Топология и физика твердого тела (Обзор)

Обсужден топологический аспект динамики электронов в кристалле (зонных электронов) и колебаний кристаллической решетки (фононов). Основные особенности динамики электронов проводимости в металлах связаны с формой их поверхности Ферми, которая отличается от поверхности для свободных электронов. Про...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автор:	Косевич, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2004
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Обзоp
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119311
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Топология и физика твердого тела (Обзор) / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 2. — С. 135-162. — Бібліогр.: 60 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-119311
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1193112017-06-07T03:02:48Z Топология и физика твердого тела (Обзор) Косевич, А.М. Обзоp Обсужден топологический аспект динамики электронов в кристалле (зонных электронов) и колебаний кристаллической решетки (фононов). Основные особенности динамики электронов проводимости в металлах связаны с формой их поверхности Ферми, которая отличается от поверхности для свободных электронов. Продемонстрировано, что поведение зонных электронов под влиянием внешних электрических и магнитных полей сильно зависит от топологии поверхности Ферми. Приведены и обсуждены различные примеры такой зависимости (вычисление периодов квантовых осцилляций, магнитный пробой, особенности магнитосопротивления, блоховские осцилляции). Особенности динамики фононов проявляются в сингулярностях плотности колебательных состояний (сингулярности ван Хова), непосредственно связанных с изменением топологии изочастотных поверхностей. Обращено внимание на наличие топологического инварианта, изменяющегося скачком при изменении топологии изочастотной поверхности. Объяснено происхождение так называемого фазового перехода «двух с половинного рода». Обговорено топологічний аспект динаміки eлектронів у кристалі (зонних eлектронів) та коливань кристалічної гратки (фононів). Основні особливості динаміки eлектронів провідності в металах пов’язанi з формою їх поверхні Фермі, яка відрізняється від поверхні для вільних eлектронів. Продемонстровано, що поведінка зонних eлектронів під впливом зовнішніх eлектричних та магнітних полів сильно залежить від топології поверхні Фермі. Приведено та обговорено різні приклади такої залежності (обчислення періодів квантових осциляцій, магнітний пробій, особливості магнітоопору, блохівські осциляції). Особливості динаміки фононів виявляються у сингулярностях густини коливальних станів (сингулярності ван Хова), безпосередньо пов’язаних зі зміною топології ізочастотних поверхонь. Звернено увагу на наявність тополог ічного інваріанта, що змінюється стрибком при зміні топології ізочастотної поверхні. Пояснено походження так званого фазового переходу «двох з половинного роду». The topological aspect of the dynamics of electrons in crystals (band electrons) and vibrations of a crystal lattice (phonons) is discussed. The main peculiarities of such electrons are connected with the form of their isoenergetic surfaces which differ from those for free electrons. It is shown that in response to external electric and magnetic fields the behavior of the band electrons in metals at low temperatures depends strongly on the Fermi surface topology (the isoenergetic surfaces for the Fermi energy). Various examples of such a dependence are described. The peculiarities of the phonon dynamics create singularities of the vibration density of states (van Hove singularities), which are connected with the topology of isoenergetic surfaces. The nature of what is known as «the second and a half»-kind phase transition is explained. 2004 Article Топология и физика твердого тела (Обзор) / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 2. — С. 135-162. — Бібліогр.: 60 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.–a, 45.05.+x http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119311 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Обзоp Обзоp
spellingShingle	Обзоp Обзоp Косевич, А.М. Топология и физика твердого тела (Обзор) Физика низких температур
description	Обсужден топологический аспект динамики электронов в кристалле (зонных электронов) и колебаний кристаллической решетки (фононов). Основные особенности динамики электронов проводимости в металлах связаны с формой их поверхности Ферми, которая отличается от поверхности для свободных электронов. Продемонстрировано, что поведение зонных электронов под влиянием внешних электрических и магнитных полей сильно зависит от топологии поверхности Ферми. Приведены и обсуждены различные примеры такой зависимости (вычисление периодов квантовых осцилляций, магнитный пробой, особенности магнитосопротивления, блоховские осцилляции). Особенности динамики фононов проявляются в сингулярностях плотности колебательных состояний (сингулярности ван Хова), непосредственно связанных с изменением топологии изочастотных поверхностей. Обращено внимание на наличие топологического инварианта, изменяющегося скачком при изменении топологии изочастотной поверхности. Объяснено происхождение так называемого фазового перехода «двух с половинного рода».
format	Article
author	Косевич, А.М.
author_facet	Косевич, А.М.
author_sort	Косевич, А.М.
title	Топология и физика твердого тела (Обзор)
title_short	Топология и физика твердого тела (Обзор)
title_full	Топология и физика твердого тела (Обзор)
title_fullStr	Топология и физика твердого тела (Обзор)
title_full_unstemmed	Топология и физика твердого тела (Обзор)
title_sort	топология и физика твердого тела (обзор)
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Обзоp
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119311
citation_txt	Топология и физика твердого тела (Обзор) / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 2. — С. 135-162. — Бібліогр.: 60 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kosevičam topologiâifizikatverdogotelaobzor
first_indexed	2025-07-08T15:31:13Z
last_indexed	2025-07-08T15:31:13Z
_version_	1837093276221440000
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2, ñ. 135–162 Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà* (Îáçîð) À.Ì. Êîñåâè÷ Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà E-mail: kosevich@ilt.kharkov.ua Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 7 èþëÿ 2003 ã. Îáñóæäåí òîïîëîãè÷åñêèé àñïåêò äèíàìèêè ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå (çîííûõ ýëåêòðîíîâ) è êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (ôîíîíîâ). Îñíîâíûå îñîáåííîñòè äèíàìèêè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëàõ ñâÿçàíû ñ ôîðìîé èõ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ïî- âåðõíîñòè äëÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, ÷òî ïîâåäåíèå çîííûõ ýëåêòðîíîâ ïîä âëèÿíèåì âíåøíèõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé ñèëüíî çàâèñèò îò òîïîëîãèè ïîâåðõ- íîñòè Ôåðìè. Ïðèâåäåíû è îáñóæäåíû ðàçëè÷íûå ïðèìåðû òàêîé çàâèñèìîñòè (âû÷èñëåíèå ïåðèîäîâ êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé, ìàãíèòíûé ïðîáîé, îñîáåííîñòè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ, áëî- õîâñêèå îñöèëëÿöèè). Îñîáåííîñòè äèíàìèêè ôîíîíîâ ïðîÿâëÿþòñÿ â ñèíãóëÿðíîñòÿõ ïëîòíî- ñòè êîëåáàòåëüíûõ ñîñòîÿíèé (ñèíãóëÿðíîñòè âàí Õîâà), íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûõ ñ èçìåíå- íèåì òîïîëîãèè èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé. Îáðàùåíî âíèìàíèå íà íàëè÷èå òîïîëîãè÷åñêîãî èíâàðèàíòà, èçìåíÿþùåãîñÿ ñêà÷êîì ïðè èçìåíåíèè òîïîëîãèè èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè. Îáúÿñíåíî ïðîèñõîæäåíèå òàê íàçûâàåìîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà «äâóõ ñ ïîëîâèííîãî ðîäà». Îáãîâîðåíî òîïîëîã³÷íèé àñïåêò äèíàì³êè eëåêòðîí³â ó êðèñòàë³ (çîííèõ eëåêòðîí³â) òà êî- ëèâàíü êðèñòàë³÷íî¿ ãðàòêè (ôîíîí³â). Îñíîâí³ îñîáëèâîñò³ äèíàì³êè eëåêòðîí³â ïðîâ³äíîñò³ â ìåòàëàõ ïîâ’ÿçàíi ç ôîðìîþ ¿õ ïîâåðõí³ Ôåðì³, ÿêà â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ïîâåðõí³ äëÿ â³ëüíèõ eëåêòðîí³â. Ïðîäåìîíñòðîâàíî, ùî ïîâåä³íêà çîííèõ eëåêòðîí³â ï³ä âïëèâîì çîâí³øí³õ eëåê- òðè÷íèõ òà ìàãí³òíèõ ïîë³â ñèëüíî çàëåæèòü â³ä òîïîëîã³¿ ïîâåðõí³ Ôåðì³. Ïðèâåäåíî òà îáãî- âîðåíî ð³çí³ ïðèêëàäè òàêî¿ çàëåæíîñò³ (îá÷èñëåííÿ ïåð³îä³â êâàíòîâèõ îñöèëÿö³é, ìàãí³òíèé ïðîá³é, îñîáëèâîñò³ ìàãí³òîîïîðó, áëîõ³âñüê³ îñöèëÿö³¿). Îñîáëèâîñò³ äèíàì³êè ôîíîí³â âèÿâ- ëÿþòüñÿ ó ñèíãóëÿðíîñòÿõ ãóñòèíè êîëèâàëüíèõ ñòàí³â (ñèíãóëÿðíîñò³ âàí Õîâà), áåçïîñåðåä- íüî ïîâ’ÿçàíèõ ç³ çì³íîþ òîïîëîã³¿ ³çî÷àñòîòíèõ ïîâåðõîíü. Çâåðíåíî óâàãó íà íàÿâí³ñòü òîïî- ëîã³÷íîãî ³íâàð³àíòà, ùî çì³íþºòüñÿ ñòðèáêîì ïðè çì³í³ òîïîëîã³¿ ³çî÷àñòîòíî¿ ïîâåðõí³. Ïîÿñíåíî ïîõîäæåííÿ òàê çâàíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäó «äâîõ ç ïîëîâèííîãî ðîäó». PACS: 05.45.–a, 45.05.+x Ñîäåðæàíèå 1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2. Ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëàõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.1. Äèíàìèêà ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè è ïîâåðõíîñòü Ôåðìè . 137 2.2. Ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â êðèñòàëëå . . . . . . . . 139 2.3. Êâàíòîâûå ìàãíèòíûå îñöèëëÿöèè è ôîðìà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2.4. Ìàãíèòíûé ïðîáîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 © À.Ì. Êîñåâè÷, 2004 * Íà îñíîâå ëåêöèé, ïðî÷èòàííûõ àâòîðîì íà ìåæäóíàðîäíîì ñîâåùàíèè Topology in Condensed Matter Physics, Dresden, MPIPKS (13 ìàÿ–31 èþëÿ 2002). 2.5. Çîííûå ýëåêòðîíû â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå è áëîõîâñêèå îñöèë- ëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.6. Òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè è íèçêîòåìïåðàòóðíîå ìàãíè- òîñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.7. Ôàçà Áýððè è òîïîëîãèÿ òðàåêòîðèé â ìàãíèòíîì ïîëå . . . 150 3. Òîïîëîãèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â äèíàìèêå è òåðìî- äèíàìèêå êâàçè÷àñòèö â êðèñòàëëàõ . . . . . . . . . . . . . 153 3.1. Ãåîìåòðèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ (èçî÷àñòîòíûõ) ïîâåðõíîñòåé è àñèìòîòèêè ðàññåÿííûõ âîëí. . . . . . . . . . . . . . . 153 3.2. Ïëîòíîñòü êîëåáàòåëüíûõ ñîñòîÿíèé â êðèñòàëëå è ñèíãóëÿð- íîñòè âàí Õîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.3. Ýëåêòðîííûé ôàçîâûé ïåðåõîä 2 1 2 ðîäà . . . . . . . . . 159 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 1. Ââåäåíèå Êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå èçó÷àåìûõ ïðîöåññîâ è íàáëþäàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íåâîçìîæíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. ×åì ñëîæ- íåå ïðèðîäà òàêèõ ÿâëåíèé, òåì áîëåå ìîùíûå ìàòå- ìàòè÷åñêèå ìåòîäû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ èõ îïèñàíèÿ. Óãëóáëåíèå â äåòàëèçàöèþ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ âûíóæäàåò ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ ïðèìåíÿòü âñe áî- ëåå èçîùðåííûå ìåòîäû ðàñ÷åòîâ. Íî åñòü ðàçäåëû ìàòåìàòèêè, ïîìîãàþùèå ïî- íÿòü íå äåòàëè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (÷òî îñî- áåííî âàæíî ïðè îáñóæäåíèè êîíêðåòíûõ ýêñïå- ðèìåíòàëüíûõ äàííûõ), à íåêîòîðûå îáùèå çàêîíîìåðíîñòè, îáúåäèíÿþùèå ôèçè÷åñêèå çàâèñè- ìîñòè, ïîëó÷àåìûå â áîëüøîì ÷èñëå ðàçíîîáðàçíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Õîðîøî èçâåñòíûì â ôèçèêå òâåð- äîãî òåëà ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü òåîðèÿ ñèììåò- ðèè è òåîðèÿ ãðóïï. Îíè ïîçâîëÿþò ïðîâåñòè äî- âîëüíî îáùóþ ñèñòåìàòèçàöèþ îæèäàåìûõ è íàáëþäàåìûõ ýôôåêòîâ, íå âíèêàÿ â êîíêðåòíóþ çàïèñü ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé, à çíàÿ ëèøü ñèììåòðèþ êðèñòàëëè÷åñêèõ òåë è íàáîð ìàòåìàòè- ÷åñêèõ ñèìâîëîâ (âåêòîðû, òåíçîðû è ò.ï.), èñïîëü- çóåìûõ äëÿ îïèñàíèÿ îáñóæäàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâ- ëåíèé. Ïðèìåðîì îáùåãî òèïà óòâåðæäåíèé, îñíîâàí- íûõ òîëüêî íà ñèììåòðèéíûõ ñâîéñòâàõ, ìîæåò ñëó- æèòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå â äèíàìèêå ëþáîé ïå- ðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðû: ÷àñòîòà êîëåáàíèé ëþáîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû (èëè ýíåðãèÿ ëþáûõ ýëåìåí- òàðíûõ âîçáóæäåíèé) â òàêîé ñèñòåìå ÿâëÿåòñÿ ïå- ðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âîëíîâîãî (èëè — êâàçè- âîëíîâîãî) âåêòîðà ñ ïåðèîäîì, îïðåäåëÿåìûì ñòðóêòóðîé îáðàòíîé ðåøåòêè è ïî ïîðÿäêó âåëè÷è- íû ðàâíûì 2( )�/a , ãäå a — ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðè- îä èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Èíîãî òèïà îáùóþ ñèñòåìàòèçàöèþ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé â êðèñòàëëè÷åñêèõ òåëàõ ïîçâîëÿåò ïðîèç- âåñòè äðóãîé ðàçäåë ìàòåìàòèêè — òîïîëîãèÿ. Õîòÿ òîïîëîãèÿ — íàóêà áîëåå ìîëîäàÿ, ÷åì ôèçèêà, åå ìåòîäû è èäåè ïðîíèêëè âî ìíîãèå ðàçäåëû òåîðåòè- ÷åñêîé ôèçèêè è ïîçâîëèëè ñôîðìóëèðîâàòü äî- âîëüíî âàæíûå ôèçè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè îáùåãî õàðàêòåðà. Îñîáåííî öåííûìè ïðåäñòàâëÿþòñÿ òî- ïîëîãè÷åñêèå âûâîäû òîãäà, êîãäà óðàâíåíèÿ ôèçè- ÷åñêèõ ïîëåé èìåþò ñëîæíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó è íå äîïóñêàþò ïðîñòûõ îáùèõ ðåøåíèé. Îïèñàíèÿ òîãî, êàê òîïîëîãè÷åñêèå çàêëþ÷åíèÿ èñ- ïîëüçóþòñÿ â òåîðèè ïîëÿ, òåîðèè ôàçîâûõ ïåðåõî- äîâ, òåîðèè ñâåðõòåêó÷èõ ôàç 3He, íåëèíåéíîé äè- íàìèêå è ò.ï. ìîæíî íàéòè â êíèãàõ [1,2]. Îäíàêî êîãäà ðå÷ü èäåò î ôèçèêå êîíäåíñèðîâàííîãî ñî- ñòîÿíèÿ, òî îáñóæäàþòñÿ ôàêòè÷åñêè òîëüêî äâà àñ- ïåêòà: âî-ïåðâûõ, òîïîëîãèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â ñèñòåìàõ, ïîäâåðæåííûõ ôàçîâûì ïðåâðàùåíèÿì, è, âî-âòîðûõ, êëàññèôèêàöèÿ âîçìîæíûõ ôîðì òà- êèõ íåëèíåéíûõ îáúåêòîâ, êàê ñîëèòîíû, âèõðè, äèñëîêàöèè, äèñêëèíàöèè, ìîíîïîëè è ò.ä. Ìû õîòèì ïðèâëå÷ü âíèìàíèå ê äðóãîé òî÷êå çðåíèÿ íà ïðîáëåìó, îòðàæàþùóþ èñõîäíîå ïîíè- ìàíèå òîïîëîãèè. Ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ (ñ òî÷êè çðåíèÿ èñïîëüçîâàíèÿ òîïîëîãèè â îáñóæäàåìûõ íèæå ïðîáëåìàõ), òîïîëîãèÿ îòíîñèòñÿ ê ãåîìåòðèè êðèâûõ ëèíèé (òðàåêòîðèé) è ïîâåðõíîñòåé. Êàê æå ìîæíî ñèñòåìàòèçèðîâàòü ýòè îáúåêòû? Êðèâàÿ ëè- íèÿ â 2D è 3D ïðîñòðàíñòâàõ ìîæåò áûòü ëèáî çàìê- íóòîé, ëèáî íåçàìêíóòîé; íà çàìêíóòîé êðèâîé ëèáî ìîãóò áûòü óçëû, ëèáî èõ íåò. Åñëè ïåðå÷èñëåííûå êðèâûå ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè ÷àñ- òèöû, òî êâàíòîâûå åå ñâîéñòâà áóäóò ðàçëè÷íûìè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ê êàêîìó êëàññó ýòèõ êðèâûõ ïðèíàäëåæèò òðàåêòîðèÿ. Ïîâåðõíîñòè (2D ìíîãî- îáðàçèÿ â 3D ïðîñòðàíñòâå) ìîãóò ñîäåðæàòü äûðû (ðàçðûâû ñïëîøíîñòè), à ìîãóò áûòü ñïëîøíûìè; ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü çàìêíóòûìè (òèïà ñôåðû), à ìîãóò áûòü îòêðûòûìè (òèïà îäíîïîëîñòíîãî ãè- ïåðáîëîèäà); ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü ñàìîïåðåñå- êàþùèìèñÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè â ôèçèêå òâåðäîãî òeëà âûñòóïàþò èçî÷àñòîòíûå èëè èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè â k-ïðîñòðàíñòâå; íàèáîëåå ÷àñòî â ýëåêòðîííîé òåîðèè ìåòàëëîâ âñïîìèíàþòñÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Îêàçûâàåòñÿ, 136 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ ÷òî èçìåíåíèå òîïîëîãèè èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè (ïðåâðàùåíèå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè â îòêðûòóþ) ïðè íåêîòîðîé ÷àñòîòå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ îñî- áåííîñòåé ïëîòíîñòè êîëåáàòåëüíûõ ñîñòîÿíèé ïðè ýòîé ÷àñòîòå — îñîáåííîñòåé âàí Õîâà. Ìåòàëëû ñ ïîâåðõíîñòÿìè Ôåðìè ðàçíîé òîïîëîãèè îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè àñèìïòîòèêàìè èõ íèçêîòåìïåðàòóð- íîãî ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Ñóùåñòâåííûå óñïåõè â âûÿñíåíèè ðîëè òîïîëî- ãè÷åñêèõ ñâîéñòâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â ôèçèêå êðèñòàëëîâ áûëè äîñòèãíóòû áëàãîäàðÿ ðàáîòàì È.Ì. Ëèôøèöà è åãî íàó÷íîé øêîëû (åãî ó÷åíèêîâ è ïîñëåäîâàòåëåé). Èìåííî ýòè ðàáîòû ëåãëè â îñíîâó òîãî ðàçäåëà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, î êîòîðîì èäåò ðå÷ü â îáçîðå. Ïåðåïëåòåíèå êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëå- íèé î òðàåêòîðèÿõ ÷àñòèö, òîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâ òðàåêòîðèé è èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, à òàêæå êâàíòîâîé ïðèðîäû çàêîíîâ äâèæåíèÿ ìèêðî- ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåòñÿ àâòîðó íàèáîëåå ïðèâëåêà- òåëüíîé ÷àñòüþ óïîìÿíóòûõ èññëåäîâàíèé. È õîòÿ ïåðâûå èç öèòèðóåìûõ â îáçîðå ðàáîò áûëè âûïîë- íåíû áîëåå ïîëóâåêà òîìó íàçàä, èíòåðåñíûå ðå- çóëüòàòû ïîëó÷åíû â ïîñëåäíèå ãîäû, äåìîíñòðèðóÿ íåèñ÷åðïàåìîñòü ïðîáëåìû. Àâòîð ñ÷èòàåò ñåáÿ ïðÿ- ìûì ó÷åíèêîì È.Ì. Ëèôøèöà è ïîñâÿùàåò íàñòîÿ- ùèé îáçîð ïàìÿòè ñâîåãî ó÷èòåëÿ. 2. Ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëàõ 2.1. Äèíàìèêà ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè è ïîâåðõíîñòü Ôåðìè Òåðìèíû «ýëåêòðîííûé ãàç» è «äèíàìèêà ýëåê- òðîíîâ» — ýòî îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òîãî ðàçäåëà òåî- ðåòè÷åñêîé ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, êîòîðûé íîñèò íàçâàíèå «Ýëåêòðîííàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ». Â îñ- íîâó ïîñòðîåíèÿ ýòîé òåîðèè ïîëîæåíî ïðåäñòàâëå- íèå î òîì, ÷òî ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëà è åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì îáóñëîâ- ëåíû íàëè÷èåì êîëëåêòèâà àòîìíûõ ýëåêòðîíîâ, êî- òîðûé â ñèëó ðàçíûõ îáñòîÿòåëüñòâ âåäåò ñåáÿ êàê ãàç, ñïîñîáíûé ïðîòåêàòü ñêâîçü êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå, ñôîðìóëèðîâàííîå åùå Ï. Äðóäå, â ñâîåé ñëîâåñíîé ôîðìóëèðîâêå íå èçìåíèëîñü â òå÷åíèå öåëîãî ñòîëåòèÿ. Òåïåðü íàì íå òîëüêî ïîíÿòíà â îáùèõ ÷åðòàõ ïðè÷èíà ñïðàâåä- ëèâîñòè òàêîé ïðîñòîé ìîäåëè, íî ÿñíà òàêæå è íå- îáõîäèìîñòü ñóùåñòâåííîãî èçìåíåíèÿ äèíàìèêè è êèíåìàòèêè ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå ïî ñðàâíåíèþ ñ òàêîâûìè äëÿ ýëåêòðîíà â âàêóóìå. Óâåðåííîñòü â óñïåøíîé ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè ãàçà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâ ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ áîëüøàÿ ÷àñòü ýëåêòðîíîâ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîìó òðåáîâàíèþ ìèíèìèçèðîâàòü ýíåðãèþ ñèñòåìû, ïëîòíî çàíèìàåò íèçêîëåæàùèå óðîâíè ýíåðãèè, çà- ïîëíÿÿ îòäåëüíûå ñîñòîÿíèÿ ïîïàðíî (ñ ïðîòèâîïî- ëîæíûìè ñïèíàìè) è ëèøàÿñü âîçìîæíîñòè ó÷àñò- âîâàòü â ëþáîì äâèæåíèè (íåèçáåæíî ñâÿçàííîì ñ ïåðåõîäîì èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â êàêîå-òî äðóãîå). Îñòàëüíûå ýëåêòðîíû ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê «âûðâàííûå» èç ýòîãî «ìåðòâîãî ìîðÿ» è ïðåäñòàâ- ëÿþùèå ôåðìèåâñêèå ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ âñåé ýëåêòðîííîé ñèñòåìû. Èõ ñîâîêóïíîñòü âïîëíå äîïóñòèìî ðàññìàòðèâàòü êàê èäåàëüíûé ãàç Ôåð- ìè. Îòíåñåííàÿ ê îäíîé ÷àñòèöå ýíåðãèÿ, ðàçäåëÿþ- ùàÿ çàíÿòûå è ñâîáîäíûå ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ, íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé Ôåðìè. Â áóêâàëüíîì ïîíèìà- íèè òàêîå ÷åòêîå ðàçäåëåíèå ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿ- íèé âîçìîæíî òîëüêî ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïå- ðàòóð (T = 0), íî åñëè òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (òåìïåðàòóðà Ò â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ) ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé Ôåðìè, òî âîçíèêàåò óçêàÿ îáëàñòü ýíåðãèé ñ øèðèíîé ïîðÿäêà T âáëèçè ýíåð- ãèè Ôåðìè, â êîòîðóþ ïîïàäàþò ëèøü ÷àñòè÷íî çà- ïîëíåííûå ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ. Ýëåêòðîíû èìåííî â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ ïðèíèìàþò àêòèâíîå ó÷à- ñòèå âî âñåõ ïðîöåññàõ, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâ. ×åì íèæå òåìïåðàòóðà, òåì ñ áóëüøåé äîñòîâåðíîñòüþ ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî â ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ó÷àñòâóþò òîëüêî ýëåêòðîíû ñ ýíåðãèåé Ôåðìè. Èòàê, ìû ñîãëàñèëèñü ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîíû ñ ýíåðãèÿìè, áëèçêèìè ê ôåðìèåâñêîé ýíåðãèè, êàê ñâîáîäíûå ÷àñòèöû, îáðàçóþùèå èäåàëüíûé ôåð- ìè-ãàç. Îñíîâíîé äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé ñâîáîä- íîé ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ åå èìïóëüñ p. Â êâàçèêëàññè- ÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïîëîæåíèå ýëåêòðîíà â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîîðäèíàòîé x. Êî- îðäèíàòà x è p — ýòî ïàðà êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåí- íûõ ïåðåìåííûõ, çàäàþùèõ ìãíîâåííîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ïîëåé ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà � çàâèñèò òîëüêî îò p: � �� (p), è ýòà çàâèñèìîñòü íàçûâàåòñÿ äèñïåð- ñèîííûì ñîîòíîøåíèåì èëè çàêîíîì äèñïåðñèè. Äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà � � p / m2 02( ), ãäå m0 — ìàññà ýëåêòðîíà, è ìû ãîâîðèì î êâàäðàòè÷íîì çàêîíå äèñïåðñèè. Ãåîìåòðè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì çàêîíà äèñïåðñèè ñëóæèò ïîâåðõíîñòü ðàâíûõ ýíåð- ãèé (èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü). Èçîýíåðãåòè- ÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü — ýòî ïîâåðõíîñòü â p-ïðî- ñòðàíñòâå, çàäàííàÿ óñëîâèåì � �(p) � � const . (1) Äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà — ýòî ñôåðà ðàäèóñà p m� 2 0�. Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 137 Ïîâåðõíîñòüþ Ôåðìè íàçûâàþò èçîýíåðãåòè÷å- ñêóþ ïîâåðõíîñòü, îòâå÷àþùóþ ýíåðãèè Ôåðìè �F . Äëÿ ãàçà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ — ýòî ñôåðà ðàäèó- ñà p mF F� 2 0� . Ïðè T = 0 âñå ñîñòîÿíèÿ âíóòðè ïî- âåðõíîñòè Ôåðìè çàíÿòû, ïîýòîìó ïðè ôèêñèðîâàí- íîì ÷èñëå ýëåêòðîíîâ îáúåì âíóòðè ñôåðû Ôåðìè, à ñëåäîâàòåëüíî, è ýíåðãèÿ Ôåðìè �F îäíîçíà÷íî ñâÿçàíû ñ ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ N V Vp mF F / F /� � �2 2 8 3 2 2 3 23 3 3 0 3 2 3 3�( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � 2 , (2) ãäå �( )�F — îáúåì â p-ïðîñòðàíñòâå âíóòðè ñôåðû Ôåðìè, à ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà. Èç (2) ñëåäóåò p N VF 3 2 33� � � . (3) Eñëè çàïèñàòü N/V /a� 1 3, ââåäÿ ñðåäíåå ðàññòîÿ- íèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè a, òî (3) ñ õîðîøåé òî÷íî- ñòüþ ñâîäèòñÿ ê îöåíêå p /aF � �( ) .� (4) Çàìåòèì, ÷òî îöåíêà (4) íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ïà- ðàìåòðîâ çàêîíà äèñïåðñèè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Ýòî âåñüìà ñóùåñòâåííîå îáñòîÿòåëüñòâî, ïîñêîëüêó âîçíèêàåò âîïðîñ, â êàêîé ìåðå ðàñ÷åò (2), îñíîâàí- íûé íà ïðåäñòàâëåíèè î ãàçå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ êâàäðàòè÷íûì çàêîíîì äèñïåðñèè, ìîæåò áûòü èñ- ïîëüçîâàí ïðè îáñóæäåíèè ñâîéñòâ ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëè÷åñêîì ìåòàëëå. Âåäü â ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðå, êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ëþáîé ìîíîêðèñòàëë, èìïóëüñ p ïåðåñòàåò áûòü óäîáíîé äèíàìè÷åñêîé ïå- ðåìåííîé — åãî ðîëü èñïîëíÿåò êâàçèèìïóëüñ, è ýíåðãèÿ ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, ðîëü êîòîðîãî ìû ïåðåäàëè ýëåêòðîíó, ñòàíîâèòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé êâàçèèìïóëüñà ñ ïåðèîäîì îáðàòíîé ðå- øåòêè. Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíà â ìåòàëëå äîëæåí áûòü áîëåå ñëîæíîé (è îáÿçàòåëüíî àíèçîòðîïíîé) ôóíêöèåé êâàçèèìïóëüñà, à ïîòîìó ïîâåðõíîñòü Ôåðìè ìîæåò ïðèîáðåñòè ôîðìó, ìàëî ïîõîæóþ íà ñôåðó. Òåì íå ìåíåå õàðàêòåðíûé ðà- äèóñ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè (4) îöåíåí ïðàâèëüíî. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè ðàñ÷åòå (2) ìû èíòåðåñîâàëèñü ëèøü ÷èñëîì çàíÿòûõ ýëåêòðîíàìè ñîñòîÿíèé, îï- ðåäåëÿåìûõ ôàêòè÷åñêè ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû âñåõ ýëåêòðîíîâ. Ðàñïðåäåëÿÿ îòâå÷àþùèå ýòèì ñòå- ïåíÿì ñâîáîäû ñîñòîÿíèÿ ïî «ÿ÷åéêàì» ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ìû çàïîëíÿëè íåêèé îáúåì ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî âûáîðà êîíêðåòíîãî îïèñàíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Îòëîæèì ïîêà âîïðîñ î òîì, êàêîâà è ÷åì îï- ðåäåëÿåòñÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè äëÿ ýëåêòðî- íîâ â êðèñòàëëå, è îáñóäèì âîçìîæíûå ïðîÿâëåíèÿ ôîðìû èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â äèíàìèêå ýëåêòðîíîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî íàèáîëåå ÷óâñòâèòåëüíî ê ýòîé ôîðìå äâèæåíèå ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå. Ðàññìîòðèì äèíàìèêó ýëåêòðîíà ñ çàêîíîì äèñ- ïåðñèè � �� (p) â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå B. Ïàðà ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé êëàññè÷åñêîé äèíà- ìèêè ýëåêòðîíà èìååò âèä d dt e c d dt p vB v x p � � � � � [ ], � . (5) Åñëè âûáðàòü îñü z âäîëü íàïðàâëåíèÿ B, òî âîç- íèêíåò ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ: dp dt eB c v dp dt eB c v dp dt x y y x z� � � �, , ,0 (6) êîòîðûå îáëàäàþò äâóìÿ èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ �( , .p) � �const constpz (7) Ïàðà óñëîâèé (7) îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ ýëåê- òðîíà â p-ïðîñòðàíñòâå — ýòî êðèâàÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè �(p) � const è ïëîñêîñòè pz � const (ðèñ. 1). Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêöèÿ òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà â x-ïðîñòðàíñòâå ïîäîáíà òðàåêòîðèè (7). Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèøåì ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ (6) â âèäå dp dt eB c dy dt dp dt eB c dx dt x y � � �, . (8) 138 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ �( p )= � p z = const p x py p z 0 Ðèñ. 1. Òðàåêòîðèÿ ýëåêòðîíà â p-ïðîñòðàíñòâå è åå ïðî- åêöèÿ íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ìàãíèòíîìó ïîëþ. Ñîîòíîøåíèÿ (8) ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðîåêöèÿ òðàåê- òîðèè â x-ïðîñòðàíñòâå íà ïëîñêîñòü xoy äåéñòâèòåëü- íî ïîäîáíà òàêîâîé â p-ïðîñòðàíñòâå, íî ïîâåðíóòà íà 90� îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé ox è oy (ðèñ. 2). Íà ðèñ. 2 îòìå÷åíû òàêæå ñîãëàñîâàííûå íàïðàâëå- íèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ýëåêòðîíà. Àíàëèç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (6) è ðàññìîòðåíèå ðèñ. 2 ïðèâîäÿò ê âûâîäó, ÷òî ýëåêòðîí ñîâåðøàåò öèêëè÷åñêîå äâèæåíèå â ìàãíèòíîì ïîëå, âðàùàÿñü ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè (äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðî- íà ýòî äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè). Ëåãêî âû÷èñëèòü ÷àñòîòó ýòîãî öèêëè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. Èç (6) ñëå- äóåò, ÷òî ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðîíà âäîëü òðàåêòîðèè â p-ïðîñòðàíñòâå ðàâíà dp dt eB c vl � , (9) ãäå v — ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ýëåêòðîíà íà ïëîñ- êîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ìàãíèòíîìó ïîëþ B. Ñî- îòíîøåíèå (9) ïîðîæäàåò öåïî÷êó ðàâåíñòâ dt c eB dp v t c eB dp v t c eB dp v l l l� � � , , ,� (10) ãäå èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèè ýëåê- òðîíà, �t — ïåðèîä öèêëè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ýëåê- òðîíà, à ïîñëåäíèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âñåé çàìê- íóòîé òðàåêòîðèè. Çíàÿ �t, ìû îïðåäåëÿåì ÷àñòîòó öèêëè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà: � �c / t� 2 � . Ýòî åñòü ÷àñòîòà öèêëîòðîííîãî ðåçîíàíñà â ìàãíèòíîì ïîëå äëÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå. Íî ýòó ÷àñòîòó ïðèíÿòî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå �c eB/mc� , ãäå m — ìàññà ýëåêòðîíà. Ñëåäîâàòåëüíî, öèêëîòðîííàÿ ìàññà ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå çàâèñèò îò åãî òðàåêòî- ðèè è åñòü ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ, à íå ÷èñëåííàÿ õà- ðàêòåðèñòèêà (êàê ýòî èìååò ìåñòî ó ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà, êîãäà m mc � �0 const). Íåòðóäíî âûÿñ- íèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîé õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîíà. Äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü èçìåíåíèå ïëî- ùàäè, îãðàíè÷åííîé ýëåêòðîííîé òðàåêòîðèåé íà ïëîñêîñòè pz � const, ïðè ìàëîì óâåëè÷åíèè ýíåð- ãèè ýëåêòðîíà íà âåëè÷èíó �: �S p dp dp vl l� � . (11) Çäåñü èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî çàìêíóòîé ýëåê- òðîííîé òðàåêòîðèè. Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèå äëÿ �t â (10) ñ (11), íàõîäèì �t c eB S � � �� , (12) ãäå ôóíêöèÿ S S pz� ( , )� — ýòî óïîìÿíóòàÿ ïëî- ùàäü íà ïëîñêîñòè pz � const, îãðàíè÷åííàÿ òðàåê- òîðèåé ýëåêòðîíà. Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêòèâíàÿ öèêëîòðîííàÿ ìàññà ýëåêòðîíà îïðåäåëÿåòñÿ âûðà- æåíèåì [3] m m p S c c z� � � � ( , )� � � 1 2 . (13) Â ñâåòå èçëîæåííîãî âûøå, äëÿ ýëåêòðîíîâ â ìåòàë- ëå ôîðìóëà (13) àêòóàëüíà íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè � �� F . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðÿìîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïëîñêî- ñòüþ pz � const, è åå çàâèñèìîñòü îò ýíåðãèè Ôåðìè — ïðîèçâîäíàÿ (13) ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî èç- ìåðÿåìîé âåëè÷èíîé. 2.2. Ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â êðèñòàëëå Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïî- âåðõíîñòè äëÿ ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå ìîãóò èìåòü ôîðìó, ñèëüíî îòëè÷àþùóþñÿ îò ñôåðè÷åñêîé, áûëî î÷åâèäíûì ñ ìîìåíòà ñîçäàíèÿ ýëåêòðîííîé òåîðèè ìåòàëëîâ, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò, íàïðèìåð, ðèñóíêè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â èçâåñò- íîé ìîíîãðàôèè Áåòå è Çîììåðôåëüäà [4]. Áûëî ïîíÿòíî, ÷òî â ñèëó ñëîæíîé ñòðóêòóðû ýëåêòðîííî- ãî ñïåêòðà êðèñòàëëîâ âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå áîëüøîãî ðàçíîîáðàçèÿ ñàìûõ íåîáû÷íûõ ôîðì ïî- âåðõíîñòåé Ôåðìè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ áûëè îïèñàíû â êíèãå [3]. Íî äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëîñü íå- ÿñíûì, âîçìîæíî ëè õîòÿ áû â îáùèõ ÷åðòàõ ïðåä- ñêàçàòü ôîðìó ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â äàííîì ìåòàë- ëå. È òîëüêî íàãëÿäíûå è äîâîëüíî ïðîñòûå ñîîáðàæåíèÿ Õàððèñîíà [5] ïîçâîëèëè ïîÿñíèòü, âî-ïåðâûõ, ïðè÷èíó ïîÿâëåíèÿ îæèäàåìîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè Ôåðìè äëÿ îïðåäåëåííîãî ìåòàëëà è, âî-âòîðûõ, âîçìîæíîñòü ñîñóùåñòâîâàíèÿ â îäíîì è òîì æå ìåòàëëå íåñêîëüêèõ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè (òî÷íåå, íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ ïîëîñòåé ìíîãî- ñâÿçíîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè). Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîä Õàððèñîíà íà ïðèìåðå 2D êâàäðàòíîé ðåøåòêè, ñ÷èòàÿ åå íåêèì ñèììåò- ðè÷íûì ñå÷åíèåì 3D ðåøåòêè. Ýëåìåíòàðíóþ ÿ÷åé- Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 139 v x á y p y a p x v Ðèñ. 2. Òðàåêòîðèÿ ýëåêòðîíà â p-ïðîñòðàíñòâå (a) è x-ïðîñòðàíñòâå (á). êó â îáðàòíîé ðåøåòêå îáû÷íî âûáèðàþò òàê, ÷òîáû òî÷êà k = 0 íàõîäèëàñü â åå öåíòðå (îñíîâíîé êâàä- ðàò íà ðèñ. 3,à è êâàäðàò íà ðèñ. 3,á). Íî åå ìîæíî âûáðàòü è èíà÷å (øòðèõîâîé êâàäðàò íà ðèñ. 3,â è ðèñ. 3,ã). Èñõîäÿ èç ïëîòíîñòè ýëåêòðîíîâ â îáñóæ- äàåìîì ìåòàëëå, îïðåäåëèì ðàäèóñ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè (4) (åñëè íà êàæäûé àòîì â êðèñòàëëå ïðè- õîäèòñÿ ïî îäíîìó ýëåêòðîíó ïðîâîäèìîñòè, òî ýòîò ðàäèóñ èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû ðàçìåðà ýëåìåíòàð- íîé ÿ÷åéêè). Ïðîâåäåì îêðóæíîñòü óêàçàííîãî ðà- äèóñà âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðèñ. 3,a — ýòî áóäåò ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êâàçèèìïóëüñà, òàêèå æå îêðóæíîñòè ñëå- äóåò íàðèñîâàòü âîêðóã êàæäîãî óçëà îáðàòíîé ðå- øåòêè. Òîãäà âîçíèêíåò ñèñòåìà ïåðåñåêàþùèõñÿ ëèíèé (ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè), ãäå êàæäàÿ òî÷êà ïå- ðåñå÷åíèÿ — ýòî íåêîòîðàÿ òî÷êà âûðîæäåíèÿ. ßñíî, ÷òî òî÷êè âûðîæäåíèÿ âîçíèêëè â ñèëó ïðè- ìèòèâíîñòè ìîäåëüíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î êðóãîâîé (ñôåðè÷åñêîé) ôîðìå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíî- ñòåé è äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ðåçóëüòàò íóëå- âîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ó÷åò ïðàêòè÷åñêè ëþáûõ ôèçè- ÷åñêèõ îáñòîÿòåëüñòâ â ñëåäóþùåì ïðèáëèæåíèè ëèêâèäèðóåò âûðîæäåíèå, è âî âñåõ òî÷êàõ ïåðåñå- ÷åíèÿ ãðàôèêè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñëåãêà ðàçäâèíóòñÿ. Íà ïëîñêîñòè îáðàòíîé ðåøåò- êè âîçíèêíåò îðíàìåíò èç íåñêîëüêèõ çàìêíóòûõ ëèíèé. ×àñòü èç íèõ óäîáíî ðàñïîëîæèòü â ýëåìåí- òàðíîé ÿ÷åéêå ïåðâîãî òèïà, à ÷àñòü — â ÿ÷åéêå âòî- ðîãî òèïà. Îáû÷íî èõ îòíîñÿò ê ðàçíûì (ïåðâîé, âòîðîé, òðåòüåé è ò.ä.) çîíàì Áðèëëþýíà è âîñïðè- íèìàþò êàê ðàçíûå ïîëîñòè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Íåñêîëüêî èíàÿ ñèñòåìà ïîëîñòåé ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè âîçíèêàåò â àíèçîòðîïíîì êðèñòàëëå (ðèñ. 4). Ïîñëå ñíÿòèÿ âûðîæäåíèÿ, ïîìèìî çàìêíóòûõ 140 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ (A) (B) (D)(C) (B) (A) (C)(D) a á â ã Ðèñ. 3. Ïîñòðîåíèå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè äëÿ êâàäðàòíîé ðåøåòêè: ñôåðû â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè (a); ëèñòû ïî- âåðõíîñòè Ôåðìè, ðàñïîëîæåííûå â ðàçíûõ çîíàõ Áðèëëþýíà (á, â, ã). ��h a 1 2 1 Ðèñ. 4. Äâà òèïà ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé íà ñèëüíî àíèçîòðîïíîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè: îòêðûòûå (1) è çàì- êíóòûå (2). ëèíèé, âîçíèêíóò ëèíèè, ïðîíèçûâàþùèå âñþ îá- ðàòíóþ ðåøåòêó — ýòî ñå÷åíèÿ îòêðûòûõ ïîâåðõ- íîñòåé Ôåðìè. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçìîæíî ñóùåñò- âîâàíèå äâóõ òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè: çàìêíóòûå è îòêðûòûå ïî- âåðõíîñòè. Åñëè ïëîñêîñòü ðèñ. 4 ïåðïåíäèêóëÿðíà âíåøíå- ìó ìàãíèòíîìó ïîëþ, òî äâà òèïà ñå÷åíèé ïîâåðõíî- ñòè Ôåðìè ïðèâåäóò ê ïîÿâëåíèþ äâóõ òèïîâ òðàåê- òîðèé ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå: çàìêíóòûì (òèïè÷íûì äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà) è îòêðûòûì, ò.å. ïåðåñåêàþùèì âñå îáðàòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïî- ñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî â îáû÷íîì êîîðäèíàòíîì ïðî- ñòðàíñòâå â ïëîñêîñòè, ïðåïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèò- íîìó ïîëþ, ýëåêòðîí ñîâåðøàåò èíôèíèòíîå äâèæåíèå — óõîäèò íà áåêîíå÷íîñòü. ßñíî, ÷òî ïî- äîáíàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî äëÿ ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå è äåìîíñòðèðóåò ïðîÿâëåíèå îñîáåííî- ñòåé òîïîëîãèè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â äèíàìèêå ýëåêòðîíîâ. Åñòåñòâåííî, ÷òî íà çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòÿõ Ôåðìè ìîãóò âîçíèêíóòü òîëüêî çàìêíóòûå ñå÷å- íèÿ, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåêòðîíû áóäóò äâèãàòüñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïî çàìêíóòûì (öèêëè- ÷åñêèì) òðàåêòîðèÿì. Íà îòêðûòûõ ïîâåðõíîñòÿõ Ôåðìè âîçìîæíû êàê çàìêíóòûå, òàê è îòêðûòûå ñå÷åíèÿ. Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíû ðàçíûå ñå÷åíèÿ ïî- âåðõíîñòè, èìåþùåé ôîðìó ãîôðèðîâàííîãî öèëèí- äðà ñ îñüþ, íàïðàâëåííîé âäîëü îñè îpx . Ëèíèè ýòèõ ñå÷åíèé îïðåäåëÿþò òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè âåëè÷èíû pz â ìàãíèòíîì ïîëå. Òðàåêòîðèè òèïà 1 — ýòî îòêðûòûå òðàåêòî- ðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå èíôèíèòíîìó äâèæåíèþ ýëåêòðîíà (îòâå÷àþùèå ìàëûì pz ), à òðàåêòîðèè òèïà 2 — çàìêíóòûå òðàåêòîðèè. Äâà òèïà òðàåêòî- ðèé ðàçäåëåíû îòêðûòîé òðàåêòîðèåé (ñåïàðàòðè- ñîé), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåäëîâóþ òî÷êó íà ïîâåðõ- íîñòè Ôåðìè, à ïîòîìó îáëàäàþùåé òî÷êàìè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ íà ãðàíèöàõ çîíû Áðèëëþýíà. Ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè, òàê êàê â íèõ ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü (ðàâíàÿ ãðàäèåíòó â p-ïðîñòðàíñòâå) íà- ïðàâëåíà ñòðîãî ïî íîðìàëè ê ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ýëåêòðîíà íà ýòó ïëîñêîñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ýëåêòðîí â ýòîé òî÷êå äîëæåí îñòàíîâèòüñÿ, íî ïðè äâèæåíèè ïî òàêîé òðàåêòîðèè îí ïðèáëèæàåòñÿ ê ñåäëîâîé òî÷êå ëèøü àñèìïòîòè÷åñêè (ïðè t � �). Âûíóæäåííàÿ îñòà- íîâêà ýëåêòðîíà â ñåäëîâîé òî÷êå îçíà÷àåò, ÷òî åãî ìàññà îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ñ ìàòåìàòè÷å- ñêîé òî÷êè çðåíèÿ òðàåêòîðèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñåäëîâóþ òî÷êó, îáëàäàåò ñèíãóëÿðíîé ìàññîé. Â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýô- ôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå îïðå- äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (13), ãäå S — ýòî ïëîùàäü ñå÷å- íèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êàê ôóíêöèÿ ýíåðãèè �. Åñëè ïåðåéòè îò ýíåðãèè Ôåðìè �F ê ýíåðãèè � � �� F � , ïðåâûøàþùåé åå íà âåëè÷èíó ��, òî ïðè òîì æå pz ñèíãóëÿðíàÿ òðàåêòîðèÿ ñìå- íèòñÿ áëèçêîé ê íåé çàìêíóòîé öèêëîòðîííîé òðà- åêòîðèåé òèïà 2. Íà ðèñ. 6,a ïîêàçàíû ó÷àñòêè òðà- åêòîðèé ðàçíîãî òèïà âáëèçè ñåäëîâîé òî÷êè. Îñîáåííîñòü òðàåêòîðèè âòîðîãî òèïà îáóñëîâëåíà íàëè÷èåì áëèçêî ëåæàùåé ñåäëîâîé òî÷êè, ïîýòîìó çà ñèíãóëÿðíîñòü îòâå÷àåò çàâèñèìîñòü îò ýíåðãèè òîëüêî òîé ÷àñòè ïëîùàäè �S, êîòîðàÿ îõâàòûâàåòñÿ ó÷àñòêîì òðàåêòîðèè âáëèçè ýòîé òî÷êè. Â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè èíòåðåñóþùèé íàñ ó÷àñòîê öèêëî- òðîííîé òðàåêòîðèè ìîæíî ñ÷èòàòü ãèïåðáîëîé p m p m x y 2 1 2 22 2 � � �� , (14) ãäå m ii � �0 1 2( , ) — õàðàêòåðèñòèêè ñîîòâåòñò- âóþùèõ êðèâèçí ïîâåðõíîñòè Ôåðìè (òðàåêòîðèþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ñåäëîâóþ òî÷êó, ìîæíî çàìå- íèòü àñèìïòîòàìè ãèïåðáîëû). Âåëè÷èíó �S ìîæíî âû÷èñëèòü êàê ïëîùàäü, îãðàíè÷åííóþ ãèïåðáîëîé è ïðÿìîé p Qx � = const, ãäå Q âûáèðàåòñÿ íà íåêî- òîðîì ìàëîì (íî êîíå÷íîì) ðàññòîÿíèè îò ñåäëîâîé òî÷êè (ñì.ðèñ. 6,á). Òîãäà Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 141 1 2 0 px py ��h a Ðèñ. 5. Ðàçëè÷íûå òèïû ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé: îò- êðûòûå (1) è çàìêíóòûå (2), ñîîòâåòñòâóþùèå ñå÷åíèÿì ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â ôîðìå ãîôðèðîâàííîãî öèëèíäðà ïëîñêîñòÿìè pz � const äëÿ ðàçëè÷íûõ pz . 0 px py 0 a á p0 Q Ðèñ. 6. Òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà â îêðåñòíîñòè ñåäëîâîé òî÷êè: ñåäëîâàÿ òî÷êà O íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè (a); òðàåêòîðèè, áëèçêèå ê ñåäëîâîé òî÷êå (á). � � � � S m p m dp m m x x p Q x x � � � � � � � � � � � � � 2 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 0 � � �( ) dx , (15) ãäå p m0 12� �� è x Q/ m( )� �� 2 1 . Òîãäà â ãëàâ- íîì ïðèáëèæåíèè öèêëîòðîííàÿ ìàññà ýëåêòðîíà íà òðàåêòîðèè, áëèçêîé ê ñèíãóëÿðíîé, ðàâíà [3] m m m Q ñ / � ( ) ln ( ) ,1 2 1 2 � � �� (16) ãäå �( ) ( )Q Q / m� 2 12 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðèáëè- æåíèè ê ñåäëîâîé òî÷êå ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåê- òðîíà ëîãàðèôìè÷åñêè âîçðàñòàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèîä îáðàùåíèÿ ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå (åãî öèêëîòðîííûé ïåðèîä) âîçðàñòàåò äî áåñêîíå÷íî- ñòè, è äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåäëîâóþ òî÷êó, ñòàíîâèòñÿ ñõîäíûì ñ äâèæåíèåì ïî îòêðûòîé òðàåêòîðèè — ýëåêòðîí òðàòèò áåñêî- íå÷íîå âðåìÿ íà ïðîõîæäåíèå òðàåêòîðèè. 2.3. Êâàíòîâûå ìàãíèòíûå îñöèëëÿöèè è ôîðìà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè Ê âîïðîñó î ôîðìå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïðÿìîå îòíîøåíèå èìååò ýôôåêò äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà — îäíî èç èíòåðåñíåéøèõ êâàíòîâûõ ìàêðîñêîïè- ÷åñêèõ ÿâëåíèé. Îí ïðîÿâëÿåòñÿ â îñöèëëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè íàìàãíè÷åííîñòè ìåòàëëà îò íàïðÿæåí- íîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îáíàðóæåííîå â 1930 ã. ëåéäåíñêèìè ôèçèêàìè, ÷üè èìåíà âîøëè â íàçâà- íèå ýôôåêòà, ýòî ÿâëåíèå îòëè÷àåòñÿ óäèâèòåëüíûì êà÷åñòâîì: ýôôåêò äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà âî âñåõ ïîäðîáíîñòÿõ ïîääàåòñÿ òåîðåòè÷åñêîìó îñìûñëå- íèþ. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå èñòîðèè îòêðûòèÿ ýôôåê- òà, åãî íàáëþäåíèÿ íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ äåñÿòè- ëåòèé è îöåíêà åãî ðîëè â ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà ìåòàëëîâ ñîäåð- æèòñÿ â ìîíîãðàôèè Ä. Øåíáåðãà [6]. Äëÿ íàñ ñó- ùåñòâåííî, ÷òî ýòî ÷èñòî êâàíòîâîå ÿâëåíèå, îáó- ñëîâëåííîå êâàíòîâàíèåì äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå. Ïðîèçâåäåì êâàçèêëàññè÷åñêîå êâàíòîâàíèå äâè- æåíèÿ ýëåêòðîíà ïî çàìêíóòîé îðáèòå. Èçâåñòíî, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê �, îõâà÷åííûé ýëåêòðîííîé îðáèòîé, êâàíòóåòñÿ: � � � �� 0 00 1 2 2 n n c e , , , , ...; , � (17) ãäå �0 — êâàíò ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Åñëè îáîçíà÷èòü A ïëîùàäü, îõâà÷åííóþ ïðîåêöèåé îðáèòû ýëåêòðî- íà íà ïëîñêîñòü xy, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ìàãíèòíîìó ïîëþ B, òî ìîæíî çàïèñàòü � � BA. Íî ñîãëàñíî (8), ïëîùàäü A ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ñå÷åíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè � �( )p � � const ïëîñêîñòüþ pz � const: A c eB S pz� � � � � � � 2 ( , ) ,� ïîýòîìó âîçíèêàåò ñëåäóþùåå ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ: S p eB c n nz( , ) ( ), , , , ...,� � �� 2 0 1 2 � (18) ãäå � — ïàðàìåòð, âåëè÷èía êîòîðîãî ïîðÿäêà åäè- íèöû. Ôîðìóëà (18), âïåðâûå ïðåäëîæåííàÿ Îíçà- ãåðîì [7], äàåò çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîíà îò êâàíòîâûõ ÷èñåë n è pz : � �� n zp( ), ÷òî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü òåðìîäèíàìèêó ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìàã- íèòíîì ïîëå. Îñîáîãî èçó÷åíèÿ òðåáóåò êâàíòîâàíèå ýëåêòðîí- íîãî äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèé, áëèçêèõ ê ñåïà- ðàòðèñå íà ðèñ. 4, èëè èíà÷å, áëèçêèõ ê òðàåêòîðèè ñ ñàìîïåðåñå÷åíèåì. Ðàññìîòðèì ýëåêòðîííûå îðáè- òû, â êîòîðûå òðàíñôîðìèðóåòñÿ ñåïàðàòðèñà íà ðèñ. 4 ëèáî ïðè íåáîëüøîì îòêëîíåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò îñè z, ëèáî ïðè ñëàáîì èçìåíåíèè âåëè÷èíû pz . Îñòàíîâèìñÿ íà ñëó÷àå, êîãäà âîçíèêàþò äâå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèè, îõâàòûâàþùèå ñå÷åíèÿ ïî- âåðõíîñòè Ôåðìè, òèïà çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 7. Êâàçèêëàññè÷åñêîå êâàíòîâàíèå â òàêîì ñëó÷àå èçó- ÷àëîñü Àçáåëåì [8]. Åñëè òðàåêòîðèè 1 è 2 íà ðèñ. 7 èìåþò áëèçêèå ó÷àñòêè, òî ýôôåêòèâíàÿ âåëè÷èíà � ñèëüíî çàâèñèò îò íîìåðà n, è âáëèçè òðàåêòîðèè ñ ñàìîïåðåñå÷åíèåì ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè îñöèëëèðóåò ïðè èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â ðàáîòàõ Ëèôøèöà è Êîñåâè÷à [9] âû÷èñëåíà íàìàãíè÷åííîñòü ýëåêòðîííîãî ãàçà ïðè íèçêèõ òåì- ïåðàòóðàõ è ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ îñöèëëèðóþ- ùåé ÷àñòè íàìàãíè÷åííîñòè ìåòàëëà. Ñõåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå 142 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ 1 2 ky kx Ðèñ. 7. Ìàãíèòíûå îðáèòû â îêðåñòíîñòè ñåïàðàòðèñû â ôîðìå «âîñüìåðêè». �M M B T c S eB g m m m F c osc � �� 0 02 ( , ) cos ( ) cos � � � � , (19) ãäå M0 — ïëàâíî çàâèñÿùàÿ îò B àìïëèòóäà îñöèë- ëÿöèé, Sm F( )� — ïëîùàäü ýêñòðåìàëüíîãî ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïëîñêîñòüþ pz � const, mc — ýôôåêòèâíàÿ öèêëîòðîííàÿ ìàññà ýëåêòðîíà â ìå- òàëëå, m0 — ìàññà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà, à g — ãè- ðîìàãíèòíîå îòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñïèíîâûé ìàãíåòîí ýëåêòðîíà (äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà g � 2). Îñíîâíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýôôåêòà äå Ãàà- çà—âàí Àëüôåíà — ïåðèîä îñöèëëÿöèé. Â îáðàò- íîì ìàãíèòíîì ïîëå îí ðàâåí � 1 2 B e cSm � � � � � � � �\| \| . � (20) Ýòîò ïåðèîä íå çàâèñèò îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñì. ðèñ. 8) è íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû (!). Â ïðÿìîì ïîëå ïðè óñëîâèè �B B�� 2 �( ) ,B e cS B m � 2 2� � (21) ò.å. â ñèëüíûõ ïîëÿõ ïåðèîä ïðîïîðöèîíàëåí êâàä- ðàòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Åñëè ïîâåðõíîñòü Ôåðìè âûïóêëàÿ, òî èìååòñÿ òîëüêî îäíî ýêñòðåìàëüíîå ñå÷åíèå (ìàêñèìàëü- íîå). Ïðè íåâûïóêëîé ïîâåðõíîñòè èõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî (ðèñ. 9). Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñïåðèìåí- òàëüíî íàáëþäàåìûå çàâèñèìîñòè äëÿ Mosc ìîãóò èìåòü âèä íàëîæåíèÿ íåñêîëüêèõ îñöèëëÿöèîííûõ êðèâûõ. Ìíîãîîáðàçèå ñå÷åíèé ôåðìè-ïîâåðõíîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèîäîâ îñöèëëÿöèé, âîçíèêàåò â êâàçèäâóìåðíûõ ïðîâîäíèêàõ, äëÿ êîòîðûõ òèïè÷- íû ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â âèäå ãîôðèðîâàííûõ öè- ëèíäðîâ. Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå B íàïðàâëåíî ïî îñè öèëèíäðà, òî âîçìîæíû äâà òèïà ýêñòðåìàëüíûõ ñå- ÷åíèé (ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå). Åñëè íà- ïðàâëåíèå B îòêëîíÿåòñÿ îò îñè öèëèíäðà íà íå- êèé óãîë � (ñì. ðèñ. 10), òî âîçíèêàåò íåïðåðûâíûé íàáîð ñå÷åíèé, ïëîùàäè êîòîðûõ âîçðàñòàþò ñ óâå- ëè÷åíèåì óãëà �. Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî ïëîùà- äè ýêñòðåìàëüíûõ ñå÷åíèé áóäóò âîçðàñòàòü ïðî- ïîðöèîíàëüíî tg � ( )0 2� �� / , è ýòî ïðèâåäåò ê îáðàòíîé çàâèñèìîñòè îò tg � ïåðèîäîâ êâàíòîâûõ Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 143 B max min pz 0 px py Ðèñ. 9. Äâà òèïà ýêñòðåìàëüíûõ ñå÷åíèé íåâûïóêëîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. B � p x Ðèñ. 10. Ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â ôîðìå ãîôðèðî- âàííîãî öèëèíäðà â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèò- íîãî ïîëÿ. 0 2 4 6 8 2 1 H, êÃñ � M Ðèñ. 8. Îñöèëëÿöèè íàìàãíè÷åííîñòè ìîíîêðèñòàëëà Âi (Øåíáåðã, 1938 ã.). îñöèëëÿöèé â îáðàòíîì ìàãíèòíîì ïîëå (20). Ïðè � �� /2 âîçíèêàåò ñå÷åíèå, ïðîíèçûâàþùåå âñå èì- ïóëüñíîå ïðîñòðàíñòâî, è åãî êîíòóðîì ñòàíîâèòñÿ îòêðûòàÿ òðàåêòîðèÿ òèïà êðèâîé 1 íà ðèñ. 5; ñîîò- âåòñòâóþùèå êâàíòîâûå îñöèëëÿöèè ïðè ýòîì èñ- ÷åçàþò. Àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé èìååò íàèáîëåå ïðîñòóþ çàâèñèìîñòü îò T ïðè íå î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ T c� �� , ãäå �c ceB/ m c� ( ) — öèêëîòðîííàÿ ÷àñòî- òà, êîãäà M T c 0 22� � � � � � � � � � exp � �� . (22) Èòàê, òðè âûäåëåííûõ ìíîæèòåëÿ â (19) äàþò âîçìîæíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëÿòü òðè âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîííîé ñèñòåìû: a) ïî ïåðèîäàì îñöèëëÿöèé âîçìîæíî îïðåäåëèòü ýêñòðåìàëüíûå ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïðè ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ ìàãíèòíîãî ïîëÿ («ãàáàðèòû» ïðîåêöèè ôåðìè-ïîâåðõíîñòè íà ðàçëè÷íûå ïëîñêî- ñòè), á) ïî òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè (22) âîç- ìîæíî îïðåäåëèòü ýôôåêòèâíûå ìàññû ýëåêòðîíà íà ýêñòðåìàëüíûõ òðàåêòîðèÿõ è, íàêîíåö, â) ïî- ñëåäíèé ñîìíîæèòåëü ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ãèðî- ìàãíèòíîì îòíîøåíèè äëÿ ýëåêòðîíà â ìåòàëëå. Âñå ïåðå÷èñëåííûå âîçìîæíîñòè ñ óñïåõîì áûëè èñ- ïîëüçîâàíû â ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ, è ôîðìóëà (19) ïîëó÷èëà âûñîêóþ îöåíêó èññëåäîâà- òåëåé ýëåêòðîííûõ ñâîéñòâ ìåòàëëîâ. Áûëè èçó÷å- íû ôåðìèåâñêèå ïîâåðõíîñòè ìíîãèõ ìåòàëëîâ è, îñíîâûâàÿñü íà ôîðìóëå (19), ñîñòàâëåí äàæå àòëàñ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè. Âïåðâûå òàêîé àòëàñ, ïîäãî- òîâëåííûé Þ.Ï. Ãàéäóêîâûì, áûë îïóáëèêîâàí â âèäå ïðèëîæåíèÿ â [3]. Ä. Øåíáåðã â ñâîåé êíèãå [6] íàçâàë (19) ôîðìóëîé Ëèôøèöà—Êîñåâè÷à («ôîðìóëà ËÊ»), è ýòî íàçâàíèå íåîäíîêðàòíî ïî- âòîðÿëîñü â îðèãèíàëüíûõ ñòàòüÿõ è îáçîðàõ, âêëþ- ÷àÿ êíèãó [10]. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè íàèáîëåå èíòåðåñåí ïóíêò a), òàê êàê îí èíèöèèðóåò ïîñòàíîâêó âîïðîñà îá îïðåäåëåíèè ôîðìû ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïî íàáî- ðó ýêñòðåìàëüíûõ ñå÷åíèé ïðè âñåâîçìîæíûõ îðè- åíòàöèÿõ ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 11). Ýòîò âîïðîñ áûë ïîñòàâëåí â âèäå îáðàòíîé çàäà÷è è ðåøåí Ëèô- øèöåì è Ïîãîðåëîâûì [11]. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ïîâåðõíîñòü èìååò öåíòð ñèììåòðèè, è ëþáîé ëó÷, èñõîäÿùèé èç öåíòðà, ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòü òîëüêî â îäíîé òî÷êå (íà ïîâåðõíîñòè íåò ñêëàäîê), òî ôîðìà ïîâåðõíîñòè îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåò- ñÿ ïî çàâèñèìîñòè ïëîùàäè öåíòðàëüíîãî ñå÷åíèÿ îò íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè ê ýòîìó ñå÷åíèþ. Ê ñîæà- ëåíèþ, íàñêîëüêî ìíå èçâåñòíî, ýòîò ðåçóëüòàò íå èñïîëüçóåòñÿ ïðè âîññòàíîâëåíèè ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì, òàê êàê îñ- íîâíîå âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé îáðàùåíî íà ïîèñê è èíäåíòèôèêàöèþ íåîáû÷íûõ ïîëîñòåé, ôåðìè-ïî- âåðõíîñòåé, íå óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû Ëèôøèöà—Ïîãîðåëîâà. Ïîìèìî ýôôåêòà äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà êâàíòî- âûìè ìàãíèòíûìè îñöèëëÿöèÿìè õàðàêòåðèçóåòñÿ ýôôåêò Øóáíèêîâà—äå Ãààçà — îñöèëëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëà îò ìàã- íèòíîãî ïîëÿ. Ïîñêîëüêó ôèçè÷åñêàÿ ïðèðîäà ïî- ñëåäíåãî ýôôåêòà òà æå ñàìàÿ, èçìåðåíèå ìàãíèòî- ñîïðîòèâëåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü òå æå ïåðèîäû, ÷òî è ó ýôôåêòà äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà [12]. Îêàçà- ëîñü, ÷òî îñöèëëÿöèè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ ëåãêî íàáëþäàþòñÿ íå òîëüêî ó òðàäèöèîííûõ ìåòàëëîâ, íî è îðãàíè÷åñêèõ ïðîâîäíèêàõ (ðèñ. 12), äàâàÿ âîçìîæíîñòü èçó÷àòü èõ ýëåêòðîííûå ñïåêòðû. 2.4. Ìàãíèòíûé ïðîáîé Îáñóæäàÿ ïåðèîäû êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé â ñëó- ÷àå ñëîæíîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè, ìû èñõîäèì èç 144 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ n pz px py Ðèñ. 11. Ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. 20 10 0 10 20 30 40 B , Të Ì à ãí è òî ñî ï ð î òè âë å í è å Ðèñ. 12. Îñöèëëÿöèè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ îðãàíè÷åñ- êîãî ïðîâîäíèêà �-(ET) TIHg(SeCN)2 4 ïðè T � 80 ìÊ [10]. òîãî, ÷òî åñëè èìååòñÿ íåñêîëüêî ðàçíûõ ýêñòðå- ìàëüíûõ ñå÷åíèé èëè ñå÷åíèé ðàçíûõ ïîëîñòåé ïî- âåðõíîñòè Ôåðìè, òî ýêñïåðèìåíòàëüíûé ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàëîæåíèå íåñêîëüêèõ íåçàâè- ñèìûõ êðèâûõ ñ íåçàâèñèìûìè ïåðèîäàìè. Äðóãè- ìè ñëîâàìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå ýëåêòðî- íà ïî êàæäîé èç çàìêíóòûõ îðáèò, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3,á èëè íà ðèñ. 4, ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò íàëè÷èÿ áëèçêî ëåæàùåé òðàåêòîðèè äðóãîãî òèïà. Íî âåäü ñèëà Ëîðåíöà ìîæåò ïðèâåñòè ê ïåðåõîäàì ñ îäíîé òðàåêòîðèè íà äðóãóþ. Äåéñòâèòåëüíî, òà- êîå âîçìîæíî, åñëè ðàçíûå êëàññè÷åñêèå òðàåêòî- ðèè î÷åíü áëèçêî ïîäõîäÿò äðóã ê äðóãó. ßâëåíèå, îáóñëîâëåííîå ïîäîáíûìè ïåðåõîäàìè, ïîëó÷èëî íàçâàíèå ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ [13]. Ñóòü ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ ëåãêî ïîÿñíèòü, èçó÷àÿ ðèñ. 4 è ðèñ. 13. Â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïî ìàëîé îðáèòå òèïà 2 íà ðèñ. 13 îáó- ñëîâëèâàåò ýôôåêò äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà ñ áîëü- øèìè ïåðèîäàìè. Îäíàêî ýëåêòðîí íà çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ìàëîãî ðàçìåðà â íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè îêàçûâàåòñÿ î÷åíü áëèçêî îò îòêðûòîé òðà- åêòîðèè òèïà 1. È åñëè ìàãíèòíîå ïîëå ïðåâûøàåò íåêîòîðóþ ïðåäåëüíóþ âåëè÷èíó, òî ýëåêòðîí â ýòîò ìîìåíò «ïî èíåðöèè» ïåðåñêàêèâàåò íà òðàåêòîðèþ 1 (ñì. ðèñ. 13), à çàòåì, äâèãàÿñü ïî íåé, êàê áû ïðîñêàêèâàåò êîðîòêèé ó÷àñòîê âòîðîé òðàåêòîðèè òèïà 2, âûõîäÿ â ðåçóëüòàòå íà çàìêíóòóþ òðàåêòî- ðèþ áîëüøîãî ðàäèóñà. Ýòî ïðèâîäèò ê óìåíüøå- íèþ ïåðèîäà êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé. Ìîæíî èíà÷å òðàêòîâàòü ðåçóëüòàò ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ: ýëåêòðîí, äâèãàâøèéñÿ ïî îòêðûòîé òðàåê- òîðèè òèïà 1, ïåðåñåêàþùåé âñå îáðàòíîå ïðîñòðàí- ñòâî, ïåðåõîäèò íà çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ, ïëîùàäü êîòîðîé çàøòðèõîâàíà íà ðèñ. 13. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñïîñîáíî ìåíÿòü íå òîëüêî ðàçìåðû, íî è òîïîëîãèþ ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé. ßñíî, ÷òî îïèñàííîå ÿâëåíèå âûõîäèò çà ðàìêè êëàññè÷åñêîé äèíàìèêè ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííîé òðàåêòîðèåé. Ïåðåõîä (èëè íå ïåðåõîä) íà äðóãóþ òðàåêòîðèþ ïðîèñõîäèò ñ íåêîòîðîé êâàíòîâîé âå- ðîÿòíîñòüþ. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ïðîáîé — äîâîëüíî ñëîæíûé êâàíòîâûé ïðîöåññ, ñïîñîáíûé ïðèâåñòè ê ïåðåñòðîéêå ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà ìåòàëëà â ñèëü- íîì ìàãíèòíîì ïîëå. Èçëîæåíèå òåîðèè ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ ìîæíî íàéòè â êíèãå [3] è îáçîðàõ [14]. Ïðèìåíèòåëüíî ê îñöèëëÿöèîííûì ýôôåêòàì ìàãíèòíûé ïðîáîé ïðîÿâëÿåòñÿ ëèáî â ñêà÷êîîáðàç- íîì èçìåíåíèè ïåðèîäà îñöèëëÿöèé ïðè äîñòèæå- íèè ìàãíèòíûì ïîëåì ïðåäåëüíîé («ïðîáîéíîé») âåëè÷èíû, êîãäà ýëåêòðîíû «ïåðåñêàêèâàþò» ñ îä- íîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè íà äðóãóþ, ëèáî â èñ- ÷åçíîâåíèè îñöèëëÿöèé, åñëè âòîðàÿ òðàåêòîðèÿ îõâàòûâàåò ñòîëü áîëüøóþ ïëîùàäü, ÷òî ïåðèîä îñ- öèëëÿöèé è åãî àìïëèòóäà ñòàíîâÿòñÿ èñ÷åçàþùå ìàëûìè. Íàëè÷èå ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ âèäîèçìåíÿåò ïðàâè- ëà êâàíòîâàíèÿ (18). Âõîäÿùàÿ â ýòó ôîðìóëó ïëî- ùàäü S pz( , )� îõâàòûâàåòñÿ çàìêíóòîé ýëåêòðîííîé òðàåêòîðèåé, ðàñïîëîæåííîé âíóòðè îäíîé ýëåìåí- òàðíîé ÿ÷åéêè p-ïðîñòðàíñòâà. Â îñíîâíîì ïðèáëè- æåíèè, êîãäà ñïðàâåäëèâî (18), äâèæåíèå ïî òàêîé òðàåêòîðèè àâòîíîìíî è íå ÷óâñòâèòåëüíî ê ïåðèî- äè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà. Îäíàêî â ñõåìå ðàñøèðåííûõ çîí àíàëîãè÷íûå îð- áèòû èìåþòñÿ âî âñåõ ÿ÷åéêàõ îáðàòíîé ðåøåòêè — ïîëó÷àþùèåñÿ èç (18) óðîâíè ýíåðãèè îêàçûâàþòñÿ íåïðåðûâíî âûðîæäåííûìè (èçâåñòåí ïàðàìåòð òà- êîãî âûðîæäåíèÿ — ýòî îäíà èç êîîðäèíàò öåíòðà îðáèòû ýëåêòðîíà â x-ïðîñòðàíñòâå; îáîçíà÷èì åå y cp / eBx0 � � ( )). Îñíîâûâàÿñü íà èäåîëîãèè ìàã- íèòíîãî ïðîáîÿ, ñëåäóåò äîïóñòèòü ìàëóþ êâàíòî- âóþ òóííåëüíóþ ñâÿçü ìåæäó äâèæåíèÿìè ïî ýòèì îðáèòàì, êîòîðàÿ ñíèìåò âûðîæäåíèå n-óðîâíåé, âûòåêàþùèõ èç (18). Çèëüáåðìàíîì [15] íà îñíîâå äðóãèõ ñîîáðàæå- íèé áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ó÷åò êâàíòîâûõ ïîïðàâîê ê êâàçèêëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî ïàðàìåòð � â (18) ñòàíîâèòñÿ çàâèñÿùèì îò ïî- ëîæåíèÿ öåíòðà îðáèòû ýëåêòðîíà âíóòðè ýëåìåí- òàðíîé ÿ÷åéêè ìåòàëëà: � �� 1 2 n xp( ) , ïðè÷åì ðàçìûòèå óðîâíÿ � ìàëî â ìåðó ìàëîñòè îòíîøåíèÿ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè a ê ìèíèìàëü- Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 145 p x Ðèñ. 14. Öåïî÷êà ìàãíèòîïðîáîéíûõ îðáèò â ñèëüíî àíèçîòðîïíîì ìåòàëëå. 2 1 Ðèñ. 13. Ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ ïðèðîäó ìàãíèòíîãî ïðî- áîÿ: ýëåêòðîí «ïåðåïðûãèâàåò» ñ ìàëåíüêîé îðáèòû íà áîëüøóþ. íîìó öèêëîòðîííîìó ðàäèóñó ýëåêòðîíà: � � � ��a eB/ c( )� 1 (îáû÷íî � �� 2). Âëèÿíèå ýôôåêòîâ òóííåëèðîâàíèÿ íà ýëåêòðîí- íûé ñïåêòð, åñòåñòâåííî, óñèëèâàåòñÿ, åñëè îáñóæ- äàåìûå òðàåêòîðèè èìåþò áëèçêèå (ïî÷òè ñîïðèêà- ñàþùèåñÿ) ó÷àñòêè. Ïðèìåðîì ïîäîáíîé ñèñòåìû ìîæåò ñëóæèòü öåïî÷êà çàìêíóòûõ ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé â ìàãíèòíîì ïîëå (ðèñ. 14), ñâÿçàííûõ öåíòðàìè ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ (ìàëåíüêèå òåìíûå êðóæî÷êè íà ãðàíèöàõ çîí Áðèëëþýíà). Â òåðìèíàõ ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïî îñíîâíî- ìó ó÷àñòêó îðáèòû êëàññè÷åñêîå, à â ìàãíèòîïðî- áîéíîì öåíòðå âîçíèêàåò âåðîÿòíîñòü w B� 2( ) ïðîòóííåëèðîâàòü íà ñîñåäíþþ çàìêíóòóþ òðàåêòî- ðèþ. Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå [16], îáû÷íî � � ��exp ( ) ,B / B0 2 1 ãäå âåëè÷èíó B0 íàçûâàþò ïîëåì ïðîáîÿ (îíî îïðå- äåëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëüíûì áàðüåðîì, ðàçäåëÿþùèì òðàåêòîðèè â ìàãíèòíîì ïîëå). Ðàñ- ÷åò ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé â öåïî÷êå êðó- ãîâûõ îðáèò, òèïà èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14, c ó÷å- òîì ìàãíèòîïðîáîéíîãî òóííåëèðîâàíèÿ ïðèâîäèò ê òàêîìó ðåçóëüòàòó [17] � � n n xap � � � � � � � � ( ) cos , 1 arcsin � êîòîðûé â ñëó÷àå �� 1 ñâîäèòñÿ ê òèïè÷íîìó îäíî- ìåðíîìó çàêîíó äèñïåðñèè � � n x n xp ap ( ) ( ) cos .� �1 � Âîçíèêàþùåå çà ñ÷åò ìàãíèòíîãî ïðîáîÿ óøèðå- íèå óðîâíåé ýíåðãèè ýëåêòðîíà, áåçóñëîâíî, ñêàçû- âàåòñÿ íà àìïëèòóäå êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé, ïðèâî- äÿ ê äîïîëíèòåëüíîìó åå óìåíüøåíèþ ñ ðîñòîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. 2.5. Çîííûå ýëåêòðîíû â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå è áëîõîâñêèå îñöèëëÿöèè Ìíîãîîáðàçèå ôîðì èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõ- íîñòåé, â ÷àñòíîñòè ôåðìèåâñêèõ ïîâåðõíîñòåé, ïðèâîäÿùèõ ê îñîáåííîñòÿì êâàíòîâûõ îñöèëëÿ- öèé, îáóñëîâëåíî â êîíå÷íîì ñ÷åòå ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ ýíåðãèè çîííîãî ýëåêòðîíà îò åãî êâà- çèèìïóëüñà. Ñâîåîáðàçíîå ïðîÿâëåíèå ýòîé çàâèñè- ìîñòè îáíàðóæèâàåòñÿ â ïîâåäåíèè ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿíîãî îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E. Â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè äèíàìèêà ýëåêòðîíà îïðåäåëÿåòñÿ îáû÷íûì óðàâíåíèåì d dt e p E� (23) ñ îáû÷íûì ãàìèëüòîíîâûì îïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè v p � � � � , (24) ãäå � � �� ( ) ( )p p G , à G — âåêòîð îáðàòíîé ðå- øåòêè â p-ïðîñòðàíñòâå. Íàïðàâèì âåêòîð E âäîëü îñè îx è ïðèìåì ïðî- ñòåéøóþ çàâèñèìîñòü � �� ( )px : � � � � �0 0sin ; cos , ap v a apx x � � � (25) òîãäà èç (23) ïîñëåäóåò p eEtx � , ÷òî ñðàçó äàåò ïå- ðèîäè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ýëåêòðîíà îò âðåìåíè [18]: v v t a tx B� �0 0( ) cos ( ) � � � . (26) ×àñòîòà �B eEa/� � íîñèò íàçâàíèå áëîõîâñêîé ÷àñòîòû. Äåëî â òîì, ÷òî ñ êâàíòîâîé òî÷êè çðåíèÿ íàëè- ÷èå îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû îçíà÷àåò ïðèñóòñòâèå â ñïåêòðå ýëåêòðîíà äèñêðåòíûõ óðîâíåé ñ ðàçíîñòüþ ýíåðãèé �� B . ×åì ìîæåò áûòü âûäåëåíî ýòî çíà÷åíèå �� â îäíîðîäíîì ïîëå? Â ñèëó îäíîðîäíî- ñòè ïîëÿ íèêàêîãî âûäåëåííîãî çíà÷åíèÿE íå ñóùå- ñòâóåò. Ïîýòîìó íåîáõîäèìàÿ äèñêðåòíîñòü ìîæåò áûòü ñâÿçàíà òîëüêî ñ ýêâèäèñòàíòíûì äèñêðåòíûì ñïåêòðîì òèïà E E� � � ! !0 0 1 2n n� ��, , , , Ýòîò ýêâèäèñòàíòíûé ñïåêòð è îñîáåííî åãî ïðîÿâ- ëåíèå â îïòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ [19] íîñèò íàçâà- íèå ëåñòíèöû Âàíüå—Øòàðêà (Wannier—Stark ladder). Îêàçûâàåòñÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó «ñòóïåíÿ- ìè» ýòîé ëåñòíèöû â ñëó÷àå ýëåêòðîíà â îäíîðîä- íîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå îïðåäåëÿåò áëîõîâñêóþ ÷àñòîòó îñöèëëÿöèé: � �� B . Êðàòêîå èçëîæåíèå êâàíòîâîé òåîðèè áëîõîâñêèõ îñöèëëÿöèé ìîæíî íàéòè è îáçîðå [20]. Ïðè ðàçóìíûõ çíà÷åíèÿõ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷àñòîòà áëîõîâñêèõ îñöèëëÿöèé ýëåêòðîíà â ìåòàë- ëå íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ìåíüøå ÷àñòîòû ñòîëêíîâåíèé ýëåêòðîíà äàæå â ïðåäåëüíî ÷èñòûõ ìåòàëëàõ (äðó- ãèìè ñëîâàìè, ïåðèîä îñöèëëÿöèé íàìíîãî ïðåâîñ- õîäèò âðåìÿ ðåëàêñàöèè â ìåòàëëå ", è àìïëèòóäà áëîõîâñêèõ îñöèëëÿöèé íàìíîãî ïðåâîñõîäèò äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà) [3]. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðîñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêîâ è â äðó- ãèõ àíàëîãè÷íûõ ñëó÷àÿõ ïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü, ïðèíè- ìàÿ, ÷òî íà ìàëûõ ó÷àñòêàõ ïóòè ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî. Äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàëîñü, ÷òî áëî- õîâñêèå îñöèëëÿöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåñüìà ëþ- 146 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ áîïûòíîå, íî èíòåðåñíîå ëèøü â òåîðåòè÷åñêîì ïëà- íå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå. Ñèòóàöèÿ êàðäèíàëüíî èçìåíèëàñü, êîãäà áûëà ðàçðàáîòàíà è ñîçäàíà òåõíîëîãèÿ èçãîòîâëåíèÿ âåñüìà ñîâåðøåííûõ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ñâåðõðå- øåòîê ñ ïåðèîäàìè ñòðóêòóðû, íàìíîãî ïðåâûøàþ- ùèìè ïîñòîÿííóþ ðåøåòêè. Òàê êàê â òàêèõ ñòðóê- òóðàõ ïåðèîä îáðàòíîé ðåøåòêè ñèëüíî óìåíüøåí è ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ýëåêòðîíà ðàçáèò íà óçêèå ïîäçîíû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì áëîõîâñêèå îñöèë- ëÿöèè èìåþò äîñòàòî÷íî âûñîêèå ÷àñòîòû (ñòàíî- âèòñÿ äîñòèæèìûì î÷åâèäíîå óñëîâèå � "B �� 1), ÷òî äåëàåò ðåàëüíûìè îñóùåñòâëåíèå òàêèõ îñöèë- ëÿöèé è èõ ýêñïåðèìåíòàëüíîå íàáëþäåíèå. Íåäàâ- íî áûëè îáíàðóæåíû íåïîñðåäñòâåííî áëîõîâñêèå îñöèëëÿöèè ýëåêòðîííîãî òîêà â îáúåìå ïîëóïðî- âîäíèêîâûõ ñâåðõðåøåòîê (ïåðâûå ïðÿìûå ýêñïå- ðèìåíòû òàêîãî òèïà áûëè âûïîëíåíû, ïî-âèäèìî- ìó, â ðàáîòaõ [21,22]). Íà ýêñïåðèìåíòàëüíóþ âîçìîæíîñòü «ïî÷óâñòâî- ñàòü» ïåðèîäè÷íîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ïîëóïðî- âîäíèêîâîé ñâåðõðåøåòêå âïåðâûå îáðàòèëè âíèìà- íèå Ýçàêè è Öó [23]. Èõ ñîîáðàæåíèÿ è ðàñ÷åò, âûïîëíåííûé â ïðèáëèæåíèè âðåìåíè ðåëàêñàöèè ", ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Åñëè áû ðåëàêñàöèÿ íå ïðîèñõîäèëà, òî çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ýëåêòðîíà îò âðåìåíè îïðåäåëÿëàñü áû ôîðìóëîé (26), ãäå òå- ïåðü a — ïåðèîä ñâåðõðåøåòêè. Ó÷åò äèññèïàòèâ- íûõ ïðîöåññîâ (ðåëàêñàöèè) âûíóæäàåò íàñ ñ÷è- òàòü, ÷òî ðåàëüíîå èçìåíåíèå ñêîðîñòè ýëåêòðîíà ïðîèñõîäèò ìåäëåííåå (äåìïôèðóåòñÿ): dv t/ dvx � �exp ( )" 0 . (27) Èç (27) ñëåäóåò v t t/ dv t dv dt t / dtx t ( ) exp ( ) ( ) exp ( )� � � # � # # " "0 0 0 . (28) Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ v t eE p t / dt eE m z x x t t B ( ) exp ( ) ( ) ( � � � � # # � � 2 2 0 0 0 � " �cos # � # #) exp ( ) ,z / dz" (29) ãäå m / px( )0 1 2 2� � � �� — îáðàòíàÿ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðè px � 0. Äëÿ áîëüøèõ âðåìåí (t �� ") ìîæíî ïîëîæèòü t � � íà âåðõíåì ïðåäåëå â (29), è âîçíèêàåò èçâåñò- íàÿ ôîðìóëà Ýçàêè è Öó [23] äëÿ óñòàíîâèâøåéñÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè ýëåêòðîíà â ïîëóïðîâîäíèêîâîé ñâåðõðåøåòêå: v v a x B B � � � � ( ) ( ) � " � " � 1 2 0 � . (30) Â ñëàáûõ ïîëÿõ (ïðè � "B �� 1) èç (30) ñëåäóåò ñòàíäàðòíàÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñðåäíåé ñêîðî- ñòè ýëåêòðîíà îò ïîëÿ v e m E� " ( ) , 0 (31) îáúÿñíÿþùàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü â ñëàáûõ ýëåê- òðè÷åñêèõ ïîëÿõ. Â ñèëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ( )� "B �� 1 , äîïóñòèìîì â ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ìàòå- ðèàëàõ, èç (30) âûòåêàåò íåâîçìîæíàÿ â ìåòàëëàõ ñïàäàþùàÿ ñ ðîñòîì E çàâèñèìîñòü ñðåäíåé ñêîðî- ñòè: v e E � � " 0 1 , (32) êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê îòðèöàòåëüíîé äèôôåðåíöè- àëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïîëóïðîâîäíèêîâîé ñâåðõðåøåòêè. Áëîõîâñêèå îñöèëëÿöèè, êàê óæå îòìå÷àëîñü, âîçìîæíû íà âðåìåíàõ, ìåíüøèõ âðåìåíè ðåëàêñà- öèè, è â äîñòàòî÷íî ñèëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ò.å. ïðè óñëîâèè1/ tB� "�� . Â ïðåäåëå " � � âû- ðàæåíèå (29) ïðåâðàùàåòñÿ â ôîðìóëó (26). Ïðè áîëüøèõ, íî êîíå÷íûõ ", ôîðìóëà (29) îïèñûâàåò áëîõîâñêèå îñöèëëÿöèè íåãàðìîíè÷åñêîãî âèäà. Ýëåêòðîäèíàìèêà ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ñâåðõðå- øåòîê ïðåâðàòèëàñü â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ñàìîñòîÿ- òåëüíûé ðàçäåë ôèçèêè [24], ñîäåðæàíèå êîòîðîãî ëèøü ñëåãêà êàñàåòñÿ íàøåé òåìû. 2.6. Òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè è íèçêîòåìïåðàòóðíîå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëîâ Îïèñàííûå âûøå êâàíòîâûå îñöèëëÿöèîííûå ýôôåêòû â ìåòàëëàõ ÿâëÿþòñÿ, áåçóñëîâíî, î÷åíü êðàñèâîé äåìîíñòðàöèåé êâàíòîâîé ïðèðîäû ìàã- íåòèçìà, à ðàçíîîáðàçíûå ôîðìû èõ ïðîÿâëåíèÿ ñëóæàò ïîäòâåðæäåíèåì ñëîæíîñòè ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè â ìåòàëëàõ. Îäíàêî òîëüêî çàìêíóòûå ýëåê- òðîííûå îðáèòû äàþò âêëàä â íàáëþäàåìûå êâàí- òîâûå îñöèëëÿöèè. Ìû îòìå÷àëè, ÷òî åñëè ïðè èç- ìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ îðáèòà ýëåêòðîíà íà îòêðûòîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ñòàíî- âèòñÿ î÷åíü áîëüøîé è â ïðåäåëå ïðåâðàùàåòñÿ â íå- çàìêíóòóþ, òî êâàíòîâûå îñöèëëÿöèè èñ÷åçàþò. Ïî- ñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèå «îòêðûòîñòè» ôåðìè-ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî ñïåöèôèêà äèíàìèêè ýëåêòðîíîâ ïðè äâè- æåíèè ïî îòêðûòûì òðàåêòîðèÿì ñêàçûâàåòñÿ ïðè èçó÷åíèè äðóãèõ ÿâëåíèé. Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 147 Äèíàìèêà ýëåêòðîíîâ íà îòêðûòûõ òðàåêòîðèÿõ ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ â îñîáåííîñòÿõ òåõ ìàêðîñêîïè÷å- ñêèõ ñâîéñòâ ìåòàëëîâ, êîòîðûå íå òðåáóþò äëÿ ñâî- åãî îïèñàíèÿ ïðèâëå÷åíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÷àñ- òèöû ñ ïðîèçâîëüíûì çàêîíîì äèñïåðñèè, íî êîòîðûå ÷óâñòâèòåëüíû ê ôîðìå êëàññè÷åñêèõ òðà- åêòîðèé íîñèòåëåé òîêà. Òàêîâûìè ñâîéñòâàìè ÿâ- ëÿþòñÿ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ãàëüâàíîìàãíèòíûå ñâîé- ñòâà ìåòàëëîâ â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Òîïîëîãè÷åñêèé àñïåêò òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ìåòàëëàõ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñòàë ïðåäìåòîì ãëóáîêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà [25]. Îäíàêî íàñ èíòåðåñóþò íå äåòàëè ìàòåìàòè÷åñêî- ãî àíàëèçà, à ôèçè÷åñêèå âûâîäû, ñâÿçûâàþùèå íà- áëþäàåìûå ÿâëåíèÿ ñ ãåîìåòðèåé ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿ ïðåêðàñíûé îáçîð [26], èñ÷åðïûâàþùèé òåìó, ñôîðìóëèðîâàííóþ íà- çâàíèåì íàñòîÿùåãî ïóíêòà, è ýòî äàåò àâòîðó âîç- ìîæíîñòü îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî îáùèìè êà÷åñòâåí- íûìè çàìå÷àíèÿìè. Còîèò ëèøü îòìåòèòü, ÷òî êàê îáçîð [26], òàê è ìîíîãðàôèÿ [3] äàþò ïîëíîå èçëî- æåíèå òåîðèè íèçêîòåìïåðàòóðíûõ ãàëüâàíîìàãíèò- íûõ ñâîécòâ ìåòàëëîâ â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ, êîãäà â ïîëíîé ìåðå ïðîÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêèå îñîáåííîñòè ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè. Ýòà òåîðèÿ ïîëó- ÷èëà â ñâîå âðåìÿ íàçâàíèå «òåîðèÿ ËÀÊ» ïî ïåð- âûì áóêâàì èìåí åå ñîçäàòåëåé Ëèôøèöà, Àçáåëÿ è Êàãàíîâà. Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå äîñòàòî÷íî ñèëüíîå, òî öèê- ëîòðîííàÿ ÷àñòîòà ñòîëü âåëèêà, ÷òî ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ýëåêòðîí çà âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìíîãî ðàç «îáåãàåò» ëþáóþ çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ âíóòðè çîíû Áðèëëþýíà, à ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò ïåðåñå÷ü ìíîãî ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê â îáðàòíîì ïðî- ñòðàíñòâå, äâèãàÿñü ïî îòêðûòîé òðàåêòîðèè. Èìåí- íî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáóñëoâëèâàåò âîçìîæíîñòü ïðîÿâëåíèÿ «îòêðûòîñòè» ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ìåòàëëà. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ìåòàëëå î÷åíü ìàëà, ïîýòîìó â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè äèíà- ìèêà ýëåêòðîíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé åãî òðàåêòî- ðèè â ìàãíèòíîì ïîëå. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ìîæåò áûòü ó÷òåíî êàê ìàëîå âîçìóùåíèå, ïåðåáðàñûâàþ- ùåå ýëåêòðîí ñ îäíîé òðàåêòîðèè íà äðóãóþ. Èñ- êëþ÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé ìàã- íèòíîå ïîëå B è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Òîãäà âñå ýëåêòðîíû íà çàìêíó- òûõ òðàåêòîðèÿõ âîâëåêàþòñÿ â õîëëîâñêèé äðåéô ñ ïîñòîÿííîé ñðåäíåé ñêîðîñòüþ âåëè÷èíû v cE/B� . Íåñêîëüêî èíà÷å âûãëÿäèò õîëëîâñêèé äðåéô äëÿ ýëåêòðîíîâ íà îòêðûòûõ òðàåêòîðèÿõ, íî íàñ â ïåð- âóþ î÷åðåäü áóäåò èíòåðåñîâàòü íå õîëëîâñêèé, à äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò xx óäåëüíîãî ýëåêòðîñîïðî- òèâëåíèÿ êàê ôóíêöèÿ íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîäðîáíûé àíàëèç ðàçëè÷íûõ ñèòóàöèé è ðàçíûõ âîçìîæíîñòåé, ïðåäñòàâëÿåìûõ äèíàìèêîé ýëåêòðîíîâ íà îòêðûòûõ ïîâåðõíîñòÿõ Ôåðìè, áûë äàí â ðàáîòàõ [27,28] è ïðîàíàëèçèðîâàí â ìîíîãðà- ôèè [29]. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ïðîñòåéøèì âàðèàíòîì. Ðàññìîòðèì ìåòàëë, ó êîòîðîãî ïîâåðõíîñòü Ôåðìè — ãîôðèðîâàííûé öèëèíäð (òèïà èçîáðà- æåííîãî íà ðèñ. 10 èëè ðèñ. 15). Ìîäåëüíûé çàêîí äèñïåðñèè, äàþùèé òàêóþ ïîâåðõíîñòü Ôåðìè, ñëå- äóþùèé: �( ) sin ,p � � � � 2 2 2 2 2 bp p p m x y z (33) ïðè÷åì �F � �. Íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ áëèç- êî ê îñè z. Ñå÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïëîñêîñòüþ pz � 0 ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 5. Î÷åâèä- íî, ÷òî åñëè ìàãíèòíîå ïîëå ñòðîãî ïàðàëëåëüíî îñè z, òî ïðè \| \|p pz � 1 âîçíèêàþò îòêðûòûå òðàåêòîðèè. Åñëè æå ìàãíèòíîå ïîëå îòêëîíåíî íà êîíå÷íûé óãîë � îò îñè z, òî òðàåêòîðèè ñòàíîâÿòñÿ çàìêíóòû- 148 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ H � px px h/a Ðèñ. 15. Äëèííàÿ òðàåêòîðèÿ íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â ôîðìå ãîôðèðîâàííîãî öèëèíäðà. ìè (ñì. ðèñ. 15). Íî ïðè ìàëûõ óãëàõ � �� 1 òðàåê- òîðèè õîòÿ è çàìêíóòû, íî î÷åíü âûòÿíóòû, ïîýòîìó äëèíà òðàåêòîðèè ìîæåò çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèòü ïåðèîä îáðàòíîé ðåøåòêè 2�/b. Åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíà òðàåêòîðèè â êîîð- äèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå íà÷íåò ïðåâîñõîäèòü äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà â ìåòàëëå, òî òàêaÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò ïðîÿâëÿòü ñåáÿ â êèíåòèêå êàê îò- êðûòàÿ. Âñïîìèíàÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåò- ðàìè ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé â êîîðäèíàòíîì è îáðàòíîì ïðîñòðàíñòâàõ (8), ëåãêî îöåíèòü ïðå- äåëüíûé óãîë êàê òî çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì âåëè÷è- íà 2� �c/ beB( ) ñðàâíèâàåòñÿ ñî ñðåäíåé äëèíîé ïðî- áåãà ýëåêòðîíà. Âíóòðè îöåíåííîãî èíòåðâàëà óãëîâ ðàñïîëîæåíû âûòÿíóòûå çàìêíóòûå îðáèòû, ýëåê- òðîíû íà êîòîðûõ íå óñïåâàþò ðåàëèçîâàòü ñâîåãî öèêëîòðîííîãî äâèæåíèÿ. Â ðåçóëüòàòå äëÿ ýòèõ ýëåêòðîíîâ vx � 0, â òî âðåìÿ êàê vy $ 0. Ïîñëåä- íåå ïðèâîäèò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ xx â îêðåñò- íîñòè � � 0 (ñì. ðèñ. 16). Åñëè ïîâåðõíîñòü Ôåðìè áîëåå ñëîæíàÿ, ÷åì ãîôðèðîâàííûé öèëèíäð, íàïðèìåð, ïîäîáíà èçî- áðàæåííîé íà ðèñ. 17, òî îðèåíòàöèè òîïîëîãè÷å- ñêèõ îñîáåííîñòåé ìîãóò áûòü èçîáðàæåíû ñ ïîìî- ùüþ ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè (ðèñ. 18). Öåíòð êðóãà ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëè íà ðèñ. 17, à ãðàíèöà êðóãà — � �� /2. Çàøòðèõîâàííûå ó÷àñòêè ïðåä- ñòàâëÿþò îáëàñòè, ãäå âñòðå÷àþòñÿ îòêðûòûå òðàåê- òîðèè. Ñïëîøíûå ëèíèè îò öåíòðà ê ãðàíèöå è ñàìà îêðóæíîñòü � �� /2 îòâå÷àþò îòêðûòûì òðàåêòîðè- ÿì, âîçíèêàþùèì, êîãäà ïîëå ïîâîðà÷èâàåòñÿ â îä- íîé èç ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé. Òî÷êè â öåíòðå è íà îê- ðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóþò íàïðàâëåíèÿì, ãäå îïÿòü èìåþòñÿ ëèøü çàìêíóòûå òðàåêòîðèè; ïóíêòèðíûå ëèíèè îãðàíè÷èâàþò îáëàñòè òðàåêòîðèé, õîòÿ è çàìêíóòûõ, íî ïðîäîëæàþùèõñÿ íà ìíîãî ïåðèîäîâ îáðàòíîé ðåøåòêè. Ñâîåîáðàçíîå ïðîÿâëåíèå çîííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå, äàþùåå åùå îäíó âîç- ìîæíîñòü èçó÷åíèÿ ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè, äåìîíñòðèðóþò êëàññè÷åñêèå ðàçìåðíûå îñöèëëÿ- öèè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ â ïðîâîäÿùåé ñâåðõðå- øåòêå. Åñëè ñâåðõðåøåòêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 1D ñòðóêòóðó ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèì ïåðèîäîì b âäîëü îñè x, òî â îäíîçîííîì ïðèáëèæåíèè ýëåêòðîíó ìîæíî ñîïîñòàâèòü çàêîí äèñïåðñèè òèïà (33). Äî- ïóñòèì, ÷òî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî ïî Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 149 �0 p xx Ðèñ. 16. Ñèíãóëÿðíàÿ çàâèñèìîñòü ìàãíèòîñîïðîòèâëå- íèÿ ìåòàëëà ñ ïîâåðõíîñòüþ Ôåðìè â ôîðìå ãîôðèðî- âàííîãî öèëèíäðà îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. �n H Ðèñ. 17. Îòêðûòàÿ ïîâåðõíîñòü Ôåðìè ñëîæíîé ôîðìû. Ðèñ. 18. Ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ íàïðàâëåíèé ìàã- íèòíîãî ïîëÿ, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíû îòêðûòûå òðàåê- òîðèè. îñè z, è ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèå òðàåêòîðèè ýëåê- òðîíà â ïëîñêîñòè xîy. Èç âñåãî âûøåèçëîæåííîãî ÿñíî, ÷òî â äèíàìèêå ýëåêòðîííîãî ãàçà âîçíèêíóò ðåçîíàíñíûå îñîáåííîñòè, êîãäà ðàçìåð ôåðìèåâ- ñêîé îðáèòû ýëåêòðîíà ïî íàïðàâëåíèþ îx â ýòoé ïëîñêîñòè áóäåò êðàòíûì ïåðèîäó b. Ñîîòâåòñòâóþ- ùèå âû÷èñëåíèÿ íèçêîòåìïåðàòóðíîãî ìàãíèòîñî- ïðîòèâëåíèÿ ïîäîáíîé ñèñòåìû è áèáëèîãðàôèþ ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [30]. Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííûå êëàññè÷åñêèå îñöèëëÿ- öèè ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ìàãíèòîàêóñòè÷åñêèõ îñ- öèëëÿöèé, ïðåäñêàçàííûõ Ïèïïàðäîì (ñì., íàïðè- ìåð, [29]). Ðå÷ü èäåò î ãåîìåòðè÷åñêîì ðåçîíàíñå, âîçíèêàþùåì ïðè ïðîõîæäåíèè ïëîñêîé ìîíîõðî- ìàòè÷åñêîé ïðîäîëüíîé çâóêîâîé âîëíû ÷åðåç ìå- òàëë ïåðïåíäèêóëÿðíî âíåøíåìó ìàãíèòíîìó ïîëþ. Âîëíà ñæàòèÿ è ðàçðåæåíèÿ ñîçäàåò äâèæóùóþñÿ ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ýëåêòðîíà çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ñêîðîñòü çâóêà, îí âîñïðèíèìàåò ýòó âîëíó êàê íåêóþ ìåäëåííî ïå- ðåìåùàþùóþñÿ ñâåðõðåøåòêó ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì äëèíå çâóêîâîé âîëíû. È ñîâïàäåíèå ðàçìåðà ýëåê- òðîííîé îðáèòû âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíå- íèÿ âîëíû ñ öåëûì ÷èñëîì äëèí âîëí ïðèâîäèò ê ðåçîíàíñíîìó ýôôåêòó. Àíèçîòðîïèÿ ýôôåêòà, ñâÿ- çàííàÿ ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâîé âîëíû, ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ôîðìå ýëåêòðîííîé òðà- åêòîðèè â ìàãíèòíîì ïîëå. Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î äåòàëÿõ ïîâåðõ- íîñòè Ôåðìè è ýôôåêòèâíûõ ìàññàõ ýëåêòðîíà ìî- æåò áûòü ïîëó÷åíà òàêæå èç àíàëèçà öèêëîòðîííîãî ðåçîíàíñà Àçáåëÿ—Êàíåðà [31,32]. Îäíàêî ýòîò ýô- ôåêò ñâÿçàí ñ âûñîêî÷àñòîòíûìè ñâîéñòâàìè ìåòàë- ëîâ, àíàëèçó êîòîðûõ ñëåäîâàëî áû ïîñâÿòèòü îò- äåëüíóþ ïóáëèêàöèþ. Ïîýòîìó, ïîíèìàÿ îãðîìíóþ âàæíîñòü ýôôåêòà Àçáåëÿ—Êàíåðà â ýëåêòðîííîé òåîðèè ìåòàëëîâ, ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî åãî óïîìè- íàíèåì. 2.7. Ôàçà Áýððè è òîïîëîãèÿ òðàåêòîðèé â ìàãíèòíîì ïîëå Çàâåðøàÿ îáñóæäåíèå ïðîáëåì, ñâÿçàííûõ ñ òî- ïîëîãèåé ýëåêòðîííûõ òðàåêòîðèé â ìàãíèòíîì ïîëå, óïîìÿíåì ñóãóáî êâàíòîâûé ýôôåêò ãåîìåòðè- ÷åñêîé ôàçû Áýððè [33] â îñöèëëÿöèîííûõ ìàãíèò- íûõ ÿâëåíèÿõ. Âîïðîñ êàñàåòñÿ îáñóæäåíèÿ ïàðà- ìåòðà � â ôîðìóëå (18), âëèÿþùåãî íà ôàçó îñöèëëÿöèé íàìàãíè÷åííîñòè (19). Âïåðâûå âû÷èñ- ëåíèå � ìåòîäîì ÂÊÁ áûëî ïðîäåëàíî â [15], à ïîç- æå áîëåå ñòðîãî âûïîëíåíî â [34] äëÿ îäíîçîííîãî ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà. Â ïóáëèêàöèè [34] áûë, â ÷à- ñòíîñòè, ïîäòâåðæäåí îñîáûé âêëàä â � ýëåêòðîí- íûõ òðàåêòîðèé ñ ñàìîïåðåñå÷åíèåì (òèïà ñåïàðàò- ðèñû íà ðèñ. 5), îïèñàííûé ðàíåå â ðàáîòå [8]. Òåïåðü íåñêîëüêî îáùèõ ñëîâ ïî ïîâîäó îáñòîÿ- òåëüñòâ, òðåáóþùèõ ó÷åòà ôàçû Áýððè. Èçâåñòíî, ÷òî ëîêàëüíîå ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ôàçû âîëíîâîé ôóíêöèè íå èçìåðèìî (ëîêàëüíî èçìåðèìû òîëüêî åå ãðàäèåíòû è ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè). Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå % % &( , ) \| \| exp ( ( , ))x xt i t� . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî %( , )x t — îäíîçíà÷íàÿ ôóíê- öèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Îäíàêî ôàçà &( , )x t íå îáÿçàíà áûòü îäíîçíà÷íîé, íî åå èçìåíåíèå âäîëü ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà äîëæíî áûòü êðàòíûì 2�. Â èíòåðåñóþùåì íàñ ñëó÷àå ýëåêòðîíà â ïîñòî- ÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðàâëåííîì ïî îñè z, êî- ãäà pz � �const const, � , ñóùåñòâåííà çàâèñèìîñòü ôàçû îò x è y: & � &� � � p z t x yz � 0( , ) . Ñôîðìóëèðîâàííîå âûøå óñëîâèå èìååò âèä � � � � � & � � � � 0 2 0 1 2 1 2 x dx n n, , , , ..., ( , ) , (34) ãäå èíòåãðèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ âäîëü ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà â ïëîñêîñòè ( , )x y . Ôàçà êâàçèêëàññè÷åñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè îï- ðåäåëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì äåéñòâèåì S äëÿ èçó÷àå- ìîé ñèñòåìû & � ( )1/ S� . À òàê êàê â ìàãíèòíîì ïîëå äåéñòâèå S ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå S e c d0 0 � A x x , (35) ãäå A — âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, òî çàìêíóòàÿ ýëåê- òðîííàÿ òðàåêòîðèÿ ' äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëî- âèþ, âûòåêàþùåìó èç (34): e c d n n � A l ' � �2 0 1 2� , , , , ... (36) Óñëîâèå (36) ýêâèâàëåíòíî êâàçèêëàññè÷åñêîìó êâàíòîâàíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà (16). Èìåííî ñîîò- íîøåíèå (36) ëåæèò â îñíîâå ýôôåêòà Ààðîíî- âà—Áîìà [35] è îáúÿñíÿåò êâàíòîâàíèå öèðêóëÿð- íûõ ýëåêòðîííûõ îðáèò â ïîëå ñèíãóëÿðíîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà [36]. Êàæóùàÿñÿ íåîáû÷- íîñòü ÿâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Áåñêîíå÷- íî (â ïðåäåëå) òîíêèé ïðÿìîëèíåéíûé ñîëåíîèä ñîçäàåò âäîëü îñè z ëîêàëèçîâàííûé ìàãíèòíûé ïî- òîê�0, à â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå — âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ñ åäèíñòâåííîé îòëè÷íîé îò íóëÿ óãëî- âîé êîìïîíåíòîé A / r� �� 0 2( ), ãäå r x y2 2 2� � . Òàêîé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íå ïîðîæäàåò ìàã- íèòíîãî ïîëÿ â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ( , )rot A � $0 0r . Îäíàêî ýëåêòðîí, ïðèíóäèòåëüíî 150 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ äâèæóùèéñÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ', îõâàòû- âàþùåé îñü z ( íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî ðàñ- ïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà), «÷óâñòâó- åò» íàëè÷èå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïîñêîëüêó åãî òðàåêòîðèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ óñëîâèþ (36). Ýòî íåëîêàëüíûé òîïîëîãè÷åñêèé ýôôåêò. Íèêà- êîãî ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ ìàãíèòíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ëîêàëüíî äåéñòâóþùåãî íà ýëåêòðîí â ëþáîé òî÷êå z $ 0, íå ñóùåñòâóåò. «Ñðàáàòûâàåò» âñÿ òðàåêòîðèÿ öåëèêîì. À îñîáåííîñòü óïîìÿíóòîé òðàåêòîðèè ' â òîì, ÷òî âûíóæäåííîå äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïðî- èñõîäèò â äâóõñâÿçíîé ïëîñêîñòè ( , )x y (åå îä- íîñâÿçíîñòü íàðóøåíà íàëè÷èåì ëîêàëèçîâàííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà, «ïðîêàëûâàþùåãî» ïëîñêîñòü â òî÷êå x y� � 0). Ýôôåêò Ààðîíîâà—Áîìà áûë ôàêòè÷åñêè ïåðâîé ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèåé òîãî, ÷òî ïîçæå ñòàëî ñâÿçûâàòüñÿ ñ ïðîÿâëåíèåì ôàçû Áýððè. Â ðàáîòå Áýððè [33] áûëî ñäåëàíî âåñüìà âàæíîå íàáëþäåíèå, ïðèâåäøåå ê îòêðûòèþ ñ äàëåêî èäó- ùèìè âûâîäàìè. Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí è äåéñòâèå èçó÷àåìîé êâàíòîâîé ñèñòåìû çàâèñÿò îò íåêîòîðîãî íàáîðà íåïðåðûâíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü ïðîñòðàíñòâîì ïàðàìåòðîâ R. Òîãäà ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè ýòîé ñèñòåìû òàêæå áóäåò çàâè- ñåòü îò óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå ïðîñòðàíñòâîì ïàðàìåòðîâ ìîæåò ñëó- æèòü, íàïðèìåð, çîíà Áðèëëþýíà â k-ïðîñòðàíñòâå [37]. Åñëè ïàðàìåòðû R èñïûòûâàþò àäèàáàòè÷å- ñêèå èçìåíåíèÿ è ìåäëåííî ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì R( )t òàêèì îáðàçîì, ÷òî â êîíöå íåêîãî öèêëè÷åñêî- ãî ïðîöåññà ïðè t T� âîçâðàùàþòñÿ ê èñõîäíûì çíà÷åíèÿì R R( ) ( )T � 0 , òî ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè ïîëó÷àåò äîïîëíèòåëüíîå èçìåíåèå (, êîòîðîå íå ñâÿçàíî ñ ïðèðàùåíèåì êëàññè÷åñêîãî äåéñòâèÿ. Ïðèðàùåíèå ( áûëî íàçâàíî ãåîìåòðè÷åñêîé ôà- çîé — ýòî è åñòü ôàçà Áýððè. Ïîëíûé íàáåã ôàçû âäîëü ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ óñëîâèþ òèïà (34): & ( �� 1 2 0 1 20 � S n n, , , , ... (37) Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ôàçû Áýððè. Ïóñòü H ( ( ))R t — ãàìèëüòîíèàí, à %( )t — âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ — âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (ìû ñëåäóåì îðèãèíàëüíîé ðàáîòå [33] è ïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè Äèðàêà). Ýâîëþöèÿ %( )t îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà i t t t t� � � � % % ( ) ( ( )) ( )H P . (38) Â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèì ñîá- ñòâåííûå ôóíêöèè è çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà H ( )R , ãäå R R� ( )t : E n nn ( ) ( ) ( ) ( )R R R R� H . (39) Äîïóñòèì, ñïåêòð En ( )R äèñêðåòíûé è íåâûðîæ- äåííûé. Ñîãëàñíî êâàíòîâîé àäèàáàòè÷åñêîé ãèïî- òåçå Ýðåíôåñòà, ñèñòåìà, íàõîäèâøàÿñÿ â íà÷àëü- íûé ìîìåíò âðåìåíè â ñîñòîÿíèè ñ n ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíåì, ïðè àäèàáàòè÷åñêîé ýâîëþöèè ïðîäîëæàåò íàõîäèòüñÿ â ýòîì æå ñîñòîÿíèè, õîòÿ ñàìî ñîñòîÿ- íèå è óðîâåíü En ( )R ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Ïîýòî- ìó âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðå- ìåíè ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå [38] % (( ) exp ( ( )) exp ( ( )) ( ( )t i E t dt i t n tn t n� � # � � � � � � � � � 0 R R ) , (40) ãäå ïåðâûé ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü — ýòî îáû÷íûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü. Ïîñëåäíèé ìíîæè- òåëü n t( ( ))R åñòü îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ïàðàìåò- ðîâ R( )t . À åñòåñòâåííî ïîÿâèâøèéñÿ âòîðîé ýêñïî- íåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü â (40) ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ìîìåíòîì â àíàëèçå, òàê êàê ôàçà ( n t( ) íå îáÿçàíà áûòü îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé R( )t . Ïîýòîìó ïðè öèêëè÷åñêîì ïðîöåññå ìîæåò îêàçàòüñÿ ( (n nT( ) ( )$ 0 . Ïîäñòàâëÿÿ (40) â (38), ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíå- íèå äëÿ ( n t( ): d t dt i n t n t t n( ( ) ( ( )) ( ( )) � � � R R . (41) Âû÷èñëèì ïðèðàùåíèå ( n ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èçìåíåíèè âäîëü íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî êîíòóðàC â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ, òàê ÷òî R R( ) ( )T � 0 : ( n C T i n n d( ) ( ) ( ) � � � R R R R . (42) Òàê êàê ôóíêöèè n íîðìèðîâàíû ( n n\| = 1), òî n n/ t( )� � åñòü ÷èñòî ìíèìàÿ âåëè÷èíà, ÷òî ãàðàíòè- ðóåò âåùåñòâåííîñòü ôàçû ( n T( ). Åñëè ïðèíÿòü ( n ( )0 0� , òî ( n T( ) îïðåäåëÿåò ãåîìåòðè÷åñêóþ ôàçó, ò.å. ôàçó Áýððè. Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ ôàçó äëÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå, äâèæóùåãîñÿ ïî íåêîòîðîé çàìêíóòîé îðáèòå ' â k-ïðîñòðàíñòâå. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, çîíà Áðèëëþýíà â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò âûñòóïàòü êàê ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ, ïðè÷åì R k� . Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t ýëåêòðîí îáëàäàåò ýíåðãèåé èç s-é çîíû. Òîãäà åãî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä (âîçâðàùàåìñÿ ê îáû÷íîé çàïèñè âîëíî- âîé ôóíêöèè) s � u isk x kx( ) exp ( ), (43) ãäå u sk x( ) — ïåðèîäè÷åñêàÿ â ïðîñòðàíñòâå áëîõîâ- ñêàÿ àìïëèòóäà. Áëîõîâñêàÿ àìïëèòóäà è ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà � s ( )k ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿ- Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 151 ìè è ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ òèïà (39) â ìîìåíò âðåìåíè t. Êâàçè- âîëíîâîé âåêòîð k âõîäèò â ýòî óðàâíåíèå êàê ïàðà- ìåòð. Íàïðèìåð, â ìàãíèòíîì ïîëå k k( )t � � � ( ) ( )e/ c t� A . Ïîýòîìó ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èçìåíå- íèè ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé ñëåäóåò ïîëàãàòü s t, � u t isk kx( ) exp ( ), (44) ñ÷èòàÿ, ÷òî êâàçèâîëíîâîé âåêòîð â ýêñïîíåíöèàëü- íîì ìíîæèòåëå exp ( )ikx ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì îò âðåìåíè. Ìåäëåííàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ñîäåð- æèòñÿ â áëîõîâñêîé àìïëèòóäå è ýíåðãèè � s t( ( ))k . Ó÷èòûâàÿ ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå, ïîäñòàâèì (44) â (42): ( n n nT i d u x u d x( ) ( ) ( ) .� � � ' k x kk k 3 (45) Ýòî è åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôàçà ýëåêòðîíà, ñîâåð- øàþùåãî öèêëè÷åñêîå äâèæåíèå â ìàãíèòíîì ïîëå. Ëþáîïûòíî çàìåòèòü [34], ÷òî èíòåãðàë �( ) ( ) ( )k x x xk k� � � i u u d xs s 3 (46) ñîâïàäàåò ñ äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì ìàòðèöû � ss s si u u d x# #� ) ( ) ( ) ( ) ,k x xk k k 3 (47) êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ÷àñòü îïåðàòîðà êîîðäèíàòû â k-ïðåäñòàâëåíèè, îò- âåòñòâåííóþ çà ìåæçîííûå ïåðåõîäû (ñì., íàïðèìåð, [39]): � � ( )r k k� � � �i � . (48) Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôàçà Áýððè ïðèâëåêëà âíèìàíèå êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó â îïå- ðàòîðå êîîðäèíàòû (48) â ïðîñòðàíñòâåííî-ïåðèî- äè÷åñêîé ñòðóêòóðå. Íàêîíåö, âåðíåìñÿ ê ïðàâèëàì êâàíòîâàíèÿ (37) è îáñóæäåíèþ ñëàãàåìîãî � â ôîðìóëå (18). Åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåêòðîííûå îðáèòû ñ ðàçíûì n â ìàãíèòíîì ïîëå íå î÷åíü áëèçêè äðóã ê äðóãó, à èõ ôîðìà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò îðáèòû ñ ñàìîïå- ðåñå÷åíèåì, òî êàê ïîêàçàíî â [15] è ïîäòâåðæäåíî â [39], ïàðàìåòð � âñåãäà èìååò çíà÷åíèå � � 1 2 . (49) Èìåííî ýòî çíà÷åíèå îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îá- ñóæäåíèè êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé â ìåòàëëàõ [6]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êâàíòîâàíèè äâèæåíèÿ ýëåê- òðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå â óêàçàííûõ âûøå óñëîâè- ÿõ äëÿ âåëè÷èíû S0 â (37) íóæíî ïðèíÿòü çíà÷å- íèå �S n0 2 1 2 � �� . (50) Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ � â ôîðìóëå (18) ðàâíà � � (� � 1 2 1 2 � , (51) ãäå �( ( (� �( ) ( )T 0 åñòü íàáåã ãåîìåòðè÷åñêîé ôàçû ïðè ïîëíîì îáîðîòå ýëåêòðîíà âäîëü åãî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè â ìàãíèòíîì ïîëå. Âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (51) è âûòå- êàþùèå ïîñëåäñòâèÿ îáñóæäåíû â ðàáîòå [40]. Íå- íóëåâàÿ ôàçà Áýððè îáû÷íî îáóñëîâëåíà âûðîæäå- íèåì ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé. Âûðîæäåíèå, ò.å. ôàêòè÷åñêè ñîïðèêîñíîâåíèå èëè ïåðåñå÷åíèå èçî- ýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé (ïîëîñòåé ôåðìè-ïî- âåðõíîñòåé), ìîæåò áûòü äâóõ òèïîâ: 1) îáóñëîâëå- íî ñèììåòðèåé — òîãäà îíî ïðîèñõîäèò ëèáî â òî÷êàõ ñèììåòðèè, ëèáî âäîëü îñåé ñèììåòðèè â çîíå Áðèëëþýíà; 2) âäîëü ëèíèé ñëó÷àéíîãî âûðîæ- äåíèÿ [41]. Àíàëèç ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè ïîêàçûâàåò, ÷òî ëèíèè ñèììåòðèéíîãî è ñëó÷àéíîãî êîíòàêòà äîëæíû ñóùåñòâîâàòü âî ìíîãèõ ìåòàëëàõ. Íà ðèñ. 19 ïîêàçàíû ñâîåîáðàçíûå ôîðìû ïîâåðõ- íîñòåé Ôåðìè â ðàçíûõ ìåòàëëàõ, îáëàäàþùèå îá- ñóæäàåìûìè îñîáåííîñòÿìè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè- ÷èíû � âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â [42] åùå â 1962 ã. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè òðàåêòîðèÿ ' îõâàòûâàåò ëèíèþ âûðîæäåíèÿ, òî ãåîìåòðè÷å- ñêàÿ ôàçà �( âäîëü íåå ñóùåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ 152 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ a 1 4 âá 2 3 Ðèñ. 19. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòåé Ôåð- ìè äëÿ íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ, îáëàäàþùèõ ëèíèÿìè âû- ðîæäåíèÿ â ýëåêòðîííîì ñïåêòðå: ýëåêòðîííûå «ëèíçû» äëÿ Zn è Cd (a); äûðî÷íûé «ìîíñòð» äëÿ Be è Mg (á); ïîâåðõíîñòü Ôåðìè ñ ñàìîïåðåñå÷åíèåì äëÿ ãðàôèòà (â). Ëèíèè âûðîæäåíèÿ — (– – –). òåì, êàê çàâèñèò ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñùåïëåíèå îò óäàëåíèÿ òî÷êè k îò óêàçàííîé ëèíèè. Åñëè ðàñùåï- ëåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí ðàñòåò ëèíåéíî ñ óâåëè÷å- íèåì ýòîãî óäàëåíèÿ, òî èíòåãðàë (45), äàþùèé ãåî- ìåòðè÷åñêóþ ôàçó �(, ðàâåí �( �� ! , (52) ãäå çíàê çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â (45). Ñôîðìóëèðîâàííûå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ â îê- ðåñòíîñòè ëèíèè ñëó÷àéíîãî âûðîæäåíèÿ, à òàêæå âáëèçè ëèíèè âûðîæäåíèÿ, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ ñèììåòðèè òðåòüåãî ïîðÿäêà (ýòî òðàåêòîðèè 3 è 4 íà ðèñ. 19,á,â). Ïîýòîìó äëÿ óêàçàííûõ òðàåêòîðèé � � 0 , (53) � � 1 è � � 0 ýêâèâàëåíòíû. Åñëè æå ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñùåïëåíèå âáëèçè ëè- íèè âûðîæäåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ êâàäðàòè÷íî ñ ðîñ- òîì ðàññòîÿíèÿ òî÷êè k îò ýòîé ëèíèè, òî �( � 0 . (54) Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå, à òàêæå äëÿ òðàåê- òîðèé ', íå îõâàòûâàþùèõ ëèíèè âûðîæäåíèÿ (èëè îõâàòûâàþùèõ ÷åòíîå ÷èñëî ëèíèé âûðîæäåíèÿ — ýòî òðàåêòîðèè òèïà 1 è 2 íà ðèñ. 19,à,á), � � 1 2 . Ïîäâîäÿ èòîã, çàìåòèì, ÷òî îïèñàííàÿ ðîëü ôàçû Áýððè èìååò ÷èñòî òîïîëîãè÷åñêèé õàðàêòåð è íå çà- âèñèò íè îò ôîðìû �( )k â îêðåñòíîñòè ëèíèè âûðîæ- äåíèÿ, íè îò ðàçìåðîâ òðàåêòîðèè '. Ðåçóëüòàò çàâè- ñèò òîëüêî îò òîãî, îõâàòûâàåò ýòà òðàåêòîðèÿ ëèíèþ ñèíãóëÿðíîñòè äëÿ áëîõîâñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè (òîãäà � � 0) èëè íå îõâàòûâàåò (òîãäà èìååò ìåñòî îáû÷íîå çíà÷åíèå � � 1 2/ ). Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçìåðåíèå ñäâèãà ôàçû êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé â ìåòàëëàõ, óïîìÿíó- òûõ âûøå, ïîçâîëÿåò, â ïðèíöèïå, âûäåëÿòü íàëè- ÷èå ëèíèé âûðîæäåíèÿ â èõ ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå. 3. Òîïîëîãèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â äèíàìèêå è òåðìîäèíàìèêå êâàçè÷àñòèö â êðèñòàëëàõ 3.1. Ãåîìåòðèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ (èçî÷àñòîòíûõ) ïîâåðõíîñòåé è àñèìïòîòèêè ðàññåÿííûõ âîëí Îáñóæäàÿ ãåîìåòðèþ è òîïîëîãèþ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè, ìû èñõîäèì èç òîãî, ÷òî ïðè íèçêèõ òåìïå- ðàòóðàõ äëÿ ôåðìèåâñêèõ ÷àñòèö (à ýëåêòðîíû ÿâ- ëÿþòñÿ ïðèìåðîì òàêèõ ÷àñòèö) ñóùåñòâåííà îêðå- ñòíîñòü îäíîé ïîâåðõíîñòè — òîé, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè Ôåðìè. Äëÿ áîçåâñêèõ ÷àñ- òèö (òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ ôîòîíû â ñðåäå, ôîíîíû è ìàãíîíû) íåò åäèíîé õàðàêòåðíîé âûäåëåííîé ýíåð- ãèè (÷àñòîòû). Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èçó- ÷åíèå äèíàìèêè òàêèõ ÷àñòèö (êâàçè÷àñòèö) ïðè âñåõ âîçìîæíûõ ýíåðãèÿõ. Òåðìîäèíàìèêà ãàçà ïî- äîáíûõ ÷àñòèö âåñüìà ÷óâñòâèòåëüíà ê òåìïåðàòóðå, è åå îñîáåííîñòè îòðàæàþò ñèíãóëÿðíîñòè ïëîòíî- ñòè ñîñòîÿíèé áîçåâñêèõ ÷àñòèö. Êàê è â ñëó÷àå ýëåêòðîíîâ, îñíîâíîé äèíàìè÷å- ñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ëþáûõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ çàêîí äèñïåðñèè, ò.å. çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ÷àñòèöû � îò êâàçèèìïóëüñà p. Â ñëó÷àå ôîíîíîâ îáû÷íî ðàñ- ñìàòðèâàþò çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ÷àñòîòû � �� 2 îò êâàçèâîëíîâîãî âåêòîðà. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî p k� � . Ïîñêîëüêó îñîáåííîñòè ïðîÿâëåíèÿ ñëîæíîé ôîðìû ýëåêòðîííîé ýíåðãèè Ôåðìè äîâîëüíî ïîä- ðîáíî îáñóæäåíû â 1-é ÷àñòè, ñåé÷àñ äëÿ îïðåäåëåí- íîñòè ìû áóäåì ãîâîðèòü î ôîíîíàõ. Êàê è â ñëó÷àå ýëåêòðîíîâ, âñå êà÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ óäîáíî ñâÿçûâàòü ñ ãåîìåòðèåé èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè � �( )k � � const. Ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ è äëèííûõ âîëíàõ (ak �� 1), êîãäà çàêîí äèñïåðñèè � � ck, èçî- ÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè çàìêíóòû. Íî ïîñêîëüêó â êðèñòàëëå ñêîðîñòü çâóêà s çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà k, òî äàæå ïðè äëèííîâîëíîâûõ êîëåáàíèÿõ ïîâåðõíîñòü ïîñòîÿííîé ÷àñòîòû ìîæåò áûòü íåâûïóêëîé. Ó÷àñòêè, íà êîòîðûõ ñå÷åíèå èçî- ÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè âûïóêëî, îòäåëåíû îò ó÷àñò- êîâ, ãäå îíî âîãíóòî, òî÷êàìè ñ ðàâíîé íóëþ êðèâèç- íîé ñå÷åíèÿ (ðèñ. 20). Â òðåõìåðíîì k-ïðîñòðàíñòâå âûïóêëûå ó÷àñòêè èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè îòäå- ëåíû îò âîãíóòûõ ëèíèÿìè, âäîëü êîòîðûõ ãàóññîâà (ïîëíàÿ) êðèâèçíà îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íà ðèñ. 21 Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 153 k � 1 1 k � 2 2 Ðèñ. 20. Ñå÷åíèå íåâûïóêëîé èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè äëÿ àêóñòè÷åñêèõ êîëåáàíèé â êóáè÷åñêîé ðåøåòêå. èçîáðàæåí îäèí îêòàíò èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè ìîíîêðèñòàëëà Ge. Æèðíûå ëèíèè íà ðèñ. 21 — ëè- íèè ðàâíîé íóëþ ãàóññîâîé êðèâèçíû, ðàçäåëÿþ- ùèå âûïóêëûå è âîãíóòûå ó÷àñòêè ïîâåðõíîñòè. Â ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè � �( ) ( )k k G� � , ãäå G — âåêòîð îáðàòíîé ðåøåòêè, îïèñàííûå çàìêíóòûå ïî- âåðõíîñòè äîëæíû ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿòüñÿ â k-ïðîñòðàíñòâå. Íà ðèñ. 22, ãäå èçîáðàæåíî ñå÷åíèå îáðàòíîé ðåøåòêè ïëîñêîñòüþ kz � 0, ñå÷åíèÿ ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ðàñïîëîæåíû â òî÷êàõ k /a n1 1 12� ( )� , k /a n2 2 22� ( )� , ãäå n n1 2 0 1 2, , ,� $ ! $ ! , ... Òî÷êà k1 � �/a1, k /a2 2� � îòâå÷àåò ìàêñèìàëüíîé ÷àñòîòå � �� max. Èçî÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè âîêðóã íåå òàêæå çàìêíóòû (ýëëèïñîèäû). Ìåæäó äâóìÿ òèïàìè çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé ðàñïîëîæåí ñëîé îòêðûòûõ èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé (� � � � �1 2 íà ðèñ. 22). Îáû÷íî ïîâåðõíîñòü, ðàçäåëÿþùàÿ îò- êðûòûå è çàìêíóòûå ïîâåðõíîñòè, îáëàäàåò êîíè÷å- ñêîé òî÷êîé, â îêðåñòíîñòè êîòîðîé èçî÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè èìåþò âèä êàê íà ðèñ. 23, ò.å. ïîäîáíû ãèïåðáîëîèäàì. Íà ñõåìå ðèñ. 22 êîíè÷åñêèå òî÷êè — ýòî òî÷êè òèïà k k /a1 2 20� �, � èëè k /a1 1� � , k2 0� . Ôîðìà èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè âåñüìà ñóùåñò- âåííà ïðè èçó÷åíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êâàçè÷àñòèö. Äåëî â òîì, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ôîíîíà ðàâíà v k� � ��/ , ïîýòîìó åå íàïðàâëåíèå ïðè íåñôåðè÷å- ñêîé èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì k. Âçàèìîñâÿçü íàïðàâëå- íèé ãåîìåòðè÷åñêè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé èçî÷àñòîò- íîé ïîâåðõíîñòè �( )k � const, òàê êàê âåêòîð v âñåã- äà íîðìàëåí ê ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîãî óðîâíÿ ÷àñòîòû (ñì. ðèñ. 24). Êàæäîìó âîëíîâîìó âåêòîðó k ïðè ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå îòâå÷àåò îäíà ñêî- ðîñòü v. Îäíàêî çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ ãðóïïîâîé 154 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ k2 k2 = 0 k1 k1 = 0 �1 �2 2 a � 2 2 a � 1 � a2 � a1 Ðèñ. 22. Ñõåìà ñå÷åíèé èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé ïëîñêîñòüþ kz � 0. � � � 1 2 k k 3 Ðèñ. 23. Âèä èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé âáëèçè êîíè÷å- ñêîé òî÷êè. ky kx kz Ðèñ. 21. Èçî÷àñòîòíàÿ ïîâåðõíîñòü äëÿ îäíîé èç âåòâåé êîëåáàíèé êðèñòàëëà Ge. ñêîðîñòè v, ò.å. çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ ïåðåíîñà ýíåðãèè n v� /v ìîæåò îòâå÷àòü íåñêîëüêî âîëíî- âûõ âåêòîðîâ k (k k1 2, è k3 íà ðèñ. 24), ò.å. íå- ñêîëüêî âîëí ñ ðàçíûìè íàïðàâëåíèÿìè ðàñïðîñòðà- íåíèÿ ôàçû (ôðîíòà) âîëíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èçó÷àåì êâàçè÷àñòèöó ñ ïðîèçâîëüíûì çàêîíîì äèñïåðñèè, èçëó÷åííóþ â íà÷àëå êîîðäèíàò (èëè ðàññåÿííóþ òî÷å÷íûì äå- ôåêòîì â íà÷àëå êîîðäèíàò) è èíòåðåñóåìñÿ åå àñèìïòîòèêîé íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Âïåðâûå òà- êàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è áûëà ïðåäëîæåíà È.Ì. Ëèô- øèöåì [43], â ðàáîòàõ êîòîðîãî áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè â ýòîì ñëó÷àå óäîáíî õàðàêòåðèçîâàòü èíòåãðàëîì J r i dS k ( , ) exp ( ) \| ( )\| ( ) � � � � � ) � kr k k k 2 . (55) Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå (55) ïðè r � � õà- ðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì. Âî-ïåðâûõ, ÷èñëî âîëí â íàïðàâëåíèè n îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì òî÷åê êàñàíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïëîñêîñòüþ, ïåð- ïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ n (òî÷êè k1, k2 è k3 íà ðèñ. 24). Âî-âòîðûõ, èíòåíñèâíîñòü (55) â êàæäîé «îïîðíîé» òî÷êå çàâèñèò îò ïîëíîé (ãàóññîâîé) êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå K* (K* � �� 1 2, ãäå �1 è �2 — ãëàâíûå êðèâèçíû). Åñëè K* � 0, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé, à åñëè K* � 0, òî îíà íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé. Âñå òî÷êè âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ýëëèïòè÷åñêèå. Åñëè æå ïîâåðõíîñòü íå âûïóêëàÿ (òèïà èçîáðà- æåííîé íà ðèñ. 21), òî íà íåé ñóùåñòâóþò ó÷àñòêè ñ òî÷êàìè ðàçíûõ òèïîâ (ëèáî ýëëèïòè÷åñêèìè, ëèáî ãèïåðáîëè÷åñêèìè). Íî ó÷àñòêè èçî÷àñòîòíîé ïî- âåðõíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ ðàçäåëåíû ëè- íèÿìè, âäîëü êîòîðûõ îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ (�1 èëè �2) îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ýòî ëèíèè òàê íàçûâàå- ìûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷åê. Íàêîíåö, íà ïåðåñå÷å- íèè ëèíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷åê âîçíèêàþò óïëî- ùåíèÿ, ãäå � �1 2 0� � . Íà÷íåì ñ àíàëèçà àñèìïòîòè÷åñêîãî âèäà èíòå- ãðàëà (55) â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïîðíûå òî÷êè ñóòü ýëëèïòè÷åñêèå èëè ãèïåðáîëè÷åñêèå òî÷êè. Àñèìï- òîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ (55) â ýòîì ñëó÷àå ðàâ- íî [43] J r r i i K ( , ) exp ( ) \| ( )\| \| \| � � � � � * ** � ! ! ) +2 4 4 k r k , (56) ãäå çíàêè â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû îïðåäåëÿþòñÿ çíàêàìè ãëàâíûõ êðèâèçí �1 è �2. Èíòåíñèâíîñòü (56) òèïè÷íà äëÿ ðàñõîäÿùåéñÿ ñôåðè÷åñêîé âîë- íû: J /r� 1 . Èòàê, ðàññåÿííàÿ âîëíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, âî- îáùå ãîâîðÿ, ñóïïåðïîçèöèþ íåñêîëüêèõ ðàñõîäÿ- ùèõñÿ âîëí. Êàæäàÿ èç ýòèõ âîëí èìååò ñâîþ ôîðìó è ñâîþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïðåäñòàâëåíèå î ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïðåäåëåíèè ðàññåÿííûõ âîëí ìîæíî ïîëó÷èòü, èçó÷àÿ òàê íàçûâàåìóþ âîëíîâóþ ïîâåðõíîñòü. Âîëíîâàÿ ïîâåðõíîñòü â êîîðäèíàò- íîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïîëÿðíîé ïî îòíîøåíèþ ê èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíî- ñòè è ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îò ïîëîæåíèÿ äåôåêòà (òî÷êa O íà ðèñ. 25) ïðîâîäèòñÿ ëó÷ â íà- ïðàâëåíèè n è âäîëü íåãî îòêëàäûâàåòñÿ äëèíà r /� 1 ( )nk* , ãäå k k n* � ( ) — îïîðíûå òî÷êè. Åñëè èçî÷àñòîòíàÿ ïîâåðõíîñòü âûïóêëàÿ, òî èìååòñÿ Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 155 S S 1 2 O Ðèñ. 25. Ñå÷åíèå âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé ëó÷è OS1 è OS2 îãðàíè÷èâàþò «ñêëàäêè». nn n k k k 1 2 3 Ðèñ. 24. Îïîðíûå òî÷êè íà èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèå íàïðàâëåíèþ n. îäíà îïîðíàÿ òî÷êà ñ nv � 0. Åñëè èçî÷àñòîòíàÿ ïî- âåðõíîñòü íåâûïóêëàÿ, òî òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü íåñêîëüêî. Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå íà âîëíîâîé ïîâåðõ- íîñòè âîçíèêàþò «ñêëàäêè» è òî÷êè âîçâðàòà. Êàñà- òåëüíàÿ ïëîñêîñòü â îêðåñòíîñòè êàæäîé îïîðíîé òî÷êè ïîðîæäàåò ñâîé ó÷àñòîê âîëíîâîé ïîâåðõíî- ñòè. Íà ãðàíèöå ñîñåäíèõ ñêëàäîê îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò îáëàñòåé ýëëèïòè÷åñêèõ òî÷åê ê îáëàñ- òÿì ãèïåðáîëè÷åñêèõ òî÷åê íà èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõ- íîñòè. Ãðàíèöû ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷åê (K* � 0). Âñåãäà èìååòñÿ íåïðåðûâíîå ìíîãî- îáðàçèå íàïðàâëåíèé (êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü), îò- âå÷àþùåå K* � 0. Ýòè íàïðàâëåíèÿ èçîáðàæåíû ïðÿìûìè ëèíèÿìèOS1 èOS2 íà ðèñ. 25, â òî÷êàõ S1 è S2 ñëèâàåòñÿ è îáðûâàåòñÿ ïàðà ó÷àñòêîâ âîëíî- âîé ïîâåðõíîñòè. Â òåîðèè êàòàñòðîô ïðîèçâåäåíà êëàññèôèêàöèÿ ïîäîáíûõ îñîáåííîñòåé è ïðèìåíè- òåëüíî ê ðàññåÿíèþ óïðóãèõ âîëí â êðèñòàëëàõ âû- ÿñíåíî, ÷òî âîçìîæíû òîëüêî êàòàñòðîôû òèïà ñêëàäîê è òî÷åê âîçâðàòà. «Êàòàñòðîôà» çàêëþ÷àåò- ñÿ â òîì, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â óêàçàííûõ íàïðàâëåíèÿõ, âû÷èñëåííàÿ ôîðìàëüíî ñ ïîìîùüþ (56), îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (K* � 0). Ôàêòè- ÷åñêè â ýòèõ òî÷êàõ (òî÷íåå íà ñîîòâåòñòâóþùèõ êî- íè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ) èçìåíÿåòñÿ àñèìïòîòè÷å- ñêîå ïîâåäåíèå ðàññåÿííîé âîëíû — ïîíèæàåòñÿ ñòåïåíü ðàññòîÿíèÿ r â çíàìåíàòåëå ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè J( , )r � . Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà ïðîñòåéøóþ ïàðàáîëè- ÷åñêóþ òî÷êó k0, â îêðåñòíîñòè êîòîðîé ôóíêöèÿ h � kn èìååò ðàçëîæåíèå h � � �k n0 0 1 2 2 31 2 �, (, , (57) ãäå n0 — åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ, îïîðíûå ïëîñêîñòè êîòîðîãî êàñàþòñÿ èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõ- íîñòè â ïàðàáîëè÷åñêîé òî÷êå k0 (ìû âûáðàëè êî- îðäèíàòíûå ëèíèè ,1 è ,2 âäîëü ãëàâíûõ íàïðàâëå- íèé êðèâèçíû èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè). Â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî (56) ïîëó÷àåì [44] J r / r i i / / ( , ) ( ) exp ( ) \| ( )\| \| \| \| \| � � � � � ( � ! ) 6 4 3 4 5 6 0 2 0 1 2 ' k r k 1 3/ . (58) Âû÷èñëÿÿ ñ ïîìîùüþ (58) àñèìïòîòèêó ôóíêöèè Ãðèíà, à çàòåì ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, ìû îá- íàðóæèì, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ïðîïîðöèîíàëüíà 1 5 3/r / . Åñëè íà ëèíèè ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷åê íåò íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ñèíãóëÿðíîñòåé, òî â ñðåäíåì ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû \| \| \| \| � ( � K — ãàóññîâà êðèâèç- íà â ïðîèçâîëüíîé, íè÷åì íå âûäåëåííîé òî÷êå èçî- ÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè âäîëü íàïðàâëåíèÿ n0 «êàòàñòðîôè÷åñêè» ïðè áîëüøèõ r ïðåâûøàåò ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè îò äðóãèõ òî÷åê â îòíîøåíèè r / /1 3 1 6/ \| \|( . Îäíàêî òåëåñíûé óãîë, âíóòðè êîòîðîãî ñóùåñò- âóåò ýòà ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì r. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ðàññåÿííóþ âîëíó â íàïðàâëåíèè n, îòêëîíåííîì íà óãîë �2 (âäîëü ,2) îò n0. Òîãäà îïîðíàÿ òî÷êà ñìåñòèòñÿ íà âåëè÷èíó ,2, îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì � ( ,2 2 23� ( ) . Â íîâîé îïîðíîé òî÷êå ãàóññîâà êðè- âèçíà ðàâíà K � 6 2�( , . Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèå (56), â êîòîðîì èñïîëüçîâàíà ýòà ãàóññîâà êðèâèç- íà, ñ âûðàæåíèåì (58) äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîé îïîðíîé òî÷êè, óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíè ïðèîáðåòàþò îäèíàêî- âûé ïîðÿäîê âåëè÷èíû ïðè , (2 1 31� / r(\| \| ) / . Ñëå- äîâàòåëüíî, óãîë, âíóòðè êîòîðîãî «âûñâå÷èâàåòñÿ» ïîâûøåííàÿ èíòåíñèâíîñòü ýíåðãèè, ìîæåò áûòü îöåíåí êàê � (2 1 3 2 3� \| \| // /r . Ìû âèäèì, ÷òî óãîë �2 óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì r áûñòðåå, ÷åì óâåëè÷èâà- åòñÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè. Ïîýòîìó ïðèõîäÿùèéñÿ íà óãîë �2 ïîëíûé ïîòîê ýíåðãèè ïàäàåò ñ ðàññòîÿíè- åì ïðîïîðöèîíàëüíî1 1 3/r / , ÷òî ïîëíîñòüþ êîìïåí- ñèðóåò ýôôåêò ïîâûøåíèÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà. Íàêîíåö, âû÷èñëèì âêëàä â èíòåãðàë (55), îáó- ñëîâëåííûé òî÷êîé óïëîùåíèÿ, â îêðåñòíîñòè êîòî- ðîé èìååòñÿ ðàçëîæåíèå h � � �k n0 0 1 1 3 2 2 3( , ( , . Íå ïîâòîðÿÿ âû÷èñëåíèÿ [45], ìîæíî ñðàçó çàïè- ñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷àñòü èíòåãðàëà (1): J r r i ( , ) exp ( ) \| ( )\| \|/ � � ( ( � � � � � � � - . / 0 1 2 ) 3 4 3 2 2 3 0 2 0 1 ' k r k 2 1 3\| / . (59) Â äàííîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ðàñ- ñåÿííîé âîëíå ïðåâûøàåò òàêîâóþ â îáû÷íûõ óñëî- âèÿõ â îòíîøåíèè r2 3 1 2 1 6/ //\| \|( ( . Ñîîòâåòñòâåííî ðàñòâîð òåëåñíîãî óãëà, â êîòîðîì ñîñðåäîòî÷åí ïî- òîê ñ òàêîé ïëîòíîñòüþ, óìåíüøàåòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì ïðîïîðöèîíàëüíî \| \| // /( (1 2 1 3 4 3r . Íàëè÷èå ëèíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷åê, à òàêæå òî÷åê óïëîùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ÷àñòî- òû äëÿ ôîíîíîâ ïðèâîäèò ê ÿâëåíèþ ôîêóñèðîâêè ôîíîíîâ. ßâëåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òî÷å÷íàÿ ãåíåðàöèÿ ôîíîíîâ â ìîíîêðèñòàëëè÷åñêîì îáðàçöå ïîðîæäàåò ðàñïðîñòðàíåíèå óïðóãèõ âîëí, õàðàêòå- ðèçóþùååñÿ ðåçêîé ôîêóñèðîâêîé âäîëü èçáðàííûõ íàïðàâëåíèé, îáóñëîâëåííûõ óêàçàííûìè îñîáûìè ëèíèÿìè è òî÷êàìè íà èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè. Äåòàëüíîìó àíàëèçó ôîíîííîé ôîêóñèðîâêè è åå ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðåàëèçàöèè ïîñâÿùåíà ñåðèÿ ðàáîò Ýâåðè [46], ñ êîòîðûì ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ â êíèãå [47]. 156 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ Àíàëîãè÷íîå ÿâëåíèå ìîæåò íàáëþäàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîíîâ â äîñòàòî÷íî ÷èñòûõ ìåòàëëàõ (äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåê- òðîíà äîëæíà ïðåâîñõîäèòü, íàïðèìåð, òîëùèíó ìå- òàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû). Áûëî ïðåäñêàçàíî [48], ÷òî òî÷å÷íîå âîçáóæäåíèå (ãåíåðàöèÿ) ýëåêòðîíîâ íà îäíîé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê ýëåêòðîí- íûì ïîòîêàì, êîòîðûå, áóäó÷è äåòåêòèðîâàííûìè íà ïðîòèâîïîëîæíîé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû, òàêæå õàðàêòåðèçóþòñÿ ôîêóñèðîâêîé âäîëü ïîäîáíûõ æå íàïðàâëåíèé. Ôîêóñèðîâêà ýëåêòðîíîâ áûëà îáíà- ðóæåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî [49]. Ëþáîïûòíî çàìåòèòü, ÷òî ôîíîííûå îñîáåí- íîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôîðìîé èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõ- íîñòåé, ìîãóò ïðîÿâëÿòüñÿ äàæå â ñàìîé íèçêî- ÷àñòîòíîé (çâóêîâîé) îáëàñòè ñïåêòðà ÷àñòîò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó óïðóãèìè ìîäóëÿìè ñîîòâåòñòâóþùèå ñå÷å- íèÿ àêóñòè÷åñêèõ èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé ìîãóò áûòü êàê âûïóêëûìè, òàê è íåâûïóêëûìè. À ñâîéñò- âî âûïóêëîñòè èëè íåâûïóêëîñòè ýòèõ ïîâåðõíî- ñòåé îïðåäåëÿåò, íàïðèìåð, õàðàêòåð óáûâàíèÿ ñ ãëóáèíîé ïîâåðõíîñòíûõ (ðýëååâñêèõ) âîëí â êðè- ñòàëëå. Ó îáû÷íûõ ðýëååâñêèõ âîëí àìïëèòóäà óáû- âàåò ìîíîòîííî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî â àíèçîòðîïíîé ñðåäå, êàêî- âîé ÿâëÿåòñÿ êðèñòàëë, àìïëèòóäà òàê íàçûâàåìûõ îáîáùåííûõ ðýëåååâñêèõ âîëí óáûâàåò íåìîíîòîí- íûì (îñöèëëèðóþùèì) îáðàçîì. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñèòóàöèþ, êîòîðàÿ ëåãêî îáñóæäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðèñ. 24. Äîïóñòèì, ÷òî ïëîñêîñòü ðèñóíêà — ýòî öåíòðàëüíàÿ ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü (k kz x, ), ïðè÷åì îñü îz (íîðìàëü ê ïîâåðõ- íîñòè) íàïðàâëåíà ãîðèçîíòàëüíî, à îñü îx âåðòè- êàëüíî, è ïîâåðõíîñòíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ, óêàçàííîãî âåêòîðîì n íà ðèñóíêå. Ïðè ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå � âåêòîðû k1 è k3 íà ðèñ. 24 óêàçûâàþò òî÷êè êàñàíèÿ ïëîñêîñòè kz � const èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè. Çàêîí äèñïåð- ñèè â îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê îïðåäåëÿåò õàðàêòåð ïîâåðõíîñòíîé âîëíû. Ñå÷åíèå èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè âáëèçè òî÷êè êàñàíèÿ k k� 0 (ãäå k0 cîâïàäàåò c k1 èëè k3) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå k k k k k kx x z z x z� � � �0 2 0 2 0 00� � �( ) , ( , , ) . Ïîâåðõíîñòíàÿ âîëíà èìååò êîìïîíåíòó âîëíî- âîãî âåêòîðà kx , íåñêîëüêî ïðåâûøàþùóþ kx 0 ( )k kx x� 0 , ïîýòîìó k k i k k z z x x / � ! � �0 0 1 2 2 3 3 � , ( ) . Ïðåäñòàâëÿÿ ïîâåðõíîñòíóþ âîëíó â ñòàíäàðòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïëåêñíîãî çíà÷åíèÿ kz , âèäíî, ÷òî îíà íåìîíîòîííî óáûâàåò ñ ãëóáèíîé (z): u u ik zz ik i tx� � � � 0 0exp [ e( ) ] .3 � Ïîñêîëüêó íåìîíîòîííîñòü ïîëó÷åííîé çàâèñè- ìîñòè îò z îäíîçíà÷íî ñâÿçàíà c îòëè÷íûì îò íóëÿ çíà÷åíèåì kz 0, òî íåâûïóêëîñòü ñå÷åíèÿ èçî÷àñòîò- íîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííîé ðýëååâñêîé âîëíû. Äå- òàëè îáñóæäåíèÿ ïðîáëåìû ìîæíî íàéòè â ïóáëèêà- öèÿõ [50]. 3.2. Ïëîòíîñòü êîëåáàòåëüíûõ ñîñòîÿíèé â êðèñòàëëå è ñèíãóëÿðíîñòè âàí Õîâà Ðàñïðåäåëåíèå êîëåáàíèé êðèñòàëëà ïî ÷àñòîòàì óäîáíî õàðàêòåðèçîâàòü òàê íàçûâàåìîé ïëîòíîñòüþ êîëåáàíèé g( )� , ãäå � �� 2 (ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î ðàñïðåäåëåíèè ïî êâàäðàòàì ÷àñòîò): g V dS ( ) ( ) \| ( )\| , ( ) � � � � � � ) � 2 3 2 2 k kk k (60) ãäå V — îáúåì êðèñòàëëà, à èíòåãðèðóåòñÿ ïî ïî- âåðõíîñòè � �2( )k � . Ïîñêîëüêó ïîëîñà äîçâîëåííûõ ÷àñòîò îãðàíè÷å- íà (0 < � < �m 2 è g( )� � 0 ïðè � < 0 è � > �m 2 ), òî ôóíêöèÿ g( )� òåðÿåò àíàëèòè÷íîñòü íà êðàÿõ ïîëî- ñû. Ïðè � �� m â èçîòðîïíîì ïðèáëèæåíèè èìååì �2 2 2� s k , ïîýòîìó (60) äàåò g V s m( ) ( ) , .� � � � �� 2 2 3 2 (61) Ïðè � � �� m m� îáû÷íî ìîæíî çàïèñàòü (êàê âáëèçè òî÷êè ìàêñèìóìà ôóíêöèè): � � � � �2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2� � � �m k k k , (62) ãäå k îòñ÷èòûâàåòñÿ îò òî÷êè â çîíå Áðèëëþýíà, ãäå � �� m . Íî òàê êàê ìû èíòåðåñóåìñÿ òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè ñèòóàöèÿìè, ìîæíî óïðîñòèòü (62): � � �2 2 2 2� �m k . (63) Ïîäñòàâèì (63) â (60): g V m m m( ) ( ) , .� � � � � � � �� 2 2 3 2 2 2 (64) Ñðàâíèâàÿ (61) è (64), âèäèì, ÷òî g( )� èñ÷åçàåò íà êîíöàõ ïîëîñû ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïî ñèíãóëÿð- íîìó çàêîíó g( ) \| \| ,� � �� const (65) Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 157 ãäå �* — îäíà èç ãðàíèö íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà êâàäðàòîâ ÷àñòîò. Ïîìèìî ãðàíèö íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ñèíãó- ëÿðíîñòè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîÿâëÿþòñÿ ïðè çíà÷å- íèÿõ �, ðàçäåëÿþùèõ ïîâåðõíîñòü ðàçíîé òîïîëîãèè. Âûøå îòìå÷åíî, ÷òî ïðèçíàêîì ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè — ñåïàðàòðèñû ñëóæèò íàëè÷èå êîíè- ÷åñêîé òî÷êè. Ðàññìàòðèâàÿ ðèñ. 23, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âáëèçè êîíè÷åñêîé òî÷êè � �� k òðàíñôîðìàöèÿ çàìêíóòûõ èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé â îòêðûòûå ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíî. Îäíàêî âàæíî, ÷òî ýòà íå- ïðåðûâíàÿ òðàíñôîðìàöèÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíå- íèåì òîïîëîãèè ïîâåðõíîñòåé. Íî òîïîëîãèÿ ïî- âåðõíîñòè, êàê è åå ñèììåòðèÿ, íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî. Ïåðåõîä îò çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé ê îòêðûòûì, â ïðèíöèïå, ÿâëÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíûì ïðîöåññîì è ïîòîìó äîëæåí õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ñî- îòâåòñòâóþùèì èçìåíåíèåì íåêîòîðîãî òîïîëîãè÷å- ñêîãî ïàðàìåòðà ïîâåðõíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, òàêîé ïàðàìåòð ñóùåñòâóåò, è îí íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè- ÷åñêèì èíâàðèàíòîì Ýéëåðà (õàðàêòåðèñòèêîé Ýé- ëåðà). Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò Ýéëåðà äëÿ ïîâåðõ- íîñòè � �( )k � � const ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå 4 � � ( ) ( ) ,� 1 4 K dSkk (66) ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåé ïîâåðõíî- ñòè; dSk — ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè è K( )k — åå ãàóññîâà (èëè ïîëíàÿ) êðèâèçíà â òî÷êå k. Ãàóñ- ñîâà êðèâèçíà îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ÷àñòíûå ïðîèç- âîäíûå ôóíêöèè� � �� ( ) ( , , )k k k kx y z �( , , )k k k1 2 3 ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: K v v v v v v v v v v v v v ( ) , , , , , , , , , k � 1 4 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 v v v1 2 3 0 , (67) ãäå vi — âåêòîð ãðóïïîâîé ñêîðîñòè, vi j, � � � � � � � �v / k / k ki j i j 2� ( ) è i j, , ,� 1 2 3. Èñïîëüçóÿ (66) äëÿ õàðàêòåðèñòèêè èçî÷àñòîò- íûõ ïîâåðõíîñòåé, ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îíè ïåðèî- äè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ âî âñåì îáðàòíîì ïðîñòðàíñò- âå. È ïîä òîïîëîãè÷åñêèì èíâàðèàíòîì ìû áóäåì ïîíèìàòü èíòåãðàë (66), âû÷èñëåííûé ïî òîé ÷àñòè èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â îä- íîé ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå k-ïðîñòðàíñòâà. Âáëèçè êîíè÷åñêîé òî÷êè çàêîí äèñïåðñèè â ïðî- ñòåéøåì ñëó÷àå èìååò âèä � � � �( ) ( ) ,k � � � �k k k k1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 (68) ãäå k îòñ÷èòûâàåòñÿ îò êîíè÷åñêîé òî÷êè. Â îêðåñò- íîñòè ýòîé òî÷êè K k k k k( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] k � � � � � � � � � � � � 1 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 . (69) Â ñàìîé êîíè÷åñêîé òî÷êå (� �� k è k k1 2� � � �k3 0) ãàóññîâà êðèâèçíà (69) ñèíãóëÿðíà, íî âíå ýòîé òî÷êè èçî÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè ðåãóëÿðíû è êðèâèçíà K íå èìååò îñîáåííîñòåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äðóãèå îñîáûå òî÷êè íà èçî÷àñòîòíîé ïîâåðõíî- ñòè äàëåêè îò âûäåëåííîé êîíè÷åñêîé òî÷êè. Òîãäà ïðè � �� k îñîáîå ïîâåäåíèå èíâàðèàíòà 4 �( ), ñâÿ- çàííîå ñ âîçíèêíîâåíèåì êîíè÷åñêîé òî÷êè, äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ èíòåãðèðîâàíèåì â (66) ïî ìàëîé îê- ðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè. Èìåÿ íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïîâåðõíîñòÿõ âáëèçè êîíè÷åñêîé òî÷êè (ðèñ. 23), ïðè � �� k íå- òðóäíî âûïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåííûå â [51]. Îíè äàþò äëÿ ÷àñòîò�<�k (äâóïîëîñòíûå ãèïåðáî- ëîèäû) 4 � � � � ( ) .� � � 1 3 1 2 3 2 (70) Äëÿ ÷àñòîò � > �k (îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîè- äû) ïîëó÷àåì 4 � � � � ( ) .� � � 3 1 2 3 2 (71) Ñðàâíèâàÿ (70) è (71), ìû âèäèì, ÷òî ïðè íàëè- ÷èè êîíè÷åñêîé òî÷êè íà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ÷àñòîòû òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò 4 �( ) ìåíÿåòñÿ òî÷íî íà åäèíèöó ñ èçìåíåíèåì ÷àñòîòû (çà ñ÷åò êà- æäîé êîíè÷åñêîé òî÷êè, ïðèõîäÿùåéñÿ íà îäíó ýëå- ìåíòàðíóþ ÿ÷åéêó îáðàòíîé ðåøåòêè). Âîçìîæíî, äëÿ ìàòåìàòèêîâ ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî, íî äëÿ ôèçèêîâ âàæíî, ÷òî ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííûé òîïîëîãè÷åñêèé èíâà- ðèàíò, ïîçâîëÿþùèé êîíòðîëèðîâàòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó êà÷åñòâåííûìè îñîáåííîñòÿìè èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé è àíàëèòè÷åñêèì ìîäåëüíûì èõ îïè- ñàíèåì. Íàëè÷èå ñêà÷êà â çàâèñèìîñòè 4 �( ) îò ÷àñòîòû, åñòåñòâåííî, äîëæíî îòðàçèòüñÿ íà àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé â îêðåñòíîñòè ÷àñòî- òû �k. Ðàñ÷åò îñîáåííîñòåé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, ïîðîæäåííûõ çàêîíîì äèñïåðñèè (68), íåñëîæåí: ñîîòâåòñòâóþùèå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåíû â [45,51]. Èõ èòîã òàêîâ. Åñëè � �k k� 2 — êâàäðàò ÷àñòîòû â êðèòè÷åñêîé òî÷êå, è çíà÷åíèÿ � < �k îòâå÷àþò çàìêíóòûì èçî- ÷àñòîòíûì ïîâåðõíîñòÿì, à � > �k — îòêðûòûì, òî ïðè � �� k èìååì 158 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ g g A O g O k k k k k k k ( ) ( ) ( ), ; ( ) ( — ), � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 , 5 6 7 87 (72) ãäå A2 � const, à O x( ) îïðåäåëÿåò ìàëóþ âåëè÷èíó ïîðÿäêà x (ïðè x � 0). ×àñòîòà, äàþùàÿ êîðíåâóþ îñîáåííîñòü òèïà (72), íîñèò íàçâàíèå àíàëèòè÷åñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè òèïà S. Â ñïåêòðå 3D êðèñòàëëà ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè òèïà S. Íà ðèñ. 22 äâå ñåïàðàòðèñû ñ êîíè÷åñêèìè òî÷êàìè � �� 1 2 è � �� 2 2 îãðàíè÷èâàþò ñëîé îòêðûòûõ èçî÷àñ- òîòíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ñèíãóëÿðíîñòè òèïà S, ïîðîæäåííûå èçìåíåíèåì òîïîëîãèè èçî÷àñòîòíûõ ïîâåðõíîñòåé, è îñîáåííî- ñòè íà ãðàíèöàõ ñïëîøíîãî ñïåêòðà íàçûâàþòñÿ îñî- áåííîñòÿìè âàí Õîâà. 3.3. Ýëåêòðîííûé ôàçîâûé ïåðåõîä 2 1 2 ðîäà Îñîáåííîñòè âàí Õîâà ñëàáî ïðîÿâëÿþòñÿ â òåð- ìîäèíàìèêå êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, òàê êàê òåð- ìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âûðàæàþòñÿ èíòåã- ðàëàìè ïî âñåì ÷àñòîòàì, â êîòîðûõ êîðíåâûå ñèí- ãóëÿðíîñòè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé íå ìîãóò ïðèâåñòè íè ê êàêèì çàìåòíûì ýôôåêòàì. Èíà÷å îáñòîèò äåëî â òåðìîäèíàìèêå ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëàõ, êî- òîðûé ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ îáëàäàåò õàðàêòåð- íîé ýíåðãèåé — ýíåðãèåé Ôåðìè. È åñëè ñóùåñòâó- þò ôèçè÷åñêèå ïðè÷èíû òîãî, ÷òî ýíåðãèÿ ñèíãóëÿðíîé òî÷êè �k îêàçûâàåòñÿ áëèçêîé ê �F è çàâèñèò îò íåêîòîðîãî íåïðåðûâíîãî ïàðàìåòðà íà- ñòîëüêî ñèëüíî, ÷òî ðàçíîñòü � �F k� ìîæåò ïðîõî- äèòü ÷åðåç íóëü, òî ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èçìå- íÿòü òîïîëîãèþ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Òîãäà ïðè èçìåíåíèè óêàçàííîãî ïàðàìåòðà ñëåäóåò îæèäàòü àíîìàëèé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ýëåê- òðîííîãî ãàçà [52]. Òàêèì íåïðåðûâíûì ïàðàìåòðîì ìîæåò ñëóæèòü âñåñòîðîííåå ñæàòèå ïðè áîëüøèõ äàâëåíèÿõ. Çíàÿ î ñëàáîé ñæèìàåìîñòè ìåòàëëîâ, ìîæíî ïðåäïîëà- ãàòü, ÷òî íàáëþäåíèå ýôôåêòà òðåáóåò îãðîìíûõ äàâëåíèé. Íî ìîæíî óêàçàòü ñèòóàöèþ, â êîòîðîé òðåáóåìûå äàâëåíèÿ íå òàê óæ âåëèêè. Ðàññìîòðèì ìåòàëë, ó êîòîðîãî ñóùåñòâóåò äâå ïîëîñòè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè: áîëüøàÿ è ìàëåíüêàÿ, ò.å. äâå ãðóïïû ýëåêòðîíîâ: ìíîãî÷èñëåííàÿ è àíî- ìàëüíî ìàëàÿ. Òàêîé ìåòàëë èíòåðåñåí ñ òî÷êè çðå- íèÿ íàáëþäåíèÿ ýôôåêòà äå Ãààçà—âàí Àëüôåíà, òàê êàê ñå÷åíèÿ ìàëîé ïîëîñòè ôåðìèåâñêîé ïî- âåðõíîñòè áóäóò äàâàòü áîëüøèå è ëåãêî íàáëþäàå- ìûå ïåðèîäû êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé. Â îäíîýëåê- òðîííîé ñõåìå ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ýëåêòðîíîâ ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ñëåäóþùåé êàðòèíêîé [53] íà ðèñ. 26. Çäåñü �F — ýíåðãèÿ Ôåðìè, ðàâíàÿ õèì- ïîòåíöèàëó 90, îòñ÷èòàííîìó îò äíà çîíû áîëüøîé ýëåêòðîííîé ãðóïïû â îòñóòñòâèe äàâëåíèÿ (àíàëî- ãè÷íî 9 � �s F s� � — õèìïîòåíöèàë, îòñ÷èòàííûé îò äíà àíîìàëüíî ìàëîé ãðóïïû ýëåêòðîíîâ � s). Ïðè ìàëîé äåôîðìàöèè (ñæàòèè) ïîä âñåñòîðîííèì äàâëåíèåì p ñìåùåíèå �F ïðîïîðöèîíàëüíî p, ïðè- ÷åì äëÿ îñíîâíîé ìàññû ýëåêòðîíîâ \| \| � 9 F p G0 � , (73) ãäå G — ìîäóëü ñäâèãà. Êîíå÷íî, p/G �� 1, îäíàêî â ñèëó àíîìîëüíîé ìàëîñòè âòîðîé ãðóïïû ýëåêòðî- íîâ (9 �s F�� ) âåëè÷èíà �F ìîæåò ñðàâíèòüñÿ ñ 9 s . Âî âñÿêîì ñëó÷àå èçó÷åíèå ýôôåêòà äå Ãàà- çà—âàí Àëüôåíà ïîä äàâëåíèåì [54] äåìîíñòðèðó- åò âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ ïåðèîäîâ îñöèëëÿöèé íà âåëè÷èíó, ñðàâíèìóþ ñ ñàìèì ïåðèîäîì. Íî ýòî îç- íà÷àåò, ÷òî ïðè áîëüøèõ, íî ðàçóìíûõ, äàâëåíèÿõ ìîæíî äîáèòüñÿ óñëîâèÿ \| \| �F > 9 s . Òàê êàê ïðè ñæàòèè êðèñòàëëà â ñèëó íåèçìåííîñòè ÷èñëà ýëåê- òðîíîâ ïðèíàäëåæàùèé èì îáúåì â k-ïðîñòðàíñòâå ðàñøèðÿåòñÿ, òî ñëåäóåò îæèäàòü �F < 0. Ñëåäîâà- òåëüíî, â ìîìåíò, êîãäà �F îïóñêàåòñÿ íèæå � s , èñ- ÷åçàåò ìàëàÿ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, à ïîòîìó â ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé èñ÷åçàåò ñëàãàåìîå òèïà (61) ñ ñèíãóëÿðíîé çàâèñèìîñòüþ: g VA s s s s ( ) , ; — , , � � � � � � � � � � 5 6 7 87 0 2 (74) ãäå A2 � const. Ðàññìîòðèì ýëåêòðîííûé ãàç ñ îïèñàííûì ñïåê- òðîì ýíåðãèé ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû. Òîãäà ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ãàçà ðàâíà åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè: F V E V g d F ( ) ( ) ( )� � � � � � 0 . (75) Âûäåëèì â (75) òó ÷àñòü F, êîòîðàÿ ïîðîæäåíà àíîìàëüíî ìàëîé ãðóïïîé ýëåêòðîíîâ: Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 159 0 � � � F � F k S Ðèñ. 26. Ñõåìà ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà ìåòàëëà ñ äâóìÿ ãðóïïàìè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè. F V VA ds s s F ( ) � � 2 � � � � � � . Äàâëåíèå â ñèñòåìå òàêæå âêëþ÷àåò îñîáóþ ÷àñòü: p F V A ds s F s s F s s F � � � � � � � � 5 6 7 7 8 7 7 0 2 , ; — , . � � � � � � � � � � (76) Ïåðåõîä èç îáëàñòè �F < � s â îáëàñòü �F > � s ñî- îòâåòñòâóåò ïîÿâëåíèþ íîâîé ïîëîñòè ó ïîâåðõíî- ñòè � �( )k � F . Çäåñü �F åñòü ôóíêöèÿ âíåøíeãî ïà- ðàìåòðà, îïðåäåëÿþùåãî îáñóæäàåìóþ îñîáåííîñòü. Â ñëó÷àå âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ ýòèì ïàðàìåòðîì ÿâ- ëÿåòñÿ îáúåì: � �F F V� ( ). Ïîýòîìó ñèíãóëÿðíàÿ ÷àñòü ñæèìàåìîñòè 3 (âòîðîé ïðîèçâîäíîé ñâîáîä- íîé ýíåðãèè) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå 3 � � � � � � � � s s F s F F s F F s p V A d dV � � � � � � � 5 6 7 87 0 2 , ; — , . (77) Âèäíî, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ F â òî÷êå � �F s� èìååò âåðòèêàëüíûé èçëîì, à òðåòüÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü êàê \| \| /� �F s� �1 2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè T � 0 â òî÷êå � �F s� èìååòñÿ ñèíãóëÿðíîñòü, êîòîðóþ ïî òåðìèíîëîãèè Ýðåíôåñòà ìîæíî áûëî áû óñëîâíî íàçâàòü ôàçîâûì ïåðåõîäîì 2 1 2 ðîäà. Íî ïðè T $ 0 îñîáåííîñòü ïðè � �F s� ðàçìûâàåòñÿ, ïîýòîìó èñòèííîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà íåò, îäíàêî îïðåäåëåííàÿ àíoìàëèÿ ïðè � �F s� ñóùåñòâóåò. Ñâîåîáðàçíîå ïðîÿâëåíèå ýëåêòðîííîãî òîïîëî- ãè÷åñêîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà ðåàëèçóåòñÿ, åñëè ïðå- âðàùåíèå òèïà ôàçîâîãî ïåðåõîäà 2 1 2 ðîäà ñîâìå- ùàåòñÿ ñî ñâåðõïðîâîäÿùèì ôàçîâûì ïåðåõîäîì. Ïîñêîëüêó ïåðåõîä ìåòàëëà â ñâåðõïðîâîäÿùåå ñî- ñòîÿíèå åñòü íàñòîÿùèé ôàçîâûé ïåðåõîä, òî «âìå- øàòåëüñòâî» â åãî òåðìîäèíàìèêó ñèòóàöèè, îïè- ñàííîé âûøå, ïðåäñòàâëÿåò áåçóñëîâíûé èíòåðåñ. Ìû îáðàùàëè âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýëåêòðîíû â ìåòàëëå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû íà ãðóïïû ñ ñèëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè Ôåðìè è äèíàìè÷å- ñêèìè ñâîéñòâàìè. Â ïðîöåññå ýëåêòðîííî-òîïîëî- ãè÷åñêîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà îäíà èëè íåñêîëüêî ìàëûõ ãðóïï ýëåêòðîíîâ ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ èëè èñ- ÷åçàòü. Ïðè ýòîì ðåçêî èçìåíÿþòñÿ ìíîãèå ôèçè÷å- ñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìåòàëëà: âåëè÷èíû è àíèçîòðî- ïèÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè, ìàãíèòîóïðóãèõ ýôôåêòîâ è ýôôåêòà Õîëëà. Òåîðåòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå âîç- íèêàþùèõ â òàêèõ óñëîâèÿõ èíòåðåñíûõ ôèçè÷åñ- êèõ ÿâëåíèé áûëî ïðåäëîæåíî â ðàáîòàõ Â. Áàðü- ÿõòàðà è Â. Ìàêàðîâà [55]. Ðàáîòû [55] äàëè ïðåêðàñíîå îáúÿñíåíèå îáíàðóæåííûì ýêñïåðèìåí- òàëüíî, ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ, îñîáåííîñòåé âëèÿ- íèÿ äàâëåíèÿ íà ñâåðõïðîâîäÿùèé ïåðåõîä â òaëëèè [56]. Áûë îïóáëèêîâàí ïîäðîáíûé îáçîð ýêñïåðèìåíòàëüíûõ è òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïðîÿâëåíèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ýëåêòðîí- íîãî ñïåêòðà â ñâåðõïðîâîäÿùèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ìåòàëëà, âûïîëíåííûõ õàðüêîâñêèìè ôèçèêàìè [57]. Ýëåêòðîííî-òîïîëîãè÷åñêèå îñîáåííîñòè ïðè ñâåðõïðîâîäÿùåì ôàçîâîì ïåðåõîäå ïîä âûñîêèì äàâëåíèåì ìîãóò ïðèâîäèòü äàæå ê çàìåòíîìó èçìå- íåíèþ êîëåáàòåëüíîãî ñïåêòðà êðèñòàëëà áëàãîäàðÿ ñèëüíîìó ýëåêòðîí-ôîíîííîìó âçàèìîäåéñòâèþ. Ïîäîáíîå íàáëþäàåòñÿ â âûñîêîòåìïåðàòóðíîì ñâåðõïðîâîäíèêå MgB2. Ñïåöèôèêà è ñâîåîáðàçèå ýëåêòðîííîé è ôîíîííîé ñòðóêòóðû ýòîãî êðèñòàë- ëà çàêëþ÷àþòñÿ â òîì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, èìååòñÿ äâå ðàçëè÷íûå ãðóïïû ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè: áîëü- øàÿ ãðóïïà ýëåêòðîíîâ ñî ñâîéñòâàìè, òèïè÷íûìè äëÿ 3D ýëåêòðîííîãî ãàçà, è ìàëàÿ ãðóïïà ñ ïðàê- òè÷åñêè 2D äèíàìèêîé, çàêîí äèñïåðñèè êîòîðîé àíàëîãè÷åí (33) è ïîâåðõíîñòü Ôåðìè áëèçêà ê öè- ëèíäðó — ñèòóàöèÿ, ïîäîáíàÿ òîé, ÷òî ïðîàíàëèçè- ðîâàíà ïðè îáñóæäåíèè ðèñ. 25; âî-âòîðûõ, çà ýëåê- òðîí-ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå, îáåñïå÷èâàþùåå êóïåðîâñêîå ñïàðèâàíèå ýëåêòðîíîâ, îòâåòñòâeííà â îñíîâíîì òîëüêî îäíà ôîíîííàÿ ìîäà, ñîîòâåòñò- âóþùàÿ äâèæåíèþ àòîìîâ áîðà â áàçèñíîé ïëîñêî- ñòè [58]. Ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ýòîé êîëåáàòåëü- íîé ìîäû ñ ìàëîé ýëåêòðîííîé ãðóïïîé äåëàåò åå âåñüìà ÷óâñòâèòåëüíîé ê ñîñòîÿíèþ ìàëîé ýëåê- òðîííîé ãðóïïû: êîãäà ìàëàÿ ýëåêòðîííàÿ ãðóïïà èñ÷åçàåò ïðè èçìåíåíèè äàâëåíèÿ, íà ýêñïåðèìåí- òàëüíûõ êðèâûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàâèñèìîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ ñîñòîÿíèåì êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, âîçíèêàåò èçëîì (äîñòàòî÷íî ïîëíóþ áèáëèîãðà- ôèþ ïî ýòîìó âîïðoñó ìîæíî íàéòè â ñòàòüå [59] è îáçîðå [60]). Àâòîð áëàãîäàðåí Îêñàíå ×àðêèíîé çà ïîìîùü â ïîäãîòîâêå ðóêîïèñè, Àëåêñàíäðó Êîòëÿðó — çà ïî- ìîùü â ïîäãîòîâêå èëëþñòðàöèé, ãëóáîêî ïðèçíàòå- ëåí Â.Ã. Ïåñ÷àíñêîìó, Â.Ì. Ãâîçäèêîâó è Å.Ñ. Ñûðêèíó çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ, à È.Ê. ßíñî- íó — çà öåííûå çàìå÷àíèÿ. 1. Mikio Nakahara, Geometry, Topology, and Physics, Inst. Physics Publishing, Bristol (1990). 2. Ì. Ìîíàñòûðñêèé, Ðèìàí, òîïîëîãèÿ è ôèçèêà, ÏÀÈÌÑ, Ìîñêâà (1990). 3. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.ß. Àçáåëü, Ì.È. Êàãàíîâ, Ýëåê- òðîííàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1971). 4. Ã. Áåòå, À. Çîììåðôåëüä, Ýëåêòðîííàÿ òåîðèÿ ìå- òàëëîâ, ÎÍÒÈ (1938). 160 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷ 5. W.A. Harrison, Pseudopotentials in the Theory of Metals, New York (1966); Ó. Õàððèñîí, Ïñåâäîïî- òåíöèàëû â òåîðèè ìåòàëëîâ, Ìèð, Ìîñêâà (1968). 6. Ä. Øåíáåðã, Ìàãíèòíûå îñöèëëÿöèè â ìåòàëëàõ, Ìèð, Ìîñêâà (1986) [D. Shoenberg, Magnetic Os- cillations in Metals, Cambridge University Press, Cambridge (1984)]. 7. L. Onsager, Philos. Mag. 43, 1006 (1952). 8. Ì.ß. Àçáåëü, ÆÝÒÔ 39, 1276 (1960); òàì æå 46, 929 (1964). 9. È.Ì. Ëèôøèö, À.Ì. Êîñåâè÷, ÄÀÍ ÑÑÑÐ 96, 963 (1954); È.Ì. Ëèôøèö, À.Ì. Êîñåâè÷, ÆÝÒÔ 29, 730 (1955); I.M. Lifshitz and A.M. Kosevich, Sov. Phys. JETP 2, 636 (1956). 10. Joachim Wosnitza, Fermi Surfaces of Low-Dimen- sional Organic Metals, Springer, Berlin (1996). 11. È.Ì. Ëèôøèö, À.Â. Ïîãîðåëîâ, ÄÀÍ ÑÑÑÐ 96, 1143 (1954). 12. À.Ì. Êîñåâè÷, Â.Â. Àíäðååâ, ÆÝÒÔ 38, 882 (1960). 13. M. Coken and L. Falikov, Phys. Rev. Lett. 5, 544 (1960), 14. R.W. Stark and L.M. Falikov, Progress in Low Tem- perature Physics, v. 5, North-Holland, Amsterdam (1967), p. 235; M.I. Kaganov and A.A. Slutskin, Phys. Rep. 98, 189 (1983); Þ.Í. Ïðîøèí, Í.Õ. Óñåèíîâ, ÓÔÍ 165, 41 (1995). 15. Ã.Å. Çèëüáåðìàí, ÆÝÒÔ 30, 1096 (1956); ÆÝÒÔ 32, 296 (1957). 16. E.I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962). 17. Â.Ì. Ãâîçäèêîâ, ÔÍÒ 7, 705 (1986). 18. F. Bloch, Z. Phys. 52, 555 (1928); C. Zener, Proc. Roy. Soc. London A145, 523 (1934). 19. C. Wannier, Phys. Rev. 117, 432 (1960); T. Mendes, F. Agullo-Rueda, and J. Hong, Phys. Rev. Lett. 60, 2426 (1988); P. Voisin, J. Bleuse, C. Bouche, S. Gail- lard, C. Albert, and A. Regreny, Phys. Rev. Lett. 61, 1639 (1988); 20. À.Ì. Êîñåâè÷, ÔÍÒ 27, 699 (2001). 21. J. Feldman, K. Leo, J. Shah, D.A. Miller, J.E. Con- ningham, T. Meier, G. von Plessen, A. Shulze, P. Thomas, and S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. B46, 7952 (1992); K. Leo, P. Haring Bolivar, F. Brueggemann, R. Schwedler, and K. Koehler, Solid State Commun. 84, 943 (1992). 22. C. Waschke, H. Roskos, R. Schwedler, K. Leo, H. Kurz, and K. Koehler, Phys. Rev. Lett. 70, 3319 (1993). 23. L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. Dev. 14, 61 (1970). 24. F.G. Bass and A.A. Bulgakov, Kinetic and Elec- trodynamic Phenomena in Classical and Quantum Se- miconductor Superlattices, Nova Science Publishers, Inc. New York (1998). 25. Ñ.Ï. Íîâèêîâ, À.Þ. Ìàëüöåâ, ÓÔÍ 168, 249 (1998). 26. M.I. Kaganov and V.G. Peschansky, Phys. Rep. 372, 445 (2002). 27. È.Ì. Ëèôøèö, Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèé, ÆÝÒÔ 35, 1251 (1958). 28. È.Ì. Ëèôøèö, Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèé, ÆÝÒÔ 38, 188 (1960). 29. À.À. Àáðèêîñîâ, Ââåäåíèå â òåîðèþ íîðìàëüíûõ ìå- òàëëîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1972). 30. À.Ì. Êîñåâè÷, È.Ä. Âàãíåð, ÔÍÒ 25, 868 (1999). 31. Ì.ß. Àçáåëü, Ý.À. Êàíåð, ÆÝÒÔ 32, 896 (1957); Phys. Chem. Solids 6, 113 (1958). 32. Ý.À. Êàíåð, Èçáðàííûå òðóäû, Íàóêîâà äóìêà, Êè- åâ (1989). 33. M.V. Berry, Proc. R. Soc. London A392, 45 (1984). 34. Laura M. Roth, Phys. Rev. 145, 434 (1966). 35. Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959). 36. È.Î. Êóëèê, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 11, 407 (1970). 37. J. Zak, Phys. Rev. Lett. 62, 2747 (1989). 38. W.V. Houston, Phys. Rev. 57, 184 (1940). 39. Å.Ì. Ëèôøèö, Ë.Ï. Ïèòàåâñêèé, Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà, ÷. 2, Íàóêà, Ìîñêâà (1978) [E.M. Lifshitz and L.P. Pitaevskii, Statistical Physics, p. 2, Per- gamon, Oxford (1986)]. 40. G.P. Mikitik and V. Shalai, Phys. Rev. Lett. 82, 2147 (1999). 41. C. Herring, Phys. Rev. 52, 365 (1937). 42. E.I. Blount, Solid State Physics, v. 13, Academic Press, New York (1962), p. 305. 43. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 8, 293 (1948); I.M. Lifshitz, Nuovo Cimento Suppl. 3, 716 (1956). 44. È.Ì. Ëèôøèö, Â.È. Ïåðåñàäà, Ó÷åí. çàï. Õàðüê. óí-òa, Òðóäû ôèç. îòä. ôèç.-ìàò. ôàê. 6, 37 (1955). 45. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (ôèçè÷eñêàÿ ìåõàíèêà êðèñòàëëîâ), Õàðüêîâ, Âèùà øêîëà (1988); Arnold M. Kossevich, The Crystal Lat- tice. Phonons, Solitons, Dislocations, WILEY-VCH, Berlin (1999). 46. A.G. Every, Phys. Rev. Lett. 79, 2478 (1997); Phys. Rev. B58, 1601 (1998). 47. James P. Wolfe, Imaging Phonons. Acoustic Wave Propagation in Solids, Univ. Press., Cambridge (1998). 48. À.Ì. Êîñåâè÷, ÔÍÒ 11, 1106 (1985). 49. J. Heil, M. Primke, K.U. Wurz, and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 74, 146 (1995); M. Primke, J. Heil, P. Wyder, Physica B218, 26 (1996). 50. À.Ì. Êîñåâè÷, Þ.À. Êîñåâè÷, Å.Ñ. Ñûðêèí ÆÝÒÔ 88, 1089 (1985); Yu.A. Kosevich, E.S. Syrkin, and A.M. Kosevich, Prog. Surf. Sci. 55, 59 (1997). 51. À.Ì. Êîñåâè÷, Ôèçè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ðåàëüíûõ êðè- ñòàëëîâ, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1981). 52. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 38, 1569 (1960). 53. À.Ì. Êîñåâè÷, ÆÝÒÔ 35, 249 (1958); Ìàòåðèàëû V Âñåñîþçí. ñîâ. ïî ôèç. íèçê. òåìïåðàòóð, ÀÍ ÃðÑÑÐ, Òáèëèñè (1960), ñ. 153. 54. È.Ì. Äìèòðåíêî, Á.È. Âåðêèí, Á.Ã. Ëàçàðåâ, ÆÝÒÔ 33, 287 (1957); ÆÝÒÔ 35, 2 (1958). 55. Â.Ã. Áàðüÿõòàð, Â.È. Ìàêàðîâ, ÆÝÒÔ 48, 1717 (1965); ÆÝÒÔ 49, 1934 (1965). 56. Á.Ã. Ëàçàðåâ, Ë.Ñ. Ëàçàðåâà, Â.È. Ìàêàðîâ, Ò.À. Èãíàòüåâà, ÆÝÒÔ 48, 1065 (1965); Í.Á. Áðàíäò, Òîïîëîãèÿ è ôèçèêà òâåðäîãî òåëà Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 161 Í.È. Ãèíçáóðã, À.Í. Èãíàòüåâà, Á.Ã. Ëàçàðåâ, Ë.Ñ. Ëàçàðåâà, ÆÝÒÔ 49, 85 (1965); Á.Ã. Ëàçàðåâ, Ë.Ñ. Ëàçàðåâà, À.Í. Èãíàòüåâà, Â.È. Ìàêàðîâ, Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ 163, 74 (1965). 57. Â.Ã. Áàðüÿõòàð, Á.Ã. Ëàçàðåâ, Â.È. Ìàêàðîâ, ÔÌÌ 24, 829 (1967). 58. J. Kortus, I.I. Mazin, K.D. Belashchenko, V.P. Ant- ropov, and L.L. Boyer, Phys. Rev. Lett. 86, 4656 (2001); J.M. An and W.E. Pickett, Phys. Rev. Lett. 86, 4366 (2001); Y. Kong, O.V. Dolgov, O. Jepsen, and O.K. Andersen, Phys. Rev. B64, R0205011 (2001); T. Yildirim, O. Gulseren, J.W. Lynn, et al., Phys. Rev. Lett. 87, 037001 (2001). 59. A.F. Goncharov and V.V. Struzhkin, Physica C385, 117 (2003). 60. J.K. Yanson and Yu.G. Naidyuk, Fiz. Nizk. Temp. 30, No. 4 (2004). Topology and physics of solids (Review Article) A.M. Kosevich The topological aspect of the dynamics of electrons in crystals (band electrons) and vibra- tions of a crystal lattice (phonons) is discussed. The main peculiarities of such electrons are con- nected with the form of their isoenergetic sur- faces which differ from those for free electrons. It is shown that in response to external electric and magnetic fields the behavior of the band electrons in metals at low temperatures depends strongly on the Fermi surface topology (the iso- energetic surfaces for the Fermi energy). Various examples of such a dependence are described. The peculiarities of the phonon dynamics create singularities of the vibration density of states (van Hove singularities), which are connected with the topology of isoenergetic surfaces. The nature of what is known as «the second and a half»-kind phase transition is explained. 162 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 2 À.Ì. Êîñåâè÷

Топология и физика твердого тела (Обзор)

Репозитарії

Схожі ресурси