Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений

Предложен метод вычисления доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе парных сравнений альтернатив, выполненных экспертом. В основу метода положено утверждение, что экспертные оценки парных сравнений только в некоторой степени отражают реальные отношения весов альтернатив и сод...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Недашковская, Н.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123494
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений / Н.И. Недашковская // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 121-130. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123494
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1234942017-09-07T03:02:57Z Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений Недашковская, Н.И. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Предложен метод вычисления доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе парных сравнений альтернатив, выполненных экспертом. В основу метода положено утверждение, что экспертные оценки парных сравнений только в некоторой степени отражают реальные отношения весов альтернатив и содержат неопределенность, независимо от уровня их согласованности. Предполагается, что эта неопределенность обусловлена используемой шкалой Саати и такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм при выполнении парных сравнений. Метод использует аппарат теории доверия (свидетельств) и результаты моделирования на случайным образом заполненных матрицах парных сравнений. Полученные доверительные интервалы более достоверно отображают реальные веса альтернатив по сравнению с точечными весами, вычисленными известным методом анализа иерархий. Используя моделирование, выполнено сравнение полученных результатов с результатами по известным методам нахождения весов на основе теории нечетких множеств. Запропоновано метод розрахунку довірчих інтервалів для ваг альтернатив рішень на основі парних порівнянь альтернатив, виконаних експертом. В основу методу покладено твердження, що експертні оцінки парних порівнянь тільки в деякому ступені відображають реальні відношення ваг альтернатив і містять невизначеність, незалежно від рівня їх узгодженості. Припускається, що цю невизначеність обумовлено шкалою Сааті, у якій відбувається оцінювання, та такими особистими якостями експерта, як песимізм і оптимізм у ході виконання парних порівнянь. Метод використовує апарат теорії довіри (свідчень) і результати моделювання на випадковим чином заповнених матрицях парних порівнянь. Отримані довірчі інтервали більш достовірно відображають реальні ваги альтернатив у порівнянні з точковими вагами, які обчислюються відомими методами аналізу ієрархій. Використовуючи моделювання, виконано порівняння отриманих результатів з результатами за відомими методами знаходження ваг на основі теорії нечітких множин. The method for evaluation of confidence intervals for weights of decision alternatives on the basis of pairwise comparison judgments, made by an expert, is proposed in the paper. The method is based on an assertion, that expert pairwise comparison judgments represent real ratios of weights of decision alternatives only to some extent and contain the uncertainty, independently of their consistency level. It is supposed that this uncertainty is caused by Saaty scale and such personal qualities of an expert as pessimism and optimism when providing pairwise comparisons. The method is based on the theory of trust (evidence) and results of computer modeling of randomly filled pairwise comparison matrices. The resulted confidence intervals reflect real weights of decision alternatives more reliably in contrast with crisp weights given by the famous analytic hierarchy process. Using computer modeling, the resulted confidence intervals are compared with results obtained by known fuzzy prioritization methods. 2015 Article Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений / Н.И. Недашковская // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 121-130. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123494 517.9, 519.816 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
spellingShingle	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Недашковская, Н.И. Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предложен метод вычисления доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе парных сравнений альтернатив, выполненных экспертом. В основу метода положено утверждение, что экспертные оценки парных сравнений только в некоторой степени отражают реальные отношения весов альтернатив и содержат неопределенность, независимо от уровня их согласованности. Предполагается, что эта неопределенность обусловлена используемой шкалой Саати и такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм при выполнении парных сравнений. Метод использует аппарат теории доверия (свидетельств) и результаты моделирования на случайным образом заполненных матрицах парных сравнений. Полученные доверительные интервалы более достоверно отображают реальные веса альтернатив по сравнению с точечными весами, вычисленными известным методом анализа иерархий. Используя моделирование, выполнено сравнение полученных результатов с результатами по известным методам нахождения весов на основе теории нечетких множеств.
format	Article
author	Недашковская, Н.И.
author_facet	Недашковская, Н.И.
author_sort	Недашковская, Н.И.
title	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
title_short	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
title_full	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
title_fullStr	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
title_full_unstemmed	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
title_sort	построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123494
citation_txt	Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений / Н.И. Недашковская // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 3. — С. 121-130. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT nedaškovskaâni postroeniedoveritelʹnyhintervalovdlâvesovalʹternativrešenijnaosnoveékspertnyhocenokparnyhsravnenij
first_indexed	2025-07-08T23:45:59Z
last_indexed	2025-07-08T23:45:59Z
_version_	1837124407996186624
fulltext	 Н.И. Недашковская, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 121 УДК 517.9, 519.816 ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ВЕСОВ АЛЬТЕРНАТИВ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ Н.И. НЕДАШКОВСКАЯ Предложен метод вычисления доверительных интервалов для весов альтерна- тив решений на основе парных сравнений альтернатив, выполненных экспер- том. В основу метода положено утверждение, что экспертные оценки парных сравнений только в некоторой степени отражают реальные отношения весов альтернатив и содержат неопределенность, независимо от уровня их согласо- ванности. Предполагается, что эта неопределенность обусловлена используе- мой шкалой Саати и такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм при выполнении парных сравнений. Метод использует аппарат теории доверия (свидетельств) и результаты моделирования на случайным об- разом заполненных матрицах парных сравнений. Полученные доверительные интервалы более достоверно отображают реальные веса альтернатив по срав- нению с точечными весами, вычисленными известным методом анализа ие- рархий. Используя моделирование, выполнено сравнение полученных резуль- татов с результатами по известным методам нахождения весов на основе теории нечетких множеств. ВВЕДЕНИЕ Рассматривается задача вычисления весов альтернатив решений на базе экс- пертных оценок парных сравнений альтернатив в шкале Саати. В [1] разра- ботан метод оценивания неопределенности этих оценок, в предположении, что неопределенность обусловлена используемой шкалой Саати и такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм при выполнении парных сравнений. В основу метода положено утверждение, что экспертные оценки парных сравнений только в некоторой степени отражают реальные отношения весов альтернатив и содержат неопределенность, независимо от уровня их согласованности. Используя аппарат теории доверия (свиде- тельств) и результаты компьютерного моделирования, предложен общий показатель неопределенности экспертных оценок парных сравнений в зада- че вычисления весов альтернатив решений, обусловленной указанными вы- ше факторами. Для вычисления весов альтернатив решений используется метод главно- го собственного вектора [2–3], модели оптимизации [4–6], а также модифика- ции методов с использованием теории нечетких множеств [7–14] и др. [15]. Цель работы — разработка метода построения доверительных интер- валов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений альтернатив в шкале Саати. Эти интервалы более достоверно отображают реальные веса альтернатив по сравнению с точечными весами, полученными известным методом анализа иерархий [2–3]. Также ставится задача сравнения полученных результатов с результатами по известным ме- Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 122 тодам [11–13] вычисления весов альтернатив на основе теории нечетких множеств. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: },...,1\|{ niaA i  — множество альтернатив решений, С — характе- ристика, по которой сравниваются эти альтернативы, в дальнейшем — кри- терий решений. Необходимо определить },...,1\|],[{ niwwww iii  — доверительные интервалы для весовых коэффициентов (весов) альтернатив. Используем для вычисления весов альтернатив метод парных сравне- ний экспертного оценивания, в соответствии с которым по оценкам экспер- та, выполненным в шкале отношений Саати, строится матрица парных сравнений (МПС) },,...,1,\|{ njidD ijnn  ,0ijd ./1 ijji dd  Элементы ijd показывают отношения неизвестных значений весов альтернатив по крите- рию решений: i ij ij j v d v  , где 0ij — возмущение. МПС D называется полностью согласованной (в дальнейшем, для сокращения, согласованной), если kjikij ddd  для nkji ,...,1,,  . Критерий допустимой несогласованности. Несогласованность МПС допустима, когда показатели несогласованности trCIHCRGCICR ,,, не пре- вышают установленные для них пороговые значения. МПС полностью согласована, тогда и только тогда, когда эти показатели равны нулю. Полная согласованность экспертных оценок парных сравнений не мо- жет быть признаком их истинности, т.е. если оценки полностью согласова- ны, то они не обязательно отображают истинные веса альтернатив. Реаль- ным весам эксперты могут сопоставить разные полностью согласованные оценки парных сравнений [1]. В данной работе ставится задача вычисления доверительных интерва- лов для весов альтернатив решений, которые позволят учесть неопределен- ность, которая присутствует в МПС и обусловлена используемой шкалой, а также такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм при выполнении парных сравнений альтернатив. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ВЕСОВ АЛЬТЕРНАТИВ РЕШЕНИЙ Суть метода В основу предлагаемого метода вычисления весов альтернатив на основе заданной экспертом в шкале Саати МПС },...,1,\|{ njidD ijnn  положено утверждение, что эта МПС только в некоторой степени отражает реальные отношения весов альтернатив и содержит несколько видов неопределенно- сти, независимо от уровня ее согласованности [1]:  неопределенность, вносимую шкалой Саати, в которой эксперт вы- полняет оценивание (далее — неопределенность шкалы); Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 123  неопределенность, обусловленную личными качествами эксперта, такими как пессимизм/оптимизм. Неопределенность указанных видов в дальнейшем, для сокращения из- ложения, будем называть неопределенностью экспертных оценок. Реалистом назовем эксперта, который дает наиболее близкие к отноше- ниям реальных весов оценки в шкале Саати. Пессимист/оптимист — это эксперт, оценки которого смещены на одно деление шкалы влево/вправо (занижены/завышены), соответственно, по сравнению с оценками эксперта- реалиста. Рассмотрим },...,1,\|{ njidD ijnn  — вычисленную на основании экс- пертных оценок МПС альтернатив решений и следующие гипотезы:  одноэлементные множества },{,},{},{ 21 naaa  включают отдель- ные альтернативы решений;  множество  },...,,{ 21 naaaA всех альтернатив. Базовые доверия })({ ii amm  к альтернативам соответствуют весам альтернатив. Базовое доверие ( )m  к множеству , содержащему все аль- тернативы, как доверие к гипотезе, что все альтернативы неразличимы экс- пертом или имеют одинаковую важность для эксперта, предлагается ис- пользовать для выражения неопределенности экспертных оценок в задаче вычисления весов. Базовое доверие к альтернативе ia определим следую- щим образом: Xv v m n j j i i    1 , ni ,...,1 , (1) где 0iv  — ненормированный вес альтернативы ia , вычисленный на осно- ве МПС одним из известных методов: главного собственного вектора или др.; 0X  — ненормированный показатель уровня неопределенности экс- пертных оценок. Значение базового доверия ко всему множеству альтернатив — норми- рованный показатель уровня неопределенности экспертных оценок равен Xv X m n j j      1 . (2) Выполняется равенство: 1i i m m  . Показатель Х равен ),1( 2 1 11 ПСkvkXX n j j    (3) где )1,0(1k , 02 k — параметры, 0ПС — показатель несогласованно- сти экспертных оценок. Тогда значение базового доверия к альтернативе ia равно Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 124     n j j i i vПСkk v m 1 21 ))1(1( , (4) а нормированный показатель уровня неопределенности экспертных оценок — )1(1 )1( 21 21 ПСkk ПСkk m    , 1,...,i n . (5) Доверие Bel к одноэлементному множеству совпадает со значением базового доверия к нему, поэтому доверие к гипотезе }{ ia равно ii maBel })({ . Правдоподобие для гипотезы }{ ia :  mmaPls ii})({ . Та- ким образом, доверительный интервал для альтернативы :ia ],[],[  mmmPlsBel iiii . (6) Утверждение 1. Нормированное значение локального веса альтернати- вы ia в традиционном методе анализа иерархий содержится в доверитель- ном интервале (6) [1]. Утверждение 2. Пусть nRv реал — вектор ненормированных весов n альтернатив, },...,1,\|{ реал реал nji v v dD j i ij  — МПС, ,/ реалреалреал  k kvvw },...,1\|],{[ niPlsBelI ii  — доверительные интервалы (6) для весов аль- тернатив, вычисленные на основании МПС D. Тогда ],[реал iii PlsBelw  для всех ni ,...,1 [1]. Доверительные интервалы (6) вычисляются в зависимости от парамет- ров )1,0(1k и .02 k Перейдем к определению параметра ,1k который моделирует неопределенность, вносимую шкалой Саати, а также неопреде- ленность вследствие личных качеств эксперта, таких как пессимизм и опти- мизм. Определение параметра 1k Параметр )(1 nk определим на основании оценки )(ˆˆ 90.0 11 npp  величины  \|\|)()(\|\|)( реал 1 lwlwlp чебышевской нормы отклонения реальных весов )(lw реал от вычисленных по МПС )(* lD весов )(lw по результатам компь- ютерного моделирования: ,ˆ1111 pkk  (7) где  k k lvlvlw )(/)()( , вектор )(lv вычислен методом главного собствен- ного вектора; ))((3,1)(ˆ)(ˆ 1 ср 1 90,0 1 npnpnp  — значение чебышевской нор- мы, такое, что для 90% моделируемых МПС )(* lD выполняется неравен- Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 125 ство );(ˆ)( 90,0 11 nplp  l — номер эксперимента, ;10,...,1 5l коэффициент .0)(11 nk Значения в табл. 1 свидетельствуют о том, что величины отклонений реальных весов от вычисленных на основании МПС уменьшаются с ростом количества сравниваемых альтернатив n. Т а б л и ц а 1 . Оценки )(ˆˆ 90,0 11 npp  значений параметра 1p при вычисле- нии доверительных интервалов для весов альтернатив [1] а) эксперт-реалист n 3 4 5 6 7 8 9 1p̂ 0,054 0,046 0,039 0,033 0,025 0,021 0,017 б) эксперт-пессимист /оптимист n 3 4 5 6 7 8 9 pessim 1p̂ 0,126 0,105 0,088 0,073 0,064 0,056 0,050 optim 1p̂ 0,106 0,095 0,084 0,072 0,064 0,056 0,050 Подберем значения коэффициента )(1111 nkk  в (7) так, чтобы в 90% экспериментов все координаты реального вектора весов содержались в сво- их доверительных интервалах:   .],[],[],[ 2211 T nn PlsBelPlsBelPlsBelI    (8) Введем величину N — количество элементов вектора нормированных реальных весов реалw ,  k kii vvw реалреалреал / , которые попадают в соответ- ствующие доверительные интервалы (8), ],[реал iii PlsBelw  , ni ,...,2,1 . Очевидно, что },...,2,1,0{ nN  . Рассмотрим ход компьютерного моделирования для определения ко- эффициента ,11k когда оценки предоставлены экспертом-реалистом. Зафик- сируем n — количество альтернатив решений, .9,....,5,4,3n Случайным образом генерируем вектор ненормированных реальных весов nRv реал [16], нормируем ,/ реалреалреал  k kii vvw ni ,...,1 . Вычисляем несмещен- ную МПС ,D соответствующую оценкам эксперта-реалиста [1], далее век- тор I  (8), (6), используя оценки параметра 1p из табл. 1(а) и значение па- раметра 2k равное единице. Вычисляем величину .N Для каждого из 9,....,5,4,3n проведем 510M экспериментов. Аналогично выполняется моделирование оценок эксперта-пессимиста и оптимиста. Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 126 Эмпирически подобранные значения коэффициента ,11k такие, что в %500,89m — %499,90m (при округлении в %90m ) эксперимен- тов все координаты реального вектора весов содержатся в своих довери- тельных интервалах, приведены в табл. 2 и на рис. 1. Т а б л и ц а 2 . Значения коэффициента 11k и соответствующие им средние значения m̂ показателя неопределенности m а) эксперт-реалист n 3 4 5 6 7 8 9 89500,0 11k для %500,89m 2,325 2,800 3,313 3,830 4,730 5,375 5,975 90499,0 11k для %499,90m 2,370 2,845 3,370 3,893 4,810 5,470 6,083 m̂ для 89500,0 11k 0,113 0,115 0,115 0,112 0,106 0,100 0,094 m̂ для 90499,0 11k 0,115 0,117 0,117 0,114 0,108 0,102 0,096 б) эксперт-пессимист n 3 4 5 6 7 8 9 89500,0 11k для %500,89m 3,570 4,391 5,15 5,98 6,78 7,60 8,210 90499,0 11k для %499,90m 3,68 4,491 5,25 6,08 6,89 7,71 8,328 m̂ для 89500,0 11k 0,319 0,324 0,319 0,313 0,309 0,307 0,301 m̂ для 90499,0 11k 0,326 0,329 0,324 0,317 0,313 0,310 0,304 Значения m̂ в табл. 2 показывают, что уровень неопределенности экс- пертных оценок в рассматриваемой задаче вычисления весов уменьшается с ростом количества альтернатив n. Как следствие, с ростом n уменьшается ширина вычисляемых доверительных интервалов (6). Пример 1. Пусть известны реальные веса )20,0;10,0;25,0;45,0(реал w четырех альтернатив относительно некоторой общей для них характеристи- ки. Не сообщая этих значений, эксперта-реалиста попросили попарно срав- нить эти альтернативы в шкале Саати. По результатам экспертного оцени- вания вычислим доверительные интервалы (6) и сравним полученные результаты с реальными весами. Для нахождения доверительных интервалов (6) вначале вычисляется МПС реалD в вещественнозначной шкале, которая соответствует весам реалw , и на ее основании — несмещенная МПС ,D соответствующая оцен- кам эксперта-реалиста в шкале Саати:                       1 5,01 25,15,21 25,25,48,11 реал реал реал j i w w D , . 1212/1 2/113/15/1 1312/1 2521 *             D (9) Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 127 На основании табл. 1(а) и 2(а) определяются параметры задачи, они равны 046,0ˆ1 p и .845,211 k Отношение согласованности МПС D равно 006,0porog CR и значительно меньше порогового значения ,08,0porog CR следовательно, несогласованность МПС D достаточно мала. Т а б л и ц а 3 . Значения доверий )( DBeli и правдоподобий )( DPlsi для весов альтернатив ,ia 4,...,1i на основе МПС D Альтернативы 1a 2a 3a 4a )( DBeli 0,401 0,211 0,081 0,190 )( DPlsi 0,517 0,327 0,198 0,307 Как показывают значения в табл. 3, доверительные интервалы [ ,)( DBeli )]( DPlsi содержат реальные веса альтернатив. Значение показа- теля неопределенности экспертных оценок в этой задаче равно 116,0m . СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ Проведем сравнение результатов по предложенному методу с результатами, полученными методом нечеткой геометрической средней парных сравнений [12–14], в котором элементы ijd МПС интерпретируются как нечеткие множества с заданной функцией принадлежности. В соответствии с методом нечеткой геометрической средней веса iv (ненормированные) и iw (норми- рованные) вычисляются по формулам: n j iji dv  ,   k n j kjn j iji ddw / , ni ,...,1 , (10) где используются расширенные бинарные арифметические операции. Для сравнения результатов выполним компьютерное моделирование оценок экспертов реалиста, пессимиста и оптимиста, которое состоит из следующих этапов: 1) фиксируется }9,....,5,4,3{n и проводится 510M экспериментов: случайным образом задается входной вектор ненормированных реальных весов nRv реал [16] и на его основе строятся МПС, соответствующие оценкам указанных выше экспертов; 2) проводится фаззификация МПС с использованием нечеткой шкалы Саати; 3) на основе фаззифицированной МПС вычисляется нечеткий вектор весов по методу нечеткой геометрической средней; 4) выполняется анализ полученных результатов. Детальнее рассмотрим каждый из этапов. Первый этап аналогичен опи- санному выше ходу моделирования для определения коэффициента .11k Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 128 В результате при моделировании оценок эксперта-реалиста вычисляется не- смещенная МПС },...,1,\|{ * njidD ij  , где * ijd — округленное к ближай- шему делению шкалы Саати значение отношения реальных весов реалреал / ji vv . Аналогично находятся МПС, соответствующие оценкам экс- перта-пессимиста/ оптимиста. На втором этапе проводится фаззификация МПС D с использованием треугольных функций принадлежности ],,[ ijijij uml (в дальнейшем — нечет- кая шкала Саати), которые наиболее часто используются на практике [12– 14]. В результате определяются матрицы L, M и U следующим образом:  1 ijij dl , ij ijm d , 1 ijij du для 1ijd и ;9ijd (11)  2,1,1  ijijij uml для 1ijd , ;ji   9,9,8  ijijij uml д ля ;9ijd  ;1 iiiiii uml  1/ij jil u , 1/ij jim m , 1/ij jiu l для .1ijd Отметим, что матрицы L, M и U не являются МПС, так как для них не выполняются свойства обратной симметричности. Например, фаззификация МПС D (9) приводит к следующим матри- цам L, M и U:              1113/1 3/114/16/1 2/1213/1 1411 L ,              1212/1 2/113/15/1 1312/1 2521 M ,              1321 112/14/1 1411 3631 U . На третьем этапе вычисляются вектора весов v и w методом нечет- кой геометрической средней по формулам (10). Эти вектора весов представ- лены треугольными нечеткими множествами: ),...,1\|],,([ niwwww u i m i l i  . (12) Пример 2. Веса альтернатив (12) по методу нечеткой геометрической средней для МПС *D (9) из примера 1 приведены в табл. 4. Реальные веса этих альтернатив, для сравнения, равны .)20,0;10,0;25,0;45,0(реал w Т а б л и ц а 4 . Нормированные нечеткие веса iw альтернатив ia по мето- ду нечеткой геометрической средней Альтернатива 1a 2a 3a 4a iw [0,225; 0,455; 0,827] [0,121; 0,238; 0,432] [0,055; 0,092; 0,181] [0,121; 0,215; 0,478] Оценки параметра 1k (7) в предложенном методе определяются на ос- новании значений чебышевской нормы. Поэтому, для сопоставления ре- Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 129 зультатов, полученных методом нечеткой геометрической средней и по предложенному методу, в каждом из экспериментов вычисляется следую- щая величина: ),(max ,...,1 l i u i ni wwb   максимальная по координатам ширина вектора весов (12), которая характе- ризует неопределенность результатов по методу нечеткой геометрической средней. Сравнивая значения b̂ (табл. 5) и m̂ (табл. 2), приходим к выводу, что для всех n средняя ширина результирующего вектора весов в методе нечет- кой геометрической средней превышает соответствующую ширину довери- тельного интервала, полученного предложенным методом, для оценок экс- перта-пессимиста/оптимиста и значительно превышает ширину доверительного интервала для оценок эксперта-реалиста. Таким образом, компьютерное моделирование показывает, что применение метода нечет- кой геометрической средней и треугольных функций принадлежности (11), для фаззификации оценок как эксперта-реалиста, так и эксперта пессими- ста/оптимиста, приводит к неоправданно широким результирующим ин- тервалам для весов по сравнению с предложенным в работе методом. Во всех экспериментах результирующие нечеткие веса (12) содержали нормированные реальные веса. ВЫВОДЫ В работе рассмотрена задача вычисления весов альтернатив решений на ос- нове экспертных оценок парных сравнений альтернатив. Используя аппарат теории доверия (свидетельств), и предполагая, что неопределенность экс- пертных оценок обусловлена используемой шкалой Саати и личными каче- ствами эксперта, вычисляются доверительные интервалы для весов альтер- натив. Результаты моделирования показывают, что эти интервалы более достоверно отображают реальные веса по сравнению с точечными весами, получаемыми известным методом анализа иерархий, а также нечеткими ве- сами по методу нечеткой геометрической средней. В дальнейшем будет рассмотрена задача поддержки принятия решений на основе экспертных оценок парных сравнений, когда альтернативы срав- ниваются по множеству критериев решений. Логическим продолжением данной работы будет исследование разных правил комбинирования по- строенных в работе доверительных интервалов. Т а б л и ц а 5 . Выборочные средние значения b̂ и стандартные отклоне- ния )(b для величины ,b получены в результате компьютерного моде- лирования оценок эксперта-реалиста n 3 4 5 6 7 8 9 b̂ 0,600 0,546 0,483 0,429 0,384 0,347 0,316 )(b 0,097 0,065 0,046 0,031 0,022 0,017 0,015 Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 130 ЛИТЕРАТУРА 1. Недашковская Н.И. Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 130–142. 2. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналити- ческие сети. Изд. 2-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 360 с. 3. Saaty T.L. Decision-making with the AHP: Why is the principal eigenvector neces- sary // European Journal of Operational Research. — 2003. — 145, № 1. — P. 85–91. 4. Chandran B., Golden B., Wasil E. Linear programming models for estimating weights in the analytic hierarchy process // Computers & Operations Re- search. — 2005. — 32. — Р. 2235 – 2254. 5. Павлов А.А., Лищук Е.И., Кут В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и находжения весов объектов в методе парных сравнений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 13–21. 6. Wang Y.M., Parkan C., Luo Y. A linear programming method for generating the most favorable weights from a pairwise comparison matrix // Computers & Operations Research. — 2008. — 35. — P. 3918–3930. 7. Pankratova N.D., Nedashkovskaya N.I. Method for Processing Fuzzy Expert Infor- mation in Prediction Problems. Part I // Journal of Automation and Information Sciences. — 2007. — 39, Issue 4. — P. 22–36. 8. Pankratova N.В., Nedashkovskaya N.I. Spectral coefficient of consistency of fuzzy expert information and estimation of its sensitivity to fuzzy scales when solving foresight problems // International Journal «Information Technologies and Knowledge». — 6, № 4. — 2012. — P. 316–329. 9. Панкратова Н.Д., Недашковская Н.И. Гибридный метод многокритериального оценивания альтернатив принятия решений // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — 50, № 5 — С. 58–70. 10. Wang Y.-M., Elhag T.M.S. A goal programming method for obtaining interval weights from an interval comparison matrix // European Journal of operational research. — 2007. — 177 (1). — P. 458–471. 11. Sugihara K., Ishii H., Tanaka H. Interval priorities in AHP by interval regression analysis // European Journal of operational research. — 2004. — 158. — P. 745–754. 12. Debasish Majumder, Joy Debnath, Animesh Biswas. Risk analysis in construction sites using fuzzy reasoning and fuzzy analytic hierarchy process // Proc. Tech- nology. — 2013. — 10. — P. 604–614. 13. Venkata Rao R. Decision Making in the Manufacturing Environment. Using Graph Theory and Fuzzy Multiple Attribute Decision Making. — Springer-Verlag. — 2007. — http://www.springer.com/gp/book/9781447143741. 14. Kahraman C. Fuzzy Multi-Criteria Decision-Making. Theory and Applications with Recent Developments. — Springer Science+Business Media, 2008. — P. 591. 15. Циганок В.В. Метод обчислення ваг альтернатив на основі результатів парних порівнянь, проведених групою експертів // Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2008. — 10, № 2. — С. 121–127. 16. Недашковская Н.И. Сравнительный анализ методов парного экспертного оце- нивания альтернатив решений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 35–44. Поступила 20.01.2015

Построение доверительных интервалов для весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений

Репозитарії

Схожі ресурси