Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа
Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного класса, в котором условие на производную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными общими результатами для уравнений нейтрального типа....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г.А. Троценко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 129-133. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123699 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1236992017-09-09T03:04:12Z Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа Троценко, Г.А. Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного класса, в котором условие на производную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными общими результатами для уравнений нейтрального типа. 2002 Article Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г.А. Троценко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 129-133. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123699 517.929 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного класса, в котором условие на производную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными общими результатами для уравнений нейтрального типа. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, Г.А. |
| spellingShingle |
Троценко, Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа Механика твердого тела |
| author_facet |
Троценко, Г.А. |
| author_sort |
Троценко, Г.А. |
| title |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| title_short |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| title_full |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| title_fullStr |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| title_sort |
об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123699 |
| citation_txt |
Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г.А. Троценко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 129-133. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkoga obustojčivostirešenijpočtiperiodičeskojsistemyfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:06:06Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:06:06Z |
| _version_ |
1837125674077257728 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 517.929
c©2002. Г.А. Троценко
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного класса, в котором условие на производ-
ную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными общими результатами
для уравнений нейтрального типа.
Для автономных систем ẋ = f(x), f(0) = 0, известен следующий результат, усилива-
ющий теорему Ляпунова: для асимптотической устойчивости решения x = 0 достаточно,
чтобы существовала положительно определенная функция v(x) такая, что v̇(x) 6 0 и при
этом поверхности уровня v(x) = const > 0 не содержат целых траекторий [1, с.19]. В
работе [2] показано, что этот результат переносится, с естественным видоизменением в
формулировке, на неавтономные системы ẋ = f(x, t) при условии, что правая часть, функ-
ция Ляпунова v(x, t) и ее частные производные первого порядка почти периодичны по t.
В [3] этот результат распространен на системы функционально-дифференциальных урав-
нений (ФДУ) запаздывающего типа ẋ = f(xt, t). В отличие от традиционного подхода,
в [3] рассматривались гладкие функционалы V (ϕ, t) Ляпунова-Красовского, производная
V̇ (ϕ, t) вдоль траекторий системы понималась в рамках теории гладких отображений бана-
ховых пространств. В [4] в рамках этого подхода получен и проиллюстрирован на примере
из теории управления достаточный признак слабой экспоненциальной устойчивости для
линейной дифференциально-разностной системы запаздывающего типа (термин "слабой"
означает, что скорость экспоненциального убывания зависит от начального возмущения).
В данной работе результат из [3] распространен на системы ФДУ нейтрального типа. В
качестве исходного класса функционалов V (ϕ, t) выбран подкласс гладких функционалов,
позволяющий конструктивно вычислять производную V̇ (ϕ, t) для ФДУ нейтрального типа
и достаточный для ряда приложений [5, с.349, 351.–8]. Важную роль в выполняемых по-
строениях играет, как и в [3], критерий компактности Бохнера для почти периодических
функций. Обоснование сходимости к нулю ограниченных решений системы потребовало
здесь привлечения существенно более тонких приемов по сравнению с [3].
Далее | · | – евклидова норма в Rn; a = const > 0, J = [−a, 0]; C[J ] – банахово
пространство непрерывных функций ϕ(θ) : J → Rn, с нормой ‖ϕ‖ = max |ϕ|. Рассмотрим
систему
d
dt
[x(t)− g(xt, t)] = f(xt, t). (1)
Здесь f, g : C[J ]× R → Rn, xt(θ) = x(t + θ), θ ∈ J . Будем предполагать:
1. Отображения f, g непрерывны в C[J ] × R и удовлетворяют условию Липшица по
ϕ: |f(ϕ1, t)− f(ϕ2, t)| 6 L‖ϕ1−ϕ2‖, |g(ϕ1, t)− g(ϕ2, t)| 6 ρ‖ϕ1−ϕ2‖, где ϕk ∈ C[J ], t ∈ R,
L, ρ – положительные постоянные, при этом
ρ < 1. (2)
2. f, g почти периодичны по t равномерно по ϕ на каждом шаре ‖ϕ‖ 6 const.
3. f(0, t) = g(0, t) = 0.
129
Г.А. Троценко
Под решением системы (1) понимается непрерывная функция x(t) : [−a,∞) → Rn,
удовлетворяющая при t > 0 интегральному уравнению
[x(τ)− g(xτ , τ)]t0 =
∫ t
0
f(xτ , τ)dτ. (3)
При условии (2) решение уравнения (3) однозначно определяется начальным условием
x0(θ) = ϕ ∈ C[J ] [5, гл.12, 12.2].
Пусть функции v0(y, t), v1(z, t, θ) со значениями в R определены соответственно на
множествах {|y| 6 2r} × R, {|z| 6 r} × R × J при некотором r > 0 и удовлетворяют
условиям
1) v0 гладкая, v1 – непрерывная функция, гладкая по t, θ;
2) v0, v1 и их частные производные первого порядка почти периодичны по t равномерно
по остальным переменным;
3) v0(0, t) = v1(0, t, θ) = 0;
4) имеют место оценки
α1(|y|) 6 v0 6 α2(|y|), 0 6 v1 6 α3(|z|),
где αk(s) – непрерывные неубывающие функции [0,∞) → R, αk(0) = 0, αk > 0 при s > 0.
Обозначим Br шар ‖ϕ‖ 6 r и построим функционал Br × R → R по формуле
V (ϕ, t) = v0(g0, t) +
∫ 0
−a
v1(ϕ(θ), t, θ)dθ, g0 = ϕ(0)− g(ϕ, t) (4)
(так как, с учетом g(0, t) = 0 и условия Липшица для g, |g(ϕ, t)| 6 ρ‖ϕ‖, то |g0(ϕ, t)| 6
6 |ϕ(0)|+ ρ‖ϕ‖ 6 2r, поэтому v0(y, t) определена при y = g0). Из 4) следуют оценки
α1(|g0|) 6 V (ϕ, t) 6 α4(‖ϕ‖), α4(s) = α2(2s) + a · α3(s); (5)
α4(s) обладает теми же свойствами, что и αk(s), k 6 3. Вычисления с учетом равенства∫ 0
−a
v1(xt, t, θ)dθ =
∫ t
t−a
v1(x(s), t, s− t)ds
дают для производной функционала (4) вдоль траекторий системы (1) формулу
V̇ (ϕ, t) =
∂v0(g0, t)
∂t
+
〈
∂v0(g0, t)
∂y
, f(ϕ, t)
〉
+
+
∫ 0
−a
(
∂v1
∂t
− ∂v1
∂θ
)
(ϕ,t,θ)
dθ + v1(ϕ(0), t, 0)− v1(ϕ(−a), t,−a);
(6)
здесь < , > – стандартное скалярное произведение в Rn. Будем далее называть решение
x(t) системы (1) существенно ненулевым, если ‖xt‖ > 0 при t > 0; остальные решения
обращаются в нуль, начиная с некоторого момента.
ТЕОРЕМА. Пусть для системы (1) существуют функции v0, v1 со свойствами 1)–4) такие,
что для функционала V выполняются соотношения:
1◦. V̇ (ϕ, t) 6 0, (ϕ, t) ∈ Br × R+;
130
Об устойчивости решений почти периодической системы
2◦. V̇ отличен от тождественного нуля на каждом существенно ненулевом решении
системы (1):
‖xt(θ)‖ > 0 при t > 0 ⇒ V̇ (xt, t) 6≡ 0.
Тогда решение x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из оценок (5) и условия 1◦ теоремы следует: решение x = 0 системы
(1) устойчиво по Ляпунову [9, с.172]. Пусть ∆ ∈ (0, r] таково, что при x0(θ) ∈ B∆ имеет
место неравенство |x(t)| 6 r, t > 0. Покажем, что
x0(θ) ∈ B∆ ⇒ lim x(t) = 0 (t → +∞). (7)
1. Покажем, что каждое решение x(t) уравнения (3), начинающееся в B∆, равномерно
непрерывно на полуоси t > 0. Так как |x(t)| 6 r, то для любого δ > 0
ω(δ) = sup
t>0
|x(t + δ)− x(t)| < ∞.
Покажем, что для любой последовательности δn ↓ 0
lim ω(δn) = 0 (n →∞). (8)
Из (3) с учетом xτ ∈ Br, f(0, τ) = 0 и условия Липшица для f, g легко получить:
|x(t + δn)− x(t)| 6 ρ[ω(δn) + ε′n] + ε′′n + Lrδn, t > 0,
где ε′n = sup
|t|6a
|x(t + δn)− x(t)|, ε′′n = sup
t∈R,ϕ∈Br
|g(ϕ, t + δn)− g(ϕ, t)|.
Функция x(t) равномерно непрерывна на [−a, a], поэтому ε′n → 0 при n → ∞. Функция
g(ϕ, t) почти периодична по t равномерно по ϕ ∈ Br ⇒ равномерно непрерывна на оси R
равномерно по ϕ ∈ Br [10, с.8], поэтому ε′′n → 0 при n →∞. Отсюда следует (8).
2. Обозначим H оболочку почти периодической по t четверки отображений
h0(ϕ, y, z, t, θ) = [f(ϕ, t), g(ϕ, t), v0(y, t), v1(z, t, θ)] : (9)
h = (F, G, ω0, ω1) ∈ H , если существует такая последовательность τn ∈ R, что
sup
M
|h0(ϕ, y, z, t + τn, θ)− h(ϕ, y, z, t, θ)| → 0
при n →∞, где M = Br×{|y| 6 2r}×{|z| 6 r}×R×J . Для четверок h ∈ H сохраняются
указанные выше свойства h0. Аналогично введем оболочку H0 пары (f, g). Поставим в
соответствие каждой h ∈ H систему
d
dt
[x(t)−G(xt, t)] = F (xt, t) (10)
и функционал Vh(ϕ, t), вычисляемый по формуле (4) с заменой h0 на h. Производная V̇h(ϕ, t)
дается формулой (6) с такой же заменой. Справедливы утверждения.
(i) Если последовательность (Fn, Gn) ∈ H0 сходится к (F, G) в топологии H0, x(t) –
решение системы (10) с начальной функцией x0(θ), xn(t) – решение системы, получаемой
131
Г.А. Троценко
из (10) заменой (F, G) на (Fn, Gn), с начальной функцией x0n(θ) и при этом x0n(θ) → x0(θ)
в топологии C[J ], то xn(t) → x(t) равномерно на каждом отрезке [0, T ], T > 0.
(ii) Если четверка (9) удовлетворяет условиям 1◦, 2◦ теоремы, то все четверки h ∈ H
удовлетворяют тем же условиям: V̇h 6 0, V̇h(xt, t) 6≡ 0 на существенно ненулевых решениях.
Обоснование проводится повторением доказательств аналогичных утверждений в [3].
3. Пусть соотношение (7) не имеет места. Тогда существует начинающаяся в B∆ тра-
ектория x(t), для которой множество Z ω-предельных точек содержит хотя бы одну точку
z 6= 0. Так как |z| 6 r для всех z ∈ Z и Z замкнуто [1, с.18], то существует точка
z0 ∈ Z, наиболее удаленная от нуля: |z0| > |z| для всех z ∈ Z. Пусть z0 реализуется
на последовательности tn ↑ +∞ : x(tn) → z0. Рассмотрим последовательность функций
ϕn(θ) = x(tn + θ), θ ∈ J . Так как, в силу пункта 1 доказательства и принципа компактно-
сти Арцела-Асколи, семейство функций xt(θ), t > 0 – предкомпакт в C[J ], то существует
подпоследовательность, сходящаяся в C[J ] к некоторой функции ϕ(θ); сохраняя для нее те
же обозначения, получим:
∆n = ‖ϕn(θ)− ϕ(θ)‖ → 0 (n →∞); ϕ(0) = z0 6= 0. (11)
Имеет место равенство
|ϕ(0)| = max
J
|ϕ(θ)| = ‖ϕ‖.
В противном случае при некотором θ̂ ∈ J |ϕ(θ̂)| > |ϕ(0)|, тем самым существует
ω-предельная точка ẑ = ϕ(θ̂) = lim x(tn + θ̂), для которой |ẑ| > |z0|, что противоречит
выбору z0.
Обозначим v(t) = V (xt, t). В силу условия V̇ 6 0 функция v(t) не возрастает. Покажем,
что имеет место неравенство
v(t) >
1
2
α1
(
(1− ρ)‖ϕ‖
)
> 0, t > 0. (12)
Достаточно показать, что (12) имеет место для значений t = tn с достаточно большими
номерами. Из левого неравенства (5) следует: v(tn) > α1
(∣∣ |ϕn(0)| − |g(ϕn, tn)|
∣∣). Имеем:
|ϕn(0)| > |ϕ(0)| −∆n = ‖ϕ‖ −∆n, |g(ϕn, tn)| 6 ρ‖ϕn‖ 6 ρ(‖ϕ‖+ ∆n), где ∆n – число (11),
откуда
|ϕn(0)| − |g(ϕn, tn)| > (1− ρ)‖ϕ‖ − 2∆n.
Ввиду (11) правая часть положительна начиная с некоторого номера n0, поэтому, с учетом
монотонности α1(s),
v(tn) > α1
(
(1− ρ)‖ϕ‖ − 2∆n
)
, n > n0.
В силу непрерывности α1(s) отсюда следует (12) при t = tn с достаточно большим номером.
Из (12) с учетом монотонности v(t) следует: существует
lim V (xt, t) = V0 > 0 (t → +∞). (13)
Рассмотрим четверку hn = (Fn, Gn, ω0n, ω1n) ∈ H , вычисляемую по формуле (9) с заме-
ной t на t + tn. Выделяя сходящуюся подпоследовательность и сохраняя для нее те же
обозначения, получим
hn ⇒
M
h = (F, G, ω0, ω1) ∈ H. (14)
132
Об устойчивости решений почти периодической системы
Пусть y(t) = y(t, ϕ) – решение системы (10), где F, G взяты из h, с построенной выше
начальной функцией ϕ(θ). Так как, очевидно, xn(t) = x(t+ tn) – решение системы, получа-
емой из (10) заменой (F, G) на (Fn, Gn), с начальной функцией ϕn(θ), то в силу (11), (14)
и утверждения (i) пункта 2 имеем
x(t + tn) ⇒
[0,T ]
y(t) ∀ T > 0. (15)
Пусть Vh(ϕ, t) – функционал, вычисляемый по формуле (4) с заменой (v0, v1) парой (ω0, ω1)
из h. Имеем
Vh(yt, t) = an(t) + bn(t) + cn(t),
где an = Vh(yt, t) − V (yt, t + tn), bn = V (yt, t + tn) − V (xt+tn , t + tn), cn = V (xt+tn , t + tn).
Переходя к пределу при n → ∞, с учетом (4), (13)–(15) получим: Vh(yt, t) ≡ V0 > 0, что
противоречит утверждению (ii) пункта 2. �
Приведем простой иллюстративный пример. Рассмотрим уравнение
d
dt
[x(t)− a(t)x(t− 1)] = −x(t)− a(t)x(t− 1).
Здесь a(t) – почти периодическая функция со значениями в R, |a(t)| 6 ρ < 1, x(t) :
[−1,∞) → R. Пусть
V (ϕ, t) =
1
2
[ϕ(0)− a(t)ϕ(−1)]2 +
∫ 0
−1
ϕ2(θ)dθ,
тогда V̇ (ϕ, t) = −[1 − a2(t)]ϕ2(−1). Очевидным образом выполнены все условия теоре-
мы, поэтому решение x = 0 асимптотически устойчиво. Обратим внимание, что здесь не
выполняется условие Ляпунова V̇ < 0.
1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. – М.: Наука, 1970. – 240с.
2. Добровольский С.М., Романовский Р.К. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем // Мат.
заметки. – 1997. – 62, №1. – С.151-153.
3. Алексенко Н.В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально - диф-
ференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. – 2000. – №2. – С. 3-6.
4. Алексенко Н.В., Романовский Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-
разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 2001. – 37,
№2. – С. 147-153.
5. Хейл Дж. Теория функционально - дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421с.
6. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа //
Прикл. математика и механика. – 1979. – 43, №2. – С. 209-218.
7. Павликов С.В., Хусанов Д.Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости неавтономных
функционально - дифференциальных уравнений нейтрального типа // УлГУ. – Ульяновск, 1996. – 41с. –
Деп. в ВИНИТИ 22.03.96., №881–В96.
8. Андреев А.С., Павликов С.В. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функцио-
нально - дифференциальных уравнений // Мат. заметки. – 2000. – 68, №3. – С. 323-331.
9. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последей-
ствием. – М.: Наука, 1981. – 448с.
10. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во
МГУ, 1978. – 204с.
Омский гос. технический ун-т, Омск
alextroz@mail.ru
Получено 08.11.2002
133
|