К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах
Сформулирован алгоритм вычисления эффективного тензора проводимости поликристаллов в магнитном поле по значениям гальваномагнитных характеристик кристаллитов. Алгоритм основан на разложении по степеням отклонений тензоров от их средних значений. Эффективный тензор проводимости вычислен в двух пре...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121759 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах / И.М. Каганова, М.И. Каганов // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 3-4. — С. 382-404. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-121759 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1217592017-06-17T03:03:03Z К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах Каганова, И.М. Каганов, М.И. Электpонные свойства металлов и сплавов Сформулирован алгоритм вычисления эффективного тензора проводимости поликристаллов в магнитном поле по значениям гальваномагнитных характеристик кристаллитов. Алгоритм основан на разложении по степеням отклонений тензоров от их средних значений. Эффективный тензор проводимости вычислен в двух предельных случаях: в слабом магнитном поле для металлов с любым электронным энергетическим спектром и в сильном поле для металлов с замкнутыми поверхностями Ферми (в этом случае исходные формулы — результат теории гальваномагнитных явлений, использующей решение классического уравнения Больцмана для функции распределения электронов с произвольным законом дисперсии). Для поликристаллов кубических металлов в слабом магнитном поле и металлов с замкнутыми поверхностями Ферми в сильных полях полученные формулы имеют ту же точность, что и исходные выражения. Сформульовано алгоритм обчислення ефективного тензора провідності полікристалів у магнітному полі по значенням гальваномагнітних характеристик кристалітів. Алгоритм засновано на розкладанні по ступеням відхилення тензорів від їх середніх значень. Ефективний тензор провідності обчислено у двох граничних випадках: у слабкому магнітному полі для металів з будь яким електронним енергетичним спектром та у сильному магнітному полі для металів з замкнутими поверхнями Фермі (у цьому випадку вихідні формули — результат теорії гальваномагн ітних явищ, яка використовує рішення класичного рівняння Больцмана для функції розподілу електронів з довільним законом дисперсії). Для полікристалів кубічних металів у слабкому магнітному полі і металів з замкнутими поверхнями Фермі у сильних полях одержані формули мають таку ж саме точність, що і вихідні вирази. We formulate an algorithm of calculation of the effective conductivity tensor of polycrystalline metals in a uniform magnetic field using the galvanomagnetic characteristics of single crystal grains. The algorithm is based on the expansion in powers of deviations of the tensors from their averaged values. The effective conductivity tensor is calculated in two limiting cases: in weak magnetic fields for polycrystals of metals with an arbitrary electron energy spectrum and in strong magnetic fields for metals with closed Fermi surfaces. In the last case the starting formulae are the result of the theory of galvanomagnetic phenomena, which uses the classic Boltzmann equation for the distribution function of electrons with an arbitrary dispersion law. For polycrystals of cubic metals in weak magnetic fields and polycrystals of metals with closed Fermi surfaces in strong magnetic fields the obtained formulae are of the same accuracy as that of the initial expressions. 2005 Article К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах / И.М. Каганова, М.И. Каганов // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 3-4. — С. 382-404. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.15.Gd http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121759 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Электpонные свойства металлов и сплавов Электpонные свойства металлов и сплавов |
| spellingShingle |
Электpонные свойства металлов и сплавов Электpонные свойства металлов и сплавов Каганова, И.М. Каганов, М.И. К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах Физика низких температур |
| description |
Сформулирован алгоритм вычисления эффективного тензора проводимости поликристаллов
в магнитном поле по значениям гальваномагнитных характеристик кристаллитов. Алгоритм основан
на разложении по степеням отклонений тензоров от их средних значений. Эффективный
тензор проводимости вычислен в двух предельных случаях: в слабом магнитном поле для металлов
с любым электронным энергетическим спектром и в сильном поле для металлов с замкнутыми
поверхностями Ферми (в этом случае исходные формулы — результат теории гальваномагнитных
явлений, использующей решение классического уравнения Больцмана для функции
распределения электронов с произвольным законом дисперсии). Для поликристаллов кубических
металлов в слабом магнитном поле и металлов с замкнутыми поверхностями Ферми в сильных
полях полученные формулы имеют ту же точность, что и исходные выражения. |
| format |
Article |
| author |
Каганова, И.М. Каганов, М.И. |
| author_facet |
Каганова, И.М. Каганов, М.И. |
| author_sort |
Каганова, И.М. |
| title |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| title_short |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| title_full |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| title_fullStr |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| title_full_unstemmed |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| title_sort |
к теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121759 |
| citation_txt |
К теории гальваномагнитных явлений в поликристаллических металлах / И.М. Каганова, М.И. Каганов // Физика низких температур. — 2005. — Т. 31, № 3-4. — С. 382-404. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kaganovaim kteoriigalʹvanomagnitnyhâvlenijvpolikristalličeskihmetallah AT kaganovmi kteoriigalʹvanomagnitnyhâvlenijvpolikristalličeskihmetallah |
| first_indexed |
2025-07-08T20:28:44Z |
| last_indexed |
2025-07-08T20:28:44Z |
| _version_ |
1837111996725592064 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4, ñ. 382–404
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â
ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
È.Ì. Êàãàíîâà
Èíñòèòóò ôèçèêè âûñîêèõ äàâëåíèé èì. Ë.Ô. Âåðåùàãèíà ÐÀÍ
ã. Òðîèöê, Ìîñêîâñê. îáëàñòü, 142190, Ðîññèÿ
E-mail: kaganova@hppi.troitsk.ru
Ì.È. Êàãàíîâ
7 Agassiz Ave, 1 Belmont, MA 02478 USA
E-mail: MKaganov@compuserve.com
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 8 íîÿáðÿ 2004 ã.
Ñôîðìóëèðîâàí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ýôôåêòèâíîãî òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè ïîëèêðèñòàëëîâ
â ìàãíèòíîì ïîëå ïî çíà÷åíèÿì ãàëüâàíîìàãíèòíûõ õàðàêòåðèñòèê êðèñòàëëèòîâ. Àëãîðèòì îñ-
íîâàí íà ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì îòêëîíåíèé òåíçîðîâ îò èõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé. Ýôôåêòèâíûé
òåíçîð ïðîâîäèìîñòè âû÷èñëåí â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ: â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå äëÿ ìåòàë-
ëîâ ñ ëþáûì ýëåêòðîííûì ýíåðãåòè÷åñêèì ñïåêòðîì è â ñèëüíîì ïîëå äëÿ ìåòàëëîâ ñ çàìêíóòû-
ìè ïîâåðõíîñòÿìè Ôåðìè (â ýòîì ñëó÷àå èñõîäíûå ôîðìóëû — ðåçóëüòàò òåîðèè ãàëüâàíîìàã-
íèòíûõ ÿâëåíèé, èñïîëüçóþùåé ðåøåíèå êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà äëÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ïðîèçâîëüíûì çàêîíîì äèñïåðñèè). Äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ êóáè÷å-
ñêèõ ìåòàëëîâ â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå è ìåòàëëîâ ñ çàìêíóòûìè ïîâåðõíîñòÿìè Ôåðìè â ñèëü-
íûõ ïîëÿõ ïîëó÷åííûå ôîðìóëû èìåþò òó æå òî÷íîñòü, ÷òî è èñõîäíûå âûðàæåíèÿ.
Ñôîðìóëüîâàíî àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ åôåêòèâíîãî òåíçîðà ïðîâ³äíîñò³ ïîë³êðèñòàë³â ó
ìàãí³òíîìó ïîë³ ïî çíà÷åííÿì ãàëüâàíîìàãí³òíèõ õàðàêòåðèñòèê êðèñòàë³ò³â. Àëãîðèòì çàñíî-
âàíî íà ðîçêëàäàíí³ ïî ñòóïåíÿì â³äõèëåííÿ òåíçîð³â â³ä ¿õ ñåðåäí³õ çíà÷åíü. Åôåêòèâíèé òåí-
çîð ïðîâ³äíîñò³ îá÷èñëåíî ó äâîõ ãðàíè÷íèõ âèïàäêàõ: ó ñëàáêîìó ìàãí³òíîìó ïîë³ äëÿ ìåòàë³â
ç áóäü ÿêèì åëåêòðîííèì åíåðãåòè÷íèì ñïåêòðîì òà ó ñèëüíîìó ìàãí³òíîìó ïîë³ äëÿ ìåòàë³â ç
çàìêíóòèìè ïîâåðõíÿìè Ôåðì³ (ó öüîìó âèïàäêó âèõ³äí³ ôîðìóëè — ðåçóëüòàò òåî𳿠ãàëüâà-
íîìàãí³òíèõ ÿâèù, ÿêà âèêîðèñòîâóº ð³øåííÿ êëàñè÷íîãî ð³âíÿííÿ Áîëüöìàíà äëÿ ôóíêö³¿
ðîçïîä³ëó åëåêòðîí³â ç äîâ³ëüíèì çàêîíîì äèñïåðñ³¿). Äëÿ ïîë³êðèñòàë³â êóá³÷íèõ ìåòàë³â ó
ñëàáêîìó ìàãí³òíîìó ïîë³ ³ ìåòàë³â ç çàìêíóòèìè ïîâåðõíÿìè Ôåðì³ ó ñèëüíèõ ïîëÿõ îäåðæàí³
ôîðìóëè ìàþòü òàêó æ ñàìå òî÷í³ñòü, ùî ³ âèõ³äí³ âèðàçè.
PACS: 72.15.Gd
1. Ââåäåíèå
Òåîðèÿ ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé (ÃÌß), ïî-
ñòðîåííàÿ â 50-å ãîäû È.Ì. Ëèôøèöåì è åãî ó÷åíè-
êàìè [1–3] , ñòàâèëà çàäà÷ó âûÿñíèòü, â êàêîé ìåðå
ýëåêòðîííûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ìåòàëëà îïðå-
äåëÿåò àñèìïòîòèêó ïîïåðå÷íûõ (îòíîñèòåëüíî ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ) êîìïîíåíò òåíçîðà ñîïðîòèâëåíèé â
ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Â ýòèõ ðàáîòàõ áûëî óñ-
òàíîâëåíî, ÷òî àñèìïòîòèêà çàâèñèìîñòè ñîïðîòèâ-
ëåíèÿ îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ òî-
ïîëîãèåé ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè (ÏÔ) ìåòàëëîâ.
Ïåðâîíà÷àëüíûì ñòèìóëîì ê ïîñòðîåíèþ òåîðèè
ÃÌß â áîëüøîé ìåðå áûëè ðàáîòû Å.Ñ. Áîðîâèêà
[4,5]. Ìû áóäåì ðàäû, åñëè ýòà ñòàòüÿ âîéäåò â âû-
ïóñê æóðíàëà, ñïåöèàëüíî ïðèóðî÷åííûé ê 90-ëå-
òèþ Åâãåíèÿ Ñòàíèñëàâîâè÷à.
Íàèáîëåå âàæíûé ðåçóëüòàò ðàáîò 50-õ ãîäîâ ïî
òåîðèè ÃÌß — ïîíèìàíèå ðîëè îòêðûòûõ ÏÔ, ïî-
çâîëèâøåå íà îñíîâå èçìåðåíèé ÃÌß õàðàêòåðèñòèê
âûÿñíèòü êîíòóðû òîïîëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû ÏÔ
ìíîãèõ ìåòàëëîâ. Èòîãîì ýòîãî ïîäõîäà ìîæåò
© È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ, 2005
ñëóæèòü îáçîð Þ.Ï. Ãàéäóêîâà [6], â âèäå ïðèëî-
æåíèÿ III ïîìåùåííûé â ìîíîãðàôèþ [7].
 50-å ãîäû è íåñêîëüêî ïîçæå ñôîðìèðîâàëîñü
íàïðàâëåíèå ýëåêòðîííîé òåîðèè ìåòàëëîâ (íå òîëü-
êî òåîðèè ÃÌß), ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå ôåðìèîëî-
ãèè. Ãëàâíîå â ôåðìèîëîãèè — èíòåðåñ ê ñïåêòðî-
ñêîïè÷åñêèì âîçìîæíîñòÿì ðàçëè÷íûõ ÿâëåíèé â
ìåòàëëàõ. È òåîðåòèêè, è ýêñïåðèìåíòàòîðû îòäàâà-
ëè ïðåäïî÷òåíèå òåì ÿâëåíèÿì, êîòîðûå ïîçâîëÿþò
ïî ïîëó÷åííûì íà îïûòå äàííûì ïîëíîñòüþ èëè
÷àñòè÷íî ïîñòðîèòü ÏÔ è îïðåäåëèòü ñêîðîñòè ôåð-
ìè-ýëåêòðîíîâ.
Íàèáîëåå ïðîäóêòèâíûìè â ýòîì ñìûñëå îêàçàëèñü
êâàíòîâûå ýôôåêòû òèïà äå Ãààçà–âàí Àëüôåíà è
Øóáíèêîâà–äå Ãààçà. Ïîäðîáíîñòè îá èññëåäîâàíèÿõ
îñöèëëÿöèîííûõ ýôôåêòîâ è î ïîëó÷åííûõ ñ èõ ïî-
ìîùüþ ñâåäåíèÿõ îá ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå ìåòàëëîâ
ìîæíî íàéòè â ìîíîãðàôèè Ä. Øåíáåðãà [8].
 ðàáîòàõ ôåðìèîëîãè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ ïðè-
îðèòåò âñåãäà îòäàâàëñÿ íàèáîëåå ñîâåðøåííûì ìî-
íîêðèñòàëëàì. Äåôåêòû, âêëþ÷àÿ ìåæêðèñòàëëè-
÷åñêèå ïðîñëîéêè, âîñïðèíèìàëèñü ìåøàþùèìè
îáñòîÿòåëüñòâàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óæå ê 50-ì ãî-
äàì áûë íàêîïëåí îãðîìíûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé
ìàòåðèàë ïî ÃÌß, ïðè÷åì ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñò-
âî ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åíî íà ïîëèêðèñòàëëàõ.
 ÷àñòíîñòè, èçâåñòíûé çàêîí Êàïèöû — ëèíåé-
íûé ðîñò ñîïðîòèâëåíèÿ ñ ìàãíèòíûì ïîëåì â äîñòà-
òî÷íî ñèëüíûõ ïîëÿõ — áûë îáíàðóæåí Ï.Ë. Êàïè-
öåé ïðè èññëåäîâàíèè âëèÿíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà
ñîïðîòèâëåíèå ïîëèêðèñòàëëîâ [9]. Èìåííî ïîýòî-
ìó Êàïèöà íå îáíàðóæèë êâàíòîâûõ îñöèëëÿöèé ñî-
ïðîòèâëåíèÿ, õîòÿ ïðîèçâîäèë èçìåðåíèÿ è íà âèñ-
ìóòå, íà êîòîðîì îñöèëëÿöèè áûëè îáíàðóæåíû
Øóáíèêîâûì è äå Ãààçîì [10].
Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëîâ
îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîãëàñíî Áîðîâèêó [5] — àï-
ðîêñèìàöèÿ ïëàâíîé ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïåðå-
õîäíûé ó÷àñòîê ìåæäó êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ
â ìàëûõ ïîëÿõ è ëèáî íàñûùåíèåì, ëèáî äðóãîé
êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ â áîëüøèõ ïîëÿõ. Âû-
âîäû Áîðîâèêà (â ÷àñòíîñòè, ðàçäåëåíèå ìåòàëëîâ
íà ðàçëè÷íûå ãðóïïû ïî ïîâåäåíèþ â ñèëüíîì ìàã-
íèòíîì ïîëå), êîíå÷íî, íå ó÷èòûâàëè òîãî ôàêòà,
÷òî ìåòàëëû ðàçíûõ ãðóïï ìîãóò èìåòü ÏÔ ðàçíîé
òîïîëîãèè: î ðîëè òîïîëîãèè ÏÔ â ÃÌß åùå íå
áûëî èçâåñòíî.
Äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ ñ îòêðûòûìè ÏÔ
(òèïà ìåäè è çîëîòà) çàêîí Êàïèöû áûë îáúÿñíåí â
ïåðâûõ ðàáîòàõ ïî òåîðèè ÃÌß È.Ì. Ëèôøèöåì è
Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèì [2]. Îíè ïîêàçàëè, ÷òî ëèíåéíàÿ
çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñèëüíîãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ïîëèêðèñòàëëè÷íî-
ñòüþ è âîçíèêàåò èç-çà óñðåäíåíèÿ òåíçîðà ñîïðî-
òèâëåíèÿ, îáëàäàþùåãî ãèãàíòñêîé àíèçîòðîïèåé,
õàðàêòåðíîé äëÿ ìîíîêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ ñ îòêðû-
òûìè ÏÔ â ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñëåäóåò îòìå-
òèòü, ÷òî â [2] ñðåäíåå ñîïðîòèâëåíèå ðàññ÷èòûâà-
ëîñü äëÿ òîíêîãî îáðàçöà (ïðîâîëîêè), â ñå÷åíèè
êîòîðîé ïîìåùàåòñÿ îäèí êðèñòàëëèò.
 áîëåå ïîçäíåé ðàáîòå Þ.À. Äðåéçèíà è À.Ì.
Äûõíå âû÷èñëåíî ýôôåêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàñ-
ñèâíûõ ïîëèêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ ñ îòêðûòûìè ÏÔ
â ïðåäåëüíî áîëüøèõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ [11]. Èñ-
ïîëüçóÿ äèôôóçèîííóþ àíàëîãèþ, îíè ïîêàçàëè,
÷òî ýôôåêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîëèêðèñòàëëà çà-
âèñèò îò òèïà îòêðûòîñòè ÏÔ è îò òîãî, èìååì ìû
äåëî ñ ìåòàëëàìè ñ íåðàâíûìè ÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ
ne è äûðîê nh èëè ñ êîìïåíñèðîâàííûìè ìåòàëëàìè
(n ne h� ). Ðàññìîòðåíû ÏÔ â âèäå «ïðîñòðàíñòâåí-
íîé ñåòêè» è «ãîôðèðîâàííîãî öèëèíäðà». Íàïðè-
ìåð, â ñëó÷àå ÏÔ òèïà ãîôðèðîâàííîãî öèëèíäðà,
êîãäà ïåðåøååê öèëèíäðà íå ñëèøêîì ìàë ïî îòíî-
øåíèþ ê ðàçìåðó ÿ÷åéêè îáðàòíîé ðåøåòêè, ýôôåê-
òèâíîå ïîïåðå÷íîå ñîïðîòèâëåíèå ��
eff ïðîïîðöèî-
íàëüíî H2 3/ , êîãäà n ne h� , è �� �eff H /4 3 ïðè
n ne h� . Íàïîìíèì, ó êîìïåíñèðîâàííûõ ìåòàëëîâ,
ÏÔ êîòîðûõ çàìêíóòû, â áîëüøèõ ïîëÿõ ñîïðîòèâ-
ëåíèå âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî H2.
Î ïåðâûõ ðàáîòàõ ïî òåîðèè ÃÌß è î ñîâðåìåí-
íîì ñîñòîÿíèè òåîðèè äîâîëüíî ïîäðîáíî ðàññêàçà-
íî â îáçîðå [12]. Èíòåðåñ ê ÃÌß â ïîëèêðèñòàëëàõ
èìååò äàâíþþ èñòîðèþ. Ñïåöèàëüíûõ òåîðåòè÷å-
ñêèõ ðàáîò, ñâÿçûâàþùèõ ãàëüâàíîìàãíèòíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè ïîëèêðèñòàëëîâ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè
êðèñòàëëèòîâ, ìàëî. Êðîìå îòìå÷åííûõ âûøå ðàáîò
[2,11], íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, åñòü òîëüêî íàøà
ðàáîòà [13], â êîòîðîé âûâåäåíû ôîðìóëû, ïðèãîä-
íûå äëÿ ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëîâ ñ çàêðûòû-
ìè ÏÔ â áîëüøîì ìàãíèòíîì ïîëå, ïðè÷åì ðàñ-
ñìîòðåí ñëó÷àé íåñêîìïåíñèðîâàííîãî ìåòàëëà.
Äëÿ ìåòàëëîâ ñ ðàâíûìè ÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ è äû-
ðîê ôîðìóëû âûâåäåíû â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Ìû íå
âñòðå÷àëè â ëèòåðàòóðå âûâîä ôîðìóë äëÿ îïèñàíèÿ
ÃÌß â ïîëèêðèñòàëëàõ â ìàëûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ,
èñïîëüçóþùèé âûðàæåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìî-
íîêðèñòàëëîâ–êðèñòàëëèòîâ. Ýòîìó âîïðîñó ïî-
ñâÿùåí ðàçäåë 3.
Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå è ýôôåêò Õîëëà âõîäÿò â
÷èñëî îäíèõ èç íàèáîëåå ñóùåñòâåííûõ ñâîéñòâ
ìåòàëëîâ. Íåîáõîäèìîñòü ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ
ÃÌß â ïîëèêðèñòàëëàõ, î÷åâèäíà. Íàì êàæåòñÿ,
÷òî íàøè ðàáîòû â êàêîé-òî ìåðå ïîìîãàþò çàïîë-
íèòü ñóùåñòâóþùèé â òåîðèè ïðîáåë.
 òåîðèè ïîëèêðèñòàëëîâ íåðåäêî îãðàíè÷èâàþò-
ñÿ îïèñàíèåì, íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè. Â òàêèõ
ñëó÷àÿõ ïîëèêðèñòàëë, íå îáëàäàþùèé òåêñòóðîé,
ñ÷èòàþò èçîòðîïíûì òåëîì. Åñòåñòâåííî, òàêîé ïîä-
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 383
õîä óïðîùàåò îïèñàíèå: óìåíüøàåòñÿ ÷èñëî ìîäóëåé,
òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà ïðåâðåùàþòñÿ â ñêàëÿðû è ò.ï.
Îïèñûâàÿ òàê ýëåêòðîííûå ñâîéñòâà ïîëèêðèñòàëëè-
÷åñêèõ ìåòàëëîâ, ÷àñòî çàìåíÿþò èñòèííóþ ÏÔ ñôå-
ðîé. Òåì ñàìûì ôàêòè÷åñêè âîçâðàùàþòñÿ ê ìîäåëè
Äðóäå–Ëîðåíöà–Çîììåðôåëüäà. Èíîãäà ýòî ñåáÿ îï-
ðàâäûâàåò, òàê êàê óäàåòñÿ ðàçóìíî ââåñòè ïàðàìåò-
ðû (ïëîòíîñòü ne , ýôôåêòèâíóþ ìàññó me è äëèíó
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà le), õàðàêòåðèçóþùèå ýëåêòðîíû
ïðîâîäèìîñòè, à ñ èõ ïîìîùüþ îïèñàòü òåïëîâûå,
ãàëüâàíè÷åñêèå è òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîëè-
êðèñòàëëè÷åñêîãî ìåòàëëà.
Ïîëèêðèñòàëëû ìîæíî òðàêòîâàòü êàê øèðîêî
ðàñïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé íåîäíîðîäíûõ ðàçóïîðÿ-
äî÷åííûõ òâåðäûõ òåë. Ïðè÷èíà íåîäíîðîäíîñòè è
íåóïîðÿäî÷åííîñòè ñâÿçàíà ñ ñëó÷àéíîé îðèåíòà-
öèåé îòäåëüíûõ ìîíîêðèñòàëëè÷åñêèõ çåðåí.  òåõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà ìåæêðèñòàëëèòíûå ïðîñëîéêè èãðà-
þò ìàëóþ ðîëü*, ïîëèêðèñòàëë ìîæíî ñ÷èòàòü êîíã-
ëîìåðàòîì ìîíîêðèñòàëëè÷åñêèõ çåðåí, îñè êîòî-
ðûõ ïî-ðàçíîìó îðèåíòèðîâàíû, à ïîä ñòðóêòóðîé
ïîëèêðèñòàëëà ïîíèìàòü õàðàêòåð îðèåíòàöèè îñåé
êðèñòàëëèòîâ — ñòàòèñòèêó íàïðàâëåíèé, êàê ïðè-
íÿòî ãîâîðèòü.
Ìåðîé ðàçóïîðÿäî÷åííîñòè ïîëèêðèñòàëëà ñëó-
æàò ïðîñòðàíñòâåííûå ôëóêòóàöèè áîëüøèíñòâà õà-
ðàêòåðèñòèê. Íå âñå õàðàêòåðèñòèêè ïîëèêðèñòàëëà
èìåþò ïðîñòðàíñòâåííûå ôëóêòóàöèè. Åãî ñêàëÿð-
íûå õàðàêòåðèñòèêè, åñòåñòâåííî, îäíîðîäíû (òåï-
ëîåìêîñòü, ê ïðèìåðó). Áîëåå èíòåðåñíûé ïðèìåð
îòñóòñòâèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôëóêòóàöèé äåìîí-
ñòðèðóþò ìåòàëëû, ó êîòîðûõ êðèñòàëëèòû îáëàäà-
þò êóáè÷åñêîé ñèììåòðèåé. Òåíçîð ïðîâîäèìîñòåé
êàæäîãî êóáè÷åñêîãî êðèñòàëëèòà â îòñóòñòâèå ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ âûðîæäàåòñÿ â ñêàëÿð è íå çàâèñèò îò
íàïðàâëåíèÿ îñåé êðèñòàëëèòîâ. Ýëåêòðîïðîâîä-
íîñòü ïîëèêðèñòàëëà îäíîðîäíà. Ýòî ñêàëÿð, ñîâïà-
äàþùèé ñî çíà÷åíèåì ïðîâîäèìîñòè îòäåëüíîãî
êðèñòàëëèòà. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, åñòåñòâåííî,
îòíîñèòñÿ íå òîëüêî ê ïðîâîäèìîñòè, íî è ê ëþáîìó
ñâîéñòâó êóáè÷åñêîãî ïîëèêðèñòàëëà, êîòîðîå îïè-
ñûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì âòîðîãî ðàíãà.
Íàïðèìåð, òåíçîðà òåïëîïðîâîäíîñòè, äèýëåêòðè÷å-
ñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòåé òàêæå âûðîæäà-
þòñÿ â ñêàëÿðû.
Äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ïîëèêðèñòàëëîâ ââîäÿò
ýôôåêòèâíûå âåëè÷èíû. Èõ ââåäåíèå è âû÷èñëå-
íèå — îñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîëèêðèñòàëëîâ. Çà
èñõîäíûå ïðèíèìàþòñÿ âåëè÷èíû, êîòîðûå õàðàê-
òåðèçóþò äàííîå ñâîéñòâî êðèñòàëëèòà, è ïðåäïîëà-
ãàþò, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè êðèñòàëëèòîâ è ìàêðîñêî-
ïè÷åñêèõ ìîíîêðèñòàëëîâ äàííîãî ìåòàëëà íå îòëè-
÷àþòñÿ.
Ïîñëåäíåå ïðåäïîëîæåíèå òðåáóåò ôîðìóëèðîâêè
ïðèìåíèìîñòè ïîäõîäà â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå.
Íå ÿâëÿåòñÿ ëè óñðåäíåííàÿ ïî íàïðàâëåíèÿì õàðàê-
òåðèñòèêà êðèñòàëëèòîâ ýôôåêòèâíîé õàðàêòåðèñòè-
êîé ïîëèêðèñòàëëà?  îáùåì ñëó÷àå — íåò.
Õàðàêòåðèñòèêà ïîëèêðèñòàëëà, íàçûâàåìàÿ ýô-
ôåêòèâíîé, â îòëè÷èå îò ñðåäíåé, ó÷èòûâàåò ðàññåÿí-
íûå èç-çà íåîäíîðîäíîñòåé ïîëÿ. Ïîýòîìó äëÿ ñðåäû,
îáëàäàþùåé ïðîñòðàíñòâåííûìè ôëóêòóàöèÿìè, âû-
÷èñëåíèå ýôôåêòèâíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóåò íà÷è-
íàòü ñ óñðåäíåíèÿ òîãî òî÷íîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ñî-
äåðæèò ôëóêòóèðóþùèå êîýôôèöèåíòû è îïèñûâàåò
èññëåäóåìîå ÿâëåíèå. Ïåðâûìè ðàáîòàìè, â êîòîðûõ
áûë ñôîðìóëèðîâàí ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ýôôåêòèâíûõ
õàðàêòåðèñòèê ïîëèêðèñòàëëîâ ïî çíà÷åíèÿì ëîêàëü-
íûõ âåëè÷èí, îïèñûâàþùèõ êðèñòàëëèòû, ïî-âèäèìî-
ìó, ñëåäóåò ñ÷èòàòü ðàáîòû È.Ì. Ëèôøèöà è åãî ó÷å-
íèêîâ. Â ðàáîòå [14], ïîñâÿùåííîé òåîðèè
ñòàòè÷åñêèõ óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîëèêðèñòàëëîâ, ïîêàçà-
íî, ÷òî óñðåäíåííûå óïðóãèå ìîäóëè êðèñòàëëèòîâ â
îáùåì ñëó÷àå — ëèøü íóëåâîå ïðèáëèæåíèå ïî àíè-
çîòðîïèè ê ýôôåêòèâíûì ìîäóëÿì.
 äàëüíåéøåì ýòîò ìåòîä áûë ðàñïðîñòðàíåí íà
äèíàìè÷åñêóþ òåîðèþ óïðóãîñòè [15] è íà äèýëåê-
òðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèñòàëëèòîâ [16].  ðàáîòàõ
[15,16] âû÷èñëåíû õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùèõñÿ â ïîëèêðèñòàëëàõ çâóêîâûõ è ýëåêòðîìàã-
íèòíûõ âîëí.
Âî âñåõ öèòèðîâàííûõ ðàáîòàõ ïî òåîðèè ïîëè-
êðèñòàëëîâ êîíêðåòíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû
äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ îáðàçöîâ â ïåðâîì íåèñ÷åçàþ-
ùåì ïðèáëèæåíèè òåîðèè âîçìóùåíèé ïóòåì óñðåä-
íåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ è äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé òåîðèè
óïðóãîñòè [14,15], à òàêæå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â
äèýëåêòðèêå [16].
Èñïîëüçîâàíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè âîç-
ìóùåíèé îçíà÷àåò ó÷åò ñðåäíèõ çíà÷åíèé êâàäðàòîâ
ïðîñòðàíñòâåííûõ ôëóêòóàöèé. Ìåðîé ôëóêòóàöèé
ñëóæèò àíèçîòðîïèÿ òåíçîðíûõ ñâîéñòâ: â ôèêñèðî-
âàííîé ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé
ñ îáðàçöîì, êîýôôèöèåíòû óñðåäíÿåìîãî óðàâíåíèÿ
ñóòü ôëóêòóèðóþùèå ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî êðè-
ñòàëëèòà ê äðóãîìó ôóíêöèè êîîðäèíàò.
Íà÷èíàÿ ñ 1992 ãîäà ñâîéñòâà ïîëèêðèñòàëëîâ äå-
òàëüíî èññëåäîâàíû â ðàáîòàõ [17–19]. Â ýòèõ ðàáî-
òàõ òåîðèÿ áûëà îáîáùåíà íà ñëó÷àé ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà. Ðàññìîòðåíî ðàñïðîñòðàíåíèå â ïîëèêðèñòàëëå
384 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
* Îáû÷íî ýòî ðåàëèçóåòñÿ â ñëó÷àå êðóïíîçåðíèñòûõ ïîëèêðèñòàëëîâ. Íàïðèìåð, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðè îïèñà-
íèè ýëåêòðîííûõ ñâîéñòâ ïîëèêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ íàäî, ÷òîáû äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ l áûëà ãîðàç-
äî ìåíüøå ñðåäíåãî ðàçìåðà êðèñòàëëèòà a.
ðýëååâñêîé âîëíû [17], ðåøåíà çàäà÷à î íîðìàëüíîì
è àíîìàëüíîì ñêèí-ýôôåêòå [18], âû÷èñëåí çàêîí
äèñïåðñèè ïîâåðõíîñòíûõ ïîëÿðèòîíîâ [19]. Â öèòè-
ðîâàííûõ âûøå ðàáîòàõ àâòîðû ïðåäïîëàãàëè àíèçî-
òðîïèþ ìàëîé è âû÷èñëÿëè ïåðâóþ íåèñ÷åçàþùóþ
ïîïðàâêó ïî àíèçîòðîïèè ê èññëåäóåìûì âåëè÷èíàì.
À.Ì. Äûõíå è È.Ì. Êàãàíîâà [20] ïîêàçàëè âîç-
ìîæíîñòü âûõîäà çà ïðåäåëû òåîðèè, â êîòîðîé àíèçî-
òðîïèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëîé, è âûâåëè ôîðìóëó äëÿ
ýôôåêòèâíîãî èìïåäàíñà ïîëèêðèñòàëëà, êîòîðàÿ, â
óñëîâèÿõ ïðèìåíèìîñòè ëîêàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëî-
âèé Ëåîíòîâè÷à [21], ïî òî÷íîñòè ñîâïàäàëà ñ ôîðìó-
ëîé äëÿ èìïåäàíñà ìîíîêðèñòàëëà. Íåñêîëüêî óñëîâíî
ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áûëà íàçâàíà òî÷íîé, è ìû áó-
äåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ýòîãî íàçâàíèÿ. Â ðàáîòå [20] ïî-
ëó÷åíà òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ýôôåêòèâíîãî èìïåäàíñà
ïîëèêðèñòàëëà â óñëîâèÿõ íîðìàëüíîãî ñêèí-ýôôåêòà,
à â ðàáîòå [22] — àíîìàëüíîãî. È â òîì, è â äðóãîì
ñëó÷àå àíèçîòðîïèÿ èìïåäàíñà* ïðè ïåðåõîäå îò êðè-
ñòàëëèòà ê êðèñòàëëèòó ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé:
òî÷íîñòü ðåçóëüòàòà íå ñâÿçàíà ñ âåëè÷èíîé àíèçîòðî-
ïèè. Îáåñïå÷èâàåòñÿ òî÷íîñòü äðóãèì — òåì, ÷òî äëÿ
âñåé ïîâåðõíîñòè (äëÿ êàæäîãî êðèñòàëëèòà íà ïî-
âåðõíîñòè) ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåíèå ëîêàëüíûõ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Ëåîíòîâè÷à, è òåì, ÷òî äëÿ õîðî-
øèõ ìåòàëëîâ êîìïîíåíòû òåíçîðà èìïåäàíñà ãîðàçäî
ìåíüøå åäèíèöû. Èç-çà ýòîãî êîððåëÿöèîííûå ÷ëåíû
ãîðàçäî ìåíüøå îñíîâíûõ è ìîãóò áûòü îòáðîøåíû, à
ñòðóêòóðà òî÷íîé ôîðìóëû äëÿ èìïåäàíñà ïðîñòà: ýô-
ôåêòèâíûé èìïåäàíñ ïîëèêðèñòàëëà åñòü ïðîñòî ñðåä-
íåå çíà÷åíèå èìïåäàíñà êðèñòàëëèòîâ.
Ìàëîñòü èìïåäàíñà — ñëåäñòâèå ìàëîñòè îòíîøå-
íèÿ � �/ , ãäå � — ãëóáèíà ñêèí-ñëîÿ, à � — äëèíà
âîëíû â âàêóóìå. Èìåííî ìàëîñòü ïîâåðõíîñòíîãî
èìïåäàíñà ïîçâîëÿåò â áîëüøèíñòâå çàäà÷ èñïî-
ëüçîâàòü òàê íàçûâàåìûå èìïåäàíñíûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ (ñì., íàïðèìåð, [23]). Äëÿ òîãî ÷òîáû èì-
ïåäàíñíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ áûëè ëîêàëüíûìè
(âûïîëíÿëèñü ëîêàëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Ëåîí-
òîâè÷à), äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ åùå îäíî íåðàâåíñòâî:
ðàçìåð íåîäíîðîäíîñòè ïîâåðõíîñòè äîëæåí áûòü ãî-
ðàçäî áîëüøå �. Äëÿ ïîëèêðèñòàëëà ñ ïëîñêîé ïî-
âåðõíîñòüþ ýòî îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî
óñëîâèÿ: ñðåäíèé ðàçìåð êðèñòàëëèòîâ a çàìåòíî
ïðåâîñõîäèò ãëóáèíó ñêèí-ñëîÿ �. Ïðåíåáðåãàåìûå
ïðè âû÷èñëåíèè ýôôåêòèâíîãî èìïåäàíñà äâó- è
ìíîãîòî÷å÷íûå êîððåëÿòîðû ôëóêòóàöèîííûõ ÷ëå-
íîâ ìàëû áëàãîäàðÿ ìàëîñòè îòíîøåíèé � �/ è �/a.
 ñëó÷àå ìàëûõ èëè ïðåäåëüíî áîëüøèõ ìàãíèò-
íûõ ïîëåé â òåîðèè ÃÌß òîæå èìåþòñÿ ìàëûå ïàðà-
ìåòðû. Ñòðîÿ òåîðèþ ÃÌß äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ, â
ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýòè ìàëûå ïà-
ðàìåòðû äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé, ò.å.
ðåøåíèé, êîòîðûå ïî òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ
ðàçëîæåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê ïî
ìàëûì ïàðàìåòðàì.
2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïðè âû÷èñëåíèè ýôôåêòèâíûõ õàðàêòåðèñòèê
ÃÌß ïîëèêðèñòàëëîâ íå áóäåì âûõîäèòü çà ïðåäå-
ëû îñíîâíûõ ïðåäïîëîæåíèé òàê íàçûâàåìîé êëàñ-
ñè÷åñêîé òåîðèè ÃÌß, íå áóäåì ó÷èòûâàòü êâàíòî-
âûå îñöèëëÿöèè, îñòàâàÿñü ñòðîãî â ðàìêàõ òåîðèè
ÃÌß [1–3].
Äëÿ îïèñàíèÿ ÃÌß â ïîëèêðèñòàëëàõ ïåðåõîä ê
ìîäåëè Äðóäå–Ëîðåíöà–Çîììåðôåëüäà íå ãîäèòñÿ.
Ñ÷èòàÿ ÏÔ ñôåðîé, íåëüçÿ îïèñàòü îñíîâíûå ÷åðòû
ÃÌß — çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ îò ìàãíèòíîãî
ïîëÿ, à òàêæå ðàçëè÷èå «êîíñòàíò» Õîëëà â áîëü-
øèõ è ìàëûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ (ó íåêîòîðûõ ìåòàë-
ëîâ ïðîèñõîäèò äàæå èçìåíåíèå çíàêà «êîíñòàíòû»
Õîëëà). Ïðàâäà, åñëè èñïîëüçîâàòü áîëåå ñëîæíóþ
ìîäåëü, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî â ïîëèêðèñòàëëå èìåþòñÿ
íå òîëüêî ýëåêòðîíû, íî è äûðêè ñ íàáîðîì ïàðà-
ìåòðîâ nh , mh , lh è çàðÿäîì �e, òî äëÿ ìåòàëëîâ ñ çà-
êðûòûìè ÏÔ òàêîé ïîäõîä ìîæåò îêàçàòüñÿ óñïåø-
íûì: ìîæíî äîáèòüñÿ õîðîøåãî ñîãëàñèÿ òåîðèè ñ
ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.
Íåñîâåðøåíñòâî òàêîé òåîðèè î÷åâèäíî: ââåäåííûå
ïàðàìåòðû íåîáõîäèìî ñâÿçàòü ñ õàðàêòåðèñòèêàìè
ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè êðèñòàëëèòîâ. Õàðàêòåðè-
ñòèêè ìåòàëëà â ìàãíèòíîì ïîëå ÷óâñòâèòåëüíû ê
ñòðóêòóðå ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà. À âåäü õîðîøî èç-
âåñòíî, ÷òî ïðàêòè÷åñêè ó âñåõ ìåòàëëîâ, êðîìå íåêî-
òîðûõ ìåòàëëîâ ïåðâîé ãðóïïû, ÏÔ î÷åíü íåïîõîæè
íà ñôåðû.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðè âû÷èñëåíèè ýôôåêòèâíûõ
õàðàêòåðèñòèê ÃÌß ìîæíî áûëî íå ó÷èòûâàòü ðàç-
ìåðîâ êðèñòàëëèòîâ è ñ÷èòàòü êðèñòàëëèòû áåñêî-
íå÷íûìè ìîíîêðèñòàëëàìè, íåîáõîäèìî âûïîëíå-
íèå íåðàâåíñòâà l a . Ïðè ýòîì â ñëó÷àå ìàëûõ
ïîëåé l rH , à ïðè áîëüøèõ ïîëÿõ r lH (l —
ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ïðîâî-
äèìîñòè, rH — ðàäèóñ îðáèòû ýëåêòðîíà â ìàãíèò-
íîì ïîëå).
Òåîðèÿ ÃÌß ïîëèêðèñòàëëîâ ïðåäïîëàãàåò âû-
÷èñëåíèå ýôôåêòèâíûõ òåíçîðîâ: ïðîâîäèìîñòè
(ÝÒÏ)
ik
eff è ñîïðîòèâëåíèÿ (ÝÒÑ) �ik
eff . Îáà òåíçîðà
— ôóíêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H è îáðàòíû äðóã äðó-
ãó, ò.å.
ik ik
eff eff� ( )H è � �ik ik
eff eff� ( )H , à
�ik ik
eff eff �
� � ik, ãäå � ik — ñèìâîë Êðîíåêåðà.
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 385
* Èìïåäàíñ — äâóìåðíûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà.
Ïî îïðåäåëåíèþ
ik
eff ñâÿçûâàåò ìåæäó ñîáîé îä-
íîðîäíûå ïî âñåìó ïîëèêðèñòàëëó âåëè÷èíû —
ïëîòíîñòü òîêà � �j è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ � �E :
� � � � �j Ei ik k
eff ( ) .H (1)
Êîìïîíåíòû ýôôåêòèâíîãî òåíçîðà
ik
eff ( )H íóæ-
íî âûðàçèòü ÷åðåç êîìïîíåíòû ëîêàëüíîãî òåíçîðà
ïðîâîäèìîñòè (ËÒÏ) êðèñòàëëèòîâ
ik( , )r H â ïî-
ñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå H. Çàâèñè-
ìîñòü êîìïîíåíò ËÒÏ îò ðàäèóñ-âåêòîðà r îáóñëîâ-
ëåíà òåì, ÷òî
ik( , )r H èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò
êðèñòàëëèòà ê êðèñòàëëèòó, âî-ïåðâûõ, èç-çà ïîâî-
ðîòà îñåé òåíçîðà îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòå-
ìû îòñ÷åòà, à âî-âòîðûõ, èç-çà ðàçëè÷íîé îðèåíòà-
öèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H ïî îòíîøåíèþ ê îñÿì
êîíêðåòíîãî êðèñòàëëèòà. Îáû÷íî ëàáîðàòîðíóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò âûáèðàþò òàê, ÷òî îäíà èç åå
îñåé (êàê ïðàâèëî, ýòî îñü z) ïî íàïðàâëåíèþ ñîâïà-
äàåò ñ ìàãíèòíûì ïîëåì.
Åñëè ñ÷èòàòü çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò
ik( , )r H èç-
âåñòíûìè, òî îòëè÷èå âû÷èñëåíèÿ
ik
eff ïðè H � 0 è
H � 0 îáóñëîâëåíî äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè: 1) ïî-
ëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ òåíçîðíûå õàðàê-
òåðèñòèêè íåèçîòðîïíû, îíè âûðàæàþòñÿ íå òîëüêî
÷åðåç òåíçîð � ik è åäèíè÷íûé àíòèñèììåòðè÷íûé
òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà eikl , íî è ÷åðåç êîìïîíåíòû
âåêòîðà H; 2) ïðè H � 0 ïðîâîäèìîñòü
— ñèììåò-
ðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà, à â ìàãíèòíîì ïîëå
ïðèíöèï ñèììåòðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ
[24] òðåáóåò çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíîé ñèììåòðèè:
ik ki( ) ( ).H H� � (2)
Àíòèñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè,
êàê èçâåñòíî, îïèñûâàåò ýôôåêò Õîëëà.
Îáà îáñòîÿòåëüñòâà íå ìåøàþò âûäåëèòü èç òåí-
çîðà
ik( , )r H ñðåäíåå çíà÷åíèå:
ik ik ik ik( , ) ( ) ( , ), ( , ) .r H H r H r H� � �
� � �� � 0
(3)
Òåíçîð � ik( , )r H îïèñûâàåò ÷àñòü ËÒÏ, èçìåíÿþ-
ùóþñÿ ïðè ïåðåõîäå r èç îäíîãî êðèñòàëëèòà â äðó-
ãîé. Óãëîâûå ñêîáêè îáîçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî àí-
ñàìáëþ âñåõ âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé íåîäíîðîäíîé
ñðåäû (ïîëèêðèñòàëëà). Âû÷èñëåíèå
ik
eff ( )H , ïî
ñóòè, ñâîäèòñÿ ê ó÷åòó âêëàäà â ÝÒÏ ìíîãîòî÷å÷íûõ
êîððåëÿòîðîâ òèïà � �� �ik lm( , ) ( , )... ,r H r H1 âîçíè-
êàþùèõ ïðè óñðåäíåíèè óðàâíåíèé
�
�
� �
ik k
i
E
x
( , )
, .
r H
E0 0rot (4)
×àñòî ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ýëåêòðîñòàòèêè
ïåðåõîäÿò îò ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ê ïîòåíöèàëó �:
E / xi i( ) ( )r r� �� �� , îáúåäèíÿÿ óðàâíåíèÿ â ôîðìó-
ëå (4).  îòëè÷èå îò ñðåäíåãî ïîòåíöèàëà, ñðåäíåå
ïîëå � �E ïî îïðåäåëåíèþ íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò.
Åñëè èç ïîòåíöèàëà âûäåëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå, îï-
ðåäåëÿþùåå � �E , è îáðàùàþùóþñÿ â íóëü ïðè óñ-
ðåäíåíèè ñëó÷àéíóþ äîáàâêó, òî íåîáõîäèìî ñëå-
äèòü çà òåì, ÷òîáû ñëó÷àéíîå ïîëå E E� � òîæå
îáðàùàëîñü â íóëü ïðè óñðåäíåíèè. Â ñâÿçè ñ ýòèì
íàì óäîáíåå èñïîëüçîâàòü íåïîñðåäñòâåííî óðàâíå-
íèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
 Ïðèëîæåíèè I ïðèâåäåí ïîëó÷åííûé â [13]
ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ÝÒÏ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé.
Ðàçëîæåíèå âåäåòñÿ ïî ñòåïåíÿì îòêëîíåíèé
� ik( , )r H ; ïðè âû÷èñëåíèè èñïîëüçîâàí ìåòîä Ôóðüå
(ôóíêöèè � ik( , )r H ðàçëàãàþòñÿ ïî ïëîñêèì âîë-
íàì). Ôîðìóëà (I.1) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì, åñëè âõîäÿ-
ùèå â íåå ðÿäû ñõîäÿòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå îíà äàåò âîç-
ìîæíîñòü ïîëó÷èòü çíà÷åíèå
ik
eff ( )H â âèäå
ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì êîððåëÿòîðîâ òåíçîðîâ
� ik( , )r H ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Ïðîâåðêà ñõî-
äèìîñòè ðÿäà — îòäåëüíàÿ çàäà÷à (ñì., íàïðèìåð,
[25], ãäå ýòîò âîïðîñ îáñóæäàåòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ H � 0).
 Ïðèëîæåíèè II îïèñàíî âû÷èñëåíèå ìíîãîòî-
÷å÷íûõ êîððåëÿòîðîâ äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ. Êàê
áûëî ñêàçàíî, èñõîäíûì ïðåäïîëîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ
ñëó÷àéíàÿ îðèåíòàöèÿ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé
îòäåëüíûõ êðèñòàëëèòîâ (òåêñòóðû íåò), íàïðàâëå-
íèÿ îñåé êðèñòàëëèòîâ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû.
Êîìïîíåíòû òåíçîðîâ, îïèñûâàþùèõ ñâîéñòâà êðè-
ñòàëëèòîâ, åñëè îíè çàäàíû â åäèíîé ëàáîðàòîðíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, — ñëó÷àéíûå ôóíêöèè êîîðäè-
íàò. Ñêàëÿðíûå õàðàêòåðèñòèêè, íå çàâèñÿùèå îò
îðèåíòàöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âî âñåõ êðèñòàëëèòàõ
òîæäåñòñòâåííû.
Âûïèñàííûå â Ïðèëîæåíèè I âûðàæåíèÿ, ôîð-
ìàëüíî ðåøàÿ ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ
ik
eff ( )H , òðåáóþò êîíêðåòèçàöèè.
Òåîðèÿ ÃÌß, íà êîòîðóþ ìû îïèðàåìñÿ, èìååò
îñîáåííîñòü, êîòîðóþ ñëåäóåò óêàçàòü.
Èñïîëüçîâàíèå êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Áîëüö-
ìàíà, âêëþ÷àþùåãî ñèëó Ëîðåíöà, ëèøü â ïðèíöè-
ïå ïîçâîëÿåò óêàçàòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ òåíçîðà
ïðîâîäèìîñòè ìîíîêðèñòàëëà ìåòàëëà ñ ëþáîé ñòå-
ïåíüþ òî÷íîñòè. Ôàêòè÷åñêîå òî÷íîå âû÷èñëåíèå
âåñüìà çàòðóäíèòåëüíî è òðåáóåò ðåøåíèÿ èíòåã-
ðàëüíûõ óðàâíåíèé íåñòàíäàðòíîãî âèäà. Äëÿ ìå-
òàëëîâ ñ ïîâåðõíîñòÿìè Ôåðìè ñëîæíîé ôîðìû â
ìàãíèòíîì ïîëå ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíû ýòà çàäà÷à,
íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, íå ðåøàëàñü.
Îðèåíòèðîâàííàÿ íà âûÿâëåíèå ðîëè òîïîëîãèè
ôåðìè-ïîâåðõíîñòåé ìåòàëëà, òåîðèÿ ÃÌß ðàññìàò-
ðèâàåò ëèøü áîëüøèå ìàãíèòíûå ïîëÿ (r lH ), êî-
ãäà ðîëü òîïîëîãèè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùåé. Â ïðè-
ìåíåíèè ê íàøåé çàäà÷å åå ðåçóëüòàò — âûÿñíåíèå
386 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
çàâèñèìîñòè êîìïîíåíò
ik( )H îò H. Êîýôôèöèåí-
òû ïåðåä ñòåïåíÿìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïîëó÷åííûõ
âûðàæåíèÿõ — òåíçîðà, ñòðóêòóðà êîòîðûõ èçâåñò-
íà, íî çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò, ñòðîãî ãîâîðÿ, èçâåñòíû
òîëüêî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû. Èìåííî ýòè òåíçîð-
íûå êîýôôèöèåíòû ñëóæàò òåìè ñëó÷àéíûìè ôóíê-
öèÿìè, êîòîðûå äîëæíû áûòü óñðåäíåíû ïî íàïðàâ-
ëåíèÿì êðèñòàëëèòîâ ïðè âû÷èñëåíèè ÝÒÏ.
Çàâèñèìîñòü ËÒÏ îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòè
ìàëûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé (l rH ) ìîæåò áûòü óñòà-
íîâëåíà ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà
H. Ðàçëîæåíèå ó÷èòûâàåò ñèììåòðèþ òåíçîðà ïðî-
âîäèìîñòè (2) è êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (êàêîìó
êëàññó ñèììåòðèè îíà ïðèíàäëåæèò).
Ïðåäåëüíûå ñëó÷àè ïîçâîëÿþò âûäåëèòü èç âû-
ðàæåíèé äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà � ik( , )r H çàâèñè-
ìîñòü îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âàæíî, ÷òî ïðè ýòîì
âîçíèêíåò êðèòåðèé îöåíêè ñëàãàåìûõ â ýòèõ âûðà-
æåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ H â ðàçíûõ ñòåïåíÿõ. Êðè-
òåðèé ñïðàâåäëèâ âíå çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû àíè-
çîòðîïèè. Íåîáõîäèìîñòü ñîãëàñîâàòü òî÷íîñòü
ýôôåêòèâíûõ âûðàæåíèé äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ ñ òî÷-
íîñòüþ èñõîäíûõ ôîðìóë òåîðèè ÃÌß äëÿ ìîíîêðè-
ñòàëëîâ ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì äëÿ ñóùåñòâåííûõ óï-
ðîùåíèé â ðÿäå ñëó÷àåâ.
Îáñóæäåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðîèçâî-
äèòñÿ íà îñíîâàíèè ôîðìóë, ñïðàâåäëèâûõ â ïðå-
äåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìàëîãî è áîëüøîãî ìàãíèòíûõ
ïîëåé.
3. Ýôôåêòèâíûé òåíçîð ïðîâîäèìîñòè
â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå
 ñëó÷àå ñëàáûõ ïîëåé âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæå-
íèåì ËÒÏ ïî ñòåïåíÿì êîìïîíåíò ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
îãðàíè÷èâàÿñü ëèíåéíûìè è êâàäðàòè÷íûìè ÷ëåíà-
ìè. Ôàêòè÷åñêè ýòî, êîíå÷íî, îçíà÷àåò ðàçëîæåíèå
ïî ìàëîìó áåçðàìåðíîìó ïàðàìåòðó l/rH . Â ñîãëà-
ñèè ñ ïðèíöèïîì ñèììåòðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýôôè-
öèåíòîâ, ðàçëîæåíèå èìååò âèä:
�ik ik ikl lm mHe a( , ) ( ) ( )( )H r r r�
0
H Sik lm l m
2
; ( ) ,r � � (5)
ãäå �i iH /H� — åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ H, à òåíçîðà aik è Sik lm; îò ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ íå çàâèñÿò.
Âûðàæåíèå (5) çàïèñàíî â èíâàðèàíòíîé ôîðìå.
Âñå èíäåêñû îòíîñÿòñÿ ê åäèíîé ëàáîðàòîðíîé ñèñòå-
ìå êîîðäèíàò. Íàïîìíèì, ÷òî èìåííî èç-çà ñëó÷àé-
íîé îðèåíòàöèè çåðåí â (5) êîìïîíåíòû òåíçîðîâ —
ñëó÷àéíûå ôóíêöèè êîîðäèíàò.  êðèñòàëëîãðàôè-
÷åñêîé ñèñòåìå îñåé ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò
ýòèõ òåíçîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êëàññîì ñèììåòðèè, ê
êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò äàííûé ìåòàëë.
Òåíçîð ýëåêòðîïðîâîäíîñòåé
ik
( )0 ïðè H � 0 ñèì-
ìåòðè÷åí. Ïðèíöèï ñèììåòðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýô-
ôèöèåíòîâ íå íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèé íà òåíçîð
aik, âõîäÿùèé â õîëëîâñêîå ñëàãàåìîå. Îäíàêî â
áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ñèììåòðèÿ íåìàãíèòíîãî ìå-
òàëëà òàêîâà, ÷òî àíòèñèììåòðè÷íîé ÷àñòè ó òåíçîðà
âòîðîãî ðàíãà, êîòîðûé íå çàâèñèò îò ìàãíèòíîãî
ïîëÿ, áûòü íå ìîæåò. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ìå-
òàëëû ñ âû÷óðíîé îñåâîé ñèììåòðèåé (òàêèì ñâîé-
ñòâîì îáëàäàåò, íàïðèìåð, �-ïëóòîíèé [26]). Äëÿ
ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî a aik ki� .
Ïðèíöèï ñèììåòðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýôôè-
öèåíòîâ òðåáóåò, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî
S Sik lm ki lm; ;� . Ïîñêîëüêó òåíçîð Sik lm; âõîäèò â âû-
ðàæåíèå (5) â âèäå ñâåðòêè ñ ñèììåòðè÷íûì òåíçî-
ðîì � �l m , åãî ìîæíî ñèììåòðèçîâàòü ïî èíäåêñàì l
è m. Òîãäà S Sik lm ik ml; ;� . Îäíàêî S Sik lm lm ik; ;� *.
Åñòåñòâåííî, ôîðìóëà äëÿ ÝÒÏ äîëæíà èìåòü
ñòðóêòóðó, õàðàêòåðíóþ äëÿ èçîòðîïíîãî òåëà â ìà-
ëûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ:
� �ik ik H ikl lA Heeff eff( ) ( )H �
0
��[ ( )]| |� � � � � � �i k ik i k H2, (6)
ãäå
eff ( )0 — ýôôåêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïîëèêðè-
ñòàëëà ïðè H � 0, AH — êîýôôèöèåíò, îïèñûâàþ-
ùèé ýôôåêò Õîëëà, � | | ó÷èòûâàåò èçìåíåíèå ñ ìàã-
íèòíûì ïîëåì ïðîäîëüíîé (îòíîñèòåëüíî ïîëÿ)
ïðîâîäèìîñòè, à � �— ïîïåðå÷íîé ïðîâîäèìîñòè.
Íàøà çàäà÷à — âû÷èñëåíèå ýòèõ âåëè÷èí.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé ôîðìóëîé (I.1), ðàñ÷åò
ik
eff ( )H íà÷èíàåòñÿ ñ ðàçäåëåíèÿ ËÒÏ íà ñðåäíþþ è
ôëóêòóèðóþùóþ ÷àñòè. Óñðåäíÿÿ âûðàæåíèå (5),
ïîëó÷àåì
� � �
� � � � �ik ik ikl l ik i kHae H S S( ) ( ).H 0
2
1 22
(7a)
Çäåñü
0
0 3� ll /( ) è a a /ll� 3 ïîëó÷àþòñÿ ïðè óñ-
ðåäíåíèè òåíçîðîâ
ik
( )0 è aik ñîîòâåòñòâåííî, à èí-
âàðèàíòû S1 è S2 îïðåäåëÿþò ñðåäíåå çíà÷åíèå òåí-
çîðà Sik lm; :
� � �
S S Sik lm ik lm im kl il km; ( ),1 2� � � � � � (7á)
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 387
* Èìåííî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îòëè÷àåò ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ òåíçîðà Sik lm; îò ñèììåò-
ðèè, íàïðèìåð, òåíçîðà óïðóãèõ ìîäóëåé ìîíîêðèñòàëëà.
S S S S S Spp qq pq pq pq pq pp qq1 2
1
15
2
1
30
3� � � �( ); ( ).; ; ; ;
(7â)
Ñëó÷àéíàÿ ÷àñòü ËÒÏ åñòü � ik ik( , ) ( , )H r H r� �
� � �
ik( )H :
� �ik ik ikl lm mHe a( , ) ( ) ( )( )H r r r�
0 � �
H Sik lm l m
2� � �; ( ) ,r (8)
ãäå
� ik ik ik ik ik ika a a( ) ( )( ) ( ) ; ( ) ( ) ;0 0
0r r r r� � � �
� � �
�S S Sik lm ik lm ik lm; ; ;( ) ( )r r� � � �.
Î÷åâèäíî, � � � � � � � � �� ik lm ik lma S( )
;
0 0� � è, ñëå-
äîâàòåëüíî, � � �� ik(H, r) 0. Îïðåäåëèâ � �
ik( )H
è � ik( , )H r , ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ÝÒÏ ñ
ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïî àíèçîòðîïèè. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (I.1) â ÝÒÏ ôëóêòóàöè-
îííûå ïîïðàâêè ê � �
ik( )H îïðåäåëÿþòñÿ ðÿäàìè,
â êîòîðûå âõîäÿò êîððåëÿòîðû òåíçîðîâ � ik( , )H r .
 âûðàæåíèè (5) ìû îãðàíè÷èëè ðàçëîæåíèå
êîìïîíåíò ËÒÏ êâàäðàòè÷íûìè ïî ïîëþ ÷ëåíàìè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè ÷ëåíû, ñîäåðæà-
ùèå ìàãíèòíîå ïîëå â áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè, äîëæ-
íû áûòü îïóùåíû. Èõ ñîõðàíåíèå — ïðåâûøåíèå
òî÷íîñòè èñïîëüçóåìîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Èòàê, ÷òîáû âû÷èñëèòü ôëóêòóàöèîííóþ ïî-
ïðàâêó ê ÝÒÏ ïîðÿäêà n ïî àíèçîòðîïèè, íàäî îïðå-
äåëèòü òåíçîð wik
n( )( )H (ñì. ôîðìóëó (I.3)), îãðàíè-
÷èâàÿñü ÷ëåíàìè O H( )2 . Ñ óêàçàííîé òî÷íîñòüþ
êîìïîíåíòû ýòîãî òåíçîðà îïðåäåëÿþòñÿ èíòåãðàëà-
ìè îò ñðåäíåãî
� � �
� �
�
�
�� � �il j l j k n l j
s
s
n
n s s
q
1 1 2 11 1
1
1
( ) ( )... ( ) ( )r r r
� � �
� �
� �T H T H Tik
n
ik p
n
p ik pq
n
p q
( , )
,
( , )
;
( , ) ,0 1 2 2� � � (9)
ãäå, ñ òîé æå òî÷íîñòüþ, òåíçîð qik
s( ) (ñì. ôîðìóëó
(I.4)) ñóòü
q
n n
H
S S
ik
s i
s
k
s
s( )
( ) ( )
( )( ) .� �
�
�
��
�
�
��
0
2 1 2
0
21
2
κn
Íàïîìíèì, ÷òî, êðîìå çàâèñèìîñòè îò êîîðäèíàò,
êàæäûé èç òåíçîðîâ � j ls s
1
â ôîðìóëå (9) çàâèñèò
è îò ïîñòîÿííîãî âåêòîðà H.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Qik
n( , )0 , Qik p
n
,
( , )1 è Qik pq
n
;
( , )2 âêëàä â
wik
n( )(H) îò êàæäîãî èç òåíçîðîâ � �T
ik
n( , )0 , � �Tik p
n
,
( , )1 è
� �Tik pq
n
;
( , )2 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó ýòî èçîòðîïíûå
òåíçîðà ñ èçâåñòíûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè îòíî-
ñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ, èçâåñòíà è èõ
ñòðóêòóðà:
Q Q Q Qik
n n
ik
n
kk
n( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ;0 0 0 01
3
� � � ��
Q Q e Q Q eik p
n n
ikp
n
ik p
n
ikp,
( , ) ( , ) ( , )
,
( , ), ;1 1 1 11
6
� �
(10)
Q Q Qik pq
n n
ik pq
n
ip kq iq kp;
( , ) ( , ) ( , )( )2
1
2
2
2�
� � � � � � ;
Q Q Qn
kk qq
n
kq kq
n
1
2 2 21
15
2( , )
;
( , )
;
( , )( ),� �
Q Q Qn
kq kq
n
kk qq
n
2
2 2 21
30
3( , )
;
( , )
;
( , )( ),� �
Âû÷èñëåíèå ñâåðòîê, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ
(10), ñóùåñòâåííî ïðîùå âû÷èñëåíèÿ ñàìèõ òåíçî-
ðîâ � ( , )Q r n (r � 0 1 2, , ). Îäíàêî äàæå ïîñëå ýòèõ óï-
ðîùåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ n ïîëó÷àþòñÿ
î÷åíü ãðîìîçäêèå âûðàæåíèÿ, ïîýòîìó ìû èõ íå
ïðèâîäèì.  ôîðìóëå äëÿ ÝÒÏ îãðàíè÷èìñÿ êâàä-
ðàòè÷íûìè è êóáè÷åñêèìè ÷ëåíàìè ïî êîððåëÿòî-
ðàì òåíçîðîâ �( , )H r (n � 2 3, ).
Åùå îäíà ïðè÷èíà, ïî÷åìó ïðè ðàñ÷åòå ÝÒÏ â ìà-
ëûõ ïîëÿõ ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ÷ëåíàìè O( )�3 , ñî-
ñòîèò â òîì, ÷òî, êàê è â ñëó÷àå H � 0 (ñì., íàïðè-
ìåð, [25]), ïðè n � 3 ôëóêòóàöèîííûå ïîïðàâêè
çàâèñÿò îò âèäà ìíîãîòî÷å÷íûõ êîððåëÿöèîííûõ
ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ñòàòèñòèêó íàïðàâëåíèé
êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé îòäåëüíûõ çåðåí. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî ïðè n � 3 ìû íå ìîæåì ïðîâåñòè ðàñ-
÷åò, íå èñïîëüçóÿ ìîäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé î âèäå
ýòèõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé.
Ïðèâåäåì òîëüêî âûðàæåíèÿ äëÿ Q( , )02 è Q( , )03 ,
÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü çàâèñèìîñòü ôëóêòóàöè-
îííûõ ïîïðàâîê ê ÝÒÏ ïðè n � 2 îò âèäà êîððåëÿöè-
îííûõ ôóíêöèé, è êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â âû-
ðàæåíèå äëÿ
ik
eff ( )H (ñì. óð-íèå (6)) ñ òî÷íîñòüþ
äî ÷ëåíîâ, êóáè÷åñêèõ ïî àíèçîòðîïèè. Âûâîä ïî-
ëó÷åííûõ âûðàæåíèé ïðèâåäåí â Ïðèëîæåíèè III.
Ïðè n � 2 èç ôîðìóë (III.1) è (I.3) ñëåäóåò, ÷òî
Q k n n
j l
( , ) ( ) ( )
( )
02
3
0
1
1 11
3 2 1 1
� ���
d3
� � � � ��d3
1 1 1
0 0
11 1
r i
kl j k
exp[ ]k r r r r( ) ( ) ( )( ) ( )� � . (11à)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (II.4) ñðåäíåå
� � � �� �kl j jk lD W /
1 1 1 1
0 0
1 2 2 1 3( ) ( )
( ) ( ) (| | )r r r r� , ãäå èíâà-
ðèàíò D kl lk2
0 0� � �( ) ( ). Çíà÷èò,
Q
D
k W k
D( , ) ( ) .02 2
0
3
1 2 1
2
09 9
� ��
d (11á)
388 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
Âõîäÿùèé â (11á) èíòåãðàë ðàâåí çíà÷åíèþ êîð-
ðåëÿöèîííîé ôóíêöèè W2(| | )r ïðè r � 0, ñëåäîâà-
òåëüíî, îí ðàâåí åäèíèöå.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿQ( , )03 âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè
(II.5)–(II.7). Òîãäà
Q k k n n n n
j l j l
( , ) ( ) ( ) ( ) (
( )
03
6
0
2
3
1
3
2
1 1 21
3 2 1 1 2 2
� � � ��
d d 2) �
� � � � � �� �d d3
1
3
2 1 1 2 2 1r r i iexp[ ] exp[ ]k r r k r r( ) ( )
� � �� � �
kl j l j k
W
1 1 2 2
0 0 0
3 1 2
( ) ( ) ( ) ([ , , ]),r r r (12)
ãäå W3 1 2([ , , ])r r r — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âåêòîðû
r, r1 è r2 ïîïàäàþò â îäèí êðèñòàëëèò, à ñðåäíåå
� � � �� � �
kl j l j k
D
1 1 2 2
0 0 0 3
0
230
( ) ( ) ( )
� �
[ ( )];2 3
1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
� � � � � �j l j l j j l l j l j l
D pq qr rp3
0 0 0� � � �( ) ( ) ( ) — èíâàðèàíò. Ñëåäîâàòåëüíî,
Q
D
F( , ) ( )( ),03 3
0
2 3
30
1� �
st
F3
( )st çàâèñèò îò âèäà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè:
F J3 3
1
9
7 6( ) ( )( ),st st� � (13)
ãäå
J dk k W W k W3 1
3
2
3
1 2
2
2 1 2 2 1 21
1
2
( ) ( ) (| | )( ( ) (st � � �
�� d n n k k k2)).
 ðàáîòå [25] çíà÷åíèå J3
( )st âû÷èñëåíî ïðè ðàç-
íûõ ìîäåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î âèäå äâóõòî÷å÷-
íîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè W r2( ):
J3 0 028( ) ,st � , êîãäà W r /a2
2 2� �exp( );
J3 0136( ) ,st � , êîãäà W r/a2 � �exp( );
J3 0 052( ) ,st � , êîãäà W / r /a2
2 21 1�
( ).
Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ çíà÷åíèå J3
( )st
î÷åíü ìàëî. Èç ïðèâåäåííûõ íèæå âûðàæåíèé è
ôîðìóë (III.21), (III.22) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ F3
( )st
âõîäèò â âûðàæåíèÿ äëÿ ôëóêòóàöèîííûõ ïîïðà-
âîê òðåòüåãî ïîðÿäêà âñåõ êîýôôèöèåíòîâ â âûðà-
æåíèè (6) äëÿ ÝÒÏ. Ñëåäîâàòåëüíî, õîòÿ â òðåòü-
åì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ñòàòèñòè÷åñêèå
ñâîéñòâà ïîëèêðèñòàëëîâ âëèÿþò íà âåëè÷èíó êîì-
ïîíåíò ÝÒÏ, ýòî âëèÿíèå î÷åíü ñëàáîå. Ïðè n � 3
çàâèñèìîñòü ôëóêòóàöèîííûõ ïîïðàâîê îò ñòàòè-
ñòèêè íå èññëåäîâàëàñü.
Èòàê, ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ ïîðÿäà O( )�3 , ïîëó÷àåì
êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå (6) äëÿ
ik
eff ,
â âèäå
eff st( ) ( ) ,( )0
1
9
3
5
10
0
2
3
0
3� � �
!
"
#
$
%
D
D
F
A a A
A
FH �
�
!
"
#
$
%
1
9 5
1 3
0
2
3
0
3
( )( )st .
(14)
Çäåñü A akl lk2
0� �( )� è A akl lm mk3
0 0� � �( ) ( )� — èíâàðè-
àíòû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ ñîîòâåòñòâåííî.
Íàêîíåö,
� � �| | | |
( )
| |
( ) ( ),�
S F1
1 2
3
st
� � �� � ��
( ) .( ) ( ) ( )2 2 1
1 2
3S S F st
(15)
Çíà÷åíèÿ �
| |
( )1 , �
| |
( )2 , ��
( )1 è ��
( )2 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
âñåâîçìîæíûå èíâàðèàíòû 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêîâ, êî-
òîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü èç òåíçîðîâ � ik
( )0 , �aik è
�Sik lm; . ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ïðèâå-
äåíû â Ïðèëîæåíèè III.
Ïîëèêðèñòàëëû ìåòàëëîâ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèè
Î÷åíü ìíîãèå ìåòàëëû îáëàäàþò êóáè÷åñêîé
ñèììåòðèåé (ñîãëàñíî [27], èõ áîëåå 30). Âûâåäåí-
íûå ôîðìóëû ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ äëÿ êðè-
ñòàëëèòîâ ñ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèåé: òåíçîðà âòîðî-
ãî ðàíãà âûðîæäàþòñÿ â ñêàëÿðû. Òàêèì îáðàçîì,
äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ êóáè÷åñêèõ ìåòàëëîâ â ôîðìó-
ëå äëÿ ËÒÏ (5)
� �ik ik lm ika a( ) , ,0
0� � (16)
è, ñëåäîâàòåëüíî,
� ik ika( )( ) ( ) .0 0r r� ��
Ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé (16) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî õîòÿ
â ôîðìóëå (5) òåíçîð ÷åòâåðòîãî ðàíãà Sik lm; ( )r ìî-
æåò îáëàäàòü ïðîèçâîëüíîé àíèçîòðîïèåé (åãî êîì-
ïîíåíòû ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç êðèñòàëëèòà â
êðèñòàëëèò), â ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ äëÿ ïîëè-
êðèñòàëëîâ êóáè÷åñêèõ ìåòàëëîâ êîððåëÿöèîííàÿ
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 389
÷àcòü
ik
eff ( )H îáðàùàåòñÿ â íóëü â ëþáîì ïîðÿäêå
ïî ïàðàìåòðó àíèçîòðîïèè. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæå-
íèå äëÿ ýôôåêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè ïðèîáðåòàåò
âèä (ñì. óðàâíåíèå (7à)):
�ik ik ik
eff ( ) ( )H H� � � �
0
Hae H S Sikl l ik i k� � � �2
1 22( ), (17)
ãäå êîýôôèöèåíòû S1 è S2 çàäàíû ôîðìóëàìè (7â).
Ïîä÷åðêíåì, ôîðìóëà (17) ñòîëü æå òî÷íà, êàê è
(5): åå òî÷íîñòü îáåñïå÷èâàåòñÿ íå ìàëîñòüþ àíèçî-
òðîïèè, à ìàëîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ò.å. íåðàâåí-
ñòâîì l/rH 1. Ôîðìóëà (17) — òî÷íàÿ ôîðìóëà,
â òîì æå ñìûñëå, â êàêîì ïðèíÿòî ñ÷èòàòü òî÷íîé
ôîðìóëó äëÿ ïîâåðõíîñòíîãî èìïåäàíñà ïîëèêðè-
ñòàëëà, ïîëó÷åííóþ â [20].  ðàçäåëå 5 ìû ïðèâå-
äåì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ òåíçîðîâ, îïèñûâàþùèõ
ÃÌß ñâîéñòâà ìîíîêðèñòàëëîâ â ìàëûõ ïîëÿõ, à ñ
èõ ïîìîùüþ — ýôôåêòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëè-
êðèñòàëëîâ êóáè÷åñêèõ ìåòàëëîâ. Âûðàæåíèÿ èñïî-
ëüçóþò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êëàññè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ Áîëüöìàíà, ñîäåðæàùåãî ñèëó Ëîðåíöà [28].
Çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè è èíòå-
ãðàë ñòîëêíîâåíèé íå óòî÷íÿþòñÿ.
4. Ýôôåêòèâíûé òåíçîð ïðîâîäèìîñòè â
ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå (çàêðûòûå ÏÔ)
 ñëó÷àå áîëüøèõ ìàãíèòíûõ ïîëåé òåîðèÿ ÃÌß
[1–3] îãðàíè÷èâàåòñÿ âû÷èñëåíèåì ãëàâíûõ ÷ëåíîâ
ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì îáðàòíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
èëè, òî÷íåå, ïî ñòåïåíÿì áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà
r /lH 1. Äëÿ ìåòàëëà ñ çàêðûòîé ÏÔ òåíçîð ïðî-
âîäèìîñòåé èìååò âèä:
� �ik r l i kH
S( )| ( )H �
κ
1 11
2H
e a
H
sikl lm m ik
( )( ) ( ).κ κ� (18)
Ïî-ïðåæíåìó �i iH /H� ; â ëàáîðàòîðíîé ñèñòå-
ìå êîîðäèíàò κ � (0,0,1). Òåíçîðà sik è aik
( )1 ñèììåò-
ðè÷åíû. Ïåðâûé — â ñîãëàñèè ñ ïðèíöèïîì ñèììåò-
ðèè êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ Îíñàãåðà, âòîðîé
— èç-çà òîãî, ÷òî ìû îãðàíè÷èëè ðàññìîòðåíèå íàè-
áîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè êðèñòàëëàìè (ñì. ïðåäû-
äóùèé ðàçäåë.)
 âûðàæåíèè äëÿ
ik r lH
( )|H ñêàëÿð S( )κ ðà-
âåí ãëàâíîìó ÷ëåíó ïðîäîëüíîé ïðîâîäèìîñòè è íå
çàâèñèò îò âåëè÷èíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Õîëëîâñêàÿ
ïðîâîäèìîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ òåíçîðîì aik
( )1 , ïðîïîð-
öèîíàëüíà1/H. Òåíçîð sik çàäàåò ãëàâíûé âêëàä ïî-
ðÿäêà 1 2/H â ïîïåðå÷íóþ ïðîâîäèìîñòü.
Öåëü íàøåãî ðàc÷åòà — îïðåäåëèòü ãëàâíûå ÷ëå-
íû êîìïîíåíò ÝÒÏ: ýôôåêòèâíàÿ ïðîäîëüíàÿ ïðî-
âîäèìîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, íå
çàâèñÿùèõ îò H, ýôôåêòèâíàÿ õîëëîâñêàÿ ïðîâî-
äèìîñòü — O /H( )1 , à ýôôåêòèâíàÿ ïîïåðå÷íàÿ
ïðîâîäèìîñòü — O /H( )1 2 .
Ôîðìóëà (18) çàäàåò êîìïîíåíòû ËÒÏ äëÿ ïîëè-
êðèñòàëëîâ. È òåíçîðà, âõîäÿùèå â (18), è ñêàëÿð
S( )κ — ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, èçìåíÿþùèåñÿ ïðè ïå-
ðåõîäå îò êðèñòàëëèòà ê êðèñòàëëèòó. S( )κ — èç-çà
çàâèñèìîñòè κ îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî
îòíîøåíèþ ê êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèì îñÿì, à êîìïî-
íåíòû òåíçîðîâ — è èç-çà çàâèñèìîñòè îò κ, è îò
òîãî, ÷òî â êàæäîì êðèñòàëëèòå íàïðàâëåíèå êðè-
ñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé ïî îòíîøåíèþ ê ëàáîðà-
òîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñëó÷àéíî (àðãóìåíò r
îïóùåí äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè).
Îáû÷íî òåðìèíîì ãèãàíòñêàÿ àíèçîòðîïèÿ
ïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè ÃÌß â ìåòàëëàõ ñ îòêðû-
òûìè ÏÔ, èìåÿ â âèäó ðàçëè÷èå àñèìïòîòèê ïî ìàã-
íèòíîìó ïîëþ äâóõ ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò òåíçîðà
ïðîâîäèìîñòè (ñîïðîòèâëåíèÿ) â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
îòêðûòûå òðàåêòîðèè äàþò èëè íå äàþò âêëàä â ïðî-
âîäèìîñòü. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (18), ðàçíûå êîì-
ïîíåíòû òåíçîðà
ik r lH
( )|H èìåþò ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþùóþñÿ àñèìïòîòèêó. Ýòî íåñîìíåííîå ñâè-
äåòåëüñòâî ãèãàíòñêîé àíèçîòðîïèè òåíçîðà ïðîâî-
äèìîñòåé è äëÿ ìåòàëëîâ ñ çàêðûòûìè ÏÔ.
Çíà÷åíèÿ ÃÌß õàðàêòåðèñòèê â ñèëüíûõ ìàãíèò-
íûõ ïîëÿõ (r /lH 1) çàâèñÿò íå òîëüêî îò òîïîëî-
ãèè ÏÔ. Åñëè ÏÔ çàìêíóòû, âàæíî, êîìïåíñèðî-
âàí ìåòàëë (n ne h� ) èëè íåò (n ne h� ). Â ïåðâîì
ñëó÷àå ïîïåðå÷íîå ñîïðîòèâëåíèå êâàäðàòè÷íî ðàñ-
òåò ñ ìàãíèòíûì ïîëåì, à âî âòîðîì ñòðåìèòñÿ ê íà-
ñûùåíèþ. Êðîìå òîãî, ó ìåòàëëà ñ íåðàâíûìè ÷èñ-
ëàìè ýëåêòðîíîâ è äûðîê êîíñòàíòà Õîëëà R
îáðåòàåò ñìûñë èñòèííîé êîíñòàíòû:
R
ec n ne h
& �
�
1
( )
. (19)
Èíäåêñ «&» ïîêàçûâàåò, ÷òî R& — àñèìïòîòè÷åñêîå
çíà÷åíèå êîíñòàíòû Õîëëà.
 òåðìèíàõ òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè îòëè÷èå êîì-
ïåíñèðîâàííîãî ìåòàëëà îò íåêîìïåíñèðîâàííîãî íå
âûãëÿäèò òàê äðàìàòè÷åñêè. Åñëè n ne h� , òî â ëà-
áîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò õîëëîâñêàÿ ïðîâîäè-
ìîñòü
12 1( )H /HR� & îäèíàêîâà ïðè âñåõ íàïðàâëå-
íèÿõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé îòíîñèòåëüíî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (18)
èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñâåðòêà
a
Rik i k
( )1 1
� � �
&
(20)
îäèíàêîâà äëÿ âñåõ êðèñòàëëèòîâ. Åñëè æå n ne h� ,
òî alm l m
( )1 0� � � . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ëàáîðàòîðíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ÷ëåí ïîðÿäêà 1/H êîìïîíåíò
õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè
xy yx( ) ( )H H� � 0.
390 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïîëèêðèñòàëëû íåêîìïåíñè-
ðîâàííûõ ìåòàëëîâ. Â ðàáîòå [13] ïîêàçàíî, ÷òî
ñïåöèôè÷åñêèé âèä (18) ËÒÏ ïîëèêðèñòàëëîâ
ìåòàëëîâ ñ çàêðûòûìè ÏÔ ïîçâîëÿåò â ãëàâíîì
ïðèáëèæåíèè ïî r /lH 1 âû÷èñëèòü òî÷íî êîìïî-
íåíòû ÝÒÏ ìåòîäîì òåîðèè âîçìóùåíèé (ñì. Ïðè-
ëîæåíèå I).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷å-
íèÿ n ìîæíî íå òîëüêî âû÷èñëèòü ãëàâíûå ÷ëåíû
êîìïîíåíò òåíçîðîâ wik
n( )( )H (ñì. ôîðìóëó (I.3)),
íî è ïðîñóììèðîâàòü ðÿäû (I.2) äëÿ êîìïîíåíò òåí-
çîðà Wik.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (18), çàïèøåì òåíçîð ñðåäíåé
ïðîâîäèìîñòè. Äëÿ óñðåäíåíèÿ òåíçîðîâ aik
( )( )1 r,κ è
sik( )r,κ èñïîëüçóåì ôîðìóëó (II.8).
Ïîñêîëüêó ñðåäíåå òåíçîðà alm
( )1 çàïèñûâàåòñÿ â
âèäå � � �
a A Alm lm l m
( )1
1 2� � � , èç çà ðàâåíñòâà (20)
ñâåðòêà � � �
� &a A A /Rlm m l l
( ) ( )1
1 2� � � . Òîãäà
� � � � �
� �ik r l i kH
S( ) | ( )H r,κ
&
1 1
2 1 2HR
e
H
S Sikm m ik i k� � � �( ), (21)
S s skk ik i k1
1
2
� � � � � �( ),� �
S s sik i k kk2
1
2
3� � � � � �( )� �
(22)
— êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå äëÿ � �sik .
Ïîëîæèì S S S� � �
� , a a aik ik ik
( ) ( ) ( )1 1 1� � �
� è sik �
� � �
s sik ik� (� � � � � �� �S sik 0). Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà
(20), î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà �aik
( )1 ,
êðîìå ðàâåíñòâà � � ��aik
( )1 0, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
� � �aik i k
( ) .1 0� (23)
Ðàâåíñòâî (23) ñóùåñòâåííî ïðè âñåõ ïîñëåäóþùèõ
âû÷èñëåíèÿõ.
Ôëóêòóèðóþùàÿ ÷àñòü ËÒÏ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
� ik r l i kc
S( , )| ( , )H r r �
� � �κ
1 1
2H
e a
H
sikl lm m ik� � �( , ) ( , ).κ κr r
(24)
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ n-é ôëóêòóàöèîííîé
ïîïðàâêè wik
n( )( )H (ôîðìóëà (I.3)). Êðîìå n-òî÷å÷-
íîãî êîððåëÿòîðà òåíçîðîâ ��, â ýòî âûðàæåíèå âõî-
äÿò òåíçîðà q
l j
s
s s
( ) , îïðåäåëåííûå ôîðìóëîé (I.4).
Âûïèøåì ÿâíûé âèä ýòèõ òåíçîðîâ äëÿ ñëó÷àÿ ñèëü-
íûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (21)
Q n n Ss
ik i
s
k
s
s
( ) ( ) ( )( ) [( )( ) ];� � � � � �
� �H n1 2
2 2
1
2κ
� i
iS
S H
2
2
1�
� �
,
(25)
ãäå i � 1 2, , à Si çàäàíû ôîðìóëàìè (22). Îïóñêàÿ
�2
2 â ñðàâíåíèè ñ åäèíèöåé, ïîëó÷àåì
q
n n
Sl j
s l
s
j
s
s
s s
s s( )
( ) ( )
(( ) )
.�
� �
�
1
2
1
2κn �
(26)
Ñëåäîâàòåëüíî, â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ñâåðòêà
q / S
l j
s
l j
s s s s
( ) � � � � �1 (27)
— ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Åñëè â âûðàæåíèÿ äëÿ
òåíçîðîâ wik
n( )( )H âõîäÿò òîëüêî ñâåðòêè (27), òî
ìîæíî îïóñòèòü �1
2 â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (26)
äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà q
l j
s
s s
( ) .
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå èçîòðîïíîãî ñëó-
÷àéíî íåîäíîðîäíîãî ïðîâîäíèêà, ïðîâîäèìîñòü êî-
òîðîãî â áîëüøèõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ îïèñûâàåòñÿ
ôîðìóëîé
� � � �ik i k ikl l ikh
e
h
( ) ( ( ))[ ],r r�
0 2
1 1
� (28)
�( )r — ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ è � � ��( )r 0, h c� �' (
� eH /mc( (( — âðåìÿ ðåëàêñàöèè), èìåííî íàëè÷èå
ïîëþñîâ ó êîìïîíåíò òåíçîðà q
l j
s
s s
( ) ïðèâîäèò ê òîìó,
÷òî ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ïîïåðå÷íûõ êîìïî-
íåíò ÝÒÏ ñõîäèòñÿ, òîëüêî åñëè çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî
ïîëÿ îãðàíè÷åíî óñëîâèåì h /� � �2
0
2 1
. Ïðè áîëü-
øèõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé ðàñõî-
äèòñÿ èç-çà àíîìàëüíî áîëüøîãî âêëàäà ôëóêòóàöèé
õîëëîâñêèõ êîìïîíåíò, ÷òî âèäíî óæå ïðè ðàñ÷åòå
ïåðâîé íåèñ÷åçàþùåé ôëóêòóàöèîííîé ïîïðàâêè
w�
( )( )2 H (ñì. [11]). Êà÷åñòâåííûé ðàñ÷åò, âûïîëíåí-
íûé Äðåéçèíûì è Äûõíå, ïîêàçàë, ÷òî äëÿ òàêèõ ïðî-
âîäíèêîâ ïîïåðå÷íàÿ ýôôåêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü àíî-
ìàëüíî âåëèêà:
�
eff ~ 1 4 3/H / (âìåñòî
�
eff 1~ /H2).
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (18) è (28), âèäèì, ÷òî â (28)
ôëóêòóàöèè õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè îïèñûâàþòñÿ
òåíçîðîì � �aik
is
ik
( ; ) ~ ( )1 � r . Î÷åâèäíî, äëÿ òåíçîðà
�aik
is( ; )1 ðàâåíñòâî (23) íå âûïîëíÿåòñÿ.
 ïîëèêðèñòàëëàõ ìåòàëëîâ ñ çàêðûòûìè ÏÔ
âñëåäñòâèå âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (23) ôëóêòóàöèè
õîëëîâñêèõ êîìïîíåíò íå äàþò àíîìàëüíî áîëüøîé
âêëàä â ýôôåêòèâíóþ ïîïåðå÷íóþ ïðîâîäèìîñòü.
Ñðàâíåíèå âûðàæåíèé äëÿ w�
( )( )2 H â ñëó÷àÿõ èçî-
òðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ïðîâîäíèêà è ïîëèêðèñòàëëà
ïðèâåäåíî â Ïðèëîæåíèè IV. Êðîìå òîãî, íåïî-
ñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ïî-
ëèêðèñòàëëîâ âêëàä òîëüêî õîëëîâñêèõ ÷ëåíîâ â
w�
( )( )3 H ðàâåí íóëþ, à â w�
( )( )4 H ýòîò âêëàä ïîðÿäêà
1 3/H .
Ó÷åò äðóãèõ ÷ëåíîâ ôëóêòóàöèîííîé ÷àñòè ËÒÏ
[13] ïðèâîäèò ê ýôôåêòèâíîé ïîïåðå÷íîé ïðîâîäè-
ìîñòè ïîðÿäêà 1 2/H . Ñäåëàííûå îöåíêè ïîçâîëÿþò
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âêëàä õîëëîâñêèõ êîìïîíåíò â
ôëóêòóàöèîííûå ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 391
(n � 4) ïî âåëè÷èíå îáðàòíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàë
â ñðàâíåíèè c ÷ëåíàìè ïîðÿäêà 1 2/H . Åñëè ýòî
ïðåäïîëîæåíèå âåðíî, òî ïîëó÷åííîå íèæå âûðàæå-
íèå äëÿ
�
eff ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì â ðàìêàõ ðàññìàòðè-
âàåìîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ó÷èòûâàÿ ñäåëàííûå îãîâîðêè, âû÷èñëèì òåíçî-
ðà wik
n( )( )H (ñì. ôîðìóëó (I.3)) ïðè ïðîèçâîëüíîì
çíà÷åíèè n ñ òî÷íîñòüþO /H( )1 2 . Çàïèøåì wik
n( )( )H
â âèäå
w w w /H w /Hik
n
ik
n L
ik
n A
ik
n T( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )�
2. (29)
×òîáû âû÷èñëèòü wik
n L( ; ), wik
n A( ; ) è wik
n T( ; ), âûïèøåì
ïðîèçâåäåíèå
� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r
� �
ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà 1 2/H :
� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r
� � �
�
( � � � ) � ,( ) ( ) ( ) ( )L
H
A
H
T Pn n n n1 1
2 (30)
ãäå øëÿïêà íàä áóêâîé îáîçíà÷àåò íàáîð èíäåêñîâ, à
� ( )P n
lq
q
n
jq�
�
�
�� �
1
1
. Â ñèëó óðàâíåíèÿ (27) â ãëàâíîì
ïðèáëèæåíèè ñâåðòêà
q q q P / S
l j l j l j
n n n
n n1 1 2 2 1 1
1 2 1 11( ) ( ) ( ) ( )... � .
� �
� �� � � (31)
Êàæäîå èç ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ
(29) îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì èç îïåðàòîðîâ â ïðàâîé
÷àñòè óðàâíåíèÿ (30). Òåíçîð � �( ) ( )L Pn n â óðàâíåíèè
(31) ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ n òåíçîðîâ âèäà
� � �S q j lq q
( )r
1
: � ( ) ( )( )L S Sn
i k p
p
n
�
�
�
�� � � �r r
1
1
. Ïîä-
ñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (I.3) è ó÷èòû-
âàÿ ðàâåíñòâî (31), ïîëó÷àåì
w
S
r rik
n L
n
i k
n n n
( ; )
( )
( )
( )
... ...�
�
� � � � ��
1
21 3 1
3
1
3� �
�
d d �
�
�
� � ��1
1
1
� �S S p
p
n
( ) ( )r r
� � � � �� � �... ( ) ( )d d3
1
3
1 1 1 2 2 1k k i in� �exp[ ]exp[ ] ek r r k r r xp[ ]� �� � �i n n nk r r1 1 2( ) . (32)
Èíòåãðèðîâàíèå ïî k j (j n� �1 2 1, , ..., ) ïðèâîäèò ê
ïîÿâëåíèþ ôóíêöèé �( )r rj j� �1 â ïîäûíòåãðàëüíîì
âûðàæåíèè, êîòîðûå ñâîäÿò ìíîãîòî÷å÷íîå ñðåäíåå
� �
�
�
�� �S S p
p
n
( ) ( )r r
1
1
ê êîíñòàíòå � �( )�S n . Â ðåçóëüòàòå
w w w
S
S
ik
n L n
i k
n n
n
n
( ; )
| |
( )
| |
( ), ( )
( )
� � �
� �
� � �
� �
�
1
1
. (33)
Ñòðóêòóðà òåíçîðîâ wik
n L( ; ) ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè
äàþò âêëàä â ïðîäîëüíóþ ÷àñòü òåíçîðà Wik.
Òåíçîð � �( ) ( )A Pn n ñîîòâåòñòâóåò âñåì âîçìîæíûì
ïðîèçâåäåíèÿì, âêëþ÷àþùèì îäèí èç òåíçîðîâ
�amn s
( ) ( )1 r è ( )n � 1 òåíçîð � � �S q j lq q
( )r
1
. Ìû íå âû-
ïèñûâàåì âûðàæåíèå äëÿ � ( )A n , ïîñêîëüêó, êàê ïî-
êàçàíî â [13], ïðè âñåõ n � 2 â ñèëó âûïîëíåíèÿ ðà-
âåíñòâà (23) ýòîò òåíçîð íå äàåò âêëàä â wik
n( )( )H .
×ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå 1 2/H , ïîÿâëÿþòñÿ â
óðàâíåíèè (30) áëàãîäàðÿ
1) âñåì âîçìîæíûì ïðîèçâåäåíèÿì îäíîãî òåíçî-
ðà �s j l nq q� �1 1( )r è ( )n � 1 òåíçîðà � � �S j lq q
( )rq
1
;
2) âñåì âîçìîæíûì ïðîèçâåäåíèÿì äâóõ òåíçî-
ðîâ �amn s
( ) ( )1 r è ( )n � 2 òåíçîðîâ � � �S q j lq q
( )r
1
.
Ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ òåíçîðà � ( )T n î÷åíü ãðîìîçä-
êî. Âûïèøåì òîëüêî òó åãî ÷àñòü, êîòîðàÿ äàåò
îòëè÷íûé îò íóëÿ âêëàä â ãëàâíûé ÷ëåí ýôôåêòèâ-
íîé ïîïåðå÷íîé ïðîâîäèìîñòè:
� ( )( ) ( )T e e an
il m j km
l j
m nn
n
� �
�
�
1 1 1 2
1 1
1 1
1 1
� �
� r
�
�
�
�
�� � � �a S
m n n n n
p
n
p2 2 1 2
1
1
1
2
( ) ( ) ( ) ...r r (34)
Òî÷êè îçíà÷àþò îïóùåííûå ÷ëåíû.
Âû÷èñëÿÿ òåíçîð wik
n T( ; ), ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî
ýòî èçîòðîïíûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà, êîìïîíåíòû
êîòîðîãî çàâèñÿò îò ôèêñèðîâàííîãî âåêòîðà �.
Ñîãëàñíî (II.8), wik
n T( ; ) �
�w wn
ik
n T
i k
( )
| |
( ; )� � � . Ñëà-
ãàåìîå w n T
i k| |
( ; )� � äàåò ïîïðàâêóO /H( )1 2 ê ïðîäîëü-
íîé ÷àñòè òåíçîðà wik
n( ). Â ðàìêàõ íàøåãî ïðèáëèæå-
íèÿ ýòî ñëàãàåìîå äîëæíî áûòü îïóùåíî. Âûðàæåíèå
äëÿ w n
�
( ) èìååò âèä
w w wn
kk
n T
ik
n T
i k� � �( ) ( ; ) ( ; )( )
1
2
� � . (35)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (34), (35), èç óðàâíåíèÿ (I.3)
ïîëó÷àåì
392 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
w
S
e e e en
n
n rl m j rm rl m jn n� �
�
�
� �
�
� �
( ) ( )
( )
(
1
2
1
23 6 1 1 1 2 1 1
�
1 2 1 1 1 1 1 1
3
1
3
1
1 1
sm r s n j l l j l j
nk k q q
n n n
� � � �) ( ) ( )d d �
�
� � ��� �
� � � � �� � ��� d d3
1
3
1 1 1 1 1 1r r i in n nexp[ exp[ ]k r r k r r( )] ( ) � ��
�� � � � �a S a
m n n
n
m n n n1 1 1 2 2 2
1
1
2 1
1
( ) ( )( ) ( ( )) ( )r r r . (36)
Ñðåäíåå â ôîðìóëå (36) âû÷èñëÿåì, èñïîëüçóÿ
ôîðìóëû Ïðèëîæåíèÿ II è ðàâåíñòâî (23):
� � ��
�� � � � �a S a
m n n
n
m n n n1 1 1 2 2 2
1
1
2 1
1
( ) ( )( ) ( ( )) ( )r r r
�
� �N Y W Y Wm m n n1 2 1 3 1 1 2 3 1 1{ ([ , ], ) ([ , ])},r r r r r r,
(37)
ãäå
N Y A Sm m m m m m
n
1 2 1 2 1 2 1
21
2
� � � � � � ��( ), ( ) ,� � � �
Y A S n
2
21
2
� � ��( )� , A a amp mq p q� � � � �( ) ( ) .1 1 (38)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (38) â ôîðìóëó (36),
èìååì
w
S
Y W Y Wn
n
n� �
� �
�
� �
( ) ( )
{ ([ , ], ) ([ , , ])}.
1
1 1 3 2 3r r r r r r
Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (ñì. Ïðèëîæåíèå
II), âåðîÿòíîñòè W3 0([ , ], )r r r � , à W3 1([ , , ])r r r � ,
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
w
S
A Sn
n
n
n
� �
�� �
�
� �
� �( ) ( )
( ) .
1
2 1
2� (39)
Òàêèì îáðàçîì, â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò âûðàæåíèÿ wik
n( ) äëÿ ÷ëåíîâ ðÿäà Wik (ñì.
(I.1)) ñóòü
w w
w
H
ik
n n
i k
n
ik i k
( )
| |
( )
( )
( ),�
��� � � � �3 3 2 3 3 (40)
ãäå â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè w n
| |
( ) çàäàíî ôîðìóëîé
(33), à w n
�
( ) — (39).
Âûðàæåíèÿ äëÿ w n
| |
( ) è w n
�
( ) íå çàâèñÿò îò êîððå-
ëÿöèîííûõ ôóíêöèé, ñâÿçûâàþùèõ ïðîñòðàíñòâåí-
íûå ôëóêòóàöèè â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ñðåäû. Ýòî
ðåäêî âñòðå÷àþùàÿñÿ ñèòóàöèÿ, êîòîðàÿ è ïîçâîëÿ-
åò ïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå äëÿ ÝÒÏ. Ïðè÷èí,
ïðèâîäÿùèõ ê îòñóòñòâèþ çàâèñèìîñòè îò êîððåëÿ-
öèîííûõ ôóíêöèé, íåñêîëüêî. Âî-ïåðâûõ, ñðàâíè-
òåëüíî ïðîñòîé âèä ãëàâíîãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ ïî
1/H ôëóêòóàöèîííîé ÷àñòè ËÒÏ: â ñîîòâåòñòâèè ñ
(24) ýòîò ÷ëåí íå çàâèñèò îò 1/H è ðàâåí
� � �S i k( , )κ r . Âî-âòîðûõ, ðàâåíñòâî (27) äëÿ ñâåð-
òîê ql j
s
l js s s s
( ) � � â ïðåäåëå H ) &, ïîçâîëÿþùåå â
ôîðìóëå (36) ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïðàêòè÷å-
ñêè ïî âñåì âåêòîðàì km . È, íàêîíåö, ñàìîå
ãëàâíîå, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ ìåòàë-
ëîâ ðàâåíñòâî � � �aik i k
( )1 0� . Êàê îòìå÷åíî âûøå,
âûïîëíåíèå ýòîãî ðàâåíñòâà ïðèâîäèò ê ñõîäèìîñòè
ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé è ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòüñÿ
ðàçëîæåíèåì (30) ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ
� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r
� � .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (40), çàïèøåì âûðàæåíèå
äëÿ òåíçîðàWik â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
W W
W
H
ik i k ik i k�
��
| | ( ),� � � � �3 3 2 3 3 (41à)
ãäå
W w S S
S
n
n
| | | |
( ) ;� � � � � � �
!
"
#
$
%�
&
*
2
1
1
W w
A
S
n
n
� �
�
&
� � �* ( )
2
1
2
. (41á)
Ïðè âûâîäå âûðàæåíèé (41) ìû âîñïîëüçîâàëèñü
òåì, ÷òî � � ��S 0, è ôîðìóëîé äëÿ ñóììû ãåîìåòðè-
÷åñêîé ïðîãðåññèè
( ) ( ( ) ) ( )� � � � � �
�
&
* 1
0
n
n
nS / S S /S� r r ,
ñõîäÿùåéñÿ, åñëè äëÿ âñåõ îðèåíòàöèé êðèñòàëëè-
òîâ | ( ) |�S / Sr � � 1. Íàøå ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî ïî
êðàéíåé ìåðå äî òåõ ïîð, ïîêà àíèçîòðîïèÿ ïðî-
äîëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ËÒÏ óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó
íåðàâåíñòâó. Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî â ðàì-
êàõ èñïîëüçóåìîãî ïðèáëèæåíèÿ óðàâíåíèÿ (41) çà-
äàþò òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ òåíçîðà Wik.
×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (I.1) äëÿ ÝÒÏ,
îñòàëîñü âû÷èñëèòü òåíçîðà Iik è Vik. Ñîãëàñíî îï-
ðåäåëåíèþ (I.6), Iik — èçîòðîïíûé òåíçîð âòîðîãî
ðàíãà, êîìïîíåíòû êîòîðîãî çàâèñÿò îò κ. Ñëåäîâà-
òåëüíî, I I Iik ik i k�
0 1� � � . Â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ
ïîëÿõ ãëàâíûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ I I H0 1� � ~ , à
ãëàâíûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ñóììû I I / S0 1 1
� � �.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (I.5) è (41),
V V Vik i k ik i k�
��| | ( ),� � � � �
V W I I
W
H
I V
W
H
I| | | | ( ) , .�
�
�
�
�
0 1 2 1 2 01
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 393
Èñïîëüçóÿ ýòè ôîðìóëû, âû÷èñëÿåì Vik
�1, à çàòåì è
ÝÒÏ. Ñ èíòåðåñóþùåé íàñ òî÷íîñòüþ â ëàáîðàòîð-
íîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
� �ik r l i kc
eff eff( )|
| |
H �
3 3
�
&
�
1
3 3 3HR
eik ik i k
� � �eff ( ), (42à)
| |
; ,eff eff
eff
eff�
� �
� �
�
�
�
1
1
1
22 1/S
s
H
s S
A
S
, (42á)
ãäå S1 îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (22), A a amp mq p q� � � � �( ) ( )1 1 .
Ðåçóëüòàò äëÿ
| |
eff î÷åâèäåí. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ âû-
÷èñëåíèåì êîìïîíåíò ÝÒÏ, êîòîðûå íå îáðàùàþòñÿ â
íóëü ïðè H ) &, òî â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
èç âñåõ êîìïîíåíò ËÒÏ íàäî ñîõðàíèòü òîëüêî îäíó —
zz . Â èíâàðèàíòíîé çàïèñè
� �ik i kS( , ) ( , )H r r� κ .
 íåîäíîðîäíîì ïðîâîäíèêå, â êîòîðîì âñå òîêîâûå
ëèíèè ïàðàëëåëüíû (â äàííîì ñëó÷àå íàïðàâëåíû
âäîëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ), ñðåäíÿÿ ïðîâîäèìîñòü èçâåñò-
íà (ñì., íàïðèìåð, [29]): îíà ðàâíà îáðàòíîìó çíà÷å-
íèþ ñðåäíåãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Èç óðàâíåíèÿ (42á) ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ýô-
ôåêòèâíîé õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè òàêîå æå, êàê
â ìîíîêðèñòàëëè÷åñêîì ìåòàëëå: â ñèëüíûõ ìàãíèò-
íûõ ïîëÿõ ïðîñòðàíñòâåííûå ôëóêòóàöèè íå âëèÿ-
þò íà åå âåëè÷èíó. Ðåçóëüòàò äëÿ ýôôåêòèâíîé ïî-
ïåðå÷íîé ïðîâîäèìîñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åí òîëüêî
íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì.
Êîìïåíñèðîâàííûé ìåòàëë
Ðàññìîòðèì ïîëèêðèñòàëëû êîìïåíñèðîâàííûõ
ìåòàëëîâ (n ne h� ). Âûâîä ôîðìóë äëÿ ÝÒÏ ìàëî îò-
ëè÷àåòñÿ îò èçëîæåííîãî âûøå. Îäíàêî ïðè n ne h� ,
êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò ñëàãàåìûå
xy è
yx , ïðîïîðöèîíàëüíûå 1/H ,
ðàâíû íóëþ. Ðàçëîæåíèå ýòèõ õîëëîâñêèõ êîìïîíåíò
íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíàO /H( )1 3 . Ïîýòîìó âûðàæåíèå äëÿ
ËÒÏ íàäî äîïîëíèòü ÷ëåíîì, ïðîïîðöèîíàëüíûì
1 3/H . Èòàê, ïðè n ne h� âìåñòî ôîðìóëû (18) èñõîä-
íûì ñëóæèò ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ËÒÏ:
� � �ik r l i k ikl lm mc
S
H
e a( )| ( ) ( )( )H �
κ κ1 1
1 1
2 3
2
H
s
H
e aik ikl lm m( ) ( ) .( )κ κ � (43)
 èíâàðèàíòíîé çàïèñè óñëîâèå n ne h� íàêëàäû-
âàåò îãðàíè÷åíèå íà êîìïîíåíòû òåíçîðà alm
( )1 :
alm l m
( ) .1 0� � � (44)
Ïðè âû÷èñëåíèè � �
ik( )H ïî ôîðìóëå (43) ó÷-
òåì, ÷òî � � � � � �a alm m pq p q l
( ) ( )( )1 1 0κ � � � � (ñðàâíè ñ
ôîðìóëîé (20)). Òîãäà
� � � � �
� �ik r l i kc
S( ) |H
1
2 1 2
2
3H
S S
A
H
eik i k ikl l( ) ,� � � � (45)
ãäå, êàê è â ôîðìóëå (21), çíà÷åíèÿ S1 è S2 îïðåäå-
ëåíû ôîðìóëàìè (22), à
� � � � � �a a Alm m pq p q l l
( ) ( )( ) .2 2
2κ � � � � � (46)
Ôëóêòóèðóþùàÿ ÷àñòü ËÒÏ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
� ik r l i k ikl lm mc
S
H
e a( , )| ( , ) ( , )( )H r r r �
� � � �κ κ1 1
1 1
2 3
2
H
s
H
e aik ikl lm m� � �( , ) ( , ) .( )κ κr r (47)
Çäåñü, êàê è â ôîðìóëå (24), � � � � � �� �S sik 0 è, êî-
íå÷íî, � � ��alm
( )2 0.
Âìåñòî ôîðìóëû (29) çàïèøåì ðàçëîæåíèå
wik
n( )( )H ñ ó÷åòîì ÷ëåíà O /H( )1 3 :
w w w /Hik
n
ik
n L
ik
n A( ) ( ; ) ( ; )�
1
w /H w /Hik
n T
ik
n A( ; ) ( ; )2 32 .
(48)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ òåíçîðîâ, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó
(48), íåîáõîäèìî âìåñòî âûðàæåíèÿ (30) çàïèñàòü
ïðîèçâåäåíèå òåíçîðîâ
� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r
� �
ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà 1 3/H . Âû÷èñëåíèå
ïðîäîëüíîé wik
n L( ; ) è ïîïåðå÷íîé wik
n T( ; ) ñîñòàâ-
ëÿþùèõ òåíçîðîâ wik
n( ) òîæäåñòâåííî ñîâïàäàåò ñ
ðàñ÷åòîì, èçëîæåííûì âûøå. Çàìåòèì, ÷òî, íå-
ñìîòðÿ íà âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (44), ñâåðòêà
A a amp mq p q� � � � �( ) ( )1 1 , âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèå äëÿ
�
eff , îòëè÷íà îò íóëÿ. Êðîìå òîãî, â âûðàæåíèè
äëÿ wik
n( ) ÷ëåí O /H( )1 îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå — íåîáõîäèìîñòü âû÷èñ-
ëèòü òåíçîð wik
n A( ; )2 . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî
w
S
e B Sik
n A
n
n ikl
n
l
( ; ) ( )
,2 1
1
2� �
�
� �
� �
�
�� �
B a spq p qr r� ( )1 � � � .
(49)
Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (33), (39) è (49),
ñóììèðóåì âûðàæåíèÿ äëÿ wik
n( ) ïî âñåì n. Â ðå-
çóëüòàòå ïîëó÷àåì
W W
H
Wik i k ik i k�
�
�| | ( )� � � � �
1
2
� �
1
3H
W e W
B
SH ikl l H� , , (50)
à W| | è W� çàäàíû âûðàæåíèÿìè (41á).
394 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
Ïîñëå ýòîãî, âû÷èñëÿÿ òåíçîðà Iik èVik, íàõîäèì
ïî ôîðìóëå (I.1) ÝÒÏ äëÿ êîìïåíñèðîâàííîãî ìå-
òàëëà. Â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
� �ik r l i kc
eff eff( )|
| |
H �
3 3
�
�
� � �
eff eff[ ] ,ik i k H ike3 3 3 (51)
ãäå
| |
eff è
�
eff çàäàíû óðàâíåíèÿìè (42á), à
� �H pq p q
a
H
a a
B
S
eff eff
eff� � � �
3
2; ( ) . (52)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè n ne h� , â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ íå-
êîìïåíñèðîâàííîãî ìåòàëëà, ôëóêòóàöèîííûå ïî-
ïðàâêè âëèÿþò íà ãëàâíûé ÷ëåí ýôôåêòèâíîé õîë-
ëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè.
5. ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò
ýôôåêòèâíîãî òåíçîðà
ïðîâîäèìîñòè (ìàëûå ïîëÿ)
Ìû ïîä÷åðêèâàëè, ÷òî çàäà÷à íàñòîÿùåé ñòàòüè —
âûâîä ôîðìóë äëÿ ýôôåêòèâíûõ õàðàêòåðèñòèê ÃÌß
â ïîëèêðèñòàëëàõ ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè êðèñòàëëèòîâ
— ìîíîêðèñòàëëîâ. Â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ýòà çàäà-
÷à âûïîëíåíà. Íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî äàëüíåéøåå
ðàçâèòèå òåîðèè — êîíêðåòèçàöèÿ ïîëó÷åííûõ ôîð-
ìóë äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ ðàçëè÷íûõ ìåòàëëîâ. Âû-
ïîëíåíèå ïîäîáíîé ïðîãðàììû ïîòðåáóåò èñïîëüçîâà-
íèÿ óïðîùàþùèõ ìîäåëåé è êîìïüþòåðíîãî ðàñ÷åòà.
Ýòî íå âõîäèò â íàøó çàäà÷ó.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïûò ôåðìèîëîãèè ó÷èò, ÷òî
çàïèñü õàðàêòåðèñòèê â âèäå èíòåãðàëîâ ïî ÏÔ â òåõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ñòîÿò
âåëè÷èíû, èìåþùèå íàãëÿäíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë,
îêàçûâàåòñÿ (èëè ëó÷øå ñêàçàòü, ìîæåò îêàçàòüñÿ)
î÷åíü ïîëåçíîé. Ïîýòîìó ïðèâåäåì âûðàæåíèÿ äëÿ
õàðàêòåðèñòèê ÃÌß â ñëó÷àå ìàëûõ ìàãíèòíûõ ïî-
ëåé. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëèì ïîëèêðèñòàëëàì ìå-
òàëëîâ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèè, äëÿ êîòîðûõ ÝÒÏ
îïèñûâàåòñÿ òî÷íîé ôîðìóëîé: âûðàæåíèå (17) äëÿ
ïîëèêðèñòàëëîâ íå ìåíåå òî÷íîå, ÷åì ôîðìóëà (5)
äëÿ ìîíîêðèñòàëëîâ. Òåîðèÿ ÃÌß [1–3] èñïîëüçóåò
ðàçëîæåíèå ïî îáðàòíîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ äëÿ ðå-
øåíèÿ óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà — âû÷èñëåíèÿ ôóíê-
öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, à ñ åå
ïîìîùüþ — òåíçîðà ïðîâîäèìîñòåé. Ðàáîòà [28] ÿâ-
ëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ýòèõ ðàáîò.  íåé ïîëó÷åíî ðàç-
ëîæåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïî ñòåïåíÿì ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå äàåò âîñìîæíîñòü âû÷èñëèòü
òåíçîðà aik è Sik lm; , âõîäÿùèå â ôîðìóëó (5).
Îäíà èç çàäà÷ ýòîãî ðàçäåëà — ñäåëàòü ôîðìóëû
íàãëÿäíûìè. Ïîýòîìó íåñêîëüêî ñëîâ îá îáîçíà÷å-
íèÿõ. Íåðàâíîâåñíàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
f1, êàê è âñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ — ñêàëÿð.
Óäîáíî ïðåäñòàâèòü f1 â âèäå
f e
fF
1 � �
�
�
�
�
�
�
�
�
+
l p E( )
(îáîçíà÷åíèÿ îáùåïðèíÿòûå). Âåêòîð l p( ) — ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Âûáðàííîå îáîçíà÷åíèå
äîëæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî l p( ) ñëåäóåò/ìîæíî ñ÷è-
òàòü âåêòîðíîé äëèíîé ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðî-
íîâ ïðîâîäèìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî,
l p vp( ) � ,� �W 1
(53)
ãäå �Wp — îïåðàòîð ñòîëêíîâåíèé, à òåíçîð ïðîâî-
äèìîñòåé
� +ik i k F F
Fv l
e f
p� � � � � � �
�
��;
( )
�
�
2
2
2
3
3d , (54)
óãëîâûå ñêîáêè � �� F îáîçíà÷àþò èíòåãðèðîâàíèå
ïî ïðîñòðàíñòâó êâàçèèìïóëüñîâ. Ïðè çàìåíå
� � �f /F + äåëüòà-ôóíêöèåé èíòåãðèðîâàíèå ïðîèñ-
õîäèò ïî ÏÔ.
Åñëè ÏÔ — ñôåðà, òî v — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ
îïåðàòîðà ñòîëêíîâåíèé, è âñåãäà l p v( ) ( )� ( + , ãäå
( +( ) — âðåìÿ ðåëàêñàöèè èëè âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðî-
áåãà ýëåêòðîíà ñ ýíåðãèåé +.  îáùåì ñëó÷àå, ïðè
ïðîèçâîëüíîì çàêîíå äèñïåðñèè + +� ( )p , çàìåíà
�Wp
�1 íà ( +( ) íîñèò íàçâàíèå (-ïðèáëèæåíèÿ, õîòÿ ïî
ñóòè ýòî ïðèáëèæåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ, à ôèêñèðóåò
ðàçìåðíîñòü è ïîðÿäîê âåëè÷èíû l p( ), åñëè ( — ïî
ïîðÿäêó âåëè÷èíû — âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè.
 ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé ÏÔ, çàìåíèâ ( )� � �f /F + â
âûðàæåíèè (54) äåëüòà-ôóíêöèåé, íåìåäëåííî ïî-
ëó÷àåì
�ik ik� , ãäå
(� ne /m2
eff (n — ïëîòíîñòü
ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, m p /vF Feff � — ýôôåê-
òèâíàÿ ìàññà, èíäåêñ «F» óêàçûâàåò, ÷òî ýíåðãèÿ +
ðàâíà ýíåðãèè Ôåðìè +F).
Êîãäà ÏÔ èìååò ñëîæíóþ ôîðìó, ìîæíî ââåñòè
ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
l S Sp F F� � d | ( )|/l p ,
ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ÏÔ, SF — åå ïëî-
ùàäü. Èñïîëüçóÿ ýòî îáîçíà÷åíèå è ôîðìóëó (54),
óäåëüíóþ ïðîâîäèìîñòü êðèñòàëëà êóáè÷åñêîé ñèì-
ìåòðèè ïðè H � 0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
�
�
ik ik
F pe S l
� �,
( )
.
2
3 2
2
3
�
(55)
Ïðåèìóùåñòâî òàêîé çàïèñè â åå íàãëÿäíîñòè.
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 395
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [28].
Âûïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íîé
ik
s �
�
ik ik lm l mS H H( )
;
0 è àíòèñèììåòðè÷íîé
ik
a �
� e a Hiklm lm m ÷àñòåé òåíçîðà ïðîâîäèìîñòåé
ik( )H :
ik
a
q
i
q
k
e
c
l
p
l�
�
�
[ ]vH ; (56)
ik
s
ik q
i
q
m
k
m
e
c
l
p
W
l
p
� � �
�
�
�
�
�( ) [ ] � [ ]0
2
2
1vH vH . (57)
Ýòè ôîðìóëû ïîêàçûâàþò, êàêèå âåëè÷èíû èñïîëü-
çóþòñÿ ïðè çàïèñè âûðàæåíèé äëÿ õàðàêòåðèñòèê
ÃÌß â ìàëûõ ïîëÿõ. Òåíçîð âòîðîãî ðàíãà
u l / pik i k� � � ìîæíî íàçâàòü îáîáùåííûì òåíçîðîì
ïîäâèæíîñòåé.  îáùåì ñëó÷àå òåíçîð uik íåñèì-
ìåòðè÷åí.  (-ïðèáëèæåíèè (êîãäà ( — êîíñòàíòà)
ýòîò òåíçîð ñèììåòðè÷åí*:
u
v
p p p mik
i
k i k ik
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�( (
+
(
2 1
, (58)
1/mik – òåíçîð îáðàòíûõ ýôôåêòèâíûõ ìàññ. Âûðà-
æåíèå (58) — òèïè÷íîå îáîáùåíèå èçîòðîïíîé ïîä-
âèæíîñòè u /m� ( (m — ìàññà ýëåêòðîíà).
 ôîðìóëû (56),(57) òåíçîð uik âõîäèò âìåñòå ñ
âåêòîðîì ñêîðîñòè v. Ïîýòîìó îñíîâíûì ýëåìåíòîì
óäîáíî ñ÷èòàòü òåíçîð 3-ãî ðàíãà , ikl i k lv l / p� � �( )
è âûðàçèòü òåíçîðà aik è Sik lm; ÷åðåç ýòîò òåíçîð. Èç
ôîðìóë (55) ïîëó÷àåì
a
e
c
e e lik pqi rsk spr q F� � �
2
, ;
S
e
c
e e W Wik lm pql rsm qip skr qkp sir F;
� � .� � �
�� �
2
2
1 1
2
, , , ,
(59)
Âûïèñàííûå ôîðìóëû íå ñëèøêîì íàãëÿäíû, íî,
ñêàæåì, â (-ïðèáëèæåíèè îíè ìîãóò áûòü ñóùåñò-
âåííî óïðîùåíû.
Íåñêîëüêî ñëîâ î ïîëèêðèñòàëëàõ êóáè÷åñêèõ
ìåòàëëîâ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, äëÿ íèõ
�ik ik
( ) ,0
0� a aik ik� � , ÷òî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü
ÝÒÏ òî÷íî.
Ñðàâíèì âûðàæåíèå (17) ñ òåíçîðîì ïðîâîäèìî-
ñòåé
ik
is( ) äëÿ èçîòðîïíîãî òåëà ñî ñôåðè÷åñêîé ÏÔ.
 ìàëûõ ïîëÿõ
� � � � �ik
is is
ik ikl l ik i khe h( ) ( )[ ( )],�
� �0
2 (60)
ãäå h eH /mcH� �' ( ( .
Òåïåðü â (17) â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (59)
a
a e
c
l lll
spp s pps s� � � � � � �
3 6
( ),, , (61)
à êîýôôèöèåíòû S1 è S2 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëà-
ìè (7â) ñóòü:
S
e
c
Wskr rks skr F1
2
2
1
15
2� � � � � ��{ [ ( ) � ], , ,
� �
�� �1
2
1 1e e W Wpql rsk qlp skr qkp slr F( � � ) ,}, , , , (62)
S
e
c
e e Wpql rsk qlp skr2
2
2
1
30
3
2
� � �
�[ ( �, ,
� � � � �� �, , , , ,qkp slr F skr rks skr FW W� ) ( ) � .]1 1
(63)
Ñðàâíèì ôîðìóëû (17) è (60). Âèäíî, ÷òî â (17)
êîýôôèöèåíòû ïðè ëèíåéíîì è êâàäðàòè÷íîì ÷ëå-
íàõ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ èìåþò çíà÷èòåëüíî áîëåå
ñëîæíóþ ñòðóêòóðó, ÷åì â ôîðìóëå (60). Õîðîøî
èçâåñòíî, ÷òî â èçîòðîïíîì òåëå ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü
òåíçîðà ñîïðîòèâëåíèé âîîáùå íå çàâèñèò îò
ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñì., íàïðèìåð, [16]): �ik
is( ) �
� �( ) ( )� �
ik ikl l
ishe / 0 . Ïðè ðàc÷åòå ÝÒÑ ïî ôîðìó-
ëå (17) ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ïîëèêðèñòàëëà
õîëëîâñêèé ÷ëåí íå êîìïåíñèðóåò êâàäðàòè÷íîå
ñëàãàåìîå. Ýòî åùå ðàç ïîêàçûâàåò, ÷òî äàæå â
ñëó÷àå ïîëèêðèñòàëëîâ êóáè÷åñêèõ ìåòàëëîâ ýô-
ôåêòèâíûå ÃÌß õàðàêòåðèñòèêè íå ñîîòâåòñòâóþò
ìåòàëëó ñî ñôåðè÷åñêîé ÏÔ.
 (-ïðèáëèæåíèè ìîæíî âñåì âåëè÷èíàì, âõîäÿ-
ùèì â ôîðìóëó (17), ïðèäàòü âèä, ïîõîæèé íà èõ
âèä â ôîðìóëå (60), íî äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ ââåñòè
÷åòûðå ðàçëè÷íûå ýôôåêòèâíûå ìàññû. Òîëüêî òî-
ãäà, êîãäà ÏÔ ñôåðà, îíè ðàâíû äðóã äðóãó è ñîâïà-
äàþò ñ m p /vF Feff � .
6. Çàêëþ÷åíèå
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè ñëåäóåò ñ÷èòàòü
âûâîä ôîðìóë, ïîçâîëÿþùèõ âû÷èñëèòü õàðàêòåðè-
ñòèêè ÃÌß ïîëèêðèñòàëëîâ ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷-
íîñòè ïî àíèçîòðîïèè õàðàêòåðèñòèê êðèñòàëëèòîâ.
 òåêñòå ïðèâåäåíû âñå íåîáõîäèìûå äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ ÝÒÏ ôîðìóëû (ñì. Ïðèëîæåíèå I è ðàçäåëû
3,4). Êàê ïðàâèëî, ýêñïåðèìåíòàòîðû èñïîëüçóþò
äëÿ îïèñàíèÿ ÃÌß íå òåíçîð ïðîâîäèìîñòåé, à òåí-
çîð ñîïðîòèâëåíèé. Ïðèâåäåì ôîðìóëû äëÿ ÝÒÏ è
ÝÒÑ èçîòðîïíûõ â ñðåäíåì ïîëèêðèñòàëëîâ â ïðî-
èçâîëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå ÝÒÏ îï-
ðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
396 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
* Çàâèñèìîñòü ( îò + ñèììåòðèè uik íå íàðóøàåò.
� � � � � �ik ik i k ikl l i ks ae seff ( ) ( ) ~ ,H � �
1 3 (64)
ãäå êîýôôèöèåíòû s1, s3 è ~a çàâèñÿò îò âåëè÷èíû
ìàãíèòíîãî ïîëÿ H. Äëÿ ÝÒÑ èç ýòîãî âûðàæåíèÿ
ïîëó÷àåì
� � � �ik ik i k
s
s a
eff ( )
~
( )H �
� �1
1
2 2
�
~
~
.
a
s a
e
sikl l i k
1
2 2
3
1
� � � (65)
Àíàëèç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà (ñì.
[28,30,31]) âûÿâèë ñîîòíîøåíèÿ òèïà íåðàâåíñòâ ìåæ-
äó ðàçíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ÃÌß. Êàêèå èç íèõ ñî-
õðàíÿþòñÿ è â ïîëèêðèñòàëëàõ, ïîêà íå âûÿñíÿëîñü.
Êîãäà ÝÒÏ îïèñûâàåòñÿ òî÷íûìè ôîðìóëàìè,
åñòåñòâåííî, â òîé æå ìåðå òî÷íû è ôîðìóëû äëÿ
ÝÒÑ. Ïîëó÷åííûå íàìè òî÷íûå ðåøåíèÿ äàþò:
1) ÝÒÑ ïîëèêðèñòàëëîâ êóáè÷åñêèõ ìåòàëëîâ â
ìàëûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ:
�
�
�ik ik ikl l
aH
eeff ( ) {H � � �
1
0 0
�
�
1
2
0
1
2
0 2
2
0
�
� �[( ) ( ) ]}S a / S a /ik i k , (66)
çíà÷åíèÿ a, S1 è S2 çàäàíû ôîðìóëàìè (61)–(63).
2) ÝÒÑ ïîëèêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ ñ çàêðûòûìè
ÏÔ â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ:
íåêîìïåíñèðîâàííûå ìåòàëëû (n ne h� )
� � � �ik ik i ks Reff eff( ) ( )H � � �� &
2
�
&R Heikl l i k�
� �
1
| |
;
eff (67)
êîìïåíñèðîâàííûå ìåòàëëû (n ne h� )
� � � � �
ik ik i k ikl l
H
s
a
s
Heeff
eff
eff
eff e
( ) ( )
| |
H � � �
� �
2 1
ff
� �i k.
(68)
 óðàâíåíèÿõ (67),(68) s�
eff è
| |
eff çàäàíû óðàâíå-
íèåì (42á), à aeff — óðàâíåíèåì (52).
Åñòåñòâåííî, è ýòîãî ñëåäîâàëî îæèäàòü, óñðåä-
íåíèå íå ïðèíåñëî íåîæèäàííîñòåé. Âñå ÷åðòû
ÃÌß ìîíîêðèñòàëëîâ ìåòàëëîâ ñ çàìêíóòûìè ÏÔ
ñîõðàíèëèñü: íàñûùåíèå ïîïåðå÷íîãî ñîïðîòèâëå-
íèÿ ñ ðîñòîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ ó ìåòàëëîâ ñ íåðàâ-
íûìè ÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ è äûðîê è êâàäðàòè÷-
íûé ðîñò ó ìåòàëëîâ ñ n ne h� .
Õî÷åòñÿ ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íàñòîÿùåå èññëåäîâà-
íèå ìîæåò ñëóæèòü åùå îäíèì èç ÿâíî íåìíîãî-
÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ âîçìîæíîñòè òî÷íî ðåøèòü
çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè õàðàêòåðèñòèê ðåàëüíî ñó-
ùåñòâóþùèõ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñðåä — â äàííîì
ñëó÷àå ïîëèêðèñòàëëîâ.
Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû àêàäåìèêó À.Ì. Äûõíå è
ïðîôåññîðó À.Â. ×àïëèêó çà öåííûå çàìå÷àíèÿ è ïî-
ëåçíûå äèñêóññèè ïî õîäó âûïîëíåíèÿ ðàáîòû. Ðàáî-
òà È.Ì.Ê. ïîääåðæàíà ãðàíòîì ÐÔÔÈ 02-02-17226.
Ïðèëîæåíèå I. ÝÒÏ: ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé
 ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ôîðìàëüíîå ðåøå-
íèå çàäà÷è èìååò âèä (ñì. [13]):
ik ik ij jkV Weff � � � � �( ) ( ) ( ),H H H1
(I.1)
ãäå
W wik ik
n
n
�
�
&
* ( );
2
(I.2)
w k k q qik
n
n
n n l j
( )
( )
( )( )
( )
( )
...H �
�
� ���
1
2 3 1
3
1
3
1
1
1 1�
d d�
l j l j
nq
n n2 2 1 1
2 1( ) ( )
�
� �
� �
� � � � �� �... ( ) ( )d d3
1
3
1 1 1 2 2 1r r i in� �exp[ ] exp[ ] exk r r k r r p [ ]� � �� � �� i n n nk r r1 1 2( ) ...
� �
� �� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r . (I.3)
Âõîäÿùèå â ôîðìóëó (I.3) òåíçîðà q s( ) ñóòü
q
n n
Q kik
s i
s
k
s
s
s
s
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,� �n
k
Q n ns
ik i
s
k
s( ) ( ) ( )( )� � �
H . (I.4)
Òåíçîð Vij â óðàâíåíèè (I.1) çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
V W Iik ik im mk�
� , (I.5)
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 397
I d kqik ik( ) ( ) ( )H H k� � 3 � . (I.6)
Ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íûõ êîððåëÿòîðîâ,
âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (I.3), îïèñàí â Ïðèëîæåíèè II.
Ôîðìóëà (I.1) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ÝÒÏ ñ ëþáîé
ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïî àíèçîòðîïèè, õàðàêòåðèçóåìîé
òåíçîðîì � ( , )� r H , åñëè ðÿä (I.2) äëÿ Wik ñõîäèòñÿ.
Êîìïàêòíàÿ çàïèñü ðåøåíèÿ, ôîðìóëà (I.1), íå
äîëæíà ñêðûòü ñëîæíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà:
âûðàæåíèå äëÿ ÝÒÏ ñîäåðæèò äâà ðÿäà. Ñ ðîñòîì
íîìåðà n ïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëå
(I.3) äëÿ ÷ëåíîâ ðÿäà (I.2) wik
n( )( )H óñëîæíÿþòñÿ.
Êðîìå òîãî, îáû÷íî ïðè n � 2 êîìïîíåíòû ýòèõ òåí-
çîðîâ çàâèñÿò îò ñòàòèñòèêè íàïðàâëåíèé êðèñòàëëî-
ãðàôè÷åñêèõ îñåé (ñì. ðàçäåë 3). Âûïèñàòü ðÿä äëÿ
�V �1 ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîëÿ òîæå ñëîæíî.
 îáùåì ñëó÷àå ïðîñóììèðîâàòü ðÿäû, ïî-âèäèìîìó,
ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò
ïðèâåäåííîå âûøå ðåøåíèå äëÿ ïîëèêðèñòàëëîâ ìå-
òàëëîâ ñ çàêðûòûìè ÏÔ â áîëüøèõ ìàãíèòíûõ ïî-
ëÿõ, êîãäà, èñïîëüçóÿ ìàëîñòü ïàðàìåòðà r /lH , óäà-
òñÿ ïðîñóììèðîâàòü ÷ëåíû ðÿäà (I.2), îñòàâëÿÿ
òîëüêî ñëàãàåìûå O r /lH(( ) )2 .
Ïðèëîæåíèå II. Âû÷èñëåíèå
ìíîãîòî÷å÷íûõ êîððåëÿòîðîâ
 ôîðìóëû Ïðèëîæåíèÿ I âõîäÿò ìíîãîòî÷å÷íûå
êîððåëÿòîðû ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
êîòîðûõ ðàâíû íóëþ. Äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëèì ñíà-
÷àëà êîððåëÿòîðû ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé a( )r , b( )r ,
c( )r è ò.ä. (� � � � � � � � �a b c( ) ( ) ( )r r r � 0). Íàïîìíèì,
÷òî ìû ó÷èòûâàåì íåîäíîðîäíîñòü ïîëèêðèñòàëëà,
ñâÿçàííóþ òîëüêî ñ ðàçîðèåíòàöèåé çåðåí. Äðóãèå
èñòî÷íèêè íåîäíîðîäíîñòè íå ó÷èòûâàþòñÿ.
Åäèíñòâåííîå ñâîéñòâî ïîëèêðèñòàëëîâ, êîòîðîå
âëèÿåò íà çíà÷åíèå ñðåäíåãî ïî àíñàìáëþ îò äàííîé
âåëè÷èíû, åñòü ïîâîðîò êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé
êðèñòàëëèòîâ: óñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ ýêâèâàëåíò-
íî óñðåäíåíèþ ïî âñåì âîçìîæíûì ïîâîðîòàì êðè-
ñòàëëèòîâ.
Ïóñòü â àíñàìáëå âñå ïîâîðîòû ñòàòèñòè÷åñêè íå-
çàâèñèìû. Òîãäà ïðè ðàñ÷åòå äâóõòî÷å÷íîãî ñðåäíå-
ãî � �a b( ) ( )r r1 íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
1) âåêòîðû r è r1 íàõîäÿòñÿ â îäíîì çåðíå,
2) âåêòîðû r è r1 — â ðàçíûõ çåðíàõ.
Ïóñòü W2([r,r1]) — âåðîÿòíîñòü ñëó÷àÿ 1. Êâàäðàòíûå
ñêîáêè óêàçûâàþò, ÷òî âåêòîðû r è r1 ïîïàäàþò â îäèí
è òîò æå êðèñòàëëèò. Åñëè ñðåäà ñòàòèñòè÷åñêè îäíî-
ðîíà è èçîòðîïíà, òî W2([r,r1]) = W2(|r – r1|). Âåðîÿò-
íîñòü ñëó÷àÿ 2 åñòü W2([r],[r1]) = 1 – W2([r,r1]).
Î÷åâèäíî, W2([r,r1]) = 1, êîãäà r = r1. Ïîñêîëüêó â
ñëó÷àå 2 äâóõòî÷å÷íîå ñðåäíåå
� � �a b( ) ( )r r1 � �a( )r � � �b( )r1 0,
ïîëó÷àåì
� � � � �
a b ab W( ) ( ) ( , )r r r r1 2 1[ ]
� � � � � � �a b W ab W2 1 2 1( ],[ ]) ([ , ])[r r r r . (II.1)
Ñðåäíèå, â êîòîðûõ íå óêàçàíû àðãóìåíòû, îáîçíà-
÷àþò îäíîòî÷å÷íûå ñðåäíèå. Íàïðèìåð, � � �ab
� � �a b( ) ( )r r .
Âû÷èñëÿÿ ñðåäíåå òðåõ âåëè÷èí � �a b c( ) ( ) ( )r r r1 2 ,
îáîçíà÷èì êàêW a b c3([ , ], )r r r ñîâìåñòíóþ óñëîâíóþ
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âåêòîðû ra è rb ïîïàäàþò â
îäèí è òîò æå êðèñòàëëèò, à âåêòîð rc ïîïàäàåò â
äðóãîé êðèñòàëëèò. Âåðîÿòíîñòü W a b c3([ , ], )r r r èñ-
êëþ÷àåò âîçìîæíîñòü ïîïàäàíèÿ âñåõ òðåõ âåêòîðîâ
â îäèí è òîò æå êðèñòàëëèò. Â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøè-
ìè îáîçíà÷åíèÿìèW a b c3([ , , ])r r r — âåðîÿòíîñòü ïî-
ïàäàíèÿ âñåõ òðåõ âåêòîðîâ â îäèí è òîò æå êðèñòàë-
ëèò. Òîãäà
� � � � �� �
a b c a bc W( ) ( ) ( ) ([ , ], )r r r r r r1 2 3 1 2
� � � �
b ac W3 2 1([ , ], )r r r
� � � �
� �c ab W abc W3 1 2 3 1 2([ , ], ) ([ , , ]).r r r r r r
Åñëè êàæäîå èç ñðåäíèõ � � � � � � � � �a b c 0, òî, î÷å-
âèäíî,
� � � � �a b c abc W( ) ( ) ( ) ([ , , ]).r r r r r r1 2 3 1 2 (II.2)
Ñðåäíåå îò ÷åòûðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, çàâèñÿ-
ùèõ îò ÷åòûðåõ ðàçíûõ âåêòîðîâ, çàïèñûâàåòñÿ â
âèäå
� � � � � � �
a b c d ab cd W( ) ( ) ( ) ( ) ([ , ],[ , ])r r r r r r r r1 2 3 4 1 2 3
� � � �
ac bd W4 2 1 3([ , ],[ , ])r r r r
� � � �
� �ad bc W abcd W4 3 2 1 4 1 2 3([ , ],[ , ]) ([ , , , ])r r r r r r r r .
(II.3)
W a b c d4([ , ],[ , ])r r r r — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âåê-
òîðû ra è rb ïîïàäàþò â îäèí êðèñòàëëèò è îäíîâðå-
ìåííî ñ ýòèì âåêòîðû rc è rd ïîïàäàþò â äðóãîé
êðèñòàëëèò (W a b c d4 0([ , ],[ , ])r r r r � , åñëè, íàïðè-
ìåð, âåêòîðû ra è rc ïîïàäàþò â îäèí è òîò æå êðè-
ñòàëëèò); W4 1 2 3([ , , , ])r r r r — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
âñå ÷åòûðå âåêòîðà ïîïàäàþò â îäèí êðèñòàëëèò.
Åñëè ìû âû÷èñëÿåì ìíîãîòî÷å÷íûå êîððåëÿòîðû
òåíçîðíûõ âåëè÷èí, òî êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ
(II.1)–(II.3) — èçîòðîïíûå òåíçîðà ñîîòâåòñòâóþùå-
ãî ðàíãà. Ýòè òåíçîðà èìåþò òó æå ñèììåòðèþ îòíî-
ñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ, ÷òî è óñðåäíÿåìûå
ñëó÷àéíûå òåíçîðà. Êîýôôèöèåíòû â âûðàæåíèÿõ
äëÿ ìíîãîòî÷å÷íûõ êîððåëÿòîðîâ ìîãóò çàâèñåòü
òîëüêî îò èíâàðèàíòîâ óñðåäíÿåìûõ òåíçîðîâ.
398 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
Ïóñòü, íàïðèìåð, �B — ñèììåòðè÷íûé òåíçîð 2-ãî
ðàíãà, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè
ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Òàêîé òåíçîð èìååò òðè íå-
çàâèñèìûõ èíâàðèàíòà: èíâàðèàíò ïåðâîãî ïîðÿäêà
B B /kk1 3� è âòîðîãî ïîðÿäêà B B Bpq pq2 � . Äâà
êâàäðàòè÷íûõ èíâàðèàíòà, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðî-
èòü èç êîìïîíåíò òàêîãî òåçîðà, ñóòü B1
2 è B2. Åñëè
B Bik1 0� � � � , òî
� � � �B B
B
F Wkl mn kl mn( ) ( ) (| );;r r r r|1
2
2 130
Fkl mn kl mn km kn lm; ( ).� �
2 3� � � � � �ln
(II.4)
Åñëè B1 0� , òî åäèíñòâåííûé îòëè÷íûé îò íóëÿ
èíâàðèàíò 3-ãî ïîðÿäêà, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü
èç êîìïîíåíò òåíçîðà �B, åñòü B B B Brs st tr3 � . Òîãäà
òðåõòî÷å÷íûé êîððåëÿòîð
� � �B B B
B
F Wik lm pq ik lm pq( ) ( ) ( ) ([ , , ]); ;r r r r r r1 2
3
3 1 2210
,
(II.5)
ãäå òåíçîð Fik lm pq; ; çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
Fik lm pq ik lm pq ik pl mq ql pm; ; [ ( )� �
16 12� � � � � � � �
� � � � � � � � � �lm ip kq iq kp pq il km im kl( ) ( )]
9[ ( ) ( )� � � � � � � � � �lq im kp ip km mq il kp ip kl
� � � � � � � � � �mq il kp ip kl lp im kq iq km( ) ( )].
(II.6)
 ðàáîòå [25] òðåõòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ
ôóíêöèÿ W3 1 2([ , , ])r r r áûëà âûðàæåíà ÷åðåç W2:
W W W W3 2 1 2 2 2 1
1
3
� � �
� �( (| | ) (| | ) (| | )r r r r r r
� � � �W W W2 1 2 2 2 2 2 1(| | ) (| | ) (| | )).r r r r r r (II.7)
Ðàâåíñòâî (II.7) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà âñåõ
òðåõòî÷å÷íûõ êîððåëÿòîðîâ.
Òðåõòî÷å÷íûé êîððåëÿòîð äâóõ ñëó÷àéíûõ
òåíçîðîâ �B è �C (� � � � � �B Cik ik( ) ( )r r 0), íàïðèìåð
� �B B Cik lm pq( ) ( ) ( )r r r1 2 , çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (II.5),
ãäå B3 çàìåíÿåòñÿ íà èíâàðèàíò B B Crs st tr .
Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ñðåäíèå îò âåëè-
÷èí, êîìïîíåíòû êîòîðûõ çàâèñÿò òîëüêî îò êîîðäè-
íàò. Ïóñòü óñðåäíÿåìûå âåëè÷èíû çàâèñÿò åùå è îò
êîìïîíåíò çàäàííîãî âåêòîðà �i . Ïîñêîëüêó â ðàç-
íûõ êðèñòàëëèòàõ êîìïîíåíòû ýòîãî âåêòîðà ðàç-
ëè÷íî îðèåíòèðîâàíû îòíîñèòåëüíî êðèñòàëëîãðà-
ôè÷åñêèõ îñåé, ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû òîæå ìåíÿþòñÿ
ïðè ïåðåõîäå îò êðèñòàëëèòà ê êðèñòàëëèòó.
Åñëè îò âåêòîðà �i çàâèñÿò êîìïîíåíòû óñðåä-
íÿåìîãî òåíçîðà �R, ò.å. Rik( , )r κ , Òî ôîðìóëû
óñëîæíÿþòñÿ. Íàïðèìåð,
� � �
R R Rik ik i k1 2� � � , (II.8)
ãäå
R R Rkk ik i k1
1
2
� � � � � �[ ],� �
R R Rik i k kk2
1
2
3� � � � � �[ ]� � .
Ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ òåíçîðîâ 4-ãî ðàíãà
âèäà � ��( , ) �( , )R Rr rκ κ â âûðàæåíèå (II.4) äëÿ
òåíçîðîâ Fkl mn; äîáàâëÿþòñÿ ñëàãàåìûå, ñîäåðæà-
ùèå òåíçîðà, ñîñòàâëåííûå èç êîìïîíåíò κ:
A Bkl m n mn k l km l n kn l m( ) ( )� � � � � � � � � � � �
è C k l m n� � � � . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A,
B è C, êðîìå ñðåäíèõ èíâàðèàíòîâ ñàìèõ òåíçîðîâ,
èñïîëüçóþòñÿ ñðåäíèå
� �R Rkk mn m n( ) ( , ) ,r, rκ κ1 � �
� �R Rkl kn l n( , ) ( , )r rκ κ1 � � ,
� �R Rkl mn k l m n( , ) ( , )r rκ κ1 � � � � .
Àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü è
ñðåäíèå îò òåíçîðîâ áîëåå âûñîêîãî ðàíãà. Ìû íå
ïðèâîäèì ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû èç-çà èõ ãðî-
ìîçäêîñòè.
Ïðèëîæåíèå III. Âû÷èñëåíèå ýôôåêòèâíûõ
ãàëüâàíîìàãíèòíûõ õàðàêòåðèñòèê
â ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ
×òîáû âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â
âûðàæåíèå (6) äëÿ ÝÒÏ, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ
O( )�3 , âûïèøåì òåíçîðà Tik
n( , )0 , Tik p
n
,
( , )1 è Tik pq
n
;
( , )2 äëÿ
n � 2 3, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, êâàäðàòè÷íûõ ïî
ìàãíèòíîìó ïîëþ. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ (9) è
ôîðìóëó (8), ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
T n nik il j j lk
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ;02
0
0 0
1
1 11
1 1 1 1
�
� �r r (III.1)
T nik il j l j k j
( , ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )03
0
2
0 0
1
0
2
1
1 1 2 2 1
�
� � �r r r 1 1 2 2
1 2 2
) ( ) ( ) ( ).n n n
l j l
(III.2)
Íàïîìíèì, ÷òî n k /ki
s
i
s s( ) ( ) ( )� . Äàëåå
T e aik p il p pq j k,
( , ) ( )[ ( ) ( )12
0
0
1
1
1 1
�
� r r�
e a n nj kp pq il j l2 1 1 11
0 1 1� ( ) ( )] ;( ) ( ) ( )r r� (III.3)
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 399
T e aik p il p pq j l j k,
( , ) ( ) ( )[ ( ) ( ) (13
0
2
0
1
0
2
1
1 1 2 2
�
� r r r� � )
e aj l p pq il j k1 2 1 21
0 0
2� ( ) ( ) ( )( ) ( )r r r� �
e a n n nj kp pq il j l j l2 1 1 2 1 12
0 0
1
1 1� ( ) ( ) ( )]( ) ( ) ( ) ( )r r r� �
j l
n
2 2
2 2( ) ( ).
(III.4)
Âûðàæåíèå äëÿ Tik pq
n
;
( , )2 óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ñóììû òðåõ ñëàãàåìûõ:
T X X Xik pq
n
ik pq
n
ik pq
n
ik pq
n
;
( , )
;
( , )
;
( , )
;
( , ),2 0 1 2�
(III.5)
ãäå òåíçîð Xik pq
n
;
( , )0 ñâÿçàí ñ çàâèñèìîñòüþ êîìïîíåíò
òåíçîðà qik
s( ) îò H2:
X
S S
T n n nik pq
n
ik
n
p
r
r
n
q
r
;
( , ) ( , ) ( ) ( )( );0 1 2
0
0
1
12
� �
�
�
*
� 2 3, ,
(III.6)
òåíçîð Xik pq
n
;
( , )1 âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëàãàåìûå, â êîòîðûå
âõîäÿò äâà òåíçîðà � �a:
X e e a a n nik pq il r j ks rp sq j l;
( , ) ( ) (( ) ( )12
0
1
11
1 1 1 1
�
� �r r 1),
X e e a aik pq il r j l s rp sq j k;
( , ) ( )[ ( ) ( )13
0
2 1
01
1 1 2 2
�
� �r r � ( )r2
e e a aj kr j l s rp sq il2 1 2 12 1
0� �( ) ( ) ( )( )r r r�
e e a a n nil r j ks rp sq j l j l1 2 1 2 1 12
0
1
1 1� �( ) ( ) ( )]( ) ( ) (r r r� ) ( ) ( ).n n
j l2 2
2 2
(III.7)
Òåíçîð Xik pq
n
;
( , )2 â óðàâíåíèè (III.5) âêëþ÷àåò â ñåáÿ
òåíçîðà �Sik pq; ( ))r :
X Sik pq il pq j k;
( , )
;
( )[ ( )) ( )22
0
0
1
1
1 1
�
� r r�
�S n nj k pq il j l1 1 1 11
0 1 1
;
( ) ( ) ( )( )) ( )] ,r r�
X Sik pq il pq j l j k;
( , )
;
( ) ( )[ ( ) ( ) (23
0
2
0
1
0
2
1
1 1 2 2
�
� r r r� � )
�Sj l pq il j k1 2 1 21
0 0
2;
( ) ( )( ) ( ) ( )r r r� �
�S n n nj k pq il j l j l j2 1 1 2 1 12
0 0
1
1 1
;
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )]r r r� �
2 2
2 2( ) ( ).n
l
(III.8)
Îïðåäåëèâ òåíçîðà Tik
n( , )0 , Tik p
n
,
( , )1 è Tik pq
n
;
( , )2 äëÿ
n � 2 3, , âû÷èñëèì ñðåäíèå îò ñâåðòîê ýòèõ òåíçî-
ðîâ, âõîäÿùèå â òåíçîðà � ( , )Q r n . Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ
Q n( , )0 ðàññ÷èòàíû â ðàçäåëå 3, îñòàëîñü ðàññìîòðåòü
r � 1 2, . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (10), ïðè r � 1
r � 1 íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñðåäíèå � �T e /ik p
n
ikp,
( , )1 6 .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ïðèëîæåíèÿ II, ïîëó÷àåì
1
6 9
12 2
0
2 1 2
0� � � � � �T e
A
W A aik p ikp kl lk,
( , ) ( )(| | ); ;
�r r �
(III.9)
1
6 45
1 313 3
0
2 1 2
2
3 1 2� � � �T e
A
Wik p ikp,
( , ) [ ( ) ] ([ , ])
n n r r r .
(III.10)
Çäåñü A akl lm mk3
0 0� � �( ) ( )� . Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû
(III.9) è (III.10) â èíòåãðàë (I.3), ïîëó÷àåì âûðà-
æåíèå äëÿ AH , ïðèâåäåííîå â ôîðìóëå (14).
×òîáû âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû �
| |
( )1 , �
| |
( )2 , ��
( )1 è
��
( )2 , îïðåäåëÿþùèå çàâèñèìîñòü îò H ñèììåòðè÷íîé
÷àñòè ÝÒÏ (ñì. (6) è (15)), âû÷èñëèì ñðåäíèå îò
ñâåðòîê òåíçîðîâ Xik pq
n
;
( , )0 , Xik pq
n
;
( , )1 è Xik pq
n
;
( , )2 , òðåáóþ-
ùèåñÿ äëÿ ðàñ÷åòà êîýôôèöèåíòîâ Q n
1
2( , ) è Q n
2
2( , ) â
ôîðìóëå (10).
Ïðè n � 2 èç ôîðìóë (III.6), (II.4) è (II.5) èìååì
� � � �
�X
S S D
Wkk pp;
( , ) ( )
(| | ),02 1 2 2
0
2 2 1
2
3
r r
� � � �
�X
S S D
Wkp kp;
( , ) ( )
(| | ).02 1 2 2
0
2 2 1
2 2
15
r r
(III.11)
Íàïîìíèì, D kl lk2
0 0� � �( ) ( ). Ïðè n � 3 ïîëó÷àåì
� � � �
X
S S D
Wkk pp;
( , ) ( )
[ ( ) ] ([ ,03 1 2 3
0
3 1 2
2
3 1
2
15
1 3
n n r r , ]),r2
� � � �
�X
S S D
pk pk;
( , ) ( )03 1 2 3
0
3
2
105
� �[ ( ) ] ([ , , ]).19 31 2
2
3 1 2n n r r rW
Çäåñü D pq qr rp3
0 0 0� � � �( ) ( ) ( ).
Äàëåå, èç ôîðìóë (III.7) íàõîäèì:
� � � � � �X
B
W B a akk pp rp rp;
( , ) (| | ); .12 2
0
2 1 2
2
3
� �r r
(III.12)
Åñëè �arp — ñèììåòðè÷íûé òåíçîð, òî � � �Xkp kp;
( , )12 0.
� � � �X
B
Wkk pp;
( , ) [ ( ) ] ([ , , ]),13 3
0
2 1 2
2
3 1 2
30
13 9
n n r r r
� � � � �X
B
Wkp kp;
( , ) [ ( ) ] ([ , , ]),13 3
0
2 1 2
2
3 1 2
6
1
n n r r r
ãäå èíâàðèàíò B a ars st tr3
0� � � �( ).
Íàêîíåö, èç ôîðìóë (III.8) ïîëó÷àåì ïðè n � 2
400 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
� � � � �X
Z
W Z Skk pp kl pp kl;
( , )
( )
( )
;(| | );22 1
2
0
2 1 1
22
3
�r r �( ),0
� � � � �X
Z
W Z Skp kp kl kp lp;
( , )
( )
( )
;(| | );22 2
2
0
2 1 2
22
3
�r r �( ).0
(III.13)
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ
Z S Z Sst rr tu su rs rt tu su1
3 0 0
2
3 0 0( )
;
( ) ( ) ( )
;
( ) (,� �� �� � � � ),
Z S Z Srr st tu su tu rs rt us3
3 0 0
4
3 0 0( )
;
( ) ( ) ( )
;
( ) (,� �� �� � � � ),
(III.14)
òî
� � �
X
Z
Wkk pp;
( , )
( )
[ ( ) ] ([ , , ]),23 1
3
0
2 1 2
2
3 1 2
10
3
n n r r r
� � �
X Z Z Wkp kp n;
( , ) [~ ~ ( ) ] ([ , , ]),23
0
2 1 2
2
3 1 2
1
30
n n r r r
ãäå
~ ; ~ .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z Z Z Z Z Z Z Zn� �
�
6 3 2 32
3
3
3
4
3
2
3
3
3
4
3
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (III.9) – (III.14) â èíòåãðà-
ëû, îïðåäåëÿþùèå wik
( )( )2 H è wik
( )( )3 H (ñì. (I.3)),
ïîëó÷àåì ðÿä (I.2) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ O( )�3 ïî
àíèçîòðîïèè è O H( )2 ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ:
W w wik ik ik-
( ) ( )( ) ( ),2 3H H (III.15)
ãäå
w w Hw eik
n n
ik
n
ikq q
( ) ( ) ( )( )H �
0 1� �
H w wn
ik
n
i k
2
2
1
2
2( ).( ; ) ( ; )� � �
Çäåñü
w
D
w
D
F0
2 2
0
0
3 3
0
2 39 30
1( ) ( ) ( ); ( ),� � �
st
(III.16)
w
A
w
A
F1
2 2
0
1
3 3
0
2 39
2
15
1 3( ) ( ) ( ); ( ),� � � � �
st (III.17)
w
S S
D2
21 1 2
0
2 2
2
45
4 2
5
( ; ) ( )
� �
!
.
".
� �
#
$
%
1
2 2
0
1
2
2
2
2
( )( ) ( )Z Z B ; (III.18)
w
S S
D Z Z B2
22 1 2
0
2 2
0
1
2
2
2
2
1
45
2
5
2
3( ; ) ( ) ( )( )� �
�
!
.
"
.
#
$
.
%.
.
Íàêîíåö,
w
S S D
F2
31 1 2 3
0
3 3
2
35
1
1
9
( ; ) ( )( )
( )� �
�
st
�
�
B
F3
0
2 3
0
2450
31 23
1
450
( )( )st
� �
�[ ]( ~) ( ~ ) ,( ) ( ) ( )18 61
3
1
3
3Z Z Z Z Fn
st
(III.19)
w
S S D
F2
32 1 2 3
0
3 3
2 2
105
1
5
3
( ; ) ( )( )
( )�
� �
st
� �
�
2
225
7 6
1
150
3
0
2 3
0
2
B
F
( )( )st
� �
�
[( ~) ( ~ ) ].( ) ( ) ( )3 1
3
1
3
3Z Z Z Z Fn
st
Èòàê, ôîðìóëû (III.15)–(III.19) îïðåäåëÿþò òåí-
çîð Wik( )H ñ òî÷íîñòüþ O( � )�3 . Òåïåðü, ÷òîáû âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (I.1) äëÿ ÝÒÏ, íàäî â òîì
æå ïðèáëèæåíèè âû÷èñëèòü òåíçîð Vik
�1( )H . Îäíà-
êî èç âûðàæåíèÿ (I.5) ñëåäóåò, ÷òîVik
� �1( )H
�
�� �ik ikV 1( )H , ãäå �Vik
�1( )H ó÷èòûâàåò çàâèñè-
ìîñòü êîìïîíåíò ýòîãî òåíçîðà îò àíèçîòðîïèè. Êàê
è êîìïîíåíòû òåíçîðàWik( )H , êîìïîíåíòû òåíçîðà
�Vik
�1( )H ñîäåðæàò ÷ëåíû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿä-
êà ïî àíèçîòðîïèè. Ñëåäîâàòåëüíî, êîìïîíåíòû
òåíçîðà �V Wij jk
�1( ) ( )H H ïî êðàéíåé ìåðå ÷åòâåðòî-
ãî ïîðÿäêà ïî àíèçîòðîïèè. Ó÷åò òàêèõ ÷ëåíîâ ïðå-
âûøàåò òî÷íîñòü èñïîëüçóåìîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû
òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî àíèçîòðîïèè, òî
ik ik ikWeff � � � �( ) ( )H H . (III.20)
 çàêëþ÷åíèå âûïèøåì â ÿâíîì âèäå ôîðìóëû
äëÿ �
| |
( )1 , �
| |
( )2 , ��
( )1 è ��
( )2 , âõîäÿùèå â êîýôôèöèåíòû
� | | è � � , îïèñûâàþùèå çàâèñèìîñòü ñèììåòðè÷íîé
÷àñòè ÝÒÏ îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ ïðîäîëüíîé
ïðîâîäèìîñòè
�
| |
( ) ( )1 1 2
0
2 2
3
0
2
25
5
21
� �
S S
D
D
�
2
45
2 2
1500
1
2
2
2
2
2 3
0
2
( )( ) ( ) ( )Z Z B
B
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 401
�
1
150
3 4
2
3
2
0
2 1
3
2
3
3
3
4
3
( ),( ) ( ) ( ) ( )Z Z Z Z (III.21)
�
| |
( ) ( )2 1 2 3
0
3
3
0
2
2
35 450
� �
S S D B
1
150
4
3
2
2
3
0
2 1
3
2
3
3
3
4
3
( ),( ) ( ) ( ) ( )Z Z Z Z
à äëÿ ïîïåðå÷íîé ïðîâîäèìîñòè
�
� � �
�
�
��
�
�
��
( )1 1 2
0
2 2
3
0
2
5
8
45 7
S S
D
D
� �
2
45
2 2
17
4500
1
2
2
2
2
2 3
0
2
( )( ) ( ) ( )Z Z B
B
�
1
300
11 2
1
3
0
2 1
3
2
3
3
3
4
3
( ),( ) ( ) ( ) ( )Z Z Z Z
(III.22)
�
� �
�
( ) ( )2 1 2 3
0
3
3
0
2
2
315
11
450
S S D B
1
300
3
2
3
1
3
0
2 1
3
2
3
3
3
4
3
( )( ) ( ) ( ) ( )Z Z Z Z .
 ôîðìóëàõ (III.21) è (III.22) èíâàðèàíòû D2, D3,
B2 è B3 çàäàíû ôîðìóëàìè (III.11),(III.12); Z1
2( ) è
Z2
2( ) îïðåäåëåíû óðàâíåíèÿìè (III.13), à Zr
( )3
( , , ,r � 1 2 3 4) — óðàâíåíèåì (III.14).
Ïðèëîæåíèå IV. Ñðàâíåíèå ôëóêòóàöèîííûõ
ïîïðàâîê, îáÿçàííûõ õîëëîâñêîé
ïðîâîäèìîñòè, äëÿ èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî
ìåòàëëà è ïîëèêðèñòàëëà (áîëüøèå ïîëÿ)
 ðàáîòå [11] ïîêàçàíî, ÷òî â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ
ïîëÿõ ðàñ÷åò ïîïåðå÷íîé ýôôåêòèâíîé ïðîâîäèìî-
ñòè èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ìåòàëëà íåëüçÿ âû-
ïîëíèòü ìåòîäîì òåîðèè âîçìóùåíèé. Â òàêîì
ïðîâîäíèêå
� �eff 1 4 3/H / . Èñòî÷íèêîì íåîáû÷íî
áîëüøîãî çíà÷åíèÿ
�
eff ÿâëÿþòñÿ ôëóêòóàöèè õîë-
ëîâñêîé êîìïîíåíòû òåíçîðà ëîêàëüíîé ïðîâîäèìî-
ñòè. Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ôëóêòóàöèè èñïûòûâàþò òîëüêî õîëëîâñêèå êîìïî-
íåíòû òåíçîðà ïðîâîäèìîñòåé. Ñðàâíèì çíà÷åíèÿ
w w w /kk ik i k� � �( ) ( ) ( )( )2 2 2 2� � , îáócëîâëåííûå òàêèìè
ôëóêòóàöèÿìè, äëÿ èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ìå-
òàëëà è ïîëèêðèñòàëëà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (28), â ýòîì ñëó÷àå
ËÒÏ èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ìåòàëëà
� � � �ik
is
i k ikl l ikh
e
h
( )( , ) [ ]H r �
0 2
1 1
�� �
�
ik
is
ik
is
ikl lh
e( ) ( )( , ); ( , )
( )
H r H r
r
� . (IV.1)
Äëÿ ïîëèêðèñòàëëà ïîëîæèì, ÷òî ËÒÏ åñòü
ik
p
ik
p
ik
p( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( , );H r H r H� � �
�
� ik
p
ikl lm mH
e a( ) ( )( , ) ( )r H r�
1 1� �,κ ,
(IV.2)
ãäå òåíçîð � �
ik
p( )( )H çàäàí ôîðìóëîé (21), à äëÿ
ôëóêòóèðóþùåãî òåíçîðà �alm
( )( , )1 r κ âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî (23).
Âû÷èñëèì ïåðâóþ ôëóêòóàöèîííóþ ïîïðàâêó
w is
�
( ; )2 äëÿ èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ìåòàëëà (ñì.
ôîðìóëó (I.3)). Òåíçîð qik
is( ), âõîäÿùèé â âûðàæå-
íèå äëÿ w is
�
( ; )2 , åñòü
q
n n
/h
ik
is i k( , )
( ) ( )
( )[( ) ]
1
1 1
0
1 2 21
�
�n
. (IV.3)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (IV.1), ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
ñâåðòêà
� �
il
is
j k
is
i k1 1
0( ) ( )( , ) ( , ) .r H r H � � �
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî w w /is
kk
is
� �( ; ) ( ; )2 2 2. Ïîëàãàÿ, ÷òî
ïðîâîäíèê â ñðåäíåì ñòàòèñòè÷åñêè îäíîðîäåí è
èçîòðîïåí, èìååì
� � � � � � �� � �
kl
is
j
is
j l j l
k
W
1 1 1 1 1 11
2
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) (|r r r� � � � r1| ),
ãäå W2 1(| | )r r� — êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ,
ïîëó÷àåì
w
h
x
x
x /h
is
� � �
� � �
-�( ; )2
2
2 1
1
2
1
2 24
1
1
�
/
d
–1
1
- �
� �
�
�2
0
1
1
4
�
h
x; .( )κn (IV.4)
Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (IV.4) ó÷òåíî ðàâåíñòâî
W kW k2
3
20 1( ) ( )� ��d .
Ñëåäîâàòåëüíî, w /his
� �( ; )2 1 , â òî âðåìÿ êàê
� � ��
is /h1 2. Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïðè n � 2 âûðàæå-
íèÿ äëÿ w is n
�
( ; ) çàâèñÿò îò ñòàòèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé ôóíêöèè �( )r . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ýòà
ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíà ïî Ãàóññó (îòëè÷íû
îò íóëÿ òîëüêî çíà÷åíèÿ w is n
�
( ; ) ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè
n), òî çíà÷åíèå w /is
� � � �( ; )4 2 2
0
3�
.
402 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
Èòàê, ñðåäíÿÿ ïîïåðå÷íàÿ ïðîâîäèìîñòü ïîðÿäêà
0
2/h , à çà ñ÷åò ôëóêòóàöèé õîëëîâñêîé êîìïîíåí-
òû ËÒÏ ÷ëåíû w is n
�
( ; ) ðÿäà äëÿ òåíçîðàWik ïîðÿäêà
( )� � � ��n n n// h
0
1 2 2. Ïðè h �� 1 òàêîé ðÿä ñõîäèòñÿ,
òîëüêî åñëè h /� � �2
0
2 1
. Ýòî íåðàâåíñòâî
ñîîòâåòñòâóåò óêàçàííûì Äðåéçèíûì è Äûõíå
ãðàíèöàì ïðèìåíèìîñòè òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ýôôåêòèâíîé ïîïåðå÷íîé ïðîâîäèìî-
ñòè èçîòðîïíîãî íåîäíîðîäíîãî ïðîâîäíèêà.
Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî è â ïîëèêðèñòàëëàõ ïîë-
íûé ó÷åò ôëóêòóàöèé õîëëîâñêèõ êîìïîíåíò ËÒÏ,
ïðèâîäÿùèé ê ïîÿâëåíèþ â ïðîèçâåäåíèè
� � �il j l j k nn1 1 2 11 1( , ) ( , )... ( , )H r H r H r
� �
÷ëåíîâ ïîðÿäêà 1/Hn (n � 2), ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ
â âûðàæåíèÿõ äëÿ w n
�
( ) ÷ëåíîâ, áîëüøèõ ïî ñðàâíå-
íèþ ñ ÷ëåíàìè ïîðÿäêà 1 2/H . Îäíàêî ýòî íå òàê,
áëàãîäàðÿ âûïîëíåíèþ ðàâåíñòâà � � �aik i k
( )1 0� .
Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî âû-
÷èñëèòü âûðàæåíèÿ äëÿ w p n
�
( ; ) â ñëó÷àå, êîãäà ôëóê-
òóàöèè ËÒÏ çàäàþòñÿ òåíçîðîì � ik
p( )( , )r H (IV.2).
Íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ w p
�
( ; )2 .  ýòîì ñëó÷àå
� �
il
p
j k
p
il m j km mn n m n
e e a a
1 1 1 1 1 1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )r r � � � � �n1
. Â ñèëó
âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (23) ñðåäíåå
� � �
� �
�� � � � � � �a a
A
mn n m n n mm m m
( ) ( ) ( ).1 1
1 1 1 1 12
(IV.5)
Òåïåðü, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (26) äëÿ òåíçîðà
q
l j1 1
1( ) , ïîëó÷àåì
w
A
H S
k
W k Ap
� � �
� �
� �
- �
�
�( ; ) ( ) ( )
[( ) ]
2
2
3
1
1
2
2 1
1
2 22
d
κ
κ
n
n �
�
� �2 2H S
.
(ñðàâíè ñ ôîðìóëîé (IV.4)). Çäåñü A çàäàíî âûðà-
æåíèåì (38). ×ëåí w p
�
( ; )2 áûë ó÷òåí ïðè ñóììèðî-
âàíèè ðÿäà (41) äëÿ W� .
Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 4, ïðè èñïîëüçîâàíèè
ðàçëîæåíèÿ (30) çíà÷åíèÿ w n
�
�( )2 1 îòëè÷íû îò íóëÿ
(ñì. ôîðìóëó (39)). Åñëè æå ôëóêòóàöèè ËÒÏ çà-
äàþòñÿ òåíçîðîì � ik
p( )( , )r H , âñå íå÷åòíûå ïîïðàâêè
w p n
�
� �( ; )2 1 0. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èç-çà ðàâåíñòâà
(23) âñå ñðåäíèå îò íå÷åòíîãî ÷èñëà âåêòîðîâ
� �amn n
( )1 îáðàùàþòñÿ â íóëü.  ÷àñòíîñòè, w p
� �( ; )3 0.
Èñïîëüçóÿ ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ, èçëîæåí-
íûé â Ïðèëîæåíèè II, ìîæíî ðàññ÷èòàòü âûðàæå-
íèÿ äëÿ w p n
�
( ; )2 ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè n.
Îäíàêî ýòî î÷åíü òðóäîåìêàÿ ðàáîòà. Ìû ïðîâåðè-
ëè, ÷òî w /Hp
�
( ; ) ~4 31 . Ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî ïðè
âñåõ n � 2 èç-çà ñïåöèôè÷åñêîãî âèäà ñðåäíèõ
� �
� � �
� � � � � �a a amn m n m n n n nn n n1 1 2 1 2 1 1 2 1
� � ïîïðàâêè
w p n
�
( ; )2 áóäóò ìàëû ïî ïàðàìåòðó 1/H â ñðàâíåíèè c
÷ëåíàìè ïîðÿäêà 1 2/H , ó÷òåííûìè â âûðàæåíèè
(42á) äëÿW� . Åñëè ýòî òàê, òî ïîëó÷åííîå íàìè âû-
ðàæåíèå (42á) äëÿ
�
eff ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì â ðàìêàõ
ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèáëèæåíèÿ.
1. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.ß. Àçáåëü, Ì.È. Êàãàíîâ, ÆÝÒÔ
31, 63 (1956).
2. È.Ì. Ëèôøèö, Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèé, ÆÝÒÔ 35, 1251
(1958).
3. È.Ì. Ëèôøèö, Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèé, ÆÝÒÔ 38, 188
(1960).
4. Å.Ñ. Áîðîâèê, ÆÝÒÔ 25, 91 (1952).
5. Å.Ñ. Áîðîâèê, ÔÌÌ 2, 33 (1956).
6. Þ.Ï. Ãàéäóêîâ, Òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòåé Ôåðìè
(ñïðàâî÷íàÿ òàáëèöà). Ïðèëîæåíèå III ê ìîíîãðà-
ôèè [7].
7. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.ß. Àçáåëü, Ì.È. Êàãàíîâ, Ýëåê-
òðîííàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1971).
8. Ä. Øåíáåðã, Ìàãíèòíûå îñöèëëÿöèè â ìåòàëëàõ,
Ìèð, Ìîñêâà (1986).
9. Ï.Ë. Êàïèöà, Èçìåíåíèå ýëåêòðîïðîâîäíîñòè â
ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Èçáðàííûå òðóäû, Íàó-
êà, Ìîñêâà (1988).
10. L.V. Shubnikov and W.J. de Haas, Leiden Commun.
19, 2071 (1930).
11. Þ.À. Äðåéçèí, À.Ì. Äûõíå, ÆÝÒÔ 63, 242 (1972).
12. M.I. Kaganov and V.G. Peschanskii, Phys. Rep. 372,
445 (2002).
13. I.M. Kaganova and M.I. Kaganov, Lazar Physics 14,
416 (2004).
14. È.Ì. Ëèôøèö, Ë.Í. Ðîçåíöâåéã, ÆÝÒÔ 16, 967
(1946).
15. È.Ì. Ëèôøèö, Ã.Ä. Ïàðõîìîâñêèé, ÆÝÒÔ 20, 175
(1950).
16. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.È. Êàãàíîâ, Â.Ì. Öóêåðíèê, â
êí: Èçáðàííûå òðóäû È.Ì. Ëèôøèöà, Íàóêà, Ìî-
ñêâà (1987).
17. I.M. Kaganova and A.A. Maradudin, Phys. Scr. T44,
104 (1992).
18. È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ, ÔÍÒ 22, 929 (1996).
19. I.M. Kaganova, Phys. Rev. B51, 5333 (1995).
20. A.M. Dykhne and I.M. Kaganova, Physica A241, 154
(1997).
21. Ì.À. Ëåîíòîâè÷, â êí: Èññëåäîâàíèå ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ ðàäèîâîëí, Ãîñòåõèçäàò, Ìîñêâà (1948).
22. I.M. Kaganova and M.I. Kaganov, Phys. Rev. B63,
054202 (2001).
23. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ýëåêòðîäèíàìèêà
ñïëîøíûõ ñðåä, Íàóêà, Ìîñêâà (1982).
24. Å.Ì. Ëèôøèö, Ë.Ï. Ïèòàåâñêèé, Ôèçè÷åñêàÿ êèíå-
òèêà, Íàóêà, Ìîñêâà (1979).
25. I.M. Kaganova, Phys. Lett. A312, 108 (2003).
26. Ì.È. Êàãàíîâ, ÆÝÒÔ 77, 250 (1979).
27. Ôèçè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, ò. 3, Áîëüøàÿ Ðîññèé-
ñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, Ìîñêâà (1992).
28. Ì.È. Êàãàíîâ, Â.Ã. Ïåñ÷àíñêèé, â ñá. Èññëåäîâàíèå
ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà â ìåòàëëàõ, Íàóêîâà äóìêà,
Êèåâ (1965).
29. À.Ã. Ôîêèí, ÓÔÍ 166, 1096 (1966).
Ê òåîðèè ãàëüâàíîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìåòàëëàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4 403
30. Ã.Ò. Àâàíåñÿí, Ì.È. Êàãàíîâ, ÆÝÒÔ 63, 1472 (1972).
31. Ã.Ò. Àâàíåñÿí, Ì.È. Êàãàíîâ, ÆÝÒÔ 69, 999 (1975).
On the theory of galvanomagnetic
phenomena in polycrystalline metals
I.M. Kaganova and M.I. Kaganov
We formulate an algorithm of calculation of
the effective conductivity tensor of polycrystalline
metals in a uniform magnetic field using the
galvanomagnetic characteristics of single crystal
grains. The algorithm is based on the expansion in
powers of deviations of the tensors from their av-
eraged values. The effective conductivity tensor is
calculated in two limiting cases: in weak magnetic
fields for polycrystals of metals with an arbitrary
electron energy spectrum and in strong magnetic
fields for metals with closed Fermi surfaces. In the
last case the starting formulae are the result of the
theory of galvanomagnetic phenomena, which uses
the classic Boltzmann equation for the distribution
function of electrons with an arbitrary dispersion
law. For polycrystals of cubic metals in weak
magnetic fields and polycrystals of metals with
closed Fermi surfaces in strong magnetic fields the
obtained formulae are of the same accuracy as that
of the initial expressions.
404 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2005, ò. 31, ¹ 3/4
È.Ì. Êàãàíîâà, Ì.È. Êàãàíîâ
|