Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів

Розглянуто проблему ідентифікації параметрів математичних моделей динамічних процесів, які можуть бути описані звичайними диференціальними рівняннями та системами рівнянь. На прикладі математичних моделей динамічного формування ринкової вартості однієї акції та портфеля цінних паперів розроблено алг...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Гаращенко, Ф.Г., Кулян, В.Р., Юнькова, О.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Series:	Системні дослідження та інформаційні технології
Subjects:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123486
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів / Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 34-42. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123486
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1234862017-09-07T03:02:52Z Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Гаращенко, Ф.Г. Кулян, В.Р. Юнькова, О.О. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Розглянуто проблему ідентифікації параметрів математичних моделей динамічних процесів, які можуть бути описані звичайними диференціальними рівняннями та системами рівнянь. На прикладі математичних моделей динамічного формування ринкової вартості однієї акції та портфеля цінних паперів розроблено алгоритми побудови оптимальних значень параметрів таких моделей. Алгоритми параметричної ідентифікації та оптимізації ґрунтуються на ітераційних процедурах, які дозволяють на кожному кроці формувати «кращі» з точки зору вибраних критеріїв якості значення параметрів моделі. Гарантовані оцінки параметрів будуються у класі еліпсоїдальних множин, які, на прикладі математичних задач фінансового аналізу, дозволяють отримати гарантовані фінансові показники інвестиційної діяльності. Рассмотрена проблема идентификации параметров математических моделей динамических процессов, которые когут бать описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами таких уравнений. На примере математических моделей динамического формирования рыночной стоимости одной акции и портфеля ценных бумаг разработаны алгоритмы построения оптимальних значений параметров таких моделей. Алгоритмы параметрической идентификации и оптимизации основаны на итерационных процедурах, которые позволяют на каждом шагу формировать «лучшие» с точки зрения выбраных критериев качества значения параметров модели. Гарантированные оценки параметров строяться в классе эллипсоидальных множеств, которые позволяют получить гарантированные финансовые показатели инвестиционной деятельности на примере математических задач финансового анализа. The problem of identification of parameters of mathematical models of dynamic processes is considered that can be described by ordinary differential equations and systems of such equations. Using an example of mathematical models of dynamic formation of the market value per share and stock portfolio, algorithms were developed for constructing the optimal values of parameters of such models. The algorithms for parametric identification and optimization are based on iterative procedures that allow, at each step, to obtain “the best” values of model’s parameters based on selected quality criteria. Guaranteed parameters’ estimations are built in the class of ellipsoidal sets that allows to obtain the guaranteed financial performance of investment operations using the mathematical problems of the financial analysis as an example. 2015 Article Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів / Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 34-42. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123486 517.925.51 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Гаращенко, Ф.Г. Кулян, В.Р. Юнькова, О.О. Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Системні дослідження та інформаційні технології
description	Розглянуто проблему ідентифікації параметрів математичних моделей динамічних процесів, які можуть бути описані звичайними диференціальними рівняннями та системами рівнянь. На прикладі математичних моделей динамічного формування ринкової вартості однієї акції та портфеля цінних паперів розроблено алгоритми побудови оптимальних значень параметрів таких моделей. Алгоритми параметричної ідентифікації та оптимізації ґрунтуються на ітераційних процедурах, які дозволяють на кожному кроці формувати «кращі» з точки зору вибраних критеріїв якості значення параметрів моделі. Гарантовані оцінки параметрів будуються у класі еліпсоїдальних множин, які, на прикладі математичних задач фінансового аналізу, дозволяють отримати гарантовані фінансові показники інвестиційної діяльності.
format	Article
author	Гаращенко, Ф.Г. Кулян, В.Р. Юнькова, О.О.
author_facet	Гаращенко, Ф.Г. Кулян, В.Р. Юнькова, О.О.
author_sort	Гаращенко, Ф.Г.
title	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
title_short	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
title_full	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
title_fullStr	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
title_full_unstemmed	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
title_sort	ідентифікація параметрів моделей динаміки активів
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123486
citation_txt	Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів / Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 34-42. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT garaŝenkofg ídentifíkacíâparametrívmodelejdinamíkiaktivív AT kulânvr ídentifíkacíâparametrívmodelejdinamíkiaktivív AT ûnʹkovaoo ídentifíkacíâparametrívmodelejdinamíkiaktivív
first_indexed	2025-07-08T23:44:58Z
last_indexed	2025-07-08T23:44:58Z
_version_	1837124354668756992
fulltext	 Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова, 2015 34 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 TIДC ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ, ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ УДК 517.925.51 ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІКИ АКТИВІВ Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, В.Р. КУЛЯН, О.О. ЮНЬКОВА Розглянуто проблему ідентифікації параметрів математичних моделей динамічних процесів, які можуть бути описані звичайними диференціальними рівняннями та системами рівнянь. На прикладі математичних моделей динамічного формування ринкової вартості однієї акції та портфеля цінних паперів розроблено алгоритми побудови оптимальних значень параметрів таких моделей. Алгоритми параметричної ідентифікації та оптимізації ґрунтуються на ітераційних процедурах, які дозволяють на кожному кроці формувати «кращі» з точки зору вибраних критеріїв якості значення параметрів моделі. Гарантовані оцінки параметрів будуються у класі еліпсоїдальних множин, які, на прикладі математичних задач фінансового аналізу, дозволяють отримати гарантовані фінансові показники інвестиційної діяльності. ВСТУП Сучасне прикладне математичне моделювання оперує різними підходами до обчислення параметрів за визначеної структури математичних моделей. До найбільш відомих та поширених методів ідентифікації параметрів дискрет- них та неперервних моделей відносять:  методи коваріаційно-дисперсійного аналізу;  методи імітаційного моделювання;  підходи, що ґрунтуються на принципах теорії стійкості;  підходи, що ґрунтуються на методах аналізу чутливості розв’язків;  методи мінімаксної ідентифікації. Разом з тим, в силу складності структури моделі, нелінійного характеру процесів, що моделюються, а також інших факторів, часто доводиться звер- татись до комп’ютерного моделювання, яке дає можливість шляхом перебо- ру великої кількості моделей-претендентів будувати комп’ютерні образи моделей методами самоорганізації або імітаційного моделювання. Під складністю параметрично заданої моделі будемо розуміти розмірність век- тора параметрів, а основним принципом імітаційного моделювання будемо вважати «чим складніша модель, тим вона точніша», на відміну від основно- го принципу самоорганізації моделі про «існування моделі оптимальної складності». Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 35 Такі підходи, до яких можна віднести методи типу нейромереж або групового урахування аргументів, часто застосовують і в ході розв’язання задач моделювання складних та взаємопов’язаних економічних процесів, у тому числі математичних задач фондового ринку та банківського сектору економіки. Мета роботи — аналіз якісних характеристик нових математичних мо- делей динаміки активів на фондовому ринку. ПОБУДОВА ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ ЦІНОУТВОРЕННЯ НА ФОНДОВОМУ РИНКУ Як показано в роботах [1] та [2], математична модель формування ринкової вартості акції та портфеля акцій у загальному вигляді можуть бути записані так ),,,( trf dt dr r i i i  ,)( 00 rtri  ],,[ 0 Ttt ,,1 ni  (1) і ),,,,,( trrxxrfr iiiip p p   (2) відповідно, та є заданими параметрично. Тут ir — очікувана ринкова вартість акції; pr — очікувана ринкова вартість інвестиційного портфеля; ix — частка акцій i -го виду у портфелі; t — час. Важливою математичною задачею, розв’язок якої використовується для коректного формулювання задачі про побудову оптимальної структури інвестиційного портфеля, є задача ідентифікації оптимальних значень па- раметрів ij ,, 21 математичних моделей формування ринкової вартості однієї акції [1], [2] та портфеля акцій [3]. Задача про оптимізацію портфеля акцій з точки зору його прибутковос- ті у статичному випадку має вигляд .max 1 x n i iip rxr   У ході практичного інвестування вона розглядається у такій постановці ,max)()()( )(1 tXx n i iip TrTxTr   ,)( 00 pp rtr  ],[ 0 Ttt і полягає у побудові оптимального за прибутковістю у кінцевий момент ча- су інвестиційного портфеля, де )(tX — обмежена замкнута множина акцій. Праві частини рівнянь системи (1) є лінійними і залежать від парамет- рів. Для забезпечення можливості її інтегрування )),()())()(( 321 trtrtItSM dt dr jiind i   nji ,1,  побудуємо процедуру їх визначення. За різних постановок задачі за вектор параметрів можна розглядати ве- ктори ),,( 21 ij  або ).,( 21   Перше формулювання вектора па- Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 36 раметрів будемо застосовувати у випадку, коли інформація щодо ринко- вої вартісті акцій є «зашумленою». У випадку, коли ринкова вартість акцій адекватно відображає динаміку ринку, застосовують друге формулювання. Алгоритм 1 Скористаємось при цьому відомою статистичною інформацією про ди- наміку ринкової вартості відповідних акцій i r )(t . На основі аналізу такої динаміки розіб’ємо інтервал інтегрування на пі- дінтервали ....210 Ttttt  Будемо шукати оптимальні на підінтервалах значення параметрів . Для цього на початковому підінтервалі для i -ї акції і для обраного значення параметра 0 розв’яжемо задачу Коші ),,,()( 0trftr ii  ,)( 00 ii rtr  ).,[ 10 ttt Далі з метою отримання оптимального значення вектора параметрів  сформулюємо оптимізаційну задачу ,))(),),(((minarg 2 0 0 trttrr iii A     (3) де ),),(( 0 0 ttrr ii — розв’язок задачі Коші для ринкової вартості i -ї акції на першому інтервалі; )(tri — програмна або бажана траєкторія; A — обме- жена замкнута множина параметрів моделі. Таким чином, можемо визначи- ти оптимальне, у розумінні критерія якості (3), значення параметрів моде- лі (1) на першому інтервалі. Сформулюємо та розв’яжемо аналогічні задачі на інших інтервалах розбиття. На k -му кроці алгоритму процедура розра- хунку оптимальних значень параметрів динамічної моделі є такою: 1. Розв’язуємо задачу Коші ),,()( * 1 kii trftr  , ,)( 11   kiki rtr ),,[ 1 kk ttt  .,1 ni  (4) Маємо можливість сформувати траєкторію руху системи із точки 1kt до точки kt при значенні параметра * 1k . При цьому значенням функції у момент часу kt буде .kr 2. Оптимізуємо параметр  системи на цьому інтервалі. Для цього сформулюємо та розв’яжемо оптимізаційну задачу .))(),),(((min 2* 11 0* trttrrarg ikki A k      (5) Розв’язком задачі (5) для вибраного k буде значення параметра ,* k що дозволяє оптимально перейти із точки 1kr у точку kr . Наведена вище процедура дає можливість на основі відомої статистичної інформації визна- чити послідовність значень параметрів  математичної моделі для моделю- вання поведінки та прогнозування очікуваної прибутковості акції ir в обра- ні моменти заданого інвестором інтервалу часу. Варто відмітити, що у ході розбиття інтервалу інтегрування необхідно враховувати також значення складових вектора станів системи для корект- ного застосування знайдених параметрів при розв’язанні відповідних траєк- торних задач. Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 37 Алгоритм 2 Розглянемо рівняння формування динаміки ринкової вартості однієї акції у вигляді ),()()())()(( )( 1 21 ttrtrtItSM dt tdr i n j iijiind i     .,1 ni  (6) Тут 21, — параметри моделі; ij — враховує кореляційні залежно- сті між акціями, 11  ij ; i — вектор збурень. У випадку, якщо const, 21  для обраного i із (6) можемо отримати    n j ijind trtItSM 1 21 )())()((  dt dr t )( (7) Якщо вектори ,, rr є доступними для визначення, то (7) можна роз- глядати як прямий алгоритм ідентифікації параметрів математичної моделі. Похибка ідентифікації лінійно залежить від похибок визначень ., r Аналіз (7) вказує на те, що вплив похибок визначень r на оцінювання параметрів збільшується, якщо рівняння системи погано обумовлені, тобто коли матри- ця R близька до особливої, а визначник цієї матриці \|\| R близький до 0. Для того, щоб рівняння   RR , (8) де , ... 2 1              nr r r R              nr r r R     ... 2 1 , було добре обумовленим, то необхідно, щоб )(tri були незалежними. Якщо ж процес є стохастичним, то ця умова зводиться до некорельованості значень )( itr , .,1 ki  Подальша процедура ідентифікації параметрів моделі зводиться до отримання розв’язку рівняння (8) для різних моментів часу ],[ 0 Ttt . Розв’язки рівняння (8) для 2k моментів часу дають можливість отримати систему із 2k алгебраїчних рівнянь відносно невідомих параметрів моде- лі. Розглянувши   n j ij 1  як параметр моделі, маємо можливість уточнити ко- реляційні залежності між акціями на збуреному фінансовому ринку. Недоліком першої частини алгоритму є те, що в ньому відсутнє осеред- нення або згладжування змінних, оскільки мають місце не лише ринкові, але й спекулятивні операції. Це може викликати великі похибки результатів обчислень у випадках, коли величини ,, rr спостерігаються у поєднанні зі збуреннями. Помножимо (8) зліва на Tr та осереднимо за інтервалом ],[ 0 Ttt . 111 000   T t T T t T T t T dtr T rdtr T dtrr T  Вважаючи, як і раніше, що 21, const, отримаємо Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 38  . 1 000                    T t T T t T T t T rdtrdtrrdtr  Модифікацією цього підходу може слугувати алгоритм розрахунку се- редніх значень параметрів на відрізку ],[ 00 kTtt  за достатньо значної їх зміни в межах вказаного інтервалу  . 1 000                    k o k o k o Tt t T Tt t T Tt t T rdtrdtrrdtr  Алгортим 3 Іншим підходом до розв’язання задачі параметричної ідентифікації є застосування функцій чутливості. Розглянемо задачу про побудову функ- цій чутливості для моделей ціноутворення однієї акції та портфеля акцій. Для зручності перетворень праву частину позначимо через ),,,( rtf де ).,( 21   Також вважатимемо, що мають місце початкові умови ),()( 000 rrtr  )(00 tt  , а також, що  є скаляром й 1  , оскільки за короткотермінового моделювання динаміки формування ціни акції 2 є сталою. У такій постановці ij — коефіцієнти кореляції між акціями, які можна обчислити на основі відомої статистичної інформації. Згідно [1], за умови, що права частина (1) неперервна за своїми аргументами і неперервно- диференційована за ,,r а також за неперервної диференційованості функцій 00 , tr за 1 існує неперервна похідна . ),( ),( 1 1 1      tr tu Ця похідна задовольняє диференціальному рівнянню 1 11 ),,(),,(         trf u r trf dt du (9) за початкової умови . )( )),(),(( )( )( 1 10 11010 1 10 0      d dt trf d dr tu  (10) Рівняння (10) отримано прямим диференціюванням за 1 , а початкова умова — із диференціювання інтегрального рівняння   t t trdrftr )( 100111 10 ),(),),,((),(   і має вигляд                               d trf u r rf tr tu t t )( 1 11 1 11 1 1 1 10 ),),,(( ),( ),),,(( ),( ),( Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 39 +  1 10 )(   d dr . )( )),(),),((( 1 10 110110    d dt ttrf (11) Початкову умову для функції чутливості )( 0tu отримаємо, поклавши в (10) 0tt  . Отже, для (1) визначено початкову умову та функцію чутливості, що описує залежність ціни акції від параметра 1 . Застосуємо функцію чутливості до ідентифікації параметрів 21, математичної моде- лі (1). Математична задача має такий вигляд ,))(),,((min 2 21 , 21 tztr ii   ].,[ 0 Ttt Тут )(tzi — спостереження за поведінкою ціни акції на ринку. У процесі розв’язання задач прогнозування або керування у наведених вище прикладних сферах є необхідність розробляти алгоритми та методи для отримання гарантованих фінансових результатів. Прикладом такого пі- дходу може бути розробка методології Value at Risk, а підтвердженням ак- туальності — її загальне визнання як надійного математичного інструменту прийняття інвестиційних рішень. Перейдемо до задачі про побудову гаран- тованої множинної оцінки параметрів для математичної моделі загального вигляду (1). Сформулюємо процедуру побудови оптимальної еліпсоїдальної оцінки параметрів математичної моделі (1). Алгоритм 4 (побудови допустимої множини параметрів математичної моделі (1)) Вектор параметрів моделі запишемо у вигляді ),( 21   за умови 00 )( rtr  при ].,[ 10 ttt Розглянемо точку 0 у просторі параметрів математичної моделі ).,( 21 000   Нехай це значення параметрів буде розв’язком задачі параметричної ідентифікації моделі (1). Навколо точки 0 опишемо коло одиничного радіуса 1)()( 2 02 2 01 21   з центром у точці з координатами ).,( 21 00  Довжина кола при цьому буде 2l . Поділимо цю лінію на n рівних частин, причому значення n виби- рається у залежності від точності отриманого розв’язку задачі з побудови гарантованої множинної оцінки параметрів. Розглянемо довільну точку ).,( 21 kkk   Проведемо дотичну до кола у цій точці. Рівнянням її буде ).)(,())(,( 22121211 21 kkkkkk FF    Рівняння нормалі до дотичної у цій точці матиме вигляд ).)(,())(,( 12122211 12 kkkkkk FF    Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 40 Нові значення параметрів , які задовольняють умовам програмного функціонування системи, будемо шукати на нормалі. Із рівняння нормалі визначимо 2 . ),( ))(,( 2 211 1212 1 2 k kk kkk F F           Нове положення координати 2 визначимо, змінивши положення ко- ординати 1 ,111  N 0 , . ),( ))(,( 2 211 1212 2 11 k kk kkk N F F           Таким чином, отримано нове положення значення параметра ,AN  де A — обмежена замкнена множина параметрів математичної моделі ).,( 21 NNN   Серед критеріїв якості для перевірки належності параметра допустимій множині можемо розглянути такі:     2 exp0 0 ))(),,((min 0 i i i A trtrr , (12) ,))(),,((maxmin exp0 0     trtrr iTtA ],[ 10 ttt . (13) Процедура, що наведена вище, реалізує рух параметра  вздовж нор- малі до тих пір, доки виконується один із вибраних наведених вище критері- їв. Виконавши такі кроки для кожної із визначених раніше точок, отримаємо нові значення координат вектора  у просторі параметрів математичної мо- делі. Алгоритм 5 (побудови допустимої множини параметрів математичної моделі (1)) Після побудови та аналізу розв’язків задачі ідентифікації параметрів математичної моделі формування ринкової вартості акції (або портфеля ак- цій) визначимо точку, що найбільш віддалена від точки ),( 21 ccD  , коорди- нати якої визначимо за допомогою формул    k j jc k 0 11 1  ,    k j jc k 0 22 1  . Для цього розв’яжемо задачу одномірної оптимізації i R max ),,( c iL  де ),( qpL — функція відстані між точками p та .q На границі кола ),1( DS радіусу 1, із центром у точці ),( 21 ccD  сфор- муємо довільну  -сітку sKiiy }{ з вузлами .iy В кожному вузлі iy побу- Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 41 дуємо вектор зовнішньої нормалі ien до кола за правилами, описаними ви- ще, і розв’яжемо допоміжну задачу з побудови нових значень параметрів  аналогічно підходу, описаному в Алгоритмах 1, 2, 3. Виконавши наведену процедуру для кожного із векторів ni Kin , отримаємо новий набір точок .A ne  Опишемо еліпсоїд найменшого об’єму (еліпс найменшої площі у пло- щині) навколо таким чином побудованих точок, який будемо називати «га- рантованою еліпсоїдальною оцінкою» параметрів моделі (1), побудованою на основі критеріїв (12), (13) або dttrrttr T t A 2 exp010 0 0 ))(),,,((min      , ))(),,,((maxmin exp010 0 ],[ 0 trrttr TttA     . Тут ),,,( 010 0 rttr — розв’язок задачі Коші для моделі (1) за умови 00 )( rtr  , )(exp tr — експериментальна або програмна траєкторія. На основі розв’язків задачі параметричної ідентифікації математичної моделі (1) та відомих спостережень гарантовану множинну оцінку парамет- рів побудуємо у класі еліпсоїдальних множин }1)),({(:),(  ddBdBQ  , (14) де B — симетрична додатньо–визначена матриця, що задає геометрію мно- жинної оцінки у просторі параметрів; d — геометричний центр еліпсоїда, ., nRd  Множину (14) будемо називати «гарантованою множинною оцін- кою», якщо кожне значення параметра  , отримане для довільних спосте- режень, належить ).,( dBQ Ітераційна процедура методу побудови гарантованої множинної оцінки реалізує уточнення елементів матриці B та вектора d на кожному кроці. Початкову матрицю B оберемо одиничною ,0 EB  а початкове положення центру d визначимо як центр мас    k j jk d 1 0 1  , де k — кількість точок. На 1k -му кроці процедури формули для визначення 1kB та 1kd мають вигляд )},),({(1 1 1 kkk B kkk ddBBB    )},),({(1 2 1 kkk d kkk ddBdd    де 1 1 k та 1 2 k такі, що ),),(())(),()((( 1 2 11 2 11 1 1 k i k i kk v k i kk i kk ddBddB    Ф.Г. Гаращенко, В.Р. Кулян, О.О. Юнькова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 42 де i ii i dB  ),((maxarg  ),d .1)),((  jjj ddB  На границі сфери ),1( jdS з центром у точці jd (де j — номер кроку процедури для якого виконується нерівність 1)),((  jjj dpdpB ) сфор- муємо довільну  -сітку sKiiy }{ з вузлами .iy У кожному вузлі за допомо- гою описаного методу побудови еліпсоїда найменшого об’єму навколо за- даних точок будуємо гарантовану множинну оцінку параметрів, яка, як і визначена за допомогою Алгоритму 4, забезпечує виконання обраних кри- теріїв якості. Побудована таким способом множина дозволяє сформувати допустиму множину параметрів у ході подальшої оптимізації цієї множинної оцінки логічним наступним кроком є формулювання та розв’язання задачі про по- будову «ефективної» множинної оцінки. ВИСНОВКИ Наведені у роботі математичні процедури дають можливість аналізувати динаміку активів на фондовому ринку при прийнятті інвестиційних рішень. Для математичних моделей динаміки ринкової вартості однієї акції побудо- вано алгоритми розв’язання задачі параметричної та гарантованої множин- ної ідентифікації. На їх основі розроблено процедури визначення допусти- мої множини параметрів математичних моделей та розв’язано задачі побудови траєкторії ринкової вартості однієї акції для математичної моделі (1) та оптимальної диверсифікації інвестиційного портфеля ризикованих цінних на основі моделі (2). ЛІТЕРАТУРА 1. Гаращенко Ф.Г., Кулян В.Р., Рутицкая В.В. Моделирование и анализ динамики инвестиций // Проблемы управления и информатики. — 2001. — № 6. — С.109–119. 2. Гаращенко Ф.Г., Кулян В.Р., Рутицька В.В. Застосування методів практичної стійкості для розв’язування задач інвестиційного менеджменту // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. — 2005. — № 3. — С. 232–239. 3. Garashchenko F., Kulian V., Rutitskaya V. Modelling and Analysis of Investment Trends // Journal of Automation and Information. — 2011. — 43, issue 12. — P. 8–58. Надійшла 02.04.2015

Ідентифікація параметрів моделей динаміки активів

Institution

Similar Items