О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости

Рассмотрена задача о колебаниях вращающейся гравитирующей эллипсоидальной массы жидкости, вязкость которой равна нулю на свободной поверхности и возрастает к центру масс по специальному квадратичному закону до заданного максимального значения, оставаясь постоянной на каждом эллипсоиде, подобном и со...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2002
Автор:	Судаков, С.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2002
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123709
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 208-217. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123709
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237092017-09-09T03:04:27Z О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости Судаков, С.Н. Рассмотрена задача о колебаниях вращающейся гравитирующей эллипсоидальной массы жидкости, вязкость которой равна нулю на свободной поверхности и возрастает к центру масс по специальному квадратичному закону до заданного максимального значения, оставаясь постоянной на каждом эллипсоиде, подобном и соосном границе. Закон изменения вязкости выбран так, что течение жидкости оказывается однородным вихревым, благодаря чему движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае отсутствия вязкости рассматриваемые эллипсоиды переходят визвестные эллипсоиды Дирихле. 2002 Article О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 208-217. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123709 521.14; 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена задача о колебаниях вращающейся гравитирующей эллипсоидальной массы жидкости, вязкость которой равна нулю на свободной поверхности и возрастает к центру масс по специальному квадратичному закону до заданного максимального значения, оставаясь постоянной на каждом эллипсоиде, подобном и соосном границе. Закон изменения вязкости выбран так, что течение жидкости оказывается однородным вихревым, благодаря чему движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае отсутствия вязкости рассматриваемые эллипсоиды переходят визвестные эллипсоиды Дирихле.
format	Article
author	Судаков, С.Н.
spellingShingle	Судаков, С.Н. О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости Механика твердого тела
author_facet	Судаков, С.Н.
author_sort	Судаков, С.Н.
title	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
title_short	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
title_full	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
title_fullStr	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
title_full_unstemmed	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
title_sort	о колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123709
citation_txt	О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 208-217. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT sudakovsn okolebaniâhvraŝaûŝihsâgravitiruûŝihžidkihéllipsoidovperemennojvâzkosti
first_indexed	2025-07-09T00:07:02Z
last_indexed	2025-07-09T00:07:02Z
_version_	1837125729511276544
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 521.14; 531.38 c©2002. С.Н.Судаков О КОЛЕБАНИЯХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ГРАВИТИРУЮЩИХ ЖИДКИХ ЭЛЛИПСОИДОВ ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТИ Рассмотрена задача о колебаниях вращающейся гравитирующей эллипсоидальной массы жидкости, вязкость которой равна нулю на свободной поверхности и возрастает к центру масс по специальному квадратичному закону до заданного максимального значения, оставаясь постоянной на каждом эллипсоиде, подобном и соосном границе. Закон изменения вязкости выбран так, что течение жидкости оказывается однородным вихревым, благодаря чему движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае отсутствия вязкости рассматриваемые эллипсоиды переходят в известные эллипсоиды Дирихле. В работе [1] дан обзор результатов экспериментальных исследований, указывающих на сильный рост вязкости расплавов железа при повышении давления до значений, сравни- мых с давлением внутри планет. Там же указано на необходимость учета этого фактора при построении математических моделей вращения планет, имеющих жидкое ядро, основным компонентом которого является расплав железа. Например, при построении моделей вра- щения Земли. С этой целью в работах [2-4] была рассмотрена задача о вращении твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной ньютоновской жидкостью, вязкость кото- рой равна нулю на границе полости и возрастает к ее центру до максимального значения. Закон изменения вязкости выбран так, что движение жидкости оказывается однородным вихревым. В настоящей работе этот подход применен к исследованию колебаний вращающих- ся жидких гравитирующих эллипсоидов. При исследовании использован известный прием [5], суть которого состоит в следующем. Сначала задача решается в предположении, что граница жидкости, независимо от распределения давлений на ней, вынуждена оставаться эллипсоидом постоянного объема, но с переменными длинами главных осей. Затем дока- зывается, что для полученного решения давление действительно будет одним и тем же во всех точках границы. 1. Уравнения однородных вихревых движений жидкости переменной вязкости в эллипсоидальной полости с переменными длинами главных осей. Введем неподвиж- ную декартову систему координат Oξ1ξ2ξ3. Через Ox1x2x3 обозначим подвижную декартову систему координат, начало O которой совпадает с началом неподвижной системы коорди- нат. Будем считать, что имеется эллипсоидальная полость, граница которой описывается уравнением x2 1/c 2 1 + x2 2/c 2 2 + x2 3/c 2 3 = 1, (1) где c1, c2, c3 — некоторые заданные непрерывные функции времени, удовлетворяющие усло- вию c1c2c3 = R3 = const. (2) Это условие означает, что объем полости при изменении длин главных осей остается по- стоянным. Полость целиком заполнена несжимаемой ньютоновской жидкостью постоянной плотности ρ, а ее кинематическая вязкость ν является функцией координат ν = ν0(1− x2 1/c 2 1 − x2 2/c 2 2 − x2 3/c 2 3), (3) 208 О колебаниях жидких эллипсоидов где ν0 — константа. Таким образом, ν является функцией координат x1, x2, x3 и неявно зависит от времени t, поскольку c1, c2, c3 — функции времени. Из (1) и (3) следует, что ν обращается в нуль на границе жидкости и достигает максимального значения в центре. Движение жидкости относительно подвижной системы координат Ox1x2x3 описыва- ется уравнениями [6] ∂v ∂t + (v · ∇)v = −1 ρ ∇p+ ν(x, c)∆v + 2σ∇ν(x, c)− − ω̇ × x− ω × (ω × x)− 2ω × v − ∇Φ, (4) div v = 0, (5) где v — вектор скорости жидкости относительно подвижных осей Ox1x2x3; p — давление; x = (x1, x2, x3); c = (c1, c2, c3); σ — тензор скоростей деформаций жидкости, компоненты которого имеют вид σij = 1 2 ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) , i, j = 1, 2, 3; v1, v2, v3 — проекции v на оси Ox1x2x3; ω — вектор абсолютной угловой скорости по- движных осей Ox1x2x3; −Φ — потенциал гравитационных сил, определяемый формулами [5] Φ = πργ(α1x 2 1 + α2x 2 2 + α3x 2 3 − χ0), αi = c1c2c3 ∞∫ 0 dλ (ci + λ)D , i = 1, 2, 3, χ0 = c1c2c3 ∞∫ 0 d λ D , D = [(c21 + λ)(c22 + λ)(c23 + λ)] 1 2 , γ — гравитационная постоянная. Из соотношений (1),(3) следует, что что вязкость ν на границе жидкости обращается в нуль. Поэтому касательные напряжения на границе жидкости будут отсутствовать. В каче- стве граничных условий для системы (4),(5) примем условия непротекания через границу (1): (v − u) · n \|S= 0, где S — граница жидкости; n — единичный вектор нормали к гра- нице S; u — скорость точек границы жидкости относительно осей Ox1x2x3, обусловленная изменеием длин c1, c2, c3. Вектор вихря абсолютной скорости жидкости 2Ω = rotv + 2ω в случае однородного вихревого движения жидкости не зависит от x1, x2, x3 и является только функцией времени. Поэтому поле скоростей жидкости ищется в виде v1 = c1 ( ω∗2 x3 c3 − ω∗3 x2 c2 ) + ċ1 c1 x1 (123), (6) где ω∗1 = 2c3c2 c23 + c22 (Ω1 − ω1) (123). (7) Символ (123) означает, что остальные выражения получаются круговой перестановкой индексов. Здесь ω1, ω2, ω3 и Ω1,Ω2,Ω3 — соответственно проекции векторов ω и Ω на оси Ox1x2x3. 209 С.Н.Судаков Очевидно, что для поля скоростей (6) выполняются принятые выше граничные усло- вия. Для выполнения условия несжимаемости (5) необходимо и достаточно выполнения условия ċ1/c1 + ċ2/c2 + ċ3/c3 = 0, которое является следствием соотношения (2). Подставляя (6) в уравнения (4) и применяя операцию rot с последующим учетом (3),(7), получаем уравнения для Ω1,Ω2,Ω3 Ω̇1 = (1− ε3)ω3Ω2 − (1− ε2)ω2Ω3 + (ε2 + ε3)Ω2Ω3 − σ1(Ω1 − ω1)− −ω1(ċ2/c2 + ċ3/c3) (123), (8) где ε1 = c23 − c22 c23 + c22 , σ1 = 2ν0ε 2 1 c22 + c23 c22c 2 3 (123). Если функции ci(t), i = 1, 2, 3 выбраны так, что выполнено условие (2) и система уравнений (8) разрешима, то в элипсоидальной области с границей (1) будет существовать однородное вихревое движение жидкости с вязкостью, заданной выражением (3). Подставляя выражения для скорости жидкости (6) в уравнения (4), получаем систему уравнений для определения давления p 1 ρ ∂p ∂x1 = p11x1 + p12x2 + p13x3 − ∂ Φ ∂ x1 (123), где p11 = ω∗2 2 + ω∗3 2 + ω2 2 + ω2 3 + 2ω∗2ω2c3/c1 + 2ω∗3ω3c2/c1 − c̈1/c1 − 4ν0ċ1/c 3 1 , p12 = ω̇∗3 c1 c2 − ω∗1ω ∗ 2 c1 c2 + ω̇3 − ω1ω2 − 2ω∗1ω2 c3 c2 + 2ν0ω ∗ 3 c21 − c22 c1c32 + 2ω∗3 ċ1 c2 + 2ω3 ċ2 c2 , p21 = −ω̇∗3 c2 c1 − ω∗1ω ∗ 2 c2 c1 − ω̇3 − ω1ω2 − 2ω∗2ω1 c3 c1 + 2ν0ω ∗ 3 c21 − c22 c31c2 − 2ω∗3 ċ2 c1 − 2ω3 ċ1 c1 (123). Условия совместности этих уравнений p12 = p21 (123) совпадают с уравнениями (8). Выражение для давления имеет вид 1 ρ p = 1 2 (p 11x 2 1 + p 22x 2 2 + p 33x 2 3) + p 12x1x2 + p 23x2x3 + p 31x3x1 − Φ + 1 ρ p 0(t), (9) где p 0(t) — произвольная функция времени. 2. Обобщенные координаты, описывающие положение частиц жидкости в поло- сти. Для введения обобщенных координат, применим подход, использованный в работе [7], распространив его на случай эллипсоида с переменными длинами главных осей. Для этого изучим отображение эллипсоидальной области с полуосями c10, c20, c30 на эллипсоидальную область с полуосями c1, c2, c3, состоящее из трех последовательных отображений: 1) линейное отображение сжатия и растяжения, сохраняющее объем и переводящее эллипсоидальную область с полуосями c10, c20, c30 в шар, который условимся называть "жидким шаром"; 2) поворот "жидкого шара" вокруг его центра; 3) линейное отображение растяжения и сжатия, сохраняющее объем и преобразующее "жидкий шар" в эллипсоидальную область с полуосями c1, c2, c3. 210 О колебаниях жидких эллипсоидов Выясним, куда перейдет после отображения точка, имеющая в осях Ox1x2x3 коорди- наты x0 1, x 0 2, x 0 3. Для этого рассмотрим как изменяются координаты точки после каждого преобразования. Первое отображение переводит ее в точку с координатами zi = R ci0 x0 i , i = 1, 2, 3, R = 3 √ c10c20c30. После второго отображения положение точки в системе Ox1x2x3 описывается радиу- сом-вектором y = Bz, где z — вектор с компонентами z1, z2, z3; B — матрица поворота, компоненты bij которой зависят от параметров ϕ∗, ψ∗, θ∗, определяющих положение "жид- кого шара" после поворота. Проекции вектора y на оси Ox1x2x3 обозначим y1, y2, y3. После третьего отображения рассматриваемая точка будет иметь в осях Ox1x2x3 коор- динаты xi = ci R yi, i = 1, 2, 3. Координаты xi можно выразить через x0 i по формулам xi = 3∑ j =1 bij ci cj 0 x0 j , i = 1, 2, 3. (10) Обозначим через x0 вектор, проекции которого на оси Ox1x2x3 равны x0 1, x 0 2, x 0 3. Если предположить, что параметры ϕ∗, ψ∗, θ∗, c1, c2, c3 являются функциями времени t и bij = δij , ci = ci0 при t = t0, то определенные равенствами (10) функции xi(t,x 0) будут описывать в осях Ox1x2x3 движение частицы жидкости, имевшей при t = t0 координаты x0 1, x 0 2, x 0 3. Диф- ференцируя равенства (10) по t, находим компоненты скорости этой частицы относительно осей Ox1x2x3 v∗i = 3∑ j=1 (ḃijci + bij ċi) x0 j cj 0 , i = 1, 2, 3. (11) Компоненты скорости v∗i представим как функции времени t и координат xi. Для этого вы- пишем отображение, обратное отображению (10). Умножая левую и правую части равенства (10) на матрицу A, обратную к матрице B, получаем ζj = 3∑ j=1 ajk cj0 ck xk, j = 1, 2, 3, (12) где aij — компоненты матрицы A, определенные равенствами aij = bji. (13) Заменяя в равенствах (11) величины x0 i по формулам (12), получаем v∗i = 3∑ k=1 3∑ j−1 (ḃijci + bij ċi)ajk xk ck , i = 1, 2, 3, (14) 211 С.Н.Судаков где x — вектор с компонентами x1, x2, x3. Формулы (14) описывают движение жидкости в полости по методу Эйлера. Применяя к равенствам (14) операцию rot, находим следующие выражения для компонент вектора вихря 2Ω∗ 2Ω∗ 1 = 3∑ j=1 (c3 c2 ḃ3jaj2 − c2 c3 ḃ2jaj3 ) − 3∑ j=1 ( b3jaj2 ċ3 c2 − b2jaj3 ċ2 c3 ) (123). Из равенства (13) и условия постоянства объема эллипсоида следует, что вторая сумма равна нулю, следовательно 2Ω∗ 1 = 3∑ j=1 (c3 c2 ḃ3jaj2 − c2 c3 ḃ2jaj3 ) (123). Согласно работе [7], эти формулы можно представить в виде Ω∗ 1 = c23 + c22 2c2c3 ω∗1 (123), (15) где ω∗1, ω ∗ 2, ω ∗ 3 — компоненты вектора угловой скорости ω∗ "жидкого шара", движению ко- торого соответствует матрица поворота B. Из формул (15) следует, что в рассматриваемом движении вектор Ω∗ не зависит от x1, x2, x3, то есть движение однородное вихревое. С другой стороны, для любого изме- няющегося со временем вектора Ω∗(t) можно указать такое движение "жидкого шара" с угловой скоростью ω∗(t), что будет выполнено равенство (15). Иными словами, всякое однородное вихревое движение жидкости в эллипсоидальной оболочке с переменными длинами главных осей можно описать изложенным способом. Формулы (14) и (15) определяют относительную скорость и относительную завихрен- ность однородного вихревого движения, а именно, скорость v и вихрь 2Ω∗ относительно подвижных осей Ox1x2x3. Абсолютная скорость v∗ и вихрь 2Ω находятся по формулам v∗ = v + ω × x, Ω = Ω∗ + ω. (16) Проекции векторов (16) на оси Ox1x2x3 в развернутом виде выглядят так v∗1 = 3∑ k=1 3∑ j=1 (ḃ1j c1 + b1j ċ1)aj k xk ck + ω2x3 − ω3x2 (123), (17) Ω1 = c23 + c22 2c3c2 ω∗1 + ω1 (123), (18) где v∗i , ωi, Ωi, i = 1, 2, 3 — соответственно проекции на оси Ox1x2x3 векторов v∗, ω, Ω. Используя соотношения (13) и 3∑ j=1 ḃ3jaj2 = ω∗1 (123), формулу (17) представим в виде v∗1 = c1 (ω∗2 c3 x3 − ω∗3 c2 x2 ) + ċ1 c1 x1 + ω2x3 − ω3x2 (123). (19) Положение "жидкого шара"относительно осей Ox1x2x3 будем определять обобщенны- ми координатами ϕ∗, ψ∗, θ∗. Положение осей Ox1x2x3 относительно неподвижной систе- мы координат Oξ1ξ2ξ3 определим обобщенными координатами ϕ, ψ, θ. Величины ϕ, ψ, θ, 212 О колебаниях жидких эллипсоидов ϕ∗, ψ∗, θ∗, c1, c2 можно принять за обобщенные координаты, описывающие границу жид- кости и положение частиц жидкости внутри нее. При этом надо учитывать, что c1, c2, c3 связаны соотношением (2). 3. Функция Лагранжа. Кинетическая энергия жидкости определяется выражением T = ρ 2 ∫ Q (v2 1 + v2 2 + v2 3) dQ, где ρ — плотность жидкости; Q — объем, занимаемый жидкостью. Используя формулы (19), соотношения ρ 2 ∫ Q x2 i dQ = 1 10 mc2i , m = 4 3 πρc1c2c3, ∫ Q xixj dQ = 0 и вводя вместо c1, c2, c3 безразмерные величины ζi = ci/R, i = 1, 2, 3, представим выра- жение для кинетической энергии в виде T = mR2 10 ∑ (123) [(ζ1 ω ∗ 2 + ζ3 ω2) 2 + (ζ1 ω ∗ 3 + ζ3 ω3) 2 + ζ̇2 1 ]. (20) В качестве обобщенных координат ϕ∗, ψ∗, θ∗, определяющих положение "жидкого шара" относительно осей Ox1x2x3, примем углы Эйлера. Тогда ω∗1 = ϕ̇∗ sin θ∗ sinψ∗ + θ̇∗ cosψ∗, ω∗2 = −ϕ̇∗ sin θ∗ cosψ∗ + θ̇∗ sinψ∗, (21) ω∗3 = ϕ̇∗ cos θ∗ + ψ̇∗. В качестве обобщенных координат ϕ, ψ, θ, определяющих положение подвижных осей Ox1x2x3 относительно неподвижных Oξ1ξ2ξ3, также примем углы Эйлера. Тогда ω1 = ψ̇ sin θ sinϕ+ θ̇ cosϕ, ω2 = ψ̇ sin θ cosϕ− θ̇ sinϕ, (22) ω3 = ψ̇ cos θ + ϕ̇. В качестве обобщенных координат, описывающих положение частиц жидкости, будем ис- пользовать ϕ∗, ψ∗, θ∗, ϕ, ψ, θ, ζ1, ζ2. При этом ζ3 = 1/(ζ1ζ2). (23) Потенциальную энергию гравитационных сил обозначим Π(ζ1, ζ2). Конкретное выра- жение для нее будет указано ниже. Функция Лагранжа будет иметь вид L = T − Π, где T определено выражениями (20)–(23). 4. Диссипативная функция Рэлея. Учитывая, что скорость жидкости относительно осей Ox1x2x3 определяется формулами (6), запишем выражения для компонент тензора скоростей деформаций в виде σ11 = ċ1 c1 , σ23 = σ32 = c23 − c22 2c3c2 ω∗1 (123). (24) 213 С.Н.Судаков Компоненты тензора напряжений имеют вид [6] pij = p δij + 2µ(x)σij , (25) где δij — символ Кронекера; µ(x) = ρν(x) — динамическая вязкость жидкости. Тогда диссипация энергии за счет вязкого трения будет определяться формулой [8] dA = − ∫ Q pij eij dQdt. Используя (24) и (25), представим последнюю формулу в виде F = −1 2 dA d t = 1 5 ν0m ∑ (123) ((ζ2 3 − ζ2 2 ζ3ζ2 )2 ω∗1 2 + 2 ζ̇2 1 ζ2 1 ) . F и есть диссипативная функция Рэлея. 5. Уравнения движения эллипсоидальной массы жидкости. Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода d d t ∂ L ∂ ϕ̇ − ∂ L ∂ ϕ + ∂ F ∂ ϕ̇ = 0 (ϕ, ψ, θ, ϕ∗, ψ∗, θ∗, ζ1, ζ2). Остальные уравнения системы получаются циклической перестановкой взятых в скобки символов. Уравнения, соответствующие обобщенным координатам ϕ, ψ, θ, в развернутом виде таковы: ẇ3 − w1ω2 + w2ω1 = 0, ẇ1 sin θ sinϕ+ ẇ2 sin θ cosϕ+ ẇ3 cos θ+ +w1(θ̇ cos θ sinϕ+ ϕ̇ sin θ cosϕ) + w2(θ̇ cos θ cosϕ− ϕ̇ sin θ sinϕ)− w3θ̇ sin θ = 0, ẇ1 cosϕ− ẇ2 sinϕ− −w1(ϕ̇ sinϕ+ ψ̇ cos θ sinϕ)− w2(ϕ̇ cosϕ+ ψ̇ cos θ cosϕ) + w3ψ̇ sin θ = 0, где w1 = 2ζ2 ζ3ω ∗ 1 + (ζ2 2 + ζ2 3 )ω1 (123). Обозначая левые части полученных уравнений в порядке следования через f1, f2, f3 и составляя линейные комбинации f2 sinϕ+ f3 sin θ cosϕ− f1 cos θ sinϕ = 0, f2 cosϕ− f3 sin θ sinϕ− f1 cos θ cosϕ = 0, f1 = 0, представим уравнения для w1, w2, w3 в виде ẇ1 − w2ω3 + w3ω2 = 0 (123). (26) Уравнения, соответствующие обобщенным координатам ϕ∗, ψ∗, θ∗, в развернутом виде та- ковы u̇1 sin θ∗ sinψ∗ − u̇2 sin θ∗ cosψ∗ + u̇3 cos θ∗ + u1(θ̇∗ cos θ∗ sinψ∗ + ψ̇∗ sin θ∗ cosψ∗)− 214 О колебаниях жидких эллипсоидов −u2(θ̇∗ cos θ∗ cosψ∗ − ψ̇∗ sin θ∗ sinψ∗)− u3θ̇∗ sin θ∗ + ∂ F/∂ ϕ̇∗ = 0, u̇3 + u1ω ∗ 2 − u2ω ∗ 1 + ∂ F/∂ ψ̇∗ = 0, u̇1 cosψ∗ + u̇2 sinψ∗ − u1(ψ̇∗ sinψ∗ + ϕ̇∗ cos θ∗ sinψ∗)+ +u2(ψ̇∗ cos θ∗ + ϕ̇∗ cos θ∗ cosψ∗) + u3ϕ̇∗ sin θ∗ + ∂ F/∂ θ̇∗ = 0, где u1 = 2 ζ2 ζ3 ω1 + (ζ2 2 + ζ2 3 )ω∗1 (123). Обозначая левые части этих уравнений в порядке следования через f ∗1 , f ∗ 2 , f ∗ 3 и составляя линейные комбинации f ∗1 sinψ∗ + f ∗3 sin θ∗ cosψ∗ − f ∗2 cos θ∗ sinψ∗ = 0, f ∗1 sinψ∗ − f ∗3 sin θ∗ sinψ∗ − f ∗2 cos θ∗ cosψ∗ = 0, f∗2 = 0, приведем уравнения для u1, u2, u3 к виду u̇1 + u2ω ∗ 3 − u3ω ∗ 2 + 2ν0 R2 (ζ2 2 − ζ2 3 ζ2ζ3 )2 ω∗1 = 0 (123). (27) Уравнения, соответствующие обобщенным координатам ζ1, ζ2, имеют вид (1 + ζ−4 1 ζ−2 2 )ζ̈1 + ζ−3 1 ζ−3 2 ζ̈2 − 2ζ−5 1 ζ−2 2 ζ̇2 1 − 2ζ−3 1 ζ−4 2 ζ̇2 2 − 2ζ−4 1 ζ−3 2 ζ̇1ζ̇2+ +ζ−3 1 ζ−2 2 (ω∗1 2 + ω2 1) + 2ζ−2 1 ω∗1ω1 − (ζ1 − ζ−3 1 ζ−2 2 )(ω∗2 2 + ω2 2)− −ζ1(ω∗3 2 + ω2 3)− 2ζ2ω ∗ 3ω3 + 4ν0 R2 (2ζ−2 1 ζ̇1 + ζ−1 1 ζ−1 2 ζ̇2) + 5 ρQR2 ∂ Π ∂ ζ1 = 0, (28) ζ−3 1 ζ−3 2 ζ̈1 + (1 + ζ−2 1 ζ−4 2 )ζ̈2 − 2ζ−4 1 ζ−3 2 ζ̇2 1 − 2ζ−2 1 ζ−5 2 ζ̇2 2 − 2ζ−3 1 ζ−4 2 ζ̇1ζ̇2+ +ζ−2 1 ζ−3 2 (ω∗2 2 + ω2 2) + 2ζ−2 2 ω∗2ω2 − (ζ2 − ζ−2 1 ζ−3 2 )(ω∗1 2 + ω2 1)− −ζ2(ω∗3 2 + ω2 3)− 2ζ1ω ∗ 3ω3 + 4ν0 R2 (2ζ−2 2 ζ̇2 + ζ−1 1 ζ−1 2 ζ̇1) + 5 ρQR2 ∂ Π ∂ ζ2 = 0. Уравнения (26)–(28) будут действительно описывать движение эллипсоидальной массы жидкости со свободной поверхностью, если давление p, задаваемое формулой (9), будет иметь нулевое значение на ее границе. 6. Случай осесимметричного эллипсоида. Рассмотрим движение сплюснутого осе- симметричного эллипсоида, вращающегося вокруг оси симметрии. Примем Ox3 за ось симметрии, и считая ее неподвижной, потребуем, чтобы во все время движения выполня- лись условия ω1 = ω2 = ω∗1 = ω∗2 = 0, ζ1 = ζ2 = ζ, (29) где ζ — новое обозначение для ζ1, ζ2. Тогда уравнения движения (26),(27) будут удовлетво- рены, а (28) сведутся к одному уравнению (1 + 2ζ−6)ζ̈ − 6ζ−7ζ̇2 + 12ν0 R2 ζ−2ζ̇ − 1 4 u2 3ζ −3 + 5 2mR2 ∂ Π ∂ ζ = 0, (30) 215 С.Н.Судаков где u3 = 2ζ2(ω∗3 + ω3) = const. В случае сплюснутого эллипсоида вращения имеем [5] Π = 4 5 π γρmR2 V, V = 1− ( 1 + ξ−2 ) 1 3 ξ arcctg ξ, α1 = (ξ2 + 1)ξ arcctg ξ − ξ2, α3 = 2(ξ2 + 1)(1− ξ arcctg ξ), ξ = (ζ6 − 1)− 1 2 . (31) Покажем, что давление на границе эллипсоида будет одним и тем же во всех ее точках. Учитывая (29), будем иметь α1 = α2 , pij = 0, i 6= j, p 11 = p 22 = (ω∗3 + ω3) 2 − ζ̈ ζ − 4ν0 R2 ζ̇ ζ3 , p 33 = − ζ̈3 ζ3 − 4ν0 R2 ζ̇3 ζ3 3 . (32) Тогда выражение (9) для p можно записать в виде (p 11 − 2πργα1)(x 2 1 + x2 2) + (p 33 − 2πργα3)x 2 3 = 2p/ρ . Это уравнение описывает в системе координат Ox1x2x3 семейство подобных соосных эл- липсоидов, на каждом из которых p имеет постоянное значение. Граница жидкости будет принадлежать этому семейству в том и только том случае, если выполнено условие ζ2 1 (p 11 − 2πργα1) = ζ2 3(p 33 − 2πργα3), (33) которое с учетом (31),(32) представляется в виде (1 + 2ζ−6)ζ̈ = 6ζ−7ζ̇2 + 1 4 u2 3ζ −3 − 12ν0R −2ζ−2ζ̇ + 2πργ(α3ζ −5 − α1ζ). (34) Учитывая соотношение − 5 2mR2 ∂ Π ∂ ζ = 2πργ(α3ζ −5 − α1ζ), находим, что уравнение (34) совпадает с уравнением (30). Следовательно, условие (33) будет выполнено и давление на границе жидкости будет одним и тем же во всех ее точках. Уравнение (34) запишем в виде системы η̇ = 6 (2 + ζ6)ζ η2 − 12 ν0 R2 ζ4 2 + ζ6 η + u2 3 4 ζ3 2 + ζ6 + 2πργ α3ζ − α1ζ 7 2 + ζ6 , ζ̇ = η , (35) где α1 и α3 определены формулами (31). Система (35) имеет стационарное решение η = 0, ζ = ζ0 , где значение ζ находится из уравнения u2 3/4 = 2πργ(α1ζ 4 − α3ζ −2) . (36) Разрешить это уравнение относительно ζ затруднительно. Поэтому удобнее задавать вели- чину ζ и определять соответствующее ей значение u2 3/4 равенством (36). Изучим поведение решений системы (35) в малой окрестности стационарного решения. Для этого введем новую переменную ζ ′ = ζ− ζ0 и линеаризуем систему (35) в окрестности стационарного решения. Будем иметь η̇ = −aη + bζ ′, ζ̇ ′ = η , где a = 12 ν0 R2 ζ4 0 2 + ζ6 0 , b = 2πργ W (ζ0), W (ζ) = (α1ζ 4 − α3ζ −2) ∂ ∂ ζ ζ3 2 + ζ6 − ∂2 V ∂ ζ2 . 216 О колебаниях жидких эллипсоидов Характеристическое уравнение линеаризованой системы λ2 + aλ− b = 0 имеет корни λ1,2 = −a/2± √ a2/4 + b . График функции W (ζ) изображен на рисунке. При ν0 = 0 имеем a = 0, b < 0. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь одну пару чисто мнимых комплексно- сопряженных корней. При ν0 > 0, в зависимости от соотношений величин ργ и ν0/R 2, может представиться два следующих случая: а) характеристическое уравнение имеет два Рис. 1. График функции W (ζ) комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью, и эллипсоид совершает затухающие колебания около положения равнове- сия; б) характеристическое уравнение имеет два различных отрицательных действительных корня и эллипсоид асимптотически приближается к по- ложению равновесия. Заключение. 1) Показано, что несжимаемая ньютоновская жидкость, целиком заполняющая произвольно движущийся эллипсоид постоянного объема с изменяющимися длинами главных осей и имеющая вязкость, заданную формулой (3), может совершать однородное вихревое движение. 2)Изучено влияние вязкости, величина которой заданна формулой (3), на движение вращающегося осесимметричного гравитирующего эллипсоида в окрестности положения равновесия. При этом оказалось, что возмущения, в зависимости от величины ν0, могут затухать двояким образом: либо эллипсоид совершает затухающие колебания около поло- жения равновесия, либо асимптотически стремится к нему. 1. Бражкин В.В. Универсальный рост вязкости металлических расплавов в мегабарном диапазоне давле- ний:стеклообразное состояние внутреннего ядра Земли //Усп. физических наук.– 2000.– 170, N 5.– С. 535 – 551. 2. Судаков С.Н. Движение тела с жидкостью переменной вязкости в поле неповижного притягивающего центра // Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31.– С. 111 – 118. 3. Судаков С.Н. Об уравнениях движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной жидкостью переменной вязкости // Тр. ИПММ НАН Украины.– 2000.– 5.– С. 141 – 144. 4. Судаков С.Н. Переменные Депри в задаче о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, запол- ненной жидкостью переменной вязкости // Там же.– 2000.– 7.– С. 181 – 191. 5. Ламб Г. Гидродинамика. – М.-Л.: Гостехиздат, 1947.– 928 c. 6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.: Наука, 1973.— 848 с. 7. Судаков С.Н. Канонические уравнения движения твердого тела с вихревым заполнением // Механика твердого тела. – 1979. – Вып. 11.– С. 67 – 71. 8. Седов Л.И. Механика сплошной среды.– М.: Наука.– 1973.– т.1.– 536 с. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк techmech@iamm.ac.donetsk.ua Получено 01.11.02 217

О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости

Репозитарії

Схожі ресурси