Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости
В работе рассматривается задача о применении знакопостоянных функций Ляпунова в исследовании устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы. Представлено целостное решение этой задачи, и его применение в задаче об устойчивости невозмущенного движения механической системы с первыми интегра...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123696 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости / А.С. Андреев, Т.А. Бойкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 109-116. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123696 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1236962017-09-09T03:03:52Z Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости Андреев, А.С. Бойкова, Т.А. В работе рассматривается задача о применении знакопостоянных функций Ляпунова в исследовании устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы. Представлено целостное решение этой задачи, и его применение в задаче об устойчивости невозмущенного движения механической системы с первыми интегралами. 2002 Article Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости / А.С. Андреев, Т.А. Бойкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 109-116. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123696 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается задача о применении знакопостоянных функций Ляпунова в исследовании устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы. Представлено целостное решение этой задачи, и его применение в задаче об устойчивости невозмущенного движения механической системы с первыми интегралами. |
| format |
Article |
| author |
Андреев, А.С. Бойкова, Т.А. |
| spellingShingle |
Андреев, А.С. Бойкова, Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости Механика твердого тела |
| author_facet |
Андреев, А.С. Бойкова, Т.А. |
| author_sort |
Андреев, А.С. |
| title |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости |
| title_short |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости |
| title_full |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости |
| title_fullStr |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости |
| title_full_unstemmed |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости |
| title_sort |
знакопостоянные функции ляпунова в задачах об устойчивости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123696 |
| citation_txt |
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости / А.С. Андреев, Т.А. Бойкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 109-116. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT andreevas znakopostoânnyefunkciilâpunovavzadačahobustojčivosti AT bojkovata znakopostoânnyefunkciilâpunovavzadačahobustojčivosti |
| first_indexed |
2025-07-09T00:05:49Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:05:49Z |
| _version_ |
1837125656573378560 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.36
c©2002. А.С. Андреев, Т.А. Бойкова
ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
В ЗАДАЧАХ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
В работе рассматривается задача о применении знакопостоянных функций Ляпунова в исследовании устой-
чивости невозмущенного движения неавтономной системы. Представлено целостное решение этой задачи,
и его применение в задаче об устойчивости невозмущенного движения механической системы с первыми
интегралами.
Как известно, модификация, развитие и обобщение основных теорем Ляпунова об
устойчивости движения с применением вспомогательных функций позволяет значительно
расширить классы решаемых теоретических и прикладных задач.
Первые результаты по такому развитию в направлении применения знакопостоянных
функций Ляпунова были получены в работе[1]. В их основе лежит использование свойства
инвариантности положительного предельного множества решения автономной системы.
Дальнейшее продолжение это направление получило в работах [2–9]. В работах [2–5]
рассматривались автономная и периодическая системы дифференциальных уравнений. В
работах [7–9] эти результаты на основе построений из [10–13] развивались на неавтоном-
ную систему.
В данной работе дается целостное применение техники вывода теорем об асимпто-
тической устойчивости нулевого решения неавтономной системы из [12,13] для случая
знакопостоянных функций Ляпунова.
Рассмотрим систему, движение которой описывается дифференциальными уравнения-
ми
ẋ = X(t,x), X(t,0) ≡ 0, (1)
где x = (x1, x2, ..., xn)′ — вектор n-мерного действительного пространства Rn с нормой
||x||2 = x2
1 + x2
2 + ... + x2
n, (штрих означает транспонирование); X(t,x) – вектор-функция,
определенная и непрерывная в области R+ × Γ; R+ = [0, +∞) – действительная полуось,
Γ ⊂ Rn – открытая область, содержащая точку x = 0.
Допустим, что вектор-функция X(t,x) ограничена и удовлетворяет условию Липшица:
для любого компактного множества K ⊂ Γ найдется число L = L(K), такое, что
||X(t,x2)−X(t,x1)|| ≤ L||x2 − x1|| (2)
для любого t ∈ R+ и любых точек x1,x2 ∈ K.
Отсюда следует, что для каждого начального условия x(t0) = x0, (t0,x0) ∈ R+×Γ, су-
ществует единственное решение x = x(t, t0,x0) определенное на максимальном интервале
[t0, β), x(t, t0,x0) → ∂Γ при t → β.
Кроме того, система (1) предкомпактна [10–12]: для любой последовательности
tk → +∞ найдется подпоследовательность tkl → +∞, относительно которой существу-
Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Университеты России – Фундаментальные
исследования"(проект УР.04.01.004).
109
А.С. Андреев, Т.А. Бойкова
ет предельная система уравнений
ẋ = X∗(t,x), X∗(t,x) =
d
dt
lim
l→∞
t∫
0
X(tkl + τ,x)dτ. (3)
Функция X∗ : R × Γ → Rn в соответствии с этим определением и в силу условия (2)
будет такова, что для каждой точки (t0,x0) ∈ R × Γ решение x = x∗(t, t0,x0) системы (3)
является также единственным.
Предположим, что для системы (1) известна некоторая непрерывная функция Ляпунова
V : R+ × Γ → R+, верхняя правосторонняя производная [14] которой в силу системы (1)
удовлетворяет для всех (t,x) ∈ R+ × Γ неравенству
V̇ +(t,x) ≤ −W (t,x) ≤ 0,
где W : R+×Γ → R+, W (t, 0) = 0, есть некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая
условию Липшица
|W (t,x2)−W (t,x1)| ≤ LW (K)‖x2 − x1‖
для любых (t,x2), (t,x1) ∈ R+ × K и для каждого компакта K ⊂ Γ. При этом условии
семейство сдвигов {Wτ (t,x) = W (τ + t,x), τ ∈ R} предкомпактно [12] и аналогично (3)
можно определить предельную функцию
W ∗(t,x) =
d
dt
lim
j→∞
t∫
0
W (tklj + τ,x)dτ
и предельную пару (X∗, W ∗) [12].
Соответственно предельной паре для каждого t ∈ R и каждого c ∈ R+ вводится
предельное множество [12]
V −1
∞ (t, c) = {x ∈ Γ : ∃xj → x : V (tklj + t,xj) → c при j →∞}.
В частности V −1
∞ (t, 0) = {x ∈ Γ : ∃xj → x : V (tklj + t,xj) → 0 при j →∞}.
Введем следующие определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Нулевое решение x = 0 устойчиво относительно выбранной предель-
ной пары (X∗, W ∗) и множества V −1
∞ (t, 0), если (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0) (∀ решения
x = x∗(t,x0), x∗(0,x0) = x0, x0 ∈ {‖x‖ < δ}
⋂
V −1
∞ (t, 0)
⋂
{W ∗(t,x) = 0} системы
ẋ = X∗(t,x)) (∀t ≥ 0) ‖x∗(t,x0)‖ < ε.
Нулевое решение x = 0 асимптотически устойчиво относительно выбранной пре-
дельной пары (X∗, W ∗) и множества V −1
∞ (t, 0), если оно устойчиво, а также (∃∆ > 0)
(∀ε > 0)(∃T = T (ε) > 0) (∀ решения x = x∗(t,x0), x∗(0,x0) = x0, x0 ∈ {‖x‖ < ∆}
⋂⋂
V −1
∞ (t, 0)
⋂
{W ∗(t,x) = 0} системы ẋ = X∗(t,x)) (∀t ≥ T ) ‖x∗(t,x0)‖ < ε.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Нулевое решение x = 0 равномерно устойчиво относительно семейства
{(X∗, W ∗), V −1
∞ (t, 0)}, если число δ = δ(ε) > 0 в определении 1 не зависит от выбора
(X∗, W ∗).
Нулевое решение x = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно семей-
ства {(X∗, W ∗), V −1
∞ (t, 0)}, если также числа ∆ > 0 и T = T (ε) > 0 в определении 1 не
зависят от выбора (X∗, W ∗).
110
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости
ТЕОРЕМА 1. Предположим, что:
1) существует функция V : R+ × Γ → R+ с производной V̇ +(t,x) ≤ −W (t,x) ≤ 0;
2) нулевое решение x = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно семейства
{(X∗, W ∗), V −1
∞ (t, 0)}.
Тогда решение x = 0 системы (1) устойчиво.
Если в дополнение функция V (t,x) допускает бесконечно малый высший предел,
V (t,x) ≤ a(‖x‖) ∀(t,x) ∈ R+ × Γ, тогда эта устойчивость является равномерной.
ТЕОРЕМА 2. Предположим, что выполнены условия 1), 2) теоремы 1, а также:
3) для каждой предельной пары (X∗, W ∗) множество
{V −1
∞ (t, c) : c = c0 = const}
⋂
{W ∗(t,x) = 0}
содержит только такие решения x = x∗(t) системы ẋ = X∗(t,x), которые содержатся в
множестве V −1
∞ (t, 0)
⋂
{W ∗(t,x) = 0}, x∗(t) ∈ V −1
∞ (t, 0)
⋂
{W ∗(t,x) = 0} для всех t ∈ R.
Тогда решение x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво.
ТЕОРЕМА 3. Предположим, что выполнены условия 1) и 2) теоремы 1, а также:
3) существует хотя бы одна предельная пара (X∗, W ∗), для которой множество
{V −1
∞ (t, c) : c = c0 = const > 0}
⋂
{W ∗(t,x) = 0}
не содержит решений системы ẋ = X∗(t,x).
Тогда решение x = 0 системы (1) эквиасимптотически устойчиво, то есть асимптоти-
чески устойчиво равномерно по x0.
ТЕОРЕМА 4. Предположим, что при условиях 1) и 2) теоремы 1 функция V (t,x) допускает
бесконечно малый высший предел, V (t,x) ≤ a(‖x‖) ∀(t,x) ∈ R+ × Γ, а также:
3) для каждой предельной пары (X∗, W ∗) множество
{V −1
∞ (t, c) : c = c0 = const > 0}
⋂
{W ∗(t,x) = 0}
не содержит решений системы ẋ = X∗(t,x).
Тогда решение x = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Допустим, что для системы (1) известны m первых независимых интегралов
U(t,x) = c, U(t, 0) ≡ 0,
где c = (c1, c2, ...cm)′ – вектор m-мерного пространства Rm с нормой ‖c‖2 = c2
1 + ... + c2
m,
U : R+ × Γ → Rm – непрерывная вектор-функция, локально липшицева по x.
Устойчивость x = 0 легко определяется, когда функция U0(t,x) = ‖U(t,x)‖ являет-
ся определенно-положительной. Если U0(t,x) является лишь неотрицательной, устойчи-
вость невозмущенного движения x = 0 можно найти на основе теоремы 2.1, учитывая что
U̇0(t,x) ≡ 0.
ТЕОРЕМА 5. Пусть решение x = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно
семейства предельных систем (3) и множества
(U0)
−1
∞ (t, 0) = (U1)
−1
∞ (t, 0)
⋂
(U2)
−1
∞ (t, 0)
⋂
...
⋂
(Um)−1
∞ (t, 0).
Тогда решение x = 0 системы (1) устойчиво.
111
А.С. Андреев, Т.А. Бойкова
Если функция U0(t,x) допускает бесконечно малый высший предел, эта устойчивость
равномерна.
ТЕОРЕМА 6. В условиях теоремы 5 допустим также, что существует некоторая функ-
ция V : R+ × Γ → R+ с верхней правосторонней производной в силу системы (1.1)
V̇ +(t,x) ≤ −W (t,x) ≤ 0. Тогда каждое движение системы (1) неограниченно прибли-
жается к объединению по всем предельным парам (X∗, W ∗) максимально инвариантных
относительно ẋ = X∗(t,x) подмножеств множеств
{V −1
∞ (t, c) : c = c0}
⋂
{W ∗(t,x) = 0}
⋂
(U1)
−1
∞ (t, c1)
⋂
...
⋂
(Um)−1
∞ (t, cm)
для некоторых постоянных значений c0, c1, ..., cm.
Теоремы 5, 6 дополняют некоторые результаты из [15].
Рассмотрим механическую систему с нестационарными, голономными и идеальными
связями, положение которой определяется n + m (n ≥ 1, m ≥ 1) обобщенными коорди-
натами q′ = (q1, q2, . . . , qn) и z′ = (z1, z2, . . . , zm). При этом допустим, что q1, q2, . . . , qn —
позиционные координаты, z1, z2, . . . , zm — циклические и, соответственно, функция Лагран-
жа имеет вид
L(t,q, q̇, ż) =
1
2
q̇′A(t,q)q̇ + q̇′B(t,q)ż +
1
2
ż′C(t,q)ż−
−q̇′g(t,q)− ż′f(t,q)−Ï(t,q), (4)
где A(t,q) и C(t,q) – положительно-определенные матрицы размерности n × n и m ×m,
матрица B(t,q) имеет размерность n×m, g(t,q) и f(t,q) – матрицы-столбцы размерности
n × 1 и m × 1, скалярная функция Π(t,q) – потенциальная энергия. Предположим, что
все функции переменных (t,q), входящие в выражение (4), определены и непрерывно
дифференцируемы до второго порядка включительно в области R+ × Γ0, Γ0 = {q ∈ Rn :
‖q‖ < β0, 0 < β0 ≤ +∞} (‖q‖ – евклидова норма вектора q ∈ Rn), ограничены вместе со
всеми своими производными при (t,q) ∈ R+ × Γ1, Γ1 = {q : ‖q‖ ≤ β1, 0 < β1 < β0}, а
также
det A ≥ α0, det C ≥ α0, det(A−BC−1B′) ≥ α0 = const > 0,∀(t,q) ∈ R+ × Γ1.
Пусть на систему действуют также обобщенные силы по позиционным координатам, Q =
= Q(t,q, q̇), которые непрерывно дифференцируемы в области R+×Γ0×Rn и ограничены
со своими производными при (t,q, q̇) ∈ R+ × Γ1 × Γ2, Γ2 = {q̇ : ‖q̇‖ ≤ β2, 0 < β2 < +∞}.
Движение системы описывается уравнениями
d
dt
∂L
∂q̇
− ∂L
∂q
= Q,
d
dt
∂L
∂ż
= 0. (5)
Из последних уравнений находим циклические интегралы
∂L
∂ż
= B′(t,q)q̇ + C(t,q)ż− f(t,q) = c, (6)
где c′ = (c1, c2, . . . , cm) – m произвольных постоянных. Разрешая уравнения (6) относи-
тельно ż, получаем соотношения
ż = C−1(t,q)(c + f(t,q)−B′(t,q)q̇). (7)
112
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости
Из условий, наложенных на функции, входящие в равенства (6) и (7), находим, что
∂L/∂ż и ż – ограниченные, равномерно непрерывные функции по (t,q, q̇, ż) ∈ R+ × Γ1 ×
×Γ2 × Γ3 и (t,q, q̇, c) ∈ R+ × Γ1 × Γ2 × Γ4, где
Γ3 = {ż ∈ Rm : ‖ż‖ ≤ β3, 0 < β3 < +∞},
Γ4 = {c ∈ Rm : ‖c‖ ≤ β4, 0 < β4 < +∞}.
Используя соотношения (6) и (7), находим функцию Рауса в следующей форме:
R = L− ż′
∂L
∂ż
∣∣∣∣
ż=C−1(c+f−B′q̇)
= R2 + R1 −W,
R2(t,q, q̇) =
1
2
q̇′F q̇, F (t,q) = A−BC−1B′,
R1(t,q, q̇, c) = E′q̇, E(t,q, c) = BC−1(c + f)− g,
W (t,q, c) = Ï+
1
2
(c + f)′C−1(c + f),
где F – положительно-определенная матрица, функция W называется приведенной потен-
циальной энергией.
Уравнения движения могут быть выражены посредством уравнений Рауса
d
dt
∂R2
∂q̇
− ∂R2
∂q
= −∂W
∂q
−Gq̇− ∂E
∂t
+ Q,
dc
dt
≡ 0. (8)
Матрица G определяется равенством
G(t,q, c) =
∂E
∂q
−
(
∂E
∂q
)′
= −G′
и может рассматриваться как матрица линейных гироскопических сил. В отличие от си-
стемы со стационарными связями в уравнениях (8) появились дополнительные слагаемые
(−∂E/∂t), которые можно трактовать как инерционные силы, обусловленные нестационар-
ностью связей.
Допустим, что для некоторого значения (q0, c0) ∈ Γ0×Rm при всех t ≥ t0 имеет место
равенство
∂W
∂q
(t,q0, c0) +
∂E
∂t
(t,q0, c0) = Q(t,q0,0).
Тогда система (8) имеет при c = c0 положение относительного равновесия
q̇ = 0, q(t) = q0 (t ≥ t0),
которому соответствует обобщенное стационарное движение системы (5) [16]
q̇(t) = 0, q(t) = q0, ż(t) = C−1(t,q0)(c0 + f(t,q0)). (9)
В этом движении, в отличие от стационарного, циклические скорости не являются
постоянными, а изменяются вместе с циклическими координатами в общем случае по
нелинейному закону.
113
А.С. Андреев, Т.А. Бойкова
Предположим, что действие обобщенных сил Q(t,q, q̇) и инерциальных сил предста-
вимо в виде
Q(t,q, q̇)− ∂W
∂q
(t,q, c)− ∂E
∂t
(t,q, c) = −p(t,q, c)
∂S
∂q
(q, c) + Qd(t,q, q̇), (10)
где p(t,q, c), S(q, c) – скалярные функции, удовлетворяющие условиям:
1) S(q, c) определена в области Γ1 × Γ4;
∂S
∂q
(q0, c) = 0 для всех c;
2) p(t,q, c) определена и непрерывно-дифференцируема в области R+ × Γ1 × Γ4; а также
выполнены соотношения
0 < p0 ≤ p(t,q, c) ≤ p1 p0, p1– некоторые постоянные;∥∥∥∥∂p(t,q, c)
∂q
∥∥∥∥ ≤ p2 = const.
ТЕОРЕМА 7. Пусть система (4) имеет обобщенное стационарное движение (9), отвечаю-
щее значению c = c0, при этом
1) функция S(t,q, c0) − S0(t), где S0(t) = S(t,q0, c0), является положительно-опреде-
ленной по q− q0;
2) для всех (t,q, c) ∈ R+ × {(q, c) : ‖q − q0‖ ≤ δ, ‖c − c0‖ ≤ δ > 0} выполнено
неравенство
∂
∂t
(S − S0) ≤ 0;
3) функция p (t,q, c) такова, что для всех (t,q, q̇, c) ∈ R+ × {(q, q̇, c) : ‖q − q0‖ ≤
≤ δ, ‖q̇‖ ≤ δ, ‖c− c0‖ ≤ δ > 0} выполнено неравенство
− 1
p2
(
∂p
∂t
+ q̇′
∂p
∂q
)
R2 −
1
p
∂R2
∂t
+
1
p
Q′
dq̇ ≤ 0;
4) обобщенное стационарное движение является изолированным при c = c0, таким
образом ∀η > 0 найдется ε = ε(η) > 0 такое, что при t ≥ t0 для каждого q ∈ {0 < η ≤
≤ ‖q− q0‖ ≤ δ} при c = c0 выполняется неравенство∥∥∥∥∂S
∂q
∥∥∥∥ ≥ ε.
Тогда обобщенное стационарное движение (9) равномерно устойчиво, является равно-
мерно притягивающим для возмущенных движений с циклическими постоянными c = c0.
Заменим предположение (10) следующим
Q(t,q, q̇)− ∂W
∂q
t,q, c)− ∂E
∂t
(t,q, c) = −P (t,q, c)
∂S
∂q
(q, c) + Qd(t,q, q̇),
где P (t,q) – матрица размерности n× n является невырожденной и ограниченной, то есть
выполняются условия
detP 6= 0,
P (t,q) ≤ p1E.
114
Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости
При этом предполагается, что
F (t,q)P−1(t,q) ≥ h(‖q‖).
Разрешая уравнения движения относительно q̈, представим их в следующем виде
dq
dt
= q̇,
d
dt
(F q̇) + {q̇′D(t,q)q̇} = −P (t,q)
∂S(t,q)
∂q
+ G′(t,q)q̇ + Qd(t,q, q̇),
где {q̇′D(t,q)q̇} - набор n квадратичных относительно q̇ форм.
ТЕОРЕМА 8. Пусть система (4) имеет обобщенное стационарное движение (9), отвечаю-
щее значению c = c0, при этом
1) функция S(t,q, c0)−S0(t), где S0(t) = S(t,q0, c0), является определенно-положительной
по q− q0;
2) для всех (t,q, c) ∈ R+ × {(q, c) : ‖q − q0‖ ≤ δ, ‖c − c0‖ ≤ δ > 0} выполнено
неравенство
∂
∂t
(S − S0) ≤ 0;
3) функция P (t,q, c) такова, что для всех (t,q, q̇, c) ∈ R+ × {(q, q̇, c) : ‖q − q0‖ ≤
≤ δ, ‖q̇‖ ≤ δ, ‖c− c0‖ ≤ δ > 0} выполнено неравенство
q̇′P−1 (G′q̇ + Qd − {q̇′Dq̇}) +
1
2
q̇′F
dP−1
dt
q̇ ≤ 0;
4) обобщенное стационарное движение является изолированным при c = c0, таким
образом ∀η > 0 найдется ε = ε(η) > 0 такое, что при t ≥ t0 для каждого q ∈ {0 < η ≤
≤ ‖q− q0‖ ≤ δ} выполняется неравенство∥∥∥∥∂S
∂q
∥∥∥∥ ≥ ε.
Тогда обобщенное стационарное движение (9) равномерно устойчиво, является равно-
мерно притягивающим для возмущенных движений с циклическими постоянными c = c0.
Полученные результаты развивают и обобщают результаты работ[15,16].
1. Самойленко А.М. Изучение динамических систем с помощью знакопостоянных функций // Укр. мат.
журн. – 1972. – 24, №3. – С.374–386.
2. Булгаков Н.Г., Калитин Б.С. Обобщение теорем второго метода Ляпунова // Весцi АН БССР. Сер. физ.-мат.
навук. – 1978. – №3. – С.32–35.
3. Гайшун И.В., Княжище Л.Б. Условия устойчивости вполне интегрируемых автономных уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, №8. – С.1453–1456.
4. Грудо Э.И. К теории устойчивости обыкновенных дифференциальных систем и систем Пфаффа // Диф-
ференц. уравнения. – 1983. – 19, №5. – С.782–789.
5. Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. – Минск, 1984. – 80 с.
6. Косов А.А. К теории устойчивости неавтономных систем // Ред.журн. "Вестник ЛГУ". –Ленинград, 1985.
– 10 с. – Деп. в ВИНИТИ №4848-85.
7. Косов А.А. К задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Вопросы качественной
теории дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука, 1988. – С.185–194.
8. Косов А.А. О глобальной устойчивости неавтономных систем.I // Изв. высших учебных заведений. Ма-
тематика. – 1997. – №7(422) – С.28–35.
9. Косов А.А. О глобальной устойчивости неавтономных систем.II // Там же. №8(423) – С. 33–42.
115
А.С. Андреев, Т.А. Бойкова
10. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation // J. Different. Equat. – 1977. – 23, №2. –
P. 216–223.
11. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Different. Equat. – 1978. – 27, №2. – P.
172–189.
12. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости инеустойчивости нулевого решения неавтономной си-
стемы // Прикл. математика и механика. – 1984. – 48, вып. 2. – С. 225–232.
13. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономной системы относительно
части переменных //Там же. – 1984. – 48, вып.5. – С. 707–713.
14. Руш Н., Аветс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 300 с.
15. Андреев А.С., Ризито К. Об устойчивости обобщенного стационарного движения // Прикл. математика
и механика. – 2002. – 66, вып.3. – С. 339–349.
16. Risito C. Metodi per lo studio della stabilita’ di sistemi con integrali primi noti // Annali di Mat. Pura ed Appl.
– 1976. – 107. – P. 49–94.
Ульяновский Гос. Ун-т, Россия
AndreevAS@ulsu.ru, BoykovaTA@ulsu.ru
Получено 31.10.2002
116
|