Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Первый метод Ляпунова |1| применен для исследования асимптотически-периодических движений гиростата, эллипсоид инерции которого в неподвижной точке является сферой. Предположено, что известно некоторое частное периодическое решение дифференциальных уравнений Г.Кирхгофа |2|. С помощью первых интеграл...
Збережено в:
Дата: | 2003 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
Назва видання: | Механика твердого тела |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123714 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.И. Белецкая // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 40-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123714 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237142017-09-10T03:02:58Z Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Белецкая, А.И. Первый метод Ляпунова |1| применен для исследования асимптотически-периодических движений гиростата, эллипсоид инерции которого в неподвижной точке является сферой. Предположено, что известно некоторое частное периодическое решение дифференциальных уравнений Г.Кирхгофа |2|. С помощью первых интегралов дифференциальные уравнения в вариациях преобразованы к линейной системе третьего порядка с периодическими коэффициентами. Для анализа характеристических чисел этой системы проведена редукция ее к уравнению Хилла и применено достаточное условие Ляпунова существования положительных характеристических чисел. Рассмотрен пример. 2003 Article Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.И. Белецкая // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 40-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123714 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Первый метод Ляпунова |1| применен для исследования асимптотически-периодических движений гиростата, эллипсоид инерции которого в неподвижной точке является сферой. Предположено, что известно некоторое частное периодическое решение дифференциальных уравнений Г.Кирхгофа |2|. С помощью первых интегралов дифференциальные уравнения в вариациях преобразованы к линейной системе третьего порядка с периодическими коэффициентами. Для анализа характеристических чисел этой системы проведена редукция ее к уравнению Хилла и применено достаточное условие Ляпунова существования положительных характеристических чисел. Рассмотрен пример. |
format |
Article |
author |
Белецкая, А.И. |
spellingShingle |
Белецкая, А.И. Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Механика твердого тела |
author_facet |
Белецкая, А.И. |
author_sort |
Белецкая, А.И. |
title |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
title_short |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
title_full |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
title_fullStr |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
title_full_unstemmed |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
title_sort |
исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2003 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123714 |
citation_txt |
Исследование асимптотически-периодических движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.И. Белецкая // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 40-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT beleckaâai issledovanieasimptotičeskiperiodičeskihdviženijsferičeskogogirostatapoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
first_indexed |
2025-07-09T00:07:36Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:07:36Z |
_version_ |
1837125765975506944 |
fulltext |
��������� �
���
����������������������� ��"!�# �%$�&(' )*'"!��*+(���,
�� � ����-/.102�3� �
46587,9;:�<�= :�>
?© @;A�A :�=�BDCFEGCIH8J�KLJ�M2NPO�Q
ESRTRVUXW3Y[Z]\TB_^`EXWaB_R8E`bdc`efZ]eVE`gXWhR8i`E_jkcXW/lVEDZ1YGE`gXWmR8i`EXn
YG\fEDopW1^`EXqrRTsSW/lVE`gXWhR8iXZ]tuZvtwEXlfZ_R8euBmexB
cSZ/YyYzW1qSR8eV\fEXW/b{cSZ]ehW1^`|`E`B_UD}f^`~�n�E�twEXlfZ_R8iXZ]c`E`gXWhR8i`E"n�R8EXU
�I�������(�3�����������I��������������� ���������%���������������3�% � ¡�%���%���������*�3�� ��%������������¢��� �£��*¤¥�����������%��¢��� �£��*¦��%���*§w��������¨��*¤
���� ¡�k���k��©�ª¡���%���% ����*�8�*������«����V£�����������¨������������¬�����*§������h����¢�£��w������������ �V �®I��������¯��I�����%�����%�¬§x�����%©%¢����/�*°�¤
���� ¡���*�T����£������������1¢%�� ��������1���������¬�%��¢��� �£����m����±w�������/�%�%®²®I��������«��%�k�%³����P¦]���%�������������µ´�¯ ¶I����¦*¨���®²�·� ¸¬�¥¯P¹
��������ºw³�»¼���������P¦h��������¨��%�k�%���3�%�%®²®I��������«��%�k�%³����(�x���%�����������*�V�/�������%��«��*�*¦m��������½��%��°������k���z£h�%�������������
��� ��������¾��������³���¨��²�������*�%£*�I P���������¬�%��¢��� �£��%���u£���ª�®²®I��«��������k������¯¬¿²�������%�k�%��°��¾¦����%��£��������% �����¢��� �£��*¦x¢��% ����
ª������1 ��% ��������D�����������%���%�x�����%��£�«��*�/���6£/���%������������»SÀ2�*���;�u�1�����%�������������%�� ��k������¢������I�� ¡�%�������I�I�������������
���ºw�� ��������������*�3�����%�¬§��������%³����P¦�¦����%��£��������% �����¢��� �£��*¦�¢��% ���� ¯�Á��� � ������������/�����%������¯
7,Â�Ã;Ä�Å�Æ*Ç�È8É�ÊIËDÌ�Í�É�ʲÉ�Â�ÎSÌ]ÏÐÎ�Â�Ã%Ê6Î�Ñ�ÉVÅ�Ì�É�Í�ÏÐÆ�Ò�Æ_Å�É�ÓÔÃ�Õ�Î�ʲÉ�Ö3È8É�Ò�ƵÂ�É�×�Æ�ÏÐÌ�Î�Ø·Â�Ë Ö�Å�Æ�Ù�Ñ�Ë�Õ
×�Æ�Ä�Å�Í�Æ�É�Â�ÆGÂ�É·Å�Æ%ÓÐÚ�Ñ�ÆSÛ�Æ%ÓÐÚ;Ü8Æ�É_Ñ�Æ%ÓÐÎ�Ù�É�Ä�Å�Ì�ÆzÙ�Ã;Ä�Å�Â�ÝxÞßÍ�É�Ü8É�Â�Î�àßË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�à¼ÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�Çâá ãXä
å%æ Õ�Â�Æ]ÎX×�Í�Æ�Ì�É�ÏÐÉ�ÂDÃ;Â�Ã�ÓÐÎ�çmË�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�àXÄ�Ë�È8É�Ä�Å�Ì�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÇDÃ;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î�Þ"ÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�àPÕ�×�Í�É�ÏÐÉ�ÓÐÚ%è
Â�Æ�É8ÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�É]Ñ�Æ;Å�Æ�Í�ÝxÞ[Æ�×�Î�Ä�Ý�Ì�Ã;É�Å�ĬǼÎ�ç�Ì�É�Ä�Å�Â�Ý�ʲÎéÙ�Ã;Ä�Å�Â�Ý�ʲμÍ�É�Ü8É�Â�Î�Ç�ʲÎâêëÄ�Ê�=(Æ�Û;ç�Æ�Í�á ì æîí =
ïxð1ð É�Ñ�Å�Î�Ì�Â�Ý�ʼÊ6É�Å�Æ*ÏÐÆ�ʼÎ�Ä�Ä�ÓÐÉ�ÏÐÆ�Ì�Ã%Â�Î�ǵÃ;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î ÞTÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�à·Ì/ÏÐÎ�Â�Ã;ʲÎ�Ñ É�Å�Ì�É�Í�ÏÐÆ�Ò�Æ
Å�É�ÓÔÃTÇ�Ì%Ó�Ç�É�Å�ĬÇ`×�É�Í�Ì�Ý�àDʲÉ�Å�Æ�ÏSñmÇ�×�Ë Â�Æ�Ì�ÃXáò< æ Î`ʲÉ�Å�Æ�Ïzó/Ë�Ã;Â�Ñ Ã;Í�É·á > æ Õ�Æ;Å�Â�Æ�ÄkÇ�È8Î�à�ĬÇDÑDÃ;Â�Ã�ÓÐÎ è
ç�ËDÞ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝxÞ¼Ù�Î�Ä�É�Ó¼ÏÐÎ ðmð É�Í�É�Â�ô�Î�Ã�ÓÐÚ�Â�ÝxÞ[Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�àPÕ2Ñ�Æ;Å�Æ�Í�Ý�ÉTÏÐÆ�×�Ë�Ä�Ñ�Ã;Ö3ÅDÆ�×�Í�É�è
ÏÐÉ�ÓÐÉ�Â�Â�Æ�É/Ñ�Æ%ÓÐÎ�Ù�É�Ä�Å�Ì�Æf×�É�Í�Ì�ÝxÞ·Î�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÐÆ�Ì�= õ�Í�Ë*ÏÐÂ�Æ�Ä�Å�Î_ÌVÎ�Ä�Ä�ÓÐÉ�ÏÐÆ�Ì�Ã;Â�Î�Î]Þ Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝuÞ
Ù�Î�Ä�ÉkÓ8ÓÐÎ�Â�É�à�Â�ÝxÞh×�É�Í�Î�Æ*ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Î ÞVÄ�Î�Ä�Å�É�ÊSÄ�Ì;Ç�ç*Ã;Â�Ý[ÄwÂ�Ã�Þ�Æ*ØTÏÐÉ�Â�Î�É�ÊD×�Í�É�Æ�Û�Í�Ã%ç�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÇmñmÇ�×�Ë Â�Æ%è
Ì�Ã/ÌmÄ�Ó�Ë Ù�Ã;É�Æ�Û;È8É�Ò�ÆhÌ�Î ÏÔÃ1×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Æ�Ò�ÆVÍ�É�Ü8É�Â�Î�ÇP=�58Ã;Â�Â�Ã%ÇTÄ�Å;Ã%Å�Ú;Ç]×�Æ�Ä�Ì;Ç�È8É�Â�ÃmÎ�Ä�Ä�ÓÐÉ�ÏÐÆ�Ì�Ã�è
Â�Î�ÖaÃ;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î è¡×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Î ÞSÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�àzÄ ð É�Í�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Æ�Ò�ÆXÒ�Î�Í�Æ�Ä�Å;Ã�Å;Ã"×�Æ�ÏzÏÐÉ�à�Ä�Å�Ì�Î�É�Ê
×�Æ;Å�É�Â�ô�Î�Ã�ÓÐÚ�Â�ÝxÞzÎDÒ�Î�Í�Æ�Ä�Ñ�Æ�×�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î ÞzÄ�Î Óöá @ æ =�ó1Í�É�ÏÐ×�Æ%ÓÐÆ*ØTÉ�Â�Æ�ÕÔÙ�Å�Æ_Ì_Î�Ä�Ä�ÓÐÉ�Ï�Ë�É�ʲÆ�ÊâÙ�Ã;Ä�Å�Â�Æ�ÊÍ�É�Ü8É�Â�Î�ÎéÌ�É�Ñ�Å�Æ�ÍGË Ò�ÓÐÆ�Ì�Æ�à[Ä�Ñ Æ�Í�Æ;Ä�Å�μÂ�Î[×�Í�Î[Ñ Ã;Ñ�Æ�Ê÷ç�Â�Ã*Ù�É�Â�Î�μÌ�Í�É�ʲÉ�Â�Î[Â�É]Ä�Æ�Ì�×�Ã�ÏÔÃ;É�Å`Ä]Â�Ã�è
×�Í�Ã;Ì�ÓÐÉ�Â�Î�É�ÊéÆ�Ä�Î]Ä�Î�ʲʲÉ�Å�Í�Î�Î_Ä�Î ÓÐÆ�Ì�Æ�Ò�ÆV×�Æ%Ó�ÇP=�ó1Í�Æ�Ì�É�ÏÐÉ�Â�ÃmÍ�É�Ï�Ë Ñ�ô�Î�Ç·Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�à·ÌhÌ�Ã;Í�Î�Ã;ô�Î�Ç Þ
ÑöË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�ÖøÌ;Å�Æ�Í�Æ�Ò�Æ[×�Æ�Í�Ç ÏÐÑ Ã�ÕIÏÔÃ;ÂùÃ;Â�Ã�ÓÐÎ�çXÞ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝxÞùÙ�Î�Ä�É�Óâú�Å�Æ�Ò�Æ[Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Ç
Ï�Ó�Ç"Í�É�Ü8É�Â�Î�ÇPÕ�Ë Ñ�Ã%ç*Ã;Â�Â�Æ�Ò�Æ]ÌXá : æ =
û C(cXüÔý�þ�O�ÿ2ü��ÐNPO���O��IO�� �wC�
IÃ;Ä�Ä�ʲÆ;Å�Í�Î�ʼç*Ã�ÏÔÃ*Ù�Ë]ÆmÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�ηÒ�Î�Í�Æ�Ä�Å;Ã�Å;Ã8Ä3Â�É�×�Æ�ÏÐÌ�Î�Ø·Â�Æ�à
Å�Æ�Ù�Ñ�Æ�àPÕ�Ñ Æ;Å�Æ;Í�Æ�ÉhÆ�×�Î�Ä�Ý�Ì�Ã;É�Å�ĬÇXË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Ç�ʲμá @ æ
�
Aω̇ = (Aω + λ) × ω + ω × Bν + � × ν + ν × Cν, (1)
ν̇ = ν × ω, (2)
Ò�ÏÐÉ
ω
äXÌ�É�Ñ�Å�Æ�ÍzË Ò�ÓÐÆ�Ì�Æ�àzÄ�Ñ�Æ�Í�Æ�Ä�Å�ÎGÒ�Î�Í�Æ�Ä�Å;Ã%Å%Ã��
ν
äXÉ�ÏÐÎ�Â�Î�Ù�Â�Ý�à[Ì�É�Ñ�Å�Æ�ÍGÆ�Ä�ÎzÄ�Î�ʲʲÉ�Å�Í�Î�Î[Ä�Î è
ÓÐÆ�Ì;Æ�Ò�Æf×�Æ%Ó�Ç��
A = (Aij)
äTÅ�É�Â�ç�Æ�Í"Î�Â�É�Í�ô�Î�Î��
λ
ä]Ì�É�Ñ�Å�Æ�Í"Ò�Î�Í�Æ�Ä�Å;Ã%Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Æ�Ò�Æ]ʲÆ�ʲÉ�Â�Å;Ã�Õ Þ�Ã;Í�Ã;Ñ è
Å�É�Í�Î�ç�Ë�Ö3ÈfÎ�à`ÏÐÌ�Î�ØTÉ�Â�Î�ÉVÂ�Æ�Ä�Î�ʲÝxÞ`Å�É�Ó�� � äµÌ�É�Ñ�Å�Æ�ÍDÆ�Û�Æ�Û;È8É�Â�Â�Æ�Ò�Æ_ô�É�Â�Å�Í�Ã_Ê6Ã;Ä�Ä�� B = (Bij)
Î
C = (Cij)
ä_×�Æ�Ä�Å�Æ*Ç�Â�Â�Ý�É8Ä�Î�ʲʲÉ�Å�Í�Î�Ù�Â�Ý�É8Ê6Ã%Å�Í�Î�ô�Ý Å�Í�É�Å�Ú�É�Ò�Æ_×�Æ�Í�Ç ÏÐÑ Ã���Å�Æ�Ù�Ñ Ã]Â�Ã�ÏS×�É�Í�É�ʲÉ� è
Â�Ý�ʲÎ
ω
Î
ν
Æ�Û�Æ%ç�Â�Ã�Ù�Ã;É�ŵÆ;Å�Â�Æ�Ä�Î�Å�É�ÓÐÚ�Â�Ë Ö ×�Í�Æ�Î�ç�Ì�Æ�ÏÐÂ�Ë Öa×�ƵÌ�Í�É�ʲÉ�Â�ÎP=Ô5VÎ ðmð É�Í�É�Â�ô�Î�Ã�ÓÐÚ�Â�Ý�É
Ë Í�Ã;Ì;Â�É�Â�Î�Çéê�< í Õ¾ê @ í Î�ʲÉ�Ö3Å·×�É�Í�Ì�Ý�ÉhÎ�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÐÝ
(Aω · ω) − 2( � · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (3)
2(Aω + λ) · ν − (Bν · ν) = 2k. (4)
ã A
�����
���������! #"%$�� !�
$'&)(+*#�,*�$�-!���
.%$�/0(��21�$��3��$�-!�4�
.%$657���8$69:�3"%$%;
< ÏÐÉ�Ä�Ú
E
Î
k
ä·×�Í�Æ�Î�ç�Ì�Æ%ÓÐÚ�Â�Ý�Éh×�Æ�Ä�Å�Æ*Ç�Â�Â�Ý�É;=
ó1Í�É�ÏÐ×�Æ%ÓÐÆ�Ø·Î�Ê�Õ;Ù�Å�Æmú�Ó�ÓÐÎ�×�Ä�Æ�Î Ï_Î�Â�É�Í�ô�Î�Î]Ò�Î�Í�Æ�Ä�Å%Ã%Å%Ã�Õ�×�Æ�Ä�Å�Í�Æ�É�Â�Â�Ý�à·Ì/Â�É�×�Æ*ÏÐÌ�Î�Ø·Â�Æ�à8Å�Æ�Ù è
Ñ É;Õ�Ç�Ì%Ó�Ç�É�Å�ÄkÇ_Ä ð É�Í�Æ�àPÕ�Å�Æ8É�Ä�Å�Ú
A =
1
a
δ
Õ Ò�ÏÐÉ
δ
ä8É�ÏÐÎ�Â�Î�Ù�Â�Ã%Ç_Ê6Ã%Å�Í�Î�ô�ÃhÅ�Í�É�Å�Ú�É�Ò�Æ8×�Æ�Í�Ç ÏÐÑ Ã�= ó1É�è
Í�É�à ÏÐÉ�Ê Ì·Ä�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Ç Þßê�< í äGêëã í Ñ`×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Æ�à>=²ÕÐÒ�ÏÐÉ?=
= Aω =
1
a
ω
ä_Ì�É�Ñ�Å�Æ�ÍDʲÆ�ʲÉ�Â�Å%Ã
Ñ Æ%ÓÐÎ�Ù�É�Ä�Å�Ì�ÃfÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�ǵÅ�É�ÓÔÃ�è¡Â�Æ�Ä�Î�Å�É�Ó�ÇP=�5mÓ�ÇXú�Å�Æ;Ò�Æ·Ì�É�Ñ�Å�Æ�Í�ÃT×�Í�Î�ʲÉ�Ê@=
= (x1, x2, x3)
=
AxÌ�É�ÏÐÉ�ÊùÛ�É�ç�Í�Ã%ç�ʲÉ�Í�Â�Ý�Éh×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ý�ÉhÎX×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ý �
=
=
√
| � | = ′
√
a
, � = | � | � ′, λ =
√
| � | λ′
√
a
,
B =
√
| � |√
a
B′, C = | � | C ′, t =
τ√
a| � | ,
ê 9 í
Ò¬ÏÐÉB=
′
ä`Â�Æ�Ì�Ã%ÇS×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ã%ÇPÕ � ′,λ′, B′, C ′
ä`Â�Æ�Ì�Ý�Éf×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ý1Õ2Ã
τ
ä`Û�É�ç�Í�Ã%ç�ʲÉ�Í�Â�Æ�É]Ì�Í�É�ÊIÇP=
õLÆ�Ò¬ÏÔÃ8Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Ǽê�< í äSêëã í ×�Í�ÎX×�Æ�ʲÆ;È8μê 9 í ×�Í�É�Æ�Û�Í�Ã%ç�Ë Ö3Å�ĬÇDÑ"Ì�Î Ï�Ë
˙
=
=
= × (Bν − λ) + ν × (Cν − � ), ê å�í
ν̇ = ν × =
,
ê ì í
= · = − 2( � · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1,
(
=
+ λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k,
ê> í
Ò¬ÏÐÉ
E, k
ä`Â�Æ�Ì�Ý�Éf×�Í�Æ�Î�ç�Ì�Æ%ÓÐÚ�Â�Ý�ÉT×�Æ�Ä�Å�Æ*Ç�Â�Â�Ý�É;Õ¾Î`Ï�Ó�Çz×�Í�Æ�Ä�Å�Æ;Å�Ý�ç*Ã;×�Î�Ä�ÎGÆ�×�Ë�È8É�Â�Ý ÜVÅ�Í�Î Þ�ÎP=
ó/Ë�Ä�Å�Ú]Î�ç�Ì�É�Ä�Å�Â�Æ_Ù�Ã;Ä�Å�Â�Æ�ÉmÍ�É�Ü8É�Â�Î�ÉhË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�àéê å�í Õ¾ê ì íC�
=
∗ =
=
∗(τ), ν∗ = ν∗(τ),
ê2D í
×�Í�Î�Ù�É�Ê@=
∗
Î
ν∗
Ç�Ì%Ó�Ç�Ö3Å�ĬÇ`×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Î�ʲΠð Ë Â�Ñ�ô�Î�Ç�ʲÎX×�Æ
τ
=
5mÓ�ǼÃ;Â�Ã�ÓÐÎ�ç*ÃDÃ;Ä�Î�Ê6×�Å�Æ%Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î è¡×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Î ÞGÏÐÌ�Î�ØTÉ�Â�Î�àPÕ2×�Í�É�ÏÐÉ�ÓÐÚ�Â�Æ�É]ÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�É]Ñ Æ%è
Å�Æ�Í�ÝxÞ`Æ�×�Î�Ä�ÝuÌ�Ã;É�Å�ÄkÇ ð Ë Â�Ñ�ô�Î�Ç�ʲÎéê2D í Õ�Ë�ÏÐÆ�Ì%ÓÐÉ�Å�Ì�Æ�Í�Ç�Ö3È8Î�ʲÎXË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Ç�Êdê å�í Õ¾ê ì í Õ�×�Æ%ÓÐÆ*Ø·Î�Ê �
=
=
=
∗ + E , ν = ν∗ + ϑ.
ê�< A í
ó1Æ*ÏÐÄ�Å%Ã;Ì�Î�Ê�ê�< A í ÌfË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Çéê å�í Õ¾ê ì í Õ�Å�Æ�Ò�ÏÔÃ
˙E = (
=
∗ + λ + E − Bν∗ − Bϑ) × E + ( E − Bϑ) × =
∗ + ( � − Cν∗ − Cϑ) × ϑ + ν∗ × Cϑ,
ϑ̇ = (ν∗ + ϑ) × E + ϑ × =
∗.
ê�<�< í
F Æ�Ò¬ÓÔÃ;Ä�Â�Æ]×�É�Í�Ì�Æ�ÊI˵ʲÉ�Å�Æ*Ï�˵ñmÇ�×�Ë Â�Æ�Ì�Ã"áò< æ Õ�É�Ä�ÓÐÎ"ÓÐÎ�Â�É�à�Â�Ã%ÇXÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6Ã
˙E = (λ − Bν∗) × E + ( � − Cν∗) × ϑ +
=
∗ × Bϑ + ν∗ × Cϑ,
ϑ̇ = ν∗ × E − =
∗ × ϑ,
ê�< @ í
Ì�ÝuÅ�É�Ñ�Ã;Ö3ÈfÃ%ÇâÎ�çßê�<�< í ÕwÎ�ʲÉ�É�Åß×�Æ%ÓÐÆ*Ø·Î�Å�É�ÓÐÚ�Â�Ý�É`Þ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�Ý�ÉzÙ�Î�Ä�ÓÔÃ�ÕwÅ�ÆéÂ�É�ÓÐÎ�Â�É�à�Â�Ã%Ç
Ä�Î�Ä�Å�É�ÊwÃDê�<�< í ÏÐÆ�×�Ë�Ä�Ñ Ã;É�ŵÍ�É�Ü8É�Â�Î�É;ÕÔÑ�Æ;Å�Æ�Í�Æ�Éh×�Í�Î
τ → ∞ Ä�Å�Í�É�ʲÎ�Å�ÄkÇDÑXÍ�É�Ü8É�Â�Î�Ö ê2D í =Ðó1Æ�ú�Å�Æ%è
ÊIËXÌ·×�É�Í�Ì�Æ�Ê Ê²É�Å�Æ�ÏÐÉhñmÇ�×�Ë Â�Æ�Ì�÷Ã;Â�Ã�ÓÐÎ�çVÄ�Î�Ä�Å�É�Ê²Ý ê�< @ í Ç�Ì%Ó�Ç�É�Å�ĬÇDÂ�Ã;Î�Û�Æ%ÓÐÉ�ÉVÌ�Ã%Ø]Â�Ý�Êùú�Å%Ã;×�Æ�ÊÎ�ç�Ë Ù�É�Â�Î�ÇDÄ�Ë�È8É�Ä�Å�Ì�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÇDÃ;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î Þ"ÏÐÌ�Î�ØTÉ�Â�Î�àP=
ã�<
GIH � H6J �3���3K%.% �L
M C�E`ý�ý;KLJ��Iü��ÐO�ÿ �2JONQP2O)�Ðÿ2J�ÿ � RS�T�ÔO)P �2O�M �¾Q�U²C65mÓ�ǼÎ�Ä�Ä�ÓÐÉ�ÏÐÆ�Ì�Ã;Â�Î�Ç¼Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�à÷ê�< @ íç*Ã%×�Î�Ü8É�ÊùÎ ÞX×�É�Í�Ì�Ý�ÉmÎ�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÐÝ �
ν∗ · E + (λ +
=
∗ − Bν∗) · ϑ = k1, ν∗ · ϑ = k2,=
∗ · E − ( � − Cν∗) · ϑ = k3,
ê�<*: í
Ñ�Æ;Å�Æ�Í�Ý�Éé×�Æ�Í�Æ�ØTÏÐÉ�Â�Ý ×�É�Í�Ì�Ý�ʲÎdÎ�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÔÃ;ʲΠê> í =WVmÃùÆ�Ä�Â�Æ�Ì�Ã;Â�Î�Î�Í�É�ç�Ë*ÓÐÚ*Å%Ã%Å;à á > æ ʲÆ*Ø·Â�Æ
Ë�Å�Ì�É�Í�ØTÏÔÃ%Å�Ú�ÕuÙ�Å�ÆßÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6Ã÷ê�< @ í ÄSÎ�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÔÃ;ʲÎ,ê�<*: í Î�ʲÉ�É�ÅöÙ�É�Å�Ý�Í�ÉGÂ�Ë�ÓÐÉ�Ì�ÝxÞ Þ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î èÄ�Å�Î�Ù�Â�ÝxÞùÙ�Î�Ä�ÓÔÃ�=I5mÓ�Ç�Î�Ä�Ä�ÓÐÉ�ÏÐÆ�Ì�Ã;Â�Î�ÇùÆ�Ä�Å%Ã;Ì;Ü8Î Þ�ÄkÇöÏÐÌ;Ë�ÞßÞ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝxÞùÙ�Î�Ä�É�ÓâÌ�Ý�×�Æ%Ó�è
Â�Î�ÊöÍ�É�Ï�Ë Ñ�ô�Î�ÖdË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�à¼ê�< @ í Ä1×�Æ�ʲÆ;È8Ú�Ö�Î�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÐÆ�ÌSê�<*: í ÑXÄ�Î�Ä�Å�É�ʲÉmÅ�Í�É�Å�Ú�É�Ò�Æ]×�Æ�Í�Ç ÏÐÑ Ã�=AxʲÉ�Ä�Å�Æ]×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�ÝuÞ
ui, ϑi (i = 1, 2, 3)
Ì�Ì�É�ÏÐÉ�Ê�Â�Æ�Ì�Ý�Ém×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ý�É
Ui, Vi (i = 1, 2, 3)
E · ν∗ = U1, E · = ∗ = U2, E · (ν∗ × =
∗) = U3,
ϑ · ν∗ = V1, ϑ · = ∗ = V2, ϑ · (ν∗ × =
∗) = V3.
ê�<�ã í
ó1É�Í�É�Þ�Æ�Ï�ÑéÂ�Æ�Ì�Ý�Êd×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ý�Ê ê�<�ã í Ì�Æ;ç�ʲÆ*ØfÉ�¼Å�Æ�Ò�ÏÔÃ�ÕIÑ�Æ�Ò�ÏÔÃDÌ�É�Ñ�Å�Æ�Í�Ý
ν∗,
=
∗
Î
(ν∗ × =
∗)ÓÐÎ�Â�É�à�Â�ÆSÂ�É�ç*Ã;Ì�Î�Ä�Î�ʲÝ1=IõIÃ;Ñ�Î�Ê�Æ�Û�Í�Ã%ç�Æ�Ê�ÕL×�Í�μÎ�ç�Ë Ù�É�Â�Î�ÎöÍ�É�Ü8É�Â�Î�à÷ê2D í ÌXÏÔÃ�ÓÐÚ�Â�É�à�Ü8É�Ê ×�Í�É�Ï�è
×�Æ%ÓÔÃ%Ò�Ã;É�Å�ĬÇPÕÐÙ�Å�Æ·Â�ÃTÎ�Ä�Ä�ÓÐÉ�Ï�Ë�É�ʲÆ�ÊùÍ�É�Ü8É�Â�Î�ÎDÌ�Ý�×�Æ%ÓÐÂ�É�Â�Æ]Ë Ñ Ã%ç*Ã;Â�Â�Æ�ÉhÄ�Ì�Æ�à�Ä�Å�Ì�Æ�=�X3Â�Ã�ÓÐÎ�çVÛ�Æ%ÓÐÚ%è
Ü8Î�Â�Ä�Å�Ì�Ã]Ù�Ã;Ä�Å�Â�ÝxÞXÍ�É�Ü8É�Â�Î�àéá :�Õ�ã�Õ å ÕÐì æ ×�Æ�Ñ�Ã%ç�Ý�Ì�Ã;É�Å�ÕÐÙ�Å�ÆTÏ�Ó�Ç"Â�Î Þ
(ν∗ × =
∗) 6= 0
=
Y/çmÄ�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�àßê�<�ã í Ì�Ý�Í�Ã%ç�Î�ÊùÌ�É�Ñ�Å�Æ�Í�Ý E ,ϑ
�
E =
1
ν̇∗2
(
(
=
∗ × ν̇∗)U1 − (ν∗ × ν̇∗)U2 + ν̇∗2U3
)
,
ϑ =
1
ν̇∗2
(
(
=
∗ × ν̇∗)V1 − (ν∗ × ν̇∗)V2 + ν̇∗2V3
)
.
ê�<�9 í
AxÂ�É�Ä�É�ÊùÄ�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Çßê�<�9 í Ì]Î�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�ÓÐÝ ê�<*: íC�
U1 = k1 −
k3
ν̇∗2
((λ − Bν∗) · ( = ∗ × ν̇∗)) +
1
ν̇∗2
(
(λ +
=
∗ − Bν∗) · (ν∗ × ν̇∗)
)
V2−
− 1
ν̇∗2
((λ − Bν∗) · ν̇∗)V3,
U2 = k2 −
1
ν̇∗2
(( � − Cν∗) · ( = ∗ × ν̇∗)) +
1
ν̇∗2
(
( � − Cν∗) · (ν∗ × ν̇∗)
)
V2+
+
1
ν̇∗2
(( � − Cν∗) · ν̇∗)V3, (16)
V1 = k3.
F Æ;Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Çöê�< å�í ×�Æ�Ñ Ã%ç�Ý�Ì�Ã;Ö3Å�ÕÔÙ�Å�Æ_Ì]Ñ Ã�Ù�É�Ä�Å�Ì�É8Â�É�ç*Ã;Ì�Î�Ä�Î�ʲÝxÞD×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�ÝxÞDô�É�ÓÐÉ�Ä�Æ�Æ�Û%è
Í�Ã%ç�Â�ÆT×�Í�Î�Â�Ç�Å�ÚTÌ�É�ÓÐÎ�Ù�Î�Â�Ý
U3 = z1, V2 = z2, V3 = z3
= F ×�Æ�ʲÆ;È8Ú�Ö�Ä�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�àéê�<�9 í Õ(ê�< å�í
Î�ç_ê�< @ í Ì]Ê6Ã%Å�Í�Î�Ù�Â�Æ%è¡Ì�É�Ñ�Å�Æ�Í�Â�Æ�ÊùÌ�Î ÏÐÉm×�Æ%Ó�Ë Ù�Î�Ê
˙Z = α(τ) Z + β(τ), (17)
Ò�ÏÐÉ
α11 =
ν̈∗ · ν̇∗
ν̇∗2
; α21 = −1; α22 = −
=
∗ · (ν∗ × ν̇∗)
ν̇∗2
; α23 =
ν̇∗ · = ∗
ν̇∗2
; α31 = 0;
ã @
�����
���������! #"%$�� !�
$'&)(+*#�,*�$�-!���
.%$�/0(��21�$��3��$�-!�4�
.%$657���8$69:�3"%$%;
α12 =
1
ν̇∗4
{[( = ∗ × ν̇∗) · (ν̇∗ × (λ − Bν∗))][(λ +
=
∗ − Bν∗) · (ν∗ × ν̇∗)]+
+[(ν∗×ν̇∗)·(ν̇∗×(λ−Bν∗))][( � −Cν∗)·(ν∗×ν̇∗)]+[ν̈∗ ·( = ∗×ν̇∗)][(λ+
=
∗−Bν∗)·(ν∗×ν̇∗)]+
+[ν̈∗ ·(ν∗×ν̇∗)]·[( � −Cν∗)·(ν∗×ν̇∗)]−(ν̇∗)2[(B(
=
∗×ν̇∗))·(ν∗×ν̇∗)−(Cν̇∗×ν∗))·(ν∗×ν̇∗)]};
α13 =
1
ν̇∗4
{−[(
=
∗ × ν̇∗) · (ν̇∗ × (λ − Bν∗))][(λ − Bν∗) · ν̇∗]−
−[(ν∗ × ν̇∗) · (ν̇∗ × (λ − Bν∗))][( � − Cν∗) · ν̇∗] − [ν̈∗ · ( � ∗ × ν̇∗)][(λ − Bν∗) · ν̇∗]−
−[ν̈∗ · (ν∗ × ν̇∗)][( � − Cν∗) · ν̇∗] + (ν̇∗)2[(B(
=
∗ × ν̇∗)) · ν̇∗ + (C(ν∗ × ν̇∗)) · ν̇∗]};
α32 =
1
ν̇∗2
[−ν̇∗ · ˙
=
∗ − ( � − Cν∗) · (ν∗ × ν̇∗) − (
=
∗ · ν∗)((λ +
=
∗ − Bν∗) · (ν∗ × ν̇∗))];
α33 = [ν̇∗ · (ν∗ × ˙
=
∗) + ( � − Cν∗) · (ν̇∗ − (
=
∗ · ν∗)((λ − Bν∗) · ν̇∗)]; (18)
β1 =
1
ν̇∗2
[k3(C(ν̇∗×ν∗) · ( = ∗× ν̇∗)−B(
=
∗× ν̇∗) · ( = ∗× ν̇∗))+ [(
=
∗× ν̇∗) · (ν̇∗× (λ−Bν∗))+
+ν̈∗ · ( = ∗ × ν̇∗)]
(
k1 −
1
ν̇∗2
[k3((λ − Bν∗) · ( = ∗ × ν̇∗))]
)
− [(ν∗ × ν̇∗)] · (ν̇∗ × (λ − Bν∗))+
+ν̈∗ · (ν∗ × ν̇∗)]
(
k2 +
1
ν̇∗2
[k3(( � − Cν∗) · ( = ∗ × ν̇∗))]
)
; β2 =
k3( ˙
=
∗ · ( = ∗ × ν̇∗))
ν̇∗2
;
β3 =
k3(ν
∗ · = ∗)(
=
∗ · ν̇∗)2
ν̇∗2
+ k2 +
k3(( � − Cν∗) · ( = ∗ × ν̇∗))
ν̇∗2
−
−(ν∗ · = ∗)
(
k1 −
k3((λ − Bν∗) · ( = ∗ × ν̇∗))
ν̇∗2
)
.
[²Ä�ÓÐÎXÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6Ã`ê�<�ì í ×�Í�Æ�Î�Â�Å�É�Ò�Í�Î�Í�Æ�Ì�Ã;Â�à Õ�Å�ÆT×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ý�É
U1, U2
Î
V1
Â�Ã�Þ�Æ�Ï�Ç�Å�ĬÇXÎ�ç ð Æ�Í è
ÊIË*Ó`ê�< å�í =%Y1Ä�Ä�ÓÐÉ�Ï�Ë�É�ÊSË�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�ÇPÕ%×�Í�ÎVÑ Æ;Å�Æ�Í�ÝxÞVÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6ÃTê�<�ì í Î�ʲÉ�É�Å�Þ�Æ;Å*Ç8Û�ݼÆ�ÏÐÂ�Æ�×�Æ%ÓÐÆ*Ø·Î�Å�É�ÓÐÚ%è
Â�Æ�ÉhÞ Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�Æ�ÉTÙ�Î�Ä�ÓÐÆ�=Pó1Æ�Ä�Ñ�Æ%ÓÐÚ�Ñ�Ë`Æ�Â�Ã_×�Í�É�ÏÐÄ�Å%Ã;Ì%Ó�Ç�É�ÅXÄ�Æ�Û�Æ�àSÄ�Î�Ä�Å�É�ÊIËSÄ8×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�è
Ä�Ñ�Î�ʲÎ"Ñ�Æ�ú ðmð Î�ô�Î�É�Â�Å;Ã;ʲÎPÕ�Å�ÆfÂ�É�Â�Ë*ÓÐÉ�Ì�Ý�É/Þ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�Ý�ÉmÙ�Î�Ä�ÓÔÃfʲÆ*ØfÉ�ÅVÏÔÃ;Ì�Ã%Å�ÚfÍ�É�Ü8É�Â�Î�É
Æ*ÏÐÂ�Æ�Í�Æ�ÏÐÂ�Æ�àDÄ�Î�Ä�Å�É�ʲÝmÕ�Å�ƵÉ�Ä�Å�ÚµÄ�Î�Ä�Å�É�ʲÝmÕÔÏ�Ó�ÇDÑ Æ;Å�Æ�Í�Æ�à
βi(τ) = 0
=�ó1Æ�ú�Å�Æ�ÊIË`×�É�Í�É�à ÏÐÉ�Ê ÑSÄ�Î è
Ä�Å�É�ʲÉ;ÕÔÑ�Æ;Å�Æ�Í�Ã%Ç"Ç�Ì%Ó�Ç�É�Å�ĬÇ`Ä�Æ�×�Í�Ç�ØfÉ�Â�Â�Æ�àXÑXÆ�ÏÐÂ�Æ�Í�Æ�ÏÐÂ�Æ�àXÄ�Î�Ä�Å�É�ʲÉVÎ�ç_ê�<�ì í
˙\ = −αT (τ) · \ , (19)
Ò¬ÏÐÉ
αT (τ)
ä·Å�Í�Ã;Â�Ä�×�Æ�Â�Î�Í�Æ�Ì�Ã;Â�Â�Ã%Ç`Ê6Ã%Å�Í�Î�ô�Ã�=Ôó1Æ�Ä�Ñ�Æ%ÓÐÚ�Ñ�˵Æ*ÏÐÂ�Æ�Í�Æ�ÏÐÂ�Ã%ÇXÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6Ã]Î�çµê�<�ì í Î�ʲÉ�É�Å
Ù�Ã;Ä�Å�Â�Æ�ÉhÍ�É�Ü8É�Â�Î�É
z0
1
(τ) = ˙
=
∗ · (ν∗ × =
∗), z0
2
(τ) = 0, z0
3
(τ) = ν̇∗ · (ν∗ × =
∗), (20)
Å�Æ]Ä�Î�Ä�Å�É�Ê6ÃSê�<6D í ÏÐÆ�×�Ë�Ä�Ñ Ã;É�Å_Î�Â�Å�É�Ò�Í�Ã�Ó
z0
1
(τ) · y1 + z0
3
(τ) · y3 = k4, (21)
Ò¬ÏÐÉ
k4
ä·Â�É�Ñ�Æ;Å�Æ�Í�Ã%Ç`×�Æ�Ä�Å�Æ*Ç�Â�Â�Ã%ÇP= F Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�ɵê @ < í ×�Æ;ç�Ì�Æ%Ó�Ç�É�Å]Æ�×�Í�É�ÏÐÉ�ÓÐÎ�Å�Ú_×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ë Ö
y3 =
1
ν̇∗2
(
k4 − ˙
=
∗ · ν̇∗
)
y1. (22)
ã�:
GIH � H6J �3���3K%.% �L
Y1Ä�Ñ ÓÐÖ�Ù�Ã%ÇDÌ·Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Ç Þßê�<6D í ×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ë�Ö
y3
ÄV×�Æ�ʲÆ;È8Ú�Ö�Ä�Æ�Æ%Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Ç�ê @�@ í ÕÐ×�É�Í�É�à ÏÐÉ�ÊâÑË Í�Ã;Ì;Â�É�Â�Î�Ö Ì;Å�Æ�Í�Æ�Ò�Æ]×�Æ�Í�Ç ÏÐÑ�ÃVÏ�Ó�ÇX×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Æ�à
y1
�
ÿ1 + (α11 + α22)ẏ1 +
(
α̇11 + α12 − α32
˙
=
∗ · ν̇∗
ν̇∗2
+ α22α11
)
y1 + α32
k4
ν̇∗2
= 0. (23)
ó1Æ�ÓÔÃ;Ò�Ã%Ç"ÌTú�Å�Æ�ÊöË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�Î
k4 = 0
Õ�Ì�Ì�É�ÏÐÉ�Ê�Â�Æ�Ì;Ë Öd×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�Ë Ö
y1 = η exp
(
−1
2
∫
(α11 + α22)dt
)
.
]�Æ;Ò¬ÏÔÃTÎ�ç_ê @ : í ×�Æ%Ó�Ë Ù�Î�ÊöË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�É
η̈ + p(τ)η = 0. (24)
Ò�ÏÐÉ
p(τ) = α12 − α32
˙
=
∗ · ν̇∗
ν̇∗2
. (25)
4/Ñ Ã%ç*Ã;Â�Â�Ã%Ç8Ì�ÝuÜ8Éuç*Ã;ʲÉ�Â�Ã/×�É�Í�É�ʲÉ�Â�Â�ÝxÞTÂ�ÉuÎ�ç�ʲÉ�Â�Ç�É�Å/Þ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝxÞTÙ�Î�Ä�É�Ó·Ä�Î�Ä�Å�É�ʲÝ
ê @ : í =+AßÄ�Î Ó�ËTÄ�Å�Í�Ë Ñ�Å�Ë Í�Ý Ë Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�ÇDê @ ã í Ï�Ó�Ç]Æ�×�Í�É�ÏÐÉ�ÓÐÉ�Â�Î�Ç]Ë�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�à]Ä�Ë�È8É�Ä�Å�Ì�Æ�Ì�Ã;Â�Î�Ç·É�Ò�ÆV×�Æ%èÓÐÆ*Ø·Î�Å�É�ÓÐÚ�Â�ÝxÞµÞ Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�ÝuÞ`Ù�Î�Ä�É�ÓSÊ6Æ*Ø·Â�ÆTÌ�Æ�Ä�×�Æ%ÓÐÚ;ç�Æ�Ì�Ã%Å�Ú�ĬǵÏÐÆ�Ä�Å;Ã�Å�Æ�Ù�Â�Ý�ÊùË�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�É�Ê
Ä�Ë�È8É�Ä�Å�Ì�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÇXñmÇ�×�Ë Â�Æ�Ì�Ã�Õ�Å�Æ]É�Ä�Å�Ú]ʲÆ�Ø·Â�Æf×�Æ%ÓÐÆ*Ø·Î�Å�Ú�Õ�Ù�Å�Æ
p(τ) ≤ 0, (p(τ) 6≡ 0)
á ì æ =
A�Ä�Ó�Ë Ù�Ã;É;Õ�Ñ�Æ�Ò¬ÏÔÃVÑ�Í�Î�Å�É�Í�Î�à"ñmÇ�×�Ë Â�Æ�Ì�ÃV×�Í�Î�Ê6É�Â�Î�Å�ÚTÂ�É�Ì�Æ;ç�ʲÆ*Ø·Â�Æ�Õ Ä�ÓÐÉ�Ï�Ë�É�Å·Æ�Û�Í�Ã%ÈfÃ%Å�Ú�ĬǵÑ
ʲÉ�Å�Æ�Ï�Ë"×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Î�Ù�É�Ä�Ñ Æ�Ò�Æ·Í�É�ç�Æ�Â�Ã;Â�Ä�Ã�Õ�Î�ç�ÓÐÆ�ØfÉ�Â�Â�Æ�ÊI˵Ì`á D æ =
õLÃ;Ñ�Î�ÊéÆ�Û�Í�Ã�ç�Æ�ÊéÌmÏÔÃ;Â�Â�Æ�ÊéÍ�Ã%ç�ÏÐÉ�ÓÐÉ/×�Æ%Ó�Ë Ù�É�Â�ÆVË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�ÉTê @ ã í Ä ð Ë Â�Ñ�ô�Î�É�à p(τ)
Î�çTê @ 9 í ÕÂ�ÃuÆ�Ä�Â�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÎmÄ�Ì�Æ�à�Ä�Å�Ì3Ñ�Æ;Å�Æ�Í�Æ�Ò�Æ�ʲÆ*Ø·Â�ÆuË�Ä�Å;Ã;Â�Æ�Ì�Î�Å�Ú�Ë�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�É6Ä�Ë�È8É�Ä�Å�Ì�Æ�Ì�Ã;Â�Î�ÇVÃ;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î è
×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ�Î Þ"ÏÐÌ�Î�ØfÉ�Â�Î�àXÄ ð É�Í�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Æ�Ò�Æ_Ò�Î�Í�Æ�Ä�Å;Ã%Å%Ã]×�Í�ÎXÆ�Ò�Í�Ã;Â�Î�Ù�É�Â�Î�ÎPÕÐÙ�Å�Æ]Ù�Ã;Ä�Å�Â�Æ�ÉhÍ�É�Ü8É�è
Â�Î�É·ê2D í Ë�ÏÐÆ�Ì%ÓÐÉ�Å�Ì�Æ�Í�Ç�É�Å]Ë�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�Ö
(
=
∗ × ν∗) 6= 0
=
^ C2c_P �¾KLü�`GJ�ÿ �2JXN@�Lý�ý;KLJ��Iü��ÐO�ÿ � a�ý;K NQ�2O�Qcb ^�d CeAùÍ�Ã;Û�Æ;Å�ÉTá : æ Ï�Ó�Ç·ÏÐÎ ðmð É�Í�É�Â�ô�Î�Ã�ÓÐÚ%è
Â�ÝxÞµË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�àéê�< í Õ¾ê @ í ×�Æ�Ä�Å�Í�Æ�É�Â�Æ·Í�É�Ü8É�Â�Î�É �
x∗
1
=
1
2
µ0α1+(µ0(α2+1)+f0)ν
∗
1
+f 2
1
(ν∗
1
), x∗
2
= ν∗
2
(f0+f1ν
∗
1
), x∗
3
= ν∗
3
(µ0+f0)+f1(ν
∗
1
),
ν∗
2
(ν∗
1
) =
√
α0 + α1ν
∗
1
+ α2ν
∗
1
2, ν∗
3
(ν∗
1
) =
√
(1 − α0) − α1ν
∗
1
− (1 + α2)ν∗
1
2, (26)
ν̇∗
1
=
1
2
a(B3 − B2) ν∗
2
(ν∗
1
) ν∗
3
(ν∗
1
).
ómÃ%Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ý÷Í�É�Ü8É�Â�Î�Ǽê @ å�í Î"×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�ÝâË Í�Ã;Ì�Â�É�Â�Î�à¼ê�< í Õ(ê @ í Ë*ÏÐÆ�Ì%ÓÐÉ�Å�Ì�Æ�Í�Ç�Ö3ÅTË�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�Ç�ÊêëÊ6Ã%Å�Í�Î�ô�Ý
A,B
Î
C
ähÏÐÎ�Ã;Ò�Æ�Â�Ã�ÓÐÚ�Â�Ý�É�Ä�ú�ÓÐÉ�ʲÉ�Â�Å;Ã;ʲÎ
(a1, a2, a3), (B1, B2, B3)
Î
(C1, C2, C3)
íC�
a1 = a2 = a3 = a, α2 =
B1 − B3
B3 − B2
, α1 = − 4λ1
3(B3 − B2)
, f1 =
1
2
α1(B3 − B2);
µ0 =
1
2
(B3 − B2), C3 − C2 =
1
4
a(B3 − B2)(B1 + B2 − 2f0),
C1(B3 − B2) + C2(B1 − B3) + C3(B2 − B1) =
1
4
a(B1 − B3)(B2 − B1)(B3 − B2), (27)
2s1 = −α1(C3 − C2) +
1
4
aα1(B3 − B2)(B1 + B3 − 2B2 + 2f0 − 2α0(B3 − B2)).
ã�ã
�����
���������! #"%$�� !�
$'&)(+*#�,*�$�-!���
.%$�/0(��21�$��3��$�-!�4�
.%$657���8$69:�3"%$%;
ó1Í�Î ÏÔÃ�ÏÐÎ�Ê�×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ã;Ê�ç*Ã�ÏÔÃ*Ù�μê�< í Õ¾ê @ í Ä�ÓÐÉ�Ï�Ë Ö3ÈfÎ�Éhç�Â�Ã*Ù�É�Â�Î�Ç �
� = (s1, 0, 0), λ = (λ1, 0, 0), s1 = −35b2
2
, λ1 = −3b
2
, C1 = c,
C2 = c +
5b2
2
, B1 = 6b, B2 = b, B3 = 2b.
< ÏÐÉ�Ä�Ú
c
Î
b
ä_×�Í�Æ�Î�ç�Ì�Æ%ÓÐÚ�Â�Ý�Éh×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ý1=ÐõLÆ�Ò¬ÏÔÃfÍ�É�Ü8É�Â�Î�É_ê @ å�í ×�Í�Î�ʲÉ�Å·Ì�Î Ï �
x∗
1
= b(ν∗
1
− 7
2
)(ν∗
1
+ 2), x∗
2
=
1
2
b(ν∗
1
− 7
2
)(4ν∗
1
− 1), x∗
3
= bν∗
3
(ν∗
1
− 7
2
),
ν∗
2
=
1
2
(4ν∗
1
+ 1), ν∗
3
=
√
3
4
− 2ν∗
1
− 5ν∗
1
2, (28)
ν∗
1
=
e + d
2
+
(
e − d
2
)(
n0 cos
√
n2
0
− m2
0
τ − m0
n0 − m0 cos
√
n2
0
− m2
0
τ
)
,
ç�ÏÐÉ�Ä�Ú
e ≈ −0, 63; d ≈ 0, 23; n0 ≈ 3, 7; m0 ≈ 0, 43
=fY1Ä�×�Æ%ÓÐÚ;ç�Ë�ÇöÄ�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Çdê�<*> í Ï�Ó�Ç
Í�É�Ü8É�Â�Î�Çßê @ > í Õ�Ì�Ýu×�Î�Ü8É�Ê ð Ë Â�Ñ�ô�Î�Ö p(τ)
�
p(τ) =
841b2
8
+ c +
11b2ν∗
1
(τ)
4
+ 14b2ν∗
1
(τ), (29)
Ò¬ÏÐÉ
ν∗
1
(τ)
Æ�×�Í�É�ÏÐÉ�Ó�Ç�É�Å�ÄkÇ·Ä�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�É�ÊéÎ�ç3Ä�Î�Ä�Å�É�ʲÝdê @ > í =+AéÄ�Î Ó�ËTÆ�Ò�Í�Ã;Â�Î�Ù�É�Â�Â�Æ�Ä�Å�Î ð Ë Â�Ñ�ô�Î�à
ν∗
1
(τ)
Ë�Ä�ÓÐÆ�Ì�Î�Ç
p(τ) ≤ 0
ʲÆ�Ø·Â�ƵÏÐÆ�Û�Î�Å�Ú�ÄkǼÌ�Ý�Û�Æ�Í�Æ�Ê�×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Ã
c
=2õLÆ�Ò¬ÏÔÃXÄ�Î�Ä�Å�É�Ê6ÃDÌDÌ�Ã;Í�Î è
Ã;ô�Î�Ç Þ ê�< @ í Î�ʲÉ�É�ÅöÆ�ÏÐÂ�Æé×�Æ%ÓÐÆ*Ø·Î�Å�É�ÓÐÚ�Â�Æ�É`Þ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�Ä�Å�Î�Ù�Â�Æ�ÉzÙ�Î�Ä�ÓÐÆ�Õ�Ã[Â�É�ÓÐÎ�Â�É�à�Â�Ã%Ç Ä�Î�Ä�Å�É�èÊ6ÃDê�<�< í ʲÆ*ØTÉ�ÅTÏÐÆ�×�Ë�Ä�Ñ Ã%Å�Ú_Æ*ÏÐÂ�Æ�×�Ã;Í�Ã;ʲÉ�Å�Í�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Æ�É8Ä�É�ʲÉ�à�Ä�Å�Ì�Æ_Í�É�Ü8É�Â�Î�àPÕ�Ñ�Æ;Å�Æ�Í�Æ�ÉVÆ;×�Î�Ä�Ý�Ì�Ã;É�Å
Ã;Ä�Î�ʲ×�Å�Æ;Å�Î�Ù�É�Ä�Ñ�Î è¡×�É�Í�Î�Æ�ÏÐÎ�Ù�É�Ä�Ñ Æ�É·ÏÐÌ�Î�ØTÉ�Â�Î�É;ÕL×�Í�É�ÏÐÉ�ÓÐÚ�Â�Æ�ɵÍ�É�Ü8É�Â�Î�ÉµÑ Æ;Å�Æ�Í�Æ�Ò�ÆDÞ�Ã;Í�Ã;Ñ�Å�É�Í�Î�ç�Ë�è
É�Å�ÄkÇ`Ä�Æ�Æ;Å�Â�Æ;Ü8É�Â�Î�Ç�ʲÎßê @ å�í =
��¯7g h�i'j8k'l#monfp q?p�r2½�ºx�k�/°��k�;�¬¢%�u��½��� �������¢������� ����/�%���*§x�����*�ts8s�¹Ô��½���¯% ���¢�¯ u�vxwu�¬¯'y{zf¯ |%��¯ u�}I°���¤¥���7~ �
¹(¹(¹ÔÁ�¯6y1�4�,wC��¯,y:�Я�¸*¯!y�¹2¯���¤ë¸C�8��¯
¸*¯��f�3�,������l#m��op � p ��q�l��C������mC���,��h���p � p ��gf�����'k��Iq?p �Qp+s8s�rD�%��°��%��¢����P¦��������% ��k�����%�����*�*¦3���%�������������/¶I����¦�¤
¨���®²�7s8sIz1��¦�������£*�x���������%��¨��u�����;��¯6y3¸C�8����¯,y:v��(��¯'����¯,y/¹2¯%�k¤ �#��¯
��¯o��l
�8�:�+p � p ��q��C��l�k'l#mC���Qp q?p%r2½L�¬�%�����m£*�;�� � ��P¢%�� ������P¦x����±w�������u���%���������*���w�%���*§x�����*�u¨������� ��¬���k�L�I�����%�
����������«��%�k�%³����P¦3�/¨������� �£�������¢��� �£��*¦� ��*�ts8sI����¯�}²��z�zc��~ ���2£��%�����*�²¯6y�¸C�8��¸*¯8y{��¯6y�¹2¯;¸C�k¤��!��¯
� ¯o��l
�8�W��p � p ���Ij, 2�6h�¡�l#mC�IgIp � p �Q¢)£o��i��#k'l#mC�fgIp nfp*¶L�;�� � ���¢��� �£����¾°��k�;�¬¢����%���%������£��3���������%��¨��w�����;�%u�Á���°����*¤
�����²�1 ��������������������I ��� ����¬��������¯!y�¶I�����'u%�²�¬��£�¯��%�*��£*��©��4�!�#¤�¯8y�¸C�8�x �¯
w*¯��f�3�,������l#m��op � p�¹Ô�������������������Ô ��� ����¬�������Ô�w�����% �����£��������T�%��°��������*�6£*�;�� � ���¢��� �£��*¦6°��k�;��¢²�%���%������£��w�������*¤
�%��¨��u�����;�:s8sIz1��¦�������£��x���������%��¨��u�����;��¯!y3¸C�8�8��¯,y:v��(��¯'�8��¯!y�¹2¯���¤ �4��¯
��¯7gf�����'k��7q?p �Qp �e�Ij, 2�6h�¡�l#mC�¥gIp � p�rG����£����������P¦1�%�����%�����%�����*�*¦1�% � ¡�%���%�����������m��¿6������«�£����m±w£����%�w�%�����k¤
����£��/���������%��¨��u�����;�:s8sI� ���]§w��¯6y�¹2¯'�,w¬¤��8¤*¯
��¯o���3�%¦�������m:§¨p �op �Q��l
�8�B�+p � p��I�������(�V�������¬�f�I���������������/�% � ¡�%���%�����������V�� ��%������������¢��� �£��*¦h�%���*§x�������8�
�%���%������£��²���������%��¨��u�����;�¥s8sfz1��¦�������£*�x���������%��¨��u�����;��¯6y1�4�8��¸*¯8y¥v��(��¯%¸ � ¯!y�¹2¯;¸8w¬¤ � ��¯
¤�¯��Ij,�#k'�,�3����nfp��I�����(�²�������¬�%�D����½��� ������m���¡¦�������£��ts8s�}I°�½���¯%����¯ u�vD¸¬¤ ¦��¬¯'y¥zf¯ u��²����£*��¯6ym�4�!����¯!y{�Я���¯%y
�8�8�6 �¯
��¯7©��8j8ª�l#m#�'«B� p nfp �o¢)£o�3�'¬�'k��®�8��¯B� p q?p��²�����������(���%�%®²®I��������«��%�k�%³����(�����%�����*�����*�] ������������%��¢��� �£��%���
£���ª�®²®I��«��������¬�������/�*¦������*�%��§x�����*��¯6y:zf¯ u'�²�¬��£*��©��4�!��¸*¯8yW��¸C�x �¯
°¥��"��3K%.%$%;W"� #K%$���"' #�%±8"%²Q;¥³6"�/�*
´Cµ!µ'´8¶%·6¸,¸,¹Cº!»!¼,½%¾#¿�À3ÁC¾#Â
�I���%��¢������o�8��¯ � � ¯ �8�
ã�9
|