Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі

Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів. Формалізовано опис економічної системи за допомогою моделі економіки з постійними інтересами споживачів з оподаткуванням. Враховано складову постійних витрат у технологіях виробництва товарів. Розглянуто наявність споживчої насичувано...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Махорт, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2008
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12004
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі / А.П. Махорт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 86-96. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-12004
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-120042013-02-13T02:33:00Z Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Махорт, А.П. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів. Формалізовано опис економічної системи за допомогою моделі економіки з постійними інтересами споживачів з оподаткуванням. Враховано складову постійних витрат у технологіях виробництва товарів. Розглянуто наявність споживчої насичуваності у певних суб’єктів економічної системи. Запропоновано оптимальний розв’язок задачі про рівновагу в економічній системі для такої математичної моделі. Визначено стратегію оподаткування, яка забезпечуватиме реалізацію оптимального стану рівноваги в економічній системі. Исследована открытая экономическая система, в которой присутствуют монополисты. Формализовано описание экономической системы на основе модели экономики с постоянными интересами потребителей при наличии налогообложения.Учтена составляющая постоянных затрат в технологиях производства товаров. Рассмотрено наличие потребительской насыщаемости у определенных субъектов экономической системы. Предложено оптимальное решение задачи о равновесии в экономической системе для данной математической модели. Определена стратегия налогообложения, обеспечивающая реализацию оптимального состояния равновесия в экономической системе. An open economic system containing monopolies is investigated. A model of an economy with regular interests of consumers and taxation system is developed. The component of constant expenses in commodities production technologies is taken into account. The presence of consumption saturation of certain economy subjects is considered. An optimal solution of the equilibrium economy problem is presented on the basis of the mathematic model developed. A taxation strategy providing the optimal equilibrium state of economy is determined. 2008 Article Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі / А.П. Махорт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 86-96. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12004 519.86 uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Махорт, А.П. Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
description	Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів. Формалізовано опис економічної системи за допомогою моделі економіки з постійними інтересами споживачів з оподаткуванням. Враховано складову постійних витрат у технологіях виробництва товарів. Розглянуто наявність споживчої насичуваності у певних суб’єктів економічної системи. Запропоновано оптимальний розв’язок задачі про рівновагу в економічній системі для такої математичної моделі. Визначено стратегію оподаткування, яка забезпечуватиме реалізацію оптимального стану рівноваги в економічній системі.
format	Article
author	Махорт, А.П.
author_facet	Махорт, А.П.
author_sort	Махорт, А.П.
title	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
title_short	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
title_full	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
title_fullStr	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
title_full_unstemmed	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
title_sort	вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12004
citation_txt	Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі / А.П. Махорт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 86-96. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT mahortap vplivnasičuvanostíspoživačívnaumovidosâgnennârívnovagivekonomíčníjsistemí
first_indexed	2025-07-02T14:06:46Z
last_indexed	2025-07-02T14:06:46Z
_version_	1836544380597436416
fulltext	© А.П. Махорт, 2008 86 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 УДК 519.86 ВПЛИВ НАСИЧУВАНОСТІ СПОЖИВАЧІВ НА УМОВИ ДОСЯГНЕННЯ РІВНОВАГИ В ЕКОНОМІЧНІЙ СИСТЕМІ А.П. МАХОРТ Досліджено відкриту економічну систему за наявності монополістів. Формалі- зовано опис економічної системи за допомогою моделі економіки з постійни- ми інтересами споживачів з оподаткуванням. Враховано складову постійних витрат у технологіях виробництва товарів. Розглянуто наявність споживчої на- сичуваності у певних суб’єктів економічної системи. Запропоновано оптима- льний розв’язок задачі про рівновагу в економічній системі для такої матема- тичної моделі. Визначено стратегію оподаткування, яка забезпечуватиме реалізацію оптимального стану рівноваги в економічній системі. ВСТУП Адекватне реальності моделювання економічних процесів потребує чіткого визначення проблематики досліджень. Залежно від бажання дослідити той чи інший аспект поведінки економічних систем визначаються критерії ви- бору конкретної математичної моделі для аналізу. Важливим напрямом до- слідження економічних систем є використання моделей рівноваги вальрасо- вого типу [1–3]. Цей тип моделей дозволяє знайти баланс для характеристик економічної системи, що стимулює її протидію дестабілізуючим чинникам [3,4], серед яких варто виділити монопольні явища. Але монополізм призво- дить до порушення досконалої конкуренції в економічній системі, умова присутності якої є необхідною для широкого класу моделей [1, 2]. Дестабі- лізуючу дію монополізму можна обмежити, якщо врахувати наявність сис- теми оподаткування [5]. За таких передумов економічну систему цілком адекватно описує модель економіки з постійними інтересами спожива- чів [3]. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ Визначимо умови встановлення рівноваги у відкритій економічній системі за наявності монополістів. Вважатимемо, що економічна система складаєть- ся з l суб’єктів економічної діяльності. Серед них є n виробників і одноча- сно споживачів товарів, решта — виключно споживачі. Функціонування та- ких суб’єктів економічної системи здійснюється за рахунок оподаткування прибутків виробників, які поділяються на t немонополістів та решту tn − монополістів. Кожен суб’єкт економічної системи має свою стратегію поведінки. Вважатимемо, що в економічній системі наявні два типи суб’єктів. Одні ви- трачають весь свій прибуток на придбання потрібних товарів (ненасичувані споживачі), інші суб’єкти економічної системи витрачають лише частину Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 87 свого прибутку, отриманого за весь досліджуваний період функціонування економіки. Діяльність кожного з суб’єктів ґрунтується на бажанні задоволь- нити якщо не всі, то хоча б першочергові потреби подальшого функціону- вання. Для забезпечення цих потреб необхідно гарантувати деякий, принай- мні, мінімальний рівень прибутку. Прогноз отримання певного рівня прибутку суб’єктами економічної системи здійснюється на основі статисти- чної інформації, якою вони володіють. Вважатимемо, що внаслідок цього прогнозу немонополісти вирішили підтримувати фіксовані обсяги випусків свого товару ( )00 1 ,, txx … , а монополісти встановили фіксовані ціни на свої товари ( )00 1 ,, nt pp …+ . Обсяги випусків товарів монополістами ( )nt xx ,,1 …+ та ціни на товари немонополістів ( )tpp ,,1 … вважатимемо невідомими. Систему оподаткування, що забезпечує існування чистих споживачів в економічній системи, розглядатимемо також і як механізм обмеження нега- тивних впливів монополістів на функціонування економічної системи. Тому рівні оподаткування прибутку монополістів вважатимемо невідомими, а не- монополістів — заданими. Для опису досліджуваної економічної системи використаємо модель економіки з постійними інтересами споживачів [3]. Невідомі ціни, обсяги випусків та рівні оподаткування визначатимемо з умови економічної рівноваги. В моделі економіки з постійними інтересами споживачів, що описує відкриту економічну систему за наявності техноло- гій з постійними витратами та монополістами, умова економічної рівноваги подається системою нелінійних нерівностей nkpDp p k l i iik k ,1,)(~)(1 1 =≤Λ∑ = ψ , (1) де kψ — компонента вектора пропозиції або кінцевого споживання, а в лі- вій частині виразу знаходиться попит на k -й товар в економічній системі. Попит будується за оподаткованим прибутком iD~ та вектором попиту { }n kiki 1=Λ=Λ кожного окремого i -го суб’єкта економічної системи. Компо- ненти вектора попиту ikΛ визначають частину прибутку i -го суб’єкта еко- номічної системи, яка витрачається на придбання k -го товару. Для вектора попиту i -го споживача справедлива нерівність lip n k ik ,1,1)( 1 =≤Λ∑ = . Рівність для певних індексів в цьому виразі буде означати, що відповідний споживач ненасичуваний. Нехай структура споживання товарів в економічній системі характери- зується матрицею попиту, або невиробничого споживання ln jkkjcC , 1,1 == = . Її елемент kjc описує кількість k -го товару, що бажає спожити j -й споживач. Якщо споживач не є ненасичуваним, то матриця попиту C для нього визна- чатиме лише потенційно можливу кількість товару, яку він може спожити. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 88 Реально спожита кількість товару таким споживачем буде меншою і визна- чатиметься матрицею ln jkkjcC , 1,1 ˆˆ == = . Очевидно, що для ненасичуваного споживача елементи обох матриць C та Ĉ співпадатимуть, тобто kjkj cc =ˆ . За елементами матриць C та Ĉ вектор попиту споживачів будується таким чином: nkli pc pc p n s ssi kki ik ,1,,1, ˆ )( 1 ===Λ ∑ = , (2) де 0 jj pp = для j -го монополіста. Як показано раніше [3], розв’язання сис- теми нелінійних нерівностей (1) у випадку, коли виробництво всіх суб’єктів економічної системи є прибутковим, без втрати загальності може бути зве- дено до розв’язання системи нелінійних рівнянь. За цих умов замість векто- ра попиту i -го споживача iΛ вводиться до розгляду деякий ефективний вектор { }nkiki 1 ** =Λ=Λ , єдиною вимогою до якого є така: його компоненти мають задовольняти рівностям lip n k ik ,1,1)( 1 * ==Λ∑ = . Внаслідок виконання цієї вимоги здійснюється перехід до випадку, ко- ли всі споживачі в економічній системі будуть ненасичувані. В результаті можна записати nkpDp p k l i iik k ,1,)(~)(1 1 * ==Λ∑ = ψ . (3) Отже, щоб здійснити щойно описаний перехід, необхідно вибрати но- вий вектор попиту споживачів lii ,1,* =Λ . Виберемо його з умови nkli p p p n s is ik ik ,1,,1, )( )( )( 1 * == Λ Λ =Λ ∑ = . Тоді отримаємо nkli pc pc p n s ssi kki ik ,1,,1, ˆ ˆ )( 1 * ===Λ ∑ = . (4) Нескладно переконатись, що для споживачів, які від початку були не- насичувані, вираз (4) співпадатиме з виразом (2). Нехай структура виробництва товарів в економічній системі характери- зується технологічною матрицею n jkjkjkj xba 1, / = + . Елементи jkjkj xba /+ такої матриці визначають кількість одиниць k -го товару, необхідного для виробництва одиниці j -го товару, у випадку наявності постійних витрат та Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 89 за умови виробництва j -го товару в обсязі jx ( 0 jj xx = для j -го немонопо- ліста). Тоді пропозиція на k -й товар в економічній системі може бути запи- сана у вигляді [5] nkiebxax kk n i ki n i ikikk ,1, 11 =+−−−= ∑∑ == ψ , де n iie 1}{ = — вектор експорту; n iii 1}{ = — вектор імпорту. За технологічною матрицею можна побудувати і оподаткований прибуток j -го суб’єкта еко- номічної системи )(~ pD j . Для виробників він подається виразом [4] njpbpapxpD k n k kjjk n k kjjjjj ,1,)(~ 11 =−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑∑ == ππ , де n ii 1}{ == ππ — вектор оподаткування. Для чистих споживачів оподаткова- ний прибуток можна записати за допомогою вектора ступенів задоволення потреб споживачів l iiyy 1}{ == . Компоненти цього вектора характеризують рівень задоволення потреб кожного суб’єкта економічної системи, їх зна- чення мають знаходитися в інтервалі ]1,0( . Рівність одиниці компоненти вектора y означає повне задоволення потреб відповідного суб’єкта еконо- мічної системи. Зв’язок між вектором ступенів задоволення потреб спожи- вачів та оподаткованим прибутком суб’єктів економічної системи має ви- гляд ljy pc pD j s n s sj j ,1, )(~ 1 == ∑ = . (5) Тому для оподаткованого прибутку споживачів отримаємо lnjpcypD s n s sjjj ,1,)(~ 1 +== ∑ = . Таким чином, умова економічної рівноваги (3) може бути подана сис- темою нелінійних рівнянь nkiebxax pc pD c kk n i ki n i ikik l j n m mmj j kj ,1, ˆ )(~ ˆ 111 1 =+−−−= ∑∑∑ ∑ === = . Для вектора ступенів задоволення потреб споживачів умова економіч- ної рівноваги переписується у вигляді nkiebxaxy pc pc c kk n i ki n i ikik l j jn m mmj n s ssj kj ,1, ˆ ˆ 111 1 1 =+−−−= ∑∑∑ ∑ ∑ === = = . А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 90 Нехай спектральний радіус матриці n kjjkaA 1, = = менше одиниці та ви- конуються умови .,1,0)( ,,1,)( 1 1 1 1 1 10 ntkbieAE tkbieAEx n s n j sjssks n s n j sjssksk +=> ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−> ∑ ∑ ∑ ∑ = = − = = − (6) Розглянемо вектори { }l jj 1= η та { }l jj 1 0 = η , для яких справедливі вирази lj c c pc pc n m mj n s sj jn m mmj n s ssj j ,1,1 ˆ ,1 ˆ 1 10 1 1 =≥=≥= ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ηη . Дослідимо випадок, коли 0 jj ηη = , і між елементами матриць C та Ĉ існує зв’язок kjjkj cc ˆη= . Економічна інтерпретація цього зв’язку: набір по- трібних для споживачів товарів, який визначається матрицею попиту C , не містить більш чи менш бажаних товарів і j -й суб’єкт споживає або весь на- бір товарів { }n kkjc 1= , або лише його частину { }n kkjc 1 ˆ = . Для подальшої побудови алгоритму розв’язання задачі введемо позна- чення ∑ ∑ = = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−= n s n j sjsskskk bieAExb 1 1 1)( , ∑ −= = −n s sjkskj cAEd 1 1 ˆ)( , за допомогою яких умову економічної рівноваги можна переписати у вигляді tkbyd k l j jjkj ,1,0 1 ==∑ = η , (7) ntkbyd k l j jjkj ,1, 1 +==∑ = η , (8) де величини tkbb kk ,1,00 =>= , є заданими, а ntkbk ,1, += , невідомі. За заданим додатним вектором ( )00 1 0 ,, tbbb …= з виразу (7) можна знайти параметричний розв’язок для вектора ( )ll yyy ηηγ ,,)(ˆ 11 …= . Всі до- датні розв’язки системи рівнянь (7) можна записати так [5]: 1,)(ˆ 1 1 1 1 == ∑∑ + += + += l tj j l tj jj zy γγγ , Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 91 де вектори { } 1 1 + += l tiiz невід’ємні і мають вигляд { }0,,0,,),(),(,,),(),( * 1 * 11 0* 1111 0 1 …… ++++++ −−= tttttttt yyfdfbyfdfbz , { }0,,0,,0,),(),(,,),(),( * 2 * 22 0* 2121 0 2 …… ++++++ −−= tttttttt yyfdfbyfdfbz , { }*0 11 0 ,,0,),(),(,,),(),( lltltlll yyfdfbyfdfbz …… −−= , { }0,,0),,(,),,( 0 1 0 1 …… tl fbfbz =+ , тобто ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= ∑ += ),(,,),(),()(ˆ 0 1 * 11 0 t l tj jjj fbyfdfby …γγ ,,,,),( ** 11 1 * ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − ++ += ∑ lltt l tj jjtj yyyfd γγγ … де позначено { } { } tidfltjdd t kkii t kkjj ,1,,,1, 1 1 1 ==+== = − = , ∑ = = t s sksiki 1 ),( κχκχ . Вектор { }l tiiyy 1 +== заданий і вибирається так, щоб забезпечити невід’ємність компонентів векторів { }l tiiz 1+= . Вектор параметрів =γ ( )lt γγ ,...,1+= невідомий. ВИЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ У загальному випадку розв’язок системи рівнянь (5), (7), (8) може бути не єдиним. Кожному розв’язку відповідає певний стан рівноваги економічної системи. Всі суб’єкти економічної системи прагнуть повного задоволення своїх потреб. Монополісти, встановивши ціну на свій товар, мають перевагу перед іншими суб’єктами у можливості забезпечити отримання такого рівня прибутку, який би давав змогу найповніше задовольнити свої потреби. В результаті цього ймовірна реалізація стану рівноваги, коли потреби немо- нополістів задовольнятимуться частково, що призводитиме до суттєвих про- блем у подальшому їх функціонуванні. За таких умов важливо визначити оптимальний розв’язок задачі про економічну рівновагу, тобто про оптима- льний стан рівноваги економічної системи, коли всі її суб’єкти в результаті своєї діяльності будуть спроможні отримати рівень прибутку, що задоволь- нятиме потреби, принаймні, не нижче заданої мінімальної межі. Визначення оптимального стану рівноваги економічної системи озна- чає визначення вектора ступенів задоволення потреб споживачів { }l iiyy 1== , або ж вектора параметрів γ . Реалізацію такого стану рівноваги може забез- А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 92 печити система оподаткування. Тому невідомі рівні оподаткування монопо- лістів мають бути узгоджені з таким оптимальним розв’язком. Для знаходження вектора γ використаємо підхід, який ґрунтується на оптимізаційних процедурах, запропонованих у роботі [5]. Компоненти век- тора y шукатимемо так, щоб їх значення були якомога близькими до оди- ниці. Це означало б реалізацію прагнення споживачів до найповнішого за- доволення своїх потреб. За таких умов j -та компонента вектора ŷ має бути близькою до значення jη . Справедлива Теорема. Нехай для параметрів ljj ,1,10 =≤<α , виконуються умови tjfdfdfb j Mi jii Mi jiij jj ,1,),(),(),( 0 =≥−− ∑∑ −+ ∈∈ ααη , (9) tjfdfdfb j Mi jii Mi jiij jj ,1,),(),(),( 0 =≤−− ∑∑ −+ ∈∈ ηηα , (10) { } { } { } { },,,1,0),(:},,,1{ ,,,1,0),(:},,,1{ tsfdkltkM tsfdkltkM sks sks …… …… ∈<+∈= ∈>+∈= − + ( ) ltsfd t j ssjsjj ,1,),( 1 +=−≤−∑ = αηαη . (11) Тоді існує додатний вектор ( )00 1 0 ,..., lt γγγ += , на якому досягатиметься мінімум функціоналу [ ]∑ = −= l j jj yF 1 2)(ˆ 2 1)( γηγ (12) за умови ∑ + += = 1 1 1 l ti iγ . (13) Причому вектор )(ˆ 0γy додатний і для його компонентів має місце оцінка liyy iiiii ,1,ˆ =≤=≤ ηηα . Доведення. Складемо функцію Лагранжа оптимізаційної задачі (12)–(13) .1)( 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+= ∑ + += l ti iF γµγL Існування мінімуму вимагає виконання для похідної функції Лагранжа sγ∂ ∂L умови − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += ∂ ∂ ∑ ∑ += = l ti sii t j jsjisi s yyfdfd 1 1 ),)(,( γδ γ L Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 93 [ ] ltsyfdfb ss t j jsjjs ,1,0),(),( * 1 0 +== ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−+− ∑ = µηη , (14) де * s s y µµ = . Нескладно переконатися, що інша умова існування мінімуму, яка вимагає додатну означеність матриці l iki t j jkjiik fdfd 1,1 ),)(,( +== ∑+δ , виконується, внаслідок чого ця матриця буде і невиродженою. Тому для ко- жного заданого набору параметрів ( )lt µµ ,...,1+ розв’язок системи лінійних рівнянь (14) відносно невідомих ltsyy sss ,1,* +== γ буде єдиним. Пока- жемо, що параметри ( )lt µµ ,...,1+ можуть бути вибрані так, щоб розв’язок системи лінійних рівнянь (14) задовольняв умові теореми iii y αη ≥≥ , lti ,1+= . Вираз (14) перепишемо у вигляді ltsyYy ss ,1),( +== , (15) де [ ] ∑ ∑∑ += == −−+−= l ti i t j jsjiss t j jsjjs yfdfdfdfbyY 1 11 0 ),)(,(),(),()( µηη . Дослідимо дію оператора { }lt YYyY ,,)( 1 …+= на компактній опуклій множині ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ += − ≤− + ∈= ltkzRz kk k kk k ,1, 22 ,1 αηαη Z . З’ясуємо умови виконання оцінки × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+=− + ∑ ∑ = += t j jj l ti ijis ss fbyfdyY 1 0 1 ),(),()( 2 η αη ltsfd ssss sjs ,1, 22 ),( += − ≤ − −+× αηαη µ . (16) Зі співвідношення (16) випливають два можливі випадки: + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−≤ − ∑ ∑ = += t j js l ti ijijj ss fdyfdfb 1 1 0 ),(),(),( 2 η αη ntssss ,1, +=−≤+ αηµ , (17) або ntsfdyfdfb s t j js l ti ijijj ss ,1,0),(),(),( 2 1 1 0 +=≥+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−≥ − ∑ ∑ = += µη αη . (18) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 94 Очевидно, що ≡+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−∑ ∑ = += s t j js l ti ijijj fdyfdfb µη 1 1 0 ),(),(),( − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−≡ ∑ ∑ +∈ +=sNj js l ti ijijj fdyfdfb ),(),(),( 1 0η s Nj js l ti ijijj s fdyfdfb µη + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− ∑ ∑ −∈ += ),(),(),( 1 0 , де { } { } { } { }.,,1,0),(:},,,1{ ,,,1,0),(:},,,1{ ltsfdktkN ltsfdktkN kss kss …… …… +∈<∈= +∈>∈= − + Тому, взявши до уваги нерівності (9), (10), з виразу (17) можна отрима- ти оцінку [ ] ntsfd ss Nj jsjjs ss s ,1,),( 2 +=−≤−+≤ − ∑ +∈ αηαηµ αη , (19) а з виразу (18) з урахуванням умов (7), (8) матимемо ланцюжок нерівностей [ ] .,1,0),( 2 ntsfd sNj jsjjs ss +=≥−−≥ − ∑ −∈ αηµ αη (20) Поєднавши вирази (19) і (20), отримаємо, що значення параметрів sµ nts ,1+= мають бути визначені з умов [ ] [ ]∑∑ +− ∈∈ −−−≤≤− ss Nj jsjjsss Nj jsjj fdfd ),(),( αηαηµαη , якщо [ ] ltsfd t j ssjsjj ss ,1,),( 2 1 +=−≤−≤ − ∑ = αηαη αη , або [ ] [ ]∑∑ −+ ∈∈ −+ − ≤≤−− − ss Nj jsjj ss s Nj jsjj ss fdfd ),( 2 ),( 2 αη αη µαη αη , якщо [ ] ltsfd ss t j jsjj ,1, 2 ),( 1 += − ≤−∑ = αη αη . Окрім цих нерівностей слід також урахувати, що параметри ( )lt µµ ,...,1+ залежать від компонентів вектора y , які забезпечують не- від’ємність компонентів векторів { }l tiiz 1+= . Тому необхідно, щоб для компо- нентів вектора y виконувалась умова Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 95 tjMi yfb fd j ij ji ,1,,1 ),( ),( 0 =∈≤ + . Тоді для параметрів ntss ,1, +=µ можна записати tjMi yfb fd ji ij ji ,1,, ),( ),( 0 =∈=≤ +µµµ . Останню нерівність для визначених раніше значень ltss ,1, +=µ можна завжди задовольнити вибором постійної µ . Таким чином, за виконання умови (11) теореми існують значення пара- метрів ( )lt µµ ,...,1+ , для яких виконується нерівність (16), внаслідок чого оператор )(yY переводитиме компактну опуклу множину 1Z саму в себе. Відповідно до принципу Шаудера [6] це означатиме існування розв’язку системи рівнянь (15), який належатиме множині 1Z . Отже, матимемо розв’язок оптимізаційної задачі (12), (13), для якого виконуватиметься вимога ltiyy iiiii ,1,ˆ +=≤=≤ ηηα . Вимоги теореми (9) та (10) гарантуватимуть виконання оцінок відповідно iiii yy αη ≥=ˆ , ti ,1= , та tiyy iiii ,1,ˆ =≤= ηη . Нарешті умову (13) можна задовольнити за рахунок вибору параметра 1+lγ . Теорему доведено. Ця теорема дає умови існування вектора ( )ll yyy ηηγ ,,)(ˆ 11 0 …= , який відповідає оптимальному стану рівноваги економічної системи, коли кожен її суб’єкт прагне найповнішого задоволення всіх своїх потреб. За цим опти- мальним вектором ступенів задоволення потреб споживачів з виразів (5) і (8) визначимо відповідно рівноважні ціни та обсяги випусків товару. Ком- поненти вектора обсягів випусків товару монополістами ( )nt xx ,,1 …+ знай- демо за формулою ntkbieAEydx n s n j sjssks l j jjkjk ,1,)( 1 1 1 1 += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−+= ∑ ∑∑ = = − = η . З урахуванням умови (6) вони будуть додатними. А формулу для ви- значення вектора цін на товари немонополістів отримаємо, переписавши вираз (5) у вигляді +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++=∑ = t k kkj jj j kj j kjj pc x y b x ap 1 00 1 π tjpc x y b x a n tk kkj jj j kj j kj ,1,1 1 0 00 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ∑ += π . За знайденими рівноважними характеристиками економічної системи рівні оподаткування монополістів визначимо так: А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 96 ( ) ( ) ntj pbxapbxaxp pycpyc k n tk kjjkjk t k kjjkjjj s n ts jsjs t s jsj j ,1, 0 11 0 0 11 += +−+− + = ∑∑ ∑∑ +== +==π . Цей вираз для рівнів оподаткування гарантуватиме узгодженість подат- кового вектора зі структурою споживання в економічній системі [4], тобто існування рівноваги в економічній системі для цін, обсягів випусків товару та ступенів задоволення потреб споживачів, які можна визначити за допомо- гою запропонованого вище алгоритму. ВИСНОВКИ Досліджено умови встановлення рівноваги у відкритій економічній системі за наявності монополістів, в якій технології виробництва товарів містять складову постійних витрат. Визначений оптимальний розв’язок задачі про економічну рівновагу (1) відповідає такому стану рівноваги досліджуваної економічної системи, коли кожен її суб’єкт гарантуватиме отримання в ре- зультаті своєї діяльності прибутку, що дозволить йому функціонувати і на- далі. Реалізація знайденого оптимального стану рівноваги забезпечується вибором стратегії оподаткування в економічній системі. Відповідно до цієї стратегії система оподаткування відіграє роль механізму впливу на певних суб’єктів економічній системі, які можуть спричиняти розвиток неґативних процесів в економічній системі. Розв’язана тут задача узагальнює результати, отримані у роботі [5]. У цьому дослідженні враховано, що не всі суб’єкти економічної системи є ненасичуваними споживачами, які витрачають весь свій зароблений прибу- ток на придбання нових товарів. Наявність споживацької насичуваності ви- магала зміни розроблених раніше алгоритмів розв’язання задачі про еконо- мічну рівновагу у моделі економіки з постійними інтересами споживачів. ЛІТЕРАТУРА 1. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз: У 2 ч. — Київ: Вища шк., 2004. — Ч.1. Мікроекономіка. — 262 с. 2. Debreu G. Existence of competitive equilibrium // Handbook of Mathematical Eco- nomics, ed. by K.J.Arrow and M.D.Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. — Vol. II. — P. 698–742. 3. Гончар М.С. Фондовий ринок, економічний ріст. — Київ: Обереги, 2001. — 826 с. 4. Махорт А.Ф. Влияние монополизма и налогообложения на экономическую систему в случае нелинейных технологий // Кибернетика и системный ана- лиз. — 2006. — №1. — С. 155–166. 5. Махорт А.П. Оптимізація монопольних впливів в економічній системі з ураху- ванням оподаткування // Доп. НАН України. — 2006. — № 12. — С. 74–80. 6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 442 с. Надійшла 05.04.2006

Вплив насичуваності споживачів на умови досягнення рівноваги в економічній системі

Репозитарії

Схожі ресурси