Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности
В статье описывается итерационная процедура восстановления формы объекта больших электрических размеров путем последовательного продвижения во времени. Процедура основана на сравнении в каждый момент времени расчетных значений переходной характеристики объекта со значениями переходной характеристики...
Збережено в:
| Дата: | 2000 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2000
|
| Назва видання: | Радиофизика и радиоастрономия |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122201 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности / О.И. Сухаревский, А.В. Музыченко // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 311-319. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-122201 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1222012017-06-30T03:03:08Z Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности Сухаревский, О.И. Музыченко, А.В. В статье описывается итерационная процедура восстановления формы объекта больших электрических размеров путем последовательного продвижения во времени. Процедура основана на сравнении в каждый момент времени расчетных значений переходной характеристики объекта со значениями переходной характеристики, полученной в результате эксперимента, и определении невязки между ними. На ее основе производится уточнение формы объекта. С помощью описанного метода восстановлена форма “освещенных” частей сферы и трехосного эллипсоида при различных соотношениях между полуосями для случаев осевого зондирования. У статті описується ітераційна процедура відновлення форми об’єкта великих електричних розмірів шляхом послідовного просування у часі. Процедура заснована на порівнянні в кожний момент часу розрахункових значень перехідної характеристики об’єкта зі значеннями перехідної характеристики, отриманої в результаті експерименту і визначенні різниці між ними. На її основі робиться уточнення форми об’єкта. За допомогою описаного методу проведено відновлення форми “освітлених” частин сфери та тривісного еліпсоїда при різних співвідношеннях між півосями для випадків осьового зондування. The aim of the paper is to develop the procedure of object shape imaging using sequential motion in time. This procedure is based on determining the difference between calculated values of the transient characteristics and that obtained from experiment at every moment. Then, the validating of the object shape is performed using this difference. The imaging of “illuminated” parts of a sphere and three-axial ellipsoid (for different ratios of the semiaxes) for the cases of axial sounding scheme was carried out using the algorithm developed. 2000 Article Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности / О.И. Сухаревский, А.В. Музыченко // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 311-319. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122201 621396.96 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье описывается итерационная процедура восстановления формы объекта больших электрических размеров путем последовательного продвижения во времени. Процедура основана на сравнении в каждый момент времени расчетных значений переходной характеристики объекта со значениями переходной характеристики, полученной в результате эксперимента, и определении невязки между ними. На ее основе производится уточнение формы объекта. С помощью описанного метода восстановлена форма “освещенных” частей сферы и трехосного эллипсоида при различных соотношениях между полуосями для случаев осевого зондирования. |
| format |
Article |
| author |
Сухаревский, О.И. Музыченко, А.В. |
| spellingShingle |
Сухаревский, О.И. Музыченко, А.В. Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности Радиофизика и радиоастрономия |
| author_facet |
Сухаревский, О.И. Музыченко, А.В. |
| author_sort |
Сухаревский, О.И. |
| title |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| title_short |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| title_full |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| title_fullStr |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| title_full_unstemmed |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| title_sort |
алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| publishDate |
2000 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122201 |
| citation_txt |
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности / О.И. Сухаревский, А.В. Музыченко // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 311-319. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Радиофизика и радиоастрономия |
| work_keys_str_mv |
AT suharevskijoi algoritmvosstanovleniâosveŝennojčastivypuklojidealʹnoprovodâŝejpoverhnosti AT muzyčenkoav algoritmvosstanovleniâosveŝennojčastivypuklojidealʹnoprovodâŝejpoverhnosti |
| first_indexed |
2025-07-08T21:19:33Z |
| last_indexed |
2025-07-08T21:19:33Z |
| _version_ |
1837115191617126400 |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3, стр. 311-319
© О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко, 2000
УДК 621396.96
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально
проводящей поверхности
О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко
Харьковский военный университет,
61043, г. Харьков, пл. Свободы, 6
Статья поступила в редакцию 12 августа 2000 г.
В статье описывается итерационная процедура восстановления формы объекта больших электричес-
ких размеров путем последовательного продвижения во времени. Процедура основана на сравнении в
каждый момент времени расчетных значений переходной характеристики объекта со значениями переход-
ной характеристики, полученной в результате эксперимента, и определении невязки между ними. На ее
основе производится уточнение формы объекта.
С помощью описанного метода восстановлена форма “освещенных” частей сферы и трехосного
эллипсоида при различных соотношениях между полуосями для случаев осевого зондирования.
У статті описується ітераційна процедура відновлення форми об’єкта великих електричних розмірів
шляхом послідовного просування у часі. Процедура заснована на порівнянні в кожний момент часу роз-
рахункових значень перехідної характеристики об’єкта зі значеннями перехідної характеристики, отрима-
ної в результаті експерименту і визначенні різниці між ними. На її основі робиться уточнення форми
об’єкта.
За допомогою описаного методу проведено відновлення форми “освітлених” частин сфери та тривіс-
ного еліпсоїда при різних співвідношеннях між півосями для випадків осьового зондування.
Введение
При рассмотрении ряда радиолокационных и
электродинамических задач возникает необходи-
мость определения геометрической формы рассеи-
вателя по локационной информации. Для решения
таких задач был предложен целый ряд подходов.
К ним относятся, например, методы, основанные
на связи импульсного отклика объекта со второй
производной профильной функции его поверхнос-
ти [1, 2]. В работах [3, 4] был развит подход, бази-
рующийся на использовании поляризационной ин-
формации. В работе [5] описаны метод последова-
тельного продвижения во времени и итеративный
метод восстановления поверхности идеально про-
водящего выпуклого тела вращения, размеры кото-
рого находятся в резонансном диапазоне, на осно-
ве решения нестационарного интегрального урав-
нения для плотности поверхностного тока. Однако
применимость упомянутых выше методов ограни-
чена простыми геометрическими формами (тела
вращения) и резонансными размерами объектов.
В настоящей статье предлагается методика вос-
становления “освещенной” части выпуклого иде-
ально проводящего объекта, геометрические раз-
меры и радиусы кривизны которого много больше
длины зондирующей электромагнитной волны.
Методика основана на связи геометрии поверхно-
сти рассеивателя с высокочастотной аппроксима-
цией его переходной характеристики (ПХ) [6].
Информация, полученная посредством полного
поляризационного приема, позволяет определить
главные кривизны поверхности объекта в “блестя-
щей” точке, а также ориентацию главных направ-
лений. Получение указанной информации основа-
но на итерировании уравнения Фока относитель-
но плотности тока на поверхности идеально про-
водящего рассеивателя и определении двух членов
лучевой асимптотики для рассеянного поля в об-
щем случае бистатической локации (разнесенного
приема) [7]. Это позволяет построить для восста-
навливаемой поверхности соприкасающийся пара-
болоид с вершиной в точке стационарной фазы,
который принимается за начальное приближение
О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3312
восстанавливаемой поверхности вблизи этой точ-
ки. Далее производится ряд шагов во времени, на
каждом из которых искомая поверхность сначала
аппроксимируется линейчатой поверхностью, за-
тем уточняется при помощи поправки, определяе-
мой по разнице значений реальной ПХ объекта и
рассчитанной по уже восстановленной поверхнос-
ти. Реальную ПХ можно определить, зная зонди-
рующий и отраженный сигналы, например, решая
уравнение свертки:
0( ) ( ) ( )d ,
t
t H t
∞
′Ω = Ω τ − τ τ∫
где 0 ( )t′Ω – производная по времени зондирующе-
го сигнала, ( )tΩ – отраженный сигнал, ( )H t – ПХ
рассеивателя.
Процедура продолжается до момента достиже-
ния границы “освещенной” части объекта.
1. Определение главных кривизн в
“блестящей” точке
Алгоритм получения главных кривизн и ориен-
тации главных направлений в “блестящей” точке
основан на итерировании уравнения Фока, полу-
ченного в предположении выпуклости поверхнос-
ти объекта [7]. Методика, разработанная в [7], по-
зволяет оценить два члена лучевого разложения в
общем бистатическом случае. В результате полу-
чим для вектора магнитной напряженности рассе-
янного поля:
0 0 з 1 1 з( ) ( ) ( ),H t A t t A t t= Ω − + Ω −
где функция 0 ( )tΩ описывает временную структу-
ру зондирующего сигнала; зt – время запаздыва-
ния отраженного сигнала; 1 0
0
( ) ( )d ;
t
tΩ = Ω τ τ∫ 0 ,A
1A – векторные коэффициенты лучевого разложе-
ния, направления которых зависят от ориентации
главных направлений в “блестящей” точке 1 2,τ τ и
от поляризации вектора магнитной напряженности
рассеянной волны 0
отрp :
0
0 отр
1 2
1 ,
2
A p
d
=
κ κ
1 1 12 2 11
1 2
1 ( )cos ( ) cos
4 cos
A V V
d
⎡
= − τ θ θ + τ θ θ −⎢κ κ θ ⎣
0
отр
0 11 12 1 2( ( )sin ( )cos )sin ( ) .
2
p
n V V
⎤
− θ α − θ α θ − κ + κ ⎥
⎥⎦
Здесь θ – половина угла разноса; 1 2,κ κ − главные
кривизны в точке стационарной фазы поверхнос-
ти рассеивателя; α – угол между ортом 1τ и проек-
цией орта 0R направления зондирования на плос-
кость, проходящую через орты 1 2,τ τ главных на-
правлений в точке стационарной фазы; 0n – орт
внешней нормали к поверхности рассеивателя в
“блестящей” точке; d – расстояние от точки при-
ема до объекта;
0 0
1 2 2 1 2
11 0
( )( ) ( ) sin 2 cos 2
2 4
p pV
⎡ ⎤κ κ + κθ = Φ θ α − α +⎢ ⎥
⎣ ⎦
0
2
2 1 1( ) ( );
4
p+ κ − κ Φ θ
0 0
2 1 1 1 2
12 0
0
1
2 1 1
( )( ) ( ) sin 2 cos 2
2 4
( ) ( ),
4
p pV
p
⎡ ⎤κ κ + κθ = Φ θ − α − α +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ κ − κ Φ θ
2 2
0 2 3
tg / 2 1 3sin 2( ) 2 2 ;
cos sin cos
⎡ ⎤⎛ ⎞θ θ −Φ θ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟θ θ θ⎝ ⎠⎣ ⎦
0 (0) 0;Φ =
2
1 3
1 cos( ) 2 .
cos
+ θΦ θ =
θ
Рассмотрим частный случай совмещенного
приема, когда 0θ = ° . Учитывая, что в этом случае
0 0
отр ,p p= где 0p − орт поляризации, соответству-
ющий направлению вектора магнитной напряжен-
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности
313
ности зондирующей волны, получим:
0
0
1 2
1 ,
2
A p
d
=
κ κ
[1 1 2 1
1 2
1 ( ) cos
4
A
d
= −τ κ − κ β +
κ κ
0
2 2 1 2 1( )sin ( ) ,
2
p ⎤
+ τ κ − κ β − κ + κ ⎥
⎦
где β − угол между ортами 0p и 1τ ( )0 ≤ β ≤ π .
Таким образом, получены выражения для век-
торных коэффициентов 0A и 1A , которые дают ре-
шение задачи рассеяния электромагнитной волны
гладким выпуклым идеально проводящим телом
больших электрических размеров и содержат ис-
комые величины 1 2,κ κ и β.
Перейдем теперь к решению обратной задачи –
будем искать геометрические параметры поверх-
ности рассеивателя 1 2,κ κ и β в точке стационар-
ной фазы.
Учитывая вид векторной зависимости коэффи-
циентов 0A и 1,A целесообразно проводить прием
двух ортогональных поляризаций: 0p и 0p⊥ . В ре-
зультате получим выражения для соответствующих
проекций:
( )0
0 з
1 2
1 ( )
2
H p t t
d
⋅ = Ω − +
κ κ
1 2 1 2
1 з
1 2
( ) cos 2 ( ) / 2 ( ),
4
t t
d
κ − κ β − κ + κ+ Ω −
κ κ
(1.1)
( )0
2 1 1 з
1 2
sin 2 ( ) ( ).
4
H p t t
d⊥
β⋅ = κ − κ Ω −
κ κ
(1.2)
Введем следующие обозначения:
1 2
1 ,
2
B
d
=
κ κ
1 2 1 2
1 2
( )cos 2 ( ) / 2 ,
4
C
d
κ − κ β − κ + κ
=
κ κ
2 1
1 2
sin 2 ( ).
4
D
d
β= κ − κ
κ κ
Таким образом, введенные константы зависят от
трех подлежащих нахождению параметров зада-
чи – главных кривизн 1 2,κ κ и угла β.
С учетом введенных обозначений равенства
(1.1), (1.2) примут вид:
з 0 з 1 з( ) ( ) ( ),пр t t B t t C t tΩ − = Ω − + Ω − (1.3)
1 з 1 з( ) ( ), пр t t D t tΩ − = Ω − (1.4)
где ( )пр tΩ описывает временную структуру при-
нятого сигнала с поляризацией 0p , а 1( )пр tΩ – с
поляризацией 0p⊥ .
Из соотношений (1.3), (1.4), дискретизируя их
по времени, можно получить две переопределен-
ные системы линейных алгебраических уравнений:
первую – для определения B и C, вторую – для
определения D. Тогда i-е уравнение первой систе-
мы имеет вид
0 1( ) ( ) ( ),i i пр iB CΩ τ + Ω τ = Ω τ
а i-е уравнение второй системы –
1 1( ) ( ),i пр iDΩ τ = Ω τ
где з (1 ) i it t i nτ = − ≤ ≤ – соответствующие вре-
менные отсчеты значений ( )пр iΩ τ , 1( )пр iΩ τ ,
1( )iΩ τ , 0 ( )iΩ τ .
Решения полученных систем уравнений найдем
из условия минимизации среднеквадратичной
ошибки:
,mD
k
= 2 ,af blC
ak b
−=
− ,l bCB
a
−=
где 2
0
1
( ),
n
i
i
a
=
= Ω τ∑ 0 1
1
( ) ( ),
n
i i
i
b
=
= Ω τ Ω τ∑
О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3314
0
1
( ) ( ),
n
пр i i
i
l
=
= Ω τ Ω τ∑ 1
1
( ) ( ),
n
пр i i
i
f
=
= Ω τ Ω τ∑
1 1
1
( ) ( )
n
пр i i
i
m
=
= Ω τ Ω τ∑
2
1
1
( ).
n
i
i
k
=
= Ω τ∑
После того, как определены приближенные зна-
чения B, C и D, можно попытаться найти величи-
ны 1 2,κ κ и β из соотношений:
1 2
1 ,
2
B
d
=
κ κ
1 2 1 2
1 2
1( )cos 2 ( )
2 ,
4
C
d
κ − κ β − κ + κ
=
κ κ
(1.5)
2 1
1 2
( )sin 2 ,
4
D
d
κ − κ β
=
κ κ
в совокупности составляющих систему из трех
уравнений относительно трех неизвестных пара-
метров. Введем обозначение: 1 2w = κ + κ . Решая
систему (1.5), получим:
2 2 2
1
1 1,
2
w w d B
dB
κ = + −
2 2 2
2
1 1,
2
w w d B
dB
κ = − −
1 2 1 2
1 2
14 ( )
2cos 2
dC κ κ + κ + κ
β =
κ − κ
1 2( ),κ ≠ κ
1 2
2 1
1 2
2 1
41 arcsin , при cos 2 0,
2
41 arcsin , при cos 2 0,
2
dD
dD
⎧ κ κ
β ≥⎪
κ − κ⎪β = ⎨
κ κ⎪π − β <⎪ κ − κ⎩
где 2 2
2
4 14 3 .
3 4
w C C D
B d
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Из полученных формул видно, что необходи-
мым условием для определения главных кривизн
1 2,κ κ является неотрицательное значение выра-
жения, стоящего под знаком радикала в формуле
для w. Это условие будет выполняться при L/λ >>1,
где L – характерный размер объекта, т. к. B, C и D
получены из коротковолновой асимптотики рассе-
янного поля. Если ошибки измерений приводят к
отрицательному значению выражения под радика-
лом, решение системы (1.5) следует искать при-
ближенно, минимизируя сумму квадратов невязок
левых и правых частей уравнений системы при ус-
ловии неотрицательности 1 2,κ κ .
Таким образом, при совмещенном приеме двух
ортогональных поляризаций можно получить ве-
личины главных кривизн и ориентацию главных
направлений в “блестящей” точке поверхности
рассеивателя.
2. Алгоритм восстановления
“освещенной” части поверхности объекта
Восстановление поверхности производится в
системе координат, связанной с объектом. Центр
ее находится в точке стационарной фазы, ось z
совпадает с направлением зондирования. Вдоль
этой оси отсчитывается текущее время распрост-
ранения волны и продольная координата. Оси x и y
образуют с осью z правую тройку ортогональных
векторов и направлены вдоль главных осей повер-
хности в “блестящей” точке. Восстанавливаемая
поверхность будет задаваться в каждом временном
сечении z = t полярными координатами ρ, ϕ:
),( tϕρ=ρ ).20( π<ϕ≤
Будем считать, что вблизи точки стационарной
фазы искомая поверхность достаточно хорошо
аппроксимируется соприкасающимся параболои-
дом, который задается уравнением
2 2 ,z ax by= +
где a и b – главные кривизны поверхности в “бле-
стящей” точке (алгоритм их определения описан
выше). Выберем такое значение 0t , чтобы при
0z t≤ имела место указанная аппроксимация.
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности
315
В каждом конкретном случае величину 0t нужно
выбирать исходя из абсолютных значений кривизн
и соотношения между ними. Анализ результатов
показал, что если кривизны одинаковы или отли-
чаются незначительно (единицы процентов), то
величину 0t можно взять достаточно малой для
повышения точности вычислений. Фактически, в
этом случае величины 0t и tΔ определяются име-
ющимися вычислительными ресурсами. Если же
значения кривизн отличаются сильно, то величину
0t нельзя выбирать очень малой: в этой ситуации
главные сечения поверхности объекта различают-
ся достаточно значительно, а разница главных се-
чений параболоида убывает с уменьшением высо-
ты. Это приводит к ухудшению начального при-
ближения искомой поверхности, что снижает точ-
ность процедуры восстановления в целом. Анализ
показал, что приемлемая точность обеспечивается
при 1 1
0 max max0.1 0.3t − −= κ ÷ κ , где maxκ – наибольшее
значение главной кривизны в “блестящей” точке.
Обозначим контур, ограничивающий параболо-
ид при 0z t= , через
0t
Г . В каждой точке этого
контура определяются орт нормали к поверхности
параболоида 0 ( )n ϕ и орт касательной к контуру
0 ( )τ ϕ , по которым строится вектор 0 0p n= × τ .
Этот вектор, ориентированный перпендикулярно
контуру, будет лежать в плоскости, касательной к
поверхности объекта. Далее, через каждую точку
рассматриваемого контура проводятся прямые с на-
правляющими векторами p до пересечения с плос-
костью 0z t t= + Δ . Каждая из этих прямых лежит
в плоскости, касательной к параболоиду. Совокуп-
ность точек пересечения прямых с плоскостью
0z t t= + Δ образует контур, который обозначим
0t tГ +Δ , а отрезки этих прямых, заключенные меж-
ду
0t
Г и
0t tГ +Δ образуют линейчатую поверхность.
Координаты точек контура
0t tГ +Δ могут быть най-
дены по координатам точек контура
0t
Г :
0 ,x
z
p
x x t
p
= + Δ 0 ,y
z
p
y y t
p
= + Δ 0z t t= + Δ ,
где 0 0 0, ,x y z – координаты точек контура
0t
Г ;
, ,x y zp p p – соответствующие компоненты век-
тора p . При этом уравнение контура
0t tГ +Δ име-
ет вид:
2 2
0( , )t t x yρ = ρ ϕ + Δ = + . (2.1)
Однако реальные значения функции 0( , )t tρ ϕ + Δ
будут отличаться от вычисленных по формуле (2.1).
Для учета соответствующих поправок вводится
функция ( )α ϕ ( )( ) 1α ϕ << , которая изменяет век-
тор p следующим образом:
( )1 0( ) .p p p= + α ϕ × τ
В [8] показано, что проекция ПХ идеально про-
водящего рассеивателя на направление, перпенди-
кулярное направлению распространения волны, в
приближении физической оптики (ФО) может быть
представлена в виде контурного интеграла:
0( ) ( )d ,
tГ
t R f n lΨ = ∫
где 0R – орт направления зондирования,
( )20
( ) ,
1
nf n
R n
=
− ⋅
n − орт внешней нормали
к поверхности рассеивателя в точках контура tГ .
С учетом поправки ( )α ϕ выражение для зна-
чений ПХ в момент времени 0t t+ Δ можно запи-
сать в виде:
( )
2
0
0 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) d ( )i t t t t
π
Ψ + Δ = α ϕ Φ ϕ + Φ ϕ ϕ + Ψ + Δ∫ ,
(2.2)
где 0( )i t tΨ + Δ – значение проекции ПХ рассеива-
теля на направление вектора i-й поляризации при-
емной антенны (1, 2)i = ,
( ) ( )
( )
20
00 2 2
1 20
0
( ) 1
1
R n
R p
R n
ϕ
⎡ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎜ ⎟Φ ϕ = ⋅ + ρ + ρ +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅⎢ ⎝ ⎠⎣
( ) ( )0
0 ( ) cos ( )sinR n t Q Q
⎤
⎥′+ ⋅ Δ ϕ χ + ϕ χ ×⎥
⎥⎦
( )( ) 1/ 220
01 ,R n
−
× − ⋅
О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3316
( ) ( )
( )
( )
0
0
2 20
0
sin ,
1
R n
t Q
R n
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟∂Φ ϕ = −Δ ϕ χ⎜ ⎟∂ϕ ⎜ ⎟− ⋅⎝ ⎠
( ) cos sinx yQ q qϕ = ϕ + ϕ , ( )( ) QQ ∂ ϕ′ ϕ =
∂ϕ
,
2 2
cos ,
ϕ
ρχ =
ρ + ρ 2 2
sin ,ϕ
ϕ
ρ
χ =
ρ + ρ
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
0 0
2 ,xx z
x
z z
p p p
q
p p
ϕ × τ ϕ ϕ ϕ × τ ϕ
ϕ = −
ϕ ϕ
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
0 0
2 ,yy z
y
z z
p p p
q
p p
ϕ × τ ϕ ϕ ϕ × τ ϕ
ϕ = −
ϕ ϕ
2
0 0 0 0
0
0 2
0 0 0
( , )( )
1 ( ( , ))
n t tt t R
R n t t
π ϕ + Δ
Ψ + Δ = ×
− ⋅ ϕ + Δ
∫
2 2
0 0( , ) ( , )dt t t tϕ× ρ ϕ + Δ + ρ ϕ + Δ ϕ –
значение ПХ, рассчитанное по уже восстанов-
ленной части поверхности рассеивателя, ϕρ –
производная радиус-вектора ρ по углу ϕ. По-
скольку вдоль образующей линейчатой поверх-
ности орт нормали к этой поверхности не меня-
ется, 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( )n t t n t nϕ + Δ = ϕ = ϕ .
Отметим, что при вычислениях производных
могут возникать значительные ошибки, обуслов-
ленные погрешностью определения реальной
ПХ объекта. Поэтому для численного диффе-
ренцирования применялась формула со сглажи-
ванием:
( )0 0 0
1( ) 2 ( 2 ) ( 2 )
10
f x f x x f x x
x
′ ⎡= + Δ − − Δ +⎣Δ
( )0 0( ) ( ) .f x x f x x ⎤+ + Δ − − Δ ⎦
Выражение (2.2) получено в предположении,
что контур
0t tГ +Δ лежит на поверхности искомого
рассеивателя. Определив функцию α(ϕ) из соот-
ношения (2.2), мы уточним контур
0t tГ +Δ , то есть
линию пересечения искомой поверхности с плос-
костью 0z t t= + Δ .
Таким образом, для определения поправки α(ϕ)
имеется следующее уравнение:
2
0
( ) ( ) ,i
π
α ϕ Φ ϕ ϕ = ΔΨ∫ (2.3)
где 0
i iΔΨ = Ψ − Ψ , 1 2( ) ( ) ( ).Φ ϕ = Φ ϕ + Φ ϕ Учиты-
вая малость α(ϕ) и достаточно плавный характер
зависимости этой функции от угла ϕ, будем отыс-
кивать (из бесконечного множества решений урав-
нения (2.3)) решение с минимальной нормой, по
аналогии с тем, как это было сделано в [9]. Мини-
мальную норму будем выбирать в метрике C либо
в метрике 2L . Тогда решение уравнения (2.3) мож-
но выписать в явном виде:
в случае метрики C –
2
0
0
( ) sgn ( ) ( ) di
π
α ϕ = ΔΨ Φ ϕ Φ ϕ ϕ∫ ,
в случае 2L -метрики –
2
2
0
0
( ) ( ) ( )di
π
α ϕ = ΔΨ Φ ϕ Φ ϕ ϕ∫ ,
причем из двух значений 0 ( )α ϕ выбирается то, для
которого iΔΨ меньше.
Уточнив таким образом направление вектора p ,
строим новую линейчатую поверхность с образую-
щими, параллельными вектору p , и находим точки
пересечения этой поверхности с плоскостью
0z t t= + Δ . Таким образом, контур
0t tГ +Δ корректи-
руется. После этого проводится следующая итера-
ция уточнения контура
0t tГ +Δ . Для определения не-
вязки ( )0t tΔΨ + Δ используются уточненные зна-
чения вектора p , радиус-вектора ρ и нормали 0n
к уточненной линейчатой поверхности. Итераци-
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности
317
онная процедура уточнения контура
0t tГ +Δ прово-
дится до тех пор, пока значение рассогласования
( )0t tΔΨ + Δ не станет меньшим какого-то напе-
ред заданного малого ε. После этого производит-
ся следующий шаг во времени, для чего опреде-
ляются орт нормали к последней уточненной ли-
нейчатой поверхности 0n и орт касательной к пос-
леднему уточненному контуру 0τ , по которым рас-
считывается вектор p . Далее определяется кон-
тур
0 2t tГ + Δ , который затем корректируется, как
описано выше.
Процедура восстановления поверхности произ-
водится до момента достижения границы “свет-
тень” на поверхности объекта.
3. Результаты численного моделирования
Для проверки работоспособности описанного
выше алгоритма было проведено восстановление
“освещенных” частей следующих поверхностей:
1) сферы радиуса 3 м (рис. 1);
2) эллипсоида вращения с полуосями 3, 3 и 1 м
(рис. 2) (зондирование проводилось вдоль мень-
шей полуоси);
3) трехосного эллипсоида с полуосями 3, 2 и
1 м (рис. 3) (зондирование проводилось вдоль мень-
шей полуоси);
4) трехосного эллипсоида с полуосями 1, 2 и
3 м (рис. 4) (зондирование проводилось вдоль боль-
шей полуоси).
Для всех указанных случаев на рисунке а) изоб-
ражена истинная поверхность объекта, на рисунке
б) – результат восстановления “освещенной” час-
ти поверхности соответствующего объекта.
В качестве реальной ПХ использовалась ее
высокочастотная аппроксимация, рассчитанная в
приближении ФО для соответствующих размеров
объектов и направлений зондирования.
Полученные результаты показали, что точность
восстановления зависит от соотношения парамет-
ров процедуры восстановления (высоты соприка-
сающегося параболоида 0t и величины шага во
времени Δt) и размера “освещенной” части объек-
та l вдоль направления зондирования. Погреш-
ность алгоритма восстановления δ определялась
по формуле:
( , ) ( , )( , ) 100%,
( , )
t tt
t
ρ ϕ − ρ ϕδ ϕ = ⋅
ρ ϕ
где ( , )tρ ϕ − истинные значения радиус-вектора в
точке ( , )M tϕ , ( , )tρ ϕ − восстановленные значения
радиус-вектора в точке ( , )M tϕ .
Рис. 1. Истинная поверхность сферы радиуса 3 м (а) и
результат восстановления ее “освещенной” части (б)
Рис. 2. Истинная поверхность эллипсоида с полуосями
3, 3 и 1 м (а) и результат восстановления ее “освещен-
ной” части (б)
О. И. Сухаревский, А. В. Музыченко
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3318
Средняя величина погрешности алгоритма вос-
становления освещенной части поверхности рас-
сматриваемых объектов приведена в таблице.
Таблица
Объект l/t0 = l/Δt δ, %
Сфера 1) и 10 13.4
эллипсоид 20 9.1
вращения 2) 100 2.7
Трехосный 10 17.0
эллипсоид 3) 20 13.0
100 8.6
Трехосный 10 25.8
эллипсоид 4) 20 23.4
100 14.6
Полученные результаты можно объяснить тем,
что с уменьшением высоты 0t соприкасающийся
параболоид точнее аппроксимирует восстанавли-
ваемую поверхность, то есть улучшается началь-
ное приближение, используемое в процедуре вос-
становления.
Из приведенных рисунков видно, что наиболь-
шим значениям погрешности восстановления со-
ответствует случай эллипсоида, вытянутого вдоль
направления зондирования (рис. 4). Кроме этого,
в данном случае с большой погрешностью опре-
деляется граница освещенной области. Анализ
промежуточных результатов процедуры восста-
новления поверхности показал, что ухудшение
точности связано с тем, что погрешность опреде-
ления расчетной ПХ становится сравнимой с по-
грешностью вычислений. Это приводит к тому,
что невязка ΔΨ определяется неверно. Из-за это-
го вычисляемая по ней функция 0 ( ),α ϕ с помо-
щью которой происходит уточнение поверхнос-
ти, в некоторых точках становится отрицательной,
чего не может быть при восстановлении рассмат-
риваемой поверхности. Очевидно, что в данной
ситуации можно говорить о границе применимо-
сти предлагаемого алгоритма.
На рис. 5 приведены типичные графики зави-
симости величины погрешности, усредненной в
каждом временном сечении, от координаты z вдоль
направления зондирования. Рис. 5, а соответству-
Рис. 3. Истинная поверхность эллипсоида с полуосями
3, 2 и 1 м (а) и результат восстановления ее освещен-
ной части (б)
Рис. 4. Истинная поверхность эллипсоида с полуосями
1, 2 и 3 м (а) и результат восстановления ее освещен-
ной части (б)
Рис. 5. Зависимость усредненной в каждом сечении по-
грешности δ от координаты z вдоль направления зон-
дирования
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Алгоритм восстановления “освещенной” части выпуклой идеально проводящей поверхности
319
ет объектам 1), 2), 3), рис. 5, б – объекту 4). Анализ
этих зависимостей показывает, что наибольшие
значения погрешность принимает в начальные мо-
менты времени. Это можно объяснить значитель-
ным отличием соприкасающегося параболоида и
реальной поверхности. Очевидно, можно ожидать,
что, задавая точнее начальное приближение (на-
пример, по информации о близко расположенных
“блестящих” точках, полученной при нескольких
зондированиях), можно значительно улучшить ка-
чество восстановления поверхности объекта. С
продвижением вдоль направления зондирования
погрешность восстановления быстро уменьшает-
ся, что говорит о правильном построении алгорит-
ма восстановления.
При восстановлении эллипсоида, вытянутого
вдоль направления зондирования (рис. 5, б), сред-
няя погрешность убывает до определенного момен-
та, после чего несколько увеличивается. Анализ
показал, что это происходит из-за неправильного
определения границы “освещенной” области в этом
случае по причинам, описанным выше.
Таким образом, в настоящей статье предложен
алгоритм восстановления “освещенной” части
гладкой выпуклой идеально проводящей поверх-
ности, находящейся в свободном пространстве, по
полному поляризационному приему. В качестве
примеров приведены результаты восстановления
“освещенных” частей сферы и трехосных эллип-
соидов при зондировании вдоль одной из осей.
Литература
1. N. N. Bojarski. Three-dimensional electromagnetic short
pulse inverse scattering. Syracuse Univ. Res. Corp.,
Syracuse, Feb. 1967.
2. R. M. Lewis. IEEE Trans. Antennas Propag. 1969,
AP-17, pp. 308-314.
3. S. K. Chaudhuri and W. M. Boerner. A monostatic inverse
scattering model based on polarization utilization. Applied
Physics. New York, Springer, 1976.
4. S. K. Chaudhuri and W. M. Boerner. IEEE Trans. Antennas
Propag. 1977, AP-25, pp. 505-511.
5. C. L. Bennet. IEEE Trans. Antennas Propag. 1981,
AP-29, pp. 213-219.
6. Радиолокационные характеристики летательных аппа-
ратов. М. Е. Варганов, Ю. С. Зиновьев, Л. Ю. Астанин
и др. Под ред. Л. Т. Тучкова. Москва, Радио и связь,
1985, с. 88-94.
7. А. Я. Повзнер, И. В. Сухаревский. Журнал вычисли-
тельной математики и математической физики. 1961, 1,
№2, с. 224-245.
8. O. I. Sukharevsky, V. A. Vasilets. Journal of electromagnetic
waves and applications. Cambridge, USA, 1996, 10,
pp. 1613-1622.
9. К. А. Дайнс, Р. Дж. Лайтл. ТИИЭР, 67, №7, с. 103-112.
Algorithm of Imaging of “Illuminated” Part
of Convex Perfectly Conducting Surface
O. I. Sukharevsky, A. V. Muzychenko
The aim of the paper is to develop the procedure
of object shape imaging using sequential motion in
time. This procedure is based on determining the dif-
ference between calculated values of the transient
characteristics and that obtained from experiment at
every moment. Then, the validating of the object shape
is performed using this difference.
The imaging of “illuminated” parts of a sphere and
three-axial ellipsoid (for different ratios of the semi-
axes) for the cases of axial sounding scheme was car-
ried out using the algorithm developed.
|