К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате

Предпринята попытка аналитически рассмотреть бозе-эйнштейновскую конденсацию (БЭК) рожденных мощной накачкой магнонов в тонких ферримагнитных пленках железо-иттриевого граната как системах конечного размера. При этом учтено такое свойственное этому магнитному материалу обстоятельство, как наличие ми...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Бугрий, A.И., Локтев, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2013
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119293
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате / A.И. Бугрий, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1333–1345. — Бібліогр.: 38 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-119293
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1192932017-06-06T03:03:16Z К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате Бугрий, A.И. Локтев, В.М. Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Предпринята попытка аналитически рассмотреть бозе-эйнштейновскую конденсацию (БЭК) рожденных мощной накачкой магнонов в тонких ферримагнитных пленках железо-иттриевого граната как системах конечного размера. При этом учтено такое свойственное этому магнитному материалу обстоятельство, как наличие минимума в спектре спиновых волн при конечном значении их волнового вектора. Введено понятие о высокотемпературной БЭК и обсуждены ее характерные особенности. Проанализирована роль граничных условий для спиновых переменных и показано, что в случае свободных спинов на границе в системе может формироваться магнонная решетка. Обсуждены факторы, способствующие ее появлению. Зроблено спробу аналітично розглянути бозе-ейнштейнівську конденсацію (БЕК) народжених потужним накачуванням магнонів в тонких феррімагнітних плівках залізо-ітрієвого граната як системах скінченого розміру. При цьому враховано таку властиву цьому магнітному матеріалу обставину, як наявність мінімуму в спектрі спінових хвиль при відмінному від нуля значенні їх хвильового вектора. Введено по- няття про високотемпературну БЕК та обговорено її характерні особливості. Проаналізовано роль граничних умов для спінових змінних і показано, що у випадку вільних спінів на межі в системі може формуватися магнонна гратка. Обговорено фактори, що сприяють її появі. An attempt is made to consider the Bose–Einstein condensation (BEC) of strong pumping-induced magnons in thin ferrimagnetic films of the yttrium-iron garnet. In this case a peculiar feature typical of this magnetic material such as a minimum in the spectrum of spin waves at a finite value of their wave vector is taken info account. The notion of high temperature BEC is introduced and its peculiarities are discussed. The role of boundary conditions for spin variables is analyzed and it is suggested that for free spins at the boundaries a magnon lattice is formed in the system. The factors that are responsible for the lattice formation are considered. 2013 Article К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате / A.И. Бугрий, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1333–1345. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.30.Jp, 75.30.Ds, 75.70.-i http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119293 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная
spellingShingle	Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Бугрий, A.И. Локтев, В.М. К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате Физика низких температур
description	Предпринята попытка аналитически рассмотреть бозе-эйнштейновскую конденсацию (БЭК) рожденных мощной накачкой магнонов в тонких ферримагнитных пленках железо-иттриевого граната как системах конечного размера. При этом учтено такое свойственное этому магнитному материалу обстоятельство, как наличие минимума в спектре спиновых волн при конечном значении их волнового вектора. Введено понятие о высокотемпературной БЭК и обсуждены ее характерные особенности. Проанализирована роль граничных условий для спиновых переменных и показано, что в случае свободных спинов на границе в системе может формироваться магнонная решетка. Обсуждены факторы, способствующие ее появлению.
format	Article
author	Бугрий, A.И. Локтев, В.М.
author_facet	Бугрий, A.И. Локтев, В.М.
author_sort	Бугрий, A.И.
title	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
title_short	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
title_full	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
title_fullStr	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
title_full_unstemmed	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
title_sort	к теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119293
citation_txt	К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате / A.И. Бугрий, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1333–1345. — Бібліогр.: 38 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT bugrijai kteoriiprostranstvennoneodnorodnojbozeéjnštejnovskojkondensaciimagnonovvželezoittrievomgranate AT loktevvm kteoriiprostranstvennoneodnorodnojbozeéjnštejnovskojkondensaciimagnonovvželezoittrievomgranate
first_indexed	2025-07-08T15:29:31Z
last_indexed	2025-07-08T15:29:31Z
_version_	1837093170877300736
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12, c. 1333–1345 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате A.И. Бугрий, В.М. Локтев Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины г. Киев, 03143, Украина E-mail: abugrij@bitp.kiev.ua; vloktev@bitp.kiev.ua Статья поступила в редакцию 12 августа 2013 г. Предпринята попытка аналитически рассмотреть бозе-эйнштейновскую конденсацию (БЭК) рожден- ных мощной накачкой магнонов в тонких ферримагнитных пленках железо-иттриевого граната как сис- темах конечного размера. При этом учтено такое свойственное этому магнитному материалу обстоятель- ство, как наличие минимума в спектре спиновых волн при конечном значении их волнового вектора. Введено понятие о высокотемпературной БЭК и обсуждены ее характерные особенности. Проанализиро- вана роль граничных условий для спиновых переменных и показано, что в случае свободных спинов на границе в системе может формироваться магнонная решетка. Обсуждены факторы, способствующие ее появлению. Зроблено спробу аналітично розглянути бозе-ейнштейнівську конденсацію (БЕК) народжених потуж- ним накачуванням магнонів в тонких феррімагнітних плівках залізо-ітрієвого граната як системах скін- ченого розміру. При цьому враховано таку властиву цьому магнітному матеріалу обставину, як наявність мінімуму в спектрі спінових хвиль при відмінному від нуля значенні їх хвильового вектора. Введено по- няття про високотемпературну БЕК та обговорено її характерні особливості. Проаналізовано роль гранич- них умов для спінових змінних і показано, що у випадку вільних спінів на межі в системі може формува- тися магнонна гратка. Обговорено фактори, що сприяють її появі. PACS: 05.30.Jp Бозонные системы; 75.30.Ds Спиновые волны; 75.70.–i Магнитные свойства тонких пленок, поверхностей и границ разделов. Ключевые слова: бозе-эйнштейновская конденсация, магноны, железо-иттриевый гранат. 1. Введение Бозе-эйнштейновская конденсация (БЭК) — одно из немногих явлений макроскопической физики, которые имеют квантовую природу. Изучению БЭК посвящено множество теоретических и экспериментальных работ, а история длинна и поучительна (см., например, об- зоры [1–4] и цитированную в них литературу). Заме- чательной особенностью БЭК является не столько воз- можность самого ее существования как фазового пре- вращения II рода в бозе-системе, сколько то, что она может иметь место в идеальном бозе-газе, или, что то же самое, в коллективе невзаимодействующих между собой частиц либо квазичастиц. Последние, как извест- но, имеют свою специфику, относятся к возбуждениям над основным состоянием той или иной многочастич- ной системы, а потому характеризуются конечным временем жизни. Следовательно, их БЭК должна про- исходить (и происходит), по существу, в неравновес- ном состоянии, исследованию чего также посвящено немало работ (к примеру, [5–11]). Это, в свою очередь, означает, что если подсистему созданных каким-либо — не термическим — способом квазичастиц, обычно под- чиняющихся статистике Бозе–Эйнштейна (экситонов [12–14], поляритонов [15–17], магнонов [5–11,18–21], фотонов в веществе [22–24]), предоставить самой себе, то в процессе установления равновесия одним из про- межуточных этапов релаксации может быть и форми- © A.И. Бугрий, В.М. Локтев, 2013 A.И. Бугрий, В.М. Локтев рование бозе-конденсата. Он существует и сохраняется определенное время, в течение которого можно гово- рить и о конечном значении химического потенциала µ соответствующих квазичастиц. И если не предпринять специальные усилия для поддержания их количества, то конденсат, как коллектив (квази)частиц с плотно- стью, не отвечающей равновесной, затухнет, и финаль- ным этапом эволюции будет термодинамически равно- весное (можно говорить, основное) состояние системы, в которой число возбуждений определяется лишь тем- пературой T при условии = 0µ . БЭК, или явление накопления бозе-частиц, среднее число N которых сохраняется, что, в частности, для бесщелевого спектра контролируется условием 0µ → , в их нижайшем состоянии, была предсказана Эйнштей- ном много десятилетий назад. Согласно современным представлениям (см. [25], а также [1–4]) соответству- ющая этому явлению конденсация происходит в им- пульсном (или энергетическом) пространстве, и никакой конденсации газа в реальном координатном простран- стве, а следовательно, и появление в нем конденсиро- ванной фазы не происходит. Если сказать точнее, то пространственная структура конденсата отражает лишь координатное распределение плотности вероят- ности нахождения частиц в их основном состоянии. Для наблюдения БЭК в различных системах пред- принимались многие попытки, однако реализовать ее экспериментально в системе частиц удалось лишь срав- нительно недавно [26–28]. Основным препятствием на пути осуществления этого фазового перехода, возни- кающего по достижении химическим потенциалом равенства ( , ) = 0BECT Nµ , явилась, как известно, чрез- вычайно низкая температура BECT начала формирова- ния конденсата, когда формально число частиц 0N в основном состоянии стремится к бесконечности. Такое поведение, конечно, не физично, и обычно полагают, что БЭК отвечает условию ( , ) 0BECT Nµ → ; при этом 0N N→ , а число exc 0=N N N− остальных частиц, или частиц, распределенных по всем возбужденным со- стояниям, относительно мало, exc 0( )N N N  . В ре- зультате, по известной формуле [29] 2 2/3= 3,31 ,BEC B T n k m  (1.1) где  и Bk — постоянные Планка и Больцмана, m — масса частиц, а n — их плотность. Легко убедиться, что для экспериментально исследованных разрежен- ных газов атомов щелочных металлов BECT не превы- шает 6 810 –10− − К. В случае относительно легких час- тиц (или квазичастиц) ситуация, казалось бы, более благоприятна, но и для них (например, бозонов с мас- сой, скажем, электронов) температура конденсации ~1–10 К достижима, как следует из (1.1), с большим трудом, требуя почти предельных концентраций воз- буждений в кристалле (см. [12]). Тем больший и оправданный интерес вызвало со- общение о детектировании методом мандельштам-брил- люэновского рассеяния света процесса образования бозе-кондесата ферромагнонов при практически ком- натных температурах [18], хотя низкотемпературная БЭК газа магнонов сверхтекучего 3Не наблюдалась много раньше [5]. Не отрицая подобной возможности в принципе, все же заметим, что если БЭК действитель- но может иметь место при столь значительных темпе- ратурах, то ее (по аналогии с высокотемпературной сверхпроводимостью) с полным правом также можно назвать высокотемпературной. Но тогда возникает и вопрос о причинах либо условиях, при которых по- добное физическое явление становится реалистичным. А то, что его удалось наблюдать именно для магнонов вполне закономерно. Они, будучи типичными предста- вителями кристаллических элементарных возбужде- ний, выделяются среди прочих, прежде всего, тем, что имеют сравнительно большое время жизни, обуслов- ленное законом сохранения спинового момента. По- этому с точки зрения исследования квазистационарных явлений, в которых принимают участие эти возбуж- дения, либо изучения поведения и измерения их ха- рактеристик работать с магнонами удобнее. Таким же условиям удовлетворяют и спиновые возбуждения в сверхтекучем 3Не (см. [5]). Отметим две очевидные причины, из-за которых тем- пература конденсации (1.1) газов квазичастиц сущест- венно превышает BECT атомарных газов. Во-первых, массы многих квазичастиц значительно меньше атом- ных: как известно, даже заряженные носители — элек- троны и дырки, связывающиеся в нейтральные экси- тоны в полупроводниках, на порядок легче свободных электронов [30,31]. Во-вторых, в газе квазичастиц мож- но достигать плотности 18 2010 –10 см–3, что намного превосходит плотность атомарных газов 3 510 –10 см–3, с которыми имеют дело в соответствующих БЭК опы- тах. Важно, что даже при такой большой плотности концентрация квазичастиц в расчете на ячейку очень мала 5 310 –10− −  , т.е. в первом приближении их взаи- модействием друг с другом можно пренебречь. При этом достаточно быструю спектральную релак- сацию магнонного газа можно отнести к интенсивным (но, что существенно, не изменяющим числа магнонов) обменным процессам, а также относительно более сла- бым взаимодействиям с другими объектами — квази- частицами иной природы (например, фононами) и раз- ного рода дефектами, включая границы образца. Кроме того, спектром магнонов ( )ε q (где q — размерный волновой вектор), в первую очередь его щелью 0ε , до- статочно легко управлять с помощью внешнего маг- нитного поля 0H , что делает исследование закономер- ностей их поведения при больших плотностях еще более информативным. 1334 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов Как показано в работе [21], квазичастицы, щель в спектре которых и температура удовлетворяют нера- венству 0 ,Bk T ε (1.2) обнаруживают особенности перехода от исходно не- равновесного своего распределения к состоянию рав- новесия. В частности, если допускает время жизни, все неравновесные (т.е. тем или иным способом нака- чанные в систему) квазичастицы, не пополняя заселен- ность никаких возбужденных состояний, успевают путем релаксации оказаться в своем нижайшем (но, повторим, являющемся также неравновесным для сис- темы в целом) состоянии, что отмечалось в [21] (см. также [4]). А оно, в свою очередь, и является, согласно определению, конденсатным. В этом смысле БЭК именно этих квазичастиц осуществляется при любой (а не только при предельно низкой, как это обычно имеет место) температуре, и система в целом всегда пребывает в режиме БЭК. Иными словами, высоко- температурная БЭК, или, как отмечалось, накопление всех привнесенных в систему нетермических элемен- тарных возбуждений при необходимом для этого пове- дении химического потенциала, для накачанных маг- нонов действительно имеет место. В этой связи отметим, что при выписанном выше условии, с запасом, выполняющимся для магнонов даже в случае относительно невысоких температур или больших магнитных полей, следует учитывать, что полная концентрация 0n квазичастиц в их нижайшем состоянии (как, собственно, и во всех других) состоит из двух вкладов, а именно: pumpth 0 0 0=n n n+ . Первый из них, th 0n , — это их термически равновесная концентра- ция в этом состоянии, а второй, pump 0n , — ее прирост после спектрального перераспределения магнонов, появившихся вследствие внешней мощной электро- магнитной накачки pumpI . Тогда, как нетрудно прове- рить путем прямого расчета, величина 0n , зависящая, на самом деле, от отношения pump / ( )BI k T [21], оказы- вается, хотя и заметно большей, чем в каждом из дру- гих квантовых состояний, но значительно меньшей, чем во всех возбужденных состояниях вместе взятых, что, как известно, прямо противоположно ситуации, характерной для БЭК в ее классическом проявлении. Тем самым, приходим к выводу, что поскольку при до- статочно высоких температурах неравенство 0 excn n неизбежно остается в силе, отнесение к истинной БЭК наблюдаемого в работах [18,20] процесса «оседания» неравновесных квазичастиц на свой основной уровень следует признать, в известной мере, условным. Более того, и интерпретировать это явление с позиций обра- зования когерентного коллективного состояния также необходимо с некоторой осторожностью, поскольку конденсат в сложившейся ситуации никогда не может быть достаточно интенсивным, а его когерентные свойства требуют специальной проверки. Тем не менее отмеченные специфические черты именно такой — высокотемпературной — БЭК отнюдь не делают ее менее интересным объектом для теоретических и экс- периментальных исследований. В настоящей работе мы ставим своей целью — изу- чение пространственного (координатного) распределе- ния квазичастиц, скапливающихся на нижайшем своем уровне (речь идет о ферромагнонах). Дело в том, что экспериментальные измерения проводились на тонких ферромагнитных пленках железо-иттриевого граната (ЖИГ) со средним размером ~5 мкм×2 мм×2 см [18,20]. Они известны не только своим высоким качеством, обеспечивающим большое время жизни магнонов даже при высоких плотностях, но и тем, что спектр магнонов в этих пленках немонотонен. Его минимум (см. [32]) на- ходится не при минимально возможном значении вол- нового вектора, как это бывает в большинстве магне- тиков, а при некотором его конечном значении 0q , определяющемся диполь-дипольным взаимодействием спинов ионов железа, причем 4 0 3,4\| \| 10·≈q см–1 [20]. Такое обстоятельство прямо задает пространственную гармонику, отвечающую этому нижайшему состоянию, и с неизбежностью приводит к немонотонному распре- делению плотности квазичастиц по образцу. Подчерк- нем, что речь идет о возбужденном состоянии системы, а не о какой-либо неколлинеарной модулированной спиновой структуре основного состояния тех или иных магнетиков, примеры которых известны [33]. В данном случае периодическим оказывается не направление спина в решетке, а именно плотность возбуждений. Это проявляет себя формированием в параметрически накачанных мощными импульсами гигагерцевого диа- пазона пленках ЖИГа полосовых периодических струк- тур — магнонных решеток с периодом 1 0\| \|−q см, которые есть не что иное, как аналог динамических оптических решеток, появляющихся, в частности, как результат самодифракции в экспериментах с когерент- ными световыми пучками [34]. В случае магнонов ситуация иная, процесс дифрак- ции отсутствует, но имеет место высокотемпературная БЭК с образованием стоячей волны, в интенсивность которой, как будет видно, существенный вклад дают и тепловые возбуждения. На образованных таким обра- зом магнонных структурах и рассеиваются пробные фотоны оптического диапазона. Тогда задачей стано- вится не столько сам очевидный и даже достаточно Оно по сути определяет порог наблюдения высокотемпературной БЭК, но не самого явления, а присутствия в системе нака- чанных магнонов. Очевидно, что при малом времени жизни магноны будут успевать затухнуть до того, как интенсивность накачки обеспечит необходимый рост их количества [4]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1335 A.И. Бугрий, В.М. Локтев тривиальный факт соответствия между структурой спектра квазичастиц и отвечающими ему пространст- венными распределениями их плотностей вероятности, сколько нахождение условий, когда полосовая магнон- ная структура действительно может выжить в условиях наложения вкладов от двух коллективов — относи- тельно слабого, но поддерживаемого накачкой, и мощ- ного термического. Кроме того, довольно необычным оказывается то обстоятельство, что одним из критич- ных факторов появления и наблюдения магнонной ре- шетки является вид граничных условий, которым под- чиняются спиновые переменные на границах образца (в реальном эксперименте — тонкой ферримагнитной пленки). 2. Модельный спектр и общие соотношения Положим, что кристаллические пленки ЖИГа, ко- торые исследовались в экспериментах по БЭК магно- нов, могут быть представлены параллелепипедом объ- емом = x y zV L L L   (рис. 1), причем в общем случае не только x y zL L L≠ ≠   , но для достаточно тонких пленок x y zL L L     . Количество узлов ( = , , )jL j x y z вдоль каждого направления связано с соответствующими периодами ja решетки обычными соотношениями: = / 1j j jL L a + . Как известно, в том случае, когда кристалл имеет ферромагнитное спиновое упорядочение (для опреде- ленности примем направление оси z за ось «легкого» намагничивания, которая, тем самым, будет и осью квантования), каждому элементарному возбуждению соответствует один «перевернутый» спин* в узле l [35,36]. Из линейной комбинации таких состояний легко по из- вестным правилам построить собственные состояния многоузельной трансляционно-инвариантной системы в виде спиновых волн с амплитудами ( )ψq l , непо- средственный вид которых зависит от граничных ус- ловий. Для упрощения (см. [36]) обычно используют периодические граничные условия, когда амплитуды 1 2 = , , 2 ( ) = e , = , = 0, 1, ..., 1, iq l jj j j j j j jj x y z k L q k L L − π ψ −∏q l (2.1) т.е. имеют вид плоских волн, в которых безразмерный вектор l нумерует узлы решетки: 1, 2, ...,j jl L= , а без- размерный волновой вектор j j jq q a=  пробегает дис- кретный набор с шагом 2 /j jq L∆ = π в пределах пер- вой зоны Бриллюэна (0 2 )jq≤ < π . Для случая свободных спинов на границе решение краевой задачи с соответствующими граничными ус- ловиями дает несколько другие значения для ампли- туд, а именно** (ср. (2.1)): 1 2 , , ( ) ( ) co 1 2 s ,j j jj j x y z L q q l − = ψ = γ −      ∏q l j j j k q L π = , (2.2) 0, 1, ..., 1, (0) 1, ( 0) 2.j jk L q= − γ = γ ≠ = Они, как легко убедиться (см. Приложение), опреде- ляют собственные функции возникающей задачи о собственных значениях гамильтониана системы и за- дают полный набор стоячих волн. Зона Бриллюэна здесь определена несколько иначе — 0 <jq≤ π , а шаг дискретности = /j jq L∆ π . Каковы бы ни были граничные условия для спинов, они не сильно влияют на спектр ферромагнонов, опре- деляемый, главным образом, сильным обменным взаи- модействием J, которое для простоты считаем изо- тропным. В этом случае кинетическая составляющая спектра может быть представлена выражением, спра- ведливым для случая обоих типов граничных условий: 2 kin = , , ( ) = 4 .sin 2 j j x y z q Jε ∑q (2.3) В длинноволновой области jq π спектр, как следу- ет из (2.3), приобретает обычный «квадратичный» вид: 2 kin ( ) = ,Jε q q (2.4) причем его легко записать через длины jL ребер, пе- риоды ja кристаллической решетки и эффективную массу Mm магнонов, непосредственно связанную с обменным интегралом J. Рис. 1. Схематичное изображение пленки ЖИГа. Стрелкой обозначено направление приложенного к ней магнитного поля 0H . H0 y x z xL zL yL * Строго говоря, при произвольном спине S парамагнитного иона число таких возбуждений (спиновых уровней) на узле мо- жет достигать 2S, но для дальнейших расчетов подобное увеличение несущественно, поскольку мы ограничимся так назы- ваемым «одномагнонным» приближением, т.е. будем предполагать, что на узле присутствует не более одного возбуждения. ** Интересно отметить, что такой вид волновая функция имеет лишь для магнонов, и если рассматривать, например, частицы, движущиеся по решетке с фиксированными для амплитуд условиями на границе, то для этого случая ( ) ~ sin .j j j q lψ ∏q l 1336 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов Выписанное выражение (2.4) не учитывает щель, величина которой в ферромагнетиках может иметь двоякую природу. В отсутствие магнитного поля она определяется магнитной анизотропией и, как правило, невелика. Для щели в случае ЖИГа важнее оказывает- ся внешнее магнитное поле, приложенное вдоль векто- ра намагниченности и обеспечивающее изменяемую в довольно широком интервале величину 0 0= B gHε µ ( Bµ — магнетон Бора, а g — близкий к двум g-фактор иона трехвалентного железа), с учетом которой спектр магнонов приобретает окончательный вид 0 kin( ) = ( ).ε ε + εq q (2.5) Минимальные значения кинетической энергии магно- нов, следующие из выражений (2.4) и (2.5), обеспечи- ваются наименьшими волновыми векторами из разре- шенного для них диапазона. В пленках ЖИГ это, как уже упоминалось, не так, и в направлении намагни- ченности, или в нашем случае оси квантования z, бла- годаря вкладу тех же анизотропных взаимодействий, минимум достигается при некотором конечном значе- нии z-проекции волнового вектора q: 0=zq q . Точное, хотя и громоздкое, выражение для дисперсии магнонов в ЖИГе с учетом ее своеобразного провала известно (см. [32]), однако для задачи о БЭК вполне достаточно ограничиться квадратичным приближением и для ани- зотропной добавки. Тогда можно кинетическую энер- гию магнонов представить выражением [4,20] 2 2 kin 0( ) = ( )( ) .z zJ q q q⊥ ε + η − q q (2.6) При этом безразмерный коэффициент ( )zqη будем в дальнейшем без потери общности считать равным еди- нице. Предполагая идеальность длинноволновых магно- нов (напомним, что их взаимодействие друг с другом 2 1 2( )q q [30], и, тем самым, невелико), приходим к необходимости расчета статистической суммы Z боль- шого канонического ансамбля, которая имеет вид { }[ ( )]/ln = ln 1 e ,TZ µ−ε− −∑ q q (2.7) где ( )ε q — энергия магнона, определенная в (2.5), с волновым числом = ( , , )x y zq q qq , а µ — химический потенциал магнонов. В выражении (2.7) и ниже мы используем систему единиц = = 1Bk , восстанавливая зависимость от фундаментальных величин лишь там, где это будет необходимо. Тогда для среднего числа бозе-частиц (число заполнения) в квантовом состоянии с заданным волновым вектором имеем [ ( ) ]/ 1= . e 1Tn ε −µ − q q (2.8) Как следует из (2.7) и (2.8), область изменения величи- ны µ ограничена минимальным значением энергии. В случае дисперсионного закона (2.5) при условии нали- чия щели приходим к неравенству 0<µ ε , в котором 0 0= ( )ε ε q , причем 0 0= (0,0, )qq , а сама величина 0ε полностью определяется внешним статическим полем. Если же 0µ → ε , число 0 n →∞q в конечном объеме, чего быть не может. Чтобы избежать подобного противоречия, отметим, что химический потенциал как независимая термоди- намическая переменная — удобный параметр в теории, но достаточно формальная величина, если говорить об эксперименте, где о µ, как правило, можно судить лишь косвенно (например, вычисляя его по измерен- ному среднему числу частиц или по другим наблюде- ниям). Нетрудно, однако, убедиться, что при изучении идеального бозе-газа химпотенциал можно полностью исключить из термодинамических формул, заменив его другой независимой переменной, имеющей ясное физи- ческое содержание. Если речь идет о БЭК, то вполне оп- равданной и удобной величиной оказывается число 0n частиц на нижайшем уровне. В самом деле, используя (2.5) и (2.8), введем термодинамическую переменную 0 ( )/0 1= , e 1Tn ε −µ − (2.9) которая дает возможность легко найти не только 1 0 0= ln(1 )T n−µ ε − + , но и все остальные (для 0 )≠q q числа заполнения: sat 0 [ ( ) ]/ sat1 0 00 1= = . 1(1 )e 1T n n n n nn ε −ε− + ++ − q q q q (2.10) В (2.10) использовано обозначение для числа sat ( )/kin 1= , e 1Tn ε − q q (2.11) не зависящего ни от задаваемой внешним магнитным полем щели в спектре магнонов, ни от их химического потенциала и, как видно, определяющего максималь- ную (насыщающую) емкость данного состояния отно- сительно накопления в нем бозе-частиц при данном значении температуры. Замена (2.9) позволяет обойти нефизическую асимптотику 0n →∞ и исследовать наи- более интересную для БЭК ситуацию, когда 0.µ → ε Параметризация искомых величин числом 0n удобна еще и потому, что с ней фактически отождествляется конденсат, или 0=BECN n , а кроме того, имеется воз- можность корректно осуществлять переход к термоди- намическому пределу, когда это необходимо. Принимая условие sat 0n nq , соответствующее ре- жиму конденсации, из (2.10) для всех 0≠q q получаем разложение 2sat sat sat 0 0 1 1 = 1 ... , n n n n n n     + +    − + −           q q q q (2.12) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1337 A.И. Бугрий, В.М. Локтев которое свидетельствует, что величина (2.11) действи- тельно есть максимально возможное (при формальном условии 0 )n →∞ число заполнения данного q-состоя- ния. Ряд (2.12) удобно использовать и при записи дру- гих термодинамических величин. Так, среднее число частиц приобретает вид 0 q 0 exc 0 = = = ,N n n n n N ≠ + +∑ ∑q q q q (2.13) где величина 2sat sat sat sat exc sat 0 0 00 1 1 = 1 ... n n N N n N n n n≠     + + δ    − + − ≈ −           ∑ q q q q q (2.14) при заданной величине 0n определяет суммарную плот- ность магнонов во всех возбужденных состояниях. Из нее в последнем соотношении выделено число sat sat 0 = ,N n ≠ ∑ q q q (2.15) которое задает максимальное, достигаемое при том же (см. выше) условии 0n →∞, количество всех тепловых возбуждений, и коэффициент sat sat sat 0 = ( 1)N n n ≠ δ +∑ q q q q (2.16) при первой по 01/ n поправке, определяющий тепло- вые флуктуации величины (2.15). При этом видно что вне зависимости от конкретного вида (типа (2.6)) дис- персии элементарных возбуждений обе величины satN и satNδ суть монотонно растущие функции температу- ры, поскольку с увеличением T растут и все числа за- полнения satnq . Наконец, комбинируя (2.13), (2.15) и (2.16) в естест- венном предположении 1N  (и, разумеется, 0 1)n  , приходим к уравнению sat 0 sat 0 N N n N n δ + − (2.17) для отыскания плотности бозе-конденсата. В частности, из (2.17) следует, что критическая температура БЭК является решением уравнения sat ( ) =BECN T N и уже зависит как от полной концентрации частиц, так и от конкретного вида спектра. А явное выражение для тем- пературы BECT определяется также размерностью и даже формой образца, включая условия на всех его границах. Аналогичные величины можно ввести для тепловых магнонов, когда = 0µ , таким же образом выделив в ней равновесную заселенность th 0 /0 1= e 1Tn ε − (2.18) и представив, соответственно, th 0th th 0 = , 1 n n n n n+ + q q q (2.19) где nq — то же число заполнения (2.12), что и в выра- жении (2.10). Вспоминая теперь, что в условиях накачки все заселенности можно разбить на две составляющие: th pump=n n n+q q q , с помощью (2.14) и (2.19) находим, что для всех 0≠q q pump ( 1).n n n T µ ≈ +q q q (2.20) Другими словами, в силу условия Tµ , заселенно- сти возбужденных состояний практически не изменя- ются, в то время как плотность накачанных частиц в бозе-конденсате ведет себя совершенно иначе: pump 0 0 0 , ( )B B Tn gH gH µ ≈ µ µ −µ или может быть сколь угодно большой при сближении 0B gHµ → µ . Более того, из последнего выражения сле- дует, что для конденсатного состояния (в отличие от (2.20)), наоборот, имеет место даже «фактор усиле- ния», поскольку 0BT gHµ . В известной мере увели- чение за счет прироста полного числа возбуждений только величины 0n согласуется с описанием БЭК магнонов на основе феноменологического подхода, в котором динамическая макроскопическая намагничен- ность, отождествляемая с конденсатом, целиком обу- словлена накачкой [10] (см. также [4]). В результате приходим к уже упомянутому ранее заключению: магноны, которые рождены в термически заселенной ферросистеме интенсивной электромагнит- ной накачкой, скапливаются преимущественно на своем нижайшем уровне. Следовательно, такая искусственно созданная при любой температуре, удовлетворяющей неравенству 0T ε (1.2), подсистема квазичастиц са- ма по себе формально (если позволяет время жизни) претерпевает БЭК, сосуществуя при этом с мощным тепловым коллективом тождественных ей частиц. Имен- но такая БЭК является по существу высокотемператур- ной, а сопутствующий ей процесс есть не что иное, как превращение магнитного кристалла с аномально воз- бужденной нижайшей модой в магнонный камертон. 3. Пространственное распределение плотности возбуждений Определим одночастичную функцию распределе- ния магнонов следующим образом: 2 ( ) = ( ) ,nρ ψ∑ q q q l l (3.1) где ( )ψq l — амплитуда спиновой волны. В случае пе- риодических граничных условий (2.1) 2\| ( ) \|ψ =q l 1( )x y zL L L −= , и функция распределения (3.1) не зави- сит от l. Для свободных же граничных условий ампли- туда вещественна и выражается в виде «стоячей вол- ны» (2.1). Поэтому, выделив в сумме (3.1) слагаемое с 1338 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов наибольшим значением nq, а именно: при 0=q q , со- гласно (2.6), получим 20 12 0 2 0 2 ( ) = ( ) ( ).cos z x y z n q l n L L L ≠ ρ − + ψ∑ q q q q l l (3.2) При увеличении 0n второе слагаемое в (3.2) достигает предела sat 2 sat 0 (l) = ( ),n ≠ ρ ψ∑ q q q q l так что рано или поздно первое слагаемое в (3.2) ста- нет доминирующим. В результате ( )ρ l приобретет осциллирующий характер с частотой 0q вдоль оси z. Таким образом, на качественном уровне механизм воз- никновения периодической структуры в пространст- венной плотности магнонов оказывается сравнительно простым. Однако точный расчет функции (3.2) доста- точно громоздок, поэтому имеет смысл рассмотреть сначала одномерный случай. Это позволит проследить за тем, как и при каких условиях в накачанной системе магнонов может формироваться решетка при темпера- турах, намного превышающих спектральную щель. 3.1. Одномерный ферромагнетик В случае свободных граничных условий волновая функция и квазиимпульс записываются следующим образом (см. Приложение): 1 12 2( ) = ( )cos ( ), = , = 0, 1, ..., 1.q kl L q q l q k L L − π ψ γ − − (3.3) Распределение (3.1) также легко переписывается, при- обретая вид 2( ) = ( ),q q q l n lρ ψ∑ (3.4) в котором sat 0 sat sat ( )/kin0 1= , = . 1 e 1 q q q q T q n n n n n n ε+ + − (3.5) Рассмотрим сначала «монотонный» закон диспер- сии 2 0( ) =q Jqε ε + . Поскольку квазиимпульс q величи- на дискретная (см. 3.3)), вместо числа заполнения qn введем функцию целочисленного аргумента 1 2 02 2 2 2 1( ) = = , = ln (1 ), = . e 1 q k Jf k n n L T − δ+ω δ + ω π− (3.6) Тогда пространственную плотность магнонов (3.4) для случая (2.10) можно записать в виде суммы: [ ]2 2 1 1 =0 1 1( ) = ( ) ( ) = ( ) (0) ,cos 2k z f k k kz z L L ∞ ρ γ π ρ +ρ∑ (3.7) где переменная = ( 1/ 2) /z l L− изменяется в пределах 0 < < 1z . Через 1( )zρ обозначена сумма 1 = ( ) = ( )cos 2 . k z f k kz ∞ −∞ ρ π∑ (3.8) Заметим, что из определения (3.7) следует, что ( ) = (1 )z zρ ρ − , т.е. плотность магнонов является сим- метричной относительно точки = 1/ 2z функцией. Рассматривая переменную k как комплексную, вы- разим искомую сумму (3.8) через контурный интеграл 2 1 2 1 e( ) = ( ), e 1 ikz ik C dkz f k π π ρ −∫ (3.9) где путь интегрирования 1C изображен на рис. 2. Поскольку, как нетрудно убедиться, функция (3.6) имеет простые полюсы в точках = jk k , где 2 2 2= , = , = 0, 1, ... , 2 4j j j j jk iu u j j u π δ δ ω ± ± + + π (3.10) интеграл (3.9) выражается через сумму вычетов в этих полюсах, в которой можно ограничиться лишь вклада- ми от полюсов, ближайших к вещественной оси в ком- плексной k-плоскости. Проделав необходимые выклад- ки, получим выражение 2 3/2 / 1 2 ch (1 2 )( ) = [e ], = , ch zzz o −π ωπ α − π ρ + α δ α α ωω (3.11) входящее в формулу (3.7) для ( )zρ . Она, однако, со- держит значение 1(0)ρ , которое из (3.11) не следует ввиду большой величины поправок для = 0z . Для рас- чета 1( )zρ в области малых значений z необходимо вместо (3.9) использовать представление 1 1 ( ) = ( )cos 2 ctg = 2 C iz dk f k kz kρ − π π∫ 2 3/2 / 2 2 0 2 ch 2= ( )cos 2 [e ], e 1 z dk f k kz o ∞ −π ω α π α + π + ω α − ∫ (3.12) Рис. 2. 1C , 2C — контуры интегрирования в интегралах (3.9), (3.17). Крестиками обозначены ближайшие к вещест- венной оси комплексной k-плоскости полюсы функций ( )f k (3.6) и ( )F k (3.31). –1 1 2 3 –i–i i k C2C1 + + Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1339 A.И. Бугрий, В.М. Локтев откуда находим: 2 1 12 2 2 2(0) = (e ) = 2(e 1) Li −δ α π π ρ + ωω α − 0 1 2 = ch (e ) ,n Li −δ  π π α α + − ω δ   (3.13) где 1/2 (e )Li −δ — полилогарифм [37]. Найденные зави- симости решают задачу о пространственном распреде- лении магнонов, но в предположении квадратичного спектра оно оказывается гладким не только для случая периодических граничных условий, но и в случае сво- бодных границ. Иная ситуация возникает, если спектр имеет мини- мум в точке 0= 0q q ≠ , что в одномерном случае мо- жет быть без потери общности представлено в виде 2 0 0( ) = ( ) .q J q qε ε + − (3.14) Тогда, с учетом (3.14), выражение (3.4) приобретает форму 2 2 0 =0 1( ) = ( ) ( ) =cos k z f k k k kz L ∞ ρ − γ π∑ 2 latt 0 1= [ ( ) ( )],cosA z k z A z L π + latt 1( ) = 2 ( ),A z zρ 1 1 2 2 0( ) = (0) ( ) (0) ( ) ( ),A z z z f kρ −ρ −ρ −ρ − (3.15) в котором выделено осциллирующее с характерным периодом 1 0 0= / ( )k Lq− π слагаемое, целиком обу- словленное присутствием косинуса в волновой функ- ции (3.3). Функция 1( )zρ в (3.15) определена в (3.8), а функция 2 0 =1 ( ) = ( )cos 2 k z f k k kz ∞ ρ + π∑ (3.16) также может быть представлена контурным интегралом 2 2 02 2 e( ) = ( ), e 1 ikz ik C dkz f k k π π ρ + −∫ (3.17) где контур интегрирования 2C изображен на рис. 2. Непосредственный расчет этого интеграла, как и (3.9), проведем в два приема. Сначала предположим, что введенные выше параметры δ и ω малы, а значе- ние 0k велико, что соответствует ситуации, имеющей место при исследовании ЖИГа. Тогда, воспользовав- шись точным значением интеграла 2 2 e 1= 2sine 1 zd z ∞ πξ πξ −∞ ξ π+∫ и разлагая в ряд функцию 0( )f k k+ в окрестности точки = 1/ 2k , найдем асимптотическое разложение для интеграла (3.17). В первом порядке имеем 2 0 2 2 e( ) Re , 1 e izz f −κ − κ− π   ρ −   −   (3.18) где 0 0= ( 1/ 2)f f k + , 1 0= / 2f fκ и 1 0= ( 1/ 2)f f k′ + . Выражение (3.18) является хорошим приближением в диапазоне 1 1 0 0< < 1k z k− −− , а при меньших значениях z необходимо использовать представление 2 0 1 2 2 ( ) = ( )cos 2 ctg = ( ) ( ), 2 C iz dk f k k kz k I z I zρ − + π π +∫ (3.19) 1 02 2 0 1/2 cos 2( ) = 2Re ( ), e 1 ( ) = ( )cos 2 , ik C dk kzI z f k k I z dk f k k kz π − ∞ π + − + π ∫ ∫ в котором через C− обозначен участок контура 2C , ле- жащий в нижней полуплоскости комплексной пере- менной k. Приближенное выражение для первого из интегралов (3.19) можно получить аналогично (3.18), что дает: 1 0 1 1( ) (2 sin cos ). 24 I z zf z f z− π π − π (3.20) Второй интеграл также можно найти после несложных вычислений. Мы приведем его лишь для точки = 0z : 2 1 0 2 1(0) = arctg (e ) ( 1/ 2) 2 2 I Li k −δ δ π π + − +  ω + ωω δ ω δ  1/20 2 2 2 2 0 1 1 . e 1 k k dk k + δ+ω    + −  δ +ω −  ∫ (3.21) В итоге, из (3.18)–(3.21) видно, что даже при не- большом удалении от краев цепочки между вкладами 2 ( )zρ и 2 (0)ρ имеет место неравенство 2 2(0) ( )zρ ρ , и только в непосредственной близости от границ эти вклады становятся сравнимыми. Тогда для амплитуды (3.15) периодической структуры из (3.11) находим 2 latt 0 2 4 sh ( ) sh (1 )( ) = 2 cth ( ), ( ) = . sh z zA z n z zπ α α − α α − λ λ α αω (3.22) Выражение для неоднородного, но «нерешеточного» распределения ( )A z из (3.15) имеет более громоздкий вид, но после расчета интегралов (3.17) и (3.19) с уче- том (3.20) и (3.21) для него можно получить достаточ- но простую приближенную формулу: 2 2 0 2 1( ) = ( ) . 2 1 A z z O k    π λ −  +ω     (3.23) Из явного вида функций latt ( )A z и ( )A z , входящих в распределение (3.15) плотности магнонов в цепочке, 1340 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов можно найти условия формирования магнонной ре- шетки. Соответствующая периодическая структура возникнет в том случае, когда ее амплитуда latt ( )A z пре- высит величину сравнительно плавного вклада ( ),A z что физически контролируется отношением latt( ) =a z latt= ( ) / ( )A z A z . Для малых значений 0n конденсатной составляющей бозе-частиц, или при выполнении не- равенств 2 0 1nω  , 1α , коэффициент latt ( )a z ≈ 21/ 2e 1z− α≈  , так что осцилляции проявиться не могут, что, собственно, и должно быть. Тем более пе- риодическая структура отсутствует в равновесии, хо- тя заселенность th 0n (см. (2.18)) является наибольшей. Напротив, для случая больших чисел 0n и малой щели в спектре магнонов, когда 1α , величина latt ( )a z ≈ 2 2 0 / [ (1 )] 1n z z≈ ω π −  , и решетка плотности возбуж- дений преобладает над фоном. При этом критической (переходной) плотностью бозе-конденсата, как не- трудно убедиться, является ее значение, при котором latt ( ) 1a z ≈ , или 2 2 2 0 1/ = /n L T J≈ ω π . Следует также отметить, что появление модулированной структуры на относительно гладком фоне распределения плотно- сти накачанных возбуждений происходит по мере уве- личения накачки (т.е. плотности бозе-конденсата) плавно, а не скачкообразно, как это утверждается в работе [9], и не требует предположения о наличии в системе двух конденсатов [25] либо аномально сильно- го затухания квазичастиц (магнонов). 3.2. Трехмерный ферромагнетик Представим отношение kin ( ) / Tε q в безразмерных параметрах 2 2 2 2 2 2kin 0 ( ) = ( ) ,x x y y z zk k k k T ε ω +ω +ω − q (3.24) где 0 = 22282k — ближайшее к 0 /zq L π при = 2zL см целое число, а = , = , = = .z z x y z x y z L L J TL L L π ω ω ω ω ω ω      (3.25) Если при этом выразить константу J через массу маг- нона magm (в ЖИГе она 5 em ), получим, что в облас- ти комнатных температур ( 300 КT  ) 1 82mag= (2 ) 8,53·10 .B z m k T L − −π ω   (3.26) Для количественного описания эффекта осцилляций нужно вычислить сумму в правой части (3.2). Но вме- сто нее проще рассматривать плотность магнонов, ус- редненную по координатам ⊥l , а именно: 2 12 2( ) = ( ) = ( ) ( ) =cosz z z zz L n q q l ⊥ ρ ρ γ −∑ ∑ q l q l 2 2 0 =0 = ( ) ( ) ,cosz z z kz F k k k k z ∞ − γ π∑ (3.27) где 0 1/ 2 ( ) = , = .z z z lF k k n z L ⊥ − − ∑ q q (3.28) Представим ( )zρ аналогично одномерному случаю (3.15): 2 latt 0( ) = ( ) ( ),cosz A z k z A zρ π + (3.29) latt 1 1 1 2 2 0( ) = 2 ( ), ( ) = (0) ( ) (0) ( ) ( ),A z z A z z z F kρ ρ −ρ −ρ −ρ − где 1 = ( ) = ( )cos 2 ,z z kz z F k k z ∞ −∞ ρ π∑ 2 0 =1 ( ) = ( )cos 2 .z z kz z F k k k z ∞ ρ + π∑ (3.30) Как видно из определения (3.28), функция ( )zF k явля- ется суммой «бозе»-слагаемых типа (3.6) =0 =0 1( ) = , e 1 z w k kx y F k ∞ ∞ − ∑ ∑ (3.31) где 2 2 2 2 2 2= ( , , ) = .x y z x x y y z zw w k k k k k kδ +ω +ω +ω (3.32) Поэтому для вычисления 1( )zρ можно воспользоваться преобразованиями (3.9), когда 1 1 0 0< < 1k z k− −− , либо (3.12), когда 1 00 <z k− . В результате получим для 1( )zρ представление в виде ряда 2 1 2 =0 =0 cth (1 2 ) ( ) = , sh z z zk kz x y zz ∞ ∞ α −π ρ α αω ∑ ∑ (3.33) где через jα обозначены функции: 2 2 2 2= ( , ) = ,x x y z y y z z x k k k kπ α α δ +ω +ω ω 2 2 2 2= ( , ) = ,y y x z x x z z y k k k kπ α α δ +ω +ω ω (3.34) 2 2 2 2= ( , ) = .z z x y x x y y z k k k kπ α α δ +ω +ω ω При 1δ и с учетом малости отношений /z xω ω , /z yω ω для (3.33) справедливо приближенное выра- жение: 2 2 / 1 2 cth (1 2 )( ) = ln (1 e ) = sh z y z z yz zz − π ω ωπ α − π ρ − − α α ω ωω 2 2 / 2 cth 2 sh sh (1 )= ln (1 e ), sh z y z z yz z z − π ω ωα α π α ⋅ α − π + − − δ α α ω ωω (3.35) где ( )zλ определено в (3.22), а = (0,0) = /z zα α π δ ω . Отброшенные вклады в (3.35) не превышают величины 2 /e / (2 )z x z x z − π ω ωπ ω ω . Как и ранее, для отыскания Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1341 A.И. Бугрий, В.М. Локтев значения 1(0)ρ воспользуемся преобразованием (3.12). Тогда 1 = (0) = ( ) = ,z kz F k R I ∞ −∞ ρ +∑ (3.36) где R — сумма вычетов в ближайших к вещественной оси полюсах функции ( )zF k 2 2 2 =0 =0 2 1= . (e 1)zk kz zx y R ∞ ∞ α π ω α − ∑ ∑ (3.37) Аналогично (3.35) получим для R приближенное вы- ражение: 2 2 2 1/2 2 cth 1= = , (e 1) zz R α π 1 α α π − δ ωω α − δ (3.38) причем отброшенные члены не превышают величины 2 /e / ( )y z y z − πω ωπ ω ω . Через I в правой части (3.36) обо- значен интеграл 0 = 2 ( ).z zI dk F k ∞ ∫ (3.39) Применим последовательно к суммированиям в (3.31) преобразование (3.7). Тогда, в частности, для суммы по yk получим 2 2 2 =0 [1 ( )]1 1 1 1= , 2e 1 e 1e 1 y y w wyyk yy dk k∞∞ α −∞ + δπ + α− ω −− ∑ ∫ (3.40) где ( )kδ — δ-функция Дирака. Выполняя аналогично (3.40) суммирование по xk , получим для ( )zF k сле- дующее выражение: 1( ) = [1 ( )][1 ( )] 4 e 1 x y z x yw dk dk F k k k ∞ −∞ + δ + δ + −∫ 2 2 2 2 2 2 =0 1 ( ) 1 1 . 2 e 1 e 1 y y x yx ykx y x dk k∞ ∞ α α −∞ + δπ π + + α αω ω− − ∑∫ (3.41) Отметим, что в сумме в правой части (3.41) можно удерживать только член с = 0xk , так как остальные слагаемые «экспоненциально» малы: 2 /e x z− πω ω  . Подставляя (3.41) в (3.39) и выполняя интегрирование, получим для интеграла I следующее выражение: 3/2 3 2 ( ) = (e ) ln (1 e ) 8 8 y x x y z x y z I Li −δ −δπ ω +ωπ − − + ω ω ω ω ω ω 1/22 / 1 2 (e ) ln 1 e 8 4 x z y z Li − πδ ω−δ  π π + − − + ω ω ω   1/2 1/22 2 , 2y z y x z x G G    π π π π + δ + δ    ω ω ω ω ω ω   (3.42) где через ( )G t обозначен интеграл 2 22 2 0 1( ) = . e 1t x dxG t t x ∞ ++ − ∫ (3.43) Асимптотическое разложение ( )G t при 1t  имеет вид 2 4 2 1 (3)( ) = ln ( ), 2 2 4 16 tG t C t O t t π ζ + + − + π π (3.44) где C — постоянная Эйлера, ( )ζ θ — ζ-функция Рима- на. Расчет 2 ( )zρ по сути не отличается от одномерного случая (3.18): нужно только вместо функции ( )f k (3.6) использовать функцию ( )F k (3.41). Тогда при 1 1 0 0< < 1k z k− −− получим 2 0 2 2 e( ) = Re , 1 e izz F −κ − κ− π   ρ −   −  (3.45) где 1 0 0 2= ( )F F k + , 1 1 0 2= ( )F F k′ + , 1 0 = 2 F F κ , а при = 0z 1 2 1 22(0) = ,I I Iρ − + 1/20 0 1 2 2 0 ( ) = ( ), = Re . e 1 k z z z z ikz C dk F k k I dk F k I + π − + − ∫ ∫ (3.46) Подставляя в (3.29) соотношения (3.35), (3.36), (3.38), (3.45) и (3.46), получим выражение для ( )A z . Оно выгля- дит довольно громоздким, хотя и состоит из элемен- тарных функций и однократных интегралов, числен- ный расчет которых не составляет труда. Оказывается, однако, что в области 1 1 0 0< < 1k z k− −− хорошим при- ближением для коэффициентов latt ( )A z , ( )A z является 2 latt 0 2 4( ) = 2 cth ( ),A z n zπ α α − λ ω 2 sat sat 2 0 2( ) = ( ), N A z N z n δ π − + λ ω (3.47) где 0= / ( )z nα π ω , sat 2 3 4= ln (1 ) ln , 2 8 x x y N    ω     Ω ζ + − +ω     π  πω       sat 3 (3)= , 2 y z N πζ δ ω ω 3/2 mag 1 0 22= = , = ( ). 8 2 B x y z z x y z m k T L L L k  π Ω ω +  ω ω ω π    (3.48) Относительная погрешность приближенного выра- жения (3.47) по сравнению с точным (3.29) при 2 2 0 > y xn − −ω ω не превышает 30,5·10− . Как видно из (3.47), амплитуда осцилляций latt ( )A z убывает по мере удаления вдоль координаты z от границ пленки, а фо- 1342 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов новый вклад, напротив, возрастает за счет слагаемых, пропорциональных функции ( )zλ (3.22). График этой функции для некоторых значений 0n показан на рис. 3. Заметим, что выражение (3.47) для latt ( )A z в трех- мерном случае не отличается от одномерного (3.22). Однако фоновый вклад ( )A z значительно превышает таковой для одномерной задачи (3.23), поэтому наблю- дать периодические пространственные осцилляции ( )zρ значительно легче в тонких пленках, причем, чем тонь- ше, тем лучше. В противном случае требуется пре- дельно большая накачка, которая позволила бы дове- сти величину 0n до значений, сравнимых с satN . Имен- но такая зависимость от уровня накачки наблюдалась в работе [38]. 4. Заключение Хотя условия формирования и наблюдение магнонной решетки в магнитных пленках типа ЖИГа достаточно жесткие, особенно при комнатных температурах, мож- но назвать ряд факторов, которые способствуют этому эффекту. Кроме отмечавшегося выше уменьшения тол- щины пленок, это понижение температуры, а также, что менее очевидно, увеличение избирательности из- мерительной аппаратуры, подавляющей частоты вне ре- зонансной области, к которой в данном случае следует отнести частоту 0 0= /ν ε  , равную в ЖИГе ц2 ГГ . В самом деле, предположим, что амплитудно-частотная характеристика приемника характеризуется функцией 2 1 2 1( ) = , 1 ( ) u Q u u− Φ + − q q q (4.1) где Q — добротность, 0= ( ) /u ε εq q . Тогда вместо satN (3.48) будет наблюдаться другая величина obsN sat obs 0 = ( ).N n u ≠ Φ∑ q q q q (4.2) Проведя для нее выкладки, подобные тем, что выпол- нены при вычислении (3.47), можно получить следую- щее приближенное выражение: [0 obs = arctg (1 2 ) arctg (1 2 )N QT ε Ω π+ + − − + π v v 2 4 2 1 1 2 2ln ln (1 / 4) , 2 1 2 2 − + + + + +  − +  v v v v v v (4.3) где 0= /QT εv . Как видно из сравнения (3.48) и (4.3), подавление фона определяется коэффициентом 0 / ( )QTε . Например, при = 20Q численные значения satN и obsN таковы: 16 14 sat obs sat obs7,42·10 , 3,68·10 , / 200.N N N N   Полюсы в комплексной k-плоскости функции (4.1) рас- положены намного дальше от вещественной оси, чем полюсы функции ( )F k (3.28). Поэтому введение функ- ции ( )quΦ практически не влияет на величину коэф- фициента latt ( )A z (3.47). В результате, при 0 obsn N выражение для плотности магнонов приобретает очень простой вид: 2 2 0 02 4( ) = [2 cth ( )]cosz n z k zπ ρ α α − λ π + ω 2 sat 2 obs 0 0 obs2 0 2 ( ) 2 .cos z N N z n q l N n δ π + − + λ + ω  (4.4) На рис. 4 показаны графики пространственной плотно- сти магнонов, рассчитанные согласно выражениям (4.3), (4.4), видно, что амплитуда осцилляций возрастает при увеличении накачки и уменьшении расстояния от края образца вдоль оси z. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 1 2 3 4 z  Рис. 3. Поведение функции ( )zλ при разных значениях 0n . Кривым 2–4 ( > 1j ) соответствует 3 2 0 = 10 j zn − ω , а кривой 1 — 0 =n ∞ . Рис. 4. Осцилляции пространственной плотности магнонов на различных участках пленки: = (0,01, 0,1, 0,5)z в зависимости от величины 14 th 0 0= (0,5, 1,2)·10n n . z = 0,01 z = 0,1 z = 0,5 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1343 A.И. Бугрий, В.М. Локтев Отметим, что эксперименты [20] могут обеспечи- вать наиболее точный способ для определения положе- ния минимума в законе дисперсии. Из последней фор- мулы следует, что при накачках, обеспечивающих значение 0n , как минимум на два порядка меньше, чем satN , в тонкой ферромагнитной пленке можно наблю- дать стоячее пространственное распределение плот- ности накачанных и благодаря релаксации скон- денсировавшихся в нижайшем состоянии магнонов с периодом, пропорциональным 1 0q− . Такая волна прояв- ляется в виде линейчатой (полосовой) структуры плот- ности магнонов по оси, вдоль которой имеется провал в их законе дисперсии ( )ε q . Период структуры со- ставляет величину 0/ qπ  и для случая ЖИГа равен 0,92 мкм,≈ которая не зависит от размеров образца, что и подтверждается измерениями [38]. При этом, как отмечается в той же работе [38], глубина провалов в сформировавшейся стоячей волне пространственно- го распределения конденсата существенно зависит от интенсивности накачки pumpI , хотя можно показать (см. [21]), что контраст магнонной решетки не должен зависеть от отношения pump / ( )BI k T . Что касается на- блюдения в работе [38] краевых дислокаций в этой решетке, то их появление парами отвечает сохранению топологического заряда, однако сам механизм зарож- дения таких топологических дефектов требует отдель- ного рассмотрения, ввиду того, что присутствие в структуре дислокаций повышает ее энергию, а следо- вательно, периодический конденсат с протяженными дефектами — это возбужденный конденсат. Кроме то- го, на магнонных решетках можно рассеивать свет и исследовать другие оптические явления, в которых такая решетка может себя проявить. Мы признательны С.Г. Одулову за обсуждение во- проса об оптических решетках. Работа выполнена в рам- ках Целевой программы фундаментальных исследова- ний Отделения физики и астрономии НАН Украины. Приложение Как известно, проекции оператора спина = ( , , )x y zS S SS удовлетворяют перестановочным соотношениям [35]: , = 2 , , = , = .z z x yS S S S S S S S iS+ − ± + ±    ± ±    (П.1) Обозначим через Sχ нормированный на единицу собственный вектор оператора zS с максимальным собственным значением S, так что 1= , = 0, = 2 , ( , ) = 1.z S S S S S S SS S S S S+ − −χ χ χ χ χ χ χ (П.2) Вектор 1S−χ в (П.2) также собственный для опера- тора zS и для него из (П.1) следуют очевидные соот- ношения: 1 1 1 1 1= ( 1) , ( , ) = 1, ( , ) = 0.z S S S S S SS S− − − − −χ − χ χ χ χ χ Назовем 0 основным (вакуумным) состоянием це- почки из L спинов, ориентированных вдоль направле- ния z и имеющих максимальное значение z-проекции, а l — ее одночастичное возбужденное состояние, когда z-проекция спина, расположенного в узле l, на единицу меньше: . 1 1 =1 =1 = 1 0 = ( ), = ( ) ( ) ( ), L l L S S S S j j j l j l j l j − − + χ χ χ χ∏ ∏ ∏ (П.3) ,0 \| 0 = 1, 0 = 0, = .l ll l l ′′〈 〉 δ Если в спиновой цепочке взаимодействуют только ближайшие соседи, то ее простейший гамильтониан может быть представлен в виде = JH , где 1 1 2 1 1 2 =1 = ( ), , = 0. L l l l l l H S S − − −  −  ∑ S S S S (П.4) С помощью (П.1) легко установить, что 0 = 0H ; для всех l, удовлетворяющих условию 1 < <l L , = 2 1 1 ,H l l l l− + − − а на состояния, соответствующие крайним узлам, этот гамильтониан действует иначе: 1 = 1 2 , = 1 .H H L L L− − − (П.5) Введем линейную комбинацию одночастичных со- стояний =1 = ( ) L q l q l lψ∑ и подействуем на нее оператором H с учетом (П.5): =1 = 2 ( ) ( 1) ( 1) , L q q q l H q l l l l ψ −ψ − −ψ + ∑ (П.6) причем волновые функции (амплитуды) удовлетворя- ют свободным граничным условиям: (0) = (1), ( 1) = ( ).q q q qL Lψ ψ ψ + ψ (П.7) Из (П.6) видно, что бра-вектор q будет собственным одномагнонным состоянием спинового гамильтониана: 2\| = 4sin ( / 2) \| ,H q q q〉 〉 если амплитуда ( )q lψ имеет вид 1 12 2( ) = ( )cos ( ), = , = 0, 1, ..., 1,q kl L q q l q k L L − π ψ γ − − а коэффициент ее нормировки определяется из условия ,\| = q qq q ′′〈 〉 δ , откуда находим 2 1 12 ,02 2 =1 1( ) = ( ) = (1 ).cos L q l q q l L −γ − + δ∑ Заметим, наконец, что для обычно используемых циклических условий к гамильтониану (П.4) добавля- ется слагаемое 1 2 1( )LS S− −S S , что обусловливает из- менение граничных условий (П.7) на периодические (все узлы эквивалентны): (0) = ( ), ( 1) = (1),q q q qL Lψ ψ ψ + ψ 1344 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов В результате чего волновая функция приобретает простой экспоненциальный вид: 1 2 2( ) = ( )e , = , = 0, 1, ..., 1.iql q kl L q q k L L − π ψ γ − 1. S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 80, 1215 (2008). 2. T. Giamarchi, C. Ruegg, and O. Chernyshov, Nature Phys. 4, 198 (2008). 3. Ю.М. Буньков, УФН 180, 884 (2010). 4. Yu.M. Bunkov and G.E. Volovik, ArXiv: 1003. 4889 (2012). 5. A.S. Borovik-Romanov, Yu.M. Bunkov, V.V. Dmitriev, Yu.M. Mukharskiy, and D.A. Sergatskov, Phys. Rev. Lett. 62, 1631 (1989). 6. Yu.D. Kalafati and V.L. Safonov, Sov. Phys. JETP 68, 1162 (1989). 7. М.И. Каганов, Н.Б. Пустыльник, Т.И. Шалаева, УФН 167, 197 (1997). 8. G.A. Melkov, V.L. Safonov, A.Yu. Taranenko, and S.V. Sholom, J. Magn. Magn. Mater. 132, 180 (1994). 9. S.M. Rezende, Phys. Rev. B 80, 092409 (2009). 10. B.A. Malomed, O. Dzyapko, V.E. Demidov, and S.O. De- mokritov, Phys. Rev. B 81, 024418 (2010). 11. Ю.М. Буньков, Е.М. Алакшин, Р.Р. Газизулин, А.В. Клоч- ков, В.В. Кузьмин, Т.Р. Сафин, М.С. Тагиров. Письма в ЖЭТФ 94, 68 (2011). 12. S.A. Moskalenko and D.W. Snoke, Bose-Einstein Conden- sation of Excitons and Biexcitons, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2000). 13. L.V. Butov, A.L. Ivanov, A. Imamoglu, P.W. Littlewood, A.A. Shashkin, V.T. Dolgopolov, K.L. Campman, and A.C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 86, 5608 (2001). 14. В.Б. Тимофеев, УФН 175, 315 (2006). 15. Yu.E. Lozovik, A.G. Semenov, and M. Willander, Pisma ZhETF 84, 176 (2006). 16. J. Kasprzak, M. Richard, S. Kundermann, A. Baas, P. Jeambrun, J.M.J. Kelling, F.M. Marchetti, M.H. Szymaska, R. Andre, J.L. Staehli, V. Savona, P.V. Littlewood, B. Deveaud, and L.S. Dang, Nature 443, 409 (2006). 17. R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, and K. West, Science 316, 1007 (2007). 18. S.O. Demokritov, V.E. Demidov, O. Dzyapko, G.A. Melkov, A.A. Serga, B. Hillebrands, and A.N. Slavin, Nature 443, 430 (2006). 19. A.И. Бугрий, В.M. Локтев, ФНТ 33, 51 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 39 (2007)]. 20. V.E. Demidov, O. Dzyapko, M. Buchmeier, T. Stockhoff, G. Schmitz, G.A. Melkov, and S.O. Demokritov, Phys. Rev. Lett. 101, 257201 (2008). 21. A.И. Бугрий, В.M. Локтев, ФНТ 34, 1259 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 992 (2008)]. 22. J. Klaers, J. Schmitt, F. Vewinger, and M. Weitz, Nature (London) 468, 545 (2010). 23. J. Klaers, J. Schmitt, T. Damm, D. Dung, F. Vewinger, and M. Weitz, Proc. SPIE 8600, 86000L (2013). 24. A. Kruchkov and Yu. Slyusarenko, Phys. Rev. A 88, 013615 (2013). 25. F. Li, W.M. Saslow, and V.L. Pokrovsky, Sci. Rep. 3, 1372 (2013). 26. M.H. Anderson, J.N. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995). 27. C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett, and R.G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995). 28. K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995). 29. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Statistical Physics, Oxford, Pergamon Press (1980), P. 1. 30. C. Kittel, Quantum Theory of Solids, John Wiley & Sons, Inc., N.Y. (1963). 31. N.B. Brandt and V.A. Kul'bachinskii, Quasiparticles in Condensed Matter, Fizmatlit, Moscow (2005). 32. B.A. Kalinikos and A.N. Slavin, J. Phys. C 19, 7013 (1986). 33. Yu.A. Izyumov and R.P. Ozerov, Magnetic Neutronography, Plenum Press, London (1970). 34. V.L. Vinetskii, N.V. Kukhtarev, S.G. Odulov, and M.S. Sos- kin, Sov. Phys. Usp. 22, 742 (1979). 35. A.I. Akhiezer, V.G. Bar'yakhtar, and S.V. Peletminskii, Spin Waves, North Holland, Amsterdam (1968). 36. А.С. Давыдов, Теория твердого тела, Наука, Mосква (1976). 37. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегра- лы и ряды, Физматлит, Mосква (2003). 38. P. Nowik-Boltyk, O. Dzyapko, V.E. Demidov, N.G. Berloff, and O. Demokritov, Nature Sci. Rep. 2, 482 (2012). To the theory of spatial inhomogeneous Bose–Einstein condensation of magnons in yttrium-iron garnet A.I. Bugrij and V.M. Loktev An attempt is made to consider the Bose–Einstein condensation (BEC) of strong pumping-induced mag- nons in thin ferrimagnetic films of the yttrium-iron garnet. In this case a peculiar feature typical of this magnetic material such as a minimum in the spectrum of spin waves at a finite value of their wave vector is taken info account. The notion of high temperature BEC is introduced and its peculiarities are discussed. The role of boundary conditions for spin variables is analyzed and it is suggested that for free spins at the boundaries a magnon lattice is formed in the system. The factors that are responsible for the lattice for- mation are considered. PACS: 05.30.Jp Boson systems; 75.30.Ds Spin waves; 75.70.–i Magnetic properties of thin films, surfaces, and interfaces. Keywords: Bose–Einstein condensation, magnons, yt- trium-iron garnet. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1345

К теории пространственно неоднородной бозе-эйнштейновской конденсации магнонов в железо-иттриевом гранате

Institution

Ähnliche Einträge