Few-particle eigenstates in the Yukawa model
Розглядається переформулювання моделі Юкави, у якій ферміони взаємодіють через посередництво (масивного або безмасового) скалярного поля. За допомогою коваріянтних функцій Ґріна поле, що переносить взаємодію, виражено у термінах ферміонних полів. Результуючий гамільтоніян теорії містить член, що...
Збережено в:
Дата: | 1998 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | English |
Опубліковано: |
Інститут фізики конденсованих систем НАН України
1998
|
Назва видання: | Condensed Matter Physics |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119797 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Few-particle eigenstates in the Yukawa model / J. Darewych // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 593-604. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-119797 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1197972017-06-10T03:02:52Z Few-particle eigenstates in the Yukawa model Darewych, J. Розглядається переформулювання моделі Юкави, у якій ферміони взаємодіють через посередництво (масивного або безмасового) скалярного поля. За допомогою коваріянтних функцій Ґріна поле, що переносить взаємодію, виражено у термінах ферміонних полів. Результуючий гамільтоніян теорії містить член, що описує взаємодію, у який явно входить пропагатор поля — носія взаємодії. Показано, що коли можна знехтувати процесами, що включають випромінювання фізичних квантів поля-носія, то з використанням нестандартного означення вакуумного стану можна отримати у рамках канонічного одночасового формалізму точні власні стани результуючого гамільтоніяну для декількох ферміонів. Ці власні стани приводять до двота тричастинкових рівнянь Діракового типу із скалярними взаємодіями. Числовим розв’язуванням рівняння на власні значення отримано двоферміонні зв’язані стани для J = 0 . Проведено порівняння із стандартним розглядом цієї моделі. We consider a reformulation of the Yukawa model, in which fermions interact via a mediating (massive or massless) scalar field. Covariant Green functions are used express the mediating field in terms of the fermion fields. The resulting Hamiltonian of the theory has an interaction term in which the propagator of the mediating field appears directly. We show that if processes involving emission of physical mediating field quanta can be ignored and an unconventional empty vacuum is used, then exact few- fermion eigenstates of the resulting truncated Hamiltonian can be obtained in the canonical equal-time formalism. These eigenstates lead to two- and three-body Dirac-like equations with scalar interactions. Two-fermion bound states are obtained by the numerical solution of the eigenvalue equation for J = 0 states. Comparison is made with conventional treatments of this model. 1998 Article Few-particle eigenstates in the Yukawa model / J. Darewych // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 593-604. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. 1607-324X DOI:10.5488/CMP.1.3.593 PACS: 11.10.Qr, 11.10.st http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119797 en Condensed Matter Physics Інститут фізики конденсованих систем НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
description |
Розглядається переформулювання моделі Юкави, у якій ферміони
взаємодіють через посередництво (масивного або безмасового)
скалярного поля. За допомогою коваріянтних функцій Ґріна поле, що
переносить взаємодію, виражено у термінах ферміонних полів. Результуючий гамільтоніян теорії містить член, що описує взаємодію, у
який явно входить пропагатор поля — носія взаємодії. Показано, що
коли можна знехтувати процесами, що включають випромінювання фізичних квантів поля-носія, то з використанням нестандартного
означення вакуумного стану можна отримати у рамках канонічного
одночасового формалізму точні власні стани результуючого гамільтоніяну для декількох ферміонів. Ці власні стани приводять до двота тричастинкових рівнянь Діракового типу із скалярними взаємодіями. Числовим розв’язуванням рівняння на власні значення отримано двоферміонні зв’язані стани для J = 0 . Проведено порівняння із
стандартним розглядом цієї моделі. |
format |
Article |
author |
Darewych, J. |
spellingShingle |
Darewych, J. Few-particle eigenstates in the Yukawa model Condensed Matter Physics |
author_facet |
Darewych, J. |
author_sort |
Darewych, J. |
title |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model |
title_short |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model |
title_full |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model |
title_fullStr |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model |
title_full_unstemmed |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model |
title_sort |
few-particle eigenstates in the yukawa model |
publisher |
Інститут фізики конденсованих систем НАН України |
publishDate |
1998 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/119797 |
citation_txt |
Few-particle eigenstates in the Yukawa model / J. Darewych // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 593-604. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. |
series |
Condensed Matter Physics |
work_keys_str_mv |
AT darewychj fewparticleeigenstatesintheyukawamodel |
first_indexed |
2025-07-08T16:37:23Z |
last_indexed |
2025-07-08T16:37:23Z |
_version_ |
1837097438937088000 |
fulltext |
Condensed Matter Physics, 1998, Vol. 1, No. 3(15), p. 593–604
Few-particle eigenstates in the Yukawa
model
J.Darewych
Department of Physics and Astronomy, York University
Toronto, Ontario, M3J 1P3, Canada
Received February 13, 1998
We consider a reformulation of the Yukawa model, in which fermions inter-
act via a mediating (massive or massless) scalar field. Covariant Green
functions are used express the mediating field in terms of the fermion
fields. The resulting Hamiltonian of the theory has an interaction term in
which the propagator of the mediating field appears directly. We show that
if processes involving emission of physical mediating field quanta can be
ignored and an unconventional empty vacuum is used, then exact few-
fermion eigenstates of the resulting truncated Hamiltonian can be obtained
in the canonical equal-time formalism. These eigenstates lead to two- and
three-body Dirac-like equations with scalar interactions. Two-fermion bo-
und states are obtained by the numerical solution of the eigenvalue equa-
tion for
�����
states. Comparison is made with conventional treatments of
this model.
Key words: few-fermion systems, Yukawa model, mass spectrum
PACS: 11.10.Qr, 11.10.st
1. Introduction��� ��
���
�
���������
���
����������������! �"���#��$%��� ��&!'(
�$)��' �+*(�"�� %��� �"��
-,/.10324�65#����
7�6� ���8��:9(
����7�-�;��'<�����;$ �#��
�$>=?�@�A
��B�-���"$> �C�6$EDGFH$>��� ���JIK
�I?��
7�L����= �8
���$>�:9(
�����ME��� �;' N;�%' $!O��
-��� �! ��9EM�������O1IK
�
-�����"���P�"��N;�"$ ���8
����"�Q��$R
S���! �B*(�" T����
��U�;�#��� �WVX'<Y�
���
S���! �"����$�6� ���8�Z����
������;$ �3��$)����
8
�����[<�\
�
����" �\
�����$ N��-��
��\
�
3*(�"�� ED]��� �^���! �"�_�����;�4��$)����
��"����=?�:O��
�' �-�7VX'<Y�
���
��"�;'<I(����$ N;�J
�
��7
��"����[�
�$)��������� �^&!'(
�
-Y`Oba3��N;N;�c��$)����
8
��������;$Z�-�"������
J�;�4��� ����8
�$ (
�
� d���! �"�eDL��� �fVX'<Y�
���
g���! �"�c�(
��h
����-�g=?�"�"$T' �-�" i
��j
>I
��������k,!I?�W�;�J��� �24��� �"��
��������l �"�-��
��BI �����;$Z�;�4��$)����
�$`' �"���"�;$Z��$)����
8
��������;$ �"ME
�$ WN;�"$ ��
8
�����m�
������;$ �c���(
���
����-��"�;$)�8
���$P
�[)�"������
�MnI(�-�"' �;�-��
��\
�
�M]������D?=?�;�-�;$P�:9 �8�(
�$ N;��ME�"�;$)����$`' �@����=?�^' �-�"��' �o��$Z$`'!O�"����
�
AI(�),<�-���"�"D��� �lVX'<Y�
���
����! �"�_�6�B���P
��-��
��\
�
�=?�;�-�;$Z�:9 �8�(
�$ N;�@���3=K
��-�" P�;$W��� �^p_
�N�
8
�$ N;�\
�$
qr J.Darewych 593
J.Darewychs t"u v-wBxky>zb{^|i}L|�~��
� |��� � �K� �
� z��n�]z�w"�(��� �3�%� ��� z��n� �%� � � �
� z��n� � ~� �;� � z��n�4� � � z��n� � ~�n�?� � � z��n�:��zH~��
�6� t���tJ��w�vXx � t�u` ¡l¢?t���£;¤G¤�t���¡�w�£;u�xky!¥?t"v"¦ § � t�¨"£��-��t"v�¥?£;u s w�u ©@¨"ª\«�v-v-w�¨�«�ªEt"¬! («�x�w�£;u vL£;¤¡�£�x�w�£;uh«���tJx � t#�®�wB�8«�¨Jt"¬! («�x�w�£;u v"¯z�wB�(��� �3�>� � � �
� z��n�o| � ��� z��n� �
� z��n�:� z � �w�u �6� w�¨ � x � t�¢?£;v-£;uh°(t"ª�sjv-t��-±)t"v6«�v6«l¥?£�x�t"u)x�w\«�ªe²(«�u shx � tJ³Jª�t"w�u`´ µ�£���s £;uQt"¬! («�x�w�£;uh¤�£��x � tJ¡�t"s w\«�x�w�u ©^¢?£;v-£;uj°(t"ª�sE² � � �<� � z��n�]¶ �?� � z��n�o|T·Kz��n�:� ze¸)�w�u �6� w�¨ � x � t#v-£; <��¨"t#s t"u v-wBxkyhw�vA¥ ��£C±<w�s t"sj¢`y�x � tJ¤�t���¡�w�£;uh°(t"ª�s v"¯
·Kz��n�o|¹�� � �K� �
�
�
� z��n� �
� z��n�:º z�»`�
¼ vLwBxLw�v � t"ª�ªK½<u £ � u�¤\��£;¡�x � t�t"ª�t"¨�x-��£;¡�«�©;u t�x�w�¨Ax � t"£��-yZ¾¿~;² ��À ²`t"¬! («�x�w�£;uZze¸)� � «�vLx � t¤�£���¡�«�ªEv-£;ª� <x�w�£;u � z��n�o| �]Á z��n�]¶ÃÂÅÄfz�� � � ÆB��·Kz�� ÆB�Hs<Ç�� Æ\� z1È;�
�6� t���tJÄfz�� � � Æ �Éw�v�«@µ3��t"t"uh¤� u ¨�x�w�£;u>z�£��A«7¢?£;v-£;u�¥ ��£�¥K«�©)«�x�£���w�u�x � t#Ê3Ë4§/x�t���¡�w�u £;ª¿Ì£;©�y(�:²<s t�°(u t"sf¢`y � � �<�;Äfz�� � � ÆB�4|RÍ�Ç�z�� � � ÆB�:� zeÎ)�«�u s �]Á z��n�Ïw�v�«%v-£;ª� <x�w�£;uУ;¤3x � t � £;¡�£;©;t"u t"£; vZz�£��ÒÑ�¤\��t"tQ°(t"ª�s Ó`�Ït"¬! («�x�w�£;u�ze¸)� � wBx �·Kz��n�@|�Ô<¦ÖÕɬ! («�x�w�£;uTzeÎ)�7s £!t"v@u £�x@s t�°(u thx � th¨"£C±�«���w\«�u)x�µ3��t"t"uS¤� u ¨�x�w�£;uÐÄfz�� � � Æ � u w�¬! t"ªBy)¦ ×3u t�¨�«�uj«�ª � «�y<v�«�s sj«lv-£;ª� <x�w�£;u�£;¤Ex � t � £;¡�£;©;t"u t"£; vLt"¬! («�x�w�£;uh� � �<��Äfz�� �� Æ¿�L|ØÔ<¦ ¼ u w�¬! t^Äfz�� � � Æ ����t"¬! wB��t"v3v�¥?t"¨"wB°(¨�«�x�w�£;uW£;¤�x � t7¢?£; u s(«��-yf¨"£;u s wBx�w�£;u vc£���²w�u�x � t3¡�£;¡�t"u)x� ¡Ù��t�¥ ��t"v-t"u)x8«�x�w�£;uE²<v�¥?t"¨"wB°(¨�«�x�w�£;u�£;¤?x � t3¨"£;u)x�£; <��£;¤?x � t3w�u)x�t"©��8«�ªe¦<§ � w�vw�vAs w�v-¨" v-v-t"sfw�ujv�x8«�u s(«���sjx�t:Ú<x�v7z�t�¦ © ¦_¾¿~;² ��À �:¦ ¼ ¡�£;¡�t"u)x� ¡Ûv�¥K«�¨"tJ��t�¥ ��t"v-t"u)x8«�x�w�£;ufw�v
Äfz�� � � ÆB�o| ~z ��Ü � Ç Â s<Ç�Ý t�Þ)ß �:à á â Þ â�ã ä� � � Ý7å�Ý�¶Sw\æ � z1ç;�
�6� t���tcÄÙw�vo½<u £ � u�«�v4x � tA¥ ��w�u ¨"wB¥K«�ª(±�«�ª� t3µ3��t"t"u�¤� u ¨�x�w�£;u�w�¤EæÉ|iÔ<²`«�u sÏx � t6ËKt�y<u ¡�«�u¥ ��£�¥K«�©)«�x�£��Aw�¤Öæ�èÃÔ<¦é <¢(v�x�wBx� <x�w�£;uT£;¤Jx � tP¤�£���¡�«�ªcv-£;ª� <x�w�£;uT£;¤Jx � tZ¡�t"s w\«�x�w�u ©�Ì1°(t"ª�sTt"¬! («�x�w�£;u�z1È;��w�u)x�£¤�t���¡�w�£;u@t"¬! («�x�w�£;u vcz � ��¡�£!s wB°(t"vÖx � tAª\«�x-x�t��4x�£�x � tAv-t�xX£;¤n¨"£; <¥(ª�t"sÏu £;u ª�w�u t�«��Ét"¬! («�x�w�£;u v"¯
z�wB�(��� ���>� � � �
� z��n�o| � �Jê(�]Á z��n�]¶  s<Ç�� Æ¿Äfz�� � � ÆB�H·Kz�� ÆB��ë �
� z��n�:º zeì)�
594
Few-particle eigenstatesí�î ï�ð�ï"ñ ò ó"ï"ñWï"ô!ò(õ�ö�÷�ø;ù ú7ûeü)ýLõ�ð�ïJñ ï�ð�÷Bþ�õ�ÿ���ï��\ð�ø��Åö�î ïJú�ö8õ�ö�÷�ø;ù(õ�ð��hõ�ó�ö�÷�ø;ù � ð�÷�ù ó"÷
����ï
�
��� ��������������� ñ��! �#"�$ û&%)ý
' ÷Bö�îhö�î ï)(_õ+*�ð8õ�ù,*;÷\õ�ùjñ ï"ù ú-÷Bö-�
���.�0/1 �!243 � � û5 ný"û�÷
6�798 7;:=< � :?> �A@CB û5 ný-ý ��� û5 nýCDFEG � ñ��! ,HJIKû5 ,HBýLKfû5 : ,HBýMIKû5 ný $ û E " ý
� ð�øCþ<÷�ñ ï"ñjö�î(õ�ö�ö�î ïON3ð�ï"ï"ùP��ò ù ó�ö�÷�ø;ùQ÷�ú6úL���Q��ï�ö-ð�÷�ó+R
Kfû5 : ,HBý � Kfû5 ,H : ný�S û E�E ýT ïÏú-î(õ+�U�oó"ø;ù ú-÷�ñ ï�ð7ö�î ï.V
W4í�ÿKõ�ú-ï"ñ%ø;ùPö�î ïX(_õ+*�ð8õ�ù,*;÷\õ�ù>ñ ï"ù ú-÷Bö-�Ðû E " ý�YCZ3ø�ö�ï^ö�î(õ�öö�î ï�ð�ï�õ�ð�ï@ö ' øj÷�ù)ö�ï�ð8õ�ó�ö�÷�ø;ùPö�ï�ð!��úJ÷�ùZö�î ÷�ú���ø�ð!�^ò,�\õ�ö�÷�ø;ùPø��Éö�î ï\[Xò�]�õ ' õ�ö�î ï"ø�ð��^RGõ`_L��ø9aó�õ+�Ub%÷�ù)ö�ï�ð8õ�ó�ö�÷�ø;ùÐó"ø;ù)ö8õ�÷�ù ÷�ù,* @CBdc õ�ù ñdõe_�ù ø;ù,��ø!ó�õ+�Ub>ø;ù ïf*;÷Bþ)ï"ùÐÿg�Sö�î ïf�\õ�ú�ö�ö�ï�ð!� ø��ï"ô�YAû E " ý�YÖí�î ï �\õ�ö-ö�ï�ð@ó"ø;ù)ö8õ�÷�ù ú^ö�î ï�ÿ?ø;ú-ø;ùh� ð�ø+�Kõ+*)õ�ö�ø�ð@ï�i�����÷�ó"÷Bö!�
�jY�í�î`ò ú c ÷�ùgö�î ïhó"ø;ùkaþ)ï"ù)ö�÷�ø;ù(õ+�có"øCþ�õ�ð�÷\õ�ù)öl�?ï�ð-ö�ò<ð-ÿKõ�ö�÷�ø;ù/ö�î ï"ø�ð��Ð÷Bö ��ï�õ�ñ ú�ö�ømWKïA�<ù,��õ�ù/ñ ÷\õ+*�ð8õ+��ú ' ÷Bö�î ø;ò<öï�i<ö�ï�ð�ù(õ+�Lû5�(îj�<ú-÷�ó�õ+��ýLÿ?ø;ú-ø;ùn��÷�ù ï"údY?í�î ïo_L��ø!ó�õ+�Ub@ö�ï�ð!��÷�úcø���ö�î ïló"ø;ù)þ)ï"ù)ö�÷�ø;ù(õ+����ø�ð!��õ�ù ñó�õ�ù@ÿ?ï6ò ú-ï"ñÏö�ø�*;ï"ù ï�ð8õ�ö�ïpWKïA�<ù,��õ�ù@ñ ÷\õ+*�ð8õ+��úÖö�î(õ�öÉó�õ�ù ù ø�öoÿ?ïp*;ï"ù ï�ð8õ�ö�ï"ñÏÿg�^ö�î ïQ_�ù ø;ùka��ø!ó�õ+�Ub3÷�ù)ö�ï�ð8õ�ó�ö�÷�ø;ùlö�ï�ð!� c �Kõ�ð-ö�÷�ó"ò,�\õ�ð!�
�7ñ ÷\õ+*�ð8õ+��ú ' ÷Bö�î^ï�i<ö�ï�ð�ù(õ+�!ÿ?ø;ú-ø;ùq��÷�ù ï"údYjr
�Kó"ø;ò<ð�ú-ï có�õ�ð�ï)�^ò ú�öAÿ?ïJö8õ9])ï"ùjù ø�öAö�øÏñ ø;ò<ÿ���ïJö�î ï;�(îj�<ú-÷�ó�õ+�GïAs?ï"ó�ö�ú6ó"ø;ò ù)ötYT ï@ú-î(õ+�U�4ù ø�ö;�(ò<ð�ú-ò ï@ö�î ï@ó"øCþ�õ�ð�÷\õ�ù)ö)�?ï�ð-ö�ò<ð-ÿKõ�ö�÷�ø;ùZö�î ï"ø�ð��jYvucõ�ö�î ï�ð c ' ï@ú-î(õ+�U�Öó"ø;ùkaú-÷�ñ ï�ð�õ�ùfõ9�,� ð�ø)õ�ó8îQö�î(õ�öw��ï�õ�ñ ú6ö�ø�ï�i(õ�ó�öw��ï ' ax��ï�ð!��÷�ø;ùfï"÷U*;ï"ù ú�ö8õ�ö�ï"ú6÷�ùQö�î ï�y�õ+��÷U�Bö�ø;ù ÷\õ�ù��ø�ð!��õ+��÷�ú�� ø��Gö�î ï�V
W4íÙûeõlÿ ð�÷�ïd�Gð�ï�þ<÷�ï ' ø��]ö�î ï)y�õ+��÷U�Bö�ø;ù ÷\õ�ù.��ï�ö�î ø!ñh÷�ù�ö-ð�ï�õ�ö�÷�ù,*q��ï ' aÿ?ø!ñ��Wÿ?ø;ò ù ñ%õ�ù ñ>ô!ò(õ�ú-÷za1ÿ?ø;ò ù ñ>ú�ö8õ�ö�ï"ú#÷�ú)*;÷Bþ)ï"ù>÷�ù � {9� ý�Y^|HùPö�î ïXy�õ+��÷U�Bö�ø;ù ÷\õ�ùn��ï�ö�î ø!ñø;ù ïJú-ï"ïA]<úAú-ø���ò<ö�÷�ø;ù úAø��Gö�î ï}V
W4íiï"ô!ò(õ�ö�÷�ø;ù�~ 7 ~ 74� �)� ����� � �)� ' î ï�ð�ï}~ 7 � û&� $!� ýX÷�úõqV
W4í�î ï"ø�ð�ï�ö�÷�ó)�9ax��ø���ï"ù)ö�ò,� ø+�?ï�ð8õ�ö�ø�ð c õ�ù ñ � ÷�úLö�î ï�÷�ù)þ�õ�ð�÷\õ�ù)ö���õ�ú-úLø��]ö�î ïJúL�<ú�ö�ïd�ò ù ñ ï�ðJú�ö�ò ñ��jY�y3ø ' ï�þ)ï�ð c ö�î ÷�ú3ï"ô!ò(õ�ö�÷�ø;ùf÷�ú3ó"ø��X����÷�ó�õ�ö�ï"ñjÿ?ï"ó�õ�ò ú-ï^ø��Öö�î ï^õ9�,�?ï�õ�ð8õ�ù ó"ï^ø��ô!ò(õ�ñ<ð8õ�ö�÷�óPy�õ+��÷U�Bö�ø;ù ÷\õ�ùÃõ�ù ñ���ø���ï"ù)ö�ò,� ø+�?ï�ð8õ�ö�ø�ð�ú c ú-øg÷Bö�÷�ú�ó"ò ú�ö�ø���õ�ð��Òö�ø%ñ ø%ö�î ïó�õ+��ó"ò,�\õ�ö�÷�ø;ùh÷�ùhö�î ï�ð�ï"ú�öp�\ð8õ+��ï�ø��Gö�î ïJúL�<ú�ö�ïd� c�� � �)� ��"�c ' î ï�ð�ï"ò��?ø;ùQú-ø���ò<ö�÷�ø;ù úAø��Gö�î ïï"ô!ò(õ�ö�÷�ø;ùX� � �)� ��� � �)� õ�ð�ïAú-ø;ò,*;î)ö c õ�úÖö�î ïA�Ïõ�ð�ï�ï�þ<÷�ñ ï"ù)ö!�
�@ú-ø���ò<ö�÷�ø;ù ú4ø��Kö�î ïAó"øCþ�õ�ð�÷\õ�ù)öô!ò(õ�ñ<ð8õ�ö�÷�ó�ï"ô!ò(õ�ö�÷�ø;ùj÷�ùjö�î ÷�ú��\ð8õ+��ï+Y
2. Hamiltonian in the canonical equal-time formulation and
few-fermion statesWKø�ðGö�î ïÉú�õ9])ïÉø��<ú-÷U�X����÷�ó"÷Bö-� ' ïÉú-î(õ+�U�)ó"ø;ù ú-÷�ñ ï�ð�ö�î ïÉó�õ�ú-ïÉø��<ø;ù,�
��ö ' øcñ ÷
s?ï�ð�ï"ù)ö���ï�ð!��÷�ø;ù� ïd��ñ ú#ñ ï"ù ø�ö�ï"ñ>ÿg� ��3;��� õ�ù ñ � � ���Cc ' ÷Bö�î���õ�ú-ú-ï"ú7õ�ù ñ�_�ó8î(õ�ð!*;ï"ú�b < 3
� < $ > 3
�> õ�ù ñ < � ����$ > � ���\c ð�ï"úL�?ï"ó�ö�÷Bþ)ïd�
�jY T ïQó"ø;ù ú-÷�ñ ï�ð�ö�î ÷�úÏö�î ï"ø�ð��Ã÷�ùÃö�î ïQó�õ�ù ø;ù ÷�ó�õ+�ï"ô!ò(õ+�za1ö�÷U��ïX��ø�ð!��õ+��÷�ú��PY��Éô!ò(õ+�za1ö�÷U��ïÏô!ò(õ�ù)ö�÷U��õ�ö�÷�ø;ùgó"ø�ð-ð�ï"úL�?ø;ù ñ úlö�øfö�î ï�÷U�X�?ø;ú-÷Bö�÷�ø;ù%ø��õ�ù)ö�÷�ó"ø��Q�^ò<ö8õ�ö�÷�ø;ù�ð�ò,��ï"ú���ø�ðw��ï�ð!��÷�ø;ù � ïd��ñ ú c ù(õ+��ïd�
�^R
� ��� û5� $L� ý $����� û5� $L� ý � � � ��� û5� $L� ý $ �4�� û5� $L� ý � �#��� � �¢¡ û5� : �Öý $ û E G ý
595
J.Darewych
£+¤,¥�£+¦U¦�§!¨,©\ª+§!¨,©A«!¬
+£+¤,®U¬�¨v¯�°M¤�£+¥,¥,®
§!®Uª�¤v±�§!¨,©A«!©q£9«!©\²,¬�²�£+¦´³dª�µQµ\²�§ £9§!®Uª�¤�«!²,¦U©d¬;¶·ª+«;§!¨,©¸C¹�º ©d¦U¥v±�£+¤,¥P³dª�µQµ\²�§ £9§!®Uª�¤lª�¶ ¸C¹�º ©d¦U¥Pª+»^©A« £9§!ª+«!¬�¼p®
§!¨�½¾£+¤,¥n¿ º ©d¦U¥Pª+»^©A« £9§!ª+«!¬d¯À ©}³ ¨,ªkª�¬�©}§!ªQ¼Áª+«�Â�®U¤P§!¨,©qÃk³ ¨�«ÅĪ�¥,®U¤,Æ�©A«
»�®U³A§!²�«!©}¼p¨,©A«!©}¼Á©}³t£+¤P§ £9Âj©�Ç�ÈeÉQ®U¤P§!¨,©©�Ê�»,«!©d¬�¬�®Uª�¤,¬w¶·ª+« º ©d¦U¥fª+»^©A« £9§!ª+«!¬d±4§!¨�£9§w®U¬p½wË5Ì�Í�È�½wË5Î�ÏLÇ�È�ÉjÍ�±4Ð4Ë5Ì�Í�È�Ð4Ë5Î�ÏLÇ�È�ÉjÍ�±4©A§!³+¯Ñ ¨,©A«!©d¶·ª+«!©+±,¶·ª+«Á§!¨,©
¬LÒ�µQµQ©A§�«!®U³}ËdÓM»,«!®U¤,³d®
»4£+¦�+£+¦U²,©dÔgÍ�Õ
«!©d©d¤ ¶·²,¤,³A§!®Uª�¤ ª�¶C©dÖk²�£9§!®Uª�¤oËØ×�Í�®
§¶·ª�¦U¦Uª¢¼p¬�§!¨�£9§ ÙÛÚ
Ü Ú ¥�ÇxÝ�ÞfË5ÌXß=Ì,ÝzÍàÈ
© Üjá9â ãÅÜjä!åUâæ+ç�è Î�ß�Ì Ý èØé ËMê¢ëjÍ
°M¤Q§!¨�£9§�³t£+¬�©+±g§!¨,©lÓL¤,ª�¤,¦Uªk³t£+¦UÔ�§!©A«!µ�ª�¶^§!¨,©wì;£+µQ®U¦
§!ª�¤,®í£+¤q¥,©d¤,¬�®
§-Ò.³dª+«�«!©d¬L»^ª�¤,¥,®U¤,Æ}§!ª}§!¨,©î £+Æ+« £+¤,Æ�®í£+¤?ËMê¢ÉjÍ�§ £9Âj©d¬�ª�¤ §!¨,©�¶·ª+«!µPï
ðQñ Ë5Î�Í�È êò ç
Ù ¥,ó�Ì,ÝgÐ4Ë5ÎvÝ
ÍMÐ4Ë5Î�Í © Üjá9â ãÅÜjä å âè Î�ß=Ì Ý è é ËMê æ Í
À ©�¬�¨�£+¦U¦�¬�²�»,»,«!©d¬�¬�§!¨,©XÓL¦Uªk³t£+¦UÔw®U¤j§!©A« £+³A§!®Uª�¤\§!©A«!µô§!¨�£9§�³dª�¤j§ £+®U¤,¬ ¸C¹ ®U¤O¼p¨�£9§�¶·ª�¦U¦Uª¢¼p¬d¯Ãk²,³ ¨.£
§�«!²,¤,³t£9§!©d¥QµQªk¥,©d¦,®U¬�¬�²,®
§ £9õ�¦U©�¶·ª+«�¥,©d¬�³A«!®
õ�®U¤,Æ}¶·©A¼¾¶·©A«!µQ®Uª�¤q¬L§ £9§!©d¬�¼p®
§!¨,ª�²�§à¥,©d³t£tÒª+«�£+¤,¤,®U¨,®U¦í£9§!®Uª�¤O®U¤jjª�¦
�®U¤,Æw»�¨jÒ�¬�®U³t£+¦kõ^ª�¬�ª�¤,¬d¯ Ñ ¨g²,¬d±9§!¨,©)Ëö¤,ª+«!µ.£+¦z÷xª+«!¥,©A«!©d¥4Í�ì;£+µQ®U¦
§!ª�¤,®í£+¤¶·ª+«pª�²�«wµQªk¥,©d¦&±�®U¤�§!¨,©}Ãk³ ¨�«ÅĪ�¥,®U¤,Æ�©A«w»�®U³A§!²�«!©)¼p®
§!¨ Ç�È#É�±,®U¬pÆ�®
j©d¤ õgÒl§!¨,©�©�Ê�»,«!©d¬�¬�®Uª�¤
øOù È ø}ú�û`øOüÁûÛø}ñ Ï ËMêÅý�Í
¼p¨,©A«!© ø}ú È Ù ¥,ó�ÌQ½�þ�Ë5Î�Ï!ÉjÍdËMß�®�ÿ ����� û���� ÍM½wË5Î�Ï!ÉjÍ�Ï ËMê �jÍ
øOü È Ù ¥,óLÌ ¿4þ Ë5Î�Ï!ÉjÍdËMß�® ÿ ����� û�
�� Í�¿�Ë5Î�Ï!ÉjÍ�Ï ËMêÅ×�Í
£+¤,¥ ø}ñ ®U¬�Æ�®
j©d¤ õgÒ
ø}ñ È ß êò ç
Ù ¥,ó�Ì�
�óLÌ,Ý © Üjá9â ãÅÜjä!åUâè ÎPß�Ì Ý è ËMê ò Í
� ����� ½wË ½ Ý ½�Ý
ÍM½ û�� � ¿�Ë ½ Ý ½�ÝzÍ�¿ û � � ½wË ¿ Ý ¿,ÝzÍM½ û�� � ¿�Ë ¿ Ý ¿,ÝzÍ�¿���Ï
¼p¨,©A«!©�½mÈ#½wË5Î�Í�£+¤,¥ ¿ Ý È ¿�Ë5Î Ý Í�±,©A§!³+¯À ©�¥,© º ¤,©)§!¨,©�²,¤,³dª�¤jj©d¤j§!®Uª�¤�£+¦�Ëöª+«.ÓL©dµX»,§-Ò�ÔgÍ�+£+³d²,²,µ ¬L§ £9§!© è��É���õgÒ
½��4Ë5Î�Ï!ÉjÍ è��É��àÈ�¿ ��Ë5Î�Ï!ÉjÍ è��É���È#É é ËMê !jÍ
Ñ ¨,®U¬�²,¤,³dª�¤jj©d¤j§!®Uª�¤�£+¦^©dµX»,§-Òq+£+³d²,²,µF¥,© º ¤,®
§!®Uª�¤oËMê !jÍ�µQ©t£+¤,¬�§!¨�£9§�½wË5Î�Íà®U¬�®U¤j§!©A«�»,«!©A§!©d¥£+¬X£ÛËö¶í«!©d©¢Í#";®
« £+³�÷Ø»4£9«�§!®U³d¦U©�£+¤,¤,®U¨,®U¦í£9§!®Uª�¤hª+»^©A« £9§!ª+«t±�¼p¨,®U¦U© ½ þ Ë5Î�ÍO®U¬d±´³dª+«�«!©d¬L»^ª�¤,¥,®U¤,Æ�¦
Òj±£$";®
« £+³�÷Ø»4£9«�§!®U³d¦U©q³A«!©t£9§!®Uª�¤�ª+»^©A« £9§!ª+«t¯&%�Òo£`Ó'";®
« £+³�÷Ø»4£9«�§!®U³d¦U©dÔl¼Á©XµQ©t£+¤oª�¤,©q¥,©d¬�³A«!®
õ^©d¥õgÒn§!¨,©X¶·²,¦U¦(";®
« £+³q¬L»�®U¤,ª+«t±�®U¤,³d¦U²,¥,®U¤,Æ »^ª�¬�®
§!®
j©�÷
£+¤,¥�¤,©dÆj£9§!®
j©�÷x¶í«!©dÖk²,©d¤,³AÒ=³dª�µX»^ª�¤,©d¤j§!¬d¯Ë*)p©d³t£+¦U¦k§!¨�£9§´®U¤\§!¨,©Á³dª�¤jj©d¤j§!®Uª�¤�£+¦�£9»,»,«!ªj£+³ ¨v±+®&¯ ©+¯+²,¬�®U¤,Æ)£+";®
« £+³qÓ º ¦U¦U©d¥q¤,©dÆj£9§!®
j©�÷x©d¤,©A«!Æ+Ò¬�©t£+Ô
+£+³d²,²,µP±9®
§�®U¬´ª�¤,¦
Ò�§!¨,©�¤,©dÆj£9§!®
j©�÷x¶í«!©dÖk²,©d¤,³AÒ\³dª�µX»^ª�¤,©d¤j§�ª�¶�½o§!¨�£9§�®U¬�£+¤q£+¤j§!®
»4£9«�§!®z÷³d¦U©Á³A«!©t£9§!®Uª�¤\ª+»^©A« £9§!ª+«t±+£+¤,¥O§!¨,©Á»^ª�¬�®
§!®
j©�÷x¶í«!©dÖk²,©d¤,³AÒO³dª�µX»^ª�¤,©d¤j§�ª�¶�½ þ §!¨�£9§´®U¬�£w»4£9«�§!®U³d¦U©³A«!©t£9§!®Uª�¤�ª+»^©A« £9§!ª+«�Í�¯
596
Few-particle eigenstates
,+-/.102.13 45.6.13�087�-/91:�4/;<-/91=�0>91?�7�@A?�BC4/DE3�?�0>F�0G=IHKJIL�BM?�7�@N.13�0�4/7�.1?�DG-�:8:#LO.E45.1?�-�7P910RQ;S45.1?�-�7�B2TVU�W�XRYZ4/B[L�BML 4/;\YZH LO.]?^.[?�B[7�-/.[?�=�0G7�.1?�D_4/;`.1-�.13�0#DG-�7�F�0G7�.1?�-�7 4/;a7�-/91:�4/;`-/91=�0>91?�7�@HZ0GD_4/L�BM0]-�b&.13�0]L�7�DG-�7�F�0G7�.1?�-�7 4/;&=�0>c 7�?^.1?�-�7d-�bfe�4/7�=Agh4/Bi4/7�7�?�3�?�;S45.1?�-�7d-/jZ0>9E45.1-/91Bk4/7�=-�b�eml1nEg�lm4/BiD>910_45.1?�-�7h-/jZ0>9E45.1-/91BGopq0r7�-/.10[.13 45.i.13�0rB'.E45.10]=�0>c 7�0G=NHKJ
s U�t<uwvx=�y'z e l T|{�X'}~T|{�X s��� tRn T�W � X
� 3�0>910[}~T|{�X<?�B�46�]�dU+DRQ�7KL�:CHZ0>9kDG-�0>�8DG?�0G7�.�F�0GD>.1-/9_Y�?�B�4/7�0G?�@�0G7�B'.E45.10�-�bf�C�&Y�j�91- FO?�=�0G=.13 45.�}~T|{�X�B145.1?�B'c 0GBi.13�0r0G��L 45.1?�-�7
TV�i?�� �����w������X'}~T|{�X<uw�r}~T|{�XRn T�W�U�X
� 3�?�DE3A?�B�42L�BML 4/;f.1?�:80RQ�?�7�=�0>jZ0G7�=�0G7�.+-�7�0RQ�j�459M.1?�DG;�06�[?^9E4/Dr0G��L 45.1?�-�7qT � ?^.13hjZ-�BM?^.1?^F�0r4/7�=7�0G@�45.1?^F�0C0G7�0>91@/JABM-�;�LO.1?�-�7�BEXRY�BM-$.13 45.[}~T|{�X�?�B[4��[?^9E4/DCB'j ?�7�-/9_o��k3�0>910Gb�-/910/Y � 06910Gb�0>9[.1-s U�t�4/B�42-�7�0RQ��[?^9E4/DRQ�b�0>91:8?�-�7NB'.E45.10/o� ?�:8?�;S4591;^J�YK.13�0]. � -5Q��[?^9E4/DRQ�j�459M.1?�DG;�0]B'.E45.10/Y
s W�t<uwv�=�yMz =�y1 �}f¡G¢�T|{<n'£aXVe l¡ T|{�XMg l¢ T|£aX s �� tRn T�W�W�X
T*BML�:8:�45.1?�-�7d-�7A�(nM�¤u¥U�nEW�n1¦OnM�2?�:~j ;�?�0G=�X�?�B�4/7A0G?�@�0G7�B'.E45.10r-�b<�C�&Y j�91- FO?�=�0G=N.13 45.�.13�0�~�h�~0G?�@�0G7�:�45.M91?¨§h}©B145.1?�B'c 0GBi.13�0]0G��L 45.1?�-�7
ª�« T|{�X'}~T|{<n'£aX&��¬ ª� T|£aX'}+®fT|{<n'£aX°¯ ® ��±8T|{h�I£aX°²�³1}~T|{<n'£aX°² ®³ uw�r}~T|{<n'£aXRn T�W/¦�X
� 3�0>910 ª�« T|{�X�u¥�i?Z� �´���Cµ������qY¶±8T*·ru s ¸ s Xmu¥�2¹5º�/» 0�¼�½R¾· YZ4/7�=N.13�0rBMLOjZ0>91BMD>91?^j�.+¿?�7�=�?�D_45.10GB�.13�0r.M9E4/7�B'jZ-�BM06-�b`.13�06:�45.M91?¨§h?�7A��L�0GB'.1?�-�7�o�Àm��L 45.1?�-�7ÁT�W/¦�Xk?�B+42. � -5Q�b�0>91:8?�-�7�[?^9E4/DRQ�;�?^Â�0r-/9]Ã�910G?^.'Q�;�?^Â�0r0G��L 45.1?�-�7 � ?^.13NjZ-�BM?^.1?^F�064/7�=P7�0G@�45.1?^F�060G7�0>91@/JABM-�;�LO.1?�-�7�BGY�4/7�=?�BGYZ?�7A.13�?�B+910GB'jZ0GD>._Y�=�?^ÄZ0>910G7�.rbS91-�:Å.13�-�BM0#-/H�.E4/?�7�0G=¤?�7P.13�0CDG-�7�F�0G7�.1?�-�7 4/;<45j�j�91-�4/DE3�Æ �/Ç?�7 � 3�?�DE3$.13�0+7�0G@�45.1?^F�0RQ�0G7�0>91@/J$DG-�:~jZ-�7�0G7�.1Bk45910+0>ÄZ0GD>.1?^F�0G;^J8j�91-5È'0GD>.10G=d-�LO._o�ÉV7�.13�0+910GB'.bS9E4/:80]-�bf.13�0]. � -5Q�b�0>91:8?�-�7hB'JOB'.10G:ÊT*?\o 0/o � 3�0G7 s W�t�?�Bk.E45Â�0G7h.1-2HZ064/7h0G?�@�0G7�B'.E45.10r-�b�.13�0:8-�:80G7�.1L�:¥-/jZ0>9E45.1-/9mb�-/9m.13�?�B�Ë+Ì<�[Y � ?^.13~0G?�@�0G7�F/4/;�L�0 � XRY�0G��L 45.1?�-�7AT�W/¦�X`910G=�L�DG0GB�.1-64/74/7 4/;�-�@�-�L�Bi0G��L 45.1?�-�7d?�7h.13�0]BM?�7�@�;�0]910G;S45.1?^F�0[DG-5Q�-/91=�?�7 45.10 ¸ uÍ{h�I£mÎ
ª�« T ¸ X'}~T ¸ X�� ¬^ª� TV� ¸ X'}+®�T ¸ X ¯ ® ��±~T ¸ X°²�³1}~T ¸ X°² ³ uw�r}~T ¸ XRÏ T�W5�KX
ɰ.(?�BGY/.13�0>910Gb�-/910/Y�0G��L�?^F/4/;�0G7�.<.1-2U Ð[-/91=�?�7 459MJ�Y�DG-�LOj ;�0G=�Y�c�91B'.'Q�-/91=�0>9m=�?^ÄZ0>910G7�.1?S4/; 0G��L 45.1?�-�7�Bb�-/9(B'.E45.10GB<-�b .13�0k@�?^F�0G7$ÑZÒÓT*7�-/.(4/;�;O-�b � 3�?�DE3845910k?�7�=�0>jZ0G7�=�0G7�.RXRoK�k3�0k910G=�L�D>.1?�-�72-�b�BML�DE3Ã�910G?^.'Q�;�?^Â�0#0G��L 45.1?�-�7�B].1-N4$9E4/=�?S4/;<b�-/91:Ô3 4/B]HZ0G0G7I=�?�BMDGL�BMBM0G=qHKJPF/4591?�-�L�B64/LO.13�-/91B�Æ Õ Q°Ö5Ç4/7�= � ?�;�;&7�-/.iHZ0[910>jZ0_45.10G=N3�0>910/o � L�DE3A0G��L 45.1?�-�7�BiD_4/7A45.i;�0_4/B'.iHZ0rBM-�;^F�0G=N7KL�:80>91?�D_4/;�;^J�o× 0G7�0>9E4/;�?�Ø_45.1?�-�7�B~.1-IB'JOB'.10G:8B~-�b�:8-/910d.13 4/7�. � -Ib�0>91:8?�-�7�B�45910d910_4/=�?�;^J�-/H�.E4/?�7�0G=�o�k3KL�BGYa.13�0d.13O910G0RQ�b�0>91:8?�-�7�B'.E45.10/Y<DG-/9M910GB'jZ-�7�=�?�7�@Ó.1-P.13�0dB'JOB'.10G:Ù;�?^Â�0 s Ú ¼ Ú ¼ Û�Ü�tdT � ?^.13BMD_4/;S459�0R§�DE3 4/7�@�0r?�7�.10>9E4/D>.1?�-�7�Bi?�7h.13�?�BiD_4/BM0 Xk=�0>c 7�0G=NHKJ
s ¦�t<uwv�=�yMzZÝ'Þ�y'z ßEÞ�y'z y }f¡5à*¡ á�¡_â T|{`ÝRn'{&ß_n'{ y Xae l¡5à T|{`ÝMXVe l¡ á T|{&ßRXMg l¡_â T|{ y X s��� tRn T�W�Õ�X
597
J.Darewych
ã�ä�å/æNçRè å/é>ê�çGã�ë�çGæ�ä'êEå5ê1ç]ì�íaîCïNð�ã^ê1ñhçGã�ë�çGæ�ò/å/ó�ô�çCõkö_÷�ø�ù1ì òOã�ú�çGúhê1ñ å5ê�ê1ñ�çrû ö�üwý û8éGì�ç>þ2ÿéGã�çGæ�ê�í�ô�æ�é>ê1ã�ì�æ�ä���������� ��
���
�����
�����
&ö���ä1å5ê1ã�äMí��$ê1ñ�ç[ê1ñOù1çGçRÿ �Zì�ú����[ã^ùEå/éRÿ�ó�ã���ç]ç� �ô å5ê1ã�ì�æ! "$# ��
����&% ����� �������'��
���
�����
�����
&ö���( ! "$# ��
��)�&% ��� � ����������
*��
��)��
�����
&ö��( ! ",+ ��
&ö��&% ��
'� ��������� �-��
�����
�����
&ö)�
.0/�1û32 ç*465�7 8
468 � 79
&ö .
�� 9 ��:<;)�=�����>��: ; �=��
?@�������A?,��
�����
�����
&ö�� � B ý �
.0/�1û32 ç*465�7 8
468 � 79
&ö .
�� 9 ��: ; �=��� �>��: ; �=��
?@��������?,��
�����
�����
&ö��. / �û32 ç*465�7 8 � 468 � 79
�� .
�� 9 ��:<;)�=�����>��: ; �=����?@����?���
*��
��)��
�����
&ö��ü õköC��������� ��
���
��)��
�����
&ö����
ð�ñ�ç>ù1ç~äMô,D>D�å5ê1ã�ì�æPì�æ¤ù1ç>øZç_å5ê1çGúIä'ø ã�æ�ì/ù6ã�æ�ú�ã�éGçGärã�ä]ãED~ø ó�ã�çGúGFIHVæÓê1ñ�ç#ù1çGä'ê6íSùEå3D8ç#ì�ímê1ñ�çê1ñOù1çGçRÿ �Zì�ú��[ä��Oä'ê1ç�Dwê1ñ�ç<ç� �ô å5ê1ã�ì�æ�äfú�ç>øZçGæ�úrì�æ�ó��[ì�æ[ê°ð�ì�ã�æ�ú�ç>øZçGæ�ú�çGæ�ê�ò�çGé>ê1ì/ù1äG÷_ñ�ì ð�ç>ò�ç>ù_÷ê1ñ�çkù1çGú�ô�é>ê1ã�ì�æ�ì�í�ê1ñ�çGäMç�ç� �ô å5ê1ã�ì�æ�ä(í�ì/ù�ä'êEå5ê1çGämì�í�ê1ñ�ç�ë�ã^ò�çGæ�JLKdã�äMD8ì/ù1çií�ì/ùND8ã�ú å�� ó�çkê1ñ å/æã�æ#ê1ñ�ç�ê°ð�ì5ÿ �Zì�ú��#é_å/äMç3F6O(ò�çGæ#ê1ñ�çGæ~ì�æ�çiã�ä<ó�çGíSê<ð�ã^ê1ñ#ê1ñ�çkí�ô�ó�ó éGìPD~ø ó�çRè�ã^ê&�6ì�íZå+ù1çGóSå5ê1ã^òOã�ä'ê1ã�éê1ñOù1çGçRÿ �Zì�ú��dä��Oä'ê1ç�DQF
3. Some explicit solutions for the two-body caseR ñ�çmû�S�ûTD�å5êMù1ã¨è[ç� �ô å5ê1ã�ì�æU� B5ûV��í�ì/ù�ê1ñ�ç<ù1çGóSå5ê1ã^ò�çMD8ì/ê1ã�ì�æ]ì�í�ê1ñ�ç(ê°ð�ì5ÿ�í�ç>ùND8ã�ì�ærä��Oä'ê1ç�Dã�ä(ò�ç>ùW�~äMãED8ã�óSå5ù<ê1ìrê1ñ å5ê�ú�ç>ù1ã^ò�çGú8ø�ù1ç>òOã�ì�ô�äMó�� ! X %�í�ì/ù�å]ù1çGóSå5ê1çGúUD8ì�ú�çGó\÷�æ å3D8çGó���÷$Y�ì�ô�ó�ìPDZ�[ O\�]� [ O\�Ôã�æ�ê1ñ�ç^Y�ì�ô�ó�ìPDZ�´ë�å/ô�ë�ç/÷(ð�ã^ê1ñ�ê1ñ�ç`_T_ êMùEå/æ�ä'ò�ç>ù1äMçNø ñ�ì/ê1ì�æ,aqã�æ�ê1ç>ùEå/é>ê1ã�ì�æ�÷.TbUced ÷Kê1ôOù1æ�çGúhì3fC��F R ñ å5êgD8ì�ú�çGó ! X %Zã�äiåihVò�çGé>ê1ì/ùkéGì�ôOø ó�ã�æ�ëPa~å/æ å/ó�ì�ë�ô�ç+ì�í&ê1ñ�ç�ø�ù1çGäMçGæ�êj�ô��/å_ðkåkD8ì�ú�çGó(ð�ã^ê1ñml üon FpO\ �ô å5ê1ã�ì�æq� B5ûV�]ã�ä6ê1ñ�ç�ä1å3D8ç$å/äCç� �ô å5ê1ã�ì�ær� B ý �rã�æ ! X %�ã�í: ;Usut ã�æ�ê1ñ�ç$ø�ù1çGäMçGæ�ê�ç� �ô å5ê1ã�ì�æv� B5ûV��F R ñ�ç>ù1çGí�ì/ù1ç/÷<ê1ñ�ç$ù1çGú�ô�é>ê1ã�ì�æ�ì�í�ç� �ô å5ê1ã�ì�æw� B5ûV�ã�ädçGäMäMçGæ�ê1ãSå/ó�ó��´ê1ñ�çÓä1å3D8ç¤å/ä$ø�ù1çGäMçGæ�ê1çGú ã�æ ! X %�÷kå/æ�úÍð�ã�ó�ó+æ�ì/êx�Zç¤ù1ç>øZç_å5ê1çGú ñ�ç>ù1ç3FzyqçäMñ å/ó�ó\÷�ñ�ì ð�ç>ò�ç>ù_÷�ù1çGéGì�ô�æ�ê�äMìPD8çkä1å/ó�ã�çGæ�êmøZì�ã�æ�ê1ä�FPHVæ~ê1ñ�çz{�ù1ä'êmø óSå/éGç�ç� �ô å5ê1ã�ì�æQ� B5ûV�añ å/ä(ê1ñ�ç| éEñOù*}ì�ú�ã�æ�ë�ç>ù#ç� �ô å5ê1ã�ì�æÁå/ä#åNæ�ì�æ�ÿ�ù1çGóSå5ê1ã^òOã�ä'ê1ã�é~ó�ãED8ã^ê_÷få/æ�úqê1ñ�ç>�[ã^ùEå/é�ç� �ô å5ê1ã�ì�æ~�|ð�ã^ê1ñÁåäMé_å/óSå5ù�éGì�ôOø ó�ã�æ�ë~ã�æhê1ñ�ã�äié_å/äMç��kå/ä�å2ì�æ�çRÿ �Zì�ú��dó�ãED8ã^êkã�í`ì�æ�ç]ì�í��>� s�� F,HVífð�ç]ðiù1ã^ê1ç
�����3� ü���� ���3���e���3�� ���3���I���3�6� � � BP�P�
ð�ñ�ç>ù1ç � ���)� � �W�+å5ù1çmç_å/éEñ0B�SzBgD�å5êMù1ã�éGçGäG÷_ê1ñ�çGæCí�ì/ù\J üvn ä'êEå5ê1çGäG÷ ð�ñ�ã�éEñ#å5ù1ç(ê1ñ�çmì�æ�ó��]ì�æ�çGäê1ñ å5ê�ð�ç]äMñ å/ó�óZú�ã�äMéGô�äMä�ñ�ç>ù1ç[ã�ædäMìPD8ç[ú�ç>êEå/ã�ó\÷�ê1ñ�çe�8êEå���ç[ì�æ$ê1ñ�ç[í�ì/ùND � ���3� ü t� � � � �W�C�W����R÷å/æ�ú$äMãED8ã�óSå5ù1ó��~í�ì/ù��)� � �W� ÷Kð�ñ�ç>ù1ç��C�W��3��å5ù1ç@B@SxB6ä'ø ñ�ç>ù1ã�é_å/óL� ã¨ÿ�ñ å5ùND8ì�æ�ã�éGä�ú�çe{ æ�çGúhã�æ ! X % FR ñ�ç�æKô,DZ�Zç>ù�ì�í�éGì�ôOø ó�çGú~ùEå/ú�ãSå/ó�ç� �ô å5ê1ã�ì�æ�ä(ã�ämë�çGæ�ç>ùEå/ó�ó��2äMã¨è8í�ì/ù�äMã�æ�ë�ó�ç>ê1ä�å/æ�ú8ô�æ�éGì�ôOø ó�çGúêMù1ã^ø ó�ç>ê2ä'êEå5ê1çGäG÷(å/æ�ú�çGã�ë�ñ�ê~í�ì/ù~éGì�ôOø ó�çGú�êMù1ã^ø ó�ç>ê2ä'êEå5ê1çGäQ�*ì�í�ê1ñ�ç$ê&��øZç t 4w� öU� �M( ö�� �W�R÷ê1ñ�ì�ô�ë�ñ�æ�ì/êdå/ó�ó�ì�í[ê1ñ�ç�D å5ù1çAã�æ�ú�ç>øZçGæ�ú�çGæ�ê�FzH°ê�ê1ôOù1æ�ädì�ôOê�ê1ñ å5ê�ê1ñ�ç>ù1çÓå5ù1çAì�æ�ó���í�ì�ôOùùEå/ú�ãSå/ó�ç� �ô å5ê1ã�ì�æ�äiã�æhê1ñ�ç�J üvn é_å/äMç3F R ñ�çe�hå5ù1ç]çRèOø ó�ã�éGã^ê1ó��������(��U��(��>� � � . õ�� � � � � . �'��� � � .�� � �e� � � . � ��� � � .�� � � � � � üvn � B X �
598
Few-particle eigenstates
�� �¡�¢£ U¤�¥�¦�§���¨3©p¢«ª�©&¬e��¨3©G¥®e¯���¨3©p¢�° ¨ 6��¨3©G¥�±P¯���¨3©p¢�° ¨ ±I��¨3©³²v´ � µ3¶6©
�=¢g �¡�¥· U¤�¥�¦�§���¨3©p¢«ª�©=¸p��¨3©G¥�e¯���¨3©p¢ ° ¨ 6��¨3©G¥·±P¯���¨3©�¢ ° ¨ ±I��¨3©³²v´ �A¹P´6©
�=¢g �¡�¢m U¤p¥®§>��¨3©p¢«ª�©=±I��¨3©�¢£¬'¯���¨3©�¢w° ¨ ¬e��¨3©�¢m¸,¯º��¨3©�¢w° ¨ ¸p��¨3©³²v´ �A¹�»*©
¼T½,¾e¿N¾ e¯�²ÁÀ À ¨� §���¨3©³²Ã¢0Ä ¡ Ä ¤Å3Æ ¾*Ç6È�ɨ] ªÃÊEË�Ì ½,¾�¾ ÊEÍ ¾�Î,¾�Î,¾e¿ Í3Ï`��Ì ¼�Ð�Ñ Ò<Ó�¿ ÌNÊEÔ�Õ ¾×ÖLÐPØ,Î À Ñ Ë�Ì Ó Ì ¾Ù Ó ËWË)©zÌ Ð>ÖL¾ À ¾ Ì ¾e¿ Ù Ê Î,¾ À  ¼T½ ÊEÕ ¾ ° ²Á»�Ú Ð3¿ Ì ½,¾ ´ Ç � ¡�ÛIÜ ©gË�Ì Ó Ì ¾ Ë Ó3Î À`° ²Á¢@»�Ú Ð3¿ Ì ½,¾´PÝÞ��ßNà Ü ©@Ë�Ì Ó Ì ¾ Ë�áÞâ ½,¾>Ò<Ó�¿)Ó Ù ¾ Ì ¾e¿ ¦`²ã¢@»äÚ Ð3¿ Ì ½,¾>Ò,¿N¾ Ë ¾�Î ÌZå Ø�æ3Ó�¼zÓ Ù Ð À ¾ ÕMÚ Ð3¿Z¼T½ ÊEÔ ½Ì ½,¾ Ô ÐPØ�Ò ÕEÊ Î Í�ÊEË ¼ Ê�Ì ½QÓ ËWÔ Ó Õ Ó�¿ Ù ¾ À Ê Ó ÌNÊ Î ÍZç ¾ Õ À á-è Ð�¼�¾eé6¾e¿  ÊEÚp¦�²Ã» Â Ì ½,¾�Î Ú Ð3¿Tê ²v´ ¼�¾¿N¾ Ô Ð�é6¾e¿ Ì ½,¾�¾�ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ Ë�Ú Ð3¿ Ì ½,¾xì=é6¾ ÔeÌ Ð3¿ Ô ÐPØ�Ò ÕEÊ Î ÍPí�î ÐPØ Õ Ð Ù Ö�ï�ð\ñ Ù Ð À ¾ Õ À ÊEËWÔ Ø ËWË ¾ À Ê Îò ó�ô á ð\ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ Ëõ� µ3ó6© Ñ �A¹�»*© Ó�¿N¾�Î,Ð Ì�Ê Î À ¾eÒL¾�Î À ¾�Î Ì�á,ö Î À ¾�¾ À  ¾ Õ ¾ Ù ¾�Î Ì Ó�¿ Ï Ù Ó3Î Ê Ò-Ø Õ Ó ÌNÊ ÐPÎ Ë Ð ÚÌ ½,¾ Ë ¾�¾�ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ ËgË ½,Ð�¼ Ì ½-Ó Ì±I��¨3©Þ² ªw¢£ �¡�¢m U¤M¢«§>��¨3©ªr¥· �¡�¥� U¤M¢«§>��¨3© 6��¨3©�÷ã¸p��¨3©Þ² ªv¢m �¡�¥� U¤³¢m¦�§���¨3©ª~¥� �¡�¢m U¤³¢m¦�§���¨3© ¬e��¨3©�÷ �A¹6µP©
Ë Ð Ì ½-Ó ÌgÌ ½,¾ Ú ÐPØ�¿×¾�ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ Ë�� µ3ó6© øG�A¹�»*© ¿N¾ À Ø Ô ¾ Ì Ð�ÐPÎ Õ�ÏäÌ ¼�Ð,ùe¯���¨3©³²ãú³° ¨ ¥�û���¨3©�ük6��¨3©G¥�à�ý=��¨3©&¬e��¨3©�÷ �A¹P¹6©
¬'¯���¨3©³²Ã¢ ú³° ¨ ¥�þ���¨3© ü ¬e��¨3©�¥�àpÿe��¨3©W6��¨3©�÷ �A¹ Å ©
¼T½,¾e¿N¾ û���¨3©³² �� �¡�¥· U¤�©W§ ¯ ��¨3©�Aªv¢«§>��¨3©W©��Aªq¢«§>��¨3©G¥� �¡�¥· U¤�©�� ûv²v´�÷ �A¹��P©
þ���¨3©³² �� U¤M¢£ U¤�©=¦�§ ¯ ��¨3©�Aªv¢m¦�§���¨3©W©��Aªq¢£¦�§>��¨3©G¥� �¡�¢£ U¤�© � þ�²v´�÷ �A¹��6©
à�ý���¨3©³² �Aªv¢«§>��¨3©G¥� �¡�¥· U¤�©��Aªv¢£ �¡�¥� U¤M¢m¦�§���¨3©W©µ,�Aªv¢«§>��¨3©W© � à×ýG²wµ� U¤�÷ �A¹��P©
àpÿe��¨3©³²Ã¢ �Aªv¢·§>��¨3©p¢m �¡p¢m U¤�©��Aª®¥� �¡�¢m U¤M¢£¦�§���¨3©W©µ,�Aªq¢m¦�§���¨3©W© �A¹Pó6©� àõÿ³²Ã¢ �¡ �¡�¥� U¤ � �³¢«§>��¨3©W©�÷¼T½,¾e¿N¾ �\²vª·¢ä �¡<¢ä U¤ Ó3Î À Ì ½,¾×ë$Ø-Ó3Î ÌNÊ�ÌNÊ ¾ Ë ¼ Ê�Ì ½>Ð�é6¾e¿WÖ<Ó�¿ Ë Ó�¿N¾TÎ,ÐPÎ$Ñ ¿N¾ Õ Ó ÌNÊ é ÊEË�ÌNÊEÔTÕEÊ Ù Ê�ÌNË� ��
*
��� »*©�áö Î Í ¾�Î,¾e¿)Ó Õ Â Ú Ð3¿gÓ�¿WÖ Ê�Ì ¿)Ó�¿ Ï Ù Ó ËWË êQÐ ÚGÌ ½,¾ Ù ¾ À Ê Ó ÌNÊ Î Í�ç ¾ Õ À  ¾�ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ Ëõ�A¹P¹6© Ó3Î À �A¹ Å ©Ù Ø Ë�Ì ÖL¾ Ë Ð Õ é6¾ À ÎVØ Ù ¾e¿ ÊEÔ Ó ÕEÕ�Ï6á�� Ð3¿ Ì ½,¾ Ô Ó Ë ¾^ê ²�´r� Ù Ó ËWËWÕ ¾ ËWË ë$Ø-Ó3Î Ì Ø Ù ¾�� Ô ½-Ó3Î Í ¾ ©¾�ë$Ø-Ó ÌNÊ ÐPÎ ËZ� µ3ó6© øG�A¹�»*©  Ó3Î À Ó ÕEË Ð �A¹P¹6© Ó3Î À �A¹ Å ©  ½-Ó�é6¾ Ì ½,¾�¼�¾ ÕEÕ æ�Î,Ð�¼TÎ^Ó3Î-Ó Õ�Ï$ÌNÊEÔ Ó Õ�Ë Ð Õ Ø$ÑÌNÊ ÐPÎ Ë\Ê Î Ì ½,¾×Î,ÐPÎ$Ñ ¿N¾ Õ Ó ÌNÊ é ÊEË�ÌNÊEÔgÕEÊ Ù Ê�Ì�á6â ½,¾ Ë ¾õÓ3Î-Ó Õ�Ï$ÌNÊEÔ Ó Õ-Ë Ð Õ Ø ÌNÊ ÐPÎ Ë\Ô Ó3Î>ÖL¾×Ø Ë ¾ À Ì Ð�Ð3Ö Ì Ó Ê Î
599
J.Darewych�
�����������! #"%$& #'�()"%*,+��.-0/1 # %�0-!"%*2/�3546"%/7"%85�.35/�3:9; %�0<=()"%*,+&*24>"%*2-? %�04#$5<," @BADCFEG�H
I �KJL J�M�N 85�! %��OAQPSRTP J�U �WV1XK�Y(135Z H
I A H R H J�U � H R\[ H J � M '^]_$54#*235`a"%85�b��c&�5 %�04#4#*2/�3@�AedfCg� H R�[ H J �hA @K[jia@!k ��l�m��N 85�! %� ia@�Aon p6q iar q p�sn p6q p�s k �WV�t��
N *,"%8 n pBq Avu w��Wx1��k y!�Wx1�{z;k y0�Wx1�|A EG H J } w!~��Wx1��Cf� x w��Wx1�>��(135Zn pBq p�s A����� u w J �Wx1�\[ y J �Wx1�{z=Z5xSk �WV E ��!"%-1� M (135Z�(1<24#/��W�KR�A H R U � H R\[ H J �#�iar�A�E�KR
�)��� [��KR!��@|C��b� C��C�� �KR!��@|C @%��[ G H J C �����6� �WV G �� +1(1<2$�()"%*235`��WV�t��Y"%/
"%85��<2/ N �04>"B/1 %Z5�! B*23O��`�*,+��04�"%85�� ¡/�<2<2/ N *235`¢ %�04#$5<,"%4B ¡/1 £"%85��<2/ N �04>"t^¤�4>"�()"%� ia@#¥�� L A E R>¦ � ��A E§�H
I � � } l6C H
IH R\[ H J �¨k �WV�l��ia@{©�� L A E R>¦ � ��AªE§ H
I � � } « H
IH R�[ H J C E � k �WV�V^�N 85�! %��4#$&'�4#-! %*,�5" ¦ 4>"�(135Z54¬ ¡/1 ¢"%85�g>4#-�(1<=()
-0/�$&��<2*235`�®¯��"%85�_�5 %�04#�03�"
°�$&±1( N (³²
/:Z5�0<N *,"%8¬��Aet�� M^N 85*2<2���´4>"�(135Z54µ ¡/1 Y"%85�_T+��0-!"%/1 Y-0/�$&��<2*235`�®���"%8�()"Y*24 M "%85��¶Y/�$5<2/�²?'�· ��¸²
/:Z5�0<:"# %��()"%�0Z¢*23�u § z����)¹{"�*24h/� �*23�"%�! %�04>"h"%/�35/1"%�µ"%8�()"h"%85�04#�º %�04#$5<,"%4�(1`1 %�0� M "%/6"%85*24h/1 %Z5�! MN *,"%8�"%85�?�5 %�!+&*2/�$54#<,]OZ5�! %*,+��0Z»��c&�5 %�04#4#*2/�3546"%8�()"�$54#�0Z¨(¬-0/�3�+��03�"%*2/�3�(1<h()�5�5 %/�(1-�8j� N *,"%8"%85� ¸ *, �(1-³T¼�<2<2�0Z»35�0`�()"%*,+��.�035�! %`1]O4#��(1®7+1(1-0$5$5²½�W4#�0��u m)z| ¡/1 �ia@#¾ M (135Zju V1z| ¡/1 �ia@#¿:���À /1"%�µ(1<24#/ M "%8�()"h��c&�5 %�04#4#*2/�354£�WV�l���(135Z��WV�V^��8�(�+��º-0/1 # %�0-!"��
��������/�35��9;'�/:Z&] ¸ *, �(1-µ<2*2²
*,"%4�W/�35��/� H
Á�ÂÄà � N 85*2-�8 M (1-0-0/1 %Z5*235`¢"%/�u E t)z M () %�1Ådº¥�A HÆ E [�� J A H � E CvEG � J [ l§ � � [¯Ç�Ç�Ç � �WV^È�� ¡/1 º"%85�b4#-�(1<=() �-0/�$&��<2*235`
(135Zd�©�A H Æ E CÉ� J A H � E C EG � J C E§ � � [¯Ç�Ç�Ç � �WV�Ê�� ¡/1 º"%85��+��0-!"%/1 �-0/�$&��<2*235`5�Ë 85�B(13�(1<2/�`�/�$54� %�04#$5<,"%4� = %/�²Ì�0Í:$�()"%*2/�354B��l�m��;Î\�WV G �� ¡/1 �"%85��<2/ N �04>" M t�Ï|� G|Ð � � � M �0Í:$�(1<²¬(14#4b� H R�A H J A H �µ4>"�()"%�b() %�dº¥ºA H � G CÑEE Ê � J [ V�ml�t « G � � [QÇ�Ç�Ç � �WV « �
600
Few-particle eigenstatesÒ1Ó5Ô Õ�Ö�×QØ»Ù;ÚBÛÑÜÜSÝ\ÞKß Û Ú1àà�á�â�Ú Þ�ã�äQå�å�å æ�ç ÙWè�é æê Ó5ë0ì�Ò1í�Ò1î2Ó\ï5ð%ñ5ì0ò#ì�Ò1í1ó%ì0ì6ð%ô
õ Ù Þ ã æ�ö î,ð%ñFð%ñ5ìbë0ô�Ó�÷�ì0Ó�ð%î2ô�Ó�Ò1ø2ø,ù7Ô5ì!ó%î,÷�ì0Ô_÷1Ò1ø2ú5ì0ò?û è ïýü)þ;ÿ��� ú�Ò)ð%î2ô�Ó5ò Ù�à�à æ Ò1Ó5Ô Ù�à1è æ.ö ì!ó%ìOÒ1ø2ò#ôÉò#ô�ø,÷�ì0ÔjÓ^ú��
ì!ó%î2ë�Ò1ø2ø,ù��¡ô1ó
ð%ñ5ì�ø2ô ö ì0ò>ð��
× áò>ð�Ò)ð%ì0òaî2Ó�ð%ñ5ì_ì � ú�Ò1ø �¬Ò1ò#ò.ë�Ò1ò#ì ÙWØ
×ªØ ß ×oØ æbö î,ð%ñ��
×oá Ù ð%ñ5ì�
»Ò���ø2ì���ú5Ó5í�ì��� ú&ð#ð�Ò��5ó%ô�í1ó�Ò�� ö Ò1ò�ú5ò#ì0Ô��¡ô1ó�ð%ñ5î2ò���ú&ó���ô�ò#ì æ ÿ��µñ5ì¢ó%ì0ò#ú5ø,ð%ò��¡ô1ó�ð%ñ5ì
í1ó%ô�ú5Ó5ÔÉò>ð�Ò)ð%ì¬Ò)ó%ìí�î,÷�ì0ÓÉî2Ó¨ð�Ò���ø2ì Ü ÿ��{ð?î2ò�ò#ì0ì0Ó�ð%ñ�Ò)ð Õ
Ù Þ�æ �¡ô1ó�ð%ñ5î2ò�ð ö ô�� ��ô:Ô&ù¨ò>ù&ò>ð%ì!� ñ�Ò1ò.Ò"��ì0ñ�Ò�÷&î2ô�ú&óÒ1Ó�Ò1ø2ô�í�ô�ú5òKð%ôºð%ñ�Ò)ð�ô��5ð�Ò1î2Ó5ì0Ô?î2Ó?Ò�ô�Ó5ì#� ��ô:Ô&ù�ø2î$�
î,ð�ï0ì � ú�Ò)ð%î2ô�Ó ÙWè % æ ÿ&�µñ^ú5ò0ï��¡ô1ó�ð%ñ5ì�í1ó%ô�ú5Ó5Ôò>ð�Ò)ð%ì1ïKð%ñ5ì'�¬Ò1ò#ò Õ ô(�Yð%ñ5ì
ð ö ô��)�¡ì!ó*�
î2ô�Ó�ò>ù&ò>ð%ì!� ò>ð�Ò)ó#ð%ò+�=ó%ô(� ð%ñ5ì,��ì!ó#ð%ú&ó���Ò)ð%î,÷�ì¬÷1Ò1ø2ú5ìÕ - Ø × Ú¢Û Þ ß - è ä Ü�Ü Þ ã - Ý è Ò)ð¬ø2ô ö Þ ï�Ò1Ó5Ô ð%ñ5ì0ÓjÔ5ì0ë!ó%ì�Ò1ò#ì0ò'�
ô�Ó5ô1ð%ô�Ó5î2ë�Ò1ø2ø,ùÉð%ôÉÒ1ÓÒ�����Ò)ó%ì0Ó�ðYÒ1ò>ù.�/�5ð%ô1ð%î2ëY÷1Ò1ø2ú5ìºô(��ú5Ó5î,ð{ù0�¡ô1ó�ø=Ò)ó%í�ì Þ ÿ21Bô1ð%ì1ï(�=ó%ô(�Ìì � ú�Ò)ð%î2ô�Ó ÙWè % æ ï1ð%ñ�Ò)ðhð%ñ5î2òÒ1ò>ù.�/�5ð%ô1ð%î2ë?÷1Ò1ø2ú5ì¢î2ò430ì!ó%ô�î2ÓÉÒ_ô�Ó5ì#� ��ô:Ô&ù³ø2î$�
î,ð Ù ö ñ5ì0Ó¨ô�Ó5ì
ô(� Ø 5�687 æ ÿ91Bô1ð%ì
Ò1ø2ò#ô5ïð%ñ�Ò)ð�ð%ñ5ì!ó%ì£î2ò�Ó5ô?ë!ó%î,ð%î2ë�Ò1ø5÷1Ò1ø2ú5ì£ô(� Þ ��ì!ù�ô�Ó5Ô ö ñ5î2ë�ñ Õ ë0ì�Ò1ò#ì0ò�ð%ô���ì�ó%ì�Ò1ø Ù Ò1ò�î,ð�î2ò�î2Ó
ð%ñ5ìë�Ò1ò#ì
ô(�YÒ_÷�ì0ë!ð%ô1ó�ë0ô�ú.��ø2î2Ó5í æ ÿ9�TÓ¨ð%ñ5ì
ø=Ò)ð#ð%ì!ó�ë�Ò1ò#ì Ù ÷�ì0ë!ð%ô1ó�ë0ô�ú.��ø2î2Ó5í æ Õ
Ù Þ�æ î2ò�ó%ì�Ò1ø�ô�Ó5ø,ù�¡ô1ó Þ;:´Þ=< ï ö ñ5ì!ó%ì/�¡ô1ó�ð%ñ5ìaí1ó%ô�ú5Ó5Ô³ò>ð�Ò)ð%ì Þ=< ×ÌÚ î2Ó»ð%ñ5ìaì � ú�Ò1ø>�)�¬Ò1ò#ò6ë�Ò1ò#ì�û é þhÒ1Ó5Ô Þ=<Ô5ì0ë!ó%ì�Ò1ò#ì0òbð%ô_ú5Ó5î,ð{ù»î2Ó¨ÒFô�Ó5ì#� ��ô:Ô&ù³ø2î$�
î,ð Ù ö ñ5î2ë�ñ¨î2ò6ð%ñ5ì ö ì0ø2ø>� ?&Ó5ô ö ÓA@6î,ó�Ò1ë.ó%ì0ò#ú5ø,ð�ïKë!� ÿì � ú�Ò)ð%î2ô�Ó ÙWè Ý æ#æ ÿ
Table 1. B�CEDGF2H2I�J)KEL!K)M�NPORQ!SUT�VXW
ZY.[#\^] L`_>F(M�JaD`bdc �e#f b$D`C f
O f.ß O f L`H2Ig e#f OPT�h Þ 1Bú��
ì!ó%î2ë i|ì!ó#ð%ú&ó���Ò)ð%î,÷�ìÙ ì � ú�Ò)ð%î2ô�Ó5ò Ù�à�à � à1è æ#æ Ù ì � ú�Ò)ð%î2ô�Ó ÙWè�à æ#æá ÿ á Ü Ü ç ü�ü�ühü â % á�á Ü â Ü é�á Ü ç ü�ü�ühü â % á�á Ü â Ü é�éá ÿ á % Ü ç ü�ü�ü à�â Ý á Ý�Ý Ü ç ü�ü�ü à�â Ý á�â)èá ÿ Ü Ü ç ü�ü â % ÜSÝ â)è Ü ç ü�ü â % Ü â Ü éá ÿ % Ü ç ü è % Ú Ý�Ý Ü ç ü è�é�Ú)è^ÚÜ ÿ á Ü ç é�à�áhà�á Ü ç ü Ú Ü é�â %Ú ÿ á Ü ç % á�â�á�â à ç â %
% ÿ á Ü ç Ú ü à�è %Ü á ÿ Ü ç Ü % á Ý âÜ á�á ÿ Ü ç á Ü % á Ý
�µñ5ì0��ì0ñ�Ò�÷&î2ô�ú&ó��¡ô1ó�ð%ñ5ì¢ø2ô ö ì0ò>ð Ù j × Ú æ ì#k5ë0î,ð%ì0Ô³ò>ð�Ò)ð%ì1ï á(l|Ù;Ú�m n [ æ î2ò � ú�Ò1ø2î,ð�Ò)ð%î,÷�ì0ø,ùò#î$�
î2ø=Ò)ó�ÿo�µñ5ì0ò#ì_ó%ì0ò#ú5ø,ð%ò¬Ò)ó%ì_í�î,÷�ì0Ó î2Ó�ð�Ò���ø2ì Ú ÿ Õ - Ø Ò1í�Ò1î2Ó��¡ô�ø2ø2ô ö òað%ñ5ì"��ì!ó#ð%ú&ó���Ò)ð%î,÷�ìì#k.�5ó%ì0ò#ò#î2ô�Ó ÙWè^â æ �¡ô1óaò��¬Ò1ø2ø�÷1Ò1ø2ú5ì0ò?ô(� Þ Ò1Ó5ÔÉð%ñ5ì0Ó�Ô5ì0ë!ó%ì�Ò1ò#ì0ò0�
ô�Ó5ô1ð%ô�Ó5î2ë�Ò1ø2ø,ù ö î,ð%ñ�î2Óp�ë!ó%ì�Ò1ò#î2Ó5í Þ ð%ô ö Ò)ó%Ô5ò£Ò1Ó�Ò�����Ò)ó%ì0Ó�ðBÒ1ò>ù.�/�5ð%ô1ð%î2ëB÷1Ò1ø2ú5ì�ô(�|Ò���ô�ú&ð�ú5Ó5î,ð{ù�ÿ
601
J.Darewych
Table 2. q=r(s*tvu)w�x"y)uEz!u)w4{}|�~��U�&�����*���#� �!z`�>�(w�y��`�d�d���#���$�`���,��|����4|���z`�2x� �#��|P���
¡�¢�£,¤¦¥*§$¨ ©�¤¦¥�ª*¢.¥�«¬�ª*§¯®2¤
° ¤!±p¢²¬�ª*§$³(´�µ °·¶(¶&¸E¶�¹Uº�º ° ¤!±p¢²¬�ª*§$³(´ °»¹U¼(º�º
½.¾¿½.À À(Á Â(Â(ÂdÂ( ¶�¼(à ½�À à  à À(Á Â(Â(ÂdÂ( ¶�¼(à ½�À à  Ã
½.¾¿½ à À(Á Â(Â(ÂdÄ ¹2¶ Ä ¹  à Ä(Å À(Á Â(Â(ÂdÄ ¹2¶ Ä ¹ ÂdÅ(Â.À
½.¾$À À(Á Â(Â(Â ¶2¼ Å Ã Ä(Ä À(Á Â(Â(Â ¶2¼ Å Ã Â Ã
½.¾ Ã À(Á Â(Ä ÃdÆ Ä.À À(Á Â(Ä Ão¶2¼(Æ
À(¾¿½ À(Á  ¹ Â�À(À À(Á  Ã�¶o¹Uà ½
Æ ¾¿½ À(Á Ä Ã Â ¹ Â Æ Á ½(½ ÃdÆ ½(Ä
à ¾¿½ À(Á Å(Å.À à ½
ÀG½.¾ À(Á à ½ Æ�¹ À
ÀG½(½.¾ À(Á¯ÀGÅ(Ä ¹ ½ ¹
Ç ±p¢²¬�ª*§$³(´�µ °·¶(¶2º ¬�´�È °·¶�¹Uº ¬�É$µ�³Ëʲ¬`®2¤Ì¢�´.ͲÊ2Î.µ�§$¨`¬�É�«Ï³(¢�´�È ¸ µZª�¬�ª*¤Ì¤!§$Ð(¤!´2®�¬�É$¢�¤!µ+³(Ñ ª*Ê�¤ÑÒ³�¥*£ÔÓÖÕØ× Ù �aÚ Ù � ×(ÛÝÜ`Ü`Ü ¾ Þ ¢�¨�Êßµ�³(É$¢.ª*§$³(´�µÌ¬�¥*¤Ë¬P¨!³(´�µ�¤!±p¢�¤!´�¨!¤�³(Ñàª*Ê�¤Ë¢�µ�¤�³(Ñàª*Ê�¤á ¤!£/Í�ªEÎ.â/®�¬�¨!¢�¢�£�ã�Ê�§$¨�ÊäÉ$¤`¬�È�µàª*³,ª*Ê�¤�¥*¤¦ª*¤!´2ª*§$³(´ä³(Ñ�´�¤!Ð2¬�ª*§¯®2¤ ¸ ¤!´�¤¦¥*Ð�Î�µ�³(É$¢.ª*§$³(´�µà§$´�ª*Ê�¤ÑÒ³�¥*£Ì¬�É$§$µ�£ ¾Uå Ê�§$µ!æpÊ�³Gã ¤¦®2¤¦¥`æ�§$µ�ª*Ê�¤àÍ�¥*§$¨!¤àª*ʲ¬�ª�ʲ¬�µ^ª*³�«Ï¤àͬ�§$È'§$´'³�¥*È�¤¦¥ ª*³+³�«�ª�¬�§$´Ì¤#粬�¨¦ª¤!§$Ð(¤!´�µZª�¬�ª*¤!µ ¾ÏÞ ¢�¨�Ê á ¢�´.ͲÊ2Î.µ�§$¨`¬�É$â,µ�³(É$¢.ª*§$³(´�µaã�§$É$É�¬�¥*§$µ�¤4§$´�¬�´2Î'ªEã ³ ¸ «Ï³pÈ.Î"¤!±p¢²¬�ª*§$³(´�ª*ʲ¬�ªÊ²¬�µ�ª*Ê�¤+è駯¥�¬�¨�³(´�¤ ¸ «Ï³pÈ.ÎËÉ$§$£,§¯ª ° ³�¥àª*Ê�¤�ê�É$¤!§$´Uë�ìé³�¥*È�³(´ä³(´�¤ ¸ «Ï³pÈ.ÎËÉ$§$£,§¯ª�§$´Ëª*Ê�¤+¨`¬�µ�¤+³(ѵZͲ§$´�É$¤!µ�µaͬ�¥�ª*§$¨!É$¤!µ�í À(À!î º ¾
4. Concluding remarks
ï ¤�ʲ¬`®2¤�µ�Ê�³Gã�´�ª*ʲ¬�ªa¤#粬�¨¦ªaÑÒ¤¦ã ¸ ÑÒ¤¦¥*£,§$³(´"¤!§$Ð(¤!´�µZª�¬�ª*¤!µa³(Ñ�ª*Ê�¤�ð�ñ å Ê�¤!³�¥*¤¦ª*§$¨�òé¬�£,§$É ¸ª*³(´�§�¬�´/¨`¬�´/«Ï¤�³�«�ª�¬�§$´�¤!È,ÑÒ³�¥^¬�¥*¤!ÑÒ³�¥*£�¢�É�¬�ª*¤!È�ó^¢.ô�¬`ã�¬4£,³pÈ�¤!É ¾2å Ê�¤!µ�¤�¤!§$Ð(¤!´�µZª�¬�ª*¤!µ�¨!³�¥�¥*¤ ¸µZÍϳ(´�ÈäÑÒ³ÌÑÒ¤¦ã ¸ ÑÒ¤¦¥*£,§$³(´äµZÎ.µZª*¤!£,µ�ã�§¯ª*Ê�³(¢.ªàÈ�¤!¨`¬`Î�³�¥é¬�´�´�§$Ê�§$É�¬�ª*§$³(´�§$´2ª*³,ͲÊ2Î.µ�§$¨`¬�ÉX±p¢²¬�´2ª�¬³(Ñ�ª*Ê�¤'£,¤!È�§�¬�ª*§$´�Ð�µ�¨`¬�É�¬�¥�«Ï³(µ�³(´�õ²¤!É$È ¾�ö ´�¢�´�¨!³(´2®2¤!´2ª*§$³(´²¬�É�¤!£/Í�ªEÎP®�¬�¨!¢�¢�£÷µZª�¬�ª*¤ ° §$´¨!³(´2ª�¥�¬�µZª"ª*³øª*Ê�¤Pè駯¥�¬�¨ùõ²É$É$¤!È ¸ ´�¤!Ð2¬�ª*§¯®2¤ ¸ ¤!´�¤¦¥*Ð�Î ¸ µ�¤`¬�®�¬�¨!¢�¢�£ º §$µ"¢�µ�¤!È=æaã�Ê�§$¨�Êú¥*¤!µ�¢�ɯª*µ§$´�ÑÒ¤¦ã ¸ «Ï³pÈ.Î�¤!±p¢²¬�ª*§$³(´�µ�ã�§¯ª*Ê�Íϳ(µ�§¯ª*§¯®2¤+¬�´�Èä´�¤!Ð2¬�ª*§¯®2¤�¤!´�¤¦¥*Ð�Î�µ�³(É$¢.ª*§$³(´�µ ¾Ïå Ê�¤�¥*¤!µ�¢�ɯª*§$´�ЪEã ³ ¸ ¬�´�È4ª*Ê.¥*¤!¤ ¸ ÑÒ¤¦¥*£,§$³(´�¤!±p¢²¬�ª*§$³(´�µ�¬�¥*¤oãa¥*§¯ª�ª*¤!´4³(¢.ª�¤#ç.ͲÉ$§$¨!§¯ª*ɯΠ¾`å Ê�¤dªEã ³ ¸ «Ï³pÈ.Î�¤!±p¢²¬�ª*§$³(´Ê²¬�µ�ª*Ê�¤�¥*¤!É�¬�ª*§¯®2¤ ¸ £,³�ª*§$³(´ Þ ¨�Ê.¥&û³(È�§$´�Ð(¤¦¥�¤!±p¢²¬�ª*§$³(´'¬�µ^¬�´�³(´ ¸ ¥*¤!É�¬�ª*§¯®.§$µZª*§$¨ ° ã ¤`¬�ô/¨!³(¢.ͲÉ$§$´�Ð º
É$§$£,§¯ª ¬�´�È�ª*Ê�¤éè駯¥�¬�¨é¤!±p¢²¬�ª*§$³(´"¬�µa¬�³(´�¤ ¸ «Ï³pÈ.Î'É$§$£,§¯ª ° §$´'ã�Ê�§$¨�Ê�ª*Ê�¤é£Ì¬�µ�µ�³(Ñ�³(´�¤é³(Ñ�ª*Ê�¤¨!³(´�µZª*§¯ª*¢�¤!´2ªéÑÒ¤¦¥*£,§$³(´�µà«Ï¤!¨!³(£,¤!µ�§$´.õ²´�§¯ª*¤ º ¾ ©�³(µ�§¯ª*§¯®2¤ ¸ ¤!´�¤¦¥*Ð�Î�µ�³(É$¢.ª*§$³(´�µ�³(Ñ�ª*Ê�¤�ªEã ³ ¸ «Ï³pÈ.Τ!±p¢²¬�ª*§$³(´�µa¬�¥*¤�³�«�ª�¬�§$´�¤!È"ÑÒ³�¥aª*Ê�¤�É$³Gã ¤!µZª�üËÕ ½ µZª�¬�ª*¤!µ�§$´�ª*Ê�¤�¨`¬�µ�¤�³(Ñ�¬0£Ì¬�µ�µ�É$¤!µ�µ�«Ï³(µ�³(´¤#ç�¨�ʲ¬�´�Ð(¤éÑÒ³�¥à¬�´2Î̵Zª�¥*¤!´�Ð�ª*Ê"³(Ñ9ª*Ê�¤é¨!³(¢.ͲÉ$§$´�Ð ¾²å Ê�¤�ªEã ³ ¸ «Ï³pÈ.Î̫ϳ(¢�´�È ¸ µZª�¬�ª*¤�£Ì¬�µ�µ!æ�Ó ° º
602
Few-particle eigenstates
ý$þaÿ���������� �
���
��� ����þ������������ ����ý����������Ìÿ�� ����� ��������� �!� �
���"�*ý�#.ý$þ$�*ý���% �&�'�)(����ý���*����+� �!þ������,� �
�-�
����þ$�&���.����þ$�'�
/�� ���*ý���#��������0�"�1�Ìþ$��� ����*2�
���'/3�$ý���*546��ý�*��87:9<;>=?�3����� �*ý������@� �!þ������*þ�ÿ����
A�4B7:9C�"� ����D��&��ý����
��� �-E�4B7@F&9�ÿ����G� ���
HJILK/þ$�&�"� �!þG���������éþ$� ���'�.;NMC���!þ���/>����� �'��DO�"�*ý�#.�
� �!þ������*þ+�"� ��ÿ��������P� ����*�� �
�Q� �0� ������� �����?7 F,R ý�� �2� ���1� �!þ������*þG��D��&��ý����
��/�� ��#.ý�����þ����SDT�
� ���1�
���.#.�
�.�*ý����3���U�"/�/�� �.���&� R ��ý��&�P��þ��!þ?�0Véý��&���Q#����
�����P;
Acknowledgement
MC���,W3�3�����!ý����þ��'/�/>�����X�(ÿO� ���GYQ�"� �'�&���O% �!ý��
���
�!þC�����
Z[��*(ý����
���*ý���*�\G�!þ����"� �&�2]^����� �
�!ý��_�(ÿ`]C���3���3�0ÿ����G� ��ý$þ R ����a�ý$þ,*��&�"� �!ÿ������������ a'��� R ���
��*��
�_;
References
b
cGd�c.eGc dgf�hji�kmlgn�c'o:pqf�kjkjrqh f�p�stpvu&h�wmxjl�y�z�n.f�{Qrqh k c.d�lg|.n~}5rqpvu z��.��u ���@l�xji �Ob&�g�
�"c
�"c,�,c@�GcN�:f
x���w c>stpvu&h�wmxjl�y�z�n.f�{Qrqh k,f�n.yJo:pqf�kjkjrqh f�pt�`|�u l�xjz-l����>rvu&pqy.k,f�n.y��>f
xjwjrqh pvu&k c>e[l<��u x&�
��u ���@l�xji �Ob&���
��c
�"cGd�c�}�cTeXf
xju �`z�h�|�cT��i"x&c d�c.�t|)z�k c.�O�.�.�.b��!b&�����g��c
��c,�,c.eGc
�Nlgpvl�� l<� �'d�c�}�cTeXf
xju �`z�h�|�� f�n.y¡ @c.eXr3 3u l�c d�c.�t|)z�k c'¢¤£��.�Ob�b&�g�0�!b&�����g��c
�"c,¥Cc�}�c'o:|.rqpqy�u x�k ���t|)z�k c.¥`u � cTe¦£.§�� ���
�g�0�!b&�����g��c
�"cGd�c.¨
f�pvu&n���f�n)w cT�t|)z�k c.¥`u � cTe¤©Tª�� �������0�!b&�����g��«'�t|)z�k c.¥`u � cT�¬� ©��Ob&�����0�!b&����b<��c
�)c,�^c o[c �h�l�wmw �'d�c �h�|�u xjwm� u x&�Tf�n.y¡¥Cc.�,cT¨0l"l�xju�cT�t|)z�k cT¥`u � cT���'®'�.�)�����0�!b&�����g��c
�"cGd�c�}�cTeXf
xju �`z�h�|0f�n.y¡ @c.eXr3 3u l�c'd�c.�t|)z�k c.�¤£.¯�� ����b<�¡�!b&�����g��c
�"cGd�c)}�c"eXf
xju �`z�h�|�f�n.y1¨2c�°�l�xj±Tf
wjkjh�|�c�d�c"�t|)z�k c"�[²"�:w c�¨0lgp�c��[³.w c�£T£'���g�
���!b&�����g��« £.©������g�
�!b&���
�)��c
b ��cC}�c'¢[xju&rqn�u x&c�¥`u&pqf
wjrv��rqkmwjrqhC´X�.f�n)wj�.{µ¨0u&h�|.f�n.rqh k c'"³.x�rqn�¶�u x&����u ���@l�xji �Ob&���
��c
b�b
cGd�c�}�cTeXf
xju �`z�h�|�c'o:f�n�c d�c.�t|)z�k cO�!b&�����g���'rqn�³.xju&kjk c
Власні стани системи кількох частинок у моделі
Юкави
Ю.Даревич
Факультет фізики та астрономії, Йоркський університет
Торонто, Онтаріо, Канада
Отримано 13 лютого 1998 р.
Розглядається переформулювання моделі Юкави, у якій ферміони
взаємодіють через посередництво (масивного або безмасового)
скалярного поля. За допомогою коваріянтних функцій Ґріна поле, що
переносить взаємодію, виражено у термінах ферміонних полів. Ре-
зультуючий гамільтоніян теорії містить член, що описує взаємодію, у
який явно входить пропагатор поля — носія взаємодії. Показано, що
коли можна знехтувати процесами, що включають випромінювання
603
J.Darewych
фізичних квантів поля-носія, то з використанням нестандартного
означення вакуумного стану можна отримати у рамках канонічного
одночасового формалізму точні власні стани результуючого гаміль-
тоніяну для декількох ферміонів. Ці власні стани приводять до дво-
та тричастинкових рівнянь Діракового типу із скалярними взаємодія-
ми. Числовим розв’язуванням рівняння на власні значення отрима-
но двоферміонні зв’язані стани для ·0¸º¹ . Проведено порівняння із
стандартним розглядом цієї моделі.
Ключові слова: системи кількох ферміонів, модель Юкави, спектр
мас
PACS: 11.10.Qr, 11.10.st
604
|