температуры следует из условия теплового баланса ( ) = ( ) ( ).e e e ep dT c T W t P t dt − (9) Здесь электронная теплоемкость 2= ( /3) (0)e ec N Tπ (где 2 3(0) = /FN mp π — плотность состояний на по- верхности Ферми), ( )W t — удельная мощность источ- ников тепла, epP — усредненная по толщине пленки удельная мощность, передаваемая от электронов к фо- нонам. epP выражается через интеграл фонон-элект- ронных столкновений: 3 3 0 1= [ ( , )] . (2 ) d ep q pe d qP dz I N z t d ω π∫ ∫ q (10) Рис. 1. Зеркальное отражение фонона на границе пленки с вакуумом (z = d) и преломление фононов на границе «пленка– подложка» (z = 0). Фонон, налетающий на границу z = 0 из подложки, обозначен штриховой линией. Углы падения 1θ и преломления 2θ связаны равенством 1 2sin = sin .s s′ θ θ Через ( )′ρ ρ и ( )s s′ обозначены плотность и скорость продольного звука для пленки (подложки) соответственно. z d= z = 0 z z �1 �2 �1 �2 �1 �1 вакуум пленка подложка А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 462 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 Вычислив ,epP приходим к нелинейному интегро- дифференциальному уравнению для электронной тем- пературы: 3 3 >0 ( ) = ( ) 2 { ( ( )) ( ) (2 ) e e e q q e q B qz dT d qc T W t n T t n T dt − ω ν − − π∫ [ ][ ( ( )) ( )] exp[ ( )] (1 { })}, t q e q Bdt n T t n T t t τ −∞ ′ ′ ′− − ν −ν − β −α τ∫ (11) где [ ]τ и { }τ обозначают соответственно целую и дробную части τ. Заметим, что фононный вклад в уравнение теплового баланса состоит из двух слагае- мых. Первое из них (локальное по времени) описывает излучение неравновесных фононов в момент времени t, а второе (интегральное по времени) учитывает по- глощение неравновесных фононов, излученных в бо- лее ранние моменты < .t t′ Зная фононную функцию распределения, можно также найти нестационарный поток тепла из пленки в подложку. Для этого в формулу 3 3 >0 ( ) = [ (0, ) (0, )] (2 ) q z qz d qQ t s N t N t′ω − π∫ q q (12) следует подставить выражения (7) и (8). После не- сложных вычислений получаем 3 3 >0 ( ) = [ ( ( )) (2 ) t q z q e qz d qQ t s dt n T t −∞ ′ ′ω αν − π∫ ∫ [ ]( )]exp [ ( )] .q Bn T t t τ′− −ν − β (13) Из полученных результатов видно, что поток тепла ( )Q t и интенсивность теплового источника ( )W t свя- заны друг с другом через электронную температуру ( ).eT t Эта связь является интегральной по времени, поскольку в тепловой поток ( )Q t вносят вклад фоно- ны, излученные в предыдущие моменты < .t t′ 3. Стационарный нагрев пленки и линейный отклик электронной температуры на осцилляции теплового источника Особенности кинетики электрон-фононной системы металлической пленки проанализируем в случае, когда поглощаемая электронами мощность имеет как посто- янную, так и малую осциллирующую компоненту, т.е. возьмем 0 1( ) = e i tW t W W − ω+ при условии, что 1 0.W W В рамках линейного отклика электронная температура имеет вид 0 1( ) = e ,i t eT t T T − ω+ (14) где амплитуда осциллирующей добавки к температуре в общем случае является комплексной, причем 1 0\| \| .T T Подстановка (14) в (11) дает в нулевом по- рядке по 1T уравнение для средней температуры элект- ронов: 3 0 03 >0 [1 (0)]= [ ( ) ( )], [1 (0)](2 ) z q q q B qz sd q xW n T n T d x α − ω − −βπ∫ (15) а в первом порядке — уравнение для комплексной ам- плитуды T1: 3 0 1 1 3 0>0 ( ) = 2 (2 ) q e q qz dnd qi c T T W dT − ω − ω × π∫ 12 [1 ( )] , 2 ( ) [1 ( )] zs xi T i d i x ⎡ ⎤α ν − ω− ω × ν +⎢ ⎥ ν − ω ν − ω −β ω⎢ ⎥⎣ ⎦ (16) где ( ) = exp [ 2 ( )/ \| \|].zx d i sω − ν − ω Для потока тепла ( ),Q t который в линейном при- ближении складывается из среднего значения 0Q и малой осциллирующей компоненты 1e ,i tQ − ω уравне- ние (13) дает 0 0=Q dW и 3 1 13 0>0 [1 ( )]= . ( )[1 ( )](2 ) q q z qz dnd q xQ s T dT i x ν − ω ω α ν − ω −β ωπ∫ (17) 3.1. Стационарный нагрев Электрон-фононная кинетика пленки при стацио- нарном нагреве электронов 1( = 0)W подробно рас- смотрена одним из авторов в работе [22]. Для удобства читателя напомним некоторые основные результаты этой работы. Оказывается, что в зависимости от значе- ний таких параметров, как толщина пленки d, средняя вероятность ухода фононов из пленки 〈α〉 и длина пробега тепловых фононов 0( ),pel T можно выделить предельные случаи эффективно толстых и эффективно тонких пленок. (Длина 0 0( ) / ( ),pel T s Tν∼ где 0( )Tν определяется формулой (3) с 0 / .q Tω ∼ ) Если ввести эффективную толщину пленки eff = / ,d d 〈α〉 то в тол- стых пленках, для которых eff 0( ),ped l T неравно- весные фононы в основном перепоглощаются электро- нами. При этом [1 (0)] / [1 (0)] = 1,x x− −β и уравнение (15) дает 2 4 4 0 03 2= ( ). 120 BW T T s d π 〈α〉 − (18) Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 463 Здесь усредненная по углам вероятность ухода фоно- нов из пленки /2 0 = ( )sin (2 ) .d π 〈α〉 α θ θ θ∫ (19) В противоположном предельном случае эффектив- но тонких пленок, eff 0( ),ped l T излученные горячи- ми электронами неравновесные фононы в основном вылетают из пленки в подложку без перепоглощения. В этом случае [1 (0)] / [1 (0)] = 2 /( \| \|),zx x d s− −β ν α и уравнение для 0T имеет вид 2 2 5 55 0 03 7 4= ( ), 4 B D mW T T s μ − π ρ (20) где 1 1 0 = (e 1) .k x kD x dx ∞ − −−∫ Заметим, что выраже- ние (20) совпадает с результатом, полученным в двух- температурном приближении [1]. Причина такого сов- падения состоит в том, что в главном (нулевом) приближении по малому параметру eff 0/ ( )ped l T функ- ция распределения фононов в эффективно тонких плен- ках равна равновесной функции ( ),q Bn T и, следова- тельно, электроны и фононы характеризуются различ- ными температурами 0T и BT соответственно. Отме- тим, кстати, что в эффективно толстых пленках функция распределения фононов равна 0( )qn T за исключением узкой области вблизи границы с подложкой (шириной порядка 0( ))pel T и, таким образом, в эффективно тол- стых пленках электроны и фононы имеют одинаковую температуру 0 > .BT T 3.2. Линейный отклик на осцилляции теплового источника В нестационарных условиях помимо параметра eff 0/ ( )ped l T возникает еще один важный параметр 0/ ( ),Tω ν описывающий термализацию электрон-фо- нонной системы в течение периода колебаний теплового источника. Рассмотрим сначала эффективно толстые пленки, для которых [1 ( )] / [1 ( )] = 1,x x− ω −β ω вследст- вие чего уравнение (16) упрощается и принимает вид 3 0 0 1 1 3 0>0 ( ) ( ) = 2 (2 ) q e q qz dn Td qi c T T W dT − ω − ω ν × π∫ 12 . 2 ( ) zsi T i d i ⎡ ⎤α ν− ω × +⎢ ⎥ ν − ω ν − ω⎢ ⎥⎣ ⎦ (21) В области низких частот, 0( ),Tω ν из (21) следует выражение для амплитуды линейного отклика: 1 1 1 0 0 0= { [ ( ) ( )] ( )/ } ,e p p esT W i c T c T c T −− ω + + τ (22) где 2 4 3 3 3 0= (2 /15)( / )p Bc k T sπ — фононная теплоем- кость в модели с одной акустической ветвью колеба- ний, eff= 4 /es d sτ — среднее время ухода фононов из пленки. Формула (22) отражает то обстоятельство, что при низких частотах фононы в толстых пленках нахо- дятся в тепловом равновесии с электронами. При этом динамика их общей температуры определяется време- нем 0 0= [1 ( )/ ( )],es es e pc T c T′τ τ + которое больше, чем ,esτ вследствие вклада электронов в тепловую инер- цию пленки. Совершенно иная ситуация складывается в области высоких частот. При 0( )Tω ν квадратная скобка в (21) равна единице, тогда 3 0 0 1 13 0 ( ) ( ) = . (2 ) q e q dn Td qi c T T W dT ⎧ ⎫⎪ ⎪− ω + ω ν⎨ ⎬ π⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ (23) Приравняв интеграл в формуле (23) величине 0 0( )/ ( ),e ec T Tτ для времени 0( )e Tτ получаем 5 7 4 0 2 2 3 5 0 4 (0)( ) = , 15 e N sT D m T π ρ τ μ (24) а амплитуда линейного отклика будет выражаться формулой 1 1 1 1 0 0= [ / ( )][ ( )] .e eT W c T i T− −− ω+ τ (25) Таким образом, высокочастотный отклик эффек- тивно толстой пленки определяет время электрон- фононной релаксации 0( ).e Tτ Отметим, что в области высоких частот фононы являются термостатом для электронов и не вносят вклад в тепловую инерцию пленки. В случае эффективно тонкой пленки квадратную скобку в уравнении (16) можно заменить единицей как при высоких, так и при низких частотах. Это означает, что выражение (25) описывает отклик тонкой пленки независимо от частоты теплового источника. Для на- глядности на рис. 2 схематически изображена зависи- мость амплитуды осцилляций электронной температу- ры от частоты теплового источника для случаев эффек- тивно толстой и эффективно тонкой пленок. Обратимся к выражению (17) для комплексной ам- плитуды теплового потока. В предельном случае эффек- тивно толстых пленок оно существенно упрощается: 3 1 13 0>0 = . (2 ) q q z qz dnd qQ s T dT i ν ω α ν − ωπ∫ (26) А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 464 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 При низких частотах, 0( ),Tω ν 1 0 0 1 1= ( ) [1 ( )] , 4 p pQ c T s i T T〈α〉 + ω τ (27) где среднее время фонон-электронных столкновений 43 0 3 0 3 3 2 2 0 0 0 ( ) 451 1( ) = = . ( ) (2 ) 2 q p q p dn T D sd qT c T dT m T ρ τ ω νπ π μ∫ (28) Время 0( )p Tτ определяет сдвиг фазы Qϕ между ос- цилляциями теплового потока и электронной темпера- туры: 0= arctg ( ( )).Q p Tϕ ωτ Физическая причина за- паздывания 1( )Q t относительно 1( )T t состоит в том, что фононам, излученным вблизи границы с подлож- кой в слое толщиной порядка 0( ),pel T требуется время порядка 0( ),p Tτ чтобы долететь до подложки. В об- ласти высоких частот, 0( ),Tω ν формула (26) дает 1 0 0 1= ( ) ( ) , 4 p iQ c T s T T〈α〉ν ω (29) где 2 23 0 5 0 0 3 5 4 0 0 ( ) 751( ) = = . ( ) (2 ) 8 q p q p dn T D m Td qT c T dT s μ ν ω ν π π ρ∫ (30) Уравнение (29) описывает интегральную связь между 1( )Q t и 1( ),T t отражающую тот факт, что тепловой поток в момент t определяется фононами, излученны- ми ранее. Заметим, что в пределе высоких частот = /2.Qϕ π Можно сказать, что в этом случае тепловой поток 1( )Q t ведет себя аналогично напряжению на емкости, которое на четверть периода отстает от коле- баний электрического тока. Для эффективно тонких пленок и частот 0( )Tω ν выражение (17) дает 1 1 0 0 1 0 0 1= ( ) ( ) = ( ) ( ) ,p e eQ dc T T T dc T T T−ν τ (31) и, значит, при частотах 0( )Tω ν тепловой поток адиабатически следует за изменениями электронной температуры. При высоких частотах, / ,s dω пленка оказывается достаточно толстой для того, чтобы гра- ницы с подложкой достигали фононы, излученные много периодов колебаний назад. В таком случае толщина пленки становится несущественной, и ам- плитуда 1Q определяется выражением (29), получен- ным для эффективно толстой пленки. В конце разд. 2 мы отметили, что в общем случае за- висимость потока тепла ( )Q t от мощности теплового источника ( )W t задана неявно через температуру элек- тронов. Ситуация существенно упрощается в рассмат- риваемом случае малых гармонических колебаний мощности теплового источника, когда, как следует из равенств (16) и (17), амплитуды 1Q и 1W просто про- порциональны друг другу. При этом оказывается, что в пределе низких частот величина 1Q мало отличается от «адиабатического» значения 1 ,W d тогда как при высо- ких частотах 1Q (будучи пропорциональной 2 )−ω зна- чительно меньше 1 .W d Интересно, что в пределе ω→∞ сдвиг фаз между колебаниями W и Q стре- мится к ,π т.е. мощность тепла, выделяющаяся в плен- ке, и поток тепла из пленки колеблются в противофазе. 4. Нелинейный отклик электронной температуры Уравнение (11) — удобный исходный пункт для вычисления нелинейного отклика электронной темпе- ратуры на осцилляции теплового источника. Отметим, что ранее нелинейный отклик тонкой пленки был най- ден численными методами в рамках двухтемператур- ного подхода [23]. Не будем ограничиваться случаем эффективно тонких пленок, а на основании уравнения (11) получим аналитические результаты для нелиней- ного отклика как эффективно тонких, так и эф- фективно толстых пленок. Пусть пленка нагревается переменным током 0= sin ,j j tω соответственно, удельная мощность теп- ловыделения дается выражением 0( ) = (1 cos 2 ).W t P t− ω (32) � 0 \| \|T1 W1�es pc –1 W1�e pc –1 � es –1 � e –1 Рис. 2. Зависимость амплитуды осцилляций электронной тем- пературы 1\| \|T от частоты теплового источника ω (схематиче- ски). Сплошная линия соответствует эффективно толстой, а штрих-пунктирная — эффективно тонкой пленкам. Считается, что частота фонон-электронных соударений 0( )Tν мала по сравнению с обратным временем электрон-фононной энерге- тической релаксации 1 0( ).e T−τ Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 465 Здесь 2 0 0= /2 ,P j σ где σ — проводимость пленки, кото- рую при низких температурах можно считать не завися- щей от температуры. Тепловыделение (32) имеет как постоянную, так и переменную компоненту, однако, в отличие от предыдущего раздела, они одного порядка. Пусть нагрев пленки относительно невелик, то есть ( ) .e B BT t T T− В этом случае электронную температу- ру можно найти методами теории возмущений, предста- вив eT в виде ряда 1 2= ,e BT T T T+ + + где 0 i iT P∝ . В каждом порядке теории возмущений поправку iT удобно записать в виде суммы ее среднего значения и осциллирующей компоненты: ( ) = ( ).i i iT t T T t+ Для возмущений первого порядка можно использо- вать результаты предыдущего раздела, согласовав их с видом теплового источника (32). Модификация фор- мул довольно проста. Так, (15) дает уравнение для 1T : 3 0 13 >0 ( )[1 (0)]= . [1 (0)](2 ) q Bz q Bqz dn Tsd q xP T d x dT α − ω −βπ∫ (33) Записав 1( )T t в виде 2 1e ,i tT − ω для комплексной ам- плитуды 1T получим уравнение 3 3 >0 ( ) 2 ( ) 2 (2 ) q B e B q Bqz dn Td qi c T dT ⎧ ⎪ ω + ω ν ×⎨ π⎪⎩ ∫ 1 02 [1 (2 )]2 = , 2 2 ( 2 ) [1 (2 )] zs xi T P i d i x ⎫⎡ ⎤α ν − ωω ⎪× −⎢ ⎥⎬ ν − ω ν − ω −β ω⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎭ (34) которое отличается от (16) заменой 0T на ,BT 1W на 0P− и ω на 2ω . Следовательно, для 1T справедливы результаты предыдущего раздела с такими же заменами. Во втором порядке теории возмущений нас будет интересовать постоянная компонента 2 ,T которая, в отличие от 1,T существенно зависит от частоты ω . Как оказывается, особенности зависимости 2 ( )T ω не- посредственно связаны с временами релаксации элек- трон-фононной системы. Уравнение для 2T имеет вид 23 2 2 1 13 2 >0 ( )1 1 \| \| 2 2(2 ) q B q Bqz d n Td q T T dT ⎡ ⎛ ⎞⎢ω + +⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠π ⎣ ∫ 2 ( ) [1 (0)] = 0. [1 (0)] q B z B dn T s x T dT x ⎤ α − + ⎥ −β⎦ (35) Для эффективно толстой пленки (35) дает 2 2 2 1 1 3 1= ( \| \| ) , 2 2B T T T T − + (36) где 1 0= / ( ).es p BT P c Tτ (37) В области низких частот, ( ),BTω ν комплексная амплитуда 1T дается выражением 1 0 1 ( ) = 1 2 1 . ( ) ( ) es e B es p B p B P c T T i c T c T − ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ ⎪ ⎪− − ωτ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ (38) Подстановка (37) и (38) в (36) приводит к следующему результату: 2 2 0 2 2 2 2 2 3 1= 1 . 2 ( ) 2{1 4 [1 ( )/ ( )] } es B p B es e B p B P T T c T c T c T ⎛ ⎞τ ⎜ ⎟− + ⎜ ⎟+ ω τ +⎝ ⎠ (39) Видно, что при нагреве металлической пленки пере- менным током постоянная добавка к электронной тем- пературе существенно зависит от частоты. Этот эф- фект, очевидно, имеет нелинейную природу и воз- никает вследствие нелинейности исходного уравнения (11). Рассмотрим теперь более детально зависимость 2 ( ).T ω Если 1 ( ),es BT−τ ν эта зависимость имеет вид сглаженной ступеньки и, соответственно, производная 2 /dT dω представляет собой выпуклую кривую. Мак- симум этой кривой достигается при частоте 1= {2 3 [1 ( )/ ( )]} .es es e B p Bc T c T −ω τ + Таким образом, по положению низкочастотного максимума esω в экспе- рименте можно найти среднее время ухода фононов из пленки. Заметим, что esω определяет esτ без подго- ночных параметров. В случае высоких частот ( )BTω ν 1 1 0= [ ( )/ ( )][1 2 ( )]e B e B e BT P T c T i T −− τ − ωτ (40) и 2 2 2 0 2 2 2 2 2 3 ( ) 1= . 2 ( ) 2 ( ) [1 4 ( )] es e B B p B e B e B P T T T c T c T T ⎛ ⎞τ τ⎜ ⎟− + ⎜ ⎟+ ω τ⎝ ⎠ (41) Из (41) следует, что в высокочастотной области мак- симум производной 2 /dT dω достигается при =eω 1{2 3 ( )} ,e BT −= τ т.е. по положению высокочастотного максимума можно определить время электрон-фонон- ных столкновений при температуре .BT Как будет видно из дальнейшего, параметрами разложения являются 0 /es p BP c Tτ для толстых пленок, низких частот и 0 /e e BP c Tτ — в остальных предельных случаях. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 466 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 Обратимся к тонким пленкам. Нелинейный отклик эффективно тонкой пленки интересен тем, что харак- терное время релаксации электронов ( )e BTτ можно найти не только по частотной дисперсии 2 ( ),T ω но и из разности 2 2( ) (0).T T∞ − Действительно, уравнение (35) дает для эффективно тонкой пленки 2 2 2 1 1 2 1( ) = \| ( ) \| , 2B T T T T ⎛ ⎞ω − + ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (42) где амплитуда 1T определяется формулой (40). Соот- ветственно, кривая 2 /dT dω имеет максимум при 1= {2 3 ( )} .e e BT −ω τ Вычислим разность 2 2( ) (0).T T∞ − Из выражения (42) следует, что 2 2 2 0 2 2 1 2 ( )1( ) (0) = \| (0) \| = . ( ) e B B B e B P T T T T T T c T τ ∞ − (43) Эта величина весьма чувствительна к температуре тер- мостата ,BT так как с понижением BT она растет как 9.BT − Таким образом, в эффективно тонких пленках время электрон-фононных столкновений ( )e BTτ можно найти и по частотной дисперсии нелинейного отклика 2 ( ),T ω и из разности 2 2( ) (0).T T∞ − В первом случае ( )e BTτ находится без подгоночных параметров, во вто- ром случае имеется один подгоночный параметр — средняя удельная поглощаемая мощность 0 .P 5. Обсуждение результатов Результаты, полученные в предыдущих разделах, описывают динамику электронной температуры в слу- чае чистых металлических пленок, где длина свободно- го пробега электрона l много больше длины волны теп- ловых фононов ( = 2 / ).T T s Tλ λ π Эти результаты можно обобщить на случай «грязных» пленок с .Tl λ Как показано в работе [24], в грязных пленках рассеяние электронов на точечных дефектах ослабляет электрон- фононное взаимодействие, что приводит к соотноше- нию 4 e T l−τ ∝ и, следовательно, к T6-зависимости для потока тепла от электронов к фононам. Подобная зави- симость наблюдалась в экспериментах [14,25,26]. Вме- сте с тем в ряде экспериментов [15,16,27–29] было по- лучено 2 ,e T −τ ∝ что может быть следствием сильного рассеяния электронов на массивных дефектах, которые не «увлекаются» колебаниями решетки [30]. Заметим, что в общем случае в эксперименте можно ожидать зависимости (3 )r e T − +τ ∝ с r, близкими к 1, при до- минировании рассеяния электронов на колеблющихся дефектах и с 1,r ≈ − если основной вклад в рассеяние электронов дают дефекты, которые не колеблются вместе с решеткой. Чтобы обобщить наши результаты на грязные плен- ки, возьмем (как в [17]) матричный элемент электрон- фононного взаимодействия в виде 2 1 1 2 ( ) ( ) = , r qw q s +πμ ω ρ (44) где число r не обязательно целое, а 1μ — феноменоло- гический параметр, который определяется доминирую- щим типом дефектов (неподвижные или колеблющиеся вместе с кристаллической решеткой), а также длиной свободного пробега электронов. Переход к чистому случаю осуществляется простой заменой = 0r и 1 = .μ μ Можно показать, что выражение (44) приводит к степенной частотной зависимости функции Элиаш- берга: 2 2( ) r qF +α ω ∝ ω и, как следствие, к степенной температурной зависимости времени электрон-фонон- ных столкновений [28,31]. Вычисления [17] дают 5 7 4 2 2 3 5 1 4 (0)( ) = , 3(5 ) e r r N sT r D m T + + π ρ τ + μ (45) таким образом, при = 1r время 4 ,e T −τ ∝ а при = 1r − имеем 2.e T −τ ∝ Важно отметить, что проведенное выше обобщение на грязные пленки не меняет вида формул, получен- ных в предыдущих разделах, поэтому результаты на- стоящей работы в равной мере описывают динамику электронной температуры как в чистых, так и в гряз- ных пленках. Заметим, кстати, что в грязных пленках, где электрон-электронное взаимодействие усилено эффектами слабой локализации, область применимо- сти нашей модели расширяется, и максимальная тем- пература, при которой применима модель, может дос- тигать 10 К [31]. Проведенный в предыдущих разделах анализ дина- мики электрон-фононной системы позволяет также выяснить вопрос о применимости двухтемпературной модели [1] при низких температурах. В случае эффек- тивно тонких пленок перепоглощение неравновесных фононов несущественно, поэтому в уравнении (11) можно пренебречь интегральным по времени слагае- мым. Остальные члены дают такое же уравнение для электронной температуры ,eT что и двухтемператур- ное приближение. (При этом температура фононов постоянна и равна температуре подложки .)BT Для эффективно толстых пленок ограничиться двухтемпе- ратурным приближением нельзя и необходимо полное кинетическое описание фононной системы. Теперь обратимся к эксперименту. В интересующей нас области низких температур ( < 10 К)T время элек- трон-фононной энергетической релаксации eτ в эф- фективно тонкой пленке обычно определяется по ве- личине электронного перегрева при слабом нагреве пленки либо постоянным [14–16,25,26], либо высоко- Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 467 частотным [27,31,32] током. В первом случае в пленке создается состояние стационарного электронного пере- грева, где температура электронов eT превышает тем- пературу решетки ,BT причем (как, например, следует из (25) при = 0)ω разность 0= / ( ).e B e e BT T W c T− τ На основании этого выражения время eτ определяется по разности температур e BT T− при известных значениях электронной теплоемкости ( )e Bc T и удельной мощ- ности джоулева тепловыделения 0.W Во втором случае (при высокочастотном нагреве) время eτ находится непосредственно из частотной зависимости болометрического отклика пленки. По- скольку болометрический отклик пропорционален из- менению электронной температуры, измеренную ам- плитудно-частотную характеристику отклика нужно сопоставить с формулой 1 1 2 2 1\| ( ) \| = , ( ) 1 ( ) e e B e B W T c T T τ ω +ω τ (46) которая является простым следствием (25). Из форму- лы (46) видно, что время eτ равно обратной величине частоты, при которой амплитуда отклика уменьшается в 2 раз по сравнению с ее значением при 0.ω→ Отметим, что в работе [27] установлено хорошее со- гласие амплитудно-частотной характеристики тонкой ниобиевой пленки с (46), что, в частности, позволило установить зависимость 2 e BT −τ ∝ для исследуемых грязных пленок. (В [27] формула (46) получена из двухтемпературного приближения.) В завершение раздела обсудим некоторые новые возможности определения времен eτ и esτ в высоко- частотных экспериментах. В достаточно толстых плен- ках, где среднее время ухода фононов ( ),es e BTτ τ амплитуда осцилляций электронной температуры (при ( ))BTω ν дается выражением 1 1 2 2 2 1\| ( ) \|= . ( ) 1 [1 ( )/ ( )] es p B es e B p B W T c T c T c T τ ω + ω τ + (47) Следовательно, измерив частотную зависимость боло- метрического отклика эффективно толстой пленки, можно найти время esτ , которое связано с таким важ- ным параметром, как тепловое сопротивление границы между пленкой и подложкой TR [19]. (В рассмотрен- ной модели = /[ ( )].)T es p BR dc Tτ При более высоких частотах, ( ),BTω ν болометрический отклик эффек- тивно толстой пленки описывается формулой (46), что дает возможность экспериментально определить время электрон-фононной энергетической релаксации .eτ Времена eτ и esτ могут быть также получены из из- мерений частотной зависимости сдвига фазы колебаний электронной температуры . Из формул (22) и (25) сле- дует, что для эффективно толстых пленок при ( )BTω ν величина сдвига фазы ( ) = arctg 1 , ( ) e B T es p B c T c T ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟ϕ ωτ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ а в случае тонких пленок = arctg [ ( )].T e BTϕ ωτ Заметим, наконец, что, согласно разд. 4, измерение частотной зависимости постоянной компоненты нели- нейного отклика 2 ( )T ω также позволяет найти време- на eτ и esτ в эффективно толстой пленке и время eτ в эффективно тонкой пленке. Кроме того, величину eτ в тонкой пленке можно определить по разности 112 2( ) \| ( ) \| . ee T T −− τω τ ωω − ω 6. Заключение В представленной работе мы постарались дать ясную микроскопическую картину динамических процессов, протекающих при низких температурах в электрон- фононной системе металлической пленки, нагреваемой осциллирующим источником тепла. Результаты пред- ставлены в виде выражений, описывающих частотно- зависимые линейный (разд. 3) и нелинейный (разд. 4) отклики электронной температуры. Как оказалось, осо- бенности частотной зависимости амплитуд этих откли- ков в случае эффективно тонких пленок определяют время электрон-фононной энергетической релаксации .eτ Отклик эффективно толстых пленок содержит так- же информацию о среднем времени ухода фононов из пленки в подложку .esτ На наш взгляд, полученные результаты могут служить основанием для эксперимен- тального исследования температурной зависимости ха- рактерных времен релаксации электрон-фононной сис- темы как чистых, так и грязных металлических пленок. 1. М.И. Каганов, И.М. Лифшиц, Л.В. Танатаров, ЖЭТФ 31, 232 (1956). 2. V.A. Shklovskij, J. Low Temp. Phys. 41, 375 (1980). 3. P.B. Allen, Phys. Rev. Lett. 59, 1460 (1987). 4. S.D. Brorson, A. Kazeroonian, J.S. Modera, D.W. Face, T.K. Cheng, E.P. Ippen, M.S. Dresselhaus, and G. Dresselhaus, Phys. Rev. Lett. 64, 2172 (1990). 5. S.V. Chekalin, V.M. Farztdinov, V.V. Golovlyov, V.M. Letokhov, Yu.E. Lozovik, Yu.A. Matveets, and A.G. Stepanov, Phys. Rev. Lett. 67, 3860 (1991). 6. P.B. Allen, in: Handbook of Superconductivity, C.P. Poole, Jr. (ed.), Academic Press, New York (1999). 7. C. Gadermaier, A.S. Alexandrov, V.V. Kabanov, P. Kusar, T. Mertelj, X. Yao, C. Manzoni, D. Brida, G. Cerullo, and D. Mihailovic, Phys. Rev. Lett. 105, 257001 (2010). 8. N. Singh, Int. J. Mod. Phys. B 24, 1141 (2010). 9. B. Mansart, D. Boschetto, A. Savia, F. Rullier–Albenque, Сдвиг фазы Tϕ определяется равенством 1 1= \| \| e .i TT T ϕ А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 468 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 4 F. Bouquet, E. Papalazaron, A. Forget, D. Colson, A. Rousse, and M. Marsi, Phys. Rev. B 82, 024513 (2010). 10. W.S. Fann, R. Storz, H.W.K. Tom, and J. Bokor, Phys. Rev. Lett. 68, 2834 (1992). 11. R.H.M. Groeneveld, R. Sprik, and A. Lagendijk, Phys. Rev. B 45, 5079 (1992). 12. R.H.M. Groeneveld, R. Sprik, and A. Lagendijk, Phys. Rev. B 51, 11433 (1995). 13. K.H. Ahn, M.J. Graf, S.A. Trugman, J. Demsar, R.D. Averitt, J.L. Sarrao, and A.J. Taylor, Phys. Rev. B 69, 045114 (2004). 14. M.E. Gershenson, D. Gong, T. Sato, B.S. Karasik, and A.V. Sergeev, Appl. Phys. Lett. 79, 2049 (2001). 15. B.S. Karasik, D. Olaya, J. Wei, S. Pereverzev, M.E. Ger- shenson, J.H. Kavamura, W.R. McGrath, and A.V. Sergeev, IEEE Trans. Appl. Supercond. 17, 293 (2007). 16. J. Wei, D. Olaya, B.S. Karasik, S.V. Pereverzev, A.V. Sergeev, and M.E. Gershenson, Nature Nanotechnol. 3, 496 (2008). 17. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ЖЭТФ 111, 2106 (1997). 18. A.W. Little, Can. J. Phys. 37, 334 (1959). 19. E.T. Swartz and R.O. Pohl, Rev. Mod. Phys. 61, 605 (1989). 20. S.B. Kaplan, J. Low Temp. Phys. 37, 343 (1979). 21. Д. Пайнс, Элементарные возбуждения в твердых телах, Мир, Москва (1965). 22. В.А. Шкловский, ЖЭТФ 78, 1281 (1980). 23. L.J. Taskinen, J.M. Kivioja, J.T. Karvonen, and I.J. Maasilta, Phys. Status Solidi (c) 1, 2856 (2004). 24. A. Schmid, Z. Physik 259, 421 (1973). 25. J.T. Karvonen, L.J. Taskinen, and I.J. Maasilta, Phys. Rev. B 72, 012302 (2005). 26. J.T. Karvonen, L.J. Taskinen, and I.J. Maasilta, J. Low Temp. Phys. 146, 213 (2007). 27. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.М. Люлькин, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, ЖЭТФ 97, 901 (1990). 28. G. Bergmann, W. Wei, Y. Zou, and R.M. Mueller, Phys. Rev. B 41, 7386 (1990). 29. J.J. Lin and J.P. Bird, J. Phys. Condens. Matter 14, R501 (2002). 30. A. Sergeev and V. Mitin, Phys. Rev. B 61, 6041 (2000). 31. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, Письма в ЖЭТФ 36, 241 (1982). 32. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, ЖЭТФ 86, 758 (1984). The dynamics of electron temperature and the relaxation times of electron–phonon system of a metal film A.I. Bezuglyj and V.A. Shklovskij We obtained a nonlinear integro-differential dynamic equation for electron temperature Te in the case of tran- sient heating of metal films at low temperatures. The equation describes the process of heat transfer from electron to phonons and the exchange of phonons be- tween the film and the substrate. The heating of the film by an oscillating thermal source of low-power is consi- dered in detail. In the framework of linear response, a relation of frequency dispersion of Te amplitude with characteristic time of electron–phonon collisions (τе) and an average time of phonon departure from the film (τеs) is derived. In the following (quadratic) order of the perturbation theory, a stationary correction to Te was found and it is shown that its frequency dependence also contains information about the times τе and τеs. The re- sults were extended to dirty metal films. We discuss various possibilities of experimentation of the times τе and τеs. PACS: 63.20.kd Phonon-electron interactions; 72.15.Lh Relaxation times and mean free paths. Keywords: metal films, transient heating, electron– phonon kinetics, low temperatures.

Динамика электронной температуры и времена релаксации электрон-фононной системы металлической пленки

Institution

Ähnliche Einträge