Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок

В приближении ближайших соседей развит аналитический подход к описанию процессов электронного переноса через осесимметричные контакты зигзагообразной и креслообразной нанотрубок. Предложенный метод приводит к аналитическому выражению для вероятности прохождения электрона и позволяет установить прави...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Клименко, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2011
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Наноструктуры при низких температурах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118481
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок / Ю.А. Клименко // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 6. — С. 624–636. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-118481
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1184812017-05-31T03:09:12Z Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок Клименко, Ю.А. Наноструктуры при низких температурах В приближении ближайших соседей развит аналитический подход к описанию процессов электронного переноса через осесимметричные контакты зигзагообразной и креслообразной нанотрубок. Предложенный метод приводит к аналитическому выражению для вероятности прохождения электрона и позволяет установить правила отбора, справедливые при его рассеянии. Как функции от диаметра нанотрубки предсказаны осцилляции ширины щели в спектре прохождения электронов и найден минимальный размер щели. Также определены пороги возникновения ступенек в коэффициенте прохождения электронов и показано, что, за исключением своего начального участка, происхождение ступенек связано с электронными характеристиками только креслообразной нанотрубки. У наближенні найближчих сусідів розвинено аналітичний підхід до опису процесів електронного перенесення через вісесиметричні контакти зигзагоподібної і кріслоподібної нанотрубок. Запропонований метод призводить до аналітичного виразу щодо імовірності проходження електрона і дозволяє встановити правила відбору, які справедливі при його розсіянні. Як функції від діаметру нанотрубки передбачено осциляції ширини щілини в спектрі проходження електронів та знайдено мінімальний розмір щілини. Також визначено пороги виникнення сходинок в коефіцієнті проходження електронів та показано, що, за винятком своєї початкової області, походження сходинок пов'язано з електронними характеристиками тільки кріслоподібної нанотрубки. Using the nearest neighbor tight-binding approximation, an analytical approach is developed to describe the process of electron transport properties in axisymmetric contacts of zigzag and armchair nanotubes. The method proposed gives an analytical expression of electron transmission probability and allows us to specify the selection rules that are valid for electron scattering. As a function of nanotube diameter, oscillations of the gap width in the electron transmission are predicted and a minimum value of the gap is found. The step thresholds in the transmission coefficient are also described. It is shown that the step-like behavior of the transmission coefficient is connected to the electronic features of the armchair nanotube everywhere apart from its initial section. 2011 Article Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок / Ю.А. Клименко // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 6. — С. 624–636. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.10.Bg, 73.22.Dj, 73.63.Fg, 85.35.Kt http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118481 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Наноструктуры при низких температурах Наноструктуры при низких температурах
spellingShingle	Наноструктуры при низких температурах Наноструктуры при низких температурах Клименко, Ю.А. Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок Физика низких температур
description	В приближении ближайших соседей развит аналитический подход к описанию процессов электронного переноса через осесимметричные контакты зигзагообразной и креслообразной нанотрубок. Предложенный метод приводит к аналитическому выражению для вероятности прохождения электрона и позволяет установить правила отбора, справедливые при его рассеянии. Как функции от диаметра нанотрубки предсказаны осцилляции ширины щели в спектре прохождения электронов и найден минимальный размер щели. Также определены пороги возникновения ступенек в коэффициенте прохождения электронов и показано, что, за исключением своего начального участка, происхождение ступенек связано с электронными характеристиками только креслообразной нанотрубки.
format	Article
author	Клименко, Ю.А.
author_facet	Клименко, Ю.А.
author_sort	Клименко, Ю.А.
title	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
title_short	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
title_full	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
title_fullStr	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
title_full_unstemmed	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
title_sort	квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Наноструктуры при низких температурах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118481
citation_txt	Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок / Ю.А. Клименко // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 6. — С. 624–636. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT klimenkoûa kvantovyjtransportélektronovčerezosesimmetričnyjkontaktzigzagoobraznojikresloobraznojnanotrubok
first_indexed	2025-07-08T14:04:38Z
last_indexed	2025-07-08T14:04:38Z
_version_	1837087838319935488
fulltext	© Ю.А. Клименко, 2011 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6, c. 624–636 Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок Ю.А. Клименко Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины пр. акад. Глушкова, 40, г. Киев, 03187, Украина E-mail: yurkl@ikd.kiev.ua Статья поступила в редакцию 19 июля 2010 г., после переработки 30 сентября 2010 г. В приближении ближайших соседей развит аналитический подход к описанию процессов электронно- го переноса через осесимметричные контакты зигзагообразной и креслообразной нанотрубок. Предло- женный метод приводит к аналитическому выражению для вероятности прохождения электрона и позво- ляет установить правила отбора, справедливые при его рассеянии. Как функции от диаметра нанотрубки предсказаны осцилляции ширины щели в спектре прохождения электронов и найден минимальный раз- мер щели. Также определены пороги возникновения ступенек в коэффициенте прохождения электронов и показано, что, за исключением своего начального участка, происхождение ступенек связано с элек- тронными характеристиками только креслообразной нанотрубки. У наближенні найближчих сусідів розвинено аналітичний підхід до опису процесів електронного пе- ренесення через вісесиметричні контакти зигзагоподібної і кріслоподібної нанотрубок. Запропонований метод призводить до аналітичного виразу щодо імовірності проходження електрона і дозволяє встанови- ти правила відбору, які справедливі при його розсіянні. Як функції від діаметру нанотрубки передбачено осциляції ширини щілини в спектрі проходження електронів та знайдено мінімальний розмір щілини. Також визначено пороги виникнення сходинок в коефіцієнті проходження електронів та показано, що, за винятком своєї початкової області, походження сходинок пов'язано з електронними характеристиками тільки кріслоподібної нанотрубки. PACS: 72.10.Bg Общее описание теории транспорта; 73.22.Dj Одночастичные состояния; 73.63.Fg Нанотрубки; 85.35.Kt Нанотрубочные устройства. Ключевые слова: Электронный транспорт, коэффициент прохождения, осесимметричный контакт, зигза- гообразная и креслообразная нанотрубки. 1. Введение Современные технологии получения однослойных уг- леродных нанотрубок (УНТ) в макроскопических ко- личествах положили начало систематическому иссле- дованию электронных свойств этих соединений [1–4]. Длина фазовой когерентности электрона в УНТ со- ставляет несколько микрометров [1–5]. Возникающая за счет этого квантовая интерференция приводит к по- явлению резонансов, антирезонансов, локальных уровней и прочих явлений, интересных с точки зрения перспек- тивной наноэлектроники. К настоящему моменту вре- мени на однослойных УНТ реализованы многие из важных элементов наноэлектронных схем: полевые и одноэлектронные транзисторы [6,7], диоды и вентили [8–10], электромеханические датчики [11], химические сенсоры [12] и пр. Современные экспериментальные методы иденти- фикации однослойных УНТ — сканирующая туннель- ная микроскопия [13–15], атомная силовая микроско- пия, спектроскопия комбинационного рассеяния света [16,17] и пр. — позволяют с высокой степенью точно- сти определить параметры нанотрубки (диаметр и хи- ральный угол), по которым восстанавливаются индек- сы ее хиральности [1,3]. Замечательной особенностью однослойных нанотрубок является зависимость элек- Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 625 тронных свойств от геометрической структуры нано- трубки, т.е. от индексов хиральности. Точные кванто- вомеханические расчеты, использующие модель силь- ной связи, предсказывают, что однослойная УНТ с индексами хиральности ( , )m n обладает металличе- ским типом проводимости, если модуль разности этих чисел делится на три. В остальных случаях нанотрубка ведет себя как узкозонный полупроводник [1–4,18,19]. Эти теоретические выводы хорошо согласуются с экс- периментами по сканирующей туннельной спектро- скопии УНТ [13–15], позволяющей — по расстоянию между особенностями Ван Хова — судить о типе про- водимости нанотрубки. Современные методы синтеза протяженных нано- трубок приводят к топологическим дефектам, которые искажают цилиндрическую форму УНТ и изменяют ее хиральность [4,6,20]. В результате по разные стороны от неоднородности могут оказаться нанотрубки с со- вершенно различным типом электронной проводимо- сти. Одно из таких нанотрубочных соединений пред- ставлено на рис. 1,a. Соединение двух нанотрубок с металлическим типом проводимости — зигзагообраз- ной (зНТ) (9,0) и креслообразной (кНТ) (5,5) — проис- ходит благодаря наличию одного пентагона и одного гептагона на противоположных сторонах сочленения. Именно такой, локтевой, тип перехода в настоящее время считается перспективным для создания выпрям- ляющего диода — одного из основных элементов элек- тронных схем [10,21]. Первые теоретические исследования по электрон- ным свойствам нанотрубочных соединений относятся к 1996 году [20], а первые эксперименты по проводи- мости этих соединений были проведены несколькими годами позднее [21,22]. С появлением новых технологий стал возможен управляемый синтез нанотрубочных сочленений. Как показано в [23], характеристики однослойных УНТ, выращиваемых методом химического осаждения паров этанола, главным образом определяются температурой их синтеза. Скачкообразное увеличение температуры роста приводит к уменьшению диаметра нанотрубок (и наоборот) — этим обеспечивается хорошо воспроизво- димое выращивание нанотрубочных соединений с раз- ницей в диаметре до 10%. В работе [24], напротив, предложен метод соединения уже готовых нанотрубок при помощи джоулева тепла, возникающего при про- пускании электрического тока между нанотрубками. Обнаружено, что две нанотрубки с близкими диамет- рами «свариваются» при прохождении тока, а порого- вые значения напряжения и силы тока демонстрируют очень хорошую воспроизводимость. Эти и другие тех- нологии позволяют надеяться на достаточно скорое получение образцов нанотрубочных соединений за- данной геометрии и типа. С точки зрения теории наибольший интерес пред- ставляют собой осесимметричные соединения зигзаго- образной (zigzag) и креслообразной (armchair) нано- трубок. Сочленение именно такого типа показано на рис. 1,б и 1,в. Оно обеспечивается кольцом из чере- дующихся пятиугольников и семиугольников, что воз- можно лишь для нанотрубок с индексами хиральности (2 ,0)N и ( , )N N . Отношение диаметров нанотрубок составляет zig arm/ = 2/ 3 = 1,1547D D , оно не зависит от N и является универсальным параметром осесим- метричного перехода. Малость отклонения этого пара- метра от единицы косвенным образом свидетельствует о возможности получения перехода (2 ,0)/( , )N N N ме- тодами современной химии и нанотехнологии. Особенности электронного прохождения через осе- симметричные нанотрубочные соединения (2 ,0)/( , )N N N впервые были изучены в работе [20]. Именно здесь было теоретически предсказано существование энерге- тической щели в прохождении электронов через осе- симметричные соединения металлического типа (отно- шение /3N должно быть целым). Существование такой щели, несмотря на наличие проводящих электронных состояний в обеих УНТ, было подтверждено и недав- ними ab initio расчетами [25]. Причину возникновения этой энергетической щели авторы работы [20] связывают с его осевой симметри- ей. Выяснилось, что собственные волновые функции низкоэнергетических состояний в зНТ и кНТ, которые обеспечивают электронный перенос вблизи энергии Ферми, принадлежат к различным неприводимым представлениям дискретной группы вращений, и это делает невозможной сшивку этих функций на контакте нанотрубок. зигзагообразная креслообразная a в б ... ... ... ... ... ... ... ... Рис. 1. Локтевое соединение зНТ (9, 0) с кНТ (5, 5), которое образуется с помощью пятиугольника и семиугольника (за- штрихованы на рисунке) (а); геометрия кольца из чередую- щихся пятиугольков и семиугольников, которое осуществля- ет осесимметричный переход зигзагообразной УНТ (10, 0) в креслообразную УНТ (5, 5) (б); вид сбоку на осесимметрич- ное сочленение из предыдущего рисунка (в). Ю.А. Клименко 626 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 Существование энергетической щели в прохожде- нии электронов через осесимметричные соединения открывает заманчивые перспективы создания принци- пиально новых наноэлектронных приборов. Поскольку низкоэнергетический канал переноса в таких системах блокируется ее осевой симметрией, то нарушение сим- метрии соединения каким-либо неоднородным воздей- ствием (например, изгибом) приведет к перемешива- нию мод на контакте нанотрубок, т.е. к возникновению электрического тока. Как отмечалось в [20] и в ряде других публикаций, на подобном принципе функцио- нирования помимо сенсоров механических напряжений возможно создание датчиков температуры, давления, электромагнитного излучения, химических сенсоров, фотопереключателей и пр. Впоследствии энергетическая щель, наблюдаемая в коэффициенте прохождения электронов через осесим- метричные соединения зНТ/кНТ, получила название симметрийной щели. Оказалось, что в неметалличе- ских типах сочленений (2 ,0) / ( , )N N N ее размеры в несколько раз превосходят ширину запрещенной зоны, наблюдаемой в электронном спектре зигзагообразной УНТ [26]. На основе переходов (2 ,0) / ( , )N N N строи- лись и изучались и более сложные классы нанообъек- тов: квантовые точки [27–29], сверхрешетки [25,30] и пр. Большое внимание уделялось изучению локальных уровней вблизи переходов и возникающим из-за этого аномалиям в коэффициенте электронного прохожде- ния системы [30,31]. В своих исследованиях авторы работ [20,26–32] ис- пользовали аппарат неравновесных функций Грина [33], который вполне адекватно описывает транспорт- ные и спектральные характеристики наноразмерных структур. Для объяснения аномалий в коэффициенте прохождения электронов анализировалась локальная плотность электронных состояний (LDOS) либо при- влекались симметрийные соображения. Необходимо отметить, что метод неравновесных функций Грина в большей части ориентирован на численное моделиро- вание — лишь относительно небольшой класс задач допускает здесь строгое аналитическое решение. К тому же, построенные на его основе алгоритмы позво- ляют детально изучить электронные характеристики за- данной структуры, но затрудняют одновременное изу- чение всех структур из заданного класса. В данной работе в рамках модели ближайших сосе- дей предлагается сугубо аналитический метод решения задачи прохождения электронов через осесимметрич- ный переход (2 ,0)/( , )N N N , в котором число N явля- ется произвольным. В отличие от работ других авторов, этот метод не предполагает использования аппарата функций Грина и теории симметрии, он основан на точном решении задачи рассеяния в ее «стандартной» постановке. Нами строятся аналитические решения в каждой из УНТ, которые затем сшиваются на контакте нанотрубок. Учет ортогональности поперечных волно- вых функций в условиях сшивки приводит к правилам отбора, что позволяет получить простую систему ли- нейных уравнений для помодовых амплитуд рассея- ния. На основании последних строится и исследуется коэффициент прохождения электронов. Подобный метод аналитического рассмотрения транс- портной задачи был успешно применен автором в не- давних работах [34,35], посвященных анализу элек- тронных свойств графеновых полосок, которые, по сути, представляют собой развернутые в плоскость однослойные УНТ. В отличие от других работ по осесимметричным на- нотрубочным переходам, предложенный подход по- зволяет детально отследить поведение симметрийной щели во всем классе соединений (2 ,0)/( , )N N N . Впер- вые установлено, что ширина щели осциллирует с пе- риодом 1( ) = 6NΔ , огибающая ширины щели — с пе- риодом 2( ) = 55NΔ , а минимальный размер щели равен 2,62 эВ. Также обнаружено, что ширина симмет- рийной щели при числе N , кратном шести, в точности равна модулю резонансного интеграла в модели ближ- ней связи, если 6 120N≤ ≤ . Показано, что ступен- чатый характер поведения транспортной кривой в ос- новном унаследован от характеристик креслообразной нанотрубки, найдены пороги возникновения ступенек на начальном участке кривой прохождения и проясне- ны причины ее асимметрии. В разд. 2 работы найдены собственные волновые решения для бесконечных идеальных зНТ и кНТ. Раз- дел 3 посвящен обсуждению особенностей зонной струк- туры электронного спектра в каждой из нанотрубок. В разд. 4 определены условия сшивки для волновых функций электрона на границе нанотрубок и получены уравнения для амплитуд рассеяния, по которым нахо- дится коэффициент прохождения электронов. В разд. 5 обсуждаются основные свойства прохождения элек- тронов через контакт (2 ,0)/( , )N N N . Краткие выводы работы содержатся в разд. 6. В Приложении получены выражения для скорости прохождения электрона в ка- ждой из нанотрубок. 2. Волновые решения для зНТ (2N, 0) и кНТ (N, N) Геометрии зигзагообразной и креслообразной нано- трубок представлены на рис. 2. Везде далее нанотруб- ки будут рассматриваться как совокупность элемен- тарных ячеек из двух атомов, = A, Bα . Координаты { , }n m элементарных ячеек могут принимать целые либо полуцелые значения одновременно. В приближении ближайших соседей компоненты волновой функции электрона , , z n m αψ для зигзагооб- разной УНТ, рис. 2,a, находятся из системы линейных уравнений Шредингера Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 627 , ,A , ,B 1 1 1 1, ,B , ,B 2 2 2 2 , ,B , ,A 1 1 1 1, ,A , ,A 2 2 2 2 = , = , z z z z n m n m n m n m z z z z n m n m n m n m E E − + − − + + + − ⎧− ψ ψ +ψ +ψ ⎪ ⎪ ⎨ − ψ ψ +ψ +ψ⎪ ⎪⎩ (1) дополненной периодическими граничными условиями в поперечном направлении m . Здесь / \| \|E E≡ β — безразмерная энергия электрона, (< 0)β — резонанс- ный интеграл взаимодействия между соседними ато- мами в нанотрубке. Координаты элементарных ячеек в зНТ изменяются в пределах < <n−∞ ∞ и 1 2m N≤ ≤ . Собственная энергия электрона на атоме углерода принимается равной нулю. Нетрудно убедиться (см. [34,35]), что нетривиаль- ная волновая функция электрона в зНТ имеет вид z , , 1, = A, ( ) = e ( ) e , = B. i k nz j n m j i j j m σ α θ α⎧⎪ψ χ ⎨ α⎪⎩ (2) Целочисленный индекс j в (2) задает поперечную мо- ду электрона (1 2j N≤ ≤ ), = 1σ ± , а волновая функция электрона z ( )j mχ , нормированная в поперечном на- правлении зНТ, записывается следующим образом: e( ) = , = . 2 2 zi mj z z j j jm NN ξ π χ ξ (3) Здесь z jξ — безразмерное волновое число электрона в поперечном направлении нанотрубки. При заданных значениях энергии E и поперечной моды j электрона его безразмерное продольное вол- новое число jk находится из дисперсионного соотно- шения [1,2,4,19] 2 2= 1 4cos cos 4 ,cos 2 2 2 z z j j jk E ξ ξ + + (4) а величина jθ из (2) описывается выражением [34,35] 1 2cos exp 2 2e = . z j j i j i k E θ ξ σ + − (5) Вещественные значения продольного волнового числа jk в (4) определяют области делокализованных состояний электрона в зНТ, здесь 0 / 2jk≤ ≤ π . Внут- ри этих энергетических зон функция jθ является ве- щественной ( \| e \|= 1i jθ ) и имеет смысл сдвига элек- тронной фазы между атомами A и B в элементарной ячейке. Направление движения электронной волны (2) оп- ределяется знаком ее скорости прохождения. Послед- няя найдена в Приложении и совпадает с групповой скоростью электрона. Положив в (2) = , = sgn ( ), = sgn ( ),j jss s E s j Nσ − (6) мы добиваемся движения электрона слева направо с групповой скоростью \| sin \| = , 2 jz j θ v см. (П.4). Движение электрона в обратном направле- нии достигается комплексным сопряжением волнового решения (2). Волновая функции электрона в креслообразной УНТ (рис. 2,б) находится подобным образом. Ее ком- поненты удовлетворяют системе уравнений Зигзагообразная НТ Креслообразная НТ n m ... ... ... ... ...... ... ... ... ... BA n n–1/2 B B m–1/2 A A A A B B n–1/2 m+1/2 n+1/2 n+1/2 m+1/2 m–1/2 m ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A AA AA B B B B B n m n+1/2 m–1/2 n–1/2 m–1/2 n–1/2 m+1/2 m+1/2 n+1/2 a б nm Рис. 2. Схематическое изображение зигзагообразной и креслообразной нанотрубок. Заштрихованные области соответствуют элементарным ячейкам нанотрубок. Ю.А. Клименко 628 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 , ,A , ,B 1 1 1 1, ,B , ,B 2 2 2 2 , ,B , ,A 1 1 1 1, ,A , ,A 2 2 2 2 = , = , a a a a n m n m n m n m a a a a n m n m n m n m E E − − + − − + + + ⎧− ψ ψ +ψ +ψ ⎪ ⎪ ⎨ − ψ ψ +ψ +ψ⎪ ⎪⎩ (7) ( < <n−∞ ∞ и 1 m N≤ ≤ ) с периодическими гранич- ными условиями поперек нанотрубки. Так как система (7) переходит в (1) одновременной перестановкой ин- дексов n m↔ , то собственные волновые функции электрона в кНТ могут быть построены из зНТ- решений (2)–(5) заменой поперечных координат и вол- новых чисел на продольные, и наоборот. В результате дисперсионное соотношение электрона в кНТ приоб- ретает квадратичный вид относительно cos ( /2)jk . Разрешив дисперсию относительно продольных вол- новых чисел, 2 22cos = cos ,sin 2 2 2 a a j j jk E ± ξ ξ − ± − (8) где 2= , 1 ,a j j j N N π ξ ≤ ≤ (9) заключаем, что одной и той же поперечной моде j электрона в кНТ отвечают две энергетические ветви дисперсионного соотношения. Собственные волновые функции электрона в каждой из ветвей выглядят сле- дующим образом: , , , , 1, = A, ( ) = e ( ) exp ( / 2 ) , = B, 1, = A, ( ) = e ( ) exp ( / 2 ) , = B. isk na aj n m j a j j isk na aj n m j a j j j m i j m i +−+ α − − α α⎧⎪ψ χ ⎨ ⎡ ⎤ξ + φ α⎪ ⎣ ⎦⎩ α⎧⎪ψ χ ⎨ ⎡ ⎤− ξ − φ α⎪ ⎣ ⎦⎩ (10) Здесь exp ( ) ( ) = , 2 a ja j i m m N ξ χ (11) 2 2 sinsin 2 2e = , a a j j i j E i E φ ξ ξ − − − а знаковая функция s определяется формулой (6). Ес- ли значения E и j отвечают вещественным значени- ям jk± , то электронные волны из (10) движутся в на- правлении слева направо. Групповая скорость такого движения найдена в Приложении и равна =\| cos \| sin . 2 ja j j k±± φv 3. Зонная структура энергетического спектра нанотрубок Зонная структура идеальных зНТ и кНТ определя- ется из дисперсионных соотношений (4) и (8). Энерге- тические зоны нанотрубок распадается на подзоны, каждая из которых отвечает своей поперечной моде j . Учитывая симметрию подзон относительно нулевой энергии, опишем их структуру только для положи- тельной области энергетического спектра (зоны прово- димости). Согласно (4) и (8), дно ( b ) и потолок ( t ) j -х под- зон проводимости в зНТ и кНТ определяются выраже- ниями ( ) = min 1 2cos , ( ) = max 1 2cos , 2 2 z z b t j jE j E j N N π π ± ± 1 2 ,j N≤ ≤ (12) ( ) = sin , ( ) = 5 4cos , 1 .a a b t j jE j E j j N N N± ± π π ± ≤ ≤ (13) Отсюда видно, что подзона =j N в зигзагообразной нанотрубке (2 ,0)N вырождается в точку, а подзоны j и 2N j− имеют одни и те же границы. Подобное сов- падение границ энергетических подзон наблюдается и для креслообразной УНТ, это подзоны j и N j− . Подзоны обеих ветвей энергетического спектра кНТ характеризуются одним и тем же дном, но разными потолками. Эти особенности легко проследить на рис. 3, где представлена зонная структура энергетиче- ского спектра электрона в нанотрубках (2 ,0)N и ( , )N N для случаев = 9N и = 10N . На основании формул (12), (13) легко записать ус- ловие отсутствия фундаментальной энергетической щели Δ в энергетическом спектре каждой из нано- трубок. Зигзагообразная УНТ (2 ,0)N , для которой z2 =1= 2 [ ( )],min N bj E jΔ приобретает металлический тип проводимости ( = 0Δ ), только если число N кратно трем. Отсутствие энергетической щели в таких нано- трубках обеспечивают поперечные моды = 2 /3j N и = 4 /3j N , которые имеют бесщелевой электронный спектр (см. рис. 3,a). В остальных случаях зизгагооб- разная УНТ является полупроводником: 0,Δ ≠ как это видно на рис. 3,б. Поскольку поперечная мода =j N в креслообраз- ной УНТ всегда является бесщелевой (см. рис. 3,в и 3,г), то фундаментальная энергетическая щель в кНТ отсут- ствует. Это наделяет идеальную креслообразную на- нотрубку ( , )N N свойствами металла вне зависимости от ее диаметра. Результаты, касающиеся электронной проводимо- сти нанотрубок (2 ,0)N и ( , )N N , повторяют ранее известные результаты из обзоров [1,2,4,19]. Исполь- зуемая здесь методика анализа необходима для после- дующего изложения материала. Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 629 4. Уравнения для амплитуд рассеяния и численное моделирование Геометрия соединения двух нанотрубок представ- лена на рис. 4. Чтобы получить условия для сшивки волновых решений на границе соединения, нам необ- ходимо записать уравнения Шредингера для гранич- ных углеродов и сравнить структуру полученных уравнений с соответствующими уравнениями Шредин- гера (1), (7) для бесконечных зНТ и кНТ. Тем самым мы приходим к следующим условиям сшивки: 1, ,A 2 2 0, ,B 1 1, ,B 2 2 , = 1,3, 2 1, = , = 2,4, 2 , a m z m a m m N m N− ⎧ψ − ⎪ ⎪ψ ⎨ ψ⎪ ⎪⎩ … … (14) 0, ,B 0,2 1,A 0, ,A 0,2 ,A= , = , = 1, .a z a z m m m m m N+ψ ψ ψ ψ … (15) Рис. 3. Зонная структура энергетического спектра электрона в зигзагообразной (2 ,0)N и креслообразной ( , )N N нанотрубках, = 9N и = 10.N Вертикальные линии отвечают энергетическому расположению подзон, серые и пунктирные кривые являются огибающими подзонных границ. Фундаментальная энергетическая щель Δ является минимальной щелью среди всех воз- можных. вa б E j N/ E j N/ зигзагообразная (2 ,0)N N = 9 г N = 10N = 10 N = 9 креслообразная ( , )N N j N/ j N/ П р о в о д и м о ст ь П р о в о д и м о ст ь В ал ен тн о ст ь В ал ен тн о ст ь 33 3 3 22 2 2 11 1 1 00 0 0 –1–1 –1 –1 –2–2 –2 –2 –3–3 –3 –3 0 0 0 2, 0 2, 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 0,8 1,0 1,0 1,2 1,2 1,4 1,4 1,6 1,6 1,8 1,8 2,0 2,0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 0,8 1,0 1,0 � Рис. 4. Геометрия контакта между зигзагообразной и кресло- образной нанотрубками. ... ... ... ... ... ... ... ... A B A B A m = 1/2 m = 3/2 n 0–1/2 1/2 1 m = 1 A B A A A A m = 1 m = 3/2 m = 3 m = 4 m = 2 Зигзагообразная Креслообразная Ю.А. Клименко 630 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 Прежде чем воспользоваться ими, нам необходимо привести полные решения для волновых функций электрона, которые отвечают задаче его прохождения из левой нанотрубки (zigzag) в правую (armchair). Ре- шения для зНТ строятся из состояний (2). Имеем ____________________________________________________ 2 , 0z , , ( ) ( ) =1 , 0 e e , = A, ( ) = ( ) e e , = B, iss k n iss k nj j j jN j j jz n m j i ss k n i ss k nj j j j j jj j j j r j m r − α +θ − +θ ⎧δ + α⎪ψ χ ⎨ ⎪δ + α⎩ ∑ (16) Индекс 01 2j N≤ ≤ в (16) определяет номер поперечной моды падающей волны. Если заданным значениям E и j отвечает вещественное значение jk , то коэффициент jr в (16) имеет смысл амплитуды отражения электронной волны из моды 0j в моду j . Если число jk принимает комплексное значение, то следует так распорядиться его знаком, чтобы вторые слагаемые в (16) затухали в глубь зНТ, Im ( ) > 0j jss k . Сомножитель jr при таких решени- ях определяет амплитуду затухающей волны, возбужденной падающей электронной волной. Подобным образом, используя собственные состояния (10) для электрона в кНТ, может быть записано сле- дующее волновое решение для правой нанотрубки: , , /2 ( ) ( ) =1 e e , = A, ( ) = ( ) e e e , = B. isk n isk nj j j jN a a an m j i i sk n i sk nj j j j jj j j t t j m t t + −−+ − + −α ξ − −φ −φ+ − ⎧ + α⎪ ⎪ψ χ ⎨ ⎡ ⎤ ⎪ − α⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ∑ (17) Формула (17) включает в себя как проводящие, так и затухающие волновые решения. Если jk± — вещественно, то величина jt± представляет собой амплитуду прохождения по соответствующей поперечной моде правой нано- трубки. В случае комплексности jk± необходимо выбрать то из его значений, которое описывает затухающую волну в кНТ. Именно, Im ( ) < 0jsk+ и Im ( ) > 0jsk− . Волновые решения (16), (17) следует подставить в условия сшивки (14), (15), а затем воспользоваться условия- ми ортогональности поперечных волновых функций электрона. В результате приходим к системе четырех линей- ных уравнений относительно амплитуд рассеяния jr , N jr + , jt+ и jt− , здесь 1 j N≤ ≤ . В обозначениях 21 2 , 10 = , = 1 e i j j j j j jr r σ φσ σ+ δ Φ + σ эти уравнения выглядят следующим образом: /2 /2 , 0 0 /2 /2 , 0 0 = 2( ), = 2( e e ), e e = 2 e 2 sin , e e = 2 e 2 sin . j N j j j i ij j j N j j j ik ik ij j j j j j j j j j j ik ik ij j N j j j j j N j N j j N j r r t t r r t t t t r i t t r i + − + φ − φ+ − + + −++ −− − θ+ − + −−+ +− − θ+ − + + + + ⎧ + + ⎪ ⎪ − −⎪ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞Φ + Φ + δ θ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎛ ⎞Φ + Φ − + δ θ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎩ (18) Здесь = 1, ,j N… и 01 2j N≤ ≤ . Разрешив систему (18) относительно амплитуд прохождения jt± , получим систему из двух неоднородных ли- нейных уравнений /2 /2 , 0 0 /2 /2 , 0 0 e e e e = 2 2 sin , e e e e = 2 2 sin . isk i isk ij j j j j j j j j j j isk i isk ij N j j N j j j j j N j j N j t t i t t i + −++ −−− − θ − θ+ − + −−+ +−− − θ − θ+ −+ + + + ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Φ − + Φ − δ θ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ Φ + + Φ + − δ θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ (19) Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 631 Найдя очевидные решения системы уравнений (19) и используя выражения для групповых скоростей элек- трона в нанотрубках, легко определить искомые помо- довые вероятности прохождения электронных волн, 2 , z0 0 = . a j jj j j T t ± ± +v v (20) Коэффициент прохождения электронов находится по формуле ( ),, 00, 0 ( ) = ,j jj j j j T E T T+ −+∑ нижние индексы в которой пробегают номера всех распространяющихся поперечных мод с заданной энергией E электрона. На рис. 5 представлены графики коэффициента прохождения ( )T E для различных нанотрубочных пе- реходов из класса (2 ,0)/( , )N N N . Рисунок 5,a иллюст- рирует поведение коэффициента прохождения для со- единений различных типов: металл–металл ( = 9)N либо полупроводник–металл ( = 8, 10N ). Обращают на себя внимание малые отклонения в ширине симмет- рийной щели. На рис. 5,б, построенном для соедине- ний металлического типа, = 9,N 12, 15, наблюдается немонотонная зависимость ширины щели с увеличени- ем числа N , в то время как для еще одной «металли- ческой» последовательности, =N 6, 12, 18 (рис. 5,в), ширина щели остается постоянной. В случае больших N различие в ширинах запрещенной зоны выражено относительно слабо, см. вставку на рис. 5,г. Эти и другие особенности поведения коэффициента прохождения обсуждаются в следующем разделе. 5. Основные свойства коэффициента прохождения Прежде всего остановимся на правилах отбора, ко- торые следуют из системы уравнений (18) и касаются номеров мод, возбуждаемых падающим электроном. Из структуры уравнений видно, что электронная волна с модой ( )j N≤ или N j+ может пройти в правую нанотрубку только по j-й моде (и по обеим ветвям энергетического спектра) и отразиться от контакта по модам j и N j+ . Везде далее группу, состоящую из этих поперечных мод, будем называть j-й группой. Легко понять, что j-я группа мод участвует в элек- тронном переносе (т.е. канал j становится открытым), T E( ) N = 12 N = 6 N = 18 E E T E( ) N = 9 N = 8 N = 10 E E T E( ) T E( ) N = 15 a N = 100 N = 45 б гв N = 12 N = 9 15 15 12 12 9 9 6 6 3 3 0 0 –3 –3 –3 –3 –2 –2 –2 –2 –1 –1 –1 –1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 20 10 0 0,5 0,6 0,7 150 120 90 60 30 0 25 20 15 10 5 0 Рис. 5. Коэффициент прохождения электронов через осесимметричный нанотрубочный контакт (2 ,0)/( , )N N N . Значения N приведены на рисунке. Ю.А. Клименко 632 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 только если внутри этой группы имеется хотя бы по одной проводящей моде в каждой из УНТ. Область существования проводящих мод в зНТ совпадает с ин- тервалом энергий, который является объединением подзон j и +N j ; проводящие моды в кНТ существуют на объединении j-х подзон от обеих ветвей ( ± ) энерге- тического спектра. Пересечение этих множеств задает энергетические окна, внутри которых j-й канал прохо- ждения становится открытым. В качестве иллюстрации вертикальные отрезки на рис. 6 соответствуют поло- жению окон прохождения в структуре (2 ,0)/( , )N N N при = 9.N Остальные линии на рисунке относятся к огибающим оконных границ; последние строятся на основании зависимостей (12) и (13). В случае, когда поведение огибающей унаследовано от креслообраз- ной нанотрубки, огибающая изображена пунктиром. Энергетическая щель NΔ , наблюдаемая в коэффи- циенте прохождения осесимметричных соединений, очевидно, совпадает с интервалом, который не при- надлежит ни к одному из окон прохождения. Для = 9N эта область показана на рис. 6. В случае произ- вольных значений N размер симметрийной щели должен превышать значение Δ . Чтобы найти это зна- чение, заметим, что точка A на рисунке, которая опре- деляет минимальный размер щели, является точкой пересечения кривых 1 2cos [ (1 ) / 2]x+ π + и sin( )xπ , где /x j N≡ , см. (12) и (13). Отсюда находим абсциссу точки пересечения * * / 0,16361,x j N≡ ≈ (21) которая приводит к следующему значению для мини- мальной ширины симметрийной щели: = 2sin ( )xΔ π ≈ 0,9833.≈ Из формулы (21) также легко определить номер ок- на, нижняя граница которого лимитирует размер сим- метрийной щели. Поскольку число = 0.16361j N ве- щественное, то номер окна совпадает с одним из целых чисел, между которыми располагается j . В частно- сти, для = 55N получаем = 8,999j , т.е. симметрий- ная щель формируется окном прохождения = 9.j Ма- лость отклонения между j и j говорит о том, что размер щели фактически совпадает со своим нижним пределом, 55 =Δ Δ . Таких же минимальных ширин следует ожидать и для чисел N, кратных 55. На рис. 7 приведен график зависимости ширины симметрийной щели NΔ от числа N. Кривая строится на основе зависимостей (12), (13) с привлечением рис. 6. Левая панель соответствует области умеренных значений N, правая панель показывает поведение кри- вой NΔ для больших диаметров нанотрубок. Отчет- ливо заметен осциллирующий характер зависимости Рис. 6. Окна прохождения (показаны вертикальными от- резками) j-й группы поперечных мод через соединение (2 ,0)/( , )N N N для случая = 9.N Непрерывные (пунктир- ные) линии являются огибающими границ окон прохождения и различают вклады зигзагообразной (креслообразной) на- нотрубок. Параметр Δ задает минимально возможную щель в коэффициенте прохождения, 9Δ — размер симметрийной щели при = 9N . E j N/ П р о в о д и м о ст ь В ал ен тн о ст ь N = 9 Δ 0,16 0,84 0 49, Δ9 A 3 2 1 0 –1 –2 –3 0 0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 N a б N 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 Ш и р и н а си м м ет р и й н о й щ ел и Ш и р и н а си м м ет р и й н о й щ ел и Рис. 7. Зависимость ширины симметрийной щели в переходах (2 ,0)/( , )N N N от числа N: 3 100N≤ ≤ (a), 30 300N≤ ≤ (б). Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 633 кривой NΔ и ее огибающих. Период осцилляции ниж- ней огибающей, как уже было установлено, близок к 55 . Чтобы оценить значение периода осцилляций функции NΔ , в формуле (21) заменим число x близ- кой к нему рациональной дробью (1 / 6 ) и рассмотрим семейство соединений, для которых = 6 3N p + , p — целое. Из (21) получаем * = 1/ 2j p + , т.е. степень от- клонения между j и ближайшим целым числом дос- тигает максимума именно в этом классе соединений. Привлекая рис. 6, видим, что подобные отклонения приводят к локальному максимуму в ширине симмет- рийной щели. Таким образом, можно утверждать, что период осцилляций кривой NΔ близок к 6. По сути, значение первичного периода осцилляции ширины щели совпадает с целой частью числа 1/ 6,11x ≈ , 1( ) = 6NΔ , в то время как его дробная часть {1/ }x характеризует вторичный период осцил- ляций 2( )NΔ : 1 2 1( ) /( ) {1/ } 9.N N x −Δ Δ ≈ ≈ Близость отношения 1 / x к шести указывает на уникальность семейства = 6N p ( p — целое) в классе структур (2 ,0) / ( , ).N N N Как следует из (21), в этом семействе 0,98j p≈ , т.е. размер симметрийной щели регулируется окном прохождения =j p по крайней мере до значений = 20.p Это приводит к постоянству отношения / (= 1/ 6)j N и к неизменности ширины симметрийной щели: =6 = 2sin( / 6) = 1N pΔ π , если 6 120.N≤ ≤ Приведенные выше аналитические результаты по- казывают, что при > 5N размер симметричной щели колеблется в пределах 0,98 < < 1,3NΔ . Для разных N результаты анализа полностью согласуются с графи- ками на рис. 5. Ниже остановимся на других особенно- стях в поведении транспортных кривых. В отличие от идеальных зНТ (2 ,0)N и кНТ ( , ),N N где номера низкоэнергетических мод близки к 2 / 3,N 4 /3N (зНТ) и к N (кНТ) (см. рис. 3), открытие канала прохождения в переходах (2 ,0) / ( , )N N N обеспечива- ется группами мод с номерами, близкими к / 6N и 5 /6N (см. рис. 6). Последовательное открытие этих каналов придает начальному участку коэффициента прохождения ступенчатую форму. Пороги открытия каналов ( )E j (т.е. появление очередной ступеньки в коэффициенте прохождения) легко определить из рис. 6, заметив, что при \| \| < 1E огибающие границ окон про- хождения хорошо аппроксимируются линейными кри- выми. В результате получим две последовательности равноудаленных энергий * * ** ( ) = cos 0,49 3,04 0,16 2 2 ( ) = cos ( ) 0,49 2,74 0,16 . 2 z a x j jE j x N N j jE j x x N N Δ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ π − ≈ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ π π − ≈ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Здесь / > 0,16j N ; верхний индекс в формулах указы- вает на тип нанотрубки, благодаря которой образуется ступенька в коэффициенте прохождения. Таким образом, квантование начального участка в коэффициенте прохождения ( \| \|< 1E ) обеспечивается вкладами от обеих нанотрубок, а по порогам открытия ступенек можно судить о диаметре нанотрубочного соединения. В остальных областях, \| \|> 1E , ступенча- тый вид коэффициента прохождения регулируется зонным строением только креслообразной УНТ, как это можно понять из рис. 6. Поскольку зонная структура идеальных зНТ и кНТ обнаруживает симметрию относительно нулевой энер- гии, а коэффициент прохождения электронов через соединение этих нанотрубок является несимметрич- ным относительно этой точки, укажем основную при- чину асимметрии этой транспортной кривой. Симмет- рия электронных свойств изолированных нанотрубок связана с их принадлежностью к классу альтернантных углеводородов — в модели сильной связи спектр по- следних всегда симметричен относительно собствен- ной энергии углеродного атома [36]. Асимметрия свойств коэффициента прохождения возникает из-за нарушения условий альтернантности на стыке нано- трубок — как видно на рис. 4, пятиугольники и семи- угольники кольца, которое формирует соединение, об- наруживают наличие прямых связей между атомами одного и того же типа (A). На рис. 8 приведены помодовые графики вероятно- сти прохождения через соединение (2 ,0) / ( , )N N N для случая = 18N . Зависимости построены на основании формулы (20). (Напомним, что коэффициент прохож- дения электронов определяется как сумма помодовых вероятностей прохождения.) Видно, что прохождение первых и последних мод в валентной зоне является практически совершенным, в то время как прохожде- ние этих мод в зоне проводимости существенно подав- E N =18 + T E T E j j j j , 0 , 0 + – ( ) + ( ) 0 03, 33j j� � 0 01, 35j j� � 0 06, 30j j� � 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 Рис. 8. Помодовые вероятности прохождения электронной волны через нанотрубочное соединение (2 ,0)/( , )N N N для случая = 18.N Ю.А. Клименко 634 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 лено. Именно эти различия в помодовых коэффициен- тах прохождения, которые возникают из-за нарушения условия альтернантности на переходе между нано- трубками, и являются причиной асимметрии транс- портных характеристик осесимметричных контактов (2 ,0) / ( , )N N N . 6. Краткие выводы Недавно открытые технологии по управляемому синтезу нанотрубочных соединений дают основание надеяться на скорое получение экспериментальных образцов наноконтактов заранее заданной геометрии и типа. Теоретическое изучение свойств осесимметриче- ских нанотрубочных сочленений (2 ,0) / ( , )N N N ука- зывает на существование энергетической щели в коэф- фициенте прохождения электронов, вызванное осевой симметрией контакта. Нарушение симметрии контакта внешней силой приводит к возникновению низкоэнер- гетического переноса, что может быть использовано для создания принципиально новых устройств молеку- лярного масштаба. В работе предложен чисто аналитический подход к описанию свойств электронного транспорта через осе- симметричное соединение зигзагообразной и кресло- образной нанотрубок. Имеющиеся на сегодняшний день публикации в этом направлении касаются только результатов численного моделирования, основанного на формализме неравновесных функций Грина. Были установлены правила отбора при рассеянии электрона через переход нанотрубок. Эти правила яв- ляются следствием осевой симметрии соединения и ортогональности собственных волновых функций элек- трона в поперечном направлении. На основании правил отбора были определены каналы прохождения систе- мы. Их изучение показало, что энергетическая щель NΔ , наблюдаемая в коэффициенте прохождения элек- тронов, имеет нижний предел, равный 0,98. В размер- ных величинах это составляет 2,62 эВ, если воспользо- ваться общепринятым значением для резонансного интеграла между соседними углеродными атомами в нанотрубках, = 2,66β − эВ. Ширина симметрийной щели в коэффициенте про- хождения через систему, рассматриваемая в зависимо- сти от числа N , демонстрирует первичные и вторич- ные осцилляции. Их периоды соответственно близки к 6 и 55. Также показано, что в семействе соединений = 6N p , p — целое, величина симметрийной щели остается постоянной вплоть до значений = 20.p Эта ширина в точности равна резонансному интегралу β . В работе установлено, что ступенчатое поведение коэффициента прохождения на начальном участке (\| \| < 1E ) определяется вкладами от обеих нанотрубок, формирующих переход. Аналитически найдены поро- ги возникновения ступенек. В областях \| \| > 1E коэф- фициент прохождения через систему определяется свойствами только креслообразной составляющей пе- рехода. Также прояснена причина наблюдаемого раз- личия в коэффициенте прохождения электронов через валентную зону и зону проводимости. Экспериментальную проверку предсказанных в ра- боте эффектов можно осуществить путем измерения низкотемпературной проводимости нанотрубочного пе- рехода как функции от потенциала на затворе, который помещается в область контакта двух нанотрубок. Со- гласно теории Ландауэра–Буттикера [33], проводимость наноструктуры при нулевой температуре и малой раз- ности прикладываемых потенциалов совпадает с ко- эффициентом прохождения через систему с точностью до сомножителя 22 /e h . Следует ожидать, что пред- сказанный в работе ступенчатый вид квантовой прово- димости, наблюдаемый при = 0T , будет дополни- тельно размываться при повышении температуры и исчезнет, если расстояние δ между ступеньками ста- нет сравнимым с kT . Для оценки степени температур- ного влияния на наблюдаемый ступенчатый характер проводимости нанотрубочного перехода (2 ,0)/( , )N N N воспользуемся графиками, которые представлены на рис. 5. Определив из них характерное расстояние меж- ду ступеньками 0,1\| \|,δ β∼ заключаем, что характерная температура размытия ступенек в квантовой проводи- мости нанотрубочного перехода превосходит комнат- ную даже для случая широких нанотрубок. Работа выполнена в рамках Государственной целе- вой научно-технической программы «Нанотехнологии и наноматериалы», грант 1.1.1.33, и при поддержке гранта УНТЦ, №21-4930/08. Автор благодарен А. Шев- цову за полезные замечания, учтенные в окончатель- ной версии работы. Приложение. Скорость прохождения электронной волны в зНТ и кНТ Чтобы получить выражение для скорости прохож- дения электрона в зигзагообразной УНТ, будем стар- товать из нестационарного уравнения Шредингера , ,A , ,B 1 1 1 1, ,B , ,B 2 2 2 2 , ,B , ,A 1 1 1 1, ,A , ,A 2 2 2 2 \| \|= , \| \|= . z z z z n m n m n m n m z z z z n m n m n m n m i i − + − − + + + − ⎧ ⎛ ⎞β⎪ ⎜ ⎟ψ ψ +ψ +ψ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞⎪ β ⎜ ⎟⎪ψ ψ +ψ +ψ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ Домножим первое (второе) уравнение на * , ,A z n mψ * , ,B( z n mψ ) и сложим результат с его комплексным со- пряжением. Полученные уравнения сложим друг с дру- гом, а затем просуммируем по индексу m от 1 до 2N . Это уравнение удобно представить следующим образом: 2 2 2 , ,A , ,B =1 2 \| \|\| \| \| \| = ). N z z l r n m n m n n m d dt β⎡ ⎤− ψ + ψ +⎣ ⎦∑ (v v (П.1) Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 635 Здесь введены обозначения 2 * , ,A1 1 1 1, ,B , ,B=1 2 2 2 2 2 * , ,B1 1 1 1, ,A , ,A=1 2 2 2 2 = 2Im , = 2Im , N l z z z n n m n m n mm N r z z z n n m n m n mm − + − − + + + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ψ +ψ ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ψ +ψ ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ v v (П.2) которые имеют смысл безразмерной скорости прохож- дения электронов в зНТ. Левая часть уравнения (П.1) представляет собой скорость изменения полной вероятности нахождения электрона в слое n. Такое изменение возможно лишь за счет ухода электрона из этого слоя. Поэтому правая часть формулы (П.1) определяет суммарный электрон- ный поток через левую ( l ) и правую ( r ) границы n-го слоя. Для определенности безразмерную скорость элек- трона будем определять формулой (П.2). При подста- новке сюда выражения (2) для собственной волновой функции электрона можно получить z z = cos sin = cos sin . 2 2 2 2 j j j j j k kj E N ξ σ⎛ ⎞ σ π − θ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ v (П.3) Здесь были использованы формулы (3), (5) из основно- го текста. Таким образом, определяя знаковую функ- цию σ в виде (6), добьемся положительности выраже- ния для скорости прохождения, z cos \| sin \|2= sin = . 2 2 j j j j kN E π θ v (П.4) Это означает движение электронной волны в сторону больших n, т.е. в направлении слева направо. Для нахождения скорости прохождения электрона в креслообразной УНТ следует исходить из нестацио- нарной системы уравнений , ,A , ,B 1 1 1 1, ,B , ,B 2 2 2 2 , ,B , ,A 1 1 1 1, ,A , ,A 2 2 2 2 \| \|= , \| \|= a a a a n m n m n m n m a a a a n m n m n m n m i i − − + − − + + + ⎧ ⎛ ⎞β⎪ ⎜ ⎟ψ ψ +ψ +ψ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞⎪ β ⎜ ⎟⎪ψ ψ +ψ +ψ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ и проделать такую же процедуру, как и для зНТ. Окон- чательно будем иметь * * , ,A , ,B1 1 1 1, ,B , ,A=1 2 2 2 2 = 2 Im . N z a a a a n m n m n m n mm + − + + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ψ ψ +ψ ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑v (П.5) Подстановка в (П.5) формул (10) для двух типов волновых функций электрона в кНТ приводит к следу- ющим выражениям для скоростей электрона: = sin cos = 2 ja j j k s ± ± − φv 2 2sin 2= sin =\| cos \| sin . \| \| 2 2 a j j j j E k k E ± ± ξ − φ (П.6) В заключение отметим, что скорость прохождения электрона в УНТ обоих типов совпадает с соответст- вующей групповой скоростью электронной волны. В этом легко убедиться из соответствующих дисперси- онных соотношений (4), (8), используя стандартное определение для групповой скорости — как первой производной от энергии электрона по продольному волновому числу. 1. M.S. Dresselhaus, G. Dressselhaus, and P.C. Eklund, Sci- ence of Fullerenes and Carbon Nanotubes, Academic, San Diego (1996). 2. А.В. Елецкий, УФН 172, 401 (2002). 3. А.В. Елецкий, УФН 167, 945 (1997). 4. J.-C. Charlier, X. Blase, and S. Roshe, Rev. Mod. Phys. 79, 677 (2007). 5. L.C. Venema, J.W.G. Wildoer, J.W. Janssen, S.J. Tans, H.L.J.T. Tuinstra, L.P. Kouwenhoven, and C. Dekker, Science 283, 52 (1999). 6. J. Tans, A.R.M. Verschueren, and C. Dekker, Nature 393, 49 (1998). 7. M. Bockrath, D.H. Cobden, P.L. McEuen, N.G. Chopra, A. Zettl, A. Thess, and R.E. Smalley, Science 275, 1922 (1997). 8. P.G. Collins, A. Zettl, H. Bando, A. Thess, and R.E. Smal- ley, Science 278, 100 (1997). 9. J.U. Lee, P.P. Gipp, and G.M. Heller, Appl. Phys. Lett. 85, 145 (2004). 10. Z. Yao, H.W.Ch. Postma, L. Balents, and C. Dekker, Nature 402, 273 (1999). 11. V. Sazonova, Y. Yaish, H. Ustunel, D. Roundy, T.A. Arias, and P.L. McEuen, Nature 431, 284 (2004). 12. J. Kong, N. Franklin, C. Zhou, S. Peng, J.J. Cho, and H. Dai, Science 287, 622 (2000). 13. L.C. Venema, J.W. Janssen, M.R. Buitelaar, J.W.G. Wildoer, S.G. Lemay, L.P. Kouwenhoven, and C. Dekker, Phys. Rev. B62, 5238 (2000). 14. T.W. Odom, J.L. Huang, P. Kim, and C.M. Lieber, J. Phys. Chem. B104, 2794 (2000). 15. T.W. Odom, J.H. Hafner, and C.M. Lieber, Appl. Phys. 80, 173 (2001). 16. A.M. Rao, E. Richter, S. Bandow, B. Chase, P.C. Eklund, K.A. Williams, S. Fang, K.R. Subbaswamy, M. Menon, A. Thess, R.E. Smalley, G. Dresselhaus, and M.S. Dres- selhaus, Science 275, 187 (1997). Ю.А. Клименко 636 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 6 17. A. Jorio, R. Saito, J.H. Hafner, C.M. Lieber, M. Hunter, T. McClure, G. Dresselhaus, and M.S. Dresselhaus, Phys. Rev. Lett. 86, 1118 (2001). 18. R. Saito, G. Dressselhaus, and M.S. Dresselhaus, Phys. Rev. B53, 2044 (1996). 19. T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn 74, 777 (2002). 20. L. Chico, L.X. Benedict, S.G. Louie, and M.L. Cohen, Phys. Rev. B54, 2600 (1996). 21. J. Han, M.P. Anantram, R.L. Jaffe, J. Kong, and H. Dai, Phys. Rev. B57, 14983 (1998). 22. M. Ouyang, J.-L. Huang, C.L. Cheung, and C.M. Lieber, Science 291, 97 (2001). 23. Y. Yao, Q. Li, J. Zhang, R. Liu, L. Jiao, Y.T. Zhu, and Z. Liu, Nat. Mater. 6, 283 (2007). 24. C. Jin, K. Suenaga, and S. Iijima, Nature Nanotechnology 3, 17 (2008). 25. A. Ayuela, L. Chiko, and W. Jaskolski, Phys. Rev. B77, 085435 (2008). 26. A. Rochefort and P. Avouris, Nanoletters 2, Vol. 3, 253 (2002). 27. L. Chico, M.P. López Sancho, and M.C. Munõz, Phys. Rev. Lett. 81, 1278 (1998). 28. L. Chiko and W. Jaskolski, Phys. Rev. B69, 085406 (2004). 29. H. Liu and Y. Tao, Nanotechnology 16, 619 (2005). 30. W. Jaskólski and L. Chiko, Phys. Rev. B71, 155405 (2005). 31. H. Santos, A. Ayuela, W. Jaskólski, M. Pelc, and L. Chico, Phys. Rev. B80, 035436 (2009). 32. L. Yang, J. Chen, H. Yang, and J. Dong, Eur. Phys. J. B33, 215 (2003). 33. S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press, Cambridge (1995). 34. Yu.O. Klymenko and O. Shevtsov, Eur. Phys. J. B69, 383 (2009). 35. Yu.O. Klymenko and O. Shevtsov, Eur. Phys. J. B72, 203 (2009). 36. K. Yates, Hückel Molecular Orbital Theory, Academic Press, New York (1978). Quantum electron transport in axisymmetric contact of zigzag and armchair nanotubes Yu.O. Klymenko Using the nearest neighbor tight-binding approxi- mation, an analytical approach is developed to de- scribe the process of electron transport properties in axisymmetric contacts of zigzag and armchair nano- tubes. The method proposed gives an analytical ex- pression of electron transmission probability and al- lows us to specify the selection rules that are valid for electron scattering. As a function of nanotube diame- ter, oscillations of the gap width in the electron trans- mission are predicted and a minimum value of the gap is found. The step thresholds in the transmission coef- ficient are also described. It is shown that the step-like behavior of the transmission coefficient is connected to the electronic features of the armchair nanotube everywhere apart from its initial section. PACS: 72.10.Bg General formulation of transport theory; 73.22.Dj Single particle states; 73.63.Fg Nanotubes; 85.35.Kt Nanotube devices. Keywords: electron transport, transmis- sion coefficient, axisymmetric contact, zigzag and armchair nanotubes.

Квантовый транспорт электронов через осесимметричный контакт зигзагообразной и креслообразной нанотрубок

Репозитарії

Схожі ресурси