Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров
Исследована нелинейная динамика цепочки четырех связанных ангармонических осцилляторов с чередующимися частотными параметрами. Эта система рассматривается как элементарный фрагмент дискретной модулированной нелинейной среды, в частности магнитных и упругих нанокластеров и связанных оптических вол...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121673 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров / М.М. Богдан, А.С. Ковалев, Е.Ю. Малюта // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 807-814. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-121673 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1216732017-06-16T03:02:55Z Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров Богдан, М.М. Ковалев, А.С. Малюта, Е.Ю. Динамика кристаллической решетки Исследована нелинейная динамика цепочки четырех связанных ангармонических осцилляторов с чередующимися частотными параметрами. Эта система рассматривается как элементарный фрагмент дискретной модулированной нелинейной среды, в частности магнитных и упругих нанокластеров и связанных оптических волноводов. Аналитически и численно изучены стационарные монохроматические колебания системы и проведена их полная классификация. Получена бифуркационная диаграмма для такой системы: найдены спектральные зависимости частот колебаний от интеграла числа состояний. Подробно исследован бифуркационный процесс возникновения возбуждения, являющегося аналогом щелевого солитона в конечномерной модулированной среде. Досліджено нелінійну динаміку ланцюжка з чотирьох зв’язаних ангармонічних осциляторів із частотними параметрами, що перемежуються. Ця система розглядається як елементарний фрагмент дискретного модульованого нелінійного середовища, зокрема магнітних і пружних нанокластерів та зв’язаних оптичних хвильоводів. Аналітично і чисельно вивчено стаціонарні монохроматичні коливання системи і проведено їх повну класифікацію. Одержано біфуркац ійну діаграму для такої системи: знайдено спектральні залежності частот коливань від інтеграла числа станів. Детально досліджено біфуркаційний процес виникнення збудження, яке є аналогом щілинного солітона в кінцевовимірному модульованому середовищі. The nonlinear dynamics of a chain consisting of four coupled anharmonic oscillators with alternative frequency parameters is investigated. The system is considered as an elementary fragment of a discrete modulated nonlinear medium, in particular magnetic and elastic nanoclusters, and bound optical waveguides. The stationary monochromatic oscillations of the system are studied analytically and numerically, and their complete classification is carried out. A bifurcation diagram for the system is obtained: the spectral dependences of frequencies on the integral of the number of states are found. The bifurcation process of arising the excitation onset which is the analogue of a gap soliton in a finite–dimensional modulated system is investigated in detail. 2005 Article Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров / М.М. Богдан, А.С. Ковалев, Е.Ю. Малюта // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 807-814. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 61.46.+w, 63.20.Pw, 63.20.Ry, 63.22.+m http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121673 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Богдан, М.М. Ковалев, А.С. Малюта, Е.Ю. Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров Физика низких температур |
| description |
Исследована нелинейная динамика цепочки четырех связанных ангармонических осцилляторов
с чередующимися частотными параметрами. Эта система рассматривается как элементарный
фрагмент дискретной модулированной нелинейной среды, в частности магнитных и упругих
нанокластеров и связанных оптических волноводов. Аналитически и численно изучены
стационарные монохроматические колебания системы и проведена их полная классификация.
Получена бифуркационная диаграмма для такой системы: найдены спектральные зависимости
частот колебаний от интеграла числа состояний. Подробно исследован бифуркационный процесс
возникновения возбуждения, являющегося аналогом щелевого солитона в конечномерной
модулированной среде. |
| format |
Article |
| author |
Богдан, М.М. Ковалев, А.С. Малюта, Е.Ю. |
| author_facet |
Богдан, М.М. Ковалев, А.С. Малюта, Е.Ю. |
| author_sort |
Богдан, М.М. |
| title |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| title_short |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| title_full |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| title_fullStr |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| title_full_unstemmed |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| title_sort |
спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121673 |
| citation_txt |
Спектр нелинейных возбуждений модулированных нанокластеров / М.М. Богдан, А.С. Ковалев, Е.Ю. Малюта // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 7. — С. 807-814. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanmm spektrnelinejnyhvozbuždenijmodulirovannyhnanoklasterov AT kovalevas spektrnelinejnyhvozbuždenijmodulirovannyhnanoklasterov AT malûtaeû spektrnelinejnyhvozbuždenijmodulirovannyhnanoklasterov |
| first_indexed |
2025-07-08T20:19:09Z |
| last_indexed |
2025-07-08T20:19:09Z |
| _version_ |
1837111392877936640 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7, ñ. 807–814
Ñïåêòð íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé ìîäóëèðîâàííûõ
íàíîêëàñòåðîâ
Ì.Ì. Áîãäàí1, À.Ñ. Êîâàëåâ1, Å.Þ. Ìàëþòà2
1Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: bogdan@ilt.kharkov.ua
2Íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé öåíòð ýëåêòðîôèçè÷åñêîé îáðàáîòêè ÍÀÍ Óêðàèíû
óë.×àéêîâñêîãî, 28, ã. Õàðüêîâ, 61002, Óêðàèíà
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 1 ôåâðàëÿ 2005 ã.
Èññëåäîâàíà íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà öåïî÷êè ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ àíãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿ-
òîðîâ ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ ÷àñòîòíûìè ïàðàìåòðàìè. Ýòà ñèñòåìà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíòàð-
íûé ôðàãìåíò äèñêðåòíîé ìîäóëèðîâàííîé íåëèíåéíîé ñðåäû, â ÷àñòíîñòè ìàãíèòíûõ è óïðó-
ãèõ íàíîêëàñòåðîâ è ñâÿçàííûõ îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ. Àíàëèòè÷åñêè è ÷èñëåííî èçó÷åíû
ñòàöèîíàðíûå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû è ïðîâåäåíà èõ ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ.
Ïîëó÷åíà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ òàêîé ñèñòåìû: íàéäåíû ñïåêòðàëüíûå çàâèñèìîñòè
÷àñòîò êîëåáàíèé îò èíòåãðàëà ÷èñëà ñîñòîÿíèé. Ïîäðîáíî èññëåäîâàí áèôóðêàöèîííûé ïðî-
öåññ âîçíèêíîâåíèÿ âîçáóæäåíèÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ àíàëîãîì ùåëåâîãî ñîëèòîíà â êîíå÷íîìåðíîé
ìîäóëèðîâàííîé ñðåäå.
Äîñë³äæåíî íåë³í³éíó äèíàì³êó ëàíöþæêà ç ÷îòèðüîõ çâ’ÿçàíèõ àíãàðìîí³÷íèõ îñöèëÿòîð³â
³ç ÷àñòîòíèìè ïàðàìåòðàìè, ùî ïåðåìåæóþòüñÿ. Öÿ ñèñòåìà ðîçãëÿäàºòüñÿ ÿê åëåìåíòàðíèé
ôðàãìåíò äèñêðåòíîãî ìîäóëüîâàíîãî íåë³í³éíîãî ñåðåäîâèùà, çîêðåìà ìàãí³òíèõ ³ ïðóæíèõ
íàíîêëàñòåð³â òà çâ’ÿçàíèõ îïòè÷íèõ õâèëüîâîä³â. Àíàë³òè÷íî ³ ÷èñåëüíî âèâ÷åíî ñòàö³îíàðí³
ìîíîõðîìàòè÷í³ êîëèâàííÿ ñèñòåìè ³ ïðîâåäåíî ¿õ ïîâíó êëàñèô³êàö³þ. Îäåðæàíî á³ôóð-
êàö³éíó ä³àãðàìó äëÿ òàêî¿ ñèñòåìè: çíàéäåíî ñïåêòðàëüí³ çàëåæíîñò³ ÷àñòîò êîëèâàíü â³ä
³íòåãðàëà ÷èñëà ñòàí³â. Äåòàëüíî äîñë³äæåíî á³ôóðêàö³éíèé ïðîöåñ âèíèêíåííÿ çáóäæåííÿ,
ÿêå º àíàëîãîì ù³ëèííîãî ñîë³òîíà â ê³íöåâîâèì³ðíîìó ìîäóëüîâàíîìó ñåðåäîâèù³.
PACS: 61.46.+w, 63.20.Pw, 63.20.Ry, 63.22.+m
1. Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ â ôèçèêå êîíäåíñèðîâàííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èññëåäîâàíèþ
íåëèíåéíûõ ñàìîëîêàëèçîâàííûõ âîçáóæäåíèé. Èõ
ïðèíöèïèàëüíàÿ ðîëü ïðè îïèñàíèè íåëèíåéíûõ ÿâ-
ëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ ìàòå-
ìàòè÷åñêîé òåîðèè ñîëèòîíîâ. Ýòà òåîðèÿ ðàññìàòðè-
âàåò ñîëèòîíû è áðèçåðû êàê êà÷åñòâåííî íîâûé áàçèñ
ôóíäàìåíòàëüíûõ íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé [1,2].
Îäíàêî â ðåàëüíûõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ñðåäàõ
ïðè ó÷åòå òàêèõ ôèçè÷åñêèõ ôàêòîðîâ, êàê äèñ-
êðåòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü ðàçìåðîâ ñèñòåìû, äèñ-
ïåðñèÿ è äèññèïàöèÿ, ñâîéñòâà òàêèõ íåëèíåéíûõ
âîçáóæäåíèé ìîãóò çíà÷èòåëüíî ìåíÿòüñÿ. Ýòî ïîä-
òâåðæäåíî ðåçóëüòàòàìè èíòåíñèâíûõ ÷èñëåííûõ
èññëåäîâàíèé íåëèíåéíîé äèíàìèêè äèñêðåòíûõ
ñèñòåì ñî ñëîæíîé âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé [3–5].
Òðóäíîñòè àíàëèòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ñâîéñòâ íå-
ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé â ñóùåñòâåííî äèñêðåòíûõ
ñèñòåìàõ îáóñëîâëåíû òåì, ÷òî ÷èñëî èíòåãðèðóå-
ìûõ ìîäåëåé â ýòîì ñëó÷àå êðàéíå ìàëî. Õîðîøî
èçâåñòíî, ÷òî â ïðèáëèæåíèè äîñòàòî÷íî ñëàáîé íå-
ëèíåéíîñòè ïðîáëåìà íåëèíåéíîé ëîêàëèçàöèè äëÿ
øèðîêîãî êðóãà ïðèëîæåíèé ìîæåò áûòü îáñóæäåíà
â ðàìêàõ íåèíòåãðèðóåìîãî äèñêðåòíîãî íåëèíåéíî-
ãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (ÄÍÓØ) [4,6]. Òàêîå
óðàâíåíèå âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè îïèñàíèè íå-
ëèíåéíûõ ñâîéñòâ ñâåðõðåøåòîê — â ìîäåëÿõ ôî-
òîííîãî è ôîíîííîãî êðèñòàëëîâ [7,8]. Íåñëîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñîëèòîíû áðèçåðíîãî òèïà â ñèñòåìàõ
© Ì.Ì. Áîãäàí, À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Þ. Ìàëþòà, 2005
ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè èìåþò ñâîè àíàëî-
ãè óæå â ñèñòåìå ÄÍÓØ ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáî-
äû. Òàêèì îáðàçîì, ôèçè÷åñêóþ ïðè÷èíó ëîêàëè-
çàöèè âîçáóæäåíèé â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ, ò.å.
ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ, ìîæíî ïîíÿòü ïðè ðàñ-
ñìîòðåíèè ïðîñòåéøåé ìîäåëè äëÿ äâóõ ñâÿçàííûõ
àíãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ [9,10]. Áîëåå ñëîæ-
íûå îáúåêòû è ÿâëåíèÿ íåëèíåéíîé äèíàìèêè äëÿ
ñâîåé èíòåðïðåòàöèè òðåáóþò ðàññìîòðåíèÿ êîíå÷-
íîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ áoëüøèì ÷èñëîì
ñòåïåíåé ñâîáîäû [2,11].
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â ñèñòåìàõ ñî ñëîæíîé
âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé, â ÷àñòíîñòè â êîíå÷íîìåðíûõ
ìîäóëèðîâàííûõ ñðåäàõ. Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèñòåì ÿâ-
ëÿþòñÿ äèàòîìíûå àòîìàðíûå êëàñòåðû íà ïîâåðõíî-
ñòè êðèñòàëëà [12], àëüòåðíèðîâàííûå ñâåðõñòðóêòó-
ðû — ôðàãìåíòû ñëîæíûõ ñâåðõðåøåòîê ôîòîííûõ è
ôîíîííûõ êðèñòàëëîâ. Òàêèå æå îäíîìåðíûå ìîäåëè
âîçíèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå, ãäå èì ñîîòâåòñòâóþò
êîíå÷íûå íàáîðû íåëèíåéíûõ âîëíîâîäîâ ñ ÷åðåäóþ-
ùèìèñÿ çíà÷åíèÿìè ÷àñòîòíûõ ïàðàìåòðîâ [8]. Â
ýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ îäíîìåðíûìè îáúåêòàìè ñ àëü-
òåðíèðîâàííîé çàðÿäîâîé ñòðóêòóðîé, äîïóñêàþùèìè
ñóùåñòâîâàíèå ñîëèòîíîâ è êâàíòîâûõ áðèçåðîâ, ÿâ-
ëÿþòñÿ MX-öåïî÷êè [13].
 íèçêîòåìïåðàòóðíîé ôèçèêå êîíå÷íîìåðíûìè
ìîäóëèðîâàííûìè ñèñòåìàìè ÿâëÿþòñÿ ìàãíèòíûå
ìîëåêóëÿðíûå íàíîêëàñòåðû [14–16]. Îáùåå ÷èñëî
ñïèíîâ â òàêèõ ñèñòåìàõ ìàëî. Òèïè÷íûé ïðèìåð
çàìêíóòîé â êîëüöî ìàãíèòíîé ìîëåêóëû — ñîåäèíå-
íèå Mn R6 6 [16], â êîòîðîì ìàãíèòíûå èîíû Mn ñî
ñïèíîì 5/2 ÷åðåäóþòñÿ ñ èîíàìè ðàäèêàëîâ R,
èìåþùèìè ñïèíû 1/2. Ïåðåõîäû â ìàãíèòíîì ïîëå
ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ìàãíèòíîé ìîëåêóëû ñ ðàçëè÷-
íûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ñïèíà — ñóùåñòâåííî
êâàíòîâûå ÿâëåíèÿ. Îäíàêî îñíîâíûå ñâîéñòâà ëèíåé-
íûõ êîëåáàòåëüíûõ ñïåêòðîâ ìàãíèòíîé ìîëåêóëû è
åå ñëàáî íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ âáëèçè îñíîâíîãî
ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû â ðàìêàõ êëàññè-
÷åñêîé êîíå÷íîìåðíîé ìîäóëèðîâàííîé ÄÍÓØ ìîäå-
ëè ñ ïîñëåäóþùèì êâàçèêëàññè÷åñêèì êâàíòîâàíèåì
ñïåêòðîâ òàêèõ êîëåáàíèé.
Îñîáåííîñòüþ ñïåêòðà ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé
ìîäóëèðîâàííîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ÷àñòîò-
íîé ùåëè, â êîòîðîé ëèíåéíûå êîëåáàíèÿ çàïðåùå-
íû. Â íåëèíåéíîé ìîäóëèðîâàííîé ñðåäå âîçìîæíî
ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìûõ ùåëåâûõ ñîëèòîíîâ
ñ ÷àñòîòàìè, ëåæàùèìè â ùåëè ñïåêòðà ëèíåéíûõ
âîëí. Âïåðâûå ñóùåñòâîâàíèå ùåëåâûõ (áðýããîâ-
ñêèõ) ñîëèòîíîâ áûëî òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàíî â
ðàáîòàõ [17,18] ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
íåëèíåéíûõ âîëí â îïòè÷åñêèõ ñðåäàõ ñ ìîäóëèðî-
âàííûì êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ. Ïðîñòåéøàÿ
êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà, äîïóñêàþùàÿ ñóùåñò-
âîâàíèå ùåëåâûõ ñîëèòîíîâ, — äèàòîìíàÿ öåïî÷êà
ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ ìàññàìè àòîìîâ [19–21]. Ïî-
ñêîëüêó â ñëó÷àå ìîäóëèðîâàííûõ íåëèíåéíûõ
ñòðóêòóð ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóþò èíòåãðèðóåìûå
ìîäåëè, íà ïåðâûé ïëàí âûäâèãàåòñÿ èññëåäîâàíèå
ïðîñòåéøèõ êîíå÷íîìåðíûõ ôðàãìåíòîâ ýòèõ ñèñ-
òåì, îòðàæàþùèõ îñíîâíûå ñâîéñòâà ìîäóëèðîâàí-
íûõ ñðåä, èõ êà÷åñòâåííûé àíàëèç è ÷èñëåííîå ìî-
äåëèðîâàíèå èõ äèíàìèêè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðèðîäû
ùåëåâûõ ñîëèòîíîâ, ïðè÷èí èõ âîçíèêíîâåíèÿ è
òðàíñôîðìàöèè ñ èçìåíåíèåì ÷àñòîòû èññëåäóåòñÿ
äèíàìèêà ôðàãìåíòà àíãàðìîíè÷åñêîé äèàòîìíîé öå-
ïî÷êè èç ÷åòûðåõ ÷àñòèö â ðàìêàõ ìîäåëè ÄÍÓØ. Â
òàêîé ñèñòåìå äîñòàòî÷íî ïðîñòî èçó÷èòü ìîíîõðîìà-
òè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíûì
ñîñòîÿíèÿì íåëèíåéíîé ñèñòåìû, è ïðîâåñòè èõ ïîë-
íóþ êëàññèôèêàöèþ, â ÷àñòíîñòè íàéòè àíàëîãè
ùåëåâûõ è «âíåùåëåâûõ» ñîëèòîíîâ. Â ðàáîòå ïîëó-
÷åíû êâàçèêëàññè÷åñêèå ñïåêòðû íåëèíåéíûõ îäíî-
÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé, ïîäðîáíî èçó÷åí áèôóðêàöè-
îííûé ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ àíàëîãà ùåëåâîãî
ñîëèòîíà è îñîáåííîñòè åãî òðàíñôîðìàöèè â àíàëîã
«âíåùåëåâîãî» ñîëèòîíà íà íèæíåé ãðàíèöå ùåëè
ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé.
2. Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ àíãàðìî-
íè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ ÷àñòîòíû-
ìè ïàðàìåòðàìè. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåì öèê-
ëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ò.å. çàìêíåì öåïî÷êó
â êîëüöî. Ãàìèëüòîíèàí ýòîé ïðîñòåéøåé ìîäóëèðî-
âàííîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü çàïèñàí â ñëåäóþùåì
âèäå:
� � � � � �H � � � ��
�
�
�
�
�
� ~( )�
�
0
2 4
1
2
1
4
1
2
i
i i i i
i
, (1)
ãäå
0 4� è ~ ~( ) ( )� �0
1
0
3� , ~ ~( ) ( )� �0
2
0
4� . Òàêàÿ ñèñòåìà
îïèñûâàåò, íàïðèìåð, «ýëåìåíòàðíûé» ôðàãìåíò
ìàãíèòíîé ìîëåêóëû èç ÷åòûðåõ ñïèíîâ ñ ëåãêîîñ-
íîé àíèçîòðîïèåé. Ïðè ýòîì êîìïëåêñíûå ôóíêöèè
i ñâÿçàíû ñ êîìïîíåíòàìè ñïèíà ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
i i
x
i
yS iS� � . Ïàðàìåòðû ~( , )�0
12 ñîîòâåòñòâó-
þò ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì ëèíåéíûõ êîëåáàíèé îñ-
öèëëÿòîðîâ äâóõ ñîðòîâ, êîíñòàíòà � õàðàêòåðèçóåò
âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé.
Ñîîòâåòñòâóþùèå ãàìèëüòîíèàíó (1) óðàâíåíèÿ
äèíàìèêè îñöèëëÿòîðîâ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
� � � �i i
i
i i i i i� ,( )
�
�
� � � � �� �0
2
1 1 0 (2)
ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ � � �0 0 2( ) ( )~i i� � .
808 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
Ì.Ì. Áîãäàí, À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Þ. Ìàëþòà
Îòìåòèì, ÷òî êðîìå èíòåãðàëà äâèæåíèÿ — ïîë-
íîé ýíåðãèè ñèñòåìû E, óðàâíåíèå (2) îáëàäàåò
äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ — ÷èñëîì
êâàçèêëàññè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé:
� �N i
i
�
�
�
2
1
4
. (3)
Ýòà âåëè÷èíà ñîâïàäàåò ñ àäèàáàòè÷åñêèì èíâà-
ðèàíòîì ñèñòåìû è ïðè êâàçèêëàññè÷åñêîì êâàíòî-
âàíèè îïðåäåëÿåò ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ
ýíåðãèåé, ìåíüøåé E.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2) èìååò ìîíîõðîìàòè÷åñêèå
ðåøåíèÿ ñëåäóþùåãî âèäà:
� �i i i t� �exp( ), i � 1 2 3 4, , , , (4)
êîòîðûå îïèñûâàþò íåëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå êîëåáà-
íèÿ, õàðàêòåðèçóåìûå åäèíûì ïàðàìåòðîì — ÷àñòîòîé
�. Ðàññìîòðèì òîëüêî âåùåñòâåííûå àìïëèòóäû � i .
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (4) â ñèñòåìó (2) ïîëó-
÷àåì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
( ) ( )( )� � � � � � �� � � � �� �0
3
1 1 0i
i i i i . (5)
Ðàçëè÷èå ÷àñòîò îñöèëëÿòîðîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ
ïàðàìåòðîì � � �� 0
2
0
1( ) ( )/ . Â äàëüíåéøåì áóäåì îáî-
çíà÷àòü �0
1( ) ÷åðåç �0, à � ��0
2
0
( ) � áåç îãðàíè÷åíèÿ
îáùíîñòè, ïàðàìåòð � ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì åäè-
íèöå. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïîëàãàòü � � 1.
Ïðåäåë � � 1 îòâå÷àåò îäíîðîäíîé öåïî÷êå. Äëÿ
ñëó÷àÿ îäíîðîäíîé öåïî÷êè (� � 1) ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ çàäà÷à î ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà è ïîëíîñòüþ ðåøåíà â ðàáîòå [5].
 ëèíåéíîì ïðåäåëå ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò
ñèñòåìû ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ çíà÷åíèé, îòâå÷àþùèõ
ñèíôàçíûì êîëåáàíèÿì ñ ÷àñòîòîé �1 � ���
� ���2 4, ãäå � �� � � �� �0 1 2/ , ïðîòèâîôàçíûì
êîëåáàíèÿì ñ ÷àñòîòîé �4
2 4� � �� �� � è äâóì
ïðîòèâîôàçíûì êîëåáàíèÿì â êàæäîé èç «ïîäðåøå-
òîê» ñ ÷àñòîòàìè � �2 0
1� ( ) è � �3 0
2� ( ). Ýòèì êîëå-
áàíèÿì ñîîòâåòñòâóþò îáùåïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ
( )� � �� , ( )� � �� , ( )� �0 0 , ( )0 0� � . Äëèíà è íà-
ïðàâëåíèå ñòðåëêè õàðàêòåðèçóþò îòíîñèòåëüíóþ
àìïëèòóäó è ôàçó êîëåáàíèé ÷àñòèöû. Íóëè ñîîò-
âåòñòâóþò íåïîäâèæíûì ÷àñòèöàì.
Ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ÷àñòèö â öåïî÷êå ÷èñëî ÷àñ-
òîò â ñïåêòðå áóäåò âîçðàñòàòü è íîâûå ÷àñòîòû áó-
äóò çàïîëíÿòü èíòåðâàëû ÷àñòîò ( , )� �1 2 è ( , )� �3 4 .
Ïðè ýòîì îáðàçóþòñÿ äâå çîíû ñïåêòðà ñî ùåëüþ
ìåæäó ÷àñòîòàìè �2 è �3. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèÿ
÷àñòîò �2 è �3 èãðàþò ðîëü ãðàíèö ùåëè ñïåêòðà ëè-
íåéíûõ âîçáóæäåíèé.
 íåëèíåéíîì ñëó÷àå ÷àñòîòû ìîíîõðîìàòè÷å-
ñêèõ êîëåáàíèé çàâèñÿò îò àìïëèòóäû è, ñëåäîâà-
òåëüíî, îò ýíåðãèè ñèñòåìû è èíòåãðàëà ÷èñëà ñî-
ñòîÿíèé N: � �i i N� ( ). Äëÿ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé
â êà÷åñòâå ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè åñòåñòâåí-
íî áûëî áû èñïîëüçîâàòü çàâèñèìîñòü ïîëíîé ýíåð-
ãèè îò èíòåãðàëà N: E E N� ( ), êîòîðàÿ ôàêòè÷åñêè
ÿâëÿåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì ñïåêòðîì ñèñòåìû. Íå-
òðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ îäíî÷àñòîòíûõ ðåøåíèé
âûïîëíÿåòñÿ âàæíîå ñîîòíîøåíèå � � dE/dN. Ïî-
ýòîìó îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé íåëèíåéíûõ êîëå-
áàíèé, ðàññ÷èòûâàåìîé â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ÿâëÿåò-
ñÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàâèñèìîñòü � �� ( )N äëÿ äàííîãî
êîëåáàíèÿ, êîòîðàÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò è çàâè-
ñèìîñòü E E N� ( ).
3. Àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû
Èñõîäíàÿ ñèñòåìà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (2) íå
ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ ïðîèíòåãðèðîâàíà, ïîñêîëü-
êó äëÿ äàííîé çàäà÷è íå âûïîëíÿåòñÿ êðèòåðèé
èíòåãðèðóåìîñòè (÷èñëî íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ
âäâîå ìåíüøå îáùåãî ÷èñëà óðàâíåíèé). Òåì íå
ìåíåå ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (5) äî-
ïóñêàåò ñóùåñòâåííóþ ðåäóêöèþ ê äâóõ÷àñòè÷íîé
ïðîáëåìå.  ðåçóëüòàòå íåêîòîðûå ðåøåíèÿ, â ÷àñò-
íîñòè ãëàâíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, îòâå÷àþùèå
ãðàíèöàì «íåëèíåéíîé» ùåëè, óäàåòñÿ íàéòè òî÷íî.
Äåéñòâèòåëüíî, ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ïîïàðíî
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (5) äëÿ 1-é è 3-é è 2-é è 4-é
÷àñòèö, ïåðåõîäÿ ê íîâûì ïåðåìåííûì� �1 3� � u,
� � �1 3� � , � � � �2 4 2 4� � � �x z, è ââîäÿ îáî-
çíà÷åíèÿ A � �� �0 è B � ��� �0 , ïîëó÷àåì ñèñòåìó
íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ ðàçíî-
ñòåé è ñóìì àìïëèòóä êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðîâ:
u A u[ ( )]4 3 02 2� � �� ,
x B z x[ ( )]4 3 02 2� � � ,
� �[ ( )]4 3 8 02 2A u z� � � � ,
z B x z( ( ))4 3 8 02 2� � � �� .
(6)
Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (6) ðàñïàäàåò-
ñÿ íà ÷åòûðå íåçàâèñèìûõ ñèñòåìû óðàâíåíèé:
Ñëó÷àé (I): u � 0, x � 0,
� �( )4 8 02A z� � � , z B z( )4 8 02� � �� . (7)
Ñëó÷àé (II): u � 0, x B z2 24 3� � ,
� �( )4 8 02A z� � � , z z B( )2 0� � �� . (8)
Ñëó÷àé (III): x � 0, u A2 24 3� � � ,
z B z( )4 8 02� � �� , � �( )2 0� � �A z . (9)
Ñëó÷àé (IV): u A2 24 3� � � , x B z2 24 3� � ,
z z B( )2 0� � �� , � �( )2 0� � �A z . (10)
Ñïåêòð íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé ìîäóëèðîâàííûõ íàíîêëàñòåðîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 809
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à äëÿ ÷åòûðåõ
÷àñòèö ñâîäèòñÿ ôàêòè÷åñêè ê ÷åòûðåì íåçàâèñè-
ìûì çàäà÷àì äëÿ äâóõ ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ
îñöèëëÿòîðîâ, à âåñü ÷àñòîòíûé ñïåêòð äëÿ àìïëè-
òóä íåëèíåéíûõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ êîëåáàíèé
ñèñòåìû (5) ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷åòûðåõ íàáîðîâ ñïåê-
òðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé � �i i N� ( ), ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ñëó÷àÿì (I–IV). Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìû óðàâíå-
íèé äëÿ àìïëèòóä � è z â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò èìåòü
äî 9 âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé (îäíî òðèâèàëüíîå
� � �z 0 è ÷åòûðå ïàðû ðåøåíèé, îòëè÷àþùèåñÿ
òîëüêî çíàêîì). Ýòî ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî â
ñôîðìóëèðîâàííîé çàäà÷å äëÿ äàííîãî òèïà ìîíî-
õðîìàòè÷åñêèõ êîëåáàíèé èìååòñÿ 19 íåòðèâèàëü-
íûõ ñïåêòðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé �i N( ).
Ãëàâíûìè íåëèíåéíûìè êîëåáàíèÿìè ñèñòåìû
ÿâëÿþòñÿ ñèíôàçíûå è ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ, à
òàêæå êîëåáàíèÿ, îòâå÷àþùèå ãðàíèöàì «íåëèíåé-
íîé» ùåëè ñïåêòðà. Äëÿ ñèíôàçíûõ è ïðîòèâîôàç-
íûõ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé � �1 3� è � �2 4� ,
ïîýòîìó çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøå-
íèé òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ (I).
Èñïîëüçóÿ ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè êîëåáàíèé
è èíòåãðàëîì N n/ z /� � �2 22 2( )� , ìîæíî ïîëó-
÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ �2è z2:
�
�
� �
�
� �
2 2
2 2
�
�
� �
�
�
� �
n n
n
z
n n
n
( )
,
( )
,
ãäå � �� �4 4A B, . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðà-
æåíèÿ â óðàâíåíèå ( )( )A B z� � ��2 2 64, ñëåäóþ-
ùåå èç ñèñòåìû (7), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ ÷åòâåð-
òîãî ïîðÿäêà äëÿ n:
n Cn Dn Fn G4 3 23 0� � � � � . (11)
Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ C � �� �, D � ���
� � � � � � �3 256 2 2562 2 2C F C C G C, ( ), (�� ��
� 64).
Êîðíÿìè óðàâíåíèÿ (11) ÿâëÿþòñÿ çàâèñèìîñòè
n( )� , îáðàòèâ êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòè
�i N( ) è, ïðåæäå âñåãî, ñïåêòðàëüíûå çàâèñèìîñòè,
îòâå÷àþùèå ñèíôàçíûì è ïðîòèâîôàçíûì êîëåáà-
íèÿì ÷àñòèö.
Ñëó÷àé (II) ñîäåðæèò òî÷íîå ðåøåíèå � � �z 0,
ñîîòâåòñòâóþùåå âåðõíåé ãðàíèöå «íåëèíåéíîé»
ùåëè ( )0 0� � , êîòîðîå â òåðìèíàõ àìïëèòóä êîëåáà-
íèé îñöèëëÿòîðîâ èìååò âèä ( , , , )0 0B B� . Ñïåê-
òðàëüíóþ çàâèñèìîñòü äëÿ ýòîé ãðàíèöû ùåëè ëåãêî
íàéòè â ÿâíîì âèäå: � ��3 0 2( )N N/� � .
Òî÷íîå ðåøåíèå, îòâå÷àþùåå íèæíåé ãðàíèöå
ùåëè ( )� �0 0 , ñîäåðæèòñÿ â ñëó÷àå (III) è èìååò
âèä ( , , , )A A0 0� . Åìó îòâå÷àåò ñïåêòðàëüíàÿ çàâè-
ñèìîñòü � �2 0 2( )N N/� � .
 ñëó÷àå (IV) èìååòñÿ åùå îäíî òî÷íîå ðåøåíèå,
ñîîòâåòñòâóþùåå êîëåáàíèþ òèïà ( )� � �� . Àì-
ïëèòóäû êîëåáàíèé ÷àñòèö äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ
ðàâíû ( , , , )A B A B� � . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåøå-
íèþ ñïåêòðàëüíàÿ çàâèñèìîñòü òàêæå íàõîäèòñÿ â
ÿâíîì âèäå: � � �b N / N/( ) ( )� � �0 1 2 4. Îíà áè-
ôóðêàöèîííûì îáðàçîì îòùåïëÿåòñÿ îò âåðõíåé
ãðàíèöû ùåëè ïðè ÷àñòîòå � �* � 0.
Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå òî÷êè áèôóð-
êàöèé îò âåðõíåé ãðàíèöû «íåëèíåéíîé» ùåëè ìîãóò
áûòü íàéäåíû òî÷íî. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì ðåøåíèÿ,
áëèçêèå ê ðåøåíèþ ( , , , )0 0B B� , â ñëåäóþùåì âèäå:
�
�
1 1 2 2� � �, ,B �
3 3� , � 4 � � �B
4,
ãäå
i � 1. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé
� � �1 2 3, , è� 4 â èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (5), ïî-
ëó÷àåì ñëåäóþùóþ ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó äëÿ ìà-
ëûõ äîáàâîê
i :
( ) ( )� �
� � � �0 1 2 4 0,
2 00 2 1 3( ) ( )�� �
� � � � ,
( ) ( )� �
� � � �0 3 2 4 0,
2 00 4 1 3( ) ( )�� �
� � � � .
(12)
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ äåòåðìèíàíò ìàòðèöû, ñî-
ñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (12), ïðèõî-
äèì ê óðàâíåíèþ äëÿ áèôóðêàöèîííûõ ÷àñòîò
( )( )[( )( ) ]�� � � � � � �� �0 0 0 0 2 0� � � � � � . (13)
Ðåøåíèå � ��� 0 òðèâèàëüíî. Ðåøåíèå ñ � �* � 0,
êàê îòìå÷àëîñü âûøå, îòâå÷àåò îòùåïëåíèþ òî÷íîãî
ðåøåíèÿ ( , , , )A B A B� � . Íàêîíåö, äâà êîðíÿ
� � � � �12 0 0
2 21
2
1 1 8, ( ) ( )� � � � ��
�
!
"
# (14)
âîçíèêàþò ëèøü íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ � �c /� �1 2 2 0. Êàê ïîêàçûâàåò àíàëèç,
ñïåêòðàëüíûå çàâèñèìîñòè �i N( ), îòâå÷àþùèå ýòèì
äâóì áèôóðêàöèîííûì ðåøåíèÿì, ñ ðîñòîì N âåäóò
ñåáÿ âåñüìà íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì. Îäíà çàâèñè-
ìîñòü óõîäèò â îáëàñòü íåëèíåéíîé ùåëè, äðóãàÿ îò-
ùåïëÿåòñÿ êàê îáû÷íàÿ áèôóðêàöèÿ, íî çàòåì ñ ðîñ-
òîì N îáå çàâèñèìîñòè îêàçûâàþòñÿ âíå ùåëè è
çàêàí÷èâàþòñÿ â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ ïðè íåêîòî-
ðîì çíà÷åíèè Nc. Ïðè äîñòèæåíèè ïàðàìåòðîì � ïî-
ðîãîâîãî çíà÷åíèÿ �
*
ýòà òî÷êà ñòàíîâèòñÿ ÷åòûðåõ-
êðèòè÷åñêîé (â íåé ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ðåøåíèÿ), è ñ
ýòîãî ìîìåíòà ñóùåñòâóþò äâå áåñêîíå÷íûå ïåðåñå-
êàþùèåñÿ ëèíèè àíàëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà è îáû÷-
íîé ïåðâè÷íîé áèôóðêàöèîííîé çàâèñèìîñòè, îòùå-
ïëÿþùåéñÿ îò âåðõíåé ãðàíèöû ùåëè.
Òàêèì îáðàçîì, íà÷èíàÿ ñî çíà÷åíèÿ �* ,� 1750
âåðõíÿÿ âåòâü ãèïåðáîëû 1 íà ðèñ. 1 îòâå÷àåò òî÷-
êàì áèôóðêàöèè àíàëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà, ñïåê-
òðàëüíàÿ çàâèñèìîñòü êîòîðîãî ñ ðîñòîì � çàíèìàåò
âñå áîëüøå ìåñòà â îáëàñòè ùåëè. Èíòåðåñíûì îêà-
çûâàåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âñå òî÷êè áèôóðêà-
810 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
Ì.Ì. Áîãäàí, À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Þ. Ìàëþòà
öèè îò âåðõíåé ãðàíèöû «íåëèíåéíîé» ùåëè äëÿ
ñèñòåì èç 8, 12, 16 è ëþáîãî äðóãîãî ÷èñëà ÷àñòèö,
êðàòíîãî ÷åòûðåì, íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âèäå. Íà
ðèñ. 1 ïðèâåäåíû òàêæå çàâèñèìîñòè áèôóðêàöèîí-
íûõ ÷àñòîò äëÿ àíàëîãîâ ùåëåâûõ ñîëèòîíîâ äëÿ
ñëó÷àåâ 8 è 12 ÷àñòèö. Âèäíî, ÷òî êðèòè÷åñêîå è ïî-
ðîãîâîå çíà÷åíèÿ � c è �*
ñ ðîñòîì ÷èñëà ÷àñòèö äî-
âîëüíî áûñòðî óáûâàþò è äëÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû
ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó äëÿ ÷àñòîò
áèôóðêàöèé â ñëó÷àå ÷åòûðåõ ÷àñòèö ïîëó÷àþòñÿ
óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî �, òî íà
ñïåêòðàëüíûõ çàâèñèìîñòÿõ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé
ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ íå áîëåå ÷åòûðåõ òî÷åê áèôóðêà-
öèé. Ïðè ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íà ëèíèÿõ
ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé è íèæíåé ãðàíèöå ùåëè
áèôóðêàöèè îòñóòñòâóþò.
4. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ñ÷åòà
Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà íåëèíåéíûõ àë-
ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (5) íå ìîæåò áûòü ïîëíî-
ñòüþ ðåøåíà àíàëèòè÷åñêè, äëÿ åå ðåøåíèÿ áûëè
èñïîëüçîâàíû ÷èñëåííûå ìåòîäû. Ðàñ÷åò ïðîâîäèë-
ñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììíîãî ïàêåòà Maple 8. Äëÿ
çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà �0 4� íàõîäèëèñü
âñå âåùåñòâåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé
(7)–(10), à ñëåäîâàòåëüíî, è ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5)
ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà � è ïðîèç-
âîëüíîì �.  ðåçóëüòàòå äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ �
áûë ïîëó÷åí íàáîð ðåøåíèé � i
j( ), ãäå èíäåêñ i íóìå-
ðóåò ÷àñòèöû, à j íóìåðóåò ðåøåíèÿ. Äëÿ êàæäîãî
j-ãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5) ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè
÷àñòîòû ðàññ÷èòûâàëîñü çíà÷åíèå èíòåãðàëà äâèæå-
íèÿ — ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû (3). Òàêèì îáðà-
çîì, áûëè ïîëó÷åíû ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè
ñèñòåìû: çàâèñèìîñòè ÷àñòîò êîëåáàíèé � îò èíòå-
ãðàëà N.
×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ïðîâåäåíî
íàìè äëÿ øèðîêîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
�. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû íà ðèñóíêàõ 2, 3
è 4 äëÿ � � 1025, , � � 176, è � � 20.
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèîííîé êàðòèíû äëÿ çàâè-
ñèìîñòåé � �� ( )N â ñëó÷àå ìàëîãî îòëè÷èÿ ñîáñò-
âåííûõ ÷àñòîò ÷àñòèö (äëÿ � � 1025, ) ïðåäñòàâëåíû
íà ðèñ. 2.
Ïðåæäå âñåãî âèäíî, ÷òî â ìîäóëèðîâàííîé öå-
ïî÷êå ñïåêòð ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé èìååò ùåëü.
Íàëè÷èå ó ÷àñòèö äâóõ ðàçíûõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò
ïðèâîäèò ê ñíÿòèþ âûðîæäåíèÿ äëÿ êîëåáàíèé âèäà
( )� �0 0 . Ïðè �, áëèçêèõ ê åäèíèöå, ùåëü óçêàÿ, íî
äîñòàòî÷íî áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì �. Êàê
îòìå÷àëîñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, îò âåðõíåé ãðà-
íèöû ùåëè ïðè ìàëûõ N îòùåïëÿåòñÿ ðåøåíèå
( , , , )A B A B� � ïðè ÷àñòîòå, ðàâíîé �0. Îò îáðà-
çîâàâøåãîñÿ ðåøåíèÿ ïðè N $ 4 îòùåïëÿåòñÿ åùå
îäíî ðåøåíèå. Îäíàêî òåïåðü, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ
îäíîðîäíîé öåïî÷êè, íà ëèíèè íîâîãî ðåøåíèÿ íå
âîçíèêàåò ïîñëåäóþùåé áèôóðêàöèè, à ïðîèñõîäèò
ñíÿòèå âûðîæäåíèÿ ñ âîçíèêíîâåíèåì ðåøåíèé (4)
è (5), îáðàçóþùèõ «ïàðàáîëó» 2. Êàê áóäåò âèäíî â
äàëüíåéøåì, ïîëîæåíèå ýòîé «ïàðàáîëû» áûñòðî
ìåíÿåòñÿ ñ ðîñòîì �.
 ñëó÷àå îäíîðîäíîé öåïî÷êè îò çàâèñèìîñòè äëÿ
ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè âåëè-
÷èíû N áèôóðêàöèîííûì îáðàçîì îòùåïëÿëàñü
Ñïåêòð íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé ìîäóëèðîâàííûõ íàíîêëàñòåðîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 811
8
7
6
5
4
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
3
2
1
�
�
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòè áèôóðêàöèîííûõ ÷àñòîò (âåðõíèå
âåòâè ãèïåðáîë) îò ïàðàìåòðà � äëÿ àíàëîãîâ ùåëåâûõ ñî-
ëèòîíîâ â ñèñòåìàõ ñâÿçàííûõ àíãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿ-
òîðîâ äâóõ ñîðòîâ: äëÿ 4 ÷àñòèö — êðèâàÿ 1; äëÿ 8 ÷àñ-
òèö — êðèâàÿ 2; äëÿ 12 ÷àñòèö — êðèâàÿ 3.
0 5 10 15 20 25 30 N
�
6
4
2
–2
( )1
( )2
( )3
4
5
( )6
( )7
( )5( )4
2
3
1
00
0 0
(2) =
(5) =
(4) =
(1) =
(3) =
(6) =
(7) =
Ðèñ. 2. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îäíî÷àñòîòíûõ ðå-
øåíèé äëÿ ñèñòåìû ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ àíãàðìîíè÷åñêèõ
îñöèëëÿòîðîâ ïðè � � 1025, .
äâàæäû âûðîæäåííàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ êîëåáàíèé ñ
ñèëüíîé ëîêàëèçàöèåé íà îäíîé ÷àñòèöå.  ñëó÷àå
ðàçíûõ ÷àñòèö ýòà áèôóðêàöèÿ ðàñùåïëÿåòñÿ è âû-
ðîæäåíèå ñíèìàåòñÿ ñ îáðàçîâàíèåì ðåøåíèé (1) è
(2) (ýòî àíàëîãè÷íî ñíÿòèþ âûðîæäåíèÿ â ñèñòåìå
äâóõ îñöèëëÿòîðîâ ñ ðàçíûìè ìàññàìè). Îò ëèíèè 2
òåïåðü îòùåïëÿåòñÿ ëèíèÿ 3, êîòîðàÿ îòâå÷àåò àíà-
ëîãó ëîêàëèçîâàííîãî ðåøåíèÿ ñ öåíòðîì ìåæäó
÷àñòèöàìè â îäíîðîäíîé öåïî÷êå. Íà ëèíèè ñèíôàç-
íûõ êîëåáàíèé ïðè �, áëèçêîì ê íóëþ, íàõîäèòñÿ
åùå îäíà òî÷êà áèôóðêàöèè. Ïðè íåáîëüøîì óâåëè-
÷åíèè ïàðàìåòðà � ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå ýòîé ïåðâè÷-
íîé áèôóðêàöèè è âåòâè 2 â òî÷êå �
*
,� 105 ñ îáðàçî-
âàíèåì «ïàðàáîëû» 1. Ïîñëå îáúåäèíåíèÿ âåòâåé
«ïàðàáîëà» 1 íà÷èíàåò ñìåùàòüñÿ â îáëàñòü íåëè-
íåéíîé ùåëè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îïèñàòü ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ
ñïåêòðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â îêðåñòíîñòè N � 10,
� $ �1, çàôèêñèðóåì çíà÷åíèå ÷àñòîòû è áóäåì îò-
ñëåæèâàòü ïîÿâëåíèå êðèâûõ ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ
N. Ëèíèÿ ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé ïðîõîäèò áëèæå
âñåãî ê ðåøåíèþ (3), çàòåì ðàñïîëîæåíû íèæíÿÿ è
âåðõíÿÿ ãðàíèöû «íåëèíåéíîé» ùåëè. Ëåâàÿ âåòâü
«ïàðàáîëû» 3 ðàñïîëîæåíà ïðàâåå ëèíèè âåðõíåé
ãðàíèöû ùåëè è íàêëîíåíà ïîä òåì æå óãëîì ê
îñè N. Åùå ïðàâåå ïðîõîäèò ïåðâè÷íàÿ áèôóðêàöèÿ
îò ëèíèè ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé, ðÿäîì ñ íåé íàõî-
äèòñÿ áèôóðêàöèÿ, îáðàçîâàâøàÿñÿ íà ëåâîé âåòâè
«ïàðàáîëû» 3.
Íàêîíåö, îáðàòèì âíèìàíèå íà ïîÿâëåíèå «ïàðà-
áîë» 4 è 5 â ðåçóëüòàòå ñíÿòèÿ âûðîæäåíèÿ â ìîäó-
ëèðîâàííîé öåïî÷êå. Èìåííî «ïàðàáîëà» 4 ñ ðîñòîì
ïàðàìåòðà � ïðèíèìàåò ó÷àñòèå â îáðàçîâàíèè àíà-
ëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà.
Êàê è â áåñêîíå÷íîé ìîäóëèðîâàííîé ñðåäå, àíà-
ëîãó ùåëåâîãî ñîëèòîíà â öåïî÷êå ñ ìàëûì ÷èñëîì
÷àñòèö äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ðåøåíèå, ÷àñòîòà êî-
òîðîãî ëåæèò â îáëàñòè «íåëèíåéíîé» ùåëè. Òàêîå
ðåøåíèå äåéñòâèòåëüíî âîçíèêàåò ñ ðîñòîì ïàðàìåò-
ðà �, è ïðîèñõîäèò ýòî ïîðîãîâûì îáðàçîì ïîñëå äîñ-
òèæåíèÿ ïàðàìåòðîì � êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ
� c � 1707, . Îòìåòèì, ÷òî ñ ðîñòîì � óâåëè÷èâàþòñÿ
îòíîñèòåëüíûå ðàçìåðû ùåëè è îñíîâíûå áèôóðêà-
öèè íà ëèíèè ñèíôàçíûõ êîëåáàíèé è âåðõíåé ãðà-
íèöå ùåëè ñìåùàþòñÿ â îáëàñòü ìåíüøèõ N. Â òî æå
âðåìÿ áèôóðêàöèîííûå «ïàðàáîëû» 1 è 2 ñòðåìÿòñÿ
â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, ïðîíèêàÿ â îáëàñòü
ùåëè, à îñòðàÿ âåðøèíà «ïàðàáîëû» 4 ñòðåìèòåëüíî
ïðèáëèæàåòñÿ ê âåðõíåé ãðàíèöå ùåëè ïî ìåðå ïðè-
áëèæåíèÿ ê êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ � c. Áèôóðêàöè-
îííàÿ äèàãðàììà äëÿ çàïîðîãîâûõ çíà÷åíèé ïàðàìåò-
ðà � è â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò � c
ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3 äëÿ � � 176, . Íà âñòàâêå ïîêà-
çàí ìîìåíò çàðîæäåíèÿ àíàëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà.
Ïîñëå äîñòèæåíèÿ ïàðàìåòðîì � êðèòè÷åñêîãî çíà÷å-
íèÿ � c � 1707, íà ëèíèè âåðõíåé ãðàíèöû ùåëè ïîÿâ-
ëÿþòñÿ äâå òî÷êè áèôóðêàöèè. Äàëüíåéøàÿ ýâîëþ-
öèÿ ðîæäåííûõ â ýòèõ áèôóðêàöèîííûõ òî÷êàõ
ðåøåíèé ïðîèñõîäèò î÷åíü ñïåöèôè÷åñêè è â ïîëíîì
ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàíèåì ýòîãî ïðîöåññà â ïðåäûäó-
ùåì ðàçäåëå ïðè �, ÷óòü ìåíüøåì, ÷åì ïîðîãîâîå çíà-
÷åíèå �
*
,� 1750, èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà âñòàâêå
812 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
Ì.Ì. Áîãäàí, À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Þ. Ìàëþòà
0 5 10 15 20 25 30 N
�
35
I II
1 2 s
8
6
4
2
� = 1,76
� = 1,749
N
�
6
5,5
5
4,5
4
2 3 4 5 6
Ðèñ. 3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îäíî÷àñòîòíûõ ðå-
øåíèé ïðè � � 176, (íà âñòàâêå ïîêàçàí ìîìåíò çàðîæäå-
íèÿ àíàëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà ïðè çíà÷åíèè ÷óòü ìåíü-
øå êðèòè÷åñêîãî � �� � �1749 1750, ,c ).
100 200 300 400 N
�
50
0
–50
–100
Ðèñ. 4. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îäíî÷àñòîòíûõ ðå-
øåíèé ïðè � � 20. Ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ùåëåâîìó
ñîëèòîíó, ïðåîáðàçóåòñÿ âî âíåùåëåâîé ñîëèòîí âáëèçè
íèæíåãî êðàÿ ñïåêòðà ëèíåéíûõ âîëí.
ðèñ. 3. Ïðè çíà÷åíèè � � 176, íà ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî
âìåñòî îñòðîêîíå÷íîé «ïàðàáîëû» 4 óæå ñóùåñòâóåò
âåòâü, îòâå÷àþùàÿ ùåëåâîìó ðåøåíèþ S, è âåòâü
îáû÷íîé ïåðâè÷íîé áèôóðêàöèè II. Ïåðâàÿ îòùåïëÿ-
åòñÿ è óõîäèò â ùåëü, çàòåì âûõîäèò èç íåå è ïåðåñå-
êàåò ãîðèçîíàëüíóþ îñü ïðè N $ 18 7, . Âòîðàÿ çàâèñè-
ìîñòü îòùåïëÿåòñÿ ââåðõ îò ãðàíèöû ùåëè è âåäåò
ñåáÿ êàê òèïè÷íàÿ ïåðâè÷íàÿ áèôóðêàöèÿ. Çàìåòèì,
÷òî åñëè ñëåäèòü çà èçìåíåíèåì �, äâèãàÿñü èç îáëàñ-
òè áîëüøèõ åãî çíà÷åíèé â îáëàñòü ìàëûõ, òî èñ÷åç-
íîâåíèå âåòâè ùåëåâûõ ñîëèòîíîâ ïðîèñõîäèò â ìî-
ìåíò ïðèáëèæåíèÿ åå òî÷êè áèôóðêàöèè ê òî÷êå
ïåðâè÷íîé áèôóðêàöèè è çàâåðøàåòñÿ îíî îáðàçîâà-
íèåì «ïàðàáîëû», êîòîðàÿ çàòåì ñòðåìèòåëüíî óõî-
äèò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé.
Íàêîíåö çàìåòèì, ÷òî «ïàðàáîëû» 3 è 5 â äàëü-
íåéøåì íå ïîêàçàíû íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàì-
ìå, ïîñêîëüêó îíè âñå ãëóáæå óõîäÿò â îáëàñòü îò-
ðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò.
Ñ ðîñòîì � ùåëü ñèëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ è òî÷êà áè-
ôóðêàöèè ùåëåâîãî ðåøåíèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê ñëàáî
íåëèíåéíîìó ïðåäåëó è ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòîòå, áëèç-
êîé ê ��0.  ýòîì ïðåäåëå ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ N
ïðè ìàëûõ è áîëüøèõ ÷àñòîòàõ ñóùåñòâóþò äâå êà÷å-
ñòâåííî ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûå êàðòèíû áèôóðêà-
öèé. Ôàêòè÷åñêè ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ êîëåáà-
íèé àòîìîâ ñ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ìàññàìè, ò.å.
èìåþòñÿ äâå ïî÷òè íåçàâèñèìî êîëåáëþùèåñÿ ñèñòå-
ìû íåëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ ñ ïåðåíîðìèðîâàííû-
ìè ýôôåêòèâíûìè ñâÿçÿìè. Ïðè÷åì êàê íà ëèíèè
âåðõíåé ãðàíèöû ùåëè, òàê è íà ëèíèè ñèíôàçíûõ
êîëåáàíèé èìåþò ìåñòî áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ êâà-
çèñîëèòîííûõ ñîñòîÿíèé ïî ñöåíàðèþ, îïèñàííîìó
Îâ÷èííèêîâûì [9]. Íî îñíîâíîé ýôôåêò, êîòîðûé
ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì â ïðåäåëå áîëüøèõ �, ýòî ïðå-
îáðàçîâàíèå àíàëîãà ùåëåâîãî ñîëèòîíà âî «âíåùå-
ëåâîé» ñîëèòîí. Îíî ïðîèñõîäèò ïðè ÷àñòîòå, áëèç-
êîé ê íèæíåìó êðàþ ñïåêòðà ëèíåéíûõ êîëåáàíèé,
êàê ýòî ìîæíî óâèäåòü íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàì-
ìå íà ðèñ. 4. Íà íåé îñòàâëåíû òîëüêî ëèíèè, ïîïà-
äàþùèå â îáëàñòü «íåëèíåéíîé» ùåëè è çàâèñèìîñòü
äëÿ êîëåáàíèÿ ( , , , )A B A B� � . Ëèíèÿ àíàëîãà
ùåëåâîãî ñîëèòîíà îòùåïëÿåòñÿ îò âåðõíåé ãðàíèöû
ùåëè, äîõîäèò äî ÷àñòîòû �0 è íåïðåðûâíî ïðåîáðà-
çóåòñÿ â ëèíèþ «âíåùåëåâîãî» ñîëèòîíà. Íàïîìíèì,
÷òî â áåñêîíå÷íîé ñèñòåìå «âíåùåëåâîìó» ñîëèòîíó
ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëèçîâàííûå êîëåáàíèÿ îäíîãî
ñîðòà àòîìîâ è íåëîêàëèçîâàííûå êîëåáàíèÿ äðóãîãî
ñîðòà àòîìîâ. Àíàëîãè÷íûå èçìåíåíèÿ ñîîòíîøåíèé
àìïëèòóä ïðîñëåæèâàþòñÿ è â èññëåäóåìîé çäåñü êî-
íå÷íîìåðíîé ñèñòåìå.
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â ñëó÷àå � %% 1 ìíîãèå õà-
ðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ñïåêòðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
èññëåäóåìîé ñèñòåìû — ïðîñòûå è äâîéíûå ïåðâè÷-
íûå áèôóðêàöèè, âòîðè÷íûå áèôóðêàöèè, òî÷êè
âåòâëåíèÿ è äð., ïîâòîðÿþò íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå
ýëåìåíòû äèíàìèêè àíãàðìîíè÷åñêîé öåïî÷êè ñ áîëü-
øèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû [20]. Âîçíèêíîâåíèå
ùåëåâîãî ñîëèòîíà è åãî òðàíñôîðìàöèÿ âî «âíåùåëå-
âîé» ñîëèòîí â èçó÷àåìîì ôðàãìåíòå ìîäóëèðîâàííîé
ñðåäû è ñèñòåìå áîëüøîãî ðàçìåðà ïðîèñõîäÿò ïî îäè-
íàêîâîìó ñöåíàðèþ. Íàëè÷èå áóëüøåãî ÷èñëà ñòåïå-
íåé ñâîáîäû ïðèâîäèò ê çàïîëíåíèþ ÷àñòîòíûìè çà-
âèñèìîñòÿìè îáëàñòåé íèæå è âûøå «íåëèíåéíîé»
ùåëè, à áèôóðêàöèîííàÿ êàðòèíà â ùåëè îñòàåòñÿ êà-
÷åñòâåííî îäèíàêîâîé.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòà-
òîâ ê ìàãíèòíûì ìîëåêóëàì è ñèñòåìàì íåëèíåéíûõ
îïòè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ ñ ìàëûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ îò-
ìåòèì, ÷òî íàéäåííûå ðåøåíèÿ äëÿ ÷åòûðåõ îñöèëëÿ-
òîðîâ íå òîëüêî äåìîíñòðèðóþò îñíîâíûå çàêîíîìåð-
íîñòè îáðàçîâàíèÿ êâàçèñîëèòîííûõ ñîñòîÿíèé, íî è
ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ ðåøåíèé äëÿ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç 8,
12, 16 è ò.ä. îñöèëëÿòîðîâ. Íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîç-
ìîæíûì âîçáóæäåíèå ðåçîíàíñíûìè ìåòîäàìè êâàçè-
ñîëèòîííûõ ñîñòîÿíèé (âêëþ÷àÿ ùåëåâûå ñîëèòîíû) â
ìàãíèòíûõ è óïðóãèõ íàíîêëàñòåðàõ è îïòè÷åñêèõ âîë-
íîâîäàõ. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ñèíôàçíûå êîëåáà-
íèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå êâàçèñîëèòîííûì ñîñòîÿíèÿì è
ÿâëÿþùèåñÿ äèñêðåòíûìè àíàëîãàìè áðèçåðîâ â êî-
íå÷íîìåðíîé ñèñòåìå, ïðè çàäàííîì ÷èñëå ñîñòîÿíèé
èìåþò íàèìåíüøóþ ýíåðãèþ. Äåéñòâèòåëüíî, êâàçè-
êëàññè÷åñêèå ñïåêòðû âñåõ íàéäåííûõ êîëåáàíèé ëåã-
êî âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî ðàññ÷èòàííûì çàâèñèìîñòÿì
� �i i N� ( ). Ýòî â îñíîâíîì ïåðâîíà÷àëüíî êâàä-
ðàòè÷íî ðàñòóùèå ôóíêöèè, êîòîðûå äîñòèãàþò
ìàêñèìóìà â òî÷êàõ, ãäå ÷àñòîòû îáðàùàþòñÿ â íóëü,
ïîñëå ÷åãî ñ ðîñòîì àìïëèòóä êîëåáàíèé (èíòåãðàëà N)
óáûâàþò. Ñëåäóåò, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî â îòëè÷èå îò
áåñêîíå÷íîé è êîíòèíóàëüíîé ñèñòåìû ÍÓØ âîïðîñ
óñòîé÷èâîñòè êâàçèñîëèòîííûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû
ÄÍÓØ íå ìîæåò áûòü ðåøåí ëèøü íà îñíîâàíèè àíà-
ëèçà êâàçèêëàññè÷åñêèõ ñïåêòðîâ è òðåáóåò ñïåöèàëü-
íîãî èññëåäîâàíèÿ [22].
Âûâîäû
Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìîòðåííîé ìîäóëèðîâàííîé
êîíå÷íîìåðíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìå ñïåêòð îäíî÷àñòîò-
íûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé âêëþ÷àåò â ñåáÿ ãëàâíûå
íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ è êîëåáàíèÿ, îòùåïëÿþùèåñÿ
îò ãëàâíûõ â ðåçóëüòàòå ïåðâè÷íûõ è âòîðè÷íûõ áè-
ôóðêàöèé, à òàêæå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùèå ïîïàðíî
ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ (èëè
èíòåãðàëà N). Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ñòà-
öèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû ñâî-
äÿòñÿ ê ñëåäóþùèì ïîëîæåíèÿì.
1. Ïîëó÷åíà ïîëíàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà
ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ðåøåíèé â ñèñòåìå ÷åòûðåõ îñ-
Ñïåêòð íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé ìîäóëèðîâàííûõ íàíîêëàñòåðîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7 813
öèëëÿòîðîâ è ïðîâåäåíà îáùàÿ êëàññèôèêàöèÿ èõ
ñïåêòðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé � �i i N� ( ) ïðè ïðîèç-
âîëüíîì ñîîòíîøåíèè ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
äâóõ ñîðòîâ îñöèëëÿòîðîâ.
2. Îïèñàíû ýôôåêòû, îáóñëîâëåííûå ìîäóëèðî-
âàííîñòüþ ñèñòåìû: îáðàçîâàíèå ùåëè, âîçíèêíîâå-
íèå áèôóðêàöèé è ðàñùåïëåíèå (óäâîåíèå) áèôóð-
êàöèîííûõ êðèâûõ, îáðàçîâàíèå àâòîíîìíûõ ïàð
ðåøåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò «ïàðàáîëè÷åñêèå»
ñïåêòðàëüíûå çàâèñèìîñòè, à òàêæå äðóãèå îñîáåí-
íîñòè, õàðàêòåðíûå äëÿ ñèñòåì ñ äåôåêòàìè.
3. Ïîäðîáíî èññëåäîâàí ïðîöåññ âîçíèêíîâåíèÿ
ðåøåíèÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ àíàëîãîì ùåëåâîãî ñîëèòîíà
â ðàñïðåäåëåííîé ìîäóëèðîâàííîé ñðåäå. Íàéäåíî
êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå � c (îòíîøåíèå ñîáñòâåííûõ
÷àñòîò îñöèëëÿòîðîâ), âûøå êîòîðîãî ñóùåñòâóþò
ùåëåâûå ðåøåíèÿ ñîëèòîííîãî òèïà.
4. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè áîëüøèõ ðàçìåðàõ ùåëè îá-
ëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ âåëèêà, îíî
ïîÿâëÿåòñÿ áèôóðêàöèîííûì îáðàçîì, ïîäîáíî êâà-
çèñîëèòîííîìó ñîñòîÿíèþ, îòùåïëÿþùåìóñÿ îò âåò-
âè îäíîðîäíûõ êîëåáàíèé. Ïðè çíà÷åíèè ÷àñòîòû,
áëèçêîì ê íèæíåìó êðàþ ùåëè ëèíåéíûõ êîëåáà-
íèé, àíàëîã ùåëåâîãî ñîëèòîíà ïðåîáðàçóåòñÿ âî
«âíåùåëåâîé» ñîëèòîí. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êâàçè-
ñîëèòîííûå ñîñòîÿíèÿ, âêëþ÷àÿ ùåëåâûå ñîëèòîíû,
ìîãóò áûòü âîçáóæäåíû ðåçîíàíñíûìè ìåòîäàìè â
ìàãíèòíûõ è óïðóãèõ íàíîêëàñòåðàõ è ñèñòåìàõ îï-
òè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå
NATO Collaborative Linkage Program (Grant
No.PST.CLG.980068).
1. Â.Å. Çàõàðîâ, Ñ.Â. Ìàíàêîâ, Ñ.Ï. Íîâèêîâ, Ë.Ï.
Ïèòàåâñêèé, Òåîðèÿ ñîëèòîíîâ (ìåòîä îáðàòíîé çà-
äà÷è), Íàóêà, Ìîñêâà (1980).
2. À.Ì. Êîñåâè÷, À.Ñ. Êîâàëåâ, Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþ
ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó, Íàóêîâà Äóìêà, Êèåâ (1989).
3. N. Flytzanis, St. Pnevmatikos, and M. Peyrard, J.
Phys. A22, 783 (1989).
4. D.B. Duncan, J.C. Eilbeck, H. Feddersen, and J.A.D.
Wattis, Physica D68, 1 (1993).
5. M. Peyrard, Physica D123, 403 (1998).
6. J.C. Eilbeck, P.S. Lomdahl, and A.C. Scott, Physica
D16, 318 (1985).
7. À.Ì. Êîñåâè÷, Ì.À. Ìàìàëóé, ÆÝÒÔ 122, 897
(2002).
8. Yu.S. Kivshar and G.P. Agrawal, Optical Solitons.
From Fibers to Photonic Crystals, Academic Press,
Elsevier Science, San Diego (2003).
9. À.À. Îâ÷èííèêîâ, ÆÝÒÔ 57, 263 (1969).
10. S. M. Jensen, IEEE J. Quantum Electron. QE18,
1580 (1982).
11. À.Ñ. Êîâàëåâ, Ì.Ì. Áîãäàí, Ôèçèêà ìíîãî÷àñòè÷-
íûõ ñèñòåì 13, 20 (1988).
12. A. Franchini, V. Bortolani, and R.F. Wallis, Phys.
Rev. B53, 5420 (1996-I).
13. N. Kuroda, Y. Wakabayashi, M. Nishida, N.
Wakabayashi, M. Yamashita, and N. Matsustita, Phys.
Rev. Lett. 79, 2510 (1997).
14. W. Wernsdorfer and R. Sessoli, Science 284, 133
(1999).
15. À.Ê. Çâåçäèí, Â.Â. Êîñòþ÷åíêî, Â.Â. Ïëàòîíîâ,
Â.È. Ïëèñ, À.È. Ïîïîâ, Â.Ä. Ñåëåìèð, Î.Ì. Òàöåí-
êî, ÓÔÍ 45, 9 (2002).
16. V.V. Kostyuchenko, I.M. Markevtsev, A.V. Philippov,
V.V. Platonov, V.D. Selemir, O.M. Tatsenko, A.K.
Zvezdin, and A. Caneschi, Phys. Rev. B67, 184412
(2003).
17. W. Chen and D.L. Mills, Phys. Rev. Lett. 58, 160
(1987).
18. D. Mills and J. Trullinger, Phys. Rev. B36, 947
(1987).
19. St. Pnevmatikos, N. Flytzanis, and M. Remoissenet,
Phys. Rev. B33, 2308 (1986).
20. S.A. Kiselev, S.R. Bickham, and A.J. Sievers, Phys.
Rev. B50, 947 (1994).
21. A.S. Kovalev, O.V. Usatenko, and A.V. Gorbach,
Phys. Rev. E60, 2309 (1999).
22. A.V. Gorbach and M. Johansson, Eur. Phys. J. D29,
73 (2004).
Spectrum of nonlinear excitations
of modulated nanoclusters
M.M. Bogdan, A.S. Kovalev, and E. Malyuta
The nonlinear dynamics of a chain consisting
of four coupled anharmonic oscillators with alter-
native frequency parameters is investigated. The
system is considered as an elementary fragment of
a discrete modulated nonlinear medium, in partic-
ular magnetic and elastic nanoclusters, and bound
optical waveguides. The stationary monochromatic
oscillations of the system are studied analytically
and numerically, and their complete classification
is carried out. A bifurcation diagram for the sys-
tem is obtained: the spectral dependences of fre-
quencies on the integral of the number of states
are found. The bifurcation process of arising the
excitation onset which is the analogue of a gap
soliton in a finite–dimensional modulated system
is investigated in detail.
814 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 7
Ì.Ì. Áîãäàí, À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Þ. Ìàëþòà
|