Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных

Для временных данных предложен метод определения соотношения детерминированной и стохастической составляющих. Для решения данной задачи выполнен ряд вычислительных экспериментов, использующих имитационное моделирование логистической хаотической последовательности и значений фрактального броуновского...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Бондаренко, В.Г., Трусковский, К.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123573
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных / В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123573
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1235732017-09-07T03:03:44Z Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Бондаренко, В.Г. Трусковский, К.К. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Для временных данных предложен метод определения соотношения детерминированной и стохастической составляющих. Для решения данной задачи выполнен ряд вычислительных экспериментов, использующих имитационное моделирование логистической хаотической последовательности и значений фрактального броуновского движения с различными показателями Харста — H. В полученной аддитивной смеси задается соотношение энергий детерминированной и случайной составляющих. Для больших значений показателя Харста хаотическое слагаемое оказывается более агрессивным: контрольные статистики смеси значимо отличаются от эталонных значений, соответствующих фрактальному броуновскому движению. Для малых значений H (антиперсистентный случай) наблюдается обратный результат. Рассмотренные примеры реальных временных данных описываются антиперсистентной моделью. Для часових рядів запропоновано метод визначення співвідношення детермінованої та стохастичної складових. Для розв’язку цієї задачі виконано ряд обчислювальних експериментів з використанням імітаційного моделювання логістичної послідовності та значень фрактального броунівського руху із різними показниками Харста — H. В отриманій адитивній суміші задається співвідношення енергій детермінованої та випадкової складових. Для великих значень показника Харста хаотичний доданок виявляється більш агресивним: контрольні статистики суміші суттєво відрізняються від еталонних значень, що відповідають фрактальному броунівському руху. Для малих значень H (антиперсистентний випадок) має місце обернений результат. Розглянуто приклади реальних часових даних, що відповідають антиперсистентній моделі. We proposed a method for determining the ratio of deterministic and stochastic components for observed real data. We illustrated a number of numerical experiments which used simulation modelling of the logistic chaotic sequence and the values of fractional Brownian motion with different values of Hurst exponent H. In the additive mixture, the ratio of the energies of deterministic and random components are defined. The chaotic term turns out to be more aggressive for large values of Hurst exponent: the control statistics of the mixture are different from the reference values corresponding to the fractional Brownian motion. Another situation takes place for small values of H (antipersistent case). The considered examples of time series data are described by an antipersistent model. 2015 Article Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных / В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123573 519.946; 519.254 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
spellingShingle	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Бондаренко, В.Г. Трусковский, К.К. Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Системні дослідження та інформаційні технології
description	Для временных данных предложен метод определения соотношения детерминированной и стохастической составляющих. Для решения данной задачи выполнен ряд вычислительных экспериментов, использующих имитационное моделирование логистической хаотической последовательности и значений фрактального броуновского движения с различными показателями Харста — H. В полученной аддитивной смеси задается соотношение энергий детерминированной и случайной составляющих. Для больших значений показателя Харста хаотическое слагаемое оказывается более агрессивным: контрольные статистики смеси значимо отличаются от эталонных значений, соответствующих фрактальному броуновскому движению. Для малых значений H (антиперсистентный случай) наблюдается обратный результат. Рассмотренные примеры реальных временных данных описываются антиперсистентной моделью.
format	Article
author	Бондаренко, В.Г. Трусковский, К.К.
author_facet	Бондаренко, В.Г. Трусковский, К.К.
author_sort	Бондаренко, В.Г.
title	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
title_short	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
title_full	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
title_fullStr	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
title_full_unstemmed	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
title_sort	хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123573
citation_txt	Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных / В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT bondarenkovg haotičeskaâislučajnaâsostavlâûŝievprirodnyhvremennyhdannyh AT truskovskijkk haotičeskaâislučajnaâsostavlâûŝievprirodnyhvremennyhdannyh
first_indexed	2025-07-08T23:54:02Z
last_indexed	2025-07-08T23:54:02Z
_version_	1837124911530770432
fulltext	 В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский, 2015 114 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 TIДC НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 519.946; 519.254 ХАОТИЧЕСКАЯ И СЛУЧАЙНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ В ПРИРОДНЫХ ВРЕМЕННЫХ ДАННЫХ В.Г. БОНДАРЕНКО, К.К. ТРУСКОВСКИЙ Для временных данных предложен метод определения соотношения детерми- нированной и стохастической составляющих. Для решения данной задачи вы- полнен ряд вычислительных экспериментов, использующих имитационное моделирование логистической хаотической последовательности и значений фрактального броуновского движения с различными показателями Харста — H. В полученной аддитивной смеси задается соотношение энергий детермини- рованной и случайной составляющих. Для больших значений показателя Хар- ста хаотическое слагаемое оказывается более агрессивным: контрольные ста- тистики смеси значимо отличаются от эталонных значений, соответствующих фрактальному броуновскому движению. Для малых значений H (антиперси- стентный случай) наблюдается обратный результат. Рассмотренные примеры реальных временных данных описываются антиперсистентной моделью. ВВЕДЕНИЕ Анализ временных рядов — последовательных измерений nxx ,....,1 неко- торой величины произвольной природы — состоит, прежде всего, в по- строении адекватной математической модели. Если эти данные априорно являются детерминированными, то есть члены последовательности }{ kx представляются значениями некоторой динамической системы, то модель определяется уравнением ,),...,( 1 pkkk xxfx  описывающим эту систему. Если же временной ряд имеет стохастическую природу, то его модель определяется равенством ,      n k Xxk где )(tX — реализация некоторого случайного процесса ]1:0[),( tt . Реальные временные данные, описывающие природные явления, как правило, содержат и детерминированную (хаотическую), и случайную со- ставляющую. Хаотичность означает крайне нерегулярное поведение после- довательности. В первом приближении хаотичность можно определить Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 115 свойством системы разводить первично близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. В данной работе предложен алгоритм оце- нивания доли каждой из этих составляющих в наблюдаемых временных ря- дах. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Предполагается, что наблюдаемые значения являются аддитивной смесью детерминированной хаотичной и случайной последовательностей: ,kkk vux   где ku — значения некоторой динамической системы, kv — значения слу- чайного процесса. Последовательности }{},{ kk vu нормированы по энергии, то есть .1 11 22   kk v n u n Тогда величина   a определяет долю стохастичности в наблюдае- мых данных. В качестве модели для хаотической составляющей выберем логистиче- скую динамическую систему: )1(4 11   kkk uuu , (1) решения которой образуют хаотическую последовательность. Для модели стохастической составляющей положим ,      n k Bv Hk  (2) где )(tBH — фрактальное броуновское движение — гауссов случайный процесс, определенный соотношениями: ,0)(  tBH ,0)0( HB .)\|\|( 2 1 )]()([ 222 HHH HH ststsBtB  Свойства моделей, определенных равенствами (1) и (2), подробно изу- чены в работах [1] и [2]. Выбор именно этих моделей объясняется их уни- версальностью. Так, fBm (fractional Brownian motion — фрактальное бро- уновское движение) применимо к описанию широкого класса природных явлений [3]. Цель работы — определение соотношения a стохастической и детер- минированной составляющих в реальных наблюдаемых данных nxx ...,1 в предположении, что они образуют аддитивную смесь kkk avux  , (3) где последовательности ku и kv определены соотношениями (1) и (2). В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 116 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Приведем некоторые результаты, изложенные в работе [4] о статистической обработке временного ряда nvv ,...,1 , ,0 1  kv n v описываемого мо- делью (2). Параметры модели  (волатильность) и H (параметр Харста) предполагаются неизвестными. Алгоритм их оценивания состоит в следую- щем. Рассмотрим статистику , ),(8,0 )( 1 1 n yyS R HQ H   где вектор ),...,( 1 nyyy  , ,1 kkk vvy ,,,1 nk  , 1 1  ky n yR S — корреляционная матрица вектора y c элементами .)211( 2 1 ),( 222 HHH kj jkjkjkyy  Значения Q вычисляются перебором H (в матрице 1 HS ) с некоторым шагом: то значение ,H при котором min1 Q объявляется оценкой Ĥ параметра Харста. Оценка волатильности определяется формулой .25,1ˆ ˆ 1 HnR Эффективность алгоритма оценивания параметра Харста проверена в [4]; значения fBm получены методом имитационного моделирования. Для произвольного априорно стохастического временного ряда nxx ,...,1 , )0( x в работе [5] предложен алгоритм его аппроксимации fBm. Идея алгоритма — представление наблюдаемой траектории x(t) в виде )))((()( tBtx H   ,       n k xxk , где  — некоторое преобразование в пространстве траекторий. Реализация алгоритма базируется на значении статистики 2 2 1)( R R yd  , где  22 2 1 ky n yR . Если )(yd значимо отличается от 637,0 2   (случай гауссовых при- ращений), перейдем к новой последовательности ,sgn 1 kkk yyz  ,0 (4) Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 117 где  определяется из уравнения , 2 1 2 1 1 2                    d тогда  2 )( zd . Таким образом, исходные данные приведены к виду \|\|sgn 1 j k j jk zyx    , (5) где nzz .,...,1 предполагаются приращениями fBm. Последнее предположение представляет собой статистическую гипоте- зу T и нуждается в проверке. Если гипотеза T верна, то формула (4) есть представление исходного временного ряда функционалом от fBm (аппрок- симация фрактальным броуновским движением). Алгоритм проверки гипо- тезы (то есть качества аппроксимации) базируется на предельных теоремах, доказанных в [6] для статистик , 1 3 kkn z n A  , 1 32 1  kkHn z n B  , 1 3 2  kkHn z n D  где . 1 1     k j jk z Если гипотеза T — kz являются приращениями fBm — верна, то име- ет место сходимость :)( n ARAn  2 25,1 , ,3 2/5 2 RBn  если       2 1 ;0H , ,)1(5,1 22 2 BRDn  если ,1; 2 1      H где случайная величина         22 1 ;0~ H  . При проверке гипотезы T для статистик nB и nD задается уровень значимости 1,0 гипотеза принимается, если имеют место неравенства ;3,05,1 2 2  RAn ;1nB ,0 2 nD (6) где k — квантили предельных распределений, соответствующие ,1,0 , 22 95,4 5,2 2 1   H R  .08,4 2 22 R В работе [7] гипотеза T проверена для реальных временных данных стохастической природы. В табл. 1 представлены значения оценки Ĥ статистик nA , nB , nD для генерируемого fBm, предельные значения nA и значения квантилей. В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 118 Т а б л и ц а 1 . Сравнительные значения статистик для генерируемого fBm 10 ,)(tBH 2000n H 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 Ĥ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 nA –794 –37,3 –1,18 –0,051 – – – – A –789 –35 –1,52 –0,068 – – – – nB –1100 –94 0,33 –0,02 – – – – 1 8407 160 3,46 0,622 nD – – – – 0,00034 0 0 0 2 – – – – 0,044 0,010 0,0022 0,0004 Табл. 1 иллюстрирует «идеальный» случай, критерии согласия для ги- потезы T выполнены для всех контрольных статистик. Данные таблицы используются для сравнения с аналогичными статистиками при анализе временных рядов, содержащих хаотическую составляющую. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВА АППРОКСИМАЦИИ СМЕСИ Аппроксимация временных данных nxx ,...,1 по формулам (4), (5) признает- ся удовлетворительной, если контрольные статистики удовлетворяют нера- венствам (6). Применение алгоритма аппроксимации к логистической по- следовательности (1) дает следующие результаты (табл. 2). Т а б л и ц а 2 . Результаты аппроксимации для логистической последова- тельности )2000( n 0x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 Ĥ 0,25 0,15 0,25 0,15 0,15 0,4 0,15 0,25 nA 1,20 0,62 1,38 0,60 0,62 043,0 0,56 1,26 nB 65,3 90,1 51,4 81,1 90,1 03,0 63,1 93,3 nAA lim 068,0 077,0 071,0 080,0 080,0 085,0 079,0 068,0 1 0,065 0,080 0,070 0,082 0,082 0,082 0,082 0,065 Из табл. 2 следует, что оценка Ĥ зависит от начального условия 0x , во всех случаях аппроксимация соответствует антиперсистентному процессу. Значения контрольных статистик далеки от предельных теоретических зна- чений 0( nA , ,)\|\| 1nB то есть аппроксимация неудовлетворительна. Ис- следуем качество аппроксимации для аддитивной смеси (3), увеличивая до- лю a стохастической составляющей. Данные табл. 3 свидетельствуют об «агрессивности» хаотической составляющей по отношению к стохастической для 2,0fBm H (для )2;1  aa и для 3,0fBm H если .10a Для указанных значений H ге- Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 119 нерируемого fBm характер смеси определяет логистическая последователь- ность, то есть значения контрольных характеристик далеки от предельных (неравенства (6) не выполнены), что указывает на невозможность аппрок- симации. Для 1,0fBm H наблюдается обратная картина — отклонение ста- тистик от предельных значений такое же, как для «чистого» fBm (табл. 1), то есть смесь допускает качественную аппроксимацию при сопоставимых энергиях ее составляющих. Для 2,0fBm H удовлетворительная аппрокси- мация возможна лишь для .10a Таким образом, персистентность )5,0ˆ( H исследуемого ряда при вы- полнении неравенства 2nD означает его стохастическую природу: ан- типерсистентность ),;2,01,0ˆ( 1 nn BAAH допускает наличие хаотической компоненты. Т а б л и ц а 3 . Результаты аппроксимации смеси ;10;2;1(  aaa )2000n fbmH Ĥ nA nB nD nAA lim 1 2 a =1 0,1 −2,78 −1,14 −1215 −2,95 7,77 5,72 a =2 0,1 −19,4 −11,6 −8497 −19,4 82,0 14,7 0,1 a =10 0,1 −8289 −21038 −3623570 −8239 157803 302 a =1 0,15 10,0 −83 2046 −0,84 1,57 3,05 a =2 0,15 6,83 −39,3 1397 −1,26 2,6 3,7 0,2 a =10 0,2 −48,8 −182 −4663 −45,5 227 22,5 a =1 0,15 11,4 −104 2330 −0,8 1,49 2,98 a =2 0,15 10,7 −88,2 2194 −1,0 2,0 3,35 0,3 a =10 0,25 −8,23 8,53 −368 −14,4 52,8 12,6 a =1 0,15 11,8 −113 2413 −0,75 1,37 2,88 a =2 0,15 11,9 −111 2430 −0,81 1,52 3,0 0,4 a =10 0,3 1,37 −4,11 28,6 −3,14 7,73 5,90 a =1 0,15 11,85 −118 2424 −0,72 1,31 2,84 a =2 0,15 12,1 −123 2480 −0,74 1,31 2,90 0,5 a =10 0,3 12,1 −39,0 253 −1,34 2,66 3,85 a =1 0,15 11,0 −101 2265 −0,72 1,31 2,83 a =2 0,15 10,7 −93 2180 −0,72 1,31 2,83 0,6 a =10 0,15 7,27 −38,0 1487 −0,78 1,43 2,93 a =1 0,15 11,9 −115 2432 −0,72 1,31 2,83 a =2 0,15 12,3 −122 2517 −0,72 1,31 2,83 0,7 a =10 0,2 15,6 −120 1487 −0,75 1,35 2,89 a =1 0,15 10,95 −101 2239 −0,72 1,31 2,83 a =2 0,15 10,4 −92,5 2132 −0,72 1,31 2,83 0,8 a =10 0,15 6,32 −38,0 1293 −0,73 1,32 2,84 a =1 0,15 11,0 −101 2253 −0,72 1,31 2,83 a =2 0,15 10,6 −93,2 2158 0,9 a =10 0,15 6,82 −40,0 1395 −0,74 1,35 2,87 В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 120 ПРИМЕРЫ АППРОКСИМАЦИИ РЕАЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ ДАННЫХ В качестве примеров рассмотрим следующие реальные данные. 1. Концентрация планктона (мг/л) и хлорофилла (мкг/л) в озере На- рочь — всего 132 наблюдений, полученных усреднением многолетних из- мерений [8]. 2. Скорость ветра в штате Аризона за 01.01.2001–01.12.2013 всего 156 наблюдений [9]. 3. Осцилляция волн в Северной Атлантике — 10.1980–10.2014 всего 409 наблюдений [10]. Графическое изображение данных приведено на рис. 1, 2, 3, 4. Применим к этим данным метод аппроксимации согласно описанному выше алгоритму. Значения оценок ,d ,ˆ, H контрольных статистик nA , nB и параметров A и 2 представлены в табл. 4. Рис. 1. Концентрация планктона У ро ве нь п ла нк то на Номер измерения Рис. 2. Концентрация хлорофилла У ро ве нь х ло ро ф ил ла Номер измерения Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 121 Т а б л и ц а 4 . Параметры аппроксимации реальных данных Характеристики Планктон Хлорофилл Скорость ветра Осцилляция волн в Атлантике D 0,55 0,48 0,63 0,61  1,2 1,44 1 1,07 Ĥ 0,3 0,1 0,4 0,1 nA –0,41 –1,26 –274 –3,44 nAA lim –0,48 –1,17 –267 –3,57 nB 0,19 1,2 –123 –6,38 B 0,74 2,46 1921 9,88 Рис. 3. Скорость ветра С ко ро ст ь ве тр а Номер измерения Рис. 4. Осцилляция волн О сц ил ля ци я во лн Номер измерения В.Г. Бондаренко, К.К. Трусковский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 122 Из табл. 4 следует антиперсистентность всех исследуемых данных. Контрольные статистики всех примеров удовлетворяют неравенствам (6), то есть аппроксимация приведенных временных рядов удовлетворитель- на. Возможно наличие детерминированной составляющей для концентра- ции хлорофилла и осцилляции океанских волн. ВЫВОДЫ Рассмотрена следующая задача анализа временных рядов: определить соот- ношение детерминизма (как правило, хаотической природы) и стохастики наблюдаемой временной последовательности. Известные методы решения такой задачи основаны на вычислении доминантного показателя Ляпунова и требуют большого объема выборки. В работе предложен новый метод вы- числения искомого соотношения, использующий идею аппроксимации вре- менного ряда фрактальным броуновским движением. Соотношение хаотич- ность/стохастичность в исследуемом временном ряде определяется значениями статистик, соответствующих этой аппроксимации. ЛИТЕРАТУРА 1. Кузнецов С.П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 296 с. 2. Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Proc- esses. Lecture Notes in Mathematics. V. 1929 // Springer–Verlag, 2008. — 392 p. 3. Beran J. Statisticsfor Long-Memory Processes / Beran J. — Chapmanand Hall. — 1995. — 315 p. 4. Бондаренко В.В. Итерационный алгоритм оценивания параметров фрактально- го броуновского движения // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 28–33. 5. Бондаренко В.В. Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрак- тального броуновского движения // Проблемы управления и информати- ки. — 2013. — № 3. — С. 113–116. 6. Nourdin I., Nualart D., Tudor C. Central and non-central limit the orems for weighted power variations of fractional Brownian motion // Ann. Institute H. Poincaré Probab Statist. — 2010 — 46, № 4. — P. 1055–1079. 7. Бондаренко В.В. Проверка качества аппроксимации временного ряда фрак- тальным броуновским движением // Проблемы управления и информати- ки. — 2014. — № 3. — С. 102–108. 8. Данные Научно-практического центра АН Республики Беларусь. — http:// biobel.bas-net.by/zoo. 9. University of Arisona Tree Ring Data: http://rda.ucar.edu/#!lfd?nb=y&b=topic&v= Paleoclimate. 10. Climate Prediction Center(USA). — http://www.cpc.ncep.noaa.gov/products/precip/ CWlink/pna/pna.shtml. Поступила 21.12.2014

Хаотическая и случайная составляющие в природных временных данных

Репозитарії

Схожі ресурси