Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями

В приближении среднего поля изучены фазовые состояния и фазовые переходы в ультратонкой ферромагнитной пленке с S = 1, комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механическими граничными условиями. В зависимости от соотношения между материальными параметрами, в системе возможна реализаци...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Гореликов, Г.А., Мелешко, А.Г., Фридман, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2014
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119500
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями / Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 545-559. — Бібліогр.: 66 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-119500
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1195002017-06-08T03:05:30Z Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями Гореликов, Г.А. Мелешко, А.Г. Фридман, Ю.А. Низкотемпеpатуpный магнетизм В приближении среднего поля изучены фазовые состояния и фазовые переходы в ультратонкой ферромагнитной пленке с S = 1, комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механическими граничными условиями. В зависимости от соотношения между материальными параметрами, в системе возможна реализация угловой ферромагнитной фазы, квадрупольной фазы, пространственно неоднородного состояния. Определены спектры элементарных возбуждений и линии устойчивости этих фаз. Анализ линий устойчивости позволил построить фазовую диаграмму системы. В наближенні середнього поля досліджено фазові стани та фазові переходи в ультратонкій феромагнітній плівці із S = 1, комбінацією легкоплощинної й похилої анізотропій та механічними граничними умовами. В залежності від співвідношення між матеріальними параметрами, в системі можлива реалізація кутової феромагнітної фази, квадрупольної фази, просторово неоднорідного стану. Визначено спектри елементарних збуджень та лінії стійкості цих фаз. Аналіз ліній стійкості дозволив побудувати фазову діаграму системи. The phase states and phase transitions of the ultrathin ferromagnetic spin-1 film with a combination of inclined and easy-plane anisotropies and mechanical boundary conditions have been investigated within the mean-field approximation. The realization of angular ferromagnetic phase, quadrupolar phase, spatially inhomogeneous state is possible and depends of the relationship between material parameters. The spectra of elementary excitations and the lines of stability of these phases are determined. The analysis of stability lines has allowed the phase diagram of the system to be constructed. 2014 Article Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями / Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 545-559. — Бібліогр.: 66 назв. — рос. 0132-6414 PACS 75.10.–b, 75.30.Kz, 75.30.Gw, 75.70.–i, 75.70.Ak http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119500 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Гореликов, Г.А. Мелешко, А.Г. Фридман, Ю.А. Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями Физика низких температур
description	В приближении среднего поля изучены фазовые состояния и фазовые переходы в ультратонкой ферромагнитной пленке с S = 1, комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механическими граничными условиями. В зависимости от соотношения между материальными параметрами, в системе возможна реализация угловой ферромагнитной фазы, квадрупольной фазы, пространственно неоднородного состояния. Определены спектры элементарных возбуждений и линии устойчивости этих фаз. Анализ линий устойчивости позволил построить фазовую диаграмму системы.
format	Article
author	Гореликов, Г.А. Мелешко, А.Г. Фридман, Ю.А.
author_facet	Гореликов, Г.А. Мелешко, А.Г. Фридман, Ю.А.
author_sort	Гореликов, Г.А.
title	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями
title_short	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями
title_full	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями
title_fullStr	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями
title_full_unstemmed	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями
title_sort	динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с s = 1 и конкурирующими анизотропиями
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119500
citation_txt	Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями / Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 545-559. — Бібліогр.: 66 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT gorelikovga dinamičeskieistatičeskiesvojstvažestkozakreplennojulʹtratonkojferromagnitnojplenkiss1ikonkuriruûŝimianizotropiâmi AT meleškoag dinamičeskieistatičeskiesvojstvažestkozakreplennojulʹtratonkojferromagnitnojplenkiss1ikonkuriruûŝimianizotropiâmi AT fridmanûa dinamičeskieistatičeskiesvojstvažestkozakreplennojulʹtratonkojferromagnitnojplenkiss1ikonkuriruûŝimianizotropiâmi
first_indexed	2025-07-08T15:59:16Z
last_indexed	2025-07-08T15:59:16Z
_version_	1837095041170931712
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5, c. 545–559 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, г. Симферополь, Украина E-mail: frid@crimea.edu; yuriifridman@gmail.com Статья поступила в редакцию 25 октября 2013 г. В приближении среднего поля изучены фазовые состояния и фазовые переходы в ультратонкой фер- ромагнитной пленке с S = 1, комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механическими граничными условиями. В зависимости от соотношения между материальными параметрами, в системе возможна реализация угловой ферромагнитной фазы, квадрупольной фазы, пространственно неоднород- ного состояния. Определены спектры элементарных возбуждений и линии устойчивости этих фаз. Ана- лиз линий устойчивости позволил построить фазовую диаграмму системы. В наближенні середнього поля досліджено фазові стани та фазові переходи в ультратонкій феромагніт- ній плівці із S = 1, комбінацією легкоплощинної й похилої анізотропій та механічними граничними умова- ми. В залежності від співвідношення між матеріальними параметрами, в системі можлива реалізація кутової феромагнітної фази, квадрупольної фази, просторово неоднорідного стану. Визначено спектри елементарних збуджень та лінії стійкості цих фаз. Аналіз ліній стійкості дозволив побудувати фазову діаграму системи. PACS: 75.10.–b Общая теория и модели магнитного упорядочения; 75.30.Kz Магнитные фазовые границы (включая классические и квантовые магнитные переходы, метамагнетизм и т.д.); 75.30.Gw Магнитная анизотропия; 75.70.–i Магнитные свойства тонких пленок, поверхностей и границ разделов; 75.70.Ak Магнитные свойства монослоев и тонких пленок. Ключевые слова: наклонная анизотропия, легкоплоскостная анизотропия, магнитодипольное взаимодей- ствие, магнитоупругое взаимодействие. Введение При микроскопическом описании магнитных ди- электриков в спиновом гамильтониане возникают сла- гаемые вида ,i j n ij nS Sβ соответствующие энергии одно- ионной анизотропии. Возникновение оператора такого сорта обусловлено наличием спин-орбитального взаи- модействия ( i nS — i-я компонента спинового операто- ра в узле n; ijβ — компоненты тензора одноионной анизотропии) [1]. Аналогичного вида слагаемые можно выделить из энергии магнитодипольного взаимодей- ствия, однако обычно вклад этого взаимодействия мал по сравнению с одноионной анизотропией. Простей- шей магнитной системой, обладающей одноионной анизотропией, является магнетик со спином магнитно- го иона равным единице. В такой системе тензор одно- ионной анизотропии обычно диагональный, причем .zz xx yyβ ≠ β = β Такой вид компонент тензора анизо- тропии приводит к возникновению в магнетике одноос- ной одноионной анизотропии. Данная модель хорошо зарекомендовала себя при описании многих магнитных систем, однако технологические сложности, возникаю- щие при создании магнитоупорядоченных систем, при- водят к нарушению диагональности тензора анизотро- пии. Поэтому более реалистичная модель включает также учет недиагональных компонент тензора одно- ионной анизотропии ,zz xx yyβ ≠ β = β .zx xzβ = β Такая модель описывает анизотропию в плоскости XOZ с осью легкого намагничения, образующей угол ϕ с осью OZ. Такую анизотропию иногда называют наклонной [2,3]. Интерес к такого рода моделям обусловлен тем, что © Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман, 2014 mailto:frid@crimea.edu mailto:yuriifridman@gmail.com Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман они достаточно адекватно описывают энергию анизо- тропии разориентированных пленок феррит-гранатов. Так, например, в [4] показано, что в рамках двухпара- метрической модели [5] в (111)-разориентированных пленках реализуется наклонная анизотропия. Причем ось легкого намагничения лежит в той же плоскости, что и угол разориентации — в [4] это плоскость (110). Исследование процессов перемагничивания (112)-пле- нок (частный случай разориентированной (111)-пленки) показало [6], что если внешнее поле приложено в плос- кости (110), то в той же плоскости лежит и вектор на- магниченности. Таким образом, если ввести в плоскости (110) координаты X и Z, то можно показать, что энер- гия анизотропии будет описываться двумя константами: zzβ и zxβ [6,7]. Причины возникновения такого рода анизотропии могут быть различны: рассогласование магнитной под- системы пленки и упругой подсистемы подложки, на- рушение химического состава пленки и другие. Как правило, если возникновение сложной анизотропии связано с нарушением химического состава пленки, то она действует в плоскости, перпендикулярной плоско- сти пленки. Если же наклонная анизотропия обуслов- лена рассогласованием пленки и подложки, то такая анизотропия действует в плоскости пленки. Магнитоупорядоченные системы с наклонной ори- ентацией легкоосной одноионной анизотропии — пер- спективные системы при создании устройств магнито- оптической обработки информации, дефектоскопии, визуализации неоднородных магнитных полей, при исследовании наноструктурных магнитных материалов и др. [8–10]. Так, например, наногранулярные пленки с анизотропией типа «легкая ось» имеют большой науч- ный и практический интерес [11–14] как среда с высо- кой плотностью записи информации. Необходимо отметить, что одноионная анизотро- пия — не единственное релятивистское взаимодействие, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием. Так, магнитоупругое взаимодействие возникает также благодаря спин-орбитальному взаимодействию. Спин- решеточное взаимодействие определяет связь механи- ческих (упругих, акустических, стрикционных) и маг- нитных характеристик системы [15], а также суще- ственно влияет на критическое поведение при пере- ориентационных фазовых переходах [16–20]. Учет магнитоупругого взаимодействия приводит к гибриди- зации упругих и магнитных возбуждений и возник- новению связанных магнитоупругих волн и, как след- ствие, смещению линий устойчивости фаз или точек фазовых переходов, изменению области существова- ния фаз. Это гибридизованное возбуждение определяет динамику системы в окрестности ориентационных фа- зовых переходов. А поскольку природа возникновения магнитоупругого взаимодействия и одноионной анизо- тропии одинакова, эффекты, связанные с учетом магни- тоупругого взаимодействия, могут усиливаться анизо- тропией, что также является немаловажным моментом. Кроме того, учет магнитоупругого взаимодействия ва- жен при анализе экспериментальных результатов, по- скольку необходимо тем или иным способом учитывать механические граничные условия, накладываемые на систему. Граничные условия определяют структуру спонтанных деформаций магнитоупорядоченного кри- сталла, которые, в свою очередь, влияют на термодина- мические и динамические характеристики системы, а следовательно, и на результаты эксперимента. Наиболее интересен учет граничных условий при ис- следовании магнитных пленок. Во-первых, это связано с тем, что пленки имеют конечную толщину, что влияет на структуру спонтанных деформаций. Во-вторых, при создании магнитных пленок необходимо учитывать влияние подложки на образец. Такое влияние можно смоделировать наличием соответствующих механиче- ских граничных условий, на важность учета которых обращали внимание ряд авторов, однако к настоящему времени этот вопрос, как нам кажется, изучен недоста- точно [21]. Кроме того, физические свойства тонких магнитных пленок обладают рядом особенностей. Пре- жде всего, эти объекты с хорошей степенью точности можно считать двумерными, а как известно, в 2D сис- темах дальний магнитный порядок стабилизируется магнитодипольным и/или магнитоупругим взаимодей- ствиями [22,23,19]. Учет магнитодипольного взаимо- действия может приводить к пространственно неодно- родному распределению намагниченности в образце, т.е. к появлению пространственно неоднородного со- стояния — доменной структуры [24–28]. Системы, описанные выше, достаточно хорошо изучены для случая малых величин констант одно- ионных анизотропий [29,30]. Однако существует больший класс магнитоупорядоченных систем, в ко- торых энергия одноионной анизотропии достаточно велика. Наличие в системе большой легкоплоско- стной анизотропии приводит к ряду эффектов, кото- рые имеют чисто квантовый характер и не могут быть объяснены в рамках феноменологических моделей. Эти эффекты достаточно подробно изучены в обзоре [31], а также в ряде работ, посвященных исследова- нию сильно анизотропных ферро- и антиферромагне- тиков [32–49] (см. также список литературы в [31]). Один из таких эффектов — возникновение квадру- польной фазы в магнетиках с большой одноионной анизотропией. Как отмечалось еще в [46], учет даже малой одноионной анизотропии приводит к изменению модуля намагниченности по длине, что, в свою оче- редь, требует выхода за рамки простейшего феномено- логического подхода. В случае сильной одноионной анизотропии возможно даже обнуление намагничен- ности при наличии ферромагнитного обменного взаимодействия [47,31]. Наиболее ярким проявлением такого эффекта является то, что в магнетиках со спи- ном единица может реализовываться квадрупольная 546 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 фаза (состояние спинового нематика [50–53]), которая характеризуется нулевым значением среднего спина на узле даже при нулевой температуре. Симметрия квадрупольной фазы выше, чем для любого другого магнитоупорядоченного состояния, так как группа симметрии этого состояния включает операцию от- ражения времени. Однако при этом квадрупольная фаза характеризуется отличными от нуля компонен- тами тензора квадрупольных моментов ( )1/2 ,i j j iS S S S+ которые для спина S > 1/2 не сво- дятся к среднему значению спина. Геометрическим образом этих компонентов является эллипсоид с главными осями, ориентированными вдоль некото- рых направлений ,1e ,2e ,3e и полуосями 2 1 ,S 2 2 2 3, ,S S которые связаны соотношением 2 1S + ( )2 2 2 3 1 2.S S S S+ + = + = Таким образом, возмож- ность спонтанного нарушения симметрии в квадру- польной фазе и ее отличие от парамагнитной фазы оп- ределяется этими компонентами тензора квадрупольных моментов. Необходимо отметить, что возникновение квадрупольного состояния может быть связано не толь- ко с большой одноионной анизотропией, но и с учетом высших спиновых инвариантов, таких, например, как биквадратичное обменное взаимодействие для магнети- ков с S = 1 [49–54]. Данная работа посвящена исследованию свойств ультратонких магнитных пленок с различными со- отношениями между энергией обменного взаимодей- ствия и энергией одноионных анизотропий. Мы пред- полагаем, что пленка имеет толщину в один атомный слой, т.е. является 2D объектом и имеет плоскую квад- ратную решетку. Двумерность системы подразумевает существенное влияние магнитодипольного взаимодей- ствия, которое может приводить к усилению легкопло- скостной анизотропии и реализации пространственно неоднородных фазовых состояний, таких как плоско- параллельные домены [24–26] и вихревые структуры [27], причем эти состояния возможны не только для фер- ромагнетиков, но и для антиферромагнетиков [48,49]. Предположение о двумерности системы также означа- ет, что материальные параметры системы, такие как обменный интеграл, константы одноионной анизотро- пии, невозможно разделить на «объемные» и «поверх- ностные». Такое разделение параметров на «поверхно- стные» и «объемные» является важным для пленок конечной толщины. При таком подходе необходимо учитывать кристаллографическую симметрию системы. Однако для рассматриваемой в данной работе модели разделение параметров на «объемные» и «поверхност- ные» невозможно и, естественно, не учитывается. Нами будет рассмотрено также влияние механических гра- ничных условий, т.е. анизотропного магнитоупругого взаимодействия, на динамические и статические свойст- ва рассматриваемой системы. Модель Наиболее интересный объект — ультратонкая фер- ромагнитная пленка, поэтому исследуемая модель пред- ставляет собой двумерный ферромагнетик. Будем счи- тать, что спин магнитного иона равен единице 1.S = Следовательно, в рассматриваемой системе возможна реализация одноионной анизотропии. Как было упомя- нуто во Введении, наибольший интерес представляют системы со сложной одноионной анизотропией, являю- щейся комбинацией легкоплоскостной анизотропии с базисной плоскостью XOY и наклонной анизотропии с осью легкого намагничения, ориентированной в плоско- сти ZOX под некоторым углом к оси OZ. Также важен учет магнитоупругого взаимодействия. При этом механические граничные условия выберем так, чтобы влияние легкоплоскостной анизотропии, ле- жащей в плоскости XOY, и наклонной анизотропии, ориентированной в плоскости ZOX, проявлялось макси- мально сильно. Поэтому будем считать, что образец жестко закреплен по плоскости ZOY. Последнее обстоя- тельство приводит к тому, что вдоль осей OZ и OY от- сутствуют смещения магнитных ионов, т.е. 0.z yu u= = Необходимо отметить, что, помимо указанных гранич- ных условий, еще одна компонента тензора спонтанных деформаций zxu равна нулю. Это связано с тем, что мы рассматриваем ультратонкую пленку толщиной в один атомный слой, поэтому ее толщиной можно пренебречь и считать двумерным объектом. С учетом сказанного выше гамильтониан системы можно представить в виде ( ) 2 2 , ' 1 ( ) 2 2 2 ij ji z zxzx nn ij n n nnn n n n n n J V S S S O′ ′ ′ ββ = − δ + + − +∑ ∑ ∑H { } ( )2 2 2 2( ) , 2 xyx xx n xy xx xyn n u S u O d u u λ+η  + ν + + +η     ∑ ∫ r (1) где 0nnJ ′ > — обменный интеграл, учитывающий взаи- модействие ближайших соседей; i nS — i-я компонента спинового оператора в узле n; 2 ij i j j i n n n nnO S S S S= + — операторы Стивенса [55]; 0β > — константа легко- плоскостной одноионной анизотропии (базисная плос- кость XOY); 0zxβ > — константа легкоосной одноион- ной наклонной анизотропии в плоскости XOZ; ν — константа магнитоупругой связи; λ и η — упругие модули; iju — компоненты тензора упругих деформа- ций; ij nnV ′ — компоненты тензора магнитодипольного взаимодействия, которые в координатном представле- нии, для однослойной квадратной кристаллической решетки, имеют вид [22] Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 547 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман 2 2 5 3 ( ) , ji nn ijij nn Bnn nn R R R V g R ′ ′ ′ ′ − δ = µ а их фурье-образы можно записать как [22] 2 20 0 0 0cos ; sin ; 3 3 yyxx k k A A V k V k= −Ω ψ = −Ω ψ 0 0 0 2 ; sin 2 ; 3 2 xy yxzz k k k A k V k V V Ω = − +Ω = = − ψ 0,yz zyxz zx k k k kV V V V= = = = (2) где ( )2 3 0 0 3 ; 2 B R A g R− ≠ = µ ∑ ( )2 0 2 2 ;Bg a π µ Ω = a2 — «объем» плоской элементарной ячейки; g — гиромаг- нитное отношение; Bµ — магнетон Бора; ψ — угол между направлением волнового вектора k в базисной плоскости XOY и осью OX. Рассмотрение проводится в области низких температур ( CT T , CT — темпе- ратура Кюри), в которой исследуемые эффекты про- являются наиболее сильно. Легко понять, что конкуренция легкоплоскостной и наклонной анизотропий приведет к тому, что маг- нитный момент будет лежать в плоскости XOZ под некоторым углом θ к оси OZ (рис. 1). Повернем сис- тему координат, связанную с магнитным ионом, во- круг оси OY на угол θ так, чтобы магнитный момент был направлен по оси OZ: ( ) exp ,y n n U i S θ = θ ∏ и, выделяя среднее поле, получаем одноузельный га- мильтониан ( ) ( ) ( )20 0 2 z x z z n x n n n n n H S H S B Sθ = − − + θ +∑ ∑ ∑H ( ) ( )2 2 2 2 2 2 xz xz n n n n B O B O+ θ + θ +∑ ∑ ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 ,xy xy yz yz n n n n B O B O B+ θ − θ + θ∑ ∑ (3) Здесь введены следующие обозначения: _____________________________________________________ ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 3 2 cos 2 6 sin 2 ; 8 1 2 2 cos 2 2 sin 2 ; 8 1 2 sin 2 2 cos 2 ; cos ; sin ; 4 1cos sin ; . 2 xx xx xz xx xx xz xy yzxz xx xz xy xy zz xx z xx zz z z x B u u B u u B u B u B u H J V V S H V V S θ = β+ ν + β− ν θ− β θ θ = β+ ν − β− ν θ+ β θ θ = − β− ν θ+ β θ θ = ν θ θ = ν θ = + θ+ θ = − (4) ________________________________________________ Ниже будет показано, что равновесный угол ориен- тации магнитного момента определяется из минимума плотности свободной энергии. Однако для любых соот- ношений между материальными параметрами недиаго- нальные компоненты тензора эффективной анизотропии (4) обращаются в нуль. Это означает, что в системе ко- ординат, связанной с магнитным моментом, исследуе- мую систему с комбинацией легкоплоскостной и «на- клонной» анизотропий можно свести к системе с эффективной двухосной анизотропией. При этом тензор эффективной анизотропии становится диагональным. Для диагонализации одноузельного гамильтониана (3) воспользуемся методом, основанным на использо- вании алгебры операторов Хаббарда [56,57]. На базисе собственных функции оператора zS построим опера- торы Хаббарда ijX i j≡ . В этом случае связь спи- новых операторов и операторов Хаббарда имеет вид ( )11 1 1 10 0 1, 2 ,zS X X S X X− − + −= − = + ( ) , .x yS S S S iS +− + ±= = ± (5) Таким образом, в представлении операторов Хаб- барда одноузельный гамильтаниан (3), с учетом (4), принимает следующий вид: Рис. 1. Геометрия исследуемой системы. 548 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 11 2 00 0 2 1 1 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 11 10 01 2 2 22 2 2 0 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy z z xy yz yzzx zx x x yz yzzx zx x x H B B X B X H B B X B iB X B iB X B H iB X B H iB X B H iB X B H iB X − − − − −     θ = − + θ + θ + θ + + θ + θ + θ − θ +           + θ + θ + θ − − θ + θ − + θ +         + − θ − + θ + − θ − − θ    H 10.− (6) _________________________________________________ Формально гамильтониан (6) в представлении опе- раторов Хаббарда можно записать в виде * 0 , ,ii ij i ij ji ij i i j X V X V V ≠ = ε + =∑ ∑H где iε — «затравочный» спектр исходных состояний i ; ijV — недиагональные амплитуды. В результате унитарных преобразований вида ( ) { }exp nm mn nmU X X∗α = α −α (m, n = 1, 0, –1) ( )0 0 ,U U U U+= ≡ αH H одноузельный гамильтониан примет диагональный вид 0 .ii i i E X=∑H Явный вид унитарных преобразований можно предста- вить как ( ) ( )( )1 cos 1 mm nn mnU X Xα = + α − + + ( )sin e e .i mn i nmX Xχ − χ+ α − (7) Параметры унитарных преобразований определяются системой уравнений ( ) ( )( ) 0.ij k k ij kV U V U +α = α α = Волновые функции системы при этом преобразовыва- ются следующим образом: ( ) .mnM U M+ψ = α (8) Поскольку дальнейшие вычисления в общем виде достаточно громоздки, будем рассматривать систему для конкретных соотношений материальных парамет- ров системы. Случай сильного обменного взаимодействия Предположим, что материальные параметры системы удовлетворяют следующим соотношениям: 0 ,zxJ > β 0 0, , .Aβ > ν Ω Соотношение между константами одно- ионных анизотропий не устанавливаем, считая их про- извольными. В этом случае для диагонализации одно- узельного гамильтониана (3) необходимо выполнить два унитарных преобразования (7): первое, связываю- щее состояния 1M = и 1,M = − второе — состояния 0M = и 1.M = − Параметры этих унитарных преоб- разований определяются следующим образом: ( )2 2tg 2 , z B H θ α = − ( )( ) ( ) 22 2 0 2 2 2 2 tg 2 .x z H H B B ζ = − + θ + θ С учетом этого диагональные элементы одноузель- ного гамильтониана (3) в представлении операторов Хаббарда, имеющие смысл энергетических уровней магнитного иона, равны ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 220 2 2 1 2 2 2 222 0 2 0, 1 2 2 2 2 22 20 2 2 2 2 ; 12 2 8 . z z z x E B B H B E B B H B B H B H −  = θ + θ − + θ     = θ + θ + + θ      θ + + θ +          (9) Из (9) следует, что 1E — низший энергетический уровень, соответствующий основному состоянию. Следовательно, в случае низких температур при по- строении плотности свободной энергии можно ограни- читься учетом лишь этого энергетического уровня: 01 1 el el 1ln e e e , EE E T T TF F T F E −− − −  = − + + ≈ +     где elF — плотность упругой энергии. Из условий минимума плотности свободной энергии можно оп- ределить равновесный угол ориентации магнитного момента 0θ 0 0 2 tg 2 2 2 zx xxu A β θ = − β− ν + (10) и спонтанные деформации ( ) ( ) ( )0 0 2 2 3 ; 0. 4 4 xx xy zx u u  ν β = − + =  η+ λ β +β  (11) Как видно из (10) и как следовало ожидать, магни- тодипольное взаимодействие усиливает легкоплоско- стную анизотропию, но при этом не влияет на спон- танные деформации. С учетом соотношений (10) и (11) легко показать, что эффективные константы анизотро- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 549 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман пии 2 2 2( ) ( ) ( )xy yzzxB B Bθ = θ = θ равны нулю, отличны от нуля лишь 0 2 ( )B θ и 2 2 ( ).B θ Такая комбинация анизо- тропий соответствует эффективной двухосной одно- ионной анизотропии, т.е. поведение рассматриваемой системы с комбинацией легкоплоскостной и наклон- ной анизотропий и магнитодипольным взаимодей- ствием можно свести к поведению двухосного фер- ромагнетика, причем знаки констант двухосной анизотропии 0 2 ( )B θ и 2 2 ( )B θ определяются соотно- шением между константами легкоплоскостной и «на- клонной» анизотропий. Следуя (8), собственные функции одноузельного гамильтониана запишем в виде ( ) ( ) ( ) 1 cos 1 sin 1 ; 0 sin sin 1 cos 0 cos sin 1 ; 1 sin cos 1 sin 0 cos cos 1 . ψ = α + α − ψ = − α ζ + ζ + α ζ − ψ − = − α ζ + ζ + α ζ − (12) Поскольку 0 0 ,J A параметр унитарного преобразо- вания ζ является малым, и можно считать, что cos 1,ζ = sin 0.ζ = Тогда собственные функции при- мут более простой вид: ( ) ( )1 cos 1 sin 1 ; 0 0 ;ψ = α + α − ψ = ( )1 sin 1 cos 1 .ψ − = − α + α − (13) На базисе собственных функций (13) построим опера- торы Хаббарда ( ) ( ) ,M MY M M′ ′= ψ ψ описываю- щие переход магнитного иона из состояния M в со- стояние .M ′ Эти операторы связаны со спиновыми операторами следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 11 10 0 1 01 10 cos 2 sin 2 ; 2 cos 2 sin ; zS Y Y Y Y S Y Y Y Y − − − − + − − = α − − α + = α + + α − ( ) .S S +− += (14) Как было сказано ранее, выражения (9)–(14) получены для соотношения 0 ,xzJ >β β при произвольных значе- ниях констант анизотропий. Из (9) следует, что при соотношении материальных констант 0 0 0, , ,zxJ A> β β > ν Ω энергетический уро- вень 1E является низшим и, как вытекает из (14), среднее значение магнитного момента (на один узел) cos 2 1.zS = α ≈ Такое значение параметра порядка соответствует ферромагнитному упорядочению и, поскольку в этом состоянии магнитный момент на- правлен под равновесным углом (10), такое состояние является угловой ферромагнитной фазой (УФМ). Представим компоненты тензора упругих деформа- ций в виде (0) (1) ,ij ij iju u u= + где (0) iju — спонтанные деформации, определяемые выражением (11), (1) iju — динамическая часть, описывающая колебания узлов кри- сталлической решетки. Выделяя в гамильтониане слагае- мые, пропорциональные динамической части тензора деформаций, и квантуя их стандартным образом [58] ( )( )(1) † , , , e ( ) ( ) , 2 2 ( ) i i j j i q qij iu e q q e q q b b mN q ϕ ϕ ϕ − ϕ ϕϕ λ = + + ω ∑ qn получаем гамильтониан трансформаций магнонов в фононы и обратно: ( )† tr , , , , 1 ( , )q q n n q n b b T q Y N α α ϕ − ϕ ϕ α = + ϕ +∑H ( )† , , , , 1 ( , ) .MM MM q q n n q n M b b T q Y N ϕ − ϕ ϕ + + ϕ∑ Здесь введены следующие обозначения: iq — проек- ция квазиимпульса на ось i; ( )ie qϕ — проекция еди- ничного вектора поляризации на ось i; N — число узлов в кристалле; m — масса атома; ( )q c qϕ ϕω = — закон дисперсии невзаимодействующих фононов; cϕ — ско- рость -поляризованного звука;ϕ † ,qb− ϕ и ,qb ϕ — опера- торы рождения и уничтожения фононов, ( , )nT q ϕ — амплитуды трансформаций. Ниже приведены ампли- туды трансформаций, которые понадобятся нам в дальнейшем: _____________________________________________________ ( ) ( ){ ( ) ( ) } ( ){ 10 0 01 10 1 1 0 ( , ) ( , ) sin 2 cos2 sin cos ; 2 2 ( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) 2 cos2 4 x z x z x y z y n n q x q z q z q x q y q x q y q z x y z x z n n n n q x q y q z q x q z x q z iT q T q e q e q e q e q i e q e q e q e q iT q T q T q T q e q e q e q e q e q e q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ν  ϕ = ϕ − θ+ + θ− + θ+ + θ   ν ϕ = − ϕ ϕ = ϕ − + + − θ−  − +( ) ( ) ( ) } 11 1 1sin 2 2 cos sin ; ( , ) ( , ) ,z x y y z q x q y q x q z q y n ne q i e q e q e q e q T q T q− − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ    θ− + θ− + θ ϕ = − ϕ     (15) ________________________________________________ где 0 e( , ) . 2 ( ) i nT q m qϕ ϕ = ω qn Нашей задачей является определение областей устой- чивости соответствующих фаз. Для этого определим спектры элементарных возбуждений в соответствующих фазах. Хорошо известно, что спектры элементарных воз- буждений определяются полюсами функции Грина [59] ˆ( , ; , ) ( ) ( ) ,n nG n n TY Y′ ′αα α α ′′ ′ ′τ τ = − τ τ  550 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 где T̂ — оператор Вика, ( ) exp( ) exp( )n nY Yα ατ = τ − τ H H — оператор Хаббарда в представлении взаимодейст- вия, 0 int tr= + +H H H H — полный гамильтониан. Дальнейшие вычисления будем проводить в при- ближении среднего поля, поэтому понадобится только «поперечная» часть обменного гамильтониана int ,H которая имеет вид { }int , , , 1 ˆ( ), ( ) , 2 nn n n n n A Y Yβα ′ ′ ′ α β = − α β∑ c cH где компоненты вектора ( )αc определяются из связи спиновых операторов с операторами Хаббарда, а ком- поненты матрицы ˆ nnA ′ равны _____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 12 21 13 31 12 22 33 2 2 23 32 1sin cos ; sin 2 2 sin ; 4 ˆ ; 1 cos sin 2 cos ; 4 1 2 c 4 xyxx zz xx zz nn nn nn nn nn nn nn nn nn nn nn nn yy xyxx zz nn nn nn nnnn nn xx nn nn nn nn A J V V A A V V iV A A A A A V V V iV A A J V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′  = + θ+ θ = = − θ− θ  = = = θ− + θ− θ = = +( )2 2os sin .yy zz nnnnV V ′′θ + + θ (16) ________________________________________________ Дисперсионное уравнение, определяющее спектры связанных магнитоупругих волн, аналогично уравне- нию Ларкина (с учетом магнитоупругой связи), спра- ведливо во всем температурном интервале существо- вания магнитоупорядоченного состояния, исключая флуктуационную область, и при произвольных соот- ношениях материальных констант. Дисперсионное уравнение, определяющее спектры элементарных воз- буждений, получено при точном учете релятивистских взаимодействий. Процедура получения дисперсионно- го уравнения подробно описана, например, в [60,61]. Решение соответствующего дисперсионного уравне- ния позволяет получить спектры квазимагнонов и квази- фононов при различных соотношениях материальных констант. Так, при 0 0 0, , , ,zxJ A> β β > ν Ω т.е. в УФМ фазе, спектры квазимагнонов можно представить в виде ( ) [ ]( )2 32 22 1 10 2 Re 1 sin 2k kk E A A ε = + + + α ×  [ ]( )32 22 22 10 2 Re 1 sin 2 Im ;k k kE A A A × + − − α +  (17) ( ) ( )2 11 2 2 1 1 1 1 2 sin ,kk E E A− −ε = + α (18) где ij kA — фурье-образ компонент матрицы ˆ ;nnA ′ .ij i jE E E= − Очевидно, что ветвь ( )1 kε является низ- кочастотной квазимагнонной ветвью, а ( )2 kε — вы- сокочастотной. Наиболее интересна для нас низкочас- тотная ветвь спектра. Более детальное рассмотрение спектров квазимаг- нонов, а также определение квазифононных спектров в общем случае довольно громоздкая задача, поэтому ограничимся исследованием системы для двух пре- дельных случаев. Поскольку волновой вектор k ле- жит в плоскости XOY и составляет с осью OX угол ,ψ выберем его направление либо вдоль оси OX, либо вдоль OY. Пусть ,OXk  т.е. 0.ψ = Тогда спектр низкочас- тотных квазимагнонов примет вид _____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 1 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 22 20 0 0 0 1 12 2 4 2 2 2 4 2 128 2 2 2 2 2 1 3 2 6 22 2 4 2 2 4 2 2 4 1 2 2 xx zx xx xx zx zx xx xx xx zx xx zx xx zx x k u A u u A J A A u A u A J k k J u A u A u A u   ε = β − ν + + β + β+ ν + β− ν + + β −       β β− ν + β− ν +  − + + −Ω + × β − ν + + β   β − ν + + β β− ν + + β   × β− ν( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 20 0 12 4 2 2 2 4 128 2 . 2 3 22 2 4 x zx xx xx zx zx xx zx A u u A J A A J k J u A   + + β + β+ ν + β− ν + + β −    β − − +  β− ν + + β  (19) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 551 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман Для спектров квазиакустических возбуждений имеем [ ][ ]( ) [ ][ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ][ ] 2 20 10 32 22 0 1 12 2 1 10 32 22 2 0 2 10 32 22 0 1 12 2 2 10 32 22 10 32 2 2 3 sin 22 Re 1 sin 2 1 cos 2 2 ( ) ( ) ; 2 Re 1 sin 2 1 cos 2 2 Re 1 sin 2 1 sin 2 2 ( ) ( ) ; 2 Re 1 sin 2 2 ( ) ( ) t l aE A A A a E k k E A A A a E A A A a E k k E A A A E A k k − − τ  θ + + + + + θ    ω = ω + + +  + θ + + + + + θ    ω = ω + + + + − ω = ω [ ][ ]( ) [ ] ( ) [ ][ ] 0 0 22 1 1 10 32 22 1 cos 2 1 cos 2 Re 1 sin 2 1 2 . 2 Re 1 sin 2 a a A A E E A A A −  + θ − θ − + +    + − − (20) ________________________________________________ Здесь 2 0 /2a = ν η — параметр магнитоупругой связи. Как показывает анализ спектров квазифононов (20), при любом соотношении констант анизотропии, превосходящих параметр магнитоупругого взаимо- действия 0( , ),zx aβ β > все ветви квазиупругих возбу- ждений очень слабо взаимодействуют с магнитной подсистемой, и это взаимодействие сводится лишь к перенормировке скорости звука. Так, в случае боль- шой легкоплоскостной анизотропии ( )zxβ > β спек- тры квазифононных ветвей остаются линейными по волновому вектору для любой поляризации: 2 2 2 20 0 1 2 2 2 ( ) ( ) 1 ; ( ) ( ) 1 ;t l a a k k k k    ω = ω − ω = ω −   β β    2 2 0 3 2 ( ) ( ) 1 . zx a k kτ   ω = ω − β  В случае большой наклонной анизотропии ( )zxβ > β спектры квазифононов также остаются линейными по волновому вектору, т.е. не происходит размягчения квазиакустических возбуждений ни при каких соотно- шениях материальных параметров, как это наблюдает- ся, например, в [16]: 2 2 2 20 0 0 1 2 0 0 ( ) ( ) 1 ; ( ) ( ) 1 ; 4 4t l zx a a a k k k k J J     ω = ω − ω = ω − −   β    2 2 0 0 3 0 ( ) ( ) 1 . 4 zx a a k k Jτ   ω = ω − − β  Это означает, что если в рассматриваемой системе возможен фазовый переход, то он будет идти по ква- зимагнонной ветви возбуждений. Из обращения в нуль энергетической щели в спектре квазимагнонов (19) можно определить соотношения между материальны- ми параметрами системы, при которых УФМ фаза те- ряет устойчивость. Как следует из выражения (19), энергетическая щель в спектре квазимагнонов сущест- венно перенормируется за счет магнитоупругого и магнитодипольного взаимодействий, причем эта пере- нормировка является статической. Как видно из (19), в спектре квазимагнонов присутствует как стандартное по волновому вектору слагаемое (пропорциональное 2 ),k так и линейное по k, связанное с влиянием магни- тодипольного взаимодействия. Причем эти слагаемые входят в (19) с разными знаками. Это означает, что неустойчивость спектра квазимагнонов будет наблю- даться не при 0,k = а при ,k k= где ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 2 2 . 2 2 4 xx xx zx u A k J u A Ω β− ν + = β− ν + + β (21) Такое поведение спектра квазимагнонов свидетельст- вует о том, что одному значению энергии квазимагно- нов соответствует два значения волнового вектора, т.е. в системе возможна реализация пространственно не- однородного (доменного) состояния [24,25]. Таким образом, при ориентации волнового вектора вдоль оси OX в системе возможен переход в простран- ственно неоднородное состояние с периодом неодно- родности, определяемым соотношением ( ) ( ) 2 2 0 0 * 0 0 2 2 41 . 2 2 xx zx xx J u A u Ak β− ν + + β = Ω β− ν + (22) Поскольку 0 0 ,J Ω из (22) очевидно, что период неоднородности очень большой и существенно зависит от соотношений между константами анизотропий: если ,zxβ > β период неоднородности начинает резко увели- чиваться и пространственно неоднородное состояние приближается к монодоменному, а в пределе 0β = пе- риод (22) достигает своего максимального значения. Однако это состояние не будет монодоменным, по- скольку магнитоупругое и магнитодипольное взаимо- действия создают дополнительную легкоплоскостную анизотропию. В противном случае, при ,zxβ > β период неоднородности, наоборот, стремится к своему мини- мальному значению 0 0/ .J Ω На рис. 2 приведена зави- симость периода неоднородности от констант легкопло- скостной и наклонной анизотропий при .OXk  552 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 С учетом сказанного выше энергетическая щель спектра квазимагнонов (19) обращается в нуль при следующих критических значениях константы наклон- ной анизотропии: 1) zxβ > β 1 2 0 0 0 0 321 9564 2 6 ; 30 3 64 ФМC zx A J a J  β β = + β− − −     (23) 2) zxβ > β 2 2 2 0 0 0 0 0 104 95 4801 64 2 8 . 30 3 64 ФМC zx A J a J  β − Ω β = + β− + −     (24) Выражения (23) и (24) определяют линии потери ус- тойчивости УФМ фазы, причем видно, что магнитоуп- ругое и магнитодипольное взаимодействия существен- но влияют на область ее существования. Рассмотрим случай ,OYk  т.е. /2.ψ = π Спектр низкочастотных квазимагнонов примет следующий вид: _____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 1 0 0 0 1 12 2 4 2 2 2 4 2 128xx zx xx xx zxk u A u u A J    ε = β− ν + + β + β+ ν + β− ν + + β −    ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 22 20 0 0 0 2 2 2 2 2 1 3 1 2 6 22 2 4 2 2 4 2 2 4 zx xx xx xx zx xx zx xx zx A A u A u A J k k J u A u A u A     β β− ν + β− ν +    − + + −Ω + + ×   β− ν + + β     β− ν + + β β− ν + + β     ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 0 0 0 11 2 2 4 2 2 2 4 2 128xx zx xx xx zxu A u u A J   × β− ν + + β + β+ ν + β− ν + + β −    ( ) 2 2 0 0 0 02 20 0 2 . 2 3 22 2 4 zx xx zx A A J k k J u A β − − +Ω +  β− ν + + β  (25) ________________________________________________ Анализ спектров квазифононов приводит к резуль- татам, аналогичным предыдущему случаю: при любом соотношении между константами анизотропии, при условии 0, ,zx aβ β > влияние взаимодействия квази- упругих возбуждений с магнитной подсистемой сво- дится лишь к статической перенормировке скорости звука для всех поляризаций и не приводит к размягче- нию квазиакустических возбуждений. Так, в случае, когда энергия легкоплоскостной анизотропии превы- шает энергию наклонной ( ),zxβ > β спектры квазифо- нонных ветвей остаются линейными по волновому вектору для любой поляризации: 2 2 2 20 1 2 0 ( ) ( ) 1 ; ( ) ( ); 4t l a k k k k J   ω = ω + ω = ω    2 2 0 3 2 ( ) ( ) 1 . a k kτ   ω = ω − β  Похожий результат получаем, если наклонная анизо- тропия превышает легкоплоскостную ( ):zxβ > β 2 2 2 20 0 1,3 , 2 0 ( ) ( ) 1 ; ( ) ( ). 8t l zx a a k k k k Jτ   ω = ω + − ω = ω β  Следовательно, как и в предыдущем случае, мягкой модой будет низкочастотная квазимагнонная ветвь возбуждений. Рассмотрим подробнее спектр квазимаг- нонов (25). Как и при ориентации ,OXk  получаем, что неустойчивость спектра квазимагнонов наблюда- ется при некотором значении волнового вектора * 0:k k= ≠ ( ) * 0 0 2 20 0 2 2 1 . 2 2 2 4 xx xx zx u A k J u A   Ω β− ν + = +  β − ν + + β  (26) Рис. 2. Зависимость периода неоднородности (22) от кон- стант легкоплоскостной ( )β и наклонной ( )zxβ анизотропий при .OXk  Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 553 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман Следовательно, когда волновой вектор ориентирован вдоль оси OY, в системе также возможен переход в пространственно неоднородное состояние, однако с другим периодом неоднородности: ( ) 0 * 0 0 2 2 0 21 . 2 21 2 2 4 xx xx zx J k u A u A =   β − ν + Ω +  β − ν + + β  (27) Очевидно, что в этом случае период пространствен- ной неоднородности также довольно большой. Однако при любых соотношениях между константами одно- ионных анизотропий выражение (27) остается конеч- ным, и монодоменное состояние не реализуется. При- чем если легкоплоскостная анизотропия больше наклонной, то период неоднородности меньше, чем в противоположном случае. На рис. 3 приведена зависи- мость периода неоднородности от констант легкопло- скостной и наклонной анизотропий при .OYk  Линии потери устойчивости УФМ фазы для данно- го случая также определены из равенства нулю энерге- тической щели спектра (25) и имеют вид: 1) zxβ > β 3 2 2 0 0 0 0 0 32 95 1201 64 2 6 ; 30 3 64 ФМC zx A J a J  β − Ω β = + β− − −     (28) 2) zxβ > β 4 2 2 0 0 0 0 0 104 95 2401 64 2 8 . 30 3 64 ФМC zx A J a J  β − Ω β = + β− + −     (29) Важно обратить внимание на то, что при рассматри- ваемых соотношениях материальных параметров систе- мы для любой ориентации волнового вектора мягкой модой является квазимагнонная ветвь возбуждений, а квазифононная ветвь практически не взаимодействует с магнитной подсистемой. Это обстоятельство объясняет- ся тем, что фазовый переход из ферромагнитной фазы не является переориентационным. Более простая модель трехмерного ферромагнетика с сильной одноионной анизотропией типа «легкая плоскость» и механическими граничными условиями изучена в [62]. Аналогичная модель (без учета механи- ческих граничных условий) рассмотрена в работах [29,30]. Результаты этого раздела согласуются с резуль- татами этих работ в предельных случаях (например, отсутствия магнитоупругой связи). В других предель- ных случаях (в отсутствие наклонной или легкоплос- костной анизотропии) результаты данного раздела со- гласуются с результатами работ [40,41]. Однако учет механических граничных условий и наклонной анизо- тропии приводит к тому, что гибридизация упругих и магнитных возбуждений становится достаточно сла- бой, а фазовый переход из УФМ фазы перестает быть переориентационным. К тому же, учет двумерности образца приводит к возможности реализации про- странственно неоднородного распределения намагни- ченности (доменной структуры). Случай сильной одноионной анизотропии Рассмотрим систему при других соотношениях меж- ду материальными параметрами: 0 0 0, , , ,zx J Aβ β > > ν Ω т.е. энергия одноионных анизотропий превосходит энергию обменного и других взаимодействий. В этом случае для диагонализации одноузельного гамильто- ниана (3) достаточно выполнить одно действительное унитарное преобразование (7), связывающее состояния 1M = и 1,M = − причем параметр этого преобразова- ния /4.α = −π В результате для собственных значений и собственных функций одноузельного гамильтониана имеем следующие выражения: ( ) ( ) ( )0 2 2 1 2 2 0 2; 2 ;E B B E B= θ + θ = θ ( ) ( )0 2 1 2 23 ;E B B− = θ + θ (30) ( ) ( )11 1 1 ; 2 ψ = − − ( )0 0 ;ψ = ( ) ( )11 1 1 . 2 ψ − = + − (31) Из выражения (30) следует, что при любых соотно- шениях между константами одноионных анизотропий низшим энергетическим уровнем будет уровень 1.E Минимизируя плотность свободной энергии системы, Рис. 3. Зависимость периода неоднородности (27) от кон- стант легкоплоскостной ( )β и наклонной ( )zxβ анизотропий при .OYk  554 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 получаем значение для равновесного угла ориентации магнитного момента 0θ 0 2 tg 2 2 zx xxu β θ = − β− ν (32) и спонтанные деформации ( ) ( ) ( )0 0 2 2 1 ; 0. 2 4 xx xy zx u u  ν β = − + =  η+ λ β +β  (33) Как видно из (32), в этом состоянии магнитодиполь- ное взаимодействие не влияет на легкоплоскостную анизотропию, что связано (как будет показано ниже) с равенством нулю среднего значения магнитного момента на узле. С учетом выражений (32) и (33) получаем, что не- диагональные компоненты тензора эффективной ани- зотропии обращаются в нуль, а отличны от нуля лишь ( )0 2B θ и ( )2 2 .B θ Следовательно, в данном случае, как и в предыдущем, поведение исследуемой системы можно свести к поведению двухосного ферромагнети- ка. При этом энергетические уровни примут более простой и удобный вид: ( ) ( )2 2 1,0 1 2 2 4 ; 4 xx xx zxE u u = β+ ν β− ν + β     ( )1 1 2 . 2 xxE u− = β+ ν (34) В рассматриваемом случае операторы Хаббарда, построенные на базисе собственных функций (31), свя- заны со спиновыми операторами следующими соот- ношениями: 1 1 11;zS X X− −= + 10 0 1 01 10;S X X X X+ − −= + − + ( ) .S S +− += (35) Поскольку низшим уровнем является 1,E из (35) вытекает, что среднее значение магнитного момента на один узел 0.zS = Несмотря на это обстоятельство, данное состояние не является парамагнитным, а маг- нитное упорядочение в нем определяется тензорными параметрами порядка: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 2 2 23 1 1; 1;z x yq S S S q S S= − + = = − = − 2 1 0. 2 zx x z z xq S S S S = + =   (36) Такое фазовое состояние принято называть квадру- польным (КУ) [20,54], а его геометрическим образом в спиновом пространстве является одноосный эллипсо- ид, главная ось которого лежит в плоскости ZOY. Дисперсионное уравнение связанных магнитоупру- гих волн справедливо при произвольных соотноше- ниях материальных параметров, следовательно, и в КУ фазе позволяет определить спектры элементарных возбуждений. Спектр квазимагнонов в КУ фазе имеет две ветви возбуждений: ( ) ( )2 11 1 1 1 1 1 2 ,kk E E A− −ε = + (37) ( ) ( )2 32 22 2 10 10 4 Re .k kk E E A A ε = + −  (38) Очевидно, что (37) является высокочастотной квази- магнонной ветвью, а (38) — низкочастотной, поэтому для дальнейшего анализа выберем ветвь (38). Квазифононы в КУ фазе не взаимодействуют с маг- нитной подсистемой, их спектры в окрестности фазово- го перехода остаются линейными по волновому вектору и скорость звука неизменной. Причем это наблюдается для любой поляризации квазифононов: ( ) ,k c kϕ ϕω = , , .l tϕ = τ Такое поведение квазиупругих возбуждений связано с тем, что в КУ фазе намагниченность на узле равна ну- лю и, следовательно, не оказывает влияния на динами- ку квазиакустических возбуждений. Как и ранее, мягкой модой в данном фазовом со- стоянии будет квазимагнонная ветвь (38). Для произ- вольной ориентации волнового вектора выражение (38) можно представить в явном виде: ( ) ( )2 22 (0) 2 (0) 2 2 1 12 4 2 4 2 2xx zx xx zxu u ε = β− ν + β β− ν + β −  2 2 0 0 0 0 22 2 sin . 3 J A k J k − − + Ω ψ +   (39) Из анализа этого выражения видно, что спектр теряет устойчивость при 0.k = Следовательно, линия потери устойчивости КУ фазы определяется из равенства ну- лю энергетической щели спектра (39) и имеет вид 1) zxβ > β ( ) 2 20 0 0 14 2 , 3 4 КУC zx A J a β = + − β+    (40) 2) zxβ > β ( ) 2 20 0 0 14 4 . 3 4 КУC zx A J a β = + − β+    (41) Как следует из (40) и (41), критическое значение константы наклонной анизотропии не зависит от ори- ентации волнового вектора. Это связано с тем, что в Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 555 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман КУ фазе значение магнитного момента на один узел равно нулю, а компоненты тензора квадрупольных моментов лежат в плоскости ZOY, т.е. геометрический образ квадрупольного состояния — одноосный эллип- соид — перпендикулярен базисной плоскости. Это приводит к тому, что влияние магнитодипольного взаимодействия проявляется только в статической пе- ренормировке энергетической щели в спектре квази- магнонов (39), но не проявляется динамически. Заключение Исследованы динамические и статические свойства ультратонких ферромагнитных пленок с комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механи- ческими граничными условиями. Проведенные иссле- дования позволяют сделать следующие выводы. Поведение исследуемой системы можно свести к ферромагнетику с эффективной двухосной анизотропи- ей (см. формулу (4)). В такой системе возможно суще- ствование различных фазовых состояний, реализация которых зависит от соотношения между материальными параметрами системы. В случае превалирующего обменного взаимодейст- вия, в рассматриваемой системе реализуется фазовое состояние, характеризуемое векторным параметром порядка (средним магнитным моментом). Причем учет влияния конкурирующих одноионных анизотропий приводит к тому, что магнитный момент в этом со- стоянии ориентирован в плоскости XOZ под равновес- ным углом (10) к оси OZ. Вследствие этого данное фа- зовое состояния является угловой ферромагнитной фазой. Магнитоупругое взаимодействие в этой фазе ди- намически не проявляется, т.е. отсутствует смягчение квазиакустической моды в окрестности линии потери устойчивости УФМ фазы. Результат взаимодействия квазифононов с магнитной подсистемой проявляется лишь в статических перенормировках энергетической щели спектра квазимагнонов (19), (25) и скоростей зву- ка, что связано с неравенством нулю спонтанных дефор- маций. Такое поведение объясняется тем, что фазовый переход из УФМ фазы не является переориентационным. Увеличение констант одноионных анизотропий приводит к эффекту квантового сокращения спина. Этот эффект обычно проявляется при наличии легкоплоско- стной анизотропии, однако в данном случае он связан как с легкоплоскостной, так и с наклонной одноионной анизотропией. При критических значениях констант анизотропий система переходит в фазовое состояние с равным нулю средним значением магнитного момента на узле. Однако это фазовое состояние не является па- рамагнитным, поскольку отличны от нуля компоненты тензора квадрупольных моментов. При этом квазиупру- гие возбуждения не взаимодействуют с магнитной под- системой и спектры квазифононов остаются линейны- ми по волновому вектору в окрестности точки фазового перехода. Влияние магнитоупругого взаимодействия, как и в УФМ фазе, проявляется лишь в статической пе- ренормировке квазимагнонного спектра, т.е. в энергети- ческой щели квазимагнонов возникает аддитивная до- бавка, обусловленная магнитоупругой связью. Как видно из анализа спектров элементарных воз- буждений, «прямого» фазового перехода между УФМ и КУ фазами нет. Фазовый переход между этими со- стояниями является переходом первого рода и суще- ственно зависит от ориентации волнового вектора. Рассмотрим два предельных случая ориентации волно- вого вектора: OXk  и .OYk  Для обоих случаев было показано, что фазовый переход УФМ–КУ фаза идет через пространственно неоднородное состояние. Следовательно, можно сделать вывод, что при любой ориентации волнового вектора в плоскости пленки и любых соотношениях между константами одноионных анизотропий фазовый переход УФМ–КУ фаза является переходом первого рода. Причем в области сосуще- ствования фаз реализуется пространственно неодно- родное состояние (доменная структура) с периодом неоднородности, определяемым соотношениями (22), (27) для рассматриваемых случаев. Как видно из (22) и (27), период достаточно большой (особенно если на- клонная анизотропия больше легкоплоскостной) и пространственно неоднородное состояние близко к монодоменному. На рис. 4 и 5 приведены зависимости периода пространственной неоднородности от кон- стант легкоплоскостной и наклонной анизотропий со- ответственно для двух ориентаций волнового вектора. Как видно на этих рисунках, период неоднородности увеличивается с ростом наклонной анизотропии и уменьшается с ростом легкоплоскостной анизотропии. Кроме того, величина периода неоднородности суще- ственным образом зависит от ориентации волнового Рис. 4. Зависимости периодов неоднородности для двух ори- ентаций волнового вектора ( OXk  и )OYk  от константы легкоплоскостной анизотропии при фиксированном значе- нии наклонной анизотропии. Линия 1 соответствует случаю ,OXk  zxβ = 5⋅104 Э, линия 2 — ,OYk  zxβ = 5⋅104 Э, линия 3 — ,OXk  zxβ = 5⋅105 Э, линия 4 — ,OYk  zxβ = = 5⋅105 Э. 556 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 вектора. Так, значение периода неоднородности в слу- чае zxβ > β существенно больше при ,\|\|OXk чем при .\|\|OYk Это связано с тем, что в случае \|\|OXk волновой вектор перпендикулярен плоскости креп- ления и лежит в той же плоскости, что и наклонная анизотропия. Область сосуществования фаз ограничена линиями устойчивости УФМ (23), (24), (28), (29) и КУ (40), (41) фаз и зависит не только от соотношений между кон- стантами одноионных анизотропий, но и от ориента- ции волнового вектора. Таким образом, можно построить фазовую диа- грамму двумерной ферромагнитной пленки с комбина- цией легкоплоскостной и наклонной анизотропий и механическими граничными условиями для двух пре- дельных случаев ориентации волнового вектора: OXk  и OYk  (рис. 6). Здесь область 1 соответст- вует случаю ,zxβ > β область 3 — случаю .zxβ > β Об- ласть 2 — численная аппроксимация при произволь- ных соотношениях констант анизотропии. Стрелки указывают, на какой линии теряют устойчивость соот- ветствующие фазы. Область, ограниченная линиями потери устойчивости соответствующих фаз, является областью сосуществования, в которой может реализо- вываться пространственно неоднородное состояние (доменная структура). На рис. 6 видно, что фазовый переход происходит с «гистерезисом» линий потери устойчивости соответствующих фаз (на рис. 6 это ука- зано стрелками). Такое поведение линий потери устой- чивости соответствующих фаз характерно для фазовых переходов первого рода. Необходимо отметить, что при OYk  фазовая диаграмма имеет качественно тот же вид, что и при ,OXk  однако линии потери устой- чивости УФМ фазы определяются соотношениями (28) (область 1) и (29) (область 3). Линии устойчивости КУ фазы не зависят от ориентации волнового вектора и для обоих направлений k определяются соотноше- ниями (40) (область 1) и (41) (область 3). На рис. 6 вве- дены следующие обозначения: 0 0 032 ; 15 5 3 J a A A = − − 0 02 ; 3 A B J = +    0 0 04 ; 3 A C J a = − +    2 0 0 0 0 0 10 2516 10 . 3 3 4 A D J a J Ω = − − +    Следует отметить, что в работах [63,64] была рас- смотрена аналогичная система с комбинацией наклон- ной и легкоплоскостной анизотропий и магнитодиполь- ным взаимодействием в отсутствие магнитоупругого взаимодействия, и следовательно, без учета механиче- ских граничных условий, для двух предельных случаев ( zxβ > β и ).zxβ > β В этих работах показано, что при сильных анизотропиях, причем как при сильной легко- плоскостной, так и сильной наклонной, возможна реа- лизация однородной КУ фазы, а при сильном обменном взаимодействии — однородной УФМ фазы. Результат влияния магнитодипольного взаимодействия — реали- зация пространственно неоднородного состояния, яв- ляющегося областью сосуществования однородных фаз, аналогичен полученному в данной работе. Однако, как было упомянуто ранее, наличие магнитоупругой связи приводит к существенному изменению как линий ус- тойчивости, так и области существования фаз. При этом влияние магнитоупругого взаимодействия на область существования УФМ фазы минимально: при характер- ных значениях материальных параметров 0( 2 MЭ,J  ,zxβ 100 кЭ,β  0 1,5 кЭ,a  0 14 кЭ,A  0 10 кЭΩ  [65]) изменение области существования ферромагнит- Рис. 5. Зависимости периодов неоднородности для двух ориен- таций волнового вектора ( OXk  и )OYk  от константы на- клонной анизотропии при фиксированном значении легкопло- скостной анизотропии. Линия 1 соответствует случаю ,OXk  β = 5⋅104 Э, линия 2 — ,OYk  β = 5⋅104 Э, линия 3 — ,OXk  β = 5⋅105 Э, линия 4 — ,OYk  β = 5⋅105 Э. Рис. 6. Фазовая диаграмма ультратонкой ферромагнитной пленки с комбинацией легкоплоскостной и наклонной анизо- тропий при .OXk  Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 557 Г.А. Гореликов, А.Г. Мелешко, Ю.А. Фридман ного состояния по сравнению со случаем отсутствия магнитоупругой связи [63,64] составляет порядка 1%. Однако ситуация существенно меняется в случае сильных одноионных анизотропий, т.е. в КУ фазе. В этом состоянии (при 0 2 MЭ,J  ,zxβ 2,5 МЭ,β  0 1,5 кЭ,a  0 14 кЭ,A  0 10 кЭ)Ω  изменение облас- ти существования квадрупольного состояния может меняться от ~5–8% (при )zxβ > β до ~12–15% (при ).zxβ > β Такое влияние магнитоупругого взаимодей- ствия можно объяснить тем обстоятельством, что при- рода одноионной анизотропии и магнитоупругого взаимодействия одинакова. Таким образом, эффекты, связанные с магнитоупругим взаимодействием, усили- ваются одноионной анизотропией [66]. Таким образом, учет магнитоупругого взаимодейст- вия приводит к ряду особенностей в поведении систе- мы. Во-первых, на фазовой диаграмме видно, что линия устойчивости КУ фазы лежит ниже линии устойчивости УФМ фазы, что характерно для фазовых переходов пер- вого рода. Во-вторых, наличие магнитоупругой связи приводит к изменению области существования УФМ и КУ фаз. Причем это изменение областей устойчивости может быть достаточно существенным. Поскольку ме- ханизмом формирования одноионной анизотропии и магнитоупругой связи является спин-орбитальное взаи- модействие, в рассматриваемом нами случае больших значений наклонной и легкоплоскостной анизотропий магнитоупругое взаимодействие может быть достаточно большим, как это наблюдается, например, в редкозе- мельных магнетиках [66]. 1. M. Farle, B. Mirwald-Schulz, A.N. Anisimov, W. Platow, and K. Baberschke, Phys. Rev. B 55, 3708 (1997). 2. М.Б. Сагдаткиреева, В.В. Румянцева, Известия РАН. Серия физическая 74, 1143 (2010). 3. М.Б. Сагдаткиреева, Известия РАН. Серия физическая 67, 979 (2003). 4. F. Schedin, L. Hewitt, P. Morrall, V.N. Petrov, G. Thornton, S. Case, M.F. Thomas, and V.M. Uzdin, Phys. Rev. B 58, 11861 (1998). 5. E.M. Gyorgy, A. Rosencwaig, E.I. Blount, W.J. Tabor, and M.E. Lines, Appl. Phys. Lett. 18, 479 (1971). 6. А.Р. Прокопов, С.В. Дубинко, А.О. Хребтов, М.Н. Гремина, ФТТ 39, 1415 (1997). 7. Л.Я. Арифов, Ю.А. Фридман, В.И. Бутрим, О.А. Космачева, ФНТ 27, 860 (2001) [Low Temp. Phys. 27, 636 (2001)]. 8. В.И. Бутрим, С.В. Дубинко, Ю.Н. Мицай, ФТТ 45, 1052 (2003). 9. В.В. Рандошкин, М.Ю. Гусев, Ю.Ф. Козлов, Н.С. Неу- строев, ЖТФ 70, 118 (2000). 10. M.J. Donahue, L.H. Bennet, R.D. McMichael, L.J. Swart- zendruber, A.J. Shapiro, V.I. Nikitenko, V.S. Gornakov, L.M. Dedukh, A.F. Khapikov, V.N. Matveev, and V.I. Levashov, J. Appl. Phys. 79, 5315 (1996). 11. C.L. Dennis, R.P. Borges, L.D. Buda, U. Ebels, J.F. Gregg, M. Hehn, E. Jouguelet, K. Ounadjela, I. Petej, I.L. Prejbeanu, and M.J. Thornton, J. Phys.: Condens. Matter 14, R1175 (2002). 12. J.M. Shaw, W.H. Rippard, S.E. Russek, T. Reith, and C.M. Falco, J. Appl. Phys. 101, 023909 (2007). 13. O. Hellwig, A. Berger, T. Thomson, E. Dobisz, Z.Z. Bandic, H. Yang, D.S. Kercher, and E.E. Fullerton, Appl. Phys. Lett. 90, 162516 (2007). 14. C. Bunce, J. Wu, G. Ju, B. Lu, D. Hinzke, N. Kazantseva, U. Nowak, and R.W. Chantrell, Phys. Rev. B 81, 174428 (2010). 15. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский, ЖЭТФ 35, 228 (1958). 16. Е.А. Туров, В.Г. Шавров, УФН 140, 429 (1983). 17. Е.А. Туров, В.Г. Шавров, ФТТ 7, 217 (1965). 18. В.Г. Барьяхтар, И.М. Витебский, Н.М. Лавриненко, В.Л. Соболев, ЖЭТФ 23, 2664 (1986). 19. Б.А. Иванов, Е.В. Тартаковская, Письма в ЖЭТФ 63, 792 (1996); B.A. Ivanov and E.V. Tartakovskaya, Phys. Rev. Lett. 77, 386 (1996). 20. Ю.Н. Мицай, Ю.А. Фридман, УФЖ 35, 459 (1990). 21. В.Г. Барьяхтар, Е.А. Туров, в сб. Электронная структура и электронные свойства металлов и сплавов, Наукова думка, Киев (1988), с. 39. 22. С.В. Малеев, ЖЭТФ 70, 2374 (1976). 23. Yu.A. Fridman, D.V. Spirin, and Ph.N. Klevets, Physica Status Solidi (b) 232, 264 (2002). 24. R.P. Erickson and D.L. Mills, Phys. Rev. B 46, 861 (1992). 25. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, ЖЭТФ 72, 1504 (1977). 26. Yu.A. Fridman, D.A. Matunin, Ph.N. Klevets, and O.A. Kosmachev, J. Magn. Magn. Mater. 321, 3782 (2009). 27. R. Antos, Y. Otani, and J. Shibata, J. Phys. Soc. Jpn. 77, 031004 (2008). 28. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, М.В. Четкин, УФН 146, 417 (1985). 29. Yu.A. Fridman, Ph.N. Klevets, and D.V. Spirin, Physica Status Solidi (b) 241, 1106 (2004). 30. Yu.A. Fridman, Ph.N. Klevets, and D.V. Spirin, New Developments in Ferromagnetism Research, Nova Science, N.-Y. (2005), p. 291. 31. В.М. Локтев, В.С. Островский, ФНТ 20, 983 (1994) [Low Temp. Phys. 20, 775 (1994)]. 32. Ю.В. Переверзев, В.Г. Борисенко, ФТТ 26, 1249 (1984). 33. Ю.В. Переверзев, В.Г. Борисенко, ФНТ 11, 730 (1985) [J. Low Temp. Phys. 11, 400 (1985)]. 34. Ф.П. Онуфриева, ЖЭТФ 89, 2270 (1985). 35. В.С. Островский, ФТТ 18, 1041 (1976). 36. В.М. Локтев, В.С. Островский, ФТТ 21, 3559 (1979). 37. В.М. Локтев, ФНТ 7, 1184 (1981) [J. Low Temp. Phys. 7, 575 (1981)]. 38. В.М. Калита, И.М. Иванова, В.М. Локтев, ФНТ 28, 667 (2002) [Low Temp. Phys. 28, 475 (2002)]. 39. Y.A. Fridman, O.A. Kosmachev, and P.N. Klevets, Eur. Phys. J. B 81, 185 (2011). 558 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0046819 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0046819 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0327078 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0325697 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0327079 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0327080 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0327080 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0527570 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0398499 http://scitation.aip.org/content/contributor/AU0398498 Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 40. В.М. Калита, И.М. Иванова, В.М. Локтев, ТМФ 173, 333 (2012). 41. В.С. Островский, ЖЭТФ 91, 1690 (1986). 42. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. B 68, 052401 (2003). 43. B.A. Ivanov, R.S. Khymyn, and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. Lett. 100, 047203 (2008). 44. V.G. Bar’yakhtar, V.I. Butrim, A.K. Kolezhuk, and B.A. Ivanov, Phys. Rev. B 87, 224407 (2013). 45. T.A. Toth, A.M. Launchli, F. Mila, and K. Penc, Phys. Rev. B 85, 140403 (2012). 46. T. Moria, Phys. Rev. 117, 635 (1960). 47. Э.Л. Нагаев, Магнетики со сложными обменными взаи- модействиями, Наука, Москва (1988). 48. B.A. Ivanov, A.K. Kolezhuk, and G.M. Wysin, Phys. Rev. Lett. 76, 511, (1996). 49. E.G. Galkina, A.Yu. Galkin, B.A. Ivanov, and Franco Nori, Phys. Rev. B 81, 184413 (2010). 50. Б.А. Иванов, Р.С. Химин, ФНТ 34, 236 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 182 (2008)]. 51. В.И. Бутрим, Б.А. Иванов, А.С. Кузнецов, Р.С. Химин, ФНТ 34, 1266 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 997 (2008)]. 52. F. Michaud and F. Mila, Phys. Rev. B 88, 094435 (2013). 53. A. Smerald and N. Shannon, Phys. Rev. B 88, 184430 (2013). 54. Yu.A. Fridman, O.A. Kosmachev, and Ph.N. Klevets, J. Magn. Magn. Mater. 320, 435 (2008). 55. K. Stevens, Proc. Phys. Soc. A 65, 209 (1952). 56. В.В. Вальков, ТМФ 76, 143 (1988). 57. Р.О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975). 58. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика, часть I, Наука, Москва (1976), с. 583. 59. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функции Грина в теории магнетизма, Наукова думка, Киев (1984), с. 336. 60. Ю.Н. Мицай, Ю.А. Фридман, ТМФ 81, 263 (1989). 61. В.В. Вальков, Т.А. Валькова, С.Г. Овчинников, ЖЭТФ 88, 550 (1985). 62. Ю.А. Фридман, Г.А. Гореликов, ЖЭТФ 144, 147 (2013). 63. Ю.А. Фридман, Ф.Н. Клевец, Г.А. Гореликов, ЖЭТФ 141, 748 (2012). 64. Ю.А. Фридман, Ф.Н. Клевец, Г.А. Гореликов, А.Г. Меле- шко, ЖЭТФ 142, 1155 (2012). 65. Е.А. Туров, А.А. Луговой, В.Д. Бучельников, Ю.А. Кузавко, В.Г. Шавров, О.В. Ян, Препринт, Ин-т физики металлов АН СССР, 86/4, Свердловск, 25 (1986). 66. К.П. Белов, Редкоземельные магнетики и их применение, Наука, Москва (1980), с. 239. The dynamic and static properties of the rigidly fixed ultrathin spin-1 ferromagnet film with competing anisotropies G.A. Gorelikov, A.G. Meleshko, and Yu.A. Fridman The phase states and phase transitions of the ul- trathin ferromagnetic spin-1 film with a combination of inclined and easy-plane anisotropies and mechani- cal boundary conditions have been investigated within the mean-field approximation. The realization of angu- lar ferromagnetic phase, quadrupolar phase, spatially inhomogeneous state is possible and depends of the re- lationship between material parameters. The spectra of elementary excitations and the lines of stability of the- se phases are determined. The analysis of stability lines has allowed the phase diagram of the system to be constructed. PACS: 75.10.–b General theory and models of magnetic ordering; 75.30.Kz Magnetic phase boundaries (in- cluding classical and quantum magnetic transi- tions, metamagnetism, etc.); 75.30.Gw Magnetic anisotropy; 75.70.–i Magnetic properties of thin films, surfaces, and interfaces; 75.70.Ak Magnetic properties of monolayers and thin films. Keywords: inclined anisotropy, easy-plane anisotropy, magnetodipole interaction, magnetoelastic interaction. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 559 Введение Модель Случай сильного обменного взаимодействия Случай сильной одноионной анизотропии Заключение

Динамические и статические свойства жестко закрепленной ультратонкой ферромагнитной пленки с S = 1 и конкурирующими анизотропиями

Репозитарії

Схожі ресурси