Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами
Показано, что зависимость магнитной восприимчивости электронов в кристалле от их химического потенциала может иметь вид резкой ступеньки. Эта необычная аномалия магнитной восприимчивости возможна только при определенном типе вырождения двух электронных энергетических зон в точке зоны Бриллюэна кр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120942 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами / Г.П. Микитик // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 10. — С. 1104–1108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-120942 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1209422017-06-14T03:06:00Z Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами Микитик, Г.П. Низкотемпеpатуpный магнетизм Показано, что зависимость магнитной восприимчивости электронов в кристалле от их химического потенциала может иметь вид резкой ступеньки. Эта необычная аномалия магнитной восприимчивости возможна только при определенном типе вырождения двух электронных энергетических зон в точке зоны Бриллюэна кристалла, и если химический потенциал находится в окрестности энергии вырождения. В частности, такое вырождение зон имеет место в кристаллах со структурой А-15 (например, в V₃Si). Полученные результаты могут быть использованы для объяснения сильных температурных зависимостей магнитной восприимчивости, наблюдаемых в сверхпроводящих материалах с этой структурой в нормальном состоянии. Показано, що залежність магнітної сприйнятливості електронів у кристалі від їхнього хімічного потенціалу може мати вигляд різкої сходинки. Ця незвичайна аномалія магнітної сприйнятливості можлива тільки при певному типі виродження двох електронних енергетичних зон у точці зони Бріллюєна кристала, і якщо хімічний потенціал знаходиться поблизу енергії виродження. Зокрема, таке виродження зон має місце в кристалах зі структурою А-15 (наприклад, в V₃Si). Отримані результати можуть бути використані для пояснення сильних температурних залежностей магнітної сприйнятливост і, які спостерігаються у надпровідних матеріалах з цією структурою у нормальному стані. It is shown that the dependence of magnetic susceptibility of electrons in a crystal on their chemical potential is of a sharp step shape. This unusual anomaly of the magnetic susceptibility may occur only under a certain type of degeneracy of two electron-energy bands at a point of the Brillouin zone and if the chemical potential is in the vicinity of the degenerate energy. In particular, this type of degeneracy occurs in compounds with the crystal structure A-15 (e.g., in V₃Si). The results obtained can be used to explain the known strong temperature dependences of magnetic susceptibility of A-15 superconductors when they are in the normal state. 2007 Article Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами / Г.П. Микитик // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 10. — С. 1104–1108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.18.+y, 74.70.Ad http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120942 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| spellingShingle |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Микитик, Г.П. Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами Физика низких температур |
| description |
Показано, что зависимость магнитной восприимчивости электронов в кристалле от их химического
потенциала может иметь вид резкой ступеньки. Эта необычная аномалия магнитной восприимчивости
возможна только при определенном типе вырождения двух электронных энергетических зон в
точке зоны Бриллюэна кристалла, и если химический потенциал находится в окрестности энергии вырождения.
В частности, такое вырождение зон имеет место в кристаллах со структурой А-15 (например,
в V₃Si). Полученные результаты могут быть использованы для объяснения сильных температурных
зависимостей магнитной восприимчивости, наблюдаемых в сверхпроводящих материалах с этой
структурой в нормальном состоянии. |
| format |
Article |
| author |
Микитик, Г.П. |
| author_facet |
Микитик, Г.П. |
| author_sort |
Микитик, Г.П. |
| title |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| title_short |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| title_full |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| title_fullStr |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| title_full_unstemmed |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| title_sort |
аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/120942 |
| citation_txt |
Аномалия магнитной восприимчивости в виде ступеньки в кристаллах с вырожденными электронными энергетическими зонами / Г.П. Микитик // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 10. — С. 1104–1108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT mikitikgp anomaliâmagnitnojvospriimčivostivvidestupenʹkivkristallahsvyroždennymiélektronnymiénergetičeskimizonami |
| first_indexed |
2025-07-08T18:54:10Z |
| last_indexed |
2025-07-08T18:54:10Z |
| _version_ |
1837106044675817472 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 10, ñ. 1104–1108
Àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè â âèäå
ñòóïåíüêè â êðèñòàëëàõ ñ âûðîæäåííûìè
ýëåêòðîííûìè ýíåðãåòè÷åñêèìè çîíàìè
Ã.Ï. Ìèêèòèê
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: mikitik@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 7 ôåâðàëÿ 2007 ã.
Ïîêàçàíî, ÷òî çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå îò èõ õèìè÷åñêî-
ãî ïîòåíöèàëà ìîæåò èìåòü âèä ðåçêîé ñòóïåíüêè. Ýòà íåîáû÷íàÿ àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷è-
âîñòè âîçìîæíà òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîì òèïå âûðîæäåíèÿ äâóõ ýëåêòðîííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí â
òî÷êå çîíû Áðèëëþýíà êðèñòàëëà, è åñëè õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë íàõîäèòñÿ â îêðåñòíîñòè ýíåðãèè âû-
ðîæäåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, òàêîå âûðîæäåíèå çîí èìååò ìåñòî â êðèñòàëëàõ ñî ñòðóêòóðîé À-15 (íàïðè-
ìåð, â V3Si). Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îáúÿñíåíèÿ ñèëüíûõ òåìïåðàòóð-
íûõ çàâèñèìîñòåé ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè, íàáëþäàåìûõ â ñâåðõïðîâîäÿùèõ ìàòåðèàëàõ ñ ýòîé
ñòðóêòóðîé â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè.
Ïîêàçàíî, ùî çàëåæí³ñòü ìàãí³òíî¿ ñïðèéíÿòëèâîñò³ åëåêòðîí³â ó êðèñòàë³ â³ä ¿õíüîãî õ³ì³÷íîãî
ïîòåíö³àëó ìîæå ìàòè âèãëÿä ð³çêî¿ ñõîäèíêè. Öÿ íåçâè÷àéíà àíîìàë³ÿ ìàãí³òíî¿ ñïðèéíÿòëèâîñò³
ìîæëèâà ò³ëüêè ïðè ïåâíîìó òèï³ âèðîäæåííÿ äâîõ åëåêòðîííèõ åíåðãåòè÷íèõ çîí ó òî÷ö³ çîíè
Áð³ëëþºíà êðèñòàëà, ³ ÿêùî õ³ì³÷íèé ïîòåíö³àë çíàõîäèòüñÿ ïîáëèçó åíåð㳿 âèðîäæåííÿ. Çîêðåìà,
òàêå âèðîäæåííÿ çîí ìຠì³ñöå â êðèñòàëàõ ç³ ñòðóêòóðîþ À-15 (íàïðèêëàä, â V3Si). Îòðèìàí³ ðåçóëü-
òàòè ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ äëÿ ïîÿñíåííÿ ñèëüíèõ òåìïåðàòóðíèõ çàëåæíîñòåé ìàãí³òíî¿ ñïðèé-
íÿòëèâîñò³, ÿê³ ñïîñòåð³ãàþòüñÿ ó íàäïðîâ³äíèõ ìàòåð³àëàõ ç ö³ºþ ñòðóêòóðîþ ó íîðìàëüíîìó ñòàí³.
PACS: 71.18.+y Ïîâåðõíîñòü Ôåðìè; ðàñ÷åòû è èçìåðåíèÿ, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà, g-ôàêòîð;
74.70.Ad Ìåòàëëû; ñïëàâû è áèíàðíûå ñîåäèíåíèÿ (âêëþ÷àÿ À-15 è ò.ï.).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü, âûðîæäåíèå çîí, ñîåäèíåíèÿ ñî ñòðóêòóðîé À-15.
Êàê èçâåñòíî [1,2], â ìåòàëëàõ â ñëó÷àå ýëåêòðîí-
íîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïåðåõîäà 21/2 ðîäà, ïðè êîòîðîì
ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ ïîëîñòü èëè ðâåòñÿ ïåðåìû÷êà ýëåê-
òðîííîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàâèñè-
ìîñòü ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè � îò õèìè÷åñêîãî
ïîòåíöèàëà � ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå T èñïûòûâàåò
èçëîì. Ýòîò èçëîì îáóñëîâëåí îñîáûì âêëàäîì â ìàã-
íèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü, ��, ïîðîæäåííûì ýëåêòðîí-
íûìè ñîñòîÿíèÿìè èç îêðåñòíîñòè òî÷êè òîïîëîãè-
÷åñêîãî ïåðåõîäà, �� � �1/2
(çäåñü è íèæå îòñ÷èòûâàåì
� îò åãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùåãî ýòîìó
ïåðåõîäó). Â ðàáîòå [1] áûëà ïðîàíàëèçèðîâàíà òîëü-
êî ñïèíîâàÿ ÷àñòü ��, êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îñî-
áîé ÷àñòè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé �v â îêðåñòíîñòè ïå-
ðåõîäà. Ïîçäíåå Íåäîðåçîâ [3] èññëåäîâàë íå òîëüêî
ñïèíîâóþ, íî è îðáèòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ��. Õîòÿ
îðáèòàëüíàÿ ÷àñòü ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè, âî-
îáùå ãîâîðÿ, íå ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîòíîñòè ýëåêò-
ðîííûõ ñîñòîÿíèé è çàâèñèò îò ñîñòîÿíèé, ëåæàùèõ
äîñòàòî÷íî ãëóáîêî ïîä óðîâíåì Ôåðìè, òåì íå ìåíåå
îêàçàëîñü, ÷òî îðáèòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ �� òàêæå
èìååò êîðíåâóþ îñîáåííîñòü â îêðåñòíîñòè ïåðåõîäà,
êàê è åå ñïèíîâàÿ ÷àñòü.
Åùå îäèí òèï àíîìàëèé ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷è-
âîñòè, ïðîÿâëÿþùèõñÿ â çàâèñèìîñòè � îò õèìè÷åñêî-
ãî ïîòåíöèàëà �, ñâÿçàí ñ òî÷êàìè âûðîæäåíèÿ çîí
îïðåäåëåííîãî òèïà [4].  ýòîì ñëó÷àå â ïðåäåëå Ò� 0
îðáèòàëüíàÿ ÷àñòü ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè â ñëà-
áîì ìàãíèòíîì ïîëå H íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ � ê ýíåð-
© Ã.Ï. Ìèêèòèê, 2007
ãèè âûðîæäåíèÿ �d . Â ðàáîòå [4] âûÿñíåíî äëÿ êàêèõ
òèïîâ âûðîæäåíèÿ çîí âîçìîæíû ïîäîáíûå ãèãàíò-
ñêèå àíîìàëèè ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè è äëÿ êàæ-
äîãî èç ýòèõ ñëó÷àåâ îïðåäåëåí õàðàêòåð îñîáåííîñòè
â �. Îêàçàëîñü, ÷òî îñîáåííîñòü ìîæåò áûòü ñòåïåí-
íîãî (�� � � –1/2
) è ëîãàðèôìè÷åñêîãî (�� � ln �) òè-
ïîâ. Àíîìàëèÿ ñòåïåííîãî òèïà, �� � � –1/2
, îñó-
ùåñòâëÿåòñÿ, êîãäà âûðîæäåíèå çîí ïðèâîäèò ê
ïîÿâëåíèþ ñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé ïðè èçìåíåíèè óðîâíÿ Ôåðìè. Îòìå-
òèì, ïðè òàêîì ýëåêòðîííîì òîïîëîãè÷åñêîì ïåðåõî-
äå îñîáåííîñòü â ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé äîñòàòî÷íî
ñëàáàÿ è ïðîïîðöèîíàëüíà �3/2
[2] (ò.å. ýòî òîïîëîãè-
÷åñêèé ïåðåõîä 31/2 ðîäà ïî êëàññèôèêàöèè Ëèôøè-
öà). Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ îñîáåííîñòü, �� � ln �, èìååò
ìåñòî, êîãäà ïðè èçìåíåíèè � èñ÷åçàåò ïîëîñòü îäíîé
çîíû è îäíîâðåìåííî ïîÿâëÿåòñÿ ïîëîñòü äðóãîé, ïðè
ýòîì ïëîòíîñòü ýòèõ ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëüíà �2
.
Èíòåðåñíî, ÷òî äëÿ óêàçàííûõ ñëó÷àåâ âûðîæäåíèÿ
çîí çàäà÷à î ñïåêòðå áëîõîâñêèõ ýëåêòðîíîâ â ìàãíèò-
íîì ïîëå ìîæåò áûòü ðåøåíà òî÷íî â îêðåñòíîñòè
ýíåðãèè âûðîæäåíèÿ �d, è íà îñíîâå ýòîãî ðåøåíèÿ
íàìàãíè÷åííîñòü ìåòàëëà áûëà ðàññ÷èòàíà íå òîëüêî
â ïðåäåëå H � 0, íî è ïðè ïðîèçâîëüíîé åãî âåëè-
÷èíå [5].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå (åå ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòà-
òû îïóáëèêîâàíû â [6]) ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñóùåñò-
âîâàíèÿ àíîìàëèè ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè íîâî-
ãî òèïà â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê âûðîæäåíèÿ çîí. Ýòà
àíîìàëèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî â ñëàáîì ìàãíèò-
íîì ïîëå çàâèñèìîñòü � îò � èìååò âèä ôåðìèåâñêîé
ñòóïåíüêè:
� = �0 + �� [1 + exp [(�d – � )/T] ]–1
. (1)
Çäåñü êîýôôèöèåíò �� âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû
ñïåêòðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè âûðîæäåíèÿ çîí, à �0 —
ïîñòîÿííûé, íå çàâèñÿùèé îò � ôîí, îïðåäåëÿþùèéñÿ
ñîñòîÿíèÿìè, óäàëåííûìè îò ýòîé òî÷êè. Âåëè÷èíû �0
è ��, âîîáùå ãîâîðÿ, îäíîãî ïîðÿäêà. Ïîä÷åðêíåì,
÷òî â îòëè÷èå îò àíîìàëèé ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷è-
âîñòè, èçó÷åííûõ ðàíåå, ñòóïåíüêà â � ñîõðàíÿåòñÿ è
ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ T, èçìåíÿåòñÿ ëèøü åå êðó-
òèçíà.
Ïîäîáíàÿ ñòóïåíåîáðàçíàÿ àíîìàëèÿ âîçíèêàåò,
åñëè ñïåêòð â îêðåñòíîñòè òî÷êè âûðîæäåíèÿ èìååò
âèä
� �c d ak B k B k E, ( )
v
k
�3 1 1
2
2 2
2 , (2)
E a k B k B k t2
3 1 1
2
2 2
2 2 2 �
�
�
( ) , (3)
ãäå t =
k1k2 èëè t k k �
( )1
2
2
2 . Çäåñü
, a, �a , B1, B2 , �B1,
�B2 — ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû ñïåêòðà, à âîëíîâîé
âåêòîð k îòñ÷èòàí îò òî÷êè âûðîæäåíèÿ çîí. Òàêîé
ñïåêòð ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ êàê ïðè ñëó÷àéíîì âû-
ðîæäåíèè äâóõ çîí â òî÷êå íà îñÿõ ñèììåòðèè êðèñ-
òàëëà âòîðîãî èëè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, òàê è ïðè èõ
çàêîíîìåðíîì âûðîæäåíèè. (Òåðìèí «ñëó÷àéíîå âû-
ðîæäåíèå» îçíà÷àåò, ÷òî îíî íå âûçâàíî ñèììåòðèåé
êðèñòàëëà [7].)  ÷àñòíîñòè, ñîãëàñíî ðàáîòå [8], ïî-
ñâÿùåííîé ñâåðõïðîâîäèìîñòè ñîåäèíåíèé ñî ñòðóê-
òóðîé À-15, õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë â ýòèõ êðèñòàëëàõ
íàõîäèòñÿ âáëèçè òî÷êè çàêîíîìåðíîãî âûðîæäåíèÿ
äâóõ çîí, ñïåêòð â îêðåñòíîñòè êîòîðîé èìååò âèä (2),
(3) ñ a = 0, B1 = B2, � � B B1 2 0.
Ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíîâ äâóõ çîí,
êîòîðûé ïðèâîäèò ê ñïåêòðó (2), (3), èìååò âèä
�
*
H
a k k k t
t a k k k
c
c c
�
�
�
�
�
�
�
�
3 1 1
2
2 2
2
3 1 1
2
2 2
2
v
v v
�
�
�
�
, (4)
ãäå ac , a
v
,
i
c ,
i
v — ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû ñïåêòðà,
è a a ac
�( )
v
2, a a ac� � �( )
v
2, Bi i
c
i
( ) /
v 2,
� �Bi i
c
i( ) /
v 2. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû äàëåå ïîëà-
ãàåì t =
k1k2. Òàêîé ãàìèëüòîíèàí ìîæåò áûòü ïîëó-
÷åí èç ãàìèëüòîíèàíà Ëàòòèíæåðà–Êîíà [9] äëÿ âñåõ
çîí ïîñëå åãî ÷àñòè÷íîé äèàãîíàëèçàöèè, ïðè êîòîðîé
â ãëàâíîì ïîðÿäêå ïî k îáðàùàþòñÿ â íóëü åãî ìàòðè÷-
íûå ýëåìåíòû ìåæäó äâóìÿ ðàññìàòðèâàåìûìè çîíà-
ìè c è v è âñåìè îñòàëüíûìè çîíàìè [10].
Àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè òèïà (1)
âîçíèêàåò, òîëüêî êîãäà ìàãíèòíîå ïîëå H ïåðïåíäè-
êóëÿðíî îñè k3. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè äàëåå áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü êîìïîíåíòó òåíçîðà ìàãíèòíîé âîñïðèèì-
÷èâîñòè �11, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ìàãíèòíûé ìîìåíò
M1 âäîëü îñè k1 â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå H, íàïðàâ-
ëåííîì ïî òîé æå îñè, M1 = �11H. Äëÿ ðàñ÷åòà �11 ìî-
æåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà Ôóêóÿìû [11], êîòî-
ðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä
�
�
� �11 2
2
3 2 3
2
2 2
�
�
��
�
�
�� ��
��
�
T e
m c
d
G G
n
� k
( )
[( ) ]Sp , (5)
ãäå m, e — ìàññà è çàðÿä ýëåêòðîíà; ìàòðèöà òåì-
ïåðàòóðíûõ ôóíêöèé Ãðèíà G èìååò âèä, Gll�
� �
�([ � ( )] )i Hn ll� � k
1 ; çîííûå èíäåêñû l è �l ïðîáåãà-
þò äâà çíà÷åíèÿ c è v, îòâå÷àþùèe ðàññìàòðèâàåìûì
çîíàì; �n = � T (2n + 1); � ( )H k çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (4);
øïóð áåðåòñÿ ïî èíäåêñàì c è v, à èíòåãðèðîâàíèå
èäåò ïî îêðåñòíîñòè òî÷êè âûðîæäåíèÿ, êîòîðàÿ çäåñü
ñîâïàäàåò ñ k = 0. Ìàòðèöû �i â (5) ðàâíû: ( )� i ll�
� ��k i ll i ll� �( ) , ãäå � ll� ( )k ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïå-
ðàòîðà èìïóëüñà, çàïèñàííûå â òîì æå ïðåäñòàâëåíèè,
÷òî è ãàìèëüòîíèàí (4). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âûðîæäåíèÿ çîí ìàòðèöû �i ìî-
ãóò áûòü íàéäåíû èç ôîðìóëû
Àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè â âèäå ñòóïåíüêè â êðèñòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 10 1105
� i
i
m H
k
�
��
� ( )k
. (6)
Âûïîëíÿÿ ìàòðè÷íûå îïåðàöèè è ñóììèðóÿ ïî n â
(5), â èòîãå ïðèõîäèì ê èíòåãðàëó ïî îêðåñòíîñòè òî÷-
êè k = 0, â êîòîðîì ôóíêöèÿ ïîä èíòåãðàëîì çàâèñèò
îò k3 è êîìáèíàöèé � è E, îïðåäåëÿåìûõ ôîðìóëàìè
(2), (3). Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ â ýòîì èíòåãðàëå,
~
k U k1 1 1 ,
~
k U k2 2 2 ,
~
k U k V k V k3 3 3 1 1
2
2 2
2
,
ìîæíî ïîäîáðàòü ïîñòîÿííûå U1 , U2 , U3 , V1 , V2 òàê,
÷òî ôîðìóëû (2), (3) ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó
� � �c ak k k E, (
~
) ~~ ~ ~
v
k
�3 1 1
2
2 2
2 ,
E k k k2
3
2
1
2
2
24
�
~
( )
~ ~
� ,
(7)
ãäå ~a = (ac + a
v
) / |ac – a
v
| , �
�4 1 2
2~ ~
B B ,
~
Bi
� � �( ) ( )a a a ac i i
c
c
v
v v
è �i = ±1 â çàâèñèìîñòè
îò çíàêà
~
Bi ; i = 1, 2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàäàííûõ � i
ñóùåñòâåííûìè ïàðàìåòðàìè, îò êîòîðûõ â äàííîé
ìîäåëè ñïåêòðà çàâèñèò ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü,
ÿâëÿþòñÿ ~a è �. Îïèñàííàÿ âûøå àíîìàëèÿ � èìååò
ìåñòî òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó
íèìè.  äàëüíåéøåì îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì
ñëó÷àÿ ~a = 0. Ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ~a áóäåò ïðîàíàëè-
çèðîâàí â äðóãîé ðàáîòå.
Ïðè
~
B1 0� ,
~
B2 0� , ïåðåõîäÿ â èíòåãðàëå, îïðåäåëÿ-
þùåì �11 , îò ïåðåìåííûõ
~
k1,
~
k 2 ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî
E è � è èçìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðîâàíèé,
ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ, ñîñòîÿùåìó èç ñóììû èíòåã-
ðàëîâ âèäà
d
f
��
�
�
�
�
�
�
� ( ) , d
f
��
�
�
�
�
�
�
! �( ) , (8)
ãäå f(�) = [1 + exp [(� – � )/T] ]
–1
— ôåðìèåâñêàÿ ôóíê-
öèÿ, à (�) è !(�) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
( )
~
(
~
) ( , ,
~
)
(
�
�
�
�
�
��
�
�� �dk dE
E
E k
E
EY E k
Y
3 2
3
2 1 2
3
sign �, ,
~
)
,
E k
E
3
2
�
�
��
�
�
��
(9)
! �
�
( )
~
(
~
) ( , ,
~
)
�
��
�
�� �dk
dE E
E k Y E k
3 2
3
2 1 2
3
sign
. (10)
Çäåñü
Y E k E E k2
3
2 2
3
2( , ,
~
) ( ) (
~
)� � � � � � , (11)
à îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî E â (9) è (10) îïðåäåëÿåò-
ñÿ óñëîâèÿìè
E k2
3
2 0� �
~
, � �� � � �E E k[ (
~
)]2
3
2 1 2 . (12)
Ïåðåõîäÿ â èíòåãðàëàõ (9) è (10) è óñëîâèÿõ (12),
îïðåäåëÿþùèõ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ, ê ïåðåìåí-
íûì E / | � | ,
~
/| |k 3 � , íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî (�) è !(�)
íà ñàìîì äåëå îò � íå çàâèñÿò. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ôóíêöèè
(�) è !(�) êóñî÷íî ïîñòîÿííû:
(�) = + , !(�) = !+ ïðè � > 0 ,
(�) = – , !(�) = !– ïðè � < 0 ,
(13)
ãäå + , – , !+ , !– — íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Íåîá-
õîäèìî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî èíòåãðàë (9) ÿâëÿåòñÿ
íåñîáñòâåííûì. Àíàëèç ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñ-
òè, âûïîëíåííûé ïðè ó÷åòå ñëàáîãî ñïèí-îðáèòàëü-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðîå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
ìàëîé ùåëè â ñïåêòðå, ïîêàçûâàåò, ÷òî íåñîáñòâåííûé
èíòåãðàë äîëæåí âû÷èñëÿòüñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà-
÷åíèÿ Êîøè. Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî
ïåðåíîðìèðîâêè ýëåêòðîííîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåê-
òðà, ñâÿçàííûå ñ ôåðìè-æèäêîñòíûì èëè ýëåêòðîí-
ôîíîííûì âçàèìîäåéñòâèÿìè, ìîãóò çàìåòíî ïîâëè-
ÿòü íà ìàãíèòíóþ âîñïðèèì÷èâîñòü, åñëè ýòè ïåðå-
íîðìèðîâêè ñóùåñòâåííî ïðåâûøàþò ýôôåêò ñïèí-
îðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îäíàêî ýòîò âîïðîñ
âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåé ðàáîòû, â êîòîðîé âñå
âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â îäíîýëåêòðîííîì ïðèáëè-
æåíèè.
Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (13) èíòåãðàëû (8), ñ òî÷íîñòüþ
äî íåñóùåñòâåííûõ ïîñòîÿííûõ, íå çàâèñÿùèõ îò �,
ñâîäÿòñÿ ê âûðàæåíèÿì –� f(0) , – �! f(0) , ãäå � "
" + – – , �! " !+ – !– . Âåëè÷èíû � è �! çàäàþòñÿ
èíòåãðàëàìè, ñîâïàäàþùèìè ñ (9) è (10) ïðè � > 0, íî â
êîòîðûõ èíòåãðèðîâàíèå ïî E èäåò ïî îáëàñòè, îïðå-
äåëÿåìîé óñëîâèÿìè
E k2
3
2 0� #
~
, Y E k2
30 0( , ,
~
)� � # . (14)
Îêîí÷àòåëüíî, ïðè ~a = 0 è
~
B1 0� ,
~
B2 0� äëÿ �11 ïîëó-
÷àåì ôîðìóëó (1), â êîòîðîé
� � ��
�
$%��
�
!
�
�
�
�
�
�
�
�
&
'(
)
*+
1
12 23
2
1
e
c
a
B�
~ ) , (15)
è a a ac� | | | |
v
,
~
( )Bi i i
c
�
v 2, �
�4 1 2
2~ ~
B B . Èí-
òåðåñíî, ÷òî ôîðìóëà (15) íà ñàìîì äåëå ñïðàâåäëèâà
ïðè ëþáûõ çíàêàõ
~
B1 è
~
B2, íî ïðè � < 0 îáëàñòü èíòåã-
ðèðîâàíèÿ ïî E â � è �! îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì
óñëîâèåì E k2
3
2 0� #
~
(íåðàâåíñòâî Y
2
(� � ,- E,
~
)k 3 0#
âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè ïðè � < 0).
Äåòàëüíûé àíàëèç çàâèñèìîñòè �� îò � áóäåò ïðî-
âåäåí â äðóãîé ðàáîòå. Çäåñü æå òîëüêî îòìåòèì, ÷òî
ïðè � > 1 èíòåãðàëû, îïðåäåëÿþùèå ïîñòîÿííûå � è
�!, ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû àíàëèòè÷åñêè, åñëè ðàñ-
ñìàòðèâàòü E êàê êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ è âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé âû÷åòîâ.  èòîãå, îêàçûâàåòñÿ,
÷òî ýòè ïîñòîÿííûå, à âìåñòå ñ íèìè è ��, ðàâíû íóëþ
äëÿ � > 1. Ïðè � < 1 îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî E,
1106 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 10
Ã.Ï. Ìèêèòèê
îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëàìè (14), èçìåíÿåòñÿ ïî ñðàâíå-
íèþ ñî ñëó÷àåì � > 1 è ïîäîáíîå âû÷èñëåíèå èíòåãðà-
ëîâ ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì. Ïðè ýòîì � - �! è ��,
âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷íû îò íóëÿ â ýòîé îáëàñòè çíà÷å-
íèé �. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ïðåäåëå � � 0 íåïîñ-
ðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå äàåò
� = – 2� , � �! = 0.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (7), íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî
ñëó÷àè � > 1 è � < 1 îòëè÷àþòñÿ õàðàêòåðîì ýëåêòðîí-
íîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïåðåõîäà, êîòîðûé èìååò ìåñòî
ïðè ïðîõîæäåíèè � ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå � = 0.
Íàïðèìåð, ïðè
~
B1 0� ,
~
B2 0� è � < 1 äëÿ îòðèöàòåëü-
íûõ � èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò âèä ÷å-
òûðåõ äûðî÷íûõ ëåïåñòêîâ çîíû v, îõâàòûâàþùèõ êî-
îðäèíàòíûå îñè
~
k1,
~
k 2 è ñîåäèíåííûõ ïåðåìû÷êîé â
îêðåñòíîñòè òî÷êè
~
k 0, ðèñ. 1,a. Ïðè � > 0 ïåðåìû÷êà
èñ÷åçàåò è ïîÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîííàÿ ïîëîñòü çîíû c, êî-
òîðàÿ íà îñÿõ
~
k1 è
~
k 2 èìååò ïî îäíîé òî÷êå êîíòàêòà ñ
êàæäûì èç äûðî÷íûõ ëåïåñòêîâ çîíû v, ðèñ. 1,á. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ïðè � > 0 íå òîëüêî ïîÿâëÿåòñÿ ñàìîïå-
ðåñåêàþùàÿñÿ èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü, íî è
ñâÿçíîñòü äûðî÷íîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè èçìåíÿåòñÿ. Â
òî æå âðåìÿ, ïðè � > 1 è � > 0 ÷åòûðåõ îòäåëüíûõ äû-
ðî÷íûõ ëåïåñòêîâ íåò (îíè ñëèòû â åäèíóþ ïîâåðõ-
íîñòü), è äûðî÷íàÿ ÷àñòü èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõ-
íîñòè îñòàåòñÿ ñâÿçíîé è ïðè � > 0. Òàêèì îáðàçîì,
èññëåäóåìàÿ àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè
âåñüìà «÷óâñòâèòåëüíà» ê äåòàëÿì ýëåêòðîííîãî òî-
ïîëîãè÷åñêîãî ïåðåõîäà.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ìîäåëü (2), (3) ñ a = 0,
B1 = B2, � � B B1 2 0 îïèñûâàåò ñïåêòð ñîåäèíåíèé ñî
ñòðóêòóðîé À-15, íàïðèìåð V3Si . Â ýòèõ ñîåäèíåíèÿõ
âûøå òåìïåðàòóðû ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïåðåõîäà ÷àñòî
íàáëþäàþòñÿ ñèëüíûå òåìïåðàòóðíûå çàâèñèìîñòè
ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè [12]. Ýòè çàâèñèìîñòè
ðàññ÷èòûâàëèñü â ðàáîòå [8]. Áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî ìàã-
íèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü äîëæíà ëîãàðèôìè÷åñêè çà-
âèñåòü îò � ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå. Îäíàêî ýòîò ðå-
çóëüòàò ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî â [8] ïðè ðàñ÷åòå ìàãíèòíîé
âîñïðèèì÷èâîñòè â ýôôåêòèâíîì ãàìèëüòîíèàíå
ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå H ó÷èòûâàëèñü ëèøü ëè-
íåéíûå ïî H ÷ëåíû.  òî âðåìÿ êàê äëÿ ïðàâèëüíîãî
ðàñ÷åòà ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè, êîòîðàÿ â ñëà-
áîì ìàãíèòíîì ïîëå îïðåäåëÿòñÿ êâàäðàòè÷íûìè ïî
H ÷ëåíàìè . ïîòåíöèàëà, íåîáõîäèìî ïðèíèìàòü âî
âíèìàíèå è êâàäðàòè÷íûå ïî H ÷ëåíû â ýôôåêòèâíîì
ãàìèëüòîíèàíå. Ôîðìóëà Ôóêóÿìû (5) ïîëó÷åíà ñ ó÷å-
òîì òàêèõ ÷ëåíîâ, è åå èñïîëüçîâàíèå, êàê ïîêàçàíî
âûøå, ïðèâîäèò ê çàâèñèìîñòè (1). Âîçìîæíî, ïîëó-
÷åííûå çäåñü ôîðìóëû (1), (15) ïîçâîëÿò íå òîëüêî
êà÷åñòâåííî, íî è êîëè÷åñòâåííî îïèñàòü ýêñïåðèìåí-
òàëüíûå òåìïåðàòóðíûå çàâèñèìîñòè ìàãíèòíîé âîñ-
ïðèèì÷èâîñòè ñîåäèíåíèé ñî ñòðóêòóðîé À-15 (îòìå-
òèì, èñïîëüçîâàíèå äëÿ ýòîé öåëè ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû
[8] íàòàëêèâàåòñÿ íà òðóäíîñòè [12]). Ýòî ïðåäïîëàãà-
åòñÿ âûïîëíèòü â îòäåëüíîé ðàáîòå.
1. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 38, 1569 (1960).
2. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.ß. Àçáåëü, Ì.È. Êàãàíîâ, Ýëåêòðîí-
íàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ, Íàóêà, ÃÐÔÌË, Ìîñêâà (1971).
3. Ñ.Ñ. Íåäîðåçîâ, ÔÍÒ 2, 1047 (1976); òàì æå 4, 198
(1978); òàì æå 6, 80 (1980).
4. Ã.Ï. Ìèêèòèê, È.Â. Ñâå÷êàðåâ, ÔÍÒ 15, 295 (1989).
5. Ã.Ï. Ìèêèòèê, Þ.Â. Øàðëàé, ÔÍÒ 22, 762 (1996).
6. Ã.Ï. Ìèêèòèê, 26 Âñåñ. ñîâåù. ïî ôèç. íèçê. òåì-ð.
Òåç. äîê., Äîíåöê (1990), ò. 3, ñ. 132 .
7. C. Herring, Phys. Rev. 52, 365 (1937).
8. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, ÆÝÒÔ 65, 1658 (1973).
Àíîìàëèÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè â âèäå ñòóïåíüêè â êðèñòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 10 1107
a
á
30
20
10
0
30
20
10
0
5
5
5
5
0
0
0
0
–5
–5
–5
–5
k1
k1
k2
k2
k3
k3
Ðèñ. 1. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè äëÿ ñïåêòðà (7) ñ
~a = 0, �1 = �2 = 1 è � = 0,5 ïðè îòðèöàòåëüíûõ (à) è ïîëî-
æèòåëüíûõ (á) çíà÷åíèÿõ �. Ðèñóíêè ïîñòðîåíû â êîîðäè-
íàòàõ ki ki
~
/| |� .  ñëó÷àå îòðèöàòåëüíûõ � èçîýíåðãåòè÷åñ-
êàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò âèä ÷åòûðåõ äûðî÷íûõ ëåïåñòêîâ
çîíû v, ñîåäèíåííûõ ïåðåìû÷êîé â îêðåñòíîñòè íà÷àëà
êîîðäèíàò (à). Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ � ïåðåìû÷êè äûðî÷-
íîé ïîâåðõíîñòè íåò, íî â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò
èìååòñÿ ýëåêòðîííàÿ ïîëîñòü çîíû c (á).
9. J.M. Luttinger and W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955).
10. Ã.Ë. Áèð, Ã.Å. Ïèêóñ, Ñèììåòðèÿ è äåôîðìàöèîííûå
ýôôåêòû â ïîëóïðîâîäíèêàõ, Íàóêà, ÃÐÔÌË, Ìîñêâà
(1972).
11. H. Fukuyama, Progr. Theor. Phys. 45, 704 (1971).
12. Ñ.Â. Âîíñîâñêèé, Þ.À. Èçþìîâ, Ý.Ç. Êóðìàåâ, Ñâåðõ-
ïðîâîäèìîñòü ïåðåõîäíûõ ìåòàëëîâ, èõ ñïëàâîâ è ñîå-
äèíåíèé, Íàóêà, ÃÐÔÌË, Ìîñêâà (1977).
Step-like anomaly of magnetic susceptibility in
crystals with degenerate electron-energy bands
G.P. Mikitik
It is shown that the dependence of magnetic
susceptibility of electrons in a crystal on their che-
mical potential is of a sharp step shape. This un-
usual anomaly of the magnetic susceptibility may
occur only under a certain type of degeneracy of
two electron-energy bands at a point of the Bril-
louin zone and if the chemical potential is in the vi-
cinity of the degenerate energy. In particular, this
type of degeneracy occurs in compounds with the
crystal structure A-15 (e.g., in V3Si). The results
obtained can be used to explain the known strong
temperature dependences of magnetic susceptibil-
ity of A-15 superconductors when they are in the
normal state.
PACS: : 71.18.+y Fermi surface: calculations and
measurements; effective mass, g-factor;
74.70.Ad Metals; alloys and binary com-
pounds (including A-15, MgB2, etc.).
Keywords: magnetic susceptibility, degeneracy of
bands, compounds with structure A-15.
1108 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 10
Ã.Ï. Ìèêèòèê
|