Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства
Рассмотрена статическая несоизмеримая структура у поверхности упругого пролупространства, покрытого монослоем другого вещества с отличной жесткостью и другим равновесным межатомным расстоянием, и выведена система одномерных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих такую структур...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121672 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 796-806. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-121672 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1216722017-06-16T03:02:50Z Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Динамика кристаллической решетки Рассмотрена статическая несоизмеримая структура у поверхности упругого пролупространства, покрытого монослоем другого вещества с отличной жесткостью и другим равновесным межатомным расстоянием, и выведена система одномерных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих такую структуру. В случае абсолютно жесткого монослоя (противоположном обычно рассматриваемому в модели Френкеля–Конторовой пределу мягкого монослойного покрытия абсолютно жесткой подложки) найдены новые классы периодических решений уравнения Пайерлса для несоизмеримых поверхностных структур, которые существенно отличаются от известных ранее. При учете слабой податливости жесткого монослоя над мягким полупространством и слабой податливости жесткого полупространства с мягким монослойным покрытием получено приближенное описание структуры неоднородных поверхностных состояний, т.е. зависимости периода этих структур от параметра несоизмеримости (различия периодов решетки полупространства и монослоя) и их жесткостей. Полученные результаты позволяют качественно описать трансформацию несоизмеримых поверхностных структур во всем интервале указанных выше параметров. Розглянуто статичну несумірну структуру біля поверхні пружного півпростору, що вкритий моношаром іншого матеріалу з відмінною пружністю та іншою рівноважною міжатомною відстанню, та виведено систему одновимірних нелінійних інтегро-диференційних рівнянь, що описують таку структуру. У випадку абсолютно твердого моношару (протилежному звичайно розглядаємому у моделі Френкеля–Конторової випадку м’якого моношарового покриття абсолютно твердої підкладки) знайдено нові класи періодичних рішень рівняння Пайєрлса для несумірних поверхневих структур, що суттєво відрізняються від відомих раніше. З урахуванням слабкої пружності твердого моношару над м’яким півпростором та слабкої пружності твердого півпростору з м’яким моношаровим покриттям отримано наближений опис структури неоднорідних поверхневих станів, тобто залежності періода цих структур від параметра несумірності (відмінності періодів гратки півпростору і моношару) та їхніх пружностей. Отримані результати дозволяють якісно описати трансформацію несумірних поверхневих структур у всьому інтервалі зазначених вище параметрів. A static incommensurate structure on the surface of elastic halfspace covered with a monolayer of another material with some different elasticity and equilibrium interatomic distance was examined, and a system of one-dimensional nonlinear integro-differential equations describing such a structure was derived. New classes of periodical solutions of the Pierls equation for incommensurate surface structures, which differ fundamentally from the well-known ones, were found in the limit of absolutely rigid monolayer (contary to the limit of soft monolayer on the absolutely rigid half-spase usually examined in the framework of the Frenkel–Kontorova model). An approximate description of the structure of nonuniform surface states, i.e., the dependences of the structure spacing on the incommensurability parameter (the difference in lattice spacing between monolayer and half-space) and on the elasticity of monolayer and half-space was obtained with due account of the weak elasticity of rigid monolayer over soft half-space and the weak elasticity of rigid half- space below soft monolayer. The results obtained enable the transformation of incommensurate surface structures to be described qualitatively in the whole interval of the above-mentioned parameters. 2005 Article Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 796-806. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 68.35.–p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121672 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства Физика низких температур |
| description |
Рассмотрена статическая несоизмеримая структура у поверхности упругого пролупространства,
покрытого монослоем другого вещества с отличной жесткостью и другим равновесным
межатомным расстоянием, и выведена система одномерных нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений, описывающих такую структуру. В случае абсолютно жесткого монослоя
(противоположном обычно рассматриваемому в модели Френкеля–Конторовой пределу мягкого
монослойного покрытия абсолютно жесткой подложки) найдены новые классы периодических
решений уравнения Пайерлса для несоизмеримых поверхностных структур, которые существенно
отличаются от известных ранее. При учете слабой податливости жесткого монослоя
над мягким полупространством и слабой податливости жесткого полупространства с мягким
монослойным покрытием получено приближенное описание структуры неоднородных поверхностных
состояний, т.е. зависимости периода этих структур от параметра несоизмеримости
(различия периодов решетки полупространства и монослоя) и их жесткостей. Полученные результаты
позволяют качественно описать трансформацию несоизмеримых поверхностных
структур во всем интервале указанных выше параметров. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| title_short |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| title_full |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| title_fullStr |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| title_full_unstemmed |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| title_sort |
несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121672 |
| citation_txt |
Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 796-806. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas nesoizmerimyestrukturynapoverhnostiuprugogopoluprostranstva AT sokolovaes nesoizmerimyestrukturynapoverhnostiuprugogopoluprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-08T20:19:03Z |
| last_indexed |
2025-07-08T20:19:03Z |
| _version_ |
1837111386523566080 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7, ñ. 796–806
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî
ïîëóïðîñòðàíñòâà
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 12 ÿíâàðÿ 2005 ã.
Ðàññìîòðåíà ñòàòè÷åñêàÿ íåñîèçìåðèìàÿ ñòðóêòóðà ó ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïðîëóïðîñòðàí-
ñòâà, ïîêðûòîãî ìîíîñëîåì äðóãîãî âåùåñòâà ñ îòëè÷íîé æåñòêîñòüþ è äðóãèì ðàâíîâåñíûì
ìåæàòîìíûì ðàññòîÿíèåì, è âûâåäåíà ñèñòåìà îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ òàêóþ ñòðóêòóðó.  ñëó÷àå àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ
(ïðîòèâîïîëîæíîì îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìîìó â ìîäåëè Ôðåíêåëÿ–Êîíòîðîâîé ïðåäåëó ìÿãêî-
ãî ìîíîñëîéíîãî ïîêðûòèÿ àáñîëþòíî æåñòêîé ïîäëîæêè) íàéäåíû íîâûå êëàññû ïåðèîäè÷å-
ñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ïàéåðëñà äëÿ íåñîèçìåðèìûõ ïîâåðõíîñòíûõ ñòðóêòóð, êîòîðûå ñó-
ùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò èçâåñòíûõ ðàíåå. Ïðè ó÷åòå ñëàáîé ïîäàòëèâîñòè æåñòêîãî ìîíîñëîÿ
íàä ìÿãêèì ïîëóïðîñòðàíñòâîì è ñëàáîé ïîäàòëèâîñòè æåñòêîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ ìÿãêèì
ìîíîñëîéíûì ïîêðûòèåì ïîëó÷åíî ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ñòðóêòóðû íåîäíîðîäíûõ ïîâåðõ-
íîñòíûõ ñîñòîÿíèé, ò.å. çàâèñèìîñòè ïåðèîäà ýòèõ ñòðóêòóð îò ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè
(ðàçëè÷èÿ ïåðèîäîâ ðåøåòêè ïîëóïðîñòðàíñòâà è ìîíîñëîÿ) è èõ æåñòêîñòåé. Ïîëó÷åííûå ðå-
çóëüòàòû ïîçâîëÿþò êà÷åñòâåííî îïèñàòü òðàíñôîðìàöèþ íåñîèçìåðèìûõ ïîâåðõíîñòíûõ
ñòðóêòóð âî âñåì èíòåðâàëå óêàçàííûõ âûøå ïàðàìåòðîâ.
Ðîçãëÿíóòî ñòàòè÷íó íåñóì³ðíó ñòðóêòóðó á³ëÿ ïîâåðõí³ ïðóæíîãî ï³âïðîñòîðó, ùî âêðèòèé
ìîíîøàðîì ³íøîãî ìàòåð³àëó ç â³äì³ííîþ ïðóæí³ñòþ òà ³íøîþ ð³âíîâàæíîþ ì³æàòîìíîþ
â³äñòàííþ, òà âèâåäåíî ñèñòåìó îäíîâèì³ðíèõ íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³éíèõ ð³âíÿíü, ùî
îïèñóþòü òàêó ñòðóêòóðó. Ó âèïàäêó àáñîëþòíî òâåðäîãî ìîíîøàðó (ïðîòèëåæíîìó çâè÷àéíî
ðîçãëÿäàºìîìó ó ìîäåë³ Ôðåíêåëÿ–Êîíòîðîâî¿ âèïàäêó ì’ÿêîãî ìîíîøàðîâîãî ïîêðèòòÿ àáñî-
ëþòíî òâåðäî¿ ï³äêëàäêè) çíàéäåíî íîâ³ êëàñè ïåð³îäè÷íèõ ð³øåíü ð³âíÿííÿ Ïàéºðëñà äëÿ íå-
ñóì³ðíèõ ïîâåðõíåâèõ ñòðóêòóð, ùî ñóòòºâî â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä â³äîìèõ ðàí³øå. Ç óðàõóâàííÿì
ñëàáêî¿ ïðóæíîñò³ òâåðäîãî ìîíîøàðó íàä ì’ÿêèì ï³âïðîñòîðîì òà ñëàáêî¿ ïðóæíîñò³ òâåðäîãî
ï³âïðîñòîðó ç ì’ÿêèì ìîíîøàðîâèì ïîêðèòòÿì îòðèìàíî íàáëèæåíèé îïèñ ñòðóêòóðè íåîä-
íîð³äíèõ ïîâåðõíåâèõ ñòàí³â, òîáòî çàëåæíîñò³ ïåð³îäà öèõ ñòðóêòóð â³ä ïàðàìåòðà íå-
ñóì³ðíîñò³ (â³äì³ííîñò³ ïåð³îä³â ãðàòêè ï³âïðîñòîðó ³ ìîíîøàðó) òà ¿õí³õ ïðóæíîñòåé. Îòðè-
ìàí³ ðåçóëüòàòè äîçâîëÿþòü ÿê³ñíî îïèñàòè òðàíñôîðìàö³þ íåñóì³ðíèõ ïîâåðõíåâèõ ñòðóêòóð
ó âñüîìó ³íòåðâàë³ çàçíà÷åíèõ âèùå ïàðàìåòð³â.
PACS: 68.35.–p
 ïîñëåäíåå âðåìÿ îñíîâíîé èíòåðåñ â ôèçèêå íå-
ëèíåéíûõ ÿâëåíèé ïåðåìåùàåòñÿ â îáëàñòü èññëåäî-
âàíèÿ íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé (è, â ÷àñòíîñòè, ñî-
ëèòîíîâ) â ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, ïðè
ó÷åòå, íàïðèìåð, îãðàíè÷åííîñòè ðàçìåðîâ îáðàçöà,
íèçêîðàçìåðíîñòè ñèñòåìû è åå äèñêðåòíîñòè. Ó÷åò
ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ, à òàêæå íåëèíåéíûõ ýôôåêòîâ,
ñóùåñòâåííî íåîáõîäèì ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåðõ-
íîñòè êðèñòàëëà, ïîêðûòîé òîíêîé ïëåíêîé äðóãîãî
âåùåñòâà. Íàëè÷èå ïîâåðõíîñòè è ïëåíî÷íîãî ïî-
êðûòèÿ ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþ áîëüøîãî ðàçíî-
îáðàçèÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí, êîòîðûå ìîäåðíèçè-
ðóþòñÿ ïðè ó÷åòå íåëèíåéíîñòè â íåëèíåéíûå
ñäâèãîâûå è ðýëååâñêèå âîëíû, à òàêæå â ñîîòâåòñò-
âóþùèå ëîêàëèçîâàííûå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû —
äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû [1,2]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
© À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, 2005
íåëèíåéíîñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ
ñ ïîäëîæêîé (ïîëóïðîñòðàíñòâîì) ïðèâîäèò ê âîç-
ìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ëîêàëèçîâàííûõ âîçáóæ-
äåíèé äðóãîãî òèïà — òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ
èëè «ïîâåðõíîñòíûõ äèñëîêàöèé». Åñëè ïðè ýòîì
ðàâíîâåñíîå ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè
ïîäëîæêè è àòîìàìè ïîêðûòèÿ (àäàòîìíîãî ñëîÿ)
ðàçëè÷íû, òî âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷å-
ñêîé ñòðóêòóðû ïîâåðõíîñòíûõ äèñëîêàöèé, êîòî-
ðîé îòâå÷àåò ìèíèìóì ýíåðãèè ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó
ïåðèîä ýòîé ñòðóêòóðû, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñîèçìå-
ðèì ñ ïåðèîäîì ïîäëîæêè, òàêèå ñòðóêòóðû ïîëó÷è-
ëè íàçâàíèå íåñîèçìåðèìûõ ïîâåðõíîñòíûõ ñòðóê-
òóð (ÍÏÑ) [3]. Õîðîøî èçâåñòíûì ïðèìåðîì ÍÏÑ
ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðà àòîìîâ Ga íà ïîâåðõíîñòè êðåì-
íèÿ [4]. Áîëåå òîãî, ÍÏÑ ìîæåò îáðàçîâûâàòüñÿ è
íà èäåàëüíîé (áåç ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ) ïîâåðõíî-
ñòè êðèñòàëëà, íàïðèìåð, çîëîòà, êîãäà çàðÿäîâîå
ñîñòîÿíèå ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ îòëè÷àåòñÿ îò òà-
êîâîãî äëÿ îáúåìíûõ àòîìîâ [5]. Îáû÷íî ÍÏÑ
òåîðåòè÷åñêè èññëåäóåòñÿ â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå
àáñîëþòíî æåñòêîé ïîäëîæêè, ãäå îíà îïèñûâàåòñÿ
â ðàìêàõ ìîäåëè Ôðåíêåëÿ–Êîíòîðîâîé (ÌÔÊ),
ò.å. ñèíóñîèäàëüíûì óðàâíåíèåì Êëåéíà–Ãîðäîíà
(SGE) [6], è ñîîòâåòñòâóþùåå àíàëèòè÷åñêîå ðåøå-
íèå äëÿ íåå õîðîøî èçâåñòíî [7]. Ó÷åò ïîäàòëèâîñòè
óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåí-
íîìó óñëîæíåíèþ çàäà÷è, è ïîýòîìó îíà îáû÷íî
ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäåëå, êîãäà æåñòêîñòü ïîä-
ëîæêè íàìíîãî ïðåâîñõîäèò æåñòêîñòü ïîêðûòèÿ
èëè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ àòîìîâ [8–11]. Î÷åâèäíî,
÷òî ýòî íå âñåãäà ñïðàâåäëèâî. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé
ðàáîòå çàäà÷à ñôîðìóëèðîâàíà â îáùåì ñëó÷àå ïðî-
èçâîëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ æåñòêîñòåé óïðóãîãî ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà è ïîêðûâàþùåãî åãî ïîâåðõíîñòü ìî-
íîñëîÿ è ðåøåíà òî÷íî â ïðåäåëå, ïðîòèâîïîëîæíîì
ðàññìàòðèâàâøåìóñÿ ðàíåå, ò.å. ïðè æåñòêîñòè ïî-
êðûâàþùåãî ìîíîñëîÿ ìíîãî áîëüøåé æåñòêîñòè
ïîëóïðîñòðàíñòâà ïîäëîæêè.
1. Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè
Èç-çà ñëîæíîñòè çàäà÷è, ïðåæäå âñåãî, îãðàíè-
÷èìñÿ ïðîñòåéøåé «ñêàëÿðíîé ìîäåëüþ», â êîòîðîé
äîïóñêàþòñÿ ñìåùåíèÿ àòîìîâ êàê ïîäëîæêè, òàê è
àäàòîìíîãî ñëîÿ ëèøü â îäíîì íàïðàâëåíèè â ïëîñ-
êîñòè ïîâåðõíîñòè (äëÿ îïðåäåëåííîñòè â íàïðàâëå-
íèè îñè X), âäîëü êîòîðîãî è âîçíèêàåò íåñîèçìåðè-
ìàÿ ñòðóêòóðà. Îñü Z âûáèðàåòñÿ â íàïðàâëåíèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïîâåðõíîñòè, è óïðóãîìó ïîëó-
ïðîñòðàíñòâó îòâå÷àåò îáëàñòü z � 0 (ñì. ðèñ. 1).
Êðîìå òîãî, êàê îáû÷íî [8–11], âçàèìîäåéñòâèå
êàê ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ìåæäó ñîáîé, òàê è àòî-
ìîâ ïîëóïðîñòðàíñòâà ó÷èòûâàåòñÿ â ãàðìîíè÷åñêîì
ïðèáëèæåíèè, â òî âðåìÿ êàê âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó
àòîìàìè ìîíîñëîÿ è ïîäëîæêè ñ÷èòàåòñÿ ñóùåñòâåí-
íî íåëèíåéíûì. Îñíîâíûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî ðàâíîâåñíîå ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå a â ìàòåðèà-
ëå ïîëóïðîñòðàíñòâà â îòñóòñòâèå ïîêðûòèÿ ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ íå ðàâíûì ðàâíîâåñíîìó ðàññòîÿíèþ b â ìî-
íîñëîå áåç ïîäëîæêè. Ââåäåì êîîðäèíàòû àòîìîâ
ïîëóïðîñòðàíñòâà Xnm è àòîìîâ ìîíîñëîÿ ~Xs òàê,
÷òî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè ïðè îòñóòñòâèè âçàèìîäåé-
ñòâèÿ ìåæäó ìîíîñëîåì è ïîäëîæêîé X an amnm
( ) ( , )0 �
è ~ ( )X bss
0 � ñîîòâåòñòâåííî. (Èíäåêñû n è m íóìåðó-
þò àòîìû âäîëü îñåé X è Z).
Ïðè ýòîì ýíåðãèè äåôîðìèðîâàííîãî ìîíîñëîÿ è
äåôîðìèðîâàííîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà èìåþò âèä
E X X bs s s
s
� � ����
2 1
2( ~ ~ ) , (1)
E X X a X Xb nm n m nm n m
nm
� � � � �� ���
2 1
2
1
2[( ) ( ) ],, ,
(2)
ãäå � è � ñîîòâåòñòâóþùèå óïðóãèå ìîäóëè (óïðóãîå
ïîëóïðîñòðàíñòâî ïðåäïîëàãàåòñÿ èçîòðîïíûì).
Ñëîæíåå íàïèñàòü ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äåôîðìè-
ðîâàííîãî ìîíîñëîÿ ñ äåôîðìèðîâàííîé ïîäëîæêîé
(ñì., íàïðèìåð, [12]).  ñëó÷àå àáñîëþòíî æåñòêîãî
ìîíîñëîÿ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ðàçóìíûõ ïðåäïî-
ëîæåíèÿõ î õàðàêòåðå ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïî-
âåðõíîñòíîãî àòîìà ïîäëîæêè ñî âñåìè àòîìàìè ìî-
íîñëîÿ ýòà ýíåðãèÿ â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè áóäåò
èìåòü âèä
E U
b
X Xnint � � �[ ]cos ( ~ )( )1
2
0 0
0�
. (3)
 ñëó÷àå ñæèìàåìîãî ìîíîñëîÿ âûðàæåíèå (3) ìî-
äåðíèçèðóåòñÿ ñ ó÷åòîì ëîêàëüíîé äåôîðìàöèè ìî-
íîñëîÿ â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî àòîìà
óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà — ïåðåíîðìèðóåòñÿ ïå-
ðèîä b, êîòîðûé â ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêîãî ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà çàìåíÿåòñÿ íà a.
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 797
U
u
x
w
a
b
Wc
z
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è.
Íèæå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ äëèííîâîëíîâûì ïðè-
áëèæåíèåì, ñ÷èòàÿ ñâÿçü ìîíîñëîÿ ñ ïîëóïðîñòðàí-
ñòâîì ñëàáîé: U b a � �2 2, . Óäîáíî âûáðàòü ñè-
ñòåìó êîîðäèíàò, ñâÿçàííóþ ñ íåäåôîðìèðîâàííîé
ðåøåòêîé ïîëóïðîñòðàíñòâà an x am z
, , è ââå-
ñòè ñìåùåíèÿ â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì
X an w am an w x z amnm nm� �
�( , ) ( ( , ), ) è ~Xs �
� �
� � �as u bs u x x a b /as ( ) ( ) . Âîçíèêàþùèé
ïðè ýòîì ïàðàìåòð � � �( )a b /a, õàðàêòåðèçóþùèé
ðàçëè÷èå ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèé â ñëîå è ïîäëîæ-
êå, íàçîâåì ïàðàìåòðîì íåñîèçìåðèìîñòè (ÏÍ).
 äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèå (2)
äëÿ óïðóãîé ýíåðãèè ïîëóïðîñòðàíñòâà ïðåîáðàçó-
åòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:
E
a
dx dz
a
w x zb � �
�
�
�
��
1
22
2
2
0
�
[ ( , )] . (4)
Âûðàæåíèå äëÿ óïðóãîé ýíåðãèè ìîíîñëîÿ (1) â
äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè â âûáðàííîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò ïðåîáðàçóåòñÿ òàê:
E
a
dx
a
u us x x� �
�
�
�
1
2
2
2
2�
�( ). (5)
 ýòîì âûðàæåíèè íèæíèé èíäåêñ îáîçíà÷àåò ïðî-
ñòðàíñòâåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòå
x. Íàêîíåö, âûðàæåíèå (3) ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
� �E
a
dxU
b
w uint � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
2
0cos
�
, (6)
ãäå w0 — ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà (êàê óêàçûâàëîñü âûøå, â ñëó÷àå
æåñòêîé ïîäëîæêè íàäî â êà÷åñòâå ïåðèîäà áðàòü
ïåðèîä ïîäëîæêè a). Â âûðàæåíèè (6) ó÷òåíî ëèøü
ñðåäíåå ñìåùåíèå ìîíîñëîÿ îòíîñèòåëüíî ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà. Ó÷åò äåôîðìàöèè ìîíîñëîÿ ïðèâîäèò
ê çàìåíå ïîñòîÿííîé ðåøåòêè ìîíîñëîÿ b íà âåëè÷è-
íó b u xx( ( ))1 � . Íî, ñ÷èòàÿ âñå äåôîðìàöèè íåáîëü-
øèìè, â äàëüíåéøåì áóäåì ïðåíåáðåãàòü ýòèìè
ìàëûìè äîáàâêàìè. Åñëè ââåñòè ñìåùåíèÿ àòîìîâ
ìîíîñëîÿ èç èõ ðàâíîâåñíûõ ïîëîæåíèé â îòñóòñò-
âèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîäëîæêîé v x u x x( ) ( )� � �
( ~Xs � as u bs v bs as a b /a us s s� � � � � � �( ) ), òî
óïðóãàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ñëå-
äóþùåì âèäå:
� �E
a
dx
a
v U
b
w v xx� � � � ��
��
�
��
�
�
�
�
���
�
�
1
2
1
22
2
0
� �
�cos
� �� �
�
�
�
��
�
�
1
2
2
2
0
a
dz
a
w
�
. (7)
(Ñðàâíåíèå ýòîé ôîðìóëû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ôîðìóëàìè â [4,11] ïîêàçûâàåò, ÷òî â ïîñëåäíèõ
âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè áûëî âûïèñàíî íå âïîëíå
êîððåêòíî.)
Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ âêëþ÷àåò äîïîëíèòåëüíî êèíåòè-
÷åñêóþ ýíåðãèþ, íî ìû íèæå îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîò-
ðåíèåì ëèøü ñòàòè÷åñêèõ êîíôèãóðàöèé.
2. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñòàòè÷åñêèå
íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû
Èç âûðàæåíèÿ (7) äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñëåäóþò
òàêèå óðàâíåíèÿ äëÿ äåôîðìàöèé â ìîíîñëîå è ïî-
ëóïðîñòðàíñòâå:
sin ( )
2
20
2�
�
�
�b
w v x
a b
U
vxx� � � � , (8)
� 2 0w � . (9)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå äîëæíî áûòü äîïîëíåíî
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
�w
U
ba
w v xz z � � � � �0 0
2�
�
�sin( ). (10)
Óðàâíåíèå Ëàïëàñà (9) ëåãêî ðåøàåòñÿ â ïîëó-
ïðîñòðàíñòâå ñ ïëîñêîé ãðàíèöåé [13], è ñâÿçü ðàç-
ëè÷íûõ êîìïîíåíò äåôîðìàöèé íà ãðàíèöå âûãëÿ-
äèò òàê:
� �w H wz z x z� ��0 0, (11)
ãäå ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà H îïðåäåëÿåòñÿ êàê
Hf x
dp
p x
f p( ) ( )�
�
�
�
�
1
�
.
Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíàÿ çàìêíóòàÿ ñèñòåìà
îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� �sin
2
20
2�
�
�
�b
w v x
a b
U
vxx� � � � , (12)
� �sin
2
20 0
�
�
�
�b
w v x
ba
U
Hw x� � � � . (13)
Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå æåñòêîé ïîäëîæêè b â
ïîñëåäíèõ äâóõ ôîðìóëàõ çàìåíÿåòñÿ íà a. Ñèñ-
òåìà (12,13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó íåëè-
íåéíûõ (íî îäíîìåðíûõ!) èíòåãðîäèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé, è åå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò
ñëîæíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðîáëåìó. Ïîýòîìó
îñîáîå âíèìàíèå äîëæíî áûòü óäåëåíî ïðåäå-
798 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
ëüíûì ñëó÷àÿì, êîãäà âîçìîæíî ïîëó÷èòü àñèìï-
òîòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû
(12,13), îòâå÷àþùèì ÍÑ.
3. Ìÿãêèé ìîíîñëîé íà ïîâåðõíîñòè
æåñòêîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ïðåæäå âñåãî îñòàíîâèìñÿ íà ñëó÷àå ìÿãêîãî ìî-
íîñëîÿ íà ïîâåðõíîñòè æåñòêîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà,
äîïóñêàþùåì ïåðåõîä â ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêîé
ïîäëîæêè ê ÌÔÊ. Óäîáíî ââåñòè îòíîñèòåëüíûå
ñìåùåíèÿ àòîìîâ ìîíîñëîÿ è ïîäëîæêè
� � � �
�
�
�
� � � � �
2 2
0 0a
w v x
a
w u (14)
è ïåðåïèñàòü ñèñòåìó (12,13) â âèäå
sin
�
�
�
!
"
#
#
$
%
&
&U
a
a
uxx
2 2
2
1
, (15)
� �
�x xx xa
a Hu u� �
!
"
##
$
%
&&
2
, (16)
w a Hu
x xx0 �
�
�
. (17)
 ñëó÷àå æåñòêîé ïîäëîæêè ñìåùåíèÿ ïîâåðõ-
íîñòíûõ àòîìîâ ïîëóïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâåííî
ìåíüøå ñìåùåíèé àòîìîâ ìîíîñëîÿ â ÍÑ, ò.å.
w u a /0 2 ' � �. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (15) ñâîäèò-
ñÿ ê ñëåäóþùåìó:
sin
�
�
�
� �
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
!
"
#
#
$
%
&
&U
a
U
a
a
Hxx xxx
2 2 2 2 2
2 2
. (18)
Ïîñêîëüêó â ÍÑ sin ~ ~ 1, òî èç (18) ñëåäóåò,
÷òî
a
x a
U(
(
~
2
1
�
�
.
(Ïîñëåäíåå óñèëåííîå íåðàâåíñòâî íåîáõîäèìî äëÿ
âûïîëíåíèÿ äëèííîâîëíîâîãî ïðèáëèæåíèÿ, â êîòî-
ðîì ñïðàâåäëèâî âñå íàøå ðàññìîòðåíèå.) Ïðè ýòîì
èç ñîîòíîøåíèÿ (17) ñëåäóåò, ÷òî w a u /x0 ~ � � (íàäî
ó÷èòûâàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà íå ïðèâî-
äèò ê èçìåíåíèþ ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñøòàáà). Ñëå-
äîâàòåëüíî, óñëîâèå w a /0 2 � � ñâîäèòñÿ ê ñëå-
äóþùåìó íåðàâåíñòâó:
U
a
�
�
�
)
2
1� . (19)
 ðàññìàòðèâàåìîì ïðåäåëå ) èãðàåò ðîëü ìàëîãî
ïàðàìåòðà, â ìåðó êîòîðîãî ñëó÷àé ñ ïîäàòëèâîé,
íî æåñòêîé ïîäëîæêîé îòëè÷àåòñÿ îò ñèòóàöèè ñ àá-
ñîëþòíî æåñòêèì ïîëóïðîñòðàíñòâîì.
1.  ñëó÷àå àáñîëþòíî æåñòêîé ïîäëîæêè (� �
èëè ) � 0) çàäà÷à î ÍÑ ñâîäèòñÿ ê ìîäåëè ÔÊ. Åñëè
ââåñòè áåçðàçìåðíóþ êîîðäèíàòó
*
�
�
�
!
"
#
$
%
&x
U
a
2
2
, (20)
òî óðàâíåíèå (18) ñâîäèòñÿ ê ñòàòè÷åñêîé ðåäóêöèè
SGE:
sin **� . (21)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (21) äëÿ ÍÑ õîðîøî èçâåñòíî
(ñì. [7]):
�
*
0 2� � !
"
#
$
%
&am
k
k, , (22)
ãäå am( , )z k — ýëëèïòè÷åñêàÿ àìïëèòóäà ßêîáè è k
— ìîäóëü ýòîé ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ðåøåíèå
(22) îïèñûâàåò ïåðèîäè÷åñêóþ öåïî÷êó «2�-êèí-
êîâ» (ïîâåðõíîñòíûõ äèñëîêàöèé) ñ ðàññòîÿíèåì
ìåæäó íèìè L kK k /U a /0
22 2� ( ) (� ��, ãäå K k( ) —
ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà, à
åãî ìîäóëü k çàâèñèò îò ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìî-
ñòè �. Òàêîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò íåíóëåâàÿ
ñðåäíÿÿ äåôîðìàöèÿ â ìîíîñëîå ïðè êîíå÷íîé
(äëÿ îäíîãî ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû)
ýíåðãèè ñèñòåìû. Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíûå ñìåùå-
íèÿ ñîâïàäàþò ñî ñìåùåíèÿìè â ìîíîñëîå, à ïîë-
íàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîñòîèò ëèøü èç ýíåðãèè ìî-
íîñëîÿ è ýíåðãèè åãî ñâÿçè ñ ïîäëîæêîé. Ýòà
ýíåðãèÿ ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå âåëè÷èíû ýíåðãèè íå-
äåôîðìèðîâàííîãî ìîíîñëîÿ (ñ � 0)
E / a L* *( )� � �2 2
0, îò êîòîðîé îáû÷íî îòñ÷èòûâàåò-
ñÿ ýíåðãèÿ äåôîðìèðîâàííîãî ïîêðûòèÿ, ïðè êðè-
òè÷åñêîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè (â
íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ � �� �* � (4/ a U/� � � , ñì.
[14]).  êðèòè÷åñêîé òî÷êå ïåðèîä ÍÑ ðàâåí
L0 �
.
2.  ñëó÷àå ïîäàòëèâîé, íî æåñòêîé ïîäëîæêè
ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ: óðàâíåíèå è ðåøåíèå äîëæíû
áûòü çàïèñàíû ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ. Ìû áóäåì
ó÷èòûâàòü îñíîâíûå ïîïðàâêè ïîðÿäêà ) ê óðàâíå-
íèÿì è ðåøåíèÿì.  ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (18)
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ìàëîå âòîðîå ñëàãàåìîå, è â
òåðìèíàõ áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû * îíà ïðèíèìà-
åò âèä ) ** ***� H .
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18) òàêæå äîëæíî áûòü çà-
ïèñàíî ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíî â âèäå
)
*
� �0 0H . (23)
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 799
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè ÍÑ, èñïîëüçóÿ
âûðàæåíèå (23) äëÿ , íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñìå-
ùåíèÿ â ìîíîñëîå u è â ïîäëîæêå w. Â ðàññìàòðè-
âàåìîì ïðåäåëå w u0 äëÿ ñìåùåíèé àòîìîâ ìî-
íîñëîÿ èìååì u b /' � �0 2 (èëè v x b /' �� �0 2 ).
Êàê ìîæíî ïîêàçàòü, äîáàâêè ê ñìåùåíèÿì àòîìîâ
ìîíîñëîÿ ìàëû â ìåðó )2. Ñëîæíåå íàéòè ñìåùå-
íèÿ â ïîäàòëèâîé ïîäëîæêå. Èç óðàâíåíèÿ (17),
êîòîðîå ìîæíî ïðèáëèæåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî )2)
ïåðåïèñàòü â âèäå w Hu a /0 0 2
* **
) ) �**� � � ,
ñëåäóåò, ÷òî
w
a
H C0 02
� � �)
�
*
*
, (24)
ãäå C — êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ èç
óñëîâèÿ êîíå÷íîñòè ýíåðãèè ïîëóïðîñòðàíñòâà íà
äëèíå ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû L0 ðàâíà
íóëþ. Ê ñîæàëåíèþ, â ÿâíîì âèäå íàéòè âûðàæå-
íèå äëÿ w0 íå óäàåòñÿ, íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü åãî â
âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäà:
w
a
k k
q
q kK k
s
s
s
s
0 2
1
2
1
� �
�
!
"
#
$
%
& �
�
�)
�*
K( )
sin
( )
�
�
�C k
s
L
xs
s
( )sin( ),
2
01
�
(25)
ãäå q K k /K k� � +exp( ( ) ( ))� — ïàðàìåòð ßêîáè,
K+ �( )k K( )1 2� k .
Ðåøåíèå äëÿ ñìåùåíèé âî âñåì îáúåìå ïîëóïðî-
ñòðàíñòâà ïîäëîæêè ïðè ýòîì èìååò âèä
w x z C k
s
L
z
s
L
xs
s
( , ) ( ) exp sin� �
!
"
##
$
%
&&
!
"
##
$
%
&&
�
2 2
0 01
� �
� . (26)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (26) â ôîð-
ìóëó äëÿ ýíåðãèè ïîëóïðîñòðàíñòâà (4), ïîëó÷àåì
ýíåðãèþ ïîëóïðîñòðàíñòâà íà îäèí ïåðèîä íåñîèç-
ìåðèìîé ñòðóêòóðû
E sC kb
L
s
s
( ) ( )0
2
2
1
�
�
���
,
èëè
E
a
k K k
s
k s
k
K k
K kb
L
s
( )
( ) ( )
, ( )
( )
(
0 2
2
2 2 2
12
� �
+
�
�) �
�
,
, �
ch )
.
(27)
Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, â ïðåäåëå áîëüøîé æå-
ñòêîñòè ïîäëîæêè (� ��� ) âáëèçè êðèòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè ïåðèîä ñòðóê-
òóðû ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ( )L a0 �� , è
ìîäóëü k áëèçîê ê 1. Ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç (27),
,( )k 1, è ñóììèðîâàíèå ïî s â ôîðìóëå (27) ìî-
æåò áûòü çàìåíåíî èíòåãðèðîâàíèåì. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà (íà ïåðèîä íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòó-
ðû) îò ìîäóëÿ ýëëèïòè÷åñêîé ôóêöèè, à ñëåäîâà-
òåëüíî, îò ïåðèîäà ñòðóêòóðû:
E
a
k K k
sds
k s
a
k K k
b
L( )
( ) ( ) ( )
0 2
2
2 2 2
1
2
2
2 22 2
� �
�) �
�
,
) �
�
ch
-
- � �
1
2
2,
, , ,
( )
[ln ( ) ( ) ln ( )]
k
k k kth ch . (28)
Ýíåðãèè äåôîðìèðîâàííîãî ìîíîñëîÿ è åãî âçàèìî-
äåéñòâèÿ ñ ïîäëîæêîé ëåãêî íàõîäÿòñÿ: âîñïîëüçîâàâ-
øèñü âûðàæåíèåì äëÿ (23) è ñâÿçüþ u b /' � �2 ,
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå cos cos sin )
*
� �0 0 0H
è, ïîäñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëû
(5) è (6), íàõîäèì
E a E k k k kL
int
( ) ( ( ) ( ) ( ))0 2
2
2 21
1� � � �)�
�
� K
�
��
�) � �2 2
2 2
2
2 2
1
4
1
1
a
k k
q
q
s
s
sK ( ) ( )
, (29)
E a
E k
k
a a Ls
L( ) ( )0 2
2
2 2
0
1
2
� � �)�
�
� �
�
� . (30)
 ôîðìóëå (30) îïóùåíû ìàëûå ñëàãàåìûå
ïîðÿäêà ) �2 2a , êîòîðûå ïðè áîëüøîé æåñòêîñòè
ïîäëîæêè (� ��� ) ñóùåñòâåííî ìåíüøå ìàëûõ
ïîïðàâîê ( )~ ) �2 2a â ôîðìóëàõ (28) è (29). Êàê
óêàçûâàëîñü âûøå, ïðè áîëüøîé æåñòêîñòè ïîä-
ëîæêè, ñóììèðîâàíèå ïî s â ôîðìóëå (29) ìîæåò
áûòü çàìåíåíî èíòåãðèðîâàíèåì è â ðåçóëüòàòå
ìîæíî ïîëó÷èòü òàêóþ çàâèñèìîñòü ýíåðãèè E L
int
( )0
îò ìîäóëÿ ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèè:
E a E k k k kL
int
( ) [ ( ) ( ) ( )]0 2
2
2 21
1� � � �)�
�
� K
�
�
�
�) �
�2
2
2 2
2
2 2
1
4
1
a
k k
q
q
ds
s
sK ( ) ( )
� � � �)�
�
�a E k k k k2
2
2 21
1[ ( ) ( ) ( )]K
�
�
+
) �
,2 2
2
1
a
k k k
th
K K( ) ( )
. (31)
Îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ïîëíîé
ýíåðãèè ñèñòåìû â íåñîèçìåðèìîì ñîñòîÿíèè ìîæåò
áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
800 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
E
a
L
U
E k
k k
k
k U
a b
k k
L
tot
( ) (
( )
( )
)
( )
( )
0
0
2
2
2
2 1
� �
�
�
��
�
�
K K
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
+
�
� �
+
) �
,
�
, , ,
2
1 22
3 2 3 2
th th ch
k k k k kK K K K( ) ( )
(ln ln )
( ) (k)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
2
2 2a . (32)
Ñëàãàåìîå â ïåðâûõ êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ è ïî-
ñëåäíåå ñëàãàåìîå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ èç-
âåñòíûì ðåçóëüòàòîì äëÿ ýíåðãèè ÍÑ â ìîäåëè ÔÊ
(àáñîëþòíî æåñòêàÿ ïîäëîæêà). Ñëàãàåìîå âî âòî-
ðûõ êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ( ). ) ñâÿçàíî ñ ïîäàòëèâî-
ñòüþ ïîäëîæêè. Âèäíî, ÷òî â ïðåäåëå �
(àáñî-
ëþòíî æåñòêàÿ ïîäëîæêà) ðåçóëüòàò ïåðåõîäèò â
èçâåñòíîå ðàíåå âûðàæåíèå [14].
Îäíàêî ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè � â óçêîé
îáëàñòè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè âáëè-
çè åãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ïîïðàâêà ê ýíåðãèè,
ñâÿçàííàÿ ñ ïîäàòëèâîñòüþ ïîäëîæêè, ñòàíîâèòñÿ
íå ìàëîé, è ðàññìîòðåíèå çàäà÷è â ðàìêàõ òåîðèè
âîçìóùåíèé òåðÿåò ñìûñë. Òàêèì îáðàçîì, íå óäàåò-
ñÿ íàéòè ïåðåíîðìèðîâàííîå çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè. Íî âíå ýòîé
óçêîé îáëàñòè ïàðàìåòðà � ïîïðàâêè ê ýíåðãèè
ìàëû, è ìîæíî íàéòè ìîäèôèêàöèþ íåñîèçìåðèìîé
ñòðóêòóðû, ñâÿçàííóþ ñ ïîäàòëèâîñòüþ ïîëóïðî-
ñòðàíñòâà.
Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîëíîé ýíåðãèè ) tot
( )L0 îò
ïàðàìåòðà k ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåñîèçìåðè-
ìîñòè áîëüøå è ìåíüøå êðèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíà
íà ðèñ. 2,à ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé êðè-
âîé. Ìèíèìóìó íèæíåé êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò
çíà÷åíèå k*, îïðåäåëÿþùåå ïåðèîä íåñîèçìåðèìîé
ñòðóêòóðû L k K k /U a /0
22 2
* * *( ) ( )� � � . Ïðè ïðè-
áëèæåíèè ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè ê êðèòè÷å-
ñêîìó çíà÷åíèþ ýòîò ìèíèìóì ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíó
áîëüøèõ çíà÷åíèé k, à ïåðèîä íåñîèçìåðèìîé ñòðóê-
òóðû âîçðàñòàåò. Îäíàêî, êàê óêàçûâàëîñü âûøå, â
óçêîé îáëàñòè âáëèçè �* èñïîëüçóåìàÿ òåîðèÿ âîç-
ìóùåíèé íåïðèìåíèìà, ïîýòîìó îòêðûòûì îñòàåòñÿ
âîïðîñ, âîçíèêàåò ëè íåñîèçìåðèìàÿ ñòðóêòóðà â
êðèòè÷åñêîé òî÷êå ñ áåñêîíå÷íûì èëè êîíå÷íûì
ïåðèîäîì.
Çàâèñèìîñòè ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû îò
ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè äëÿ àáñîëþòíî æåñòêîãî
è ïîäàòëèâîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ïðèâåäåíû íà ðèñ.
2,á. Âèäíî, ÷òî ó÷åò ïîäàòëèâîñòè ïîäëîæêè ïðèâî-
äèò ê óâåëè÷åíèþ ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû.
Äëÿ èñïîëüçóåìûõ íà ðèñóíêå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
ìîäåëè � �, , ,U a ÷èñëåííî íàéäåííîå êðèòè÷åñêîå
çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè �* ,' 0 4.
4. Æåñòêèé ìîíîñëîé íà ïîâåðõíîñòè ìÿãêîãî
ïîëóïðîñòðàíñòâà
 ñëó÷àå æåñòêîãî ìîíîñëîÿ íà ïîâåðõíîñòè ìÿã-
êîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà îñíîâíóþ ñèñòåìó èñõîäíûõ
óðàâíåíèé (12) è (13) óäîáíî ïåðåïèñàòü â âèäå
sin
�
�
� !
"
#
$
%
&
U
ab
Hw x2 0 , (33)
� �
�
�x xb
w
a
Hw d� � � �!
"
#
$
%
&
2 1
0 0 , (34)
u
a
Hw dx � � � �
1
0
�
�
�. (35)
Óðàâíåíèå (35) è êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ d,
êîòîðàÿ áóäåò îïðåäåëåíà íèæå, âîçíèêàþò ïîñëå
îäíîêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (17).
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 801
0,4 0,6 0,8 1,0
0
0,4
0,8
1,2
k
à
) t
o
t)
(L
0
0 0,2 0,4 0,6
1
2
3
4
L
0
á
b/
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýíåðãèè ÍÑ ) tot
( )0L �
� E /Ltot
( )0L
0 îò ìîäóëÿ ýëëèïòè÷åñêîé àìïëèòóäû äëÿ
ñëó÷àÿ � �� � � �1 50 01 1; ; , ;U a . Îòñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ îò
ïëîòíîñòè ýíåðãèè íåäåôîðìèðîâàííîãî ìîíîñëîÿ E /L* ;0
b b� 03, * (òî÷êè), b b� �09, * (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) (à). Çà-
âèñèìîñòè ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû îò ïàðàìåò-
ðà íåñîèçìåðèìîñòè äëÿ àáñîëþòíî æåñòêîé è ïîäàòëèâîé
ïîäëîæêè; � � 50 (òî÷êè), � �
(ëèíèÿ) (á).
 ñëó÷àå æåñòêîãî ìîíîñëîÿ ñìåùåíèÿ ïîâåðõíî-
ñòíûõ àòîìîâ ïîëóïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâåííî áîëü-
øå ñìåùåíèé àòîìîâ ìîíîñëîÿ â ÍÑ, ò.å.
v w b / x ' �0 0 2 � � . Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (33)
ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî ñâåäåíî ê ñëåäóþùåìó
óðàâíåíèþ, ñîäåðæàùåìó òîëüêî ôóíêöèþ :
sin
�
�
0 ��� !
"
#
$
%
& � ��
�
�
�
�
�
1
2
2
2
aU
ab
H
x
bx , (36)
ãäå 0
�
� �
�
2 2
22U
b
( )
.
Ïîñêîëüêó â ÍÑ sin ~ ~ 1, òî èç óðàâíåíèÿ
(36) ñëåäóåò, ÷òî
a
x ab
U(
(
~
( )2
1
2
2
�
�
.
(Ïîñëåäíåå óñèëåííîå íåðàâåíñòâî íåîáõîäèìî äëÿ
âûïîëíåíèÿ äëèííîâîëíîâîãî ïðèáëèæåíèÿ, â êîòî-
ðîì ñïðàâåäëèâî âñå íàøå ðàññìîòðåíèå.) Ïðè ýòîì
èç ñîîòíîøåíèÿ (17) ñëåäóåò, ÷òî w a u /x0 ~ � �
(íàäî ó÷èòûâàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà íå
ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñøòà-
áà). Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå v w 0 ñâîäèòñÿ ê ñëå-
äóþùåìó íåðàâåíñòâó:
0 1. (37)
 ðàññìàòðèâàåìîì ïðåäåëå (æåñòêîñòü ìîíîñëîÿ
ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò æåñòêîñòü ïîëóïðîñòðàíñò-
âà ïîäëîæêè) ïàðàìåòð 0 èãðàåò ðîëü ìàëîãî ïàðà-
ìåòðà, â ìåðó êîòîðîãî ñëó÷àé ñ ïîäàòëèâûì, íî
æåñòêèì ìîíîñëîåì îòëè÷àåòñÿ îò ñèòóàöèè ñ àáñî-
ëþòíî æåñòêèì ïîêðûòèåì. Âèäíî, ÷òî â óðàâíåíèè
(36) ó÷òåíû ïåðâûå ïîïðàâêè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó
0 (âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè).
1.  ñëó÷àå àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ (� �
,
0 � 0) óðàâíåíèå (36) ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíå-
íèþ, âîçíèêàþùåìó â ìîäåëè Ïàéåðëñà äëÿ äèñëî-
êàöèè â äâóìåðíîé óïðóãîé ñèñòåìå (ÓÏ):
sin ~ *� H , ~*
�
�
1
� !
"
#
$
%
& �x
U
a b
x1 2 2
, (38)
ãäå 1 � �� ( ) ( )/U a b/2 2 — õàðàêòåðíàÿ øèðèíà ïî-
âåðõíîñòíîé äèñëîêàöèè. Õîðîøî èçâåñòíû òî÷íûå
ðåøåíèÿ ÓÏ äëÿ óåäèíåííîé äèñëîêàöèè è ïàðû
äèñëîêàöèé ðàçíîãî çíàêà [15,16]:
* �1 2� �arctg ~ ,
*
2 2 2
2
2 1
'
�
�
�
�
�
�
� �arctg
l
l l~
,(39)
ãäå l — ðàññòîÿíèå ìåæäó äèñëîêàöèÿìè â ïðåäåëå
ìàëûõ ñäâèãîâûõ íàïðÿæåíèé (â ïðåäåëå áîëüøîãî
ðàçìåðà äèñëîêàöèîííîé ïàðû).
Íàìè íàéäåíû äâà íîâûõ êëàññà òî÷íûõ ïåðèî-
äè÷åñêèõ ðåøåíèé ÓÏ, èìåþùèõ ñëåäóþùèé âèä:
* �0 2
1
�
�
�
�
�
�
� �arctg tg
f
g( ~) ,
ãäå g
f
f
f�
�
1
0 1
2
, ; (40)
� *+ � �0 2arctg [ sin(~~)]f g , ãäå ~
( )
g
f
f /
�
�1 2 1 2
.
(41)
Ðåøåíèå (40) îïèñûâàåò íåñîèçìåðèìóþ ñòðóêòóðó,
ò.å. ïåðèîäè÷åñêóþ öåïî÷êó «2�-êèíêîâ» (äèñëîêà-
öèé íà ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà íà ôîíå
«êîìïåíñèðóþùåé» ñðåäíåé äåôîðìàöèè) ñ ðàñ-
ñòîÿíèåì ìåæäó íèìè L /g0 � � è ÿâëÿåòñÿ îáîáùå-
íèåì ðåøåíèÿ Ïàéåðëñà äëÿ äèñëîêàöèè â äâóìåð-
íîì êðèñòàëëå íà ñëó÷àé ïåðèîäè÷åñêîé öåïî÷êè
îáúåìíûõ äèñëîêàöèé. Ðåøåíèå (40) ïàðàìåòðèçó-
åòñÿ çíà÷åíèåì f (èëè ïåðèîäîì L0), êîòîðîå îïðå-
äåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì íåñîèçìåðèìîñòè �. Ðåøåíèå
(41) îïèñûâàåò ïåðèîäè÷åñêóþ ñèñòåìó äèñëîêàöèé
ðàçíîãî çíàêà ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè 2�/g~ è â
íåêîòîðîì ñìûñëå îáîáùàåò ðåøåíèå Íàáàððî. Ýòî
ðåøåíèå, ïî-âèäèìîìó, ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì â
ñëó÷àå èçó÷àåìûõ íåñîèçìåðèìûõ ñòðóêòóð, è íèæå
íàìè íå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ.
 ñëó÷àå âîçíèêíîâåíèÿ íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòó-
ðû, îïèñûâàåìîé ðåøåíèåì (40), ñìåùåíèÿ íà ïî-
âåðõíîñòè ïîäëîæêè ðàâíû
w
b
x0 02
� �
�
� � �
�
�b / L x b/k
k 1
02 2sin [( ) ]� 1 , (42)
ãäå
b
b
L
a b
b k
q
k
b
q
f
fk
k k
� � �
�!
"
#
$
%
&
�
� �
�
��
1
� �0
1 1 1
1
( ) ~
, ~ ,
(43)
Ñëàãàåìîå ��x â óðàâíåíèè (42) ñîîòâåòñòâóåò «êîì-
ïåíñèðóþùåé» äåôîðìàöèè, ïðè íàëè÷èè êîòîðîé
ýíåðãèÿ ñèñòåìû (íà ïåðèîä íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòó-
ðû) îñòàåòñÿ êîíå÷íîé. Âûðàæåíèå (42) ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ äâóìåðíîãî
óðàâíåíèÿ (9), îïèñûâàþùåãî ñìåùåíèÿ â ïîäëîæ-
êå. Ïðè óêàçàííûõ ñìåùåíèÿõ íà ïîâåðõíîñòè ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà ñìåùåíèÿ â îáúåìå çàïèøóòñÿ â âèäå
w b /L kz /L x b/k
k
� � �
�
� exp[( ) ]sin [( ) ]2 2 20
1
0� 1 � 1 .
(44)
802 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
 ýòîì ñëó÷àå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ïîäëîæêè, ïðèõîäÿ-
ùàÿñÿ íà îäèí ïåðèîä ÍÑ, ðàâíà:
E b k
b f
fb k
k
� �
��
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
�2 2
1
4
2
1
2 2
ln
( )
. (45)
Ýòà ýíåðãèÿ êîíå÷íà òîëüêî ïðè óñëîâèè íóëåâîé
ñðåäíåé äåôîðìàöèè (÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðèîäè÷-
íîñòè ôóíêöèè w0). Ýòî óñëîâèå îïðåäåëÿåò åäèí-
ñòâåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà f f� 0 è, ñëåäîâàòåëü-
íî, çàâèñèìîñòü ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû
L0 îò ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè �:
f L / L /0 0
2
02 1 2� � �( )� �,
L
U
a
L
0
2
2
01
1
2
1
�
�
�
�� � �
�
�( )
( ) *
,
(46)
ãäå L0
* — àñèìïòîòèêà ïåðèîäà ÍÑ ïðè �
0.
Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîíîñëîÿ ñ ïîäëîæêîé
îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ôóíêöèåé è ðàâíà
E
U
a
f
f
Lint � �
2
1
0
0
01. (47)
Âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû (íà
îäèí ïåðèîä íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû) âûãëÿäèò
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
E U
a
f
f
f
f
f
f
L
tot
( ) ln
( )
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 2
1
2
1
1
4
0
0
0
0
2
0
2
0��
�
�
�
��
L0. (48)
Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýíåðãèè îò ïàðàìåòðà íå-
ñîèçìåðèìîñòè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (48). Â ïðåäåëå
ìàëûõ � åå àñèìïòîòèêà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
E
L
a
L
L
L
tot
tot
( )
( )
*
*
ln� � �
!
"
#
#
$
%
&
&
�
�
�
�
�
�
�) �
� �
0
2
0
0
2
1
1
4 �
.
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè (íà åäèíèöó
äëèíû) êàê ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè
ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3.
Ýòà íàéäåííàÿ çàâèñèìîñòü èìååò ñìûñë ïðè íå
ñëèøêîì áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåñîèçìå-
ðèìîñòè �, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ äëèííîâîëíî-
âîå ïðèáëèæåíèå. Â îäíîðîäíîì ñîñòîÿíèè, â êîòî-
ðîì óïðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî íå äåôîðìèðîâàíî,
âîçíèêàåò ïîâåðõíîñòíàÿ ñòðóêòóðà, ñâÿçàííàÿ ñ íå-
ñîîòâåòñòâèåì ïîëîæåíèé àòîìîâ ìîíîñëîÿ è ïîä-
ëîæêè è èìåþùàÿ ïåðèîä b/�. Ýíåðãèÿ, ïðèõîäÿ-
ùàÿñÿ íà åäèíèöó äëèíû «îäíîðîäíîãî ñîñòîÿíèÿ»,
ðàâíàU/a è íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìî-
ñòè.  ÷àñòíîì ñëó÷àå âûáðàííûõ íà ðèñóíêå çíà÷å-
íèé ïàðàìåòðîâ ýòà ýíåðãèÿ ðàâíà U/a � 0 01, è ïðå-
âûøàåò ýíåðãèþ íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû.
Çàâèñèìîñòü ïåðèîäà íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû
îò ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
(46) è ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ � èìååò àñèìïòîòèêó
L L
U
a0 0
21 2 1
' � !
"
#
$
%
&* ~
� �
�
�
.
Òàêèì îáðàçîì, êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå ðàññìàòðèâàå-
ìîãî ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ îò ñëó÷àÿ àáñîëþòíî æåñò-
êîé ïîäëîæêè ñîñòîèò â îòñóòñòâèå íåíóëåâîãî êðè-
òè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè:
íåñîèçìåðèìàÿ ñòðóêòóðà ñ áåñêîíå÷íûì ïåðèîäîì
L0 è ñ íóëåâîé ýíåðãèåé âîçíèêàåò ïðè � � 0.
2.  ñëó÷àå æåñòêîãî, (íî íå àáñîëþòíî, à ñëàáî
ïîäàòëèâîãî) ìîíîñëîÿ ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ: â óðàâ-
íåíèè (36) íåîáõîäèìî îñòàâèòü âòîðîå ñëàãàåìîå â
ïðàâîé ÷àñòè ( )~ 0 è åãî ðåøåíèÿ äîëæíû áûòü çà-
ïèñàíû ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ. Ìû áóäåì ó÷èòûâàòü
îñíîâíûå ïîïðàâêè (ïîðÿäêà 0) ê ðåøåíèÿì. Â òåð-
ìèíàõ áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû ~* ïðàâàÿ ÷àñòü
óðàâíåíèÿ ïðèíèìàåò âèä H /b 0 ��1**~ ( ~ )� � 2 .
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (36) òàêæå äîëæíî áûòü çàïèñà-
íî ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî
â âèäå
0
�
*
�
�1*� � �!
"
#
$
%
&
�
�
�
�
�
��0 0
2
2b
H d
b~ ~ , (49)
ãäå 0 — ðåøåíèå (40) óðàâíåíèÿ (39) â ïðåäåëå
àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ; ôóíêöèÿ ( )x ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ÷èñòî ïåðèîäè÷å-
ñêîé ôóíêöèè è ëèíåéíî ðàñòóùåé ÷àñòè, ðàâíîé
�� 2 x/L. Ñâÿçü ïåðèîäà L ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì
L0 ôóíêöèè 0 áóäåò ïðèâåäåíà íèæå. Äëÿ íà-
õîæäåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè ÍÑ, èñïîëüçóÿ âûðàæå-
íèå (49) äëÿ , íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñìåùåíèÿ â
ìîíîñëîå v è â ïîäëîæêå w. Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðå-
äåëå ñìåùåíèÿ â ìîíîñëîå ìàëû: v w 0, è äëÿ ñìå-
ùåíèé íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè èç ôîðìóëû (34)
(ïðè ïîäñòàíîâêå â íåå ðåøåíèÿ (49)) èìååì
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 803
0,15 0,30 0,450
0,002
0,004
0,006
t
t
�
)
o(L
) 0
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýíåðãèè ñèñòåìû â ÍÑ îò
ÏÍ äëÿ ñëó÷àÿ a U� �
� �1 01 001; ; , ; ,� � .
w b / d x b/0 0 2 2� � � � � �( ) (îòíîñèòåëüíî êîíñ-
òàíòû d, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà
íóëþ ñðåäíåé äåôîðìàöèè â ïîäëîæêå è â ïðåäåëå àá-
ñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ ðàâíà íóëþ (34),(35)).
Ñëîæíåå íàéòè ñìåùåíèÿ â ìîíîñëîå. Èç óðàâíåíèÿ
(35), êîòîðîå ìîæíî ïðèáëèæåííî ïåðåïèñàòü â âèäå
v Hw d~* 0 1� � �0 , ñëåäóåò ÷òî
v H d b/ d b/ d� � � � � ��0 * � � 1* 1*~ [( ) ( ) ~ ] ~2 20 .
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ äåôîðìàöèÿ íà ïîâåðõ-
íîñòè ïîäëîæêè ðàâíà íóëþ (ñìåùåíèÿ w0 ñòðîãî ïå-
ðèîäè÷íû), ÷òî äèêòóåòñÿ òðåáîâàíèåì êîíå÷íîñòè
ýíåðãèè ñèñòåìû â äàííîé êîíôèãóðàöèè, âîçìîæíî,
óñðåäíèâ ðàâåíñòâî (34), îïðåäåëèòü çíà÷åíèå êîí-
ñòàíòû d: d b/L� �� 1 (â ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêî-
ãî ïîêðûòèÿ d � 0 è ìû ïðèõîäèì ê íàéäåííîé âûøå
çàâèñèìîñòè L b/� ( )�1 ). Îêîí÷àòåëüíî âûðàæåíèÿ
äëÿ ñìåùåíèé â ïîäëîæêå è â ìîíîñëîå èìåþò âèä
w
b q
k
k
L
x k
L
z b/
k
k
� !
"
#
$
%
& �!
"
#
$
%
& �
�
��
�
1
�
1
~
sin exp
1
2 2
2,
v
f
f
b q
k
k
L
x b/L x
k
k
� �
� !
"
#
$
%
& � �
�
�1
2
22
2
1
�
0
�
1
� 1
~
sin ( ) ,
(50)
ãäå ~q — îïðåäåëåííàÿ âûøå ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà f,
êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïåðèîäà ÍÑ. Ïðîôèëè
ñìåùåíèé íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè è â ìîíîñëîå
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4.
Ñîîòâåòñòâóþùèå íàéäåííûì ñìåùåíèÿì â ïîä-
ëîæêå è ìîíîñëîå ýíåðãèè íà ïåðèîä ÍÑ èìåþò âèä
E
b q
k
k
b f
fb
k
k
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�2 2
1
4
2
1
2 2~
ln
( )
�
, (51)
E
L
a
U q L ad Ls � �0
1
1
�
1Li2
2 2
2
(~ ) , (52)
ãäå Li2( )q — ïîëèëîãàðèôì âòîðîé ñòåïåíè. Äëÿ
íàõîæäåíèÿ ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäëîæêè ñ
ìîíîñëîåì âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì (49) äëÿ
ñâÿçè ôóíêöèé è 0 â âèäå
cos cos sin 0
�
�
�� � �!
"
#
$
%
&
�
�
�
�
�
��0 0 0
2
2b
H dx
b
x ,
îòêóäà ïîëó÷àåì:
E
U
a
f
f
L
L
a
U q Lint Li�
�
�
2
1
2
2
21 0
1
1(~ ) . (53)
Ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû â íåñî-
èçìåðèìîì ñîñòîÿíèè (íà îäèí ïåðèîä ÍÑ) âûãëÿ-
äèò òàê:
E
U
a
f
f
f
f
f
f
L
tot
( ) ln
( )
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2
1 1
1
42
2
� � �!
"
#
$
%
&
�
�
�
��
0 �
�
1
1
2 2 22
2
2 2
Li (~ )q
a
U
b
L
L . (54)
 ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ
(�
2
f f0 L L
0) ýòî âûðàæåíèå ïåðåõî-
äèò â ïîëó÷åííóþ ðàíåå ôîðìóëó (48).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷å-
íèè ïàðàìåòðà � â óçêîé îáëàñòè çíà÷åíèé ïàðàìåò-
ðà íåñîèçìåðèìîñòè âáëèçè åãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷å-
íèÿ ïîïðàâêà ê ýíåðãèè, ñâÿçàííàÿ ñ ïîäàòëèâîñòüþ
ìîíîñëîÿ, ñòàíîâèòñÿ íå ìàëîé, è ðàññìîòðåíèå çà-
äà÷è â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé òåðÿåò ñìûñë. Òà-
êèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ýòîé òåîðèè íå óäàåòñÿ íàéòè
êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè.
Îäíàêî âíå ýòîé óçêîé îáëàñòè ïàðàìåòðà � ïîïðàâ-
êè ê ýíåðãèè ìàëû, è ìîæíî íàéòè ìîäèôèêàöèþ
íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû, ñâÿçàííóþ ñ ïîäàòëèâî-
ñòüþ ïîêðûòèÿ.
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïðåäñòàâëåíà
íà ðèñ. 5,à ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ ÏÍ: áîëüøåì è ìåíü-
øåì êðèòè÷åñêîãî. Ïðè çíà÷åíèè � � * ìèíèìóì çà-
âèñèìîñòè ) tot
( )( )L f â òî÷êå f* îïðåäåëÿåò ïåðèîä âîçíè-
êàþùåé ñòðóêòóðû L f /f~ ( * *)1 2� . Äëÿ ïàðàìåòðîâ,
ïðèâåäåííûõ íà ðèñóíêå, êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðà-
ìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè áëèçêî ê �* ,' 0 03.
Óñëîâèå ìàëîñòè ïîïðàâêè ê ýíåðãèè çà ñ÷åò ïî-
äàòëèâîñòè ìîíîñëîÿ îïðåäåëÿåò èíòåðâàë äîïóñ-
òèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè �; â
ýòîì èíòåðâàëå óäîâëåòâîðÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
0
,
2
1 1
4
10
2
0
0
2
0
� �
�
f
f
f
f
ln
( ) ~ ,
� , 0
� �
2
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2 4
0 0~ ln~
* *L L
,
804 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
0 2,5 5,0 7,5
0,0
w0
v
v,
w
0
x
–0,2
–0,4
–0,6
Ðèñ. 4. Ñìåùåíèÿ â ìîíîñëîå è íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæ-
êè äëÿ ñëó÷àÿ a b U� � � � �1 06 1 001 01; , ; ; , ; ,� � .
ïðè êîòîðîì ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå àíàëèòè÷å-
ñêèå âûðàæåíèÿ:
L L� �0 1( ~), , f f
a /U
� �
� �
!
"
#
##
$
%
&
&&
0
2 2
1
1 1
~
( ( ) )
,
� ��
.
(55)
Èç ôîðìóëû (55) âèäíî, ÷òî ó÷åò ïîäàòëèâîñòè óï-
ðóãîãî ìîíîñëîÿ âûçûâàåò óâåëè÷åíèå ïåðèîäà âîç-
íèêàþùåé íåñîèçìåðèìîé ñòðóêòóðû (L L� 0), ÷òî
ïðîäåìîíñòðèðîâàíî è íà ðèñ. 5,á. Íàêîíåö, ïðèâå-
äåííàÿ íà ðèñ. 5,à çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýíåðãèè
ÍÑ îò ïàðàìåòðà f (ôàêòè÷åñêè îò ïàðàìåòðà íåñî-
èçìåðèìîñòè) ìîæåò áûòü çàïèñàíà ïðèáëèæåííî â
ñëåäóþùåé àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå:
E U
a
f
f
f
f
f
f
L
tot
( ) ln
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1 2
1
2
1
1
4
0
0
0
0
2
0
2
0
�
�
�
!
"
##
$
%
&& �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 Li2
0
0
2
2 0
2
0
1
1
1
2
1
4
f
f
f
f
ln
( )
�
L0. (56)
 ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ (0 � 0) ýòî
âûðàæåíèå ïåðåõîäèò â ôîðìóëó (48).  ñëó÷àå ìà-
ëûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè àñèìïòîòè-
êà çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ýíåðãèè îò ïàðàìåòðà íåñî-
èçìåðèìîñòè, îïðåäåëÿåìîé ôîðìóëîé (56), èìååò âèä
) ) 0
�
� �tot tot
(0)� � �
!
"
#
#
$
%
&
&
�
�
�
�
�
�
�
�
a L2
2
2 0
24
1
3
4
ln
*
.
5. Çàêëþ÷åíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû âîçìîæíûå íå-
ñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû, âîçíèêàþùèå ó ïîâåðõíî-
ñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, ïîêðûòîãî ìîíîñëî-
åì âåùåñòâà ñ îòëè÷íûì îò îáúåìíîãî ìåæàòîìíûì
ðàññòîÿíèåì, â øèðîêîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé æåñòêî-
ñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà è ïîêðûâàþùåãî ìîíîñëîÿ è
ðàçíîñòè ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèé.
1. Â ðàìêàõ ïðîñòîé ñêàëÿðíîé ìîäåëè âûâåäåíà
ñèñòåìà ýôôåêòèâíûõ îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ èí-
òåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñòàòè÷åñêèõ
íåñîèçìåðèìûõ ïîâåðõíîñòíûõ ñòðóêòóð, îïèñûâàþ-
ùàÿ â ïðåäåëàõ àáñîëþòíî æåñòêîé ïîäëîæêè è àáñî-
ëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ èçâåñòíûå ìîäåëè Ôðåíêå-
ëÿ–Êîíòîðîâîé è Ïàéåðëñà.
2. Â ïðåäåëå àáñîëþòíî æåñòêîãî ìîíîñëîÿ (ìî-
äåëü Ïàéåðëñà) íàéäåíû íîâûå êëàññû òî÷íûõ
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ïàéåðëñà äëÿ íåñîèçìåðèìîé
ñòðóêòóðû. Ýòè ðåøåíèÿ îïèñûâàþò ïåðèîäè÷åñêóþ
ñèñòåìó ïîâåðõíîñòíûõ äèñëîêàöèé ñ «êîìïåíñè-
ðóþùåé» ñðåäíåé äåôîðìàöèåé ïðîòèâîïîëîæíîãî
çíàêà (ñ íóëåâîé ñðåäíåé äåôîðìàöèåé ïîëóïðî-
ñòðàíñòâà).
3. Ïðè ó÷åòå ñëàáîé ñæèìàåìîñòè ìîíîñëîÿ â ðàì-
êàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó (îòíî-
øåíèå æåñòêîñòè ïîäëîæêè ê æåñòêîñòè ìîíîñëîÿ)
íàéäåíû ïîïðàâêè ê ñòðóêòóðå íåîäíîðîäíîãî ïî-
âåðõíîñòíîãî ñîñòîÿíèÿ.  äîïîëíåíèå ê ïåðèîäè÷å-
ñêîé ïîâåðõíîñòíîé ñòðóêòóðå ïîäëîæêè (ñ íóëåâîé
ñðåäíåé äåôîðìàöèåé) âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíàÿ,
íåíóëåâàÿ â ñðåäíåì, ìàëàÿ äåôîðìàöèÿ ìîíîñëîÿ.
4.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå æåñòêîãî (íî îáëà-
äàþùåãî êîíå÷íîé ïîäàòëèâîñòüþ) ïîëóïðîñòðàíñòâà
ñ ìÿãêèì ìîíîàòîìíûì ïîêðûòèåì íàéäåíû ïðèá-
ëèæåííûå ðåøåíèÿ, ïåðåõîäÿùèå â ïðåäåëå àáñî-
ëþòíî æåñòêîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà â èçâåñòíûå ðàíåå
ðåçóëüòàòû. Ó÷åò ñëàáîé ïîäàòëèâîñòè ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïåðèîäè÷åñêàÿ ñèñòåìà äèñ-
ëîêàöèé â ìîíîñëîå ñîïðîâîæäàåòñÿ ñëàáîé (â ñðåä-
íåì íóëåâîé) äåôîðìàöèåé ïîëóïðîñòðàíñòâà.
Òàêèì îáðàçîì, âî âñåì èíòåðâàëå çíà÷åíèé ñîîò-
íîøåíèÿ æåñòêîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà è ïîêðûâàþ-
Íåñîèçìåðèìûå ñòðóêòóðû íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 805
0,6 0,8 1,0
0
15
30
45
L
b
á
Ðèñ. 5. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñèñòåìû êàê ôóíêöèè ïàðàìåò-
ðà f (ïåðèîäà ÍÑ) â íåñîèçìåðèìîì ñîñòîÿíèè äëÿ çíà÷å-
íèé ïàðàìåòðîâ a � �1 01, , ,� U a b b� � � 001 1 080, , ; , *
(ïóíêòèð), b b� �099, * (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) (a). Ïåðèîä
ÍÑ êàê ôóíêöèÿ ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ b â ñëó÷àå àáñî-
ëþòíî æåñòêîãî è ïîäàòëèâîãî ìîíîñëîÿ äëÿ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ � � �� � � � �
1 01 001 1, , , , , ;U a (ñïëîøíàÿ
ëèíèÿ), � � 30 (ïóíêòèð) (á).
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
0,04
0,08
0,12
0,16
f
) t
o
t
(L
)
à
ùåãî ìîíîñëîÿ � �/ è ïàðàìåòðà íåñîèçìåðèìîñòè �
(ðàçíîñòè èõ ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèé) â ðàçíûõ
ñëó÷àÿõ òî÷íî, êîëè÷åñòâåííî è êà÷åñòâåííî íàéäåí
âèä íåñîèçìåðèìûõ ïîâåðõíîñòíûõ ñòðóêòóð, ò.å.
çàâèñèìîñòü ïåðèîäà ýòèõ ñòðóêòóð îò óêàçàííûõ
ïàðàìåòðîâ L L /� ( , )� � � .
1. À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñûðêèí, Æ.À. Ìîæåí, ÔÍÒ 28,
635 (2002).
2. À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À.
Ìîæåí, ÔÍÒ 29, 530 (2003).
3. È.Ô. Ëþêñþòîâ, À.Ã. Íàóìîâåö, Â.Ë. Ïîêðîâñêèé,
Äâóìåðíûå êðèñòàëëû, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1988).
4. S.C. Erwin, A.A. Baski, L.J. Whitman, and R.E.
Rudd, Phys. Rev. Lett. 83, 1818 (1999).
5. U. Harten, A.M. Lahee, J.P. Toennies, and Ch. Woll,
Phys. Rev. Lett. 54, 2619 (1985).
6. O.M. Braun and Y.S. Kivshar, The Frenkel–Kon-
torova Model. Cocepts, Methods, and Applications,
Springer, Berlin (2003).
7. È.Î. Êóëèê, È.Ê. ßíñîí, Ýôôåêò Äæçåôñîíà â
ñâåðõïðîâîäÿùèõ òóííåëüíûõ ñòðóêòóðàõ, Íàóêà,
Ìîñêâà (1970).
8. F.C. Frank and J.H. Van der Merwe, Proc. Roy. Soc.
London 198, 205 (1949).
9. M.B. Gordon, J. Villain, J. Phys. C12, L151 (1979).
10. È.Ô. Ëþêñþòîâ, ÆÝÒÔ 82, 1267 (1982).
11. À.Ë. Òàëàïîâ, ÆÝÒÔ 83, 442 (1982).
12. Â.Ä. Íàöèê, Å.È. Íàçàðåíêî, ÔÍÒ 26, 283 (2000).
13. H.D. Greenberg, Application of Greens Functons in
Science and Engineering, New Jersey (1971).
14. À.Ñ. Êîâàëåâ, È.Â. Ãåðàñèì÷óê, ÆÝÒÔ 122, 1116
(2002).
15. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
(ôèçè÷åñêàÿ ìåõàíèêà êðèñòàëëîâ), Âèùà øêîëà,
Õàðüêîâ (1988).
16. F.R. Nabarro, Proc. Phys. Soc. 59, 256 (1947).
Incommensurate structures on the surface of
elastic half-space
A.S. Kovalev and E.S. Sokolova
A static incommensurate structure on the sur-
face of elastic halfspace covered with a mo-
nolayer of another material with some different
elasticity and equilibrium interatomic distance
was examined, and a system of one-dimensional
nonlinear integro-differential equations describ-
ing such a structure was derived. New classes of
periodical solutions of the Pierls equation for
incommensurate surface structures, which differ
fundamentally from the well-known ones, were
found in the limit of absolutely rigid monolayer
(contary to the limit of soft monolayer on the
absolutely rigid half-spase usually examined in
the framework of the Frenkel–Kontorova model).
An approximate description of the structure of
nonuniform surface states, i.e., the dependences of
the structure spacing on the incommensurability
parameter (the difference in lattice spacing be-
tween monolayer and half-space) and on the elas-
ticity of monolayer and half-space was obtained
with due account of the weak elasticity of rigid
monolayer over soft half-space and the weak elas-
ticity of rigid half- space below soft monolayer.
The results obtained enable the transformation of
incommensurate surface structures to be described
qualitatively in the whole interval of the
above-mentioned parameters.
806 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
|