Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body
In this paper a new approach useful for numerical integration of the motion equations for a free rigid body with a fixed point is studied. The approach employs symplectic integration schemes of the second and third order. These schemes are presented as a sequence of rotations with two frequencies pe...
Gespeichert in:
Datum: | 2003 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | English |
Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123732 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body / N.V. Khlistunova // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 190-199. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123732 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237322017-09-10T03:03:32Z Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body Khlistunova, N.V. In this paper a new approach useful for numerical integration of the motion equations for a free rigid body with a fixed point is studied. The approach employs symplectic integration schemes of the second and third order. These schemes are presented as a sequence of rotations with two frequencies per each integration step. Roth schemes are implemented and tested against Runge-Kutta-Fehlberg fifth order method, the represented computational results are satisfactory. 2003 Article Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body / N.V. Khlistunova // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 190-199. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123732 531.38 en Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
description |
In this paper a new approach useful for numerical integration of the motion equations for a free rigid body with a fixed point is studied. The approach employs symplectic integration schemes of the second and third order. These schemes are presented as a sequence of rotations with two frequencies per each integration step. Roth schemes are implemented and tested against Runge-Kutta-Fehlberg fifth order method, the represented computational results are satisfactory. |
format |
Article |
author |
Khlistunova, N.V. |
spellingShingle |
Khlistunova, N.V. Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body Механика твердого тела |
author_facet |
Khlistunova, N.V. |
author_sort |
Khlistunova, N.V. |
title |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
title_short |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
title_full |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
title_fullStr |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
title_full_unstemmed |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
title_sort |
spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2003 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123732 |
citation_txt |
Spectrol properties of symplectic integrators for problem on motion of a free rigid body / N.V. Khlistunova // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 190-199. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT khlistunovanv spectrolpropertiesofsymplecticintegratorsforproblemonmotionofafreerigidbody |
first_indexed |
2025-07-09T00:09:34Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:09:34Z |
_version_ |
1837125888867565568 |
fulltext |
��������� �
���
����������������������� ��"!�# �%$�&(' )*'"!��*+(���,
�� � ����-/.102�3� �
46587,9;:�<�= :�>
?© @;A�A :�=�BDCFEGCIHKJ2LNMNO�P�Q2RTS�U�V
W�XZY�[]\6^`_8a`b*_cb B a`^`dfefgha`bji Blk imela]nZ^o^1p"\6^/eq_8gZWr^ci k Ysita`b*i B
i k g B ^1guef\vXwW�XZYxY�^1a`eub*_ceub*dfbzyl{titymX
|~}��������(�%�������T��}��������������z�������%�N���F���������T}j�*��������������� }z������������� ��}����������6������� ��}/���z�%����� ��}%�������2���F���������������3�;���*�
�(� ���/�6 �¡*���¢����� }��(���r�£���%�*� ����¤�¥r�������������z�����¦������� ���*�r�N�j����� ���§�����¨� }�������������� ��}��������������r�����������N������}%�3��}%�¦����� ���
�����*����¤�¥r�����N�T�������������v�����(�������N��}����������v���N���z����}%���(��������������� ��}%���(� �����£�©���������z����}%��� ���������v��������� }z������������� ��}��£������¤
ª���������������������������� ����� ������}z��������}%�������£���������z��� }%�£��«(��}�����¬~I�*�N����¬~®������ �;�����2 *�F���������*�������������*��¯°�����(�����������N��}z�����
�������*�*������� ��}%���������N��� ���(���������������£�±���§��������¤
b RvP*²�ST³2Q2´;P�M£S©R6C�µ�¶¸·�¹�º ?z» º;¹�¹�¼¾½ ? º%¿°½¾À;¶�·]·�Á ?� º;·Ãº%¿�¿°½±¿°Á�Ä » º;¶�ĸÀ�Å�Æ�½±¿�º;¼ ? À�¶�¿°Å�À�¼�À;Ç�º;Å�¿°½±È ? ½Éº;¼
·°º%¿ » ¼¾¼±½±¿ » ·8¿ Â�» ¹�Űº ? ¿°½ ? º;¼�½¾Êt¹�¼ » Ê » ¶�¿�º%¿°½±À�¶¸À;Ç ? À�¶�¿°Å�À�¼¦À;Ç~¿ » ¶ ? º;Á�· » ºË¶ »z» Ä̽±¶Í¹�Å »z? ½¾· » ¶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼
½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶ÃÀ;ÇrÊϺ;½¾¶ÃÐ;º;Å�½Éº;Æ�¼ » · ?� º;Űº ? ¿ » Å�½¾Ñz½¾¶ Î ¿ Â�» ·°º%¿ » ¼¾¼¾½±¿ » ÊtÀ;¿°½¾À�¶r=�Ò�À�Å6·�ÊϺ;¼¾¼vº;¶�Ä ?�Â�» º;¹u·°º%¿ » ¼¾¼¾½�Ó
¿ » ·1¿ Â�» Æ�Á�Ä Î�» ¿ ? À�·�¿]À%Ç�¹�ºjÔ ¼¾À�º;ÄG½¾·`º"Å » º%·°À;¶D¿°ÀZ¹�Á�¿`·�À�Ê » Å » ·�¿°Å�½ ? ¿°½¾À;¶�·hÀ�¶G¿ Â�» ·°º%¿ » ¼¾¼¾½±¿ » Ä » ·�½ Î ¶rÕ
Ç£À�Å »�Ö º;Êt¹�¼ » Õ�¿ Â�» Æ©À�Á�¶�Ä�·�À�¶Ï¿ Â�» ÊϺ;·�·z=�×�Á » ¿°À8·�¿°Å°À;¶ Î ·�À�¼Éº;ŨŰº;Ä�½Éº%¿°½¾À;¶ÏÀ�¶Ï¿ Â�» À�Å�Æ�½±¿Ø¿ Â�» Êt½¾·�·�½¾À�¶
·°º%Ç » ¿§Ôú;¼¾·�À1Å » ·�¿°Å�½ ? ¿°·¨¿ Â�»¦? À�¶�È Î Á�Űº%¿°½¾À�¶ÃÀ;Çv¿ Â�» ÊϺ%½¾¶8À�¶�Æ©À�º;Å�Ä ? À�Êt¹�Á�¿ » ÅI¿°À1¼¾À*ÙÚǣŠ»zÛ Á » ¶ ? ÔÃÊtÀ Ä » ¼¾·
¼¾½±Ü » µ§¶�¿ » ¼6> A :�>�Ý�=(Þ(À�¶ Î"? À�Êt¹�Á�¿�º%¿°½¾À�¶�º;¼2¿°½¾Ê » Á�·�Á�º;¼IÇ£À�Å/¿  º%¿`ÊtÀ�Ä » ¼¾· Î ½±Ð » ·hÅ�½¾· » ¿°À"¿ Â�»mÛ Á » ·�¿°½¾À�¶À;Ç ?� À�½ ?z» À;Ç2¿ Â�» ÇNº;·�¿ » ·�¿3¶ Á�Ê » Å�½ ? º;¼�Ê » ¿  À Är=�ß Â Á�·¢¿ Â�» ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶fÊ » ¿  À�Ä Â º;·¦¿°ÀmÆ » º;·¦ÇNº;·�¿3º;·
º ?�? Á�Űº%¿ » º;¶�Ä Î ½±Ð » ·°º%¿°½¾·�ÇNº ? ¿°À�Å�ÔuÅ » ·�Á�¼±¿°·¦Ç£À�Ŧ¼¾À�¶ Î ¿ » Å�Êc¹�Å » Ä�½ ? ¿°½¾À�¶�·z=
àZÀ�Ä » Å�¶8¿ Â�» À�Å�Ô]À;Çv¶ Á�Ê » Å�½ ? º;¼�Ê » ¿  À Ä�·¨Ç£À�Å2À�Å�Ä�½¾¶�º;Å�Ô`Ä�½±á » Å » ¶�¿°½Éº;¼ »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·¦â�ã1×/ä�·�娷�Ô ·�¿ » Êt·
º;¼±¼¾À�Ù¦·¦¿°Àt·°º%¿°½¾·�Ç~Ô"º;¼¾¼r¿  À�· » Å »zÛ Á�½¾Å » Ê » ¶�¿°·3Æ�Ô ?� À À�·�½¾¶ Î º;¶Kº;¼ Î À�Å�½�¿ Â ÊæÙ¢½±¿ ÂZÎ À À Ä »�çt? ½ » ¶ ? Ô�Õ » Ð » ¶
? À;Êt¹�º;Űº;Æ�¼ » ¿°Àuº ? À�Êt¹�¼±½ ? º%¿ » Ä�º;¹�¹�Å�À Ö ½¾ÊϺ%¿ » ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶ »�Ö ¹�Å » ·�· » ÄG½¾¶Z¿ » Å�Êt·3À;Ç�·�¹ »z? ½Éº;¼2ÊϺ%¿ Â�» ÊϺ�Ó
¿°½ ? º%¼`Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·z=/è3À�Ù�º;Ä�ºjÔ ·zÕ/Ç£À�Å »�Ö º;Êt¹�¼ » Õ�·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶éÊ » ¿  À Ä�·Gº;Å » ·�Á ?z?z» ·�·�Ç£Á�¼¾¼±Ô
º;¹�¹�¼±½ » Äh¿°À¢Ð%º;Å�½¾À�Á�·¨ê�º;Êm½¾¼±¿°À�¶�½¾º;¶1·�Ô ·�¿ » Êt·�ë�<�Ó§ì;í�=*ß2À3¹�Å�À�Ð ½¾Ä » ÇNº;·�¿ ? À�Êt¹�Á�¿�º%¿°½¾À�¶`º;¶�Ä Î À�À Ä]º ?z? Á�Űº ? Ô
·�Ô Êt¹�¼ »�? ¿°½ ? Ê » ¿  À Ä�·�º;Å »`? À�¶�·�¿°Å�Á ? ¿ » ÄK¿°ÀÏÁ�· » ½¾¶�¿ »zΠŰº;Æ�¼ » ¹�º;Å�¿°·3À;Ǩ¿ Â�» Ç£À�Å ?z» È » ¼¾ÄKº;¶�Ä Î�» À�Ê » ¿°Å�½ ?
Æ »z ºjÐ ½¾À�Å¢À;ÇIê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶f·�Ô ·�¿ » Êt·z=
µ§¶ ?z» ¼ » ·�¿°½Éº;¼2Ê »z?� º;¶�½ ? ·�Ç£À�Å3¿ Â�» ¹�¼Éº;¶ » ¿�º;Å�ÔDî;Ó§Æ©À�Ä�ÔK¹�Å�À�Æ�¼ » Êï¿ Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°À�Å¢Ù�º;·
¹�Å » · » ¶�¿ » ÄÃÆ�Ôhðñ½¾·�Ä�À�Êòº;¶�Ä8ê3À�¼¾ÊϺ;¶të�<zí�º;¶�Ä`¿ Â�» ¶8Á�· » ÄÃÆ�Ôhðñ½¾·�Ä�À�Êxº;¶�Ämó Á�·�·�ÊϺ;¶uë @ í ¿°À�½¾¶�¿ »zΠŰº%¿ »¿ Â�»f» Ð�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶¸À;Ç¢¿ Â�» Ù Â À�¼ » ·�À�¼Éº;Å8·�Ô ·�¿ » ÊlÇ£À�Åü¾À�¶ Î ¿°½¾Ê » ¹ » Å�½¾À Är=¨ß Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? Ê » ¿  À�ĸǣÀ�Å
½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶¸¿ Â�» ÊmÀ;¿°½¾À�¶ »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·ÏÀ;ÇhºDǣŠ»z» Å�½ Î ½±ÄÍÆ©À Ä�Ô;ÕØÙ Â ½ ?�ÂÌ? À�¶�· » Å�Ð » ·u¿ Â�» ÊϺ Î ¶�½±¿°Á�Ä » À;Ç
º;¶ Î Á�¼Éº;Å6ÊtÀ�Ê » ¶�¿°Á�ÊsÐ »z? ¿°À�Å�º;¶�ÄϽ¾·Øº ?z? Á�Űº%¿ » ¿°À`¿ Â�» È�Å�·�¿�À�Å�Ä » ÅØÀ;Ç�¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹rÕ�Ù¦º;·Ø½¾¶�¿°Å�À Ä�Á ?z» Ä
½¾¶Ìë :%í�=2ß Â�» ¶ ΠŰºjÐ ½±¿�º%¿°½¾À�¶�º;¼�½¾¶�¿ » Űº ? ¿°½¾¶ Î À;Ç�¿ Â�» ÆvÀ Ä�ÔDÙ¢½±¿  ÊϺ;·�·]¹©À�½¾¶�¿°·`Ù�º;·8½¾¶ ? À�Å�¹vÀ�Űº%¿ » Äô½¾¶�¿°À
Ä�Ô ¶�º;Êm½ ? ·�¿°À Î�» ¶ » Űº%¿ » ¿ Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? · ?�Â�» Ê » Ù Â ½ ?�ÂË? À�¶�· » Å�Ð » ·1¿ Â�» ¿°À;¿�º;¼¨º;¶ Î Á�¼Éº;Å�ÊtÀ�Ê » ¶�¿°Á�Ê
À;Ç�¿ Â�» ·�Ô ·�¿ » ÊZ=2µ�¿]Ù�º;· ? À�¶�È�Å�Ê » Äõ¿  º%¿`¿ Â�» ¹�Å » · » ¶�¿ » ÄÚ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°À�Å�·`¹�Å�À*Ð ½¾Ä »t ½ Î� ¹�Å »z? ½¾·�½¾À�¶ôº;¶�Ä
ÇNº;·�¿ ? À�Êm¹�Á�¿�º�¿�½±À�¶r=6ß Â�» Æ©À À�Üöë ì;í�Æ�Ô÷ó�º;¶�Ñ�Ó�ó » Å�¶�ºôº;¶�Äñø�º;¼±Ð�ÀõÅ » ¹�Å » · » ¶�¿°· »�Ö ¿ » ¶�·�½±Ð » ¶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼
»�Ö ¹ » Å�½¾Ê » ¶�¿°·TÙ¢½±¿  ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À;¶hº;¹�¹�¼¾½ » Ä1¿°À¢Ä�½±á » Å » ¶�¿¨ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶1·�Ô ·�¿ » Êt·2¼¾½¾Ü » ê » ¶�À�¶ Ó
ê » ½¾¼ » ·�º;¶�ÄËù » ¹�¼ » Å�¹�Å�À�Æ�¼ » Êm·j=�µ§¶K¿ Â�» º;Å » ºtÀ;Ç�·°º%¿ » ¼¾¼¾½±¿ » À�Å�Æ�½±¿�Ä�Ô ¶�º;Êt½ ? ·¢¿ Â�» ¹�º;¹ » Å8ë 9�í2·  À*Ù¢·�¿ Â�»
¹�Űº ? ¿°½ ? º;¼ » á »�? ¿°½±Ð ¶ » ·�·`À;ÇØ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶K¿ »z?� ¶�½ Û Á » Ù Â ½ ?�ÂG º;·1Æ »z» ¶G½¾¶ ? À�Å�¹©À�Űº%¿ » Ä˽¾¶�¿°À
ºÃÆ�º%¿ ?� È�¼±¿ » Å�¿°Àm·�À�¼±Ð » ¿ Â�» À�Å�Æ�½±¿ » ·�¿°½¾ÊϺ%¿°½¾À�¶f¹�Å�À�Æ�¼ » ÊZ=
ß Â ½±·¢¹�º;¹ » Å »�Ö ¹�º;¶�Ä�·�º;¹�¹�¼¾½ ? º%¿°½±À�¶fÀ;Ǩ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°À�Å�·¦À;Ç2¿ Â�» · »z? À�¶�Ä�º;¶�Äf¿  ½¾Å�Ä"À�Å�Ä » Å
½¾¶m¿ Â�» ¹�ŰÀ;Æ�¼ » ÊoÀ;ÇTº%¿�¿°½±¿°Á�Ä » Ä�Ô ¶�º;Êt½ ? ·ØÀ;Ç(·�ÊϺ;¼¾¼�·°º%¿ » ¼¾¼¾½�¿ » Å�À;¿�º%¿°½¾¶ Î º;Æ©À�Á�¿�ºhÈ Ö�» Äu¹©À�½¾¶�¿ØÀ�¶ÏÀ�Å�Æ�½±¿�º;¼
¿°Å°º�ú »z? ¿°À�Å�Ô�=�ß Â�» ÊtÀ�·�¿t·�½¾Êt¹�¼ » ÊtÀ Ä » ¼�¿°ÀDÆ »�Î ½¾¶Ú¿ Â�» ·�¿°Á�Ä�Ô¸Ù¢½±¿ Â Õ ? À�¶ ?z» Å�¶�·t¿ Â�» ¹�Å�À�¹�º Î º%¿°½¾À�¶ÚÀ;Ç
º;¶ Î Á�¼Éº;Å6Ð » ¼¾À ? ½±¿§ÔmÀ;Ç2ºhǣŠ»z» Å�½ Î ½¾ÄtÆvÀ Ä�ÔtÅ�À;¿�º%¿°½¾¶ Î º;Æ©À�Á�¿�¿ Â�» ÊϺ;·�· ?z» ¶�¿ » Å�º;·Ø¿ Â�» È Ö�» Äf¹©À�½¾¶�¿j=�ß Â�» ¶
<*û A
üzý*þØÿ������������ �
�����
�����������
���������
�������� ý��£ý*þ�þ��������������
��� "!��# �ý
º ?z? À�Å�Ä�½¾¶ Î ¿°Àÿ Â�» Ù » ¼¾¼�Ó§Ü�¶�À*Ù¢¶Kä�Á�¼ » Å¢½±¶�¿ »zΠŰº;Æ�½¾¼±½�¿§Ô ? º;· » ¿ Â�» ÊtÀ;¿°½¾À�¶ »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·3º;Å » ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿ » ÄZ½¾¶
Û Á�º;Ä�Űº%¿°Á�Å » ·Øº;¶�Ä »�Ö ¹�Å » ·�· » ÄϽ¾¶8¿ » Å�Êt·IÀ;Ç » ¼¾¼¾½¾¹�¿°½ ? º;¼%$�º ? À�Æ�½�Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·z=�ê3À*Ù » Ð » ÅzÕ�¿ Â�»¦? º;¼ ? Á�¼Éº%¿°½¾À�¶]À;Ç
$�º ? À�Æ�½�Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶ ? º;¶tÆ » ¿°½¾Ê »�? À�¶�·�Á�Êt½¾¶ Î À�¹ » Űº%¿°½¾À�¶ÃÇ£À�ÅI¿ Â�»3? À�Êt¹�Á�¿ » Å�½¾¶  º;¶�Är= Ò�À�Å�¿°Á�¶�º%¿ » ¼±Ô;Õ�¿ Â�»
·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? º;¹�¹�Å�À�º ?� ½¾·1º;¹�¹�¼¾½ ? º;Æ�¼ » Ç£À;Å�¿  ½¾·�¹�Å�À�Æ�¼ » Ê Æ »z? º;Á�· » À;Ç6¿ Â�» ¹�Űº ? ¿°½ ? º;¼¨º;¶�Ä�¿ Â�» À�Å » ¿°½ ? º;¼
Ç » º%¿°Á�Å » ·]Ç£À�Å�ÊÃÁ�¼Éº�¿ » Äõ¶ »�Ö ¿j=¨µ§¶�Ä »z» ÄrÕIÊϺ;¶�ÔDÀ;Ç¢·�ÊϺ;¼¾¼6·°º%¿ » ¼¾¼¾½±¿ » ·  ºjÐ » ¶ » º;Å�¼±Ôõº Ö ½¾·�Ô ÊtÊ » ¿°Å�½ ? ÊϺ;·�·
Ä�½¾·�¿°Å�½¾Æ�Á�¿°½¾À�¶Ãº;¶�Ä8¿  ½¾·¨ÇNº ? ¿ » ¼¾½¾Êt½±¶�º%¿ » ·2¿ Â�» ¹�º;Å�¿°½ ? Á�¼Éº;Ũä�Á�¼ » Å ? º;· » À%ǩŠ»zÎ Á�¼Éº;ÅI¹�Å »z?z» ·�·�½¾À�¶tº;Æ©À�Á�¿�À�¶ »
À;Ǧ¹�Å�½¾¶ ? ½¾¹�º%¼�½¾¶ » Å�¿°½Éº"º Ö�» ·]º;ÊtÀ�¶ Î Ä�½±á » Å » ¶�¿`Å�À;¿�º%¿°½¾À�¶�º;¼IÅ »zÎ ½¾Ê » ·z=(µ§¶õ·�Á ?� º ? º;· » ¿ Â�»t À�Ä�À ΠŰº;¹ Â
À;Ç2º;¶ Î Á�¼Éº;Å�Ð » ¼¾À ? ½±¿�Ôm½¾· » º;·�½¾¼±Ôm¹�Å�À�¹�º Î º%¿ » ÄϽ¾¶Ï¿ » Å�Êt·ØÀ;Ç(¿°Å�½ Î À�¶�À�Ê » ¿°Å°½ ? Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·z=�Ò�À�¼¾¼±À*Ù¢½¾¶ Î ë :%í�Õ ½¾¶
¿  ½¾·/¹�º;¹ » Å�¿ Â�»Ã? À�Å�Å » ·�¹vÀ�¶�Ä�½¾¶ Î"»�Ö º ? ¿h·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶K½¾·/Á�· » ÄË¿°À ? À;¶�·�¿°Å�Á ? ¿1¿ Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? · ?�Â�» Ê » ·1À;Ç
¿ Â�» · »z? À�¶�ÄDº;¶�Ä�¿  ½¾Å�Ä�À�Å�Ä » Åz=©ß Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;Å3Ä�Ô ¶�º;Êt½ ? ·�À;Ç�¿ Â�» Æ©À�Ä�Ô ? º%¶ËÆ » Ç£Á�Å�¿ Â�» Å ? À�Êt¹�¼¾½ ? º%¿ » Ä
Æ�Ô˽¾¶�¿°Å�À Ä�Á ? ¿°½¾À�¶ËÀ;Ç�Ä�½¾·�¿°Á�Å�Æ�º;¶ ?z» ·hÄ�Á » ¿°ÀZä6º;Å�¿ ÂGΠŰº*Ð ½±¿§Ô˺;¶�ÄDÊϺ Î ¶ » ¿°½ ? È » ¼¾Ä�·zÕ(Æ�Á�¿1¿ Â�» · » ½¾·�·�Á » ·
Ù¢½¾¼¾¼rÆ » ¼ » Ç~¿¦¿°Àÿ Â�» Ç£Á�¿°Á�Å » Ù�À�Å�Üv=
& C W(' LNM~PjP�M£R )+*-,�P�JTS(³2O/.�Sv²KRrQ�*-,�²%MN´�V�L¢MNR©P�,0)v²�V�P�M£S©RÌS1. ityf^ O;CTµ�¿1½¾·�À;Ç~¿ » ¶�Ä�½ çt? Á�¼±¿3¿°À
È�¶�Ä º;¶�º;¼±Ô�¿°½ ? º;¼±¼�Ô Î�» ¶ » Űº;¼ »�Ö º ? ¿Z·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�Ç£À�Å"ã1×/ä�·"·�Ô ·�¿ » ÊZÕ Â À�Ù » Ð » Å"¶ Á�Ê » Å�½ ? º;¼�½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶
º;¼¾¼¾À*Ù¢·K¿°À ? À�Êt¹�Á�¿ » ¹�º;Å�¿°½ ? Á�¼Éº;ÅK·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶ Ç£À�Å�¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½¾º;¼hÐ%º;¼¾Á »¸Î ½±Ð » ¶r=hó ¹�¼¾½±¿�¿°½±¶ Î Ê » ¿  À Ä�·�Ç£À�Å
¶ Á�Ê » Å�½ ? º;¼Ø½±¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶DÀ;Ç/ã1×/ä�·8·�Ô ·�¿ » Êwº;Å »u» ·�¹ »z? ½Éº;¼¾¼±Ô » á »z? ¿°½±Ð » Ù Â�» ¶¸¿ Â�» Ç£À�Å ?z» È » ¼¾Ä ? º;¶¸Æ »
Ä�½±Ð ½¾Ä » Ä˽¾¶�¿°Àt¿�Ù�ÀfÀ�Å�ÊtÀ�Å » ½¾¶�¿ »zΠŰº;Æ�¼ » ¹�º;Å�¿�·z=©ß  ½¾·/½¾·/º;¼¾·�Àu·  º;Å » ÄGÆ�ÔK·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? Ê » ¿  À Ä�·z=�µ�¿1½¾·
º;·�·�Á�Ê » ÄZ¿  º%¿¦¿ Â�» º;Á�¿°À�¶�À�ÊtÀ�Á�·¦·�Ô ·�¿ » ÊïÀ;Ç�ã1×/ä�·3½¾·�Ù¢Å�½±¿�¿ » ¶"½¾¶f¿ Â�» Ç£À�Å�Ê
Ẋ =
m
∑
k=1
Fk(X),
â�<�å
Ù Â�» Å »
X ∈ Rn,
¿ Â�» Ð »z? ¿°À�Å�Ó�Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·zÕ
Fk = (Fk
1, . . . ,F
k
n) (k = 1, . . . ,m),
Å » ¹�Å » · » ¶�¿/¿ Â�» ¹�º;Å�¿°·
À;Ç2¿ Â�» º ? ¿°½¾¶ ΠǣÀ�Å ?z» È » ¼¾Är=�ß Â�» ½¾¶�½±¿°½¾º;¼ ? À�¶�Ä�½±¿°½¾À�¶�·¢º;Å »
X(t0) = X0.
â @ å
ß Â�» º;Ä�Ð;º;¶�¿�º Î�» À�Á�·¦Ç » º%¿°Á�Å » À;Ç2·°¹�¼±½±¿�¿�½±¶ Î Ê » ¿  À Ä�·¦¹ » Å�Êt½±¿°·�¿°À ? À�¶�·�¿°Å�Á ? ¿ » º;·�½¾¼±Ôt¿ Â�» º;¹�¹�Å�À Ö ½�Ó
ÊϺ%¿ » ¶ Á�Ê » Å�½ ? º;¼;·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�Ç£À�Å6â�<�å�ÕÉâ @ å�ÕzÙ¢½±¿  À�Á�¿Tº;¹�¹�¼¾½ ? º%¿°½¾À;¶1º;¶�Ô/À;Ç ? À�¶�Ð » ¶�¿°½¾À�¶�º;¼�ã1×/ä�·T½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°À�Å�·º;·zÕTÇ£À�Å »�Ö º;Êt¹�¼ » Õ 2¢Á�¶ Î�» Ó�ù1Á�¿�¿�º"Ê » ¿  À Ä�·z=Tß Â�» º;·�·�Á�Êt¹�¿°½¾À�¶rÕr¿  º%¿`¿ Â�» Ð »z? ¿°À�Å�Ó�Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·
Fk
º;Å »
¼¾½¾¶ » º;Å`À�¶
X
Õ2¹�Å�À�Ð ½¾Ä » ·`¿ Â�»Ï»�Ö ½¾·�¿ » ¶ ?z» º;¶�ÄôÁ�¶�½ Û Á » ¶ » ·�·ÃÀ;Ç »�Ö º ? ¿Ã·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·hÇ£À�Åh¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½Éº;¼IÐ%º;¼¾Á »
¹�Å�À�Æ�¼ » Êt·
Ẋ = FkX, X(t0) = X0, (k = 1, . . . ,m),
âN:�å
¿ Â�» ¶Z¿ Â�»h? À�Å�Å » ·�¹vÀ�¶�Ä�½¾¶ Î ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·¦º;Å »hÎ ½±Ð » ¶ »�Ö ¹�¼¾½ ? ½±¿°¼±Ô
Xk(t) = X0exp(Fkt).
â£ì�å
è »�Ö ¿jÕ2º;¼¾¼¨¿ Â�» ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·zÕ
Xk(t) (k = 1, . . . ,m),
º;Å »m? À�Êt¹vÀ�· » Äõ½¾¶�¿°Àu¿ Â�» º;¹�¹�Å�À Ö ½¾ÊϺ%¿ » ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶
Ç£À�Å�â�<�å�ÕÉâ @ å�=43 ?z? À�Å�Ä�½¾¶ Î ¿°ÀG¿ Â�»65 º;Ü » ÅÃÓÃø�º;Êt¹�Æ » ¼¾¼�Ó8ê�º;Á�·�Ä�À�Å�áöÇ£À;ŰÊ8Á�¼ÉºK¿ Â�»KÎ�» ¶ » Űº;¼3À�¹ » Űº%¿°À�Å»�Ö ¹©À�¶ » ¶�¿�½¾·�¿ Â�»h? À�Êt¹©À�·�½±¿°½¾À�¶
exp(A + B) = exp(C),
â�9�å
C =
∑
Ci = A + B +
1
2
{A,B}+
1
12
{A,A,B}+
1
12
{B,B,A}+
1
24
{A,B,B,A}+ . . . ,
âNÝ�å
Â�» Å » {A,B} = AB − BA
Ä » ·�½ Î ¶�º%¿ » ¿ Â�»h? À�ÊtÊ8Á�¿�º%¿°À�Å�Æ�Űº ? Ü » ¿°·3À;Ç2¿�Ù�Àm¼¾½¾¶ » º;Å�¶�À�¶ ? À�ÊtÊ8Á�¿�º%¿°½±Ð »
À�¹ » Űº%¿°À�Å�· A
º;¶�Ä
B
=Iµ�Ç3¿ Â�» È�Å�·�¿mÀ�Å�Ä » Åú ?z? Á�Űº ? Ô¸½¾·8·°º%¿°½¾·�ÇNº ? ¿°À�Å�Ô�Õ¨¿ Â�» ¶rÕIÆ�º;· » ÄÚÀ�¶ âN:�å�Ó�âNÝ�å�Õ2¿ Â�»
º;¹�¹�Å�À Ö ½¾ÊϺ%¿ » ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶fÀ;Ç`â�<�å�ÕÉâ @ å§½¾·
X(t) = X0
(
exp
(
m
∑
k=1
Fkt
)
+ O(t2)
)
.
â�7�å
<*û�<
8�9�:(9<;>= � �?�@�BAC
��CD@�
ß Â�» Å » Ç£À�Å » Õ�¿ Â�»Ø? À�Êt¹vÀ�·�½±¿°½¾À�¶hÀ;Ç »�Ö º ? ¿I·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·Øâ£ì�årÅ » ·�Á�¼±¿°·T½¾¶ »�Ö ¹�¼¾½ ? ½±¿T¹�Å�À ?z» Ä�Á�Å » â�7�årÀ;Ç�¶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼
½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶uÀ;Ç2¿ Â�» ã1×/äÌ·�Ô ·�¿ » Ê ? º;¼¾¼ » Ä"º;·¦¿ Â�» ·�¹�¼¾½±¿�¿°½¾¶ Î Ê » ¿  À Är=
Ò�À�Å3ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶f·�Ô ·�¿ » Êt·3¿ Â�»h»�Ö º ? ¿�·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·¢º;Å » ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ÊϺ;¹�·]⣽�= » = ? º;¶�À;¶�½ ? å�=�µ�ÇI½±¿3½¾·
º;·�·�Á�Ê » ÄD¿  º�¿]¿§Ù�ÀK· » ¿°·8À;Ç�¿ Â�»t? º;¶�À�¶�½ ? Ð;º;Å�½Éº;Æ�¼ » · (q,p) ∈ R2n
º;¶�Ä
(q∗,p∗) ∈ R2n
º;Å »tÎ ½±Ð » ¶
Ç£À�Åmê�º;Êt½¾¼±¿°À;¶�½Éº%¶Ú·�Ô ·�¿ » Ê ? À�¶�·�½¾Ä » Å » ÄrÕ�¿ Â�» ¶Í¿ Â�» Ä » È�¶�½±¿°½¾À�¶ÍÀ%Ç/·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ÊϺ;¹�¹�½¾¶ Î ë ì;í ? º;¶�Æ »
½¾¶�¿°Å�À Ä�Á ?z» ÄKº;·¦Ç£À�¼¾¼¾À*Ù¢½±¶ Î =
EGF0H�I�J1I�KLI�MNJ O ß Â�» ÊϺ;¹�¹�½¾¶ Î
G : (q,p) → (q∗,p∗)
½¾· ? º;¼¾¼ » ÄÚ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? Õ�½±Ç�½�¿�·P$�º ? À�Æ�½Éº;¶
ÊϺ�¿�Å�½ Ö (2n × 2n)
·°º%¿°½¾·�È » ·¢¿°Àÿ Â�» Å » ¼Éº%¿°½¾À�¶
(
∂G
∂(q,p)
)T
J
(
∂G
∂(q,p)
)
= J, here : J =
(
0n×n En×n
−En×n 0n×n
)
.
ß Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? Êtº;¹�·]Ç£À�Å�Ê ¿ Â�»fÎ Å�À�Á�¹rÕ2¹�Å » · » Å�Ð » º Î ½±Ð » ¶¸·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? @ Ó�Ç£À�Å�Ê º;¶�ĸ½±¿°·8Þ(½ »
º;¼ Î�» Æ�Űº`½¾·6¿ Â�» · » ¿�À;ÇT¼¾À ? º;¼¾¼�Ôtê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶mÐ »z? ¿°À�Å�È » ¼¾Ä�·z= ß Â�» ¶"º;¶�Ô ? À�Êt¹©À�·�½±¿°½¾À�¶tÀ;ÇTê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶
Q À*Ù¢·/¼¾½ » ·�½¾¶K¿ Â�»8Î Å�À�Á�¹Ëº;¶�Ä » ¼¾½¾Êt½±¶�º�¿ » ·/º;¶�À;¿ Â�» Å1º;Ä�Ð%º;¶�¿�º Î�» À�Á�·1¹�Å�À�¹ » Å�¿�ÔKÀ;Ç6·�¹�¼¾½±¿�¿°½¾¶ Î Ê » ¿  À Ä�·z=
µ�¿¢½¾·¦·�Á�¹�¹©À�· » ÄZ¿  º%¿¢¿ Â�» ¿�À%¿�º%¼(ê�º;Êt½¾¼±¿°À;¶�½Éº%¶f½¾·¦Ä�½±Ð ½¾Ä » Ä"À�¶Z·�½¾Êt¹�¼ » Å�¹�º;Å�¿°·�R
H = H1(q,p) + H2(q,p),
âN>�å
Ù Â�» Å » H1
Å » ¹�Å » · » ¶�¿°·Ë¿ Â�» ÊϺ�ú�À�ÅKÄ�Ô ¶�º;Êt½ ? ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶rÕ H2
? À�Å�Å » ·�¹©À�¶�Ä�·�¿°Àñº;¼¾¼]Å » ÊϺ;½¾¶�½±¶ Î
Ä�½¾·�¿°Á�Å�Æ�º;¶ ?z» ·zÕ
q
º;¶�Ä
p
º;Å »ËÎ�» ¶ » Űº;¼¾½±Ñ » Ä ? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » ·fº;¶�Ä÷ÊtÀ�Ê » ¶�¿�º�=ص�Çh¿ Â�»ËÎ�» ¶ » Űº;¼/·�À�¼±Á�¿�½±À�¶
? À;ŰŠ» ·�¹vÀ�¶�Ä�½¾¶ Î ¿°À H
½¾· ? À�Êt¹�¼ »�Ö º;¶�Ä÷¶�À;¿ »�çt? ½ » ¶�¿°¼±Ô » Ð;º;¼¾Á�º;Æ�¼ » ½¾¶ ? À�¶�¿°Å°º;·�¿u¿°Àõ¿ Â�» ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·
Î�» ¶ » Űº%¿ » ÄKÆ�Ô H1, H2
· » ¹�º;Űº%¿ » ¼±Ô�Õ�¿ Â�» ¶"¿ Â�» ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶f· ?�Â�» Ê » · ? º;¶ZÆ » Á�· » Är=
ß Â�» ·�½¾Êt¹�¼ » ·�¿�·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? · ?�Â�» Ê » À;Çv¿ Â�» È�Å�·�¿ØÀ;Å°Ä » ÅIÙ Â ½ ?� ¹�Å » · » Å�Ð » ·�ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶8·�¿°Å�Á ? ¿°Á�Å »
À;Ç2¿ Â�» ÊtÀ;¿°½¾À;¶ »zÛ Á�º%¿°½¾À;¶�·3À;ÇIºmÅ�½ Î ½¾ÄfÆ©À Ä�ÔuÙ¢½±¿  ºÃÈ Ö�» ÄK¹©À;½¾¶�¿¦Ù�º;·3À�Æ�¿�º;½¾¶ » Ä"½¾¶"¿ Â�» ¹�º;¹ » Å`ë :%íTÆ�Ô
Ê8Á�¼±¿°½±¹�¼±Ô ½±¶ Î ¿ Â�» ¹ » Å�¿°Á�Å�Æ�º%¿°½¾À�¶ H2
Æ�Ô"ºm¹ » Å�½¾À Ä�½ ? · »zÛ Á » ¶ ?z» À;ÇI×�½¾Å°º ? Ä » ¼±¿�º8Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·
Hmap = H1 + 2π δ2π(γt) H2,
â�û�å
Ù Â�» Å »
δ2π(t) =
∞
∑
n=−∞
δ(t − n2π) =
1
2π
∞
∑
n=−∞
cos(nt),
â�< A å
º;¶�Ä
γ
½¾·¦¿ Â�» ÊϺ;¹�¹�½¾¶ ΠǣŠ»zÛ Á » ¶ ? Ô�Õ©Ù Â ½ ?� ½¾·3Å » ¼Éº%¿ » Ä"¿°Àt¿ Â�» ·�¿ » ¹�·�½¾Ñ »
h
À;ÇI¿ Â�» ÊϺ;¹�¹�½¾¶ Î γ = 2π
h
=
3�¼�¿  À;Á Î�ÂË» º ?� ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶ Hi(i = 1, 2)
½¾·/· » ¹�º;Űº%¿ » ¼±Ô�½¾¶�¿ »zΠŰº;Æ�¼ » ½¾¶K¿ Â�»Ã? º;¶�À�¶�½ ? º;¼S3�¶�Ä�À*Ô » Å�Ó
× » ¹�Å�½±¿2Ð;º;Å�½Éº;Æ�¼ » ·zÕj¿°À1º ?� ½ » Ð »�Î À À Ä]¹ » Å�Ç£À�Å�ÊϺ;¶ ?z» Ç£À�Å2·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶hðñ½¾·�Ä�À�Êxº;¶�Ä8ß2À�Á�ÊϺ
Á�· » ÄË¿ Â�»Ã? À�Êt¹vÀ�¶ » ¶�¿°·1À;Ç6¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;Å�ÊtÀ�Ê » ¶�¿�Á�ÊïÐ »z? ¿°À�Åh½¾¶K¿ Â�» Æ©À�Ä�ÔKÈ Ö�» Ä ? À�À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » ǣŰº;Ê »
½¾¶�·�¿ » º;Är=
3�·T¿ Â�» · »z? À�¶�Ä8À�Å�Ä » Ũº;¼ Î À�Å�½±¿  Ê�º ?z? Á�Űº%¿ » ½¾¶`·�¿ » ¹8·�½¾Ñ » Õ%º ?z? À�Å�Ä�½¾¶ Î ¿°ÀÃâ�7�å�Õ*¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î · ?�Â�» Ê »
ë�<�Õ Ý�í ? º;¶GÆ »ÃÎ�» ¶ » Űº%¿ » ÄËÇ£À�Å3¿ Â�» ê�º%Êt½¾¼±¿°À�¶�½¾º%¶ H
Ä�½±Ð ½¾Ä » Ä˽¾¶�¿°ÀÏ¿§Ù�Àf¹�º;Å�¿°·z=�ß Â ½¾·/· ?�Â�» Ê » ½¾· Î ½±Ð » ¶
·�Ô Ê8Æ©À�¼±½ ? º;¼¾¼�ÔÏÁ�·�½¾¶ Î Þ(½ » À�¹ » Űº%¿°À�Ŧ¶�À;¿�º%¿°½¾À�¶Gë 7�í4R
e
h
2
H1 ehH2 e
h
2
H1 .
â�<�<�å
ß Â�» ½¾¶�¿ » Å�¹�Å » ¿�º%¿°½¾À�¶ZÀ%ÇI¿  ½¾·¢¶�À;¿�º%¿°½¾À�¶"½¾·¦¿  º%¿3¿ Â�» À�¹ » Űº%¿°À�Å e
h
2
H1
Ê » º;¶�·3ÊtÀ;¿°½¾À�¶uÙ¢½±¿  Š» ·�¹ »z? ¿/¿°À
H1
Ä�Ô ¶�º;Êt½ ? ·hÀ*Ð » Åh¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹õÀ;Ç�¼ » ¶ Î ¿  h/2
=(ß Â ½¾·`½¾·/¿ Â�» ¶DÇ£À�¼¾¼¾À*Ù » ÄGÆ�Ô�¿ Â�» À�¹ » Å�º�¿�À;Å ehH2Ê » º;¶�½¾¶ Î ÊtÀ�Ð ½±¶ Î ¿ Â�» ·�Ô ·�¿ » ÊcÀ*Ð » Å�¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹ h
º;·�·�Á�Êt½¾¶ Î H2
¿°ÀÃÆ » ¿ Â�» ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶ÏÀ;ÇT¿ Â�»
·�Ô ·�¿ » ÊZ=�Ò¨½¾¶�º;¼¾¼�Ô�Õ2º;¶�À;¿ Â�» Å8¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹ÚÀ;Ç3¼ » ¶ Î ¿  h/2
½¾·8¹ » Å�Ç£À�Å�Ê » ÄÚº ?z? À�Å�Ä�½¾¶ Î ¿°À H1
Ä�Ô ¶�º;Êt½ ? ·z=
<*û @
üzý*þØÿ������������ �
�����
�����������
���������
�������� ý��£ý*þ�þ��������������
��� "!��# �ý
ß Â�» · » ¿  Š»z» ·�¿�º Î�» ·ØÅ » ·�Á�¼±¿�½¾¶t¹�Å�À�¹�º Î º%¿°½¾À�¶m¿ Â�» ¹  º;· » ·�¹�º ?z» ¿°Å°º�ú »z? ¿°À�Å�Ô ? À�Å�Å » ·�¹©À�¶�Ä�½¾¶ Î ¿°À H
À*Ð » Å
¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹ h
=
àZÀ�Å » º;Ä�Ð%º;¶ ?z» Ä]Ê » ¿  À Ä�·(¿  º;¶h¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î · ?�Â�» Ê » Ä » · ? Å�½¾Æ » Ä ? º;¶`Æ »6? À�¶�·�¿°Å�Á ? ¿ » Äfë >%í�Á�·�½¾¶ Î Õ
Ç£À�Å »�Ö º;Êt¹�¼ » Õ�Ü » Å�¶ » ¼¾·¢À;Ç2¿ Â�» Ç£À�Å�Ê
eU1hH2eW1hH1eU2hH2eW2hH1eU3hH2 ...,
Ù Â�» Å » ¿ Â�» U T ·Ïº;¶�Ä W T ·Ïº;Å » Ä » ¿ » Å�Êt½¾¶ » ÄÍÆ�Ôͺ ? À�¶�Ð » ¶�¿°½¾À�¶�º;¼¢¶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼¦½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶¸Ç£À�Å�Ê8Á�¼Éº�=ß Â�» W ? À »�çt? ½ » ¶�¿°·¦º;Å » ¹�Å�À�¹©À�Å�¿°½¾À�¶�º;¼�¿°À`¿ Â�» Ä�½±á » Å » ¶ ?z» ·�À;Ç2º;Æ�· ? ½¾·�·°º » º%¶�Äu¿ Â�» U ? À »�çt? ½ » ¶�¿°·¦º;Å »
Ù » ½ Î� ¿°·¦Ç£Å�À�Êæ¿ Â�» Ç£À�Å�Ê8Á�¼Éº8½¾¶ Û Á » ·�¿°½¾À�¶r=�ß Â�» ¶Z¿ Â�» Ù » ¼¾¼(Ü�¶�À*Ù¢¶Ëó ½¾Êt¹�·�À�¶ T ·¦Å�Á�¼ »1? º;¶ZÆ » º;¹�¹�¼¾½ » Ä(R
e
h
3
H2ehH1e
4h
3
H2ehH1e
h
3
H2 .
â�< @ å
à » ¿  À Ä�· ? À�¶�·�¿°Å�Á ? ¿ » Äu½¾¶m¿  ½¾·6Ù�ºjÔ Â ºjÐ » ·�½¾Êt½¾¼¾º%Å�À�Å�Ä » Å�·6¿°À`¿ Â�»3» Å�Å�À�ÅØÀ;Ç�¿ Â�» º;·�·�À ? ½Éº%¿ » Ä϶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼
½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À;¶hÇ£À�Å�Ê8Á�¼Éº�Õ*Æ�Á�¿2¿  ½¾·¨º;¹�¹�¼¾½ » ·2À�¶�¼±Ô1¿°À3¿ Â�» È�Å�·�¿IÀ�Å�Ä » Å2¹ » Å�¿°Á�Å�Æ�º%¿°½¾À�¶�·z=�ß Â Á�·¨½±¿¨½¾·2¶ »z?z» ·�·°º;Å�Ô
¿ Â º%¿ H2
½¾·¦·�ÊϺ;¼¾¼ » ¶�À�Á Î� ǣÀ�Å�¿ Â�» Ç£À�Å�Ê8Á�¼Éº`¿°ÀmÆ » Á�· » Ç£Á�¼�=
U C Y S�P�M£S©R"S1.rVV.�²#,0,`²%MW)©MN³YX6S(³�Z\[ÏM~P�JfV^]�_�, ³ ' S©MNR©P�C%ß2À¢Ä » · ? Å�½¾Æ » ¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;ÅrÄ�Ô ¶�º;Êt½ ? ·
À;Ç3ºKÅ�½ Î ½¾ÄDÆ©À Ä�ÔGÙ¢½±¿  ºZÈ Ö�» ĸ¹©À�½¾¶�¿]½±¿8½¾·]º;·�·�Á�Ê » Äô¿  º%¿]¿ Â�» ÆvÀ Ä�Ôõ½¾·hÈ Ö�» ÄÚ½¾¶õ½±¿°·]ÊϺ;·�· ?z» ¶�¿ » Å
Ù Â�» Å » ¿ Â�» À�Å�½ Î ½¾¶ O
À;Çr¿ Â�» Æ©À Ä�Ô�Ó�È Ö�» Ä ? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » ·�Ô ·�¿ » Ê XY Z
½¾·Ø¹�¼Éº ?z» ÄÏ·�À]¿  º%¿6¿ Â�» ¹�Å�½¾¶ ? ½¾¹�º;¼
? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » º Ö�» · ? À�½¾¶ ? ½¾Ä » Ù¢½±¿  ¿ Â�» ǣŰº;Ê » OXY Z
=�µ�Ç©¿ Â�» Æ©À Ä�Ômº;¶ Î Á�¼Éº;ÅIÊtÀ;¿°½¾À�¶Ã½¾·IǣŠ»z» Ç£Å�À�Ê,º;¶�Ô
»�Ö ¿ » Å�¶�º;¼2Ä�½¾·�¿°Á�Å�Æ�º;¶ ?z» ·3¿ Â�» ¶Z¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;ŦÊtÀ�Ê » ¶�¿°Á�Ê Ð »z? ¿°À�Å3½¾· ? À�¶�·�¿�º;¶�¿�½¾¶Z½¾¶ » Å�¿°½Éº;¼r·�¹�º ?z» =©ß Â�»
Ç£À�¼¾¼¾À*Ù¢½¾¶ Î º;Æ©À*Ð »Ã?� º;Űº ? ¿ » Å�½¾Ñ » ·�¿ Â�» Ù » ¼±¼�Ó§Ü�¶�À�Ù¢¶Ëä�Á�¼ » Å T · ? º;· » À;ÇØÊmÀ;¿°½¾À�¶KÀ;Ç�¿ Â�» Å�½ Î ½¾ÄKÆ©À�Ä�ÔZÙ¢½±¿ ¿ Â�» È Ö�» ÄK¹©À�½¾¶�¿j=�ß Â�» Ü�½¾¶ » ¿°½ ?1» ¶ » Å Î Ô"À;ǨÅ�À;¿�º%¿°½¾À�¶fÀ;Ç2¿ Â�» ÆvÀ Ä�Ô"º;Æ©À�Á�¿¦¿ Â�» ÊϺ;·�· ?z» ¶�¿ » Å3½¾·
HE =
1
2
(M · I−1M).
â�<j:�å
ê » Å » R
M = Iω
½¾·I¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;ÅIÊtÀ�Ê » ¶�¿°Á�ÊòÐ »z? ¿°À�Å6À;Çv¿ Â�» Æ©À�Ä�Ôý¾¶Ã¿ Â�»¦? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » ǣŰº;Ê » OXY Z
Õ
I =
Ä�½Éº Î (I1, I2, I3)
½¾·�¿ Â�» ½¾¶ » Å�¿°½Éº8ÊϺ%¿°Å�½ Ö Ù¢½±¿  Š» ·�¹ »z? ¿3¿°Àm¿ Â�» ¹©À�½¾¶�¿ O
=L3�·3½±¿¦Ù�º;·3·  À*Ù¢¶K½¾¶Dë :%í�Õ
¿ Â�» ä�Á�¼ » Å »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·�Ç£À�Å�¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;Å�ÊtÀ�Ê » ¶�¿°Á�Ê
M
Ù¢½±¿  Š» ·�¹ »z? ¿�¿°À1¿ Â�» Æ©À Ä�Ô�Ó�È Ö�» Ä ? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ »
ǣŰº;Ê »1 ºjÐ » ¿ Â�»a` À�½¾·�·�À�¶Z·�¿°Å�Á ? ¿°Á�Å » R
Ṁ =
{
M,
∂HE
∂M
}
= (M × I−1M),
â�<zì�å
¿ Â�» Ä�À;¿3À*Ð » Ŧ¿ Â�» Ð;º;Å�½Éº;Æ�¼ » Ä » ·�½ Î ¶�º%¿ » ·¦¿ Â�» ¿°½¾Ê » Ä » Å�½±Ð;º%¿°½±Ð » ½¾¶f¿ Â�» Æ©À�Ä�Ô�Ó�È Ö�» ÄZǣŰº;Ê » =
Ò�À�¼¾¼¾À*Ù¢½±¶ Î âN>�å�Ó�â�< A å�Õ�¿ Â�» ê�º;Êt½¾¼±¿°À;¶�½Éº%¶Dâ�<*:�å�½¾·¦·�¹�¼¾½±¿�¿ » Ä"½¾¶�¿°À8¿�Ù�Àt¹�º;Å�¿°·
HE = HA + HT .
â�<�9�å
ê » Å » HA
Î À*Ð » Å�¶�·6¿ Â�» ÊtÀ;¿°½¾À�¶mÀ;Ç(º;¶uº Ö ½¾·�Ô ÊtÊ » ¿°Å�½ ? ÆvÀ Ä�Ôtº;¶�Ä HT
º ? ¿�·�º;·Øº`¹ » Å�¿°Á�Å�Æ�º%¿°½¾À�¶r=�µ§¶t¿ Â�»
¹�º;¹ » Å8ë :%í2½±¿¢Ù�º;·/º;·�·�Á�Ê » ÄK¿  º%¿3¿ Â�» ÆvÀ Ä�ÔZ½¾·3¶ » º;Å�¼±ÔZº Ö ½¾·�Ô ÊtÊ » ¿°Å�½ ? ½¾¶Z¿ Â�» ¹�¼Éº;¶ » ¹�º;·�·�½¾¶ Î ¿°Å�À�Á Î�Â
¿ Â�» È�Å�·�¿]º;¶�ÄD· »z? À�¶�Äõ¹�Å�½¾¶ ? ½¾¹�º;¼Iº Ö�» ·hÙ¢½±¿  I2 = I1(1 + ε), ε � 1
= b3¶�Ä » Å1¿  ½¾·hº;·�·�Á�Êt¹�¿°½¾À�¶Ë¿ Â�»
ê�º;Êt½¾¼±¿°À;¶�½Éº%¶
HT
½¾·]¿ Â�» ·�ÊϺ;¼¾¼�¹ » Å�¿°Á�Å�Æ�º%¿°½¾À�¶ô¿°À HA
= 5 º;· » ÄÚÀ�¶ â�<*:�å�Õ¨¿  À�· » ê�º;Êt½¾¼�¿°À�¶�½¾º;¶�·8º;Å »
Ù¢Å�½±¿�¿ » ¶Z½¾¶f¿ Â�» Ç£À;ŰÊcR
HA =
(M2
1 + M2
2 )
2I2
+
M2
3
2I3
,
â�<*Ý�å
HT =
M2
1
2
(
1
I1
−
1
I2
)
.
â�<#7�å
<*û�:
8�9�:(9<;>= � �?�@�BAC
��CD@�
ê3À*Ù » Ð » ÅzÕ�ð÷½¾·�Ä�À�Êoº;¶�Ätß2À�Á�ÊϺmë :%í�·�Á Î�Î�» ·�¿ » ÄÏ¿  º%¿�¿ Â�» ·�¹�¼¾½±¿�¿°½¾¶ Î â�<�9�åTÓ�â�<#7�娽¾·IÐ;º;¼¾½¾Äö�À;¿ØÀ�¶�¼±Ô]Ç£À�Å
¿ Â�» ¶ » º;Å�¼±ÔKº Ö ½¾·�Ô ÊtÊ » ¿°Å�½ ? Å�½ Î ½¾ÄZÆ©À�Ä�Ô ε � 1
ÕvÆ�Á�¿�Ç£À�Å3ÊtÀ�Å »`Î�» ¶ » Űº;¼2ÊϺ;·�·3Ä�½¾·�¿°Å�½¾Æ�Á�¿°½¾À�¶ ε < 1
º;·
Ù » ¼¾¼�=�è3À;¿ » Õ�¿  º%¿2Ç£À�Å2Æ©À;¿  HA
º;¶�Ä
HT
¿ Â�»�? À�Å�Å » ·�¹©À�¶�Ä�½¾¶ Î�»�Ö º ? ¿�·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·T·�¿°½¾¼¾¼ ? º;¶8Æ » Ç£À�Á�¶�ÄrÕ*¿  ½±·
º;¼±¼¾À�Ù¦·�¿°À ? À�Ê8Æ�½¾¶ » ¿ Â�» Êo½¾¶�¿°Àh·�½¾¶ Î ¼ » ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? · ?�Â�» Ê » º;¶�ÄϺ*Ð�À�½¾Äm¿ Â�» Á�· » À;Ç » ¼¾¼¾½¾¹�¿°½ ? Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�·z=
ß Â À;· »h»�Ö º ? ¿�·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·¦º;Å » Ç£À�Å�Ê8Á�¼Éº%¿ » Äf½¾¶u¿ Â�» ¶ »�Ö ¿3¿§Ù�Àt·�Á�Æ�· »z? ¿°½¾À�¶�·z=
_ V�O�,]S1.TP�J ,]V%_TMNOdZ *e*-,�P*²%M£´GX�S(³�ZvCf3¦¿TÈ�Å�·�¿jÕ�¿ Â�» ¹�º;Å�¿2À;Ç�Ð »z? ¿°À�Å2È » ¼¾Ä`À;Ç�¿ Â�» ä�Á�¼ » Å2Ä�Ô ¶�º;Êt½ ?
»zÛ Á�º�¿�½±À�¶�· ? À�Å�Å » ·�¹©À�¶�Ä�½¾¶ Î ¿°Àh¿ Â�» ê�º;Êt½¾¼±¿°À;¶�½Éº%¶ HA
½¾· ? À�¶�·�½¾Ä » Å » Är= ß Â�» ä�Á�¼ » Å6Ä�Ô ¶�º;Êt½ ?¢»zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·
â�<jì�娯 »z? À�Ê »
d
dt
M1 =
( 1
I3
−
1
I2
)
M2M3,
d
dt
M2 = −
( 1
I3
−
1
I2
)
M1M3,
d
dt
M3 = 0.
ß Â ½±·�ã1×/ä�·¢·�Ô ·�¿ » Ê ? º;¶ZÆ » ¿�º;Ü » ¶Kº;·¦¼¾½¾¶ » º;ÅØÙ¢½±¿  Š» ·�¹ »z? ¿3¿°À M1
º;¶�Ä
M2
Õ�Æ »z? º;Á�· » M3 = const
=
ß Â�» ¶G¿ Â�»Ã»�Ö º ? ¿`·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶KÇ£À�Å�¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½Éº;¼(Ð;º;¼¾Á » ¹�Å�À�Æ�¼ » Ê À�¶Ë¿ Â�» ¿°½¾Ê » ½¾¶�¿ » Å�Ð;º;¼ [t0, t]
½¾· Î ½±Ð » ¶G½¾¶
¿ Â�» Ð »z? ¿°À�ŦǣÀ�Å�ÊgR
M (t) = [RZ(α(t0, t))]M (t0),
â�<*>�å
Ù Â�» Å »
α(t0, t) =
(
1
I3
−
1
I2
)
M3(t0)(t − t0),
â�<*û�å
º;¶�Äf¿ Â�» ÊϺ%¿°Å�½ Ö À;ǨÅ�À;¿�º%¿°½¾À�¶"º;Æ©À�Á�¿¦¿ Â�» Æ©À�Ä�ÔZº Ö ½¾· Z
½¾·
RZ(α(t0, t)) =
cos α(t0, t) sin α(t0, t) 0
− sin α(t0, t) cos α(t0, t) 0
0 0 1
.
â @;A å
_ V�O�,mS1.¨P�J ,ÃP*²%M£V%_TM£V�L(X�S(³�ZvC ß Â�» ¹�º;Å�¿�À;Çv¿ Â�» Ð »z? ¿°À�ÅIÈ » ¼¾ÄÃÀ;Ç�¿ Â�» ä�Á�¼ » ÅIÄ�Ô ¶�º;Êt½ ?�»zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·
? À;ŰŠ» ·�¹vÀ�¶�Ä�½¾¶ Î ¿°À HT
Á�¶�Ä » Å�¿ Â�» º;·�·�Á�Êt¹�¿°½¾À�¶ ε � 1
½¾·�·�¿°Á�Ä�½ » Är=�ß Â�» ÊtÀ;¿°½¾À�¶ »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·hâ�<jì�åØº;Å »
Å » Ä�Á ?z» ÄK¿°À
d
dt
M1 = 0,
d
dt
M2 =
(
1
I1
−
1
I2
)
M1M3,
d
dt
M3 = −
(
1
I1
−
1
I2
)
M1M2,
ã/¶1¿ Â�» ¿°½¾Ê » ½¾¶�¿ » Å�Ð;º;¼ [t0, t] Ç£À�År¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½Éº%¼%Ð%º;¼¾Á » ¹�Å�À�Æ�¼ » Êö¿ Â�» · »Ø»zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·  º*Ð » ¿ Â�»6»�Ö º ? ¿2·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶
M(t) = [RX(β(t0, t))]M (t0),
â @ <�å
Ù Â�» Å »
β(t0, t) =
(
1
I1
−
1
I2
)
M1(t0)(t − t0).
â @�@ å
<*û%ì
üzý*þØÿ������������ �
�����
�����������
���������
�������� ý��£ý*þ�þ��������������
��� "!��# �ý
ß Â�» Å�À;¿�º%¿°½¾À�¶"º;ÆvÀ�Á�¿ X
º Ö ½¾·¦½¾· Î ½±Ð » ¶"Æ�Ôf¿ Â�» ÊϺ%¿°Å�½ Ö
RX(β(t0, t)) =
1 0 0
0 cos β(t0, t) sin β(t0, t)
0 − sin β(t0, t) cos β(t0, t)
.
â @ :�å
ß Â Á�·zÕvÇ£À�¼¾¼¾À*Ù¢½¾¶ Î ¿ Â�» ½¾Ä » º;·3À;ÇIðñ½¾·�Ä�À�Ê º;¶�ÄKß2À�Á�ÊϺKë :%í�Õv¿ Â�» ·�¹�¼¾½±¿�¿°½¾¶ Î â�<*Ý�å�ÕÉâ�<#7�å » ¼¾½¾Êt½±¶�º%¿ » ·¦¿  º%¿
¿ Â�» Å�½ Î ½¾ÄtÆ©À Ä�ÔtÊtÀ;¿°½¾À�¶t½¾·�Å » ¹�Å » · » ¶�¿ » ÄKº;·Ø¿ Â�» · »zÛ Á » ¶ ?j» À;ÇTÅ�À;¿�º%¿°½¾À�¶�·6Ù¢½±¿  ¿�Ù�À]ǣŠ»zÛ Á » ¶ ? ½ » · Î ½±Ð » ¶
½¾¶Ìâ�<*û�å�ÕØâ @�@ å�=(ß Â�»t? À�Ê8Æ�½¾¶�º%¿°½¾À;¶GÀ;ÇØ¿�Ù�ÀZ·�Á ?� Å�À;¿�º%¿°½¾À�¶�· ? º;¶DÆ » Á�· » ÄD¿°À ? À�¶�·�¿°Å�Á ? ¿`¿ Â�» Ð%º;Å�½¾À�Á�··�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? · ?�Â�» Ê » ·z=
h C \ ,�V ' .�²�S1)ÏV�R2³ W MB* ' OzS©RZOdZ * ' LW, ´;P�MN´/Oj´%J ,i*-, Oj.�Sv²�VV.�²#,0,]²%MW)©MN³\X6S(³�Z�C�µ�¿2½¾·Tº;·�·�Á�Ê » Ä
¿  º%¿u¿ Â�» ¶�Á�Ê » Å�½ ? º;¼3½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶�À;Ç »zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·Gâ�<jì�åÃÙ¢½±¿  ¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½¾º;¼ ? À�¶�Ä�½±¿°½¾À�¶
M(t0) = M0½¾·8¶ »z» Ä » ÄÚÇ£À�Å]¿ Â�» ¿°½¾Ê » ½¾¶�¿ » Å�Ð;º;¼ [t0, tN ]
=Iß Â�» ¶Ú¿ Â�» ¹�Å�À�¹�º Î º%¿°½¾À�¶õÇ£À;ŰÊ8Á�¼Éº"Ç£À�Å » Ð » Å�Ôô¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹
(i = 0, . . . , N)
½¾· Î ½±Ð » ¶"Æ�Ôf¿ Â�» ¶�À�¶�¼¾½¾¶ » º;Ŧ½�¿ » Å�º�¿ » ÄZÊϺ;¹�¹�½¾¶ Î
S : M → M, M ∈ R3
M(ti+1) =
[
P(M(ti), hi)
]
M(ti),
â @ ì�å
Ù Â�» Å »
P(3×3)
½¾·�¿ Â�» ¿°Å°º;¶�·�Ç£À�Å�ÊϺ%¿°½±À�¶"Êtº%¿°Å°½ Öf? À�Ê8Æ�½¾¶�½¾¶ Î ºm· »zÛ Á » ¶ ?z» À;ǨÅ�À;¿�º%¿°½¾À�¶�·zÕ�¿ Â�» ¿�½±Ê » ·�¿ » ¹
½¾· ? À�¶�·�¿�º;¶�¿ hi = ti+1 − ti = h, i = 0, . . . , N
=(µ§¶G¿ Â�» Ç£À�¼¾¼¾À*Ù¢½±¶ Î ·�Á�Æ�· »z? ¿°½¾À�¶�·`¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î º;¶�Ä
ó ½¾Êt¹�·�À�¶Z· ?�Â�» Ê » ·/º;Å »`Î�» ¶ » Űº%¿ » ÄK¿°Àt¹�Å�À�¹�º Î º%¿ » ¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;Å¢ÊtÀ�Ê » ¶�¿3À;Ǩ¿ Â�» Å�½ Î ½¾Ä"Æ©À Ä�ÔfÇ£À�Å¢¿ Â�»
ä�Á�¼ » Å ? º;· » =Tß Â�»Ï? À�Å�Å » ·�¹vÀ�¶�Ä�½¾¶ Î ½±¿ » Űº%¿ » ÄDÊϺ;¹�¹�½¾¶ Î ·hº;Å » ·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ? ½¾¶Ë¿ » Å�Êt·`À;Ç�¿ Â�»t? º%¶�À�¶�½ ? º;¼
3�¶�Ä�À�Ô » Å�Ó�× » ¹�Å�½±¿¢Ð;º;Å�½Éº;Æ�¼ » ·j=\ ,�V ' .�²�S1)�Oj´�J�,i*k,vClb3·�½¾¶ Î Þ(½ » À�¹ » Űº%¿°À�Å]¶�À;¿�º%¿°½¾À�¶rÕT¼ » º;¹�Ç£Å�À Î · ?�Â�» Ê » â�<�<�å/Ç£À�Å]·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿�½ ?
½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À;¶fÀ;Ç`â�<jì�å�½¾·¦·�Ô Ê8Æ©À�¼¾½ ? º;¼¾¼�ÔÏÅ » ¹�Å » · » ¶�¿ » Ä�Æ�Ô
e
h
2
HT ehHA e
h
2
HT .
â @ 9�å
ß Â�» · ?�Â�» Ê »1 º;·�¿ Â�» º ?z? Á�Űº ? ÔfÀ;Ç O(h2)
= 5 º;· » Ä"À�¶Dâ @ ì�å�Õ�¿ Â�» ¿°Å°º;¶�·�Ç£À�Å�ÊϺ%¿°½¾À�¶ÏÊϺ%¿°Å�½ Ö À;Ç2· ?�Â�» Ê »â @ 9�å�½¾Êt¹�¼¾½ » ·�¿  Š»z» ·�¿ » ¹�·
PLS = [RX(h/2), [RZ(h),RX(h/2)]],
â @ Ý�å
Ù Â�» Å » [, ]
Ä » ·�½ Î ¶�º%¿ » ·t¿ Â�» ¹�Å�À�Ä�Á ? ¿uÀ;Ç�¿�Ù�À (3 × 3)
ÊϺ%¿°Å�½ Ö�» ·z=6ê » ¶ ?z» Õ�º ?z? À�Å�Ä�½¾¶ Î ¿°À÷â�<*Ý�å�Ó�â @ :�å�ÕÊϺ%¿°Å�½ Ö â @ Ý�å  º;·¦¿ Â�»h? À�Êt¹©À�¶ » ¶�¿°·
PLS
11 = cos αi, PLS
12 = −PLS
21 = sin αi cos
βi
2
,
PLS
13 = PLS
31 = sin αi sin
βi
2
, PLS
22 = (1 + cos αi)cos
2 βi
2
− 1,
PLS
23 = −PLS
32 =
1
2
(cos αi + 1) sin βi, PLS
33 = (1 + cos αi)cos
2 βi
2
− cos αi.
ß Â�»]? À�Êt¹©À�¶ » ¶�¿°·�Ä » ¹ » ¶�ÄËÀ�¶ZÆ©À;¿  αi = α(ti, ti+1)
Õ
βi = β(ti, ti+1)
Õv½�= » =�¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹Ëº;¶�ÄZ¿ Â�»
Ð »z? ¿°À�Å
M (ti) = (M1(ti),M2(ti),M3(ti))
=
W MB* ' OzS�RcOj´%J ,i*-,vC�ß2À¸½¾¶�¿ »zΠŰº%¿ » â�<jì�å�Õ¦ó ½¾Êt¹�·�À�¶÷· ?�Â�» Ê » â�< @ åt½¾·ÏÙ¢Å�½±¿�¿ » ¶÷Æ�Ô÷Á�·�½¾¶ Î Þ(½ »À�¹ » Űº%¿°À�Å
e
h
3
HT ehHA e
4h
3
HT ehHA e
h
3
HT .
â @ 7�å
<*û�9
8�9�:(9<;>= � �?�@�BAC
��CD@�
ß Â�» · ?�Â�» Ê »Z º;·Ã¿ Â�» º ?z? Á�Űº ? ÔÚÀ;Ç O(h3)
=6Ò�À�¼¾¼¾À*Ù¢½±¶ Î â @ ì�å�ÕI¿ Â�» ÊϺ%¿°Å�½ Ö À;Ç�· ?�Â�» Ê » â @ 7�å]½¾·Ã¿ Â�»· »zÛ Á » ¶ ?z» À;Ç2È�Ð » Å�À;¿�º%¿°½¾À�¶�·
PSS = [RX(h/3), [RZ(h), [RX(4h/3), [RZ(h),RX(h/3)]]]].
â @ >�å
ß2º;Ü�½¾¶ Î ½¾¶�¿°Àmº ?z? À�Á�¶�¿8â�<*Ý�å�Ó�â @ :�å�Õ�¿ Â�»h? À�Êm¹©À�¶ » ¶�¿°·¢À;ÇIÊϺ%¿°Å�½ Ö â @ >�å�º;Å »hÎ ½±Ð » ¶ZÆ�Ôu¿ Â�» Ç£À�Å�Ê8Á�¼Éº;·
P SS
11 = cos2αi − sin2αi cos
4βi
3
,
P SS
12 = −P SS
12 =
1
2
sin 2αi cos
βi
3
(1 + cos
4βi
3
) − sin
βi
3
sin
4βi
3
sin αi,
P SS
13 = P SS
31 =
1
2
sin 2αi sin
βi
3
(1 + cos
4βi
3
) + cos
βi
3
sin
4βi
3
sin αi,
P SS
22 = (−sin2αi + cos
4βi
3
cos2αi)cos
2 βi
3
− sin
4βi
3
sin
2βi
3
cos αi − cos
4βi
3
sin2βi
3
,
P SS
23 = −P SS
32 =
1
2
sin
2βi
3
(−sin2αi + cos
4βi
3
cos2αi + cos
4βi
3
) + sin
4βi
3
cos
2βi
3
cos αi,
P SS
33 = (sin2αi − cos
4βi
3
cos2αi)sin
2βi
3
− sin
4βi
3
sin
2βi
3
cos αi + cos
4βi
3
cos2 βi
3
.
ê » Å » βi = β(ti, ti+1), αi = α(ti, ti+1)
º;Å »hÎ ½±Ð » ¶"Æ�Ôõâ�<*û�å�Õ2â @�@ å�=m C _ Sn* ' Q(P*V�P�M£S©RTV�L ,f_ ' ,�²%MB*-, R©P�O;C�µ§¶m¿  ½¾·6· »z? ¿°½¾À�¶m¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î º;¶�Äuó ½¾Êt¹�·�À�¶m·�Ô Êt¹�¼ »z? ¿°½ ?
· ?�Â�» Ê » ·�º;Å » ¿ » ·�¿ » Ä�º Î º;½±¶�·�¿jÕ�À�Æ�¿�º;½¾¶ » Ä"Æ�Ô"Ò »z ¼¾Æ » Å Î ë û%í�Õ�¿ Â�» È�Ç~¿  À�Å�Ä » Å�2¢Á�¶ Î�» Ó�ù1Á�¿�¿�ºmÊ » ¿  À�Ä
Ù¢½�¿  ·�½ Ö ·�¿�º Î�» ·]º;¶�Ä ? À�¶�·�¿�º;¶�¿]·�¿ » ¹õ·�½¾Ñ » =Tß2ÀZ· » ¿°Á�¹õ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶�¿ Â�» ¹�Å�½¾¶ ? ½¾¹�º%¼I½¾¶ » Å�¿°½ÉºfÊtÀ�Ê » ¶�¿°·
º;Å »¦?� À�· » ¶
I = diag(40.5, 40.6, 50.0)(kg∗m3)
=�ß Â�» ½¾¶�½±¿°½¾º;¼ ? À�¶�Ä�½±¿°½¾À�¶�·6º;Å »¦Î ½±Ð » ¶ÃÇ£À�ÅI¿ Â�» º;¶ Î Á�¼Éº;Å
Ð » ¼¾À ? ½±¿�Ôͽ¾¶�¿ Â�» Æ©À�Ä�Ô�È Ö�» Ä÷ǣŰº;Ê »
ω(t0) = (1.0, 0.0, 10.0)
â£Ä »zÎ0o · »z? å�=j3¦¿uÈ�Å�·�¿jÕØ¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î
· ?�Â�» Ê » ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶ËÅ » ·�Á�¼±¿°·1Ç£À�Å
ω
LS(t)
º;Å » Å » ¹�Å » · » ¶�¿ » ÄõÀ�¶GÈ Î Á�Å » ·t<�Õ @ Ç£À�Åhº;¼¾¼¨¿ Â�»m? À À�Å�Ä�½¾¶�º%¿ » ·· » ¹�º;Űº%¿ » ¼�ÔZº;¶�ÄKÀ�¶Z¹�½ ? ¿°Á�Å » :tº;·¢¿ Â�» ¹  º;· » ·�¹�º ?z» ¿°Å°º�ú »z? ¿°À�Å�Ô�=vß Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹K½¾· h = 0.1
· »z? º;¶�Ä
¿ Â�» ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶Ï¿°½¾Ê » ½¾·¢Ý A�A · »z? À�¶�Ä�·z=
0 100 200 300 400 500 600
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
sec
ω
1
LS
ω
2
LS
0 100 200 300 400 500 600
9.9996
9.9997
9.9998
9.9999
10
sec
ω
3
LS
p �
90qd9sr ����ÿf��
���������
"���
ωLS
1
(t)
��
f
ωLS
2
(t)
9 p �
9#t#9�r ����ÿf��
���������
"���
ωLS
3
(t)
9
<*û;Ý
üzý*þØÿ������������ �
�����
�����������
���������
�������� ý��£ý*þ�þ��������������
��� "!��# �ý
−1
−0.5
0
0.5
1
−2
−1
0
1
2
9.9995
9.9996
9.9997
9.9998
9.9999
10
10.0001
ω
1
LSω
2
LS
ω
3
LS
−3
−2
−1
0
1
2
3
x 10
−9
−3
−2
−1
0
1
2
3
x 10
−9
−1
0
1
2
x 10
−12
eSS
2
eSS
1
eSS
3
p �
9du�9<v%= � = �# ���
�����ÿ =
ω
LS(t)
�
�� = ��ÿ = �C���n�~ÿf�s��� 9 p �
9 w#9�v%= � = �� ���
�����ÿ =
e
SS(t)
�
e� = �1ÿ = �C���
�~ÿf�s��� 9
ß2À ? À�Êt¹�º;Å » ¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À ÎYx Þ2ó x º;¶�Äfó ½¾Êt¹�·�À�¶ x ó�ó x Ê » ¿  À Ä�·�º Î º;½¾¶�·�¿6¿ Â�»� ½ Î� À�Å�Ä » Ål2¢Á�¶ Î�» Ó
ù1Á�¿�¿�ºfÊ » ¿  À Ä x 23ù x À�¶Ë¼¾À�¶ Î�» Å�¿°½¾Ê » ½¾¶�¿ » Å�Ð;º;¼¾·zÕ©¿ Â�» ·�À�¼¾Á�¿°½¾À�¶�·/À�Æ�¿�º;½¾¶ » ÄGº;Æ©À*Ð » º;Å » ¹�Å�À�¹�º Î º%¿ » Ä
Á�¹"¿°À"< A�A Êt½¾¶�Á�¿ » ·zÕ�½�= » =�º;¹�¹�Å�À Ö ½¾ÊϺ%¿ » ¼±ÔmÇ£À�ŦÀ�¶ » À�Å�Æ�½±¿�º;¼�¹ » Å�½¾À ÄfÇ£À�Ŧ·�ÊϺ;¼¾¼�·°º%¿ » ¼±¼¾½±¿ » À�¶"¼¾À*Ùéä6º;Å�¿ ÂÀ�Å�Æ�½±¿j=�ß Â�» ¶Z¿ Â�» º;Æ�·�À�¼±Á�¿ »1» Å�Å�À�Å�Ð »z? ¿°À�Å�·
eLS(t) = ω
RK(t) − ω
LS(t), eSS(t) = ω
RK(t) − ω
SS(t),
º;Å »¢? º;¼ ? Á�¼Éº%¿ » Ämº;¶�Ät¹�¼±À;¿�¿ » ÄmÀ�¶ÃÈ Î Á�Å » ·Øì�Õ�91º;¶�ÄtÝ�Õ ? À�¶�Ð » Å�¿ » ÄϽ¾¶Zâ£Ä »zÎ0o · »z? å�=�µ�¿ ? º;¶tÆ » ¶�À;¿ » ÄrÕ�¿  º%¿
¿ Â�» · »f» Å�ŰÀ;Ű·8Å » ÊϺ;½¾¶õ·�ÊϺ;¼¾¼�Ç£À�Å]È�Å�·�¿f< A Êt½¾¶ Á�¿ » ·]À;Ç¢½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À;¶D¿°½¾Ê » =2ß Â�» Ä�½±á » Å » ¶ ?z» Æ » ¿§Ù »z» ¶x Þ2ó x º;¶�Ä x ó�ó x ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶fÅ » ·�Á�¼±¿°·3½¾·3º;¼¾·�Àt½¾¶Kº Î Å »z» Ê » ¶�¿¢Ù¢½±¿  ¿ Â�» À�Å�Ä » Å�·3À;Ǩ¿ Â�» · » Ê » ¿  À�Ä�·�º;¶�Ä
¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹rÕ�½�= » =�¿ Â�» ó ½¾Êt¹�·�À�¶Í· ?�Â�» Ê »K º;·t¿ Â�» ·�ÊϺ;¼¾¼ » ·�¿Ïº;Æ�·�À�¼¾Á�¿ »K» Å�Å�À�Åz=6µ�¿u½¾·t·  À*Ù¢¶�¿  º%¿
¿ Â�» º;Æ�·�À�¼¾Á�¿ »]» Å�Å�À�Å�·�Æ » ¿§Ù »z» ¶ x Þ2ó x º;¶�Ä x 23ù x Ê » ¿  À�Ä�·/º;Å » ½¾¶Z¿ Â�» Æ�º;¶�ÄËÀ;Ç�À�Å�Ä » Å 10−6 =�Ò�À�Å3¿ Â�»ó ½¾Êt¹�·�À�¶Í· ?�Â�» Ê » ¿ Â�» Å » ¼Éº%¿°½±Ð »f» Å�Å�À�Å�·mÙ¢½±¿  Š» ·�¹ »z? ¿Ï¿°ÀG¿ Â�» 2¢Á�¶ Î�» Ó8ù1Á�¿�¿�ºËÅ » ·�Á�¼±¿°·Ïº;Å » ½¾¶Ú¿ Â�»
·�ÊϺ;¼¾¼ » Å�Æ�º;¶�ÄZÀ;ǨÀ�Å�Ä » Å 10−7 =
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−1
0
1
x 10
−6
eLS
1
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−1
0
1
x 10
−6
eLS
2
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0
x 10
−8
sec
eLS
3
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−2
0
2
x 10
−7
eSS
1
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−2
0
2
x 10
−7
eSS
2
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−5
0
5
10
x 10
−11
eSS
3
sec
p �
9�ys9�z D�����A#������
a���
eLS
i
(t) (i = 1, 2, 3)
9 p �
9�{s9sz D�����A#������
|���
eSS
i
(t) (i = 1, 2, 3)
9
ß2ÀKÄ » ÊtÀ�¶�·�¿°Å°º%¿ » ¿ Â�»t» Å�Å�À�Å`½¾¶G¿ Â�» Ü�½¾¶ » ¿°½ ?t» ¶ » Å Î ÔDº;¶�ÄõÊϺ Î ¶�½±¿°Á�Ä » À;Ǧº;¶ Î Á�¼Éº;ÅhÊtÀ;Ê » ¶�¿°Á�Ê
Ð »z? ¿°À�ÅzÕ�¿ Â�» Ä » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·�Ç£Å�À�Êæ¿ Â�» ½¾¶�½±¿°½¾º;¼©Ð%º;¼¾Á » ·
dH(t) = H(t) − H(t0), dM(t) = |M(t)| − |M(t0)|,
º;Å » ¹�¼¾À;¿�¿ » ÄËÀ�¶�È Î Á�Å » ·}7uº;¶�ÄD>ÏÇ£À�Å1º;¼¾¼T¿  Š»z» ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶KÊ » ¿  À Ä�·z=rß Â�»Ã» ¶ » Å Î ÔËÄ » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·�Ç£À�Å
x 23ù x º;¶�Ä x ó�ó x Å » ·�Á�¼±¿°·fº;Å » º;ÆvÀ�Á�¿f¿ Â�» ·°º;Ê » À�Å�Ä » ÅzÕ�¿  º%¿f½¾·  Á�¶�Ä�Å » Äñ¿°½¾Ê » ·Ï·�ÊϺ;¼¾¼ » Åm¿  º;¶÷Ç£À�Å
<*ûf7
8�9�:(9<;>= � �?�@�BAC
��CD@�
x ÞTó x · ?�Â�» Ê » =(ß Â�» Ä » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·1½¾¶ |M|
Ç£À�Åhº;¼¾¼2¿  Š»z» Ê » ¿  À�Ä�·hº;Å » ·�¿�º*Ô ½¾¶ Î ½¾¶Ë¿ Â�» Æ�º;¶�ÄGÀ;Ç�À�Å�Ä » Å
10−13 =
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−6
−4
−2
0
2
x 10
−14
d
H
RK
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−3
−2
−1
0
x 10
−11
d
H
LS
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−5
0
5
10
15
x 10
−14
d
H
SS
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−4
−2
0
2
4
x 10
−13
d
M
RK
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−10
−5
0
5
x 10
−13
d
M
LS
sec
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
−2
0
2
4
6
x 10
−13
d
M
SS
secp �
9�~�9<v%= � ���D�����������
<���
H
�����N��� �0� = ���@�©þ���� = �� �� 9 p �
9���9lv%= �/ ���D�����������
<�|�
|M|
�����^��� ��� = ���@�
þ���� = �� �� 9
ßTÀÌ·�¿°Á�Ä�Ôñ¿ Â�» Ä » ¹ » ¶�Ä » ¶ ?z» Æ » ¿�Ù »z» ¶é¿ Â�» Ä » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·Z½±¶ H
º;¶�Ä
|M|
º;¶�Ä Ä�½±á » Å » ¶�¿Z¿°½¾Ê »
·�¿ » ¹�·�Ç£À�Å6¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î Õ�ó ½¾Êt¹�·�À�¶uº;¶�Ä\2¢Á�¶ Î�» Ó�ù1Á�¿�¿�º`Ê » ¿  À Ä�·zÕ�¿ Â�» ÊϺ Ö ½¾Ê8Á�Êoº;Æ�·�À�¼¾Á�¿ » Ð;º%¼¾Á » ·�À;Ç
Ä » Ð ½¾º%¿°½¾À�¶�·¦À�Æ�¿�º;½¾¶ » ÄZº;Æ©À*Ð » º;Å »1? º;¼ ? Á�¼Éº%¿ » ÄfÇ£À�Å�¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹"Ð;º;¼¾Á » ·
h = {1.0, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1, 0.08, 0.06, 0.04, 0.02, 0.01}.
ß Â�» ÊϺ Ö ½¾Ê8Á�Êt·rº;Å » ¹�¼¾À;¿�¿ » Ä1À�¶/È Î Á�Å » ·2û¦º;¶�Äm< A º Î º;½¾¶�·�¿r¿ Â�» ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹�·(Ù¢½±¿ Â Ä »z? ½¾ÊϺ;¼;¼±À Î º;Å�½±¿  Êm½ ?· ? º;¼±½¾¶ Î =
10
−2
10
−1
10
0
10
−14
10
−13
10
−12
10
−11
10
−10
10
−9
10
−8
h(sec)
dHRK
dHLS
dHSS
10
−2
10
−1
10
0
10
−14
10
−13
10
−12
10
−11
10
−10
10
−9
10
−8
h(sec)
dMRK
dMLS
dMSS
p �
9��s90v%= �Tþ������ þ�A�þ������n ���D�����������
<�(�
H
9 p �
9fq��s90v%= �2þ������ þ�A�þ��S���1 ���D�����������
<�(�
|M|
9
µ�¿¦½¾·�·  À*Ù¢¶"¿  º%¿�¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î · ?�Â�» Ê »h º;·�¿ Â�» Æ�½ Î�Î�» ·�¿ » ¶ » Å Î ÔfÄ » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶r= ß Â�» ó ½¾Êt¹�·�À�¶f· ?�Â�» Ê »
 º;·�¿ Â�» ·�ÊϺ;¼¾¼ » ·�¿ » ¶ » Å Î ÔZº;¶�Ä |M|
Ä » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·¦½¾¶u¿ Â�» Űº;¶ Î�» h = {1.0, 0.8, 0.6, 0.4}
=�ß Â�» Æ�½ Î�Î�» ·�¿
|M|
Ä » Ð ½Éº%¿°½¾À�¶�·Ïº;Å » ¹�Å�À Ä�Á ?z» ÄÌÆ�ÔÚ¿ Â�» 2¢Á�¶ Î�» Ó�ù1Á�¿�¿�ºGÊ » ¿  À ÄÍÇ£À�Åÿ Â�» ·°º;Ê » ¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹ÌŰº;¶ Î�» =
ß Â Á�·zÕ¨½¾¶õ¿  ½¾·]Űº;¶ Î�» ¿ Â�» ó ½¾Êt¹�·�À�¶õ· ?�Â�» Ê » À�Á�¿°¹ » Å�Ç£À�Å�Êt·`¿ Â�» 2¢Á�¶ Î;» Ó�ù1Á�¿�¿�ºKÊ » ¿  À Är=¨ê3À*Ù » Ð » ÅzÕ
½¾¶Z¿ Â�» Űº;¶ Î�» h = {0.1, 0.08, 0.06}
¿ Â�» ó ½¾Êt¹�·�À�¶�· ?�Â�» Ê » º;¶�Ä�2¢Á�¶ Î�» Ó�ù1Á�¿�¿�ºÏÊ » ¿  À Ä�·  ºjÐ » ¿ Â�»
·°º;Ê » À�Å�Ä » ŦǣÀ�Å¦Ä » Ð ½¾º%¿°½¾À�¶�·z=
Ò¨½±¶�º;¼¾¼�Ô�Õ(¿ Â�» ¶�Á�Ê8Æ » Å2À;Ç ? À�Êt¹�Á�¿�º%¿°½¾À�¶�º;¼�À�¹ » Űº%¿°½¾À�¶�·]¹ » ŨÀ�¶ » ½¾¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À;¶`·�¿ » ¹`Ç£À�ÅT¿ Â�» 2¢Á�¶ Î�» Ó
ù1Á�¿�¿�º8Ê » ¿  À�Ä x 23ù x Õ�¼ » º;¹�Ç£Å�À Îcx Þ2ó x º;¶�ÄKó ½¾Êt¹�·�À�¶ x ó�ó x · ?�Â�» Ê » ·¢½¾Êt¹�¼ » Ê » ¶�¿ » ÄÏÇ£À�Å�¿ Â�» ä�Á�¼ » Å
Ä�Ô ¶�º;Êm½ ?`»zÛ Á�º%¿°½¾À�¶�·�½¾· ? º;¼ ? Á�¼Éº%¿ » ÄZ½¾¶Z¿�º;Æ�¼ » ¿°À » ·�¿°½¾ÊϺ%¿ » ¿ Â�» ·�¹ »z» ÄËÀ;Ç ? º;¼ ? Á�¼Éº%¿°½±À�¶r=�µ�¿�½¾·3Ü�¶�À�Ù¢¶
¿  º%¿ ·�¿�º;Å�¿°½¾¶ ΠǣÅ�À�Ê ¿ Â�» ¹�Å�À ?z» ·°·�À�Å µ§¶�¿ » ¼T> A :�>�ÝÚÁ�¹ ¿°À�ÊtÀ�Ä » Å�¶  ½ Î� ǣŠ»zÛ Á » ¶ ? Ô"ÊtÀ Ä » ¼¾·�¿ Â�»
<*û;>
üzý*þØÿ������������ �
�����
�����������
���������
�������� ý��£ý*þ�þ��������������
��� "!��# �ý
¿°Å�½ Î À�¶�À�Ê » ¿°Å�½ ? Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À;¶�·mº;Å » ½¾¶ ? ¼¾Á�Ä » Äͺ;· ? À�ÊmÊϺ;¶�Ä�·8Ç£À�Å]¿ Â�»f? À%Ó§¹�Å�À ?z» ·�·�À�Åz=6ê3À*Ù » Ð » Åm¿ Â�» Å » º;¼
¹�Å�À ?�» ·�·°½±¶ Î ¿°½¾Ê » Ç£À�Åmº;Å�½±¿ Â Ê » ¿°½ ? À�¹ » Űº%¿°½¾À�¶�·
º;¶�Ä ? º;¼ ? Á�¼Éº%¿°½¾À�¶ À;ÇG¿°Å�½ Î À�¶�À�Ê » ¿°Å�½ ? Ç£Á�¶ ? ¿°½�Ó
À�¶"Å » ¼¾½ » ·�Á�¹©À�¶f¿ Â�» ¹�Å�À ?�» ·�·°À;Å3ÊtÀ�Ä » ¼�=�µ�Ç2¿  ½¾·
¿°½¾Ê »f? º;¶ÍÆ » ¹�Å »z? º%¼ ? Á�¼Éº%¿ » ÄÍÀ�¶�º*Ð » Űº Î�» Ç£À�Å
¿ Â�» ¹�Å�À ?z» ·�·�À�ÅϽ¾¶ÚÁ�· » Õ6¿ Â�» ¶ÌÀ�¶ »Z? º;¶�· » ¼ »�? ¿
¿ Â�» ÇNº;·�¿ » ·�¿3Ê » ¿  À ÄfÇ£Å�À�Êæ¿ Â�» ¿�º;Æ�¼ » =
Method
operation
RK LS SS LS1 SS1
∗/ : 99 18 30 33 55
+/− 63 6 10 12 20
sin 3 5
cos 3 5
µ�Çr¿ Â�» ½±¶�¿ »zΠŰº%¿°½¾À�¶8¿°½¾Ê » ·�¿ » ¹Ï½¾· ?� À�· » ¶u·�ÊϺ;¼¾¼ » ¶�À�Á Î� ¿°À`¹�Á�¿6¿ Â�» º;¹�¹�Å�À Ö ½¾ÊϺ%¿°½¾À;¶�·�À;Ç�¿ Â�» ¿°Å�½ Î À�¶�À%Ó
Ê » ¿°Å�½ ? Ç£Á�¶ ? ¿°½¾À�¶�· sin θ = θ− 0.1(6)θ3 º;¶�Ä cos θ = 1− 0.5θ2 Ç£À�Å�·�ÊϺ;¼¾¼�Ð;º;¼¾Á » ·�À;Ç θ ½¾¶uº Î Å »z» Ê » ¶�¿Ù¢½±¿  º ?z? Á�Űº ? Ôt¶ »z» Ä » ÄrÕ ¿ Â�» ¶Ï¿ Â�» ¶�Á�ÊÃÆ » Å�À;ÇrÀ�¹ » Űº%¿°½¾À�¶�·6½¾·6Ç£Á�Å�¿ Â�» ÅØÅ » Ä�Á ?z» ÄuÇ£À�Å�¿ Â�» ½¾Êt¹�¼ » Ê » ¶�¿�º�Ó
¿°½¾À�¶�·�À;Çϼ » º;¹�Ç£Å�À Î ”LS1”
º;¶�Äòó ½¾Êt¹�·�À�¶
”SS1”
· ?�Â�» Ê » ·z=`ê » ¶ ?z» Õ/¿ Â�» ¼ » º;¹�Ç£Å�À Î · ?�Â�» Ê » º;¶�Ä
ó ½¾Êt¹�·�À�¶"· ?�Â�» Ê » ·�º;Å » ÇNº;·�¿ » Å3º;ÆvÀ�Á�¿�:mº;¶�Ä @ ¿°½¾Ê » · ? À�Å�Å » ·�¹©À�¶�Ä�½¾¶ Î ¼±ÔÏ¿ Â�» ¶"¿ Â�»/x 23ù x Ê » ¿  À Är=
� ¤����?�@�d������� ������� �������a���j�j����� ���§�����r�¦���%�������������
n
¬É�;�*�*�6��������� ���e�d���2�£������}�¤C�%¤�� ���d�#� ¤@�� �¡�¢�¤���£�¤ ��¤d¥C¦ �
��¤C§d¦ ¤
¥ ¤�¨�©s��������ª � �����?�@�d���«�#��¬©�%���������¨�@���� �*��� ��}���� �����6�N�������(�N�*�£�����/¤����*��� ��}%����¤s� ���d��¥ ¤d� ¥d¤�® ��¤
§ ¤^¯<��©����j��� �����?�@�d���°����±�� ��¬²£��������N��}¢� }z��������������������������� �����¢�;�*�*�¦�*�j}%����������� }¢�����I�N���������N�*�£�����³�d���2�£������}�¤s�%¤
� ���d�C´ ¤��" �¡�µ�¤s��£�¤ �d��¦d� � ��¥�¶d� ¤
´ ¤�¨f����·�¸²¨f¹�º�������� �a� ��»1��� ¼����a� ½���¾T���������������0¿2����� � ����}�����}���������� ���¦��¤s��¬©�%�����¦��}/��}%�G¿2��� �¾¯ ���d�C´ ¤�� ��¥d¤ ��¤
¤ ¤��"� À�Àd��� ��¨f� ��½���� ��¹�º>½�� Á1� ��������Âs���d�PÃ��#�Ë�N�j����� ���§�����I������� ���������£��� �¦�������r�����T�*� �����§�r�������ÅÄj� }�����}/��������� � � �������d�
�%¤������2�£������}%���*���������i�*�§����}%������¤�� ¥C¶d¶d¶ ¤���Æ�Ç�¯#¾T�%¤ � ¤s��£�¤ ��¶d� � ��¥C¤ ¤
È ¤lÉ���������Âs��Ê�� ��� �(Ã�����Âs���d� ��� �#Ë���À����������j�j����� ���§�����©� }���������������������}%�I������� ��������� ��������� ��}�� }Ø�*�j}%�����������z���£������}����Ø�
�d�j¬©��� ���£��¤#Ì1������¤<Í2�j}�¤<�2�£��¤�� ���d�#� ¤���Î<¡�¤s��£�¤ ¤C� � ®�� ¤
® ¤lÉj���@¹�� ¹�Ïн���Ñ��;«(������������}��2������}���±�� ���������¦��� �N����� ���T��}%�1����}%�£�����%����� ��}����v�N�j����� ���§������� }z�������������������d�l�T���*��� ���
��� ����������¯(��� �������������]��� ������� �����¦�/��}%�Z���������1�����������§��� }��u���*�*���VÒ²¬©������}ÔÓ�¤ ¯ Ì1�����u¥I¤ ¯�Ì1������}��cÕØ¤ ¯(������¤ Ö§¤ �
��� ×(¬�¬v¬ ��¶ ¤s��¾T���cØv����Ä�Ù<�j����� }������N¬²Ú�����������¯ ���d�C§ ¤���£�¤ ¥���§ � ¥�§d¶ ¤
¦ ¤��aÛÅÁi�dÛÅÂs� ���GÜ4� Ý@�<¬©�����;�z�N� ��� ��}¢���������*����� }¢�����¨�������N��}%���2��� �N�¦��� ���������������������(�d��ª�|£¥ §�¤ ¤C� ���d��¤ ¤��j£�¤ ¥d¤C¦ �
¥CÈd¦ ¤
� ¤jÞi¹ÅÂs� ߏ�º�àaá��%±����ô�����*���6���������N�������©«(��}�����¬~I�*�N�����������Ø���������(� ���t�£�����m�N� â��¢����}z�������©��}%�]������� ��������� ��������� ��}]���
�N�����I�������N¬¾������}%�£�����r��������� ���¦���d�j¬©�������*��� }��%¤s� ���s®�¶ ¤���ã�¤���£�¤ È#� � ®s� ¤
ä
<�@�����BA#���4���%årÿ�ÿ�� 9<æ ��� =i9 ��
f æ ��� = ��
#���Å����� 8 å¨ü�ç1è�é���
������Bê�ènçiês�����
��
ë<ìdí#î�ï�ì�ð�ð�ñBì�ò�ñ�ó�ô�ë<õdí<ö�÷nñ²ø#ì
«(������� ���� ¥C¶ ¤ ¶s® ¤ ¶d§
<*û�û
|