Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии
Система уравнений Эйлера–Пуассона, описывающая движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, рассматривается вслучае B ≠ C, x0 ≠ 0, y0 ≠ 0 z0 ≠ 0. Преобразованием Н. Ковалевскогоона сводится к системе двух ОДУ. Спомощью трехмерной степенной геометрии для решений этой системы вслучае общего...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123684 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии / А.Д. Брюно // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 3-15 . — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123684 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1236842017-09-09T03:03:46Z Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии Брюно, А.Д. Система уравнений Эйлера–Пуассона, описывающая движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, рассматривается вслучае B ≠ C, x0 ≠ 0, y0 ≠ 0 z0 ≠ 0. Преобразованием Н. Ковалевскогоона сводится к системе двух ОДУ. Спомощью трехмерной степенной геометрии для решений этой системы вслучае общего положения вычисляются все семейства степенных и степенно-логарифмиче ских асимптотик и разложений. Указываются множества значений параметров A, B, C, в которых разложения всех семейств а) не имеют комплексных показателей, б) не имеютлогарифмов, в) имеют только рациональные показатели. Рассматривается вопрос о дополнительном первом интеграле. Вычисляются характеристики соответствующих семейств разложений решений уравнений Эйлера-Пуассона. 2002 Article Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии / А.Д. Брюно // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 3-15 . — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123684 517.925,531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Система уравнений Эйлера–Пуассона, описывающая движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, рассматривается вслучае B ≠ C, x0 ≠ 0, y0 ≠ 0 z0 ≠ 0. Преобразованием Н. Ковалевскогоона сводится к системе двух ОДУ. Спомощью трехмерной степенной геометрии для решений этой системы вслучае общего положения вычисляются все семейства степенных и степенно-логарифмиче ских асимптотик и разложений. Указываются множества значений параметров A, B, C, в которых разложения всех семейств а) не имеют комплексных показателей, б) не имеютлогарифмов, в) имеют только рациональные показатели. Рассматривается вопрос о дополнительном первом интеграле. Вычисляются характеристики соответствующих семейств разложений решений уравнений Эйлера-Пуассона. |
| format |
Article |
| author |
Брюно, А.Д. |
| spellingShingle |
Брюно, А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии Механика твердого тела |
| author_facet |
Брюно, А.Д. |
| author_sort |
Брюно, А.Д. |
| title |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии |
| title_short |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии |
| title_full |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии |
| title_fullStr |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии |
| title_full_unstemmed |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии |
| title_sort |
анализ уравнений эйлера-пуассона методами степенной геометрии |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123684 |
| citation_txt |
Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии / А.Д. Брюно // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 3-15 . — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT brûnoad analizuravnenijéjlerapuassonametodamistepennojgeometrii |
| first_indexed |
2025-07-09T00:04:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:04:32Z |
| _version_ |
1837125575226949632 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 517.925,531.38
c©2002. А.Д. Брюно
АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА–ПУАССОНА
МЕТОДАМИ СТЕПЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ
Система уравнений Эйлера–Пуассона, описывающая движения тяжелого твердого тела с неподвижной точ-
кой, рассматривается в случае B 6= C, x0 6= 0, y0 = z0 = 0. Преобразованием Н. Ковалевского она сводится к
системе двух ОДУ. С помощью трехмерной степенной геометрии для решений этой системы в случае общего
положения вычисляются все семейства степенных и степенно-логарифмических асимптотик и разложений.
Указываются множества значений параметров A,B,C, в которых разложения всех семейств а) не имеют
комплексных показателей, б) не имеют логарифмов, в) имеют только рациональные показатели. Рассматрива-
ется вопрос о дополнительном первом интеграле. Вычисляются характеристики соответствующих семейств
разложений решений уравнений Эйлера-Пуассона.
1. О степенной геометрии. Пусть X = (x1, . . . , xm) ∈ Cm – вектор зависимых пере-
менных, Y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn – вектор независимых переменных. Положим Z = (X, Y ) =
= (z1, . . . , zm+n) ∈ Cm+n. Дифференциальным мономом a(Z) называется произведение
обычного монома
zq1
1 . . . z
qm+n
m+n
def
= cZQ, c = const ∈ C, Q = (q1, . . . , qm+n) ∈ Rm+n
и конечного числа производных вида
∂lxi
∂yl1
1 . . . ∂yln
n
, lj ≥ 0, l = l1 + . . . + ln.
Сумма f(Z)
def
=
∑
ak(Z) дифференциальных мономов называется дифференциальной сум-
мой.
Степенная геометрия [1] рассматривает системы уравнений вида
fi(Z) = 0, i = 1, . . . ,m, (1)
где fi — дифференциальные суммы, и предлагает алгоритмы для вычислени асимптотик
решений системы (1) при
yj → 0 или yj →∞, j = 1, . . . , n. (2)
В частности — всех асимптотик вида
xi = biY
Ri , bi 6= 0, Ri ∈ Cn, i = 1, . . . ,m, (3)
где bi суть функции от ln yj , кратных логарифмов ln ln yj и т.д. [2]. Для решений X(Y )
системы (1) со степенными асимптотиками (3), где все
bi = const ∈ C, i = 1, . . . ,m, (4)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, про-
ект 02-01-01067
3
А.Д. Брюно
алгоритмы степенной геометрии позволяют найти разложения этих решений в ряды вида
xi = Y Ri
∑
S
biSY S, i = 1, . . . ,m, (5)
где показатели S ∈ Cn и не имеют точек накопления в Cn, а biS — суть многочлены от
ln Y
def
= (ln y1, . . . , ln yn). В частности [3] — все степенные разложения (5) решений, где все
biS = const ∈ C. (6)
Эти асимптотики и разложения были вычислены для системы Н. Ковалевского. Резуль-
таты излагаются ниже.
2. Преобразование Н. Ковалевского уравнений Эйлера–Пуассона. Движения тя-
желого твердого тела с закрепленной точкой описываются системой уравнений Эйлера–
Пуассона
Ap′ + (C −B)qr = Mg(z0γ2 − y0γ3), γ′1 = rγ2 − qγ3,
Bq′ + (A− C)pr = Mg(x0γ3 − z0γ1), γ′2 = pγ3 − rγ1,
Cr′ + (B − A)pq = Mg(y0γ1 − x0γ2), γ′3 = qγ1 − pγ2,
(7)
где штрих означает дифференцирование по времени t; A, B, C, M, g, x0, y0, z0 — веще-
ственные постоянные; A, B, C положительны и удовлетворяют неравенствам треугольника.
Система (1) имеет три общих первых интеграла
Ap2 + Bq2 + Cr2 + 2Mg(x0γ1 + y0γ2 + z0γ3) = h = const,
Apγ1 + Bqγ2 + Crγ3 = l = const, γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = m = const.
(8)
Постоянные h и l произвольны, а m = 1. Предположим, что Mg = 1. Здесь рассмотрим
только случай
B 6= C, x0 6= 0, y0 = z0 = 0. (9)
Для этого случая Н. Ковалевский [4] предложил рассматривать p как независимую пере-
менную, ввел новые зависимые переменные
σ = (B − C)q2/A, τ = (B − C)r2/A (10)
и получил систему уравнений в новых переменных
f1
def
= σ̈τ + σ̇τ̇ /2 + a1 + a2σ + a3τ̇ p + a4τ + a5p
2 = 0,
f2
def
= στ̈ + σ̇τ̇ /2 + b1 + b2σ̇p + b3σ + b4τ + b5p
2 = 0,
(11)
где точка означает дифференцирование по p. При этом
q2 = Aσ/(B − C), r2 = Aτ/(B − C),
γ1 = [h− A(Bσ + Cτ)/(B − C)− Ap2]/(2x0),
γ2 = −C[τ̇ − 2(A−B)p/C]q/(2x0),
γ3 = B[σ̇ − 2(C − A)p/B]r/(2x0), t =
∫
dp /
√
στ.
(12)
При этой замене координат был использован первый из интегралов (8), а два других
принимают соответственно вид
f3
def
= σ̇τ − στ̇ + c1 + c2p + c3σp + c4τp + c5p
3 = 0,
f4
def
= d1(σ̇)2τ + σ(τ̇)2 + d2 + d3σ + d4τ + d5σ
2 + d6σ̇τp+
+d7στ̇p + d8στ + d9τ
2 + d10p
2 + d11σp2 + d12τp2 + d13p
4 = 0.
(13)
4
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
Введем новые параметры
x = A/C, y = B/C, z = h/C, λ = l/C, ξ = x0/C, (14)
тогда величины ai, bi в (11) и ci, di в (13) для m = 1 в (8) суть
a1 = −z/y, a2 = x/(y − 1), a3 = (x− 2)/y,
a4 = (2xy + 2− x− 2y)/(y(y − 1)), a5 = (3x− 2y)/y;
b1 = −z, b2 = 2y − x, b3 = (2y2 + 2x− 2y − xy)/(y − 1),
b4 = x/(y − 1), b5 = 3x− 2;
c1 = −2(y − 1)λξ/(xy), c2 = z(y − 1)/y,
c3 = x− 2y, c4 = (x− 2)/y, c5 = −x(y − 1)/y;
d1 = y2, d2 = (z2 − 4ξ2)(y − 1)/x, d3 = −2zy, d4 = −2z,
d5 = xy2/(y − 1), d6 = −4(1− x)y, d7 = −4(x− y),
d8 = 2xy/(y − 1), d9 = x/(y − 1), d10 = −2z(y − 1),
d11 = 2(2x2 − 3xy + 2y2), d12 = 2(2− 3x + 2x2), d13 = x(y − 1),
(15)
где x, y удовлетворяют неравенствам
x + y ≥ 1, x− y ≥ −1, y − x ≥ −1, y 6= 0, y 6= 1.
Соответствующее множество точек (x, y) обозначено через D и показано на рис. 1. Система
(11) и интегралы (13) обладают симметрией
(σ, τ, p, x, y, z, λ, ξ) = (−τ̄ ,−σ̄, p̄, x̄/ȳ, 1/ȳ, z̄/ȳ, λ̄/ȳ, ξ̄/ȳ). (16)
Для решений σ(p) и τ(p) системы Н. Ковалевского (11) в случае общего положения
при p → 0 и при p →∞ найдены:
а) все степенные асимптотики [6–10]
σ = σ0p
α, τ = τ0p
β, σ0, τ0, α, β ∈ C, σ0, τ0 6= 0, (17)
где
σ0, τ0 = const; (18)
б) все степенно-логарифмические асимптотики [3] вида (17), где σ0 и τ0 суть функции
от ln p и ln ln p;
в) все степенные разложения [5–11] вида
σ = σ0p
α +
∑
s
σsp
α+s, τ = τ0p
β +
∑
s
τsp
β+s, (19)
где α, β, s ∈ C, значения s не имеют точек накопления на C; Re s > 0 и ω = −1, если p → 0,
и Re s < 0 и ω = 1, если p →∞; постоянные коэфициенты σs и τs ∈ C; σ0 и τ0 6= 0;
г) все степенно-логарифмические разложения вида (19), где σ0, τ0 = const 6= 0, а σs и
τs суть многочлены от ln p.
Ниже в пп. 3–6 последовательно излагаются эти результаты, а в пп. 7–9 делаются из
них выводы.
3. Степенные асимптотики. В [6–10] найдено всего 22 семейства F1–F22 степенных
асимптотик (17), (18). Их данные приведены в табл. 1. В первой колонке дан номер k семей-
ства Fk, во второй — номер k̄ симметричного по (16) семейства Fk̄
def
= Fk, в третьей — значе-
ния α, β, ω для семейства Fk, в четвертой, пятой и шестой — ограничения на σ0, τ0 и область
5
А.Д. Брюно
определения семейства Fk соответственно. При этом ϕ0 =
√
16xy2 − 8x2y + 9x2 − 16xy.
На рис. 2 показаны области F0, F1, F′1 и F2, а на рис. 3 — прямые x = 1, x = 2, x = y,
x = 2y и точки x = y = 2 и x = 1, y = 1/2, на которых определены или не определены
некоторые из семейств Fk. Из табл. 1 видно, что только у семейств F9 и F10 при (x, y) ∈ F0
и при (x, y) ∈ F0 соответственно показатели α и β комплексные. В остальных случаях они
вещественные.
4. Степенно-логарифмические асимптотики. Было найдено шесть семейств G1–G6
степенно-логарифмических асимптотик [3]. Семейство G1 определено на кривой
x =
2y(y − 1)
y + 2
(рис. 2, α = −1), для него
σ = cp−1
[
ln p− (β1 + (6/5)(1 + ln ln p)) + O
(
(ln p)−1)] ,
τ = − 2yp2
y + 2
[
1 +
2
ln p
+
3 + 2β1 + (12/5) ln ln p
(ln p)2
+ O
(
1
(ln p)3
)]
,
где c и β1 — произвольные постоянные.
Семейство G3 определено на кривой
x =
16y(y − 1)
8y − 9
(рис. 2, α = 4) и имеет вид
σ =
cp4
(ln p)4
[
1− β1 + (13/5)(1 + ln ln p)
ln p
+ O
(
1
(ln p)2
)]
,
τ = − yp2
8y − 9
[
1− 2
ln p
+
3− β1/2− (13/10) ln ln p
(ln p)2
+ O
(
1
(ln p)3
)]
,
где c и β1 — произвольные постоянные.
Семейство G5 определено для x = 2, y 6= 2 (см. рис. 2, отрезок γ) и имеет вид
σ = p2
[
− 1
2y − 2
+
κ1
(2y − 2)3 ln p
+
κ2 − (2y − 2)yβ2 + κ3 ln ln p
(2y − 2)5(ln p)2
+
+O
(
1
(ln p)3
)]
, τ = p2
[
η0 ln p + β2 + η1 ln ln p + O
(
1
ln p
)]
,
где κ1 = (y−2)(3y−2), κ2 = (y−2)(3y−2)(6y2−10y +5), κ3 = −y(y−2)(3y−2)2(3y−4),
η0 = 2(y − 1)(y − 2)/y, η1 = (y − 2)(3y − 2)(3y − 4)/(2y − 2), а β2 — произвольно.
Семейства G2, G4 и G6 симметричны по (16) семействам G1, G3 и G5 соответственно.
Они определены на линиях x = 2(1− y)/(1 + 2y), x = 16(y − 1)/(9y − 8) и x = 2y, x 6= 1
соответственно (рис. 2, ᾱ = −1, ᾱ = 4 и γ̄).
5. Степенные разложения. Каждой степенной асимптотике
σ = σ0p
α, τ = τ0p
β, σ0, τ0 = const 6= 0 (20)
6
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
решений системы (11) соответствуют четыре собственных числа s1, s2, s3, s4. При постро-
ении соответствующих степенных разложений
σ = σ0p
α +
∑
σsp
α+s, τ = τ0p
β +
∑
τsp
β+s, σs, τs = const (21)
решений системы (11) коэфициенты σs и τs определяются последовательно по росту |Re s|
из системы линейных уравнений. Если число s не является собственным, то матрица этой
системы невырождена, и коэффициенты σs, τs определяются однозначно. Если число s яв-
ляется собственным, то матрица этой системы вырождена, и ее решение имеется только при
выполнении условия совместности. Если это условие выполнено, то имеется однопарамет-
рическое семейство коэффициентов σs, τs. Собственное число s называется критическим,
если ωRe si < 0. Напомним, что ω = −1, если p → 0 (тогда в (21) Re s > 0), и ω = 1, если
p → ∞ (тогда в (21) Re s < 0). Критическое собственное число si называется опасным,
если для s = si имеется нетривиальное условие совместности. Два собственных числа s3 и
s4 соответствуют интегралам f3 и f4 из (13) в том смысле, что при подстановке разложения
(21) в интеграл fi постоянная этого интеграла встречается при s = si (i = 3, 4). Поэтому
эти собственные числа s3 и s4 всегда неопасны. Оставшиеся собственные числа s1 и s2
упорядочим так: Re s1 ≤ Re s2. Оказалось, что опасным может быть только одно из них, и
это происходит в сравнительно редких случаях.
Для 22 семейств Fk степенных асимптотик (20) были вычислены собственные числа
s1, s2, s3, s4 и выделены опасные значения. Соответствующее семейству Fk степенных
асимптотик (20) семейство степенных разложений (21) обозначено какHk. Результаты этих
вычислений представлены в табл. 2. В первой колонке приведен номер семейства k, затем
собственные числа s1, s2, s3, s4, опасные значения, число произвольных коэффициентов в
разложении (21). Эта таблица составлена как продолжение табл. 1. При этом
ϕ1 =
√
(16y2 − 8xy + 9x− 16y)/x,
ϕ3 =
√
(13y + 23)/(y − 1),
ϕ5 =
√
(4x2 − 8xy − 8x + 17y)/y,
и n — любое натуральное число. Из табл. 2 видно, что опасные значени для семейств H5,
H6,H9,H10,H19 встречаются на кривых в множстве D. ДляH6,H9,H10,H19 они показаны
на рис. 4. На нем заштрихованы области, в которых разложени (21) для семейств H9, H10 и
H19 имеют комплексные показатели s+α или s+β. Для семейств H9 и H10 комплексными
являются α и β, а для семействаH19 — числа s1 и s2. СемействоH11 имеет опасные значения
для счетного множества точек на прямой x = y. В частности, в это множество попадает
точка x = y = 2, в которой существует дополнительный первый интеграл С. Ковалевской
[12]. В ней значение s1 = −4/3 и n = 2. Однако в этой точке условие совместности для
семейства H11 выполнено. Кроме того, для y < 1 разложения (11) семейства H11 имеют
комплексные показатели, ибо s1 и s2 комплексные и Re s1 < 0. Наконец, для семейства F22
нет соответствующих степенных разложений, ибо условие совместности везде в области
его определения не выполнено (то есть для x 6= y и x 6= 1). Поэтому семейство H22
отсутствует. Согласно теории [3] разложения (21) могут расходиться только для семейств
H11 — H18; для остальных семейств они сходятся.
6. Степенно-логарифмические разложения. Теперь для степенных асимптотик (20)
будем искать степенно-логарифмические разложени
σ = σ0p
α +
∑
σs(ln p)pα+s, τ = τ0p
β +
∑
τs(ln p)pβ+s (22)
7
А.Д. Брюно
решений системы (11), где σs и τs суть многочлены от ln p. Такие разложения возникают
только в тех случаях, когда не выполнено условие совместности. Согласно табл. 2 они
имеются для семи семейств F5, F6, F9, F10, F11, F12, F19 на опасных кривых и точках в
области D. Кроме того, разложения (22) имеются в случаях кратных критических чисел
si, даже если условие совместности выполнено. Такие случаи имеются для семейств F5
и F6 при s2 = 2 и для семейства F19 при s1 = s2 = −1/2. Причем во всех этих случаях
получаются однопараметрические логарифмы. Все степенно-логарифмические разложения,
соответствующие семейству Fk, объединены в одно семейство Kk.
Для семейства F22 условие совместности не выполнено во всей области определения
(то есть при x 6= y, x 6= 1). Для него разложения (22) имеют вид
σ = σ0p
2 + σ1p +
∞∑
n=2
σn(ln p)p2−n, τ = τ0p
2 + τ1p +
∞∑
n=2
τn(ln p)p2−n, (23)
где
σ0 = (1− x)/y, τ0 = x− y,
σ1 — произвольно, τ1 = −y2σ1,
σ2 = ξ0 + ξ1 ln p + ξ2(ln p)2, τ2 = η0 + η1 ln p + η2(ln p)2,
ξ0, ξ1 — произвольны, ξ2 =
y2(y − 1)σ2
1
2(x− 1)(x− y)
,
η0 = −yξ0 +
[
z − yξ1 +
y2(x− 2y + 1)σ2
1
2(x− y)
]
y − 1
x
,
η1 = −yξ1 −
y3(y − 1)2σ2
1
2x(x− 1)(x− y)
, η2 = − y3(y − 1)σ2
1
2(x− 1)(x− y)
,
σ3 = ζ0 + ζ1 ln p + ζ2(ln p)2, τ3 = ρ0 + ρ1 ln p + ρ2(ln p)2,
ζ0 — произвольно, а ζ1, ζ2, ρ0, ρ1, ρ2
однозначно определяются через σ1, ξ0, ξ1, ζ0;
σn и τn суть многочлены от ln p степени не выше n, их коэффициенты определяются
однозначно. Здесь важно, что σ2 и τ2 суть двупараметрические функции от ln p. Семейство
разложений (23) решений системы (11) обозначим K22.
7. Сортировка разложений. Будем различать следующие четыре сорта разложений
(21) и (22).
Сорт 1. Разложение (21) и все показатели α + s, β + s целые.
Сорт 2. Разложение (21) и все показатели α + s, β + s рациональные.
Сорт 3. Разложение (21) с вещественными показателями α+ s, β + s и разложение (22)
с однопараметрическим логарифмом.
Сорт 4. Разложение (21) с комплексными показателями α + s, β + s и разложение (22)
с двупараметрическим логарифмом.
Очевидно, что с возрастанием сорта увеличивается сложность решения. Для каждой
точки (x, y) ∈ D определим ее сорт как наибольший среди сортов всех разложений, имею-
щихся в этой точке.
Точки множества D, лежащие вне прямых x = 1 и x = y, относятся к сорту 4,
благодаря семейству K22. Поскольку прямые x = 1 и x = y симметричны друг другу по
(16), то достаточно далее рассмотреть только точки прямой x = y. Точки с y < 1 относятся
к сорту 4, ибо разложения семействаH11 имеют там комплексные показатели. Точки с y > 1
имеют сорт 3 и меньше. Точек первого сорта здесь нет. Все точки второго сорта имеют вид
y = 1 + (2− α)/α2, (24)
8
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
где (α, γ) — рациональные точки кривой
α2 + (α− 2)(γ2 − 13/36) = 0. (25)
Кривая (25) имеет счетное число рациональных точек. Некоторые из них представлены в
табл. 3. Замечательно, что в точках y = 2 и y = 4 имеются первый интеграл С. Ковалевской
и частный интеграл Чаплыгина соответственно [12].
8. О существовании дополнительного первого интеграла. К настоящему времени
дополнительный первый интеграл системы (7) известен только в трех случаях [12]: Эйлера,
Лагранжа и С. Ковалевской. При ограничениях (9) имеется только случай С. Ковалевской
для x = y = 2 и для x = 1, y = 1/2. Для x = y = 2 дополнительный первый интеграл
С. Ковалевской для системы (11) имеет вид
f5
def
= (2p2 + τ − z/2)2 + 2σ(2p + τ̇ /2)2 − k = 0,
где k = const.
Будем искать дополнительный первый интеграл системы (11) в виде конечной диффе-
ренциальной суммы с производными не выше первого порядка. Если показатели степеней
переменных предполагаются любыми вещественными, то, согласно результатам п. 7, такой
интеграл может быть только при x = y > 1. Однако, согласно п. 4, при y = 4 и y = 4/3 име-
ются двупараметрические логарифмические асимптотики семейств G1 и G4 соответственно.
Поэтому для y = 4/3 и y = 4 такой интеграл невозможен. В частности, при y = 4 имеется
частный интеграл Чаплыгина, но дополнительного первого интеграла нет.
Если в дополнительном первом интеграле показатели степеней переменных предпола-
гаются рациональными, то, скорее всего, такие интегралы существуют в точках (24), (25),
хотя и не обязательно.
Во всех точках x = y > 1 имеются семействаH1–H7. Другие семействаHk, имеющиеся
при x = y > 1, представлены в табл. 4. В первой колонке указан номер k семейства, во
второй колонке для y ∈ (1, 2) указаны: число произвольных коэффициентов у семейства;
базис показателей α + s, β + s в разложениях (21) этого семейства. В третьей и четвертой
колонках указаны эти же данные для y = 2 и y > 2 соответственно. Семейство H11
имеется во всех трех случаях, но остальные семейства Hk из табл. 4 имеются только для
одного из них. Случай y = 2 это случай С. Ковалевской, когда известен дополнительный
первый интеграл. Во всех трех случаях имеется семейство с четырьмя произвольными
коэффициентами: H10, H20, H15. Согласно общей теории [3] разложения (21) у семейств
H10 и H20 сходятся, а у семейства H15 они могут расходиться, также как у семейств H11,
H13, H17. В табл. 4 номера этих семейств отмечены звездочками. В ней (y− 1)α2 + α− 2 =
= 0, 3(y − 1)γ2 + (y − 1)γ − y − 2 = 0, β = y/(y − 1).
ГИПОТЕЗА. Разложения (21) для семейства H15 расходятся, и при x = y > 2 нет допол-
нительного первого интеграла.
Поэтому новый дополнительный первый интеграл можно ожидать только при
y ∈ (1, 2).
9. Возвращение к системе (7). По формулам (12) из решений системы (11) можно по-
лучить решения системы (7). Разложениям (21) и (22) решений системы (11) соответствуют
разложения
p = tn1
∑
pst
s, q = tn2
∑
qst
s, r = tn3
∑
rst
s, p0, q0, r0 6= 0,
γi = tmi
∑
gist
s, gi0 6= 0, i = 1, 2, 3
(26)
9
А.Д. Брюно
решений системы (7), где Re s ≥ 0, если t → 0, и Re s ≤ 0, если t → ∞. При этом
характер разложения сохраняется, то есть степенные переходят в степенные, а степенно-
логарифмические в степенно-логарифмические. Обозначим через H′
k семейство разложе-
ний решений системы (7), полученное из семейства Hk решений системы (11). Каждое
из семейств H′
k имеет шесть собственных чисел λ1, . . . , λ5, λ6 = −1. В табл. 5 приведены
значени N = (n1, n2, n3), M = (m1, m2, m3), Λ = (λ1, λ2, λ3, λ4, λ5) для семейств H′
k. Сорта
точек (x, y) для системы (7) такие же, как для системы (11), кроме точек x = y = 2 и
x = 1, y = 1/2, которые являются точками первого сорта для системы (7). В них все раз-
ложения (26) не имеют логарифмов, имеют целые показатели и имеется первый интеграл
С. Ковалевской [12].
Логарифмические асимптотики п. 4 переходят в логарифмические асимптотики реше-
ний системы (7). Поэтому все, что было сказано в п. 8 о существовании дополнительного
первого интеграла системы (11) в случае (9), справедливо и для системы (7).
Семейство H′
11 вычислял Аппельрот [13]. Семейства H′
19 и H′
20 вычисляла С. Ковалев-
ская [14], при этом для семейства H′
19 она неверно вычислила собственное число λ3 как 0.
Для некоторых случаев показатели N , M и собственные числа вычислил Гашененко [15].
ЗАМЕЧАНИЕ 1. У системы Н. Ковалевского (11) при λ = 0 есть еще несколько се-
мейств степенных разложений решений. Но им не соответствуют степенные или степенно-
логарифмические разложения решений системы Эйлера–Пуассона (7).
ЗАМЕЧАНИЕ 2. При p → p0 = const 6= 0 имеются степенные разложени решений системы
(11) по p−p0, которые дают степенные разложения для решений системы (7). Согласно п. 2
их изучение не было среди целей настоящей работы. Таким является семейство, названное
И.Н. Гашененко [15] "случай Бобылева–Стеклова".
10. Уравнения П.В. Харламова. Как показал П.В. Харламов [16;17;18, гл. I, п. 3.4],
система Эйлера–Пуассона (7) в общем случае с помощью первых интегралов (8) сводится
к системе двух уравнений
[(a2 − a1)yz + (b2y − b1z)x]
(
y
dz
dx
− z
dy
dx
)
+ (b1y + b2z)(y2 + z2)+
+x
[(
a− a1
2
)
y2 +
(
a− a2
2
)
z2
]
+
a
2
x3 − Ex−m = 0,{
(a− a1)xy + (b1y + b2z)y − b1x
2 + [(a2 − a1)yz + (b2y − b1z)x]
dz
dx
}2
+
+
{
(a− a2)xz + (b1y + b2z)z − b2x
2 + [(a1 − a2)yz + (b1z − b2y)x]
dy
dx
}2
+
+
{
1
2
(ax2 + a1y
2 + a2z
2) + (b1y + b2z)x− E
}2
− Γ2 = 0.
где x — независимая переменная, y и z — две зависимые переменные, постоянные a, a1, a2,
b, b1, b2, E, m, Γ являются определенными функциями от постоянных системы (7) и инте-
гралов (8). Левые части этих уравнений являются дифференциальными суммами. Поэтому
к этой системе также применимы методы трехмерной степенной геометрии, что позволит
получить для решений уравнений Эйлера–Пуассона (7) в общем случае все степенные и
степенно-логарифмические асимптотики и разложения.
Предварительная версия этой работы — препринт [19].
Автор благодарит И.Н. Гашененко за обсуждения по табл. 5 и по замечанию 2.
10
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
Приложение A. Таблицы
Табл. 1. Характеристики семейств Fk
k k̄ α, β, ω σ0 = τ0 = ог. на обл. опр.
1 2 0, 1,−1 λ 6= 0
3 3 0, 0,−1
4 4
2
3
,
2
3
,−1 λ = 0
5 6 −1, 2,−1 − x
y − 1
7 8
x− ϕ0
2(x− 2y)(y − 1)
, 2,−1
x− 2y
2− α
(x, y) ∈ F1 ∪ F′1
9 10
x± ϕ0
2(x− 2y)(y − 1)
, 2, 1
x− 2y
2− α
(x, y) ∈ F2 ∪ F0
11 12 2,
2
3
, 1 − y
y − 1
x = y
13 14 2,
y
y − 1
, 1 − y
y − 1
x = y > 2, λ 6= 0
15 16 2,
y
y − 1
, 1 − y
y − 1
x = y > 2
17 18 2,
y
y − 1
, 1 − y
y − 1
x = y > 2, λ = 0
19 19 2, 2, 1
x− 1
x− 2y
y − x
x− 2
x 6= 1, 2, y, 2y
20 21 2, 2, 1 −1
2
x = y = 2
22 22 2, 2, 1
1− x
y
x− y x 6= 1, y
11
А.Д. Брюно
Табл. 2. Характеристики семейств Hk и K22
k s1 s2 s3 s4 оп. зн. ч. пр. коэф.
1 −1 0 0
1
2
3
3 0 0 1 1 4
4 −1 0 −1
3
0 2
5 −5 + ϕ1
4
ϕ1 − 5
4
0 2 s2 = n− 1 2, 3
7 −2 +
α
2
0 −α− 1 −2α 3
9 −2 +
α
2
0 −α− 1 −2α s1 = n(2− α) 3, 4
11 −1 + ϕ3
6
ϕ3 − 1
6
−1
3
0 s1 = −n + 2
3
2, 3
13 0
3
2
β − 1 0 1− β 3
15 0 0 1− 3
2
β 2− 5
2
β 4
17 0
5
2
β − 2 β − 1 0 2
19 −1 + ϕ5
2
ϕ5 − 1
2
−3 −4
s1 = − 1
n + 2
,
s1 = −2
2, 3, 4
20 −1 0 −3 −4 4
22 −2 −1 −3 −3 s1 = −2 4
Табл. 3. Рациональные точки кривой (25)
k 1 2 3 4 5 6
α±k < 0 −1 −2 −46 −34
81
− 1483
3 · 112
−11177
210
α±k > 0
2
3
1
23
12
17
49
2 · 1483
472
2 · 11177
232 · 25
|γk|
5
6
7
6
20
3
83
2 · 7 · 9
5465
6 · 11 · 47
34181
25 · 3 · 5 · 23
yk − 1 3 1
12
232
81 · 49
172
3 · 112 · 472
14832
210 · 232 · 25
111772
12
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
Табл. 4. Характеристики семейств Hk при x = y > 1
k y ∈ (1, 2) y = 2 y > 2
8 3, 1 и α < −2
10 3; 1 и α > 4
1̃0 4; 1 и
α
2
∈ (1, 2)
11∗ 3;
1
3
и γ 3;
1
3
3;
1
3
и γ
13∗ 3; 1 и β ∈ (1, 2)
15∗ 4; 1 и
β
2
∈ (
1
2
, 1)
17∗ 2; 1 и β ∈ (1, 2)
20 4; 1
Табл. 5. Характеристики семейств H′
k
k N M Λ
1 2, 0, 1 0, 0, 1 −2, 0, 0, 1, 2
3 1, 0, 0 0, 0, 0 1, 0, 0, 0, 2
4 3, 1, 1 0, 0, 0 −3, 0,−1, 0, 2
5 2,−1, 2 −2, 1,−2 −5 + ϕ1
2
,
ϕ1 − 5
2
, 0, 4, 2
7 − 2
α
,−1,− 2
α
−2,− 2
α
− 1,−2
4
α
− 1, 0, 2 +
2
α
, 4, 2
9 − 2
α
,−1,− 2
α
−2,− 2
α
− 1,−2
4
α
− 1, 0, 2 +
2
α
, 4, 2
11 −3,−3,−1 −2,−2, 0
1 + ϕ3
2
,
1− ϕ3
2
, 1, 0, 2
13 − 2
β
,− 2
β
,−1 −2,−2, 1 0,
2
β
− 3, 0, 2− 2
β
, 2
15 − 2
β
,− 2
β
,−1 −2,−2,
2
β
− 2 0, 0, 3− 2
β
, 5− 4
β
, 2
17 − 2
β
,− 2
β
,−1 −2,−2, 3− 2
β
0,
4
β
− 5,
2
β
− 2, 0, 2
19 −1,−1,−1 −2,−2,−2
1 + ϕ5
2
,
1− ϕ5
2
, 3, 4, 2
20 −1,−1,−1 −2,−2,−1 1, 0, 3, 4, 2
13
А.Д. Брюно
Приложение B. Рисунки
Рис. 1. Множество D. Рис. 2. Части F0, F1, F′
1, F′
2 Множества D, отрезки γ, γ
и кривые α = −1, α = −1, α = 4, α = 4.
Рис. 3. Отрезки γ(x = 2y), γ′(x = 2), x = 1, y = 1, x = y
и точки x = y = 2, x = 1, y = 1/2 в множестве D.
Рис. 4. Разбиение множества D на части F0, F0,
F2, F 2, H0, H′
0, H2, H′
2 и некоторые
опасные кривые.
14
Анализ уравнений Эйлера—Пуассона методами степенной геометрии
1. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. – М.: Физматлит,
1998. – 288 с.
2. Брюно А.Д. Асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – (Препринт / РАН
Ин-т. прикл. математики, N 40). – М., 2002. – 23 с.
3. Брюно А.Д. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений //
Докл. РАН. – 2001. – 380, вып. 3. – С. 298–304.
4. Kowalewski N. Eine neue partikulare Losung der Differenzialgleichungen der Bewegung eines schweren starren
Korpers um einen festen Punkt // Math. Ann. – 1908. – 65. – S. 528–537.
5. Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого
тела // Докл. РАН. – 2002. – 386, вып. 1. – С. 11–17.
6. Брюно А.Д., Лунев В.В. Семейства степенных разложений модифицированных движений твердого тела //
Там же. – 2002. – 387, вып. 3. – С. 297–303.
7. Брюно А.Д. Степенные свойства движений твердого тела // Там же. – 2002. – 387, вып. 6.
8. Брюно А.Д., Лунев В.В. Модифицированная система уравнений движения твердого тела. – (Препринт /
РАН Ин-т. прикл. математики, N 49). – М., 2001. – 36 с.
9. Брюно А.Д., Лунев В.В. Локальные разложения модифицированных движений твердого тела. – (Препринт
/ РАН Ин-т. прикл. математики, N 73). – М., 2001. – 39 с.
10. Брюно А.Д., Лунев В.В. Асимптотические разложения модифицированных движений твердого тела. –
(Препринт / РАН Ин-т. прикл. математики, N 90). – М., 2001. – 34 с.
11. Брюно А.Д., Лунев В.В. Свойства разложений модифицированных движений твердого тела. – (Препринт
/ РАН Ин-т. прикл. математики, N 23. – М., 2002. – 44 с.
12. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной
точки. – М.: Гостехиздат, 1953. – 287 с.
13. Аппельрот Г.Г. По поводу первого параграфа мемуара С.В. Ковалевской // Матем. сборник. – 1892. – 16,
вып. 3. – С. 483–507, 592–596.
14. Ковалевская С.В. Об одном свойстве системы дифференциальных уравнений, определяющей вращение
твердого тела около неподвижной точки // Научные работы. – М.; Л.: Из-во АН СССР, 1948. – С. 221–234.
15. Гашененко И.Н. О мероморфных решениях уравнений Эйлера–Пуассона // Механика твердого тела. –
1999. – Вып. 28. – С. 1–8.
16. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-ние НГУ, 1965. – 221 с.
17. Харламов П.В. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Прикл.
математика и механика. – 1963. – 27, вып. 4. – С. 703–707.
18. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. – М.: Наука, 1977. – 328 с.
19. Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера–Пуассона методами степенной геометрии. – (Препринт / РАН Ин-т.
прикл. математики, N 41). – М., 2002. – 20 с.
Ин-т прикл. математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва
bruno@spp.keldysh.ru
Получено 01.12.2002
15
|