Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса

Разработана теория генерации звуковых колебаний сферическими металлическими частицами малого размера в диэлектрической среде под действием ультракоротких лазерных импульсов. Получены аналитические выражения, позволяющие определить амплитуду и мощность продольных сферических акустических колебаний в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Григорчук, Н.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2011
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Наноструктуры при низких температурах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118538
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса / Н.И. Григорчук // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 4. — С. 422–431. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-118538
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1185382017-05-31T03:03:46Z Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса Григорчук, Н.И. Наноструктуры при низких температурах Разработана теория генерации звуковых колебаний сферическими металлическими частицами малого размера в диэлектрической среде под действием ультракоротких лазерных импульсов. Получены аналитические выражения, позволяющие определить амплитуду и мощность продольных сферических акустических колебаний в зависимости от плотности и упругих свойств среды, длительности лазерного импульса, температуры электронов, радиуса частиц и констант электрон-фононной связи. Детально исследованы факторы, влияющие на динамику затухания мощности таких волн, что проиллюстрированно на примере частиц Au, Ag и Cu, заключенных в плексигласовую матрицу. Розроблено теорію генерації звукових коливань сферичними металевими частинками малого розміру у діелектричному середовищі під впливом ультракоротких лазерних імпульсів. Одержано аналітичні вирази, що дозволяють визначити амплітуду і потужність поздовжніх сферичних акустичних коливань в залежності від густини і пружних властивостей середовища, тривалості лазерного імпульсу, температури електронів, радіуса частинок і констант електрон-фононного зв’язку. Детально досліджено фактори, які впливають на динаміку загасання потужності таких хвиль, що проілюстровано на конкретному прикладі частинок Au, Ag та Cu, які розташовані у плексигласовій матриці. A theory of sound waves generated by spherical metallic particles of small sizes in an dielectric medium under the action of ultrashort laser pulses is developed. The analytical expressions for amplitude and power of longitudinal spherical acoustic vibrations depending on the number of factors as the density and medium elastic properties, the laser pulse duration, the temperature of electrons, the particle radiuses, and the electron–phonon coupling constants are obtained. The factors influencing on the dynamic of the power damping for such waves are investigated in details and is illustrated by the example of Au, Ag and Cu particles embedded in the plexiglass matrix. 2011 Article Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса / Н.И. Григорчук // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 4. — С. 422–431. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 78.67.Bf, 42.62.Fi, 63.22.–m, 73.63.–b http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118538 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Наноструктуры при низких температурах Наноструктуры при низких температурах
spellingShingle	Наноструктуры при низких температурах Наноструктуры при низких температурах Григорчук, Н.И. Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса Физика низких температур
description	Разработана теория генерации звуковых колебаний сферическими металлическими частицами малого размера в диэлектрической среде под действием ультракоротких лазерных импульсов. Получены аналитические выражения, позволяющие определить амплитуду и мощность продольных сферических акустических колебаний в зависимости от плотности и упругих свойств среды, длительности лазерного импульса, температуры электронов, радиуса частиц и констант электрон-фононной связи. Детально исследованы факторы, влияющие на динамику затухания мощности таких волн, что проиллюстрированно на примере частиц Au, Ag и Cu, заключенных в плексигласовую матрицу.
format	Article
author	Григорчук, Н.И.
author_facet	Григорчук, Н.И.
author_sort	Григорчук, Н.И.
title	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
title_short	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
title_full	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
title_fullStr	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
title_full_unstemmed	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
title_sort	акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Наноструктуры при низких температурах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118538
citation_txt	Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса / Н.И. Григорчук // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 4. — С. 422–431. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT grigorčukni akustičeskiekolebaniâsferičeskojmetalličeskojnanočasticyvdiélektričeskojmatricepoddejstviemulʹtrakorotkogolazernogoimpulʹsa
first_indexed	2025-07-08T14:12:20Z
last_indexed	2025-07-08T14:12:20Z
_version_	1837088318131535872
fulltext	© Н.И. Григорчук, 2011 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4, c. 422–431 Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса Н.И. Григорчук Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины ул. Метрологическая, 14-б., г. Киев, 03680, Украина E-mail: ngrigor@bitp.kiev.ua Статья поступила в редакцию 26 мая 2010 г., после переработки 6 августа 2010 г. Разработана теория генерации звуковых колебаний сферическими металлическими частицами малого размера в диэлектрической среде под действием ультракоротких лазерных импульсов. Получены ана- литические выражения, позволяющие определить амплитуду и мощность продольных сферических акус- тических колебаний в зависимости от плотности и упругих свойств среды, длительности лазерного им- пульса, температуры электронов, радиуса частиц и констант электрон-фононной связи. Детально исследованы факторы, влияющие на динамику затухания мощности таких волн, что проиллюстрирован- но на примере частиц Au, Ag и Cu, заключенных в плексигласовую матрицу. Розроблено теорію генерації звукових коливань сферичними металевими частинками малого розміру у діелектричному середовищі під впливом ультракоротких лазерних імпульсів. Одержано аналітичні ви- рази, що дозволяють визначити амплітуду і потужність поздовжніх сферичних акустичних коливань в залежності від густини і пружних властивостей середовища, тривалості лазерного імпульсу, температури електронів, радіуса частинок і констант електрон-фононного зв’язку. Детально досліджено фактори, які впливають на динаміку загасання потужності таких хвиль, що проілюстровано на конкретному прикладі частинок Au, Ag та Cu, які розташовані у плексигласовій матриці. PACS: 78.67.Bf Нанокристаллы и наночастицы; 42.62.Fi Лазерная спектроскопия; 63.22.–m Фононы или вибронные состояния в низкоразмерных структурах и наномасштабных материалах; 73.63.–b Электронный перенос в наномасштабных материалах и структурах. Ключевые слова: ультракороткий лазерный импульс, металлическая наночастица, сферические акустиче- ские колебания, электрон-фононная связь. 1. Введение Металлические наночастицы (МН) изучаются глав- ным образом благодаря своим уникальным оптическим свойствам [1] и широкому практическому применению [2–5]. В последнее десятилетие интенсивно проводятся исследования акустических колебаний МН, возбуждае- мых ультракороткими (чаще всего фемтосекундными) лазерными импульсами [1–6]. Преимуществом таких импульсов является то, что они содержат большое чис- ло гармоник, в том числе таких, которые возбуждают плазмонные моды [7], способные обеспечить резонанс- ное поглощение частицей электромагнитной энергии. Звуковые колебания, генерируемые МН, впервые экспериментально наблюдались для частиц благород- ных металлов в работах [2–5]. Исследования акустики сред, содержащих МН, позволяют получать информа- цию об упругих свойствах самих частиц и их механи- ческой связи с окружающей средой [8], что лежит в основе разработок сенсоров упругости в нанометровом диапазоне. При возбуждении МН ультракороткими импульса- ми их энергия передается сначала газу свободных элек- тронов, которые, сталкиваясь друг с другом, а также с колебаниями решетки, перераспределяют между собой эту энергию (термализуются) на протяжении короткого времени (порядка десятка пикосекунд для частиц раз- мером в 100 Ǻ [4]). Электронный газ в частице мгно- венно разогревается. Вследствие малой теплоемкости Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 423 электронного газа (по сравнению с решеткой) проис- ходит короткий, но сильный всплеск электронного давления [9,10]. Он эквивалентен короткому механи- ческому удару о поверхность частицы и может ге- нерировать в окружающей частицу среде сферические акустические волны. Уже сам по себе такой быстрый удар создает своего рода звон: оптическое возбужде- ние запускает упругие колебания, частота которых за- висит от скорости звука в материале частицы и от ее размеров [11]. Условно, по времени, можно выделить два этапа в таком процессе. Первый (при 0t < τ , где 0τ — длительность импульса), короткоживущий, относит- ся к возникновению большой волны электронной тем- пературы и давления Ферми. Второй (при 0t ≥ τ ) — связан с релаксацией энергии разогретого электронно- го газа. Часть энергии электронов уходит из частицы вовне на возбуждение и распространение радиальных звуковых колебаний, а также уносится через механизм теплопроводимости. Другая часть (внутри частицы) — на протяжении пикосекунд передается решетке МН посредством электрон-фононного взаимодействия, что, в конечном итоге, через термическое расширение и ан- гармонизм приводит к ее нагреванию. Соотношение между этими двумя основными путями релаксации за- висит как от материала матрицы, в которой заключена частица, так и от свойств самой частицы и ее размеров. В результате динамика уменьшения температуры го- рячих электронов носит сложный осцилляционный ха- рактер (как, например, в [12]). Для достаточно больших частиц оба эти этапа яв- ляются малыми по сравнению с периодом упругих ко- лебаний (3,3 пс для частицы в 100 Ǻ [4]). Нагревание частицы происходит намного быстрее, чем ее термиче- ское расширение. Последнее можно измерить, напри- мер, по сдвигу пика плазмонного резонанса в красную сторону спектра вследствие уменьшения плотности электронов. Динамика колебаний и времена рассеяния электронов изучались, например, в [13,14]. Поскольку колебания ансамбля частиц, вследствие малых отличий в форме и размерах частиц, дают в из- мерениях неоднородное уширение, которое может пре- вышать коллективное внутреннее затухание осцилля- торов, целесообразно проводить изучение эффекта для одной изолированной МН [15]. В настоящей работе проведен расчет амплитуды и мощности продольной акустической волны, обуслов- ленной избыточным электронным давлением электрон- ного газа в металлической частице под воздействием ультракоротких лазерных импульсов. В частности, де- тально исследовано, как динамика затухания мощно- сти волны зависит от константы электрон-фононной связи и от радиуса частицы. Теоретически рассматри- ваемый вопрос остается малоизученным. Работа структурирована следующим образом. Во второй части описаны модель и исходные принципы задачи. В третьей — найдена амплитуда звуковой вол- ны, генерируемой поверхностью МН. Четвертая — по- священа изучению мощности таких волн, пятая — рас- чету полной энергии колебаний. В шестой — обсуж- даются результаты и в седьмой представлены выводы, полученные в работе. 2. Модель и исходные принципы Пусть на сферическую МН, заключенную в безгра- ничную упругоизотропную диэлектрическую матрицу, падает ультракороткий лазерный импульс длительно- стью 0τ . Процесс передачи энергии от лазера решетке МН существенно зависит от соотношения размеров частицы, длины свободного пробега электрона в час- тице, а также от дебаевской длины Dl , которую опре- деляют как /D F Dl = πυ ω . Этот параметр играет важ- ную роль в обмене энергии между горячими электронами и решеткой (его значения для некоторых металлов приведены далее в табл. 2). При проведении эксперимента горячие электроны обнаруживали в тон- ких островковых пленках, но не в сплошных пленках или массивных металлах. Это подчеркивает, что су- ществуют критические размеры частиц, при которых исчезает обычный объемный электрон-фононный энер- гообмен. Исчезновение объемного энергообмена для не- которых критичных размеров частицы следует также из фундаментальных законов сохранения энергии и импульса электрона и фонона при их взаимодействии. Как было показано в [16,17], если размеры частицы меньше, чем Dl , то можно пренебречь объемным энер- гообменом между электронами и фононами и главным считать обмен между электронами и поверхностью частицы. В этом случае величина электрон-фононной связи становится зависимой от радиуса частицы. В настоящей работе мы будем учитывать такую зависи- мость и рассматривать частицы, радиусы которых / 2DR l< . Будем считать, что время термализации электрон- ного газа сравнимо с длительностью лазерного им- пульса или немного превышает его, и после окончания лазерного импульса газ электронов достигает макси- мальной температуры 0 max( )eT Tτ = и дальше начинает остывать. Динамика релаксации электронов хорошо описана в рамках двухтемпературной модели [18–20]. Дополнительное давление, возникающее при разо- греве электронного газа лазерным импульсом, может приводить к возникновению колебаний поверхности МН. В свою очередь, колебания поверхности частицы порождают в окружающей частицу упругоизотропной среде продольные акустические волны. Определим сначала величину смещения произволь- ной точки на поверхности частицы. Уравнение распро- странения продольных акустических колебаний в мат- рице имеет вид [21] Н.И. Григорчук 424 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 2 2 2 1( ) ( ) 0L L L t t s t ∂ Δ − = ∂ u u , (1) где Ls — скорость продольного звука в матрице. Волны упругих смещений Lu сопровождаются объемными сжа- тиями и расширениями материала матрицы. Будут ли они распространяться в матрице, зависит от величины акустического сопротивления среды, которую, напри- мер, для монохроматических сферических волн опре- деляют [22] как 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) L kr krZ s i kr kr ⎛ ⎞ = ρ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ , (2) где r — расстояние от центра сферической частицы, k — волновое число, ρ — плотность среды. Если pZ Z≈ , где pZ — импеданс сферы, то звуковые вол- ны не отражаются и распространяются в среде. При 1kR >> практически с поверхности сферы ( r R= ) ро- ждается волновой процесс. В качестве граничных условий для дифференциаль- ного уравнения (1) выберем условие равенства нулю всех сил, приложенных к поверхности частицы ( ).r R= Это равенство может быть представлено в виде [23] 2 2 ( ) ( )s rr r r R u t P t R = σ⎛ ⎞ σ − = −δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (3) Здесь \| \|r ru = u — радиальная компонента смещения, R — радиус частицы, sσ — плотность поверхност- ной энергии, ( )P tδ — зависящее от времени дополни- тельное давление горячих электронов, и rrσ — тензор напряжений, компоненты которого можно представить в виде [24] 24 2 3 3 r r rr u u K K r r ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + μ + − μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (4) где K и μ , соответственно, являются модулями все- стороннего сжатия и сдвига. Второе слагаемое в (3) учитывает давление Лапласа на частицу в средах с 0μ = . Для продольных акустических колебаний мож- но считать ( ) ( )L ru t u t= . Давление электронного газа на поверхность наноча- стицы можно представить в виде суммы 0( ) ( )P t P P t= + δ . (5) Здесь первое слагаемое описывает давление вырож- денного Ферми газа при температуре 0T = К 0 0 2 5 P n= μ , (6) где /n N V= — концентрация электронов, V — объем частицы и 0μ — предельное значение химического потенциала при 0T = К ( 0 Fμ = ε , где Fε — энергия Ферми). Второе слагаемое, ( )P tδ , определяет допол- нительное давление газа, обусловленное подвижно- стью электронов при температурах 0T > . В соответст- вии с [25] его можно записать как 22 2 0 0 ( )5( ) ( ) 12 B e e k T t P t P T t ⎛ ⎞π δ = ≡ α⎜ ⎟μ⎝ ⎠ , 22 06 Bk nπ α = μ . (7) 3. Амплитуда звуковой волны, генерируемой поверхностью МН Для решения уравнения (1) с граничным условием (3) воспользуемся методом потенциала [26] и произве- дем в уравнении (1) замену ( , ) ( , )r t t≡ ∇ϕu r r . (8) Тогда подставив (8) в (1), получим для функции ( , )tϕ r уравнение 2 2 2 1( , ) ( , ) 0 L t t s t ∂ Δϕ − ϕ = ∂ r r . (9) Общее решение этого уравнения для расходящихся от центра частицы сферических волн хорошо известно (см., например, [21]) 1( , ) L r Rt r f t r s ⎛ ⎞− ϕ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (10) где f — произвольная дважды дифференцируемая функция. В отличие от плоских волн амплитуда сфе- рической волны благодаря множителю 1 / r уменьша- ется при распространении, хотя ее форма сохраняется, как и у плоских волн. Импульс такой волны имеет рез- кое начало и конец, вследствие чего после его прохож- дения среда принимает снова равновесное значение, и волна не оставляет после себя следа. Если рассматривать не одну, а Ñ наночастиц в мат- рице, то вместо (10) следует брать 1 \| \|1( , ) \| \| Ñ j j Lj r r R t r f t r r s= − −⎛ ⎞ ϕ = −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ∑ . (11) Выражения (10) или (11) позволяют определить энер- гию, которая выносится из одной или из Ñ наночастиц в окружающую среду. Формула (11) справедлива при условии, что наночастицы достаточно удалены друг от друга, так что взаимодействием между ними можно пренебречь, и вклад каждой в потенциал ϕ можно рас- сматривать как независимый. При этом среднее рас- стояние между частицами должно быть намного мень- ше, чем расстояние от места расположения частиц до точки получения сигнала от них. Явный вид функции f можно определить из гранич- ного условия (3) на поверхности наночастицы. Под- Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 425 ставляя выражение (10) в (8), а (8) в (4) и (3), получаем для f неоднородное дифференциальное уравнение [23] 2 2 02 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Rf t f t f t P t tt ∂ ∂ + γ +ω = −δ ∂ ρ∂ , (12) в котором ρ — плотность массы среды, окружающей наночастицу, 21 12 2 4 3 s sL T L s s R R s R RK σ σ⎛ ⎞⎛ ⎞γ = μ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ μ , (13) 2 2 2 0 2 2 2 22 2 , 4 3 s sL T s s R RR RK σ σ⎛ ⎞⎛ ⎞ω = μ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ μ где sσ — определено выше, а Ts — скорость попе- речного звука в матрице. Заметим, что для твердых матриц, окружающих частицу в (13), следует полагать 0sσ = , поскольку в этом случае первый член в (13) будет намного превышать второй. Если же частица погружена в жидкую среду, то в (13), наоборот, необ- ходимо пренебречь первым членом и оставить второй. Величина 1/ γ дает время, за которое колебания ос- циллятора полностью затухнут. В случае, когда на матрицу падает серия δ-образных импульсов с задерж- кой τ по времени между ними, то результат их взаи- модействия с частицами в матрице будет существенно зависеть от того, будет ли больше или меньше едини- цы произведение γτ . Следуя (13), отношение 2 0/ / (2 )LR sγ ω = (14) зависит только от радиуса частицы и продольной ско- рости звука в среде. Уравнение (12) формально описывает движение ос- циллятора под действием внешней вынуждающей си- лы в виде ( ) /P t Rδ ρ . Величины 0ω и γ представляют собой собственную частоту в отсутствие трения и де- кремент затухания такого осциллятора соответственно. Продольная и поперечная звуковые скорости могут быть выражены через упомянутые выше модули K и μ при помощи соотношений [21] 3 4 3L Ks + μ = ρ , Ts μ = ρ . (15) Будем считать, что в отсутствие внешней силы собст- венные колебания осциллятора отсутствуют и только внешняя сила их вызывает. В случае, если вынуждающая сила, действующая на осциллятор, имеет, например, δ-образный характер [27] im 0( ) ( )P t P tδ = δ − τ , (16) решение уравнения (12) с начальными условиями: 0f = , im /f RP′ = − ρ , при 0t = τ , имеет вид ( )0( ) 2 2im 0 02 2 0 ( ) e sin ,tR P f t t−γ −τ ⎡ ⎤= − ω − γ − τ⎢ ⎥⎣ ⎦ρ ω − γ (17) при условии, что 0ω > γ . Для кластера из Ñ частиц можно использовать вы- ражение (11), где значение f задается в виде (17). Ес- ли предположить, что все наночастицы в матрице на- ходятся в одной плоскости и образуют квадратную решетку с постоянной решетки a , то на расстояниях z (между плоскостью и точкой получения сигнала), значительно превышающих расстояние между части- цами, суммирование в (11) можно заменить интегри- рованием, и тогда im 2 2 0 ( , ) 2 exp ( )L L L s R P t z R z t s sa ⎛ ⎞γ ϕ = π − − + ×⎜ ⎟ρω ⎝ ⎠ 2 2 0cos L z Rt s ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪× − ω − γ +⎢ ⎥⎨ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩ 2 2 02 2 0 sin . L z Rt s ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞γ − ⎪+ − ω − γ⎢ ⎥⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ω − γ ⎭ (18) Зная зависимость ( )eT t от времени, величину imP можно определить в явном виде. Сопоставив (7) и (16), находим 2 0 im 0 ( )eT t dt P ∞ α − τ =∫ . (19) Изменение температуры электронов со временем мож- но моделировать или определять аналитически, напри- мер, из дифференциальных уравнений теплового обме- на между частицей и окружающей ее матрицей. Предположим, что вначале ( 0t = τ ) осциллятор не смещен, находится в покое и выполняются начальные условия: 0( ) 0f τ = , 0'( ) 0f τ = . Тогда для произвольно- го вида вынуждающей силы решение уравнения (12), в соответствии с [28], можно представить в интеграль- ном виде: ( ) 0 2 2 02 2 0 e( ) ( ) e sin , ttRf t P t d −γ γτ τ ⎡ ⎤= − δ τ ω − γ − τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦ρ ω − γ ∫ (20) при условиях, что 0 , ( ) 0Pω > γ δ τ ≠ и 0.t > Из формулы (20) легко получить ответ, как поведет себя осциллятор после того, как на него в течение ко- роткого промежутка времени ( 0 ,Tτ ) подействовало положительное избыточное давление ( )Pδ τ . Очевидно, верхним пределом в (20) в этом случае будет величина T . Используя теорему о среднем, получим ( ) 0 2 2 02 2 0 e( ) e sin ( ) , Tt TRf t t T P d −γ γξ τ ⎡ ⎤= − −ξ ω − γ δ τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦ρ ω − γ ∫ (21) Н.И. Григорчук 426 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 где 0 / 1Tτ < ξ < , а 0 ( ) T P d I τ δ τ τ ≡∫ — представляет собой импульс избыточного давления электронного газа. Если 0 2Tω ξ << π , то 2 2 02 2 0 e( ) sin tR If t t −γ ⎛ ⎞= − ω − γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ρ ω − γ , (22) тогда явный вид ( )Pδ τ не играет существенной роли, важно только значение I . При 0ω >> γ , в соответст- вии с (22), (10) и (8), максимальное смещение maxu при «ударе» избыточного давления будет max 0 Iu R = ρω . (23) Используя (13) для случая 0sσ = , получим max, 0 2s Iu σ = = μρ , (23a) т.е. величина max, 0s u σ = не зависит от радиуса частицы и тем больше, чем меньше модуль сдвига и плотность массы материала частицы. Если же 0sσ > , тогда по- является зависимость от радиуса частицы и с умень- шением R величина maxu убывает. Оценка макси- мального смещения за промежуток времени 0T − τ , с учетом конечных значений затухания, на основании тех же (22), (10), (8) и (13), дает 0( ) max, 0 2 (1 / ) e 2 1 ( / ) s TL T L I R s u s s −γ −τ σ = − γ = μρ − . (23б) Таким образом, по измеренному максимальному смещению физического объекта можно определить импульс давления I . 4. Мощность, излучаемая поверхностью МН Часть накопленной энергии акустические волны выносят из частицы в окружающую матрицу. Мгно- венный поток мощности упругой энергии из поверхно- сти сферы (для случая 0sσ = ) может быть вычислен по формуле, вытекающей из более общих выражений, приведенных, например, в [22] ( ) ( ) ( , )rw t S P t R t= δ υ . (24) Здесь S — площадь поверхности частицы, rυ — ра- диальная или колебательная скорость. По существу, выражение (24) описывает мгновенную кинетическую энергию колебаний поверхности частицы. В общем, она существенно зависит от теплоемкости окружающей частицу матрицы. Если теплоемкость матрицы, напри- мер, низкая, то нетрудно показать, что отвод энергии через звуковые колебания будет ничтожно малым. Используем выражение (12), чтобы выразить двой- ную производную 2 ( )t f t∂ через одинарную ( )t f t∂ и функцию ( )f t . Тогда, в соответствии с (8), (10), получим 2 0 2 1 2 ( )( ) ( ) .r tS L L L P tf t f t s R s R sR ⎛ ⎞ ωγ δ υ = − + ∂ + +⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ (25) Вычислим теперь из (20) производную по времени от функции ( )f t . Интегрирование по частям с учетом того факта, что дополнительное давление электронного газа в начальный момент времени отсутствует, т.е. (0) 0 ,Pδ = дает ( ) ( ) 2 2 00 /( ) ( ) e t t t Rf t P −γ −τ τ ρ ∂ = − ∂ δ τ × ω − γ ∫ 2 2 0sin ( )t d⎛ ⎞× − τ ω − γ τ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (26) Знак минус отражает здесь факт, что смещение поверх- ности частицы при ее охлаждении имеет противопо- ложное направление к смещению, вызванному элек- тронным ударом. Подставим (26) вместе с (20) в (25), а (25) в (24). Тогда после дальнейшего интегрирования по частям, выражение (24) примет вид ( )( ) 0 ( ) ( ) e ( ) t t L Sw t P t P s −γ −τ τ= δ ∂ δ τ × ρ ∫ 2 2 0 2 2 0 2 2 0 sin ( ) cos ( ) .L ts t d R ⎡ ⎤⎛ ⎞− τ ω − γ⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎛ ⎞× −τ ω − γ + − γ τ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ω − γ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (27) В этой формуле ( )Pτ∂ δ τ представляет собой скорость изменения дополнительного давления электронного га- за. Явный учет изменения электронного давления при выводе ( )w t является весьма существенным. Напом- ним, что выражение (27) и все последующие, выте- кающие из него, будут справедливы для случая, когда 0sσ = . Далее примем во внимание тот факт, что во времен- ной зависимости ( )P tδ можно четко выделить два вре- менных интервала: стремительный рост Pδ в течение ультракороткого интервала времени ( 0~t τ ) и более медленный его спад (при 0t > τ ), обусловленный отво- дом энергии электронов в окружающую матрицу. За- висимость ( )P tδ во втором интервале можно хорошо описать формулой (7). Предположим для иллюстрации, что изменение электронной температуры со временем происходит, например, в соответствии с правилом [23] ( )0 0( ) ( ) e t e eT t T −β −τ= τ , (28) где R e g C β = , (29) 3e eC T= α , (30) Rg — константа электрон-фононной связи, зависящая от радиуса частицы, [ ]0( )e e eC C T≡ τ — теплоемкость Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 427 электронного газа, зависящая от электронной темпера- туры, взятой в момент времени 0t = τ . Для того чтобы явно учесть поведение давления на первоначальном промежутке времени, аппроксимиру- ем ( )P tδ произведением двух функций 0( ) ( ) ( )mP t t P tδ → θ − τ δ , (31) где величина ( )mP tδ , по существу, определена выра- жением (7), а 0 0 0 1, ( ) 0, t t t ≥ τ⎧ θ − τ = ⎨ < τ⎩ — ступенчатая функция, задающая мгновенное вклю- чение давления, при 0t → τ . Первая производная от ( )P tδ , в соответствии с (31), есть 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t m t mP t t P t t P t∂ δ = δ − τ δ + θ − τ ∂ δ , (32) где ( )0tδ − τ — дельта функция Дирака. Первый член в правой части (32) описывает вклад в изменение из- быточного давления электронного газа за счет скачка температуры электронов в результате электронного «удара» в момент времени 0t = τ , а второй — вклад, учитывающий потерю частицей давления при 0t > τ , за счет переданной матрице энергии. Когда мы исполь- зуем термин «удар», то подразумеваем, что процесс передачи конечного импульса происходит в течение бесконечно малого промежутка времени. Такого рода процесс может быть описан при помощи δ -функции Дирака. Подставим выражения (28), (31) и (32) в (27). Тогда с учетом значения интеграла sin ( ) e cos ( ) x t x dx t x η ξ −⎧ ⎫ =⎨ ⎬ξ −⎩ ⎭ ∫ 2 2 e cos ( ) sin ( ) x t x t x η ⎛ ξ η ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = ξ − ± ξ −⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬η ξη + ξ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ , (33) после интегрирования (27) по τ и несложных преобра- зований окончательно получим 2 2 0 ( ) ( )4( ) 2 2 4 ( ) m L L P t P t sRw t s R δ δ ⎧π ⎛ ⎞= − β − β +⎨ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠ω + β β− γ ⎩ 0(2 )( ) 2 2 2 0 0 0e 2 2 cos ( )t Ls t R β−γ −τ ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ω + β − γ − τ ω − γ +⎜ ⎟⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ( )2 2 2 0 02 2 ( )Ls R ⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω − βγ − γ − β ω − γ ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 0 0 2 2 0 sin ( ) . t ⎫⎤⎛ ⎞− τ ω − γ⎜ ⎟ ⎪⎥⎪⎝ ⎠× ⎥⎬ ⎥⎪ω − γ ⎥⎪⎦⎭ (34) Формула (34) дает энергию, которую сферические аку- стические волны выносят в единицу времени из части- цы в окружающую матрицу. «Удар» электронного дав- ления обусловливает первоначальное (при 0 )t < τ ) на- растание мощности акустических волн. Максимально- го значения мощность звукового сигнала достигает в момент времени 0t = τ . Она, как следует из (34), равна 2 2 max 0 0 4( ) ( ) L Rw t P s π = τ = δ τ ρ . (35) Отсюда по величине мощности звукового сигнала мож- но сделать оценку максимального давления 0( )Pδ τ , а значит, и максимального значения электронной темпе- ратуры (в момент времени 0t = τ ) в МН. Вообще гово- ря, мощность акустической волны наряду с «ударом» электронного давления определяется также скоростями охлаждения электронного газа и изменения его давле- ния. Спад температуры электронного газа (наступаю- щий, начиная с 0t = τ ) является, как видно из формул (7) и (28), а следовательно, из (34), пропорциональным произведению eTβ , характеризующему скорость ох- лаждения электронного газа. Поскольку уменьшение температуры электронов происходит намного медлен- нее, чем их нагревание, то влияние такого механизма на величину мощности звука в первом приближении можно считать незначительным. Это позволяет фор- мально в формуле (33) устремить 0β→ . В этом слу- чае, как можно убедиться из формул (32) и (27), звуко- вой сигнал будет связан только с ударом, и мы можем переписать (34) как ( )0 2 0 0 0 0 4( ) \| ( ) ( ) ( ) e t m m L Rw t P t P s −γ −τ β→ π = δ τ θ − τ δ τ × ρ ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 sin ( ) cos .L ts t R ⎡ ⎤⎛ ⎞− τ ω − γ⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎛ ⎞× − τ ω − γ + − γ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ω − γ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (36) Как видно из выражения (36), мощность акустического сигнала при 0β→ имеет вид экспоненциально зату- хающих колебаний. Период этих колебаний в твердой среде, согласно (36) и (13), 2 1 T T L RT ss s π = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (37) пропорционален радиусу частицы и корню квадратно- му из плотности среды. Изменение температуры элек- тронов не влияет на период колебаний, а лишь на ам- плитуду мощности акустической волны. Зависимость избыточного давления от времени при 0β→ можно также оценить по формуле 0 0 2( ) ( ) 3 R eP t g t Tβ→δ ≈ − τ , (38) которая следует из уравнения для баланса энергии электронов. С учетом (38) максимальную мощность сигнала (35) можно выразить еще как Н.И. Григорчук 428 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 2 max 0 0 0 16( , 0) ( ( )) 9 R e L w t g RT s π = τ β→ = τ τ ρ , (39) где явно учтена зависимость от длительности лазерно- го импульса. 5. Полная энергия колебаний металлической наночастицы Получим полную энергию, отданную вблизи пуль- сирующей сферической поверхности в окружающую матрицу. Рассмотрим сначала случай 0β = , когда ( )w t описывается выражением (36). Проинтегрируем (36) по времени во временном интервале 0 t≤ ≤ ∞ , вос- пользовавшись значением интеграла 0 0 ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 22 2 00 e cos ( ) sin ( ) . t L L t ts R s dt R R ∞ −γ −τ τ ⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟− τ ω − γ +⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎤⎛ ⎞− τ ω − γ⎜ ⎟ ⎥− γ ⎝ ⎠+ =⎥ ω⎥ω − γ ⎥⎦ ∫ (40) Тогда с учетом (7), (13), (15) и (40), получим 0 2 4 2 4 0 0 2 0 2 3\| ( ) \| 8 e e TRE w t dt T V ∞ β→ β→ τ απ = = α = μρω∫ . (41) Как видно из (41), эта энергия прямо пропорциональна объему частицы, температуре электронов в четвертой степени и обратно пропорциональна модулю сдвига среды. При 0β ≠ интегрирование выражения (34) по вре- мени в тех же пределах дает 2 4 2 0 22 4 ( ) L e L s RRE T s + βπ = α ρ ω + β β+ γ . (42) Это выражение при 0γ → приобретает вид ( ) 2 4 0 2 2 0 2\| 2 4 e L L TRE s R sγ→ απ = + β ρ ω + β . (43) Полная энергия, которую получил электронный газ в МН, есть 2 total 1 3 3 2 2 2e e eE V C T V P V T= = δ = α . (44) Ту часть энергии электронного газа (с температурой eT ), которая переходит от пульсирующего сфериче- ского источника в звуковые колебания, в простейшем случае (при 0β→ ) можно определить при помощи (41) и (44) как 0 2 total \| 1 4T e E T E β→η ≡ = α μ . (45) Отношение (45) характеризует эффективность такого процесса. Как видим из (45), она растет квадратично с температурой и является тем большей, чем меньше мо- дуль сдвига среды, в которой находится частица. На- пример, для сред, в которых поперечные звуковые вол- ны не распространяются и затухание колебаний (13) зависит только от плотности поверхностной энергии, Tη будет достаточно значимым даже при невысоких eT . Оценку Tη для определенных металлов и задан- ной температуры электронного газа см. ниже в табл. 2. 6. Обсуждение результатов Исследуем сначала, как мощность звукового сигна- ла зависит от скорости охлаждения, которая задается произведением eTβ . Если температуру электронов счи- тать определенной постоянной величиной, то изменять β можно, варьируя значение электрон-фононной связи, взяв, например, частицы из разных металлов. На рис. 1 показана зависимость ( )w t для металлических частиц Cu, Ag, Au, внедренных в плексигласовую матрицу. Вычисление проводилось в соответствии с формулой (34) с использованием (31), (7) и (28). При построении кривых были взяты следующие значения параметров: 8000 КeT = [29,30]; 100R = Å; 0 250 фсτ = [31], а также использованы характеристики матрицы и ме- таллических частиц, представленные ниже в табл. 1 и 2. Величину константы электрон-фононной связи, вхо- дящей в (29), можно оценить по формуле 23 127 1 16R B p Ung m k R a A α π ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (46) где смысл параметров a, ,pρ 1,U A указан в Примеча- нии после табл. 2. Рис. 1. Временная зависимость мощности акустического сиг- нала, излучаемого металлическими частицами Cu (штрихо- вая кривая), Ag (пунктирная кривая), Au (сплошная кривая) с радиусами 100R = Å, размещенными в плексигласовой матрице. Длительность падающего лазерного импульса 0τ = 250фс= . Максимальная электронная температура eT = 8000К.= Другие параметры расчета приведены в табл. 1 и 2. 0 50 100 150 200 250 –2 0 2 4 6 8 t τ/ 0 Cu Ag, Au w , 1 0 эр г 3 /c Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 429 Таблица 1. Значение констант матрицы [32] Матрица , см/сLs , см/сTs 2, дин/смK 3, г/смρ 2, дин/смμ Плекси- глас 52,57·10 51,12·10 105,83·10 1,18 101,48·10 Результаты вычислений Rg для МН разных радиу- сов, наряду с другими параметрами, представлены для упомянутых выше металлов в табл. 3. Константы 0ω и γ в табл. 3 вычислены по формуле (13), в которой для плексигласовой матрицы мы приняли 0sσ ≈ , что, как отмечалось выше, является обычным предположением для твердых матриц. Проведенные для частичек Cu, Ag, Au расчеты по- казывают (рис. 1), что мощность акустического сиг- нала w(t) в зависимости от времени имеет вид за- тухающих колебаний, принимающих (на некоторых интервалах времени) отрицательное значение. Излуче- ние негативной мощности в какой-либо точке про- странства обусловлено сферической симметрией аку- стических волн и возникает вследствие разрежения волн, а положительное значение — их сгущения. Ко- личество периодов осцилляций определяется отноше- нием 2 2 02 / ,πγ ω − γ и, как следует из формул (13) и (15), существенно зависит от плотности материала матрицы. Если выполняется условие Tγ > 1, где T и γ заданы формулами (37) и (13) соответственно, то, в принципе, можно наблюдать несколько периодов ко- лебания. На рис. 1, в частности, видно, что в металлах с более высокой константой электрон-фононной связи (Cu) излу- чаемая мощность акустический волны в начальный пе- риод времени является бóльшей, что, в соответствии с (27), означает, что в таких металлах изменение давле- ния электронного газа происходит быстрее. Этот ре- зультат отличается от полученного в [23]. Дело в том, что в [23] бралась одна и та же концентрация электро- нов для разных констант связи, тогда как, согласно (46), эти величины необходимо было увязывать. Для метал- лов с небольшим отличием константы ,Rg как, на- пример, Ag и Au (см. табл. 3), кривые зависимости ( )w t практически сливаются (рис. 1). Изучая этот ри- сунок, можно заключить, что размах колебаний мощ- ности ( ),w t генерируемой наночастицами из разных металлов, но одинакового радиуса, будет больше для тех металлов, у которых константа связи Rg выше. Это говорит о том, что материалы с бόльшим Rg на ранних этапах хуже отводят энергию через звуковые колебания. На рис. 2 представлена та же зависимость для мед- ных наночастиц разного радиуса. Видно, что с ростом Таблица 2. Физические параметры металлических частиц Металл ,a Å [33] 3, смn − [34] ρp, 3г/см [35] 1,эВU [35] ,эВA [35] 8000,η % ,Dl Å ,α эрг/(см3·К2) Cu 3,609 8,45·1022 8,93 7,724 4,4 25 1197 235,5 Ag 4,078 5,85·1022 10,505 7,574 4,3 22 1552 208,35 Au 4,070 5,90·1022 19,3 9,223 4,3 23 1968 208,9 П р и м е ч а н и е : a — постоянная решетки частицы, pρ — плотность массы частицы, 1U — энергия, необходимая для отрыва первого электрона от нейтрального невозбужденного атома, A — работа выхода электрона из металла. Таблица 3. Значение констант электрон-фононной связи ( Rg , 3эрг/(см ·с·К) ), затухания ( 1, с−γ ) и собственных частот 1 0( , с−ω ) при разных радиусах МН Металл 50 Å 100 Å 150 Å 200 Å 300 Å Cu 14,3·1016 7,13·1016 4,75·1016 3,56·1016 2,38·1016 Ag 5,18·1016 2,59·1016 1,73·1016 1,295·1016 0,863·1016 Au 4,25·1016 2,13·1016 1,42·1016 1,06·1016 0,709·1016 Плексиглас 1, с−γ 1,95·1011 0,975·1011 0,65·1011 0,488·1011 0,325·1011 1 0, с−ω 4,48·1011 2,24·1011 1,49·1011 1,12·1011 0,747·1011 Рис. 2. Временная зависимость мощности акустического сигнала, излучаемого медной металлической частицей с ра- диусами: 200R = Å (штриховая кривая), 150 Å (пунктирная кривая), 100 Å (сплошная кривая), размещенной в плекси- гласовой матрице. Длительность падающего лазерного им- пульса 0 250 фсτ = . Максимальная электронная температу- ра 8000 КeT = . 0 50 100 150 200 250 –10 0 10 30 20 Cu t τ/ 0 w , 1 0 эр г 3 /c Н.И. Григорчук 430 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 радиуса металлической частицы увеличивается абсо- лютное значение амплитуды мощности генерируемой акустической волны, а ее полное затухание происходит на бόльших временах. Важным фактором в таких расчетах является от- ношение скорости охлаждения МН eTβ к константе затухания колебаний матрицы γ . Это отношение не зависит от радиуса частицы. Для выбранных нами ме- таллов и матрицы величина / 1β γ << , т.е. скорость ох- лаждения МН значительно меньше константы затуха- ния колебаний матрицы. В заключение обсудим пределы применимости по- лученных результатов. Выражение, используемое нами для тензора напряжений через деформацию (4), пред- полагает в классической теории упругости пропорцио- нальность между приложенным давлением и деформа- цией, а также малость скоростей упругих смещений по сравнению со скоростью звука. Это значит, что внеш- няя нагрузка должна быть меньше (или, по крайней мере, не должна превышать) величины предела упру- гости материала матрицы elastσ . В нашем случае мак- симальное значение избыточного давления электрон- ного газа mPδ должно удовлетворять условию elastmPδ < σ . (47) Взятое нами для иллюстрации экспериментальное значение электронной температуры дает (в соответст- вии с (7) и данными табл. 1 и 2) значение mPδ , кото- рое, хотя формально и выводит нас за пределы условия (47), позволяет, однако, оценить предельные возмож- ности предложенной модели для измеренной темпе- ратуры электронов. 7. Выводы Предложена теория генерации звуковых колебаний сферическими металлическими наночастицами в ди- электрической среде под действием ультракоротких лазерных импульсов. Найдены аналитические выраже- ния, позволяющие определить амплитуду и мощность продольных сферических акустических колебаний в зависимости от плотности и упругих свойств среды, длительности лазерного импульса, температуры элек- тронов, радиуса частиц и констант электрон-фононной связи. Установлена зависимость максимального смещения осциллятора при «ударе» избыточного давления элек- тронного газа от модуля сдвига и плотности материала МН. Показано, что мощность акустической волны на- ряду с «ударом» электронного давления определяется также скоростями охлаждения электронного газа и из- менениями его давления. По величине мощности зву- кового сигнала на момент окончания лазерного им- пульса можно сделать оценку максимального значения электронной температуры в МН. Определена полная энергия акустических колеба- ний МН в заданной матрице. Для ряда металлов обсу- ждается эффективность отвода энергии горячих элек- тронов через акустические колебания. Показано, что эффективность передачи звука в средах с малым моду- лем сдвига значительно возрастает. На примере металлических наночастиц Au, Ag и Cu, заключенных в плексигласовую матрицу, детально исследованы факторы, влияющие на динамику затуха- ния звуковых волн. В частности, изучено, как элек- трон-фононная связь в этих материалах влияет на от- вод энергии электронов через акустические колебания. Показана динамика осцилляций мощности в зависимо- сти от радиуса наночастиц. 1. C.F. Bohren and D.R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley, Weinheim (2004). 2. A. Nelet, A. Crut, A. Arbouet, N. Del Fatti, F. Vallée, H. Portalès, L. Saviot, and E. Duval, Appl. Surf. Sci. 226, 209 (2004). 3. M. Nisoli, S. De Silvestri, A. Cavalleri, A.M. Malvezzi, A. Stella, G. Lanzani, P. Cheyssac, and R. Kofman, Phys. Rev. B55, 13424 (1997). 4. J.H. Hodak, I. Martini, and G.V. Hartland, J. Chem. Phys. 108, 9210 (1998). 5. N. Del Fatti, S. Tzortzakis, C. Voisin, C. Flytzanis, and F. Vallée, Physica 263–264, 54 (1999). 6. N. Del Fatti, C. Voisin, F. Chevy, F. Vallée, and C. Flytza- nis, Chem. Phys. 110, 11484 (1999). 7. N.I. Grigorchuk and P.M. Tomchuk, Phys. Rev. B80, 155456 (2009). 8. D.B. Murray and L. Saviot, Phys. Rev. B69, 094305 (2004). 9. А.А. Бендицкий, ФТТ 29, 1240 (1987). 10. M. Perner, S. Gresillon, J. März, G. von Plessen, J. Feldmann, J. Porstendorfer, K.-J. Berg, and G. Berg, Phys. Rev. Lett. 85, 792 (2000). 11. H. Lamb, Proc. London Math. Soc. 13, 189 (1882). 12. A. Plech, V. Kotaidis, M. Lorenc, and M. Wulff, Chem. Phys. Lett. 401, 565 (2005). 13. C. Voisin, N. Del Fatti, D. Christofilos, and F. Vallée, Appl. Surf. Sci. 164, 131 (2000). 14. C. Voisin, D. Christofilos, P.A. Loukakos, N. Del Fatti, F. Vallée, J. Lermé, M. Gaudry, E. Cottancin, M. Pellarin, and M. Broyer, Phys. Rev. 69, 195416 (2004). 15. M. A. van Dijk, M. Lippitz, and M. Orrit, Phys. Rev. Lett. 95, 267406 (2005). 16. Y. Bilotsky and P.M. Tomchuk, Surf. Sci. 600, 4702 (2006). 17. G.V. Hartland, Ann. Rev. Phys. Chem. 57, 403 (2006). 18. М.И. Каганов, И.М. Лифшиц, Л.В. Танатаров, ЖЭТФ 31, 232 (1956). 19. R.W. Schoenlein, W.Z. Lin, J.G. Fudjimoto, and G.L. Ees- ley, Phys. Rev. Lett. 58, 1680 (1987). 20. S.D. Brorson, A. Kazeroonian, J.S. Moodera, D.W. Face, T.K. Cheng, E.P. Ippen, M.S. Dresselhaus, and G. Dressel- haus, Phys. Rev. Lett. 64, 2172 (1990). Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 431 21. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Гидродинамика, Наука, Москва (1986). 22. Ф.И. Федоров, Теория упругих волн в кристаллах, Наука, Москва (1965); В.Т. Грінченко, І.В. Вовк, В.Т. Маципу- ра, Основи акустики, Наукова думка, Київ (2007). 23. Y. Bilotsky, N.I. Grigorchuk, and P.M. Tomchuk, Surf. Sci. 603, 3267 (2009). 24. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости, Наука, Москва (1965). 25. Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин, Термодинамика, статисти- ческая физика и кинетика, Наука, Москва (1972). 26. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математи- ческой физики, Наука, Москва (1977). 27. К. Магнус, Колебания, Мир, Москва (1982). 28. Л.И. Мандельштам, Лекции по теории колебаний, Наука, Москва (1972). 29. L. Jiang and H.-L. Tsai, Int. J. Heat Mass Transfer 50, 3461 (2007). 30. P. Grua, J.P. Morreeuw, H. Bercegol, G. Jonusauskas, and F. Vallée, Phys. Rev. B68, 035424 (2003). 31. O. Ekici, R.K. Harrison, N.J. Durr, D.S. Eversole, and A. Ben-Yakar, J. Phys. D41, 185501 (2008). 32. Н. Кошкин, Е. Васильчикова, Элементарная физика, Справочник, Столетие, Москва (1996). 33. Ф. Зейтц, Современная теория твердого тела, Гос. изд.-во техн.-теор. лит., Москва, Ленинград (1949). 34. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Наука, Москва (1978). 35. Таблицы физических величин, Справочник, И.К. Кикоин (ред.), Атомиздат, Москва (1976). Acoustic vibrations of spherical metallic nanoparticle in an dielectric medium under the action of ultrashort laser pulse N.I. Grigorchuk A theory of sound waves generated by spherical metallic particles of small sizes in an dielectric me- dium under the action of ultrashort laser pulses is de- veloped. The analytical expressions for amplitude and power of longitudinal spherical acoustic vibrations de- pending on the number of factors as the density and medium elastic properties, the laser pulse duration, the temperature of electrons, the particle radiuses, and the electron–phonon coupling constants are obtained. The factors influencing on the dynamic of the power damping for such waves are investigated in details and is illustrated by the example of Au, Ag and Cu par- ticles embedded in the plexiglass matrix. PACS : 78.67.Bf Nanocrystals and nanoparticles; 42.62.Fi Laser spectroscopy; 63.22.–m Phonons or vibrations states in low dimensional structures and nanoscale materials; 73.63.–b Electronic transport in nanoscale materials and structures. Keywords: ultrashort laser pulse, metallic nanopar- ticle, spherical acoustic vibrations, electron–phonon coupling.

Акустические колебания сферической металлической наночастицы в диэлектрической матрице под действием ультракороткого лазерного импульса

Репозитарії

Схожі ресурси