Двумерный оператор Паули в магнитном поле

Двумерный чисто магнитный оператор Шредингера для нерелятивистской частицы со спином 1/2 в магнитном поле обладает замечательными свойствами, открытыми в конце 70-х годов: его основное состояние сильно вырождено; он обладает суперсимметрией. Исследуется особый случай, когда магнитный поток периодиче...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Гриневич, П.Г., Миронов, А.Е., Новиков, С.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2011
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкоразмерные структуры
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118759
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Двумерный оператор Паули в магнитном поле / П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 9-10. — С. 1040–1045. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-118759
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1187592017-06-01T03:02:54Z Двумерный оператор Паули в магнитном поле Гриневич, П.Г. Миронов, А.Е. Новиков, С.П. Низкоразмерные структуры Двумерный чисто магнитный оператор Шредингера для нерелятивистской частицы со спином 1/2 в магнитном поле обладает замечательными свойствами, открытыми в конце 70-х годов: его основное состояние сильно вырождено; он обладает суперсимметрией. Исследуется особый случай, когда магнитный поток периодического поля сквозь элементарную ячейку равен нулю. Этот случай не был рассмотрен ранее. Здесь вскрыта любопытная связь с теорией солитонов, в частности, с системами типа Бюргерса и их двумерными аналогами. Они обладают свойствами линеаризуемости более простыми, чем знаменитые системы типа KdV и KP. Члены типа Ааронова–Бома с квантованным магнитным потоком играют особую роль в исследовании данного случая. Двовимірний чисто магнітний оператор Шредингера для нерелятивістської частки із спіном 1/2 в магнітному полі має чудові властивості, які відкрито у кінці 70-х років: його основний стан є сильно виродженим; він має суперсиметрію. Досліджено особливий випадок, коли магнітний потік періодичного поля крізь елементарну комірку дорівнює нулю. Цей випадок не було розглянуто раніше. Тут розкрито цікавий зв'язок з теорією солітонів, зокрема, з системами типу Бюргерса і їх двовимірними аналогами. Вони мають властивості лінеаризуємості простіші, ніж відомі системи типу KdV та KP. Члени типу Ааронова–Бома з квантованим магнітним потоком грають особливу роль в дослідженні даного випадку. The 2D purely magnetic Pauli operator for the nonrelativistic particle with spin 1/2 in magnetic field has some remarkable properties discovered in the late 70's: its ground level is highly degenerate; it admits supersymmetry. In the present work we investigate the special case where magnetic flux through the elementary cell is equal to zero. This case was not covered by the previous works. An interesting connection is revealed here with the theory of solitons, in particular with Burgers-like systems and their 2D analogs. They can be linearized by the elementary transformations and are much simpler than KdV or KP. The AharonovBohm type terms with quantized magnetic flux play special important role in our investigation. 2011 Article Двумерный оператор Паули в магнитном поле / П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 9-10. — С. 1040–1045. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 02.30.Tb, 02.30.Ik, 11.30.Pb, 73.20.–r http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118759 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкоразмерные структуры Низкоразмерные структуры
spellingShingle	Низкоразмерные структуры Низкоразмерные структуры Гриневич, П.Г. Миронов, А.Е. Новиков, С.П. Двумерный оператор Паули в магнитном поле Физика низких температур
description	Двумерный чисто магнитный оператор Шредингера для нерелятивистской частицы со спином 1/2 в магнитном поле обладает замечательными свойствами, открытыми в конце 70-х годов: его основное состояние сильно вырождено; он обладает суперсимметрией. Исследуется особый случай, когда магнитный поток периодического поля сквозь элементарную ячейку равен нулю. Этот случай не был рассмотрен ранее. Здесь вскрыта любопытная связь с теорией солитонов, в частности, с системами типа Бюргерса и их двумерными аналогами. Они обладают свойствами линеаризуемости более простыми, чем знаменитые системы типа KdV и KP. Члены типа Ааронова–Бома с квантованным магнитным потоком играют особую роль в исследовании данного случая.
format	Article
author	Гриневич, П.Г. Миронов, А.Е. Новиков, С.П.
author_facet	Гриневич, П.Г. Миронов, А.Е. Новиков, С.П.
author_sort	Гриневич, П.Г.
title	Двумерный оператор Паули в магнитном поле
title_short	Двумерный оператор Паули в магнитном поле
title_full	Двумерный оператор Паули в магнитном поле
title_fullStr	Двумерный оператор Паули в магнитном поле
title_full_unstemmed	Двумерный оператор Паули в магнитном поле
title_sort	двумерный оператор паули в магнитном поле
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Низкоразмерные структуры
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118759
citation_txt	Двумерный оператор Паули в магнитном поле / П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 9-10. — С. 1040–1045. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT grinevičpg dvumernyjoperatorpaulivmagnitnompole AT mironovae dvumernyjoperatorpaulivmagnitnompole AT novikovsp dvumernyjoperatorpaulivmagnitnompole
first_indexed	2025-07-08T14:36:12Z
last_indexed	2025-07-08T14:36:12Z
_version_	1837089814639280128
fulltext	© П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков, 2011 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10, c. 1040–1045 Двумерный оператор Паули в магнитном поле П.Г. Гриневич1, А.Е. Миронов2, С.П. Новиков1,3 1 Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН просп. Акад. Семенова, 1а, г. Черноголовка, Московская область, 142432, Россия E-mail: novikov@itp.ac.ru 2 Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, Россия 3 University of Maryland at College Park, College Park, MD, 20742, USA Статья поступила в редакцию 1 марта 2011 г. Двумерный чисто магнитный оператор Шредингера для нерелятивистской частицы со спином 1/2 в магнитном поле обладает замечательными свойствами, открытыми в конце 70-х годов: его основное со- стояние сильно вырождено; он обладает суперсимметрией. Исследуется особый случай, когда магнитный поток периодического поля сквозь элементарную ячейку равен нулю. Этот случай не был рассмотрен ра- нее. Здесь вскрыта любопытная связь с теорией солитонов, в частности, с системами типа Бюргерса и их двумерными аналогами. Они обладают свойствами линеаризуемости более простыми, чем знаменитые системы типа KdV и KP. Члены типа Ааронова–Бома с квантованным магнитным потоком играют осо- бую роль в исследовании данного случая. Двовимірний чисто магнітний оператор Шредингера для нерелятивістської частки із спіном 1/2 в маг- нітному полі має чудові властивості, які відкрито у кінці 70-х років: його основний стан є сильно виро- дженим; він має суперсиметрію. Досліджено особливий випадок, коли магнітний потік періодичного по- ля крізь елементарну комірку дорівнює нулю. Цей випадок не було розглянуто раніше. Тут розкрито цікавий зв'язок з теорією солітонів, зокрема, з системами типу Бюргерса і їх двовимірними аналогами. Вони мають властивості лінеаризуємості простіші, ніж відомі системи типу KdV та KP. Члени типу Ааро- нова–Бома з квантованим магнітним потоком грають особливу роль в дослідженні даного випадку. PACS: 02.30.Tb Теория операторов; 02.30.Ik Интегрируемые системы; 11.30.Pb Суперсимметрия; 73.20.–r Электронные состояния на поверхностях и границах раздела. Ключевые слова: двумерная система, чисто магнитный оператор Паули, основное состояние, суперсим- метрия, иерархия Бюргерса. Много лет назад Паули вывел красивую нереляти- вистскую аппроксимацию для гамильтониана частицы со спином 1/2, движущейся в электрическом и магнит- ном полях [1]. Особенно любопытными математиче- скими свойствами этот оператор обладает в двумерном случае, когда электрическое поле равно нулю, а маг- нитное поле направлено перпендикулярно плоскости. В 1979–80 гг. в работах [2–4] была обнаружена и ис- следована своеобразная «инстантонная» точная ре- шаемость основного состояния. Было установлено в ряде случаев, что физическим основным состоянием здесь является энергия 0 = 0ε . Сам оператор Паули 2 21 1 1 2 2 32= [( ) ( ) ] ( /2 )mL p p e mc B eUσ σ σ+ − + при выборе соответствующих единиц = = 1c и = 1e , = 1/ 2m имеет, как было обнаружено в конце 70-х го- дов, вид пары чисто факторизуемых скалярных опера- торов: = , = , = 1, 2,eL L L p i A cx α αα α+ − ∂ ⊕ − − ∂ где L+ и L− таковы: = , = ,L QQ L Q Q+ + − + (1) = (ln ) , = (ln ) ,z zQ c Q c+∂ − − ∂ + = , = .x y x yi i∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ Двумерный оператор Паули в магнитном поле Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10 1041 Магнитное поле имеет вид 1 2= lnB cΔ , = ec Φ в нашей системе единиц. Очевидно, что основное со- стояние всегда 0 0ε ≥ . Для наиболее интересных клас- сов магнитных полей — быстроубывающих и перио- дических с ненулевым потоком сквозь элементарную ячейку — формулы основных состояний получены в [2–4]: физические основные состояния здесь 0 = 0ε , и они лежат только в одном секторе (+) или (–) в зависи- мости от знака магнитного потока. В другом секторе квадратично интегрируемых состояний нет. 1. Быстроубывающий случай: 2 2 [ ] = ( , ) , [ ] > 0B B x y dxdy Bπ ∫ ∫ R , (2) = 0, = e ( ), = 0, , , [ ] < 1,S kQ P z k m m B mψ ψ+ − ≤ +… 2 1= ln \| \| ( , ) , 4 S z w B w w dw dw iπ − − ∧∫ ∫ R ( )kP z — полином от z . 2. Периодический случай: cell cell 1[ ] = ( , ) = > 0, 2 B B x y dxdy n π ∫ ∫ 1= 0, = e ( ) ( ) e ,S az nQ z a z aψ ψ σ σ+ − − −… (3) cell 1= ln \| ( ) \| ( , ) . 4 S z w B w w dw dw i σ π − − ∧∫ ∫ В случае (2) поле B двояко-периодично с ортогональ- ной решеткой на плоскости с периодами 2 , 2ω ω′ по осям , ,x y cell[ ] = > 0.B n Интеграл берется по элемен- тарной ячейке решетки, n — целое число; ( )zσ — сигма-функция Вейерштрасса (см. [5]). Случай < 0n аналогичен, z z→ . Случай = 0n («топологически тривиальный») ранее не удавалось исследовать: он будет предметом настоящей работы. В этом особом случае имеется связь с нелинейными уравнениями теории солитонов, в частности с двумерным аналогом известного точно решаемого уравнения Бюргерса =t xx xu u uu+ , под- робно обсуждаемая в недавних работах авторов [6,7]. В литературе 80-х годов с чисто магнитным опера- тором Паули (выше) связывалось также свойство «су- персимметрии»: как следует из факторизуемости (1), любому решению =L ψ εψ+ + + из сектора ( )+ сопос- тавляем решение ( ) =L R Rψ ε ψ− + + , где =R Q+ . Пола- гая = 0R ψ− − на втором секторе ( )− , имеем оператор «суперсимметрии» 2: ( , ) (0, ), = 0,R Q Rψ ψ ψ+ − + +→ такой, что =LR RL . Сопряженный оператор 2: ( , ) ( ,0), ( ) = 0R Q Rψ ψ ψ+ + − − +→ тоже коммутирует с : = .L R L LR+ + Верна формула = .RR R R L+ ++ Очевидно, оператор суперсимметрии — также как и точная решаемость основного состояния в «инстан- тонной форме» = 0Q ψ+ + — следует из факторизо- ванного вида оператора Паули (выше). Следует обра- тить внимание, что функции (3) являются магнитно- блоховскими, т.е. при «магнитных трансляциях» * * 1 2,T T они умножаются на числа æ 0 :α ≠ * * 1 1 2 2= æ , = æ .T Tψ ψ ψ ψ Здесь ( , )* 11 ( , ) = ( 2 , ) e ,if x yT x y x yψ ψ ω −+ ( , )* 22 ( , ) = ( , 2 ) e ,if x yT x y x yψ ψ ω −+ ′ где 1 1 1 1( , ) ( 2 , ) = ,xx f A x y A x y Aω Δ− + − 1 2 2 2= ( , ) ( 2 , ) = ,xy f A x y A x y Aω Δ− + − 2 1 1 1= ( , ) ( , 2 ) = ,yx f A x y A x y Aω Δ− + −′ 2 1 1 2= ( , ) ( , 2 ) = .yy f A x y A x y Aω Δ− + −′ Мы имеем для вектор-потенциала в калибровке Ло- ренца 1 2= ( , )A A A : 1 2 1 2= , = , 2 = , = 0y x x y A A B A AΦ Φ ΔΦ− + при нашей нормировке. Функции (3) удовлетворяют уравнению = 0Q ψ+ и не имеют особенностей на плоскости xy . Это — многообразие всех неособых комплексных магнитно-блоховских функций для уров- ня = 0.ε Физический спектр обслуживают только те из них, где 1 2\| æ \| = \| æ \| = 1. Их выделение накладывает соотношения, выражающие ( )a через 1( , , )na a… (см. [3,4]). Перейдем теперь к топологически тривиальному случаю = 0n , где вектор-потенциал 1 2( , )A A двояко- периодичен и задается периодической вещественной функцией = ec Φ , где > 0c , 1 2= ln .B cΔ Нашей целью является нахождение всех несингу- лярных (или слабо сингулярных) комплексных реше- ний ( = 0Lψ ): 1 2( 2 , ) = æ ( , ), ( , 2 ) = æ ( , ).x y x y x y x yψ ω ψ ψ ω ψ+ + ′ (4) Оказывается, что в каждом секторе ( )± имеется два семейства таких решений = 0L ψ± ± : 1+ . Семейство «инстантонов» вида 1= 0, = e .kzQ c ψ ψ+ + +′′ ′′ П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков 1042 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10 2 .+ Семейство ψ+′ вида 1= = 0, = e ( , , )kzL QQ P k x y c ψ ψ ψ+ + + + + +′′ ′ , где æ e1= 1 æ e , ( , , ) = , p z k zj j p z k z jj j j jj j c P k x y k k k − − ++ + −∑ ∑ (5) 2 1= для .cP O k k k + ⎛ ⎞+ → ∞⎜ ⎟⎝ ⎠ Выбор констант æ , 0, 0j j jp k≠ ≠ определяется требо- ванием, что c вещественно, положительно и перио- дично с прямоугольной решеткой периодов (2 ,2 )ω ω′ . В секторе ( )− также имеются два семейства реше- ний, где c заменено на 1 / c и z — на z : 1 .− = 0, = ekzQ cψ ψ− −′′ ′′ ; 2 .− ( ) = 0, = e ( , , ),kzQ Q c P k x yψ ψ+ − − −′ ′ где 2 1 1( , , ) = .P k x y O kc k − ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (6) Можно показать, что =Q ψ ψ+ + −′ ′′ и =Qψ ψ− +′ ′′ . Де- тальные вычисления приведены в [7]. Особенно про- стым случаем являются тригонометрические полино- мы c , где сумма в формуле (5) конечна =1 = 1 æ e n p z k zj j j j c − + ∑ , =0 æ e1 1= e . p z k zj jn jkz jjk k kc ψ − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+′ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ∑ Но даже в этом случае величина 1 / c является беско- нечным рядом; мы имеем бесконечный ряд с беско- нечным числом полюсов по k для величины ( , , ) = e / .kzP k x y cψ − − −′ Блоховские показатели этих решений такие же, как для функций e , ekz kz , для всех , , ,ψ ψ ψ ψ+ + − −′ ′′ ′ ′′ : * 2 * 2 1 1 1[ 2 , ] : e = e e , e = e e ,kz k kz kz k kzT x x y y T Tω ωω→ + → * 2 * 2 2 2 2[ , 2 ]: e = e e , e = e e .kz i k kz kz i k kzT x x y y T Tω ωω −′ ′→ → + ′ Лишь при = 0k имеем 1 2\| æ \| = \| æ \| = 1. Поэтому для не- сингулярных периодических функций ( , )c x y лишь со- стояния при = 0k принадлежат физическому спектру в гильбертовом пространстве: это 0, 0,= = 1/ cψ ψ+ +′ ′′ в секторе ( )+ и состояние 0, 0,= = cψ ψ− −′ ′′ в секторе ( )− . В обоих секторах эти состояния являются дном непрерывного спектра операторов L± для малых энер- гий > 0ε . Здесь речь идет о спектре в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых функций на плоскости xy , требуя самосопряженности квантового оператора Паули. Замечание. Мы обсудим позднее возможность реа- лизации блоховских решений с неунитарными показа- телями 1 2æ ,æ в задачах с самосопряженными гранич- ными условиями. Подобная интерпретация была известна в теории одномерных периодических потен- циалов — операторов Шредингера — для блоховских функций в запрещенных зонах, где они вещественны (и энергия также, очевидно, вещественна). Укажем здесь особые случаи, представляющие от- дельный интерес. Случай 1. Возникновение особенностей, происте- кающих из нулей периодической функции 0c ≥ . Это предельный случай для описанной выше задачи, где = 1 ( , ) 0c f x yα α+ ≥ . Магнитное поле 1 2= lnB cΔ приобретает особенность при критическом 0 0 = , =c cαα α . В случае, когда = 0, = 0xy xx yyc c c ≠ в точке = 0c , имеем δ-образную сингулярность магнит- ного поля 0 0= 2 ( , ) ,B x x y y Bπδ − − + где B — непре- рывное поле. Тем самым имеем член типа Ааронова– Бома с целочисленным магнитным потоком, равным одному кванту, плюс магнитное поле B с целочислен- ным отрицательным потоком = 1n − . В этом случае мы видим следующее. Функции ,ψ ψ+ +′ ′′ приобретают особенности, по- скольку они имеют вид 1 1, ekz c c ψ ′ . Особой стано- вится и функция ψ−′ , как видно из формулы (6). Един- ственной неособой блоховской функцией остается = ekzcψ−′′ . Более того, мы можем расширить это блоховское семейство до двумерного семейства вида 2( , )u k ∈C : 1 1 ( ) = e , ( ) kz z u a c z a σ ψ σ− + − − (7) 1 0 0=a x iy+ — это нуль функции 0 0( , ) = 0c x y и ( )uζ — эллиптическая функция ([7]). Мы видим, что нуль = 0c и полюс ( )σ в знаменателе сокращаются. Функция ψ− является квадратично-интегрируемой около 0 0= , = .x x y y Семейство функций ψ− таково, что: a) = 0, = ( , , , )Q u k x yψ ψ ψ− − ; б) все блоховские показатели 1 2(æ ,æ ) реализуются в этом семействе; в) особенность ψ− слабая; она совместима с гиль- бертовым пространством. Требование унитарности показателей \| æ \| = 1 выде- ляет функции, обслуживающие спектр оператора L в гильбертовом пространстве. При = 0ε мы получаем двумерное пространство основных состояний в секторе L− . В секторе L+ их нет. Это семейство представляет собой весь закон дис- персии, где 0 1 2( , ) 0x xε ≡ . Этот закон дисперсии явля- ется вырождением закона дисперсии гладкого поля cα , Двумерный оператор Паули в магнитном поле Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10 1043 которое стремится к c при 0α α→ , для которого cα является основным состоянием — дном спектра. Оператор суперсимметрии хорошо определен для гладких полей и устанавливает изоморфизм спектров L Lα α − +→ (при всех энергиях > 0ε ): : ,R ψ ψ+ − +→ = = (ln ) .zR Q cα α + ∂ − Нижний закон дисперсии 0 1 2( , )x xαε для 0α α≠ в сек- торе сходится к вырожденному 0 00, .αε α α→ → В секторе ( )+ соответствующий ему закон дисперсии в силу суперсимметрии также сходится к нулевой энер- гии, но в пределе 0=α α исчезает из гильбертова про- странства. Этот процесс любопытно проследить чис- ленно, но пока это не проделано. Функции 1 0 1 ( ) = e , = ( ) kz z u a c z a σ ψ α α σ− + − − квадратично интегрируемы. Интегралы для следую- щих матричных элементов сходятся (для > 0cα , = exp{ }cα αΦ ): < , >, < , >, < , >, < , >, < , > . Q Qα αψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ + − − − − − − − − − −∂ ∂ При этом имеем для 0=α α = = ( ) = 0, = e .zQQ Q c Φψ ψ Φ ψ+ − − ∂ − Однако матричные элементы вида 0< , >,Q Qα α ψ ψ α α+ − − ≠ расходятся. Поэтому возникает трудность в сопостав- лении предельного оператора QQ+ и гладкого опера- тора .Q Qα α + Совершив сингулярное калибровочное преобразо- вание 1 1 ( ) , ( ) z a z a σ ψ ψ σ− − − → − мы убираем δ-функцию и получаем семейство гладких несингулярных магнитно-блоховских функций с теми же значениями показателей 1 2æ ,æ , как в формуле (4). Здесь = 1n − , так что надо заменить z на z в форму- ле (3). Таким образом, получаем подобные семейства ре- шений как пределы решений для гладких полей с ну- левым потоком сквозь элементарную ячейку. Затем мы убираем член Ааронова–Бома (δ-функцию с кванто- ванным потоком), не влияющий на спектр около = 0ε . Это приводит к формулам работ [3,4] для случая cell[ ] = 1B − . Аналог этого вывода для всех целых 0n ≠ очевиден. Случай 2. Следуя работе авторов [6], строим се- мейства блоховских функций, параметризованные точками римановой поверхности рода = 1g (тора). Получающиеся магнитные поля оказываются сум- мой δ-функции (квантованной) и гладкого поля B с ненулевым потоком с квантом = 1n + . Убирая δ-член, мы производим то же самое сингулярное калибровоч- ное преобразование; после этого мы приходим к маг- нитно-блоховскому базису работы [3,4]. Замечание. Любопытные семейства основных со- стояний мы получаем для «ламповых» полей, т.е. та- ких, что \| \| 0B → при 2 2\| \| \| \|x y+ → ∞ , но поток 2B dxdy∫∫R расходится. Весьма интересен случай =1 = æ e , = , k x yj j j j j j j c W x y α β α β + +∑ где все æ , ,j j jα β вещественны и æ j положительны. Мы всегда имеем > 0c . Преобразование e =x yc c cα βλ +→ ′ приводит к тому же самому магнитному полю (пусть 2( , ) ) :α β ∈R 1 1= ln = ln . 2 2 B c cΔ Δ ′ Возникает класс { = e }Wc c′ , меняя W , где все функ- ции имеют одно и то же поле. Функциям класса соот- ветствуют точки плоскости 2( , )α β ∈R . Обозначим через T область на этой плоскости, где c′ растет экс- поненциально. Это значит, что «тропическая сумма» (см. ниже) строго положительна ( ) > 0cI ϕ′ . Здесь 2 = ( æ e ), = = , ( , ) , 0 2 . W j j j j j j j j c W W W x yα β α β ϕ π ′ + +′ ′ ′ ′ ∈ ≤ ≤′ ′ ∑ R Тропическая сумма величин jW ′ , где = cosx ρ ϕ , = siny ρ ϕ , это предел: =const 1 ( , ) \| = ( ).maxlim j c j W x y Iρ ρ ϕ ρ ′ →∞ ⎡ ⎤ ′⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Совершив калибровочное преобразование, мы получа- ем «инстантонные» решения = 0,Lψ где = 1/ cψ ′ , = eWc c′ и ( )/2)= e i x yα βψ ψ− − в секторе ( )+ , = 0.Q ψ+ Эти состояния квадратично интегрируемы, если ( ) > 0cI ϕ′ для всех углов. Они не ортогональны. Это — область Т в плоскости 2R линейных форм W , т.е. 2( , )α β ∈R (рис. 1). На ее границе имеем состоя- ния, где ( ) 0cI ϕ′ ≥ . Они являются дном непрерывного спектра. Сама эта область имеет вид выпуклого много- угольника T , который является выпуклой оболочкой вершин 1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , ),k kα β α β α β− − −… где =1 = æ e k W j j j c ∑ , =j j jW x yα β+ П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков 1044 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10 Дополнение: Граничные задачи. Обсудим теперь самосопряженные граничные задачи, аналогичные од- номерному случаю периодических операторов Шре- дингера, где блоховские функции запрещенных зон приобретают трактовку физических состояний. Согласно методу фон Неймана, можно получить полную классификацию самосопряженных граничных задач. Ряд работ М.Г. Крейна был посвящен этой тео- рии фон Неймана. Нам необходимо проделать это для оператора Паули в магнитном и электрическом полях для двумерного случая. Пусть ( ) = ( ( ), ( ))t x t y tγ — гра- ничный контур. Несложный анализ показывает, что граничные условия делятся на ультралокальные, ло- кальные и общие нелокальные, которые мы не рас- сматриваем. 1. Самосопряженные условия, не перемешивающие компонент ( )± Ультралокальные граничные условия; две вещест- венные функции ( ), ( )t tα β должны быть заданы, где вектор ( ( ), ( )) 0t tα β ≠ . Пусть =n n niAψ ψ∇ ∂ + — кова- риантная производная функции ψ по нормальному направлению к контуру, = / 2n tA Φ− в нашей калиб- ровке. Условие «типа Леонтовича» или «смешанное» имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) = 0.nt t t tα ψ β ψ∇ + Частные случаи — это 0α ≡ (Дирихле) и 0β ≡ (Неймана, или, точнее, его ковариантный аналог). Локальные граничные условия; они имеют вид ( ) = ( )n t A tψ ψ∇ или ( ) = ( ),nt A tψ ψ∇ где A — самосопряженный дифференциальный опе- ратор на границе. Более общий класс мы напишем в виде 1 2( ) = ( ),nA t A tψ ψ∇ где один из дифференциальных операторов 1 2,A A об- ратим и оператор 1 2 1 2( ) =A A A A+ + + самосопряжен. Из локальных, но не ультралокальных граничных условий выделяется условие «типа ∂ » = ( ) ,Q i tψ α ψ+ где ( )e = ( )i t tθ α ρ− вещественно, = zQ Φ+− ∂ + , ( )tθ — угол поворота от единичного вектора x∂ к вектору t∂ (угол Френе). Мы можем записать условия этого типа так: = ( ) , ( ) = ( ) ,n tA t A t i tψ ψ ρ∇ ∂ + где ( )tρ — вещественная. Только ультралокальные условия неизбежно приво- дят к эллиптическим операторам, где все собственные значения конечнократны (для компактных контуров). Условия «типа ∂ » приводят к возможно бесконеч- номерным собственным пространствам только для = 0ε . Все остальные уровни конечнократны так же, как и для ультралокальных граничных условий. Они представляют отдельный интерес. 2. Самосопряженные граничные условия, перемешивающие компоненты ( )± Введем «канонический базис» 1 2 1 2( , , , )ψ ψ ψ ψ+ + − − на границе, где граничная косоэрмитова форма < , > < , >L LΨ Ψ Ψ Ψ−′ ′ имеет вид для 1 = ,nψ ψ+ +∇ 1 = ,nψ ψ− −∇ 2 2= , =ψ ψ ψ ψ+ + − − : 1 2 2 1 1 2 2 1{ } dt γ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ+ + + + − − − −− + −′ ′ ′ ′∫ . Здесь = ( , ), < , > = {( ) ( ) } . D L L L dxdy Ψ ψ ψ Ψ Ψ ψ ψ ψ ψ + − + + + − − −+′ ′ ′∫ ∫ . Ультралокальные условия имеют вид 1 2 1 2( ) ( ) = 0, = ( , ), = ( , ) ,n nt tα Ψ β Ψ Ψ ψ ψ Ψ ψ ψ+ − + −+ ∇ ∇ где 1α β− или 1αβ− — эрмитовы матрицы, то есть од- на из них невырождена и матрица αβ+ эрмитова. Воз- можны еще вырожденные случаи, которые мы не при- водим. Локальные условия напишем в виде 1 1 2 2 1 2= , = ( , ), = ( , ),n nA Aψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ+ − + −∇ ∇ Рис. 1. Область T для = e e ex y x yc − −+ + . β α T 1 ( 1,0)W− = − 3 ( 1,1)W− = − 2 (0, 1)W− = − W x yj j j= +α β Двумерный оператор Паули в магнитном поле Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2011, т. 37, № 9/10 1045 где один из операторов 1 2,A A обратим и 1 2( )A A+ само- сопряжен. Приведем здесь одно специфическое граничное ус- ловие, где ψ+ и ψ− неравноправны. 1. Ультралокальное граничное условие: ( ) = ( ) ,n nb t a tψ ψ ψ+ − +∇ − ∇ 0 = ( )b t ψ ψ+ −+ 2. Локальное условие ∂-типа для сектора ( )+ : ( ) = ( ( )) ,n tb t i a tψ ψ ψ+ − +∇ − ∇ ∂ + 0 = ( )b t ψ ψ+ −+ . Здесь a вещественно в обоих случаях. Матрица αβ+ в ультралокальном случае имеет вид ( )0 0 0 a , т.е. эрмито- ва, так что критерий самосопряженности выполнен. В нашей работе [7] найдены семейства контуров γ , для которых блоховские решения (т.е. 1= , c ψ ψ+ +′ = Qψ β ψ− + + ) удовлетворяют этим самосопряженным граничным условиям. Эти контуры описываются ди- намическими системами на торе, которые обсуждают- ся в работе [7]. П.Г. Гриневич был частично поддержан грантом НШ-5413.2010.1 Совета по грантам Президента Рос- сийской Федерации, и программой Президиума РАН «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики». А.Е. Миронов был частично поддержан грантом НШ-7256.2010.1 Совета по грантам Президента Рос- сийской Федерации и Интреграционным проектом СО РАН (грант 65). 1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц, Теоретическая физика, Нау- ка, Москва (1968), т. 4; В.Б. Берестецкий, Е.М. Лившиц, Л.П. Питаевский Квантовая электродинамика, Наука, Москва (1980). 2. Y. Aharonov and A. Casher, Phys. Rev. A19, 2461 (1979). 3. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, ЖЭТФ, 79, 1006 (1980). 4. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, ДАН СССР 253, 1293 (1980). 5. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функ- ции, Наука, Москва (1965). 6. П.Г. Гриневич, А.Е. Миронов, С.П. Новиков, ТМФ 164, 333 (2010). 7. P.G. Grinevich, A.E. Mironov, and S.P. Novikov, On the Nonrelativistic 2D Purely Magnetic Supersymmetric Pauli Operator, arXiv:1101.5678 (2011). Two-dimensional Pauli operator in magnetic field P.G. Grinevich, A.E. Mironov, and S.P. Novikov The 2D purely magnetic Pauli operator for the non- relativistic particle with spin 1/2 in magnetic field has some remarkable properties discovered in the late 70's: its ground level is highly degenerate; it admits super- symmetry. In the present work we investigate the spe- cial case where magnetic flux through the elementary cell is equal to zero. This case was not covered by the previous works. An interesting connection is revealed here with the theory of solitons, in particular with Burgers-like systems and their 2D analogs. They can be linearized by the elementary transformations and are much simpler than KdV or KP. The Aharonov- Bohm type terms with quantized magnetic flux play special important role in our investigation. PACS: 02.30.Tb Operator theory; 02.30.Ik Integrable systems; 11.30.Pb Supersymmetry; 73.20.–r Electron states at surfaces and in- terfaces. Keywords: two-dimensional system, pure magnetic Pauli operator, ground state, supersymmetry, Burgers hierarchy.

Двумерный оператор Паули в магнитном поле

Репозитарії

Схожі ресурси