Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара
Исследуется эволюция пространственного поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Уравнения, описывающие эволюцию движения, получены методом разделения движений и усреднения в канонических переменных Андуайе-Делоне. Данная статья продолжает серию ра...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123707 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара / А.В. Шатина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 194-202. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123707 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237072017-09-09T03:04:26Z Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара Шатина, А.В. Исследуется эволюция пространственного поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Уравнения, описывающие эволюцию движения, получены методом разделения движений и усреднения в канонических переменных Андуайе-Делоне. Данная статья продолжает серию работ [1-3], посвященных задаче о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, являющейся модельной при изучении приливной эволюции движения планет. 2002 Article Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара / А.В. Шатина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 194-202. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123707 531.391 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется эволюция пространственного поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Уравнения, описывающие эволюцию движения, получены методом разделения движений и усреднения в канонических переменных Андуайе-Делоне. Данная статья продолжает серию работ [1-3], посвященных задаче о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, являющейся модельной при изучении приливной эволюции движения планет. |
| format |
Article |
| author |
Шатина, А.В. |
| spellingShingle |
Шатина, А.В. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара Механика твердого тела |
| author_facet |
Шатина, А.В. |
| author_sort |
Шатина, А.В. |
| title |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| title_short |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| title_full |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| title_fullStr |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| title_full_unstemmed |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| title_sort |
эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123707 |
| citation_txt |
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара / А.В. Шатина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 194-202. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT šatinaav évolûciâpostupatelʹnovraŝatelʹnogodviženiâvâzkouprugogošara |
| first_indexed |
2025-07-09T00:06:50Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:06:50Z |
| _version_ |
1837125718862987264 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.391
c©2002. А.В. Шатина
ЭВОЛЮЦИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА
Исследуется эволюция пространственного поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в цен-
тральном ньютоновском поле сил. Уравнения, описывающие эволюцию движения, получены методом раз-
деления движений и усреднения в канонических переменных Андуайе-Делоне. Данная статья продолжает
серию работ [1-3], посвященных задаче о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле
сил, являющейся модельной при изучении приливной эволюции движения планет.
1. Постановка задачи. Уравнения движения. Рассмотрим задачу о движении вязко-
упругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Шар предполагается однородным,
изотропным с массой m и плотностью ρ, в естественном недеформированном состоянии
занимающим область V = {r : |r| < r0} в трехмерном евклидовом пространстве.
Пусть OXY Z - инерциальная система координат с началом в притягивающем цен-
тре, Cξ1ξ2ξ3 - система осей Кенига, Cx1x2x3 - подвижная система координат с началом в
центре масс деформированного шара. Положение точки шара в системе координат OXY Z
определим векторным полем ζ(r, t):
ζ(r, t) = R(t) + Γ(t)(r + u(r, t)), (1)
R(t) =
1
m
∫
ζ(r, t)ρdx,
∫
udx = 0,
∫
rotudx = 0. (2)
Здесь R(t) – радиус-вектор центра масс C деформированного шара, Γ(t) – оператор перехо-
да от системы координат Cx1x2x3 к системе осей Кенига Cξ1ξ2ξ3, u(r, t) – вектор упругого
смещения. Интегрирование здесь и далее ведется по области V . Радиус-вектор точки C и
оператор Γ определяются однозначно по заданному векторному полю ζ(r, t) условиями (2).
Деформированное состояние шара будем описывать, используя классическую теорию
упругости малых деформаций. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций
E[u] имеет вид [4]:
E[u] =
∫
α1(I
2
E − α2IIE)dx, α1 =
E(1− ν)
2(1 + ν)(1− 2ν)
, α2 =
2(1− 2ν)
1− ν
,
IE =
3∑
i=1
eii, IIE =
3∑
i<j
(eiiejj − e2
ij), eij =
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
,
где E – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона, IE, IIE – инварианты тензора малых
деформаций. Функционал внутренних диссипативных сил D = D[u̇] будем полагать задан-
ным в виде: D[u̇] = χE[u̇], где χ > 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения (модель
Кельвина-Фойгта).
Кинетическая энергия шара представляется функционалом
T =
1
2
∫
ζ̇2ρdx =
1
2
∫
[Γ−1Ṙ + ω × (r + u) + u̇]2ρdx, (3)
194
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара
где ω – угловая скорость системы координат Cx1x2x3, ω × (·) = Γ−1Γ̇(·). Потенциальная
энергия внешнего гравитационного поля определяется равенством
Π = −γ
∫
ρdx√
(R + Γ(r + u))2
, (4)
где γ = fm0, f – универсальная гравитационная постоянная, m0 – масса притягивающего
центра. Так как |R| � |r + u|, то подынтегральное выражение в ( 4 ) можно разложить
в ряд по степеням |r + u|/R , где R = |R|. Ограничиваясь членами второго порядка по
степеням |r + u|/R и линейными по |u|/R , получим
Π = −γm
R
+
γ
R3
∫ {
(r,u)− 3(Γ−1R0, r)(Γ
−1R0,u)
}
ρdx, R0 = R/R
Гравитационное взаимодействие частиц вязкоупругого шара друг с другом определя-
ется функционалом потенциальной энергии
Π1 =
∫
fm(r,u)
r3
0
ρdx.
В поставленной задаче имеет место закон сохранения момента количеств движения
относительно притягивающего центра [1]:
Ġ0 = 0, G0 = R×mṘ + K,
где K - момент количеств движения вязкоупругого шара относительно его центра масс,
определяемый равенством
K =
∫
Γ(r + u)× [Γ(r + u)]•ρdx.
Не нарушая общности, будем считать, что ось OZ направлена по вектору G0.
Уравнения движения рассматриваемой механической системы выпишем в форме урав-
нений Рауса, используя обобщенные канонические переменные для описания поступательно-
вращательного движения шара и лагранжевы переменные для описания деформаций.
Для описания вращательного движения вязкоупругого шара относительно системы ко-
ординат Cξ1ξ2ξ3 воспользуемся каноническими переменными Андуайе I1, I2, I3, ϕ1, ϕ2, ϕ3
[6]. Здесь I2 = |K|, I1, I2 – проекции вектора K на оси Cx3 и Cξ3 соответственно. Опе-
ратор перехода от системы координат Cx1x2x3 к системе координат Cξ1ξ2ξ3 в переменных
Андуайе представляет собой произведение пяти ортогональных матриц
Γ = Γ3(ϕ3)Γ1(δ1)Γ3(ϕ2)Γ1(δ2)Γ3(ϕ1), (5)
где
Γ3(ϕk) =
cos ϕk − sin ϕk 0
sin ϕk cos ϕk 0
0 0 1
, Γ1(δj) =
1 0 0
0 cos δj − sin δj
0 sin δj cos δj
, k = 1, 2, 3, j = 1, 2,
cos δ1 = I3I
−1
2 , cos δ2 = I1I
−1
2 .
195
А.В. Шатина
Компоненты вектора K в системе координат Cx1x2x3 в переменных Андуайе имеют вид
Γ−1K = (
√
I2
2 − I2
1 sin ϕ1,
√
I2
2 − I2
1 cos ϕ1, I1). (6)
Для описания поступательного движения шара воспользуемся каноническими пере-
менными Делоне L, G, H ,l, g, h [7]. Здесь G = |G|, G = R × mṘ, L =
√
γm2a (a –
большая полуось орбиты центра масс шара), H – проекция вектора G на ось OZ, l –
средняя аномалия, g – долгота перигелия от восходящего узла, h – угол между осью OX и
линией пересечения плоскости орбиты центра масс с плоскостью OXY . Длина вектора R
в переменных Делоне определяется равенством
R =
G2
γm2(1 + e cos ϑ)
,
где e =
√
1−G2/L2 – эксцентриситет орбиты центра масс шара, ϑ - истинная аномалия,
зависящая от переменных l, L,G через соотношения
cos w =
e + cos ϑ
1 + e cos ϑ
, l = w − e sin w,
в которых w – эксцентрическая аномалия. Вектор R в системе координат OXY Z в пере-
менных Делоне имеет вид
R = Γ3(h)Γ1(i)Γ3(g + ϑ)(R, 0, 0)T, (7)
где i - наклонение орбиты, cos i = H/G.
Функционал Рауса определяется равенством
< =
6∑
i=1
piq̇i − T + Π + Π1 + E[u]
∣∣∣∣∣
(q̇,q)→(p,q)
,
где q = (q1, ..., q6), p = (p1, ..., p6), qi(i = 1, ..., 6) – обобщенные координаты, определяю-
щие координаты вектора R и оператор Γ, pi(i = 1, ..., 6) – соответствующие им обобщенные
импульсы. С использованием переменных Андуайе-Делоне функционал Рауса представля-
ется в виде
< = <[I1, I2, I3, L, G, H, ϕ1, ϕ2, ϕ3, l, g, h, u̇,u] =
= −γ2m3
2L2
+
I2
2
2A
− 1
A
(
Γ−1K,
∫
r× u̇ρdx
)
− 1
A2
∫ (
Γ−1K× r, Γ−1K× u
)
ρdx+
+
γ
R3
∫ {
(r,u)− 3(Γ−1R0, r)(Γ
−1R0,u)
}
ρdx + Π1 + E[u] + <∗.
Здесь A = 2.5mr2
0, слагаемое <∗ содержит члены второго и более высоких порядков по
компонентам векторов u и u̇, компоненты вектора Γ−1K определяются равенством (6), а
компоненты вектора Γ−1R0, согласно (5) и (7), вычисляются по формуле
Γ−1R0 = Γ3(−ϕ1)Γ1(−δ2)Γ3(−ϕ2)Γ1(−δ1)Γ3(h− ϕ3)Γ1(i)Γ3(g + ϑ)(1, 0, 0)T.
196
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара
Уравнения движения выписываются в форме уравнений Рауса
İk = − ∂<
∂ϕk
, ϕ̇k =
∂<
∂Ik
(k = 1, 2, 3),
L̇ = −∂<
∂l
, Ġ = −∂<
∂g
, Ḣ = −∂<
∂h
, l̇ =
∂<
∂L
, ġ =
∂<
∂G
, ḣ =
∂<
∂H
, (8)(
− d
dt
∇u̇<+∇u<+∇u̇D + λ1, δu
)
V
+
∫
(λ2, rotδu)dx = 0 ∀δu ∈
(
W 1
2 (V )
)3
, (9)
где (W 1
2 (V ))
3 - пространство Соболева, λi = λi(t) (i = 1, 2) - неопределенные множители
Лагранжа, порожденные условиями (2). Уравнения (8), (9) совместно с условиями (2) обра-
зуют полную систему уравнений, определяющую движение рассматриваемой механической
системы.
2. Вывод эволюционной системы уравнений. На следующем шаге к системе (8),
(9) применим метод разделения движений [6,8], основанный на предположении, что время
затухания свободных упругих колебаний шара на наинизшей собственной частоте суще-
ственно превосходит период этих колебаний, но намного меньше характерного времени
движения шара как целого. Так как жесткость шара предполагается большой, то мож-
но ввести малый параметр ε = ω2
0ρr2
0E
−1 , где ω0 - модуль начальной угловой скорости
шара. Выбирая соответствующим образом масштабы размерных единиц, можно получить
ε = E−1. При ε = 0 вектор упругого смещения u полагается равным нулю, а уравнения (8)
описывают поступательно-вращательное движение абсолютно твердого шара в централь-
ном ньютоновском поле сил и имеют вид
İk = 0 (k = 1, 2, 3), L̇ = 0, Ġ = 0, Ḣ = 0,
ϕ̇1 = 0, ϕ̇2 = ω2, ϕ̇3 = 0, l̇ = ω4, ġ = 0, ḣ = 0, (10)
где ω2 = I2/A, ω4 = γ2m3/L3.
Система уравнений (10) легко интегрируется. Соответствующее движение таково:
центр масс шара движется по кеплеровской орбите как материальная точка с массой, равной
массе шара, при этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной
в инерциальной системе координат. Примем это движение за невозмущенное.
При ε 6= 0, согласно методу разделения движений, вектор упругого смещения u и
множители Лагранжа λ1, λ2 ищем в виде
u = εu1 + ε2u2 + · · ·, λi = λi0 + ελi1 + · · ·(i = 1, 2).
Для определения функции u1 получаем квазистатическую задачу теории упругости:
ε∇E[u1 + χu̇1] = ρ
{[
2
3
ω2
2 −
fm
r3
0
]
r− 1
A2
B1r +
3γ
R3
B2r
}
, (11)
σn = 0. (12)
Здесь
ε∇E[u] = − 1
2(1 + ν)
[
1
1− 2ν
graddivu + ∆u
]
,
197
А.В. Шатина
B1 =
∥∥∥b
(1)
ij
∥∥∥ , b
(1)
ii = K2
i − I2
2
/
3 (i = 1, 2, 3), b
(1)
ij = KiKj (i 6= j),
B2 =
∥∥∥b
(2)
ij
∥∥∥ , b
(2)
ii = γ2
i − 1/3 (i = 1, 2, 3), b
(2)
ij = γiγj (i 6= j),
Γ−1K = (K1, K2, K3), Γ−1R0 = (γ1, γ2, γ3), σn = (σn1, σn2, σn3),
σni =
ν
(1 + ν)(1− 2ν)
· xi
r
divu +
1
2(1 + ν)
[(
∂u
∂xi
,
r
r
)
+
(
gradui,
r
r
)]
(i = 1, 2, 3)
Условие (12) означает равенство нулю напряжений на поверхности шара [5].
Решение задачи (11), (12) представляется в виде
u1 = u11 + u12 + u13, (13)
где
u11 = ρ
(
−2ω2
2
/
3 + fmr−3
0
) (
d1r
2 + d2r
2
0
)
r,
u12 = −ρA−2
{
a1(B1r, r)r + (a2r
2 + a3r
2
0)B1r
}
,
u13 ≈
(
1− χω2
∂
∂ϕ2
− χω4
∂
∂l
)
u130,
u130 = 3γρR−3
{
a1(B2r, r)r + (a2r
2 + a3r
2
0)B2r
}
,
d1 =
(1 + ν)(1− 2ν)
10(1− ν)
, d2 =
(2ν − 1)(3− ν)
10(1− ν)
,
a1 =
(1 + ν)
5ν + 7
, a2 = −(1 + ν)(2 + ν)
5ν + 7
, a3 =
(1 + ν)(2ν + 3)
5ν + 7
.
Функция u13 представлена двумя первыми членами степенного ряда в предположении, что
|χωk| � 1 (k = 1, 2). Функции u11 соответствует сферически симметричная деформация
шара. Функция u12 описывает осесимметричную упругую деформацию планеты (сжатие по
оси вращения) под действием центробежных сил инерции, вызванных собственным враще-
нием планеты. Механический смысл слагаемого u13 состоит в том, что первый член в нем
определяет приливную деформацию по оси, соединяющей центр масс шара с притягива-
ющим центром, а два последующих характеризуют запаздывание приливных деформаций
из-за сил вязкого трения.
Согласно методу разделения движений необходимо подставить найденное решение
u = εu1 в правые части уравнений (8), предварительно линеаризовав их по u и u̇.
После вычисления тройных интегралов по области V получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно переменных Андуайе-Делоне, описывающих
поступательно-вращательное движение шара с учетом возмущений, вызванных упруго-
стью и диссипацией. По сути дела эта система уравнений описывает поступательно-
вращательное движение шара под действием приливных сил. Назовем указанную систему
уравнений “возмущенной”.
Так как имеет место закон сохранения момента количеств движения шара относительно
притягивающего центра
G0 = G + K, (14)
то это означает, что векторы G, K и G0 лежат в одной плоскости и выполнено равенство
ϕ3 − h = π. Предполагая, что в системе отсутствуют резонансы, и выполняя процеду-
ру усреднения правых частей “возмущенной” системы уравнений по “быстрым” угловым
198
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара
переменным ϕ2 и l, получим приближенную систему дифференциальных уравнений для
описания эволюции “медленных” переменных
İ1 = cos δ2İ2,
İ2 = −18εχρ2D2ω
4
4
{
G3
L3
[(
1 + z2
) (
1
2
+
3e2
4
+
e4
16
)
+
(
cos2 g+
+z2 sin2 g
) (
3e2
2
+
e4
4
)]
ω2 − z
(
1 +
15e2
2
+
45e4
8
+
5e6
16
)
ω4
}
,
İ3 = −18εχρ2D2ω
4
4
{
G3
L3
[(z cos i + cos δ1)
(
1
2
+
3e2
4
+
e4
16
)
+
+
(
z sin2 g cos i + cos2 g cos δ1
) (
3e2
2
+
e4
4
)]
ω2 − cos i
(
1 +
15e2
2
+
45e4
8
+
5e6
16
)
ω4
}
,
L̇ = −18εχρ2D2ω
4
4 {−z
(
1 +
15e2
2
+
45e4
8
+
5e6
16
)
ω2+ (15)
+
L3
G3
(
1 +
31e2
2
+
255e4
8
+
185e6
16
+
25e8
64
)
ω4
}
,
Ġ = −18εχρ2D2ω
4
4 {−z
G3
L3
(
1 + 3e2 +
3e4
8
)
ω2 +
(
1 +
15e2
2
+
45e4
8
+
5e6
16
)
ω4
}
,
Ḣ = −İ3, ϕ̇1 = 0,
ϕ̇3 = −3
2
ερ2D2ω
2
2ω
2
4
L3 sin [2 (δ1 + i)]
G3I2 sin δ1
− 9εχρ2D2ω
4
4ω2
L9 sin 2g sin (δ1 + i)
G9I2 sin δ1
(
3e2
2
+
e4
4
)
,
ġ = ερ2D2ω
2
4 {45 ω2
4
L9
G10
(
1 +
3e2
2
+
e4
8
)
+
3L3
2G4
ω2
2 (2− 3 sin2 (δ1 + i) + sin [2 (δ1 + i)] ctgi
)}
+
+9εχρ2D2ω2ω
4
4
L9
G10
sin 2g sin (δ1 + i) ctgi
(
3e2
2
+
e4
4
)
,
ḣ = −3
2
ερ2D2ω
2
2ω
2
4
L3 sin [2 (δ1 + i)]
G4 sin i
− 9εχρ2D2ω
4
4ω2
L9 sin 2g sin (δ1 + i)
G10 sin i
(
3e2
2
+
e4
4
)
,
где z = cos(δ1 + i), D2 =
4πr7
0(1 + ν)(9ν + 13)
105(5ν + 7)
.
Заметим, что правые части полученной системы дифференциальных уравнений зави-
сят лишь от одной угловой переменной g, причем скорость эволюции переменной g имеет
порядок ε, в то время как медленные переменные “действие” эволюционируют со ско-
ростью порядка εχω4. Усредняя правые части первых шести уравнений системы (15) по
угловой переменной g, получим
İ1 = cos δ2İ2,
İ2 = −∆ω4
4(1− e2)−9/2
{
1 + z2
2
F1(e)ω2 − zF2(e)ω4(1− e2)−3/2
}
,
İ3 = −∆ω4
4(1− e2)−9/2
{
1
2
(z cos i + cos δ1)F1(e)ω2 − cos iF2(e)ω4(1− e2)−3/2
}
,
199
А.В. Шатина
L̇ = ∆ω4
4(1− e2)−6 {z F2(e)ω2 − F3(e)ω4(1− e2)−3/2}, (16)
Ġ = ∆ω4
4(1− e2)−9/2 {z F1(e)ω2 − F2(e)ω4(1− e2)−3/2}, Ḣ = −İ3,
где
∆ = 18εχρ2D2, F1(e) = 1 + 3e2 + 3e4
/
8,
F2(e) = 1+15e2
/
2+45e4
/
8+5e6
/
16, F3(e) = 1+31e2
/
2+255e4
/
8+185e6
/
16 + 25e8
/
64.
Система уравнений (16) имеет три первых интеграла. Два из них являются следствием
закона сохранения кинетического момента (14):
I3 + H = G0, G sin i = I2 sin δ1. (17)
Третий интеграл является следствием сферической симметрии и соответствует тому фак-
ту, что в усредненных уравнениях угол между осью Cx3 связанной с шаром подвижной
системы координат и вектором кинетического момента K остается неизменным:
I1/I2 = I1(0)/I2(0).
3. Анализ эволюционной системы уравнений. Производная по времени от наклоне-
ния орбиты i в силу уравнений (16) равна
di
dt
= − ∆
2G
ω4
4(1− e2)−9/2F1(e)ω2 sin(δ1 + i).
Заметим, что (δ1 + i) - это угол параллелограмма, образованного векторами G и K, сумма
которых равна G0. Поэтому, когда векторы K, G и G0 не коллинеарны, то 0 < (δ1 + i) < π
и
di
dt
< 0, то есть наклонение орбиты уменьшается.
Производная по времени от угла δ1 между векторами K и G0 в силу уравнений (16)
имеет вид
δ̇1 =
∆ω4
4 sin(δ1 + i)
I2(1− e2)6
{z
2
ω2(1− e2)3/2F1(e)− ω4F2(e)
}
.
Из этого равенства следует, что в случае обратных вращений (π/2 ≤ (δ1 + i) < π) угол
δ1 уменьшается. В случае прямых вращений (0 < (δ1 + i) < π/2) может происходить
увеличение угла δ1 при достаточно большой угловой скорости собственного вращения
шара по сравнению с орбитальной, а именно, при выполнении условия,
ω4 <
z
2
ω2(1− e2)3/2F1(e)F
−1
2 (e).
Из уравнений (16) получим
ė = − ∆eω4
4
G(1− e2)6
{
9F4(e)ω4 −
11
2
F5(e)(1− e2)3/2zω2
}
, (18)
где F4(e) = 1 + 15e2/4 + 15e4/8 + 5e6/64, F5(e) = 1 + 3e2/2 + e4/8. Из равенства (18) сле-
дует, что существует класс так называемых квазикруговых орбит, то есть орбит с нулевым
эксцентриситетом. Если e 6= 0, то значение e уменьшается, если выражение в фигурных
скобках равенства (18) положительно, и возрастает, когда это выражение отрицательно.
200
Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара
В частности, в случае обратных вращений происходит уменьшение эксцентриситета орби-
ты центра масс шара.
Найдем стационарные решения системы (16), приравняв нулю правые части уравнений
этой системы. В результате получим
e = 0, cos(δ1 + i) = 1, ω2 = ω4, i = 0, δ1 = 0. (19)
Из равенств (19) и из закона сохранения момента количеств движения относитель-
но точки O следует, что для стационарных значений переменных “действие” выполнены
соотношения
L = G = H, I2 = I3, γ2m3
/
L3 = I2/A, I3 + H = G0.
Таким образом, в стационарном движении центр масс шара движется по круговой
орбите, ортогональной вектору момента количеств движения G0, ось вращения шара на-
правлена по нормали к плоскости орбиты, а сам шар неподвижен в орбитальной системе
координат. При этом, согласно (13), шар оказывается сплюснутым по полюсам и вытянутым
вдоль радиуса, соединяющего центр масс шара с притягивающим центром.
Исследуем устойчивость указанного стационарного решения на основе уравнений в
вариациях, полагая
I1 = Ĩ1 + η1, I2 = Ĩ2 + η2, I3 = Ĩ2 + η3, L = G̃ + η4, G = G̃ + η5, H = G̃ + η6.
Учитывая, что величины Ĩ2 и G̃ удовлетворяют системе уравнений
γ2m3
/
G̃3 = Ĩ2
/
A, Ĩ2 + G̃ = G0, (20)
получим
η̇1 = Ĩ1Ĩ
−1
2 η̇2, η̇2 = −∆0A
−1(η2 − 9κη4 + 12κη5),
η̇3 = ∆0A
−1{1
2
κη2 −
1
2
η3 + 9κη4 − (12κ− 1
2
)η5 +
κ
2
η6},
η̇4 = ∆0A
−1{−κη2 − 16κη4 + (18κ− 1)η5}, (21)
η̇5 = ∆0A
−1{−κη2 − 9κη4 + (11κ− 1)η5}, η̇6 = −η̇3,
где ∆0 = 18εχρ2D2γ
8m12G̃−12, κ = Ĩ2
/
G̃.
Решение системы (21) будем искать в виде
ηk = Ck exp(∆0A
−1λt) (k = 1, ..., 6),
где Ck - произвольные постоянные. Характеристическое уравнение системы (21) и его
корни представляются в виде:
λ2(λ + (1 + κ)/2)(λ + 1 + κ)(λ + 7κ)(λ− 3κ + 1) = 0,
λ1,2 = 0, λ3 = −(1 + κ)/2, λ4 = −(1 + κ), λ5 = −7κ, λ6 = 3κ− 1.
Нулевой корень кратности два является следствием двух первых интегралов системы
(16), корни λ3, λ4, λ5 отрицательны, а корень λ6 отрицателен при условии Ĩ2
/
G̃ < 1/3.
201
А.В. Шатина
Из системы (20) следует, что величина G̃ является корнем уравнения
Aγ2m3
G̃3
+ G̃ = G0. (22)
Рассмотрим функцию
f(G̃) =
k
G̃3
+ G̃, k = Aγ2m3.
Минимум этой функции достигается при G̃ = 4
√
3k и равен f∗ = 4
3
4
√
3k . Если G0 < f∗,
то уравнение (22) решений не имеет. Если G0 = f∗ , то уравнение (22) имеет единствен-
ное решение G̃ = G∗ = 4
√
3k, и радиус стационарной орбиты определяется равенством
R∗ = G2
∗γ
−1m−2. С учетом того, что A = 0.4mr2
0 , получим R∗ =
√
1.2r0. В случае
G0 > f∗ уравнение (22) имеет два решения G1 и G2, G1 < G∗ < G2, которым соответству-
ют стационарные орбиты радиусов R1 = G2
1γ
−1m−2 и R2 = G2
2γ
−1m−2 (R1 < R∗ < R2) .
Для корня G1 получим Ĩ2
/
G̃ = k/G4
1 > 1/3 , а для корня G2 выполнено неравенство
Ĩ2
/
G̃ < 1/3 . Поэтому устойчивым является решение, соответствующее большему зна-
чению G2, то есть гравитационной стабилизации вязкоупругого шара на орбите большего
радиуса.
Наличие указанных стационарных решений установлено в работе [1] на основе возму-
щенной системы векторных уравнений относительно радиус-вектора центра масс шара и
вектора кинетического момента вращательного движения. Тот факт, что приливные силы
приводят первоначальное вращение тела к захвату в резонансный режим движения, когда
период обращения по орбите и период вращения вокруг оси совпадают, был установлен
также при исследовании вращательного движения твердого тела под действием прилив-
ных сил, момент которых определялся феноменологически [9]. В Солнечной системе почти
стационарное движение осуществляет Луна относительно Земли, спутники Юпитера Ио,
Европа, Ганимед, Каллисто, ряд других спутников планет.
1. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикл. математика и
механика. – 1980. – 44, вып. 3. – С. 395–402.
2. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в цен-
тральном ньютоновском поле сил // Там же. – 1985. – 49, вып. 1. – С. 25–34.
3. Вильке В.Г., Марков Ю.Г. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в
центральном поле сил // Астрономический журнал. –1988. – 65, вып. 4. – С. 861–867.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 7. Теория упругости. – М.:Наука, 1965. – 203 с.
5. Ляв А. Математическая теория упругости. – М.; Л.:ОНТИ, 1935. – 674 с.
6. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечныи числом степеней
свободы. – М.: Изд-ие МГУ, 1986. – 192 с.
7. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. – М.:Наука, 1968. – 800 с.
8. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами // Прикл. матема-
тика и механика. – 1978. – 42, вып. 1. – С. 34 – 42.
9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.:Наука, 1965. –416 с.
Московский гос. ин-т радиотехники, электроники
и автоматики (техн. ун-т), Россия
albinash@mtu-net.ru
Получено 31.10.02
202
|