Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле

В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в двойном постоянном силовом поле О.И.Богоявленский указал случай интегрируемости, обобщающий 1-й класс особо замечательных движений по Аппельроту волчка Ковалевской. В данной работе построены инвариантные соотношения, определяющие четырех...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2002
Автор:	Харламов, М.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2002
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123686
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 32-38. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123686
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1236862017-09-09T03:03:45Z Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле Харламов, М.П. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в двойном постоянном силовом поле О.И.Богоявленский указал случай интегрируемости, обобщающий 1-й класс особо замечательных движений по Аппельроту волчка Ковалевской. В данной работе построены инвариантные соотношения, определяющие четырехмерное симплектическое подмногообразие фазовогопространства, на котором исходная система интегрируется по Якоби. Тем самым указано двухпараметрическое семейство двоякопериодических движений волчка, обобщающее 2-й и 3-й классы Аппельрота. 2002 Article Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 32-38. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123686 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в двойном постоянном силовом поле О.И.Богоявленский указал случай интегрируемости, обобщающий 1-й класс особо замечательных движений по Аппельроту волчка Ковалевской. В данной работе построены инвариантные соотношения, определяющие четырехмерное симплектическое подмногообразие фазовогопространства, на котором исходная система интегрируется по Якоби. Тем самым указано двухпараметрическое семейство двоякопериодических движений волчка, обобщающее 2-й и 3-й классы Аппельрота.
format	Article
author	Харламов, М.П.
spellingShingle	Харламов, М.П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле Механика твердого тела
author_facet	Харламов, М.П.
author_sort	Харламов, М.П.
title	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
title_short	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
title_full	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
title_fullStr	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
title_full_unstemmed	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
title_sort	один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка ковалевской в двойном постоянном поле
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123686
citation_txt	Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 32-38. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovmp odinklassrešenijsdvumâinvariantnymisootnošeniâmizadačiodviženiivolčkakovalevskojvdvojnompostoânnompole
first_indexed	2025-07-09T00:04:48Z
last_indexed	2025-07-09T00:04:48Z
_version_	1837125594028965888
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 531.38 c©2002. М.П.Харламов ОДИН КЛАСС РЕШЕНИЙ С ДВУМЯ ИНВАРИАНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в двойном постоянном силовом поле О.И.Бо- гоявленский указал случай интегрируемости, обобщающий 1-й класс особо замечательных движений по Аппельроту волчка Ковалевской. В данной работе построены инвариантные соотношения, определяющие четырехмерное симплектическое подмногообразие фазового пространства, на котором исходная система ин- тегрируется по Якоби. Тем самым указано двухпараметрическое семейство двоякопериодических движений волчка, обобщающее 2-й и 3-й классы Аппельрота. Введение. При исследовании задач классической механики с n степенями свободы различают понятия интегрируемости по Лиувиллю и по Якоби. В первом случае имеется n независимых первых интегралов в инволюции и соответствующая система Гамильтона из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений сводится (теоретически) к "просто- му"потоку на n-мерной поверхности. Во втором – уравнения имеют 2n − 2 независимых первых интеграла, и решение задачи сводится к интегрированию двух дифференциаль- ных уравнений, обладающих известным множителем Якоби (в современных терминах – к системе с интегральным инвариантом на двумерном торе). Очевидно, при n = 2 эти ситу- ации выражают одно и то же. Случай формальной равносильности обсуждаемых понятий возникает, если среди n интегралов в инволюции имеется n − 2 интеграла, порожденных симметриями потенциала и кинетической энергии. Тогда задача сводится игнорированием составляющих движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы естествен- ного вида (фазовое пространство устроено как пространство координат-скоростей, функция Лагранжа квадратична по обобщенным скоростям). Типичные интегральные многообразия приведенной системы – двумерные торы, и траектории на них условно-периодические. Следствием трехмерной евклидовости нашего мышления является тот факт, что для исследователя, желающего представить себе картину реального движения, якобиева инте- грируемость является предпочтительной. Действительно, в случае с симметриями двояко- периодичны лишь траектории приведенной системы, а движения в исходной n-мерны по существу (кратко назовем это приводимой задачей). Интегрируемость по Якоби означа- ет, что именно траектории исходной, реальной механической системы целиком лежат на двумерных поверхностях, которые легко представляются в R3 и проекции которых на про- странства с физическим смыслом (например, годографы или следы вертикали в подвижных осях в динамике твердого тела) могут быть реально изучены. Общие случаи интегрируемости в динамике твердого тела с осесимметричным потен- циалом относятся к приводимым задачам. Они условно интерпретируются как двумерные путем игнорирования прецессионной составляющей движения, а траектории, изобража- ющие эволюцию матрицы конфигурации тела, в общем случае по-прежнему заполняют трехмерный тор. Именно поэтому, например, обозримая классификация неподвижных годо- графов представляется крайне сложной задачей. Отказ же от осесимметричности силовых полей исключает и возможность какого-либо естественного с механической точки зрения 32 Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями приведения к двумерным пространствам конфигураций. В силу сказанного представляет значительный интерес рассмотрение случаев инте- грируемости по Якоби полной системы уравнений движения твердого тела вокруг непо- движной точки, то есть случаев, когда интегральные многообразия двумерны по существу. Для приводимых задач соответствующие решения уравнений Эйлера-Пуассона будут, во- обще говоря, особыми замкнутыми траекториями эллиптического или гиперболического типа. Такие решения называют частными. Обычно, при фиксированных характеристиках тела, частное решение представляет собой изолированную замкнутую траекторию. Поиск частных решений осуществляется методом инвариантных соотношений [1]. Геометрически понятно, что для выявления частного решения (одномерного интегрального многообразия) необходимо в 6-мерном фазовом пространстве переменных Эйлера-Пуассона приведенной задачи указать кроме интегралов энергии, площадей и геометрического еще два независи- мых соотношения. При отсутствии симметрии силового поля уравнения Эйлера-Пуассона содержат 12 переменных и имеют семь независимых интегралов (интеграл энергии и шесть геометриче- ских). Поэтому для интегрируемости по Якоби требуется наличие еще трех инвариантных соотношений. В данной работе такое решение найдено для задачи о движении твердого тела в двойном постоянном поле. 1. Основные уравнения. Рассмотрим задачу о движении твердого тела вокруг непо- движной точки в классе потенциальных полей с силовой функцией вида (скобками обозна- чено скалярное произведение) (e1, α) + (e2, β), (1) где векторы e1, e2 фиксированы в теле, а α, β неизменны в пространстве. В случае β = 0 (или, что то же самое, α × β = 0) имеем классическую задачу о движении тяжелого твердого тела. Силовой функцией вида (1) обладают, например, задачи о движении намаг- ниченного тела с фиксированным магнитным моментом в постоянных гравитационном и магнитном полях или заряженного тела с неподвижными в нем зарядами в постоянных гравитационном и электрическом полях. В предположении α×β 6= 0 матрица ориентации тела и действующие силы полностью определены компонентами в подвижных осях пары векторов α, β, и поэтому конфигурационное пространство задачи (группа ортогональных 3 × 3-матриц) не приводится, в отличие от случая одного поля, к пространству меньшей размерности. Соответствующие уравнения движения Iω• = Iω × ω + e1 ×α + e2 × β, (2) α• = α× ω, β• = β × ω (3) можно рассматривать как уравнения в пространстве R9 с тремя геометрическими интегра- лами (α, α) = a2, (β, β) = b2, (α, β) = c. (4) Уравнения (2), (3) имеют интеграл энергии H = 1 2 (Iω, ω)− (e1, α)− (e2, β). Линейного интеграла типа интеграла площадей в общем случае нет. 33 М.П.Харламов Выберем в качестве подвижных осей главные оси тензора I = diag (A1, A2, A3). В дальнейшем нам удобно считать векторы e1, e2 единичными, а все характеризующие по- ля множители включить в параметры a, b, c соотношений (4). Полагая √ A3/u0 едини- цей измерения времени (u0 – некоторая общая единица измерения компонент векторов α, β ), будем записывать уравнения движения в безразмерных переменных (формально это равносильно предположению A3 = 1). Произволом в выборе u0 можно распорядиться так, что одна из констант a, b, c станет равной 1. Однако нам удобно сохранить обозначения (4) для симметричности последующих выкладок. Рассмотрим аналог случая Ковалевской A1 = A2 = 2A3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0). Уравнения Эйлера примут вид 2ω• 1 = ω2ω3 + β3, 2ω• 2 = −ω1ω3 − α3, ω• 3 = α2 − β1. (5) Они замыкаются уравнениями Пуассона (3). О.И. Богоявленский [2] показал, что уравнения (3), (5) имеют первый интеграл типа Ковалевской K = J2 1 + J2 2 , (6) где J1 = ω2 1 − ω2 2 + α1 − β2, J2 = 2ω1ω2 + α2 + β1, и отметил существование на нулевом уровне интеграла (6) J1 = 0, J2 = 0 (7) дополнительного частного интеграла J3 = 2ω3(ω 2 1 + ω2 2) + ω1α3 + ω2β3, постоянная которого произвольна. Таким образом, системой инвариантных соотношений (7) определено четырехмерное многообразие M4, не зависящее от постоянных интегрирования, на котором индуцирован- ная (а не приведенная) система дифференциальных уравнений имеет два интеграла H = h, J3 = j (8) с произвольными постоянными h, j. Таким образом, исходная система имеет частный слу- чай интегрируемости по Якоби. Полученную систему на M4 можно представить в гамиль- тоновой форме [2], однако M4 не имеет структуры фазового пространства механической системы (<координаты-скорости>). Строение многообразия M4 и топология двумерных интегральных многообразий (8) изучены в работе [3]. Решение Богоявленского обобщает классический случай Б.Н.Делоне. 2. Новое решение с двумя инвариантными соотношениями. Ниже под словом "про- изводная", если явно не оговорено противное, мы понимаем дифференцирование функций переменных ωi, αj, βk в силу уравнений (3), (5), то есть производную по времени вдоль траекторий. Заметим, что производная любого выражения, не содержащего ω3, линейна по ω3. По- этому, указав линейную форму от угловых скоростей, производная которой, в свою очередь, от ω3 не зависит, можно надеяться замкнуть цепочку дифференцирований и получить тем самым инвариантное соотношение в смысле [1]. 34 Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями Следуя идее С.В.Ковалевской [4] о введении комплексных переменных, выполним следующую замену (i 2 = −1): ν1 = ω1 + iω2, x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), z1 = α3 + iβ3, ν2 = ν1, x2 = x1, y2 = y1, z2 = z1. (9) Обозначая штрихом дифференцирование по τ = it, получим из (3), (5) 2ν ′ 1 = −(ν1ω3 + z1), 2ν ′ 2 = ν2ω3 + z2, 2ω′ 3 = y2 − y1, x′ 1 = −x1ω3 + z1ν1, y′1 = −y1ω3 + z2ν1, 2z′1 = x1ν2 − y2ν1, x′ 2 = x2ω3 − z2ν2, y′2 = y2ω3 − z1ν2, 2z′2 = −x2ν1 + y1ν2. (10) Положим θ = x1x2, W1 = x2z1ν1 + x1z2ν2, W2 = x2z1ν1 − x1z2ν2 (11) и заметим, что θ′ = W2, W ′ 1 = 1 2 W2ω3 + ..., где невыписанные слагаемые не содержат ω3. Составим комбинацию θmω3 − θnW1. Коэффициент при ω3 в ее производной будет равен mθm−1θ′ − 1 2 θnW2 = (mθm−1 − 1 2 θn)W2 и обратится в ноль при m = 1 2 , n = −1 2 . Таким образом, "подозрительной"на генерацию цепочки инвариантных соотношений является функция F1 = √ x1x2ω3 − 1 √ x1x2 (x2z1ν1 + x1z2ν2). Дифференцируя в силу (10), находим d dτ F1 = 1 2 √ x1x2 [x2 x1 (z2 1 + x1y2)(ν 2 1 + x1)− x1 x2 (z2 2 + x2y1)(ν 2 2 + x2) ] . (12) При этом из геометрических тождеств (4) следует, что z2 1 + x1y2 = (a2 − b2) + 2ic = c1 = const, z2 2 + x2y1 = (a2 − b2)− 2ic = c2 = const. Введем обозначения U1 = x2 x1 c1 (ν2 1 + x1), U2 = x1 x2 c2 (ν2 2 + x2), U2 = U1. (13) 35 М.П.Харламов Дифференцируя агрегаты (13) в силу (10), найдем d dτ U1 = c1 x2 1 (ν2 1 + x1)[x1x2ω3 − (x2z1ν1 + x1z2ν2)], d dτ U2 = − c2 x2 2 (ν2 2 + x2)[x1x2ω3 − (x2z1ν1 + x1z2ν2)], откуда d dτ (U1 − U2) = = √ x1x2 [ c1 x2 1 (ν2 1 + x1) + c2 x2 2 (ν2 2 + x2) ](√ x1x2ω3 − x2z1ν1 + x1z2ν2√ x1x2 ) . (14) Обозначая F2 = U1 − U2, перепишем (12), (14) в виде d dτ F1 = 1 2 √ x1x2 F2, d dτ F2 = 1 √ x1x2 (U1 + U2)F1. Следовательно, система соотношений F1 = 0, F2 = 0 (15) определяет инвариантное подмногообразие фазового пространства уравнений (10). С уче- том геометрических тождеств (4), зависящих только от параметров тела и силового поля, это многообразие имеет размерность 4. Обозначим его через N4. Заметим, что в (11), (13) выражения θ и W1 вещественны, а разность U1 − U2 чисто мнимая. Поэтому соотношения (15) можно записать в виде x1x2ω3 − 2Re(x2z1ν1) = 0, Im[x2 2c1(ν 2 1 + x1)] = 0, что после подстановки (9) приводит к следующим инвариантным соотношениям в исходных переменных: 1 2 (ξ2 1 + ξ2 2)ω3 − [(ξ1ω1 + ξ2ω2)α3 + (ξ2ω1 − ξ1ω2)β3] = 0, 2[c(ξ2 1 − ξ2 2)− (a2 − b2)ξ1ξ2](ω 2 1 − ω2 2 + ξ1)+ (16) +[(a2 − b2)(ξ2 1 − ξ2 2) + 4cξ1ξ2](2ω1ω2 + ξ2) = 0. Здесь обозначено ξ1 = α1 − β2, ξ2 = α2 + β1. Уравнения движения на многообразии N4, определяемом соотношениями (16), имеют два независимых первых интеграла H = ω2 1 + ω2 2 + 1 2 ω2 3 − α1 − β2 ≡ h, (17) K = (ω2 1 − ω2 2 + α1 − β2) 2 + (2ω1ω2 + α2 + β1) 2 ≡ k. Из общих теорем динамики следует, что если на совместном уровне (17) нет непо- движных точек (а в этой задаче это только положения равновесия, которых ровно два) и 36 Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями градиенты функций H, K линейно независимы, то каждая связная компонента (17) есть двумерный тор, траектории на котором удовлетворяют дифференциальным уравнениям с последним множителем Якоби, и, следовательно, заменой времени сводятся к условно- периодическим. Тем самым указано двухпараметрическое семейство (h, k – произвольны) двоякопери- одических движений твердого тела в двойном постоянном силовом поле при условиях типа Ковалевской. 3. Классический аналог. Полагая в рассматриваемой задаче β = 0 (второе поле от- сутствует), приходим к случаю С.В.Ковалевской [4]. Приведенное фазовое пространство переменных Эйлера-Пуассона имеет размерность 5, а инвариантные соотношения (16) принимают вид (напомним, что оставшимся произволом в выборе единицы измерения u0 можно распорядиться так, что (α, α) = 1 ): 1 2 (α2 1 + α2 2) ω3 − (α1ω1 + α2ω2) α3 = 0, (18) 2α1α2 (ω2 1 − ω2 2 + α1)− (α2 1 − α2 2)(2ω1ω2 + α2) = 0. (19) Условие пропорциональности сомножителей в (19) при подстановке в интеграл Кова- левской дает ω2 1 − ω2 2 + α1 = α2 1 − α2 2 α2 1 + α2 2 √ k, (20) 2ω1ω2 + α2 = 2α1α2 α2 1 + α2 2 √ k. Имеет место интеграл площадей G = α1ω1 + α2ω2 + 1 2 α3ω3 ≡ g. Составляя комбинацию Ψ = 2G2 −H , получим Ψ = −1 2 (α2 1 + α2 2)[ω3 − 2α3 α1ω1 + α2ω2 α2 1 + α2 2 ]2+ (21) + 1 α2 1 + α2 2 [(α2 1 − α2 2)(ω 2 1 − ω2 2 + α1) + 2α1α2(2ω1ω2 + α2)]. При условиях (18), (20) последнее выражение обращается в условие (значение √ k – алгебраическое): 2g2 − h = √ k, (22) которое задает 2-й и 3-й классы движений по Аппельроту [5, 6]. Исходя из структуры выражений (21), (22), заключаем, что трехмерное многообразие (18), (19) есть в точно- сти множество критических точек комбинированного первого интеграла (2G2 −H)2 −K. В частности, один из классических интегралов на рассматриваемом инвариантном мно- жестве избыточен, а два других определяют замкнутые траектории. Это, естественно, те решения, на которых одна из переменных Ковалевской остается постоянной. Подчеркнем, что соответствующие движения в полном фазовом пространстве (с учетом прецессии) дво- якопериодические для почти всех постоянных интегрирования в условии (22). 37 М.П.Харламов Таким образом, найденное в данной работе семейство решений (16) обобщает сово- купность так называемых особо замечательных движений 2-го и 3-го классов Аппельрота. 1. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика твер- дого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15-24. 2. Богоявленский О.И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле // Докл. АН СССР. – 1984. – 275, № 6. – С. 1359-1363. 3. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Regular and chaotic dynamics. – 2000. – 5, № 4. – P. 437-458. 4. Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. – В кн.: Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940.- С. 11-49. 5. Аппельрот Г.Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы. – В кн.: Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. – М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1940. – С. 61-156. 6. Ипатов А.Ф. Движение гироскопа С.В.Ковалевской на границе области ультраэллиптичности // Уч. за- писки Петрозаводского ун-та. – 1970. – 18, вып. 2. – С. 6-93. Волгоградская академия государственной службы, Россия techmech@iamm.ac.donetsk.ua Получено 15.11.2002 38

Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле

Репозитарії

Схожі ресурси