Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде

Предложено последовательное континуальное описание дислокаций и краудионов как собственных дефектов структуры в двумерных (2D) кристаллах. Оба типа дефектов изучены в рамках единого подхода: кристалл рассматривается как строго двумерная упругоанизотропная среда, а изучаемые дефекты — как точечные но...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Нацик, В.Д., Смирнов, С.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2014
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119697
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1366-1383. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-119697
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1196972017-06-09T03:02:27Z Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Предложено последовательное континуальное описание дислокаций и краудионов как собственных дефектов структуры в двумерных (2D) кристаллах. Оба типа дефектов изучены в рамках единого подхода: кристалл рассматривается как строго двумерная упругоанизотропная среда, а изучаемые дефекты — как точечные носители пластической деформации и сингулярные источники полей упругих деформаций с присущими каждому из них кристаллогеометрическими и топологическими свойствами. Континуальному описанию предшествует обсуждение простых атомно-решеточных схем, иллюстрирующих микроскопическую структуру этих дефектов. Каждому типу дефектов сопоставлен тензор пластической дисторсии, согласованный с их кристаллогеометрическими характеристиками. В рамках линейной теории упругости 2D среды выведены уравнения, определяющие распределения упругих полей вокруг центров одиночных дефектов, а также при непрерывном распределении дефектов в кристалле. Найдены общие решения этих уравнений для неподвижных дислокаций и краудионов в бесконечно протяженном упругоанизотропном 2D континууме Запропоновано послідовний континуальний опис дислокацій та краудіонів як власних дефектів структури у двовимірних (2D) кристалах. Обидва типи дефектів вивчено у рамках єдиного підходу: кристал розглядається як строго двовимірне пружне анізотропне середовище, а дефекти — як точкові носії пластичної деформації і сингулярні джерела полів пружних деформацій з притаманними кожному з них кристалогеометричними та топологічними властивостями. Континуальному опису передує обговорення простих атомно-граткових схем, котрі ілюструють мікроскопічну структуру цих дефектів. Кожному типу дефектів співставлено тензор пластичної дисторсії, який узгоджено з їх кристалогеометричними характеристиками. У рамках лінійної теорії пружності 2D середовища виведено рівняння, які визначають розподіл пружних полів навколо центрів одиничних дефектів у кристалі, а також при неперервному розподілі дефектів у кристалі. Знайдено загальні розв’язки цих рівнянь для статичних дислокацій і краудіонів у нескінченному протяжному пружно анізотропному 2D континуумі A successive continual description of dislocations and crowdions as intrinsic structure defects in 2D crystals is proposed. The both types of defects have been studied within the framework of a unified approach: the crystal is considered as a strictly twodimensional elastic anisotropic medium and the defects as point carriers of plastic deformation and singular sources of elastic deformation fields, each being characterized by crystal geometric and topological properties. The continual description is preceded by the discussion of simple atomic lattice schemes illustrate the microscopic structure of the defects. Each type of the defects is related to the plastic distortion tensor which correlates with its crystal geometric characteristics. Based on the linear theory of elasticity of the 2D medium, equations are derived that determine the distribution of elastic fields round the centers of unit defects as well as for continuous distribution of defects in the crystal. The general solutions of these equations for fixed dislocations and crowdions in an infinitely extended elastic anisotropic 2D continuum are obtained 2014 Article Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1366-1383. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. 0132-6414 PACS 46.25.–y, 61.72.Bb, 61.72.J–, 61.72.Lk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119697 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы
spellingShingle	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде Физика низких температур
description	Предложено последовательное континуальное описание дислокаций и краудионов как собственных дефектов структуры в двумерных (2D) кристаллах. Оба типа дефектов изучены в рамках единого подхода: кристалл рассматривается как строго двумерная упругоанизотропная среда, а изучаемые дефекты — как точечные носители пластической деформации и сингулярные источники полей упругих деформаций с присущими каждому из них кристаллогеометрическими и топологическими свойствами. Континуальному описанию предшествует обсуждение простых атомно-решеточных схем, иллюстрирующих микроскопическую структуру этих дефектов. Каждому типу дефектов сопоставлен тензор пластической дисторсии, согласованный с их кристаллогеометрическими характеристиками. В рамках линейной теории упругости 2D среды выведены уравнения, определяющие распределения упругих полей вокруг центров одиночных дефектов, а также при непрерывном распределении дефектов в кристалле. Найдены общие решения этих уравнений для неподвижных дислокаций и краудионов в бесконечно протяженном упругоанизотропном 2D континууме
format	Article
author	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н.
author_facet	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н.
author_sort	Нацик, В.Д.
title	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде
title_short	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде
title_full	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде
title_fullStr	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде
title_full_unstemmed	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде
title_sort	дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. часть i: атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2d среде
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119697
citation_txt	Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1366-1383. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT nacikvd dislokaciiikraudionyvdvumernyhkristallahčastʹiatomnorešetočnyemodeliikontinualʹnoeopisanieétihdefektovvuprugojanizotropnoj2dsrede AT smirnovsn dislokaciiikraudionyvdvumernyhkristallahčastʹiatomnorešetočnyemodeliikontinualʹnoeopisanieétihdefektovvuprugojanizotropnoj2dsrede
first_indexed	2025-07-08T16:26:36Z
last_indexed	2025-07-08T16:26:36Z
_version_	1837096765875027968
fulltext	© В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, 2014 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12, c. 1366–1383 Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде В.Д. Нацик 1,2 , С.Н. Смирнов 1 1 Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua 2 Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина Статья поступила в редакцию 1 августа 2014 г., опубликована онлайн 22 октября 2014 г. Предложено последовательное континуальное описание дислокаций и краудионов как собственных де- фектов структуры в двумерных (2D) кристаллах. Оба типа дефектов изучены в рамках единого подхода: кри- сталл рассматривается как строго двумерная упругоанизотропная среда, а изучаемые дефекты — как точеч- ные носители пластической деформации и сингулярные источники полей упругих деформаций с присущими каждому из них кристаллогеометрическими и топологическими свойствами. Континуальному описанию предшествует обсуждение простых атомно-решеточных схем, иллюстрирующих микроскопическую струк- туру этих дефектов. Каждому типу дефектов сопоставлен тензор пластической дисторсии, согласованный с их кристаллогеометрическими характеристиками. В рамках линейной теории упругости 2D среды выведены уравнения, определяющие распределения упругих полей вокруг центров одиночных дефектов, а также при непрерывном распределении дефектов в кристалле. Найдены общие решения этих уравнений для неподвиж- ных дислокаций и краудионов в бесконечно протяженном упругоанизотропном 2D континууме. Запропоновано послідовний континуальний опис дислокацій та краудіонів як власних дефектів структу- ри у двовимірних (2D) кристалах. Обидва типи дефектів вивчено у рамках єдиного підходу: кристал розглядається як строго двовимірне пружне анізотропне середовище, а дефекти — як точкові носії пластичної деформації і сингулярні джерела полів пружних деформацій з притаманними кожному з них кристалогеометричними та топологічними властивостями. Континуальному опису передує обговорення простих атомно-граткових схем, котрі ілюструють мікроскопічну структуру цих дефектів. Кожному типу дефектів співставлено тензор пластичної дисторсії, який узгоджено з їх кристалогеометричними характери- стиками. У рамках лінійної теорії пружності 2D середовища виведено рівняння, які визначають розподіл пружних полів навколо центрів одиничних дефектів у кристалі, а також при неперервному розподілі дефектів у кристалі. Знайдено загальні розв’язки цих рівнянь для статичних дислокацій і краудіонів у нескінченному протяжному пружно анізотропному 2D континуумі. PACS: 46.25.–y Статическая упругость; 61.72.Bb Теории и модели дефектов в кристалле; 61.72.J– Точечные дефекты и кластеры дефектов; 61.72.Lk Линейные дефекты: дислокации, дисклинации. Ключевые слова: двумерные кристаллы, дислокации, краудионы, теория упругости, поля деформации, топологический заряд. 1. Введение В настоящее время в физике конденсированного со- стояния вещества изучается довольно большое количе- ство систем, в которых пространственное распределе- ние микроскопических структурных элементов имеет трансляционный порядок в двух измерениях. Эти сис- темы называются двумерными (2D) кристаллами [1–3]. mailto:smirnov@ilt.kharkov.ua Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1367 Симметрия структуры 2D кристаллов описана в моно- графиях [4–6]: для них плоская решетка узлов характе- ризуется десятью кристаллографическими точечными группами симметрии и пятью типами плоских ячеек Бравэ. Отметим, что во многих случаях 2D кристаллы мо- гут существовать только в условиях низких темпера- тур, а их физико-механические свойства имеют специ- фические низкотемпературные особенности. Поэтому изучение этих систем относится к одной из актуальных проблем современной физики низких температур [7,8]. В реально существующих 2D кристаллах элементар- ными структурными единицами являются частицы (мо- лекулы, атомы, электроны) или псевдочастицы (напри- мер, топологические солитоны в тонких пленках сверх- текучей жидкости, сверхпроводника, магнетика — соот- ветственно квантованные вихри, вихри Абрикосова, цилиндрические магнитные домены). С целью упроще- ния формулировок условимся в дальнейшем использо- вать для обозначения элементарной структурной едини- цы кристалла термин «атом», оговорив возможность более общего толкования этого термина, если возникнет в этом необходимость. В работе [9] нами предложен последовательный вы- вод базовых уравнений теории упругости 2D кристалла: предполагается, что кристалл образован системой оди- наковых атомов, их взаимодействие описывается пар- ным центральносимметричным потенциалом, а теория упругости соответствует предельному переходу от уравнений атомно-решеточной механики к континуаль- ному описанию в приближении малых деформаций. Получены уравнения для описания деформаций в плос- кости кристалла и изгибных деформаций, которые в приближении линейной теории упругости являются независимыми. Обсуждены главные нелинейные по- правки к линейному приближению, определяющие взаимосвязь обоих типов деформаций. Результаты рабо- ты [9] позволяют провести континуальное описание различных механических процессов и эффектов в иде- альных (не содержащих дефектов структуры) 2D кри- сталлах. Они также создают основы для развития кон- тинуального подхода к анализу влияния на физико- механические свойства 2D кристаллов множества структурных искажений или дефектов. Из всего многообразия дефектов кристаллической структуры следует, в первую очередь, выделить семей- ство так называемых собственных дефектов, зарожде- ние которых в кристалле не связано с внедрением в него чужеродных структурных элементов. Центральное ме- сто в этом семействе занимают два типа дефектов — дислокации и краудионы. Эти дефекты можно считать в определенном смысле родственными. Их зарождение и перемещение, а также обусловленные ими структурные искажения весьма существенно связаны с двумя базо- выми свойствами кристаллических структур — транс- ляционным порядком и наличием в кристаллах плотно- упакованных атомных рядов и плоскостей. Эти свойства определяют способность кристаллических материалов к пластическому скольжению — относительному пере- мещению (сдвигу) соседних фрагментов кристалла на один из периодов трансляций без изменения объема (при континуальном описании — без нарушения сплош- ности). Такое скольжение может распространяться вдоль плотноупакованных атомных плоскостей или ря- дов эстафетным способом при сравнительно малых зна- чениях деформирующих сил. Край незавершенного (не прошедшего через весь кристалл) пластического сдвига образует специфический дефект структуры — дислока- цию или краудион. Выше мы подчеркнули определенную аналогию между дислокациями и краудионами. Вместе с тем между этими дефектами существуют и значительные различия, которые необходимо учитывать при описа- нии свойств как самих дефектов, так и их влияния на свойства кристаллов. Наиболее наглядно они проявля- ются, если классификация дефектов производится по чисто геометрическому признаку: по числу измерений, в которых качественное нарушение структуры кри- сталла простирается на расстояния, превышающие па- раметр решетки: дефекты точечные, линейные, поверх- ностные, объемные. Степень и характер таких разли- чий зависят также и от размерности кристалла. В трехмерных (3D) кристаллах дислокации отно- сятся к классу линейных, а краудионы — точечных дефектов. В 3D кристалле обусловленная дислокацией область максимального искажения структуры (ядро дислокации) сконцентрирована на атомных расстояни- ях вдоль некоторой непрерывной линии, а возникает такое искажение в результате незавершенного пласти- ческого сдвига вдоль плотноупакованной кристалло- графической поверхности. При континуальном описа- нии кристалла в рамках теории упругости дислокация рассматривается как сингулярность поля упругих де- формаций на линии. Эта линия расположена на по- верхности скольжения с заданными кристаллогеомет- рическими характеристиками и обладает специфи- ческими топологическими свойствами [10–17]. Крау- дион в 3D кристалле сильно искажает структуру толь- ко в области атомных размеров вблизи некоторой точки (ядро краудиона), такое искажение возникает в результате незавершенного пластического сдвига от- дельного плотноупакованного атомного ряда. Поэтому при континуальном описании [18] краудион рассмат- ривается как точечная сингулярность поля упругих деформаций. Эта точка расположена на линии сколь- жения с заданными кристаллогеометрическими харак- теристиками и также обладает специфическими топо- логическими свойствами, но отличными от свойств точек дислокационной линии. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1368 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 Освещению различных аспектов атомно-решеточ- ной и континуальной теории дислокаций и краудионов в 3D кристаллах посвящена обширная литература (см. [1,2,17,19–35] и приведенные там ссылки). При этом основное внимание исследователей чаще всего кон- центрировалось на кристаллогеометрических различи- ях между ними, поэтому дислокации и краудионы рас- сматривались как качественно различные дефекты. Исключением является работа [18], в которой намече- но описание этих дефектов с единой точки зрения — как носителей пластической деформации и сингуляр- ных источников упругих полей. Следует отметить, что подавляющее число публикаций посвящено физике дислокаций, так как их влияние на физико-механи- ческие свойства 3D кристаллов намного сильнее и зна- чительнее, чем влияние краудионов. В 2D кристаллах кристаллогеометрические разли- чия между дислокациями и краудионами менее значи- тельны — оба типа дефектов относятся к классу то- чечных и возникают в результате незавершенного пластического сдвига вдоль некоторого плотноупако- ванного атомного ряда. При континуальном описании оба дефекта должны рассматриваться как точечные сингулярности упругого поля, расположенные на ли- нии скольжения с заданными кристаллогеометриче- скими характеристиками, но эти сингулярности отли- чаются одна от другой присущими каждой из них топологическими свойствами. Простые схемы, иллю- стрирующие атомную структуру дислокации и крау- диона в 2D кристалле, описаны в следующем разделе. Последовательное, строгое и достаточно детальное теоретическое описание структуры и свойств обсуж- даемых дефектов в 2D кристаллах до недавнего време- ни практически отсутствовало. Хотя влияние дислока- ций на свойства 2D кристаллов обсуждается довольно часто [1–3], но при этом для их описания используются результаты, полученные в теории 3D кристаллов: 2D кристалл рассматривается как тонкий упругий слой, ограниченный параллельными плоскостями и прони- занный линиями дислокаций в перпендикулярном слою направлении. Такой подход дает корректные по- луколичественные оценки при анализе влияния дисло- каций на свойства 2D кристалла, но не может претен- довать на роль строгой теории. В частности, в этой модели дислокации не являются строго точечными дефектами, теория оперирует плохо определенным параметром — конечной толщиной слоя и соответст- вующей ей длиной дислокационных линий. Данное обстоятельство не приводит к затруднениям, если ре- альный 2D кристалл представляет собой решетку то- пологических солитонов в пленке, но при рассмотре- нии плоских моноатомных или моноэлектронных структур возникает неопределенность в количествен- ных оценках величины указанного параметра. Дефекты краудионного типа в 2D кристаллах до на- стоящего времени, насколько нам известно, вообще не рассматривались. Вместе с тем для этих систем, в от- личие от 3D кристаллов, нет оснований считать, что влияние краудионов на их свойства менее значительно, чем влияние дислокаций. Это стимулирует интерес к разработке единого подхода к описанию дефектов обоих типов в 2D кристаллах, а также к детальному анализу их различий и оценкам относительного влия- ния на конкретные физические свойства и процессы. В данной статье предложено последовательное кон- тинуальное описание дислокаций и краудионов в 2D кристалле с единой точки зрения: кристалл рассматри- вается как строго двумерная упругоанизотропная сре- да, изучаемые дефекты — как носители пластической деформации и сингулярные источники поля упругих деформаций с присущими каждому из них кристалло- геометрическими и топологическими свойствами. В рамках двумерной линейной теории упругости [9] вы- ведены уравнения, определяющие распределение уп- ругих полей вокруг центра дефекта. Найдены общие решения этих уравнений для неподвижных дислокаций и краудионов в двумерном бесконечно протяженном анизотропном упругом континууме. 2. Решеточные модели дислокации и краудиона в 2D кристалле Рассмотрим 2D кристаллическую структуру, со- стоящую из атомов одного типа, в которой каждый узел является центром симметрии (инверсии). Решетку узлов кристалла будем задавать повторением прими- тивной ячейки, построенной на двух базисных векто- рах a1 и a2. Геометрическая схема такой структуры показана на рис. 1 и 2 в виде квадратной решетки узлов на плоскости: она образована плотноупакованными атомными рядами в кристаллографических направле- ниях [10]. Ориентацию плоскости кристалла в трех- мерном пространстве будем задавать единичным век- тором нормали s, считая, что тройка векторов {a1, a2, s} образует правовинтовую систему. 2.1. Дислокации Вначале обсудим схему введения дислокации в 2D кристалл (рис. 1), которая аналогична хорошо извест- ной схеме введения краевой дислокации в 3D кристалл [11–17]. Дислокация появляется в результате двух по- следовательных преобразований в расположении ато- мов: пластического сдвига и упругой релаксации. Для определенности выберем направление [10] с вектором трансляции a1 и произведем незавершенный пластиче- ский сдвиг верхней левой части кристалла на вектор ( ) 1b a на интервале, показанном пунктирной лини- ей между атомными рядами 3 и 4 (линия скольжения). В результате такой операции на левой границе кри- сталла появляется ступенька, а внутри кристалла — Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1369 оборванный атомный ряд, уходящий вверх от места остановки пластического сдвига (он выделен прерыви- стой линией). После упругой релаксации вокруг обор- ванного атомного ряда возникает слабое упругое ис- кривление остальных атомных рядов (поле упругих деформаций дислокации), и на расстояниях порядка b b останется сильно искаженная область кристал- ла (ядро дислокации), центр которой обозначен симво- лом ( ). Легко видеть, что описанной выше дислокации можно сопоставить симметричную дислокацию: на рис. 1 она показана как результат незавершенного пла- стического сдвига на вектор трансляции ( ) 1b a в центре кристалла вдоль линии скольжения между атомными рядами 5 и 6 (центр ядра этой дислокации обозначен символом « ». Таким образом, линиям скольжения одинаковой кристаллографической ориен- тации можно сопоставить дислокации двух разных знаков: одну из них условимся считать положительной « », другую — отрицательной « ». В бесконечно про- тяженном кристалле, когда можно отвлечься от ступе- нек на его границах, положительные и отрицательные дислокации эквивалентны по их влиянию на внутрен- ние свойства кристалла, они различаются лишь пово- ротом кристалла на угол вокруг оси, перпендикуляр- ной его плоскости. Однако по отношению к заданной системе координат или к внешнему физическому миру это различные дефекты. Отметим, что создание положительной и отрица- тельной дислокаций на одной линии скольжения не приводит к появлению ступенек на границах кристал- ла. На рис. 1 такая пара дислокаций образована на ли- нии скольжения, которая проходит между атомными рядами 9 и 10, ее можно рассматривать как результат пластического сдвига внутри кристалла вдоль отрезка линии скольжения, соединяющего центры положи- тельной « » и отрицательной « » дислокаций. Сбли- жение и слияние таких дислокаций приводит к восста- новлению идеальной структуры кристалла (анниги- ляция дислокаций). Перемещение центра дислокации вдоль линии скольжения увеличивает или уменьшает величину пла- стического сдвига, что позволяет рассматривать дисло- кацию как «носитель» пластической деформации. При перемещении дислокации вдоль линии скольжения с одной границы кристалла на противоположную ей гра- ницу возникает завершенный пластический сдвиг, пока- занный в нижней части рис. 1; соответствующая линия скольжения проходит между атомными рядами 11 и 12. Аналогичный результат можно получить также путем зарождения на этой линии скольжения пары и ее расширения до границ кристалла. Вектор ( ) ,b определяющий направление и вели- чину пластического сдвига, в результате которого воз- никла дислокация, называется ее вектором Бюргерса. В дальнейшем воспользуемся обозначением ( ) b b и будем считать, что знак дислокации совпадает со зна- ком ее вектора Бюргерса b. Таким образом, в заданной 2D кристаллической структуре дислокация имеет единственную кристаллогеометрическую характерис- тику — вектор Бюргерса b: его абсолютная величина и направление полностью определяют геометрию созда- ваемых дислокацией структурных искажений и обу- словленную ее движением пластическую деформацию. 2.2 Краудионы Образование в кристалле краудиона также можно считать результатом незавершенного пластического сдвига отдельного фрагмента кристалла — атомного ряда: после такого сдвига и следующей за ним упругой релаксации возникает краудионная конфигурация ато- мов [1,2]. Для выбранной нами модели 2D кристалла решеточная структура краудионов показана на рис. 2. Выделим один из плотноупакованных рядов (ряд 3 в направлении [10]) и произведем незавершенный пла- стический сдвиг всех атомов левой части этого ряда (на рисунке она выделена пунктиром) на вектор ( ) 1.b a В результате на левой границе кристалла появится один свободный узел, а внутри ряда в месте остановки пластического сдвига — один лишний меж- узельный атом. После упругой релаксации этот атом делокализуется в выбранном атомном ряду на интер- вале порядка нескольких ,b b центр данной облас- ти (ядро краудиона) обозначим символом « ». Ма- лые деформации кристалла вдали от центра краудиона образуют его упругое поле. Если произвести смещение части плотноупакован- ного атомного ряда в сторону границы кристалла на Рис. 1. Схематическое изображение решетки 2D кристалла с дислокациями. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1370 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 вектор ( ) 1b a (на рис. 2 ряд 6), то один атом вый- дет за границу, а внутри ряда возникнет делокализо- ванная вакансия, которую естественно назвать анти- краудионом (или краудионом противоположного зна- ка), его центр обозначим символом « ». Вокруг центра антикраудиона также распределено поле упру- гих деформаций. Отметим, что краудион и антикрау- дион представляют собой физически различные дефек- ты даже по отношению к внутренним свойствам крис- талла (как межузельный атом и вакансия), этим они отличаются от пары дислокаций с противоположными знаками. Создание пары – в одном атомном ряду (ряд 9) можно рассматривать как результат пла- стического сдвига внутреннего фрагмента этого ряда, который не изменяет атомные конфигурации на грани- цах кристалла. Встречное перемещение и слияние этих дефектов приводит к их аннигиляции и восстановле- нию идеальной структуры. Прямую, проходящую через атомы ряда с краудио- ном, назовем его линией скольжения. Перемещение центра краудиона вдоль линии скольжения увеличива- ет или уменьшает величину пластического сдвига атомного ряда, что позволяет рассматривать краудион как «носитель» пластической деформации специально- го вида — эстафетного перемещения межузельного атома на макроскопические расстояния и результи- рующего перемещения через кристалл атомного ряда в целом (ряд 11 на рис. 2.). Аналогичный результат можно получить путем зарождения на одной линии скольжения пары и ее расширения до границ кристалла. Такую пластическую деформацию можно рассматривать как краудионный механизм направлен- ного переноса массы. Этот процесс эквивалентен про- цессу самодиффузии, но качественно отличается от обычной диффузии, обусловленной термически акти- вированными или туннельными прыжками атомов по междоузлиям, а также вакансий по узлам кристалличе- ской структуры. Вектор пластического смещения ( ) b b является базовым кристаллогеометрическим параметром крау- диона, по аналогии с дислокацией будем его также на- зывать вектором Бюргерса. В качестве геометрической характеристики краудиона можно рассматривать и единичный направляющий вектор e — директор крау- диона, который определим соотношением b = be. Целесообразно ввести еще одну кристаллогеомет- рическую характеристику 0 1 2([ ] )S bha a s — элементарную площадь, приходящуюся на один атом 2D кристалла (h — расстояние между плотноупако- ванными рядами в направлении, перпендикулярном b). Параметр S0 является удобной характеристикой мощ- ности краудиона как источника упругого поля и носи- теля пластической деформации: величина S0 опреде- ляет 2D «объем» (имеющий размерность площади), переносимый краудионом при его распространении через кристалл. Чтобы описать различие краудиона и антикраудиона, введем эффективную элементарную площадь Sс = qS0 и в дальнейшем будем рассматривать векторный параметр 0 , 1c cqh qhb qS S qS b e e e . (1) Параметр Sс характеризует как «мощность» краудиона, так и его знак: сопоставим краудиону Sс = S0 > 0 (q = 1), а антикраудиону Sс = S0 < 0 (q = 1). 3. Уравнения теории упругости для 2D кристалла В работе [9] нами предложен последовательный вывод базовых уравнений теории упругости 2D кри- сталла путем предельного перехода от уравнений атомно-решеточной механики к континуальному опи- санию в приближении малых деформаций. В данном разделе представим эти уравнения в форме, наиболее удобной для их применения к описанию дислокаций и краудионов. Рассмотрим 2D кристалл, образованный системой одинаковых атомов, которые в начальном состоянии равновесия занимают узлы плоской трансляционно- симметричной сетки в двумерном эвклидовом про- странстве 2 . В работе [9] показано, что при контину- альном описании такому кристаллу соответствует бес- конечно тонкая анизотропная пленка с конечной плотностью массы на единицу площади, которая спо- собна к упругим продольной и изгибной деформациям. Будем использовать систему прямоугольных декарто- вых координат с базисом 1 2{ , },i i орты которого вместе с нормалью s образуют правовинтовую систему векто- ров в пространстве 3 . Тогда положение отдельного малого элемента такой 2D среды в начальном (неде- формированном) состоянии задается двухкомпонент- ным радиус-вектором 1 1 2 2 1 2{ , }x x x xr i i точки в Рис. 2. Схематическое изображение решетки 2D кристалла с краудионами. Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1371 пространстве 2 , а деформированное состояние, зави- сящее от времени t, возникает в результате смещений элементов среды 1 2( , ) { , }t u uu r в плоскости кристалла (продольные деформации) и смещений ( , ) ( , )t w tw r r s в перпендикулярном к ней направлении, заданном еди- ничным вектором s (деформации изгиба). В рамках классической механики выведены базовые уравнения теории упругости для полей смещений ( , )tu r и ( , )w tr , описывающие обе моды деформации 2D кристалла как в линейном приближении, так и с учетом нелинейных деформационных эффектов. Описание деформаций 2D кристалла с учетом вза- имного влияния смещений в его плоскости и смещений вдоль нормали s наиболее просто выглядит в квазили- нейном приближении. В этом приближении динамиче- ские уравнения для полей смещений ( , )tu r и ( , )w tr можно записать в виде 2 ( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ei j ij i u t t F w t t r r r u s , (2) 2 2 ( , ) ijkn i j k n w t d w t r ( )( ) ( , ),e ijkn i j k nw u F w ts r u s (3) 1 2 ij ijkn k n k nu w w . (4) Здесь ( , )ij tr — компоненты тензора механических напряжений в плоскости кристалла, которые имеют раз- мерность [сила/длина]; ( ) ( , ) e iF w tr u s и ( ) ( , )eF w ts r u s — двумерная плотность внешних сил; ./i ix Все латинские индексы могут принимать только значения 1 и 2, а по повторяющимся координатным индексам подра- зумевается суммирование. Связь напряжений ik с от- носительными деформациями, величина которых харак- теризуется производными i ku и ,iw дается со- отношением (4), которое следует рассматривать как обобщенный закон Гука для 2D кристалла. Отметим, что принятая в основном тексте статьи система обозначений будет использована в Приложе- ниях 1–3. В уравнениях (2)–(4) «память» о атомно-реше- точной структуре кристалла сохраняется только в виде двух тензоров четвертого ранга ijkn и dijkn: значения их компонент зависят от геометрических параметров решетки исходного кристалла и параметров потенциа- ла межатомного взаимодействия [9]. Компоненты тен- зоров ijkn [сила/длина] и dijkn [сила длина] имеют смысл модулей упругости для деформаций в плоскости кристалла и модулей изгибной (цилиндрической) же- сткости. Тензоры четвертого ранга ijkn и dijkn заданы в пространстве 2 (i, j, k, n = 1, 2), поэтому имеют по 16 компонент. Компоненты тензора ijkn в общем случае должны удовлетворять соотношениям симметрии от- носительно перестановок индексов , ijmn jimn ijnm jinm ijmn mnij . (5) Таким образом, будем рассматривать 2D кристалл как строго двумерную упругоанизотропную среду и предложим последовательное континуальное описание дислокаций и краудионов как носителей пластической деформации и сингулярных источников полей упругих деформаций в такой среде с присущими каждому из этих дефектов кристаллогеометрическими и топологи- ческими свойствами. Описанный в разд. 2 алгоритм введения этих дефектов в кристалл оперирует только со смещениями атомов в его плоскости. Поэтому в приближении линейной теории упругости будем счи- тать, что обусловленные дефектами упругие деформа- ции сводятся к полю смещений ( , )tu r и соответст- вующему ему тензорным полям упругих дисторсий ( , )mnu tr и упругих деформаций ( , )mn tr : 1 1 , ( ) ( ) 2 2 nm n m mn m n n m mn nmu u u u u u . (6) В линейном приближении и в отсутствие внешних сил из (2)–(6) получаем уравнения движения, опреде- ляющие эволюцию упругих деформаций в плоскости кристалла и удобные для описания дислокаций и крау- дионов: 2 2 i k ik u t , (7) ik ikmn mn ikmn mnu . (8) Отметим, что влияние деформаций изгиба на дис- локации и краудионы можно описать методами теории возмущений, рассматривая полученные в данной рабо- те результаты в качестве первого приближения. 4. Упругие и пластические деформации в механике сплошной 2D среды Наиболее важные физические свойства дислокаций и краудионов не связаны однозначно с их микроскопи- ческими моделями и допускают феноменологическое описание в рамках механики сплошной упругой среды, где задача сводится к анализу свойств так называемых дислокаций Вольтерра. Такой подход хорошо разрабо- тан для дефектов в 3D кристаллах [11–17] и его следу- ет переформулировать и использовать для решения интересующих нас задач. Для этого следует вернуться к основным понятиям и соотношениям теории упруго- сти и внести в них необходимые уточнения, учиты- вающие различия геометрических, симметрийных и деформационных свойств 2D и 3D кристаллов. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1372 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 Поскольку дислокация и краудион зарождаются в кристалле путем трансляционного пластического скольжения одних его фрагментов по отношению к другим сопредельным фрагментам, то при контину- альном описании кристалла таким дефектам можно сопоставить некоторый тензор пластической дистор- сии .P iku Физически корректная процедура получения этого тензора подразумевает последовательный и не- противоречивый учет как внутренней кристаллической симметрии среды, так и значений элементарных кри- сталлогеометрических параметров дефекта, адекватно сохраняющих при континуальном описании «память» об атомарной структуре реального кристалла. Если допустить возможность пластического сколь- жения в сплошной среде, то однозначное описание ее деформированного состояния заданием поля упругих смещений ( )u r невозможно. Более корректно исполь- зовать для этого относительные деформации, например тензор полной дисторсии ( ),T iku r который можно пред- ставить в виде суммы тензора упругой ( )iku r и тензо- ра пластической ( )P iku r дисторсии: T P ik ik iku u u . (9) Тогда тензор полной деформации T ik (симметричная часть тензора )T iku также сводится к сумме упругой и пластической составляющих: 1 ( ) 2 T T T P ik ik ki ik iku u . (10) Будем также считать, что пластическая деформация не нарушает сплошность среды и компоненты тензора пол- ной деформации ( )T ik r являются однозначными, непре- рывными вместе с производными до второго порядка функциями координат, которые удовлетворяют условию совместности [16,36]. Двумерный аналог условий со- вместности можно представить в виде уравнения 0T kn sm k m ns , (11) где ik — единичный антисимметричный тензор (см. Приложение 1). Из теории упругости известно [16,36], что при вы- полнении условия (11) в односвязной области сущест- вует однозначное и непрерывное векторное поле пол- ных перемещений ( ),T u r заданное в точках r недефор- мированной среды, которое определяет поля полной дисторсии ( )T iku r и деформации ( ) :T ik r 1, ( ) 2 T T T T T ik i k ik i k k iu u u u . (12) Вектор ( )T u r определен с точностью до перемеще- ния среды как абсолютно твердого тела, что для даль- нейшего рассмотрения несущественно. Обсудим более детально возможность описания в рамках единого подхода упругих и пластических де- формаций кристаллов в приближении линейной меха- ники континуума. Прежде всего, следует отметить, что происходящие при пластической деформации относи- тельные смещения соседних фрагментов кристалла на период решетки не меняют его состояния в окрестно- сти линии скольжения (или поверхности скольжения в 3D кристалле). Поэтому тензор напряжений ( ),ik r характеризующий силовое взаимодействие между со- седними элементами кристаллической среды, можно считать однозначной и непрерывной функцией коор- динат. Предполагается также, что для описания де- формированного состояния среды можно рассматри- вать тензоры упругих дисторсий ( )iku r или дефор- маций ( ),ik r считая их непрерывными и однознач- ными функциями координат, а также использовать закон Гука (8). Будем рассматривать только статиче- ские задачи континуальной теории дефектов, поэтому основное уравнение теории упругости (7) сводится к условию механического равновесия ( ) 0.k ik r Для характеристики пластических деформаций в 2D континууме кроме тензора ( )P iku r введем также свя- занный с ним вектор ( ) :r ( ) ( )P i nm n miur r . (13) Так как 0T T nm n mi nm n m iu u , то из соот- ношения (9), условия равновесия 0k ik и закона Гука (8) следуют уравнения, которые описывают связь между упругими ( )iku r и пластическими ( )r дефор- мациями: ( ) ( )nm n mi iu r r , (14) ( ) 0iknm k nmu r . (15) Эти четыре уравнения (i = 1, 2) вместе с дополни- тельными физическими условиями на границе 2D кри- сталлического тела позволяют однозначно найти четыре компоненты тензора упругой дисторсии 11( ),u r 22 ( ),u r 12 ( )u r и 21( ),u r если распределение пластических дис- торсий описывается заданной вектор-функцией ( ).r Иногда вместо уравнений (14),(15) целесообразно использовать систему трех уравнений, определяющих три компоненты симметричного тензора упругих де- формаций 11( ),r 22 ( ),r 12 21( ) ( ).r r Учитывая (10), (11) и статические уравнения теории упругости (15), легко получить соотношения ( ) ( )sk nm s n km r r , (16) ( ) 0iknm k nm r . (17) Здесь для описания распределения пластических дис- торсий в 2D континууме использовано скалярное поле ( ) ( ) ( )P sk nm s n km nm n mr r r . (18) Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1373 Сравнивая (16) и (11), приходим к заключению, что при наличии пластических деформаций в 2D конти- нууме условие совместности для тензора упругих де- формаций ( )ik r нарушается в меру отличия от нуля скаляра ( ),r который для двумерной среды является аналогом так называемого тензора несовместности Кренера [11,14,16] в теории упругости трехмерной сплошной среды. В отсутствие пластической деформа- ции в 2D упругой среде ( ( ) 0)r полные деформации T ik и смещения T u совпадают с упругими ik и u, уравнение (16) превращается в уравнение совместно- сти (11) для компонент тензора ( ),ik r а поле упругих смещений ( )u r можно использовать для описания де- формированного состояния такой среды наряду с по- лями деформаций ( )ik r или дисторсий ( ).iku r Вместе с тем при заданном поле ( ),r как характеристике рас- пределения пластической деформаций в среде, соот- ношение (16) можно рассматривать как одно из урав- нений для компонент тензора ( ).ik r В бесконечно протяженной среде и при достаточно быстром обращении в нуль поля ( )r на бесконечно- сти общее решение системы уравнений (14),(15) можно записать с помощью тензора Грина ( )ijG r r для уравнений равновесия (15): его свойства и методы вы- числений обсуждаются в Приложении 2. Вычисления, позволяющие установить связь создаваемого дефекта- ми поля упругой дисторсии ( )iku r с векторным полем ( ),r приведены в Приложении 3. В результате полу- чена формула ( ) ( ) ( ) ik mi jpmn n p kju G dSr r r r . (19) В конечном итоге поле ( )r оказалось наиболее эф- фективной (удобной) характеристикой распределения дефектов в кристалле. Физический смысл этого поля и его вид для конкретных дефектов — отдельных дисло- каций, дислокационных ансамблей и краудионов — будут установлены в следующем разделе. 5. Дислокации и краудионы в упругом 2D континууме Рассмотренным в разд. 2 схемам образования дис- локации и краудиона в кристаллической решетке со- поставим геометрически аналогичные схемы в сплош- ной линейно-упругой 2D среде, используя хорошо известные рассуждения, принятые в классической трехмерной теории упругости при рассмотрении дис- локаций Вольтерра [11–17]. Напомним, что мы огра- ничимся только обсуждением неподвижных дефектов. 5.1. Дислокация как топологический дефект и сингулярный источник поля упругих деформаций Воспользуемся схемой, которая аналогична схеме образования прямолинейных краевых дислокаций в бесконечной трехмерной упругой среде и детально описана во многих монографиях [11–17], ее иллюстри- рует рис. 3. В сплошной упругой 2D среде удалим круг радиуса r0 с центром в точке (0, 0) и проведем разрез по линии L: ( x1 r0, x2 = 0). Переместим сторо- ну разреза L на вектор b = {b1, b2} по отношению к стороне ,L добавим или уберем материал (если это необходимо) и соединим (склеим) два берега разреза, восстановив непрерывность среды (рис. 3(а)). Под- черкнем, что операция склейки берегов разреза обес- печивает необратимость деформации среды после сня- тия деформирующих сил, в физике твердого тела такая деформация названа пластической. Аналогичная схема Рис. 3. Геометрические схемы введения дислокаций Вольтерра в 2D континуум: перемещение материала на вектор b под уг- лом к линии разреза L (а); перемещение материала на вектор b параллельно линии разреза L (б); схематическое изображение дислокационной точки с радиус-вектором dr (в), A — об- ласть, занимаемая 2D средой, b — вектор Бюргерса дислока- ции, C — контур интегрирования в формулах (22) и (25). В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1374 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 с более простой геометрией пластической деформации 2D среды показана на рис. 3(б): здесь относительное перемещение берегов разреза выполнено вдоль линии L и b = {b1, 0}. Важно отметить, что в описанной схеме образования дислокации место и даже форма линии разреза L выби- раются произвольно, а также предполагается, что после завершения операции (после склейки) физические свой- ства среды в этом месте ничем не отличаются от ее свойств в любом другом месте. В конечном итоге во- круг полости 0\| \| rr остается упругодеформированное состояние, которое можно описать тензорным полем упругих дисторсий ( )iku r — непрерывной функцией координат в области 0\| \| .rr Однако если выполнить предельный переход 0 0,r то мы получим деформи- рованное состояние с единственной особой точкой (точ- кой сингулярности) 0r . В механике упругого конти- нуума это состояние названо дислокацией Вольтерра, а соответствующая особая точка 0r — точкой (цент- ром) дислокации (в случае 3D среды получаем линию дислокации). Поскольку конфигурация поля упругих дисторсий ( )iku r вокруг дислокационной точки не за- висит от таких деталей схемы пластического деформи- рования, как место расположения и форма линии разре- за склейки L, то в качестве физических характеристик дислокации остаются только координата ее центра d r и вектор относительного смещения берегов разреза b (рис. 3(в)). При рассмотрении дислокации в кристаллических средах, даже если при этом используется модель упру- гого анизотропного континуума, возникает необходи- мость сохранять «память» об атомно-решеточной структуре реального кристалла. В физике кристаллов особое место занимают и играют важную роль дисло- кации с векторами b, направленными вдоль плотно- упакованных атомных рядов и совпадающими по ве- личине с минимальным периодом трансляций в этих рядах (дислокации Бюргерса). В случае 2D кристаллов аналогия между дислокациями Вольтерра и решеточ- ными дислокациями видна при сравнении рис. 1 и 3(б). В 2D кристалле решеточная дислокация возникает в результате незавершенного сдвига на период трансля- ции соседних фрагментов кристалла (рис. 1). В этом случае линия скольжения на рис. 1 эквивалентна линии разреза на рис. 3(б), а роль берегов L и L играют соседние ряды атомов. После операции сдвига на век- тор b = a1 они смыкаются между собой почти без на- рушения кристаллического порядка везде, кроме ядра дислокации — области с радиусом 0r b в месте оста- новки сдвига. При переходе к континуальному описа- нию 0( 0)r ядро превращается в точку дислокации. Роль естественной «склейки» после относительного перемещения берегов L и ,L которая обеспечивает необратимость деформации, играет межатомное взаи- модействие и устойчивость присущих кристаллу атом- ных конфигураций в окрестности линии скольжения. В физике решеточных дислокаций вектор b называется вектором Бюргерса, его величина и ориентация по от- ношению к осям симметрии кристалла полностью оп- ределяет распределение поля упругих деформаций во- круг точки дислокации. Для описания рассмотренной жесткой (заданной) пластической деформации 2D континуума (рис. 3) вве- дем вектор пластического смещения ( ),P u r который будем рассматривать как однозначную функцию коор- динат r точек недеформированной среды с заданным скачком на разрезе по линии L: 1 1 1 0 1 2( , 0) ( , 0) , { , }.P Px x x r b bu u b, – < b (20) Здесь 1( , 0)P xu и 1( , 0)P xu — предельные значе- ния векторного поля ( )P u r на линиях L и L соот- ветственно. Перемещению (20) соответствует тензор дисторсии ,P P ik i ku u для которого после предельно- го перехода 0 0r получим выражение 2 1 2( ) ( ) ( )P ik i ku b x xr , (21) где ( ) — единичная ступенчатая функция Хевисай- да. Легко видеть, что вектор b (в дальнейшем — век- тор Бюргерса дислокации) можно определить как кон- турный интеграл ( ) P i k ki C b dl u r . (22) Здесь С — произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в пространстве 2 вокруг дис- локационной точки (рис. 3(в)), а при обходе контура ограниченная им область остается слева от направле- ния движения (обход против направления движения часовой стрелки). Подставив (21) в (13) и выполнив дифференцирова- ние, легко получить формулу ( ) ( ),i ibr r использо- вание которой в уравнениях (14),(15) позволяет опи- сать упругие деформации 2D среды, создаваемые единичной дислокацией с центром в начале координат. В более общем случае, когда центр дислокации распо- ложен в произвольной точке с радиус-вектором ,d r соответствующие ей поля ( )r и ( )r в правых частях уравнений (14) и (16) приобретают вид ( ) ( ), ( ) b ( ).d d d d m nm nr b r –r r r –r (23) Первая из этих формул позволяет представить инте- гральное соотношение (22) в виде интеграла по облас- ти S, ограниченной контуром С: ( ) ,d d i i S dS b Sr r . (24) Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1375 Данное соотношение определяет физический смысл поля ( ) :r его можно рассматривать как локальную двумерную плотность вектора Бюргерса дислокаций. Для 2D кристалла такая плотность является векторной величиной, а в случае 3D кристалла аналогичную роль играет тензор второго ранга [13,14]. Полезно более детально обсудить связь тензоров пластической ( )P iku r и упругой ( )iku r дисторсий с вектором Бюргерса дислокации b с точки зрения топо- логии 2D среды и ее деформированного состояния. В силу однозначности и непрерывности поля полных смещений ( )T u r для любого замкнутого контура C выполняется тождество 0 . T T T k ki k k i i C C C dl u dl u du Его учет вместе соотношениями (9) и (22) позволяет получить интегральную связь между полем упругих дисторсий вокруг центра дислокации и ее вектором Бюргерса b: ( ) .k ki i C dl u br (25) В континуальной теории дислокаций в 3D кристал- лах [11–17] соотношения (22) и (25) часто используют в качестве исходного определения дислокации как спе- цифического топологического дефекта в кристалле. В случае 2D кристалла дислокацию можно определить как особую точку (рис. 3(в)) — сингулярный источник дальнодействующих полей упругих деформаций и на- пряжений, которые имеют специфическую пространст- венную конфигурацию, удовлетворяющую условию (25). «Мощность» такого источника задается вектором Бюргерса b, а его возможные значения определяются кристаллической структурой. Важно отметить, что век- тор b сохраняется при перемещениях дислокации в од- нородной кристаллической структуре: дислокация мо- жет зарождаться, исчезать или изменять вектор b только в реакциях с участием других дефектов кристалла, на- пример внешних или внутренних границ раздела, дру- гих дислокаций противоположного знака и т.п. В тер- минах топологии 2D среды точку дислокации можно интерпретировать как точку «прокола», нарушающую ее односвязность. Вектор b инвариантен относительно перемещений центра дислокации, а также непрерывных топологических преобразований контура интегрирова- ния вокруг дислокационной точки в соотношениях (22) и (25), при которых он не может быть стянут в точку без выхода за пределы 2D континуума. Эти свойства векто- ра b позволяют назвать его топологическим зарядом дислокационной точки, а поле ( )r — вектором дву- мерной плотности топологического заряда. Особые свойства дислокационной точки в упругом 2D континууме видны также из соотношения несовме- стности (16), если в нем поле ( ) ( )d r r задано фор- мулой (23): нарушение условия совместности для тен- зора упругих деформаций ( )ik r в точке d r r лишает смысла описание упругих деформаций в окрестности этой точки с помощью однозначного поля смещений ( )u r и представление (6) относительных деформаций в виде производных от этих смещений. Кроме того, использование в уравнениях (14) и (16) сингулярных правых частей неизбежно приводит и к сингулярному характеру упругих полей дислокации при .d r r На- пример, подстановка ( )d r из (23) в формулу (19) приводит к выражению для поля упругих дисторсий отдельной дислокации ( ) ( )d d ik im jpmn n p kju b Gr r r , (26) а производная тензора Грина имеет сингулярность 1\|d \| r r (см. Приложение 2). Во избежание недоразумений напомним, что сфор- мулированное выше заключение получено при описа- нии дислокации в рамках линейной теории упругости сплошной среды. Сингулярности создаваемых дисло- кациями полей деформаций исчезают при более стро- гом описании этих дефектов в рамках нелинейной ме- ханики кристаллов с последовательным учетом как атомно-решеточной структуры, так и существенно не- линейного характера межатомных взаимодействий в области ядра дислокации. Это заключение подтвержда- ется анализом дислокации в одномерном кристалле (мо- дель Френкеля–Конторовой) или прямолинейной дис- локации в трехмерном кристалле (модель Пайерлса– Набарро) [12,14,19–21]. 5.2. Дислокационные ансамбли и пластическая поляризация кристалла Физико-механические процессы, происходящие в ре- альных кристаллах макроскопических размеров, очень часто сопровождаются накоплением в них большого количества дислокаций с различными векторами Бюр- герса b ( — номер возможного значения). Типичный для 2D кристаллов пример такого процесса — дислока- ционное плавление [3], когда кристаллический порядок нарушается лавинообразным зарождением дислокаций и их двумерная плотность достигает значений порядка одной дислокационной точки на несколько элементар- ных ячеек. В таких ситуациях целесообразно усреднен- ное рассмотрение дислокационных ансамблей. При этом не обсуждается точное распределение упругих полей между отдельными дислокационными точками, а теория оперирует с физическими величинами, усредненными по малым областям кристалла. Эти малые области отож- дествляются с физическими точками для усредненных В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1376 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 полей, но предполагается, что в каждой из них сосредо- точено достаточно много дислокационных точек. Если в большом дислокационном ансамбле присут- ствует несколько групп однотипных дислокаций с век- торами Бюргерса b и с достаточно большими значе- ниями двумерной плотности дислокационных точек N , то при континуальном описании такого ансамбля в полевых уравнениях (14) следует использовать ус- редненные значения вектора плотности топологиче- ского заряда дислокаций ( ) ( )Nr b r . (27) При таком подходе вектор ( )r и плотности ( )N r рассматриваются как непрерывные функции коорди- нат, которые однозначно определяют распределение упругих дисторсий ( ),iku r согласно уравнениям (14), (15) или их решению (19). В качестве интегральной характеристики дислока- ционного ансамбля, который создает в кристалле рас- пределение топологического заряда ( ),r можно рас- сматривать суммарный вектор Бюргерса ( ) dSr B , (28) где интегрирование формально ведется по всему про- странству, но вектор ( )r отличен от нуля только в области, занятой ансамблем. Если для рассматриваемо- го ансамбля 0,B то на первый план выступает более детальное описание распределения топологического заряда дислокаций: его можно назвать дислокационной или пластической поляризацией [14]. В качестве инте- гральной характеристики такого распределения будем рассматривать тензор полного дислокационного момен- та ансамбля, определив его отношением ( ) ik i kD x dSr . (29) При описании деформированного состояния пла- стически поляризованного 2D кристалла целесообраз- но использовать алгоритм, разработанный в электро- динамике для описания электрической поляризации вещества [37]. Равенство полного топологического заряда B нулю в формуле (28) означает, что в занятой дислокационным ансамблем области кристалла его средняя плотность ( )r может быть представлена как дивергенция некоторого тензора: ( ) ( )i k kidr r , (30) но при этом он должен удовлетворять дополнительно- му условию ( ) 0ikd r в области среды вне ансамбля. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся теоремой (П1.3) в Приложении 1: 0 при ;i k ki k ki S S C dS dS d dl d C предполагается, что теорема применяется к области S с границей C при их расширении до бесконечности, где и ikd равны нулю. Аналогичные преобразова- ния после подстановки (30) в (29) приводят к соотно- шениям: in ( ) ik i n nk n i nk nkD dS x d dS x d dS d , ( )ik ikD dS d r . (31) Отсюда видно, что тензор ( )ikd r можно рассматривать как двумерную плотность дислокационной поляризации. Следует отметить, что соотношение (30) и условие обращения ikd в нуль вне области, занятой ансамблем дислокаций, не определяют этот тензор однозначно, так как к нему можно прибавить тензор ( ),kn n if r где ( )if r — произвольное дважды дифференцируемое векторное поле. Установление связи (31) с полным дислокационным моментом уточняет смысл тензора .ikd Он будет однозначно определен в следующем разделе, где введено понятие локальных (точечных) диполей, для которых тензор ( )ikd r приобретает смысл двумерной плотности дипольного момента (см. формулы (36) и (37)). Кроме того, для дислокационных ансамблей с 0B справедливы еще три соотношения, которые связыва- ют между собой распределения дислокационной поля- ризации ( )ikd r и пластической дисторсии u ( )P ik r в кристалле, а также полный дислокационный момент ikD ансамбля и соответствующую ему в кристалле полную пластическую дилатацию .PS Сравнив (30) с (13) и использовав приведенные в Приложении 1 свой- ства тензора ik , получим: ( ) ( ), ( ) ( ),P P ik in nk ik ni nkd u u dr r r r (32) ( ) P P nn nk nkS u dS Dr . (33) Специальный интерес вызывает простейший дисло- кационный ансамбль из двух дислокаций противопо- ложного знака — дислокационный диполь с плечом d и центром в точке с радиус-вектором D r ; для опреде- ленности будем считать, что вектор d направлен от отрицательной « » к положительной « » дислокации (рис. 4). Согласно соотношениям (23), (29) и (33), для дислокационного диполя вектор ( ),D i r полный мо- мент D ikD и пластическая дилатация PDS равны: i 1 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 2 D D D i br r r d r r d , (34) , D PD ik i k n nk kD d b S d b . (35) Отметим, что характеристики дислокационных ди- полей P ikD и PDS не зависят от расположения их цент- ров D r в 2D упругой среде. Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1377 5.3. Топологические дефекты кристаллической структуры дипольного типа Обсудим еще один вид точечных дефектов в 2D кристаллах. Эти дефекты имеют более сложную струк- туру и другие топологические свойства по сравнению с дислокациями, но для их описания можно использо- вать основные положения и результаты теории дисло- каций. В частности, к таким дефектам относятся и ин- тересующие нас краудионы. 5.3.1 Локальные дислокационные диполи. Рассмот- рим дислокационный диполь в 2D кристалле, состоя- щий из двух решеточных дислокаций противополож- ного знака, и будем считать, что плечо диполя имеет предельно малую длину \| \|d порядка параметра ре- шетки. Эта дислокационная пара существенно наруша- ет атомную структуру кристалла только в окрестности центра диполя D r в области с размерами порядка длины вектора Бюргерса \| \|b отдельной дислокации. Такой диполь имеет характерные свойства точечного дефекта и при переходе к континуальному описанию кристалла превращается в локализованный в точке D r источник упругого поля: назовем его локальным дис- локационным диполем. Двумерную плотность топологического заряда ди- поля (34) при малых значениях \| \| \| \|D d r r пред- ставим в виде разложения в ряд Тейлора по этому па- раметру и в первом приближении получим ( ) ( )D D i i k kb dr r r . (36) Сравнивая (36) с (30) и (35), приходим к заключению, что для локального диполя тензор двумерной плотно- сти поляризации ( ),D ikd r дипольный момент D ikD и пластическая дилатация PDS имеют вид ( ) ( ), , .D D D PD ik i k ik i k n nk kd d b D d b S d br r r (37) Таким образом, в континуальном приближении центр локального диполя ,D r как и дислокационная точка ,d r является сингулярным источником поля уп- ругих дисторсий ( ),D iku r его можно вычислить путем подстановки (36) в формулу (19). Это поле имеет спе- цифическую пространственную конфигурацию, она определяется заданием координат центра диполя D r и векторных параметров b и d. Если рассматривать ди- поль в кристаллической структуре, то оба вектора будут принимать только дискретный набор значений, связан- ных определенным образом с векторами элементарных трансляций a1 и a2. Кроме того, в однородной кристал- лической структуре параметры локального диполя D ikD и PDS являются инвариантами относительно переме- щений его центра .D r Принимая во внимание все пере- численные выше свойства локального дислокационного диполя, его можно рассматривать как еще один тип то- чечного топологического дефекта в 2D кристаллах со специфическими топологическими свойствами. Тогда параметры D ikD и PDS будут играть роль характеристик «мощности» этого дефекта как источника упругого поля и носителя пластических дисторсий, т.е. роль его мно- гокомпонентного топологического заряда. Аналогом соотношений (22) и (24), определяющих топологический заряд дислокации b, для локального диполя может служить формула, полученная с помо- щью (32) и (37): ( ) ( )PD PD D nn nk k n S S S u dS b d dSr r r , .D n nk kd b Sr (38) Она позволяет рассматривать в качестве одной из ком- понент топологического заряда локального диполя создаваемую им в кристалле полную пластическую дилатацию .PDS Знак этого параметра (знак диполя) определяется взаимной ориентацией векторов b и d: sin ,PD DS bd где угол D отсчитывается от d к b в положительном направлении (против часовой стрел- ки). При заданном векторе b угол D (0 2 )D удобно использовать для геометрической классифика- ции дислокационных диполей в 2D среде. Отметим, что углам D и D соответствуют диполи проти- воположных знаков. Специальный интерес представ- ляют два частных случая дипольных конфигураций: диполи с углами /2D и 3 /2D будем назы- вать ортогональными (рис 4(в),(г)), им соответствует пластическая дилатация (топологический заряд) PD DS bd и ;PD DS bd диполи с углами 0D и Рис. 4. Различные типы дислокационных диполей: диполь с произвольным направлением плеча d (а); коллинеарный ди- поль (б); два типа ортогональных диполей, эквивалентных краудиону ( , q = 1) (в) и антикраудиону ( , q = 1) (г). В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1378 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 D будем называть коллинеарными (рис 4(а),(б)), им соответствует 0.PDS Отдельного обсуждения требует вопрос об устой- чивости локальных дислокационных диполей в кри- сталлических структурах. Вообще говоря, пара дисло- каций противоположного знака с равными абсолют- ными значениями векторов Бюргерса неустойчива по отношению к процессам их аннигиляции. Это явление мы уже обсуждали в разд. 2: см. рис. 1, где показана конфигурация двух дислокаций противоположного знака на одной линии скольжения. Однако для некото- рых пар векторов b и d аннигиляция может оказаться затрудненной или даже невозможной в силу специфики атомного порядка и межатомного взаимодействия в кристаллах. Ниже рассмотрен конкретный пример ус- тойчивого локального диполя в кристаллической струк- туре, который эквивалентен краудиону. Здесь же отме- тим, что только устойчивые локальные дислокационные диполи можно рассматривать как самостоятельный вид точечных дефектов 2D кристалла. 5.3.2. Краудионы. Перейдем теперь к континуаль- ному описанию краудиона в 2D кристалле. На рис. 5 показана геометрическая схема Вольтерра образования краудиона в упругом 2D континууме, адекватная схеме его образования в атомно-решеточной кристалличе- ской структуре (рис. 2). Пусть в пространстве 2 сплошная упругая 2D среда занимает односвязную область A. Рассмотрим область AC A, ограниченную линиями L1, L2, L3. Исключим из среды два круга ра- диуса 0 r с центрами в точках (0, h/2) и (0, h/2) и про- ведем разрезы по линиям L1, L2, L3. Вначале перемес- тим линию 2L на вектор b = {b, 0} по отношению к линии 2 ,L а потом переместим на тот же вектор b всю область AC, ограниченную линиями 1 2 3, , .L L L В ре- зультате линии 2L и 2L точно совместятся. Далее со- единим (склеим) берега разрезов, восстановив непре- рывность среды. Для описания рассмотренной де- формации среды введем вектор пластического сме- щения ( ),P u r который будем считать однозначной функцией координат с заданным скачком на разрезах по линиям L1 и L3: 1 1 1 0( , /2 0) ( , /2 0) , – < ;P Px h x h x ru u b 1 1 1 0( , /2 0) ( , /2 0) – < .P Px h x h , x ru u b Здесь 1( , /2 0),P x hu 1( , /2 0),P x hu 1( , /2 0),P x hu 1( , /2 0)P x hu — предельные значения векторного поля ( )P u r на линиях 1 3,L L и 1 3,L L . Вычислим со- ответствующие ему компоненты тензора пластической дисторсии P P ik i ku u и, выполнив предельный пере- ход 0 0,r получим: 2 1 1 2 2( ) ( )[ ( /2) ( /2)]P ik i ku b x x h x hr . (39) Сравнив формулы (39) и (21), приходим к заключе- нию, что образованный нами в 2D континууме носи- тель пластической дисторсии в точности эквивалентен двум дислокациям Вольтерра с противоположными знаками топологического заряда, т.е. ортогональному дислокационному диполю с вектором b = {b, 0} и пле- чом {0, }hd (рис. 4(в)). Этот диполь приобретает свойства точечного дефекта краудионного типа в ре- шетке 2D кристалла, если произвести предельный пе- реход от протяженного диполя к точечному и его па- раметрам придать смысл кристаллогеометрических параметров краудиона (см. разд. 2.2 и рис. 2): – область AC между линиями разреза на рис. 5 отож- дествить с фрагментом атомного ряда, в котором про- изошел пластический сдвиг (на рис. 2 это ряд 3 или 6), тогда параметр h приобретает смысл расстояния между соседними рядами; – центр диполя D r считать центром краудиона ,c r а в качестве вектора b выбрать вектор элементарных трансляций b = be = a1 в одном из плотноупакованных атомных рядов (рис. 2); – в качестве топологического заряда (полной пла- стической дилатации) диполя–краудиона выберем па- раметр 0 ,PcS qS где q = 1 — знак краудиона, а 0S bh — элементарный двумерный «объем» в ре- шетке 2D кристалла. Изменение (см. рис. 5) направления смещения b на противоположное b (см. рис. 5)приведет в конечном итоге к диполю, который эквивалентен антикраудиону (рис. 4(г)). Таким образом, решеточный краудион в 2D кри- сталле, как носитель пластической и источник упругой Рис. 5. Геометрическая схема введения краудиона в 2D кон- тинуум. Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1379 деформации, при континуальном описании эквивален- тен локальному дислокационному диполю, для которо- го вектор плотности топологического заряда ( )c r и тензор плотности пластической поляризации ( )c ikd r описываются формулами ( ) D ( ), ( ) D ( ),c c c c c c i ki k ik ikdr r r r r r (40) 0 0e e ,c Pc ik in n kD qS S qS . (41) Согласно предложенной в разд. 2.2 и на рис. 2 схеме, такой диполь является топологически устойчивым де- фектом структуры 2D кристалла, ему соответствует то- пологический заряд PcS и сингулярное в точке c r поле упругих дисторсий ( ).c iku r Это поле легко получить путем подстановки в формулу (19) векторного поля ( )c r из (40) и простой операции интегрирования с использованием теоремы (П1.2) из Приложения 1: ( ) D ( )c c c ik im jpmn sn p s kju Gr r r . (42) Отсюда видно, что сингулярность поля ( )c iku r опреде- ляется производными второго порядка тензора Грина и имеет вид 2\| \| .c r r Такая нефизическая особенность поля дисторсий в точке c r исчезает при более строгом описании ядра краудиона в рамках нелинейной меха- ники кристаллической решетки, для краудиона в 3D кристалле это показано в работе [28]. При наличии в 2D кристалле большого количества (ансамбля) краудионов, принадлежащих различным линиям скольжения (плотноупакованным атомным рядам), целесообразно ввести среднюю двумерную плотность c ( )N r однотипных краудионных точек, где символ «c» обозначает конкретный набор параметров e, S0, и q. Непрерывному распределению краудионных точек c ( )N r соответствуют усредненные значения тензора пластической дисторсии ( )P iku r и тензора двумерной плотности пластической поляризации ( )ikd r : ( ) ( ), ( ) ( )c c P c c ik ik ik ni nk c c d D N u D Nr r r r . (43) Для полного описания деформированного состоя- ния кристалла, создаваемого ансамблем краудионов, необходимо использовать вместе с соотношениями (43) также систему полевых уравнений, которые выте- кают из уравнений (14), (15) и (30): [ ( ) ( )] 0n nm mi niu dr r , (44) ( ) 0iknm k nmu r . (45) При заданных тензорах ,c ikD плотностях ( )cN r и граничных условиях уравнения (44),(45) однозначно определяют поле упругих дисторсий ( )iku r в кристал- ле с краудионами. Отметим, что для краудионов пря- мой физический смысл имеет тензорное поле ( )ikd r — как характеристика их топологического заряда. По- скольку полю ( )ikd r можно формально сопоставить поле ( ) ( ),i k kidr r а уравнения (44),(45) фор- мально эквивалентны уравнениям (14),(15), то решение интересующей нас задачи дает формула (19), если в ней под знаком интеграла перейти от поля ( )r к ( ).ikd r Такой переход возможен, если для рассматри- ваемой системы краудионов выполняется граничное условие ( ) 0ikd r при \| \| .r После простых пре- образований с использованием теоремы (П1.3) с кон- туром интегрирования C получим ( ) ( ) ( ) ik mi jpmn sn s p kju d G dSr r r r . (46) Здесь уместно еще раз напомнить, что эффектив- ность использования формул (42) и (46) для описания упругих полей краудионов в анизотропных 2D кри- сталлах определяется возможностью вычисления тен- зора Грина ( )ikG r для уравнений равновесия (см. Приложение 2). 6. Заключение В данном исследовании выполнен начальный этап теоретического описания дефектов дислокационного и краудионного типов в 2D кристаллах. Дислокации и краудионы рассмотрены с единых позиций как носите- ли пластической и источники упругой дисторсий в двумерных кристаллических структурах. Вместе с тем установлены и детально проанализированы различия создаваемых ими структурных искажений с точки зре- ния топологии и локальной геометрии кристалличе- ской среды. Рассмотрены простые атомно-решеточные модели дефектов обоих типов и сформулирован алго- ритм перехода к их описанию в рамках континуальной механики 2D кристалла как строго двумерного упруго- анизотропного континуума. В целом интересующая нас проблема весьма об- ширна и ее полное решение далеко выходит за рамки отдельной работы. Поэтому мы ограничились анали- зом общих свойств статических дефектов и выводом базовых уравнений, описывающих деформированное состояние кристалла с единичными дефектами и их ансамблями. Получены также общие решения этих уравнений, описывающие упругие деформации при заданных распределениях дислокаций и краудионов в среде с произвольной анизотропией. Во второй части публикации предполагается рассмотреть наиболее простой тип 2D кристалла, обладающего упругоизо- тропными свойствами, для которого поля деформаций и напряжений, создаваемые дефектами, можно полу- чить в явном виде. В дальнейшем мы также намерены перейти к разработке динамической теории дислока- ций и краудионов в 2D кристаллах. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1380 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 Приложение 1 Единичные тензоры и интегральные теоремы в двумерном пространстве Континуальное описание механических свойств 2D кристаллов и структурных дефектов в них базируется на стандартном аппарате математической физики, но его формулировка и применение в пространстве 2 имеет определенную специфику. В связи с этим целе- сообразно напомнить и уточнить несколько математи- ческих понятий и теорем, используя принятые в дан- ной работе обозначения (см. разд. 3). Вначале рассмотрим два единичных тензора второ- го ранга ik и ik (i, k = 1, 2), а также связывающее их соотношение: 1 0 0 1 , , , 0 1 1 0 ik ik in kn ik (П1.1) Символ Кронекера ik обозначает единичный тензор, ik — единичный антисимметричный относительный псевдотензор в пространстве 2 [39,39]. Приведем также три формулировки теоремы, свя- зывающей интегралы по области S в пространстве 2 с интегралами по ее границе C [40]: ( ) ( ) ( ) , i i S C dS f dl fr r r (П1.2) ( ) ( ) ( ) , n n n n S C dS f dl fr r r (П1.3) ( ) ( ) ( )nm n m nm n m S C dS f dl fr r r ( ) ( ). m m C dl fr r (П1.4) Здесь область S предполагается пространственно одно- связной, а контур C замкнутым и регулярным. Симво- лами ( )r и ( )r обозначены соответственно единич- ные векторы внешней нормали и касательной к контуру C в точке Cr , которые при обходе контура против часовой стрелки связаны соотношением i ni n или .i in n Подынтегральные функции предпола- гаются однозначными и непрерывными вместе с произ- водными в области S и на контуре C. Все теоремы оста- ются справедливыми и для неограниченной области (S и C ). Преобразования интегралов по области S в ин- тегралы по контуру C в (П1.2) (П1.4) сводятся к фор- мальной замене n ndS dl .nk kdl При решении ряда задач континуальной теории де- фектов в 2D кристаллах весьма полезным оказывается фундаментальное соотношение двумерной теории по- тенциала (в пространстве 2 ) [41–43], которое в на- ших обозначениях имеет вид ln 2 ( )n n r r r r . (П1.5) Приложение 2 Тензор Грина для уравнений равновесия бесконечной двумерной упругой среды Рассмотрим статические уравнения теории упруго- сти 2D среды для смещений ( )u r в плоскости среды при наличии двумерной плотности ( )F r продольных внешних сил: 0ijmn j m n iu F . (П2.1) Согласно общей теории линейных уравнений мате- матической физики [41–43], решение этих уравнений можно представить в виде свертки ( ) ( ) ( ) i ik ku G F dSr r r r . (П2.2) Тензорную функцию ( )ikG R ( )R r r принято называть фундаментальным решением (функцией влияния) тензорного оператора ( ) ijmn j mL , она принадлежит классу обобщенных функций в простран- стве 2 и удовлетворяет уравнению ( ) 0( )ijmn j m np ipG R R . (П2.3) Из множества фундаментальных решений, соответ- ствующих различным классам функций, для которых уравнение (П2.1) разрешимо в виде свертки (П2.2), рассмотрим только фундаментальное решение медлен- ного роста [41–43], которое в механике упругой среды имеет простой физический смысл. Будем называть это решение ( )ikG R тензором Грина для бесконечной уп- ругой 2D среды и в соответствии с соотношениями (П2.1) (П2.3) считать, что ( )ikG R является i–й компо- нентой вектора смещений, вызванного единичной со- средоточенной силой, приложенной в точке r r и направленной вдоль оси xk. При построении решения уравнений (П2.3) в классе обобщенных функций медленного роста, как известно в теории обобщенных функций, можно использовать метод преобразования Фурье: G ( ) G ( )ei ik ik dSk R k R , 2G ( ) (2 ) G ( )e i ik ik dSk R R k . (П2.4) Здесь ikG ( )k — фурье-образ тензора Грина в двумер- ном обратном пространстве волновых чисел 1 2{ , },k kk 1 2 ,dS dk dk а интегрирование произво- дится по бесконечным k и R пространствам соответст- Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1381 венно. Функция ( )R является простейшим примером обобщенной функции, и для нее преобразование Фурье имеет вид 2( ) ( ) e 1, ( ) (2 ) e .i idS dSk R k R k R R (П2.5) Применив преобразования (П2.4), (П2.5) к уравне- ниям (П2.3), получим систему алгебраических уравне- ний относительно ( ) :ikG k ( ) ( ) , ( )in np ip in ijkn j kG k kk k k . (П2.6) Используя стандартные методы линейной алгебры при 0,k можно представить решение уравнений (П2.6) в виде ( ) ( ) ( ) ( ) nn ik ik ikG D k k k k , (П2.7) 11 22 12 21( ) det [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )inD k k k k k k . Функция (П2.7) не является локально интегрируемой в 2 , поэтому возникает задача о построении регуляри- зованного в смысле обобщенных функций решения уравнений (П2.6). Такое решение может быть построе- но для каждого конкретного тензора ( ).in k Обозна- чим это решение ( ) ( ) ( ) reg ( ) nn ik ik ikG D k k k k . (П2.8) Из формулы ( )in ijkn j kk kk видно, что ( )in k ( ),in k а при учете свойств симметрии тензора мо- дулей упругости (5) следует свойство симметрии ( ) ( ).in nik k Поэтому после подстановки (П2.8) в (П2.4) выражение для тензора Грина приобретает вид 2 1 G ( ) Re G ( )e 4 i ik ik dSk R R k . 2 ( ) ( )1 cos( ) reg ( )4 nn ik ik dS D k k k R k . (П2.9) Отсюда видно, что тензор ( )ikG R симметричен от- носительно перестановки координатных индексов и является вещественной четной функцией .R r r Кроме того, непосредственно из уравнения (П2.3) сле- дует, что частные производные n-го порядка от ( )ikG R являются однородными функциями степени n координат ,i i iX x x и стремятся к нулю при \| \|R R как .nR Эту совокупность свойств тен- зора ( )ikG R представим соотношениями ( ) ( ), ( ) ( )ik ki ik ikG G G GR R R R , ... ( ) \| 1, 2,..\| ., n n i k mp nG R R (П2.10) Даже в тех случаях, когда для кристаллов с тем или иным типом анизотропии упругих свойств вычислить интеграл в (П2.9) аналитическими методами не удает- ся, соотношения (П2.10) оказываются достаточно ин- формативными и полезными для качественного описа- ния различных видов деформированного состояния 2D кристаллов. Явный вид зависимости тензора ( )ikG R от коорди- нат 1 2{ , }X XR сравнительно легко установить для упругоизотропной среды, свойствами которой облада- ют 2D кристаллы, имеющие плоскую группу симмет- рии p6mm [4–6]. Для них упругие свойства характери- зуются двумя коэффициентами Ламэ и , а тензоры ijkn и ( )ikG R можно представить в виде ( )ijkn ij kn ik jn in jk , 2 2 4 e1 e ( ) . 24 ii i k ik ik k k G dS dS k k k Rk R R (П2.11) При вычислении интегралов в (П2.11) воспользуем- ся соотношениями (П1.5) и (П2.5). Из них можно по- лучить несколько равенств, справедливость которых легко проверить прямым дифференцированием: 2 2 4 e e 2 ln , (ln 1), 2 i i R dS R dS R k k k R k R 2 4 e [ (ln 1)] 2 i i k i k k k dS R R k k R . (П2.12) Подставив выражения (П2.12) в (П2.11), выполнив дифференцирование и исключив постоянные, кото- рые являются решением однородного уравнения ( ) 0,ijmn j m npG R получаем явный вид тензора Грина уравнений равновесия для бесконечной упруго- изотропной 2D среды 2 3 ( ) ln 4 ( 2 ) i к ik ik X X G R R R . (П2.13) Приложение 3 Вычисление тензора упругой дисторсии при заданном поле пластической дисторсии в 2D кристалле с произвольной анизотропией Пусть в кристалле с произвольной анизотропией за- дано распределение пластических дисторсий ( )P iku r и связанное с ним соотношением (13) векторное поле ( ).r В разд. 5 показано, что именно это поле целесо- образно использовать для характеристики дислокаци- онной деформации: в этом случае оно имеет простой физический смысл плотности топологического заряда В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 1382 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 дислокаций и, согласно уравнениям (13), (14), опреде- ляет тензор упругих дисторсий ( ).iku r Предположим, что в рассматриваемой нами бесконечно протяженной среде поле ( )r определяет тензорное поле упругих дисторсий ( )iku r на классе функций, которые являют- ся однозначными и непрерывными вместе с первыми производными и обращаются в нуль при .r Счи- таем также известным тензор Грина ( )ikG r статиче- ских уравнений равновесия (П2.1) данной анизотроп- ной среды. Используя свойства дельта-функции и символа Кронекера, запишем равенство ( ) ( ) ( ) ik nk inu u dSr r – r r , (П3.1) где интегрирование выполняется по всему пространст- ву 2. Внесем под знак интеграла в (П3.1) тензор Грина ( )ikG r и поле ( ).r Это можно сделать, используя уравнения (II.3) для ( )ikG r и соотношение (14), из ко- торых следуют равенства ( ) ( )nk jpmn m p kjGr – r r r , ( ) ( ) ( )m in mi n i mnu ur r r . (П3.2) Подставка выражений (П3.2) в правую часть (П3.1) и простые преобразования приводят к соотношению ( ) [ ( ) ( )] +ik jpmn m p kj inu G u dSr r r r + ( ) ( ) jpmn p kj i mnG u dSr r r + ( ) ( ) .mi jpmn p kj nG dSr r r (П3.3) После использования преобразования ( )p kj i mn i p kj mnG u G u ( )p i kj mn i kj p mnG u G u соотношение (П3.3) приобретает вид ( ) [ ( ) ( )] +{ik jpmn m p kj inu G u dSr r r r + [ ( ) ( )] i p kj mnG u dSr r r [ ( ) ( )] +}p i kj mnG u dSr r r + ( ) ( ) jpmn i kj p mnG u dSr r r ( ) ( ) + mi jpmn p kj nG dSr r r . (П3.4) Первые три интеграла в (П3.4), согласно теореме (П1.3), преобразуются в интегралы по замкнутому бесконечно удаленному контуру в пространстве 2 и обращаются в нуль в силу предполагаемого асимпто- тического обращения в нуль компонент тензора ( ).iku r Равен нулю также четвертый интеграл в (П3.4) в силу справедливости уравнения равновесия (14) ( ( ) 0).jpmn p mnu r Таким образом, приходим к формуле, которая позволяет вычислить компоненты тензора упругих дисторсий ( )iku r при заданном рас- пределении плотности топологического заряда дисло- каций ( ),r если считать известным тензор Грина ( ) :ikG r ( ) ( ) ( ) ik mi jpmn n p kju G dSr r r r . (П3.5) Для существования интеграла в (П3.5) требуется, чтобы вектор ( )r обращался в нуль на бесконечности быстрее, чем r –1 . 1. А.М. Косевич, Теория кристаллической решетки (физи- ческая механика кристаллов), Вища школа, Изд-во ХГУ, Харьков (1988). 2. А.М. Косевич, Физическая механика реальных кристал- лов, Наукова думка, Киев (1981). 3. И.Ф. Люксютов, А.Г. Наумовец, В.Л. Покровский, Дву- мерные кристаллы, Наукова думка, Киев (1988). 4. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская, Основы кристал- лофизики, Наука, Москва (1979). 5. А. Келли, Г. Гровс, Кристаллография и дефекты в крис- таллах, Мир, Москва (1974). 6. Р.В. Галиулин, Кристаллографическая геометрия, Наука, Москва (1984). 7. V.P. Gusynin, V.A. Miransky, S.G. Sharapov and I.A. Shovkovy, Fiz. Nizk. Temp 34, 993 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 778 (2008)]. 8. Ю.П. Монарха, В.Е. Сивоконь, ФНТ 38, 1355 (2012) [Low Temp. Phys. 38, 1067 (2012)]. 9. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 39, 690 (2013) [Low Temp. Phys. 39, 534 (2013)]. 10. Ж. Фридель, Дислокации, Мир, Москва (1967). 11. Дж. Эшелби, Континуальная теория дислокаций, Изд-во иност. лит., Москва (1963). 12. Дж. Хирт, И. Лоте, Теория дислокаций, Атомиздат, Москва (1972). 13. Р. Де Вит, Континуальная теория дисклинаций, Мир, Москва (1977). 14. А.М. Косевич, Дислокации в теории упругости, Наукова Думка, Киев (1978). 15. В.Л. Инденбом, В.И. Альшиц, В.М. Чернов, в кн.: Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ, Наука, Ленинград (1980), с. 23. 16. К. Теодосиу, Упругие модели дефектов в кристаллах, Мир, Москва (1985). 17. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости, Наука, Москва (1965). 18. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Кристаллография 54, № 6, 1034 (2009). 19. В.Л. Инденбом, Кристаллография 3, Вып. 2, 197 (1958). Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1383 20. J. Kratochvil and V.L. Indenbom, Czech. J. Phys. B 13, 814 (1963). 21. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, Введение в нелинейную физическую механику, Наукова думка, Киев (1989). 22. Я.И. Френкель, Введение в теорию металлов, Наука, Ленинград (1972). 23. O.M. Braun and Yu.S. Kivshar, Phys. Rep. 306, No 1–2 (1998). 24. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, Теория динамического краудиона в трехмерной сильно анизотропной среде. В кн.: Динамика дислокаций, Наукова думка, Киев (1975), с. 275. 25. A.S. Kovalev, A.D. Kondratyuk, A.M. Kosevich, and A.I. Landau, Phys. Rev. B 48, 4122 (1993). 26. A.S. Kovalev, A.D. Kondratyuk, A.M. Kosevich, and A.I. Landau, Phys. Status Solidi B 177, 117 (1993). 27. A.I. Landau, A.S. Kovalev, and A.D. Kondratyuk, Phys. Status Solidi B 179, 373 (1993). 28. В.Д. Нацик, Е.И. Назаренко, ФНТ 26, 283 (2000) [Low Temp. Phys. 26, 210 (2000)]. 29. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко, ФНТ 27, 316 (2001) [Low Temp. Phys. 27, 233 (2001)]. 30. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко, ФНТ 27, 1295 (2001) [Low Temp. Phys. 27, 958 (2001)]. 31. A. Seeger and E. Mann, J. Phys. Chem. Solids 12, 326 (1960). 32. R.A. Johnson and E. Brown, Phys. Rev. 127, 446 (1962). 33. R.A. Johnson and E. Brown, Phys. Rev. 134, A1329 (1964). 34. М.П. Жетбаева, В.Л. Инденбом, В.В. Кирсанов, В.М. Чернов, Письма в ЖТФ 5, 1157 (1979). 35. V.M. Agranovich and V.V. Kirsanov, Production of Radiation defects by Collision Cascades in Metals. In.: Physics of Radiation Effects in Crystals. R.A. Johnston and A.N. Orlov. (eds.) Amsterdam: Elsevier Science Publishers (1986), P. 117. 36. А.И. Лурье, Теория упругости, Наука, Москва (1970). 37. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва (1982). 38. Ф.И. Федоров, Теория упругих волн в кристаллах, Наука, Москва (1965). 39. Б.Е. Победря, Лекции по тензорному анализу, Изд-во Моск. ун-та, Москва (1986). 40. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, Наука, Москва (1970). 41. И.М. Гельфанд, Г.И. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Гос. изд-во физ.-мат. лит., Москва (1959). 42. В.С. Владимиров, Обобщенные функции в математи- ческой физике, Наука, Москва (1976). 43. В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, Наука, Москва (1988). Dislocations and crowdions in two-dimensional crystals. Part 1. Atomic lattice models and continual description of the above defects in an elastic anisotropic 2D medium V.D. Natsik and S.N. Smirnov A successive continual description of dislocations and crowdions as intrinsic structure defects in 2D crystals is proposed. The both types of defects have been studied within the framework of a unified ap- proach: the crystal is considered as a strictly two- dimensional elastic anisotropic medium and the de- fects as point carriers of plastic deformation and sin- gular sources of elastic deformation fields, each being characterized by crystal geometric and topological properties. The continual description is preceded by the discussion of simple atomic lattice schemes illus- trate the microscopic structure of the defects. Each type of the defects is related to the plastic distortion tensor which correlates with its crystal geometric characteristics. Based on the linear theory of elasticity of the 2D medium, equations are derived that deter- mine the distribution of elastic fields round the centers of unit defects as well as for continuous distribution of defects in the crystal. The general solutions of these equations for fixed dislocations and crowdions in an infinitely extended elastic anisotropic 2D continuum are obtained. PACS: 46.25.–y Static elasticity; 61.72.Bb Theories and models of crystal de- fects; 61.72.J– Point defects and defect clusters; 61.72.Lk Linear defects: dislocations, disclinations. Keywords: two-dimensional crystals, dislocations, crowdions, theory of elasticity, deformation field, top- ological charge.

Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть I: Атомно-решеточные модели и континуальное описание этих дефектов в упругой анизотропной 2D среде

Institution

Ähnliche Einträge