Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели

Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели

Предложен аналитический метод определения координат и вектора магнитного момента дипольного источника. Приведены результаты численного моделирования.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2015
Hauptverfasser: Примин, М.А., Недайвода, И.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:Комп’ютерні засоби, мережі та системи
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122838
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 5-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-122838
record_format dspace
spelling irk-123456789-1228382017-07-22T03:03:24Z Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели Примин, М.А. Недайвода, И.В. Предложен аналитический метод определения координат и вектора магнитного момента дипольного источника. Приведены результаты численного моделирования. Запропоновано аналітичний метод визначення координат та вектора магнітного момента дипольного джерела. Наведено результати чисельного моделювання. Analytical method of determination of coordinates and magnetic moment vector of dipole source is proposed. Results of numerical simulation are described. 2015 Article Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 5-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1817-9908 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122838 682.32+537.8 ru Комп’ютерні засоби, мережі та системи Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Предложен аналитический метод определения координат и вектора магнитного момента дипольного источника. Приведены результаты численного моделирования.
format Article
author Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
spellingShingle Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
Комп’ютерні засоби, мережі та системи
author_facet Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
author_sort Примин, М.А.
title Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
title_short Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
title_full Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
title_fullStr Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
title_full_unstemmed Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
title_sort алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2015
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122838
citation_txt Алгоритм аналитического решения обратной задачи магнитостатики для источника поля дипольной модели / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 5-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series Комп’ютерні засоби, мережі та системи
work_keys_str_mv AT priminma algoritmanalitičeskogorešeniâobratnojzadačimagnitostatikidlâistočnikapolâdipolʹnojmodeli
AT nedajvodaiv algoritmanalitičeskogorešeniâobratnojzadačimagnitostatikidlâistočnikapolâdipolʹnojmodeli
first_indexed 2025-07-08T22:35:25Z
last_indexed 2025-07-08T22:35:25Z
_version_ 1837119965857054720
fulltext Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 5 M. Primin, I. Nedayvoda ALGORITHM OF ANALYTICAL SOLUTION OF MAGNETOSTATIC INVERSE PROBLEM FOR DIPOLAR FIELD SOURCE Analytical method of determination of coordinates and magnetic moment vector of dipole source is proposed. Results of numerical simulation are described. Key words: eigen vectors, magne- tostatic. Запропоновано аналітичний ме- тод визначення координат та вектора магнітного момента дипольного джерела. Наведено результати чисельного моделю- вання. Ключові слова: власні вектори, магнітостатика. Предложен аналитический метод определения координат и вектора магнитного момента дипольного источника. Приведены результа- ты численного моделирования. Ключевые слова: собственные векторы, магнитостатика.  М.А. Примин, И.В. Недайвода, 2015 УДК 682.32+537.8 М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ ДЛЯ ИСТОЧНИКА ПОЛЯ ДИПОЛЬНОЙ МОДЕЛИ Введение. Создание магнитометрических приборов на основе СКВИДов (СКВИД – сверхпроводниковый квантовый интерферо- метрический датчик), обладающих уникаль- ной чувствительностью и точностью, послу- жило стимулом к исследованию задач про- странственного анализа слабых магнитных полей [1, 2]. К таким задачам относятся по- иск намагниченных тел под водой (напри- мер, затонувших кораблей), определение ме- сторождений некоторых видов полезных ис- копаемых, обнаружение в земле металличе- ских предметов и инженерных коммуника- ций, исследование магнитных полей биоло- гических объектов, контроль за передвиже- нием транспортных средств, регистрация и анализ магнитных полей различных мате- риалов и т. д. [3]. Понятно, что регистрация величин параметров магнитного поля иссле- дуемых объектов – это лишь техническая часть задачи; другая весьма важная задача – это интерпретация данных измерений, тре- бующая разработки информационной техно- логии (методов и алгоритмов) преобразова- ния полученной информации к виду удобно- му для анализа. Итак, в данных случаях носителем ин- формации об объекте и его характеристиках является магнитное поле, а задача информа- ционной технологии в практических прило- жениях, как правило, – определение и ана- лиз по результатам измерений местополо- жения (координат) источника поля (объекта) М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 6 и его электромагнитных характеристик (например, вектор магнитного момента, или пространственное распределение токов, характеризующих состояние объек- та). Такую задачу и называют задачей локализации источника магнитного сиг- нала. В данной работе, которую мы рассматриваем, как первую из ряда плани- руемых, рассмотрен аналитический метод решения обратной задачи магнитоста- тики для дипольной модели источника сигнала, а приведенные численные при- меры показывают его практическую реализуемость и корректность. Постановка задачи. Система токов в объеме V, ограниченная замкнутой поверхностью S, создает в окружающем пространстве статическое магнитное поле, если: 1) отличен от нуля полный ток системы (проводники с током, электриче- ские цепи и т. д.); 2) при полном токе, равном нулю, отличен от нуля макроскопический маг- нитный дипольный момент (ферромагнитные тела, тела содержащие ферромаг- нитные включения, или тела, у которых появляется полный магнитный момент при наличии внешнего поля); 3) при полном токе и полном магнитном моменте равном нулю, отличен от нуля дипольный магнитный момент элементарной «магнитной» ячейки. Источниками магнитного поля могут быть и токи магнитогидродинамиче- ского происхождения (завихрения, воронки и т. п.), которые появляются, напри- мер, при перемещении объекта в морской воде. Ионизированный под воздейст- вием реактивного двигателя воздух также является источником статического магнитного поля. Тела (объекты), движущиеся в воздушной (водной) среде, становятся элек- трически заряженными за счет ударов о поверхность паров воды, пыли, частиц льда и, таким образом, создают магнитные поля, которые можно зарегистриро- вать СКВИД-магнитометрической аппаратурой. Учитывая, что согласно резуль- татам экспериментов максимальные частоты изменения возникающего электро- магнитного поля не превышают 1000 Гц, для обработки сигналов измерителя с целью определения местоположения источника поля, названные задачи требуют решения обратной задачи магнитостатики. Под обратной задачей в магнитоста- тике понимают нахождение пространственного распределения источников поля по известным (например, измеренным) значениям величин параметров поля. Функциональные связи между параметрами распределения, а также типом ис- точников поля и измеренными значениями величин поля считаются неизвест- ными и их также необходимо установить. Рассмотрим аналитическое решение обратной задачи для случая, когда ис- точник можно аппроксимировать магнитным диполем. Другими словами, точки пространства, где известно или определяется магнитное поле B, расположены по отношению к источнику поля на расстояниях r, значительно превышающих раз- меры источника. Тогда вектор магнитной индукции в точке наблюдения с радиус-вектором r определяется по формуле [4]: АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ… Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 7 B = = − π µ 5 2Μ)(3 4 r rrМr                       − − − π µ z y x zzyzx zyyyx zxyxx M M M rrrrrr rrrrrr rrrrrr r 22 22 22 5 333 333 333 4 , (1) где µ – магнитная проницаемость среды в точке наблюдения; M – полный маг- нитный момент системы токов. Это выражение справедливо для всех классов источников магнитного поля. Поэтому, не снижая общности, можно считать, что вне зависимости от принад- лежности источника к тому или иному классу статическое магнитное поле в точке пространства с радиус-вектором r создано дипольным источником (дипо- лем) с магнитным моментом M, расположенным в начале декартовой системы координат XZY, и имеет вид (1). В немагнитной, непроводящей среде ,0div =++= z B z y B y x B x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ B (2) ,0rot =        ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +        ∂ ∂ − ∂ ∂ = kjiB y Bx x B y x Bz z Bx z B y y Bz где i, j, k – базисные векторы системы координат XZY [4]. Прямым дифференцированием (1) по пространственным координатам полу- чим все соотношения для первых и вторых производных вектора магнитной ин- дукции магнитного поля в воздухе. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2523252252 2522525 2522523252 2525252 5252252 74 03                                         ⋅ −−− −−− −−− −−− −−− π µ = ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ zM yM xM zrzrryrzrrxrzrr yrzrrzryrrzryrxr zryrryryrrxryrr zrzrrzryrxrzrxrr zryrxrxryrryrxrr r zzB zyB yyB zxB yxB (3) М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 8 )4(. 435 223043 )2327(5)2327(5 )2327(52235225 2254 )227(5 2235225 2254 )237(5)227(5 )2327(5435 223043 )2327(5 )227(5)227(5)227(5 )227(5)2327(52235225 2254 2235225 2254 )227(5)2327(5 )227(52235225 2254 )2327(5 )237(5)2327(5435 223043 94 03 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                                                                     ⋅ + +− −− − +− −− − +− −− −− − + +− − −−− −− +− −− +− −− −− − +− −− − −− + +− π µ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ zM yM xM zr zrrr rzrzryrrzrzrxr rzryrxr zryrzrr yrrr rzryrxr zryrzrr yrrr ryrzryrryrzrxr ryrzryr yr yrrr ryryrxr rzryrxrrzryrxrrxrzryr ryrzrxrryryrxr yrxryrr xrrr zrxrzrr xrrr rxrzryrrxrzrxr rxrzryr yrxrxrr yrrr rxryrxr rxrzrxrrxryrxr xr xrrr r z zB z yB zy yB y yB zy xB y xB zx xB yx xB x xB Обратная задача может быть сформулирована так: по известному (измерен- ному) в одной или нескольких точках пространства вектору магнитной индук- ции и его пространственным производным найти радиус-вектор указанных то- чек в системе координат связанной с источником магнитного поля, и дипольный магнитный момент источника. Решение обратной задачи для дипольной модели источника магнитного сигнала. Аналитическое решение обратной задачи для дипольного источника получим, используя математический аппарат собственных векторов [5]. Вначале покажем, что матрицы первых 1D̂ и вторых 2D̂ пространственных производных вектора В обладают свойствами, позволяющими получить полное аналитическое решение поставленной задачи. Итак, матрица 1D̂ имеет вид: ,ˆ 1               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = z B z y B z x B z z B y y B y x B y z B x y B x x B x D (5) где Bx, By, Bz – соответствующие компоненты вектора B. АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ… Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 9 Известно, что в непроводящей, немагнитной среде [4] для вектора магнит- ной индукции выполняются условия (2). А это значит, что матрица первых пространственных производных вектора магнитной индукции 1D̂ , (5) симмет- рична и не имеет следа. Иными словами, из девяти элементов 1D̂ независимы- ми являются лишь 5 – 3 недиагональных дВx/ду, дВx/дг, дВу /дz и 2 диаго- нальных – дВу /дy и дВx/дx. Из симметрии матрицы 1D̂ и условия Tr ( 1D̂ ) = 0 следует, что ее собственные значения λi ( i =1,2,3), определяемые характеристи- ческим уравнением ,02 )( 22 22223 =−−++ +−−−−++λ+λ zzyyxxyzxzxyxyzzxzyy yzxxyzxzxyzzyyzzxxyyxx BBBBBBBBBB BBBBBBBBBBB (6) где Bij = ∂Bi /∂rj, действительны и различны, а сумма их равна нулю (λ1 + λ2 + + λ3 = 0). Это, в свою очередь, означает, что собственные векторы матрицы 1D̂ ui =           γ β α i i i =             −λ−λ− −λ+ −λ+ 2))(( )( )( xyiyyixx yzxxixyxz xzyyixyyz BBB BBBB BBBB i = 1, 2, 3, (7) взаимно ортогональны u1 ∙ u2 = u1 ∙ u3 = u2 ∙ u3 = 0. После нормирования собственные векторы могут быть выбраны в качестве базиса, причем в этом новом базисе матрица D имеет диагональный вид , 00 00 00 ˆ 3 2 1 1             λ λ λ =D (8) а координаты радиуса-вектора произвольной точки пространства в новой систе- ме координат (ξi , i = 1, 2, 3 ) связаны с координатами радиуса-вектора этой же точки в декартовой системе координат XYZ (ξj; j = x, y, z) следующими соот- ношениями:                             ξ ξ ξ γ+β+αγγ+β+αγγ+β+αγ γ+β+αβγ+β+αβγ+β+αβ γ+β+ααγ+β+ααγ+β+αα = ξ ξ ξ 3 2 1 2 3 2 3 2 3/3 2 2 2 2 2 2/2 2 1 2 1 2 1/1 2 3 2 3 2 3/3 2 2 2 2 2 2/2 2 1 2 1 2 1/1 2 3 2 3 2 3/3 2 2 2 2 2 2/2 2 1 2 1 2 1/1 z ’y x , (9) где αi, βi, γi определяются из (7). М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 10 Соотношения (7) – (9) позволяют получить решение задачи, если в произ- вольной точке пространства известны независимые элементы матрицы D , и од- на из компонент вектора магнитной индукции, например, Bx. Тогда из (3) для ∂B/дх в новой системе координат, базисом которой являют- ся нормированные собственные векторы матрицы 1D̂ находим вектор, пропор- циональный вектору М: , 4 3 4 M r M π µ = . 5 5 55 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3 1                      −      −      −− λ= rrr rrr rrrr r M (10) Здесь r1≠ 0 (детерминант (3) не равен нулю). Сделав подстановку (10) в (3), оставляя линейно независимые и приводя по- добные слагаемые, получаем            =         −λ−    −λ    −+ +         −λ−    −λ    −+ +         −λ−    −λ    −− = ,0515151 535151 5351551 ,0 2 21 2 12 2 1 2 3 2 21 2 12 2 1 2 2 2 12 2 21 2 3 2 2 2 1 321 nnnn nnnn nnnnn nnn (11) где n1= r1/r, n2= r2/r, n3= r3/r – направляющие косинусы радиуса-вектора r в новой системе координат. Анализ системы (10) – (11) приводит к следующим решениям: );(cos 1 1 1 θ== r rn );cos(1 1 θ== r r n );sin(2 θ=n 3 0n = ; ; 2 sin 12 212 λ−λ λ+λ=θ ; 1 15 12 1 2 2 11 n n n M + − λ= (12) ; 1 51 22 1 2 1 12 n n n M + − λ= .03 =M Соотношения (12) позволяют найти nx, ny, nz, Mx, My, Mz в заданной системе координат XYZ, а затем определить расстояние r по измеренной компоненте Вx: АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ… Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 11 [ ] ,)333(3 1−−++= xxzzyyxxx MnnMnMnMBr (13) что является полным аналитическим решением обратной задачи. Полученное решение, как показывает анализ, неоднозначно и ведет к четырем физически возможным значениям вектора n в новой системе координат, а именно .0, 2 , 2 12 21 2/1 21 21 2/1             λλ λ+λ ± λλ λ−λ ±=       −      − n (14) Этот результат, в свою очередь, дает 4 возможных значения векторов r и M, лежащих, однако, попарно в различных октантах системы координат XYZ. Чтобы устранить “ложные” решения, необходимо иметь дополнительную информацию, например, аналогичные результаты решения обратной задачи для того же источника, но в точке наблюдения с другим (отличным от r) радиусом- вектором. Алгоритм выделения “истинного” решения в этом случае очевиден, хотя реализация его имеет ряд технических особенностей, связанных с выбором минимального числа точек измерения [6]. Метод решения по известной матрице вторых пространственных про- изводных вектора магнитной индукции. Рассмотрим свойства матрицы вто- рых пространственных производных вектора магнитной индукции .ˆ 2 2 222 2 2 22 22 2 2                 ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = z Bx zy Bx zx Bx yz Bx y Bx yx Bx xz Bx xy Bx x Bx D (15) В непроводящей, немагнитной среде вектор магнитной индукции является аналитической функцией координат. Поскольку для вторых производных анали- тических функций справедливо условие ∂2ƒ/ ∂ri∂rj = ∂2ƒ / ∂rj∂ri (i,j = x,y,z ), то матрица 2D̂ симметрична. Кроме того, из симметричности и равенства нулю следа матрицы 2D̂ следует равенство нулю следа матрицы 2D̂ . Действительно, .0 22 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ == ∂∂ ∂+ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂       z B z y B y x B x xzx B z yx B y x B x z B x y B x x B x (16) Поэтому собственные значения и собственные векторы матрицы 2D̂ обла- дают теми же свойствами, что и аналогичные величины для матрицы 1D̂ . Следо- вательно, для определения собственных значений, собственных векторов, а так- М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 12 же матрицы перехода из новой системы координат в исходную (XYZ) могут быть использованы соотношения (6) – (9), если положить в них Вij = ∂2Bx / ∂ri ∂rj . Покажем, что перечисленные свойства матрицы 2D̂ позволяют найти пол- ное решение обратной задачи магнитостатики, если в произвольной точке про- странства с радиусом-вектором r известны независимые элементы матрицы 2D̂ вторых производных х-й компоненты вектора магнитной индукции, а также одно из значений первых пространственных производных того же вектора, на- пример, ∂Bx/∂x. Вводя обозначение M r M 5 0 4 3 π µ = для вектора, пропорционального вектору магнитного момента, из (6) получаем в новой системе координат . )32 17(315 )32 17(215 )12 17(52 151 4 12012 1           −− −− −+−− + λ −= nnn nnn nn n M (17) Подставляя (17) в (4), оставляя линейно независимые уравнения и приводя подобные, получаем [ ] [ ]{ [ ] } { } { }         =−λ− −−λ−−−λ− −−λ−− −−+−λ− −−+−λ−−+− =+ .0)32 17(3152 )12 27(3151)32 17(315)32 17(2152 )32 27(2151)32 17(215 )32 17(2 15)2 151(32 )12 17(2 252 1511)2 11)(12 17(52 151 ,0)2 1124(325 nnn nnnnnnnnn nnnnnn nnn nnnnnn nnn (18) Решения этой системы имеют вид ( ) ( ) ;− − + = − −1 5 10 3 51 2 1 4 1 1 4 2n n nλ λ 2 0n = ; 3 2 1 21n n= − ; (19) ( ) ( ) ;4 5 5 3 51 2 1 4 1 1 4 2+ − = − −n n nλ λ 2 2 1 21n n= − ; 3 0n = . (20) По найденным в новой системе координат величинам x y zn n n M M M, , , , ,1 2 3 с помощью соотношений перехода (9) получаем величи- АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ… Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 13 ны nx, ny, nz, Mx, My, Mz в заданной системе координат, а затем из (3) – расстоя- ние до дипольного источника [ ] 1222 )51()51()53( − −+−+− ∂ ∂ = MnnMnnMnnx Br zzxyyxxxx x , (21) что и дает полное решение задачи. Численный пример. Определение направляющих косинусов. Пусть в точке пространства с радиусом-вектором r = i4 + j2 + k0 [м] известны значения вто- рых пространственных производных х-й компоненты вектора магнитной ин- дукции, созданного источником с магнитным моментом М = j ∙ 1000 (А м2) и равным Bxx= 87.26∙10-8; Byy = –53.7∙10-8; Bxy = 26.85•10-8; Bxz = Byz = 0. Собственные значения матрицы 2D̂ , элементами которой являются эти ве- личины, равны λ1 = 92.2 ∙10-8, λ2 = –58.64 ∙10-8, λ3 = –33.56 ∙10-8, а мат- рица перехода имеет вид 0 98 018 0 018 0 98 0 0 0 1 . . . . .−           Подставляя величины собственных значений в соотношения (19), (20), по- лучаем 4 физически возможных решения для вектора направляющих косинусов в новой системе координат n = (0,95; 0,32; 0). С помощью матрицы перехода для вектора n = (0,95; –0,32; 0) находим вектор направляющих косинусов в за- данной системе координат n = (0,87; 0,48; 0), что практически совпадает (с точ- ностью до погрешности вычислений) с заданными значениями. Можно показать, что полное решение обратной задачи магнитостатики для дипольного источника, аналогичное (17) – (21), существует, если в произволь- ной точке пространства с радиусом-вектором r измеряют независимые элементы матрицы вторых пространственных производных у-й или z-й компонент вектора магнитной индукции и отличную от нуля компоненту матрицы первых произ- водных, например, дВу / ду или дВz / дz. В случае измерения ∂2By /∂ri ∂rj решения имеют вид 1 2 2 21n n= − ; ;)53()554( 1 4 22 4 2 2 2 λ−−=λ−+ nnn 3 0n = ; (22) 1 0n = ; ;)53()1051( 1 4 22 4 2 2 2 λ−−=λ+−− nnn 3 2 2 21n n= − . (23) ; )37(5 )1)(17(551 )37(5 2012 2 232 2 2 2 2 2 2 2 221 4 2 2               −− −−+− −− + λ−= nnn nnn nnn n M (24) М.А. ПРИМИН, И.В. НЕДАЙВОДА Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 14 [ ] .)51()53()51( 1222 − −+−+− ∂ ∂ = MnnMnnMnny Br zzyyyyxxy y (25) При измерении ∂2Bz /∂ri ∂rj решения запишем так: 1 2 3 21n n= − ; ;)53()554( 1 4 33 4 3 2 3 λ−−=λ−+ nnn 2 0n = ; (26) 1 0n = ; ;)53()1051( 1 4 33 4 3 2 3 λ−−=λ+−− nnn 2 2 3 21n n= − ; (27) ; )2 31)(12 37(52 351 )32 37(325 )32 37(315 4 32012 3             −−+− −− −− + λ−= nnn nnn nnn n M (28) [ ] .)53()51()51( 1222 − −+−+− ∂ ∂ = MnnMnnMnnz Br zzzyyzxxz z (29) Таким образом, мы получили 4 варианта аналитического решения задачи, исходя из метода собственных векторов, который был впервые применен в [7]. Алгоритм обработки информации в общем виде можно представить в виде трех последовательных этапов: - определение λi , αi , βi , γi элементов матрицы перехода; нахождение парамет- ров источника магнитного поля ;,,,,,,,,,, 321321 MMMnnnMMMnnn zyxzyx вычисление расстояния до источника поля. Обсуждение. Отметим теперь некоторые особенности алгоритма. При опи- сании метода обозначения для измеряемых характеристик были выбраны таким образом, что соотношения (6)–(8) для определения собственных значений, соб- ственных векторов и матрицы перехода являются общими для всех четырех ре- шений. Это значит, что реализация первого этапа не зависит от режима изме- рений параметров магнитного поля (измеряют элементы матрицы 1D̂ или одной из матриц 2D̂ ), является универсальной и может быть зафиксирована программ- ными или аппаратными средствами. Поскольку векторы n и M в новой системе координат являются функциями только собственных значений, то для определения параметров объекта (этап 2) измеренные характеристики магнитного поля непосредственно не используются. При вычислении расстояния до источника используются характеристики маг- нитного поля, степень однородности которых на единицу меньше, чем у характери- стик, используемых для определения направляющих косинусов и вектора M. Следо- вательно, автоматически снимается неоднозначность, связанная с “масштабировани- ем” характеристик магнитного поля. Этим же обусловлен и тот факт, что при опреде- лении расстояния до объекта из четырех решений для векторов n и M в большинстве случаев физически возможными остаются лишь два симметричных относительно начала координат (два других приводят к отрицательным значениям расстояния). АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ… Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 15 Заметим, что при практической реализации методов решения обратной задачи, величины характеристик магнитного поля объекта известны с некоторой погрешно- стью. Величина этой погрешности определяется условиями проведения измерений – наличием индустриальных помех, удаленностью измерительных катушек от энер- гоемкой аппаратуры, наличием или отсутствием геомагнитных аномалий и т. д. Та- ким образом, наличие случайных погрешностей измерений при решении задачи локализации источника сигналов приводит к двум основным следствиям: - задача регистрации величин характеристик магнитного поля объекта при- обретает вероятностный характер; - в процессе преобразования измерительной информации, согласно предла- гаемым методам, погрешность измерений переходит в погрешность конечных результатов. Поэтому, при практическом использовании алгоритмов локализации объек- та, в условиях магнитных шумов необходимо, вначале обеспечить условия для обнаружения источника сигналов, а затем – найти и оценить доверительную ве- роятность решения обратной задачи с заданной погрешностью. Решение этих задач зависит от учета многих факторов: соотношения сигнал-шум; уровня соб- ственных шумов измерительных каналов; разрешения по магнитному полю маг- нитометрической системы и т. д. Эти вопросы исследованы, а часть их, приме- нительно к задачам магнитокардиографии опубликована [8]. 1. Stroink G., Lamothe M.J., Gardner M.J.. Magnetocardiographic and electrocardiographic mappig studies // SQUID Sensors: Fundamentals, Fabrication and Applications / H. Weinstok (eds.). –Kluwer Academic Publishers. – 1996. – P. 413–444. 2. Erne S.N., Lehmann J. Magnetocardiography, an introduction // SQUID Sensors: Fundamen- tals, Fabrication and Applications / H. Weinstok (eds.). – Kluwer Academic Publishers. – 1996. – P. 395–412. 3. Слабая сверхпроводимость. Квантовые интерферометры и их применение. – Под ред. Б.Б. Шварца, С. Фонера. – М.: Мир, 1980. – 256 с. 4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. – 614 с. 5. Bendat J.S. and Piersol A.G.. Random Data : Analysis and Measurement Procedures – N.Y., Wiley-Interscience. – 1986. 6. Гуменюк-Сычевский В.И., Примин М.А., Недайвода И.В. Математическая модель и алго- ритмы измерений в задаче локализации дипольного источника // Электронное модели- рование. – 1992. – Т. 14, № 5. – С. 78 – 84. 7. Wynn W.M.. Advanced superconducting gradiometer / magnetometer arrays and a novel signal processing technique. – IEEE Trans. Magn. – 1975. – V. 11. – P. 701 – 707. 8. Примин М.А., Недайвода И.В. Алгоритм решения обратной задачи магнитостатики в магнитокардиографии: новые подходы и результаты // Электронное моделирование. – 2006. – Т. 28, № 3. – С. 99 – 116. Получено 29.09.2015

Ähnliche Einträge