Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)

На примере волн в объеме и на поверхности жидкости вводятся гамильтоновы переменные для сплошных сред, широко используемые в настоящее время в физике плазмы, гидродинамике и теории поля. Рассмотрены регулярные способы введения таких переменных, в том числе в средах с разрывами, с помощью вариационно...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2001
Автор:	Конторович, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2001
Назва видання:	Радиофизика и радиоастрономия
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122254
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике) / В.М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2001. — Т. 6, № 3. — С. 185-211. — Бібліогр.: 53 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-122254
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1222542017-07-02T03:03:49Z Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике) Конторович, В.М. На примере волн в объеме и на поверхности жидкости вводятся гамильтоновы переменные для сплошных сред, широко используемые в настоящее время в физике плазмы, гидродинамике и теории поля. Рассмотрены регулярные способы введения таких переменных, в том числе в средах с разрывами, с помощью вариационного принципа и канонических преобразований. Метод обратной задачи рассеяния приведен как нетривиальный пример канонического преобразования к переменным “действие-угол”. Приведены примеры линейных и нелинейных неустойчивостей. Настоящая публикация представляет собой первую часть обзора. Вторая часть обзора будет посвящена кинетическим уравнениям, используемым при описании слабой турбулентности, в том числе точным методам получения неравновесных потоковых распределений. Описаны применения кинетического уравнения Смолуховского к рассмотрению процессов слияния галактик и формирования их спектра масс. Рассмотрены также нелокальные распределения и частично когерентные системы. На прикладі хвиль в об’ємі та на поверхні рідини вводяться гамiльтоновi зміннi для суцільних сeредовищ, широко використовувані в нинішній час у фізиці плазми, гідродинаміці та теорії поля. Розглянуто регулярні засоби введення таких змінних, у тому числі в середовищах з розривами, за допомогою варіаційного принципу та канонiчних перетворень. Засіб зворотного розсiяння наведений як нетривiальний зразок канонічного перетворення до змінних “дія-кут”. Наведено приклади лінійних та нелiнiйних нестiйкостей. Ця публікація є першою частиною огляду. Друга частина огляду буде присвячена кiнетичним рівнянням, що використовуються для опису слабкої турбулентностi, в тому числі точним засобам отримання нерівноважних потокових розподiлiв. Описано застосування кiнетичного рівняння Смолуховського до розгляду процесів злиття галактик і формування їх спектру мас. Розглянуто також нелокальнi розподіли та частково когерентнi системи. By way of examples of volume waves as well as on the surface of a liquid the Hamiltonian variables for continuous media, widely used in plasma physics, hydrodynamics, and field theory are introduced. The regular way of introducing such variables on different kinds of surfaces including media with breaks are considered with the help of a variation principle and canonical transformations. The method of the inverse scattering problem is given as the nontrivial example of canonical transformation to variable "action-angle". The examples of linear and nonlinear instabilities are considered. The second part of the review will be devoted to the kinetic equations used for the weak turbulence description, including exact methods of obtaining the nonequilibrium flux distributions. The applications of the kinetic Smoluchowsky equation to the galaxy merging processes and their mass spectrum formation are considered. The nonlocal distributions and partially coherent systems are also considered. 2001 Article Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике) / В.М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2001. — Т. 6, № 3. — С. 185-211. — Бібліогр.: 53 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122254 532, 533.95, 523, 551.46 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На примере волн в объеме и на поверхности жидкости вводятся гамильтоновы переменные для сплошных сред, широко используемые в настоящее время в физике плазмы, гидродинамике и теории поля. Рассмотрены регулярные способы введения таких переменных, в том числе в средах с разрывами, с помощью вариационного принципа и канонических преобразований. Метод обратной задачи рассеяния приведен как нетривиальный пример канонического преобразования к переменным “действие-угол”. Приведены примеры линейных и нелинейных неустойчивостей. Настоящая публикация представляет собой первую часть обзора. Вторая часть обзора будет посвящена кинетическим уравнениям, используемым при описании слабой турбулентности, в том числе точным методам получения неравновесных потоковых распределений. Описаны применения кинетического уравнения Смолуховского к рассмотрению процессов слияния галактик и формирования их спектра масс. Рассмотрены также нелокальные распределения и частично когерентные системы.
format	Article
author	Конторович, В.М.
spellingShingle	Конторович, В.М. Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике) Радиофизика и радиоастрономия
author_facet	Конторович, В.М.
author_sort	Конторович, В.М.
title	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
title_short	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
title_full	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
title_fullStr	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
title_full_unstemmed	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
title_sort	линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2001
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122254
citation_txt	Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике) / В.М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. — 2001. — Т. 6, № 3. — С. 185-211. — Бібліогр.: 53 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT kontorovičvm linejnyeinelinejnyevolnyélementarnoevvedenievteoriûgamilʹtonovyhperemennyhspriloženiâmikfizikeiastrofizike
first_indexed	2025-07-08T21:23:48Z
last_indexed	2025-07-08T21:23:48Z
_version_	1837115459900538880
fulltext	Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3, ñòð. 165-211 © Â. Ì. Êîíòîðîâè÷, 2001 ÓÄÊ 532, 533.95, 523, 551.46 Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ôèçèêå è àñòðîôèçèêå) Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ Ðàäèîàñòðîíîìè÷åñêèé èíñòèòóò ÍÀÍ Óêðàèíû, Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Êðàñíîçíàìåííàÿ, 4 E-mail: vkont@ira.kharkov.ua Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16 èþëÿ 2000 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 28 àâãóñòà 2001 ã. Íà ïðèìåðå âîëí â îáúåìå è íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ââîäÿòñÿ ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåííûå äëÿ ñïëîøíûõ ñðåä, øèðîêî èñïîëüçóåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ôèçèêå ïëàçìû, ãèäðîäèíàìèêå è òåîðèè ïîëÿ. Ðàññìîòðåíû ðåãóëÿðíûå ñïîñîáû ââåäåíèÿ òàêèõ ïåðåìåííûõ, â òîì ÷èñëå â ñðåäàõ ñ ðàçðûâàìè, ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà è êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ìåòîä îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ ïðèâåäåí êàê íåòðèâèàëüíûé ïðèìåð êàíîíè÷åñêîãî ïðåîá- ðàçîâàíèÿ ê ïåðåìåííûì �äåéñòâèå-óãîë�. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ íåóñ- òîé÷èâîñòåé. Íàñòîÿùàÿ ïóáëèêàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü îáçîðà. Âòîðàÿ ÷àñòü îáçîðà áóäåò ïîñâÿùåíà êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèÿì, èñïîëüçóåìûì ïðè îïèñà- íèè ñëàáîé òóðáóëåíòíîñòè, â òîì ÷èñëå òî÷íûì ìåòîäàì ïîëó÷åíèÿ íåðàâíîâåñíûõ ïîòîêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé. Îïèñàíû ïðèìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ñìîëóõîâñêîãî ê ðàññìîòðåíèþ ïðîöåññîâ ñëèÿíèÿ ãàëàêòèê è ôîðìèðîâàíèÿ èõ ñïåêòðà ìàññ. Ðàññìîòðåíû òàêæå íåëîêàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíûå ñèñòåìû. Íà ïðèêëàä³ õâèëü â îá�ºì³ òà íà ïîâåðõí³ ð³äèíè ââîäÿòüñÿ ãàìiëüòîíîâi çì³ííi äëÿ ñóö³ëüíèõ ñeðåäîâèù, øèðîêî âèêîðèñòîâóâàí³ â íèí³øí³é ÷àñ ó ô³çèö³ ïëàçìè, ã³äðîäèíàì³ö³ òà òåîð³¿ ïîëÿ. Ðîçãëÿíóòî ðåãóëÿðí³ çàñîáè ââåäåííÿ òàêèõ çì³ííèõ, ó òîìó ÷èñë³ â ñåðåäîâèùàõ ç ðîçðèâàìè, çà äîïîìîãîþ âàð³àö³éíîãî ïðèíöèïó òà êàíîíi÷íèõ ïåðåòâîðåíü. Çàñ³á çâîðîòíîãî ðîçñiÿííÿ íà- âåäåíèé ÿê íåòðèâiàëüíèé çðàçîê êàíîí³÷íîãî ïåðåòâîðåííÿ äî çì³ííèõ �ä³ÿ-êóò�. Íàâåäåíî ïðè- êëàäè ë³í³éíèõ òà íåëiíiéíèõ íåñòiéêîñòåé. Öÿ ïóáë³êàö³ÿ º ïåðøîþ ÷àñòèíîþ îãëÿäó. Äðóãà ÷àñòèíà îãëÿäó áóäå ïðèñâÿ÷åíà êiíåòè÷íèì ð³âíÿííÿì, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ äëÿ îïèñó ñëàáêî¿ òóðáóëåíòíîñòi, â òîìó ÷èñë³ òî÷íèì çàñîáàì îòðèìàííÿ íåð³âíîâàæíèõ ïîòîêî- âèõ ðîçïîäiëiâ. Îïèñàíî çàñòîñóâàííÿ êiíåòè÷íîãî ð³âíÿííÿ Ñìîëóõîâñüêîãî äî ðîçãëÿäó ïðî- öåñ³â çëèòòÿ ãàëàêòèê ³ ôîðìóâàííÿ ¿õ ñïåêòðó ìàñ. Ðîçãëÿíóòî òàêîæ íåëîêàëüíi ðîçïîä³ëè òà ÷àñòêîâî êîãåðåíòíi ñèñòåìè. ×àñòü I. Äèíàìè÷åñêèé ïîäõîä 1. Çâóêîâûå âîëíû (ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ äèñïåð- ñèè) 2. Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè òÿæåëîé æèäêîñòè � ïðèìåð äèñïåðñèè 3. Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà è ëèíåéíûå íå- óñòîé÷èâîñòè à) Íåóñòîé÷èâîñòü Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà á) Âåòðîâàÿ íåóñòîé÷èâîñòü 4. Ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äëÿ äâèæåíèé ïîâåðõ- íîñòè æèäêîñòè Ñîäåðæàíèå Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 186 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 7Îãðàíè÷åíèå ÷èñòî ïîòåíöèàëüíûì äâèæåíèåì âîç- íèêëî ïîòîìó, ÷òî ìû íå èñïîëüçîâàëè â êà÷åñòâå äî- ïîëíèòåëüíûõ ñâÿçåé çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, îòðàæàþùèå íàëè÷èå âèõðåâîé êîìïîíåíòû, íàïðèìåð, ñîõðàíåíèå öèðêóëÿöèè ñêîðîñòè. Ê âíóòðåííåé ýíåðãèè ε ìîãóò áûòü äîáàâëå- íû ñëàãàåìûå, îïèñûâàþùèå ïîòåíöèàëüíûå ñèëû, íàïðèìåð, ñèëó òÿæåñòè, ñèìâîëè÷åñêè âûïèñàííóþ â (6.1), êîòîðóþ íèæå ìû áóäåì îïóñêàòü. Ââåäåì êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå, ó÷èòû- âàÿ (íåèíòåãðèðóåìûå) ñâÿçè ( 6.2), (6.3) ìåòî- äîì Ëàãðàíæà. Ñâÿçè âíîñÿò â ëàãðàíæèàí � ïëîòíîñòü ôóíêöèè Ëàãðàíæà � íåîáõîäèìûå âðåìåííûå è ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå ( ) d div( ) , d s t ′→ = + ϕ ρ + ρ + σv&L L L (6.5) Âàðüèðóÿ äåéñòâèå (6.4) ñ ëàãðàíæåâîé ïëîò- íîñòüþ (6.5) íåçàâèñèìî ïî v, ρ è s, ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå ñêîðîñòè ÷åðåç ÃÏ è óðàâíå- íèÿ (êîòîðûå ìû âûïèøåì íèæå â áîëåå îá- ùåì ñëó÷àå). Âàðüèðîâàíèå ïî ϕ è σ âîñïðî- èçâîäèò ñâÿçè (6.2), (6.3). Ïîñêîëüêó äåéñòâèå íå ñîäåðæèò óñêîðåíèÿ, îáîáùåííûé èìïóëüñ, ñîïðÿæåííûé ñêîðîñòè, ðàâåí íóëþ. Âàðüèðî- âàíèå ïî ñêîðîñòè ïðèâîäèò ê ÿâíîìó âûðàæå- íèþ äëÿ ñêîðîñòè, ïðè÷åì äëÿ ïðîñòåéøåãî èçýíòðîïè÷åñêîãî ñëó÷àÿ ( 0)σ = ïðèõîäèì ê ÷èñòî ïîòåíöèàëüíîìó òå÷åíèþ: 0 . δ = → = ∇ϕ δ v v A Ëàãðàíæåâ ìíîæèòåëü ïðè ñâÿçè, âûðàæà- þùåé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû, îêàçàëñÿ íè ÷åì èíûì, êàê ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòè7, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïëîòíîñòü ρ è ïîòåíöèàë ϕ ÿâ- ëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè ïåðåìåí- íûìè [6à]. Ìû èñïîëüçóåì ýòî îáñòîÿòåëü- ñòâî íèæå â áîëåå ñëîæíîì ñëó÷àå íåïîòåí- öèàëüíîãî äâèæåíèÿ, ââîäÿ îáúåìíûå âåêòîð- íûå ïîòåíöèàëû Êëåáøà, à òàêæå ïîâåðõíî- ñòíûå ÃÏ. Êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå Íåòðóäíî çàïèñàòü òåïåðü óðàâíåíèÿ (6.1) � (6.3) (äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ) â ãàìèëü- òîíîâîì âèäå: 0 , δ δ= → ρ = δϕ δϕ & HA 0 ; δ δ= → ϕ = − δρ δρ & HA (6.6) d ,= ∫H rH = = .− ϕρ −&&pqH L L (6.7) Ïðè ýòîì îáîáùåííûå êîîðäèíàòû q è èì- ïóëüñû p ðàâíû: ( , ),q = ρ v ( , 0),p = ϕ à H � ïëîòíîñòü ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, ïåðåõîä ê êî- òîðîé ÷óâñòâèòåëåí ê íàëè÷èþ â ëàãðàíæèà- íå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò îáîáùåííîé êîîðäèíàòû. Â äàëüíåéøåì âûðîæäåííóþ ïàðó (v, 0) áóäåì îïóñêàòü, à ñêîðîñòü âûðà- æàòü ÷åðåç îñòàëüíûå ÃÏ. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë Ïîïûòàåìñÿ ââåñòè âåêòîðíûå êàíîíè÷åñ- êèå ïåðåìåííûå àíàëîãè÷íî òîìó, êàê âûøå áûë ââåäåí ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, íî èñïîëü- çóÿ â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè ñîõðàíå- íèå èìïóëüñà [6h]: ( div ) ( ),l t l m lmA v′ ϕ ρ + ρ + ∂ ρ + ∂ Πv&L L= + (6.8) .lm l m lmv v pΠ = ρ + δ Âàðüèðîâàíèå ïî v ïðèâîäèò ê : ( ) .δ = + ∇ + ∂ + ∂ ϕl l l m l m lv A A v Av v Èëè, ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå îò- íîñèòåëüíî ñêîðîñòè, èìååì: ,lm m l lK v A= ∂ ϕ + (6.9) .lm lm m l l mK A A≡ δ − ∂ − ∂ Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 187Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 Òàêèì îáðàçîì, ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà ïðè ñâÿ- çè, âûðàæàþùåé ñîõðàíåíèå èìïóëüñà, îêàçàë- ñÿ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòè. Åãî ðîëü â ãèäðîäèíàìèêå â ñèëó íåëèíåéíîñòè óðàâíå- íèé, îäíàêî, íåñðàâíåííî ìåíåå çíà÷èòåëüíà, ÷åì â ýëåêòðîäèíàìèêå. Äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû ðàâíû: ( , )ρ ρv � êîîðäèíàòà, ( , )ϕ A � èìïóëüñ. Âåêòîðíûå ïåðåìåííûå Êëåáøà Äëÿ òîãî ÷òîáû ââåñòè â ëàãðàíæèàí íåîá- õîäèìóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, ïðåäñòà- âèì ñêîðîñòü åñòåñòâåííûì îáðàçîì êàê ïîë- íóþ ïðîèçâîäíóþ ñìåùåíèÿ: d ( ) . d = = + ∇& t v v ξ ξ ξ (6.10) Â êà÷åñòâå îäíîé èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò âûáåðåì ïëîòíîñòü èìïóëüñà ,≡ ρvπ à (6.10) èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî óñëî- âèÿ (ñâÿçè) ñ ëàãðàíæåâûì ìíîæèòåëåì Q: ( div ) ( ( ) ).′ = + ϕ ρ + + ρ − + ∇ ξ&& QL L π ξ π π (6.11) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, âàðüèðîâàíèå ïî π äàåò íàì âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ÷åðåç ÃÏ. Â ðåçóëüòàòå âàðüèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì: : , δ = ∇ϕ + − ∇ξ δ m mQv Q π : ( ) ( ) 0,t l m l mQ Q δ ∂ ρ + ∂ π = δξξ : δ δQ ( ) 0,ρ − + ∇ =&ξ π π ξ (6.12) : δ δρ 2 0, 2 w  πϕ − + + = ρ  Q&& ξ : div 0. δ ρ + = δϕ & π Âèäíî, ÷òî ( ,ρ ξξ) � îáîáùåííàÿ êîîðäèíàòà, ( , )ϕ ρQ � ñîïðÿæåííûé èìïóëüñ. Òåïåðü ëåãêî ñòðîèòñÿ ãàìèëüòîíèàí = ′ϕρ + ρ −&& QH Lξ (6.13) è âûïèñûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ: , δρ = δϕ & H ; δϕ = − δρ & H (6.14) , ( ) δ= δ ρ & H Q ξ ( ) .t Hδ∂ ρ = − δ Q ξ (6.15) Ïðîèçâåäåì òåïåðü ñäâèã íà ðàäèóñ-âåêòîð (êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå), ââåäÿ íîâóþ êîîðäèíàòó ,µ êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ñîõðà- íÿþùåéñÿ ëàãðàíæåâîé êîîðäèíàòå ÷àñòèöû êàê ôóíêöèè åå òåêóùåé êîîðäèíàòû, ,= −rξ µ ( ( , ), ),t t= µrξ ξ (6.16) ( ,0) .=r µ µ Ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðíîìó8 ïðåäñòàâëåíèþ Êëåáøà [6ñ,h] d ( ) . d t rt µ µ ξ= = ∂ = ξ + ∇ ξv r v& (6.17) 8Õîòÿ îáúåìíûå ÃÏ â îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêå èç- âåñòíû äàâíî, ñïîñîá èõ ââåäåíèÿ, îñîáåííî äëÿ íåïî- òåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ, êàê ïðàâèëî, îñòàâàëñÿ äî ñàìî- ãî ïîñëåäíåãî âðåìåíè ÷èñòî äèðåêòèâíûì. Â ñâÿçè ñ ýòèì, âðåìÿ îò âðåìåíè âîçíèêàëè âîïðîñû, ñêîëüêî äîëæíî áûòü ïàð ïåðåìåííûõ Êëåáøà, âõîäèò ëè ýíò- ðîïèÿ â èõ ÷èñëî è ò. ï. Â òîì, ÷òî êàñàåòñÿ ïðåäñòàâëå- íèÿ ñêîðîñòè äëÿ íåïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ, èñïîëü- çóåìûé ïîäõîä, ïî-âèäèìîìó, ñîîòâåòñòâóåò âàðèàöè- îííîìó ïðèíöèïó Ëèíÿ [6c], è îäíîçíà÷íî ïðèâîäèò ê âåêòîðíûì ïîòåíöèàëàì Êëåáøà, èñêëþ÷àÿ ïðîèçâîë â âûáîðå èõ ÷èñëà. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 188 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 Òåïåðü íåòðóäíî âûïèñàòü ãàìèëüòîíîâû óðàâ- íåíèÿ â âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ Êëåáøà ( , , ),q s= ρ µµ ( , , ),p = ϕ σλ ãäå µ � ëàãðàíæåâà êîîðäèíàòà, ρλ � ëàãðàíæåâ èìïóëüñ. (Îá- ñóæäåíèå ñì. â [2f, 6h]). Çäåñü ïðèâåäåì ãà- ìèëüòîíèàí ,pq ′= −∑ &H L L p q δ= δ & è ïðåä- ñòàâëåíèå ñêîðîñòè: ( ) d d div( ) , d d s t t ′ = + ϕ ρ + ρ + + σv&L L µ λ (6.18) div( )  λ σ= ρ ∇ϕ − ∇µ − ∇ − − ρ ϕ = ρ ρ  m m sv vH L div( ),= − ρ ϕ% vH (6.19) 2 l( , , , , , , ) , 2 ρρ σ ∇ϕ ∇ µ ∇ = + ρε% m v s sH λ .m s λ σ= ∇ϕ − ∇µ − ∇ ρ ρ mv Ïåðåõîä ê ñêàëÿðíûì ïåðåìåííûì Êëåáøà ðåàëèçóåòñÿ â òîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ρλ è µ ïðîïîðöèîíàëüíû îäíîìó è òîìó æå ïî- ñòîÿííîìó ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðó. Ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåííûå â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå Ïðîâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ íåïîñðåäñòâåí- íî îáîáùàþòñÿ íà ìàãíèòíóþ ãèäðîäèíàìèêó (è äðóãèå ðîäñòâåííûå ñèñòåìû). Â ñëó÷àå ÌÃÄ âàðèàöèîííûé ïðèíöèï ïðèíèìàåò âèä d min,= ←∫ tLA d ,= ∫L rL (6.20) 2 2 . 2 8 ρ= − ρε − π v H L Ñâÿçè âêëþ÷àþò óñëîâèå âìîðîæåííîñòè ïîëÿ rot[ , ] 0− =H v H& è óñëîâèå div 0.=H Â èòîãå ëàãðàíæèàí ñî ñâÿçÿìè ïðèíèìàåò âèä ,′→ = +L L L F ãäå d d ( div ) d d = ϕ ρ + ρ + σ + +& s t t vF µ λ ( )div rot[ , ] div+φ + − +H S H v H G& . (6.21) Äèâåðãåíòíûé ÷ëåí, êàê è â (6.19), ñóùåñòâå- íåí ïðè ïîëó÷åíèè ïîâåðõíîñòíûõ ïåðåìåííûõ (ñì. [6h,i]). Ãàìèëüòîíèàí ′= −∑ &pqH L ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ îáîáùåííûõ ïåðåìåí- íûõ ( , , , ),q s= ρ Hµ ( , , , ),p = ϕ σ Sλ ãäå êàíîíè- ÷åñêèå èìïóëüñû îïðåäåëåíû ñîãëàñíî , δϕ = δρ& A , δσ = δ &s A , δ= δ & Aλ µ . δ= δ & S H A (6.22) Ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ , H q p δ= δ & , H p q δ=− δ & ãäå d ,H = ∫ rH ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìè âàðüèðîâàíèÿ äåéñòâèÿ: :δv [ rot ] 0,ρ − ρ∇ϕ + ∇ + σ∇ − =sv H Sλ µ :δϕ div 0,ρ + ρ =v& :δλλ d d 0,t =µ :δσ d d 0,s t = :δρ 2 2 d d 0,v w t− − ϕ = ,w p= ε + ρ (6.23) :δµµ ( ) 0,∇ =& m mvλ + λ :sδ div 0,Tσ + σ + ρ =v& :δφ div 0,=H :δS rot[ , ] 0,− =H v H& :δH [ ]rot , 0. 4 − + ∇φ + = π H S S H& Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 189Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 Îíè ñîîòâåòñòâóþò ãàìèëüòîíîâûì ïåðå- ìåííûì Çàõàðîâà è Êóçíåöîâà [2f], îòëè÷à- ÿñü âåêòîðíûì õàðàêòåðîì ïåðåìåííûõ Êëåáøà. Ãàìèëüòîíîâî îïèñàíèå äâèæåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ðàçðûâà Â ñëó÷àå, åñëè èìååòñÿ ñâîáîäíàÿ ãðàíèöà ( , ),z t⊥= ς r ( , ),x y⊥ =r (6.24) ìîæíî ââåñòè �äâóìåðíûå� êàíîíè÷åñêèå ïå- ðåìåííûå Çàõàðîâà: ( , ),t⊥ς r ( , ) ,t⊥ ςψ = = ϕr ( 1).ρ = Ýòè ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåííûå9 èñ- ïîëüçîâàëèñü ïðè èññëåäîâàíèè âîëíåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Â ñâÿçè ñ ðàññìîòðå- íèåì âíóòðåííèõ âîëí â ðàáîòå [6] ïîëó÷åíî (äîâîëüíî î÷åâèäíîå, íî, êàê ìû óâèäèì, âåñü- ìà âàæíîå äëÿ íàñ) îáîáùåíèå ïåðåìåííîé Çàõàðîâà íà ñëó÷àé ãðàíèöû äâóõ ñðåä (ñì. ññûëêè â [6]): 1 1 2 2, ( ) [ ].ς ψ = ρ ϕ − ρ ϕ ≡ ρϕ (6.25) Ïîêàæåì, êàê ìîæíî ââåñòè ïîâåðõíîñòíûå ÃÏ, èñïîëüçóÿ âàðèàöèîííûé ïðèíöèï ñî ñâÿ- çÿìè [6h]. Ïóñòü óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ðàç- ðûâà (ëþáîãî òèïà) èìååò âèä: ( , ) 0R t =r , ãäå ôóíêöèÿ R ëèáî çàäàíà (îïðåäåëÿÿ ôîð- ìó ôèêñèðîâàííîé æåñòêîé ãðàíèöû), ëèáî ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ (íàïðèìåð, íà ñâî- áîäíîé ãðàíèöå) ïðè ðåøåíèè ãèäðîäèíàìè- ÷åñêîé çàäà÷è. Ïðè î÷åâèäíûõ îãðàíè÷åíè- ÿõ ëîêàëüíî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ðàçðå- øåííîé ôîðìå: ( , ).R z t⊥= − ζ r (6.26) Äèôôåðåíöèðóÿ (6.26) ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå d 0, d R R R t t ∂= + ∇ = ∂ u (6.27) ãäå u � ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðàíèöû10, êîòî- ðóþ áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷è- òàòü íàïðàâëåííîé ïî íîðìàëè n (íîðìàëü íàïðàâëåíà èç ñðåäû 1 â ñðåäó 2). Êèíåìà- òè÷åñêîå óñëîâèå èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå ñâÿçè â âàðèàöèîííîì ïðèíöèïå ñ ëàãðàí- æåâûì ìíîæèòåëåì .ψ Êàê è â (6.25) êâàä- ðàòíûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñêà÷îê ñîîòâåò- ñòâóþùåé âåëè÷èíû íà ãðàíèöå. Óñëîâèÿ íà ñêà÷êå [ ] 0, [ ] 0n n′ ′ρ = ρ =µv v (6.28) c ëàãðàíæåâûìè ìíîæèòåëÿìè γ è ηηηηη, ñîîò- âåòñòâåííî òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü êàê ñâÿ- çè ( ′ = −v v u � îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü íà ðàçðûâå). Ïîâåðõíîñòíûé ëàãðàíæèàí ñî ñâÿ- çÿìè ( Lδψ = δζ& � ñîïðÿæåííûé âîçâûøåíèþ ãðàíèöû èìïóëüñ) ( ) [ ] ,Σ ′= −ψ + ∇ + ρ Γ ∇ Γ = γ +&R R Ru vL ηµ (6.29) ïðèâîäèò ê ãàìèëüòîíèàíó [ ] .R RΣ Σ ′= ψζ − = ψ ∇ − ρ Γ ∇u v&H L Âàðüèðóÿ êàê ïî îáúåìíûì, òàê è ïî ïîâåðõ- íîñòíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷àåì [6h]: 9Ïðè èõ ââåäåíèè èñïîëüçîâàëîñü îáúåìíîå óðàâ- íåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè (óðàâíåíèå Ëàïëàñà) è òî, ÷òî ñîïðÿæåííàÿ åìó êîîðäèíàòà â ðàññìàòðè- âàâøåìñÿ ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ êîí- ñòàíòîé. Ââèäó ïîñëåäíåãî, ïîòåíöèàë ìîæåò áûòü â ïðèíöèïå èñêëþ÷åí èç ãàìèëüòîíèàíà; ñóùåñòâåííû- ìè ïåðåìåííûìè â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ âîçâûøå- íèå è ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà, ÷òî ñîîòâåò- ñòâóåò íàëè÷èþ îäíîé (êîíòèíóàëüíîé) ôèçè÷åñêîé ñòåïåíè ñâîáîäû. 10Ðàçóìååòñÿ, ñóùåñòâåííà òîëüêî åå íîðìàëüíàÿ ê ðàçðûâó êîìïîíåíòà. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 190 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 :δv ( ) 0,ρ ϕ + Γ = :δu [ ] 0 [ ],ψ + ρΓ = ⇒ ψ = ρϕ :δρ ( )( ) 0,′ϕ + Γ ∇ =Rv :δµµ ( ) 0,′+ ρ ∇ =Rvλ η)( :sδ ( ) 0,′σ ∇ =Rv (6.30) :δζ +div( )pq ′ − ϕ + Γ − ∑ v v& H ( ) 2 ( ) 0, 1 ( ) t ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ∇ ζ − ∂ ψ + ∇ ψ + α∇ =  + ∇ ζ  u :δψ ( ) 0,zζ − ∇ − ζ =u& :δγ [ ] 0,R′ρ ∇ =v :δηη [ ]) 0.R′ρ ∇ =vµ( Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèÿ, íå ñîäåðæàùèå ñêà÷êà, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñ êàæäîé ñòîðîíû îò ðàç- ðûâà. Ìû âêëþ÷èëè òàêæå ñëàãàåìîå ñ ïî- âåðõíîñòíûì íàòÿæåíèåì. Èç ñèñòåìû (6.30) ëåãêî ïîëó÷èòü ïîâåðõíîñòíûå ÃÏ íà êîíòàêò- íîì ðàçðûâå, íà òàíãåíöèàëüíîì ðàçðûâå, íà óäàðíîé âîëíå11. Çàìåòèì, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïàðà ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ (6.25) ñîõðàíÿåò ñìûñë ÃÏ ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî ïðå- îáðàçîâàíèÿ. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâîâ â êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåí- íûõ ýêâèâàëåíòíà îáû÷íîé ñèñòåìå ãèäðîäèíà- ìè÷åñêèõ óñëîâèé íà ðàçðûâàõ (ò. å. íåïðåðûâ- íîñòè ïîòîêîâ ìàññû, ýíåðãèè è èìïóëüñà). Ïîâåðõíîñòíûå êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå íà ðàçðûâàõ â ÌÃÄ Â äîïîëíåíèå ê ïðåäûäóùåìó èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå ñâÿçè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïîâåðõ- íîñòè è ââåäåì â ëàãðàíæèàí ñîîòâåòñòâóþ- ùåå ñëàãàåìîå L d ( ) d .R RΣ ⊥= − ψ + ∇ + Σα∫ ∫r u& Äëÿ ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà ζ íàéäåì ñîïðÿæåííûé èìïóëüñ , δψ = δζ& A êîòîðûé îêà- çûâàåòñÿ ðàâíûì { }.τ τψ = ρϕ + H S (Â ÌÃÄ ñëó÷àå ôèãóðíûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñêà÷îê íà ðàçðûâå). Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ζ ïðè- íèìàþò óæå èçâåñòíûé íàì âèä , H∑δ ζ = δψ & , H∑δ ψ = − δζ & ïðè÷åì .Σ Σ= ψζ −&H L (Ïîäðîá- íåå ñì. [6g,i] è Ïðèëîæåíèå I). 7. Íåëèíåéíûå ïðîöåññû âçàèìîäåéñòâèÿ è ñàìîâîçäåéñòâèÿ âîëí Óäîáñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ (5.10) ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíûõ ïðî- öåññîâ, ò. ê. êàæäûé èç ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ñâÿçàí ñ êàêèì-ëèáî ïðîöåññîì, è ñîáñòâåííî ýòèì è îïðåäåëÿåòñÿ åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Â ðåçóëüòàòå äîñòèãàåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ îáùíîñòü: îäíè è òå æå íåëèíåéíûå ïðîöåññû ïðîèñõîäÿò â ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ. Èíäèâèäóàëüíîñòü íåëèíåéíîñòè ïðîÿâëÿåòñÿ â êîíêðåòíîì âèäå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, àíà- ëîãè÷íî òîìó, êàê èíäèâèäóàëüíîñòü ëèíåéíûõ ñâîéñòâ õàðàêòåðèçóåòñÿ âèäîì çàêîíîâ äèñ- ïåðñèè (à òàêæå, êîíå÷íî, â êîíêðåòíîé ðåàëè- çàöèè ÿâëåíèÿ � ñâÿçüþ ïåðåìåííûõ ak ñ èñõîäíûìè åñòåñòâåííûìè ôèçè÷åñêèìè ïå- ðåìåííûìè). Ðàññìîòðèì îäèí èç ïðîñòåéøèõ íåëèíåé- íûõ ïðîöåññîâ � âîçáóæäåíèå âòîðîé ãàðìî- íèêè âîëíîé �êîíå÷íîé� àìïëèòóäû, êîòîðóþ åñòåñòâåííî âûáðàòü â íóëåâîì (ëèíåéíîì) ïðèáëèæåíèè â âèäå ( 0k ôèêñèðîâàíî): 0 0 0 0( ) ( ),ta t a e−ω= δ −k k k k 0 0( ).ω ≡ ω k (7.1) Èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (5.13), çàïèñàííûõ ñ òî÷íîñòüþ äî êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ, âèäíî, ÷òî ñëåäóåò óäåðæàòü òîëüêî ñëàãàåìûå, ñî- äåðæàùèå :V −−+ 11Ïîñëåäíåå íå âïîëíå òðèâèàëüíî, ó÷èòûâàÿ äèñ- ñèïàòèâíûé õàðàêòåð óäàðíîé âîëíû, íî ñòàíîâèòñÿ äî- ñòàòî÷íî î÷åâèäíûì, åñëè ó÷åñòü èäåàëüíûé õàðàêòåð òå÷åíèÿ ïî îáå ñòîðîíû ðàçðûâà è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 191Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 1 2 1 21 2 1 2d d ( ).−−++ ω = − δ + −∫&a i a i V a ak k k q q k q qq q q q k (7.2) Äåéñòâèòåëüíî, òîëüêî â íèõ ïðè ïîäñòà- íîâêå â ïðàâóþ ÷àñòü íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ (7.1) âîçíèêàåò èñêîìàÿ âðåìåííàÿ çàâèñè- ìîñòü 02 .i te− ω Ñîîòâåòñòâóþùèå ÷ëåíû â ãà- ìèëüòîíèàíå 1 2 2 1 2( ) ê. ñ.V a a a−−+ ∗δ + − + 1k k k k k k k k k (7.3) ìîæíî èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì: Óäîáíî ââåñòè òåðìèíîëîãèþ (áåðóùóþ íà- ÷àëî îò êâàíòîâîãî îïèñàíèÿ, ãäå âåëè÷èíû a è a+ ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè), ñîãëàñíî êîòîðîé (â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé äèàãðàììîé) âîëíû 1 ak è 2 ak �èñ÷åçàþò�, à âîëíà a∗ k �ðîæäàåòñÿ�. Ïåðâàÿ äèàãðàììà ñîîòâåòñòâóåò �ñëèÿíèþ� âîëí ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè 1k è 2k â âîëíó ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k. Îáðàçîâàíèå âòîðîé ãàðìîíèêè ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðîöåñ- ñà ñëèÿíèÿ (âîëíà ñëèâàåòñÿ �ñàìà ñ ñîáîé�). Íàãëÿäíîñòü ïîäîáíûõ ãðàôèêîâ ïîçâîëÿåò ñ èõ ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåííî âûïèñûâàòü òðåáóåìîå óðàâíåíèå (â íàøåì ñëó÷àå (7.2)). Îãðàíè÷èâøèñü äëÿ ïðîñòîòû óñòàíîâèâ- øèìñÿ ðåæèìîì, â ëèíåéíóþ ÷àñòü óðàâíå- íèÿ �ðóêàìè� ââåäåì ñëàãàåìîå ,aγk k ãäå γk � êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ âîëíû (äåê- ðåìåíò) ( 22 kγ = νk , åñëè ïðè÷èíà çàòóõàíèÿ â âÿçêîñòè). Ïîñëå ýòîãî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì ðåøåíèå â âèäå ( 0 0 02V V−−+≡ k k k , îïó- ùåíû èíäåêñû): 0 0 0 0 0 22 0 2 2 2 ( ) , 2 i tVa e a t i − ω = ω − ω + γk k k k 0 0 0 .a a≡ k (7.4) Î÷åâèäíûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ è íåñòàöèî- íàðíîå ðåøåíèå, îïèñûâàþùåå âîçíèêíîâåíèå âòîðîé ãàðìîíèêè, íî ìû íå áóäåì íà ýòîì îñòàíàâëèâàòüñÿ. Èç âèäà ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âòîðàÿ ãàðìîíèêà ìàëà â ìåðó ìàëîñòè êâàäðàòà àìïëèòóäû èñõîäíîé âîëíû 0,a íî ìîæåò ñòàòü çíà÷èòåëüíîé çà ñ÷åò ðåçîíàíñà, êîãäà ðàçíîñòü ÷àñòîò â çíàìåíàòåëå (7.4) îáðàòèòñÿ â íóëü: 0 022 .ω = ωk k (7.5) Ðàçäåëèâ íà 02 ,k ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå óñëîâèå ñèíõðîíèçìà: 0 0 0 0 2 2 0 0 , 2 V V k k ω ω ≡ = ≡k k k k (7.5') ò. å. ðàâåíñòâî ôàçîâûõ ñêîðîñòåé âîëíû è åå âòîðîé ãàðìîíèêè. Â íåëèíåéíîé îïòèêå ýôôåêòèâíîå âîç- áóæäåíèå âòîðîé ãàðìîíèêè áûëî ðåàëèçî- âàíî ýêñïåðèìåíòàëüíî, ïðè÷åì èñïîëüçîâà- ëèñü íèçêîñèììåòðè÷íûå êðèñòàëëû, ãäå äàæå â îòñóòñòâèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñ- ïåðñèè îòëè÷íû îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåí- òû ( )V 3 , à ñèíõðîíèçì äîñòèãàëñÿ çà ñ÷åò äèñïåðñèè ñêîðîñòè îáûêíîâåííîé è íåîáûê- íîâåííîé âîëí (â íåêîòîðûõ îñîáûõ íàïðàâ- ëåíèÿõ). Âåëè÷èíà ïðåîáðàçîâàíèÿ áûëà î÷åíü áîëüøîé (â ðåêîðäíûõ ñèòóàöèÿõ äî- ñòèãàëà 100 %). Ñîîòâåòñòâåííî â òàêèõ óñëîâèÿõ óæå íåëüçÿ áûëî ñ÷èòàòü èñõîä- íóþ âîëíó çàäàííîé è ïðèõîäèëîñü ðåøàòü ñâÿçàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ãàðìîíèêè, à â áîëåå îáùåì ñëó÷àå � äëÿ ñèñòåìû òðåõ ñâÿçàííûõ âîëí [19d]. Çàìå- òèì, ÷òî ïðè ñîëíå÷íûõ ðàäèîâñïëåñêàõ, ñâÿçàííûõ ñ òðàíñôîðìàöèåé ïëàçìåííûõ âîëí (âîçáóæäàåìûõ ïîòîêàìè óñêîðåííûõ ýëåêòðîíîâ) â ýëåêòðîìàãíèòíûå, âåñüìà ýô- ôåêòèâåí ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ 2-é ãàðìîíè- êè l l t+ → (ðèñ. 7.1). Â âûñîêî ñèììåòðè÷íîé (â ÷àñòíîñòè, èçîòðîïíîé) ñðåäå âîçáóæäåíèå 2-é ãàðìîíè- Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 192 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 êè íå ñòîëü ýôôåêòèâíî, è â îòñóòñòâèå äèñ- ïåðñèè âîçáóæäàåòñÿ 3-ÿ (è áîëåå âûñîêèå) ãàðìîíèêè. Çà ãåíåðàöèþ 3-é ãàðìîíèêè îò- âåòñòâåííî ñëàãàåìîå 3-ãî ïîðÿäêà â óðàâíå- íèè è ñîîòâåòñòâåííî 4-ãî â ãàìèëüòîíèàíå: (4).V aaaa−−−+ ∗δ Áîëåå îáùåå óñëîâèå ñèíõðîíèçìà, ñîîò- âåòñòâóþùåå ñëèÿíèþ âîëí, ñîñòîèò â îäíî- âðåìåííîì âûïîëíåíèè ðàâåíñòâ (ñì. äèàã- ðàììû): 1 2 ,+ =k k k 2 .ω + ω = ω 1k k k (7.6) Òîëüêî ïðè òî÷íîì (èëè ïî÷òè òî÷íîì) âû- ïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ìîãóò ñòàòü ñóùå- ñòâåííûìè ïðîöåññû ñëèÿíèÿ âîëí è îáðàò- íûå èì ïðîöåññû ðàñïàäà. Óñëîâèÿ (7.6) ÿâ- ëÿþòñÿ âåñüìà æåñòêèìè. Â ñëó÷àå âîëí íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè îíè ìîãóò âûïîëíÿòü- ñÿ äëÿ (íåêîëëèíåàðíûõ) êàïèëëÿðíûõ âîëí è íåâîçìîæíû äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ. Óñëîâèå �ðàñïàäíîñòè� çàêîíà äèñïåðñèè � âûïóê- ëîñòü ôóíêöèè ( )ω k êíèçó. ×èñëî êâàçè÷àñ- òèö ïðè ðàñïàäíûõ ïðîöåññàõ íå ñîõðàíÿåò- ñÿ. Âîçìîæíîñòü ðàñïàäîâ ñòàíîâèòñÿ î÷å- âèäíîé ïðè ãðàôè÷åñêîì ðåøåíèè ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (ñì. ðèñ. 7.2). Äåéñòâè- òåëüíî, çàêîí äèñïåðñèè 3 2( ) kω ≈k ïðåäñòàâ- ëÿåò ñîáîé ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ íàä ïëîñ- êîñòüþ k. Ïîñòðîèì òàêóþ æå ïîâåðõíîñòü 2 2( )ω k ñ öåíòðîì â òî÷êå 1 1( , ).ω k Èç ñâîéñòâ ïîëóêóáè÷åñêîé ïàðàáîëû ÿñíî, ÷òî ýòè ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ. Òî÷êàì ïå- ðåñå÷åíèÿ îòâå÷àþò ðåøåíèÿ ñèñòåìû çà- êîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Îáðàòíûé ïðîöåññ ïî îò- íîøåíèþ ê ñëèÿíèÿì � ïðîöåññ ðàñïàäà âîë- íû êîíå÷íîé àìïëèòóäû a 0k (7.1) � ïðèâî- äèò ê âîçíèêíîâåíèþ è ðîñòó âîëí 1k è 2k è, òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàðè- àíò (íåëèíåéíîé) íåóñòîé÷èâîñòè. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, åãî èíêðåìåíò ïðîïîðöèîíà- ëåí àìïëèòóäå âîëíû 0,k êîòîðàÿ ñ÷èòàåò- ñÿ çàäàííîé â âèäå (7.1). Óðàâíåíèÿ äëÿ ðîæäàþùèõñÿ âîëí èìåþò âèä (ìû ââåëè ëèíåéíîå çàòóõàíèå γ ): Ðèñ. 7.2. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ðàñïàäà äëÿ êàïèëëÿð- íûõ âîëí. Ãîðèçîíòàëüíûå îñè ñîîòâåòñòâóþò ïðî- åêöèÿì âîëíîâûõ âåêòîðîâ â ïëîñêîñòè ðàçäåëà Ðèñ. 7.1. Íàáëþäåíèå 1-é è 2-é ãàðìîíèêè ïëàçìåííîé ÷àñòîòû êîðîíû â ñîëíå÷íûõ ðàäèî âñïëåñêàõ, ïîðîæäàåìûõ ïðîíèçûâàþùèìè êîðîíó ýëåêòðîíàìè, óñêîðåííûìè ïðè ñîëíå÷íîé âñïûøêå. (Ïî äàííûì Ë. Áàçåëÿíà è äð. [19a] íà ÓÒÐ-II) Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 193Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 d d ( ) , d d ( ) . a i a a i V a a a i a a i V a a −++ ∗ −++ ∗ + ω + γ = = − δ − − + ω + γ = = − δ − − ∫ ∫ kk k k k kk k k k k k k k k k k k k k & & (7.7) Ïðè òî÷íîì âûïîëíåíèè óñëîâèé ñèíõðîíèç- ìà (7.6) ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå 1,2 1,2 1,2( ) ,i t t a t b e − ω +ν= (7.8) îòêóäà äëÿ ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé àìïëè- òóä 1b è 2b íàõîäèì, îïóñêàÿ èíäåêñû ó 0 1 2 :−++≡V Vk k k 1 1 0 2 2 2 0 1 ( ) 2 , ( ) 2 . b iVa b b iV a b ∗ ∗ ∗ ∗ ν + γ = − ν + γ = (7.9) Ïîëîæèâ äëÿ ïðîñòîòû 1 2,γ = γ ïîëó÷àåì äëÿ ïîêàçàòåëÿ 02 .Va±ν = −γ ± (7.10) Âèäíî, ÷òî îäèí êîðåíü îòðèöàòåëåí è îòâå÷à- åò çàòóõàíèþ, íî âòîðîé ïðè äîñòàòî÷íî áîëü- øîé àìïëèòóäå âîëíû, 02 ,Va > γ (7.11) ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, ÷òî è îçíà÷àåò íåóñòîé÷èâîñòü èñõîäíîé âîëíû. Ðàñïàäíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü, îòêðûòàÿ Ñàãäååâûì è Îðà- åâñêèì, � ÷èñòî íåëèíåéíîå ÿâëåíèå, åå èíê- ðåìåíò +ν (â îòñóòñòâèå ïîãëîùåíèÿ) ïðîïîð- öèîíàëåí àìïëèòóäå âîëíû 0.a Íåóñòîé÷è- âîñòü îáëàäàåò ïîðîãîì, îïðåäåëÿåìûì çàòó- õàíèåì âîëíû (ðàâåíñòâî â (7.11)): 0 ïîðîã 2 ,Va = γ (7.12) Îñíîâíûì ïðîöåññîì â ñëó÷àå íåðàñïàäíîãî ñïåêòðà ñòàíîâèòñÿ ðàññåÿíèå âîëí (ðèñ. 7.3 � ðèñ. 7.4). Îáùèì âàæíûì ýôôåêòîì, âîçíèêà- þùèì çà ñ÷åò (4) ,V ÿâëÿåòñÿ ñàìîâîçäåé- ñòâèå âîëíû, ïðèâîäÿùåå ê íåëèíåéíîìó ñäâè- ãó ÷àñòîòû. Âïåðâûå äëÿ âîëí êîíå÷íîé àìï- ëèòóäû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè îí áûë íàé- äåí Ñòîêñîì. Â íåëèíåéíûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ó÷åò íåëèíåéíîãî ñäâèãà ÷àñòîòû, ÿâëÿþùåãîñÿ ôèçè÷åñêîé ðåàêöèåé íà ïîÿâëå- íèå ðåçîíàíñíûõ (ñåêóëÿðíûõ) ÷ëåíîâ â ðÿäàõ òåîðèè âîçìóùåíèÿ, ïðèíöèïèàëåí. Ðèñ. 7.3. Ñõåìà ðàññåÿíèÿ âîëí: à) çà ñ÷åò òðîéíûõ ïðîöåññîâ âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé; á) çà ñ÷åò ÷åòâåðíûõ ïðîöåññîâ Ðèñ. 7.4. Âûïîëíåíèå óñëîâèé ñèíõðîíèçìà ïðè ðàñ- ñåÿíèè êîëëèíåàðíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí íà ãëó- áîêîé âîäå. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 194 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 Îòâåòñòâåííûì çà íåëèíåéíûé ñäâèã ÿâëÿåò- ñÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (5.11) .V +−+− kkkk Ñîîòâåò- ñòâóþùåå óðàâíåíèå èìååò âèä: a i a+ ω =k k k& 1 2 3 2 3 (4) 1 2 3d d di V a a a+−+− ∗= − δ∫ 1q q q k q q qq q q (7.13) è äëÿ âîëíû (7.1) ïåðåõîäèò â 2 ,a i a iV a a+−+−+ ω = −k k k kkkk k k& (7.14) îòêóäà âèäíî, ÷òî ó÷åò äàííîãî íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî ýêâèâàëåíòåí ïîÿâëåíèþ ñäâèíó- òîé ÷àñòîòû12 2 .V a+−+−ω = ω +k k kkkk k% (7.15) Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè ñäâèã ÷àñòîòû âîëíû â ïîëå �÷óæîé� âîëíû êîíå÷íîé àìïëèòóäû: 0 0 0 2 .V a+−+−ω = ω +k k k k kk k% (7.16) Àíãàðìîíèçìû òðåòüåãî ïîðÿäêà â óðàâíåíè- ÿõ (÷åòâåðòîãî â ãàìèëüòîíèàíå) ñïîñîáíû òàê- æå ïðèâåñòè ê íåóñòîé÷èâîñòè â ñðåäå, îáëàäà- þùåé íåðàñïàäíûì ñïåêòðîì. Òàêàÿ íåóñòîé- ÷èâîñòü âîçíèêàåò âñëåäñòâèå ðàñïàäà âîëíû �âòîðîé ãàðìîíèêè�. Ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâ- íåíèÿ èìåþò âèä: 2 1 1 1 2 00 12 0 2 1 2 2 2 2 2 1 00 12 0 1 1 2 d d (2 ), d d (2 ) a i a i T a a a i a i T a a ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ω = − δ − − + ω = δ − − ∫ ∫ q q q q q q q q q q %& %& (7.17) (îò âòîðîãî ìû âçÿëè êîìïëåêñíîå ñîïðÿæå- íèå, ïåðåîáîçíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà îçíà÷àåò âêëþ÷åíèå â íåãî ñëàãàåìûõ, ïðîèñõîäÿùèõ îò (3)H âî âòîðîì ïîðÿäêå (ðèñ. 7.3), è êîì- áèíàòîðíîãî ÷èñëåííîãî êîýôôèöèåíòà). Ñè- ñòåìà óðàâíåíèé çäåñü ñîäåðæèò ðàçíîñòü ÷àñòîò, ñîîòâåòñòâóþùóþ íåïîëíîìó ñèíõ- ðîíèçìó: 0 1 22 ,∆ω = ω − ω − ω% % % (7.18) ïðè÷åì ÷àñòîòû âõîäÿò ñ íåëèíåéíûì ñäâè- ãîì, îáóñëîâëåííûì âîëíîé êîíå÷íîé àìïëèòó- äû 0.a Ïåðåõîäÿ ê ìåäëåííûì àìïëèòóäàì bi, ,i t i ia b e−ω= % ïîëó÷èì ñèñòåìó (îïóñêàÿ èíäåêñû ó T): 2 1 0 2 2 2 1 0 2 , 2 . i t i t b iTb b e b iT b b e ∗ − ∆ω ∗ ∗ ∗ ∆ω = − = & & (7.19) Óäîáíî ââåñòè âåëè÷èíó 2 ,i tg b e∗ − ∆ω= òîãäà (7.19) ïðèíèìàåò âèä ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííû- ìè êîýôôèöèåíòàìè. Äëÿ ðåøåíèé b, tg eν≈ óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè äàåò ( 0) :γ = 22 0( ) 4 ,i Tbν ν + ∆ω = îòêóäà 2 22 04 . 2 2 i Tb ∆ω ∆ω ν = − ± −    (7.20) Ïðè óñëîâèè 2 02 2 Tb ∆ω > (7.21) 12Õîòÿ ñòðóêòóðà ýòîé ôîðìóëû äîñòàòî÷íî î÷å- âèäíà, ñàìà ôîðìóëà íå ñòîëü ïðîñòà, êàê ìîãëî áû ïîêàçàòüñÿ. Êîýôôèöèåíò ïðè êâàäðàòå àìïëèòóäû ÷óâ- ñòâèòåëåí ê òàêîé äîñòàòî÷íî òîíêîé õàðàêòåðèñòèêå ñî- ñòîÿíèÿ, êàê øèðèíà ïàêåòîâ âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí, à â ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè, ãäå ìîãóò âîçíèêàòü ñîëè- òîíû îãèáàþùèõ, øèðèíà ïàêåòà æåñòêî ñâÿçàíà ñ åãî àìïëèòóäîé [5d, êîììåíòàðèé]. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 195Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 âîçíèêàåò íåóñòîé÷èâîñòü (ðèñ. 7.5). Òàê êàê â ðàññîãëàñîâàíèå ÷àñòîò ∆ω èç-çà íåëèíåéíîãî ñäâèãà âõîäèò êâàäðàò àìïëèòóäû 2 0 ,b äîáèòü- ñÿ ðåàëèçàöèè íåðàâåíñòâà çà ñ÷åò ðîñòà àì- ïëèòóäû, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ. Â îäíîìåð- íîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèé êðèòåðèé ïðèâî- äèò ê ìîäóëÿöèîííîé íåóñòîé÷èâîñòè (ò. ê. â ðåçóëüòàòå åå ðàçâèòèÿ âîçíèêàåò ñàìîìîäó- ëÿöèÿ âîëíû), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò 1,2 0k k k= ± δ ïðè 0.k kδ = Ïðè ýòîì êðèòåðèé èìååò âèä ãð 0v′α < (êðèòåðèé Ëàéòõèëëà). Çäåñü α � êîýôôèöèåíò â íåëèíåéíîì ñäâèãå ÷àñòîòû âîëíû, ãð ãð .′ ≡ ∂ ∂v v k Ïîëó÷èòü ýòîò êðèòåðèé óäîáíî, èñõîäÿ èç óðàâíåíèé äëÿ âîëíîâîãî ÷èñëà ( , )k x t è (âåùåñòâåííîãî) êâàäðàòà àì- ïëèòóäû âîëíû 2( , ),a x t îïðåäåëÿþùåãî íåëè- íåéíûé ñäâèã ÷àñòîòû 2aω = ω + α% [7]: 2 2 ãð , ( ) 0. ∂ ∂ω= − ∂ ∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂ %k t x a a t x v (7.22) Óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå (5.13), íî ó÷èòû- âàþùåå â ñëó÷àå íåðàñïàäíîãî ñïåêòðà òîëü- êî ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ âîëí ÷åòâåðòîãî ïî- ðÿäêà13, Ðèñ. 7.5. Ðàçðóøåíèå ñòîêñîâûõ âîëí â ðåçóëüòàòå ðàçâèòèÿ ìîäóëÿöèîííîé íåóñòîé÷èâîñòè [19b]. Ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ âîëí, ñîçäàâàåìûõ èñòî÷íèêîì (ñïðàâà), íåóñòîé÷èâîñòü ïðåâðàùàåò èõ â �òðåõ- ìåðíûå� âîëíû, ðàçðóøàåìûå îïðîêèäûâàåíèåì (áîëåå êðóïíûì ïëàíîì íà íèæíåì ñíèìêå) 13Óðàâíåíèå òàêîãî òèïà (îáû÷íî îíî çàïèñûâàåò- ñÿ â òåðìèíàõ ìåäëåííûõ àìïëèòóä expb a i t= ω ) ïðè- ìåíèòåëüíî ê ãðàâèòàöèîííûì âîëíàì íà ãëóáîêîé âîäå ïðèíÿòî íàçûâàòü óðàâíåíèåì Çàõàðîâà, ïîêàçàâøèì ñ åãî ïîìîùüþ, ÷òî ãðàâèòàöèîííûå âîëíû êîíå÷íîé àìïëèòóäû íà ãëóáîêîé âîäå ìîäóëÿöèîííî íåóñòîé- ÷èâû. Â (7.23) óñëîâèÿ ñèíõðîíèçìà íå äîëæíû âû- ïîëíÿòüñÿ òî÷íî, è ïîýòîìó îíî îïèñûâàåò âçàèìîäåé- ñòâèå äîñòàòî÷íî øèðîêèõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ. Ñóùå- ñòâóþò ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, â êîòîðûõ ðåàëèçóåòñÿ ìîäóëÿöèîííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü (íàèáîëåå èçâåñòíà íå- óñòîé÷èâîñòü Áåíæàìèíà-Ôýéðà), è ðàçëè÷íûå ïðèáëè- æåíèÿ, äîñòàòî÷íûå äëÿ èõ îïèñàíèÿ. Ñèòóàöèÿ, â äåé- ñòâèòåëüíîñòè, î÷åíü ñëîæíà. Ñóùåñòâåííû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ � êàê èíòåðâàëû âîëíîâûõ ÷èñåë, èõ ðàçìåð- íîñòü, òàê è îáùèé ìàñøòàá öóãà âîëí. Îòëè÷àþòñÿ êðàòêîâðåìåííîå è äîëãîâðåìåííîå ïîâåäåíèå. Ðîëü íåëèíåéíîñòè íåòðèâèàëüíà � ñ åå ðîñòîì íåóñòîé÷è- âîñòü ìîæåò èñ÷åçàòü, è, ðàçóìååòñÿ, ïîÿâëÿþòñÿ äðó- ãèå ðàçíîâèäíîñòè, íàïðèìåð, âçðûâíàÿ ýâîëþöèÿ Ëîíãå-Õèããèíñà. Ñâÿçàííûå ñ ýòèì ïðîáëåìû ñì. â [5,15], â öèòèðóåìûõ â [15å] îáçîðàõ è â êîììåíòà- ðèÿõ ê îáçîðó Þýíà è Ëåéêà [5d]. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 196 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 1 2 3 2 1 2 d1d2d3 −σσ σ σ σσ σσ σ− σω = σ ×∫&a i a i V a a a 31 2 3 1 3k k k kq q q q q q 1 1 2 2 3( ) ,×δ −σ + σ + σ + σ +3k q q q L (7.23) óäîáíî ïîëó÷àòü, èñêëþ÷èâ ÷ëåí òðåòüåãî ïîðÿäêà èç ãàìèëüòîíèàíà ñ ïîìîùüþ ñîîò- âåòñòâóþùåãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (ñì. [2d] è Ïðèëîæåíèå 2). Â ÷àñòíîì (ïðî- ñòåéøåì) ñëó÷àå �îäíîâîëíîâîé� çàäà÷è, êîã- äà íàèáîëåå ñóùåñòâåí íåëèíåéíûé ñäâèã ÷à- ñòîòû, (7.23) ñâîäèòñÿ ê ÷ðåçâû÷àéíî ïîïó- ëÿðíîìó �íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãå- ðà� (ÍÓØ), êîòîðîå ìû ïðèâåäåì â áåçðàç- ìåðíûõ ïåðåìåííûõ (çíàê íåëèíåéíîãî ÷ëåíà ïðè ýòîì âåñüìà ñóùåñòâåí): 2 2 0.i t ∂ψ + ∆ψ ± ψ ψ = ∂ (7.24) Âðåìåííáÿ äèñïåðñèÿ ìîæåò èãðàòü ðîëü, àíà- ëîãè÷íóþ ïðîñòðàíñòâåííîé, ÷òî îêàçûâàåòñÿ ñó- ùåñòâåííûì, íàïðèìåð, â ñîâðåìåííûõ îïòè÷åñ- êèõ ëèíèÿõ ïåðåäà÷è äëÿ êîãåðåíòíûõ âîëí. Â ñèëó îäíîìåðíîãî õàðàêòåðà ðàñïðîñòðàíåíèÿ òàêîé âîëíû çäåñü óäîáíî íóìåðîâàòü îñöèëëÿ- òîðû èõ ÷àñòîòîé ,ω à âîëíîâîå ÷èñëî k ðàñ- ñìàòðèâàòü êàê åå ôóíêöèþ ( ),k ω çàäàâàåìóþ çàêîíîì äèñïåðñèè. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàòüÿìè Çàõàðîâà è Êóçíå- öîâà [15], ãäå èñïîëüçîâàíà ïðîñòðàíñòâåííî-âðå- ìåííàÿ àíàëîãèÿ. Â ïåðåìåííûõ ρ è ,φ ãäå 4 ,E c π= ρ 4 ,B t ∂φ = π ∂ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåë- ëà äëÿ ïëîñêîé ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû 2 2 2 2 2 0, D E c t x ∂ ∂− = ∂ ∂ 3ˆ( , ) ( ) ( , ) ( , )D x t t E x t E x t= ε + χ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ãàìèëüòîíîâîé ôîðìå: , H x ∂ρ δ= ∂ ∂φ , H x ∂φ δ= − ∂ ∂ρ (7.25) ãäå 2 4 2 4 1 1 ˆ d 2 2  ∂φ πχ = + ρερ + ρ ≡  ∂    ∫H t t c c 2 41 1 ˆ d . 8 2  ≡ + ε + χ π  ∫ E E E tH (7.26) Ïîñëå ïåðåõîäà ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì (çàêîí äèñïåðñèè 2 2 2 ( ) k cω = ε ω ): 2 ( ), 2 ( )ω ω −ω ωρ = + ω a a k 2 ( ) ( ) 2 k i a aω ω −ω ωφ = − − ω , * a H i x a ω ω ∂ δ= ∂ δ , ãàìèëüòîíèàí (7.26) ïðèíèìàåò ñòàíäàðòíûé âèä (5.11) ñ çàìåíîé k íà ω ñ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì 1 2 3 4 1 22 2 2 2 1 2 3 4 4 1 2 3 4 3 . ( ) ( ) ( ) ( )4 T k k k kc ω ω ω ω  ω ω ω ωχ=  ω ω ω ωπ   (7.27) Óðàâíåíèÿ äëÿ îãèáàþùèõ ïàêåòà âîëí 0 0( ) ( )1 ( , ) d 2 i t ik v xt x a e− ω−ω − ωψ = ω π ∫ ñ óçêèì ÷à- ñòîòíûì ñïåêòðîì � ãàìèëüòîíîâû: * , ∂ψ δ= − ∂ δψ H i x (7.28) ïðè÷åì íèçøèì ÷ëåíàì ðàçëîæåíèÿ îòâå÷àåò ÍÓØ, êîòîðîå â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ äëÿ �ôîêóñèðóþùåé íåëèíåéíîñòè� ïðèîáðåòàåò âèä 2 2 0.tt E i E E E x ∂ + + = ∂ (7.29) Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 197Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 Îáû÷íîìó ÍÓØ (7.24) ñîîòâåòñòâóåò çàìå- íà .x t↔ Ìû âèäèì, ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå, â äîñòàòî÷- íî ñèììåòðè÷íûõ ñèñòåìàõ âîçíèêàþò äâà íàè- áîëåå òèïè÷íûõ íåëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ â ñà- ìûõ íèçøèõ ïîðÿäêàõ: ëèáî íåëèíåéíîñòü �ãèä- ðîäèíàìè÷åñêîãî� òèïà (êàê â óðàâíåíèè Ýéëå- ðà), ëèáî íåëèíåéíîñòü, îòâåòñòâåííàÿ çà ñäâèã ÷àñòîòû. Èì ñîîòâåòñòâóþò òèïè÷íûå ïðîñòåé- øèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà � äå Âðè- çà (ÊäÂ), Áþðãåðñà è, ñîîòâåòñòâåííî, ÍÓØ. Â óðàâíåíèè ÊäÂ íàèâûñøèé ïîðÿäîê (òðå- òèé) èìååò ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ, ñâÿ- çàííàÿ ñ ó÷åòîì (ñëàáîé � â ñìûñëå ðàçëîæå- íèÿ ïî ãðàäèåíòàì) ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåð- ñèè. Â óðàâíåíèè Áþðãåðñà, â îòëè÷èå îò ÊäÂ, ó÷òåíî çàòóõàíèå, à íå äèñïåðñèÿ êàê êîíêó- ðåíò íåëèíåéíîñòè, è îíî, òàêæå êàê è ÍÓØ, èìååò âòîðîé ïîðÿäîê. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî âñå ýòè óðàâíåíèÿ îêàçàëèñü òî÷íî èíòåãðèðóåìû- ìè, î ÷åì áóäåò èäòè ðå÷ü â ñëåäóþùåì ðàç- äåëå îáçîðà. Çäåñü ìû ëèøü îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Õîïôà-Êîóëà 2 θ = − ν θ xu íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Áþðãåðñà (ñì. íèæå ëåâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (7.30), ν � âÿçêîñòü), îïèñûâàþùåå, â ÷àñòíîñòè, âîçíèê- íîâåíèå óäàðíûõ âîëí, ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè [3]: 2 ( ) 0.x t x xx t xxu uu u x θν ∂ + − ν = − − θ − νθ = θ ∂ θ  (7.30) 8. Óðàâíåíèå ÊäÂ è ñîëèòîíû Îñíîâíîé êà÷åñòâåííûé âûâîä, êîòîðûé ìîæåò áûòü ñäåëàí èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà äëÿ âîëíû êîíå÷íîé àìïëèòóäû, ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî íåëèíåéíîñòü ïðèâîäèò ê ðîñòó ãàðìîíèê (ïðè÷åì ôàçû âîëí æåñòêî ñâÿçà- íû), à çíà÷èò ê óêðó÷åíèþ ôðîíòà âîëíû, à äèñïåðñèÿ ñêîðîñòåé ïðåïÿòñòâóåò ýòîìó (ìà- ëîñòü ãàðìîíèê â îòñóòñòâèå ñèíõðîíèçìà). Óêðó÷åíèå ôðîíòà ìîæíî óâèäåòü íà ïîëåç- íîì ïðèìåðå äâèæåíèÿ (ïó÷êà) íåâçàèìîäåé- ñòâóþùèõ ÷àñòèö, ïðîìîäóëèðîâàííîãî â âèäå âîëíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ñìåùå- íèå òî÷åê ôðîíòà âîëíû îïèñûâàåòñÿ óðàâíå- íèåì d d 0,t =v êîòîðîå â ýéëåðîâîé çàïèñè èìååò âèä 0,∂ ∂ + ∂ ∂ =v t v v x ò. å. ñîäåðæèò íåëèíåéíîñòü ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñî ñâîåé ôèêñè- ðîâàííîé ñêîðîñòüþ, â òîì ÷èñëå ïðè 0v = ïîêîèòñÿ, òî î÷åâèäíà êàðòèíà, â êîòîðîé òî÷- êè ïðîôèëÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé ñêîðîñòüþ îáãî- íÿþò èñõîäíûé ïðîôèëü, à ñ îòðèöàòåëüíîé îòñòàþò îò íåãî, èç-çà ÷åãî ôðîíò áóäåò ñòà- íîâèòüñÿ êðó÷å. Çàòóõàíèå, âñòóïàþùåå â èãðó ïðè âîçíèêíîâåíèè áîëüøèõ ãðàäèåíòîâ (â �ìî- ìåíò� îáãîíà14), ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ óäàð- íûõ âîëí, ãäå è íåëèíåéíîñòü, è äèññèïàöèÿ ñóùåñòâåííû. Ýòîò ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áþðãåðñà, êîòîðîå íåëèíåéíîé ïîäñòàíîâêîé ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ òåïëîïðî- âîäíîñòè (ñì. âûøå) è òàêèì îáðàçîì äîïóñ- êàåò òî÷íîå ðåøåíèå. Â íåäèññèïàòèâíîé æå, äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå (ïëàçìà, ìåëêàÿ âîäà) âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü êîìïåíñàöèè óêðó÷å- íèÿ ôðîíòà åãî ðàñïëûâàíèåì çà ñ÷åò äèñïåð- ñèè. Âñëåäñòâèå ýòîãî âîçíèêàþò îñîáûå ðå- øåíèÿ � ñîëèòîíû, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì î÷åíü êðàòêî ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè (ïîäðîá- íåå ñì. [3,4]). Óðàâíåíèå, ãäå ñîñóùåñòâóþò (ñëàáàÿ) äèñïåðñèÿ è íåëèíåéíîñòü ëåãêî ïîëó÷èòü, äîáàâëÿÿ ê áåçäèñïåðñèîííîìó çàêîíó Vkω = ñëåäóþùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ïî k, êîòîðûé íå ïðèâîäèò ê çàòóõàíèþ, ò. å. 3.bk Ñîîòâåòñòâó- þùåå óðàâíåíèå äëÿ ñêîðîñòè ( , ) :u x t 3 3 3 0 ( ) 0. ∂ ∂ ∂= ω − + → + + = ∂ ∂ ∂ u u u Vk bk u V b t x x (8.1) Âîññòàíîâèì çäåñü íåëèíåéíîå ñëàãàåìîå u u x ∂ ∂ è îïóñòèì u V x ∂ ∂ (ïåðåõîäÿ â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ãäå ëèíåéíàÿ âîëíà ïîêîèòñÿ). Òîãäà èìååì óðàâíåíèå ÊäÂ: 14Äëÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â ïó÷êàõ îáãîí ñîâåðøåííî ðåàëåí. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 198 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 3 3 0. u u u u b t x x ∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ (8.2) Íà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿõ ( )u u x ct= − îíî îäèí ðàç èíòåãðèðóåòñÿ, è ïðè íóëåâîé êîíñòàí- òå èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé b â ýôôåêòèâíîì ïîòåíöèàëå W: ( ),xxbu W u u ∂ = − ∂ ,x u u x ∂ ≡ ∂ (8.3) ïðè÷åì x èãðàåò ðîëü âðåìåíè, à xu � ñêî- ðîñòü ÷àñòèöû. �Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ� (ðèñ. 8.1) 2 3 ( ) 2 6 cu u W u = − + (8.3') ìèíèìàëüíà â òî÷êå 2 ,u c= ìàêñèìóì ïðè 0,u = ãäå 0,W = à òàêæå ïðîõîäèò ÷åðåç íîëü ïðè 3 .u c= Âáëèçè äíà ÿìû èìåþò ìåñòî ìàëûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ñ ðîñòîì ýíåðãèè �÷àñòèöû� 2 ( ) 2 xu I b W u= + (8.4) êîëåáàíèÿ â ñèëó íåïàðàáîëè÷íîñòè ÿìû ñòà- íîâÿòñÿ àíãàðìîíè÷åñêèìè, ïðè÷åì ðåøåíèå �äîëãî� çàäåðæèâàåòñÿ íà ìàëûõ u (ãäå ìàëû è ñêîðîñòè xu ) è �áûñòðî� ïðîõîäèò îáëàñòü áîëüøèõ u, ãäå ñêîðîñòü xu íå ìàëà. Ýòî çíà- ÷èò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïîñëåäîâàòåëü- íûìè ïîäúåìàìè u ñ óìåíüøåíèåì I âîçðà- ñòàþò, è, íàêîíåö, çíà÷åíèþ I = 0 îòâå÷àåò ïàðàáîëè÷åñêîå äâèæåíèå è ñåïàðàòðèñà â �ôàçîâîé� ïëîñêîñòè ( , )xu u � óåäèíåííàÿ âîëíà. Ýòî íåîáû÷íîå ðåøåíèå áûëî ïîëó- ÷åíî åùå â XIX âåêå (Êîðòåâåãîì è äå Âðè- çîì), à óåäèíåííàÿ âîëíà íàáëþäàëàñü è áûëà îïèñàíà â åãî íà÷àëå (Ñêîòòîì Ðàññåëîì), íî îñîáàÿ ðîëü ñîëèòîíîâ áûëà îòêðûòà ñî- âñåì íåäàâíî. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñîëèòîíó (óåäè- íåííîé âîëíå) ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå âèäà 0 2 ( ) , ch u u x ct x ct − = − ∆ (8.5) ïðè÷åì ïàðàìåòðû c, 0u è ∆ ñâÿçàíû óñëî- âèÿìè: 0 3 ,u c= 2 012 .b u= ∆ (8.6) Ïðîâåðèì ýòî, ïîäñòàâèâ (8.5) â âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè (8.4) è ïðèðàâíÿâ åãî íóëþ. Òîãäà, ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïðè âûïîëíåíèè óñ- ëîâèé (8.6) ìû ïðèäåì ê òîæäåñòâó . Ñêîðîñòü ñîëèòîíà c çàâèñèò îò åãî âûñî- òû 0u (ëèíåéíî), à øèðèíà ∆ îáðàòíî ïðîïîðöè- îíàëüíà êîðíþ èç âûñîòû. Îêàçàëîñü, ÷òî ýâî- ëþöèÿ íà÷àëüíîé âîëíû êîíå÷íîé àìïëèòóäû ñîñòîèò, ãëàâíûì îáðàçîì, â ïîñëåäîâàòåëüíîì îòùåïëåíèè îò íåå ñîëèòîíîâ â îáëàñòè óêðó- ÷åíèÿ ôðîíòà [10e]. Îáãîíÿÿ âîëíó, îòùåïèâ- øèåñÿ ñîëèòîíû óõîäÿò, ïðè÷åì ñëåäóþùèå èìåþò ìåíüøóþ âûñîòó è, ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü. Áëàãîäàðÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ìà- Ðèñ. 8.1. Ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äëÿ ÷àñòèöû (8.3). Ôèíèòíîìó äâèæåíèþ â ÿìå (I < 0) ñîîòâåòñòâóþò íåëèíåéíûå ïåðèîäè÷åñêèå âîëíû íà ìåëêîé âîäå. Ñåïàðàòðèñà (I = 0)ñîîòâåòñòâó- åò ñîëèòîíó Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 199Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 ëîìó ïåðåêðûòèþ ñîëèòîíû íå âçàèìîäåéñòâó- þò äðóã ñ äðóãîì. Èçó÷åíèå ïîäîáíûõ ïðîöåññîâ ïîäñêàçàëî çàìå÷àòåëüíóþ ïðîöåäóðó òî÷íîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÊäÂ, îòêðûâøóþ íî- âóþ ñòðàíèöó â èçó÷åíèè íåëèíåéíûõ óðàâíå- íèé, äëÿ öåëûõ êëàññîâ êîòîðûõ óäàëîñü îòûñ- êàòü ñèñòåìû òî÷íûõ ðåøåíèé [3, 4]. Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåëèíåé- íîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî- ðÿäêà âûøå ïåðâîãî â íàñòîÿùåå âðåìÿ íå- âîçìîæíî ñêàçàòü, îòíîñèòñÿ ëè îíî ê òî÷íî ðåøàåìûì èëè íåò. Íî ñðåäè ïîñòðîåííûõ òî÷íî ðåøàåìûõ óðàâíåíèé åñòü äîâîëüíî ìíîãî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûõ äëÿ ôèçèêè. Ê íèì, â ÷àñòíîñòè, êðîìå óðàâíåíèÿ ÊäÂ, îòíîñèòñÿ ÍÓØ, óæå óïîìèíàâøååñÿ óðàâ- íåíèå Áþðãåðñà, óðàâíåíèå sin-Ãîðäîí ïðè ïåðèîäè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè è íåêîòîðûå äðóãèå. Êðàòêî îïèøåì ðåöåïò ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÊäÂ ìåòîäîì îáðàòíîé çàäà÷è ðàñ- ñåÿíèÿ (ÌÎÇÐ). Ýòîò ìåòîä äîâîëüíî ñëîæåí, íî ïðåäïîëàãàåò íà êàæäîì ýòàïå ðåøåíèå òîëüêî ëèíåéíûõ óðàâíåíèé [3, 4]. Íà ïåðâîì ýòàïå íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ÊäÂ, êîòîðîå óäîáíî çàïèñàòü â âèäå 6 0t x xxxu uu u− + = (8.7) (ïðè ýòîì èçìåíåíèå çíàêà îçíà÷àåò, ÷òî âîç- âûøåíèþ â èñõîäíîì óðàâíåíèè çäåñü ñîîò- âåòñòâóåò óãëóáëåíèå), ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïàðà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ (L, A � ïàðà Ëýêñà). Îïå- ðàòîð L � ýòî îïåðàòîð Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ 2 d ( , ), d L u x t x = − + (8.8) èëè, ÷òî òî æå, îïåðàòîð Øðåäèíãåðà (ò. å. ãàìèëüòîíèàí ÷àñòèöû ñ ïîòåíöèàëîì ( , )u x t ïðè òàêîì âûáîðå åäèíèö, ÷òî 2 1). 2m =h Çäåñü t ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì. Îïåðàòîð À èìååò ñïå- öèàëüíûé âèä 3 3 d d d 4 3 , d dd A i i u u x xx  = − + +   (8.9) òàêîé, ÷òî êîììóòàòîð [ , ] (6 ),x xxxL A LA AL i uu u≡ − = − − áëàãîäàðÿ ÷åìó óðàâíåíèå ýâîëþöèè [ , ], ∂ = ∂ L i L A t t L u t ∂ = ∂  (8.10) ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ óðàâíåíèÿ ÊäÂ äëÿ ( , ).u x t Îïåðàòîðû À è L äåéñòâóþò íà ôóíêöèè ψ �÷àñòèö�, äâèæóùèõñÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ( , ),u x t ãäå t ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì (è íèêàêîãî îòíîøåíèÿ êî âðåìåííîé ïåðåìåííîé äëÿ ψ-÷àñòèö íå èìååò). Ïîëå 0u → ïðè .x → ±∞ Ñïåêòð ÷àñòèö ψ, ò. å. ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ,Lψ = λψ (8.11) ïðè ýòîì ñîñòîèò èç äèñêðåòíîãî, ñâÿçàííîãî ñ óðîâíÿìè �÷àñòèöû� â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ( )u x ïðè const,t = è íåïðåðûâíîãî, ñâÿçàííîãî ñ èíôèíèòíûì äâèæåíèåì ÷àñòèö ñ ïîëîæè- òåëüíîé ýíåðãèåé. Íàáîð �äàííûõ ðàññåÿíèÿ�, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ äèñêðåòíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà L è àñèìïòîòèê åãî ñîá- ñòâåííûõ ôóíêöèé (êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ, åñëè ãîâîðèòü î íåïðåðûâíîì ñïåêòðå) äîñòà- òî÷åí äëÿ íàøåé öåëè. Èòàê, íà ïåðâîì ýòàïå ïðîöåäóðà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè äàííûõ ðàñ- ñåÿíèÿ L äëÿ ( ,0).u x Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà À íàõîäèòñÿ èõ èçìåíåíèå âî âðåìåíè, ïðè÷åì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà âî- îáùå íå ìåíÿþòñÿ, à �êîýôôèöèåíòû îòðàæå- íèÿ� èìåþò â ñëó÷àå ÊäÂ î÷åíü ïðîñòîé âðå- ìåííîé âèä. Íàéäåííûå äàííûå ðàññåÿíèÿ îï- ðåäåëÿþò íîâûé ïîòåíöèàë ( , ),u x t êîòîðûé ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ïî íèì, åñëè ðåøàåòñÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. Â ñëó÷àå óðàâíå- Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 200 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 íèÿ ÊäÂ (ò. å. äëÿ îïåðàòîðà Øðåäèíãåðà L) îáðàòíàÿ çàäà÷à óæå äîâîëüíî äàâíî áûëà ýô- ôåêòèâíî ðåøåíà (Ãåëüôàíäîì è Ëåâèòàíîì è Ìàð÷åíêî15), à èìåííî ñâåäåíà ê ðåøåíèþ ëè- íåéíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ÿäðî êîòîðî- ãî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äàííûå ðàññåÿíèÿ. Òà- êèì îáðàçîì, êðóã çàìûêàåòñÿ � êîíå÷íîå ( , )u x t íàõîäèòñÿ ïî íà÷àëüíîìó ( ,0),u x íî âìåñòî òîãî, ÷òîáû ðåøàòü íåëèíåéíîå óðàâ- íåíèå (ÊäÂ), ðåøàþòñÿ â íåñêîëüêî ýòàïîâ ëè- íåéíûå óðàâíåíèÿ (ðèñ. 8.2). Îòâåò æå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì [10]. Åñëè ( , )K x y � ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ìàð÷åíêî ( , ) ( ) d ( , ) ( ), x K x y x y sK x s s y ∞ = + + +∫F F (8.12) ãäå ( )ξF âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äàííûå ðàññåÿ- íèÿ16 � çíà÷åíèÿ 2 n nλ ≡ −κ äèñêðåòíîãî ñïåê- òðà L è ñâÿçàííûå ñ íèìè âåëè÷èíû ( )2 2 3( ) (0)exp 8 ,= κn nM t M t à òàêæå êîýôôèöè- åíò îòðàæåíèÿ â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå ( )3( , ) ( ,0)exp 8 ,=s k t s k ik t ãäå 2 :kλ ≡ 2 1 ( ) d ( ) , 2 n ik n n M e ks k e ∞ −κ ξ ξ −∞ ξ = − + π∑ ∫F (8.13) òî èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå d ( , ) 2 ( , ). d u x t K x x x = − (8.14) Â ÷àñòíîñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïîòåíöèàë ÿâëÿ- åòñÿ áåçîòðàæàòåëüíûì è ñîäåðæèò ëèøü îäèí óðîâåíü, ïðèõîäèì ñ ïîìîùüþ óêàçàííîãî ðå- öåïòà ê ñîëèòîííîìó ðåøåíèþ (8.5). Ñóùåñòâåííî, ÷òî ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ðåàëèçóþòñÿ âíå ñïåêòðà ëèíåéíûõ âîëí. (Äëÿ âîëí íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ýòî ñîîòâåò- ñòâóåò òîìó, ÷òî ñîëèòîí ÊäÂ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, âñåãäà ïðåâûøàþùåé ñêîðîñòü ëèíåéíîé âîëíû, à êàïèëëÿðíî-ãðàâèòàöèîííûå ñîëèòîíû [15a-f] � ñî ñêîðîñòüþ, ìåíüøåé, ÷åì ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü mV ). Âáëèçè ãðàíèöû ñïåêòðà â îáùåì ñëó÷àå (ñîëèòîí ÊäÂ, ëîêà- ëèçóåìûé â îáëàñòè 0,k → ñþäà íå îòíîñèò- ñÿ) îíè ïðèîáðåòàþò óíèâåðñàëüíóþ ôîðìó ñîëèòîíà ÍÓØ17. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè 0 3,k h< êîãäà ïðåäåë 0→k ñîîò- âåòñòâóåò íå ìàêñèìàëüíîé, à ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè âîëí ñîãëàñíî (2.24), äèñïåðñèîííîå ñëàãàåìîå â óðàâíåíèè ÊäÂ ìåíÿåò çíàê, è ñîëèòîíû ÊäÂ äâèæóòñÿ òåïåðü ñî ñêîðîñ- òüþ, ìåíüøåé ñêîðîñòè ëèíåéíîé âîëíû. Çà- ìåòèì, ÷òî îáû÷íûé ñîëèòîí ÊäÂ ìîæåò íà- õîäèòüñÿ â ðåçîíàíñå ñ êàïèëëÿðíûìè âîëíà- ìè è, ñîîòâåòñòâåííî, èñïûòûâàòü äîïîëíè- òåëüíîå ê ëèíåéíîìó çàòóõàíèå. Â îñîáûõ ñëó÷àÿõ ñîëèòîíû ìîãóò ñóùåñòâîâàòü íàõî- 15Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì Ìàð÷åíêî (ñì., íàïðèìåð, ïðåêðàñíîå èçëîæåíèå â [10h]), ïîñêîëü- êó èìåííî îíî îòíîñèòñÿ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ áûñòðî óáûâàþùèõ íà áåñêîíå÷íîñòè ïîòåíöèàëîâ. 16Áîëåå òî÷íî ïîä äàííûìè ðàññåÿíèÿ â íåïðåðûâ- íîì ñïåêòðå ïîíèìàþò íàáîð àìïëèòóä a(k) è b(k), ãäå a�1(k) � àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ �âïåðåä� (êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ âîëíû ÷åðåç ïîòåíöèàë u(x)), à b(k)/a(k) � àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ �íàçàä�. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè Ãàð- äíåðà-Ãðèíà-Êðóñêàëà-Ìèóðû (ÃÃÊÌ) äëÿ a(k) åñòü ( , ) 0.a k t =& Ðèñ. 8.2. Ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ ìåòîä îáðàòíîé çà- äà÷è ðàññåÿíèÿ 17 Ñëåäóåò îòìåòèòü àíàëîãèþ ñ îòùåïëåíèåì ëîêà- ëèçîâàííûõ (ïðèìåñíûõ) óðîâíåé îò êðàÿ çîíû ñïëîø- íîãî ñïåêòðà â êðèñòàëëàõ [16]. Â [15c,d] îòìå÷åíà òàê- æå àíàëîãèÿ ïåðåõîäà ÷åðåç ãðàíèöó ñïëîøíîãî ñïåêò- ðà ëèíåéíûõ âîëí ñ ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè âòîðîãî ðîäà ëèáî ïåðâîãî ðîäà, â òîì ÷èñëå áëèçêîãî êî âòîðîìó. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 201Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 äÿñü â çîíå ñïåêòðà ëèíåéíûõ âîëí (ñì. ññûë- êè â [15g,h]). Îáðàòèì âíèìàíèå íà âàæíóþ àíàëîãèþ ìåæäó ìåòîäîì îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. (Ïîñëåäíåå ïðè- ìåíÿåòñÿ, êîíå÷íî, ê ëèíåéíûì çàäà÷àì). Ïåðåõîä ê ôóðüå-îáðàçàì àíàëîãè÷åí ïåðå- õîäó ê äàííûì ðàññåÿíèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò îò- ñëåäèòü â îáîèõ ìåòîäàõ ýâîëþöèþ âåëè÷èí â íîâîì ïðåäñòàâëåíèè. È, íàêîíåö, ñîâåð- øàåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ê èñõîä- íûì âåëè÷èíàì â íîâûé ìîìåíò âðåìåíè (ñð. ðèñ. 8.2). Ýòà àíàëîãèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîäåð- æàòåëüíîé. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, êàê ìû çíàåì (ñì. ï. 5), ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðå- îáðàçîâàíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îïèñàíèå ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ äàííûõ ðàññåÿíèÿ òàê- æå ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèåì â êàíîíè÷åñêèõ ïå- ðåìåííûõ! Ïðè ýòîì äàííûå ðàññåÿíèÿ ïðåä- ñòàâëÿþò ñîáîé ðåàëèçàöèþ ïåðåìåííûõ �äåéñòâèå � óãîë�. Âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà ê ýòèì ïåðåìåííûì18 ýêâèâàëåíòíà ïîëíîé èí- òåãðèðóåìîñòè íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ è ñó- ùåñòâîâàíèþ áåñêîíå÷íîãî íàáîðà èíòåãðà- ëîâ äâèæåíèÿ, êàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ â òåðìè- íàõ äàííûõ ðàññåÿíèÿ ( ).a k Òàê, ìîæíî ïî- êàçàòü [3, 17], ÷òî âåëè÷èíû 22 ( ) ln ( ) , k n k a k= π arg ( ),k b kϕ = ( 0)k > (8.15) îáðàçóþò êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûå ïàðû. Äëÿ âåëè÷èí, îïðåäåëÿåìûõ äàííûìè ðàññåÿíèÿ â äèñêðåòíîì ñïåêòðå, 2,l lN = κ 1 2ln ,k lb Φ = (8.15') òàêæå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ êàíîíè÷åñêîãî ñîïðÿæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ÃÃÊÌ äëÿ äàííûõ ðàññåÿíèÿ ñîîòâåòñòâóþò óðàâíåíèÿì â ïåðåìåííûõ �äåéñòâèå � óãîë� ñ ãàìèëüòî- íèàíîì ÊäÂ 5 2 332 8 ( )d . 5 lH N k n k k= − +∑ ∫ (8.16) Òàêèì îáðàçîì, ÌÎÇÐ äåéñòâèòåëüíî îêàçû- âàåòñÿ àíàëîãîì íåëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è ñîâåðøåííî íåòðèâèàëüíûì ïðèìå- ðîì êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷åì îï- ðàâäûâàåòñÿ õîòÿ áû ñòîëü êðàòêîå âêëþ÷å- íèå â äàííûé îáçîð ýòîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïî ýôôåêòèâíîñòè è êðàñîòå ìåòîäà � æåì÷óæè- íû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ÕÕ âåêà. Îñîáûé îáúåêò ïðèìåíåíèÿ ãàìèëüòîíî- âûõ ìåòîäîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âèõðè, òðàäèöèîííî îïèñûâàåìûå â ðàìêàõ ãèäðî- äèíàìèêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè [20a,b]. Â ñîëèòîííóþ ýïîõó èíòåðåñ ê âèõðÿì êàê ðîäñòâåííûì ëîêàëèçîâàííûì îáðàçîâàíè- ÿì ðåçêî âîçðîñ19. Ñîâðåìåííûé âçãëÿä íà ïðîáëåìó èçëîæåí â îáçîðàõ [20c,d,e,h,i] è ñòàòüÿõ [20f,g], â êîòîðûõ ìîæíî íàéòè äàëüíåéøèå ññûëêè. Ìû ïðèâåäåì çäåñü â êà÷åñòâå êëàññè÷åñêîãî ïðèìåðà èçâåñòíîå ðåøåíèå äëÿ ò. í. ñôåðè÷åñêîãî âèõðÿ Õèë- ëà, ïðèäàâ åìó, îäíàêî, ãàìèëüòîíîâó ôîð- ìó. Îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå, êîòîðîå åìó ñîîòâåòñòâóåò, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëàìè- íàðíûé ïîòîê, îáòåêàþùèé ñôåðó, âíóòðè êî- òîðîé ñîñðåäîòî÷åí âèõðü. Ñòîêñîâà ôóíê- öèÿ òîêà ψ, ââîäèìàÿ ïðè îñåñèììåòðè÷íûõ òå÷åíèÿõ [20a,b], ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åäèí- ñòâåííóþ îòëè÷íóþ îò íóëÿ àçèìóòàëüíóþ êîìïîíåíòó âåêòîð-ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè. Ðåøåíèþ ìîæíî ïðèäàòü ãàìèëüòîíîâó ôîð- ìó, åñëè â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíà- òû âûáðàòü (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëåííîãî êîýôôèöèåíòà) êóá ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ñôå- ðû, à â êà÷åñòâå îáîáùåííîãî èìïóëüñà � 18 Ýòî áûëî ïîêàçàíî Çàõàðîâûì è Ôàääååâûì äëÿ ÊäÂ è Òàõòàäæÿíîì è Ôàääååâûì, è Çàõàðîâûì è Ìà- íàêîâûì äëÿ ÍÓØ (ñì. îáçîð [17] è ññûëêè â íåì). 19Ïåðâàÿ âîëíà èíòåðåñà ê âèõðÿì áûëà ñâÿçàíà ñ âèõðåâîé ìîäåëüþ àòîìà è óãàñëà ïðè ïîÿâëåíèè ïëà- íåòàðíîé ìîäåëè è êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Âïðî÷åì èíòå- ðåñ ê âèõðÿì íèêîãäà íå îñëàáåâàë â ñâÿçè ñ ïðîáëå- ìîé òóðáóëåíòíîñòè è çàäà÷àì îáòåêàíèÿ òåë. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 202 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 êîñèíóñ àçèìóòàëüíîãî óãëà. Òîãäà âèõðü ñâåäåòñÿ ê ÷àñòèöå (íàáîðó ÷àñòèö) ñ çàêî- íîì äèñïåðñèè 2 2 2 2 3 ( ) sin , 4 U H a r r a = ψ = − − ϑ , H q p ∂= ∂ & , H p q ∂= − ∂ & (8.17) ( 0,H < 1 3(3 ) ,r q≡ cosp ≡ − ϑ ). Ðåøåíèå äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå, çàâèñÿùåå îò ðàäèóñà ñôåðû a è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ U (ñêîðîñòè äâèæåíèÿ âèõðÿ îòíîñèòåëüíî íå- ïîäâèæíîé æèäêîñòè). Ëîêàëèçîâàííûì âíóòðè ñôåðû ëèíèÿì òîêà (÷àñòèöàì) ñîîò- âåòñòâóåò îòðèöàòåëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ãðàíèöå âèõðÿ � ñåïàðàòðèñà, îòâå÷àþùàÿ íóëåâîé ýíåðãèè. Ýòî, ðàâíî êàê è îáÿçàòåëüíîå äâè- æåíèå âèõðÿ, ïîìåùàþùåå åãî âíå çîíû ëèíåéíûõ âèõðåâûõ âîçáóæäåíèé, ðîäíèò åãî ñ ñîëèòîíîì. Âèõðü Õèëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð êîëüöåâûõ âèõðåé, à åãî ïëîñêèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ âèõðü Ëàìáà [6a]. Òåì íå ìåíåå, òîïîëîãèÿ ëèíèé òîêà â ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè ÷ðåçâû÷àéíî áëèçêà ê òîé, êîòî- ðàÿ áûëà îáíàðóæåíà âïîñëåäñòâèè äëÿ äâó- ìåðíûõ ñîëèòîííûõ ðåøåíèé íà ïîâåðõíîñ- òè âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè êàê ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ×àðíè-Õàñåãàâû-Ìèìà20 (ñîëè- òîí Ëàðè÷åâà-Ðåçíèêà è åãî îáîáùåíèÿ). Óáûâàíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé âíå îáëàñòè çà- âèõðåííîñòè â ñðåäå áåç äèñïåðñèè (âèõðè Õèëëà, Ëàìáà) � ñòåïåííîå, ïðè íàëè÷èè äèñïåðñèè (äëÿ âîëí Ðîññáè) � ýêñïîíåíöè- àëüíîå, ÷òî åùå áîëåå ðîäíèò ïîäîáíûå âèõðè ñ ñîëèòîíàìè. Ïðèëîæåíèå 1. Ãàìèëüòîíîâî îïèñàíèå íåïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ ïðè íàëè÷èè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â îáû÷íîé è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå Îáñóäèì ïðèåì [6g], ñ ïîìîùüþ êîòîðî- ãî ïîâåðõíîñòíûå ïåðåìåííûå ñòðîÿòñÿ èç îáúåìíûõ, îïèñûâàþùèõ íåïîòåíöèàëüíîå äâèæåíèå ñæèìàåìîé æèäêîñòè, ïðè ïîìî- ùè ïðåäåëüíîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâà- íèÿ. Ñ ïîìîùüþ òîãî æå ïðèåìà ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå. Êàê èçâåñòíî [6a, 2], äëÿ áàðîòðîïíîé æèä- êîñòè ( )ε = ε ρ ïðåäñòàâëåíèå ñêîðîñòè â âèäå λ= ∇ϕ + ∇µ ρ v (Ï.1.1) ñ ïîìîùüþ ïåðåìåííûõ Êëåáøà λ è µ (äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ìû îãðàíè÷èëèñü ñêàëÿð- íûì âàðèàíòîì) ïîçâîëÿåò íàïèñàòü ãàìèëü- òîíîâû óðàâíåíèÿ (4.9) ïðè ïðîèçâîëüíîé ïëàâ- íîé íåîäíîðîäíîñòè â îáúåìå æèäêîñòè: div , ( ) . ∂λ δ= ≡ − λ ∂ δµ ∂µ δ= − ≡ − ∇ µ ∂ δλ H t H t v v (Ï.1.2) Âàðèàöèÿ ãàìèëüòîíèàíà (4.9) ñ ó÷åòîì (Ï.1.2.) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê d . ∂ϕ ∂ρ ∂µ ∂λ δ = − δρ + δϕ − δλ + δµ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫H V t t t t (Ï.1.3) Ñäåëàåì, ñëåäóÿ (4.10), çàìåíó è ïåðåéäåì ê íîâûì êîîðäèíàòàì ς è λ% : 20 Â ýòîì óðàâíåíèè íåëèíåéíîñòü ñóùåñòâåííî íåî- äíîìåðíà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé �ïëîñêóþ� êîìïîíåíòó âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñêîðîñòè òå÷åíèÿ íà åå ðîòîð [20c,e]. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 203Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 ( ),f zρ = ς − ( ),f zλ = λ ς −% (Ï.1.4) âûáèðàÿ ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë â âèäå { }( , ; , ) d ( ) ( ) .ϕ µ ς λ = ϕ ς − + µλ ς −∫% %F V f z f z (Ï.1.5) Òîãäà íîâûìè êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè ïàðàìè ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà (4.11), ââî- äÿùåãî ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà, áóäóò ( ), ( ) , ς  ς ψ ≡ ρ ϕ + λµ  % ( , ),λ µ% % (Ï.1.6) ãäå [ ]ς îçíà÷àåò ñêà÷îê íà ðàçðûâå z= ς ïðè ïåðåõîäå èç íèæíåé ñðåäû â âåðõíþþ, ( ).f zµ = µ ς −% Óðàâíåíèÿ äëÿ ς îñòàþòñÿ ïðå- æíèìè (4.12). Íà ñêà÷êå z= ς âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèþ Ãàìèëü- òîíà , H t ∂ψ δ= − ∂ δς 2 0, 2 v g t t ς   ∂ϕ ∂µρ + λ + + ς =  ∂ ∂    % à â îáúåìå âìåñòî (Ï.1.2.) èìååì div 0, ( ) 0. ∂λ ∂µ+ λ = + ∇ µ = ∂ ∂ % % % % t t v v Äëÿ íåáàðîòðîïíîé æèäêîñòè ( ) ( , )sε ρ →ε ρ � âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò îò ýíòðîïèè. Â ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòè è ïåðåìåííûõ Êëåáøà íå- äîñòàòî÷íî. Êàê èçâåñòíî, íåîáõîäèìî ðàñøè- ðèòü íàáîð ïåðåìåííûõ, âêëþ÷èâ òóäà ýíòðî- ïèþ, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü, ââîäÿ åùå îäíó ïàðó êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ( , )sσ è ïðåäñòàâ- ëåíèå äëÿ ñêîðîñòè .s λ σ= ∇ϕ + ∇µ + ∇ ρ ρ v (Ï.1.7) Ïðè ýòîì äëÿ ýíòðîïèè ïîëó÷àåì, êàê è äëÿ ïåðåìåííûõ Êëåáøà, çàêîí ñîõðàíåíèÿ, à σ óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ div , . ∂σ δ ∂ε= ≡ − σ + ∂ δ ∂ ∂ δ= − ≡ − ∇ ∂ δσ H t s s s H s t v v Èç îñòàëüíûõ óðàâíåíèé âèäîèçìåíÿåòñÿ òîëüêî 2 ( ) ( ) . 2 ∂ϕ δ λ σ ∂ε= − ≡ − + ∇ µ + ∇ + ∂ δρ ρ ρ ∂ρ H v s t v v Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå çàêîíû ñîõðà- íåíèÿ, âêëþ÷àÿ óðàâíåíèå ïåðåíîñà òåïëà, âû- ïîëíÿþòñÿ. Èñòî÷íèêîì ïîëÿ σ ÿâëÿåòñÿ ïîëå òåìïåðàòóð: d . d T t σ = ρ Èíîãäà óäîáíî êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâà- íèåì èñêëþ÷èòü ÷àñòü, ñâÿçàííóþ ñ îäíîðîä- íûì òåìïåðàòóðíûì ïîëåì 0 0 .Ttσ = ρ Â ãà- ìèëüòîíèàíå ïðè ýòîì 0 .T sε → ε − ρ Ïðè íàëè÷èè ãðàíèöû ðàçäåëà àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó (ñì. (Ï.1.4) ñ ïîìîùüþ ïðîèç- âîäÿùåãî ôóíêöèîíàëà ( , , ; , , ) d ( )( )ς λ σ ϕ µ = ς − ϕ + λµ + σ∫% %% %F s Vf z s ïåðåõîäèì ê íîâûì ïàðàì ïåðåìåííûõ [6g]: ( ), ( ) ,s ς  ς ψ ≡ ρ ϕ + λµ + σ  % % ( , ),λ µ% % ( , ),sσ% % (Ï.1.8) Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 204 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 ãäå ( ),f zσ = σ ς −% ( )s sf z= ς −% óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì 0div ( ), . ∂σ δ= ≡ − σ + ρ − ∂ ∂ ∂ δ= − ≡ − ∇ ∂ ∂σ % % % % % % H T T t s s H s t v v Ïðåäñòàâëåíèå âèõðåâûõ ïîëåé â îòëè÷èå îò áàðîòðîïíîãî èëè èçýíòðîïè÷åñêîãî ñëó÷àÿ, ïî-âèäèìîìó, îäíîçíà÷íî (ñð. [13a]): rot , , .s    λ σ= ∇ ∇µ + ∇ ∇   ρ ρ    v (Ï.1.9) Ââåäåì òåïåðü �ïîâåðõíîñòíûå� êàíîíè÷åñ- êèå ïåðåìåííûå â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå. Â îáúåìíûõ óðàâíåíèÿõ îãðàíè÷èìñÿ ãàìèëü- òîíîâûìè ïåðåìåííûìè ( , )ρ ϕ è ( , ),H s çàäà- þùèìè ïðåäñòàâëåíèå ñêîðîñòè âèäà [2b,f] 1 [ , rot ]= + ∇ϕ ρ v H s (Ï.1.10) ïðè ãàìèëüòîíèàíå 2 2 d ( ) . 2 8  ρ= + ε ρ + π  ∫ v H V H Ñîâåðøàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (4.10), (4.11), ââå- äåì ãðàíèöó ðàçäåëà è ïåðåéäåì ê íîâûì êàíîíè÷åñêèì ïåðåìåííûì ( , )ς ψ è ( , ),H s% % ãäå ( ),f zρ = ς − ( ).f z= ς −H H% (Ï.1.11) Âûáèðàÿ ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë âèäà ( , ; , ) d ( )( ),ϕ ς = ς − ϕ +∫ %F Vf zs H Hs íàéäåì ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà [6g] ( ) , ς  ψ = ρ ϕ + Hs% ( ).f z= ς −s s% (Ï.1.12) Ïðîöåäóðà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ðàçðûâå è îáúåìíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ. Òàê, èç óðàâíåíèÿ äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñëåäóåò rot ,f  ∂  − +  ∂  H v H % % t ( )( ) 0,z zf v  ∂ς ′+ + ∇ς − + − ∇ς =  ∂   H v v H e% % t îòêóäà ïîëó÷àåì, â ÷àñòíîñòè, ãðàíè÷íûå óñ- ëîâèÿ äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ò. ê. f ′ ñòðåìèòñÿ ê δ-ôóíêöèè íà ãðàíèöå ðàçäåëà. Äëÿ ïîòåíöèàëà s% àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ îáúåìíîå óðàâíåíèå [ ] 2rot , 4 ∂ δ= − ≡ + ∂ πδ %% % % H f t s H s v H è ãðàíè÷íîå óñëîâèå [ ], 0. ς =s v% Ïðèëîæåíèå 2. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé [2d] Â ïðåíåáðåæåíèè ëèíåéíûì çàòóõàíèåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òÿæåëîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (4.6), (4.7) ÿâëÿþòñÿ ãàìèëüòîíîâû- ìè [2b] è â ïåðåìåííûõ aσ k ìîãóò áûòü ïîëó- ÷åíû èç ãàìèëüòîíèàíà 2 3 4H H H H= + + + L (Ï2.1) Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 205Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì: .a i H aσ −σ= σδ δk k& Ïðè ýòîì 1 1 1 1 12 1 1 , 2! kH a aσ −σ= ω∑ k k (Ï2.2) 3 3 1 2 3 1,2,3 1 1 (1,2,3) , 3! =   = δ σ    ∑ ∑ l l l H V a a a k (Ï2.3) 4 4 1 2 3 4 1,2,3,4 1 1 (1,2,3,4) . 4! =   = δ σ    ∑ ∑ l l l H V a a a a k (Ï2.4) Çäåñü 1 2 3 2 3 (1,2,3)V Vσ σ σ≡ 1k k k è ò. ï. ßâíûå âûðàæå- íèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ â ñëó÷àå êî- íå÷íîé ãëóáèíû æèäêîñòè h èìåþò âèä: 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 8 2 V k k k σ σ σ  ω ω ω= ×  π  1k k k % % % { }1 2 3 2 3 2 3 1 P̂ ,× + σ σ ω∑ % % % k k kk k (Ï2.5) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 (8 ) σ σ σ σ   = × ω ω ω ωπ   % % % %k k k k Vk k k k 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 P̂ ( , \| , )Y k k σ σ ω ω × σ σ σ σ −  ∑ k k k k % % 1 2 3 4 1 2 3 4( )( ) , α−σ σ σ σ ρ  k k k k (Ï2.6) ãäå P̂∑ � ñóììà ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì àðãóìåíòîâ ,l l σ     k th ,k k kh=% ( )2 2 1 2 3 4 1 2 2 1( \| ) 2Y k k k k= + −k k k k % % 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 .k k  − + + + + + + + k k k k k k k k (Ï2.7) Ôóíêöèÿ Y ñèììåòðè÷íà ïî ïåðåñòàíîâêàì àðãóìåíòîâ σ     k â âûäåëåííûõ ïàðàõ è îáëà- äàåò çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé. Ìàòðè÷íûå ýëå- ìåíòû (3)V è (4)V îáëàäàþò ñèììåòðèåé îò- íîñèòåëüíî ëþáûõ ïåðåñòàíîâîê àðãóìåíòîâ , σ     k à â ñèëó âåùåñòâåííîñòè ïîëåé ( , )tς r è ( , )tv r ( ) ,k kV V ∗−σ σ= ïðè÷åì çà ñ÷åò âûáîðà ïðåäñòàâëåíèÿ ( ) .k k kV V V ∗−σ σ σ= = Êðîìå òîãî, îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îäíîâðåìåííî- ãî âðàùåíèÿ íàáîðà âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ. Èç (Ï2.6), (Ï2.7) â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ãëó- áîêîé âîäû ( 1,kh? k k→% ) ïîëó÷àåì ( ) :≡ ωl l lV k { }1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1ˆ( ) P , 8 2 σ σ σ = + σ σ π ∑V VVV k k V1k k k k k (Ï2.8) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 22 1 ˆ( ) P 2(8 ) V VV V Vσ σ σ σ −  = σ σ ω ω ×π  ∑k k k k 1 1 2 2 3 3 4 4 3 4 1 2 3 4( , \| , ) ( )( ) ,X α× σ σ σ σ −σ σ ρ  k k k k k k k k (Ï2.9) 1 2 3 4 1 2( \| ) 2( )X k k= + −k k k k 1 3 1 4 2 3 2 4 . − + + + + + + + k k k k k k k k (Ï2.10) Â êàïèëëÿðíîé îáëàñòè 0k k? òðîéíîé ìàò- ðè÷íûé ýëåìåíò, îïðåäåëÿþùèé âåðîÿòíîñòü ðàñïàäîâ è ñëèÿíèé, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 206 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 4 2 V kk k k kk+−− − α = + +  ρπ  1kk k k k 1 2 1 2 9 4 1 2 2 2 1 1( ) ( ) ,− − + + + + ∝k kk k kk kkk kk (Ï2.11) 1 0, − ?k k h ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè 9 4. Àñèìïòîòèêà (Ï2.11) ïðè îäíîì ìàëîì àðãó- ìåíòå äàåòñÿ âûðàæåíèåì 2 7 4 1 2 1 ,+−− ∝V k k 1kk k 1 2 1 0, , .k k k k h− ? ? (Ï2.12) Âçàèìîäåéñòâèå êàïèëëÿðíûõ è ãðàâèòàöèîí- íûõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòèêîé 1 4 1 4 2 , , 1 ( ) , 2 2 +−− − −  = + π V g q O qk k q q kq (Ï2.13) 1 0 .k k q h− ? ? ? Ðàññåÿíèå (ïðÿìîå) ãðàâèòàöèîííûõ âîëí îïè- ñûâàåòñÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì òðåòüåé ñòå- ïåíè îäíîðîäíîñòè 2 3 3,++−− ∝V k 1kk k k 1 0 1 2 3, , , .k k k k k h−? ? (Ï2.14) Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò íåðåçîíàíñíîãî (òðîéíî- ãî) âçàèìîäåéñòâèÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí, äà- þùèé âêëàä â âåðîÿòíîñòü ðàññåÿíèÿ âî âòî- ðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, ðàâåí 1 2 3 2 3 1 4 1 4 1 21 2 3 1 2 3 2 3 2 3 ( ) ( ) 4 2 g k k k V k k k − σ σ σ = + σ σ +π1k k k k k 1 2 1 2 7 4 2 1 3 1 3 1 3 3 1 2 1 2 2 2( ) ( ) ,k kk k kk k+ +σ σ + +σ σ ≈k k k k (Ï2.15) 1 0 1,2,3k k h− ? ? è ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè 7/4. Ðåäóöèðîâàííûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò 1 2 3 4 ,V ++−− k k k k % ñîäåðæàùèé ñëàãàåìîå ñî âêëàäîì îò òðîé- íûõ ïðîöåññîâ âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîç- ìóùåíèé (ñì. [2d, 5d, 15e] è íèæå), â ñîîòâåò- ñòâèè ñ (Ï2.15), (Ï2.14) òàêæå ÿâëÿåòñÿ îäíî- ðîäíîé ôóíêöèåé òðåòüåé ñòåïåíè. Åãî àñèì- ïòîòèêà ïðè äâóõ ìàëûõ àðãóìåíòàõ � 1 2 3 4 1 2 1 3 2 1 0 2 1 3 ( ) , , , . ++−− − ∝% ? ? ? V k k kk k k k k k h k k k k (Ï2.16) Àñèìòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ �ïîëóäèàãî- íàëüíîãî� ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà � ( ) 2 1 3 2 1 12 1 ( ) 1 , 8 ++−− =  +  π V kk O k k 1kk k k 1 .k k= (Ï2.17) Íåîáõîäèìûå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèå òðîéíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåí- òû ðàâíû: ( )1 1 11 , 2 2+ +++ − =  +  π V V kk O k k 1k kk (Ï2.18) ( )1 1 11 , 2 2− ++− − = −  +  π V V kk O k k 1k kk (Ï2.19) ( )1 1 1( ) 1 , 2 2+ −++ =  +  π V V O k k 1k kk kk (Ï2.20) ( )1 1 1( ) 1 . 2 2− −+− =  +  π V V O k k 1k kk kk (Ï2.21) Çäåñü 1 0 1 ,k k k h− ? ? ? 1,± ≡ ±k k qk 11 1.kV k≡ ω Èç (Ï2.17)-(Ï2.21) ïîëó÷àåì Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 207Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 1 ~ 1 1 2 ( ) , 2 ++−− = π k V 1kk kk kk 1 ,k k= (Ï2.22) ÷òî ÿâëÿåòñÿ óòî÷íåíèåì (Ï2.16). Ïðèâåäåì òàêæå ïðåäåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ìåëêîé âîäû 1.kh= Â êàïèëëÿðíîé îáëà- ñòè ñïåêòðà òðîéíîé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò, îò- âå÷àþùèé ðàñïàäàì, ðàâåí 2 1 4 2 1 2 1 ( ), 4 2 V k h +−−  α= + ρπ  1kk k k k (Ï2.23) 1 0.h k k− ? ? Ïîñêîëüêó â ýòîé îáëàñòè çàêîí äèñïåðñèè êà- ïèëëÿðíûõ âîëí êâàäðàòè÷åí: 2,k hk αω = ρ òî â âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà, ó÷èòûâàþùåé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 1 2,ω = ω + ω ïîñëåäíåå ñëà- ãàåìîå â (Ï.2.23) îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó âçà- èìíîé îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ k1 è k2. Äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí íà ìåëêîé âîäå 0,k k= 1h− : [1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 ( ) ( ) 4 2 c V k k k k h σ σ σ −= + π1k k k k k ]( )2 2 3 1 3 1 2( ) ( ) 1 ( ) ,+ + +k k O khk k k k ,c gh= (Ï2.24) {1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 22 ˆ( ) P 2 (8 ) h V k k k k k kσ σ σ σ = σ σ − π ∑k k k k ( ) }22 2 1 1 3 3 1 1 4 4( ) 1 ( ) .   − σ + σ + σ + σ +   O khk k k k (Ï2.25) Èç (Ï2.24), (Ï2.25) ñëåäóåò îáðàùåíèå â íóëü ðåäóöèðîâàííîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà (4)V â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî 1kh= è óãëó ðàññå- ÿíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì ðåçóëüòàòîì [2g]. Ïðè ðàññìîòðåíèè íåðàñïàäíûõ ïðîöåññîâ óäîáíî ïðîèçâîäèòü êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçî- âàíèå, óñòðàíÿþùåå èç ãàìèëüòîíèàíà H êó- áè÷åñêèå ÷ëåíû, êîòîðûå íå äàþò âêëàäà â âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ïåðâîì ïîðÿäêå òåî- ðèè âîçìóùåíèé. Â äàííîì ñëó÷àå òàêîå ïðå- îáðàçîâàíèå íå ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî âî âñåì k-ïðîñòðàíñòâå èç-çà ïîÿâëåíèÿ ðàñõîäèìîñ- òåé, ñâÿçàííûõ ñ ðàñïàäíûì õàðàêòåðîì ñïåê- òðà â êàïèëëÿðíîé îáëàñòè ïðè .k k> Íî ìîæ- íî ïðîèçâåñòè ïðåîáðàçîâàíèå ê íîâûì ïåðå- ìåííûì, ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàåìîå â âèäå21 ,σ − σ= S SA e a ek k (Ï2.26) òàê, ÷òîáû èñêëþ÷èòü èç ãàìèëüòîíèàíà ëèøü çàïðåùåííûå òðîéíûå ïðîöåññû [2d]. Ïðè ýòîì Aσ k áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò aσ k òîëüêî ïðè .k k< Äëÿ ýòîãî âûäåëèì â 3H (5.11) ñëàãà- åìîå 3,H îòâå÷àþùåå çàïðåùåííûì ïðîöåñ- ñàì. Â íîâûõ ïåðåìåííûõ ãàìèëüòîíèàí ( ) ( )( ) ( ) ( ) −≡ =% S A S AH A H a e H A e íå äîëæåí ñî- äåðæàòü 3.H Ðàñêëàäûâàÿ Se â ðÿä ïî ìàëî- ìó S, ïîëó÷èì [ ]( )2 3 2,= + + +%H H H S H [ ] [ ] 5 2 3 4 1 , , ( ), 2   + + + +    S S H S H H O A (Ï2.27) ãäå êâàäðàòíûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñêîáêó Ïó- àññîíà äåëåííóþ íà i, è âû÷èñëÿþòñÿ ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîîòíîøåíèé: 21Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûâîäå êàíîíè÷åñêîãî ïðåîá- ðàçîâàíèÿ óäîáíî èñïîëüçîâàòü êâàíòîâóþ àíàëîãèþ, ñîïîñòàâëÿÿ ðàññìàòðèâàåìîé êëàññè÷åñêîé ñèñòåìå Áîçå-ãàç ñ ãàìèëüòîíèàíîì (5.11), ãäå aσ k ïðåäñòàâëÿ- þò ñîáîé îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ a+ k è óíè÷òîæåíèÿ a− k ñ ïðàâèëàìè êîììóòàöèè (Ï2.28). Êëàññè÷åñêîìó êà- íîíè÷åñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò óíèòàð- íîå ïðåîáðàçîâàíèå (Ï2.26), ãäå S � àíòèýðìèòîâà ìàò- ðèöà. Ðàñêëàäûâàÿ eS â ðÿä ïî îïåðàòîðàì S, ìîæíî ïðèéòè ê âûðàæåíèþ (Ï2.29), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîé ôîðìå çàïèñè, åñëè êîììóòàíò çàìåíèòü ñêîáêîé Ïóàññîíà (Ï2.28). Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 208 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 { } , 1 , , ( ).′ ′σ σ σ σ ′ ′ ′σ −σ  ′ ′≡ = σ δ δ − a a a a i k k k k k k (Ï2.28) Êàê âèäíî èç (Ï2.27), ÷ëåí 3H èñ÷åçàåò, åñëè îïðåäåëèòü S ðàâåíñòâîì [ ]3 2, 0,+ =H S H (Ï2.29) ÷òî ïðèâîäèò ê 1 2 3 32 1 2 3 2 3 3 1 1 d1d2d3 , 3 σ σ σ σσ σ =   = δ σ    ∑∫ i i i S S a a a1 1k k k k k k k (Ï2.30) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 13 1 . − σ σ σ σ σ σ =   = σ ω    ∑ i i i S Vk k k k k k Ïðåîáðàçîâàíèå (Ï2.26) ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, òàê êàê â ñèëó (Ï2.30) è (5.9) S Sσ −σ= −k k (ò. å. S � àíòèýðìèòîâà, à Se � óíèòàðíàÿ ìàòðèöû). Òàêèì îáðàçîì ïðèõîäèì ê ýôôåêòèâíîìó ãàìèëüòîíèàíó ñ ðåäóöèðîâàííûìè ìàòðè÷íû- ìè ýëåìåíòàìè V% 1 2 3 32 1 2 3 2 3 * 3 1 d 1 d1d2d3 3 i i i H A A V A A Aσ σ σ σσ σ = = ω +   + δ σ +    ∫ ∑∫ 1 1 k k k k k k k k k k k % % 1 2 3 4 32 4 1 2 3 4 2 3 4 3 1 1 d1d2d3d4 , 4 σ σ σ σ σσ σ σ =   + δ σ    ∑∫ % i i i V A A A A1 1k k k k k k k k k (Ï2.31) ãäå íîâûå íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ñî ñòàðûìè ñîîòíîøåíèÿìè: , ,A a S aσ σ σ = −  k k k (Ï2.32) 2 3 2 2 3 2 12 2 0 0 d1d2 .i i i i i i A a V a a − σ σ σ σ σ−σ −σ = =     = +σ δ σ σω        ∑ ∑∫ 1 1k k k k k k kk Ýôôåêòèâíûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàâåí 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 V Vσ σ σ σ σ σ σ σ= +k k k k k k k k % 5 3 4 5 1 2 5 3 4 5 1 2 1 1 2 2 5 5 5 1 1 2 2 5 5 ( )2 ˆ d5 . 4! σ σ σ −σ σ σ δ σ +σ −σ+ σ σ ω +σ ω −σ ω∑ ∫P V Vk k k k k k k k k (Ï2.33) Ïðè ýòîì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò V îòâå÷àåò çàïðåùåííûì ïðîöåññàì: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1,2,3 , åñëè k, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,0, σ σ σ σ σ σ  <=   V k V k k k k k k (Ï2.34) à V V V≡ −% � ðàçðåøåííûì òðîéíûì ïðî- öåññàì. Ñîäåðæàíèå îáçîðà â îáùèõ ÷åðòàõ ñîîò- âåòñòâóåò êóðñó ëåêöèé, ÷èòàâøèõñÿ àâòîðîì â Õàðüêîâñêîì íàöèîíàëüíîì óíèâåðñèòåòå. Â îáçîðå èñïîëüçîâàíû ñîâìåñòíûå ðàáî- òû ñ À. Â. Êàöåì, êîòîðîìó àâòîð áëàãîäà- ðåí çà ñîòðóäíè÷åñòâî. Àâòîð áëàãîäàðåí òàêæå À. Ì. Áóëãàêîâó è À. Ñ. Êîâàëåâó, ïðî÷èòàâøèì ðóêîïèñü è ñäåëàâøèì ïîëåç- íûå çàìå÷àíèÿ. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåð- æêå INTAS (ãðàíò 00-00292). Ëèòåðàòóðà [1] a) Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Ìåõàíèêà. Ìîñêâà, ÃÈÔÌË, 1958, 206 ñ. b) Â. È. Àðíîëüä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè- ÷åñêîé ìåõàíèêè. Ìîñêâà, Íàóêà, 1974, 431 ñ. c) À. Ñ. Áàêàé, Þ. Ï. Ñòåïàíîâñêèé. Àäèàáàòè÷åñêèå èíâàðèàíòû. Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà, 1981, 238 ñ. d) A. Ëèõòåíáåðã, M. Ëèáåðìàí. Ðåãóëÿðíàÿ è ñòîõà- ñòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ìîñêâà, Ìèð, 1984, 528 ñ. e) Ì. È. Ðàáèíîâè÷, Ä. È. Òðóáåöêîâ. Ââåäåíèå â òå- îðèþ êîëåáàíèé è âîëí. Ìîñêâà, Íàóêà, 1984, 432 ñ. f) Ã. Ì. Çàñëàâñêèé. Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìîñêâà, Íàóêà, 1984, 271 ñ. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 209Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 g) Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Ãèäðîäèíàìèêà. Ìîñêâà, Íàóêà, 1986, 736 c. h) Â. Ñ. Ëüâîâ. Íåëèíåéíûå ñïèíîâûå âîëíû. Ìîñê- âà, Íàóêà, 1987, 271 ñ. i) À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ. Ââåäåíèå â íåëèíåé- íóþ ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó. Êèåâ, Íàóêîâà Äóìêà, 1989, 295 ñ. [2] a) Â. Å. Çàõàðîâ. ÆÝÒÔ. 1971, 60, ñ. 1714-1726. b) Â. Å. Çàõàðîâ. Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîôèçèêà. 1974, 17, ¹4, ñ. 431-453. c) Á. Á. Êàäîìöåâ, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Èçâ. âóçîâ. Ðà- äèîôèçèêà. 1974, 17, ¹4, ñ. 511-540. d) À. Â. Êàö è Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. ÏÌÒÔ. 1974, ¹6, ñ. 97-106. e) Â. Ï. Ãîí÷àðîâ, Â. È. Ïàâëîâ. Ïðîáëåìû ãèäðîäè- íàìèêè â ãàìèëüòîíîâîì îïèñàíèè. Ìîñêâà, Èçä. ÌÃÓ, 1993, 197 ñ. f) Â. Å. Çàõàðîâ, Å. À. Êóçíåöîâ. Ãàìèëüòîíîâñêèé ôîðìàëèçì äëÿ íåëèíåéíûõ âîëí. ÓÔÍ. 1997, 167, ¹11, ñ. 1137-1167. [3] a) Ý. Ñêîòò. Âîëíû â àêòèâíûõ è íåëèíåéíûõ ñðåäàõ â ïðèëîæåíèè ê ýëåêòðîíèêå. Ìîñêâà, Ñîâ. ðàäèî, 1977, 368 ñ. b) Â. Å. Çàõàðîâ, Ñ. Â. Ìàíàêîâ, Ñ. Ï. Íîâèêîâ, Ë. Ï. Ïèòàåâñêèé. Òåîðèÿ ñîëèòîíîâ: Ìåòîä îáðàò- íîé çàäà÷è. Ìîñêâà, Íàóêà, 1980, 319 ñ. c) Ñîëèòîíû. Ïîä ðåä. Ð. Áóëëîôà, Ô. Êîäðè. Ìîñêâà, Ìèð, 1983, 408 ñ. d) Ì. Àáëîâèö, Õ. Ñèãóð. Ñîëèòîíû è ìåòîä îáðàò- íîé çàäà÷è. Ìîñêâà, Ìèð, 1987, 480 ñ. f) À. Íüþýëë. Ñîëèòîíû â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Ìîñ- êâà, Ìèð, 1989, 324 ñ. [4] a) Á. À. Äóáðîâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ, À. Ò. Ôîìåíêî. Ñî- âðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1979, 759 ñ. b) Ì. Òîäà. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ðåøåòîê. Ìîñêâà, Ìèð, 1984, 262 ñ. c) Ô. Êàëîäæåðî, À. Äåãàñïåðèñ. Ñïåêòðàëüíûå ïðå- îáðàçîâàíèÿ è ñîëèòîíû. Ìîñêâà, Ìèð, 1985, 469 ñ. d) Ë. À. Òàõòàäæÿí, Ë. Ä. Ôàääååâ. Ãàìèëüòîíîâ ïîä- õîä â òåîðèè ñîëèòîíîâ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1986, 527 ñ. e) Advances in Nonlinear Mathematics and Science. Physica D. 2001, 152-153, pp. 1-822. [5] a) J. W. Miles. J. Fluid Mech. 1957, 3, pp. 185-204. b) Â. Å. Çàõàðîâ. ÆÝÒÔ. 1966, 51, ñ. 1107-1114; ÏÌÒÔ. 1968, ¹2, ñ. 86-94. c) Î. Ì. Ôèëëèïñ. Äèíàìèêà âåðõíåãî ñëîÿ îêåàíà. Ìîñêâà, Ìèð, 1969, 268 ñ. d) Ã. Þýí, Á. Ëåéê. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ãðàâèòàöèîí- íûõ âîëí íà ãëóáîêîé âîäå. Ìîñêâà, Ìèð, 1987, 180 ñ. e) Â. Ï. Êðàñèöêèé. ÆÝÒÔ. 1990, 71, ¹5, ñ. 1644-1655. f) Þ. À. Ñòåïàíÿíö, À. Ë. Ôàáðèêàíò. Ðàñïðîñòðàíå- íèå âîëí â ñäâèãîâûõ ïîòîêàõ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1996, 240 ñ. g) Ñ. Ã. Ãåñòðèí, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ. 1997, 2, ¹4, ñ. 419-438. h) Â. Å. Çàõàðîâ, Â. Ã. Õàðèòîíîâ. ÏÌÒÔ, 1970, ¹5, ñ. 45-49. [6] a) Ã. Ëàìá. Ãèäðîäèíàìèêà. Ìîñêâà, ÃÒÒÈ, 1947, (ðàç- äåë �Ïðåîáðàçîâàíèå Êëåáøà�), ñ. 312-314. b) Á. È. Äàâûäîâ. ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1949, 69, ñ. 165-168. c) C. C. Lin. Liquid helium. Proc. Int. School of physics, Course XXI, Acad. Press, N. Y. (1963). d) R. I. Seliger, G. B. Whitham. Proc. R. Soc. A305, No. 1 (1968). Ïåðåâîä â ñá. Ìåõàíèêà. 1969. ¹5, ñ. 99-123. e) Þ. À. Ñèíèöûí, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Âçàèìîäåéñòâèå äëèííûõ âîëí è ìåëêîìàñøòàáíîé òóðáóëåíòíîñòè. Â ñá. Èññëåäîâàíèÿ òóðáóëåíòíîé ñòðóêòóðû îêåà- íà. Ñåâàñòîïîëü, Èçä. ÌÃÈ ÀÍ ÓÑÑÐ, 1975, ñ. 96. f) Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîôèçèêà. 1976, 19, ñ. 872-879. g) Â. Ì. Êîíòîðîâè÷, Õ. Êðàâ÷èê, Â. Òèìå. Ïðåïðèíò ÈÐÝ ÀÍ ÓCCÐ. Õàðüêîâ, 1980, ¹158, 12 ñ.; Ñá. �Âçàèìîäåéñòâèå è ñàìîâîçäåéñòâèå âîëí â íå- ëèíåéíûõ ñðåäàõ�. ×àñòü II. Äóøàíáå, Èçä-âî Äî- íèø, 1988, ñ. 73-77. h) À. Â. Êàö è Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. ÔÍÒ. 1998, 23, ¹1, ñ. 120-128. i) À. V. Kats. Physica D. 2001, 152-153, pp. 459-474. [7] a) Á. Á. Êàäîìöåâ, Â. È. Êàðïìàí. ÓÔÍ. 1971, 103, c. 193-232. b) Â. È. Êàðïìàí. Íåëèíåéíûå âîëíû â äèñïåðãèðó- þùèõ ñðåäàõ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1973, 175 ñ. c) Á. Á. Êàäîìöåâ. Êîëëåêòèâíûå ÿâëåíèÿ â ïëàçìå. Ìîñêâà, Íàóêà, 1976, 238 ñ. d) Äæ. Óèçåì. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû. Ìîñ- êâà, Ìèð, 1977, 622 ñ. e) Ï. Áõàòíàãàð. Íåëèíåéíûå âîëíû â îäíîìåðíûõ äèñïåðñíûõ ñèñòåìàõ. Ìîñêâà, Ìèð, 1983, 136 ñ. [8] a) Â. Å. Çàõàðîâ, Í. Í. Ôèëîíåíêî. ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1966, 170, ñ. 1292-1295. b) Â. Å. Çàõàðîâ. ÆÝÒÔ. 1966, 51, ñ. 688-696; 1972, 62, ñ. 1745-1759. c) Â. Å. Çàõàðîâ, Ð. Ç. Ñàãäååâ. ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1970, 192, ñ. 297-300. d) À. Â. Êàö è Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. 1971, 14, ñ. 392-395. f) Â. Å. Çàõàðîâ. ÆÝÒÔ. 1976, 71, ñ. 2104-2112. g) À. Â. Êàö è Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. ÆÝÒÔ. 1977, 73, ñ. 2157-2168. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ 210 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 h) À. Â. Êàö è Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Èçâ. âóçîâ. Ðàäèî- ôèçèêà. 1977, 20, c. 1112-1114. i) A. M. Áàëê, Â. Å. Çàõàðîâ, Ñ. Â. Íàçàðåíêî. ÆÝÒÔ. 1990, 98, ñ. 446-467. k) V. E. Zakharov, V. S. L�vov, G. Falkovich. Kolmogorov Spectra of Turbulence. Wave Turbulence. N. Y., Springer-Verlag, 1992, 330 pp. l) Ó. Ôðèø, Òóðáóëåíòíîñòü. Íàñëåäèå Êîëìîãîðîâà. Ìîñêâà, Ôàçèñ, 1998, 345 c. [9] a) L. I. Vinokurov, A. V. Kats and V. M. Kontorovich. J. Stat. Phys. 1985, 38, pp. 217-229. b) A. Cavaliere, S. Colofrancesco and N. Menci. Astrophys. J. 1992, 392, pp. 41-44. c) V. M. Kontorovich. Astron. Astrophys. Trans. 1994, 5, pp. 259-278. d) V. M. Kontorovich, D. S. Krivitsky and A. V. Kats. Physica D. 1995, 87, pp. 290-294. e) D. S. Krivitsky and V. M. Kontorovich. Astron. Astrophys. 1997, 327, pp. 921-929. f) V. M. Kontorovich. Physica D. 2001, 152-153, pp. 676-681. [10] a) È. Ì. Ãåëüôàíä, Á. Ì. Ëåâèòàí. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàò. 1951, 15, ¹4, ñ. 309-360. b) Á. ß. Ëåâèí. ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1956, 106, ñ. 187-190. c) Â. À. Ìàð÷åíêî. ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1955, 104, ñ. 695-698. d) Â. À. Ìàð÷åíêî. Îïåðàòîðû Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà, 1977, 332 ñ. e) N. E. Zabusky, M. D. Kruskal. Phys. Rev. Lett. 1965, 15, p. 240. f) C. S. Gardner, I. M. Green, M. D. Kruskal, R. M. Miura. Phys. Rev. Lett. 1967, 19, pp. 1095-1098. g) Â. Å. Çàõàðîâ, À. Á. Øàáàò. ÆÝÒÔ. 1971, 61, ñ. 118-134. h) Â. Å. Çàõàðîâ. Â êíèãå: È. À. Êóíèí. Òåîðèÿ óïðó- ãèõ ñðåä ñ ìèêðîñòðóêòóðîé. Ìîñêâà, Íàóêà, 1975, ãë. 5, ñ. 226. [11] Ï. Äèðàê. Ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ìîñêâà, Ìèð, 1968, 84 ñ. [12] à) Â. Ë. Ïîêðîâñêèé, È. Ì. Õàëàòíèêîâ. ÆÝÒÔ. 1976, 71, ñ. 1974-1986. b) H. Elze, T. Codama, et al. ArXiv hep-ph / 9809570. [13] a) E. A. Kuznetsov, A. V. Mikhailov. Phys. Lett. 1980, 77A, p. 37. b) H. K. Moffat. J. Fluid Mech. 1981, 106. Ïåðåâîä â cá.: �Ñîâðåìåííàÿ ãèäðîäèíàìèêà (óñïåõè è ïðî- áëåìû)�, Ìîñêâà, Ìèð, 1984, ñ. 49. [14] a) Ë. È. Ñåäîâ. Óñïåõè ìàò. íàóê. 1965, 20, ñ. 121. b) Â. Ë. Áåðäè÷åâñêèé. Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ìå- õàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû. Ìîñêâà, Íàóêà, 1983, 448 ñ. [15] a) M. S. Longet-Higgins. J. Fluid Mech. 1989, 200, pp. 451-470; 1993, 252, pp. 703-711. b) F. Dias, G. Iooss. Physica D. 1993, 65, pp. 399-423. c) Â. Å. Çàõàðîâ, Å. À. Êóçíåöîâ. ÆÝÒÔ. 1998, 113, ñ. 1892. d) Å. À. Êóçíåöîâ. ÆÝÒÔ. 1999, 116, ¹7, ñ. 299-317. e) F. Dias, C. Kharif. Ann. Rev. Fluid Mech. 1999, 31, pp. 301-346. f) M. Perlin, W. Schultz. Ann. Rev. Fluid Mech. 2000, 32, pp. 241-274. g) À. Ì. Êîñåâè÷. ÔÍÒ. 2000, 26, ¹6, c. 620-625. h) A. R. Champneys, B. A. Malomed, J. Yang, D. J. Kaup. Physica D. 2001, 152-153, pp. 340-354. [16] È. Ì. Ëèôøèö. Ôèçèêà ðåàëüíûõ êðèñòàëëîâ è íå- óïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì. Ìîñêâà, Íàóêà, 1987, 552 ñ. [17] Ë. Ä. Ôàääååâ. Ãàìèëüòîíîâà èíòåðïðåòàöèÿ ìåòîäà îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññåÿíèÿ. Â ñá.: Ñîëè- òîíû. Ïîä ðåä. Ð. Áóëëàôà è Ô. Êîäðè. Ìîñêâà, Ìèð, 1983, ñ. 363-379. [18] a) Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Òåîðèÿ ïîëÿ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1988, 512 ñ. b) Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ìîñêâà, Íàóêà, 1980, 704 ñ. c) Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçè- êà. I. Ìîñêâà, Íàóêà, 1974, 584 ñ. [19] a) L. L. Bazelyan, N. Yu. Gonchàrov, V. V. Zaitsev, et al. Solar Physics. 1974, 39, pp. 223-231. b) Ì. Âàí-Äàéê. Àëüáîì òå÷åíèé æèäêîñòè è ãàçà. Ìîñêâà, Ìèð, 1986, 184 ñ. ñ) Ê. À. Ïîñòíîâ. ÓÔÍ. 1999, 169, ¹5, ñ. 545-558. d) Í. Áëîìáåðãåí. Íåëèíåéíàÿ îïòèêà. Ìîñêâà, Ìèð, 1966, 424 ñ. [20] a) Äæ. Áýò÷åëîð. Ââåäåíèå â äèíàìèêó æèäêîñòåé. Ìîñêâà, Ìèð, 1973, 758 ñ. b) Ë. Ì. Ìèëí-Òîìñîí. Òåîðåòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõà- íèêà. Ìîñêâà, Ìèð, 1964, 556 ñ. c) Â. È. Ïåòâèàøâèëè, Î. À. Ïîõîòåëîâ. Óåäèíåííûå âîëíû â ïëàçìå è àòìîñôåðå. Ìîñêâà, Ýíåðãîèç- äàò, 1989, 200 ñ. d) Þ. À. Ñòåïàíÿíö, À. Ï. Ôàáðèêàíò. Ðàñïðîñòðàíå- íèå âîëí â ñäâèãîâûõ ïîòîêàõ. Ìîñêâà, Íàóêà, 1996, 240 ñ. e) Â. Ì. ×åðíîóñåíêî, Â. Ì. Êóêëèí, È. Ï. Ïàí÷åíêî. Ñòðóêòóðû â íåðàâíîâåñíûõ ñðåäàõ. Â ñá.: Èíòåã- ðèðóåìîñòü è êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ñîëèòî- íîâ. Êèåâ, Íàóêîâà Äóìêà, 1990, ñ. 333-416. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû (ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ñ ïðèëîæåíèÿìè... 211Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2001, ò. 6, ¹3 f) Ã. Äèì, Í. Çàáóñêè. Ñòàöèîíàðíûå V-ñîñòîÿíèÿ, èõ âçàèìîäåéñòâèå, âîçâðàò è ðàçðóøåíèå. Â ñá.: Ñî- ëèòîíû â äåéñòâèè. Ïîä ðåä. Ê. Ëîíãðåíà è Ý. Ñêîò- òà. Ìîñêâà, Ìèð, 1981, ñ. 289-304. g) Å. À. Êóçíåöîâ, Â. Ï. Ðóáàí. Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. 1998, 67, ñ. 1050-1020; ÆÝÒÔ, 2000, 118, ñ. 893-905. h) Â. Â. Êîçëîâ. Îáùàÿ òåîðèÿ âèõðåé. Èçä. äîì �Óä- ìóðòñêèé óíèâåðñèòåò�, 1998, 239 ñ. i) Â. Ô. Êîïüåâ, Ñ. À. ×åðíûøåâ. ÓÔÍ. 2000, 170, ¹7, ñ. 713-742. Linear and Nonlinear Waves (an Elementary Introduction to Theory of Hamilton�s Variables with Applications to Plasma Physics and Astrophysics) V. M. Kontorovich By way of examples of volume waves as well as on the surface of a liquid the Hamiltonian variables for continuous media, widely used in plasma physics, hydrodynamics, and field theory are introduced. The regular way of introducing such variables on different kinds of surfaces including media with breaks are considered with the help of a variation principle and canonical transformations. The method of the inverse scat- tering problem is given as the nontrivial example of canonical transformation to variable �action- angle�. The examples of linear and nonlinear instabilities are considered. The second part of the review will be devo- ted to the kinetic equations used for the weak turbulence description, including exact methods of obtaining the nonequilibrium flux distributions. The applications of the kinetic Smoluchowsky equation to the galaxy merging processes and their mass spectrum formation are considered. The nonlocal distributions and partially coherent systems are also considered.

Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)

Репозитарії

Схожі ресурси