Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций
Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки, образованной периодической системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Обсуждена стабильность такой решетки и показано, что она обеспечивается соответствующим спонтанным закручиванием кристаллического образца. Описаны д...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2004
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119471 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 3. — С. 332-339. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-119471 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1194712017-06-08T03:04:19Z Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций Косевич, А.М. Динамика кристаллической решетки Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки, образованной периодической системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Обсуждена стабильность такой решетки и показано, что она обеспечивается соответствующим спонтанным закручиванием кристаллического образца. Описаны длинноволновые коллективные колебания упругой изотропной среды с дислокационной решеткой, среди которых обнаружены колебания типа плазменных в системе электрических зарядов. Получены законы дисперсии пяти ветвей колебаний, отвечающих пяти степеням свободы изучаемой системы (три степени свободы смещений среды и две — изгибных колебаний дислокаций). Указана возможность наблюдения резонансной частоты в спектре колебаний вблизи аналога плазменной частоты. Сформульовано рівняння малих коливань дислокаційної гратки, утвореної періодичною системою паралельних прямолінійних гвинтових дислокацій. Обговорено стабільність такої гратки та показано, що вона забезпечується відповідним спонтанним закручуванням кристал ічного зразка. Описано довгохвильові колективні коливання пружного ізотропного середовища з дислокаційною граткою, серед яких виявлено коливання типу плазмових у системі електричних зарядів. Отримано закони дисперсії п’яти віток коливань, що відповідають п’яти ступіням вільності системи, яку вивчають (три ступені вільності зміщення середовища та дві — згинальних коливань дислокацій). Зазначено можливість спостереження резонансної частоти у спектрі коливань поблизу аналога плазмової частоти. Equations of small vibrations of a dislocation lattice are proposed on the basis of the model of a lattice which consists of a periodically arranged set of parallel screw dislocations. Stability of the dislocation lattice is discussed. The longwave collective vibrations are described. It is shown that some of the vibrations are similar to plasmon vibrations. A possibility for observation of a resonance frequency in the vibrational spectrum of the system under consideration is pointed out. 2004 Article Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 3. — С. 332-339. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 61.72.Lk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119471 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Косевич, А.М. Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций Физика низких температур |
| description |
Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки, образованной периодической
системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Обсуждена стабильность
такой решетки и показано, что она обеспечивается соответствующим спонтанным закручиванием
кристаллического образца. Описаны длинноволновые коллективные колебания
упругой изотропной среды с дислокационной решеткой, среди которых обнаружены колебания
типа плазменных в системе электрических зарядов. Получены законы дисперсии пяти ветвей
колебаний, отвечающих пяти степеням свободы изучаемой системы (три степени свободы смещений
среды и две — изгибных колебаний дислокаций). Указана возможность наблюдения резонансной
частоты в спектре колебаний вблизи аналога плазменной частоты. |
| format |
Article |
| author |
Косевич, А.М. |
| author_facet |
Косевич, А.М. |
| author_sort |
Косевич, А.М. |
| title |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| title_short |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| title_full |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| title_fullStr |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| title_full_unstemmed |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| title_sort |
колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2004 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119471 |
| citation_txt |
Колебания упругой сверхструктуры, образованной решеткой винтовых дислокаций / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2004. — Т. 30, № 3. — С. 332-339. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kosevičam kolebaniâuprugojsverhstrukturyobrazovannojrešetkojvintovyhdislokacij |
| first_indexed |
2025-07-08T15:56:04Z |
| last_indexed |
2025-07-08T15:56:04Z |
| _version_ |
1837094839889428480 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3, ñ. 332–339
Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñâåðõñòðóêòóðû, îáðàçîâàííîé
ðåøåòêîé âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
À.Ì. Êîñåâè÷
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kosevich@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 18 èþëÿ 2003 ã.
Ñôîðìóëèðîâàíû óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè, îáðàçîâàííîé ïå-
ðèîäè÷åñêîé ñèñòåìîé ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîëèíåéíûõ âèíòîâûõ äèñëîêàöèé. Îáñóæäåíà ñòà-
áèëüíîñòü òàêîé ðåøåòêè è ïîêàçàíî, ÷òî îíà îáåñïå÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ñïîíòàííûì çà-
êðó÷èâàíèåì êðèñòàëëè÷åñêîãî îáðàçöà. Îïèñàíû äëèííîâîëíîâûå êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ
óïðóãîé èçîòðîïíîé ñðåäû ñ äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêîé, ñðåäè êîòîðûõ îáíàðóæåíû êîëåáàíèÿ
òèïà ïëàçìåííûõ â ñèñòåìå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Ïîëó÷åíû çàêîíû äèñïåðñèè ïÿòè âåòâåé
êîëåáàíèé, îòâå÷àþùèõ ïÿòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû èçó÷àåìîé ñèñòåìû (òðè ñòåïåíè ñâîáîäû ñìå-
ùåíèé ñðåäû è äâå — èçãèáíûõ êîëåáàíèé äèñëîêàöèé). Óêàçàíà âîçìîæíîñòü íàáëþäåíèÿ ðå-
çîíàíñíîé ÷àñòîòû â ñïåêòðå êîëåáàíèé âáëèçè àíàëîãà ïëàçìåííîé ÷àñòîòû.
Ñôîðìóëüîâàíî ð³âíÿííÿ ìàëèõ êîëèâàíü äèñëîêàö³éíî¿ ãðàòêè, óòâîðåíî¿ ïåð³îäè÷íîþ
ñèñòåìîþ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìîë³í³éíèõ ãâèíòîâèõ äèñëîêàö³é. Îáãîâîðåíî ñòàá³ëüí³ñòü òàêî¿
ãðàòêè òà ïîêàçàíî, ùî âîíà çàáåçïå÷óºòüñÿ â³äïîâ³äíèì ñïîíòàííèì çàêðó÷óâàííÿì êðè-
ñòàë³÷íîãî çðàçêà. Îïèñàíî äîâãîõâèëüîâ³ êîëåêòèâí³ êîëèâàííÿ ïðóæíîãî ³çîòðîïíîãî ñåðåäî-
âèùà ç äèñëîêàö³éíîþ ãðàòêîþ, ñåðåä ÿêèõ âèÿâëåíî êîëèâàííÿ òèïó ïëàçìîâèõ ó ñèñòåì³
åëåêòðè÷íèõ çàðÿä³â. Îòðèìàíî çàêîíè äèñïåðñ³¿ ï’ÿòè â³òîê êîëèâàíü, ùî â³äïîâ³äàþòü ï’ÿòè
ñòóï³íÿì â³ëüíîñò³ ñèñòåìè, ÿêó âèâ÷àþòü (òðè ñòóïåí³ â³ëüíîñò³ çì³ùåííÿ ñåðåäîâèùà òà äâ³ —
çãèíàëüíèõ êîëèâàíü äèñëîêàö³é). Çàçíà÷åíî ìîæëèâ³ñòü ñïîñòåðåæåííÿ ðåçîíàíñíî¿ ÷àñòîòè ó
ñïåêòð³ êîëèâàíü ïîáëèçó àíàëîãà ïëàçìîâî¿ ÷àñòîòè.
PACS: 61.72.Lk
Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ ïîâûøåííûé èíòåðåñ âûçûâà-
þò ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà îïòè÷åñêèõ è àêóñòè÷åñêèõ
ñâåðõðåøåòîê. Ïîä câåðõðåøåòêîé ïîíèìàþò íåêî-
òîðóþ ìàêðîñêîïè÷åñêóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòó-
ðó, ñîçäàííóþ íà áàçå óïðóãîé èëè äèýëåêòðè÷åñêîé
ñðåäû. Ïîäîáíóþ òàê íàçûâàåìóþ 2D ñâåðõðåøåòêó
âîçìîæíî ñîçäàòü, íàïðèìåð, íàáîðîì ïðÿìîëèíåé-
íûõ äåôåêòîâ ñðåäû, âûñòðîåííûõ â ïåðèîäè÷åñêèé
«ëåñ» ïàðàëëåëüíûõ ëèíèé. Ñâîåîáðàçíîé ðåàëèçà-
öèåé òàêèõ ñâåðõðåøåòîê ìîæíî ðàñìàòðèâàòü âèõ-
ðåâûå ðåøåòêè â ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà è â
ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè (ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [1,2] è
îäíó èç ïîñëåäíèõ ïóáëèêàöèé ïî òåìå [3]).
Âèíòîâûå äèñëîêàöèè â êðèñòàëëå àíàëîãè÷íû
âèõðÿì, îäíàêî äèíàìèêà è âçàèìîäåéñòâèå äèñëî-
êàöèé îòëè÷àþòñÿ îò òàêîâûõ äëÿ âèõðåé. Âèíòîâûå
ïðÿìîëèíåéíûå äèñëîêàöèè âçàèìîäåéñòâóþò ïî-
äîáíî ïðÿìîëèíåéíûì ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäàì, è
ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ â äèíàìèêå äèñëîêàöè-
îííûõ ñòðóêòóð êîëåáàíèé òèïà ïëàçìåííûõ, â
ïðèíöèïå, íåâîçìîæíûõ â ðåøåòêå âèõðåé. Äåéñò-
âèòåëüíî, äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ 2D äèñëîêà-
öèîííîé ñòðóêòóðû, íàçûâàåìîé äèñëîêàöèîííîé
ñòåíêîé, îáëàäàþò çàêîíîì äèñïåðñèè, òèïè÷íûì
äëÿ ïëàçìåííûõ îñöèëëÿöèé 2D ýëåêòðîííîãî ãàçà
[4,5]. Ê ñîæàëåíèþ, àâòîðû ïóáëèêàöèè [6] ïðîïó-
ñòèëè ïëàçìåííûå êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå ïðÿìîëèíåé-
íûõ äèñëîêàöèé.
Ïîä äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêîé áóäåì ïîíèìàòü
ñèñòåìó ïàðàëëåëüíûõ âèíòîâûõ äèñëîêàöèé îäíîãî
çíàêà, ïåðåñåêàþùèõ ïåðïåíäèêóëÿðíóþ èì ïëîñ-
êîñòü â óçëàõ 2D ðåøåòêè. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âî-
© À.Ì. Êîñåâè÷, 2004
ïðîñ, ÷åì ñòàáèëèçèðóåòñÿ òàêàÿ ðåøåòêà ðàñòàëêè-
âàþùèõñÿ äèñëîêàöèé. Ýòîò âîïðîñ îáñóæäàåòñÿ â
ñòàòüå, è îòâåò íà íåãî ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ñòàáèëèçà-
öèÿ ðåøåòêè îáåñïå÷èâàåòñÿ âîçíèêàþùèì â êðèñòàë-
ëå îäíîðîäíûì ïî äëèíå îáðàçöà çàêðó÷èâàíèåì.
Íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî óçëîâûì ìîìåíòîì ïðè
ôîðìóëèðîâêå óðàâíåíèé äèíàìèêè ñèñòåìû äèñëî-
êàöèé ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé ó÷åò ïëîòíîñòè ïîòîêà
äèñëîêàöèé íåïîñðåäñòâåííî â óðàâíåíèÿõ óïðóãîãî
ïîëÿ (ïðè íàëè÷èè äâèæóùèõñÿ äèñëîêàöèé) [4,7].
Ïðåäëîæåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé íàïîìèíàåò óðàâ-
íåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè íàëè÷èè äâèæó-
ùèõñÿ çàðÿäîâ, íî íåñêîëüêî ñëîæíåå. Óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ «çàðÿäîâ», ò.å. âèíòîâûõ äèñëîêàöèé,
âçÿòî â ñàìîì ïðîñòîì âèäå — â ìîäåëè óïðóãîé
ñòðóíû. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ óïðóãîãî ïîëÿ è
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äèñëîêàöèé ñîñòàâëÿþò ïîë-
íóþ ñèñòåìó, ïîçâîëÿþùóþ îïèñàòü ìàëûå êîëåáà-
íèÿ äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè.
Èçó÷åíû äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ äèñëîêàöè-
îííîé ðåøåòêè, ïðè êîòîðûõ äëèíà âîëíû êîëåáà-
íèé çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïåðèîä ðåøåòêè. Ïî-
ëó÷åíû äâå íåçàâèñèìûå âåòâè êîëåáàíèé. Îäíà èç
âåòâåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííûå êîëåáàíèÿ
ïëîòíîñòè äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè (âîëíû ñæà-
òèÿ—ðàçðåæåíèÿ) è ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé óïðó-
ãîé ñðåäû (âîëí ïîâîðîòà âîêðóã íàïðàâëåíèÿ
äèñëîêàöèîííûõ îñåé). Îòâå÷àÿ äâóì ñòåïåíÿì ñâî-
áîäû, ýòà âåòâü õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ çàêîíàìè
äèñïåðñèè. Îäèí èç íèõ ïðèíàäëåæèò ñîôàçíîìó
äâèæåíèþ ðåøåòêè è ñðåäû, à ïîòîìó â íèçêî÷àñ-
òîòíîì ïðåäåëå èìååò âèä çâóêîâîãî çàêîíà äèñïåð-
ñèè; âòîðîé îòíîñèòñÿ ê ïðîòèâîôàçíûì êîëå-
áàíèÿì ðåøåòêè è óïðóãîé ñðåäû, ïîýòîìó â
äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå îáëàäàåò ùåëüþ, ÷àñòîòà
êîòîðîé âêëþ÷àåò è ïëàçìåííóþ ÷àñòîòó äèñëîêàöè-
îííîé ðåøåòêè.
Äðóãàÿ âåòâü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííûå ïîïå-
ðå÷íûå êîëåáàíèÿ äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè è êîëå-
áàíèÿ óïðóãîé ñðåäû, èìåþùèå ñîñòàâëÿþùóþ ñêî-
ðîñòè ñìåùåíèé âäîëü äèñëîêàöèîííûõ îñåé.
Óêàçàííûå äâèæåíèÿ èìåþò òðè êîëëåêòèâíûå ñòå-
ïåíè ñâîáîäû: ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ äèñëîêàöèîí-
íîé ðåøåòêè â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé äèñëî-
êàöèîííûì îñÿì (ñìåùåíèå äèñëîêàöèîííûõ ëèíèé
ïðîèñõîäèò â ýòîé ïëîñêîñòè), è äâå ñòåïåíè ñâîáî-
äû, êîòîðûì îòâå÷àþò âîëíû ðàçðåæåíèÿ—ñæàòèÿ
óïðóãîé ñðåäû è âîëíû ïîâîðîòîâ â óïðóãîé ñðåäå
âîêðóã îñåé, ëåæàùèõ â óïîìÿíóòîé ïëîñêîñòè. Ñî-
îòâåòñòâåííî, ýòà âåòâü êîëåáàíèé ïîðîæäàåò òðè
äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèÿ: äâà èç íèõ îïèñûâàþò
ñîôàçíûå âîëíû êîëåáàíèé äèñëîêàöèîííîé ðåøåò-
êè è óïðóãîé ñðåäû, à îäíî — ïðîòèâîôàçíûå êîëå-
áàíèÿ.
Îïèñàíèå àíàëîãè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ
â ïðîñòîé òàê íàçûâàåìîé ñêàëÿðíîé ìîäåëè, îïóá-
ëèêîâàíî â [8].
2. Ñòàáèëüíîñòü äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè
Âèíòîâàÿ äèñëîêàöèÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè z, ñîçäà-
åò ÷èñòî ñäâèãîâîå îäíîêîìïîíåíòíîå ïîëå ñìåùå-
íèé: âåêòîð ñìåùåíèé u � ( , , )0 0 w èìååò òîëüêî îäíó
îòëè÷íóþ îò íóëÿ êîìïîíåíòó w, çàâèñÿùóþ îò êî-
îðäèíàò x y, . Åñëè èçîëèðîâàííàÿ âèíòîâàÿ äèñëîêà-
öèÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ z, òî îíà ñîçäàåò óïðóãîå ïîëå,
â êîòîðîì âåëè÷èíà w ïðè îáõîäå âîêðóã îñè äèñëî-
êàöèè ïðèîáðåòàåò ôèêñèðîâàííîå ïðèðàùåíèå:
w
b y
x
� �
2�
� �, arctg , (1)
ãäå b — âåëè÷èíà âåêòîðà Áþðãåðñà äèñëîêàöèè,
êîòîðûé íàïðàâëåí ïî îñè z: b � ( , , )0 0 b . Ïîëå ñìå-
ùåíèé (1) ñâÿçàíî ñ íàïðÿæåíèÿì
�
��z
bG
r
0
2
1
� , (2)
ãäå � �z åñòü z�-ýëåìåíò òåíçîðà íàïðÿæåíèé â öè-
ëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà ïàðàëëåëüíûõ âèí-
òîâûõ äèñëîêàöèé, îðèåíòèðîâàííûõ âäîëü îñè z è
ïåðåñåêàþùèõ ïëîñêîñòü ( , )x y â äèñêðåòíûõ, ïåðèî-
äè÷åñêè ðàñïîëîæåííûõ òî÷êàõ, îáðàçóåò 2D ðåøåò-
êó, ýëåìåíòàðíàÿ ÿ÷åéêà êîòîðîé èìååò ïëîùàäü S0:
S NS� 0, ãäå S — ïëîùàäü ñå÷åíèÿ îáðàçöà â ïëîñ-
êîñòè (x,y), à N — ïîëíîå ÷èñëî äèñëîêàöèé.
Êîîðäèíàòû óêàçàííûõ òî÷åê â ðàâíîâåñíîé ðåøåòêå
x n R a nn( ) , ( , , )� � �� �
�
�n n n1 2 0 , (3)
ãäå a� �( , )� 1 2 — îñíîâíûå òðàíñëÿöèîííûå âåêòî-
ðû ðåøåòêè ( ,~a a a� çäåñü — ðàññòîÿíèå ìåæäó
ñîñåäíèìè äèñëîêàöèÿìè).
Êîíñòðóèðóÿ ïîäîáíóþ ðåøåòêó âèíòîâûõ äèñëî-
êàöèé, ñëåäóåò âñïîìíèòü, ÷òî âèíòîâûå äèñëîêàöèè
îäíîãî çíàêà ðàñòàëêèâàþòñÿ ïîäîáíî ëèíåéíûì îä-
íîèìåííûì çàðÿäàì [4]. Ïîýòîìó òàêàÿ ðåøåòêà íå
ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè áåç êîìïåíñàöèè
ðàñòàëêèâàíèÿ äèñëîêàöèé. Âèõðåâàÿ ðåøåòêà â
ñâåðõïðîâîäíèêå ñòàáèëèçèðóåòñÿ ìàãíèòíûì ïîòî-
êîì ÷åðåç ñâåðõïðîâîäíèê. Âèõðåâàÿ ðåøåòêà â
ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè ñòàáèëèçèðóåòñÿ âðàùàòåëüíûì
ìîìåíòîì ñîñóäà ñ ãåëèåì. Àíàëîãè÷íîå «âíåøíåå ïî-
ëå» ñóùåñòâóåò è â ñëó÷àå ðåøåòêè âèõðåâûõ äèñëîêà-
öèé â îáðàçöå, ñâîáîäíîì îò âíåøíèõ âîçäåéñòâèé.
Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìûé êðèñòàëëè÷åñèé îáðàçåö
èìååò ôîðìó öèëèíäðà áîëüøîãî ðàäèóñà R (â ïðå-
äåëå R � ). Áîëüøîå ÷èñëî âèíòîâûõ äèñëîêàöèé,
Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñâåðõñòðóêòóðû, îáðàçîâàííîé ðåøåòêîé âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3 333
ïàðàëëåëüíûõ îñè öèëèíäðà, îáðàçóþò 2D ðåøåòêó
ñ ïëîùàäüþ S0 ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè â ïëîñêîñòè
( , )x y . Èíòåðåñóÿñü ïðåæäå âñåãî ìàêðîñêîïè÷åñêè-
ìè (óñðåäíåííûìè) ñâîéñòâàìè ðåøåòêè, äîïóñòèì,
÷òî äèñëîêàöèè ðàñïðåäåëåíû íåïðåðûâíî ñ ïëîòíî-
ñòüþ 1 0/S . Âñïîìíèì, ÷òî äèñëîêàöèÿ, ñîâïàäàþ-
ùàÿ ñ îñüþ öèëèíäðà, ñîçäàåò âîêðóã ñåáÿ ïîëå
íàïðÿæåíèé (2). Íî òàê êàê ïîëå íàïðÿæåíèé âèí-
òîâûõ äèñëîêàöèé ïîäîáíî ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ
ëèíåéíûõ çàðÿäîâ èëè òîêîâ, òî íàïðÿæåíèÿ íà ðàñ-
ñòîÿíèè r îò îñè öèëèíäðà ñîçäàþòñÿ âñåìè äèñëîêà-
öèÿìè, ïåðåñåêàþùèìè ïëîùàäü S r� � 2 âîêðóã îñè
öèäèíäðà, è ðàâíû íàïðÿæåíèÿì âîêðóã îäíîé ðàñ-
ïîëîæåííîé íà îñè öèëèíäðà ( )x y� � 0 äèñëîêà-
öèè ñ ñóììàðíûì «çàðÿäîì» (âåêòîðîì Áþðãåðñà
bS S/ 0 ) âñåõ ýòèõ äèñëîêàöèé:
� �� �z z
S
S
bG
S
r� �
0
0
02
. (4)
Ïðåæäå âñåãî, ýòè íàïðÿæåíèÿ ñîçäàþò ñèëó,
äåéñòâóþùóþ íà äèñëîêàöèþ, óäàëåííóþ íà ðàñ-
ñòîÿíèå r îò îñè öèëèíäðà
f b
b G
S
rr z� �� �
2
02
. (5)
Âî-âòîðûõ, õîòÿ äèñëîêàöèîííîå ïîëå (4) óäîâ-
ëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì � � � �rr rz r� � � 0
íà ñâîáîäíîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè îáðàçöà, îíî ñîç-
äàåò ñëåäóþùèé çàêðó÷èâàþùèé ìîìåíò ñèë íà òîð-
öå öèëèíäðà
M r dS r dr
Gb
S
Rz z z
R
� � �
� � �
�
� �2
4
0
2
0
4. (6)
Òàêèì îáðàçîì, âèäíî, ÷òî äèñëîêàöèîííàÿ ðå-
øåòêà ñîçäàåò íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå ïîðîæäàþò îò-
ëè÷íûé îò íóëÿ âðàùàòåëüíûé ìîìåíò Mz íà êîí-
öàõ öèëèíäðà. Åñëè òîðöû öèëèíäðà ñâîáîäíû, òî
ðàññ÷èòàííîå ïîëå íàïðÿæåíèé (4) íå óäîâëåòâîðÿ-
åò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà òîðöàõ (äàæå åñëè ïî-
ñëåäíèå áåñêîíå÷íî óäàëåíû). Ñëåäîâàòåëüíî, èñ-
òèííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ öèëèíäðà
äîëæíî âêëþ÷àòü äîïîëíèòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ,
êîìïåíñèðóþùèå ìîìåíò Mz , ò.å. ñîçäàþùèå íà
òîðöàõ öèëèíäðà ñðåäíèé ìîìåíò Mz [9]. Ýòè íà-
ïðÿæåíèÿ (à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåùåíèÿ)
ëåãêî ïîëó÷èòü èç òåîðèè êðó÷åíèÿ ñòåðæíåé. Èç-
âåñòíî, ÷òî ïðè êðó÷åíèè ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì
ìîìåíòà Mz âîçíèêàåò êîìïîíåíòà âåêòîðà ñìåùå-
íèé u�, îáåñïå÷èâàþùàÿ îäíîðîäíûé ïî äëèíå
ñòåðæíÿ óãîë êðó÷åíèÿ
d
dz z
u
r r
u
z
M
C
z� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
, (7)
ãäå C / GR� ( )1 2 4� — êðóòèëüíàÿ æåñòêîñòü êðó-
ãîâîãî ñòåðæíÿ.
Ó÷èòûâàÿ (6) è (7), ëåãêî çàïèñàòü ðàñïðåäåëå-
íèå äîïîëíèòåëüíûõ ñìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â öè-
ëèíäðå
u
brz
S
bG
S
r� ��� � � �
2 20 0
, . (8)
Íàïðÿæåíèÿ, îïèñûâàìûå âòîðûì ñîîòíîøåíèåì
â (8), ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðîå âíåøíåå
ïîëå ïî îòíîøåíèþ ê äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêå.
Ñðàâíèâàÿ (8) è (5), âèäèì, ÷òî ñèëà âçàèìîäåéñò-
âèÿ âûäåëåííîé äèñëîêàöèè ñ îñòàëüíûìè íåïðå-
ðûâíî ðàñïðåäåëåííûìè äèñëîêàöèÿìè â òî÷íîñòè
êîìïåíñèðóåòñÿ ýòèìè «âíåøíèìè íàïðÿæåíèÿìè».
Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî îæèäàåìîå ðàñòàëêèâàíèå
äèñêðåòíûõ äèñëîêàöèé, ðàññ÷èòàííîå ïî ôîðìóëå
(5) ñ èñïîëüçîâàíèåì (2), â ñðåäíåì èñêëþ÷àåòñÿ
ïðàâèëüíûì ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé è ñèì-
ìåòðèåé çàäà÷è ñ íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì
äèñëîêàöèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿ-
íèå äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè ñòàáèëèçèðóåòñÿ çà-
êðó÷èâàíèåì îáðàçöà.
Ïîñêîëüêó ïðîèñõîäèò êîìïåíñàöèÿ ñðåäíèõ íà-
ïðÿæåíèé, ñîçäàííûõ âñåé ðåøåòêîé, òî íåîáõîäè-
ìî èñêëþ÷èòü ñðåäíèå äèñëîêàöèîííûå íàïðÿæåíèÿ
èç ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ êàæäîé äèñëîêàöèè ñ îñ-
òàëüíûìè äèñëîêàöèÿìè â ðåøåòêå. Ñëåäîâàòåëüíî,
â ïðåäëàãàåìîé ñõåìå ðåøåòêà âèíòîâûõ äèñëîêà-
öèé îäíîãî çíàêà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê áû íà ôîíå
íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ äèñëîêàöèé ïðîòèâî-
ïîëîæíîãî çíàêà.
3. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ óïðóãîãî ïîëÿ ñ
âèíòîâûìè äèñëîêàöèÿìè
Óïðóãîå ïîëå äèñëîêàöèé îïðåäåëÿåòñÿ, åñòåñò-
âåííî, ïðîñòðàíñòâåííûì ðàñïðåäåëåíèåì äèñëîêà-
öèé (òåíçîðîì ïëîòíîñòè äèñëîêàöèé � ik t( , ),x
i k, , , )� 1 2 3 è èõ ïîòîêîâ (òåíçîðîì ïëîòíîñòè ïîòî-
êà âåêòîðà Áþðãåðñà [4,7] j tik( , )x ).  îáùåì ñëó÷àå
óêàçàííûå ïëîòíîñòè ñâÿçàíû àíàëîãîì óðàâíåíèÿ
íåïðåðûâíîñòè:
��
�
ik
ilm i mkt
e j� �� 0, (9)
ãäå eikl — åäèíè÷íûé àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð
òðåòüåãî ðàíãà, à � �i i/ x� � .  ñëó÷àå îòäåëüíîé
äèñëîêàöèè, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü z � const â
òî÷êå x0 0 0� ( , )x y , óêàçàííûå ïëîòíîñòè ðàâíû:
334 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3
À.Ì. Êîñåâè÷
� � �ik i kb x y� � �( ), ( , )x x x0 , (10)
ãäå � — åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé ê ëèíèè
äèñëîêàöèè, à b — âåêòîð Áþðãåðñà äèñëîêàöèè è
j e V bik ilm l m k� �� �( )x x0 , (11)
ãäå V — âåêòîð cêîðîñòè ýëåìåíòà äèñëîêàöèè (â
ñëó÷àå ïðÿìîëèíåéíûõ äèñëîêàöèé, íàïðàâëåííûõ
âäîëü îñè z, ýòîò âåêòîð èìååò òîëüêî äâå ñîñòàâ-
ëÿþùèõ: V� � 1 2, ).
Åñëè â êðèñòàëëå ðàñïðåäåëåíû äèñëîêàöèè, òî
íåâîçìîæíî ââåñòè âåêòîð ñìåùåíèÿ ñðåäû w êàê
îäíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ êîîðäèíàò, è äåôîðìàöèÿ
ñðåäû îïèñûâàåòñÿ òåíçîðoì äèñòîðñèè [4,7] uik
( , , )i � 1 2 3 . Òåíçîð äèñòîðñèè ÿâëÿåòñÿ ïåðâè÷íîé
ñàìîñòîÿòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé äåôîðìàöèè ñðå-
äû (åãî ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåò òåíçîð äå-
ôîðìàöèè) è âõîäèò â îñíîâíîå óðàâíåíèå òåîðèè
óïðóãîñòè êðèñòàëëà ñ äèñëîêàöèÿìè:
e uilm l mk ik� � � � . (12)
Åñëè äèñëîêàöèè äâèæóòñÿ, òî óðàâíåíèå (12) íå
ìåíÿåòñÿ, íî âîçíèêàåò âåêòîð j. Ââåäåíèå ïëîòíî-
ñòè ïîòîêà äèñëîêàöèé åñòü óçëîâîé ìîìåíò ïî-
ñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî óïðóãîãî ïîëÿ, òàê êàê îí
îïðåäåëÿåò îäíî èç îñíîâíûõ óðàâíåíèé òåîðèè
äâèæóùèõñÿ äèñëîêàöèé [4,7]:
�
�
�
�
u
t
v
x
j i kik k
i
ik� � �, , , ,1 2 3. (13)
 èíòåðåñóþùåì íàñ ñëó÷àå âèíòîâûõ äèñëîêà-
öèé, âûñòðîåííûõ âäîëü îñè z, âåêòîð Áþðãåðñà
èìååò åäèíñòâåííóþ îòëè÷íóþ îò íóëÿ êîìïîíåíòó
b bz � , ïîýòîìó èíäåêñ k â (10) è (11) âõîäèò êàê ïà-
ðàìåòð, è óäîáíî ââåñòè âåêòîðíîå îáîçíà÷åíèå äëÿ
ïëîòíîñòè ïîòîêà âåêòîðà Áþðãåðñà:
j ji iz� . (14)
Êðîìå òîãî, ó÷òåì, ÷òî â çàäà÷å î êîëåáàíèÿõ äèñ-
ëîêàöèîííîé ðåøåòêè ñêîðîñòü äèñëîêàöèè ÿâëÿåò-
ñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé, è â ëèíåéíîì ïî V ïðèáëèæå-
íèè âåêòîð � â îïðåäåëåíèè (11) ìîæíî ñ÷èòàòü
íàïðàâëåííûì ïîñòîÿííî ïàðàëëåëüíî îñè z (óäîá-
íî ïîëîæèòü � z � �1). Òîãäà jz � 0 è
j b V� �� �� � �� � �( ), ,x x0 1 2, (15)
ãäå ìàòðèöà � �� ðàâíà
� ��� �
�
�
�
�
�
� �
0 1
1 0
1 2, , . (16)
Òîãäà óðàâíåíèå (13) ïðèìåò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
u
t
v
x
j i
u
t
v
x
iz z
i
i
i
i
� � � � �, , , ; , ,1 2 3 12.
(17)
Ïëîòíîñòü äèñëîêàöèîííîãî ïîòîêà â ðåøåòêå
åñòü ñóììà âåëè÷èí (15) ïî âñåé ðåøåòêå:
j b V� �� �� �� �� ( ) ( ( ))n x R n
n
. (18)
 ïðîáëåìå ìàëûõ êîëåáàíèé ðåøåòêè âèíòîâûõ
äèñëîêàöèé ñîîòíîøåíèå (18) ñîäåðæèò äîñòàòî÷íóþ
èíôîðìàöèþ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âêëàäà äâèæóùèõñÿ
äèñëîêàöèé âî âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü óïðóãîãî ïîëÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòü ñìåùåíèÿ ýëåìåíòà óïðóãîé
ñðåäû v x( , )t ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî óðàâíå-
íèÿ, ñîãëàñîâàííîãî ñ îñíîâíûì óðàâíåíèåì äèíàìè-
÷åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè è óðàâíåíèåì (13) [4,7]:
�
�
�
� �
2
2
1 2 3
v
t
v j ii
iklm k l m iklm k lm� � �� � � , , , ,
(19)
ãäå � — ïëîòíîñòü âåùåñòâà (ìàññà åäèíèöû îáúå-
ìà), à � iklm — òåíçîð óïðóãèõ ìîäóëåé êðèñòàëëà.
Îäíàêî óðàâíåíèå (19) íå ó÷èòûâàåò íè â êàêîé
ìåðå äèñêðåòíîñòè ñðåäû è íàëè÷èÿ òàê íàçûâàåìîãî
ðåëüåôà Ïàéåðëñà. Ïîñëåäíèé ñâÿçàí ñ òåì î÷åâèä-
íûì ôèçè÷åñêèì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî äàæå ìàëûå
ñìåùåíèÿ äèñëîêàöèè îòíîñèòåëüíî êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêè òðåáóþò ñîâåðøåíèÿ îïðåäåëåííîé ðàáîòû.
Ïîýòîìó âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà, ïðèëîæåí-
íàÿ â òî÷êå íàõîæäåíèÿ äèñëîêàöèè è ïðîïîð-
öèîíàëüíàÿ âåëè÷èíå îòíîñèòåëüíîãî ñìåùåíèÿ ñðå-
äà—äèñëîêàöèÿ. Íàì óäîáíåå ââåñòè ýòó ñèëó ïîçæå
ïðè îáñóæäåíèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äèñëîêàöèè. À
ñåé÷àñ çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåòêè âèíòîâûõ äèñëîêà-
öèé â èçîòðîïíîé ñðåäå óðàâíåíèå (19) óïðîùàåòñÿ:
�
�
2
2
2 2 2v
t
c v c ci
t i l t i� � � ��� ( ) div v
� � �� �c j j it z i iz
2 1 2 3( ), , , ,� �� (20)
ãäå ct è cl — ýòî ñêîðîñòè ïîïåðå÷íîãî è ïðîäîëü-
íîãî çâóêà ñîîòâåòñòâåííî. Óäîáíî ïåðåïèñàòü (20)
â êîìïîíåíòàõ:
�
�
� �
2
2
2 2 2 2
t
c v c c c jt z l t z t�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� �� ( ) div v , (21)
�
�
� � � �
2
2
2 2 2 2 1 2
t
c v c c ct l t t z j�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �� �� ( ) ,,div v .
(22)
Ïîñêîëüêó òåíçîð Ãðèíà äëÿ äèíàìè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè èçîòðîïíîé ñðåäû
Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñâåðõñòðóêòóðû, îáðàçîâàííîé ðåøåòêîé âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3 335
èçâåñòåí â ÿâíîì âèäå, òî óðàâíåíèÿ (20)—(22) ïî-
çâîëÿþò âûðàçèòü ñêîðîñòü ñìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ
ñðåäû íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç ïðîñòðàíñòâåííûå
ïðîèçâîäíûå ïëîòíîñòè äèñëîêàöèoííîãî ïîòîêà.
4. Äèíàìèêà äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè
Èòàê, åñëè èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ïîòîêîâ äèñ-
ëîêàöèé, òî èìåþòñÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíà-
ìè÷åñêèå óïðóãèå ïîëÿ â îáðàçöå. ×òîáû çàìêíóòü
ýòó ñèñòåìó, íåîáõîäèìî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ, îïðå-
äåëÿþùèå ñêîðîñòè äèñëîêàöèé, ò.å. óðàâíåíèÿ äâè-
æåíèÿ äèñëîêàöèé ïîä äåéñòâèåì óïðóãèõ ïîëåé.
Ïðîñòåéøàÿ ôîðìà òàêîãî óðàâíåíèÿ — ýòî óðàâíå-
íèå êîëåáàíèé óïðóãîé ñòðóíû. Ïóñòü U n( , , )z t —
âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåìåíòà n-é äèñëîêàöèè
U( , , )U U1 2 0 , çàâèñèìîñòü êîòîðîãî îò âðåìåíè îïðå-
äåëÿåò ñêîðîñòü äèñëîêàöèè: V U / t� �� � �� �, , .1 2
Òîãäà óïîìÿíóòîå óðàâíåíèå èìååò âèä («íîìåð»
äèñëîêàöèè îïóñêàåì) [4,7]
m
U
t
U
z
f S
�
�
�
�
� �
� ��
2
2
2
2
� � � . (23)
Çäåñü m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà åäèíèöû äëèíû äèñ-
ëîêàöèè. Îñíîâíóþ ÷àñòü ýôôåêòèâíîé ìàññû â òàê
íàçûâàåìîì ëîãàðèôìè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïðåä-
ñòàâëÿåò ïîëåâàÿ ìàññà (ìàññà èíåðöèè óïðóãîãî
ïîëÿ, ñîçäàííîãî äèñëîêàöèåé):
m
b R
r* ln�
�
��
�
�
��
�
�
2
04
cur , (24)
ãäå Rcur — ýòî ëèáî ðàäèóñ êðèâèçíû äèñëîêàöèîí-
íîé ëèíèè, ëèáî äëèíà âîëíû èçãèáíûõ êîëåáàíèé,
à r0 — ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå. Îäíàêî èñòèííàÿ
ìàññà åäèíèöû äëèíû äèñëîêàöèè ïðåâûøàåò ýòó
âåëè÷èíó, òàê êàê ïåðåñòðîéêà â ÿäðå äâèæóùåéñÿ
äèñëîêàöèè âîâëåêàåò â äâèæåíèå ÷àñòü àòîìîâ â
îêðåñòíîñòè îñè äèñëîêàöèè íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿä-
êà r0 îò íåå. Ïîðÿäîê âåëè÷èíû ìàññû àòîìîâ âíóò-
ðè òðóáêè ðàäèóñîì r b0 ~ íà åäèíèöå äëèíû äèñëî-
êàöèè ìîæíî îöåíèòü êàê � �r b0
2 2~ . Ñðàâíèâàÿ ýòó
îöåíêó ñ (24) è ïîíèìàÿ íåîáõîäèìîñòü äîáàâèòü
ýòó ìàññó ê (24), áóäåì ïîìíèòü, ÷òî ýôôåêòèâíàÿ
ìàññà åäèíèöû äëèíû äèñëîêàöèè m m� *
.
Äàëåå, �— ëèíåéíîå íàòÿæåíèå âèíòîâîé äèñëî-
êàöèè, ñîçäàííîå óïðóãèì âçàèìîäåéñòâèåì ðàcñìàò-
ðèâàåìîãî ýëåìåíòà äèñëîêàöèè ñ äðóãèìè ÷àñòÿìè
òîé æå äèñëîêàöèè:
�
�
�
�
�
��
�
�
��
c b R
r
t
2 2
04
ln cur . (25)
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëà îïðåäåëÿåò ñàìîäåéñòâèå èñ-
êðèâëåííîé äèñëîêàöèè, îíà îáóñëîâëåíà ñîáñòâåí-
íîé ýíåðãèåé îòäåëüíîé äèñëîêàöèîííîé ïåòëè.
Ñèëà f îïèñûâàåò óïðóãîå âçàèìîäåéñòâèå ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé äèñëîêàöèè ñ îñòàëüíûìè íåïðåðûâ-
íî ðàñïðåäåëåííûìè äèñëîêàöèÿìè, îíà ðàâíà
f b bG u uz z� �� � �� � �� ��� � �( ), (26)
ãäå �� �, u z è uz� — ýòî íàïðÿæåíèÿ è äèñòîðñèè çà
âû÷åòîì óïðóãuõ ïîëåé îäíîðîäíî è íåïðåðûâíî
ðàñïðåäåëåííûõ äèñëîêàöèé, ñöåïëåííûõ ñ óïðó-
ãîé ñðåäîé.
Íàêîíåö, S — ýòî ñèëà, îáóñëîâëåííàÿ äèñêðåòíî-
ñòüþ ðåøåòêè, âêëþ÷àÿ äèññèïàòèâíûå ñèëû. Èíòå-
ðåñóÿñü çàêîíîì äèñïåðñèè ìàëûõ êîëåáàíèé, ïðå-
íåáðåæåì ïîñëåäíèìè è áåðåì ñèëó S â âèäå
S U� �m�0
2 , (27)
ãäå �0 — ÷àñòîòà êîëåáàíèé äèñëîêàöèîííîé ñòðó-
íû â äîëèíå ðåëüåôà Ïàéåðëñà.
Îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî U — ýòî ñìåùåíèå
äèñëîêàöèè, êîíå÷íî, îòíîñèòåëüíî ñðåäû, ò.å. òà
÷àñòü ñìåùåíèÿ ýëåìåíòà ñðåäû, êîòîðàÿ îòâåòñò-
âåííà çà ïëàñòè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ [7]. Åå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü êàê U u u� �g , ãäå u g — ãåîìåòðè÷å-
ñêîå ñìåùåíèå ñðåäû â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåí-
òà äèñëîêàöèîííîé ëèíèè, à u — óïðóãîå ñìåùåíèå
ýëåìåíòà ñðåäû, ïîðîæäàþùåå óïðóãóþ äèñòîðñèþ
u uik i k� � .
Ñèëà (27) ïîÿâèëàñü èç äîïîëíèòåëüíîé ýíåðãèè,
âîçíèêøåé çà ñ÷åò óïîìèíàâøåéñÿ ðàíåå ðàáîòû
ñìåùåíèÿ äèñëîêàöèè îòíîñèòåëüíî ñðåäû, êîòîðóþ
óäîáíî çàñïèñàòü â âèäå
� �E m dz z�
�
1
2 0
2 2
n
U x( , ). (28).
ßñíî, ÷òî ýíåðãèÿ (28) ïîðîæäàåò òàêæå ïëîòíîñòü
ñèëû f E/ ui
D
i� �� � , äåéñòâóþùóþ íà ýëåìåíòû
îáúåìà ñðåäû â ìåñòàõ íàõîæäåíèÿ ñìåùåííûõ èç
ðàâíîâåñíûõ ïîëîæåíèé äèñëîêàöèé. Îíà ðàâíà
f U x R n
n
D m z� ��� �0
2 ( , ) ( ( ))n . (29).
Ïëîòíîñòü ñèëû (29) äîëæíà áûòü âêëþ÷åíà â îñ-
íîâíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ óïðóãîé ñðåäû, à åå
ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè
�
�
� �
f
t
m zi
D
� ��02 Vi
n
n x R n( , ) ( ( )) (30)
äîëæíà áûòü äîáàâëåíà (ïîäåëåííàÿ íà �) â ïðàâóþ
÷àñòü óðàâíåíèÿ (20).
Èìåÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äèñëîêàöèé (23) è
óðàâíåíèÿ óïðóãîãî ïîëÿ ëèáî â ôîðìå (20), ëèáî â
336 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3
À.Ì. Êîñåâè÷
ôîðìå (21) è (22), äîïîëíåííûå ïëîòíîñòüþ ñèëû
(29), ìîæíî èçó÷àòü êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ äèñ-
ëîêàöèîííîé ðåøåòêè è óïðóãîé ñðåäû.
5. Äëèííîâîëíîâûå êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ
Èññëåäóåì äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ äèñëîêà-
öèîííîé ðåøåòêè, ïîëàãàÿ äëèíó âîëíû êîëåáàíèé,
çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùåé ïåðèîä ðåøåòêè
a ak( ) 1 . Â ýòîì ïðèáëèæåíèè ðàñïðåäåëåíèå äèñ-
ëîêàöèé ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûì, õàðàêòåðè-
çóÿ åãî ïëîòíîñòüþ n( , )x t . Â ðàâíîâåñèè n n� 0, ãäå
n /S0 01� � const. Äèíàìèêà ðåøåòêè îïðåäåëÿåòñÿ
â îñíîâíîì ñðåäíåé ïëîòíîñòüþ äèñëîêàöèîííîãî
ïîòîêà j, êîòîðûé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè èìååò îò-
ëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû
j t bn V t� �� �� �( , ) ( , ), ,x x� �0 1 2, (31)
ãäå V — ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèñëîêàöèé. Ñêîðîñòü V
äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ äèñëî-
êàöèè (23). Èíòåðåñóÿñü ýôôåêòàìè ÷èñòî ïîëåâîãî
ïðîèñõîæäåíèÿ, ïðåíåáðåæåì ó÷åòîì ðåëüåôà Ïàé-
åðëñà, ò.å. ïîëîæèì �0 0� . Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ (23), èñïîëüçóÿ (26) è (27):
�
�
�
�
� �
�� � ��V
t
s
U
z
bG
m
u uz z� � �2
2
2
( ), (32)
ãäå s — ñêîðîñòü èçãèáíîé âîëíû äèñëîêàöèè
( )s /m2 � � . Ïîìíÿ çàìå÷àíèÿ ïî ïîâîäó ýôôåêòèâ-
íîé ìàññû åäèíèöû äëèíû äèñëîêàöèè, ñ÷èòàåì
s ct .
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (32) ïî âðåìåíè è âîñïîëü-
çóåìñÿ óðàâíåíèåì (13), à òàêæå âûðàæåíèåì (31).
Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
2
2
2 2
2
2
V
t
V s
V
z
bG
m
v
x
v
zpl
z� � � �
�
�
�
�
�
�
�
,
(33)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
�pl
b Gn
m
2
2
0� . (34).
×àñòîòà �pl — ýòî àíàëîã ïëàçìåííîé ÷àñòîòû.
Ñîãëàñóåì çàïèñü (33) ñ óðàâíåíèÿìè (21) è
(22), äëÿ ÷åãî ââåäåì ñðåäíèé äâóìåðíûé ïîòîê
äèñëîêàöèîííûõ ëèíèé
J V� bn0 . (35).
Òîãäà âìåñòî (33) ñëåäóåò ïèñàòü
�
�
�
�
�
��
�
�
�� ��
2
2
2 2
2
2
2J
t
J s
J
z
vpl pl z� � � , (36)
ãäå îáîçíà÷åíî
v v v i kik i k k i� � �� � , , , ,1 2 3.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå
ôóíêöèè P J� � �div J � � è ( )rot v z , oòäåëÿþòñÿ îò
îñòàëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé è îáðàçóþò àâ-
òîíîìíóþ ïàðó:
�
�
�
�
�
�
2
2
2 2
2
2
2
t
s
z
Ppl pl z z� �
�
�
�
�
�
�
�
� � ( )rot v , (37)
�
�
2
2
2 2 2
t
c c c Pt z t z z t z�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� �� ( ) ( )rot rotv j .(38)
Óðàâíåíèÿ (37) è (38) îïðåäåëÿþò äëÿ ñîáñòâåí-
íûõ êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé òèïà exp( )i i tkx � �
âåòâü êîëåáàíèé ñ aíèçîòðîïíûì çàêîíîì äèñïåð-
ñèè, êîòîðûé ïðåäñòàâèì â íåÿâíîì âèäå:
( )( ) ( )� � � �2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � �c k s k c kt pl z pl t z . (39)
Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå (39) èìååò äâà êîðíÿ, äàþ-
ùèå ïðîñòóþ çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò âîëíîâîãî
âåêòîðà â ïðåäåëüíî äëèííîâîëíîâîì ñëó÷àå
( )ck pl � .
1. Àíèçîòðîïíûé çàêîí äèñïåðñèè íèçêî÷àñòîò-
íûõ êîëåáàíèé çâóêîâîãî òèïà:
� �2 2 2 2 2 2� � �sin ( ) ( )c k c k kt t x y , (40)
ãäå � — ýòî óãîë ìåæäó âîëíîâûì âåêòîðîì è îñüþ
z (k kz � cos�). Åñëè ïðîäîëæèòü äèñïåðñèîííóþ
çàâèñèìîñòü â îáëàñòü áîëüøèõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ,
òî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñ ðîñòîì k ýòà çàâèñèìîñòü
ïðèáëèæàåòñÿ ê �2 2 2� s kz .
2. Àíèçîòðîïíûé çàêîí äèñïåðñèè ñî ùåëüþ (âû-
ñîêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ):
� � � �2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � �pl t pl t zc s k c s kcos ( ) ( ) .
(41)
Ñíîâà ïðîñëåäèì çà äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòüþ
âåòâè â îáëàñòè áîëüøèõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Ñ
ðîñòîì k ýòà çàâèñèìîñòü ïðèáëèæàåòñÿ ê �2 2 2� c kt .
Âèäíî, ÷òî äåéñòâèòåëüíî îáà çàêîíà äèñïåðñèè
ñèëüíî àíèçîòðîïíû.
Èòàê, îäíà âåòâü êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé îòâå-
÷àåò ñâÿçàííûì êîëåáàíèÿì ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò
óïðóãîãî ïîëÿ (rot v)z è ïðîäîëüíûì êîëåáàíèÿì
ðàñøèðåíèÿ—ñæàòèÿ äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè (P).
Åñòåñòâåííî, ÷òî â õàðàêòåðèñòèêó òàêèõ êîëåáàíèé
âêëþ÷åíà ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà.  âîëíå, ðàñïðîñòðà-
íÿþùåéñÿ â ïëîñêîñòè (x y, ), ïîëÿ rot v ( , , )x y t è
P x y t( , , ) ñòàíîâÿòñÿ íåçàâèñèìûìè è êîëåáëþòñÿ ñ
çàêîíàìè äèñïåðñèè
Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñâåðõñòðóêòóðû, îáðàçîâàííîé ðåøåòêîé âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3 337
� � �2 2 2 2� � �c k kt x y pl( ), .
Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè ñâÿçàíû c êîëå-
áàíèÿìè âåêòîðíîé ïåðåìåííîé R J� rot , à òàêæå ñ
ïðîäîëüíûìè êîëåáàíèÿìè óïðóãîãî ïîëÿ (div )v è
òîé ÷àñòüþ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé óïðóãîãî ïîëÿ,
êîòîðàÿ âêëþ÷åíà â êîîðäèíàòíóþ çàâèñèìîñòü
êîìïîíåíòû ñêîðîñòè vz , ò.å. â êîìïîíåíòû
( ) , ,rot v � � � 1 2. Ýòà âåòâü êîëåáàíèé îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì (21), à òàêæå ñëåäóþùåé î÷åâèäíîé ïà-
ðîé óðàâíåíèé:
�
�
2
2
2 2 22 2
t
c c c Rl t z t z z�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �� div divv j , (42)
�
�
�
�
�
�
2
2
2 2
2
2
2
t
s
z
Rpl z pl z� �
�
�
�
�
�
�
�
� � �[ div +v
+
�
�
�
��
2
2
2
2x z
vz�
�
�
�
�
�
�
�
]. (43)
Ðåøåíèå óðàâíåíèé (21), (42) è (43) â âèäå ãàð-
ìîíè÷åñêèõ ïëîñêèõ âîëí î÷åâèäíûì îáðàçîì ïðè-
âîäèò ê äèñïåðñèîííîìó óðàâíåíèþ òðåòüåãî ïîðÿä-
êà îòíîñèòåëüíî �2:
( )( )( )� � � � � �2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � !c k c k s k cl t pl z pl t
! � � � � � �[( )( ) ( )]� �2 2 2 2 2 2 2 2 2 22c k k k k k c kl x y z z t
� � � �2 2 2 2 2 2 2 2�pl t z l t x y zc k c c k k k( ) ( )( ).
(44)
Ýòî äîâîëüíî ãðîìîçäêîå óðàâíåíèå, íî åãî êîðíè
ëåãêî àíàëèçèðóþòñÿ â ïðåäåëüíî äëèííîâîëíîâîì
ñëó÷àå, êîãäà ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êâàäðàòè÷íûìè
ïî ñòåïåíÿì k ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ ÷àñòîòû. Âûñî-
êî÷àñòîòíàÿ âåòâü íà÷èíàåòñÿ ñ ðàçëîæåíèÿ
� � �2 2 2 2 2 2� � �pl ts c k( cos ) (45)
è ñ ðîñòîì k ïðèáëèæàåòñÿ ê çàâèñèìîñòè �2 2 2� c kl .
Õàðàêòåðíî, ÷òî êðèâàÿ çàâèñèìîñòè (45) ðàñïîëî-
æåíà âûøå êðèâîé (41); ýòî çíà÷èò, ÷òî óêàçàííûå
êðèâûå íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè k.
 íèçêî÷àñòîòíîé îáëàñòè âîçíèêàåò äâå âåòâè
çâóêîâîãî ñïåêòðà�12 12, ,� c k, ñêîðîñòè çâóêà â êîòî-
ðûõ ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
( )( ) ( cos sin )c c c c c c c cl t t l t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22� � � � �� "� .
(46)
 ïðåäåëüíî âûñîêî÷àñòîòíîé îáëàñòè îäíà èç
ïîñëåäíèõ äâóõ âåòâåé âûõîäèò íà çàêîí äèñïåðñèè
ïîïåðå÷íîãî çâóêà, à âòîðàÿ ïðèîáðåòàåò ñëåäóþ-
ùèé çàêîí äèñïåðñèè:
� �� �sk skzcos .
Îáñóæäàÿ ïîâåäåíèå çàêîíîâ äèñïåðñèè ïðè áîëüøèõ
çíà÷åíèÿõ âîëíîâîãî âåêòîðà, ñëåäóåò áûòü âíèìà-
òåëüíûì, àíàëèçèðóÿ êàê âûñîêî÷àñòîòíóþ, òàê è
íèçêî÷àñòîòíóþ âåòâè. Äåëî â òîì, ÷òî ïîëó÷åííûå
çàêîíû äèñïåðñèè ñïðàâåäëèâû ïðè � �� a (èëè
ak 1). Ïðè áîëüøèõ k ïðîÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ
çàâèñèìîñòü çàêîíà äèñïåðñèè ðåøåòêè îò êâàçèâîë-
íîâîãî âåêòîðà ñ ïåðèîäîì îáðàòíîé ðåøåòêè
G k k G: ( ) ( )� �� � , ãäå G /a� 2� . Ïîýòîìó ïîëó÷åí-
íûå çàêîíû äèñïåðñèè ñïðàâåäëèâû ôàêòè÷åñêè âî
âñåõ ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ ëþáûõ âåêòîðîâ îáðàòíîé
ðåøåòêè g, ò.å. ïðè a| |k g� 1. Âîîáðàæàåìîå ïðî-
äîëæåíèå ãðàôèêîâ íèæíåé âåòâè ïðè k /~ � a, à òàê-
æå íåèçáåæíî âîçíèêíóâøåå ïåðåñå÷åíèå ãðàôèêîâ
âåðõíåé âåòâè ïðè k p / /a p� � �(( ) )( ), , , ,...1 2 1 2 3�
ìîæåò áûòü îïèñàíî ëèøü íà îñíîâå èçó÷åíèÿ äèíà-
ìèêè äèñêðåòíîé äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè. Íî ýòî
ïðåäìåò îòäåëüíîãî èñcëåäîâàíèÿ.
Íà îñíîâå äëèííîâîëíîâîãî ðàññìîòðåíèÿ íåâîç-
ìîæíî ñêàçàòü, èìååòñÿ ëè ïîëîñà çàïðåùåííûõ
÷àñòîò ìåæäó âåðõíåé è íèæíåé âåòâÿìè (ùåëü â
ñïåêòðå). Îäíàêî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ÷àñòîò-
íîì ñïåêòðå èìååòñÿ ïðåäåëüíàÿ ÷àñòîòà �pl , îòìå-
÷àþùàÿ íèæíèé êðàé âåðõíåé âåòâè êîëåáàíèé, êî-
òîðàÿ çàâåäîìî ìîæåò ïðîÿâëÿòüñÿ â ðåçîíàíñíûõ
àêóñòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êðèñòàëëà ñ äèñëîêàöèîí-
íîé ðåøåòêîé. Âàæíîé îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííî-
ñòüþ ýòîé ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü åå ïîëîæå-
íèÿ îò ïëîòíîñòè äèñëîêàöèé â ðåøåòêå (îò
âåëè÷èíû ïåðèîäà ðåøåòêè). Ýêñïåðèìåíòàëüíîå
îáíàðóæåíèå óêàçàííîãî ñâîéñòâà ðåçîíàíñíîé ïðå-
äåëüíîé ÷àñòîòû áûëî áû ïðÿìûì ïîäòâåðæäåíèåì
íàëè÷èÿ ïëàçìåííî-ïîäîáíûõ êîëëåêòèâíûõ êîëå-
áàíèé â äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêå.
Àâòîð áëàãîäàðåí Îêñàíå ×àðêèíîé çà ïîìîùü â
îôîðìëåíèè ñòàòüè, Âàñèëèþ Íàöèêó çà ïîëåçíûå
çàìå÷àíèÿ, à òàêæå Ali Najafi è Ramin Golestanian,
îçíàêîìëåíèå ñ ðóêîïèñüþ ñòàòüè êîòîðûõ îáðàòèëî
âíèìàíèå àâòîðà íà ðàññìîòðåííóþ ïðîáëåìó.
1. G. Blatter, M.V. Feigel’man, V.B. Geshkenbein,
A.I. Larkin, and V.M. Vinokur, Rev. Mod. Phys.
66, 1125 (1994).
2. Ernst Helmut Brandt, Rep. Prog. Phys. 58, 1465
(1995).
3. Alexander Yu. Galkin and Boris A. Ivanov, Phys.
Rev. Lett. 83, 3053 (1999).
4. A.M. Koñeâè÷, Äèñëîêàöèè â òåîðèè óïðóãîñòè,
Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1978); A.M. Kosevich, Crystal
Dislocations and the Theory of Elasticity, in: Dislo-
338 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3
À.Ì. Êîñåâè÷
cations in Solids, F.R.N. Nabarro (ed). North-Holland
Publ., Amsterdam (1979) V. 1, p. 31.
5. A.M. Koñåâè÷, M.Ë. Ïoëÿêîâ, ÔÒT 21, 2941 (1979).
6. Â.Â. Íèêîëàåâ, À.Í. Îðëîâ, Ã.Ã. Òàëóö, ÔÌÌ 23,
424 (1967).
7. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
(ôèçè÷åñêàÿ ìåõàíèêà êðèñòàëëîâ), Õàðüêîâ, Âèùà
øê. (1988); Arnold M. Kossevich, The Crystal Lattice.
Phonons, Solitons, Dislocations, WILEY-VCH, Berlin
(1999).
8. À.Ì. Êîñåâè÷, ÔÍT 29, 930 (2003).
9. J.D. Eshelby, Boundary Problems, in: Dislocations in
Solids, F.R.N. Nabarro (ed.), North-Holland Publ.,
Amsterdam (1979), V.1, p. 167.
Oscillations of the elastic superstructure formed
by a screw dislocation lattice
A.M. Kosevich
Equations of small vibrations of a dislocation
lattice are proposed on the basis of the model of a
lattice which consists of a periodically arranged
set of parallel screw dislocations. Stability of the
dislocation lattice is discussed. The longwave col-
lective vibrations are described. It is shown that
some of the vibrations are similar to plasmon vi-
brations. A possibility for observation of a reso-
nance frequency in the vibrational spectrum of
the system under consideration is pointed out.
Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñâåðõñòðóêòóðû, îáðàçîâàííîé ðåøåòêîé âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2004, ò. 30, ¹ 3 339
|