Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой
В континуальном приближении описаны поля упругих деформаций и напряжений вокруг центров дислокаций и краудионов в 2D кристалле с изотропными упругими свойствами. Вычислена упругая энергия дефектов обоих типов, обсуждены ее зависимость от размеров кристалла, а также количественная неопределенность, с...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122044 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой / В. Д. Нацик, С. Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 3. — С. 271-277. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-122044 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1220442017-06-27T03:02:45Z Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Низкоразмерные и неупорядоченные системы В континуальном приближении описаны поля упругих деформаций и напряжений вокруг центров дислокаций и краудионов в 2D кристалле с изотропными упругими свойствами. Вычислена упругая энергия дефектов обоих типов, обсуждены ее зависимость от размеров кристалла, а также количественная неопределенность, связанная с неприменимостью континуального описания деформаций на атомных расстояниях от центров дефектов. Уточнения результатов континуальной теории достигнуты путем их сопоставления с результатами численного анализа методами молекулярной динамики атомной структуры дислокаций и краудионов в 2D кристалле с гексагональной решеткой. Работа продолжает исследование, начатое в опубликованной ранее статье: ФНТ 40, 1366 (2014). У континуальному наближенні описано поля пружних деформацій і напружень навколо центрів дислокацій і краудіонів у 2D кристалах з ізотропними пружними властивостями. Обчислено пружну енергію дефектів обох типів, обговорено її залежність від розміру кристалу, а також кількісну невизначеність, обумовлену неможливістю континуального опису деформацій на атомних відстанях від центрів дефектів. Уточнення результатів континуальної теорії досягнуто шляхом їх співставлення з результатами числового аналізу методами молекулярної динаміки атомної структури дислокацій та краудіонів у 2D кристалах з гексагональною решіткою. Робота продовжує дослідження, яке розпочато у опублікованій раніше статті: ФНТ 40, 1366 (2014). The fields of elastic deformation and stress round the centers of dislocations and crowdions in 2D crystals with isotropic elastic properties are described in the continual approximation. The elastic energy of both types of defects are estimated and its dependence on crystal size is discussed. Considered also is the quantitative uncertainty that is associated with the inapplicability of the continual description of deformation at atomic distances from the defect centers. The results obtained by using the continual theory were improved by comparing with the results of numerical analysis by the methods of molecular dynamics of atomic structure of dislocations and crowdions in a hexagonal lattice 2D crystal. The work under consideration continues the exploration of the problem started in the previous paper (Fiz. Nizk. Temp. 40, 1366 (2014)). 2015 Article Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой / В. Д. Нацик, С. Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 3. — С. 271-277. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 46.25.–y, 61.72.Bb, 61.72.J–, 61.72.Lk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122044 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой Физика низких температур |
| description |
В континуальном приближении описаны поля упругих деформаций и напряжений вокруг центров дислокаций и краудионов в 2D кристалле с изотропными упругими свойствами. Вычислена упругая энергия дефектов обоих типов, обсуждены ее зависимость от размеров кристалла, а также количественная неопределенность, связанная с неприменимостью континуального описания деформаций на атомных расстояниях от центров дефектов. Уточнения результатов континуальной теории достигнуты путем их сопоставления с результатами численного анализа методами молекулярной динамики атомной структуры дислокаций и краудионов в 2D кристалле с гексагональной решеткой. Работа продолжает исследование, начатое в опубликованной ранее статье: ФНТ 40, 1366 (2014). |
| format |
Article |
| author |
Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. |
| author_facet |
Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. |
| author_sort |
Нацик, В.Д. |
| title |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| title_short |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| title_full |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| title_fullStr |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| title_full_unstemmed |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| title_sort |
дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. часть ii: упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122044 |
| citation_txt |
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих дефектов в кристалле с плоской гексагональной решеткой / В. Д. Нацик, С. Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 3. — С. 271-277. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT nacikvd dislokaciiikraudionyvdvumernyhkristallahčastʹiiuprugiepolâisobstvennaâénergiâétihdefektovvkristallesploskojgeksagonalʹnojrešetkoj AT smirnovsn dislokaciiikraudionyvdvumernyhkristallahčastʹiiuprugiepolâisobstvennaâénergiâétihdefektovvkristallesploskojgeksagonalʹnojrešetkoj |
| first_indexed |
2025-07-08T21:02:18Z |
| last_indexed |
2025-07-08T21:02:18Z |
| _version_ |
1837114106787659776 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3, c. 271–277
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах.
Часть II: Упругие поля и собственная энергия этих
дефектов в кристалле с плоской гексагональной
решеткой
В.Д. Нацик1,2, С.Н. Смирнов1
1Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua
2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2014 г., опубликована онлайн 27 января 2015 г.
В континуальном приближении описаны поля упругих деформаций и напряжений вокруг центров
дислокаций и краудионов в 2D кристалле с изотропными упругими свойствами. Вычислена упругая
энергия дефектов обоих типов, обсуждены ее зависимость от размеров кристалла, а также количествен-
ная неопределенность, связанная с неприменимостью континуального описания деформаций на атомных
расстояниях от центров дефектов. Уточнения результатов континуальной теории достигнуты путем их
сопоставления с результатами численного анализа методами молекулярной динамики атомной структу-
ры дислокаций и краудионов в 2D кристалле с гексагональной решеткой. Работа продолжает исследова-
ние, начатое в опубликованной ранее статье: ФНТ 40, 1366 (2014).
У континуальному наближенні описано поля пружних деформацій і напружень навколо центрів дис-
локацій і краудіонів у 2D кристалах з ізотропними пружними властивостями. Обчислено пружну енергію
дефектів обох типів, обговорено її залежність від розміру кристалу, а також кількісну невизначеність,
обумовлену неможливістю континуального опису деформацій на атомних відстанях від центрів дефектів.
Уточнення результатів континуальної теорії досягнуто шляхом їх співставлення з результатами числово-
го аналізу методами молекулярної динаміки атомної структури дислокацій та краудіонів у 2D кристалах
з гексагональною решіткою. Робота продовжує дослідження, яке розпочато у опублікованій раніше стат-
ті: ФНТ 40, 1366 (2014).
PACS: 46.25.–y Статическая упругость;
61.72.Bb Теории и модели дефектов в кристалле;
61.72.J– Точечные дефекты и кластеры дефектов;
61.72.Lk Линейные дефекты: дислокации, дисклинации.
Ключевые слова: двумерные кристаллы, дислокации, краудионы, упругие поля, микроскопические моде-
ли дефектов, собственная энергия дефектов.
1. Введение
В настоящей работе продолжено теоретическое
изучение свойств дислокаций и краудионов в двумер-
ных (2D) кристаллах. Детальное описание постановки
задачи и результатов первого этапа исследования
опубликовано в статье [1].
Дислокации и краудионы — собственные дефекты
кристаллической структуры, обладающие особыми
топологическими и кристаллогеометрическими свой-
ствами. В работе [1] оба типа дефектов изучены в рам-
ках единого подхода: 2D кристалл рассматривается в
континуальном приближении как двумерная сплошная
упруго-анизотропная среда, а изучаемые дефекты —
© В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, 2015
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
как точечные носители пластической деформации и
сингулярные источники полей упругих деформаций.
Каждому типу дефектов сопоставлен тензор пластиче-
ской дисторсии, который учитывает различия созда-
ваемых дислокациями и краудионами структурных
искажений с точки зрения топологии и локальной гео-
метрии кристаллической среды. В рамках линейной
теории упругости анизотропной 2D среды [2] проана-
лизированы общие свойства статических дефектов
обоих типов и выведены базовые уравнения, опреде-
ляющие деформированное состояние кристалла при
наличии в нем единичных дефектов или их ансамблей.
Разработан также алгоритм построения общих реше-
ний этих уравнений. Показано, что упругие поля де-
фектов можно выразить через тензорную функцию
Грина, которая описывает реакцию среды на сосредо-
точенную силу. Задача о вычислении тензора Грина
для 2D кристаллов также рассмотрена в статье [1].
В [1] мы не смогли получить в явном виде коорди-
натные зависимости компонент тензора Грина для 2D
кристалла с произвольной анизотропией, поэтому был
описан только общий характер деформированного со-
стояния кристалла с дефектами дислокационного и
краудионного типа. Полное решение обсуждаемых за-
дач оказалось возможным для отдельного класса 2D
кристаллов, обладающих изотропными упругими свой-
ствами. Тензор Грина для таких кристаллов получен в
работе [1], а в настоящей статье он использован для
детального описания полей упругих деформаций и
напряжений вокруг центров единичных дислокаций и
краудионов. Приведены также результаты вычислений
и сравнительного анализа энергетических характери-
стик этих дефектов. В последнем разделе статьи выво-
ды континуального описания дефектов сопоставлены с
результатами компьютерного моделирования атомно-
решеточной структуры дислокаций и краудионов в 2D
кристалле, который образован системой одинаковых
атомов с центрально-симметричным взаимодействием
между ними. Такой кристалл обладает изотропными
упругими свойствами, что позволило количественно
сопоставить результаты моделирования и континуаль-
ного описания дефектов.
2. Топологические заряды, упругие поля
и собственная энергия единичных дефектов
В работе [1] собственные дефекты структуры 2D
кристаллов описаны в рамках линейной теории упру-
гости двумерного анизотропного континуума. Исполь-
зована система декартовых координат с осями 1x и 2x ,
расположенными в плоскости кристалла, а положение
малого элемента среды в начальном (недеформирован-
ном) состоянии задается двухкомпонентным радиус-
вектором 1 2{ , }x x=r (рис. 1). Статическая упругая де-
формация в плоскости кристалла описывается вектор-
ным полем смещений 1 2( ) { , }u u=u r и тензорным по-
лем дисторсий ( ) ( )ik i ku u= ∇r r ( / ii x≡ ∂ ∂∇ , i, k = 1, 2).
Единичные дислокации и краудионы рассматриваются
как точечные сингулярные источники поля упругих
дисторсий ( )iku r : расположение центров дефектов в
плоскости кристалла будем задавать радиус-векторами
dr и cr соответственно (рис. 1). «Мощность» источни-
ков, характер сингулярностей и топологические свой-
ства поля ( )iku r у дислокаций и краудионов различны.
В качестве основных характеристик «мощности» де-
фектов, как источников поля упругих дисторсий, рас-
сматриваются их топологические заряды [1]. Эти мно-
гокомпонентные величины однозначно связаны с
кристаллогеометрическими характеристиками созда-
ваемых дефектами нарушений регулярной атомной
структуры кристалла и отражают различия дислокаций
и краудионов.
Дефекты обоих типов возникают в 2D кристалле
вследствие незавершенных пластических сдвигов вдоль
плотноупакованных атомных рядов на элементарный
период решеточных трансляций b и каждому из них
соответствует прямая линия скольжения, направление
которой будем задавать ортом e. Роль топологического
заряда дислокации играет двухкомпонентный вектор
Бюргерса d b= ± = ±b b e. При заданном ортом e поло-
жительном направлении линии скольжения векторы
( ) b+ =b e и ( ) b− = −b e служат топологическими заряда-
ми положительной и отрицательной дислокации. Крау-
дион, как точечный источник поля упругих дисторсий,
эквивалентен локальному дислокационному диполю,
который состоит из двух дислокаций с векторами Бюр-
герса b± e, при этом соединяющий их вектор ориенти-
рован перпендикулярно e, а его длина равна расстоя-
Рис. 1. Система координат и расположение дефектов в плос-
кости кристалла: ⊥, dr — символ и радиус-вектор дислока-
ции; , cr — символ и радиус-вектор краудиона; r — ра-
диус-вектор точки наблюдения; n — орты направлений от
центров дефектов к точке наблюдения, пунктиром обозначе-
ны линии скольжения дефектов с ортом e.
272 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II
нию между соседними плотноупакованными атомны-
ми рядами. Роль топологического заряда краудиона
играет четырехкомпонентный тензор дипольного мо-
мента c
ikD , его компоненты также могут иметь положи-
тельный или отрицательный знаки и пропорциональны
решеточному параметру 0S — площади примитивной
элементарной ячейки в рассматриваемом 2D кристалле
( 0
c
ikD S∝ ± ).
В дальнейшем топологические заряды дислокаций db
и краудионов c
ikD будем определять соотношениями [1]
d qb=b e , 0
c
ik in n kD qS e e= ∈ , 1q = ± , (1)
где ik∈ — единичный антисимметричный тензор
11 22( 0∈ =∈ = , 12 1∈ = , 21 1∈ = − ). Здесь и в дальнейшем по
повторяющимся координатным индексам подразуме-
вается суммирование.
Если считать известным тензор Грина ( )ikG ′−r r для
рассматриваемого бесконечно протяженного 2D кри-
сталла и задать компоненты топологических зарядов
дислокации db и краудиона c
ikD , то распределения уп-
ругих дисторсий вокруг центров этих дефектов опре-
деляются формулами [1]
( ) ( )d d d
jpmnik im n p kju b G=∈ ∇ −λr r r , (2)
( ) ( )c c c
jpmnik im sn p s kju D G=∈ ∇ ∇ −λr r r , (3)
где jpmnλ — тензор модулей упругости кристалла
относительно продольных деформаций с размерностью
компонент λ [сила/длина].
В работе [1] показано, что зависимость тензора
( )ikG ′−r r от модуля вектора ′= −R r r имеет универ-
сальный характер при всех возможных типах анизо-
тропии 2D кристалла, которая определяет только дета-
ли его угловой зависимости в плоскости кристалла. В
частности 1( )i kjG R−∇ ∝R , а 2( )p s kjG R−∇ ∇ ∝R ( ),R = R
поэтому формулы (2) и (3) можно представить в виде
( ) ( ) ( )
d
d n
ik nik n nikd d
b qbu e= Φ = Φ
− −
r n n
r r r r
, (4)
0
2 2 ( ) ( ) ( )
c
c ns
ik nsik nm m s nsik
c c
D qS
u e e= Φ = ∈ Φ
− −
r n n
r r r r
,
(5)
где n — орт направлений от центров дефектов dr или
cr в точку наблюдения r (рис. 1). Явный вид тензор-
ных функций ( )nikΦ n и ( )nsikΦ n удается получить
только для некоторых кристаллических структур со
слабой анизотропией.
Зная поля упругих дисторсий , ( )d c
iku r , легко вычис-
лить другие важные характеристики создаваемого де-
фектами деформированного состояния кристалла, в
частности, поля упругих деформаций , ( )d c
ikε r и напря-
жений , ( )d c
ikσ r :
, , ,1 ( )
2
d c d c d c
ik ik kiu uε = + , , , d c d c
iknm nmikσ = λ ε . (6)
Весьма важной характеристикой дефекта является
также его собственная энергия dE или cE — прираще-
ние потенциальной энергии межатомного взаимодей-
ствия в кристалле вследствие создаваемых дефектом
искажений его идеальной структуры. При описании
дефекта в рамках линейной теории упругости эта ве-
личина отождествляется с полной энергией упругой
деформации:
, , , ,
,
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,
2 2
d c d c d c d c
d c iknm nmik ik ikE dS u u dS= σ ε = λ∫ ∫r r r r
(7)
где интегрирование распространяется на всю площадь,
занимаемую кристаллом в двумерном плоском про-
странстве.
Отметим, что вычисление dE и cE путем подста-
новки выражений (4)–(6) в формулу (7) наталкивается
на определенные трудности. Аналогичные трудности и
способы их преодоления хорошо известны в контину-
альной теории дефектов в 3D кристаллах [3,4]. Соглас-
но формулам (4) и (5), радиальная и азимутальная за-
висимости полей дисторсий , ( )d c
iku r разделены по
отношению к центрам дефектов dr и cr . Поэтому при
вычислениях интеграла в формуле (7) целесообразно
перейти к полярным координатам r и θ с началом от-
счета для r в центре дефекта, а полярный угол θ отсчи-
тывать от направления линии скольжения e. После это-
го учет соотношений cosk kn e = θ и sinkm k mn e∈ = θ
позволяет разделить переменные r и θ, и при выполне-
нии интегрирования интегралы, определяющие вели-
чины ,d cE , привести к виду
2
2
0
(sin ,cos )d
d iknm iknm
drE b d
r
π
= λ θ Φ θ θ∫ ∫ , (8)
2
2
0 3
0
(sin ,cos )c
c iknm iknm
drE S d
r
π
= λ θ Φ θ θ∫ ∫ . (9)
Разумеется, получить явный вид тензорных функ-
ций ,d c
iknmΦ под знаком интеграла по угловой перемен-
ной и выполнить операцию интегрирования можно
только, имея явный вид тензора Грина ( )ikG r , но нет
сомнений в том, что эти функции интегрируемы и ин-
тегралы имеют конечные значения. Вместе с тем, ин-
тегрирование по радиальной переменной должно про-
изводиться, вообще говоря, в пределах 0 r< < ∞ , что
формально приводит к бесконечным значениям ,d cE : в
формуле (8) появляется логарифмическая расходи-
мость на обоих пределах интегрирования, а в формуле
(9) степенная расходимость на нижнем пределе. Расхо-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3 273
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
димость при 0r = в обоих случаях связана с неприме-
нимостью формул для , ( )d c
iku r , полученных в рамках
линейной теории упругости, на атомных расстояниях
вблизи центров дефектов при ,d c→r r . Для устранения
этой расходимости необходимо исключить из области
интегрирования в (8) и (9) малые окрестности вокруг
центров дефектов с радиусами 0
dr или 0
cr атомного
масштаба ( 0 0,d cr r b≅ ). Следствием такой операции бу-
дет появление в теории феноменологических парамет-
ров 0
dr и 0
cr и связанная с ними количественная неоп-
ределенность ,d cE , которую можно устранить только
при более строгих вычислениях этих величин в рамках
атомно-решеточных моделей дефектов.
Расходимость в интеграле по радиальной переменной
на верхнем пределе появляется только в формуле (8),
при вычислениях собственной энергии дислокации dE ,
она обусловлена особыми топологическими свойства-
ми этого дефекта (их детальное обсуждение содержит-
ся в статье [1]). Относительно медленное убывание
упругих полей при удалении от центра дислокации на
макроскопические расстояния ( d b− >> r r ) приводит
к существенной зависимости ее собственной энергии
от размеров и формы кристалла. Для установления ха-
рактера такой зависимости и получения полуколичест-
венной оценки величины Ed можно рассмотреть пре-
дельно простую геометрию задачи — кристалл в виде
круга с радиусом sR b>> и дислокационной точкой в
его центре, что приводит к зависимости 0ln ( / ).d
d sE R r∝
Усложнения формы кристалла или смещение дислока-
ционной точки по отношению к его геометрическому
центру, а также изменения физических условий на его
границе будут сопровождаться поправками логариф-
мического масштаба к энергии дислокации.
Отметим, что упругие поля краудиона на больших
расстояниях от его центра c b− >> r r убывают значи-
тельно быстрее, поэтому зависимость его энергии cE
от размеров кристалла sR , его формы, или граничных
условий сводится к поправке порядка 2
0( / )c
sr R , кото-
рая для кристалла макроскопических размеров имеет
пренебрежимо малую величину.
Учитывая сделанные выше замечания относительно
возможности использования формул (7)–(9) для вычис-
ления собственной энергии единичных дислокаций и
краудионов, приходим к заключению, что для кристал-
лов с произвольной анизотропией эти величины можно
представить в виде формул
2
0ln ( / )d d
d iknm iknm sE b R r= λ ∆ , (10)
2
0 0( / )c c
c iknm iknmE S r= λ ∆ , (11)
где ,
0
d cr — условный радиус ядра дислокации и крау-
диона соответственно, а тензорные безразмерные ве-
личины ,d c∆ — результат интегрирования в формулах
(7)–(9) по угловой переменной, которое возможно вы-
полнить только установив явный вид координатной за-
висимости компонент тензора Грина ( )ikG r .
3. Дислокации и краудионы в 2D кристалле
с изотропными упругими свойствами
Упругие свойства 2D кристалла при деформациях в
его плоскости характеризуются тензором модулей уп-
ругости iknmλ . Он имеет 16 компонент, но вследствие
инвариантности относительно перестановок индексов
ijmn jimn ijnm jinm= = =λ λ λ λ и iknm nmik=λ λ только 6 из
них могут быть независимыми. Учет симметрии кри-
сталлической решетки приводит к дополнительному
уменьшению числа независимых компонент этого тен-
зора. Двумерная решетка узлов, удовлетворяющая ус-
ловиям трансляционной симметрии, характеризуется
пятью типами плоских ячеек Бравэ и десятью точеч-
ными группами симметрии [5–7]. Из всей совокупно-
сти возможных двумерных кристаллических структур
максимальной симметрией обладают кристаллы с гек-
сагональной (треугольной) решеткой, они имеют пло-
скую группу симметрии p6mm. Для них число незави-
симых компонент тензора iknmλ сокращается до двух
и он приобретает вид [1–3]
( )iknm ik nm in km im knλ = λδ δ +µ δ δ + δ δ , (12)
где ikδ — символ Кронекера, а 1122λ = λ и 1212µ = λ —
двумерные аналоги коэффициентов упругости Ламэ (в
работе [2] символ λ использован для обозначения ком-
поненты λ1111). Упругие свойства этих кристаллов изо-
тропны, что значительно упрощает решение большого
числа задач теории упругости, в частности, вычисле-
ние тензора Грина, для которого в работе [1] получено
выражение
2
3( ) ln
4 ( 2 )
i к
ikik
x x
G r
r
λ +µ λ + µ
= − +δ πµ λ + µ λ +µ
r . (13)
Использование формул (12) и (13) позволяет вычис-
лить в явном виде все основные характеристики дис-
локаций и краудионов, представленные в общем виде
формулами (2)–(11). Выражения для полей упругих
дисторсий , ( )d c
iku r и напряжений , ( )d c
ikσ r вокруг цен-
тра единичного дефекта в упруго-изотропном 2D кон-
тинууме будут представлены в системе координат, по-
казанной на рис. 1. Для характеристики угловых
зависимостей этих полей использованы орт линии
скольжения соответствующего дефекта e и орт направ-
ления от его центра в точку наблюдения n. При вычис-
лении энергии дефектов ,d cE будем использовать по-
лярные координаты, введенные в предыдущем разделе,
а также соотношения
mi mk ik∈ ∈ = δ , 0nm nm∈ δ = , sinkm k mn e∈ = θ, cos .km k mn eδ = θ
(14)
274 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II
3.1. Упругие поля и энергия дислокации
Деформированное состояние бесконечно протяжен-
ного 2D кристалла вокруг центра дислокации dr опи-
сывается формулами
d qb=b e , d d− = −r r r r n,
( )
2 ( 2 )
d
ik d
qbu = ×
π λ + µ −
r
r r
[ ]{ ik s s is k s is s ke n e n e n× µ ∈ +∈ −∈ +
}2( ) m m is s ke n n n+ λ +µ ∈ , (15)
d
( )
( 2 )
d
ik
qbµ λ +µ
σ = ×
λ + µπ −
r
r r
[ ]( )ns n s ik m m s is k ks ie n e n n n n× ∈ δ + ∈ +∈ . (16)
При вычислении энергии dE ограничимся рассмот-
рением дислокационной точки в центре кристалличе-
ского круга с радиусом sR . Подстановка (15) и (16) в
(7), переход к полярным координатам r и θ с учетом
соотношений (14) и ограничение интегрирования по
радиальной переменной интервалом ( 0
dr , sR ) приводят
формулу для dE к виду
0
2
2 2
2 2
0
( ) ( cos )
2 ( 2 )
s
d
R
d
r
drE b d
r
πµ λ +µ
= θ µ + λ θ
π λ + µ ∫ ∫ .
Выполнив операции интегрирования, получим для
изотропной среды выражение (10) в явном виде:
2
0
( ) ln
2 ( 2 )
s
d d
R
E b
r
µ λ +µ
= π λ + µ
. (17)
3.2. Упругие поля и энергия краудиона
Упругие поля, создаваемые в бесконечно протяжен-
ном 2D кристалле краудионом с центром в точке cr ,
описываются формулами
0 ec
ik in n kD qS e= ∈ , c c− = −r r r r n ,
{ 20
2c
( ) 2( )( )
2 ( 2 )
c
ik s s ik
qS
u e n = λ +µ −µ δ +
π λ + µ −
r
r r
22 4( )( ) s s i ke n n n + µ − λ +µ +
[ ]}2 4( ) ( ) i k s s i k k ie e e n e n e n+ µ + λ +µ −µ , (18)
{ 20
2
( ) 2 ( ) 2
( 2 )
c
ik s s ik i k
c
qS
e n e e
µ σ = µ + λ −µ δ + µ +
π λ + µ −
r
r r
}2 2 8( )( ) 2 ( )( )s s i k s s i k k ie n n n e n e n e n + µ − λ +µ + λ + .
(19)
Подстановка (18) и (19) в (7), переход к полярным
координатам r и θ и использование соотношений (14)
приводит формулу для cE к виду (9) с конкретной уг-
ловой зависимостью под знаком первого интеграла и
пределами интегрирования по радиальной переменной
( 0 ,cr ∞):
0
2
2 2 4
02 2 3
0
( ) ( 4 cos 4 cos )
2 ( 2 ) c
c
r
drE S d
r
π ∞
µ λ +µ
= θ µ + λ θ+ µ θ
π λ + µ ∫ ∫ .
Выполнив интегрирование, получаем явный вид фор-
мулы (11) для изотропной среды:
2
0
2
0
( )(4 5 )
4 ( 2 )
c c
S
E
r
µ λ +µ λ + µ
= π λ + µ
. (20)
4. Сопоставление выводов континуальной теории
с результатами моделирования дислокаций
и краудионов в 2D кристалле
В разделе 2 были отмечены и обсуждены трудности,
возникающие при континуальном описании дефектов
кристаллической структуры дислокационного и крау-
дионного типа. Главная из них — нефизические расхо-
димости упругих полей дефектов при ,d c→r r . С ней
связана еще одна трудность: искусственное введение в
теорию радиуса ядра дефекта ,
0
d cr для устранения рас-
ходимостей приводит к количественной неопределен-
ности в формулах (10), (11) или (17) и (20), так как
континуальная теория может указать только порядок
величины параметров ,
0
d cr b≈ исходя из критериев ее
применимости. Из этих формул следует, что неопреде-
ленность особенно велика для краудионов: сравнитель-
но слабая логарифмическая зависимость 0ln ( )d
dE r∝
и сильная степенная зависимость 2
0( )c
cE r −∝ .
Один из возможных способов преодоления отмечен-
ных выше трудностей — количественный анализ
атомно-решеточных моделей дефектов с использовани-
ем современных методов моделирования физических
систем и привлечением компьютеров для численных
расчетов. Здесь мы ограничимся только обсуждением и
уточнением величины собственной энергии дефектов.
Для этого воспользуемся результатами компьютерного
моделирования дислокаций и краудионов в 2D кри-
сталлах, опубликованными ранее в сообщениях [8–13].
Рассмотрим 2D кристалл, состоящий из одинаковых
атомов с парным центрально-симметричным взаимо-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3 275
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
действием между ними, которое описывается потен-
циалом Ленарда-Джонса [14]:
12 6
0 0
0( ) 2
r r
r
r r
ϕ = ε −
, (21)
где r — расстояние между атомами, 0ε и 0r — энерге-
тический и пространственный параметры потенциала.
Учитывая специфику дислокационных и краудионных
деформаций в 2D кристалле [1], будем рассматривать
изменения атомных конфигураций только в его плос-
кости, отказавшись от рассмотрения изгибных дефор-
маций как при описании равновесной структуры кри-
сталла без дефектов, так и создаваемых дефектами
искажений атомной структуры.
Статическую равновесную структуру бесконечного
идеального 2D кристалла, соответствующую потенциа-
лу парного взаимодействия (21), можно установить хо-
рошо известными аналитическими методами теории
кристаллических решеток [3,14,15]. Эта структура пред-
ставляет собой плоскую гексагональную (треугольную)
решетку с параметром 0a , площадью элементарной
ячейки 23
0 02S a= и характеризуется энергией связи
на один атом 0E . Расчет значений параметров 0a и 0E
для гексагональной решетки показывает, что они свя-
заны с параметрами потенциала (21) соотношениями
0 00,99a r≈ , 0 03,38E ≈ − ε . (22)
Такой 2D кристалл имеет изотропные упругие свой-
ства с тензором модулей упругости (12). При этом цен-
трально-симметричный характер межатомного взаимо-
действия приводит [2] к дополнительному соотношению
между модулями упругости 1122 1212λ = λ = λ = µ . Расчет
по формулам, полученным в [2], показывает, что вели-
чины λ и µ связаны с параметрами потенциала (12)
соотношением
0
2
0
35,85
r
ε
λ = µ ≈ . (23)
В работах [10–13] компьютерное моделирование ди-
слокаций и краудионов и вычисление их характеристик
проводилось в 2D кристаллах ограниченных размеров:
рассматривался фрагмент идеальной плоской гексаго-
нальной решетки, вписанной в круг радиуса sR , с цен-
тром в одном из узлов решетки. Величина sR задавалась
кратной величине параметра решетки 0a и варьирова-
лась в широких пределах, что позволяло получить ко-
личественные оценки влияния размера кристалла на
энергетические характеристики дефектов (рис. 2) и
сопоставить их с выводами континуальной теории. На
рисунке видно, что при 016sR a≥ зависимость энергии
дислокации от sR соответствует логарифмическому
закону 0( ) ln ( / )d
d s sE R R r∝ , а ( ) constc sE R ≅ : с этими
результатами согласуются формулы континуальной
теории (10) и (11) или (17) и (20).
Так как рассматриваемая в данном разделе атомная
модель кристалла имеет изотропные упругие свойства,
то можно ставить вопрос и о количественном сопо-
ставлении результатов численного компьютерного мо-
делирования, показанных на рис. 2, с формулами кон-
тинуальной теории (17) и (20). Будем рассматривать
радиусы ядер дефектов ,
0
d cr в этих формулах как под-
гоночные параметры, вариации которых позволяют
получить количественное согласие теоретических фор-
мул с результатами моделирования, представленными
на рис. 2: соответствующие значения ,
0
d cr назовем эф-
фективными радиусами ядер дефектов. Подстановка в
формулы (17) и (20) соотношений (22) и (23), связы-
вающих параметры кристалла с параметрами потен-
циала межатомного взаимодействия, и сопоставление
формул с результатами моделирования на рис. 2 при-
водит к оценкам
0 1,5dr b≈ , 0 0,6cr b≈ . (24)
Эти оценки подтверждают сделанное в разд. 2 пред-
положение о порядке величины радиусов ядер дефек-
тов как феноменологических параметров континуаль-
ной теории.
5. Заключение
Настоящая работа завершает второй этап исследо-
вания свойств статических дислокаций и краудионов в
2D кристаллах. Создаваемые этими дефектами иска-
жения регулярного расположения атомов весьма зна-
чительны только в небольших областях кристалла с
размерами порядка межатомных расстояний (ядра де-
Рис. 2. Зависимость собственной энергии дислокации dE и
краудиона cE от радиуса кристалла sR (данные из [12]): 0ε
— энергетический параметр потенциала межатомного взаи-
модействия, 0a — параметр решетки бесконечного гексаго-
нального 2D кристалла.
276 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3
Дислокации и краудионы в двумерных кристаллах. Часть II
фектов), которые окружены дальнодействующими по-
лями малых упругих деформаций. Такая структура
искажений приводит к необходимости использовать
при теоретическом описании дефектов два подхода:
— рассматривать кристалл как упругий 2D конти-
нуум, а дефекты — как точечные источники полей уп-
ругих деформаций и напряжений, что позволяет для
описания конфигурации этих полей привлекать урав-
нения и методы теории упругости;
— формулировать атомно-решеточные модели кри-
сталла и дефектов, а для описания их ядер использо-
вать уравнения механики атомных систем.
В данном исследовании сопоставлены результаты
этих подходов при изучении дислокаций и краудионов
в 2D кристаллах с гексагональной кристаллической
структурой и изотропными упругими свойствами.
Сравнение результатов континуального и микроскопи-
ческого описания позволило получить количественные
оценки для эффективных размеров ядер дефектов.
Авторы искренне признательны А.С. Ковалеву за
интерес к работе и полезные обсуждения полученных
результатов.
1. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 40, 1366 (2014) [Low
Temp. Phys. 40, 1063 (2014)].
2. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 39, 690 (2013) [Low
Temp. Phys. 39, 534 (2013)].
3. А.М. Косевич, Теория кристаллической решетки (физи-
ческая механика кристаллов), Вища шк., Изд-во ХГУ,
Харьков (1988).
4. Дж. Хирт, И. Лоте, Теория дислокаций, Атомиздат, Мо-
сква (1972).
5. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская, Основы кристаллофи-
зики, Наука, Москва (1979).
6. А. Келли, Г. Гровс, Кристаллография и дефекты в кри-
сталлах, Мир, Москва (1974).
7. Р.В. Галиулин, Кристаллографическая геометрия, Нау-
ка, Москва (1984).
8. С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко, Збірник наукових праць
міжнародної науково-практичної конференції «Струк-
турна релаксацiя у твердих тiлах», ТОВ «Планер», Вiн-
ниця, 261 (2006).
9. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко, Матеріали
8-ої Міжнародної конференції «Фізичні явища в твердих
тілах», ХНУ, Харків (2007), c. 25.
10. С.Н. Смирнов, В.Д. Нацик, В.И. Белан, Матеріали X Між-
народної конференції «Фізичні явища в твердих тілах»,
ХНУ, Харків (2011), c. 15.
11. С.Н. Смирнов, В.И. Белан, Матеріали XI Міжнародної
конференції «Фізичні явища в твердих тілах», ХНУ,
Харків (2013), c. 112.
12. V.I. Belan, L.F. Belous, G.E. Grechnev, E.S. Zarudnev, V.G.
Zobnina, A.Yu. Ivanov, V.A. Karachevtsev, M.V. Kosevich,
Yu.V. Rubin, V.V. Slavin, S.N. Smirnov, S.G. Stepanian,
and V.V. Chagovets, Collection of Scientific Papers Inter-
national Conference “Parallel and Distributed Computing
Systems” (PDCS 2013), Kharkiv, Ukraine (2013), p. 32.
13. V.I. Belan, L.F. Belous, S.A. Egupov, V.G. Zobnina, A.Yu.
Ivanov, V.A. Karachevtsev, M.V. Kosevich, V.D. Natsik,
V.M. Polyakov, Yu.V. Rubin, S.N. Smirnov, S.G. Stepanian,
E.Yu. Torgonin, and V.V. Chagovets, Collection of Scien-
tific Papers International Conference “Parallel and Distri-
buted Computing Systems” (PDCS 14), Kharkiv, Ukraine
(2014), p. 34.
14. Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, Мир,
Москва (1990), т. 2.
15. Г. Лейбфрид, Микроскопическая теория механических и
тепловых свойств кристаллов, Физ.-мат. лит., Москва
(1963).
Dislocations and crowdions in two-dimensional
crystals. Part II: Elastic fields and intrinsic energies
of the above defects in a crystal with a plane
hexagonal lattice
V.D. Natsik and S.N. Smirnov
The fields of elastic deformation and stress round
the centers of dislocations and crowdions in 2D crys-
tals with isotropic elastic properties are described in
the continual approximation. The elastic energy of
both types of defects are estimated and its dependence
on crystal size is discussed. Considered also is the
quantitative uncertainty that is associated with the in-
applicability of the continual description of defor-
mation at atomic distances from the defect centers.
The results obtained by using the continual theory
were improved by comparing with the results of nu-
merical analysis by the methods of molecular dynam-
ics of atomic structure of dislocations and crowdions
in a hexagonal lattice 2D crystal. The work under con-
sideration continues the exploration of the problem
started in the previous paper (Fiz. Nizk. Temp. 40,
1366 (2014)).
PACS: 46.25.–y Static elasticity;
61.72.Bb Theories and models of crystal
defects;
61.72.J– Point defects and defect clusters;
61.72.Lk Linear defects: dislocations,
disclinations.
Keywords: two-dimensional crystals, dislocations,
crowdions, elastic fields, microscopic models of de-
fects, self energy of defects.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 3 277
1. Введение
2. Топологические заряды, упругие поля и собственная энергия единичных дефектов
3. Дислокации и краудионы в 2D кристалле с изотропными упругими свойствами
3.1. Упругие поля и энергия дислокации
3.2. Упругие поля и энергия краудиона
4. Сопоставление выводов континуальной теории с результатами моделирования дислокаций и краудионов в 2D кристалле
5. Заключение
|