Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами

Рассмотрена нелинейная система уравнений Блоха для описания динамики намагниченности в случае слабой и сильной нелинейности. Нелинейность появляется вследствие влияния колебательного контура. Показано, что в случае слабой нелинейности с помощью теории возмущений можно получить аналитическое решение...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Угулава, А.И., Чоторлишвили, Л.Л., Токликишливи, З.З., Сагардзе, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2006
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120618
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами / А.И. Угулава, Л.Л. Чоторлишвили, З.З. Токликишвили, А.В. Сагарадзе // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 10. — С. 1206–1212. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-120618
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1206182017-06-13T03:06:26Z Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами Угулава, А.И. Чоторлишвили, Л.Л. Токликишливи, З.З. Сагардзе, А.В. Низкотемпеpатуpный магнетизм Рассмотрена нелинейная система уравнений Блоха для описания динамики намагниченности в случае слабой и сильной нелинейности. Нелинейность появляется вследствие влияния колебательного контура. Показано, что в случае слабой нелинейности с помощью теории возмущений можно получить аналитическое решение, хорошо согласующееся с результатами численных расчетов. В случае сильной нелинейности движение намагниченности может носить стохастический характер, похожий на странный аттрактор. Оценена фрактальная размерность стохастического аттрактора. Розглянуто нелінійну систему рівнянь Блоха для опису динаміки намагніченості у випадку слабкої та сильної нелінійності. Нелінійність з‘являється унаслідок впливу коливального контуру. Показано, що у випадку слабкої нелінійності за допомогою теорії збурювань можна одержати аналітичне рішення, що добре узгоджується з результатами чисельних розрахунків. У випадку сильної нелінійності рух намагніченості може носити стохастичний характер, схожий на дивний атрактор. Оцінено фрактальну розмірність стохастичного атрактора. A nonlinear system of the Bloch equations, describing the motion of magnetization in the case of weak and strong nonlinearity has been studied. The nonlinearity is caused by the interaction with the oscillatory circuit. It is shown that in the case of weak nonlinearity, the analytical solution obtained with the use of the perturbation theory, is in good agreement with the numerical results. In the case of strong nonlinearity the motion of magnetization can be chaotical resembling a strange attractor. The fractional dimension of the stochastic attractor is estimated. 2006 Article Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами / А.И. Угулава, Л.Л. Чоторлишвили, З.З. Токликишвили, А.В. Сагарадзе // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 10. — С. 1206–1212. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 76.60.–k http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120618 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Угулава, А.И. Чоторлишвили, Л.Л. Токликишливи, З.З. Сагардзе, А.В. Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами Физика низких температур
description	Рассмотрена нелинейная система уравнений Блоха для описания динамики намагниченности в случае слабой и сильной нелинейности. Нелинейность появляется вследствие влияния колебательного контура. Показано, что в случае слабой нелинейности с помощью теории возмущений можно получить аналитическое решение, хорошо согласующееся с результатами численных расчетов. В случае сильной нелинейности движение намагниченности может носить стохастический характер, похожий на странный аттрактор. Оценена фрактальная размерность стохастического аттрактора.
format	Article
author	Угулава, А.И. Чоторлишвили, Л.Л. Токликишливи, З.З. Сагардзе, А.В.
author_facet	Угулава, А.И. Чоторлишвили, Л.Л. Токликишливи, З.З. Сагардзе, А.В.
author_sort	Угулава, А.И.
title	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
title_short	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
title_full	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
title_fullStr	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
title_full_unstemmed	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
title_sort	хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120618
citation_txt	Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами / А.И. Угулава, Л.Л. Чоторлишвили, З.З. Токликишвили, А.В. Сагарадзе // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 10. — С. 1206–1212. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT ugulavaai haotičeskaâdinamikaâdernojnamagničennostiobuslovlennaârezonatornymiéffektami AT čotorlišvilill haotičeskaâdinamikaâdernojnamagničennostiobuslovlennaârezonatornymiéffektami AT toklikišlivizz haotičeskaâdinamikaâdernojnamagničennostiobuslovlennaârezonatornymiéffektami AT sagardzeav haotičeskaâdinamikaâdernojnamagničennostiobuslovlennaârezonatornymiéffektami
first_indexed	2025-07-08T18:14:10Z
last_indexed	2025-07-08T18:14:10Z
_version_	1837103528672231424
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10, ñ. 1206–1212 Õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, îáóñëîâëåííàÿ ðåçîíàòîðíûìè ýôôåêòàìè À.È. Óãóëàâà, Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Ç.Ç. Òîêëèêèøâèëè, À.Â. Ñàãàðàäçå Òáèëèññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. ×àâ÷àâàäçå, 3, ã. Òáèëèñè, 0128, Ãðóçèÿ E-mail: lchotor@yahoo.com Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 3 îêòÿáðÿ 2005 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 29 ìàðòà 2006 ã. Ðàññìîòðåíà íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Áëîõà äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè íàìàãíè÷åííî- ñòè â ñëó÷àå ñëàáîé è ñèëüíîé íåëèíåéíîñòè. Íåëèíåéíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ñëàáîé íåëèíåéíîñòè ñ ïîìîùüþ òåîðèè âîç- ìóùåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, õîðîøî ñîãëàñóþùååñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñ- ëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Â ñëó÷àå ñèëüíîé íåëèíåéíîñòè äâèæåíèå íàìàãíè÷åííîñòè ìîæåò íîñèòü ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð, ïîõîæèé íà ñòðàííûé àòòðàêòîð. Îöåíåíà ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ñòîõàñòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà. Ðîçãëÿíóòî íåë³í³éíó ñèñòåìó ð³âíÿíü Áëîõà äëÿ îïèñó äèíàì³êè íàìàãí³÷åíîñò³ ó âèïàäêó ñëàáêî¿ òà ñèëüíî¿ íåë³í³éíîñò³. Íåë³í³éí³ñòü ç‘ÿâëÿºòüñÿ óíàñë³äîê âïëèâó êîëèâàëüíîãî êîí- òóðó. Ïîêàçàíî, ùî ó âèïàäêó ñëàáêî¿ íåë³í³éíîñò³ çà äîïîìîãîþ òåîð³¿ çáóðþâàíü ìîæíà îäåð- æàòè àíàë³òè÷íå ð³øåííÿ, ùî äîáðå óçãîäæóºòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè ÷èñåëüíèõ ðîçðàõóíê³â. Ó âè- ïàäêó ñèëüíî¿ íåë³í³éíîñò³ ðóõ íàìàãí³÷åíîñò³ ìîæå íîñèòè ñòîõàñòè÷íèé õàðàêòåð, ñõîæèé íà äèâíèé àòðàêòîð. Îö³íåíî ôðàêòàëüíó ðîçì³ðí³ñòü ñòîõàñòè÷íîãî àòðàêòîðà. PACS: 76.60.–k Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìèêà íàìàãíè÷åííîñòè, ñòîõàñòè÷åñêèé àòòðàêòîð, íåëèíåéíàÿ ñèñòå- ìà óðàâíåíèé Áëîõà. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ âåäåòñÿ èíòåíñèâíîå èññëåäî- âàíèå íåëèíåéíûõ ýôôåêòîâ â ñèñòåìàõ ÿäåðíûõ ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ, îáóñëîâëåííûõ âîçäåéñòâèåì ðåçîíàòîðà (êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà) íà äèíàìèêó ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè [1–4]. Ðåçîíàòîðíûå ýô- ôåêòû îñíîâàíû íà îáðàòíîì âîçäåéñòâèè íà íåå íàâåäåííîãî íàìàãíè÷åííîñòüþ ïîëÿ â ðåçîíàòîðå. Èç-çà ïðåöåññèè ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè êîëåáà- òåëüíûé êîíòóð ïðîíèçûâàåò ïåðåìåííûé ìàãíèò- íûé ïîòîê. Ñîãëàñíî çàêîíó ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ýòî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ èíäóöèðîâàííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, âîçäåéñò- âóåò íà äèíàìèêó ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè. Î âîç- íèêíîâåíèè îáðàòíîé ñâÿçè â êîëåáàòåëüíûõ êîíòó- ðàõ äåòàëüíî ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ìîíîãðàôèè [5]. Â ðåçóëüòàòå òàêîé îáðàòíîé ñâÿçè óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè (óðàâíåíèÿ Áëîõà), îêàçûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè. Íåëèíåéíîñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò ïîñëóæèòü ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷íîñòè [6–9] â ÿäåðíîé ñïèíîâîé ñèñòåìå. Áûëî èññëå- äîâàíî óñèëåíèå ñèãíàëà ÿäåðíîãî ñïèíîâîãî ýõà â ìàãíåòèêàõ [10], ðàäèî÷àñòîòíîå ñâåðõèçëó÷åíèå ÿäåðíûìè ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè, îáóñëîâëåííîå ðåçîíàòîðíûìè ýôôåêòàìè [11–13]. Öåëü äàííîé ðàáîòû — èçó÷åíèå äèíàìèêè ÿäåð- íîé íàìàãíè÷åííîñòè ïðè îäíîâðåìåííîì âîçäåéñò- âèè íà ñèñòåìó íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè Z ïîñòî- ÿííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ H0, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè X ðàäèî÷àñòîòíîãî (Ð×) ïîëÿ ñ ÷àñòîòîé � è àìïëèòóäîé H1 è íàâåäåííîãî ñàìîé íàìàãíè÷åííî- ñòüþ M ïîëÿ H M /M i n� �� e [14]. Çäåñü M � � � �M iMx y ; � n — ãèðîìàãíèòíîå îòíîøåíèå äëÿ ÿäåð, � — ôàçà íàâåäåííîãî íàìàãíè÷åííîñòüþ ïîëÿ; � — êîýôôèöèåíò, îïðåäåëÿåìûé ïàðàìåòðà- ìè êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà [14]: � �� 2 0L/R, ãäå L — èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè, R — ñîïðîòèâëåíèå, �0 � A /As c — êîýôôèöèåíò çàïîëíåíèÿ êàòóøêè îáðàçöîì, As — ïëîùàäü ñå÷åíèÿ îáðàçöà, Ac — ïëîùàäü ñå÷åíèÿ êàòóøêè. © À.È. Óãóëàâà, Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Ç.Ç. Òîêëèêèøâèëè, À.Â. Ñàãàðàäçå, 2006 Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî âûøå, óðàâíåíèÿ Áëîõà, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, ïðèìóò âèä � , � M M M M M M T M M M M x y z x y x y x z z � � � � � � � � � � � � � � ( sin cos ) 1 2 � � � � � � � � � � � � � M M M T M M M M z x y z y x y ( cos s in ) – sin ( )1 My 2 2 2 , � M M T z � � � � � � � � � � 0 1 , , (1) ãäå � �� 0 — ðàññòðîéêà ìåæäó ÷àñòîòîé ÿäåð- íîãî ìàãíèòíîãî ðåçîíàíñà (ßÌÐ) �0 è ÷àñòîòîé ïåðåìåííîãî ðàäèî÷àcòîòíîãî ïîëÿ �; T1 è T2 — âðå- ìåíà ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé ÿäåðíîé ìàãíèòíîé ðåëàêñàöèè; � �1 � H n1 — àìïëèòóäà ðàäèî÷àñòîò- íîãî ïîëÿ â ÷àñòîòíûõ åäèíèöàõ. Äëÿ óäîáñòâà â cècòåìå óðàâíåíèé (1) ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì: t t M T T� � � � �� 1 0 1 1 12 1 12 12, , , ,, , ,� M M M x M M M yx x y y � � � � 0 0 , , M M M z Mz z� � � 0 0 0, \| ( )\|M . Â íîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ïðè- íèìàåò âèä � , � � x y z x y x y y z z x y z y z � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) – ( ), 1 � � � x � � � � � � � � � � ��( ),2 2x y (2) ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ � � � �� sin , cos . Êðîìå òîãî, ìû äîïóñòèëè, ÷òî âðåìåíà ïðîäîëüíîé è ïî- ïåðå÷íîé ðåëàêñàöèè — âåëè÷èíû îäíîãî ïîðÿäêà: � � �1 2� � . Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ æèäêîñòåé. Ñëó÷àé ñëàáîé íåëèíåéíîñòè èññëåäóåì ñ ïîìî- ùüþ ìåòîäà âîçìóùåíèé, êîãäà çà âîçìóùåíèå ïðè- íèìàþòñÿ íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé íåîáõîäèìî ñèñòåìó óðàâíåíèé (2) ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Ñëåäóÿ ñòàí- äàðòíîé ìåòîäèêå [15], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîá- ðàçîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèå ñèñòåìó óðàâíåíèé (2) ê êà- íîíè÷åñêîìó âèäó, èìåþò âèä x x z y y z x z 1 1 1 2 2 , 2 , 1 , � � � � � � � � � � � � � (3) ãäå � � �1 2 . Çàïèñàâ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ (3) óðàâ- íåíèÿ äâèæåíèÿ (2), äëÿ ïåðåìåííûõ x y z1 1 1, , ïî- ëó÷èì �x x y x y y z y1 1 1 � � � � � � � � � �� 1 3 1 1 3 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 x z z y x y x x z � � � � � � �� , �1 1 1 � �� 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1 2 4 z x y y z z z x y � � � � � , �1 1 � � � � � � � � � �� 2 4 4 23 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1y z x y x z 1 � . � � � � (4) Ïðåíåáðåãàÿ ðåëàêñàöèîííûìè ïðîöåññàìè (ò.å. ðàññìàòðèâàÿ ðåøåíèÿ äëÿ èíòåðâàëîâ âðåìåíè, ìåíüøèõ âðåìåíè ðåëàêñàöèé: t T� 12, ), ìîæíî ïî- ëó÷èòü ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (4). Ââåäåì äëÿ ýòîãî íîâûé ìàñøòàá âðåìåíè t h c h c� � � � � � ( ...)1 2 2 3 3 . (5) Çäåñü hk — êîýôôèöèåíòû, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîä- áîð êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåò ïåðèîäè÷íîñòü ðåøåíèé: h x y dk k k � � ��1 1 1 0 2 1 2�� [ ( )sin ( ) cos ]( ) ( ) . (6) Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4) â âèäå ðÿäîâ x c xk k k 1 1 1 � � � � ( ); y c yk k k 1 1 1 � � � � ( ); z c zk k k 1 1 1 � � � � ( ). (7) Õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, îáóñëîâëåííàÿ ðåçîíàòîðíûìè ýôôåêòàìè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 1207 Ïîäñòàâëÿÿ (5) è (7) â (4) è èñïîëüçóÿ óñëîâèå (6), äëÿ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðâîìó, âòîðîìó è òðåòüåìó ïîðÿäêó òåîðèè âîçìóùåíèé è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì x c1 ,( )0 � y1 0,( )0 � z1( )0 � z1 2( ),� ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: x y z( ) ( ) ( )( ) cos , sin , ( ) cos1 2 1 1 22 2 2 � � � � � � � � � � � � , (8) x y ( )( ) { cos sin [ (cos ) sin ]} ,2 6 2 4 1 16 � � � � � �� ( ) ( ) ( ) cos cos cos sin , ( ) { 2 2 5 2 4 � �� z � � � � � � � �� 2 6 2 4 1 16 cos sin [ (cos ) sin ]} . � (9) x( )( )3 2 2 10 2 2 2 10 2 2 3 10 2 2 16 9 512 32 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 10 2 2 8 2 2 8 2 256 3 32 2 8 � � � � � � � � � � � � cos cos 2 10 2 2 2 10 2 2 3 10 2 2 4 1048 11 1536 32 256 � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 8 2 9 2 9 2 2 32 3 4 64 16 � � � �� cos � �� 9 2 3 9 2 9 2 2 9 3 128 16 8 � � � � � � � � � � � � � � � sin � � � � � � � � � �sin2 48 192 16 1 2 9 2 9 2 2 9 3 2 � �� 28 3 16 128 9 3 2 8 2 2 8 � � � �� sin , ( )( )y � � � � � � � � � � � � �cos cos� �� 2 8 2 8 2 2 88 2 16 128� � � � � � � � � � � cos 3 13 512 32 7 256 2 2 9 2 2 2 9 2 2 3 9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 7 2 2 7 2 2 9 2 32 8 2 3 512 � � � � � � � � � � � � sin sin 2 2 9 2 2 3 9 2 2 7 3 32 256 32 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � sin , ( )( )z � � � � � � � � � � � � 2 2 10 2 2 2 10 2 2 3 10 2 2 8512 32 3 256 3 32 � � � � � � � � � � � � � � � � � cos cos� � � � � � � � � � � � 2 2 8 2 2 10 2 2 2 10 8 2 512 96 2 2 3 10 2 2 8 2 9 2 768 32 3 7 48 � � � � � � �� cos 2 9 2 9 2 9 192 16 2 18 5 � � �� sin sin 2 2 9192 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� sin cos . � � � � � � � � � � � � � (10) Ïðèñòóïèì ê àíàëèçó ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � �� 1 2 è � �� 1, � �� 1, óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè òåîðèè âîçìóùåíèé ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä: � � � � � � � � � �x x y y z( ) max ( ) max ( ) max ( ) max ( ) m ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2� � � � � � � � � ax ( ) max ( )z 1 3 5 4 1 � � � � � , (11) � � � � � � � � � �x x y y z( ) max ( ) max ( ) max ( ) max ( ) m ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3� � � � � � � � � ax ( ) max ( ) . z 2 2 4 5 1 � � � � � (12) 1208 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 À.È. Óãóëàâà, Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Ç.Ç. Òîêëèêèøâèëè, À.Â. Ñàãàðàäçå Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � � �� M /0 1 è � � �� ( ) ,0 1/ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (12) ìîæíî ïîëó÷èòü êðèòè÷å- ñêîå çíà÷åíèå � c � 5 4 1 0 1 2 � �� , (13) ïðè êîòîðîì õàðàêòåð äâèæåíèÿ êà÷åñòâåííî ìåíÿåòñÿ. Êàê âèäíî èç (13), êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåò- ðà íåëèíåéíîñòè � c îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðàñ- ñòðîéêîé è àìïëèòóäîé ïåðåìåííîãî ïîëÿ. Âàðüèðóÿ ýòè ïàðàìåòðû, ìîæíî äîñòè÷ü ïåðåõîäà èç îáëàñòè ðåãóëÿðíîé äèíàìèêè ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè � � � c, � � � � �1 0 2 1 0 4 5 � � � ( ) M (14) â îæèäàåìóþ îáëàñòü õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè � � � c, � � � � �1 0 2 1 0 4 5 � � � ( ) M . (15) Èç íåðàâåíñòâà (15) ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðà- çîâàíèé ïîëó÷èì � � � � �1 0 2 0 2 0 22 5 2 5 �� M M( ) . (16) Ýòî íåðàâåíñòâo îïðåäåëÿåò îáëàñòü çíà÷åíèé ïà- ðàìåòðîâ �1 è �, ãäå ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèå äè- íàìè÷åñêîãî õàîñà. Ïî îòíîøåíèþ ê ïàðàìåòðàì �1 è � ýòà îáëàñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóã (ñì. ðèñ. 1). Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò òðåáóåò íåêîòîðûõ ïîÿñíåíèé. Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå � � �� M /0 1, ìîæíî ïîäóìàòü, ÷òî óìåíüøåíèåì àìïëèòóäû ïåðå- ìåííîãî ïîëÿ �1 ìîæíî äîñòè÷ü óâåëè÷åíèÿ âåëè÷è- íû � è òåì ñàìûì ñîçäàíèÿ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè îòñóòñòâèè íàêà÷êè ðå÷ü íå ìîæåò èäòè íè î êàêîì õàîñå. Îòâåò íà ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîñòûì óìåíüøåíèåì àì- ïëèòóäû íàêà÷êè �1 íåâîçìîæíî äîñòè÷ü âûïîëíå- íèÿ óñëîâèÿ � � � c (ñ óìåíüøåíèåì �1 ðàñòåò è � c (ñì. ôîðìóëó (13)). Äëÿ äîñòèæåíèÿ õàîñà íåîá- õîäèì òàêîé ïîäáîð ïàðàìåòðîâ ïåðåìåííîãî ïîëÿ, êîòîðûé îáåñïå÷èò ïîïàäàíèå â çàøòðèõîâàííóþ íà ðèñ. 1 îáëàñòü. Óñëîâèå (16) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî íå äîñ- òàòî÷íûì óñëîâèåì âîçíèêíîâåíèÿ õàîñà â ñèñòåìå. Áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû �, ïðè êîòîðîì â ñèñòåìå âîçíèêàåò õàîñ, ìîæíî îïðåäåëèòü òîëüêî ñ ïðèìåíåíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Óñëîâèå (14) íàêëàäûâàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè- ÷åíèÿ íà ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Èñïîëüçóÿ îöåíêó �M0 610� Ãö [14], äëÿ àìïëèòóäû Ð× ïîëÿ è äëÿ ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòî- òàìè ßÌÐ è Ð× ïîëó÷èì �1 53 3 10� �, Ãö, � �� 0 60 47 10, Ãö. (17) Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (17), ò.å. ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àìïëèòóäû ðàäèî÷àñòîòíîãî ïîëÿ è ðàñ- ñòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòàìè P× ïîëÿ è çååìàíîâñêîé ÷àñòîòîé, â ñèñòåìå ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè îñó- ùåñòâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîå, ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå. Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøå- íèÿ (8)–(10) õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì. ðèñ. 2). Êàê âèäíî íà ðèñ. 2, çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïî- ïåðå÷íîé êîìïîíåíòû ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè íî- ñèò ãàðìîíè÷åñêèé õàðàêòåð. Äåécòâèòåëüíî, ïîä- ñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, èñïîëüçîâàííûõ ïðè ïîñòðîåíèè ðèñ. 2, â ðåøåíèÿ (8)–(10), ìîæíî óâè- äåòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè ÷ëåíàõ ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìè ìàëû: x3 0 24 0 001 2 0 0001 3( ) , cos , cos , cos� � � �� 0 001 0 5 0 5 0 007 0 5 0 53 3, cos , sin , , cos , cos sin ,� � � � � � � � �0 02 0 01 2 0 0003 2 0 01 2, sin , sin , cos sin , sin .� � � � � (18) Âñëåäñòâèå ýòîãî ðåøåíèÿ íîñÿò ñóùåñòâåííî ëè- íåéíûé õàðàêòåð. Ïðè óìåíüøåíèè àìïëèòóäû ïå- ðåìåííîãî ïîëÿ, �1 51 4 10� �, , ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ. Ðîëü âûcøèõ ãàðìîíèê ñòàíîâèòñÿ çíà÷èìîé: x3 016 0 06 2 0 07 3( ) , cos , cos , cos� � � �� 0 08 0 5 0 5 0 45 0 5 0 53 3, cos , sin , , cos , cos sin ,� � � � � � � � � �0 24 0 09 2 0 01 2 011 2, sin , sin , cos sin , sin ,� � � � � (19) Õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, îáóñëîâëåííàÿ ðåçîíàòîðíûìè ýôôåêòàìè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 1209 1,004 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 , 10 Ãö1 6 8 , 1 0 Ãö 0 Ðèñ. 1. Îáëàñòü ñèëüíîãî àíãàðìîíèçìà â ïëîñêîñòè ïà- ðàìåòðîâ ( ; )� �1 ïðåäñòàâëåíà çàøòðèõîâàííûì êðóãîì c ðàäèóñîì 2 50�M / è öåíòðîì â òî÷êå ( ; )2 50 0� �M / . Çà- øòðèõîâàííàÿ îáëàñòü îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ïåðåìåííîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ïîÿâëåíèå õàîñà. Ãðàôèê ïîñòðîåí ñîãëàñíî ôîðìóëå (16) ïðè çíà- ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ �M0 610� Ãö è �0 810� Ãö. è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ðåøåíèÿ, âñëåäñòâèå íå- ëèíåéíîñòè, íîñèò ïîëèõðîìàòè÷åñêèé õàðàêòåð (ñì. ðèñ. 3). Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ è äëÿ y t3( )-êîìïîíåíòû ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè. Ââèäó êðàòêîñòè èçëîæåíèÿ ìû èõ íå ïðèâîäèì. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà � (ýòîò ñëó÷àé äîñòèãàåòñÿ ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ P× ïîëÿ �1 510� Ãö) â ñèñòåìå ìîæåò âîçíèêíóòü äèíàìè÷å- ñêàÿ ñòîõàñòè÷íîñòü. Âñëåäñòâèå ýòîãî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïåðåõîäà îò ìåõàíè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ê ñòîõàñòè÷åñêîìó. Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ, ïðîèñ- õîäÿùèõ â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå, çíà÷èìûìè ñòà- íîâÿòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ — ýíòðîïèÿ Êîë- ìîãîðîâà [6], ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ñòðàííîãî àòòðàêòîðà [17–19]. Ýòè ïîíÿòèÿ, ÿâëÿÿñü ïî îïðå- äåëåíèþ ñòàòèñòè÷åñêèìè, òåñíî ñâÿçàíû ñ ìåõàíè- ÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåìû, êîíêðåòíî ñ ëîêàëüíîé íåóñòîé÷èâîñòüþ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. Íàøà öåëü — îïðåäåëåíèå çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ ïà- ðàìåòðîâ çàäà÷è, ïðè êîòîðûõ â ñèñòåìå óðàâíåíèé (1) âîçíèêàåò ñòðàííûé àòòðàêòîð. Êàê ïîêàçûâàþò ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû (ñì. ðèñ. 4 è 5), ýòèìè çíà- ÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ: �M0 610� Ãö, �1 42 9 10� �, Ãö, �0 810� Ãö, � �126, , T1 4172 10� � �, ,c T2 � � � �0 86 10 4, c, � = 0,172, � � 0 98, . Õîòÿ íàëè÷èå ñòðàííîãî àòòðàêòîðà — íåîñïîðè- ìûé ôàêò, ñâèäåòåëüñòâóþùèé î íàëè÷èè õàîñà, äëÿ ïîëíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ íåîáõîäèìî èçó÷åíèå êî- ððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ðåøåíèé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýíòðîïèè Êîëìîãîðîâà âîñ- ïîëüçóåìñÿ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì êîððåëÿöèîí- íîé ôóíêöèè: G x t x tx( ) ( ) ( )� �� ! , G d Gx x i c c ( ) ( ) ,� � � � � � �� e 1 2 2 (20) 1210 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 À.È. Óãóëàâà, Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Ç.Ç. Òîêëèêèøâèëè, À.Â. Ñàãàðàäçå 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, ìêñ 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 x x3 Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïîïåðå÷íîé êîìïîíåíòû ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè îò âðåìåíè. Ãðàôèê ïîñòðîåí ñ èñïîëüçî- âàíèåì ôîðìóë (8)–(10) è ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñ- òåìû óðàâíåíèé (2) äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �0 810� Ãö, �1 611 10� �, Ãö, � � 126, , �M0 610� Ãö, c � 1, � �� 2 2/ , �c � 323, , � � 09, . Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò àíàëèòè÷å- ñêîìó ðåøåíèþ, ïîëó÷åííîìó â òðåòüåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèÿ: x t x t3 1( ) ( )( )� x t x t( ) ( )( ) ( ).2 3 Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ — ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) áåç ó÷åòà ðåëàêñàöèîííûõ ïðîöåññîâ. ×èñ- ëåííûé ðåçóëüòàò (êàê è âñå äðóãèå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â ðàáîòå) ïîëó÷åí ñ ïðèìåíåíèåì ïðîãðàìì- íîãî ïàêåòà MatLab 7.0. 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t, ìêñ x x3 Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ïîïåðå÷íîé êîìïîíåíòû ÿäåðíîé íà- ìàãíè÷åííîñòè îò âðåìåíè. Ãðàôèê ïîñòðîåí ñ èñïîëüçî- âàíèåì ôîðìóë (8)–(10) è ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �0 810� Ãö, �1 5142 10� �, Ãö, � � 126, , �M0 610� Ãö, c � 1, � �� 2 2/ , � �c � �3 7, . Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò àíàëèòè÷åñêîìó ðåøåíèþ, ïîëó÷åííîìó â òðåòüåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèÿ x t x t3 1( ) ( )( )� x t( )( )2 x t( )( ).3 Ïóíê- òèðíàÿ ëèíèÿ — ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñ- òåìû óðàâíåíèé (2) áåç ó÷åòà ðåëàêñàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Êàê âèäíî, íåñìîòðÿ íà àíãàðìîíè÷íîñòü, êîëåáàíèÿ íîñÿò ðåãóëÿðíûé õàðàêòåð. t, ìêñ 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0 –0,25 z 0 50 100 150 200 250 300 Ðèñ 4. Çàâèñèìîñòü ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ÿäåðíîé íà- ìàãíè÷åííîñòè îò âðåìåíè. Ãðàôèê ïîëó÷åí ïóòåì ÷èñ- ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) â ïðåíå- áðåæåíèè ðåëàêñàöèîííûìè ïðîöåññàìè äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �M0 610� Ãö, �1 429 10� �, Ãö, �0 810� Ãö, � � 126, , �c � 323, , � � 35, � = 0,172, � � 098, . Êàê âèäíî, êîëåáàíèå íîñèò õàîòè÷åñêèé õàðàêòåð. ãäå ! � � �(...) lim (...) T T T dt 1 0 îçíà÷àåò ñðåäíåå ïî âðå- ìåíè, � c— âðåìÿ êîððåëÿöèè, ñâÿçàííîå ñ ýíòðîïèåé Êîëìîãîðîâà ñîîòíîøåíèåì h / c0 1� � . Ïðè ïðàêòè- ÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ äëÿ (20) óäîáíåå âîñïîëü- çîâàòüñÿ ìåòîäîì áûñòðîãî ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ [20,21]. Êàê ïîêàçûâàþò ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû, äëèíà êîððåëÿöèè ðàâíà � c � � �3 10 6 c. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåí- íûõ ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ñòðàí- íîãî àòòðàêòîðà âîñïîëüçóåìñÿ àëãîðèòìîì Ãðàññáåð- ãåðà—Ïðîêà÷÷èà [17–19]. Ñóòü àëãîðèòìà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü èç ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äèíàìèêè ïîëó÷åí íàáîð âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ {" i i N, , ,...,� 1 2 }, îòâå- ÷àþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíûì øàãàì èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Çàäàâøèñü íåêîòî- ðûì (ìàëûì) #, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûé íàáîð äàííûõ äëÿ îöåíêè ñëåäóþùåé ñóììû: � �C N NN i j i j N ( ) lim ( ) ( ), , # $ # " "� � � � � � �1 1 1 (21) ãäå $ — ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà $( ) 0, 0, 1, 0. x x x � � % � Ñîãëàñíî àëãîðèòìó Ãðàññáåðãåðà—Ïðîêà÷÷èà, çíàÿ C( )# , ìîæíî îïðåäåëèòü ôðàêòàëüíóþ ðàçìåð- íîñòü ñòðàííîãî àòòðàêòîðà: D C � lim ( ) log # #0 . (22) Ïðîèçâåäåì ðàñ÷åò C( )# ïðè ðàçëè÷íûõ # è ïðåä- ñòàâèì ðåçóëüòàòû â êîîðäèíàòàõ log ( ( ))C # îò log #. Ïðåäïîëàãàåìàÿ çàâèñèìîñòü C( )# èìååò âèä #D, òàê ÷òî ïîëó÷åííûé ãðàôèê äîëæåí èìåòü âèä ïðÿìîé ëèíèè ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì D. Ðå- çóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 7. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñàìîâîç- äåéñòâèå ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, ïðèâîäÿùåå ê íåëèíåéíîñòÿì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ìîæåò ïîñëó- æèòü ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷- íîñòè â áëîõîâñêîé ñèñòåìå (1). Ñîãëàñíî (16), íå- Õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè, îáóñëîâëåííàÿ ðåçîíàòîðíûìè ýôôåêòàìè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 1211 1,0 0,5 0 –0,5 z –1,0 2 1 0 y –1 –2 –2 –1 0 x 1 2 3 Ðèñ. 5. Ôàçîâûé ïîðòðåò ñòðàííîãî àòòðàêòîðà. Ãðàôèê ïîëó÷åí ïóòåì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �M0 610� Ãö, �1 429 10� �, Ãö, �0 810� Ãö, � � 126, , T1 4172 10� � �, ,c T2 4086 10� � �, ,c � = 0,172, � � 098, . Çàòåìíåííûå îáëàñ- òè, ñ áîëüøîé ïëîòíîñòüþ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåò- ñòâóþò ïðèòÿãèâàþùèì òî÷êàì, íàëè÷èå êîòîðûõ õàðàê- òåðíî äëÿ ñòðàííîãî àòòðàêòîðà [8,9]. 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 , ìÃö 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 G 0 Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü ôóðüå-îáðàçà êîððåëÿöîííîé ôóíê- öèé îò ÷àñòîòû �. Íàëè÷èå êîíå÷íîé øèðèíû êîððå- ëÿöèîííîé ôóíêöèè G( )� — äîêàçàòåëüñòâî ïîÿâëåíèÿ õàîñà. Èíûìè ñëîâàìè ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êîëåáàòåëü- íûé ïðîöåññ íå õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííîé ÷àñòîòîé (ïåðèîäîì). Â êîëåáàòåëüíîì ïðîöåññå çàäåéñòâîâàíû âñå ÷àñòîòû (ïåðèîäû), ðàñïîëîæåííûå â êîíå÷íîì ÷àñ- òîòíîì èíòåðâàëå �� 1 3/ c ìÃö. log � 10 –4,2 lo g (C ( )) 10–4,3 10 –1 100 Ðèñ. 7. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè log( ( ))C îò log , ïîñòðî- åííûé ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �M0 610� Ãö, �1 429 10� �, Ãö, �0 810� Ãö, � � 126, , T1 4172 10� � �, ,c T2 4086 10� � �, ,c � = 0,172, � � 098, , �c � 323, , ñ ïîñëåäóþøèì ïðèìåíåíèåì ôîðìóë (21), (22). Èç ýòîãî ãðàôèêà ìîæíî îöåíèòü ôðàêòàëüíóþ ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðà ïî ôîðìóëå D C C /� �[log ( ( )) log ( ( ))] [log log ] , , 2 1 2 1 222 � 01, , 2 011� , . îáõîäèìûå óñëîâèÿ ïîÿâëåíèÿ õàîñà îïðåäåëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè ðåçîíàòîðà è õàðàêòåðèñòèêàìè ïåðå- ìåííîãî ïîëÿ. Íàäëåæàùèì ïîäáîðîì ýòèõ õàðàêòå- ðèñòèê (ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèÿ ðåçîíàíñà � �� 0 è ïðè àìïëèòóäå ïåðåìåííîãî ïîëÿ � �1 0� M ) ïðî- èñõîäèò õàîòèçàöèÿ ñèñòåìû. Â ðåçóëüòàòå â ñèñòå- ìå ÿäåðíîé íàìàãíè÷åííîñòè ïðîèñõîäèò ôîðìè- ðîâàíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà. Âû÷èñëåííàÿ ðàçìåðíîñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà àòòðàêòîðà íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá îá- ðàçîâàíèè ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð. 1. Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Â.Ì. Öõâàðàäçå, ÔÍÒ 30, 739 (2004). 2. Þ.Ô. Êèñèëåâ, À.Ô. Ïðóäêîãëÿä, À.Ñ. Øóìîâñêèé, Â.È. Þêàëîâ, ÆÝÒÔ 94, âûï. 2, 344 (1988). 3. Í.À. Áàæàíîâ, Ä.Ñ. Áóëÿíèöà, À.È. Êîâàëåâ è äð., ÔÒÒ 31, âûï. 2, 206 (1989). 4. Yu.F. Kisilev, A.S. Shumovsky, and V.I. Yukalov, Mod. Phys. Lett. 3, 1149 (1989). 5. Â.Â. Ìèãóëèí, Â.È. Ìåäâåäåâ, Å.Ð. Ìóñòåëü, Â.Í. Ïàðûãèí, Îñíîâû òåîðèè êîëåáàíèè, Íàóêà, Ìîñêâà (1978). 6. Ã.Ì. Çàñëàâñêèé, Ð.Ç. Ñàãäååâ, Ââåäåíèå â íåëèíåé- íóþ ôèçèêó, Íàóêà, Ìîñêâà (1988). 7. Ã.Ì. Çàñëàâñêèé, Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, Íàóêà, Ìîñêâà (1988). 8. Þ.È. Íåéìàðê, Ï.C. Ëàíäà, Ñòîõàñòè÷åñêèå è õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, Íàóêà, Ìîñêâà (1987). 9. Øóñòåð, Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ, Ìèð, Ìîñêâà (1988). 10. Í.Ï. Ôîêèíà, Ê.Î. Õóöèøâèëè, ÔÌÌ 10, 44 (1991). 11. N.P. Fokina, K.O. Khutsishvili, and S.G. Chkhaidze, Physica B179, 171 (1992). 12. K.O. Khutsishvili and S.G. Chkaidze, Physica B176, 54 (1992). 13. Í.Ï. Ôîêèíà, Ê.Î. Õóöèøâèëè, Ñ.Ã. ×õàèäçå, ÆÝÒÔ, 102, âûï. 3, 1013 (1992). 14. R.F. Hobson and R. Kayser, J. Mag. Reson. 20, 458 (1975). 15. Í.Í. Ìîèñååâ, Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû íåëèíåé- íîé ìåõàíèêè, Íàóêà, Ìîñêâà (1981). 16. È.Ì. Áàáàêîâ, Òåîðèÿ êîëåáàíèé, Íàóêà, Ìîñêâà (1968). 17. P. Grassberger, Phys. Lett. A97, 227 (1983). 18. P. Grassberger, Phys. Lett. A97, 224 (1983). 19. P. Grassberger and I. Procaccia, Physica D9, 189 (1983). 20. G.M. Tenkins and D.G. Watts, Spectral Analysis and its Applications, Holden-Day (1978). 21. R.K. Otnes and L. Enochson, Applied Time Series Analysis, John Wiley and Sons (1978). Chaotic dynamics of nuclear magnetization caused by resonator effects A.I. Ugulava, L.L. Chotorlishvili, Z.Z. Toklikishvili, and A.V. Sagaradze A nonlinear system of the Bloch equations, describing the motion of magnetization in the case of weak and strong nonlinearity has been studied. The nonlinearity is caused by the inter- action with the oscillatory circuit. It is shown that in the case of weak nonlinearity, the analyt- ical solution obtained with the use of the pertur- bation theory, is in good agreement with the nu- merical results. In the case of strong nonlinearity the motion of magnetization can be chaotical re- sembling a strange attractor. The fractional di- mension of the stochastic attractor is estimated. Keywords: motion of magnetization, stochastic attractor, nonlinear system of the Bloch equa- tions. 1212 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 10 À.È. Óãóëàâà, Ë.Ë. ×îòîðëèøâèëè, Ç.Ç. Òîêëèêèøâèëè, À.Â. Ñàãàðàäçå

Хаотическая динамика ядерной намагниченности, обусловленная резонаторными эффектами

Репозитарії

Схожі ресурси