Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования

Рассматривается метод нахождения характеристической функции порождающего процесса для линейного процесса авторегрессии AR(2) t ξ, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Для решения такой задачи, которую называют обратной задачей, используются свойства характеристической функции стационар...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Зварич, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут електродинаміки НАН України 2016
Назва видання:	Технічна електродинаміка
Теми:	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121934
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования / В.Н. Зварич // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 2. — С. 83-89. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-121934
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1219342017-06-23T03:02:30Z Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования Зварич, В.Н. Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Рассматривается метод нахождения характеристической функции порождающего процесса для линейного процесса авторегрессии AR(2) t ξ, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Для решения такой задачи, которую называют обратной задачей, используются свойства характеристической функции стационарного линейного случайного процесса авторегрессии, которую можно представить как в канонической форме Колмогорова, так и в форме линейного случайного процесса с дискретным временем, а также ядра преобразования для такого процесса. Представлен пример нахождения характеристической функции для линейного процесса авторегрессии второго порядка, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Показано применение полученных результатов для нахождения характеристической функции вибросигнала ветрогенератора. Розглянуто метод знаходження характеристичної функції породжуючого процесу для лінійного процесу авторегресії AR(2) ξ t, що має і від′ємний біноміальний розподіл. Для рішення такої задачі, яку часто називають оберненою, використовуються властивості характеристичної функції стаціонарного лінійного випадкового процесу авторегресії, яку можна представити як у канонічному вигляді Колмогорова, так і у вигляді лінійного випадкового процесу з дискретним часом, а також ядра перетворення для такого процесу. Подано приклади знаходження характеристичної функції для лінійного процесу авторегресії другого порядку, що має від’ємний біноміальний розподіл. Представлено деякі особливості використання отриманих результатів для моделювання вібраційних сигналів енергетичного обладнання, зокрема, вібросигналів вітрогенератора. A method is suggested for definition the characteristic function of the generative process for linear autoregressive AR(2) processes with negative binomial distribution, namely, autoregressive process. 2016 Article Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования / В.Н. Зварич // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 2. — С. 83-89. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1607-7970 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121934 004.891.3; 621.327; 519.2; 534.8 ru Технічна електродинаміка Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
spellingShingle	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці Зварич, В.Н. Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования Технічна електродинаміка
description	Рассматривается метод нахождения характеристической функции порождающего процесса для линейного процесса авторегрессии AR(2) t ξ, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Для решения такой задачи, которую называют обратной задачей, используются свойства характеристической функции стационарного линейного случайного процесса авторегрессии, которую можно представить как в канонической форме Колмогорова, так и в форме линейного случайного процесса с дискретным временем, а также ядра преобразования для такого процесса. Представлен пример нахождения характеристической функции для линейного процесса авторегрессии второго порядка, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Показано применение полученных результатов для нахождения характеристической функции вибросигнала ветрогенератора.
format	Article
author	Зварич, В.Н.
author_facet	Зварич, В.Н.
author_sort	Зварич, В.Н.
title	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
title_short	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
title_full	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
title_fullStr	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
title_full_unstemmed	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
title_sort	использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Інформаційно-вимірювальні системи в електроенергетиці
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/121934
citation_txt	Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования / В.Н. Зварич // Технічна електродинаміка. — 2016. — № 2. — С. 83-89. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Технічна електродинаміка
work_keys_str_mv	AT zvaričvn ispolʹzovanierešenijobratnojzadačilinejnyhprocessovavtoregressiidlâmodelirovaniâvibracionnyhsignalovuzlovélektrotehničeskogooborudovaniâ
first_indexed	2025-07-08T20:48:35Z
last_indexed	2025-07-08T20:48:35Z
_version_	1837113242863796224
fulltext	ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 83 УДК 004.891.3; 621.327; 519.2; 534.8 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВИБРАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ УЗЛОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ В.Н. Зварич, докт.техн.наук Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56, Киев-57, 03080, Украина. e-mail: zvaritch@nas.gov.ua Рассматривается метод нахождения характеристической функции порождающего процесса для линейного процесса авторегрессии AR(2) tξ , имеющего отрицательное биномиальное распределение. Для решения такой задачи, которую называют обратной задачей, используются свойства характеристической функции стацио- нарного линейного случайного процесса авторегрессии, которую можно представить как в канонической фор- ме Колмогорова, так и в форме линейного случайного процесса с дискретным временем, а также ядра преоб- разования для такого процесса. Представлен пример нахождения характеристической функции для линейного процесса авторегрессии второго порядка, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Показано применение полученных результатов для нахождения характеристической функции вибросигнала ветрогене- ратора. Библ. 14, рис. 1. Ключевые слова: линейный процесс авторегрессии, характеристическая функция, ядро преобразования, по- рождающий процесс, безгранично-делимый закон распределения, отрицательное биномиальное распределение, вибродиагностика подшипников качения. Введение. Вибромониторинг электротехнического оборудования − чрезвычайно важная зада- ча повышения надежности работы такого оборудования [8,10,11]. Особенность такого мониторинга − не только отображение параметров, характеризующих работу электротехнического оборудования, но и их регистрация. Иногда необходимо регистрировать не только параметры, характеризующие реали- зации вибрационных процессов (вибросигналы), но и сами вибросигналы для последующего анализа, моделирования, построения соответствующих тренажеров обучения обслуживающего персонала и т.д. С такой задачей, в частности, столкнулась фирма Brüel&Kjær при разработке систем вибромо- ниторинга турбогенераторов, которые требуют не только постоянного измерения оценки и отобра- жения контролируемых параметров, но и их документирования. Наиболее простое решение этой за- дачи – это непосредственная регистрация вибросигналов. Например, разработчики системы (Brüel&Kjær) при создании системы VIBROCAM 5000, которая предназначена для диагностики тур- боагрегата мощностью 500 МВт, подсчитали, что для регистрации в течение года такой информации необходимо использовать от 2000 до 100000 гигабайт памяти компьютера в зависимости от про- цедуры измерения. Если ограничиться 10 постоянно регистрируемыми параметрами, то необходимо только 20 гигабайт памяти. Если ограничиться регистрацией только «значимых» изменений таких 10 параметров, то достаточно в среднем 0.1 гигабайта памяти при 32 регистрируемых точках. Развитие и широкое использование средств вычислительной техники в системах мониторин- га, контроля и диагностики электротехнического оборудования предполагают для математического описания информационных сигналов [9-12,14] и построения алгоритмов мониторинга и диагностики применение случайных процессов с дискретным временем и дискретными распределениями. К таким случайным процессам относятся линейные процессы авторегрессии [1,2]. Важные результаты по теории линейных случайных процессов, а также их приложений получены в работах [4,6]. Применение процессов авторегрессии (AR), скользящего среднего (MA), авторегрессии сколь- зящего среднего (ARMA) в качестве математических моделей вибросигналов имеет ряд преимуществ по сравнению с другими математическими моделями таких сигналов узлов электротехнического обо- рудования, поскольку такие модели дают возможность, при необходимости, быстро восстановить вибросигналы, если известны параметры AR, MA или ARMA, а функция распределения реализаций вибрационных процессов имеет нормальное распределение. Однако задача восстановления услож- няется, если вибросигнал имеет отличное от нормального распределение. Применение линейных AR процессов в качестве математических моделей вибросигналов электротехнического оборудования да- © Зварич В.Н., 2016 84 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 ет возможность найти характеристическую функцию таких процессов и, следовательно, использовать ее параметры для построения алгоритмов мониторинга и диагностики. Но иногда такой подход дает возможность найти и использовать для мониторинга и диагностики характеристическую функцию порождающего процесса линейного AR процесса. Это позволяет определить неисправность диагнос- тируемого узла электротехнического оборудования на более ранних стадиях ее появления, чем это возможно при использовании таких часто применяемых методов мониторинга и диагностики как спектральный, корреляционный, статистический спектральный. Более того, представленные методы дают возможность использовать для построения алгоритмов мониторинга и диагностики параметры порождающего процесса. Целью работы является разработка метода нахождения характеристической функции порож- дающих процессов линейных AR процессов, который часто называют методом решения обратной за- дачи, для случая, когда вибрационный сигнал имеет отрицательное биномиальное распределение, а также использование такого метода для нахождения характеристической функции порождающего процесса вибросигналов подшипника качения ветрогенератора для последующего применения в ал- горитмах мониторинга и диагностики. Метод нахождения характеристической функции порождающего процесса для линейного случайного процесса с дискретным временем. Рассмотрим линейный случайный процесс с дис- кретным временем tξ , т.е. процесс, который задают следующим образом [2]: ( ) τ τ ζτϕξ − ∞ = ∑= tt 0 , (1) где { },t tζ Ζ∈ − однородный случайный процесс с дискретным временем и независимыми значени- ями, о котором известно, что он имеет безгранично делимый закон распределения { } 100 ==ςP , (этот процесс часто называют порождающим процессом для tξ ); Z − множество целых чисел; ( ){ }Ζ∈ττϕ , − некоторая числовая последовательность действительных чисел, которую называют импульсной ре- акцией, или ядром линейного случайного процесса tξ и ( ) ∞<∑ ∞ = τϕ τ 0 2 , ( ) 0 ≡τϕ при 0 < τ . К линейным случайным процессам с дискретным временем относятся и линейные случайные процессы авторегрессии. Свойства ядра чрезвычайно важны для решения обратной задачи, т.е. зада- чи определения характеристической функции порождающего процесса tς , если известна характе- ристическая функция наблюдаемого процесса tξ и ядро наблюдаемого процесса ( )τϕ . Некоторые ре- зультаты исследований возможности решения обратной задачи для линейных случайных процессов c непрерывным временем приведены в [4], а для стационарных процессов авторегрессии AR(1), имеющих Гамма и отрицательное биномиальное распределение, представлены в [13]. Для решения обратной задачи воспользуемся подходом, изложенным в [2], который позволяет определить характеристическую функцию порождающего процесса и использовать статистические характеристики порождающего процесса для построения алгоритмов мониторинга, контроля и диаг- ностики энергетического оборудования. Известно, что логарифм одномерной характеристической функции для линейного стационар- ного процесса с дискретным временем в канонической форме Колмогорова определяют следующим образом: ( ) ( ) { } ( ) ,11, ln, ln 2x xdK iuxeuimuftuf iux ξ ξξξ ∫ ∞ ∞− −−+== (2) в которой параметр ξm и спектральная функция скачков А.Н. Колмогорова ( )xKξ однозначно опре- деляют характеристическую функцию [5,6]. Но логарифм характеристической функции линейного процесса с дискретным временем также записывают и в такой форме: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 21, ln, ln x xdK iuxeuimtuftuf iux ζ τ τϕ τ ζξξ τϕτϕ ∑ ∫∑ ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ −∞= −−+== , (3) ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 85 где параметры ςm , ( )xKζ определяют характеристическую функцию порождающего процесса tς , а ( )τϕ − ядро линейного случайного процесса tξ . В соотношениях (3) и (4) ( )xKξ , ( )xKζ − неубы- вающие ограниченные функции такие, что ( ) 0=∞−ξK , ( ) .0=∞−ςK Параметры ξm и ςm и Пуассоновские спектры скачков ( )xKξ и ( )xKζ связаны между собой следующим образом (в предположении, что процесс tξ − стационарный а tς − однородный): ( ), 0 ∑ ∞ = = τ ζξ τϕmm ( ) ( ) ( )ydKyxRxK ςϕξ ∫ ∞ ∞− = , , (4) где ( )yxR ,ϕ − ядро преобразования, которое для стационарных линейных процессов с дискретным временем равно ( ) ( ) ( )[ ],, 2 τϕτϕ τ ϕ yxUyxR −= ∑ ∞ −∞= [ ].U − функция Хевисайда. Ядро преобразования ),( yxRϕ однозначно связано с ядром линейного случайного процесса )(τϕ . Интеграл (4) есть интеграл Лебега-Стилтьеса. Для решения обратной задачи предполагается существование формулы обращения для интеграла (4) [2]. Характеристическая функция порождающего процесса для линейного процесса авто- регрессии с отрицательным биномиальным распределением. Линейный стационарный в строгом смысле процесс авторегреcсии tξ задают следующим уравнением: , 1 t p j jtjt a ςξξ =+ ∑ = − Zt ∈ , (5) где { }pjaa jj ,1 ,0 , =≠ − параметры авторегрессии, представляющие собой действительные числа; Z − множество целых чисел; p − порядок авторегрессии; { }Ζ∈tt ,ζ − порождающий процесс для tξ . Наблюдаемый случайный процесс tξ имеет отрицательное биномиальное распределение с одномерной характеристической функцией ( ) r n k kuiq pttuf ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ =1 )exp(1 ,ξ ∀ 01 ;0 ;0 ; >−=>>∈ pqrpZt . (6) Случайный процесс tξ является строго стационарным, и выполняется эргодическая теорема [8]. Поскольку отрицательное биномиальное распределение относится к классу безгранично де- лимых распределений, логарифм одномерной характеристической функции процесса tξ представлен в канонической форме Колмогорова (2), справедливо и соотношение (3). Если известна характеристическая функция наблюдаемого стационарного линейного процес- са авторегрессии tξ в канонической форме (2) и ядро ( )τϕ , то, определив параметры ςm , ( )xKζ , на- ходят характеристическую функцию порождающего процесса tς в канонической форме Колмогорова. Пуассоновский спектр скачков процесса в формуле Колмогорова для отрицательного биноми- ального распределения определяется следующим образом [5]: 0 ( ), 0, ( ) 0, 0, < k k r kq U x k x K x x ξ ∞ = ⎧ − ≥⎪= ⎨ ⎪ ⎩ ∑ (7) тогда ( ) 0 , , 0), ( ) 0, 0, . ( < k k r kq x k x k x dK x x x k ξ δ ∞ = ⎧ − = ≥⎪= ⎨ ⎪ ≠⎩ ∑ (8) 86 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 Если функция ( )τϕ убывает, оставаясь положительной, то ядро преобразования ( )yxR ,ϕ и обратное ядро преобразования ( )yxR ,1− ϕ определяются из соотношений, приведенных в [2]. Из соотношения (8) [2] пуассоновский спектр скачков порождающего процесса tς для рас- сматриваемого случая определяют следующим образом: ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 , 0; , 0 , 0. y k k r kq x k dx y y k K y y ς τ ϕ τ δ −∞ ∞ =−∞ = ⎧ ⎪ − > =⎪= ⎨ ⎪ ≤⎪⎩ ∑ ∑ ∫ (9) Проинтегрировав, получим ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , 0; , 0 , 0, . k k r kq U y k y y kK y y y k ς τ ϕ τ −∞ ∞ =−∞ = ⎧ ⎪ − > =⎪= ⎨ ⎪ ≤ ≠⎪⎩ ∑ ∑ (10) Тогда ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , 0, . k k dK y r kq y k y y kς τ ϕ τ δ −∞ ∞ =−∞ = = − > =∑ ∑ (11) Параметр ςm характеристической функции порождающего процесса ( ) ( ) 1 1 0 0 ,rqm m pς ξ τ τ ϕ τ ϕ τ − −∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ (12) а логарифм характеристической функции порождающего процесса tς определяется соотношением ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 1 2 2 0 0 exp 1 ln ; ln ;1 .k k iyu iuyqf u t t f u ir t u kq y k dy p y ς ς τ τ ϕ τ ϕ τ δ − − ∞∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ⎧ ⎫− −⎡ ⎤⎪ ⎪= = + −⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∑ ∑ ∑ ∫ (13) После математических преобразований соотношение (13) можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1ln ; ln ;1 exp 1 .k k qf u t t f u ir t u q iuk iuk p kς ς τ τ ϕ τ ϕ τ − −∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= = + − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ ∑ ∑ (14) Характеристическая функция порождающего процесса и метод интегральных преобразований [5] позволяют определить функцию распределения порождающего процесса и, следовательно, постро- ить алгоритмы мониторинга и диагностики энергетического оборудования, применив методы отноше- ния правдоподобия для порождающих процессов линейных процессов авторегрессии для случаев, ког- да наблюдаемый процесс имеет отличное от нормального, но относится к безгранично делимым рас- пределениям. Это является одним из основных преимуществ применения линейных случайных про- цессов для моделирования информационных сигналов и построения на их основе алгоритмов контроля и диагностики энергетического оборудования на ранних стадиях появления неисправностей, поскольку в качестве диагностических признаков используются не только параметры авторегрессии, но и харак- теристики распределений таких линейных случайных процессов с дискретным временем. Полученный результат актуален для решения задач моделирования прохождения линейных случайных процессов с дискретным временем через стационарные и нестационарные линейные сис- темы, что важно для создания тренажерных систем, на которых моделируются неисправности энерге- тического оборудования. Некоторые особенности моделирования линейных случайных процессов и их прохождения через линейные системы изложены в [7]. Характеристическая функция порождающего процесса вибросигнала ветрогенератора USW 56-100 . В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрим вибросигнал tξ вращающего узла подшипника качения ветрогенератора USW 56-100 со стороны корпуса глав- ного вала, установленного на стенде для испытаний ветрогенераторов [3]. Скорость вращения глав- ного вала 72 об/мин. Отметим, что процесс авторегрессии − это один из немногих случайных про- цессов, которые целесообразно использовать для моделирования вибраций и построения систем диагностики подшипников качения, работающих в таких системах. ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 87 Для исследований вибросигналов использовался разработанный в ИЭД НАН Украины про- тотип системы вибродиагностики ветрогенератора, с помощью которого были получены оценки па- раметров авторегрессии сигналов виброускорений, а также параметры их распределений. При ана- лизе вибросигналов для получения параметров авторегрессии применялся метод уравнений Юла- Уокера с использованием рекурсивних алгоритмов Левинсона-Дарбина [1,3,7], оценка порядка авто- регрессий проводилась по критерию Куина, оценка распределения реализаций вибрационных про- цессов − по критерию Орда. Исследования показали, что со стороны корпуса главного вала сигнал виброускорений моделируется линейным процессом авторегрессии второго порядка с коэффициен- тами авторегрессии 552.01 =a и 0036.02 −=a , т.е. tttt ςξξξ =−+ −− 21 0036.0552.0 . (15) Процесс tξ имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами ∀ ; 0.95; 2; 1 0.05 t Z p r q p∈ = = = − = , одномерная характеристическая функция которого задана соотношением (6). Ядро линейного случай- ного процесса авторегрессии ( )ϕ τ является убыва- ющей положительной функцией. Результаты моде- лирования ядра процесса авторегрессии (15) пред- ставлены на рисунке. Методами математического моделирования определялись значения параметров логарифма характеристической функции (14) ( ) 1 0 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ n τ τϕ =0.452 и ( ) 1 0 2 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ n τ τϕ =0.694. Тогда лога- рифм характеристической функции порождающего процесса tς процесса авторегрессии (15) опре- деляется следующим образом: ( ) ( ) ( ) 0 1ln ; ln ;1 2 0.024 0.694 (0.05) exp 1 .k k f u t t f u i t u iuk iuk kς ς ∞ = ⎧ ⎫⎪ ⎪= = + − −⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ (16) Заключение. Предложенный метод позволяет построить характеристическую функцию по- рождающих процессов для линейных стационарных процессов авторегрессии не только второго по- рядка, имеющих отрицательное биномиальное распределение. Такой метод целесообразно исполь- зовать и для нахождений порождающих процессов для линейных процессов авторегрессии более вы- соких порядков, а также для вибрационных сигналов, имеющих другие безгранично делимые распре- деления, предварительно исследовав свойства ядра ( )τϕ , которое должно быть убывающей положи- тельной функцией. Если исследования показали, что для линейного процесса авторегрессии, имеющего безгра- нично делимое распределение, с помощью которого моделируется вибрационный процесс, решается обратная задача, то с наперед заданной вероятностью (с которой оцениваются параметры авторег- рессии и параметры распределения процесса) можно, используя соответствующие датчики случай- ных чисел с известными характеристиками распределения, восстановить реализацию вибрационного процесса для последующего использования [7]. 1. Зварич В.Н., Марченко Б.Г. Линейные процессы авторегрессии в задачах вибродиагностики // Проб- лемы прочности и надежности машин. – 1994. – № 3. – С. 96-106. 2. Зварич В.Н., Марченко Б.Г. Характеристическая функция порождающего процесса в модели стацио- нарного линейного AR-гамма процесса // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. – 2012. – Т. 45. – №8. – C. 12-18. 3. Зварич В.Н. Применение методов авторегрессии для построения систем вибродиагностики ветро- агрегатов // Відновлювана енергетика. – 2005. – №1. – С. 49-54. 4. Красильников А.И. Модели шумовых сигналов в системах диагностики теплоэнергетического обору- дования. – Киев: ООО «Полиграф-сервис», 2014. –112 с. 5. Лукач Е. Характеристические функции. – М.: Наука, 1979. – 432 с. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 4 7 10 13 16 88 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 6. Марченко Б.Г. Метод статистических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. – Киев: Наукова думка, 1973. – 191 с. 7. Марченко Б.Г., Зварич В.Н., Бедный Н.С. Линейные случайные процессы в некоторых задачах моде- лирования информационных сигналов // Электронное моделирование. – 2001. – Т. 23. – №1. – С. 62-69. 8. Стогній Б.С., Сопель М.Ф. Основи моніторингу в електроенергетиці // Технічна електродинаміка. – 2013. – №1. – С. 62-69. 9. Antoni J., Bonnardot F., Raad A., Badaoui M. Cyclostationary modeling of rotating machine vibration signals // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2004. – Vol. 18. – Pp. 1285-1314. 10. Babak V., Filonenko S., Kornienko-Miftakhova I., Ponomarenko A. Optimization of Signal Features under Object's Dynamic Test // Aviation. – 2008. – Vol. 12. – No 1. – Pp. 10-17. 11. Gorodzha K.A., Myslovich M.V., Sysak R. Analysis of Spectral Diagnostic Parameters based on mathematical Model of electrical equipment's responses due to impact excitation // Pzeglad Electrotechniczny. – 2010. – Vol. P.86. – No 1. – Pp. 38-40. 12. Javorskyj I., Isaev I., Majewski J., Yuzefovych R. Component covariance analysis for periodically correlated random processes // Signal Processing. – 2010. – Vol. 90. – No 1. – Pp. 1083-1102. 13. McKenzie Ed. Innovation Distributions for Gamma and Negative Binomial Autoregressions // Scandinavian Journal of Statistics. Theory and Applications. – 1987. – Vol. 14. – Pр. 79-85. 14. Worden K., Staszewski W.J., Hensman J.J. Natural Computing for mechanical Systems Research: A Tutorial Owerview // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2011. – Vol. 25. – Pp. 4-111. УДК 004.891.3; 621.327; 519.2; 534.8 ВИКОРИСТАННЯ РІШЕНЬ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ АВТОРЕГРЕСІЇ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ВІБРАЦІЙНИХ СИГНАЛІВ ВУЗЛІВ ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНОГО ОБЛАДНАННЯ В.Н. Зварич, докт.техн.наук Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03080, Україна. e-mail: zvaritch@nas.gov.ua Розглянуто метод знаходження характеристичної функції породжуючого процесу для лінійного процесу авто- регресії AR(2) tξ , що має і від′ємний біноміальний розподіл. Для рішення такої задачі, яку часто називають оберненою, використовуються властивості характеристичної функції стаціонарного лінійного випадкового процесу авторегресії, яку можна представити як у канонічному вигляді Колмогорова, так і у вигляді лінійного випадкового процесу з дискретним часом, а також ядра перетворення для такого процесу. Подано приклади знаходження характеристичної функції для лінійного процесу авторегресії другого порядку, що має від’ємний біноміальний розподіл. Представлено деякі особливості використання отриманих результатів для моделю- вання вібраційних сигналів енергетичного обладнання, зокрема, вібросигналів вітрогенератора. Бібл. 14, рис. 1. Ключові слова: лінійний процес авторегресії, характеристична функція, ядро перетворення, породжуючий процес, безмежно-подільний закон розподілу, від’ємний біноміальний розподіл, вібродіагностика підшипників кочення. APPLICATION OF INVERS PROBLEM SOLUTIONS OF THE LINEAR AUTOREGRESSIVE PROCESSES FOR POWER EQUIPMENT VIBROMONITORING Zvarich V. Institute of electrodynamics Academy of Science of Ukraine, Peremohy av., 56, Kyiv-057, 03680, Ukraine. e-mail: zvaritch@nas.gov.ua A method is suggested for definition the characteristic function of the generative process{ },t tζ Ζ∈ for linear autoregressive AR(2) processes with negative binomial distribution, namely, autoregressive process AR(2) 1 1 2 2t t t ta aξ ξ ξ ς− −+ + = , t Z∈ , where { }1 2, 0 a a ≠ are autoregressive parameters; { }..., 1,0,1,...Ζ = − is a set of integers; { },t tζ Ζ∈ is the random process with discrete time and independent values having an infinitely divisible distribution. This process is often called the generating process. A method of Negative Binomial AR(2) generative process characteristic function determination is discussed. Sometimes the problem is called inverse problem. The logarithm of the one-dimensional characteristic function of the linear stationary autoregressive process may be determined in Kolmogorov canonical representation ( ) ( ) { } ( ) 2ln , ln ,1 1 , iux dK x f u t f u im u e iux x ξ ξ ξ ξ ∞ −∞ = = + − −∫ in ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 2 89 which the parameter ξm and spectral functions of jumps ( )K xξ define unequivocally the characteristic function. The logarithm of the characteristic function of the linear stationary autoregressive process may be written down also in the following form ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2ln , ln , 1 iux dK x f u t f u t im u e iux x ζϕ τ ξ ξ ζ τ τ ϕ τ ϕ τ ∞∞ ∞ =−∞ =−∞ −∞ = = + − −∑ ∑ ∫ where the parameters mς and ( )K xζ define the characteristic function of the generative process tς while ( )ϕ τ is the kernel of the linear random process tξ . The parameters mξ and mς , and Poisson spectra of jumps ( )K xξ , ( )K xζ are interrelated as follows ( ) 0 ,m mξ ζ τ ϕ τ ∞ = = ∑ ( ) ( ) ( ),K x R x y dK yξ ϕ ς ∞ −∞ = ∫ where ( ),R x yϕ is so-called transform kernel, which is invariant with generative process tς and uniquely defined by the coefficients { }1 2, 0 a a ≠ . Properties of ( ),R x yϕ are used for the inverse problem solution. Examples the peculiar features of determination of Poisson spectra of jump and characteristic function for the autoregressive AR(2) process are considered. Logarithm of characteristic function for linear AR(2) process with negative binomial distribution was calculate. It is equaled to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1ln ; ln ;1 exp 1 k k qf u t t f u ir t u q iuk iuk p kς ς τ τ ϕ τ ϕ τ − −∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= = + − −⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∑ ∑ ∑ . An example of application of vibration signal simulation of wind power generator is considered. References 14, figure 1. Key words: linear autoregressive process, characteristic function, kernel of transformation, generative process, infinitely-divisible distributions, negative binomial distribution, vibration diagnosis of rolling bearings. 1. Zvarich V.N., Marchenko B.G. Linear processes of autoregression in vibrodiagnostics problems // Problemy Prochnosti i Nadezhnosti Mashin. – 1994. – No 3. – Pp. 96-106. (Rus) 2. Zvarich V.N., Marchenko B.G. Generating process characteristic function in the model of stationary linear AR-gamma process // Izvestiia VUZov/ Radioelektronika. – 2002. – Vol. 45. – No 8. – Pp. 12-18. (Rus) 3. Zvarich V. Application of autoregressive methods for wind power generators vibrodiagnostics systems // Vidnovliuvana enerhetyka. – 2005. – No 1. – Pp. 49-54. (Rus) 4. Krasilnikov A.I. Models of Noise-type Signals at the Heat-and-Power Equipment Diagnostic Systems. – Kiev: OOO Poligraf-service, 2014. – 112 p. (Rus) 5. Lukach E. Characteristic function. − Moskva: Nauka, 1979. − 432 p. 6. Marchenko B. Method of Stochastic Integral Representations and their Applications in Radio-Engineering. –Kiev: Naukova Dumka, 1973. – 191 p. (Rus) 7. Marchenko B.G., Zvarich V., Bednyi N. Linear random processes in some problems of information signal simulation // Elektronnoe Modelirovanie. – 2001. – Vol. 23. – No 1. – Pp. 62-69. (Rus) 8. Stognii B., Sopel M. Fundamentals of monitoring process in electroenergy. About the concept of monitoring process // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2013. – No 1. – Pp. 62-69. (Ukr) 9. Antoni J., Bonnardot F., Raad A., Badaoui M. Cyclostationary modeling of rotating machine vibration signals // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2004. – Vol. 18. – Pp. 1285-1314. 10. Babak V., Filonenko S., Kornienko-Miftakhova I., Ponomarenko A. Optimization of Signal Features under Object's Dynamic Test // Aviation. – 2008. – Vol. 12. – No 1. – Pp. 10-17. 11. Gorodzha K.A., Myslovich M.V., Sysak R. Analysis of Spectral Diagnostic Parameters based on mathematical Model of electrical equipment's responses due to impact excitation // Pzeglad Electrotechniczny. – 2010. – Vol. P.86. – No 1. – Pp. 38-40. 12. Javorskyj I., Isaev I., Majewski J., Yuzefovych R. Component covariance analysis for periodically correlated random processes // Signal Processing, – 2010. – Vol. 90. – No 1. – Pp. 1083-1102 13. McKenzie Ed. Innovation Distributions for Gamma and Negative Binomial Autoregressions // Scandinavian Journal of Statistics. Theory and Applications. – 1987. – Vol. 14. – Pp. 79-85. 14. Worden K., Staszewski W.J., Hensman J.J. Natural Computing for mechanical Systems Research: A Tutorial Owerview // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2011. – Vol. 25. – Pp. 4-111. Надійшла 12.12.2014 Остаточний варіант 16.02.2016

Использование решений обратной задачи линейных процессов авторегрессии для моделирования вибрационных сигналов узлов электротехнического оборудования

Репозитарії

Схожі ресурси