Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента

Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени т = εt (ε << 1 - малый параметр, t - время) и угла нутации θ, а также возмущающего момента, медленно изменя...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2002
Hauptverfasser:	Акуленко, Л.Д., Козаченко, Т.А., Лещенко, Д.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2002
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123691
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 77-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123691
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1236912017-09-09T03:04:09Z Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента Акуленко, Л.Д. Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени т = εt (ε << 1 - малый параметр, t - время) и угла нутации θ, а также возмущающего момента, медленно изменяющегося во времени. Тело предполагается быстро закрученным, проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела предполагаются малыми по сравнению с восстанавливающим моментом. Получены усредненные системы уравнений движения в первом и втором приближениях для существенно нелинейной двухчастотной системы. Рассмотрены примеры движения тела под действием конкретного вида возмущающего и управляющего моментов сил. 2002 Article Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 77-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123691 531.383 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени т = εt (ε << 1 - малый параметр, t - время) и угла нутации θ, а также возмущающего момента, медленно изменяющегося во времени. Тело предполагается быстро закрученным, проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела предполагаются малыми по сравнению с восстанавливающим моментом. Получены усредненные системы уравнений движения в первом и втором приближениях для существенно нелинейной двухчастотной системы. Рассмотрены примеры движения тела под действием конкретного вида возмущающего и управляющего моментов сил.
format	Article
author	Акуленко, Л.Д. Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д.
spellingShingle	Акуленко, Л.Д. Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента Механика твердого тела
author_facet	Акуленко, Л.Д. Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д.
author_sort	Акуленко, Л.Д.
title	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
title_short	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
title_full	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
title_fullStr	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
title_full_unstemmed	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
title_sort	возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123691
citation_txt	Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 77-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT akulenkold vozmuŝennyevraŝeniâtverdogotelapoddejstviemnestacionarnogovosstanavlivaûŝegomomenta AT kozačenkota vozmuŝennyevraŝeniâtverdogotelapoddejstviemnestacionarnogovosstanavlivaûŝegomomenta AT leŝenkodd vozmuŝennyevraŝeniâtverdogotelapoddejstviemnestacionarnogovosstanavlivaûŝegomomenta
first_indexed	2025-07-09T00:05:21Z
last_indexed	2025-07-09T00:05:21Z
_version_	1837125624149311488
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 531.383 c©2002. Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко ВОЗМУЩЕННЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени τ = εt (ε � 1 – малый параметр, t – время) и угла нутации θ, а также возмущающего момента, медленно изменяющегося во времени. Тело предполагается быстро закрученным, проекции вектора возмущающего момента на глав- ные оси инерции тела предполагаются малыми по сравнению с восстанавливающим моментом. Получены усредненные системы уравнений движения в первом и втором приближениях для существенно нелинейной двухчастотной системы. Рассмотрены примеры движения тела под действием конкретного вида возмущаю- щего и управляющего моментов сил. Рассмотрим движение динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки O под действием восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени τ = εt и угла нутации θ, а также возмущающего момента, медленно изменяющегося во времени. Уравнения движения имеют вид Aṗ+ (C − A)qr = k(τ, θ) sin θ cosϕ+M1, Aq̇ + (A− C)pr = −k(τ, θ) sin θ sinϕ+M2, Cṙ = M3, Mi = Mi(p, q, r, ψ, θ, ϕ, τ), τ = εt (i = 1, 2, 3), (1) ψ̇ = (p sinϕ+ q cosϕ) cosec θ, θ̇ = p cosϕ− q sinϕ, ϕ̇ = r − (p sinϕ+ q cosϕ) ctg θ. Здесь p, q, r – проекции вектора угловой скорости тела на его главные оси инерции тела, проходящие через точку O. Величины Mi – проекции вектора возмущающего момен- та на те же оси. Они зависят от медленного времени τ = εt и являются периодическими функциями углов Эйлера ψ, ϕ, θ с периодами 2π. Здесь A – экваториальный, C – осевой моменты инерции тела относительно точки O,A 6= C. Предполагается, что на тело действу- ет восстанавливающий момент k(τ, θ), медленно изменяющийся во времени и зависящий от угла нутации. При отсутствии возмущений Mi = 0 и k(τ, θ) = const уравнения (1) отвечают случаю волчка Лагранжа. Система (1) исследуется при условии выполнения предположений (p2 + q2) 1 2 � r, Cr2 � k, \|Mi\| � k (i = 1, 2, 3), (2) которые означают, что направление угловой скорости тела близко к оси динамической симметрии; угловая скорость осевого вращения достаточно велика, так что кинетическая энергия тела много больше потенциальной энергии, обусловленной восстанавливающим моментом; проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела малы по сравнению с восстанавливающим моментом. 77 Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко Неравенства (2) позволяют ввести следующие соотношения p = εP, q = εQ, k(τ, θ) = εK(τ, θ), τ = εt, Mi = ε2M∗ i (P,Q, r, ψ, θ, ϕ, τ) (i = 1, 2, 3). (3) Новые переменные P,Q, а также переменные r, ψ, θ, ϕ, функции K, M∗ i (i = 1, 2, 3) и параметры A,C предполагаются ограниченными величинами порядка единицы при ε→ 0. Ставится задача исследования асимптотического поведения системы (1) при малом ε, если выполнены условия (2), (3). Это исследование будет проводиться методом усреднения [1, 2] на интервале времени порядка ε−1. Метод усреднения широко применялся в зада- чах динамики твердого тела. Упрощающие предположения (2) или (3) дают возможность получить в общем случае довольно простую схему усреднения и исследовать ряд примеров. Сделаем в системе (1) замену переменных (3). Сократив обе части первых двух урав- нений (1) на ε, получим AṖ + (C − A)Qr = K(τ, θ) sin θ cosϕ+ εM∗ 1 , AQ̇+ (A− C)Pr = −K(τ, θ) sin θ sinϕ+ εM∗ 2 , Cṙ = ε2M∗ 3 , ψ̇ = ε(P sinϕ+Q cosϕ) cosec θ, (4) ϕ̇ = r − ε(P sinϕ+Q cosϕ) ctg θ, θ̇ = ε(P cosϕ−Q sinϕ). По терминологии [1, 2] система (4) является двухчастотной и существенно нелинейной. Рассмотрим сначала систему нулевого приближения и положим ε = 0 в (4). Из послед- них четырех уравнений находим r = r0, ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = r0t+ ϕ0, K0 = K(τ0, θ0). (5) Здесь r0, ψ0, θ0, ϕ0, τ0 – постоянные, равные начальным значениям переменных при t = 0. Подставим равенства (5) в первые два уравнения (4) при ε = 0 и проинтегрируем полученную систему линейных уравнений для P,Q. Получим P = a cos γ + b sin γ +K(τ, θ)C−1r−1 sin θ sinϕ, Q = a sin γ − b cos γ +K(τ, θ)C−1r−1 sin θ cosϕ, a = P0 −K0C −1r−1 0 sin θ0 sinϕ0, b = −Q0 +K0C −1r−1 0 sin θ0 cosϕ0, (6) γ̇ = n, γ(0) = 0, n = (C − A)A−1r 6= 0, ∣∣∣n r ∣∣∣ 6 1, α = ϕ+ γ, r = r0 + εδ. Здесь a, b – оскулирующие переменные типа Ван дер Поля, введенные вместо (3), а пере- менная γ имеет смысл фазы колебаний. Рассмотрим систему (4) при ε 6= 0 и соотношения (6) как формулы замены перемен- ных (содержащие переменную γ), определяющие переход от переменных P,Q к перемен- ным a, b и обратно. Пользуясь этими формулами, перейдем в системе (4) от переменных P,Q, r, ψ, θ, ϕ, τ к новым переменным a, b, δ, ψ, θ, α, γ, τ. Отметим, что фазы ϕ, α, γ связаны конечным соотношением, которое оказывается более удобным для дальнейших исследова- ний стандартной системы с двумя вращающимися фазами γ, α. После ряда преобразований 78 Возмущенные вращения твердого тела получим систему вида ȧ= εA−1(M0 1 cos γ +M0 2 sin γ)− εK(τ, θ)C−1r−1 0 cos θ × ×(b−K(τ, θ)C−1r−1 0 sin θ cosα)− εC−1r−1 0 sin θ sinα× × [ ∂K(τ, θ) ∂θ (a cosα+ b sinα) + ∂K(τ, θ) ∂τ ] + ε2K(τ, θ)C−2r−2 0 M0 3 sin θ sinα+ +ε2K(τ, θ)C−1r−2 0 δ cos θ(b− 2K(τ, θ)C−1r−1 0 sin θ cosα) + +ε2C−1r−2 0 δ sin θ sinα [ ∂K(τ, θ) ∂θ (a cosα+ b sinα) + ∂K(τ, θ) ∂τ ] , ḃ= εA−1(M0 1 sin γ −M0 2 cos γ) + εK(τ, θ)C−1r−1 0 cos θ × ×(a+K(τ, θ)C−1r−1 0 sin θ sinα) + εC−1r−1 0 sin θ cosα× × [ ∂K(τ, θ) ∂θ (a cosα+ b sinα) + ∂K(τ, θ) ∂τ ] − ε2K(τ, θ)C−2r−2 0 M0 3 sin θ cosα− (7) −ε2K(τ, θ)C−1r−2 0 δ cos θ(a+ 2K(τ, θ)C−1r−1 0 sin θ sinα)− −ε2C−1r−2 0 δ sin θ cosα [ ∂K(τ, θ) ∂θ (a cosα+ b sinα) + ∂K(τ, θ) ∂τ ] , δ̇= εC−1M0 3 , θ̇ = ε(a cosα+ b sinα), ψ̇= ε(a sinα− b cosα) cosec θ + εK(τ, θ)C−1r−1 0 − ε2K(τ, θ)C−1r−2 0 δ, α̇=CA−1r0 + εCA−1r0δ − ε(a sinα− b cosα) ctg θ − −εK(τ, θ)C−1r−1 0 cos θ + ε2K(τ, θ)C−1r−2 0 δ cos θ, γ̇= (C − A)A−1r0 + ε(C − A)A−1δ, M 0 i ( a, b, δ, ψ, θ, α, γ, τ) = M∗ i (P,Q, r, ψ, θ, ϕ, τ) (i = 1, 2, 3). При рассмотрении системы (7) используем подход, изложенный в работе [3] для посто- янного восстанавливающего момента k = const и в [4,5] для восстанавливающего момента, зависящего от угла нутации k(θ). Система уравнений (7) может быть приведена к виду ẋ= εF1(x, y) + ε2F2(x, y), x(0) = x0, ẏ1 =ω1 + εg1(x, y) + ε2g2(x, y), y1(0) = y10, (8) ẏ2 =ω2 + εh1(x, y) + ε2h2(x, y), y2(0) = y20, где вектор-функция x = (x1, . . . , x5) составлена из медленных переменных a, b, δ, ψ, θ; через y1 и y2 обозначены быстрые переменные α, γ; через ω1, ω2 – постоянные фазы, равные CA−1r0 и (C−A)A−1r0 соответственно. Функции Fi, gi, hi (i = 1, 2) определяются правыми частями уравнений (7). Двумерный вектор (g1, h1) обозначим Z1. Так как возмущающие моменты M∗ i (i = 1, 2, 3) периодичны по ϕ с периодом 2π, то согласно замене (6) функции M0 i из (7) будут периодическими функциями α и γ с периодами 2π. Согласно известной процедуре построения асимптотики [2], ищем замену переменных x=x∗ + εu1(x ∗,y∗) + ε2u2(x ∗,y∗) + . . . , y =y∗ + εv1(x ∗,y∗) + ε2v2(x ∗,y∗) + . . . , (9) y = (y1, y2), x∗ = (x∗1, . . . , x∗5), y∗ = (y∗1, y∗2) 79 Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко такую, чтобы система (8) в новых переменных приняла вид ẋ∗ = εA1(x ∗) + ε2A2(x ∗) + . . . , ẏ∗ = ω + εB1(x ∗) + ε2B2(x ∗) + . . . , ω = (ω1, ω2). (10) Известно [2], что уравнения для вектор-функций u1,v1 записываются следующим образом ω ∂u1 ∂y∗ = F1(x ∗,y∗)−A1(x ∗), ω ∂v1 ∂y∗ = Z1(x ∗,y∗)−B1(x ∗), (11) где ( ∂f ∂x ) – матрица частных производных ∥∥∥∥ ∂fi∂xj ∥∥∥∥ (i, j = 1, . . . , 5).Функции A1(x ∗),B1(x ∗) определяются по формулам A1(x ∗) = 1 4π2 2π∫ 0 2π∫ 0 F1(x ∗,y∗)dy∗1dy∗2, B1(x ∗) = 1 4π2 2π∫ 0 2π∫ 0 Z1(x ∗,y∗)dy∗1dy∗2. (12) Функция u2(x ∗,y∗) должна быть решением уравнения ω ∂u2 ∂y∗ = G(x∗,y∗)−A2(x ∗), G(x∗,y∗) = F2(x ∗,y∗) + u1 ∂F1 ∂x∗ + v1 ∂F1 ∂y∗ −A1(x ∗) ∂u1 ∂x∗ −B1(x ∗) ∂u1 ∂y∗ . (13) Функция A2(x ∗) находится по формуле A2(x ∗) = 1 4π2 2π∫ 0 2π∫ 0 G(x∗,y∗)dy∗1dy∗2. (14) Определяем усредненную систему уравнений первого приближения для медленных пере- менных ẋ∗ 1 = εA1(x ∗ 1), x∗ 1(0) = x10, (15) систему второго приближения для медленных переменных ẋ∗ 2 = εA1(x ∗ 2) + ε2A2(x ∗ 2), x∗ 2(0) = x20 (16) и систему уравнений второго приближения для быстрых переменных ẏ∗ 2 = ω + εB1(x ∗ 1(t)), y∗ 2(0) = y0, y0 = (y10, y20), (17) которая сразу интегрируется y∗ 2(t) = y0 + ωt+ ε t∫ 0 B1(x ∗ 1(s))ds. (18) 80 Возмущенные вращения твердого тела Определим вектор-функции xv ε(t) = x(1)(εt) + εx(2)(εt) + εu1 x(1)(εt), y0 + ωt+ ε t∫ 0 B1(x (1)(εs))ds  , yv ε (t) = y0 + ωt+ ε t∫ 0 B1(x (1)(εs))ds. (19) Таким образом, построение приближенных решений xv ε(t), yv ε (t) сводится к следующей процедуре: решаем с помощью рядов Фурье уравнения (11), (13), затем по формуле (14) строим вектор-функцию A2(x ∗), после этого определяем решение x(1) и x(2) согласно [3] и, наконец, по формуле(19) получаем искомые приближения. Далее описанная процедура реализуется для некоторых конкретных систем уравнений динамики твердого тела. Рассмотрим возмущенное движение твердого тела в случае Лагранжа с учетом момен- тов, действующих на тело со стороны внешней среды. Примером может служить внешняя среда, медленно изменяющая свойства вязкости вследствие изменения плотности, темпера- туры или состава. Возмущающие моменты являются линейно-диссипативными и с учетом (3) имеют вид M1 = −ε2I1(τ)P, M2 = −ε2I1(τ)Q, M3 = −ε2I3(τ)r. (20) Здесь I1(τ), I3(τ) – положительные интегрируемые функции на промежутке [0, 1). Определим решение усредненной системы уравнений первого приближения (15) с учетом (20) для медленных переменных θ1(t) = θ0, ψ1(t) = ψ0 + εC−1r−1 0 t∫ 0 K(εt′, θ0)dt ′, δ1(t) = −εC−1r0 t∫ 0 I3(εt ′)dt′, a1(t) = exp[F1](a0 cosw − b0 sinw), b1(t) = exp[F1](a0 sinw + b0 cosw), (21) w = εC−1r−1 0 t∫ 0 [ cos θ0K(εt′, θ0) + 1 2 sin θ0 ∂K(εt′, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 ] dt′, F1 = −εA−1 t∫ 0 I1(εt ′)dt′. Здесь a0 и b0 определяются из формул (6). Решение усредненной системы уравнений второго приближения для быстрых пере- менных (18) примет вид γ2(t) = (C − A)A−1r0t− ε2(C − A)A−1C−1r0 t∫ 0  t′∫ 0 I3(εt ′′)dt′′  dt′, (22) α2(t) = CA−1r0t− εC−1r−1 0 cos θ t∫ 0 K(εt′, θ0)dt ′ − ε2A−1r0 t∫ 0  t′∫ 0 I3(εt ′′)dt′′  dt′ + ϕ0. 81 Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко Согласно (19) и формулам (21) и (22), (11), (13), (14), (16) определим компоненты функций xv ε(t), отвечающие переменным ψ и θ uθ1 = AC−1r−1 0 (a(1) sinα(2) − b(1) cosα(2)), uψ1 = −AC−1r−1 0 cosec θ0(a (1) cosα(2) + b(1) sinα(2)), Aθ2 = I1(τ)K(τ, θ0)C −2r−2 0 sin θ0 + AC−2r−2 0 sin θ0 ∂K(τ, θ0) ∂τ , Aψ2 = −K(τ, θ0)C −1r−2 0 δ(1) + AK2(τ, θ0)C −3r−3 0 cos θ0, (23) A′ 1θ = 0, A′ 1ψ = C−1r−1 0 ∂K(τ, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 , (x(1)(τ) = x1(t), τ = εt). На основании приведенных формул получим выражения для переменных ψ и θ в виде θv ε (t) = θ0 +R (1) 1 +R (2) 1 , R (1) 1 = εC−2r−2 0 sin θ0 εt∫ 0 I1(τ)K(τ, θ0)dτ + εAC−1r−1 0 × × exp −A−1 εt∫ 0 I1(τ)dτ  [a0 sin(α(2) − w)− b0 cos(α(2) − w)], R (2) 1 = εAC−2r−2 0 sin θ0[K(εt, θ0)−K0], ψv ε = ψ0 + S (1) 1 + S (2) 1 + S (3) 1 , (24) S (1) 1 = C−1r0 εt∫ 0 K(τ, θ0)dτ, S (2) 1 = εC−3r−3 0 sin θ0 [ εt∫ 0 ( τ∫ 0 I1(τ ∗)K(τ ∗, θ0)dτ ∗ ) ∂K(τ, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 dτ + +A εt∫ 0 [K(τ, θ0)−K0] ∂K(τ, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 dτ ] , S (3) 1 = εAC−3r−3 0 cos θ0 εt∫ 0 K2(τ, θ0)dτ + εC−1r−1 0 εt∫ 0 K(τ, θ0) [ τ∫ 0 I3(τ ∗)dτ ∗ ] dτ − −εAC−1r−1 0 exp −A−1 εt∫ 0 I1(τ)dτ  [a0 cos(α(2) − w) + b0 sin(α(2) − w)]. Зависимость восстанавливающего момента от медленного времени и угла нутации K(τ, θ) привела к появлению в формулах (24) дополнительных слагаемых и слагаемых, 82 Возмущенные вращения твердого тела содержащих интегралы. Для угла нутации θv ε (t) дополнительным слагаемым является R(2) 1 , а R (1) 1 – слагаемое, содержащее интегралы. Для угла прецессии ψv ε (t) дополнительным слагаемым является S (2) 1 , а S (1) 1 = C−1r0 εt∫ 0 K(τ, θ0)dτ и S (3) 1 – слагаемые, содержащие интегралы. Заметим, что формулы для углов нутации и прецессии не содержат параметров воз- мущающих моментов, если ограничиться построением первого приближения (см. (21)). В этом случае влияние возмущений на регулярную прецессию тела не учитывается и, таким образом, построение второго приближения является существенным. Рассмотрим задачу о приведении волчка в “спящее состояние”. Малые управляющие моменты примут вид M1 = −ε2h(τ) p∗ (p∗2 + q∗2) 1 2 , M2 = −ε2h(τ) q∗ (p∗2 + q∗2) 1 2 , M3 = ε2u(τ), p∗ = p− k(τ, θ)C−1r−1 sin θ sinϕ, q∗ = q − k(τ, θ)C−1r−1 sin θ cosϕ. (25) Здесь h(τ), u(τ) – заданные интегрируемые функции на промежутке [0, 1); h(τ) > 0, τ ∼ 1. С учетом соотношений (3) и (6) для p и q возмущающие моменты согласно (25) имеют вид M1 = −ε2h(τ) a cos γ + b sin γ (a2 + b2) 1 2 , M2 = −ε2h(τ) a sin γ − b cos γ (a2 + b2) 1 2 , M3 = ε2u(τ). (26) После подстановки в (7) возмущающих моментов (26) и ряда преобразований получим ре- шение усредненной системы уравнений первого приближения для медленных переменных θ(1) = θ0, r(1) = r0 + εC−1 τ∫ 0 u(τ ′)dτ ′, ψ(1) = ψ0 + C−1r−1 0 τ∫ 0 K(τ ′, θ0)dτ ′, a(1) = F4[P0 cos β +Q0 sin β −K0C −1r−1 0 sin θ0 sin(β + ϕ0)], (27) b(1) = F4[P0 sin β −Q0 cos β +K0C −1r−1 0 sin θ0 cos(β + ϕ0)], F4 = 1− A−1(a2 0 + b20) − 1 2 τ∫ 0 h(τ ′)dτ ′, β = C−1r−1 0 εt∫ 0 [ K(τ, θ0) cos θ0 + 1 2 sin θ0 ∂K(τ, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 ] dτ. Здесь угол нутации постоянен. Приращение угла прецессии зависит от восстанавли- вающего момента K(τ, θ). Осевая составляющая вектора угловой скорости ограничена. Медленные переменные a, b являются произведением сомножителя, принимающего поло- жительные, отрицательные значения и нуль в зависимости от подынтегральной функции h(τ), и осциллирующего сомножителя. 83 Л.Д. Акуленко, Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко Определим компоненты функции xv ε(t), отвечающие переменным ψ и θ, θv ε (t) = θ0 +R (1) 2 +R (2) 2 , R (1) 2 = εAC−1r−1 0 F4[a0 sin(α(2) − β)− b0 cos(α(2) − β)], R (2) 2 = εAC−2r−2 0 sin θ0[K(εt, θ0)−K0], ψv ε = ψ0 + S (1) 2 + S (2) 2 + S (3) 2 , S (1) 2 = C−1r0 εt∫ 0 K(τ, θ0)dτ, (28) S (2) 2 = εAC−3r−3 0 sin θ0 εt∫ 0 [K(τ, θ0)−K0)] ∂K(τ, θ) ∂θ ∣∣∣∣∣ θ=θ0 dτ, S (3) 2 = εAC−3r−3 0 cos θ0 εt∫ 0 K2(τ, θ0)dτ − εC−2r−2 0 εt∫ 0 K(τ, θ0)  τ∫ 0 u(τ ′)dτ ′  dτ − −εAC−1r−1 0 cosec θ0F4[a0 cos(α(2) − β) + b0 sin(α(2) − β)]. Полученные слагаемые S(1) 2 , S (2) 2 , S (3) 2 дополняют известное из приближенной теории гироскопов выражение для угловой скорости прецессии ωp = KC−1r−1 0 . 1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 503 с. 2. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 c. 3. Лещенко Д.Д., Шамаев А.С. Возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – №6. – С. 8–17. 4. Лещенко Д.Д., Саллам С.Н. Возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии // Прикл. математика и механика. – 1990. – 54, вып. 2 – С. 224 – 232. 5. L. Akulenko, D. Leshchenko, T. Kushpil and I. Timoshenko. Problems of Evolution of Rotations of a Rigid Body under the Action of Perturbing Moments // Multibody System Dynamics. – 2001. – 6. – №1. – P. 3–16. Ин-т проблем механики Российской академии наук, Москва Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Одесса leshchenko−d@mail.ru; leshchenko−d@ukr.net Получено 01.11.2002 84

Возмущенные вращения твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента

Institution

Ähnliche Einträge