Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах
В работе представлена модель растущего биологического материала, основанная на модифицированной модели Максвелла вязкоупругой среды. Проанализированы точные решения статической задачи для двумерного растущего континуума. Получено интегральное соотношение для реологических параметров модели и выделен...
Збережено в:
Дата: | 2003 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
Назва видання: | Механика твердого тела |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123730 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах / Н.Н. Кизилова, Е.П. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 158-168. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123730 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237302017-09-10T03:03:18Z Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах Кизилова, Н.Н. Кравченко, Е.П. В работе представлена модель растущего биологического материала, основанная на модифицированной модели Максвелла вязкоупругой среды. Проанализированы точные решения статической задачи для двумерного растущего континуума. Получено интегральное соотношение для реологических параметров модели и выделены два типа ненапряженного роста. На основании полученных соотношений проведен анализ данных кинематики роста листа растений и показано, что известное из литературы увеличение угла при основании листовой пластинки может быть связано не только с неоднородным ростом, но и с однородным анизотропным ростом. Проведены оценки напряжений, возникающих на границе между растущими основной тканью и линейным проводящим элементом при различии их скоростей роста для случаев, когда основная ткань занимает полуплоскость и клиновидную область. Показано, что поле напряжений может определять систему обратных связей, обеспечивающих согласованность роста отдельных элементов листа. 2003 Article Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах / Н.Н. Кизилова, Е.П. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 158-168. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123730 531/532 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
В работе представлена модель растущего биологического материала, основанная на модифицированной модели Максвелла вязкоупругой среды. Проанализированы точные решения статической задачи для двумерного растущего континуума. Получено интегральное соотношение для реологических параметров модели и выделены два типа ненапряженного роста. На основании полученных соотношений проведен анализ данных кинематики роста листа растений и показано, что известное из литературы увеличение угла при основании листовой пластинки может быть связано не только с неоднородным ростом, но и с однородным анизотропным ростом. Проведены оценки напряжений, возникающих на границе между растущими основной тканью и линейным проводящим элементом при различии их скоростей роста для случаев, когда основная ткань занимает полуплоскость и клиновидную область. Показано, что поле напряжений может определять систему обратных связей, обеспечивающих согласованность роста отдельных элементов листа. |
format |
Article |
author |
Кизилова, Н.Н. Кравченко, Е.П. |
spellingShingle |
Кизилова, Н.Н. Кравченко, Е.П. Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах Механика твердого тела |
author_facet |
Кизилова, Н.Н. Кравченко, Е.П. |
author_sort |
Кизилова, Н.Н. |
title |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
title_short |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
title_full |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
title_fullStr |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
title_full_unstemmed |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
title_sort |
исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2003 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123730 |
citation_txt |
Исследование напряжений и деформаций в двумерных растущих континуумах / Н.Н. Кизилова, Е.П. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 158-168. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT kizilovann issledovanienaprâženijideformacijvdvumernyhrastuŝihkontinuumah AT kravčenkoep issledovanienaprâženijideformacijvdvumernyhrastuŝihkontinuumah |
first_indexed |
2025-07-09T00:09:18Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:09:18Z |
_version_ |
1837125872223518720 |
fulltext |
��������� �
���
����������������������� ��"!�# �%$�&(' )*'"!��*+(���,
�� � ����-/.102�3� �
46587,9;:�<�=�9;:�>
?© >;@�@�:�A�BDCEBDCGFIHKJ�HKLNMPOPQSRGT8CEUDCGFIV2Q�OPW2X�Y2ZSM
[]\^\`_IT3acbed^fgBh[ITiBhfjUIkmlhnoT1Bh[hpq[rasTutcb^k`vwfjxh[hp
dyaDd8z"v{T1k`Bh|~}�kmfg\8�uzj��[I}rF"beBh�`[hBIzjz"vwfg}
�h�%�������������*���;���������%���%�3�����%���%�3�%�����������������������%�������������������������������%���;�� ��¡�������¡�����%��¢1�%�3�����%�%£G��¤��������¡���*¥
����¦u�����%���%�`§¨���*���������;����¢�©��¡��������������¦u�������%ª¬«�G���¡���%���%��©��������¡����ª®��������ª(�m����¯������*¢8��������������������¦u©����;�����
���*¢m�%���*�������������¬�%���������������¬�¡�������������*����«¡G���%���������G�����������%���%�������K������������¯��������S����¢°�������%���������������*±²�%���%��¥
�������*���1�����%���%�`�`��ªS�%���%����ª]�%�¡�3�����%�³�����%�����¡¢*´������������³���¡������«�µ¬�3�¡���*���¡�������u�����%����������ªS±u������������¯�������¦
���*�������%���`���%���%��©6�;������ªS±¨�������������������`���¡�������%�%�����³�%������������¦u�u�����*��©������% %�����³��©��������������²��©��%�������%��������ª
�������%�*�������������¶�;�/�����·�¡�������¡�������u�%�%����������¦8�*�;�������������^����´²���1��ª(���¨����¢�©������/���°�����%�����¨�m�������%���������%��ªK�
���¡�¸���¡�� ���1�·�m���%���������%��ªK�I������©�������������ªK�I���¡�����¡�S«�G���������%����ªD��¤��������8�%������¢*´²������¦� ����©���������¹2���*±`�%�
����������¤��u����´m�%�e�%�����������%���j�¡������������¦e���*������¹º�»�%������¦���ªK�c������������¢����%�s¼��%�����������¡�c�����j�%��©��%�������g�*±
���¡�����¡������¦¨���¡�����°����¢`�¸�%���%�����% %�����¶�;���¡���������%��¢1���������³©������%�������3�����%���*�%�¡���¡�¡�����3�¨�*�%���������*�%����¹c�����;�������%«
G������©������% ������3�����%�6�%������¢*´²������¦u����´²�������������%����¢����3���%���������/�����%������ªS±1����¢�©���¦� %�����������������¡��¹2���*±/�����½�;��¥
�����¡���*���¡�����²���¡�����²�����%���%����ªS±3¼��%�������������²�%�%������«
d8OPX�¾GX�Y2H2XPC2¿²À�Á�Â8À�Ã�Á·Ä¨Ã�Å�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�Á·É�Ê;Å�ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É�Ã�Î]É%ÏPÃ�Î�Ð3ÍgÀ�Ñ»Ò�Ê�Ç�Í�Ó�Ò�Ñ%Å�É�Ã�Í�Ã�Á8Ã]Ñ�ËÔÑ;Õ�Í%Ñ�Ö
× Ã�ÐwØ�Ã�Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚIÍ�È Ñ;À�Á¡ÌÜÛÝ<�Þ :%ß¶A�¿²À�à�Í�Ò�Á¡À�À�Ã�Á`á¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�Á`À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÎSÓ�É�Ê;Å�À�Ã�È�Ñ;Ð3ã8Ã�Á
É�Ç�ÏPÁ�ËPÇ�Í�É;Ã�Á3À�Á¡Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ç�Í�ÃeÒ�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²Ú^Õ�Ò�Ê × Á¡Ç¡Ç¡Ê�ɨÃ`ËPÃ�À�Ñ;á¬Ã�Æ�Á¡Ç¡È Ê�ÌeÑ;È�Í�Ã�É�À�Ê�Ç�Í�ÃeÈ ÏPÁ�Í�Ê�ÈSÓ�Î�É%Ö
Ï�Î�Ð3Í�Ç�ÎIÊ�ËPÀ�Ã�áåÃ�ÅuÊ�Ç�À�Ê�É�À�ä²Ú"Ò�Á¡Ù�à*Ï�Î�Í�Ê�Ò�Ê�ÉeØ�Ã�Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ê�Ù¡Ê»á¬Ê�Ò�Ä1Ê�Ù¡Á¡À�Á�Å*Ñ�AÔæ�Í�Ã�áGà*ÏPÃ�Ò�à�Ð3ã·Á¡Á
ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É�Ã�Á»Ò�Ñ;Ç�Í*Î�â^Á¡À�Ã�ÎDÃ]à Ù¡À�Á�Í;Ñ;Ð3ã8Á�Á·ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É�Ã�Á»Ç�âeÑ%Í�Ã�ÎsÀ�Ñ"Ò�Ê�Ç�Í"Í�È Ñ;À�Á¡ÌcÃ�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Êhç�È Ç�Ö
Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í%Ñ�ÏPè�À�Ê"îÃ�Ç¡Õ�Ê%ÏPè;Å¡à�Á�Í�Ç�ÎsÉgá¬Á�ËPÃ × Ã�À�Ç¡È�Ê�ÌsÕ�Ò�Ñ;È�Í�Ã�È�Á;A(¿éÍ�È Ñ;À�Î Ú®Ò�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�Ìsá¬Á�Ú Ñ;À�Ê�Ò�Á�Ö
× Á¡Õ × Ã�ήÊ�Ø;à�Ç�ÏPÊ�É%ÏPÁ¡À�Ñ»É�À�à�Í�Ò�Ã�È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä�á¬Ã]Õ�Ò�Ê × Á¡Ç¡Ç�Ñ;á¬ÃêÛ ë�Óì9�ß2îÃ�Ù¡Ò�Ñ;Á�ÍjÉ�Ñ%â»À�à ÐíÒ�Ê%ÏPègÉ^Ú�Ê�ËPÁ
Ò�Ê�Ç�Í;ÑhÃîÒ�Ñ%Å�É�Ã�Í�Ã�ÎÜÊ�Ò�Ù�Ñ;À�Ê�É®Ò�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�ÌºÛ ï�Þ ð%ß¶AN¿íÕ�Ê�Ç�ÏPÁ�ËPÀ�Á¡ÁjÉ�Ò�Á¡áGÎîÃ�À�Í�Á¡Ò�Á¡ÇjÈîÃ�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�Ð
É%ÏPÃ�Î�À�Ã�ÎÜá¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚåÄuÑ;È�Í�Ê�Ò�Ê�É]À�Ñ]Ò�Ê�Ç�Í]à�ǡà ÏPà ÏPÇ�ÎåÉ]Ç¡É;Î�Å�ÃêÇjÉ�Ê;Å�á¬Ê*â»À�Ê�Ç�Í�Î�á¬ÃÜÃ�Å�á¬Á¡À�Á�Ö
À�Ã�ÎIá¬Á�Ú Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚIÚ Ñ%Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�Ã�Ç¡Í�Ã�È]Ê;Í�ËPÁ�ÏPè�À�ä²ÚhÍ�È Ñ;À�Á¡Ì®Õ�à�Í�Á¡áºÙ¡Á¡À�Á�Í�Ã�Æ�Á¡Ç�È�Ê�Ì]á¬Ê�ËPÃ�ĨÃ�È Ñ × Ã�Ã
Ò�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�ÌÜÛ ñ%ß¶A
æyÍ�Ê�Æ�È�ÃòÅ�Ò�Á¡À�Ã�Îóá¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�È�ÃòÏPÃ�Ç�Í
ôPõ�ö�÷ ø�÷�ù ú�û¸üPý3þ�ÿ���ý���õ���ý���õ�õ��
�û���þ�
��
�Sú8ö���û���þ���������ý����*ú� �õ�ö���ý�÷
ø����
�û�����õ`þ¡ö���þ�����þ������*ý���õ��! "��#�ÿ�þ��*þ�$��
%�õ�û'&( �û¸üÔû������6÷
Î�É%Ï�Î�Á�Í�Ç�Î{Ñ;À�Ã�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�À�ämá È Ê�á¬Õ�Ê%Ö
Å�Ã�Í�À�ä°á®á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÊ�á°Ó�Ñ;Ò�á¬Ã�Ò�Ê�É�Ñ;À Ö
À�ä°á~É�Ê%ÏPÊ�È�À�Ñ;á¬ÃSA¬¿²Ê%ÏPÊ�È�À�Ñ]Õ�Ò�Á�Ë�Ö
Ç�Í;Ñ;É%ÏPÁ¡À�äcÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡á¬Ê�Ìuâ»Ã ÏPÊ�ÈSÓ¡Ç¡Ê�ËPÁ¡Ò Ö
âeÑ%ã8à Ú1Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8Ã�Á¬ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�ä1Ó�È�Ê%Ö
Í�Ê�Ò�ä°Á�Ê�Ø�Á¡Ç¡Õ�Á¡Æ�Ã�É�Ñ;Ð3ÍéÍ�Ò�Ñ;À�Ç¡Õ�Ê�Ò�Í
â»Ã ËPÈ Ê�Ç�Í�Ã8È`È ÏPÁ�Í�È�Ñ;áåÛÝ<�@%ß¶A!)/Ç¡À�Ê�É%Ö
À�Ê�̨Ê�Ø�*KÁ¡á"á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑmÏPÃ�Ç�Í%Ñ�Õ�Ò�Á�Ë�Ö
Ç�Í;Ñ;É%ÏPÁ¡À"È ÏPÁ�Í�È Ñ;á¬ÃIá¬Á�Å�Ê�Ĩà Ï�ÏÔÑ�A�¿
Ú�Ê�ËPÁîÒ�Ê�Ç�Í%Ñ�ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�ÁÜÃ�Ò�Ñ;Ç�Í*Î�â·Á�Ö
À�Ã�Á`È ÏPÁ�Í�Ê�È®Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8à Úhç�ÏPÁ¡á¬Á¡À Ö
Í�Ê�É�à Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌéÍ�È Ñ;À�Ã{Õ�Ò�Ê�Ã�Ç�Ú�Ê%Ö
Ë�Î�Í`Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�Ê�Ó�À�ÊuÕ�ÊuÃ�À ËPÃ�É�à Ö
Ë�à�Ñ�ÏPè�À�ä°á,Õ�Ò�Ê�Ù¡Ò�Ñ;á¬á6Ñ;á°A�7³ÏPÁ�Í�È�Ã
Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌóÍ�È Ñ;À�úàòÕ�Ê�ËÔÑ;É%Ï�Î�Ð3ã8Á�Ö
Ù¡ÊjØ�Ê%ÏPè;Â8Ã�À�Ç�Í�É�ÑjÉ�à ËPÊ�ÉjÒ�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�ÌDÃ�Å�Ê�á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�Á�Ç¡È�Ã�Á�Ó(ÉgÍ�Ê"É�Ò�Á¡áGÎ]È�Ñ;ÈhË�Ï�Î]Õ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8à Ú]ç�ÏPÁ�Ö
<�9%ð
+6ý�#�ÿ���,�û���õ��³õ-$ û�.Gþ�ÿ�üPý���õ�õ/�0$!�21�üÔû ÿ��
�Sú°ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/��þ�����õ
��1�1�üPý�ú
á¬Á¡À�Í�Ê�É8Ú�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�Á¡ÀhÑ;À�Ã�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�À�ä°Ì"Ò�Ê�Ç�Í^dzÊ�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�É�Ñ;À�Ã�Á¡áêÈ ÏPÁ�Í�Ê�ÈSÓ�É�ämÍ*Î�À�à�Í�ämÚ"É%ËPÊ%ÏPè8Ê�ËPÀ�Ê�Ì
Ê�Ç¡ÃSA54¨ÑcÙ¡Ò�Ñ;À�Ã × Á]á¬Á�â^Ë�àÜËPÉ;à áGÎòÍ�Ã�Õ�Ñ;á¬ÃòÍ�È�Ñ;À�Á¡ÌºÀ�Ñ;Ø%ÏPвËÔÑ;Á�Í�Ç�κÕ�Á¡Ò�Á�Ú�Ê�Ë Ê;ÍÜÉ�ämÍ*Î�À�à�Í�ä²ÚºÈ
Ê�È�Ò�à Ù�ÏPä°á{È ÏPÁ�Í�È Ñ;á76 Ò�Ã�Ç;AE<
8�A:9/Å�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Áeá¬Á�Ú Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚcÇ¡É�Ê�Ì�Ç�Í�ÉIÈ ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²ÚcÇ�Í�Á¡À�Ê�ÈcÕ�à�Í�Á¡á
Ù¡Á¡À�Á�Í�Ã�Æ�Á¡Ç¡È Ê�Ì]á¬Ê*ËPÃ�Ä1Ã�È�Ñ × Ã�îÕ�Ò�Ã�É�Ê�ËPÃ�ÍjÈhÃ�Å�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Ð,ĨÊ�Ò�á¬ä�Ã"ËPÃ�À�Ñ;á¬Ã�È�Ã]Ò�Ê�Ç�Í%Ñ»È ÏPÁ�Í�Ê�È]Ã
ÏPÃ�Ç�Í;ÑjÉ × Á�ÏPÊ�á~Û ñ�ÓE<*@%ß¶A<;IÁ�Ú�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�Á^À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÎSÓSÉ�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3ã8Ã�Á^Õ�Ò�ÃsÀ�Á¡Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�Ê�Ç�Í�Ã
Ò�Ê�Ç�Í;Ñ"À�Ñ"Ù¡Ò�Ñ;À�Ã × Áeá¬Á�â^Ë�à]É�Ê%ÏPÊ�È�À�Ñ;á¬ÃDÃDÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌsÍ�È Ñ;À�è�Ð`ÓKá¬Ê�Ù�à�ÍhÃ�Ù¡Ò�Ñ%Í�èhÒ�Ê%ÏPèIá¬Á�Ú�Ñ;À�Ê�Ú�à Ö
á¬Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚêÒ�Á¡Ù�à�Ï�Î�Í�Ê�Ò�Ê�ÉsÒ�Ê�Ç�Í%ÑêÛÝ<;<�ÓE<�>�ß¶A=)3ËPÀ�ÑhÃ�ÅjÙ¡Ã�Õ�Ê;Í�Á�ÅIÇ�É;Î�Å*Ñ;À�ѮǻÉ�Ê;Å�á¬Ê�â»À�Ê�Ç�Í�è�ÐyÊ�Ò�Ã�Á¡À Ö
Í;Ñ × Ã�Ã]À�Ê�É�ä²Ú®È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²Ú]Ç�Í�Á¡À�Ê�ÈSÓSÊ�Ø�Ò�Ñ%Å¡à Ð3ã8à Ú�Ç�ÎsÕ�Ò�ÃIËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Î Ú]È ÏPÁ�Í�Ê�ÈSÓSÉgÇ¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�ÃDÇ
À�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%ÏPÁ¡À�Ã�Á¡áºÏPÃ�À�Ã�ÌDÙ�ÏÔÑ;É�À�ä²ÚsÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌsÉ"Ò�Ñ;Ç�Í;à�ã8Á¡á{á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÁ;Ó(Æ�Í�ÊIÊ�Ø�Á¡Ç¡Õ�Á¡Æ�Ã�É�Ñ;Á�Í�Ç�Î
á¬Á�Ú Ñ;À�Ã�Å�á6Ñ;á¬ÃgÀ�Ñ¨È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�Ê�áîà Ò�Ê�É�À�Á`Û :�Þ ï%ß¶A�¿åÀ�Ñ;Ç�Í�Ê*Î�ã8Á¡ÌgÒ�Ñ;Ø�Ê;Í�Á3Õ�Ò�Á�ËPÇ�Í;Ñ;É%ÏPÁ¡À�äºÒ�Á�Å¡à�ÏPè�Í%Ñ%Í�ä
ç¡È Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í;Ñ�ÏPè�À�Ê�Ù¡Ê]Ã�Å¡à Æ�Á¡À�Ã�ÎÜÅ*Ñ;È�Ê�À�Ê�á¬Á¡Ò�À�Ê�Ç�Í�Á¡ÌêÒ�Ê�Ç�Í;Ñ"ÏPÃ�Ç�Í%Ñ®Ò�Î ËÔÑIÒ�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�ÌêÃDÍ�Á¡Ê�Ò�Á�Í�Ã�Ö
Æ�Á¡Ç¡È Ê�Ù¡ÊeÃ�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�ÎhÒ�Ê�Ç�Í%Ñ^À�Ñ^Ê�Ç¡À�Ê�É�Á1á¬Ê*ËPÁ�ÏPÁ¡ÌIá¬Á�Ú Ñ;À�Ã�È�ÃIÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã·Ã ÚhÈ�Ê�À�Í�Ã�À�à�à á¬Ê�É�A
> C�[@?�?;LNX�¾GMPOPQ�Y2H2X·Z2H2Y2XBA1QDC�H2Z2HsV2ME?!C�Q·LNH'?!C�QSC�FNÁ¡Ê�Ò�Á�Í�Ã�Æ�Á¡Ç�È Ê�ÁmÃ`ç¡È Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í;Ñ�ÏPè�À�Ê�Á
Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�Á3Ø�Ã�Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ê�Ù¡ÊuÒ�Ê�Ç�Í%ѨǡÉ;Î�Å*Ñ;À�ʨǰÕ�Ê�Ë�Ú�Ê�ËÔÑ;á¬Ã^á¬Á�Ú Ñ;À�Ã�È�ÃeÇ¡Õ ÏPÊ;Â8À�ä²ÚeÇ¡Ò�Á�ËKABG1Ò�Ã
ç�Í�Ê�áDDzÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã8Ã�ásÍ�Á�ÏPÊ�ásÇ¡É;Î�Å�ä°É�Ñ;Á�Í�Ç�Î^Ç¡Ê�Ø�Ç�Í�É�Á¡À�À�Ñ%ηǡÃ�Ç�Í�Á¡á6Ñ1È Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í1÷Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Ð3Í�Ç�Î^È Ê%Ö
Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�äîĨÃ�È Ç�Ã�Ò�Ê�É�Ñ;À�À�ä²ÚuÍ�Ê�Æ�Á¡ÈuÍ�Á�ÏÔÑ
(ξ1, ξ2, ξ3)
É3À�Á¡È�Ê;Í�Ê�Ò�ä°Ì8À�Ñ*Æ�Ñ�ÏPè�À�ä°Ì`á¬Ê�á¬Á¡À�ͳÉ�Ò�Á¡á¬Á¡À�Ã
t0
A�¿ÜÈ Ñ�Æ�Á¡Ç�Í�É�Á�Í�Ê�Æ�Á¡È·ÏPÃ�Ø�ÊuÉ�ä°Ø�Ã�Ò�Ñ%Ð3Í�Ç�ÎeÁ¡Ç�Í�Á¡Ç¡Í�É�Á¡À�À�ä°Á³á¬Á�Í�È�ÃSÓ�È�Ê;Í�Ê�Ò�ä°Á°Ë�Ï�ηÏPÃ�Ç�Í%ѨÒ�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�Î
á¬Ê�Ù�à�ÍgØ�ämÍ�è»Ç¡É;Î�Å*Ñ;À�ä{ǨÍ�Ê�Æ�È Ñ;á¬ÃhÕ�Á¡Ò�Á¡Ç¡Á¡Æ�Á¡À�Ã�ήÕ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8à ÚIç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�É®ÛÝ<*:�Ó(<�ë;ß¶Ó�ÏPÃ�Ø�Ê»À�Ñ;À�Ê%Ö
Ç�Î�Í�Ç�λǡÕ�Á × Ã�Ñ�ÏPè�À�ä°Á³Ã�Ç¡È�à�Ç¡Ç�Í�É�Á¡À�À�ä°Á/á¬Á�Í�È�îÛÝ<�9�ß¶ABG1Ò�ûç�Í�Ê�ácÅ*Ñ;É�Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�à xi = xi (t, ξ1, ξ2, ξ3)
Ó
i = 1, 2, 3
ÓPÙ�ËPÁ
(x1, x2, x3)
ÞgÈ Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�ä{Í�Ê�Æ�Á¡È®ÉeÀ�Á¡Õ�Ê*ËPÉ�Ã�â»À�Ê�ÌIÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡á¬Á8È Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�ÓÔá¬Ê�Ù�à�Í
Ò�Ñ;ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ%Í�è�Ç�Î]È�Ñ;ÈhÅ*Ñ;È�Ê�ÀIËPÉ�Ã�â^Á¡À�Ã�ήÒ�Ñ%Ç�Í;à�ã·Á¡Ù¡ÊjÍ�Á�ÏÔÑ�AHG/à�Í�Á¡áòËPÃ�ĨĨÁ¡Ò�Á¡À × Ã�Ò�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎsÕ�Ê%Ö
Ï�à Æ�Á¡À�À�ä²ÚIÉ`Ú�Ê�ËPÁ1Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�ÎjÅ*Ñ;É�Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�Á¡Ì
xi = xi (t, ξ1, ξ2, ξ3)
á¬Ê*â»À�Ê8Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÃ�Í�èeÇ¡È�Ê%Ö
Ò�Ê�Ç�Í�Ã
vi = ∂xi/∂t
Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²ÚsÕ�Á¡Ò�Á¡á¬Á�ã8Á¡À�Ã�ÌSÓ(È Ê�á¬Õ�Ê�À�Á¡À�Í�äwÍ�Á¡À�Å�Ê�Ò�ÑjÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á�Ì]ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ì
ÃêËPÒ�à Ù¡Ã�Áhá¬Á�Ú Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�ÁIÚ�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�Ã�Ç�Í�Ã�È�ÃwÛÝ<�>�ß¶A²æ6ÏPÁ�Ë�à�Á�ÍÜÊ;Í�á¬Á�Í�Ã�Í�è�Ó�Æ�Í�ÊcÇ�à�ã8Á¡Ç¡Í�É;à�Ð3ã8Ã�Á®É
á¬Á�Ú Ñ;À�Ã�È�Á¨Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�Î"Ò�Ê�Ç�Í;Ñ·È�Ê�á¬Õ�Ê;Å�Ã�Í�À�ä²ÚIá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÊ�ÉIÛÝ<*ï%ßSÇ¡É;Î�Å*Ñ;À�äéÇ1À�Ñ;Ò�Ñ%ã8Ã�É�Ñ;Á¡á¬ä°á¬Ã
Í�Á�ÏÔÑ;á¬Ã"ûÎ�É%Ï�Î�Ð3Í�Ç�ÎjÕ�Ò�Ã�á¬Á¡Ò�Ê�áêÕ�Ê�É�Á¡Ò�Ú�À�Ê�Ç�Í�À�Ê�Ù¡Ê^Ò�Ê�Ç�Í;Ñ�Ó�É`Í�Ê8É�Ò�Á¡áGÎgÈ�Ñ;ÈeË�Ï�ÎgØ�Ã�Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à Ú
á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÊ�ÉDÉsØ;Ê%ÏPè;Â8Á¡Ìåá¬Á¡Ò�Á"Ç�É�Ê�Ì�Ç�Í�É�Á¡À�Á¡À�Ê�Ø�*KÁ¡á¬À�ä°ÌêÒ�Ê�Ç�Í�ÛÝ<¡ß¶ÓGÇ¡É;Î�Å*Ñ;À�À�ä°ÌåÇjÃ�Å�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Á¡á
Ê�Ø�*KÁ¡á¬Ê�ÉuÃ�À�ĨÃ�À�Ã�Í�Á�Å�Ã�á6Ñ�ÏPè�À�ä²Úgç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�É8Ç¡Ò�Á�ËPä1Ó�Ç¡Ê�ËPÁ¡Ò�â^Ñ%ã8Ã Ú»È ÏPÁ�Í�È�ÃjûÉ�À�Á¡È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�Ê�Á³É�Á�Ö
ã8Á¡Ç�Í�É;Ê�A
4¨Ñ;á¬Ã»Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ñ8È�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È Ñ8Ò�Ê�Ç�Í%Ñ`À�Á¡Ç¡È�Ê%ÏPè�È�à ڻÍ�Ã�Õ�Ê�ÉuÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡ÉI6KJ/LDMON�PRQRS!TVU·AEÓXW�QZY ? N�Ö
[�\ TBN�MD]_^¬AEÓa` [ S!b \ YcS!QRMDde;DAf8¨Õ�à�Í�Á¡áíÊ�Ø�Ò�Ñ;Ø�Ê;Í�È�ÃîÃ�Å�Ê�Ø�Ò�Ñ%â·Á¡À�Ã�ÌîÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã8Á¡Ù�ÊhÏPÃ�Ç�Í%Ñ�ÓGÉ;ä°Õ�Ê%ÏPÀ�Á¡À Ö
À�ä²Ú®Æ�Á¡Ò�Á�Å8Ò�Ñ;É�À�ä°Á`Õ�Ò�Ê�á¬Á�âeà�Í�È�Ã]É�Ò�Á¡á¬Á¡À�Ãg6�<�Þ�>^Ç�à�Í�Af8�Ó�À�Ñ*Æ�Ã�À�Ñ%ÎhÇ`á¬Ê�á¬Á¡À�Í%Ñ»Õ�Ê%ÏPÀ�Ê�Ù¡ÊgÒ�Ñ%Å�É�Á¡Ò Ö
Í�ä°É�Ñ;À�Ã�ÎjÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�Ì"Õ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�ÃîÛÝ<�ë;ß¶A�æóÈ�Ñ%â^ËPä°áêÃ�Å�Ê�Ø�Ò�Ñ%â·Á¡À�Ã�Á¡áåÇ¡É;Î�Å�ä°É�Ñ�ÏÔÑ;Ç¡è^À�Á¡Õ�Ê�ËPÉ�Ã�â»À�Ñ%Î
Ç¡Ã�Ç�Í�Á¡á�Ñ/È Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Íh6 Ë�Ï�Î8Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�À�Ê�Ç�Í�Ã^Õ�Ê%Ï�Î�Ò�À�Ñ%ηǡÃ�Ç�Í�Á¡á6Ñ
(r, ϑ)
8�Ó%À�Ñ*Æ�Ñ�ÏPÊ/È�Ê;Í�Ê�Ò�Ê�Ì·É�ä°Ø�à Ö
Ò�Ñ�ÏPÊ�Ç¡èeÉ^Í�Ê�Æ�È�Á`È�Ò�Á¡Õ ÏPÁ¡À�Ã�ÎhÆ�Á¡Ò�Á�Â8È Ñ»ÈjÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�ÌhÕ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�Á�Ó�Ñ·Ê*ËPÀ�Ñ^Ã�ÅuÊ�Ç¡Á¡ÌhØ�ä²ÏÔÑ^À�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%Ö
ÏPÁ¡À�ÑhÉ%ËPÊ%ÏPèIÊ�Ç¡ÃîÇ¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�ÃcÏPÃ�Ç�Í%Ñ�A'4¨ÑIÕ�Ê�É�Á¡Ò�Ú�À�Ê�Ç�Í�ÃcÏPÃ�Ç�Í%ѮĨÃ�È�Ç¡Ã�Ò�Ê�É�Ñ�ÏPÃ�Ç¡èhë�9;@�Þ ï�@�@"Á¡Ç�Í�Á�Ö
Ç�Í�É�Á¡À�À�ä²Úåá¬Á�Í�Ê�ÈSÓGÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�äyÈ�Ê;Í�Ê�Ò�ä²ÚêÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�ÏPÃ�Ç�èDÀ�Ñ®Ê × Ã�ĨÒ�Ê�É�Ñ;À�À�ä²ÚîÃ�Å�Ê�Ø�Ò�Ñ%â^Á¡À�Ã�Î Ú
dzÕ�Ê�á¬Ê;ã8è�Ð È Ê�á¬Õ�è�Ð3Í�Á¡Ò�À�ä²Újá¬Á�Í�Ê�ËPÊ�É8Ê�Ø�Ò�Ñ;Ø�Ê;Í�È�ÃgÃ�Å�Ê�Ø�Ò�Ñ%â·Á¡À�Ã�ÌSABi1Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�À�ä°Á/Å*Ñ;É�Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�Ã
vr,ϑ = vr,ϑ (r, ϑ)
ÓNÕ�Ê%Ï�à Æ�Á¡À�À�ä°ÁIÉhÚ�Ê�ËPÁjÇ�Í%Ñ%Í�Ã�Ç¡Í�Ã�Æ�Á¡Ç�È�Ê�ÌåÊ�Ø�Ò�Ñ;Ø�Ê;Í�È�ÃêÒ�Á�Å¡à�ÏPè�Í%Ñ%Í�Ê�ÉDÃ�Å�á¬Á¡Ò�Á¡À�Ã�ÌSÓ
Õ�Ò�Ã�É�Á�ËPÁ¡À�äºÀ�ѨÒ�Ã�Ç;A�> A ¿²ÊuÉ�Ç¡Á�ÚeÃ�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�À�ä²ÚgÇ�Ï�à Æ�Ñ%Î Ú»Ò�Ñ;Ç¡Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Á
vr = vr (r)
Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í%Ö
Ç�Í�É�Ê�É�Ñ�ÏPÊ"ÏPÃ�À�Á¡Ì�À�Ê�ÌcÅ�Ñ;É�Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�ÃSÓNÕ�Ò�Ã�Æ�Á¡á à Ù¡Ê%ÏÜÇeÊ�Ç¡è�Ð Ñ;Ø�Ç × Ã�ǡǻá¬Ê�À�Ê;Í�Ê�À�À�ÊhÉ�Ê;Å�Ò�Ñ%Ç�Í;Ñ�ÏÜÀ�Ñ
Õ�Á¡Ò�É�Ê�Ì^Ç�Í%Ñ�ËPÃ�ÃeÒ�Ê�Ç�Í%Ñh6 Ç�Í%Ñ�ËPÃ�ηà�Ç¡È Ê�Ò�Á¡À�Ã�Îj8NÃ8à Ø�ä°É�Ñ�Ï»À�Ñ/É;Í�Ê�Ò�Ê�ÌI6 Ç�Í;Ñ�ËPÃ�ηÅ*Ñ%á6Á�Ë�ÏPÁ¡À�Ã�ÎeÒ�Ê�Ç�Í%Ñ�8�A
4¨Ñ^Ê�Ç�À�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÃIÒ�Á�Å¡à*ÏPè*Í%Ñ%Í�Ê�É»Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�Îhá¬Ê*â»À�Ê·Ç�ËPÁ�ÏÔÑ%Í�èeÇ�ÏPÁ�Ë�à Ð3ã·Ã�Á`É�ä°É�Ê�ËPä�k
<
8mlNÊ;Ç�Í�Ê�É�ä°Á`ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃhÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡ÉnJ/LDMON�PRQZS!ToU·AEÓE` [ S!b \ YcS!QRMDdp;DAÔÕ�Ò�Á�ËPÇ�Í;Ñ;É%Ï�Î�Ð3Í"Ç¡Ê�Ø�Ê�Ì
Õ�Ò�Á¡Ê�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎóÕ�Ê*ËPÊ�Ø�Ã�ÎSÓ�Ù�ËPÁ
vr (t, r, ϑ) = a1 (t) r
Ó
vϑ ≈ 0
ÉÜÕ�Ò�Á�ËPÁ�ÏÔÑ�ÚòÍ�Ê�Æ�À�Ê�Ç�Í�ÃéÃ�Å�á¬Á¡Ò�Á�Ö
À�Ã�Ìq6 Ò�Ã�Ç;A�> ÓsrX8�A ¿ÜËÔÑ;À�À�Ê�áîÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á/Ñ;À�Ã�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�À�ä°Á/á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPäòËPÁ¡á¬Ê�À�Ç�Í�Ò�Ã�Ò�à�Ð3Í^Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�ä°Ì
<�9;ñ
+°÷ +°÷�tGõ���õ
�þ���ý���u2÷ v°÷
t2ÿ�ý���
�û��
��þ
Ã�Å�Ê%Í�Ò�Ê�Õ�À�ä°Ì{Ò�Ê�Ç�Í�Ó°Æ�Í�Êåá¬Ê�â·Á�ÍêÊ�Ø�Á¡Ç¡Õ�Á¡Æ�Ã�É�Ñ%Í�è�Ç�Î Õ�Ò�úà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Ã × Á�ÏPÊ�Ç�Í�À�Ê�Ç�Í�à Í�È Ñ;À�úÍ�Ê%ÏPè�È Ê
Ç¡Ê;Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�Ê�Ç�Í�è�Ð�ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Ì®Ã"Ò�Ñ;Ç�Í�Î�â·Á¡À�Ã�ÌIÈ ÏPÁ�Í�Ê�ÈhÒ�Ñ%Å�À�ä²Ú"Í�Ã�Õ�Ê�ÉeÃIĨÊ�Ò�á¬ä1A
>!8�4,ÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡ÉwW�QRY ? N [�\ TBN�MD]�^¬ASÀ�Ñ;Ø%ÏPÐmËÔÑ%Á�Í�Ç�ÎDÊ;Í�ÏPÃ�Æ�À�Ñ%ÎDÈ�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È ÑIÒ�Ê�Ç�Í%Ñx6 Ò�Ã�Ç;A2> Ó=y�8�ÓSÇ
À�Á¡À�à�ÏPÁ¡É�Ê�Ì®Ñ;È�Ç¡Ã�Ñ�ÏPè�À�Ê�ÌIÈ�Ê�á¬Õ�Ê�À�Á¡À�Í�Ê�ÌhÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Ã
vϑ (t, r, ϑ) = a2 (t) rϑ
A
z�{H|:}
~���� � ����� « �=����� ������« � {s�j� ���(�����2����~��:� « �=�o� ������«
ôPõ�ö�÷� �÷*ô�ý�ö�#�ÿ�ûK$ û� �û���õ�ûa�%þ�üD#�þ���û����mö���þ�ÿ�þ¡ö���õ3ÿ�þ¡ö���ý� �õ�ö���ý�÷
)/Ø�ÑgÍ�Ã�Õ�Ñ"Ò�Ê�Ç�Í%Ñ"Ê�Õ�Ã�Ç�Ñ;À�ä~É»ÏPÃ�Í�Á¡Ò�Ñ%Í�à Ò�ÁhÛÝ<
��ß¶ÓSÕ�Ò�Ã�Æ�Á¡á É;Í�Ê�Ò�Ê�ÌDÆ�Ñ;Ç�Í�ÊIÒ�Ñ%ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ;Á�Í�Ç�Î
È Ñ;ÈêÅ*Ñ;È ÏPгÆ�Ã�Í�Á�ÏÔè;À�Ñ%ÎòÇ�Í;Ñ�ËPÃ�Î�Ã�Å�À�Ñ*Æ�Ñ�ÏPè�À�ÊcÊ�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ù¡ÊcÃ�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�À�Ê�Ù¡ÊcÒ�Ê�Ç�Í%Ñ�Ó�Ç¡É;Î�Å*Ñ;À�À�Ñ�Î�Ç
Ò�Ñ%Å¡É�Á¡Ò�Í�ä°É�Ñ;À�Ã�Á�á�Ê�Ç¡À�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎsÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�ÌîÕ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�ÃSA¬æ²Æ�Ã�Í%Ñ;Á�Í�Ç�ÎSÓNÆ�Í�Êhç�Í;ÑIÇ�Í;Ñ�ËPÃ�ÎîÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î Ö
Á�Í�Ç�ÎgÃ�Å�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Î�á¬ÃgÇ¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡Ì»ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Î»È ÏPÁ�Í�Ê�ÈgÀ�ÑuÊ;Í�ËPÁ�ÏPè�À�ä²Ú»à Æ�Ñ;Ç�Í�È Ñ�Ú»Õ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�ÃSÓ Í�Ê`Á¡Ç�Í�è
Õ�Ò�Ê*Î�É%ÏPÁ¡À�Ã�Î�á¬ÃjÀ�Á¡Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ù¡Ê·Ò�Ê�Ç�Í;Ñ�Ó�Ê�ËPÀ�Ñ;È Ê8á¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�Å�á¬äéÒ�Ñ%Å�ÏPÃ�Æ�Ã�Ì"É8È�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È�Á¨Ò�Ñ%Å�À�ä²Ú
Í�Ã�Õ�Ê�ÉeÒ�Ê�Ç�Í%Ñ^Ê�Ç�Í;Ñ;Ð3Í�Ç�Îhá6Ñ�ÏPÊ�Ã�Å¡à Æ�Á¡À�À�ä°á¬ÃSA
� CKFIMPYaC�H2Y:�ÔQ�L'�PYa�^XnA1M�¾GX�LNHêV2ME?!C�QhOoA1X��ÔQ�Y2H2ZSXPC�¿�á¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�È Á/Ò�Ñ;Ç�Í;à�ã8Ã�Ì"á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�Ï
Ò�Ñ;Ç�Ç¡á6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ;Á�Í�Ç�ÎåÈ Ñ;ÈîËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á¬Ã�Ò�à�Á¡á6Ñ%ÎêÉ;Î�Å�È�Ê;à Õ�Ò�à Ù�Ñ%ÎêÇ¡Õ ÏPÊ;Â8À�Ñ%ÎêÇ¡Ò�Á�ËÔÑÜÛÝ<�Ó²<�>�ß¶A=G1Ò�ÃÜç�Í�Ê�á
Í�Á¡À�Å¡Ê�ÒIËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ì εik
Ç¡Ò�Á�ËPä{Õ�Ò�Á�ËPÇ�Í%Ñ;É%Ï�Î�Á�Í�Ç�ÎhÉ^É�à ËPÁ¨Ç�à á¬á¬ä à Õ�Ò�à Ù¡Ã Ú
εe
ik
ÃIÒ�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²Ú
εg
ikËPÁ¡Ä1Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÌHk εik = εe
ik + εg
ik
Ó�Õ�Ò�Ã�Æ�Á¡áîɨǡÊ�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�Ãgǰç¡á¬Õ�Ã�Ò�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�á¬Ã^ËÔÑ;À�À�ä°á¬ÃeÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Ã
Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²Ú®ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÌhÏPÃ�À�Á¡Ì�À�ÊjÅ*Ñ;É�Ã�Ç�Î�Í"Ê;ÍjÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Ì ε̇g
ik = Aik + Biklmσlm
Ó�Ñ»à Õ�Ò�à Ù¡Ã�Á
ËPÁ¡Ä1Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃjÊ�Õ�Ã�Ç¡ä°É�Ñ;Ð3Í�Ç�ÎgÅ*Ñ;È Ê�À�Ê�á��Sà È�ѨË�Ï�λá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑ εe
ik = Kiklmσlm
Ó�Ù�ËPÁ
Kiklm
Þ·á6Ñ%Í%Ö
Ò�Ã × Ñ`Õ�Ê�ËÔÑ%Í�ÏPÃ�É�Ê�Ç�Í�ÃSÓ Biklm
Þ^á6Ñ%Í�Ò�Ã × Ñ`Ê�Ø�Ò�Ñ%Í�À�ä²Úq6 Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²Ú�8�É;Î�Å�È Ê�Ç�Í�Á¡ÌSÓ Aik
Þ^Ç¡Ê�Ø�Ç�Í�É�Á¡À�À�ä°Á
Ç¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Ã]Ò�Ê�Ç�Í;Ñgá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑgÕ�Ò�îÊ;Í�Ç�à�Í�Ç�Í�É�Ã�ÃsÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á�À�Ã�ÌSÓ
σik
ÞjÍ�Á¡À�Å�Ê�ÒsÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌSAHG1Ò�Ã
ç�Í�à ÚIÕ�Ò�Á�ËPÕ�Ê%ÏPÊ*â·Á¡À�Ã�Î ÚIÒ�Á¡Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ê�Á`Ç¡Ê�Ê;Í�À�Ê;Â8Á¡À�Ã�Á1Ë�Ï�ÎIÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã8Á�ÌIÍ�È Ñ;À�ÃîÛÝ<¡ß�k
ε̇ik = Aik + Biklmσlm + Kiklm
d
dt
σlm,
6�<�8
Ù�ËPÁ
d/dt
Þ»Î�à á6Ñ;À�À�Ê�É�Ç¡È�Ã�ÌhÊ�Õ�Á¡Ò�Ñ%Í�Ê�Ò"ËPÃ�ĨĨÁ¡Ò�Á¡À × Ã�Ò�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎSÓÔÇ1Í�Ê�Æ�À�Ê�Ç�Í�è�ÐwËPÊeÃ�Ç�Í�Ê�Æ�À�Ã�È Ê�É�ä²Ú
Ç�ÏÔÑ%Ù�Ñ;Á¡á¬ä²Ú
Aik
Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Á�Íêá¬Ê*ËPÁ�ÏPÃ�;®Ñ%È Ç¡É�Á�Ï�ÏÔÑcÉ;Î�Å�È�Ê;à Õ�Ò�à Ù¡Ê�ÌóÇ¡Ò�Á�ËPä1A5G1Ê�Ë�ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É�Ã�Á¡á
À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌÜÉ®Ò�Ñ;Ç�Í;à�ã8Á¡ÌåÇ¡Ò�Á�ËPÁjÉ�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3Í]à Õ�Ò�à Ù¡Ã�Á»ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃSÓNÈ Ê;Í�Ê�Ò�ä°ÁgÇ¡Ê]É�Ò�Á¡á¬Á¡À�Á¡á
<*ï;@
+6ý�#�ÿ���,�û���õ��³õ-$ û�.Gþ�ÿ�üPý���õ�õ/�0$!�21�üÔû ÿ��
�Sú°ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/��þ�����õ
��1�1�üPý�ú
Å*Ñ%Í;à�Ú Ñ;Ð3ÍeÅ*Ñ8Ç¡Æ�Á�ÍeÉ;Î�Å�È�à ÚjÇ¡É�Ê�Ì�Ç�Í�É^á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑ�AjG1Ò�ÃjÊ;Í�Ç�à�Í�Ç�Í�É�Ã�ÃIÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�Ã�ÌjÒ�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä°Á/ËPÁ�Ö
ĨÊ�Ò�á6Ñ × Ã�Ã`Ê�Ç�Í%Ñ;Ð3Í�Ç�Î8À�Á¡À�à�ÏPÁ¡É�ä°á¬Ã8Å*Ñ3Ç�Æ�Á�Í1Ç¡Ê�Ø�Ç�Í�É�Á¡À�À�ämÚ`Ç¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡Ì8Ò�Ê�Ç�Í%Ñ Aik
A�)/Ø�ä°Æ�À�ʳÕ�Ê%ÏÔÑ�Ö
Ù�Ñ;Ð3Í�Ó�Æ�Í�Ê`á6Ñ%Í�Ò�Ã × Ñ Aik
Ã�á¬Á¡Á�ÍuËPÃ�Ñ;Ù¡Ê�À�Ñ�ÏPè�À�à ÐéÇ�Í�Ò�à È�Í�à�Ò�à�Ó�Õ�Ò�Ã�Æ�Á¡á
Aii = ai (t)
Þ`Å*Ñ�ËÔÑ;É�Ñ;Á¡á¬ä°Á
Ã�Å1ËPÊ�Õ�Ê%ÏPÀ�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ämÚhÕ�Ò�Á�ËPÕ�Ê%ÏPÊ*â·Á¡À�Ã�ÌhÄ1à À�È × Ã�ÃIÉ�Ò�Á¡á¬Á¡À�ÃîÛÝ<�>�ß¶A
4/Ò�Ñ;É�À�Á¡À�Ã�Î]Ã�á¬Õ�à*ÏPè�Ç¡Ê�ÉjÉgǡà Ï�à®Ø�Ê%ÏPè;Â8à ÚIÚ�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�À�ämÚsÉ�Ò�Á¡á¬Á¡À]Ò�Ê�Ç�Í%Ñq6
t∗ ∼ 1 − 2
Ç�à�Í�Af8
Ò�Ñ;ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ;Ð3Í�Ç�ÎhÉeÈ�É�Ñ%Å�Ã�Ç�Í%Ñ%Í�Ã�Æ�Á�Ç¡È�Ê�Ì®Õ�Ê�Ç�Í%Ñ;À�Ê�É�È�Á»ÛÝ<�ÓE<*ð%ß�k
div (σ̂) + F = 0,
6¶>!8
Ù�ËPÁ
F
Þ8Ò�Ñ;É�À�Ê�ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É;à Ð3ã·Ñ%ÎgÉ�À�Á�Â8À�à ڻǡà ÏKABG1Ò�ûç�Í�Ê�ácÇ¡Æ�Ã�Í;Ñ;Á�Í�Ç�ÎSÓ Æ�Í�ʨà Õ�Ò�à Ù¡Ã�Á�ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ã
ÃIÇ¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Ã"ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ìhá6Ñ�ÏPä1A
4¨Ñ"Ê�Ç¡À�Ê�É�Á^á¬Ê�ËPÁ�ÏPÃ�6�<�Ó2>!8³Ò�Ñ;ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ�ÏPÃ�Ç¡èhÅ*Ñ�ËÔÑ*Æ�ÃDÒ�Ê�Ç�Í;Ñ"Ò�Ñ%Å�ÏPÃ�Æ�À�ä²ÚcØ�Ã�Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à Ú
Í�È�Ñ;À�Á¡Ì®ÃhÊ�Ò�Ù�Ñ;À�Ê�É�ÓPÉeÍ�Ê�áòÆ�Ã�Ç�ÏPÁ8Ò�Ñ;Ç�Í�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ä²ÚêÛÝ<*ð%ß¶AEG1Ò�ÃhÒ�Á�Â8Á¡À�Ã�Ã]È�Ê�À�È�Ò�Á�Í�À�ä²ÚhÅ*Ñ�ËÔÑ�Æ"Ë�Ï�Î
Å*Ñ;á¬ä°È�Ñ;À�Ã�Î�6�<�Ó�>!8�Å*Ñ�ËÔÑ;Ð3Í�Ç�Î`à�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Î`É�À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Î Ú¨À�Ñ3Õ�Ê�É;Á¡Ò�Ú�À�Ê�Ç�Í�Ã
Γ
Ò�Ñ;Ç�Í;à�ã8Á¡Ù�Ê/Ê;Ø�*KÁ¡È�Í;ÑOk
σn
∣
∣
Γ
= σ0.
6 :�8
¿cÍ%Ñ;È�Ê�Ì·Õ�Ê�Ç�Í%Ñ;À�Ê�É�È�Á°Ò�Á�·Ñ�ÏPÃ�Ç¡è1Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�÷Ê�ËPÀ�Ê�á¬Á¡Ò�À�Ê�Ù¡Ê/Ò�Ê�Ç�Í;Ñ/È�Ê�Ò�À�Á¡ÌSÓ;Ç�Í�Á¡Ø%ÏPÁ¡Ì^Ò�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�Ì^Ã
Í�Ê�À�È�à ÚIÈ ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²ÚIÇ�ÏPÊ�Á¡ÉIÛÝ<�ÓE<�<�ÓE<*ð%ß¶A 4{ÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡ÉeÒ�Ñ;Ç�Í�Á¡À�Ã�ÌIÍ�Ê%Ï�ã8Ã�À�Ñ
h
á¬À�Ê�Ù¡Ê^á¬Á¡À�è;Â8Á/Ú�Ñ;Ò�Ñ;È Ö
Í�Á¡Ò�À�Ê�١ʳÒ�Ñ%Å�á¬Á¡Ò�Ñ
L
É�Õ�Ò�Ê�ËPÊ%ÏPè�À�Ê�áIÀ�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%ÏPÁ¡À�Ã�Ã
h << L
Ó�Æ�Í�Ê�Õ�Ê;Å�É�Ê%Ï�Î�Á�Í3Ò�Ñ;ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ%Í�è�Ë�Ï�Î
À�à ÚsÅ*Ñ�ËÔÑ*Æ�Ã]ËPÉ;à á¬Á¡Ò�À�Ê�Ù¡ÊhÒ�Ê�Ç�Í%Ñ�AS5¨Ï�ÎsÒ�Î ËÔÑ"Ç�Ï�à Æ�Ñ;Á¡ÉhÇ^Õ�Ò�Ê�Ç�Í�Ê�ÌDÙ¡Á¡Ê�á¬Á�Í�Ò�Ã�Á�ÌîÊ;Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�ÃcÇ¡Ê�Ù�ÏÔÑ�Ö
Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�ä°Ì®Ò�Ê�Ç�ÍgÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌIÍ�È�Ñ;À�îÃhÒ�Ñ;Ç¡Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�À�ä²Ú]ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�ÉgÕ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ì®Ã�Ç�Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ�ÏPÇ�Î
É·Õ�Ò�Ã�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Ã"ÈeÏPÃ�Ç�Í�è;Î�áåÀ�Ñ`Ê�Ç¡À�Ê�É�Á/á¬Ê�ËPÁ�ÏPÃ�6�<
8½Þs6 :�8�ÛÝ<�>�ß¶A�¿êÚ�Ê*ËPÁ/À�Ê�Ò�á6Ñ�ÏPè�À�Ê�Ù¡Ê8Ò�Ê�Ç�Í%Ñ`ÏPÃ�Ç�Í%Ñ
Õ�Ò�ÃéÊ;Í�Ç�à�Í�Ç¡Í�É�Ã�Ã{É�À�Á�Â8À�à ںĨÃ�Å�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã Ú É�Ê;Å�ËPÁ¡Ì�Ç�Í�É�Ã�Ì Ã�á¬Á¡Á�Í�á¬Á¡Ç�Í�ÊåÀ�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�À�ämÌ Ò�Ê�Ç�Í
6 Ç¡Ò�Á�ËPÀ�Ã�ÁhÕ�Ê]Í�Ê%Ï�ã8Ã�À�Á"ÏPÃ�Ç�Í%ÑDÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�Ã�Î
σik = 0
8�Ó¬Æ�Í�ÊDÉ�Ê;Å�á¬Ê�â»À�ÊhÏPÃ�Â8ècÉsÇ�Ï�à Æ�Ñ;ÁIÀ�Á¡À�Ñ�Ö
Ù¡Ò�à�â^Á¡À�À�Ê�ÌDÙ¡Ò�Ñ;À�Ã × ä
σ0 = 0
A:G1Ò�ÃDç�Í�Ê�á�6¶>!8³É�ä°Õ�Ê%ÏPÀ�Î�Á�Í�Ç�ÎDÍ�Ê*â^ËPÁ¡Ç�Í�É�Á¡À�À�Ê�ÓNÑ�6�<
8³Õ�Ê;Å�É�Ê%Ï�Î�Á�Í
É�ä°Æ�Ã�Ç�ÏPÃ�Í�èjÕ�Ñ;Ò�Ñ;á¬Á�Í�Ò�ä
ε̇ik
ÓÔÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Ð3ã8Ã�Á8È�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È�àhÒ�Ê�Ç�Í;Ñ»Õ�Ò�ÃIÅ*Ñ�ËÔÑ;À�À�ä²Ú®Ã�Ç�Í�Ê�Æ�À�Ã�È Ñ�Ú
Aik
AHG1Ò�Ã]À�Ñ�ÏPÃ�Æ�Ã�ÃhËÔÑ;À�À�ä²Ú]È�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È�ÃDÒ�Ê�Ç�Í%Ñq6�<
83Õ�Ê;Å�É�Ê%Ï�Î�Á�ÍjÒ�Á�Â8Ã�Í�èIÊ�Ø�Ò�Ñ%Í�À�à Ð~Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�à®Ã
à ËPÁ¡À�Í�Ã�Ä¨Ã × Ã�Ò�Ê�É�Ñ%Í�ègÄ1à À�È × Ã�à Aik (t, r)
ÛÝ<�ë;ß¶AP¿ºÇ�Ï�à Æ�Ñ;ÁuÃ�Ç¡È�à�Ç¡Ç�Í�É�Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊgÊ�Ù�Ò�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡À�Ã�ήÒ�Ê�Ç�Í%Ñ
ÏPÃ�Ç�Í;Ñ�ÓÔÀ�Ñ;Õ�Ò�Ã�á¬Á¡ÒSÓÔÕ�Êeà Æ�Ñ;Ç�Í�È�àhÕ�Á¡Ò�Ã�á¬Á�Í�Ò�Ñ]ÛÝ<�ë;ßKà ÏPîÕ�Ò�ÃhÒ�Ñ%Å�ÏPÃ�Æ�Ã�Ã]Ç�È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡Ì]Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä�ÚIËPÁ�Ö
ĨÊ�Ò�á6Ñ × Ã�ÌîÇ¡á¬Á�â»À�ä²ÚcÈ ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²ÚÜÇ�ÏPÊ�Á¡ÉÜÛÝ<�<¡ß�É�Ê;Å�á¬Ê*â»À�ÊIÉ�Ê;Å�À�Ã�È�À�Ê�É�Á¡À�Ã�Á»Å�Ê�ÀîÇeÀ�Á¡À�à*ÏPÁ¡É�ä°á¬Ã
À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Î�á¬ÃSÓ�È�Ê;Í�Ê�Ò�ä°ÁuØ;à*Ë�à�Í»Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Í�è»Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä°Á1ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃIÉ^Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�ÃhÇ�6�<
8�A
C�[@?�?;LNX�¾GMPOPQ�Y2H2X8V2ME?!C�MPOj�¡�»¾GXX¢IMPVaA1QD£2Ha¤I¾GO��:A1X�V2Ya�¡�IZSMPYaC�H2Y:�H�<A1MPOKC�lNÑ;ǡǡá¬Ê;Í%Ö
Ò�Ã�áîÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã8Ã�Ìgá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏKÓ�Å*Ñ;À�Ã�á6Ñ;Ð3ã8Ã�Ì»Ç¡Õ ÏPÊ;Â8À�ä°áÜÊ�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�áDÀ�Á¡È Ê%Í�Ê�Ò�à Ð Õ ÏPÊ�Ç¡È�à Ð Ê�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�è�A
¿ Ç�Ï�à Æ�Ñ%Á8À�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊgÒ�Ê�Ç�Í%ѻɻÕ�Ò�Á�ËPÕ�Ê%ÏPÊ*â^Á¡À�Ã�îá6Ñ�ÏPä²ÚhÇ¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡ÌhËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ì®ÉeÉ�ä²Ö
Ø�Ò�Ñ;À�À�Ê�ÌjË�Ï�ÎIÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�À�Ê�Ç�Í�îÕ�Ê%Ï�Î�Ò�À�Ê�ÌIÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡á¬Á`È�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í»Ã�ÅV6�<
8½Þs6 :�8�Ç�ÏPÁ�Ë�à�Á�Í
∂vr
∂r
= ar,
1
r
∂vθ
∂θ
+
vr
r
= aθ,
1
2
(
1
r
∂vr
∂θ
+
∂vθ
∂r
−
vθ
r
)
= 0.
6 ëB8
91À�Í�Á¡Ù¡Ò�Ã�Ò�à�Îg6 ëB8²Õ�Ò�Ã"à�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Ã
vr,θ
∣
∣
r=0
= 0
Ó�Õ�Ê%Ï�à Æ�Ã�áêË�Ï�ÎIÇ¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�ÃhÒ�Ê�Ç�Í;Ñ
vr =
r
∫
0
ardr, vθ = r
θ
∫
0
aθdθ −
θ
∫
0
r
∫
0
ardrdθ.
6¶9!8
G1Ê*ËPÇ�Í%Ñ;É%Ï�Î�Îo6¶9!8¬ÉuÕ�Ê�Ç�ÏPÁ�ËPÀ�Á¡Á³à Ò�Ñ;É�À�Á¡À�Ã�Á¡6 ëB8�Ó�Õ�Ê%Ï�à Æ�Ã�áîà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Á³Ç¡Ê�É�á¬Á¡Ç�Í�À�Ê�Ç�Í�Ã"Ç¡Ã�Ç�Í�Á�á¬ä�k
<*ï�<
+°÷ +°÷�tGõ���õ
�þ���ý���u2÷ v°÷
t2ÿ�ý���
�û��
��þ
r
∫
0
∂ar
∂θ
dr =
θ
∫
0
rar − r2 ∂aθ
∂r
−
r
∫
0
ardr
dθ,
6 ï�8
É�ämÕ�Ê%ÏPÀ�Á¡À�Ã�ÁIÈ�Ê;Í�Ê�Ò�Ê�Ù¡ÊsÊ�Ø�Á¡Ç¡Õ�Á¡Æ�Ã�É�Ñ;Á�ÍcÇ¡Õ ÏPÊ;Â8À�Ê�Ç�Í�ècÇ�Ò�Á�ËPä1A�9/Åx6¶9!8uÇ�ÏPÁ�Ë�à�Á�Í%Ó6Æ�Í�ÊsÉ�Ê;Å�á¬Ê�â»À�ä
ËPÉ�Ñ·Ò�Ñ%Å�ÏPÃ�Æ�À�ä²Ú"Í�Ã�Õ�ÑeÊ�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ù¡ÊeÀ�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊeÒ�Ê�Ç�Í;ÑOk
<
8
ar = aθ = k (t)
Ó;Ê;Í�È�à�ËÔÑ
vr = k (t) r
Ó
vθ = 0
Ó;Æ�Í�Ê/Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Á�ÍuÈ�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È�Á°Ò�Ê�Ç�Í%Ñ3ÏPà Ö
Ç�Í�è;Á¡É�J/LDMON�PRQRS!T¡U·A%á` [ S!b \ YcS!QRMDd¥;DA�¿îç�Í�Ê;áDÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á°Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä°Á²ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ã`ÏPÃ�Ç�Í%Ñ1Õ�Ò�Á�ËPÇ�Í%Ñ;É%Ö
Ï�Î�Ð3ÍeÇ¡Ê�Ø�Ê�ÌIÕ�Ò�Á¡Ê�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎIÕ�Ê�ËPÊ�Ø�Ã�Î�6 Ò�Ã�Ç;AÔ:�ÓH¦O8�AjG1Ò�ÃIç�Í�Ê�á�à�Ç�ÏPÊ�É�Ã�ÁV6 ï�8²à�ËPÊ�É%ÏPÁ�Í�É�Ê�Ò�Î�Á�Í�Ç�Î
Í�Ê*â^ËPÁ¡Ç�Í�É�Á¡À�À�Ê�A
>!8
ar 6= aθ
ÓÔÊ;Í�È�à*ËÔÑ
vr = ar (t) r
Ó
vθ = (aθ (t) − ar (t)) rθ
AsG1Ò�îç�Í�Ê�áºÉeÚ�Ê*ËPÁ8Ò�Ê�Ç�Í%Ñgá¬Á¡À�Î Ö
Ð3Í�Ç�ήà Ù�ÏPäwá¬Á�â^Ë�àhÕ�Ò�Ê;Ã�Å�É�Ê%ÏPè�À�ä°á¬ÃhÏ�à Æ�Ñ;á¬ÃSÓ�Æ�Í�Êjá¬Ê*â»À�Ê»Ê;Í�Ç�ÏPÁ�ËPÃ�Í�è"Õ�ÊgÃ�Å�á¬Á¡À�Á¡À�Ã�Î�áóà Ù�ÏPÊ�É
á¬Á�â^Ë�àgÊ;Í*ËPÁ�ÏPè�À�ä°á¬ÃhÕ�Ñ;Ò�Ñ;á¬ÃIÕ�Ò�Ê�É;Ê*Ë�Î�ã8à Ú"ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�Éo6 Ò�Ã�Ç%AÔ:�ÓHys8�A
z�§ ar = aθ = ¨c©�ª
«�¬ � § ar < aθôPõ�ö�÷�*÷�ù ú�û¸üPý¬ÿ�þ¡ö���ý��
�õ
��þ�þ�®�ÿ�ý2�3��þ���þ'1�
¡ý�ö�����ý� �õ�ö���ýmüÔû�,�$�1/#;ý�ÿ�þ��/�( ;ý����
�Sú",°õ
�þ��� �õ�ö���ý°¯ ±���±²±´³�÷
¿wÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á»À�Á¡Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê*ËPÀ�ä²ÚcÃ�Ç�Í�Ê�Æ�À�Ã�È�Ê�É®Ò�Ê�Ç�Í%Ñ
ar,ϑ (t, r, ϑ)
À�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�ä°ÌîÒ�Ê�Ç�Í®É�Ê;Å¡á6Ê�Ö
â·Á¡ÀIÍ�Ê%ÏPè�È�ÊjÕ�Ò�îÉ�ä°Õ�Ê%ÏPÀ�Á¡À�Ã�îà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Îg6 ï�8�AElNÁ�Å¡à�ÏPè�Í%Ñ%Í�ä~Ñ;À�Ñ�ÏPÃ�Å*Ñ»Õ�Ê;È�Ñ%Å�ä°É�Ñ;Ð3Í�ÓÔÆ�Í�ÊjÉ;Í�Ê�Ò�Ê�Ì
Í�Ã�ÕgÒ�Ê�Ç�Í;Ñ`É�Ê;Å�á¬Ê*â·Á¡ÀgûÕ�Ò�ÃjÕ�Ê�Ç�Í�Ê*Î�À�Ç�Í�É�Á1Ç�È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡Ì»ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�ÌjÈ ÏPÁ�Í�Ê�Èx6 Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�ä°ÌgÒ�Ê�Ç�ÍB86Å*Ñ
Ç¡Æ�Á�ÍjÑ;À�Ã�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�Ã�Ãhá¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚhÇ¡É�Ê�Ì�Ç�Í�É»È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²ÚhÇ�Í�Á¡À�Ê�ÈSÓPÈ Ê;Í�Ê�Ò�Ñ�ÎIÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ήÊ�Ò�à Ö
Á¡À�Í%Ñ × Ã�Á¡Ìhá¬Ã�È�Ò�Ê;Í�Ò�à Ø�Ê�Æ�Á¡ÈhÈ ÏPÁ�Í�Ê�ÈhÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌjÍ�È Ñ;À�ÃIÕ�Ê^Ê;Í�À�Ê;Â8Á¡À�Ã�ÐíÈIÊ�Ç¡Ã"Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�ÃIÏPÃ�Ç�Í%Ñ
6 ÈDâ»Ã ÏPÈ�Á�8^Û ë�ÓG9�ß¶AaG1Ò�Ãcà ÚcÕ�Ò�Ê�ËPÊ%ÏPè�À�Ê�ÌîÊ�Ò�Ã�Á¡À�Í%Ñ × Ã�ÃÜÉ�À�à�Í�Ò�Ã�È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�Ê�Áq6 Í;à Ò�Ù¡Ê�Ò�À�Ê�Á�81ËÔÑ;É%ÏPÁ�Ö
À�Ã�Á"Ø;à�ËPÁ�ÍcÉ�ämÅ�ä°É�Ñ%Í�èDà�Ë�ÏPÃ�À�Á¡À�Ã�ÁhÈ ÏPÁ�Í�Ê�È�É%ËPÊ%ÏPèsÇ¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Ð3ã8Á�Ù¡ÊcÀ�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%ÏPÁ¡À�Ã�ε6 Ç�Ï�à Æ�Ñ;Ì
ar > aϑ
8³Ç·Ê�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�É�Ñ;À�Ã�Á¡áºÉ�ämÍ�Î�À�à�Í�Ê�Ù¡Ê"ÏPÃ�Ç�Í%Ñ�Ó(Ç¡Ê�Ç�Í�Ê*Î�ã8Á¡Ù¡ÊhÃ�Å·à*Ë�ÏPÃ�À�Á¡À�À�ä²ÚDÈ ÏPÁ�Í�Ê�ȶ6 ÏPÃ�Ç�Í�è;Î
Å�ÏÔÑ%È Ê�ÉB8�AÔ¿ Õ�Ò�Ê;Í�Ã�É�À�Ê�áóÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á�6
ar < aϑ
8°Ø;à*Ë�à�ÍjÀ�Ñ;Ø%ÏPвËÔÑ%Í�è�Ç�ÎhËPÁ¡Ä1Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃSÓ�Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Ð�Ö
ã8Ã�Á3Ò�Ã�Ç;A�:�Ó�y�AB·³È�Ç¡Ã�Ñ�ÏPè�À�ä°Á�ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃgÕ�Ò�ûç�Í�Ê�áîØ;à*Ë�à�Í8É�Ã�Å¡à�Ñ�ÏPè�À�ÊuÅ*Ñ;á¬Á�Í�À�ä°á¬ÃjÕ�Ò�ûØ�Ê%ÏPè%Ö
Â8à ڮÅ�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Î Ú
r, ϑ
Ó�È�Ê;Í�Ê�Ò�ä°Á^Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Ð3ÍIÊ�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�Î�áºÉ�Ø%ÏPÃ�Å�ÃsÊ�Ç¡À�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎIÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�ÌsÕ ÏÔÑ�Ö
Ç�Í�Ã�À�È�ÃSAP¿²Ê;Å�á¬Ê�â»À�Ê�Ó�Ã�á¬Á¡À�À�ÊeÕ�Ê^ç�Í�Ê�ÌIÕ�Ò�Ã�Æ�Ã�À�Á¨Õ�Ò�ÃIÈ Ñ*Æ�Á¡Ç�Í�É�Á¡À�À�Ê�áòÑ;À�Ñ�ÏPÃ�Å�Á¨Ò�Ê�Ç�Í%Ñ^Õ�Ê*ËPÊ�Ø�À�ämÁ
ËPÁ¡Ä1Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃîÕ�Ò�Ã�À�Ã�á6Ñ;Ð3Í®Å*ÑIÒ�Ñ;Ç�Â8Ã�Ò�Á�À�Ã�ÁeÏPÃ�Â8èhÊ�Ç¡À�Ê�É�Ñ;À�Ã�ÎsÏPÃ�Ç�Í%ÑIÅ*ÑIÇ¡Æ�Á�Í]À�Á¡Ê�ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ù¡Ê
Ò�Ê�Ç�Í;ÑIÛÝ<
��߶A
¿ Ç�Ï�à Æ�Ñ;ÁhÀ�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊcÒ�Ê�Ç�Í%ÑsËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃSÓ6Ê�Ø;à�Ç�ÏPÊ�É%ÏPÁ¡À�À�ä°ÁhÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�Ã�Î�á¬ÃSÓ6À�Ñ�Ö
È ÏÔÑ�ËPämÉ�Ñ;Ð3Í�Ç�ήÀ�Ñ8ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃSÓÔÇ¡É;Î�Å*Ñ;À�À�ämÁ`ÇuÃ�Ç�Í�Ê�Æ�À�Ã�È Ê�É;ä°á¬Ã]Ç�ÏÔÑ;Ù�Ñ;Á¡á¬ä°á¬Ã ar,ϑ
AEG1Ò�ÃIÅ*Ñ�ËÔÑ�Ö
À�Ã�ÃsÙ¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�À�ä²ÚDà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�̶6 :�8³ÉIÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Î Ú]Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�Ñx6¶> Ó(:�8³Ê;Í�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ÎcÃDÒ�Á�Â8Á¡À�Ã�Á»Ê�Ø%ã8Á¡Ì
Å*Ñ*ËÔÑ�Æ�ø6�<
8½Þs6 :�83á¬Ê*â^Á�Í"Ø�ämÍ�è"Õ�Ê%Ï�à Æ�Á¡À�ÊIÃ�Í�Á¡Ò�Ñ%Í�Ã�É�À�ä�á{Õ�à�Í�Á¡á°AK¿²À�Ñ�Æ�Ñ�ÏPÁ·Ã�Å@6¶> Ó(:�8³Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î Ö
Á�Í�Ç�ÎsÕ�Ê%ÏPÁ8À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌSÓÔÅ*Ñ%Í�Á¡á Ã�ÅI6�<
83Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ÎsÀ�Ê�É�Ê�Á8Õ�Ê%ÏPÊ*â^Á¡À�Ã�Á`Í�Ê�Æ�Á¡ÈsÕ�Ê�É�Á¡Ò�Ú�À�Ê�Ç�Í�Ã
Í�Á�ÏÔÑ
Γ (t + δt)
À�Ñjá6Ñ�ÏPÊ�áºÂ·Ñ;Ù¡Á^Õ�Ê"É�Ò�Á¡á¬Á¡À�Ã
δt << t∗
Ã]Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�Ñ�6¶> Ó(:�8³Ò�Á�·Ñ;Á�Í�Ç�ÎcÇ¡À�Ê�É�Ñ»Ë�Ï�Î
<*ï�>
+6ý�#�ÿ���,�û���õ��³õ-$ û�.Gþ�ÿ�üPý���õ�õ/�0$!�21�üÔû ÿ��
�Sú°ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/��þ�����õ
��1�1�üPý�ú
á¬Ê�á¬Á¡À�Í;ÑeÉ�Ò�Á¡á¬Á¡À�Ã
t + δt
AP¿éÇ�Ï�à Æ�Ñ;ÁuÅ*Ñ�ËÔÑ;À�Ã�ÎhÙ¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�À�ä�Úhà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Ì®ÉeÉ�à ËPÁV6�<
8½Þs6 ï�8²Õ�Ò�Á�ËPÇ�Í;Ñ;É%Ö
Ï�Î�Á�ÍgÇ¡Ê�Ø�Ê�ÌhÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡áGà"ËPÃ�ĨĨÁ¡Ò�Á¡À × Ã�Ñ�ÏPè�À�ä²Úhà Ò�Ñ;É�À�Á¡À�Ã�̮ɻÆ�Ñ;Ç�Í�À�ä²Ú®Õ�Ò�Ê�Ã�Å�É�Ê�ËPÀ�ä²Ú�AsG1Ò�ÃhÊ*ËPÀ�Ê%Ö
Ò�Ê*ËPÀ�ä²ÚêÙ¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�À�ä²Úêà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�Î Ú¹6
σ0 = ? S!TD]�N28`Ç¡Ã�Ç�Í�Á¡á6Ѷ6�<
8½Þs6 :�8uÃ�á¬Á¡Á�ÍDÍ�Ê�Æ�À�ä°Á"Ò�Á�Â8Á¡À�Ã�ÎêË�Ï�Î
Õ�Ò�Î�á¬Ê;à Ù¡Ê%ÏPè�À�Ê�ÌIÃIÈ�Ò�à Ù�ÏPÊ�ÌhÊ�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�Á¡ÌcÛÝ<�>�ß¶A
G1Ò�ÃhÀ�Ê�Ò�á6Ñ�ÏPè�À�Ê�áòÒ�Ê�Ç�Í�Á¨ÏPÃ�Ç�Í%Ñ»È Ê;À�Í;à ÒhÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�ÌhÕ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�Ã]Ç¡É�Ê�Ø�Ê�ËPÁ¡ÀhÊ;ÍgÀ�Ñ;Ù�Ò�à�Å�È�ÃSAS¿
Í�Ê®â^Á»É�Ò�Á¡áGÎcÏPÊ�È Ñ�ÏPè�À�ä°Ágá¬Á�Ú Ñ;À�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�Á"À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÎÜá¬Ê�Ù�à�ÍsÕ�Ò�Ê*Î�É%Ï�Î�Í�è�Ç�ÎÜÉ�Ê®É�À�à�Í�Ò�Á¡À�À�Ã�Ú
Ê�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�Î Ú�ÓÔÊ�Ù¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡À�À�ä²Ú®È�Ò�à Õ�À�ä°á¬Ã]Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8Ã�á¬Ãhç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í;Ñ;á¬ÃSÓÔÅ*ÑeÇ¡Æ�Á�ÍjÀ�Á¡Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�Ê%Ö
Ç�Í�Ã�6 à ÏPÃ"Ä/Ï�à È�Í;à�Ñ × Ã�Ìj8mÇ¡È Ê�Ò�Ê;Ç�Í�Á¡ÌhÒ�Ê�Ç�Í%Ñ·Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8à Újç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�É^Ã"Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌgÍ�È Ñ;À�ÃgÏPÃ�Ç�Í;Ñ�A
G1Ò�Ãêç�Í�Ê�áíÉ®À�Á¡È Ê;Í�Ê�Ò�Ê�ÌêÊ�È�Ò�Á¡Ç�Í�À�Ê�Ç�Í�ÃåÕ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8à ÚÜç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�ÉDÉ�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3ã8Ã�Á"À�Ñ%Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Î
Ø;à*Ë�à�Í·Ò�Á¡Ù�à*ÏPÃ�Ò�Ê�É�Ñ%Í�è^Ç¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�è·Ò�Ê�Ç�Í%Ñ8Ø%ÏPÃ�Å�ÏPÁ�â^Ñ%ã8à ÚgÇ�ÏPÊ�Á¡É·È ÏPÁ�Í�Ê�ÈSÓ�ÉuÍ�Ê8â·Á³É�Ò�Á¡áGÎgÉ%ËÔÑ�ÏPÃgÊ%Í
Õ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ù¡ÊDç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í%ÑDá¬Ê*â^Á�ÍsÒ�Á�Ñ�ÏPÃ�Å�Ê�É�ä°É�Ñ%Í�è�Ç�Î�À�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�À�ämÌ�Ò�Ê�Ç�ÍDÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌêÍ�È Ñ;À�ÃSA
æ²Ã�Ç�Í�Á�á6ÑuÈ�Ò�à Õ�À�ä²Ú»Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8à Ú^ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�É`Ò�Ñ%Å�É�Ã�É�Ñ;Á�Í�Ç�λÉ1Å*Ñ*Æ�Ñ%Í�È Á°ÏPÃ�Ç�Í%ÑuÒ�Ñ;À�è;Â8Á�Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�Ì
Í�È�Ñ;À�ÃsîË�Ï�Î]á¬À�Ê�Ù¡Ã ÚsÉ�à ËPÊ�É»ÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡É"Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�ÍhÃsÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ã�Ò�à�Á�ÍhÒ�Ê�Ç�ÍIÕ�Ê�Ç�ÏPÁ�ËPÀ�Á¡ÌòÛÝ<*@�ÓE<
��߶A
lGÑ;ǡǡá¬Ê;Í�Ò�Ã�áîÕ�Ê�ËPÒ�Ê�Ø�À�Á¡Á°Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�à·Ê¨Õ�Á¡Ò�Á�ËÔÑ�Æ�Á3À�Ñ;Ù¡Ò�à�Å�È�ûÊ;ͨÒ�Ñ;Ç�Í;à�ã·Á¡Ù¡Ê¨ÏPÃ�À�Á¡Ì�À�Ê�Ù¡Ê`Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8Á�Ö
Ù¡Ê·ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í;Ñ·É·Ê�Ø�*KÁ¡áÜÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌgÍ�È Ñ;À�ÃgË�Ï�λËPÉ;à�ÚgÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á¡É^Ç�Í�Ò�Ê�Á¡À�Ã�Î"Ê�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�ÃSÓ�Ê�Ù¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡À�À�Ê�Ì
Õ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Ã�á¬ÃIç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í%Ñ;á¬Ãg6 Ò�Ã�Ç;A�ëB8�A
º C»[@?�?;LNX�¾GMPOPQ�YNH2XwJ�Q ¾GQ�W2H M¼»2X�V2X�¾GQ�W2X~YNQD½;V:�SJ�Z2H MjC~LNH2Y2XB¤2Y2Mj½;MyV2Q�?!CO�<¾DXB½;M
¿ LNXBA1X�YaC�Q{OíMjÀjÁ�XBA ME?�Y2MPOPY2Mj¤ÂC�ZSQ�Y2H�C-G1Ò�Ê�É�Á�ËPÁ¡á,Ê × Á¡À�È�ÃòÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌSÓ6É�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3ã8à Ú
Õ�Ò�ÃjÀ�Á¡Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê�É�Ñ;À�À�Ê�áêÒ�Ê�Ç�Í�Á/Õ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8à Úgç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�Éh)m·`ÓD)1¿Ã6KÄ�8�Ó Ê�Ù¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�Ã�É�Ñ;Ð3ã8à ÚjÊ�Ø�*KÁ¡á
Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌòÍ�È Ñ;À�Ã¥6KÄ�Ä�8�Ó�Å*Ñ;À�Ã�á6Ñ;Ð3ã8Á¡ÌéÕ�Ê%Ï�à Õ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�èµ6 Ò�Ã�Ç;A²ë�Ó/¦X8eÃóÈ ÏPÃ�À�Ê�É�à ËPÀ�ä°Ìºà Æ�Ñ;Ç�Í�Ê�È
6 Ò�Ã�Ç;A(ë�Ó=yH8�ASÙ�ËPÁ�)¨æwÀ�Á¡À�Ñ;Ù¡Ò�à�â·Á¡À�À�Ñ%ÎDÙ¡Ò�Ñ;À�Ã × Ñ�Óa)"i Ê�Ç¡è"Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�ÃSAaÅ�à*ËPÁ¡á Ç¡Æ�Ã�Í;Ñ%Í�è�Ó(Æ�Í�ÊIÉ
Ê�Ø�Ê�à Ú8Ç�Ï�à Æ�Ñ%Î Ú·Ã�á¬Á¡Á�ͨá¬Á¡Ç�Í�ʨÕ�Á¡Ò�É�ä°Ì·Í�Ã�Õ·Ò�Ê�Ç�Í;Ñ/Ã
ax = ay = ? S!TD]�N*Ó ar = aθ = ? S!TD]�N*Ó;Õ�Ê�ç�Í�Ê�áGà
ĨÊ�Ò�á6Ñ»Ê�Ø%ÏÔÑ;Ç�Í�Á¡Ì]îà Ù¡Ê%Ï�·m)1¿ ÉeÚ�Ê*ËPÁ8Ò�Ê�Ç�Í%ÑgÀ�Á8á¬Á¡À�Î�Ð3Í�Ç�ÎSA(¿ Ç�Ï�à Æ�Ñ;Á8Ç�Í;Ñ × Ã�Ê�À�Ñ;Ò�À�Ê;Ù¡Ê"Ò�Ê�Ç�Í%Ñ
ç�Í�Ê�Õ�Ê;Å�É�Ê%Ï�Î�Á�Í�Ò�Ñ;ǡǡá6Ñ%Í�Ò�Ã�É�Ñ%Í�è�Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�à¥6¶>!8�Ó´6 :�8»ÉåÀ�Ñ%Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Î ÚºÉåÕ�Ò�Ê�Ã�Å�É�Ê%ÏPè�À�ä°Ì á¬Ê�á¬Á¡À�Í
É�Ò�Á¡á¬Á¡À�ÃSA
z ³:#�þ� �1�#
�þ¡ö��%þ¡ö���Æ �:³:�
�õ
��þ���õc$!�;ý��¨þ�®� ;ý�ö���Æ
ôPõ�ö�÷ Ç�÷�v�û ÿ�ûK$�ýc
¡ý0�;ý��¸ÿ�1
�3��õuþc�2ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/ �õ
�;û��
�
�Sú�&( �û¸üÔû�����þ��"±E�³þ�®cÈ�û¸ü»þ¡ö���þ�����þ�������ý���õ�±²±�÷
G1Ò�ûËPÁ�ÏPÁ�À�Ã�Î�ÚgÒ�Ñ;Ç�Í�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ä²ÚjÈ ÏPÁ�Í�Ê�È"Ê�Ø�Ò�Ñ%Å¡à Ð3Í�Ç�ÎjÊ�Ø;ã8Ã�Á3Ë�Ï�ÎgÇ¡á¬Á�â»À�ä²ÚgÈ ÏPÁ�Í�Ê�È"À�Ê�É�ä°Á
È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä°Á³Ç�Í�Á¡À�È�ÃSÓ Õ�Ò�Ê�À�Ã�Å*Ñ;À�À�ämÁ³Ç¡Ã�Ç�Í�Á¡á¬Ê�Ì»Õ�Ê�ÒSÓ�Æ�Á¡Ò�Á�Å³È Ê;Í�Ê�Ò�ämÁ3Õ�Ò�Ê;Í�Á¡È�Ñ%Á�Í8á¬Á�â»È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä°Ì
á6Ñ;ǡǡÊ�Ê�Ø�á¬Á¡ÀSAÔ¿òÚ�Ê�ËPÁuÀ�Ê�Ò�á6Ñ�ÏPè�À�Ê�Ù¡ÊeÒ�Ê�Ç�Í%Ñ»Ò�Ñ;Ç�Í�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ämÚhá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÊ�É»Ê;Í�À�Ê�Ç¡Ã�Í�Á�ÏÔè�À�ä°Á8Õ�Á¡Ò�Á�Ö
á¬Á�ã8Á¡À�Ã�ÎsÇ¡á¬Á�â»À�ä²Ú]È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä²ÚsÇ�Í�Á¡À�Ê�ÈSÓSÈ Ê;Í�Ê�Ò�ä°Á·á¬Ê�Ù�ÏPÃ]Ø�äwÕ�Ò�Ã�É�Á¡Ç�Í�ÃsÈ]Ò�Ñ%Å�Ò�à�Â8Á¡À�Ã�Ð Õ�Ê�ÒSÓ
À�Á³À�Ñ;Ø%ÏPвËÔÑ;Ð3Í�Ç�ÎSÓ Õ�Ê�ç�Í�Ê�áGà»Ø;à�ËPÁ¡áÜÇ¡Æ�Ã�Í;Ñ%Í�è�Ó�Æ�Í�Ê8Ç�ËPÉ�Ã�Ù¡Ê�É�ä°Á�ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÃgÊ;Í�Ç�à�Í�Ç�Í�É;à Ð3Í%A�É�À�Ñ�Ö
Æ�Á¡À�Ã�Î
Aik
á¬Ê�Ù�à�Í^Ø�ämÍ�è·É;Å¡Î�Í�äºÃ�Å1Ò�Á�Å¡à*ÏPè*Í;Ñ%Í�Ê�É^Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�Ã�Î"È�Ã�À�Á�á�Ñ�Í�Ã�È�ÃIÀ�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á�À�À�Ê�Ù¡Ê
Ò�Ê�Ç�Í;Ñ�ÓKÉ"Í�ÊIÉ�Ò�Á¡áGÎcÈ Ñ;ÈDÆ�Ã�Ç�ÏPÁ¡À�À�ä°ÁeËÔÑ;À�À�ä°ÁeÊ"Å�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Î Ú
Biklm
Ë�Ï�ÎcÒ�Ñ;Ç�Í�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ämÚDÍ�È�Ñ;À�Á¡Ì
Õ�Ò�Ñ;È�Í�Ã�Æ�Á¡Ç�È�÷Ê;Í�Ç�à�Í�Ç�Í�É;à гÍ�A!9³ËPÁ¡À�Í�Ã�ĨÃ�È Ñ × Ã�ηǡÊ�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à Ð3ã·Ã Ú8Ò�Á¡Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ڷÈ�Ê�ç¡Ä¨Ä¨Ã × Ã Ö
<*ï�:
+°÷ +°÷�tGõ���õ
�þ���ý���u2÷ v°÷
t2ÿ�ý���
�û��
��þ
Á¡À�Í�Ê;É^Ç/Õ�Ê�á¬Ê;ã8è�Ð{á¬Ê�ËPÁ�ÏPÃx6�<
8½Þs6 :�8¬á¬Ê�â·Á�Í·Ø�ämÍ�è·Õ�Ò�Ê�É�Á�ËPÁ¡À�Ñ·À�Ñ`Ê�Ç¡À�Ê�É�Á/Ò�Á�Å¡à*ÏPè*Í;Ñ%Í�Ê�É^Ã�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ%Ö
É�Ñ%À�Ã�ÎcÈ�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�È�ÃîÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊhÒ�Ê�Ç�Í%ÑIÕ�Ò�ÃDà�Ç�ÏPÊ�É�Ã�ÃcÊ�Ù¡Ò�Ñ;À�Ã�Æ�Á¡À�Ã�ÎîÒ�Ê�Ç�Í%ÑIÕ�ÊhÕ�Á¡Ò�Ã�á¬Á�Í�Ò�à
à ÏPÃIÆ�Ñ;Ç�Í�ÃIÕ�Á¡Ò�Ã�á¬Á�Í�ÒPÑ·ÏPÃ�Ç�Í%Ñ�Ó�ÏPÃ�Ø�Ê^É%ËPÊ%ÏPèeÕ�Ò�Ê;É�Ê*Ë�Î�ã8à Ú"ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í�Ê�É�Ä/ÛÝ<�ë;ß¶A
¿òÕ�Á¡Ò�É�Ê�áêÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á�6 Ò�Ã�Ç;A�ë�Ó<r�8�Ç�Ã�Ç�Í�Á�á6ÑI6�<
8½Þs6 :�8�É`ËPÁ¡È Ñ;Ò�Í�Ê�É�ä²Ú"È�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í;Ñ�ÚjÕ�Ò�Ã�á¬Á�ÍeÉ�à Ë:k
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
+ fx = 0,
∂σxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+ fy = 0,
6��!8
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
= 2b33σxy + 2
∂
∂t
(
σxy
µ
)
,
6¶ð!8
∂vx
∂x
= ax + b11σxx + b12σyy +
∂
∂t
(
σxx
E1
)
−
∂
∂t
(
ν21σyy
E2
)
,
6¶ñ!8
∂vy
∂y
= ay + b21σxx + b22σyy +
∂
∂t
(
σyy
E2
)
−
∂
∂t
(
ν12σxx
E1
)
,
6�<*@�8
σxx
∣
∣
x=0
= 0, σxx
∣
∣
y=0
= (eI − a) /b, vy
∣
∣
y=0
= 0,
6�<�<
8
Ù�ËPÁ
E1,2
Ó
ν12,21
Ó
µ
ÞsÒ�Á¡Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�ÁjÈ Ê�ç¡Ä¨Ä¨Ã × Ã�Á¡À�Í�ä á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑ®Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌcÍ�È�Ñ;À�ÃHÊ˦
, b, eI
Þ
Ò�Á¡Ê�ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�Ã�ÁjÈ�Ê�ç¡Ä¨Ä¨Ã × Ã�Á¡À�Í�äyÃcÅ*Ñ�ËÔÑ;À�À�Ñ%ÎîÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�è]Ò�Ê�Ç�Í�Ê�É�ä²ÚcËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á6Ñ × Ã�ÌcË�Ï�ÎîÕ�Ò�Ê�É�Ê%Ö
Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Êeç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í;ÑV)-·`A
G/à�Ç�Í�ègË�Ï�ÎsÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�À�Ê�Ç�Í�ÃcÉjÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á·À�Á¡Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê;É�Ñ;À�À�Ê�Ç�Í�ÃcÒ�Ê�Ç�Í%Ñ
∂vx/∂x
∣
∣
y=0
< eI
Ó�Æ�Í�Ê
Õ�Ò�Ã�É�Á�ËPÁ�ÍjÈhÕ�Ê*Î�É%ÏPÁ¡À�Ã�ÐíÉ»Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌIÍ�È Ñ;À�îÒ�Ñ;Ç�Í�Î�Ù¡Ã�É�Ñ;Ð3ã8à ڮÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌSÓPÈ Ê;Í�Ê�Ò�ä°Á`À�Ñ^É�Ò�Á�Ö
á¬Á¡À�Ñ�Ú
t << t∗
á¬Ê*â»À�Ê^Ê × Á¡À�Ã�Í�è�ÓPÒ�Á�·Ñ%ÎIÅ*Ñ�ËÔÑ*Æ�àx6��!8½Þs6�<�<
8�AjÉ�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Î E1,2
Ó
νik
Ó
µ
Ë�Ï�ÎhÒ�Ñ%Å�À�ä²Ú
à Æ�Ñ;Ç�Í�È Ê�É/ÏPÃ�Ç�Í�Ê�É�Ê�Ì^Õ ÏÔÑ;Ç�Í�Ã�À�È�Ã^Õ�Ê%Ï�à Æ�Á¡À�ä�É/Ò�Î ËPÁmç¡È�Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í�Ê�É�Ó�ɳÍ�ʨÉ�Ò�Á¡áGÎ·È Ñ;È`Ë�Ï�ηÕ�Ñ;Ò�Ñ�Ö
á¬Á�Í�Ò�Ê�É
bik
Ç�à�ã8Á¡Ç�Í�É;à гÍIÍ�Ê%ÏPè�È�Ê"À�Á¡È�Ê;Í�Ê�Ò�ä°Á^Ê × Á¡À�È�ÃSÓ(Ê�Ç¡À�Ê�É�Ñ;À�À�ä°Á^À�ÑgÒ�Á�Å¡à*ÏPè*Í%Ñ%Í;Ñ�ÚDç¡È�Ç¡Õ�Á¡Ò�à Ö
á¬Á¡À�Í�Ê�É»Ë�Ï�Î]Ê;Í*ËPÁ�ÏPè�À�ä²ÚsÒ�Ñ;Ç�Í�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ämÚsÈ ÏPÁ�Í�Ê�È�ÛÝ<*ñ�Þ > <¡ß¶AS¿{ǡà Ï�à®ç�Í�Ê�Ù¡Ê"á¬Ê*â»À�ÊgÒ�Ñ;ǡǡá¬Ê;Í�Ò�Á�Í�è
Õ�Ò�Ã�Ø%ÏPÃ�â·Á¡À�Ã�ÁhÊ*ËPÀ�Ê�Ò�Ê�ËPÀ�Ê�Ìåà Õ�Ò�à Ù¡Ê*ËPÁ¡Ä¨Ê�Ò�á¬Ã�Ò�à�Á¡á¬Ê�ÌóÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�Ì�Í�È Ñ;À�ÃÌ6
bik ∼ 0
8·Ã ÏPÃòÕ�Ò�Ê�É�Á�Ö
Ç�Í�ÃåÊ × Á¡À�È�ÃåÈ Ê�ç¡Ä¨Ä¨Ã × Ã�Á�À�Í�Ê�É bik
Ó¬Õ�Ò�Á�ËPÕ�Ê%ÏÔÑ;Ù�Ñ%ÎSÓ¬Æ�Í�ÊDÇ�ÏÔÑ;Ù�Ñ;Á¡á¬ä°ÁIÉsÕ�Ò�Ñ;É�ä²ÚåÆ�Ñ;Ç�Í*Î Úµ6��!8�Ó-6 ð�8
Ã�á¬Á¡Ð3Í]Ê�ËPÃ�À�Ñ;È Ê�É;ä°ÌÜÕ�Ê�Ò�Î ËPÊ�ÈSAG¿~Õ�Á¡Ò�É�Ê�á�Ç�Ï�à Æ�Ñ;ÁgÒ�Ñ;Ç¡Æ�Á�Í�ä á¬Ê�â»À�ÊhÕ�Ò�Ê�É�Á�Ç�Í�ÃêÀ�ÑhÊ�Ç¡À�Ê�É�Ñ;À�Ã�Ã
á¬Ê�ËPÃ�ĨÃ�È Ñ × Ã�ÃIÅ*Ñ*ËÔÑ�Æ�Ãw;IÁ�ÏÔÑ;À�Ñ^ÊeÕ�Á¡Ò�Á�ËÔÑ*Æ�ÁuÀ�Ñ;Ù¡Ò�à�Å�È�îÊ;ÍeÇ�Í�Ò�Ã�À�Ù¡Á¡Ò�Ñ»ÈIÕ�Ê%Ï�à Õ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�Ãg6 ËPÃ�Ç�Ö
È�à;Ó�È ÏPÃ�À�àD8¬É¨Õ�Ò�Á�ËPÕ�Ê%ÏPÊ*â·Á¡À�Ã�ûà ËPÁ�Ñ�ÏPè�À�Ê�ÌeÀ�Á¡Õ�Ò�Á¡Ò�ä°É�À�Ê�ÌgÇ¡É;Î�Å�Ãeá¬Á�â^Ë�à·À�Ã�á¬ÃhÛ >�> Ó�>;:%ß¶AXÉSÑ�ËÔÑ*Æ�Ñ
6��!8½Þs6�<�<
8�Ë�Ï�ÎDÈ ÏPÃ�À�Ñ"Å*Ñ;Õ�Ã�Ç¡ä°É�Ñ;Á�Í�Ç�ÎSÓ2Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Á�À�À�Ê�Ó2ÉIÕ�Ê%Ï�Î�Ò�À�ä²ÚcÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í;Ñ�Ú�A'Í8Ê�Ò�áGà*ÏPä
Ë�Ï�Î"Ò�Ñ;Ç¡Æ�Á�Í%ÑeÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌjË�Ï�Î"Õ�Ê%Ï�à Õ ÏPÊ�Ç¡È Ê�Ç�Í�îÃ"È ÏPÃ�À�Ñ^Õ�Ò�Ã�É�Á�ËPÁ¡À�ä�É^Õ�Ò�à ÏPÊ*â·Á¡À�Ã�Î ÚI·`Ó ¿³A
l2Á�Å¡à�ÏPè�Í%Ñ%Í�äåÆ�Ã�Ç�ÏPÁ¡À�À�ä²Ú^Ò�Ñ;Ç¡Æ�Á�Í�Ê�É
σxx,yy
É/Ê�Ç�À�Ê�É�À�Ê�Ì8Í�È Ñ;À�Ã`Ë�Ï�ηÕ�Ê%Ï�à Õ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�Ã^Ã·È ÏPÃ�À�Ñ
Õ�Ò�Ã�É�Á�ËPÁ¡À�äiÀ�ÑjÒ�Ã�Ç;A29 Ó(ï�AH·³À�Ñ�ÏPÃ�ÅeÕ�Ê%Ï�à Æ�Á¡À�À�ä²ÚsÅ*Ñ;É�Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�Á¡ÌsË�Ï�ÎDÉ�Ç¡Á�Úsç¡È�Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í;Ñ�ÏPè�À�Ê
Ã�Å�É;Á¡Ç�Í�À�ä²ÚjÀ�Ñ;Ø�Ê�Ò�Ê�ÉuÅ�À�Ñ�Æ�Á¡À�Ã�ÌjÒ�Á¡Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ÚjÕ�Ñ;Ò�Ñ;á¬Á�Í�Ò�Ê�É`Ë�Ï�ÎeÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡É·Ò�Ñ%Å�À�ä²ÚgÉ�à ËPÊ�ÉjÛÝ<*ñ�Þ
> <�ß2Õ�Ò�îÉ�Ñ;Ò�Ã�Ñ × Ã�Î Ú eI
Ó
aik
Ó
a
ÉeÂ8Ã�Ò�Ê�È Ê�á�ËPÃ�Ñ;Õ�Ñ%Å�Ê�À�ÁuÅ�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�ÌSÓ�Ç¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É;à�Ð3ã8Ã�ÚIËÔÑ;À�À�ä°á
È�Ã�À�Á¡á6Ñ%Í�Ã�Æ�Á¡Ç¡È Ê�Ù¡ÊIÑ;À�Ñ�ÏPÃ�Å*Ñ»Ò�Ê�Ç�Í;Ñq6
eI = 0.1 ÷ 0.4
Ç
−1 Ó a = 0.02 ÷ 0.8
Ç
−1 8�Õ�Ê;Å�É�Ê%Ï�Î�Á�Í"Ç�ĨÊ�Ò Ö
áGà�ÏPÃ�Ò�Ê�É�Ñ%Í�è»Ç�ÏPÁ�Ë�à Ð3ã·Ã�Á`É�ä°É�Ê�ËPä�k
<
8¡G1Ò�ÃåÀ�Á¡Ç¡Ê�Ù�ÏÔÑ;Ç¡Ê;É�Ñ;À�Ã�ÃòÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡ÌóÒ�Ê�Ç�Í%ÑcÊ�Ç�À�Ê�É�À�Ê�ÌåÍ�È Ñ;À�ÃòÃåÕ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Êcç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í%Ñ
Õ�Ò�Ã"à�Ç�ÏPÊ�É�Ã�ÃSÓPÆ�Í�ÊeÕ�Ê�Ç�ÏPÁ�ËPÀ�Ã�ÌhÒ�Ñ;Ç�Í�Á�ÍgÇ1Å*Ñ�ËÔÑ;À�À�Ê�ÌIÇ¡È Ê�Ò�Ê�Ç�Í�è�ÐíÃIÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ã�Ò�à�Á�Í»ËPÁ¡Ä1Ê�Ò�á6Ñ × Ã�Ã
Ê�Ç�À�Ê�É�À�Ê�Ì»Í�È Ñ;À�ÃSÓ É`À�Á¡È�Ê;Í�Ê�Ò�Ê�ÌjÊ�È�Ò�Á¡Ç�Í�À�Ê;Ç¡Í�ÃjÕ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Ê8ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í%Ñ8É�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Á�Í·Õ�Ê%ÏPÁ3À�Ñ;Õ�Ò�Î�Ö
â·Á¡À�Ã�ÌSA�FNÑ;ÈSÓ%É/Ç�Ï�à Æ�Ñ;Á
∂vx/∂x
∣
∣
y=0
< eI
É�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3ã8Ã�Á°Ò�Ñ;Ç�Í*Î�Ù¡Ã�É�Ñ;Ð3ã8Ã�Á�À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ηØ;à�Ë�à�ͨÉ
Ç¡Ê;Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�ûǰ6 ñ�8�Ój6�<*@�82Ç�Í�Ã�áGà*ÏPÃ�Ò�Ê�É�Ñ%Í�è`Ò�Ê�Ç�ÍuÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�Ì·Í�È Ñ;À�ÃeÉ%ËPÊ%ÏPè1Õ�Ò�Ê�É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Ê¨ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À Ö
Í%Ñ�Ó;Ñ3Ç�â»Ã�á6Ñ;Ð3ã8Ã�Á²À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ΨÞ1Õ�Ê�ËÔÑ;É%Ï�Î�Í�è/Ò�Ê�Ç�Í/ɳÊ�Ò�Í�Ê�Ù¡Ê�À�Ñ�ÏPè�À�Ê�á]À�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%ÏPÁ¡À�Ã�ÃSÓ%Ç¡Ê;Å�ËÔÑ;É�Ñ%Î
<*ï%ë
+6ý�#�ÿ���,�û���õ��³õ-$ û�.Gþ�ÿ�üPý���õ�õ/�0$!�21�üÔû ÿ��
�Sú°ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/��þ�����õ
��1�1�üPý�ú
Í�Á¡áíÇ¡Ñ;á¬ä°áwÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡áGàîÊ�Ø�Ò�Ñ%Í�À�ä²ÚÜÇ¡É;Î�Å�Á¡ÌSÓNÕ�Ò�Ã�É�Ê�Ë�Î�ã`à Ð ÈîÉ�ä°Ò�Ñ;É�À�Ã�É�Ñ;À�Ã�РijÏ�à È�Í;à�Ñ × Ã�ÌêÇ¡È�Ê%Ö
Ò�Ê�Ç�Í�ÃÜÒ�Ê�Ç�Í%ÑhÊ�Ø�Ê�à ÚDÉ�à ËPÊ�ÉIÍ�È Ñ;À�ÃSA'4¨ÑjËPÊ�Ç�Í%Ñ%Í�Ê�Æ�À�Ê�á�à�ËÔÑ�ÏPÁ¡À�Ã�ÃÜÊ;Í®Ò�Ñ%Ç�Í;à�ã·Á¡Ù¡Ê]Õ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Ê
ç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í;ÑeØ;à*ËPÁ�Í»Ò�Á�Ñ�ÏPÃ�Å�Ê�É�Ñ;ÀIÀ�Á¡À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�À�ä°ÌhÒ�Ê�Ç�Í»Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�ÌjÍ�È Ñ;À�ÃSA
z�§ σxx (y)
� § σyy (y) z�§ σrr (θ)
� § σθθ (θ)
ôPõ�ö�÷-Î�÷¬ôPý�ö�#�ÿ�ûK$ û� �û���õ�ûV�;ý�#¡ÿ���,�û���õ
���îþ¡ö���þ���Ï
��þ�� ���*ý���õ��e��ý�#�þ�
���
Ða%°û��Ñ#�þ� �1�#
�þ¡ö���þ¡ö���Æ;÷
t2ÿ;õ
���Nû ø���Î ö�þ�þc���*û���ö����21�Ð0� �3�;ý�
�û���õ��%ü
x◦ = x/L = 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8
÷
ôPõ�ö�÷-Ò�÷6ô�ý�ö�#�ÿ�ûK$ û� �û���õ�ûV�;ý�#�ÿ���,�û���õ
���îþ¡ö���þ���Ï
��þ��Ó����ý���õ�����ý�#�þ�
���
Ða%°û����
�õ
��þ���õc$!��1�Ð þ�®2Ï
;ý�ö���Æ;÷:t2ÿ;õ
���Nû»ø���Îgö�þ�þc���*û���ö����21�Ð0�h�3�;ý�
�û���õ��%ü
r◦ = r/R = 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8
÷
>!8�)/Ç¡Ê�Ø�Ê�Á�Å�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Á/Õ�Ê�ËPÊ�Ø�À�Ñ%ÎeÇ¡Ã�Ç�Í�Á¡á6Ñ8Ê�Ø�Ò�Ñ%Í�À�ä²Ú»Ç¡É;Î�Å�Á¡Ìgá¬Ê*â^Á�Í`Ã�Ù¡Ò�Ñ%Í�è8À�ÑuÀ�Ñ*Æ�Ñ�ÏPè�À�ä²Ú
Ç�Í;Ñ�ËPÃ�Î Ú"Ò�Ê�Ç�Í%Ñ�Ó�È Ê;Ù�ËÔÑ·á¬Ê�Ë�à*ÏPè·à Õ�Ò�à Ù¡Ê�Ç�Í�Ãhá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑ^Ê�Ç�À�Ê�É�À�Ê�ÌjÍ�È�Ñ;À�ÃIÀ�Ñ8Õ�Ê�Ò�Î ËPÊ�È"á¬Á¡À�è;Â8Á;Ó
Æ�Á¡á�À�Ñ·Å*Ñ;È ÏPгÆ�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ämÚhÇ�Í%Ñ�ËPÃ�Î ÚcÛÝ<*ñ%ß¶A
:�8V4¨Ñ�ÏPÃ�Æ�Ã�Á]Ä/Ï�à È�Í;à�Ñ × Ã�Ì Ç¡È�Ê�Ò�Ê�Ç�Í�Á¡ÌéÒ�Ê�Ç�Í;ÑÜÃòÏPÊ�È Ñ�ÏPè�À�ä²ÚóÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�̺á¬Ê*â·Á�ÍêÊ�Õ�Ò�Á�Ö
ËPÁ�Ï�Î�Í�èIÊ�Ç¡Ê�Ø�Á¡À�À�Ê�Ç�Í�ÃDÇ�Í�Ò�Ê�Á¡À�Ã�ÎcÊ�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�Ì]Í�È Ñ;À�Ã]ÏPÃ�Ç�Í%Ñ"É"Ê�È�Ò�Á¡Ç�Í�À�Ê�Ç�Í�ÃcÕ�Ò�Ê�É�Ê�Ë�Î�ã8Á¡Ù¡ÊIÕ�à Æ�È Ñ
6 Ò�Ã�Ç;AK<
8�A
ëB8hG1Ò�Ñ;È�Í�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�úÉ�ÊîÉ�Ç¡Á�ÚòÃ�Ç¡Ç�ÏPÁ�ËPÊ�É�Ñ;À�À�ä�ÚºÇ�Ï�à Æ�Ñ%Î ÚòÊ × Á¡À�È�ÃóÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌóÕ�Ò�Ã�É�Ê�Ë�Î�ÍÜÈ
Å�À�Ñ�Æ�Á¡À�Ã�Î�á°Ó�Õ�Ò�Á¡É�äm·Ñ;Ð3ã8Ã�áòÕ�Ê�Ò�Ê�Ù1Æ�à É�Ç�Í�É�Ã�Í�Á�ÏPè�À�Ê�Ç�Í�ÃhÈ ÏPÁ�Í�Ê�È�6
F ∼ 1 ÷ 10
Õ�4�Ë�Ï�Î"Ê�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê%Ö
É�Ñ;À�Ã�ÌîÇeÚ�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�À�ä°áíÒ�Ñ%Å�á¬Á¡Ò�Ê�á
d ∼ 4 · 10−6 á Û >%ë;ßÔ8�AaFGÑ;È�Ã�á{Ê�Ø�Ò�Ñ%Å�Ê�á°Ó2É�Ê;Å�À�Ã�È Ñ;Ð3ã8Ã�ÁjÀ�Ñ�Ö
Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�λá¬Ê�Ù�à�Í`Å*Ñ;Õ�à�Ç¡È Ñ%Í�è·È ÏPÁ�Í�Ê�Æ�À�ä°Á/á¬Á�Ú�Ñ;À�Ã�Å�á¬ä1Ó�Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Ð3ã8Ã�Á/À�Ñ;Õ�Ò�Ñ;É%ÏPÁ¡À�Ã�Á°ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Ì
6 ÉeÇ¡Ê�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�îǨÕ�Ê%ÏPÁ¡á�À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Ìj8mÃIÉ^È�Ê�À�Á¡Æ�À�Ê�á�Ç¡Æ�Á�Í�Á`ĨÊ�Ò�áGàjÈ ÏPÁ�Í�È�ÃSA
ŲÊ%ÏPÁ¡ÁmÕ�Ê*ËPÒ�Ê�Ø�À�ä°ÁmÊ × Á¡À�È�÷Õ�Ê/Õ�Ò�Á�Ë�ÏPÊ*â^Á¡À�À�Ê�Ì·Ç�Ú�Á¡á¬Ámá¬Ê�Ù�à�ͨØ�ämÍ�è1Õ�Ò�Ê�É�Á�ËPÁ¡À�äåÕ�Ê�Ç�ÏPÁmÕ�Ê%Ï�à�Ö
Æ�Á¡À�Ã�ηËPÊ�Õ�Ê%ÏPÀ�Ã�Í�Á�ÏPè�À�ä²Úeç¡È Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á¡À�Í;Ñ�ÏPè�À�ä²Ú^ËÔÑ;À�À�ä²Ú^Ê�Ø�Ê1É�Ç¡Á�Ú·Ò�Á¡Ê%ÏPÊ�Ù¡Ã�Æ�Á¡Ç¡È�à ڻÕ�Ñ;Ò�Ñ;á¬Á�Í�Ò�Ñ�Ú
à Ò�Ñ;É�À�Á¡À�Ã�Ìw6¶>!8NÃ^Ê³Ú Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�Á3Ñ;À�Ã�Å�Ê;Í�Ò�Ê�Õ�Ã�ûá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏÔÑ1Ê�Ç¡À�Ê�É�À�Ê�Ì·Í�È Ñ;À�ÃeɨÊ�È�Ò�Á¡Ç�Í�À�Ê�Ç�Í�ÃeÕ�Ò�Ê%Ö
É�Ê*Ë�Î�ã8Á¡Ù¡Êeç�ÏPÁ¡á¬Á¡À�Í%Ñ�A
UIV2HKLNMXÕDX�Y2H2XoÖ®C
lNÁ�Â8Á¡À�Ã�Á3Å*Ñ�ËÔÑ*Æ�ÃV;IÁ�ÏÔÑ;À�Ñ1Ë�Ï�ÎeÕ�Ê%Ï�à Õ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�ÃgÉuÒ�Ñ;á¬È Ñ�Ú^Ê�Ø�Ê�Ø;ã8Á¡À�À�Ê�Ù¡ÊuÕ ÏPÊ�Ç¡È Ê�Ù¡ÊuÀ�Ñ;Õ�Ò�Î Ö
â^Á¡À�À�Ê�١ʨÇ�Ê�Ç�Í�Ê�Î�À�Ã�ÎeÇ�Í�Ò�Ê�Ã�Í�Ç�λÇ�Ã�Ç¡Õ�Ê%ÏPè;Å¡Ê�É�Ñ;À�Ã�Á¡ácÄ1à À�È × Ã�ûÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Ì�ײÒ�Ã Φ (x, y; z)
Ó�Ù�ËPÁ
(x, y)
ÞIÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�äíÍ�Ê�Æ�È�ÃsÕ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�ÃSÓ
z
ÞIÈ Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í%ÑgÍ�Ê�Æ�È�ÃsÊ�Ç¡Ãx)"i8ÓSÉjÈ�Ê;Í�Ê�Ò�Ê�ÌsÕ�Ò�à ÏPÊ%Ö
â^Á¡À�Ñ·Ò�Ñ;Ç�Í*Î�Ù¡Ã�É�Ñ;Ð3ã·Ñ%ÎhÀ�Ñ;Ù¡Ò�à�Å�È Ñ
σ
AjÍ`à À�È × Ã�Î Φ (x, y; z)
Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ÎhÉ�ä°Ò�Ñ%â·Á¡À�Ã�Á¡á{Û >�>�ß�k
Φ (x, y; z) =
σ
2πh
[
y (θ1 + θ2) −
1 − ν
2
(x − z) lg
(
r1
r2
)
− (1 + ν)
xz (x + z)
r2
2
]
,
Ø�Ù�Ú r1(x, y; z) = |y2 + (x − z)2|1/2, r2(x, y; z) =
∣
∣y2 + (x + z)2
∣
∣
1/2
,
θ1(x, y; z) = Û!Ü�Ý
ÞXß
(
y
x − z
)
, θ2(x, y; z) = Û!Ü�Ý
ÞXß
(
y
x + z
)
.
<*ï�9
+°÷ +°÷�tGõ���õ
�þ���ý���u2÷ v°÷
t2ÿ�ý���
�û��
��þ
ÉSÑ�ËÔÑ%É�Ñ%Î^Ò�Ñ;Ç¡Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Á³À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Ì
σI (z)
ɨǡÊ�Ê;Í�É�Á�Í�Ç�Í�É�Ã�Ãgǰ6�<�<
8�Ó�Õ�Ê%Ï�à Æ�Ã�áîÄ1à À�È × Ã�Ð
À�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�Ì
Φ̃
Ë�Ï�Î"Ç�Ï�à Æ�Ñ%Î"ÏPÃ�À�Á¡Ì�À�Ê�ÌhÀ�Ñ;Ù�Ò�à�Å�È�îÉ^É�à ËPÁ
Φ̃ =
1
L
L
∫
0
Φ (x, y; z) dz,
Ê;Í�È�à�ËÔÑ
σxx =
∂2Φ̃
∂y2
, σyy =
∂2Φ̃
∂x2
, σxy = −
∂2Φ̃
∂x∂y
.
4¨Ñ�À�Á¡È Ê;Í�Ê;Ò�Ê�á]à�ËÔÑ�ÏPÁ¡À�Ã�Ã
z∗
Ê;Í/Ê�Ç¡Ê�Ø�Ê�ÌuÍ�Ê�Æ�È�Ãà)à6 @�Ó @�8�Ó�Ù�ËPÁ
z∗
Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ηÕ�Ñ;Ò�Ñ;á¬Á�Í�Ò�Ñ;á¬Ã
á6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ*ÏÔÑ�Ó�Å*Ñ;É;Ã�Ç¡Ã�á¬Ê�Ç�Í�Ã
σik (z, y)
Ë�Ï�Î
z > z∗
Õ�Ò�Ñ;È�Í�Ã�Æ�Á¡Ç¡È�ÃIÇ¡Ê�É�Õ�Ñ�ËÔÑ;Ð3Í�Ó�Õ�Ê�ç�Í�Ê�áGà»Å�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Î
L
á¬Ê�Ù�à�Í`Ø�ämÍ�èuÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�äòÕ�à�Í�Á¡áîÆ�Ã�Ç�ÏPÁ¡À�À�Ê�Ù¡Ê`ç¡È�Ç¡Õ�Á¡Ò�Ã�á¬Á�À�Í;Ñ�Ó�Ã�Ç�Ú�Ê*Ë�ÎeÃ�ŰÚ�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�ÑuÒ�Ñ;Ç¡Õ�Ò�Á�Ö
ËPÁ�ÏPÁ�À�Ã�ÎhÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÌIÉ%ËPÊ%ÏPè�)"i8A
UIV2HKLNMBÕDX�Y2H2XoágC
z�§-â3ã�äaä0å3æaç�ã
è�é�ê�ë�âKì�í�è
î�ë � §mî�é�æËã�â3ã�ä:ä0å3æaç�ã
è�é
ê�ë�âKì�í�è
î�ë
ôPõ�ö�÷ðï�÷ ù ú*û¸üPýË�
*õ
�;ý3öa��ý�$�ý��
��þ��m�;ý�û���þ0�¸ÿ�ý���õ
�;ý�úm����û�ñ���û��/�;ý��¸ÿ�1
�3�%þ�� ÷
ÉSÑ�ËÔÑ*Æ�Ñ·ÊeÕ�Á¡Ò�Á�ËÔÑ*Æ�Á`À�Ñ;Ù¡Ò�à�Å�È�ÃIË�Ï�ÎIÈ ÏPÃ�À�ÑeÒ�Á�·Ñ;Á�Í�Ç�ήǨÕ�Ê�á¬Ê;ã8è�ÐíÕ�Ò�Á¡Ê�Ø;Ò�Ñ%Å�Ê�É�Ñ;À�Ã�Îo;IÁ�Ï�Ö
ÏPÃ�À�ÑDË�Ï�ÎóÇ�Ï�à Æ�Ñ%ÎóÇ¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê�Ù¡ÊêúÑ;À�Í�Ã�Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê�Ù¡ÊêÒ�Ñ;Ç¡Õ�Ê%ÏPÊ*â^Á¡À�Ã�ÎóÁ�ËPÃ�À�Ã�Æ�À�Ê�̺À�Ñ�Ö
Ù¡Ò�à�Å¡È�ÃóÉ%ËPÊ%ÏPèDÊ�Ø�Ò�Ñ%Å¡à Ð3ã8à ÚòÈ ÏPÃ�À�Ѷ6 Ò�Ã�Ç;AË�!8�Ó6Õ�Ò�Ã�Æ�Á¡áiÕ�Ò�Ê�Ã�Å�É�Ê%ÏPè�À�ä°Ì�Ç�Ï�à Æ�Ñ;ÌòÀ�Ñ;Ù¡Ò�à�â·Á¡À�Ã�Î
á¬Ê*â·Á�Í»Ø�ämÍ�ègÕ�Ê%Ï�à Æ�Á¡À®Õ�à�Í�Á¡á�ÏPÃ�À�Á¡Ì�À�Ê�Ì®È�Ê�á¬Ø�Ã�À�Ñ × Ã�îǡÃ�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê�Ù¡ÊjîÑ;À�Í�Ã�Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê%Ö
Ù¡ÊjÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á¡É�A<lNÑ;Ç¡Õ�Ò�Á�ËPÁ�ÏPÁ¡À�Ã�Á^À�Ñ;Õ�Ò�Î�â^Á¡À�Ã�Ì]Éjá6Ñ%Í�Á¡Ò�Ã�Ñ�ÏPÁ·Ê�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Á�Í�Ç�ÎDÇ¡Ê�Ê;Í�À�Ê;Â8Á�À�Ã�Î�á¬ÃåÛ >;:%ß
Ë�Ï�Î"Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê�Ù¡Ê»Ç�Ï�à Æ�Ñ%Î
σs
rr =
F
2πir
∫
(L)
(ρ + 3) cos (ρ − 1) α cos (ρ + 1) θ − (ρ − 1) cos (ρ + 1) α cos (ρ − 1) θ
sin 2ρα + ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
σs
θθ =
F
2πir
∫
(L)
(ρ − 1)
cos (ρ + 1) α cos (ρ − 1) θ − cos (ρ − 1) α cos (ρ + 1) θ
sin 2ρα + ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
σs
rθ =
F
2πir
∫
(L)
(ρ + 1) cos (ρ − 1) α sin (ρ + 1) θ − (ρ − 1) cos (ρ + 1) α sin (ρ − 1) θ
sin 2ρα + ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
<*ï;ï
+6ý�#�ÿ���,�û���õ��³õ-$ û�.Gþ�ÿ�üPý���õ�õ/�0$!�21�üÔû ÿ��
�Sú°ÿ�ý�ö��31�%�õ*ú/��þ�����õ
��1�1�üPý�ú
ÃjË�Ï�ÎhÑ;À�Í�Ã�Ç¡Ã�á¬á¬Á�Í�Ò�Ã�Æ�À�Ê�Ù¡ÊgÇ�Ï�à Æ�Ñ%Î
σa
rr =
F
2πir
∫
(L)
(ρ − 1) sin (ρ + 1) α sin (ρ − 1) θ − (ρ + 3) sin (ρ − 1) α sin (ρ + 1) θ
sin 2ρα − ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
σa
θθ =
F
2πir
∫
(L)
(ρ − 1)
sin (ρ − 1) α sin (ρ + 1) θ − sin (ρ + 1) α sin (ρ − 1) θ
sin 2ρα − ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
σa
rθ =
F
2πir
∫
(L)
(ρ + 1) sin (ρ − 1) α cos (ρ + 1) θ − (ρ − 1) sin (ρ + 1) α cos (ρ − 1) θ
sin 2ρα − ρ sin 2α
(a
r
)ρ
dρ,
Ù�ËPÁ
L
Þ8Õ�Ò�Î�á6Ñ%ÎSÓ�Õ�Ñ;Ò�Ñ�Ï�ÏPÁ�ÏPè�À�Ñ%Îeá¬À�Ã�á¬Ê�Ì»Ê�Ç¡ÃeÈ�Ê�á¬Õ ÏPÁ¡È�Ç¡À�Ê�ÌgÕ ÏPÊ�Ç¡È�Ê�Ç�Í�ÃSÓ�Ñ1Å�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Á³Ò�Ñ*ËPÃ�Ñ�ÏPè%Ö
À�Ê�ÌIÈ�Ê�Ê�Ò�ËPÃ�À�Ñ%Í�ä{É·Í�Ê�Æ�È�ÁuÕ�Ò�à ÏPÊ*â·Á¡À�Ã�ÎIÀ�Ñ;Ù¡Ò�à�Å�È�ÃSA
G1Ò�Ã�É�Á�ËPÁ¡À�À�ä°ÁåÃ�À�Í�Á�Ù¡ÒPÑ�ÏPäqÉ�ä°Æ�Ã�Ç�Ï�Î�Ð3Í�Ç�ÎwÇÜÕ�Ê�á¬Ê;ã8è�ÐqÍ�Á¡Ê�Ò�Á¡á¬äqÊóÉ�ä°Æ�Á�Í%Ñ�Ú�A�G1Ê%ÏPгǡä
Õ�Ê*ËPä°À�Í�Á¡Ù¡Ò�Ñ�ÏPè�À�Ê�ÌéÄ1à À�È × Ã�úÉ�ä°Æ�Ã�Ç�ÏPÁ¡À�ä ÉóÛ >;:%ß3Ë�Ï�ÎóÇ�Ï�à Æ�Ñ;Á¡É
α = πj/4
Ó
j = 1, 2, 3, 4
A5G1Ê%Ö
Ç¡È Ê%ÏPè�È�àhË�Ï�Î]ÏPÃ�Ç�Í�è�Á¡É"Ú�Ñ;Ò�Ñ;È�Í�Á¡Ò�À�ä,Å�À�Ñ*Æ�Á¡À�Ã�Î
α = π/18 ÷ π/3
Ó(À�Ñ;á¬ÃDØ;ä²ÏPÊjËPÊ�Õ�Ê%ÏPÀ�Ã�Í�Á�ÏPè�À�Ê
Õ�Ò�Ê�É�Á�ËPÁ¡À�ÊuÉ�ä°Æ�Ã�Ç�ÏPÁ¡À�Ã�Á3È�Ê�Ò�À�Á¡Ì·à Ò�Ñ;É�À�Á¡À�Ã�Ì
sin 2ρα ± ρ sin 2α = 0
Ë�Ï�Î
α = πj/18
Ó
j = 1 ÷ 6
A
G1Ê%ÏPÀ�ä°ÁuÀ�Ñ;Õ�Ò�Î�â·Á¡À�Ã�ÎIÊ�Õ�Ò�Á�ËPÁ�Ï�Î�Ð3Í�Ç�ήÕ�Ê^ĨÊ�Ò�áGà*ÏÔÑ;á
σik = σs
ik + σa
ik
A
� «5ò å�ó�ã2ç!åÔçIôjõ ö0õ ÷Høxæ5å3ë�é_ö0õ ö0õ §1�������%ªî����±����������·���*�%��¯�����¦8�������%ªc�/�����%�������������·�8©����;���%���"���¡�����/��%��©��������*¢1�������%����������������±³���*������¦�«�ù�ù"úÔ����������������ª(�¬���������%����ªh�����¡����±�����������«�û3§1��±��������*�m�������%����������¥
�����*±³����������¦�«�û3§·« ü
ýG©���¥ ���m§�þBÿ( ������� «cû���«�û/ú2« � û����¡«
«�
�
����������� ÷�� ������� õ �0õj�'�����H���à� ���
� }
� ��� ���h}� "!5���#���2�
�f���2�H�K��������� ù�ù%$ �3� �����(� «Oû ��� � � «Bû'&�(�) +* � «Xû � «
���
� ¥ ��� «
��«%,-���
.�/ z �102, õ ÷ ���
/ 34�5�6� õ 7jõ ÷98 ���
/ 3 z;:aõ �5. z /=< � �>!5�������2�
�f���2�H�K��~@?
¡�BA:���
���5C!���(�5�BA'� �3���c������� � ��?¡}����@?�� ��D
��� ���>!"�������K���E! ��� ����Dc����� ��� ü D�� ��}��2�+!5���#���2�
�f���2�j�2���2� ��²�f� ù�ùGF%«IHKJ
L ����� ! «M< �2���2�� «!û BN>N>N «�û�OI&; P*Q� � «!û
� « ���
� ��û ��� �R «
R «TS z �10>��UT�5�@3-V õ ÷XWIY#Z �#[�\]�5�_^ õI`����#�
�2�
�c�²�����²���� G!5� �(���2��~�}
~
� ���������� ����������� ����� �����
�Ë� L �a?�����!5�f�a�BA-!"�2� b��Ë�3��� � ¥
� L ��� � ���<�²~
}�cÔ���(����?m���"}����@?�� ��D"�K��������� ù�ù �j���2��� L �f���d!"� «cû ���>� R «cû�&
e1�� �*Q��¥ R «cû � « ��� û � N � «
� « ��f UT�5�g, õ 7jõ ÷h��f UT�5� W�õ �0õ ÷ ,-�jid�B�d��k��ml õ � õ ÷ , f �9� õ � õ��j�f�2�c�'�3��� �MD������H��������� L ���@?
�H���-� J ���������2�IA���3���:�2�@?
���
������� L �����²�=����nc~
� �����s� �������(�o!5�f�3���2��~
}
~
� ��� ù�ù �j�f�2�c�:�-��
�²� ��� «�û ���>��� «cû�&p&
q� �* «�û � « R� � û R � N «
� « 8 3r. Y#Z �5/r/s, õ �0õ ÷P8�f �5�#iX^ õ t�õ>`��������2�
�f���2�
�K���������O���ED�~
�f����� �����BA L �f�2�c�KD������H���Ë�2�@?u?��Ev2��� � L !5���c� ù�ùow ���²��� �yx<�Ev «
û ���>��� «cû�&�(�«�û � « � û R� «
��« 7+f � Y#Z
õ 8°õ ÷m7 3r�@.�3r/ Z
z>Y ^ õ 8°õX`����#���2�
�f���2�a�²� D����2�f�5� � L �f�2�c��?��Ev���� � L !5�3�c� ü �_�
�E�z!5�3���
�
?2Að���m�²� ��D�� ���3��� �
�K��~@?�� ��� ù�ùm{ �Ev « < � ��� «�û ���>� ��«cû�&
eP&; �* «�û � « �R � û �2� «
� «h|-3ai Z �5�9l õ l õ ÷ , f �=� õ � õp`����#���2�
�f���2�1Að�����3���<� � L �f�2���QD������H�����2�@?�?��Ev���� � L !5���c� ù�ù �'���jv�� � « $�L ���3� < �f��� « < ~
� � «�û
BN>N>N «cû�&
}� �* «�û � « � ��û�����«
� «ulu��/ z � 7jõ ÷ ^~�E�5. Z 3 ��� õ W�õs�X�
���Q������� ����A:�d��� L �T!�~�������� ���¡� �à�3�2�²�����¡�f�0���(��� v��-� �à�2� �E�3��� �E�f�j ������=�BAH���
�-� ����Aù�ù |o!5��� « F%« < �2���2�� «cû ���>��� «cûGe1O� @*Q��«�û � «@� > û�� ��«
� N «u� ã
��ã�ìp���2îT�5õ �5õP� �%���%�����������%��¢8���%���������³�`���¡���3�%�%�¸����ù�ù/úÔ����������������ª(�²���������%����ªs�����¡����±�����������«+&
q�«§1��±����������²���¡�����²�/�%��©��������*¢�«�û3§·« ü
ýG©���¥ ���m§�þBÿ( BN>N>N «cû/ú2«@��� � û R>N � «
��� « øxæ5å3ë�é�ö0õ ö0õ ÷�����ó]�2å3é@�>���Vôjõ ö0õ G���¡�����%���%�����������%��¢»��������������������©���¤��*¢e�������¡�����·�¸�%��¢»�������%�������������¡����������������%���;�� *�%���������������m�%�²�������%��´°�¡��«!ù�ù��6���*� «��I�2µm«�û ���>� ��«cûG}1�@e� �* R «�û/ú2« R>R ��û R>R � «
� «uV z �@.���� :aõ���z�õ ÷ V_3 �53r/ ��k zgt�õ t�õ < � �>!5�������2�
�f���:�BAD�#��� { �Ev2��� � L � ��D-�j�f�2�c�9�H�f���²~
��� ù�ù �j����}
� �E!"�:�BA-`����#�
� �
���� «û BN>N� «cû�O� @* «�û � « ��� û � N ��«
� ��« : �
3aim� õ ÷X:az �]. Z ���;� õ ÷y: �]34�5���%, Z
õ ÷_� ��� z �
.=� õX�B����A { �f���d �!h!5�3���� °�2��?������ �¡�'�����H�����O� ���a? ü �X�����s���²�Ë�BA
���
�m�X��� L �2����� ~�!g�B����As�j��� ��� ù�ù |<�(��� < � �2���
�������3���f��� «�û ���>��� «�ûG)1}� �* � ù «cû � « �
� û � R «
<*�
+°÷ +°÷�tGõ���õ
�þ���ý���u2÷ v°÷
t2ÿ�ý���
�û��
��þ
� R «uV_3 �53r/ ��k zmt�õ t�õ>��?����c��� ��������� ���"�BA����
����� �>D��f���2� L �2���B!5�3��������� �T!5��?��3� ���BAID������<� ��D0�(���c��� ��~
~�!"� ù�ùjH�� xo�=` H � w
�E��� � ��nc~
� ~�!��j��?����c��� ��������� �����2�@? �oL ?
����� ��D `��3���
��?
�"�BA�`��������2�
�f���2� $ ����~��(��~
�����E¡ ü�< ���>�à�BA�|:}��K�������(��� «�û
�j���BD�~
� BN>N� «cû � « > «
�j� « øoä�ãp¢�椣aõ ¥°õ ÷�£:î2â3ã�ìp¦cåE�u§aõ ò õ ÷ � ��ìp��¢]¨@©@é�ê�ë�ôjõ«ª=õ1¬ ����������������¹]���������������������������������%���%��©��m���¡�����m���������������������©��6�3�%������������¦°ù�ùm��*�*��«���������¦³������� «�û ��� � � «cûG}p®� �* � «�û � « � � � û �2��� «
��� « ösç�í�æu¯<é�¨�é��5õ °�õ ÷p±�çp�E�B¢����"ö0õ ±�õ ÷+�Ëî�í�ä����h£aõ³²sõ §1��±����������m�%�����������*±³��¢�©�����������������¥ �*�;���¸���*���������*±³����� «û�§·« ü µ¬�����*�� ����� ��«cû R � ��«
� ��« ²+�2î�í � õ �K�%�����¡���*¢1������������ªS±3�%������������¦Bü@< ±3��«�û�§·« ü%§1���� ����� N «
��� « øxæ5å3ë�é�ö0õ ö0õ G���*�%��´²�������6���������%��������±¡���������¨���*�%��¯�����¦1�������%ªh�¨�����%���%�������¡������¹]���¡�����m�������%����������¥�����*±·���*������¦Vù�ù�úÔ����������������ª(�3���������%����ªÜ�����¡����±�����������«�§1��±����������¨���¡�����¨�^�%��©��������*¢�«Xû8§·« üDýG©���¥ ���
§�þBÿ( BN>N>N «cû�&
q�«�û�ú2« � R � û � �j��«
��� «�
õ ´<õ ^y���jiE�E��i ÷ � õ V õ ´<õ�µ �].��«� z�÷ � õ W�õ : � f �5�u$ � L �2������� ��D5�'���j�H���TAð���>! H �f���K���f� { �5Að����!"����� ���G?�~
��� ��DT�E��� � H �
�f�2� ¥
D��E!5���c� ù�ù �j�f�2�c�:�-�� ��²� ��� «�û ���>�>� «cû�&p&
®� �* «�û � «1�>� � � � R «
BN «u� õ ¶ , Z
õ W [ z .³� ÷97jõ V_� Z / �5� ÷ V õ � õ t 3 ·�/ z i `����#���2�
�f���2� < �E���jv�� ��~
�g�oA=�j�f�2���G�H�f���²~
��� ü �E�>! L �c�²� ����`����������f�2�f�g�a�
$ ����~��(��~
�����#¸ ù�ù�F%« HKJ
L ����� ! « < � ��� «cû ���>�>� «cû��@q1��«�û � «@� �>� û�� � «
� « W�õ Vh�5�#i].��5��i õ ÷u��õ | õ lu� Y � z �5UT�5� ÷ � õ ¶ ^ õ�¹ �5�E�#�5/ �5� �E��� �Mº_�2� �f�a���:���
���j�f�2�c� $ ~
�dAZ���3� < �E���jv2�_`��������2�
�f���2� � ��B� ���
�O� }!��� ¥ x<�3�f��Að�����3��?��E�>! L �c�²� ����`����������f�2�f� ù�ù �j�f�2�c�:�-�� ��²� ��� «�û BN>N � «cû�&��p(� �» � N «�û � «p� �
� û�� ��� «
> « W .��5�]�1�#�5��� ´<õE�B�c�>? ¥ ����������Að���5�2�@?à� �c�>? ¥ ?�� C!~��²� ���h� �h���f���K���c�K�(�����f��� «jù�ù �j����� « $ � J ��� �6« $�« * ����� �����2�=�E����D��������0�BA
| L�L � � ��?�`����#���2�
�f��� «�û ��� � N «cû � «p� R û �
� «
��«�¼K½ ì
¨�ép¢=¾�õRôjõ ýG���������%���%����ª(�K�����������%��©����������*¢²��©����%���%��±²�����������������������¡������«2û²§·« ü µ¬�����*�� ������� «�ûu� ����«
�R « W . z UT�5�1��k�3 Y l õ ÷ ,-���>� Z / 3r� 8°õ | õH|¿nc~��2�c��� ������� v���!5�
?����a�BA��3��� � ~
�f�2�-���f���K���f�3� �� h}����²��?������������²�ED���� �� ù�ù;F%«
< � �>!5���#� «
H ��D «�û BN>N>N «cû�&��p��«�û � «@� � û R ��«
ÀGý�ÿ�Æ���þ���ö���õ
�/�;ý���õ�þ��;ý�
Æ����<�m1���ÏÔ�¬õ%ü(÷ ÁG÷ +°÷ t6ý�ÿ�ý2��õ
�;ý
Â�Ã�ÃpÄ�Ä>ÅBÆ
Â�ÇyÈ�Ã@ÉBÊ
G���%���������h� N « � N « N�
<*ï;ð
|