Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода
Путем усреднения микроскопических полей по системе абрикосовских вихрей, движущихся с переменной во времени и пространстве скоростью, построена обобщенная индукция сверхпроводника в смешанном состоянии, учитывающая вихревой ток, транспортный ток сверхпроводящей компоненты и ток проводимости норма...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121737 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода / В.К. Игнатьев // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 12. — С. 1355-1365. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-121737 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1217372017-06-16T03:03:50Z Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода Игнатьев, В.К. Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Путем усреднения микроскопических полей по системе абрикосовских вихрей, движущихся с переменной во времени и пространстве скоростью, построена обобщенная индукция сверхпроводника в смешанном состоянии, учитывающая вихревой ток, транспортный ток сверхпроводящей компоненты и ток проводимости нормальной компоненты. Получены выражения для линейной и нелинейной обобщенной проницаемости. Показано, что в сверхпроводнике возможны объемные волны, в том числе продольные, а пространственная дисперсия проявляется уже в радиочастотном диапазоне и оказывает существенное влияние на генерацию высших гармоник. Шляхом усереднення мікроскопічних полів по системі абрикосівських вихорів, що рухаються з перемінною в часі і просторі швидкістю, побудована узагальнена індукція надпров ідника в змішаному стані, що враховує вихоровий струм, транспортний струм надпров ідної компоненти і струм провідності нормального компонента. Отримано вираз для лінійної та нелінійної узагальненої проникності. Показано, що в надпровіднику можливі об’ємні хвилі, у тому числі подовжні, а просторова дисперсія виявляється вже в радіочастотному діапазоні і впливає на генерацію вищих гармонік. A generalized induction of a mixed-state superconductor is constructed by averaging microscopic fields over a system of Abrikosov vortices moving at a time- and space-depended velocity, vortex and transport current of a superconducting component and conduction current of a normal component being taking into account. Expressions for linear and nonlinear generalized permeability are derived. It is shown that there may occur bulk waves (the longitudinal ones included) in the superconductor, and the spatial dispersion exists even in a ratio-frequency region and has a considerable effect on the generation of higher harmonics. 2005 Article Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода / В.К. Игнатьев // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 12. — С. 1355-1365. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.72.Bj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121737 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| spellingShingle |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Игнатьев, В.К. Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода Физика низких температур |
| description |
Путем усреднения микроскопических полей по системе абрикосовских вихрей, движущихся
с переменной во времени и пространстве скоростью, построена обобщенная индукция сверхпроводника
в смешанном состоянии, учитывающая вихревой ток, транспортный ток сверхпроводящей
компоненты и ток проводимости нормальной компоненты. Получены выражения для
линейной и нелинейной обобщенной проницаемости. Показано, что в сверхпроводнике возможны
объемные волны, в том числе продольные, а пространственная дисперсия проявляется уже
в радиочастотном диапазоне и оказывает существенное влияние на генерацию высших гармоник. |
| format |
Article |
| author |
Игнатьев, В.К. |
| author_facet |
Игнатьев, В.К. |
| author_sort |
Игнатьев, В.К. |
| title |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| title_short |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| title_full |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| title_fullStr |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| title_full_unstemmed |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| title_sort |
обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121737 |
| citation_txt |
Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода / В.К. Игнатьев // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 12. — С. 1355-1365. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT ignatʹevvk obobŝennaâpronicaemostʹsverhprovodnikavtorogoroda |
| first_indexed |
2025-07-08T20:26:33Z |
| last_indexed |
2025-07-08T20:26:33Z |
| _version_ |
1837111859499499520 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12, ñ. 1355–1365
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà
âòîðîãî ðîäà
Â.Ê. Èãíàòüåâ
Âîëãîãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
óë. 2-ÿ Ïðîäîëüíàÿ, 30, ã. Âîëãîãðàä, 400062, Ðîññèÿ
E-mail: ignatjev@vistcom.ru
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13 ôåâðàëÿ 2004 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 24 èþíÿ 2005 ã.
Ïóòåì óñðåäíåíèÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ïîëåé ïî ñèñòåìå àáðèêîñîâñêèõ âèõðåé, äâèæóùèõñÿ
ñ ïåðåìåííîé âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòüþ, ïîñòðîåíà îáîáùåííàÿ èíäóêöèÿ ñâåðõ-
ïðîâîäíèêà â ñìåøàííîì ñîñòîÿíèè, ó÷èòûâàþùàÿ âèõðåâîé òîê, òðàíñïîðòíûé òîê ñâåðõïðî-
âîäÿùåé êîìïîíåíòû è òîê ïðîâîäèìîñòè íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ
ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé îáîáùåííîé ïðîíèöàåìîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñâåðõïðîâîäíèêå âîçìîæ-
íû îáúåìíûå âîëíû, â òîì ÷èñëå ïðîäîëüíûå, à ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ óæå
â ðàäèî÷àñòîòíîì äèàïàçîíå è îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ãåíåðàöèþ âûñøèõ ãàðìî-
íèê.
Øëÿõîì óñåðåäíåííÿ ì³êðîñêîï³÷íèõ ïîë³â ïî ñèñòåì³ àáðèêîñ³âñüêèõ âèõîð³â, ùî ðóõà-
þòüñÿ ç ïåðåì³ííîþ â ÷àñ³ ³ ïðîñòîð³ øâèäê³ñòþ, ïîáóäîâàíà óçàãàëüíåíà ³íäóêö³ÿ íàä-
ïðîâ³äíèêà â çì³øàíîìó ñòàí³, ùî âðàõîâóº âèõîðîâèé ñòðóì, òðàíñïîðòíèé ñòðóì íàä-
ïðîâ³äíî¿ êîìïîíåíòè ³ ñòðóì ïðîâ³äíîñò³ íîðìàëüíîãî êîìïîíåíòà. Îòðèìàíî âèðàç äëÿ
ë³í³éíî¿ òà íåë³í³éíî¿ óçàãàëüíåíî¿ ïðîíèêíîñò³. Ïîêàçàíî, ùî â íàäïðîâ³äíèêó ìîæëèâ³
îá’ºìí³ õâèë³, ó òîìó ÷èñë³ ïîäîâæí³, à ïðîñòîðîâà äèñïåðñ³ÿ âèÿâëÿºòüñÿ âæå â ðàä³î÷àñòîòíî-
ìó ä³àïàçîí³ ³ âïëèâຠíà ãåíåðàö³þ âèùèõ ãàðìîí³ê.
PACS: 74.72.Bj
Ââåäåíèå
Ïîëâåêà, ïðîøåäøèå ñî âðåìåíè ðàáîòû Â.Ë.
Ãèíçáóðãà è Ë.Ä. Ëàíäàó [1], íå ñíèçèëè èíòåðåñ ê
ýëåêòðîäèíàìèêå ñâåðõïðîâîäíèêîâ âòîðîãî ðîäà.
Ìàãíèòíûé ïîòîê â íèõ ïåðåíîñèòñÿ äèôôóçèåé
[2,3] âèõðåé Àáðèêîñîâà [4], îáðàçóþùèõ êàê ñðàâ-
íèòåëüíî ðåãóëÿðíóþ ðåøåòêó [5], òàê è ñâîåîáðàç-
íóþ âèõðåâóþ æèäêîñòü [6,7] è äàæå âèõðåâóþ
ïëàçìó [8], ïðè÷åì ïàðàìåòð ïîðÿäêà â ñìåøàííîì
ñîñòîÿíèè ñâåðõïðîâîäíèêà ñèëüíî çàâèñèò îò êîîð-
äèíàò [9]. Äèíàìèêà îäèíî÷íîãî âèõðÿ õîðîøî èçó-
÷åíà êàê òåîðåòè÷åñêè [10], òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíî
[11]. Ïîòåðè íà íîðìàëüíóþ ïðîâîäèìîñòü êîðà è
íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, âîçíè-
êàþùèå ïðè âÿçêîì äâèæåíèè âèõðåé, ó÷òåíû â ðà-
áîòå [12], à ïîòåðè, ñâÿçàííûå ñ ïîëÿðèçàöèåé ñðå-
äû ïîëåì äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ, — â ðàáîòå [13]. Ïðè
ýòîì óðàâíåíèÿ áàëàíñà ñèë îáû÷íî âûâîäÿòñÿ òåð-
ìîäèíàìè÷åñêè [10], ò.å., ñòðîãî ãîâîðÿ, îòíîñÿòñÿ
ê ðàâíîâåñíîìó ñîñòîÿíèþ.
Ñìåøàííîå ñîñòîÿíèå ñâåðõïðîâîäíèêà II ðîäà
òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â ðàìêàõ òåðìîäèíàìè-
÷åñêîãî ïîäõîäà êàê ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû
àáðèêîñîâñêèõ âèõðåé, ïðÿìîëèíåéíûõ èëè èñêðèâ-
ëåííûõ, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ, êàê ñèñòåìà îäèíàêî-
âûõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ñâîåîáðàçíûì õèìè÷åñêèì
ïîòåíöèàëîì [14]. Ïðè îïèñàíèè ðåàêöèè ñèñòåìû
âèõðåé íà âíåøíåå ýëåêòðîìàãíèòíîå âîçäåéñòâèå
(òðàíñïîðòíûé òîê èëè ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå)
â îñíîâíîì ïðèìåíÿåòñÿ êèíåòè÷åñêèé ïîäõîä [9],
ïðèâîäÿùèé, íàïðèìåð, ê óðàâíåíèþ êðèòè÷åñêîãî
ñîñòîÿíèÿ, èçâåñòíîìó êàê ìîäèôèöèðîâàííàÿ ìî-
äåëü Áèíà [15].
Ðàñ÷åò îòêëèêà ñâåðõïðîâîäíèêà â ñìåøàííîì
ñîñòîÿíèè íà ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
îáû÷íî âåäåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðåøåòêà âèõ-
ðåé ïåðåìåùàåòñÿ êàê öåëîå, ò.å. âñå âèõðè äâèæóò-
ñÿ ñ ïåðåìåííîé âî âðåìåíè, íî îäíîðîäíîé â ïðî-
ñòðàíñòâå ñêîðîñòüþ [9,12,16,17]. Â ðàìêàõ òàêîãî
êîëåáàòåëüíîãî ïîäõîäà ê äâèæåíèþ ðåøåòêè àíà-
© Â.Ê. Èãíàòüåâ, 2005
ëèçèðóþòñÿ ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà
îòðàæåíèÿ [17], ïîâåðõíîñòíîãî èìïåäàíñà [18] è
âîñïðèèì÷èâîñòè [19], ãåíåðàöèÿ ãàðìîíèê [9] è ïî-
ÿâëåíèå ñòóïåíåê íà âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñ-
òèêå [16].
Ìîäåëè êðèòè÷åñêîãî è ðåçèñòèâíîãî ñîñòîÿíèé
ïîëó÷èëè õîðîøåå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæ-
äåíèå â êâàçèñòàöèîíàðíîì ðåæèìå, íàïðèìåð íà
ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòå [11,14,20].  òî æå âðåìÿ â
äèàïàçîíå ðàäèî÷àñòîò îáíàðóæåíû ñóùåñòâåííûå
îòêëîíåíèÿ îò êëàññè÷åñêîé ìîäåëè, îñîáåííî õà-
ðàêòåðíûå äëÿ êåðàìè÷åñêèõ ñâåðõïðîâîäíèêîâ, â
êîòîðûõ äèàìåòð âèõðåâûõ íèòåé ìîæåò áûòü çíà-
÷èòåëüíî áîëüøèì, ÷åì â ìåòàëëè÷åñêèõ [21].  ðà-
áîòå [22] ïîêàçàíî, ÷òî ïîâåðõíîñòíîå ñîïðîòèâëå-
íèå ÂÒÑÏ íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ áîëüøå, ÷åì
ïðåäïèñûâàåòñÿ òåîðèåé. ×àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü ïî-
âåðõíîñòíîãî èìïåäàíñà ñóùåñòâåííî îòêëîíÿåòñÿ
îò ïðåäïèñûâàåìîé ìîäåëüþ êðèòè÷åñêîãî ñîñòîÿ-
íèÿ ëèíåéíîñòè [15]. Ïëîòíîñòü ñâåðõïðîâîäÿùåãî
òîêà òàêæå èìååò îñîáåííîñòü âáëèçè ïîâåðõíîñòè
ñâåðõïðîâîäíèêà [23].
 îïòèêå îñîáåííîñòè ïîâåðõíîñòíîãî èìïåäàíñà
è ñîîòâåòñòâóþùèå àíîìàëèè îòðàæåíèÿ ìîãóò áûòü
îáóñëîâëåíû ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé âîñïðè-
èì÷èâîñòè [24], ïðîÿâëÿþùåéñÿ, êîãäà äëèíà âîë-
íû ñðàâíèìà ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì íåëîêàëü-
íîñòè. Â ñìåøàííîì ñîñòîÿíèè ñâåðõïðîâîäíèêà
òàêèì ìàñøòàáîì ìîæåò áûòü ðàçìåð âèõðÿ èëè ïå-
ðèîä âèõðåâîé ðåøåòêè, ïîýòîìó äëÿ êåðàìè÷åñêèõ
ñâåðõïðîâîäíèêîâ íåëîêàëüíîñòü îêàçûâàåò âëèÿ-
íèå íà ïîâåðõíîñòíûé èìïåäàíñ è íåëèíåéíóþ âîñ-
ïðèèì÷èâîñòü óæå íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ [18].  ðà-
äèî÷àñòîòíîì äèàïàçîíå âëèÿíèå ïðîñòðàíñòâåííîé
äèñïåðñèè íà âîñïðèèì÷èâîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà,
êàê ëèíåéíóþ, òàê è íåëèíåéíóþ, ìîæåò èìåòü ðåçî-
íàíñíûé õàðàêòåð. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, íåëî-
êàëüíîñòü ñàìà ìîæåò ñòàòü ïðè÷èíîé íåëèíåéíîé
âîñïðèèì÷èâîñòè ñâåðõïðîâîäíèêà, ýòîò ýôôåêò â
êðèñòàëëîîïòèêå íå íàáëþäàåòñÿ.
Óïðóãèå ñâîéñòâà âèõðåâîé ðåøåòêè äîñòàòî÷íî
ïîäðîáíî èññëåäîâàíû òåîðåòè÷åñêè è ýêñïåðèìåí-
òàëüíî [14]. Ìåæäó òåì ïðè èññëåäîâàíèè êîìï-
ëåêñíîé âîñïðèèì÷èâîñòè ñâåðõïðîâîäíèêîâ II ðîäà
àíàëèçèðóåòñÿ òîëüêî ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü è íå
ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü îò âîëíîâîãî
âåêòîðà [25], õîòÿ ó÷èòûâàþòñÿ òàêèå ìîìåíòû, êàê
êðèï ïîòîêà è ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåìïåðàòóðíàÿ çà-
âèñèìîñòü ïîãëîùåíèÿ [26], ãèñòåðåçèñíàÿ çàâèñè-
ìîñòü êðèòè÷åñêîãî òîêà îò ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ [27,28]. Ôàêòè÷åñêè ïðè òàêîì
ïîäõîäå äèíàìèêà âèõðåâîé ðåøåòêè ðàññìàòðèâà-
åòñÿ êàê êîëåáàòåëüíûé, à íå âîëíîâîé ïðîöåññ.
Ïðè ýòîì óäàåòñÿ îïðåäåëèòü çàêîí ÷àñòîòíîé äèñ-
ïåðñèè êîëåáàíèé ðåøåòêè [29], íî èñ÷åçàþò õî-
ðîøî èçâåñòíûå â àêóñòîîïòèêå è ñïèí-âîëíîâîé
ýëåêòðîíèêå ýôôåêòû âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàã-
íèòíîé âîëíû ñ êâàçèóïðóãèìè âîëíàìè. Êàê áóäåò
ïîêàçàíî íèæå, âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ â âèõ-
ðåâîé ðåøåòêå, ÿâëÿåòñÿ íå ÷èñòî ïðîäîëüíîé, êàê
îáúåìíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà, à ñìåøàííîé, ïîäîá-
íî ñïèíîâîé âîëíå [30]. Ñîîòâåòñòâåííî, è äèñïåð-
ñèîííûå õàðàêòåðèñòèêè òàêîé âîëíû ãîðàçäî áîãà-
÷å, ÷åì àêóñòè÷åñêîé.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåð-
ñèÿ â äèýëåêòðèêàõ ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ
íîðìàëüíûõ âîëí [31]. Ïîäîáíîãî ýôôåêòà ìîæíî
îæèäàòü è â ñâåðõïðîâîäíèêàõ, ïðè÷åì äèñïåðñèîí-
íûìè õàðàêòåðèñòèêàìè òàêèõ âîëí ëåãêî óïðàâ-
ëÿòü ýëåêòðè÷åñêè, ïîñêîëüêó ïåðèîä âèõðåâîé ðå-
øåòêè çàâèñèò îò âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ðàíåå
òàêàÿ âîçìîæíîñòü áûëà èçâåñòíà òîëüêî äëÿ ñïèíî-
âûõ âîëí [30]. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ
è ñïèíîâûõ âîëí â ñëîèñòîé ñòðóêòóðå ñâåðõïðîâîä-
íèê—ôåððèò—ñâåðõïðîâîäíèê èññëåäîâàíî â ðà-
áîòå [32]. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ýôôåêòèâíîãî
óïðàâëåíèÿ äèñïåðñèîííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñïè-
íîâûõ âîëí, íî íå ó÷èòûâàþòñÿ îáóñëîâëåííûå ïðî-
ñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé õàðàêòåðèñòèêè âîëí â
ñàìîì ñâåðõïðîâîäíèêå. Ó÷åò ïðîñòðàíñòâåííîé
äèñïåðñèè ïîçâîëèò ðàñøèðèòü ôóíêöèîíàëüíûå
âîçìîæíîñòè ñâåðõïðîâîäíèêîâîé ýëåêòðîíèêè [33].
Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñâåðõïðîâîäíèêîâ
II ðîäà, çàòðóäíÿþùåé àíàëèç ýëåêòðîìàãíèòíûõ
ïðîöåññîâ â íèõ, ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîñòü ðàçäåëèòü
òîêè íàìàãíè÷åííîñòè è ïðîâîäèìîñòè (òðàíñïîðò-
íûå) äàæå íà ïîñòîÿííîì òîêå, òàê êàê îíè ñîçäàþò-
ñÿ äâèæåíèåì îáùåãî êîíäåíñàòà êóïåðîâñêèõ ïàð
[10,14]. Ïîýòîìó ïî àíàëîãèè ñ îïòèêîé ñîñòîÿíèå
ñâåðõïðîâîäíèêà ìîæíî îïèñàòü ëèíåéíûì ôóíê-
öèîíàëîì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ — âåêòîðîì îáîá-
ùåííîé ïîëÿðèçàöèè P, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîãî ðàâ-
íà óñðåäíåííîìó ïîëíîìó ìèêðîñêîïè÷åñêîìó òîêó
j = ρv â ñðåäå, âêëþ÷àþùåìó êàê òîê ïðîâîäèìîñòè,
òàê è ëîêàëüíûå òîêè íàìàãíè÷åííîñòè è ïîëÿðèçà-
öèè ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ, êîòîðîé â äèàïàçîíå ðàäèî-
÷àñòîò ìîæíî ïðåíåáðå÷ü [34]:
�
�
� � � � ��
P ( )
( )
r
j j r r
t V
d r
V
1
1
3
1 ,
P ( , ) ~ , , ( , )r r r E r rt t t t d r dt� � � �
��
��
�� �� 1 1 1 1
3
1
0
1
� �
��
�
��
�
��
1
2 4
3
( )
, , ( , ) exp ( )
�� � � � ��
r k k krE i i t d d k ,
1356 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12
Â.Ê. Èãíàòüåâ
E E( , ) , exp ( ) ,
, ,
k (r ) kr
r k
� �
�� �
� � �
�
��
�
��
�
�� t i i t dt d r3
� ~ , , exp ( ) .�� �r r kr1 1 1 1 1
3
1
0
t i i t dt d r� �
��
��
��
(1)
Çäåñü V — ôèçè÷åñêè ìàëûé îáúåì, ñîäåðæàùèé
äîñòàòî÷íî ìíîãî ñòðóêòóðíûõ åäèíèö, â êîòîðîì
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì ïîëåé.  ñîîòíîøå-
íèè (1) ñðåäà ïîëàãàåòñÿ èçîòðîïíîé è íåîäíîðîä-
íîé, íî ñòàöèîíàðíîé. Ïðè ýòîì ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå â ñðåäå îïèñûâàåòñÿ òðåìÿ âåêòîðàìè Å, Â è
îáîáùåííîé èíäóêöèåé D = Å + 4
P, à óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà áåç ñòîðîííèõ òîêîâ è çàðÿäîâ ïðèíèìà-
þò âèä [34]
div B = 0, div D = 0,
c rot E = – �Â/�t, c rot  = �D/�t .
(2)
Çäåñü Å è  — ìàêðîñêîïè÷åñêèå, ò.å. óñðåäíåííûå
ïî ôèçè÷åñêè ìàëîìó îáúåìó ìèêðîñêîïè÷åñêèå ïî-
ëÿ e è b ñîîòâåòñòâåííî:
E(r) e(r) e r r
B(r) b(r) b r r
� � � � �
� � � � �
�
�
1
1
1
3
1
1
V
d r
V
V
V
( ) ,
( ) .d r3
1 (3)
Ñîîòíîøåíèå (1) — ìàòåðèàëüíîå óðàâíåíèå ñðå-
äû. Çàâèñèìîñòü ïîëíîãî òîêà îò ïåðåìåííîãî ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ â íåì ó÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òðåòüåãî
óðàâíåíèÿ (2) êàê
B( E( B(t c t dt
t
) ) )� � �� rot 1 1
0
0 .
Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå Â0 = Â(0) îáû÷íî ââî-
äèòñÿ â îáîáùåííóþ âîñïðèèì÷èâîñòü êàê ïàðà-
ìåòð.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ Å,  è D ïîëó-
÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé (2) îáû÷íûì îáðàçîì [34]:
E2� = E1�, B2n = B1n, D2n = D1n,
B2� – B1� = 4
i
v
/c , (4)
ãäå iv — ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü èíäóöèðîâàííîãî â
ñðåäå ïîëíîãî ïîâåðõíîñòíîãî òîêà, âêëþ÷àÿ òîê
íàìàãíè÷åííîñòè. ×åòâåðòîå óñëîâèå ñîîòâåòñòâóåò
íåïðåðûâíîñòè ïîëÿ Í íà ãðàíèöå ñâåðõïðîâîäíè-
êà. Îäíàêî ïðèìåíÿåìîå ïðè îïèñàíèè ñìåøàííîãî
ñîñòîÿíèÿ ñâåðõïðîâîäíèêà òåðìîäèíàìè÷åñêîå îï-
ðåäåëåíèå ïîëÿ Í [14,35] ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ
ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ, íî íå äëÿ äèññèïàòèâíîãî
ðåçèñòèâíîãî. Êðîìå òîãî, ïîñòðîåíèå ýíåðãèè ïîëÿ
â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ çà-
äà÷à, â òî âðåìÿ êàê ñâÿçü ïîëÿ Í ñ îáîáùåííîé
èíäóêöèåé D ïîëó÷åíà â äîñòàòî÷íî îáùèõ óñëîâè-
ÿõ [34].
Âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ ñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ
Óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà—Ëàíäàó [1] ïîëó÷åíû ìè-
íèìèçàöèåé ñâîáîäíîé ýíåðãèè, îíè è ñëåäóþùåå èç
íèõ óðàâíåíèå àáðèêîñîâñêîãî âèõðÿ [4] îïèñûâàþò
ñòàöèîíàðíîå òåðìîäèíàìè÷åñêè ðàâíîâåñíîå ñî-
ñòîÿíèå. Íåñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû â ñâåðõïðîâîä-
íèêàõ II ðîäà îïèñûâàþòñÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèìè
óðàâíåíèÿìè Ãîðüêîâà—Ýëèàøáåðãà [36]. Ýòè óðàâ-
íåíèÿ ïîëó÷åíû ìåòîäàìè êâàíòîâîé ýëåêòðîäè-
íàìèêè ñ ïðèìåíåíèåì äèàãðàììíîé òåõíèêè è
ïîçâîëÿþò ðåøàòü ìíîãî÷èñëåííûå çàäà÷è íåñòà-
öèîíàðíîé ñâåðõïðîâîäèìîñòè, ó÷èòûâàÿ âçàèìî-
äåéñòâèå êóïåðîâñêîãî êîíäåíñàòà ñ ýëåêòðîí-
äûðî÷íûìè âîçáóæäåíèÿìè è íåðàâíîâåñíûìè ôî-
íîíàìè [9,16,37].
Äëÿ àíàëèçà ðåàêöèè ñèñòåìû àáðèêîñîâñêèõ
âèõðåé íà âíåøíåå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå èç ìèê-
ðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé îáû÷íî âûâîäÿòñÿ äèíà-
ìè÷åñêèå (âðåìåííûå) óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà—Ëàí-
äàó äëÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, äåìîíñòðèðóþùèå
ìàêðîñêîïè÷åñêèå êâàíòîâûå ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîä-
íèêà [37]. Òàêèì îáðàçîì áûëè ïîëó÷åíû âûðàæå-
íèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè äâèæóùèõñÿ âèõ-
ðåé è ñîïðîòèâëåíèÿ òå÷åíèÿ ïîòîêà â øèðîêîì
äèàïàçîíå òåìïåðàòóð è äëÿ ëþáûõ ñïëàâîâ [38,39].
Îäíàêî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â ñâåðõïðîâîäíèêå
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, äëèíà êîòîðîé â ñðåäå
ñðàâíèìà ñ ïåðèîäîì âèõðåâîé ðåøåòêè, ïîëå ñêî-
ðîñòåé âèõðåé íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì íè â ïðî-
ñòðàíñòâå, íè âî âðåìåíè, ïîýòîìó ñâÿçü ìåæäó
óñðåäíåííûìè â ñìûñëå (3) ýëåêòðè÷åñêèì è ìàã-
íèòíûì ïîëÿìè áóäåò áîëåå ñëîæíîé, ÷åì ïîëàãàåò-
ñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ ïîòîêà
[12]. Ýòè îñîáåííîñòè, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîãóò îêà-
çàòü ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà äèñïåðñèîííûå õà-
ðàêòåðèñòèêè âîëí.
Âëèÿíèå ïðîöåññîâ ïåðåíîñà è ïðîñòðàíñòâåííîé
äèñïåðñèè íà ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ
âîëí õîðîøî èçó÷åíî â ýëåêòðîäèíàìèêå ïëàçìû
[40]. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïëàç-
ìû ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä èåðàðõèè ìàñøòà-
áîâ Áîãîëþáîâà [41], ïîçâîëÿþùèé â îïðåäåëåííûõ
ïðåäïîëîæåíèÿõ íå ó÷èòûâàòü âíóòðåííþþ ñòðóê-
òóðó ÷àñòèö ïëàçìû è îïèñûâàòü èõ äâèæåíèå êëàñ-
ñè÷åñêè.  ðàäèî÷àñòîòíîì äèàïàçîíå, êîãäà ýíåð-
ãèÿ êâàíòà ìíîãî ìåíüøå øèðèíû ùåëè, ñìåøàííîå
ñîñòîÿíèå ñâåðõïðîâîäíèêà òàêæå ìîæíî ðàññìàò-
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12 1357
ðèâàòü êàê ïëàçìîïîäîáíóþ ñðåäó [8]. Ïðè ýòîì â
îáëàñòè ïîðÿäêà äëèíû êîãåðåíòíîñòè � ñîäåðæèòñÿ
ìíîãî ÿ÷ååê êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè è êóïåðîâ-
ñêèõ ïàð. Ðîëü âòîðîãî ìàñøòàáà èãðàåò õàðàêòåð-
íûé ðàçìåð âèõðÿ
>> �. Ïîýòîìó ïîñòðîåíèå ìàê-
ðîñêîïè÷åñêèõ ïîëåé äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî
ðîäà, íàõîäÿùåãîñÿ â îäíîðîäíîì âäîëü îñè z ìàã-
íèòíîì ïîëå, ìîæíî âûïîëíÿòü â äâà ýòàïà.
Ñíà÷àëà ïðîèçâîäèòñÿ óñðåäíåíèå (1) è (3) ïî
îáúåìó V â âèäå öèëèíäðà ñ îáðàçóþùåé âäîëü îñè
z è äèàìåòðîì ïîðÿäêà �. Òàêîå óñðåäíåíèå äåëàåò
çàäà÷ó äâóìåðíîé è «ñãëàæèâàåò» ïðîñòðàíñòâåí-
íûå íåîäíîðîäíîñòè ïîëåé, íî ñîõðàíÿåò íåëîêàëü-
íîñòü, îáóñëîâëåííóþ âçàèìîäåéñòâèåì àáðèêî-
ñîâñêèõ âèõðåé. Íà âòîðîì ýòàïå ïðîèçâîäèòñÿ
ñòàòèñòè÷åñêîå óñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ àáðèêîñîâ-
ñêèõ âèõðåé. Ïîñêîëüêó õàðàêòåðíîå âðåìÿ � � �/�
çàïàçäûâàíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â
äâèæóùåìñÿ âèõðå [42] ìíîãî ìåíüøå ïåðèîäà âîë-
íû, êóïåðîâñêèé êîíäåíñàò ìîæíî ñ÷èòàòü ìèêðî-
ñêîïè÷åñêè ðàâíîâåñíûì, êîãäà âåëè÷èíà –2e�/�,
ãäå � — ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, ñîâïàäàåò ñ ïðîèç-
âîäíîé ôàçû ïàðàìåòðà ïîðÿäêà � [37].
Äèíàìèêó êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö â ïëàçìîïîäîá-
íîé ñðåäå óäîáíî îïèñûâàòü óðàâíåíèÿìè Ëàãðàí-
æà. Â ðàìêàõ ñäåëàííûõ óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæå-
íèé êóïåðîâñêèé êîíäåíñàò â ñâåðõïðîâîäíèêå
ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü îáùèì ñêàëÿðíûì ïîòåí-
öèàëîì è ñ÷èòàòü ëàãðàíæåâîé ñèñòåìîé. Ïîýòîìó
ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîëó÷èòü âðåìåííûå óðàâíå-
íèÿ Ãèíçáóðãà—Ëàíäàó äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìåòîäà-
ìè ôîðìàëèçìà Ëàãðàíæà. Ïîñòðîèì íåðåëÿòèâèñò-
ñêèé ëàãðàíæèàí ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîíäåíñàòà,
èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ñâîáîäíîé
ýíåðãèè ñâåðõïðîâîäíèêà â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå
[1,12,43–45]:
� �L � � � � � � � � �
ie
cm m
e
c m
A
� �
2 4
2 2
2
2 2( )� � � � � � �* * *A
� � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �2
2 2
2 2 4e
i
t t
� � �
�
�
�
��
�
�
�
*
*
� ��
�
�
� ��
�
� �
�
� �
1
8
1 1
8
2
2
�
c t
A
Arot . (5)
Çäåñü èñïîëüçîâàíî âûðàæåíèå [46] äëÿ ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèè ïåðåìåííîãî çàðÿäà â çàäàííîì ïî-
òåíöèàëå è ó÷òåíî, ÷òî
e
A
� � � �
1
c t
�
�
�. (6)
Çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ íåïðåðûâíîé
ñðåäû â âèäå [43]
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
L L L
L
q t q t x q x
y q y
i i i
i
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.�
�
�
�
� � � �
�
�
� � � �z q z
F
q ti i
L
(7)
Ïîëåâûå ôóíêöèè qi(r,t) — äëÿ ëàãðàíæèàíà (5)
ýòî ïàðàìåòð ïîðÿäêà �* è êîìïîíåíòû âåêòîð-ïî-
òåíöèàëà Ax, Ay, Az.  ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7)
çàïèñàíà ïðîèçâîäíàÿ äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè ïî
ñîîòâåòñòâóþùåé îáîáùåííîé ñêîðîñòè [47], ïî-
ñêîëüêó ñâåðõïðîâîäÿùàÿ êîìïîíåíòà è ýëåêòðî-
ìàãíèòíîå ïîëå íå îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó. Åå
âçàèìîäåéñòâèå ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé è íîð-
ìàëüíîé êîìïîíåíòîé ïðèâîäèò ê äèññèïàöèè ýíåð-
ãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â êîðå äâèæóùèõñÿ
âèõðåé [42]. Óäâîåííîå çíà÷åíèå äèññèïàòèâíîé
ôóíêöèè îïèñûâàåò ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ýíåðãèè â
ñèñòåìå. Ïðåíåáðåãàÿ çàïàçäûâàíèåì âîññòàíîâëå-
íèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â äâèæóùåìñÿ âèõðå [42],
áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äèññèïàöèÿ ñâÿçàíà c òîêîì íîð-
ìàëüíîé êîìïîíåíòû è ïîëîæèì F = |å|2�n/2, ãäå
�n — ïðîâîäèìîñòü íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû.
Âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå ëàãðàí-
æèàíà (5) è äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè, ïîäñòàâëÿÿ èõ
â óðàâíåíèÿ (7), ïîñëå íåñëîæíûõ âåêòîðíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (6) ïîëó÷èì
� �i
t m
i
e
c
e� �
�
�
� � � ��
�
�
�
�
� � � �
!
"
#"
$
%
"
&"
�
� � �� �
1
4
2
2
2
2A ,
(8)
� �rot rot A A
e
� � � � � � �
� �
�
8 2
4 1
2
2
2
�
� � � �
�
e
c m
i e
cm
c cn
�
( )* *
e
�t
. (9)
Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä îäíî-
ðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé òðåòüåãî ðîäà [48]:
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
n
ei
c
A b
S
n
S
2
0 . (10)
Êîíñòàíòà b îïðåäåëÿåòñÿ ñèòóàöèåé íà ãðàíèöå S
ñâåðõïðîâîäíèêà.
Óðàâíåíèå (8) ñîãëàñóåòñÿ ñ íåñòàöèîíàðíûìè
óðàâíåíèÿìè, ïîëó÷åííûìè â ðàáîòàõ [49,50], åñëè
íå ó÷èòûâàòü çàðÿä íåðàâíîâåñíûõ íîñèòåëåé. Ðàçó-
ìååòñÿ, ýòî ãîâîðèò òîëüêî î ïðèìåíèìîñòè ìîäåëü-
íîãî ëàãðàíæèàíà (5) â ðàññìîòðåííîì êâàçèðàâíî-
âåñíîì ñëó÷àå, êîòîðûé õàðàêòåðåí äëÿ äâèæåíèÿ
ñèñòåìû àáðèêîñîâñêèõ âèõðåé â ïîëå ýëåêòðîìàã-
íèòíîé âîëíû ðàäèî÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà â ëèíåé-
íîì ïðèáëèæåíèè. Îòìåòèì, ÷òî îïèñàíèå äèíàìè-
êè êâàçèðàâíîâåñíîãî êóïåðîâñêîãî êîíäåíñàòà
óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà áëèçêî ê ïðåäëîæåííîé â
1358 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12
Â.Ê. Èãíàòüåâ
êëàññè÷åñêîé ðàáîòå [12] èäåå, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíå-
íèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïðîïîðöèîíàëüíà âàðèàöè-
îííîé ïðîèçâîäíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
rot rot A j e
e
� � �
�
�
4 4 1
�
c c c ts n , (11)
óðàâíåíèå (9) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå [51]
� �
j As
c c
e
� � ��
�
�
�
�
�
' 2
24 2
�
�
, (12)
ãäå
' = �/�0 = |'| exp(i�),
�
c
e
m/ n s2
.
Ìíèìàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8) ïðè ýòîì ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèÿ (12) ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ íåïðå-
ðûâíîñòè ñâåðõïðîâîäÿùåé êîìïîíåíòû � �� � �' 2 / t
� � ( )1/en s sdiv j , à äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ñîîòâåò-
ñòâåííî
� �
� �
� �
�
�
� � � ��
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
� �
t m
e
c
e�
� � �4
2
1
22
2�
A ( ) .
(13)
Åñëè âíå êîðà ïîëîæèòü |'| = 1, à ðàäèóñ êîðà
âèõðÿ â íå ñëèøêîì ñèëüíîì ïîëå ñ÷èòàòü ïðåíåáðå-
æèìî ìàëûì, òî, âçÿâ ðîòîð îò óðàâíåíèÿ (12), ñ
ó÷åòîì ôîðìóë (2) è (11) ïîëó÷àåì [47]
b b
b b
Ô r r� �
�
�
�
�
�
� �
�
(� 2
2
2
2
2
2
2 0
4
rot rot n
i
c t c t
.
(14)
Çäåñü ri — êîîðäèíàòû öåíòðà âèõðÿ, Ô0 = Ô01i,
ãäå 1i — åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü
îñè âèõðÿ, Ô0 =
�c/e.
 ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (14) ñîâïàäàåò
ñ èçâåñòíûì óðàâíåíèåì íåïîäâèæíîãî àáðèêîñîâ-
ñêîãî âèõðÿ [51]. Äëÿ âèõðÿ, äâèæóùåãîñÿ ñî ñêî-
ðîñòüþ v âäîëü îñè õ, ÷åòâåðòîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé
÷àñòè óðàâíåíèÿ (14) ðàâíî (
2v2/c2)�2b/�x2 è
îïèñûâàåò äåôîðìàöèþ äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ, ñâÿ-
çàííóþ ñ ëîðåíöåâûì ñæàòèåì. Ïðè v << c èì ìîæ-
íî ïðåíåáðå÷ü è ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæóùèéñÿ âèõðü íå
äåôîðìèðîâàí. Òðåòüå ñëàãàåìîå ñâÿçàíî ñ òîêîì
íîðìàëüíîé ïðîâîäèìîñòè. Ïðåíåáðåãàÿ èíòåðôå-
ðåíöèåé ýòîãî òîêà ñî ñâåðõïðîâîäÿùåé êîìïîíåí-
òîé [37], ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíî íå èñêàæàåò ðàñ-
ïðåäåëåíèå ñâåðõïðîâîäÿùåãî òîêà è ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî êîðà äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ.
Óñðåäíèì óðàâíåíèå (14) ïî îáúåìó V, ñîäåðæà-
ùåìó ìíîãî ïàðàëëåëüíûõ âèõðåé, âûáðàâ åãî â
âèäå öèëèíäðà ñ îñíîâàíèåì S, ïåðïåíäèêóëÿðíûì
îñè âèõðåé, è îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé îñÿì
âèõðåé:
B B
B B
Ô� �
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2 0
4
rot rot n
c t c t
n , (15)
ãäå n — êîíöåíòðàöèÿ âèõðåé. Ïðè óñðåäíåíèè
ïðèíÿòî, ÷òî ôîðìóëà (5), âûòåêàþùàÿ èç óðàâíå-
íèé Ãèíçáóðãà—Ëàíäàó [1], ïðèìåíèìà ïðè ìàëûõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Òîãäà ìîæíî ñ÷è-
òàòü, ÷òî ïðè ñâåðõïðîâîäÿùåì ïåðåõîäå êîíöåí-
òðàöèÿ íîðìàëüíîé ôàçû ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî,
è íîðìàëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü �n ïî÷òè ïîñòîÿííà âî
âñåì îáúåìå ñâåðõïðîâîäíèêà.
Èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (15) ñëåäóåò, ÷òî òîëüêî
â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü  =
= nÔ0. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè óñðåäíåíèè ïî
ôîðìóëå (3) ãðàíèöà îñíîâàíèÿ S äåëèò íåêîòîðûå
âèõðè íà ÷àñòè, è ïðè íåîäíîðîäíîì ðàñïðåäåëåíèè
âèõðåé îíè íå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Óðàâíåíèå
(15) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåëîêàëüíîå è íåñòà-
öèîíàðíîå ìàòåðèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ñìåøàííîãî
ñîñòîÿíèÿ ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà. Âìåñòî
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Í ïîëåâîé ôóíê-
öèåé â íåì ÿâëÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ âèõðåé n.
Êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (4), ãðàíè÷íîå óñëîâèå
äëÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïëîò-
íîñòüþ ïîëíîãî ïîâåðõíîñòíîãî òîêà, êîòîðûé çàâè-
ñèò îò ïîëîæåíèÿ âèõðåé âáëèçè ãðàíèöû. Òàêèì
îáðàçîì, âîçíèêàåò çàäà÷à äîïîëíèòåëüíûõ ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé (ÄÃÓ), êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ íà
ôóíêöèþ n(r). Êàê è â ñëó÷àå ñïèíîâûõ âîëí [27],
ÄÃÓ â îòëè÷èå îò ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñëîâèé (4)
îïðåäåëÿþòñÿ âçàèìîäåéñòâèåì ìàãíèòíûõ ìîìåí-
òîâ, â äàííîì ñëó÷àå âèõðåé, ñ ãðàíèöåé [52–54].
Ïîñêîëüêó ïàðàìåòðû ðåøåòêè ïðàêòè÷åñêè íå ìå-
íÿþòñÿ âáëèçè ãðàíèöû ñâåðõïðîâîäíèêà [54], ÄÃÓ
äëÿ ñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
â âèäå óñëîâèé òðåòüåãî ðîäà, àíàëîãè÷íûõ (10).
Äèíàìèêà âèõðåé â ïëîñêîé âîëíå
Ýëåêòðîäèíàìèêà ñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ ñâåðõ-
ïðîâîäíèêà çíà÷èòåëüíî «áîãà÷å», ÷åì â êðèñòàëëî-
îïòèêå, ãäå íåëîêàëüíîñòü îáóñëîâëåíà æåñòêîé ðå-
øåòêîé, èëè â ïëàçìå, ãäå îòñóòñòâóåò áëèæíèé
ïîðÿäîê. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â ñâåðõïðîâîäíèêå
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, äëèíà êîòîðîé ñðàâíèìà ñ
ïåðèîäîì âèõðåâîé ðåøåòêè, ïîëå ñêîðîñòåé àáðè-
êîñîâñêèõ âèõðåé íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì â ïðî-
ñòðàíñòâå, ÷òî èçìåíÿåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ïîðîæ-
äàåìîå äâèæóùèìèñÿ âèõðÿìè.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèå (12)
ñ ó÷åòîì (13):
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12 1359
� � � ��
�
� �
�
�
� ��
�
�
�
�
� � �
j
e As
t
c c
e t
e
c
f
2 2
2
2
2
2
4 8
2�
�
�
�
�
. (16)
Çäåñü îáîçíà÷åíî
� �
� �
� �f
m
e
c
� � � ��
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �4
2 2
2� �
�
�
�
�A .
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â óðàâíåíèè (16) ñîâïàäàåò ñ ïåð-
âûì óðàâíåíèåì Ëîíäîíîâ [51], âòîðîå è òðåòüå
ñëàãàåìûå — âêëàä äâèæóùèõñÿ âèõðåé, äëÿ íå-
ïîäâèæíîãî âèõðÿ îíè ðàâíû íóëþ. Ïðè v << c
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âèõðü ïðè äâèæåíèè íå äåôîð-
ìèðóåòñÿ. Ïîýòîìó ìîäóëü è ôàçà ïàðàìåòðà ïî-
ðÿäêà, ïëîòíîñòü ñâåðõïðîâîäÿùåãî òîêà è, ñëåäî-
âàòåëüíî, âåêòîð-ïîòåíöèàë ðàñïðåäåëåíû îòíîñè-
òåëüíî öåíòðà ri(t) äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ òàê æå, êàê
è â íåïîäâèæíîì.
Îáîçíà÷èì ρ = r – ri. Òîãäà �|�|2/�t = v �|�|2, ãäå
v(ri) = dri/dt — ñêîðîñòü öåíòðà âèõðÿ,
�� = l ) ρ/*2, A = l ) ρA(*)/*,
�|�|2 = (d|�|2/d*)ρ/*, �f = (df/d*)ρ/*.
Óñðåäíèì óðàâíåíèå (16) ïî ôèçè÷åñêè ìàëîìó
îáúåìó, ñîäåðæàùåìó ìíîãî âèõðåé, öåíòðû êîòî-
ðûõ ri ðàñïðåäåëåíû â ñâåðõïðîâîäíèêå ñ ïëîòíî-
ñòüþ n. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òðåòüå ñëàãàåìîå â
ñèëó ñèììåòðèè âèõðÿ ïðè óñðåäíåíèè äàåò íóëü.
Òîãäà
�
�
� � )
j r
Es
t
c c
e
( ) 2
2
2
24 8
�
� �
) ) � � �
�
�
��
�
�
����l r c v r c c
c
n
d
d
e
c
A d
S
( )( ( ) )
*
�
* *
*
2
2
21 2
�
.
Çäåñü èíòåãðèðîâàíèå â ïðàâîé ÷àñòè âåäåòñÿ ïî
âñåìó ñå÷åíèþ âèõðÿ.
Íàïðàâèì îñü z âäîëü îñè âèõðåé, òîãäà âåêòîð ρ
â èíòåãðàëàõ áóäåò èìåòü êîìïîíåíòû õ è ó, à âåê-
òîð r ñîîòâåòñòâåííî õ0 è ó0. Òàê êàê îáëàñòü ñâåðõ-
ïðîâîäÿùèõ òîêîâ è ìàãíèòíûõ ïîëåé â âèõðå èìååò
ðàçìåð ïîðÿäêà
, ôóíêöèè nvx è nvó ìîæíî ðàçëî-
æèòü â ðÿä Òåéëîðà ïî õ è ó äî êâàäðàòè÷íûõ ñëà-
ãàåìûõ.
Ïîëó÷èâøèåñÿ èíòåãðàëû óäîáíî âû÷èñëÿòü â
öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ó÷èòûâàÿ ïðè èíòåã-
ðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì, ÷òî ïîëå âèõðÿ çàòóõàåò íà
áåñêîíå÷íîñòè áûñòðåå ýêñïîíåíòû [51], à ïîòîê,
îõâà÷åííûé âèõðåì, ðàâåí êâàíòó Ô0, |�(0)| = 0,
|�(+)| = 1 è èñïîëüçóÿ ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå (14),
ïîñëå âåêòîðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
�
�
�
�
�
�
� � ) �,
-.
/
01
2
2
2
2 0
2
4
1
P
t t
c
c
n n
n�
E
E Ô v v( ) .�� (17)
 óðàâíåíèè (17) ïîëíûé ìèêðîñêîïè÷åñêèé òîê
ñîñòîèò èç òîêîâ ñâåðõïðîâîäÿùåé è íîðìàëüíîé
êîìïîíåíò áåç ó÷åòà èíòåðôåðåíöèè [37]. Ïîñëåä-
íåå ñëàãàåìîå â ôîðìóëå (17), çàâèñÿùåå îò ñêîðî-
ñòè âèõðåé, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äîïîëíèòåëü-
íîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå äâèæóùèìèñÿ âèõðÿìè: Åv =
= Ô0)(nv +
2�(nv))/c. Âîçüìåì ðîòîð îò ïðàâîé è
ëåâîé ÷àñòåé ýòîé ôîðìóëû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîñòî-
ÿííûé âåêòîð Ô0 ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðàì v è
�n, ïîñëå íåñëîæíûõ âåêòîðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ïîëó÷èì
rot E
v
= Ô0{(v +
2�(nv)/n)�n + n�(v +
�
2�(nv)/n)}/c = Ô0 div (nv +
2�(nv))/c.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèå (15)
è âîçüìåì îò íåãî ëàïëàñèàí. Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ
íåïðåðûâíîñòè �n/�t = – div (nv), îãðàíè÷èâàÿñü
âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè, ïîëó÷èì
2�(�B/�t) –
– �B/�t = Ô0 div (nv). Ñîîòâåòñòâåííî, �(�B)/�t =
= Ô0�(�n)/�t = – Ô0� (div (nv)) = – Ô0 div (�(nv)).
Òàêèì îáðàçîì, rot Ev = –(1/ñ) �B/�t, ÷òî ñîâïà-
äàåò ñ óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà è ïîäòâåðæäàåò ïðè-
ìåíèìîñòü ôîðìóë (15) è (17).
Ïðè äâèæåíèè îäíîðîäíîé ðåøåòêè âèõðåé ñ ïî-
ñòîÿííîé âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòüþ â
ñâåðõïðîâîäíèêå áåç âíåøíèõ ïîëåé ôîðìóëà (17)
ïåðåõîäèò â èçâåñòíóþ ôîðìóëó Å = Â)v/ñ [12,55],
êîòîðóþ ìîæíî âûâåñòè èç ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåí-
öà [34,43,46]. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé
ñ îäíîðîäíûì âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå ïîòîêîì
âèõðåé, âñå âèõðè ïîêîÿòñÿ, è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
îòñóòñòâóåò. Åñëè æå êîíöåíòðàöèÿ âèõðåé è èõ ñêî-
ðîñòü ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè è êîîðäèíàò, â
ëþáîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ÷àñòü âèõðåé
áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ïåðåìåííûìè ñêîðîñòÿìè, ñëå-
äîâàòåëüíî, áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü äîïîëíèòåëüíîå
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáîáùåííîé ïîëÿðèçàöèè (1)
âõîäÿùóþ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) îáîáùåí-
íóþ ñèëó òðåíèÿ [47] ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç òîê
íîðìàëüíîé ïðîâîäèìîñòè. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
ìàãíèòíûé ìîìåíò Ì åäèíèöû äëèíû âèõðÿ ðàâåí
Ô0/(4
). Ïîñêîëüêó ñâåðõïðîâîäÿùàÿ êîìïîíåí-
òà, ñîçäàþùàÿ ýòîò ìîìåíò, íå îáìåíèâàåòñÿ ýíåðãè-
åé ñ íîðìàëüíîé êîìïîíåíòîé, ïîëå Ân, ñîçäàâàåìîå
òîêàìè íîðìàëüíîé ïðîâîäèìîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü
âíåøíèì äëÿ ýòîãî ìîìåíòà. Åñëè ñâåðõïðîâîäíèê
îäíîðîäåí âäîëü îñè z, òî ïîëå Ân = Bnl è ìàãíèò-
1360 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12
Â.Ê. Èãíàòüåâ
íûé ìîìåíò Ì íàïðàâëåíû âäîëü z. Âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ôîðìóëîé äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ìàãíèò-
íûé äèïîëü âî âíåøíåì ïîëå [34], ïîëó÷èì
f
f
= grad (MB
n
) = M grad B
n
= Ml ) rot B
n
=
= Ô0 ) j
n
/c . (18)
Îòìåòèì, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âèõðü ñî ñòî-
ðîíû òîêîâ íîðìàëüíîé ïðîâîäèìîñòè, íàïðàâëåíà
ïðîòèâîïîëîæíî ñèëå, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû
ñâåðõïðîâîäÿùèõ òîêîâ [51]. Ýòî åñòåñòâåííî, ïî-
ñêîëüêó ïîëå, ôîðìèðóåìîå ñâåðõïðîâîäÿùèìè òî-
êàìè, íå ÿâëÿåòñÿ âíåøíèì ïî îòíîøåíèþ ê âèõðþ.
Ëèíåéíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü
Ïóñòü â ñâåðõïðîâîäíèêå âíåøíèì èñòî÷íèêîì,
íàïðèìåð òðàíñïîðòíûì òîêîì, çàäàíû ñòàöèîíàð-
íûå ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåé n0(r) è ñîîòâåòñòâóþùå-
ãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B0(r). Ïðè àíàëèçå ëèíåéíîé
âîñïðèèì÷èâîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðåìåííûå
÷àñòè êîíöåíòðàöèè è ïîëÿ ìàëû â ñðàâíåíèè ñ èõ
ñòàöèîíàðíûìè çíà÷åíèÿìè, è â óðàâíåíèè (17) ïî-
ëîæèì n(r,t) = n0(r).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè
âèõðè çàêðåïëåíû íà öåíòðàõ ïèííèíãà, à ïîä âîç-
äåéñòâèåì âîëíû êîëåáëþòñÿ îêîëî ýòèõ öåíòðîâ,
íå ïåðåõîäÿ â ðåæèì òå÷åíèÿ ïîòîêà. Ïðè ýòîì
âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà âèõðè íå çàðîæäàþòñÿ è íå
èñ÷åçàþò. Âîñïîëüçóåìñÿ ìîäåëüþ êîëëåêòèâíîãî
ïèííèíãà óïðóãîãî âèõðÿ íà ðàñïðåäåëåííûõ äå-
ôåêòàõ [51]. Ïðîâîäÿ óñðåäíåíèå (3) ñíà÷àëà ïî
îñè z, âäîëü êîòîðîé íàïðàâëåí îðò l, à ïîòîì ïî ñå-
÷åíèþ S, ïåðïåíäèêóëÿðíîìó ýòîìó îðòó, íà ïåðâîì
ýòàïå ïîëó÷èì ëèíåéíûå âèõðè, îðèåíòèðîâàííûå
âäîëü îñè z, ñ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñèëîé
ïèííèíãà.
Ïîëîæèì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, ÷òî ñèëà
ïèííèíãà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó äëèíû âèõðÿ,
ðàâíà fp = –au, ãäå u — ñìåùåíèå âèõðÿ îò ïîëîæå-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ó÷èòûâàÿ èçâåñòíóþ ôîðìóëó [51]
äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó äëèíû âèõðÿ ñî
ñòîðîíû ñâåðõïðîâîäÿùèõ òîêîâ js, îáòåêàþùèõ
êîð âèõðÿ, è ôîðìóëó (18), çàïèøåì óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ âèõðÿ â âèäå
au = (j
s
– j
n
) ) Ô0/c . (19)
Óñðåäíèì ýòî óðàâíåíèå ïî ñå÷åíèþ ôèçè÷åñêè
ìàëîãî îáúåìà:
v
u E
Ô0�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� )t ac t tn
1
2
2
2
P
� .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå â ôîðìóëó (17), ïî-
ëó÷èì
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
�
2
2
0
2
0
2
2
0
0
4t
n
a n
nP P P
2
��
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
,
-
.
.
c
t
n
a n
nn
2
2
0
2
0
2
2
0
0
4 2
�
E E E E
2
��
/
0
1
1
.
Âûðàæàÿ ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëÿ è ïîëÿðèçàöèè
÷åðåç èõ ôóðüå-îáðàçû (1), ïîëó÷èì
[ ] [ ( )]
[
1 1 2
1 2 1
2 2
0
2
0 0� � � � � �
� �
3�
� 3
� �
3�
k n n i n
� � ��� k
� � �
� � �
k n
ic n
n i n
n
2 2
0
2
0
2
2
0 0
4
2 2
��
3
]
[ ] ,� k (20)
ãäå 3
� 20
2
0
24n / a( ). Äëÿ æåñòêî çàêðåïëåííûõ íà
öåíòðàõ ïèííèíãà âèõðåé ïðè à 4 + ïîëó÷àåì
� ���� � �
�
�
�
, , ( , )k r r� � �0
2
2 24
i cn .
Îáîáùåííàÿ ïðîâîäèìîñòü
� �� �� �
�
� � � �i
ic
n
2
24
ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè ñâåðõïðî-
âîäíèêà â ðàìêàõ äâóõæèäêîñòíîé ìîäåëè è îïèñû-
âàåò ïðîíèêíîâåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ãëó-
áèíó (��
� �5 � �/ s1 2 2 , ãäå �
�s nc /� �2 24( )
� 5 �e n / ms n
2 13 110( )� c — ÷àñòîòà, íà êîòîðîé òî-
êè ñâåðõïðîâîäÿùåé è íîðìàëüíîé êîìïîíåíò ñòà-
íîâÿòñÿ ðàâíûìè [51].
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20) äëÿ ñëó-
÷àÿ ìàëîé êîíöåíòðàöèè ñèëüíîñâÿçàííûõ âèõðåé
ïðè 3 << 1 ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëè-
æåíèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó 3: � ���� � �, , ( , )k r r� �0
� 3� ��
1( , , )k r , òîãäà
�� �
�
�
�
1
2
2 24
( , , )k r � � �
�
�
�
�
�
�
�
� )
i cn
) � � � �[ ( )]n k n i n n0
2 2
0 0 02
k � .
Äëÿ ìåòàëëè÷åñêîãî ñâåðõïðîâîäíèêà â ðàäèî-
÷àñòîòíîì äèàïàçîíå
2k2 << 1. Äëÿ ñâåðõïðîâîä-
íèêîâ ñî çíà÷èòåëüíîé ñèëîé ïèííèíãà õàðàêòåðíû
òðåóãîëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèè âèõðåé
[51]. Ëàïëàñèàí òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí íóëþ
âñþäó, êðîìå òî÷êè èçëîìà, è ïðè óñðåäíåíèè ìîæ-
íî ïîëîæèòü
2�n0 << n0. Ïîýòîìó âûðàæåíèå äëÿ
îáîáùåííîé ïðîíèöàåìîñòè æåñòêîãî ñâåðõïðîâîä-
íèêà èìååò âèä
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12 1361
�6��
�
�
�
, ,k r � � �
�
�
��
�
�
�� �1 1
2
2 2
c i
s
� �
�
�
��
�
�
�� � �
20
2
2
2
2 2 0
2
01 2
�
�
�
a
c i
n i n
s
( )k . (21)
Èç ôîðìóëû (21) âèäíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ
äèñïåðñèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â íåîäíîðîäíî íàìàãíè÷åí-
íûõ ñâåðõïðîâîäíèêàõ. Ïðè ýòîì è äåéñòâèòåëüíàÿ,
è ìíèìàÿ ÷àñòè îáîáùåííîé ïðîíèöàåìîñòè çàâèñÿò
îò óãëà ìåæäó âîëíîâûì âåêòîðîì k è ãðàäèåíòîì
êîíöåíòðàöèè âèõðåé. Îñîáåííî ñèëüíî âëèÿíèå
ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè íà âîëíó, ðàñïðîñòðà-
íÿþùóþñÿ âäîëü ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè âèõðåé.
 ñâåðõïðîâîäÿùåé ïëàñòèíå óâåëè÷åíèåì òðàíñ-
ïîðòíîãî òîêà è åãî ïîñëåäóþùèì óìåíüøåíèåì äî
íóëÿ ìîæíî ñîçäàòü ðàñïðåäåëåíèå âèõðåé, êîãäà ó
ïîâåðõíîñòè êîíöåíòðàöèÿ ðàâíà íóëþ, à ãðàäèåíò
åå ìàêñèìàëåí è îïðåäåëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîêîì
[51].  ýòîì ñëó÷àå â ïðèãðàíè÷íîé îáëàñòè äàæå
ïðè ñëàáîì ïèííèíãå, ò.å. áîëüøîé âåëè÷èíå 20
2 � a,
ïàðàìåòð 3 áóäåò ìàë è ïðèìåíèìî ïðåäñòàâëå-
íèå (21).
Ñòðîãî ðåøèòü çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû
â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà, ò.å. èçìåíåíèÿ ïàðàìåò-
ðîâ ñðåäû, äîñòàòî÷íî ñëîæíî.  òàêèõ íåîäíîðîä-
íûõ ñðåäàõ âîçìîæíû, íàïðèìåð, ïðîäîëüíûå âîë-
íû, äëÿ êîòîðûõ E = kE||. Äëÿ ïëîñêîé ïðîäîëüíîé
âîëíû âòîðîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà (2) ïðèíè-
ìàåò âèä div divD � � � � �(~ ) ~ ~6� 6 6r E E kE 0, ò.å.
k� � �~ ~6 6k2 . Ïðè � << �s èç óðàâíåíèÿ (21) ñëåäó-
åò, ÷òî äëÿ ïðîäîëüíûõ âîëí k � � �20
2
0
2n / a( )
,
÷òî äîñòèæèìî â ïðèãðàíè÷íîé îáëàñòè.
Äëÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî ñëó÷àÿ áîëüøîé êîíöåí-
òðàöèè ñëàáîñâÿçàííûõ âèõðåé óðàâíåíèå (20)
ìîæíî ðåøàòü ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëè-
æåíèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó 1/3:
~ , ,
( )
6��
�
�
�
�
k r � � �
�
�
�
1
8
16
1 4
2 2
0
2
0
2 2
2
i
a
n k
i c
n
n
2 2 2�
�
�
�
�
�
�
�
� . (22)
 ïðåäåëå ñâîáîäíûõ âèõðåé (à 4 0) ïîëó÷àåì
÷èñòî ìíèìóþ âîñïðèèì÷èâîñòü, ò.å. äâèæåíèå
ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçû â âèõðÿõ ïðîñòî óäâàèâàåò
ïîòåðè â íîðìàëüíîé ôàçå. Ýòî åñòåñòâåííî, ïî-
ñêîëüêó â èäåàëüíîì ñâåðõïðîâîäíèêå âòîðîãî ðîäà
ïîòåðè âîçíèêàþò íà ñêîëü óãîäíî íèçêèõ ÷àñòîòàõ
[47]. Ïðè � << �s îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü (22)
ïî÷òè äåéñòâèòåëüíàÿ è ïîëîæèòåëüíàÿ. Åñëè 3 =
= 0,1 è
= 10–5 ñì, òî íà ÷àñòîòå � = 106 ñ–1 6 � 1020,
êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ïîðÿäêà 1010, ÷òî ñîîò-
âåòñòâóåò âîëíîâîìó ÷èñëó k = 105 ñì–1
� 1/
.
Íåëèíåéíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü
Ãåíåðàöèþ âûñøèõ ãàðìîíèê è êîìáèíàöèîííûõ
÷àñòîò ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-
íû â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ îáû÷íî èññëåäóþò ìåòîäîì
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ðàçäåëÿÿ îáîá-
ùåííóþ ïîëÿðèçàöèþ íà ëèíåéíóþ è íåëèíåéíóþ
÷àñòè [34,46,56]:
� �P P P P P P( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ),r r r r rt t t t t� � �lin nonlin lin 1 n � � � �
� �
onlin ( , ) ( , ) ( , ) ,
( , ) ~
r r r
r
t t t
t dt dt
� � �
�
��
��
P P
P
2 3
2
1 2
00
�
� �� 2
1 2 1 2 1 1 2 2
3
1
3�� � � � �( , , , , ) ( , ) ( , )r r r E r r E r rt t t t t t d r d r2
1 2
8 1 2 1 2 1
2
�
�
��
�
��
�
�� ��
d d� �
� � � ����
( )
( , , , , ) ( ,
�
r k k kE � �1 2 2 1 2 1 2
3
1
3
2
2
) ( , ) exp ( ) ( ) ,
( ,( )
E k k k r
r k
� � �
�
i i t d k d k� � �
�
1 2 1 2 1 2
00
2
1 2 1 2, , , ) ~ ( , , , , ) exp (k r r r� � � ��
��
�� ��dt dt t t i 1 1 2 2 1 1 2 2
3
1
3
2t i t i i d r d r� � �� k r k r ) .
(23)
Çäåñü ïðîñòðàíñòâåííûå èíòåãðàëû â áåñêîíå÷íûõ
ïðåäåëàõ îáîçíà÷åíû îäíèì ñèìâîëîì, äëÿ ïîëÿðè-
çàöèè P (1) âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (1).
Íåëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ P (3) (êóáè÷åñêàÿ) â
ñâåðõïðîâîäíèêå ìîæåò ñîçäàâàòüñÿ íåëèíåéíîé çà-
âèñèìîñòüþ ñèëû ïèííèíãà îò ñìåùåíèÿ âèõðÿ,
êâàäðàòè÷íàÿ ïîëÿðèçàöèÿ P (2) — çàâèñèìîñòüþ
êîíöåíòðàöèè âèõðåé n â óðàâíåíèè (17) îò ïîëÿ, à
òàêæå íåëîêàëüíîñòüþ, êîòîðàÿ ïðîÿâëÿåòñÿ, êîãäà
àìïëèòóäà êîëåáàíèé âèõðåé ñðàâíèìà ñ äëèíîé
âîëíû. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷íûì
äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêà. Íè â êðèñòàëëàõ, íè â ïëàçìå
íåëîêàëüíîñòü íå ïîðîæäàåò íåëèíåéíîñòè, òàê êàê
ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò ïîëÿ.  ñâåðõïðîâîäíèêå
æå âêëàä ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ â íåëèíåéíóþ ïîëÿðè-
çàöèþ ïðèìåðíî ðàâåí.
1362 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12
Â.Ê. Èãíàòüåâ
Ñ ó÷åòîì íåëîêàëüíîñòè óðàâíåíèå (19) ïðèíè-
ìàåò âèä
cau(r) = (j
s
(r + u) – j
n
(r + u)) ) Ô0 =
= [j
s
(r) – j
n
(r) + (u�)(j
s
(r) – j
n
(r))] ) Ô0 .
 ðàìêàõ ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé, îãðàíè÷èâàÿñü ñëàáîé äèñïåðñèåé, êîãäà
k << 1, ïîëîæèì n = n0 + n(1), u = u(1) + u(2), ïðè-
÷åì |n(1)| �
k|n0|, |u(2)| �
k|u(1)|, ñîîòâåòñòâåííî,
|P(2)| �
k|P (1)|. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè
ïîëó÷àåì n(1) = – div (n0u
(1)), à óðàâíåíèÿ (17) è
(19) ðàñïàäàþòñÿ íà óðàâíåíèÿ íóëåâîãî è ïåðâîãî
(ïî
k) ïðèáëèæåíèé:
�
�
�
�
�
� � )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1
2
2
2 0 0
1
4
1P ( ) ( )
(
,
t t
c
c
n
tn�
E
E Ô
u
u 1
11
2)
( )
,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
)
ac t n
P
� E Ô0
(24)
� �u u E Ô
u
0
2 1
1
1
1
2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
) �
�
ac t n( )
(
( )
( )
(
P
�
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ,� � � � ) � )u u u u u1 1 1 1 11
2
(25)
�
�
� )
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
2 2
2 2 0 0
2
0
1
1
4
P ( ) ( ) ( )
( )
t
c
n
t
n
t
Ô
u u
u
�
�
�
�
�
�
�
�
u
u( )
( )
1
1
0t
n . (26)
Ýôôåêò íåëîêàëüíîñòè ñóùåñòâåí â ñëó÷àå áîëü-
øîé êîíöåíòðàöèè ñëàáîñâÿçàííûõ âèõðåé ïðè
4 2
0
2
0
a n77 2 . Òîãäà ñòàöèîíàðíóþ êîíöåíòðàöèþ
âèõðåé n0(r) ìîæíî ñ÷èòàòü ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ
ôóíêöèåé è ïðåíåáðå÷ü â (26) ïîñëåäíèì ñëàãàå-
ìûì, à èç óðàâíåíèé íóëåâûõ ïðèáëèæåíèé (24) ñ
ïîìîùüþ ñïåêòðàëüíîãî ìåòîäà ïîëó÷àåì
� �u r k Ô kr( ) ,
( )
[ ( , ) ] exp (1
4
2 2
0 0
2 0
1
2
4
t
ic
n c
in�
�
)
� �
�
�
2
E �
��
�
��
�
�� i t d d k� �) ,3
� �u r( ) ,
( )
( )( )2
8
2
1
2 2
2
2
0
2
0
22
4 4
2
t
i ic ic
n c
n n�
� �
� �
� �
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1
� �
� � � �exp ( ( ) ( ) )
(
i i t d dk k r
k k
� � � )
) �
��
�
��
�
��
2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2)( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , )(E E E E Ek k k k k k k� � � � �� �� �1 1 1
3
1
3
2E( , )) .k � d k d k
��
�
��
�
��
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (26), à â ëåâóþ ÷àñòü — âûðàæåíèå (23) äëÿ êâàä-
ðàòè÷íîé ïîëÿðèçàöèè, ïîëó÷àåì
� � �
�
( ) , , ,
( )(
� � �� � �
� �
�
1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
1
2 24 4�
k k E E n nic �
� �
� �
2
2
2
0 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
8
�
)
) � ) � �
ic
c B
)
( )( ) (( )l k k kE E E E� �� �) ( ) ( [ ]) ( [ ]) .� � ) � )E E E E E E2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1k k l k l� �
Çäåñü E(k1,�1) = E1, E(k2,�2) = E2. ßâíûé âèä îïåðàòîðà êâàäðàòè÷íîé âîñïðèèì÷èâîñòè óäîáíåå
ïðåäñòàâèòü â òåíçîðíîé ôîðìå. Åñëè âåêòîðû E, P (2) è k ëåæàò â ïëîñêîñòè xy, à îðò l íàïðàâëåí âäîëü
îñè z, òî
� � �
� �
� �
ijk
n nic ic( )( , , , )
( )( )2
1 2 1 2
2
1
2 2
2
24 4
8
k k �
� �
� � � �
� �
� �
c B
g
g k k
ijk
xxx y
2
0 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 1 2
( )
( , , , ),
�
� �
k k
2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1y xxy x x xyx x x xyg k k g k k g, ( ) , ( ) ,� � � � � �� � � � � � y
yxx yxy y y yyx yg g k k g k
�
� � � � � � � � �
0
0 2 1 1 2 2 1 2 1
,
, ( ) , (� � � � � � � �2 1 1 1 2 2) , .k g k ky yyy x x� � �
(27)
Çàêëþ÷åíèå
Àíàëèç ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ â ñâåðõïðî-
âîäíèêàõ âòîðîãî ðîäà ìåòîäîì îáîáùåííîé ïîëÿ-
ðèçàöèè ïîçâîëÿåò ïðè óñðåäíåíèè ìèêðîñêîïè÷å-
ñêèõ ïîëåé â ñèñòåìå âèõðåé, äâèæóùèõñÿ ñ
ïåðåìåííîé âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòüþ,
ó÷åñòü íåëîêàëüíîñòü âçàèìîäåéñòâèÿ âèõðåé è îáó-
ñëîâëåííóþ åþ ïðîñòðàíñòâåííóþ äèñïåðñèþ. Íå-
ñìîòðÿ íà ñîçäàâàåìóþ òðàíñïîðòíûì òîêîì àíèçî-
òðîïèþ, îáîáùåííûå ïðîíèöàåìîñòè (21) è (22)
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12 1363
ñêàëÿðíûå, ò.å. ïðîäîëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ ïðîíèöàå-
ìîñòè ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî, äèôôåðåíöèàëüíàÿ
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà ðàâíà
åäèíèöå [34]. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ðàññìîòðåííîé ìî-
äåëè êîëåáàíèÿ âèõðåé âîçëå öåíòðîâ ïèííèíãà.
Ïðè òàêîì äâèæåíèè íàìàãíè÷åííîñòü íå ìåíÿåòñÿ.
Èçìåíåíèå íàìàãíè÷åííîñòè è, ñîîòâåòñòâåííî,
òåíçîðíûé õàðàêòåð îáîáùåííîé ïðîíèöàåìîñòè
ïðîÿâÿòñÿ â ðåæèìå òå÷åíèÿ ïîòîêà. Àíàëèç ïðî-
ñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè ïðè òàêîì äâèæåíèè âèõ-
ðåé òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêèõ ìåòîäîâ [41].
Îäíàêî óæå ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ îáîáùåí-
íîé âîñïðèèì÷èâîñòè ïîêàçûâàþò âîçìîæíîñòü íå-
ñêîëüêèõ òèïîâ âîëí — ïðîäîëüíîé, çàìåäëåííîé,
ïóñòü è íå â òàêîé ñòåïåíè, êàê ñëåäóåò èç ôîðìó-
ëû (22).
Ïðèáëèæåííûé õàðàêòåð ôîðìóëû (22) ñâÿçàí ñ
òåì, ÷òî îñîáåííîñòè îáîáùåííîé âîñïðèèì÷èâîñòè
èìåþò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî
k. Ïðè ýòîì ñó-
ùåñòâåííû íå òîëüêî êâàäðàòè÷íàÿ P (2), íî è êóáè-
÷åñêàÿ P (3) ïîëÿðèçàöèè, à ïîñëåäíÿÿ, â ñâîþ î÷å-
ðåäü, âëèÿåò íà äèñïåðñèþ îñíîâíîé âîëíû [56].
Àíàëèç êóáè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè, â òîì ÷èñëå ñâÿ-
çàííîé ñ íåëèíåéíîñòüþ ïèííèíãà, âûïîëíÿåòñÿ
àíàëîãè÷íî âûâîäó ôîðìóëû (27), õîòÿ è áîëåå ãðî-
ìîçäîê.
Âîçìîæíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ äèñ-
ïåðñèîííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ëèíåéíûõ è íåëè-
íåéíûõ âîëí è àíèçîòðîïèåé ñðåäû ñ ïîìîùüþ
òðàíñïîðòíîãî òîêà è âíåøíåãî íàìàãíè÷èâàíèÿ, çà-
äàþùèõ íóæíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåé, ïîçâîëÿåò
èñïîëüçîâàòü èõ â ôóíêöèîíàëüíîé ýëåêòðîíèêå ïî-
äîáíî ñïèíîâûì âîëíàì [29,31,57]. Ñëîæíûé
õàðàêòåð ÷àñòîòíîé è ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè
(27) íåëèíåéíûõ âîëí óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòü
íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â ÷àñò-
íîñòè — ãåíåðàöèþ ýõî-îòêëèêîâ, êîòîðûå ìîãóò
èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ñîçäàíèÿ àíàëîãîâûõ ôóðüå-
ïðîöåññîðîâ [57]. Òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò ïðî-
ÿâèòüñÿ óæå â ðàäèî÷àñòîòíîì äèàïàçîíå â êåðàìè-
÷åñêèõ ñâåðõïðîâîäíèêàõ, ãäå íåëîêàëüíîñòü ñâÿçà-
íà ñ äæîçåôñîíîâñêîé ãëóáèíîé ïðîíèêíîâåíèÿ.
1. Â.Ë. Ãèíçáóðã, Ë.Ä. Ëàíäàó, ÆÝÒÔ 20, 1064 (1950).
2. E.H. Brandt, Z. Phys.: Condens. Matter 80, 167
(1990).
3. V.N. Kushnir, C. Coccores, S.L. Prischepa, and N. Sal-
vato, Physica C275, 211 (1997).
4. À.À. Àáðèêîñîâ, ÆÝÒÔ 32, 1442 (1957).
5. E.H. Brandt, Rep. Progr. Phys. 58, 1465 (1995).
6. E.H. Brandt, Physica B165–166, 1129 (1990).
7. Ä.Ã. Êîáçåâ, À.Ë. Ðàõìàíîâ, ÑÔÕÒ 4, 2079 (1991).
8. Ñ.Á. Ðóòêåâè÷, ÔÍÒ 16, 288 (1990).
9. À.Ì. Ëàðêèí, Þ.Ì. Îâ÷èííèêîâ, ÆÝÒÔ 73, 299
(1977).
10. B.D. Josephson, Phys. Rev. A152, 211 (1966).
11. J.D. Livingston, Rev. Mod. Phys. 36, 54 (1964).
12. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Í.Á. Êîïíèí, ÓÔÍ 116, 413 (1975).
13. Â.Í. Êðèâîðó÷êî, Þ.À. Äèìàøêî, ÑÔÕÒ 5, 967
(1992).
14. À. Êåìïáåëë, Äæ. Èâåòñ, Êðèòè÷åñêèå òîêè â ñâåðõ-
ïðîâîäíèêàõ, Ìèð, Ìîñêâà (1975).
15. L.M. Fisher, N.V. Il’in, I.F.Voloshin, N.M. Makarov,
V.A. Yampol’skii, F.P. Rodriguez, and R.L. Snyder,
Physica C206, 195 (1993).
16. À.Ì. Ëàðêèí, Þ.Ì. Îâ÷èííèêîâ, ÆÝÒÔ 65, 1704
(1973).
17. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Í.Á. Êîïíèí, ÆÝÒÔ 60, 2331 (1971).
18. È.Ô. Âîëîøèí, Â.Ñ. Ãîðáà÷åâ, Ñ.Å. Ñàâåëüåâ, Ë.Ì.
Ôèøåð, Â.À. ßìïîëüñêèé, Ïèñüìà ÆÝÒÔ 59, 55
(1994).
19. J.R. Clem, J. Appl. Phys. 50, 3518 (1979).
20. A.C. Mota, G. Juri, P. Visani, and A. Pollini, Physica
C162–164, 1152 (1989).
21. E.B. Sonin and A.K. Tagantsev, Phys. Lett. A140,
127 (1989).
22. J. Carini, L. Drabeck, and G. Gruner, Modern Phys.
Lett. B3, 5 (1989).
23. Â.Ì. Äçóãóòîâ, Ë.Ì. Ôèøåð, ÔÒÒ 30, 2148 (1988).
24. Â.Ì. Àãðàíîâè÷, Â.Ë. Ãèíçáóðã, Êðèñòàëëîîïòèêà
ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè è òåîðèÿ ýê-
ñèòîíîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1965).
25. K.-H. Muller, Physica C159, 717 (1989).
26. K.-H. Muller, Physica C168, 585 (1990).
27. Z.Y. Zeng, Y. Yu, A.M. Cun, X.N. Xu, S.Y. Ding,
and X.X. Yao, Physica C272, 101 (1996).
28. À.È. Äüÿ÷åíêî, Â.Â. ×àáàíåíêî, ÔÍÒ 18, 826
(1992).
29. A.L. Fetter, Phys. Rev. 147, 153 (1966).
30. À.È. Àõèåçåð, Â.Ã. Áàðüÿõòàð, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé,
Ñïèíîâûå âîëíû, Íàóêà, Ìîñêâà (1967).
31. Í.Í. Àõìåäèåâ, Â.Â. ßöûøåí, ÔÒÒ 18, 1679 (1976).
32. À.Á. Àëüòìàí, Á.Ì. Ëåáåäü, À.Â. Íèêèôîðîâ, È.À.
ßêîâëåâ, Ñ.Â. ßêîâëåâ, ÑÔÕÒ 3, 73 (1990).
33. K.K. Likharev, Supercond. Sci. Technol. 3, 325
(1990).
34. Ì.Ì. Áðåäîâ, Â.Â. Ðóìÿíöåâ, È.Í. Òîïòûãèí,
Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, Ëàíü, Ñàíêò-Ïåòåð-
áóðã (2003).
35. F. London, Superfluids, vol. 1, New York (1950).
36. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Ã.Ì. Ýëèàøáåðã, ÆÝÒÔ 54, 612
(1968).
37. À.Ì. Ãóëÿí, Ã.Ô. Æàðêîâ, Ã.Ì. Ñåðãîÿí, Òðóäû
ÔÈÀÍ 204, 3 (1990).
38. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Í.Á. Êîïíèí, ÆÝÒÔ 64, 356 (1973).
39. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Í.Á. Êîïíèí, ÆÝÒÔ 65, 396 (1973).
40. À.Ô. Àëåêñàíäðîâ, À.À. Ðóõàäçå, Ëåêöèè ïî ýëåê-
òðîäèíàìèêå ïëàçìîïîäîáíûõ ñðåä, ÌÃÓ, Ìîñêâà
(2002).
41. Þ.Ë. Êëèìîíòîâè÷, Êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1980).
1364 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12
Â.Ê. Èãíàòüåâ
42. A. Schmid, Phys. Condens. Mater. 5, 302 (1966).
43. Â.Â. Áàòûãèí, È.Í. Òîïòûãèí, Ñîâðåìåííàÿ ýëåê-
òðîäèíàìèêà, ÈÊÈ, Ìîñêâà (2003).
44. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Òåîðèÿ ïîëÿ, Ôèçìàò-
ëèò, Ìîñêâà (2001).
45. À.È. Ëàðêèí, Þ.Í. Îâ÷èííèêîâ, ÆÝÒÔ 61, 1221
(1971).
46. Â.Ì. Ãàëèöêèé, Â.Ì. Åðìà÷åíêî, Ìàêðîñêîïè-
÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, Âûñøàÿ øêîëà, Ìîñêâà
(1988).
47. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ìåõàíèêà, Ôèçìàò-
ëèò, Ìîñêâà (2001).
48. Â.Ô. Åëåñèí, Â.À. Êàøóðíèêîâ, À.Â. Õàðëàìîâ,
ÔÍÒ 12, 694 (1986).
49. T.J. Rieger, D.J. Scalapino, and J.E. Mercereau,
Phys. Rev. B6, 1734 (1972).
50. E. Abrahams and T. Tsuneto, Phys. Rev. 152, 416
(1966).
51. Â.Â. Øìèäò, Ââåäåíèå â ôèçèêó ñâåðõïðîâîäíèêîâ,
ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà (2000).
52. C.P. Bean and J.D. Livingston, Phys. Rev. Lett. 12,
14 (1964).
53. Ã.Ñ. Ìêðò÷ÿí, Ô.Ð. Øàêèðçàíîâà, Å.À. Øàïîâàë,
Â.Â. Øìèäò, ÆÝÒÔ 63, 667 (1972).
54. Ã.Ñ. Ìêðò÷ÿí, Â.Â. Øìèäò, ÆÝÒÔ 68, 186 (1975).
55. Y.B. Kim, C.F. Hempstead, and A.R. Strand, Phys.
Rev. 139, A1163 (1965).
56. Í.Ì. Ðûñêèí, Ä.È. Òðóáåöêîâ, Íåëèíåéíûå âîëíû,
Íàóêà, Ìîñêâà (2000).
57. Ñ.À. Áàðóçäèí, Þ.Â. Åãîðîâ, Â.À. Êàëèíèêîñ è äð.,
Ôóíêöèîíàëüíûå óñòðîéñòâà îáðàáîòêè ñèãíàëîâ,
Ðàäèî è ñâÿçü, Ìîñêâà (1997).
The second type superconductor generalized
permeability
V.K. Ignatjev
A generalized induction of a mixed-state su-
perconductor is constructed by averaging micro-
scopic fields over a system of Abrikosov vortices
moving at a time- and space-depended velocity,
vortex and transport current of a superconduct-
ing component and conduction current of a nor-
mal component being taking into account. Ex-
pressions for linear and nonlinear generalized
permeability are derived. It is shown that there
may occur bulk waves (the longitudinal ones
included) in the superconductor, and the spatial
dispersion exists even in a ratio-frequency region
and has a considerable effect on the generation
of higher harmonics.
Îáîáùåííàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãî ðîäà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 12 1365
|