Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами

Для управления динамическими объектами из условия обеспечения фазовых ограничений предлагается метод синтеза на основе использования вспомогательных интегральных поверхностей, позволяющих перейти к приведенному движению. С помощью приведенного движения определяются условия обеспечения фазовых ограни...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2002
1. Verfasser:	Пилишкин, В.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2002
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123702
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами / В.Н. Пилишкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 154-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123702
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237022017-09-09T03:04:11Z Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами Пилишкин, В.Н. Для управления динамическими объектами из условия обеспечения фазовых ограничений предлагается метод синтеза на основе использования вспомогательных интегральных поверхностей, позволяющих перейти к приведенному движению. С помощью приведенного движения определяются условия обеспечения фазовых ограничений. Для класса однородных систем получен алгебраический критерий, соответствующий необходимымым и достаточным условиям выполнения фазовых ограничений. Рассмотрены достаточные условия разрешимости задачи синтеза. 2002 Article Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами / В.Н. Пилишкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 154-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123702 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для управления динамическими объектами из условия обеспечения фазовых ограничений предлагается метод синтеза на основе использования вспомогательных интегральных поверхностей, позволяющих перейти к приведенному движению. С помощью приведенного движения определяются условия обеспечения фазовых ограничений. Для класса однородных систем получен алгебраический критерий, соответствующий необходимымым и достаточным условиям выполнения фазовых ограничений. Рассмотрены достаточные условия разрешимости задачи синтеза.
format	Article
author	Пилишкин, В.Н.
spellingShingle	Пилишкин, В.Н. Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами Механика твердого тела
author_facet	Пилишкин, В.Н.
author_sort	Пилишкин, В.Н.
title	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
title_short	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
title_full	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
title_fullStr	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
title_full_unstemmed	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
title_sort	метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123702
citation_txt	Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами / В.Н. Пилишкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 154-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT piliškinvn metodintegralʹnyhgraničnyhpoverhnostejvzadačeupravleniâdinamičeskimiobʺektami
first_indexed	2025-07-09T00:06:25Z
last_indexed	2025-07-09T00:06:25Z
_version_	1837125689871958016
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 62-50 c©2002. В.Н. Пилишкин МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Для управления динамическими объектами из условия обеспечения фазовых ограничений предлагается ме- тод синтеза на основе использования вспомогательных интегральных поверхностей, позволяющих перейти к приведенному движению. С помощью приведенного движения определяются условия обеспечения фазовых ограничений. Для класса однородных систем получен алгебраический критерий, соответствующий необхо- димымым и достаточным условиям выполнения фазовых ограничений. Рассмотрены достаточные условия разрешимости задачи синтеза. Введение. Построение различных систем управления с учетом фазовых и других огра- ничений представляет в настоящее время достаточно важный и широкий класс задач, как в практическом, так и в теоретическом плане. Это связано, прежде всего с тем, что функ- ционирование самых разных систем, а также протекание тех или иных динамических про- цессов во многих случаях являются допустимыми в техническом плане только тогда, когда возможно их представление в рамках каких-либо фазовых ограничений. Несмотря на зна- чительную распространенность данных задач, встречающихся в самых разных отраслях промышленности, техники, и большое число работ, в которых они рассматриваются [1 - 5], в настоящее время достаточно сложно указать такие подходы, в которых эти задачи эф- фективно решались бы. Учет фазовых ограничений обычно осуществляется косвенно [6, 7] либо это связано со значительными вычислительными трудностями [8]. Непосредственно учесть фазовые ограничения можно на базе методов, использующих функции Ляпунова [9], или с помощью специальных численных процедур, применяемых при сведении исходной задачи к задаче математического программирования [10]. Однако, и в этих случаях имеются серьезные трудности, связанные с разрешимостью задачи и эффективностью нахождения решения. При этом не всегда удается учесть дополнительные требования к синтезируе- мой системе, определяющие ее робастные свойства по отношению к окружающей среде и структурно-параметрическим возмущениям. В работах автора [11 - 13] рассматриваются метод вариации фазовых ограничений и метод вспомогательных интегральных поверхно- стей, позволяющие решать данную задачу. Предлагается дальнейшее развитие этих подхо- дов, в результате которого для достаточно широкого класса систем получено необходимое и достаточное условие существования требуемого закона управления. 1. Постановка задачи. Будем считать, что рассматривается в достаточно общем случае следующая система ẋ = f(x, u, v, t), (1) x(t0) = x0, t ≥ t0, где x, u, v – соответственно, n×1,m×1, r×1 векторы состояния, управления, возмущения; f(·)−n× 1 вектор-функция, удовлетворяющая условиям существования и единственности задачи Коши. Систему (1) будем называть λ-однородной, если функцию f(·) можно представить в виде f(x, u, v, t) = Φ[f 1(x), f2(u, v, t)], 154 Метод интегральных граничных поверхностей где f 1(λ) = λf 1(x). Здесь λ ∈ R1 – скалярный параметр; Φ(·), f1(·), f2(·) – некоторые n× 1 вектор-функции. В дальнейшем задачу синтеза будем рассматривать для однородных систем. Допустим, что ограничения, накладываемые на динамику поведения системы (1), приводятся к виду x = x(t) ∈ Q(t), (2) Q(t) = { x ∈ Rn : ψ(x, t) ≤ 0 } , t ≥ t0, (3) ψ(x, t) – непрерывно дифференцируемая вRn скалярная функция. При этом ΓQ(t) – граница множества Q(t). Ограничения на управление и возмущения имеют вид u ∈ U(t) ⊂ Rm, t ≥ t0, (4) v ∈ V (t) ⊂ R r, t ≥ t0. (5) Требуется для системы (1) сформировать такой допустимый в смысле (4) закон управления u = ũ(x, t), (6) который бы обеспечивал желаемую динамику поведения системы в смысле (2) с учетом заданных ограничений (5). 2. Построение вспомогательных интегральных поверхностей. Без ограничения общ- ности можно считать, что начало координат O ∈ Q(t), t ≥ t0. Кроме того, предполагается, что Q(t) – выпуклое множество. Пусть x = x(t, x0) – некоторая траектория системы (1), пересекающая множествоQ(t) в момент времени t ≥ t0, то есть x(t, x0) ∈ Q(t), t ≥ t0. Через z(t, z0) обозначим траекторию, лежащую на границе ΓQ(t): z(t, z0) ∈ ΓQ(t), t ≥ t0 и удовлетворяющую соотношению z(t, z0) = 1 λ x(t, x0), z0 = 1 λ x0, (7) где λ = λ(t, x0) – некоторая скалярная неотрицательная функция. Очевидно, в силу выпуклости множества Q(t) и выполнения условия (7), для произ- вольной траектории x(t, x0) всегда существует соответствующая только ей неотрицательная функция λ(t, x0), для которой траектория z(t, x0) удовлетворяет соотношению принадлеж- ности границе ΓQ(t) (см. рисунок, где для случая n = 2 проиллюстрировано данное свой- ство). Здесь z∗ = z(t∗, z0), x ∗ = x(t∗, x0). Если x(t, x0) ∈ Q(t) в текущий момент времени t ≥ t0, то 0 < λ(t, x0) ≤ 1, (8) если же при t ≥ t0 x(t, x0) 6∈ Q(t), то λ(t, x0) > 1. (9) Определим поверхность, порожденную множеством ΓQ(t), следующим образом: Ω(t1, t2) = {[ zT t ]T ∈ Rn+1 : z ∈ ΓQ(t), t ∈ [t1, t2] } . 155 В.Н. Пилишкин Геометрическая иллюстрация свойства траекторий x(t, x0) и z(t, x0). Поскольку z(t, z0) ∈ Ω(t0,∞) ∀z0 ∈ ΓQ(t0), то Ω(t0,∞) является интегральной поверхно- стью для каждой траектории z(t, z0). Будем называть Ω(t0,∞) вспомогательной интегральной поверхностью (ВИП) для тра- екторий x(t, x0). Тогда Ω(t1, t2) – участок ВИП. 3. Основное соотношение на базе ВИП. Воспользуемся свойствами ВИП для решения поставленной задачи. Должно выполняться условие ψ(z(t, z0), t) = ψ (x(t, x0) λ(t, x0) , t ) ≡ 0 ∀t ≥ t0. Отсюда dψ(·) dt = (∇xψ, ẋ) + ∂ψ (x λ , t ) ∂t + ∂ψ (x λ , t ) ∂λ λ̇ ≡ 0, (10) где (∇xψ, ẋ) = n∑ i=1 ∂ψ ∂t ẋi; ∂ψ(·) ∂λ = − 1 λ2 ( ∇ x λ ψ, x ) ; ∇x, ψ(·) = 1 λ ∇ x λ ψ. В результате (10) преобразуется к уравнению 1 λ ( ∇ x λ ψ, ẋ ) + dψ dt − 1 λ2 ( ∇ x λ ψ, x ) λ̇ = 0, которое приведем к эквивалентному выражению λ̇ = (∇zψ, f(λz, u, v, t)) (∇zψ, z) + λ ∂ψ ∂t (∇zψ, z) = Φ(λ, z, u, v, t), (11) z(t0) = z0, λ(t0) = λ0. 156 Метод интегральных граничных поверхностей Если для некоторой траектории z(t) при допустимых u, v решение уравнения (11) удовлетворяет условию 0 < λ(t) ≤ 1 ∀t ∈ [t1, t2], (12) то, согласно (11), получаем x(t) ∈ Q(t), t ∈ [t1, t2], что дает возможность сформулировать следующую теорему. ТЕОРЕМА 1. Если при любых допустимых значениях v(·) и произвольно выбираемой траектории z(t) ∈ Ω(t1, t2), то есть z(t) ∈ ΓQ(t) ∀ t ∈ [t1, t2], хотя бы для одного допу- стимого u(·) решения уравнения (11) удовлетворяют неравенству (12), то для траекторий системы (1) выполняются фазовые ограничения (2). На основе этой теоремы можно учесть также тот случай, когда граница множества Q(t) задается нечетко (под нечеткостью фазовых ограничений понимается неточность задания границы множества фазовых ограничений, когда в качестве границы одновременно могут использоваться различные поверхности уровня функции ψ(x, t)), или же, когда допускается в определенных пределах выход траектории x(t) за пределы множества Q(t). СЛЕДСТВИЕ. Для обеспечения нечетких фазовых ограничений вида (2) заданного уровня нечеткости на отрезке времени [t1, t2] для системы (1) при выполнении условий теоремы 1 для решений уравнения (11) должно выполняться неравенство 0 < λ(t) ≤ λmax, λmax ∈ [λ−, λ+], 1 ∈ [λ−, λ+]. 4. Синтез однородных систем на основе достаточного условия. Рассмотрим следу- ющий класс однородных систем Φ[f 1(·), f2(·)] = f 1(x) + f 2,1(u) + f 2,2(v, t). (13) Причем управление u = ũ(x, t) ищется в таком виде, чтобы обеспечивалась однородность функции f(x, ũ(x, t), v, t). Очевидно, в этом случае можно записать f(λx, ũ(λx, t), v, t) = λf 1(x) + λf 2,1(ũ(x, t), t) + f 2,2(v, t) = λf̃ 1(x, t) + f 2,2(v, t). В частности, для однородной линейной системы f(·) = Ax+Bu+Dv, (14) если y = Cx, u = KCx – l × 1 вектор выхода, то f̃ 1(x, t) = Ãx, f̃ 2,2(v, t) = Dv, Ã = A+BKC. (15) Тогда уравнение (11) примет вид λ̇ = λ (∇zψ, f̃ 1(z, t)) + ∂ψ ∂t (∇zψ, z) + (∇zψ, f 2,2(v, t)) (∇zψ, z) . (16) Обозначим ϕ0 = (∇zψ, f 2,2(v, t)) + ∂ψ ∂t (∇zψ, z) , ϕ1 = (∇zψ, f 1(z, t)) + ∂ψ ∂t (∇zψ, z) . (17) 157 В.Н. Пилишкин С учетом (17) запишем уравнение (16): λ̇ = ϕ1λ + ϕ0, λ(t0) = λ0, t ≥ t0. Решением данного уравнения является λ(t) = λ0 exp ( t∫ t0 ϕ1(τ)dτ ) + t∫ t0 exp ( t∫ τ ϕ1(τ)dτ ) · ϕ0(τ)dτ. Тогда, в соответствии с теоремой 1, должно быть обеспечено 0 < λ0 exp ( t∫ t0 ϕ1(τ)dτ ) + t∫ t0 exp ( t∫ τ ϕ1(τ)dτ ) ϕ0(τ)dτ ≤ 1, (18) ∀z(t) ∈ Ω(t0, t), ∀v ∈ V, ∀t ∈ [t1, t2]. Возможны различные подходы к непосредственному решению неравенства (18) отно- сительно параметров регулятора. Они сводятся, в основном, к численному решению. Однако, наиболее простым представляется следующий подход. Будем считать, что неопределенность по возмущению v можно представить в виде v = G(x, g), где G – r × 1 вектор-функция, для которой f 2,2(G(x, g), t) однородна; g – векторный параметр, определенный в некотором диапазоне [g−, g+], то есть g ∈ [g−, g+]. Тогда уравнение (16) становится таким λ̇ = λϕ̃1, λ(t0) = λ0, t ≥ t0, где ϕ̃1 = (∇zψ, f 1(z, t)) + f 2,2(G(z, g), t) + ∂ψ ∂t (∇zψ, z) . Отсюда λ(t) = λ0 exp ( t∫ t0 ϕ̃1(z(τ), τ)dτ ) ≤ λmax, что эквивалентно неравенству t∫ t0 ϕ̃1(z(τ), τ)dτ ≤ ln λmax λ0 ∀t ∈ [t1, t2], z(t) ∈ Ω(t1, t2). (19) Неравенство (18) можно, в частности, решать путем его ужесточения, если потребовать, чтобы оно выполнялось ∀z(t) ∈ Ω(t1, t2). Тогда для достаточно широкого класса систем max z(τ)∈Ω(t0,t) t∫ t0 φ̃1(z(τ), τ)dτ = t∫ t0 max z(τ)∈Ω(t0,t) φ̃1(z(τ), τ)dτ ≤ ln λmax λ0 ∀t ∈ [t1, t2]. (20) Для линейных систем (14) неравенство (20) принимает вид t∫ t0 n∑ ν = 1 ν 6= i \|âiν \|qν(t) + âiiqi(t)− q̇i(t) qi(t) dt ≤ ln λmax λ0 , i ∈ 1, n, t ∈ [t1, t2], 158 Метод интегральных граничных поверхностей где âiν – элементы матрицы Â = Ã + DG, при условиях: \|xi\| ≤ qi(t), i ∈ 1, n; v = Gx. В результате вначале решаем задачу минимизации, а затем непосредственно интегральное неравенство. Для стационарных систем данные неравенства приводятся к виду âii · (t− t0) + n∑ ν = 1 ν 6= i \|âiν \| t∫ t0 qν(τ) qi(τ) dτ ≤ ln λmax λ0 + ln qi(t) qi(t0) , i ∈ 1, n, t ∈ [t1, t2]. 5. Обобщенная задача синтеза для приведенных систем. Для анализа разрешимо- сти неравенств (19), (20), а также для непосредственного решения можно сформировать достаточно общее условие в виде некоторого проверяемого алгебраического соотношения. Продифференцировав выражение x(t) = λz(t), получаем λ̇z+λż = ẋ. Отсюда, с учетом однородности (13) при выбираемых u(·) и v(·), имеем λ̃ϕ1z + λz = λf̃(z, t), где f̃(·) = = f̃ 1(z, t) + f 2,2(G(z, g), t), тогда ż = f̃(z, t)− ϕ̃1(z, t)z (21) представляет собой уравнение траектории на ВИП Ω(t0,∞). Так как ψ(z(t), t) ≡ 0, то ψ(z, t) является первым интегралом неравенства (21). Таким образом, решения уравнения (21) удовлетворяют условию z(t) ∈ ΓQ(t) ∀t ≥ t0, z(t0) ∈ ΓQ(t0). В результате приходим к следующей оптимизационной задаче max z(t)∈Ω(t0, t) J = max z(t)∈Ω(t0, t) t∫ t0 φ̃1(z(τ), τ)dτ ≤ ln λmax λ0 , (22) t ∈ [t1, t2] при ż = f̃(z, t)− φ̃1(z, t)z, которая обобщает постановку исходной задачи синтеза и соответствует необходимому и достаточному условию обеспечения рассматриваемых фазовых ограничений. 6. Необходимое и достаточное условие разрешимости для приведенных систем. Анализ задачи (22) позволяет утверждать, что ∀t ∈ [t1, t2] решением задачи является одна и та же оптимальная в смысле (22) z0(t), поскольку на траекториях, являющихся решением одного и того же уравнения (21), максимизируется один и тот же функционал. Действительно, пусть для некоторого произвольного момента времени t ∈ [t1, t2] тра- ектория z0(t) является оптимальной, а z(t) является решением (21) и z(t) = z0(t) + δz(t), (23) где δz(t) – сколь угодно малая вариация траектории z0(t). Подставляя (23) в (21), при необходимых предположениях нетрудно получить уравнение ˙̂a = R(z0, t)â, (24) R(z0, t) = ∇zf̃ − ϕ̃1E − z0(∇zϕ̃1) T , где f̃ = f̃(z0, t), ϕ̃1 = ϕ̃1(z 0, t). Отсюда δz(t) = exp ( t∫ t0 R(z0(τ), τ)dτ ) δz0 = Φ0(t, t0)δz0, δz0 = δz(t0), (25) 159 В.Н. Пилишкин Φ0(t, t0) – переходная матрица уравнения (24), являющаяся, согласно [14], невырожденной. Подставляя (23) в максимизируемый функционал (22), с учетом (25) нетрудно показать, что приращение функционала для траектории z0(t) должно удовлетворять равенству δy = t∫ t0 (∇zϕ̃1, δz)dτ = ( t∫ t0 ΦT 0 (τ, t0)∇zϕ̃1dτ, δz0 ) = 0 ∀δz0, (26) отсюда следует, что вектор s(t) = t∫ t0 ΦT 0 (τ, t0)∇zϕ̃1dτ (27) должен быть ортогонален гиперплоскости, касательной к поверхности в точке z0 0 = z0(t0). Известно, что к ΓQ(t0) в точке z0 0 ортогонален вектор ∇zψ(z0 0 , t0). Поэтому можно записать s(t) = µ(t)∇zψ(z0 0 , t0), (28) где µ(t) – скалярная функция, такая, что µ(t0) = 0. Согласно [12], вектор s(t) вида (26) является решением уравнения ṡ = RT s+∇zϕ̃1, s(t0) = 0, t ≥ t0, (29) где R определяется в соответствии с (24). Отсюда с учетом (28) получим (µ̇E − µRT )∇zψ = ∇zϕ̃1, (30) t ≥ t0, R = R(z0(t), t), ∇zϕ̃ = ∇zϕ̃1(z 0(t), t), ∇zψ = ∇zψ(z0 0 , t0). Соотношение (30) представляет собой необходимое условие оптимальности z0(t), до- ставляющей максимум функционалу y вида (22). Причем относительно самой траектории z0(t) соотношение (30) является алгебраическим. Из (30) следует, что при t = t0 µ̇(t0)∇zψ(z0 0 , t0) = ∇zϕ̃1(z 0 0 , t0). А отсюда, как нетрудно видеть, независимо от выбора значения t ∈ [t1, t2], определяет- ся конкретное значение z0 0 , которому соответствует единственная траектория z0(t). Таким образом z0(t), является одной и той же ∀t ∈ [t1, t2]. Если соотношения (30) реализовать затруднительно, то можно поступить следующим образом. Поскольку y(z0(t)) → max ∀t ∈ [t1, t2], то y(z0(t+∆t)) = y(z0(t))+∆y → max ∀∆t при t+ ∆t ∈ [t1, t2], а значит, ∆y → max ∀∆t, (31) где t+ ∆t ∈ [t1, t2]. Выбирая ∆t достаточно малым, из (22) получим ∆y = ϕ̃1(z 0(t), t)∆t. (32) Из (31), (32) следует, что вдоль оптимальной траектории z0(t) функция ϕ̃1(z, t) в каждый момент времени должна принимать максимальное значение. 160 Метод интегральных граничных поверхностей Так как при ∆t → 0 ϕ̃1 ∣∣ t+∆t = ϕ̃1 ∣∣ t +ϕ̃1 ∣∣ t ∆t, то получим ϕ̃1 ∣∣ t+∆t → max тогда и только тогда, когда ˙̃ϕ1 ∣∣ t → max ∀t ∈ [t1, t2]. (33) С учетом того, что ˙̃ϕ1 = (∇zϕ̃1, ˙̃z) + ∂ϕ̃1 ∂t = (∇zϕ̃1, f̃(z, t)− ϕ̃1(z, t) z) + ∂ϕ̃1 ∂t , (34) приходим к справедливости следующего результата. ТЕОРЕМА 2. Для разрешимости задачи (22), а значит, для обеспечения фазовых огра- ничений (2) с учетом (4), (5) в классе λ-однородных систем (1) необходимо и достаточно, чтобы на решениях задачи max z [(∇zϕ̃1, f̃(·)− ϕ̃1z) + ∂ϕ̃1 ∂t ] при z(t0) = z0 ∈ ΓQ(t0), t ≥ t0 (35) выполнялось неравенство min ũ(·) y(z0(t), ũ0(·)) ≤ ln λmax λ0 ∀t ∈ [t1, t2], (36) где z0(t) – решения задачи (35). При этом следует отметить, что минимизация min ũ0 {·} осуществляется непосредственно по параметрам, от которых зависит выбранная функция u = ũ(·) = ũ(x, γ, t) (γ – миними- зирующий параметр; например, γ – это матрица обратной связи K). 7. Пример. Покажем, как на основе предлагаемого подхода осуществляется синтез за- конов управления. Для этого воспользуемся соотношениями, соответствующими достаточ- ному условию синтеза. Пусть рассматривается горизонтальный полет самолета, задаваемый уравнениями (p+ n22)α− pν = 0, (n0p+ n32)α+ (p2 + n33p)ν = −nbδb, где α – угол атаки, ν – угол тангажа, δb – угол отклонения руля высоты; n0 = 0, 7, n22 = 2, 5, n32 = 16, n33 = 2, 2, nb = 100; p = d dt – оператор дифференцирования. С помощью обозначений x1 = α, x2 = ν, x3 = ν̇ систему уравнений приведем к виду ẋ = Ax+Bu, где A =  −n22 0 1 0 0 1 (n0n22 − n32) 0 −(n0 + n33) =  −2, 5 0 1 0 0 1 −14, 24 0 −2, 9  , B =  0 0 −nb =  0 0 −100  . Управление ищется в виде u = kx = k1x1 + k2x2 + k3x3. 161 В.Н. Пилишкин Пусть требуется обеспечить ограничения \|xi\| ≤ qi(t), i = 1, 2, 3. Тогда в рассматриваемом случае неравенства, соответствующие достаточному условию разрешимости, ∀t ∈ [t1, t2] будут следующими: −2, 5(t− t0) + t∫ t0 q3(τ) q1(τ) dτ ≤ ln λmax λ0 + ln q1(t) q1(t0) , t∫ t0 q3(τ) q2(τ) dτ ≤ ln λmax λ0 + ln q2(t) q2(t0) , (37) −(2, 9+100k3)(t− t0)+ \|100k2\| t∫ t0 q2(τ) q3(τ) dτ + \|14, 25+100k1\| t∫ t0 q1(τ) q3(τ) dτ ≤ ln λmax λ0 +ln q3(t) q(t0) . Пусть qi(t) = die λit, i = 1, 2, 3, где λi ≤ 0, di > 0. Тогда неравенства (37) примут вид −(λ1 + 2, 5)(t− t0) + d3 d1 1 λ3 − λ1 ( e(λ3−λ1)t − e(λ3−λ1)t0 ) ≤ ln λmax λ0 , −λ2(t− t0) + d3 d1 1 λ3 − λ2 ( e(λ3−λ2)t − e(λ3−λ2)t0 ) ≤ ln λmax λ0 , (38) −(λ3 + 2, 9 + 100k3)(t− t0) + 100\|k2\| d2 d3 1 λ2 − λ3 ( e(λ2−λ3)t − e(λ2−λ3)t0 ) + +\|14, 25 + 100k1\| d1 d3 1 λ1 − λ3 ( e(λ1−λ3)t − e(λ1−λ3)t0 ) ≤ ln λmax λ0 , ∀t ∈ [t1, t2]. Нетрудно показать, что для разрешимости неравенств (38) достаточно положить −2, 5 ≤ λ1 ≤ 0; λ2 = 0; −d3 d2 1 λ3 exp(λ3t0) ≤ ln λmax λ0 ; λ3 < λ1. Тогда синтезируемая матрица Ê имеет вид k1 = −0, 1425; k2 = 0; k3 ≥ − λ3 + 2, 9 100 . Если неравенства (38) рассматривать не для всех ∀t ≥ t0, а только на некотором отрезке [t1, t2], то множество решений значительно расширяется. 8. Синтез на основе представления однородными моделями. Другой возможный подход к синтезу требуемого закона управления непосредственно основан на использова- нии уравнения (21). Так же, как и ранее, будем считать, что действующие на систему (1) возмущения можно представить в виде v = G(x, g), где G(·) – некоторая вектор-функция, а g – векторный параметр с произвольными значениями на отрезке G0 = [g−, g+]. При- чем G(·) и G0 выбираются таким образом, чтобы множество V возможных возмущений описывалось наиболее полным образом. Пусть u = ũ(x, t) ⊂ U – некоторый допустимый закон управления, обеспечивающий заданные фазовые ограничения (2) при действии возмущений (5). Имеем ẋ = f(x, u, v, t) = f(x, ũ(x, t); G(x, g), t) = f̃(x, g, t), 162 Метод интегральных граничных поверхностей x(t0) = x0 ∈ Q(t0), x(t) ∈ Q(t), t > t0. Поскольку x(t) ∈ Q(t), t ≥ t0, то можно указать такую поверхность ΓQ̃(t) ⊂ Q(t) ∀t ≥ t0, что x(t) ∈ ΓQ̃(t) ∀t ≥ t0. Считаем, что ΓQ̃(t) является граничной поверхностью множества Q̃(t) ⊂ Q(t), t ≥ t0 . Причем 0 ∈ Q̃(t). Граничную поверхность ΓQ̃(t) будем рассматривать как вспомогательную интеграль- ную поверхность для некоторой однородной системы ẏ = f̂(y, t), (39) где f̂(·) – n×1 вектор-функция, y – n×1 вектор состояния такой, что между траекториями y(t) и x(t) справедлива зависимость y(t) = λx(t). (40) Но выше было показано (см. (21)), что в этом случае движение по поверхности ΓQ̃(t) должно описываться уравнением ẋ = f̂(x, t)− ϕ(x, t) x, (41) x(t0) = x0 ∈ ΓQ̃(t0), ϕ(x, t) = (∇xψ̃f̂(x, t)) + ∂ψ̃/∂t (∇xψ̃, x) , где скалярная функция ψ̃(x, t) определяет границу ΓQ̃(t): ΓQ̃(t) = {x ∈ Rn : ψ̃(x, t) = 0}. (42) Сравнивая уравнения (41) и (37), описывающие одну и ту же однородную систему, получаем тождество f̃(x, g, t) ≡ f̂(x, t)− ψ(x, t) x, t ≥ t0. (43) В результате приходим к следующей теореме. ТЕОРЕМА 3. Для разрешимости задачи синтеза достаточно, чтобы существовали такая однородная система (39) и замкнутая граничная поверхность ΓQ̃(t0) (42), которые обеспе- чивают разрешимость тождества (43) для системы (37). Соотношение (43) можно представить в виде уравнения относительно функции f̂(·): Rf̂ = f̃ − r, (44) где R = E − 1 (∇xψ̃, x) x(∇xψ̃)T , r = − ∂ψ̃/∂t (∇xψ̃, x) x. Тогда синтез сводится к анализу разрешимости уравнения (44) относительно однородной функции f̂(·) . Из (43) получим также тождество λ[(∇xψ̃(λx, t), x)E − x(∇xψ̃(λx, t))T ]f̂(x, t) ≡ ≡ λf̃(λx, t)(∇xψ̃(λx, t), x) + x ∂ψ̃(λx, t) ∂t ] ∀λ ∈ R1, которое можно разрешать относительно f̂(·). 163 В.Н. Пилишкин Заключение. Предложенный подход, основанный на применении вспомогательных ин- тегральных поверхностей, позволяет получать конструктивные соотношения на параметры синтезируемого робастного регулятора. При этом непосредственно учитываются самые различные ограничения: на состояние системы, на управление, на возмущения. Метод мо- жет эффективно использоваться для нестационарных и нелинейных систем путем сведения ограничений и систем произвольного порядка к некоторому скалярному уравнению, для решения которого и формируется эквивалентное неравенство. Для класса λ-однородных систем, к которому относятся все линейные системы, а также часть нелинейных систем, установлены некоторые важные свойства, согласно которым можно сформировать приведенную систему с заданной интегральной поверхностью. На основе приведенной системы формулируется обобщенная задача синтеза требуемого закона управления в виде некоторой оптимизационной задачи. Решение этой задачи позволяет получить необходимое и достаточное условие существования робастного управления в виде некоторого параметрического алгебраического соотношения, для решения которого могут использоваться стандартные подходы. Класс однородных систем может быть существенно расширен, если по аналогии с λ-однородностью ввести µ(λ)-однородность (F (λx) = µ(λ)F (x)). Тогда также могут ис- пользоваться аналитические соотношения, полученные в данной работе, или некоторые их обобщения. 1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. – Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1969. – 384 c. 2. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: ИЛ, 1960. – 400с. 3. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. – М.: Наука, 1977. – 400 c. 4. Справочник по теории автоматического управления /Под ред. А.А. Красовского.–М.: Наука, 1987. –712 с. 5. Ковалев А.М. Управляемость динамических систем по части переменных. – Прикл. математика и механика. – 1993. – 57. N 6. – C. 41-50. 6. Летов А.М. Математическая теория процессов управления. – М.: Наука, 1981. – 253 c. 7. Hartl R.F., Sethi S.P., Vicson R.G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints // SIAM, Rev. – 1995. – 37, N 2. – P.181-218. 8. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. – М.: Мир, 1979 9. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 300 c. 10. Федоренко Р.П. Приближенное решение задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1978. – 487 c. 11. Pilishkin V.N., Pupkov K.A. Robust Control System Design using phase-constraints Variation Approach // Proceedings of the European Control Conference. – Karlsruhe, Ger-many, 1999. – Session BP-13, N F614. – P. 1-5. 12. Pilishkin V.N. Management of the limited dynamic processes on the basis of the variation on auxiliary integrated surfaces // Proceedings of the European Control Conference. – Porto, Portugal, 2001. – P. 2215-2220. 13. Pilishkin V.N. Phase constraints variation method for synthesis of nonlinear systems // 2001 IEEE Joint International Conference on Control Applications & International Symposium on Intelligent Control. – Mexico City, Mexico, 2001. – P. 504-508. 14. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. – М.: Наука, 1970. – 620 c. Московский гос. техн. ун-т им. Н.Э.Баумана, Россия pilishkin@hotmail.com Получено 30.10.2002 164

Метод интегральных граничных поверхностей в задаче управления динамическими объектами

Institution

Ähnliche Einträge